1. Основные определения математической статистики: выборка, объем выборки,... выборки, выборочное пространство, вариационный ряд, ... Список вопросов по курсу

Список вопросов по курсу
«Математическая статистика».
1. Основные определения математической статистики: выборка, объем выборки, реализация
выборки, выборочное пространство, вариационный ряд, порядковые статистики,
эмпирическая функция распределения и её свойства (теоремы о сходимости).
2. Задача точечного оценивания неизвестных величин: параметров, вероятностей и
моментов. Понятие статистики и оценки, свойства оценок: несмещенность и
состоятельность. Сравнение оценок на основе дисперсий, понятие об оптимальной оценке,
утверждение о единственности оптимальной несмещенной оценки (без доказательства).
Обобщение критерия сравнения оценок на основе дисперсий с использованием
среднеквадратичного отклонения, функции потерь и функции условного риска.
3. Понятие состоятельной оценки и предельные теоремы, используемые для доказательства
состоятельности оценок (теорема Бернулли, теорема Хинчина, неравенство Чебышева и
закон больших чисел в форме Чебышева). Утверждение о состоятельности несмещенной
оценки с убывающей дисперсией.
4. Задача точечного оценивания вероятности события, построение оценки и свойства оценки.
Задача точечного оценивания значений функции распределения, построение оценки и
свойства оценки.
5. Задача точечного оценивания математического ожидания и дисперсии. Понятие о
выборочном среднем, выборочной дисперсии и исправленной выборочной.
Несмещенность и состоятельность выборочного среднего, выборочной дисперсии и
исправленной выборочной дисперсии (без вывода формулы дисперсии выборочной
дисперсии).
6. Точечное оценивание старших моментов: выборочные моменты и их свойства
несмещенности и состоятельности.
7. Постановка задачи точечной линейной оценки среднего при разноточных измерениях.
Метод построения линейной оценки с минимальной дисперсией и свойства
коэффициентов.
8. Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Условия регулярности и
свойства функции правдоподобия и функции вклада в условиях регулярности. Теорема о
неравенстве Рао-Крамера.
9. Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Условия регулярности,
формулировка теоремы о неравенстве Рао-Крамера (без доказательства) и следствие из
теоремы о неравенстве Рао-Крамера.
10. Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Условия регулярности и
формулировка теоремы о неравенстве Рао-Крамера (без доказательства). Обобщение
неравенства Рао-Крамера для векторных оценок. Неравенства для отдельных компонент
вектора оценки.
11. Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Свойства информации
Фишера в условиях регулярности (вычисление с помощью второй производной,
аддитивность в условиях независимости, информация Фишера для выборки). Замечание о
характере убывании дисперсии несмещенной оценки построенной по выборке.
12. Понятие эффективной оценки. Утверждение о функции правдоподобия и эффективной
оценке. Линейное преобразование эффективной оценки.
13. Понятие достаточной статистики и теорема о критерии факторизации. Два следствия из
теоремы о критерии факторизации.
14. Теорема об улучшении несмещенных оценок с помощью достаточных статистик (теорема
Блекуэлла). Утверждение об оптимальной несмещенной оценке и достаточной статистики.
15. Метод моментов построения точечных оценок, свойства моментных оценок.
16. Метод максимального правдоподобия построения точечных оценок. Утверждения о связи
между МП-оценками, эффективными оценками и достаточными статистиками.
1
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Асимптотическая нормальность и асимптотическая эффективность, теорема об
асимптотических свойствах МП-оценок (без доказательства).
Понятие порядковой статистики, функция распределения (с выводом) и функция
плотности вероятности (без вывода) порядковой статистики. Понятие квантили и
выборочной квантили, теорема Крамера об асимптотической нормальности выборочных
квантилей. Метод построения оценок с помощью выборочных квантилей и свойства
получаемых оценок.
Понятие доверительного интервала, верхней и нижней доверительных границ. Понятие
центральной статистики и общий метод построения доверительных интервалов с помощью
центральной статистики. Метод построения центральной статистики.
Построение наикратчайшего доверительного интервала для математического ожидания
нормального распределения с известной дисперсией.
Распределение хи-квадрат и построение доверительных интервалов для дисперсии и
среднеквадратичного
отклонения
нормального
распределения
с
известным
математическим ожиданием.
Теорема Фишера о выборочном среднем и исправленной выборочной дисперсии.
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с
неизвестной дисперсией.
Построение доверительных интервалов с использованием асимптотической нормальности.
Построение доверительного интервала для вероятности события.
Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции двумерного
нормального распределения с неизвестными математическими ожиданиями и
дисперсиями.
Основные определения в задаче проверки гипотезы: статистическая гипотеза,
статистический критерий, основная гипотеза, простая и сложная гипотеза, статистика
критерия, критическая область, уровень значимости. Метод проверки гипотезы о
вероятности выпадения герба в серии испытаний с монетой.
Основные определения в задаче проверки гипотезы: альтернативное распределение и
альтернативная гипотеза, функция мощности и сравнение критериев. Несмещенные и
состоятельные критерии. Метод проверки гипотезы о вероятности выпадения герба в
серии испытаний с монетой.
Постановка задачи проверки простой гипотезы о вероятностях и критерий хи-квадрат.
Утверждение о неограниченности по вероятности статистики критерия хи-квадрат при
условии, что основная гипотеза не верна.
Постановка задачи проверки простой гипотезы о вероятностях и критерий хи-квадрат.
Теорема Пирсона об асимптотическом распределение статистики критерия хи-квадрат при
условии, что основная гипотеза верна (без доказательства). Состоятельность критерия хиквадрат. Нецентральное распределение хи-квадрат и асимптотическое распределение
статистики критерия хи-квадрат при условии, что основная гипотеза не верна. Условие
применимости на практике.
Постановка задачи проверки простой гипотезы о вероятностях. Применение критерия хиквадрат к задаче проверке гипотезы о распределении полностью известном.
Постановка задачи проверки сложной гипотезы о вероятностях и критерий хи-квадрат.
Теоремы Фишера об асимптотическом распределении статистики критерия хи-квадрат.
Применение критерия хи-квадрат к задаче проверки гипотезы о распределении с
неизвестным параметром.
Постановка задачи проверки гипотезы о независимости признаков и применение критерия
хи-квадрат.
Постановка задачи проверки гипотезы об однородности и критерий проверки: статистика
критерия и критическая область (задача никак не связана с критерием хи-квадрат).
2
32. Постановка задачи проверки гипотезы о распределении полностью известном и критерий
согласия Колмогорова (без доказательства утверждения о неограниченности по
вероятности статистики критерия).
33. Постановка задачи проверки гипотезы об однородности и критерий КолмогороваСмирнова.
34. Постановка задачи проверки гипотезы о равенстве дисперсий нормальных распределений
и критерий Фишера.
35. Постановка задачи проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий нормальных
распределений с одинаковой дисперсией и критерий Стьюдента.
36. Постановка задачи однофакторного дисперсионного анализа и критерий проверки (с
выводом).
37. Задача проверки параметрических гипотез, статистический критерий и вероятности
ошибок первого и второго рода. Понятие о равномерно наиболее мощном критерии.
38. Постановка задачи различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и
второго рода, понятие минимаксного критерия. Понятие критерия отношения
вероятностей и часть теоремы о построении минимаксного критерия как критерия
отношения вероятностей.
39. Постановка задачи различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и
второго рода, понятие байесовского критерия. Понятие критерия отношения вероятностей
и часть теоремы о построении байесовского критерия как критерия отношения
вероятностей.
40. Постановка задачи различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и
второго рода. Понятие критерия отношения вероятностей, утверждение о свойстве
критерия отношения вероятностей по отношению к другим критериям, утверждение о
свойствах функций вероятностей ошибок первого и второго родов.
41. Постановка задачи различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и
второго рода. Понятие критерия отношения вероятностей и часть теоремы о построении
наиболее мощного критерия как критерия отношения вероятностей.
42. Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательных
критериях, вероятности ошибок первого и второго родов и случайная величина количества
шагов до остановки.
43. Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательном
критерии отношения вероятностей. Утверждение о неравенствах для границ
последовательного критерия отношения вероятностей.
44. Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательном
критерии отношения вероятностей. «Приближенный» критерий отношения вероятностей
для заданных вероятностей ошибок, неравенства для вероятностей ошибок
«приближенного» критерия отношения вероятностей.
45. Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательном
критерии отношения вероятностей. Утверждение об остановке последовательного
критерия отношения вероятностей и следствие из него. Тождество Вальда и
приближенный метод расчета среднего количества шагов до остановки «приближенного»
последовательного критерия отношения вероятностей.
46. Теоретическая и практическая задачи регрессионного анализа. Постановка задачи
линейной регрессии, оценка по методу наименьших квадратов и утверждение о решении
нормального уравнения (без доказательства).
47. Постановка задачи линейной регрессии с дополнительным предположением об остатках и
теорема о свойствах оценки по методу наименьших квадратов.
48. Постановка задачи линейной регрессии с дополнительным предположением об остатках и
оценка остаточной дисперсии. Понятия
коэффициента детерминации и
скорректированного коэффициента детерминации.
3
49. Постановка задачи нормальной линейной регрессии, связь между оценкой по методу
наименьших квадратов и оценкой максимального правдоподобия. Теорема о
распределениях оценки по методу наименьших квадратов, величины среднеквадратичного
отклонения и величины разности среднеквадратичных отклонений (без доказательства).
50. Постановка задачи нормальной линейной регрессии, теорема о распределениях оценки по
методу наименьших квадратов, величины среднеквадратичного отклонения и величины
разности
среднеквадратичных
отклонений
(без
доказательства).
Построение
доверительных интервалов для компонент оценки по методу наименьших квадратов и
остаточной дисперсии, построение доверительной области для оценки по методу
наименьших квадратов и проверка гипотезы об отсутствии зависимости.
51. Методы получения случайных величин: с равномерным распределением, бинарной, с
распределением Бернулли, с нормальным распределением. Метод получения векторных
случайных величин с
нормальным распределением. Метод получения случайной
величины с заданной функцией распределения.
52. Применение метода Монте-Карло в задаче приближенного вычисления числа  и в задаче
приближенного вычисления характеристик сложной случайной величины. Точность
методов Монте-Карло.
53. Применение метода Монте-Карло в задачах приближенного вычисления определенного
интеграла (два способа) и несобственного интеграла. Сравнение метода Монте-Карло с
квадратурными методами. Точность методов Монте-Карло.
4