лекция ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ЦИФРОВЫХ

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ
ЦИФРОВЫХ АВТОМАТОВ
Основа любого дискретного вычислительного
устройства составляют элементарные логические
схемы.
Работа этих схем основана на законах и правилах
алгебры логики, раздела математики, изучающего
высказывания, рассматриваемые со стороны их
логических значений (истинности или ложности) и
логических операций над ними.
Высказывание – некоторое предложение, в
отношении которого можно однозначно сказать,
истинно оно или ложно.
Аппарат булевой логики создан в 1854 г. Дж. Булем.
К.Шеннон впервые использовал его в 1938 году для
анализа релейных переключающих сетей.
Аппарат булевой алгебры состоит из трех множеств:
элементов, опрераций над ними, аксиом.
Элементы:
 исполнительные;
 информационные;
 управляющие
В логических схемах сигналы могут представляться
бинарными символами {0,1} или логическими
значениями { Истина (True), Ложь (False)}.
Операции
Операция
Название
Обозначение
(AND)
Логическое
.
умножение –

конъюнкция
(OR)
Логическое
+
сложение –

Дизъюнкция
(NOT)
Логическая
‘
инверсия –

инверсия
Следование 
импликация
Аксиомы
X Y
0
0
1
1
0
1
0
1
XY
XY
X
XY
Конъюнкция Дизъюнкция Инверсия Импликция
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
Законы алгебры логики
1. Законы однопарных элементов:
а)универсального множества
x  1= 1
x1=x
б)нулевого множества
x0=x
x0=0
2. Законы отрицания:
а) двойного отрицания:
б) дополнительности
x  x 1
xx 0
Представление функций алгебры логики
Булевой (переключательной, двоичной) функцией
называется двоичная переменная y , значение которой
зависит от значений других двоичных переменных (х1,
х2,…хn), именуемых аргументами:
y = y (x1. x2, …,xn)
Задание функции означает, что каждому из возможных
сочетаний аргументов поставлено в соответствие
определенное значение y .
При n аргументах общее число сочетаний N=2n. Так
как каждому сочетанию аргументов соответствует два
значения функции (0,1), то общее число функций
F=2N.
Булева функция может быть задана на словах,
таблично, алгебраически.
Операцию замены одной функции другими функциями
называют суперпозицией.
Эта операция позволяет с помощью функций малых
аргументов получить функции большего числа
аргументов.
Имеется 16 функций двух аргументов.
На практике используют не все функции, а лишь те из
них, которые методом суперпозиции можно
представить любую другую функцию.
Набор таких функций называют функциональнополным набором (ФПН).
Основным ФПН называют набор из функций
дизъюнкция, конъюнкция, инверсия.
.
Вычислительные схемы
Одноразрядный двоичный сумматор
Логическая схема двоичного сумматора
x1
0
0
1
1
x2
0
1
0
1
S
0
1
1
0
P
0
0
0
1
Задача
Закон нарушили двое из четырех граждан: A, B, C, D.
Найдите, кто нарушил закон, если известно, что:
1)Если нарушил D или не нарушил C, то нарушил А
и не нарушил В
2)Если не нарушил В или нарушил А, то не нарушил С
и не нарушил D.
Для решения задачи:
1. Введите переменные, которые являются значениями
базовых утверждений задачи.
Пример (х1 – закон нарушил гражданин А)
2. Запишите логические выражения, соответствующие
условиям 1) и 2) задачи.
3. Составьте таблицу истинности для логических
утверждений, найденных в п. 2