АЛГОРИТМ ПОИСКА ПРОСТОГО ЧИСЛА
advertisement
Трухин С.Л. АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОРЯДКОВОГО НОМЕРА ПРОСТОГО ЧИСЛА ПО ЗНАЧЕНИЮ ЭТОГО ПРОСТОГО ЧИСЛА И ПОИСК ПРОСТОГО ЧИСЛА ПО ЕГО НОМЕРУ Вступление. Предлагаемый алгоритм очень прост, он прост по своей структуре и основан на простой идее. Для его доказательства используется элементарный математический аппарат и для освоения и практического использования алгоритма не требуется каких-либо специальных математических знаний, выходящих за рамки обычного школьного курса. Задачи, которые, так или иначе, затрагиваются алгоритмом, учитывая историю математики, нельзя отнести к разряду простых. И, тем не менее, оказывается, можно получить очень интересные результаты в этом направлении весьма простым способом. Кстати, алгоритм может добавить хлопот соревнующимся в поиске самых больших значений простых чисел, потому, что отныне организаторы подобных соревнований могут добавить требование указывать порядковые номера найденных простых чисел. Предупреждая дискомфортные ощущения, которые могут возникнуть у продвинутых в математическом плане читателей, спешу сообщить, что я – не научный сотрудник, не математик и даже не отношу себя к любителям математики (поэтому некоторые из моих высказываний могут быть легкомысленными и ими можно пренебречь). Но так случилось, что на протяжении ряда лет любителем одной единственной математической головоломки я, все же, был. И в эту проблему, пленником которой я стал, превратился, со временем, алгоритм собственного изобретения. Впрочем, к нему я периодически охладевал, затем вновь возвращался, и, таким образом, у меня всегда в запасе было, в дополнение к другим моим увлечениям и развлечениям, еще одно очень интересное занятие. А началось все так – однажды у меня появилась одна очень интересная идея (не связанная с простыми числами). Но, поскольку, просчитать ее теоретически я не мог, а построение экспериментальной модели требовало существенных материальных затрат, у меня возникли сомнения – а стоит ли мне вообще, в принципе, заниматься подобными вещами, способен ли я решить какую-либо 1 неординарную задачу? И я решил протестировать самого себя на предмет сообразительности, а тестом избрал формулу простого числа (всего лишь!). Отрицательный результат позволил бы мне расценивать в будущем любые свои необычные идеи, как бесплодные мечтания. Для решения задачи пришлось использовать в качестве инструмента то, чем располагал – еще сохранившиеся некоторые сведения из элементарной математики и начал матанализа. Причем, чтобы не зацикливаться на чужих идеях, а также случайно не впасть в плагиат, я решил решать задачу абсолютно самостоятельно, не заглядывая предварительно ни в какие источники информации о простых числах, кроме таблицы простых чисел. Все, что мне было известно о простых числах до этого, было озвучено когда-то давно, еще в школьные годы, преподавателем нашего местного пединститута на факультативной лекции о простых числах. По-видимому, лекция была очень хорошей и оставила на всю жизнь неизгладимое впечатление. Помнится, очень обидно было, что Ферма постигла неудача, и что до конца жизни ему так и не удалось добиться желаемого результата … Гораздо позже, когда в общих чертах результат изысканий обозначился в виде алгоритма, однажды, скользя по Интернету, я вроде бы наткнулся на информацию (что-то вроде теоремы) о невозможности существования формулы простого числа – точно не берусь утверждать, действительно ли существует такая теорема и доказана ли она. Может быть, речь шла о непрерывности функции зависимости значения числа от его номера. Увидел бы что-то подобное раньше – изучил бы вопрос детальнее и, пожалуй, не взялся бы изобретать «вечный двигатель». Но информация попалась на глаза несвоевременно, точнее, слишком поздно и оказалась просто неактуальной. Ну, а ранее, прежде чем сдаться, удовлетворившись алгоритмом вместо вожделенной формулы, пришлось достаточно долго поупражняться в решении различных головоломок (правильнее было бы сказать «потрудиться», а не «поупражняться», но словом «труд» часто обозначают рутинное и малоприятное занятие по принуждению, в данном же случае рутины было предостаточно, но рутины приятной и исключительно на добровольной основе). Когда алгоритм был сформирован в общих чертах, возник вопрос, а стоит ли вообще фиксировать результат – содержимое будущей статьи по своему характеру явно обещало быть похожим на решение задачи уровня школьной олимпиады. Несколько попыток, правда, не очень усердных, обнаружить в сети что-либо похожее не увенчались успехом. Но, зато оказалось, что многие фрагменты моего доморощенного алгоритма давным-давно придуманы другими людьми (впрочем, странно, если бы было не так). Не могу сказать, что эти новости меня обрадовали или слишком огорчили, но надо признать, легкий налет досады присутствовал. Как коротко прокомментировать мою реакцию? Пожалуй, уместна фраза (которая тоже не мной придумана): «Человеческая жадность безгранична». Утешало то обстоятельство, что, всё же, все эти фрагменты изыскивались разными людьми и в разные времена, а мне посчастливилось повторить их оптом. В первую очередь сказанное относится к «решету» Эратосфена. Мой 2 алгоритм, по сути, отталкивается от этой идеи, можно сказать, основан на ней. Хотя подходы к открытию «решета» у Эратосфена и у меня, скорее всего, были разными. Я, например, натолкнулся на это «решето» «случайно», экспериментируя, однажды, с формулами бегущей волны вдоль числовой оси. С бегущими волнами так ничего и не получилось, но появились разноцветные синусоиды. Эратосфен же, возможно, о синусоидах еще и представления не имел. Далее, Эратосфен отбрасывал составные числа в результате просеивания, сосредотачивая внимание на простых числах, я же, наоборот, фактически исключил из рассмотрения простые числа, сосредоточившись на подсчете составных. Учитывая то, что идея «решета» Эратосфена оказалась единственной дельной идеей из огромного количества экспериментов, у меня даже появился соблазн предположить – а не является ли эта идея для простых чисел фундаментальной? Впрочем, данная гипотеза тоже относится к разряду легкомысленных, но если вдруг когда-нибудь она подтвердится, то, безусловно, ее можно будет назвать дальновидной. Кроме выше описанного грандиозного эпизода имели место и другие повторные «открытия». Например, интервал с его особенными свойствами, который для удобства изложения я назвал «опорным» (наверное, по аналогии с опорным трезвучием), равенство единице суммы знакопеременных биномиальных коэффициентов, способ формирования всех возможных сочетаний из определенного множества чисел (правда, о последнем не довелось встретить каких-либо упоминаний) и т.п. Догадки, возможно, вовсе и не выдающиеся, чтобы о них писать. Но хочу заметить, что в процессе продвижения к главной цели всегда встречаются маленькие открытия, а маленькие открытия восхищают не меньше, чем большие! От прагматично настроенных людей я несколько раз слышал вопрос, что мною движет, зачем я ищу формулу простого числа, и если я ее найду, то, что из этого? Мне думается, что каждым исследователем движет не только ожидание эффекта от будущего результата, скажем, какая-то практическая его ценность или значимость в плане теории. В большей степени увлекает сам процесс поиска чего-то нового и неисследованного. Похоже, так же, как и в музыке, людей пленяет всякая гармония, в том числе и гармония, несомненно, присутствующая в волшебной последовательности простых чисел. Гармонией пронизан весь мир, в котором мы живем. Но, пока не установлены закономерности, гармония неизъяснима, и это не дает покоя. Повторюсь, не будучи математиком, я долго не мог заставить себя оформить свои соображения в виде статьи, предназначенной для публикации, считая, что несколько неприлично с моей стороны пытаться привлечь к полученным результатам внимание людей, знающих предмет. Но что же делать, если внимания людей, не знающих предмета, привлечь к подобным вещам вообще невозможно? И я решил, если и не заявлять о своем алгоритме публично, то, поначалу, хотя бы зафиксировать его на каком-нибудь носителе, на всякий случай. Потом, рассудив о том, что качество содержимого статьи не соответствует уровню научного журнала, я принял решение поместить статью на сайт в Интернете. Допускаю, что описываемый 3 алгоритм давно известен, либо существуют более изящные решения этой задачи. Если, все же, статья представляет интерес, то хотелось бы надеяться на снисхождение со стороны специалистов к стилю изложения материала и, возможно, недостаточно строгим, с математической точки зрения, доказательствам. Это не сказывается на достоверности окончательных выводов и результатов, а доказательствам, в случае необходимости, я уверен, можно придать более строгую форму – мне просто не хватает квалификации и терпения. Как я уже говорил, для прочтения статьи достаточно знаний элементарной алгебры, чуть-чуть комбинаторики и арифметики. Это обстоятельство позволило адресовать статью широкому кругу читателей, включая школьников, поэтому, многие фрагменты алгоритма и доказательств объясняются, возможно, излишне подробно. В некоторых ранних версиях Windows и Microsoft Office, для правильного отображения формул, возможно, понадобится активировать Редактор формул. Для этого в Microsoft Word достаточно найти в меню «Добавить или удалить кнопки» значок редактора – и перетащить его на панель задач. Завершая вступление, хотелось бы поддержать дилетантовэнтузиастов, подобных мне. Несомненно, прежде пытаться заниматься научными исследованиями, следует вооружиться хорошими теоретическими знаниями, стать специалистом. Но, «специалист» – тоже понятие относительное. Поэтому, иногда следует, преодолев застенчивость и робость, решиться сделать «запретный» шаг в неизвестное… Описание алгоритма. §1. Используемые термины и обозначения. Считаем простыми числами все целые числа, принадлежащие последовательности натуральных чисел, которые делятся нацело, без дробного остатка, только на самих себя и на 1. Причем, число 1 не относим к простым числам. Числа, которые делятся без остатка не только на самих себя и 1, но и на некоторые другие числа из последовательности натуральных чисел, считаем составными. P Последовательность простых чисел будем обозначать i, где i=1,2,3,…, – порядковый номер простого числа. Известное простое число, неизвестный порядковый номер n которого P требуется найти, обозначим n, где n может принимать значения 1,2,3,…, . И в обратной задаче, так же будем обозначать неизвестное 4 P простое число n, искомое по заданному порядковому номеру n, где n=1,2,3,…, . Под закрытым интервалом понимаем отрезок на числовой оси от числа a до числа b, включая сами числа a и b, и обозначаем [a;b]. Под полуоткрытым интервалом понимаем отрезок на числовой оси от числа a до числа b: - включая число a и не включая числа b, обозначаем [a;b); - не включая числа a и включая число b, обозначаем (a;b]. Под открытым интервалом понимаем отрезок на числовой оси от числа a до числа b, не включая сами числа a и b, и обозначаем (a;b). Целую часть любого дробного положительного числа обозначим R . Остальные символы и обозначения, в основном, являются общепринятыми во многих математических справочных и учебных пособиях. По мере изложения материала иногда появлялась необходимость введения небольшого количества новых специфичных терминов и обозначений, назначение которых трудно объяснить в лаконичной форме в начале статьи. §2. Справочная таблица простых чисел. Приведем таблицу первых ста простых чисел, взятую из справочника. Для удобства пользования ею в дальнейшем, укажем подстрочным индексом порядковый номер каждого простого числа в последовательности простых чисел. 115 3712 6719 10126 13733 17340 21147 25154 28361 33768 37975 42182 46189 50396 136 4113 7120 10327 13934 17941 22348 25755 29362 34769 38376 43183 46390 50997 177 4314 7321 10728 14935 18142 22749 26356 30763 34970 38977 43384 46791 52198 21 198 4715 7922 10929 15136 19143 22950 26957 31164 35371 39778 43985 47992 52399 32 239 5316 8323 11330 15737 19344 23351 27158 31365 35972 40179 44386 48793 541100 53 2910 5917 8924 12731 16338 19745 23952 27759 31766 36773 40980 44987 49194 5 74 3111 6118 9725 13132 16739 19946 24153 28160 33167 37374 41981 45788 49995 §3. Задачи, решаемые с помощью алгоритма. Алгоритм позволяет: 1. Определить порядковый номер любого простого числа, если заранее известно или доказано, что число является таковым. 2. Исследовать любое, произвольно выбранное, натуральное число, на предмет его принадлежности к простым либо составным числам. Если же исследуемое число оказывается составным, то алгоритм указывает номер наибольшего по величине простого числа в интервале от 2 до исследуемого числа и, впоследствии, позволяет выделить это простое число. 3. С помощью обоснованного прогноза и методом последовательного приближения, алгоритм и следствия, вытекающие из него, позволяют найти число, принадлежащее последовательности простых чисел, с любым произвольно заданным порядковым номером. §4. Введение, или сущность метода, на котором базируется алгоритм. Целесообразно при описании алгоритма придерживаться порядка, обозначенного в предыдущем параграфе. Можно было бы выстроить статью в виде последовательности лемм и теорем, т.е. в виде формул, алгебраических выражений и соответствующих доказательств. Но выбор такой формы создал бы трудности, как для изложения материала, так и для его восприятия. Думаю, если начать с описания частного случая на числовых примерах, это облегчит знакомство с алгоритмом, по крайней мере, на начальном этапе. Кроме того, такая форма введения отразит тот истинный путь, продвижение по которому и позволило, в конечном итоге, сформулировать алгоритм. Настоящий параграф посвящен подробному описанию первой задачи, обозначенной в §3. Итак, требуется определить порядковый номер произвольно выбранного простого числа. Для иллюстрации выберем в таблице простых чисел число 101 и определим его номер, руководствуясь определенными соображениями. Какова основная идея? Последовательность натуральных чисел от 1 до 101 состоит из некоторого количества простых и некоторого количества составных чисел, плюс число 1 (не будем приводить доказательство или ссылаться на доказательство этого утверждения, как не будем останавливаться на доказательствах многих, уже доказанных утверждений, ставших очевидными). Общее же количество всех простых и составных чисел на отрезке [1;101] равно 100 (ведь натуральное число 1 не относится ни к составным числам, ни к простым). Если удастся найти количество составных чисел в интервале [2;101] и вычесть это число из 6 общего количества натуральных чисел на указанном интервале, т.е. из 100, то получим некое число, равное количеству простых чисел в указанном интервале. Вот это некое число как раз и совпадает с номером самого большого по величине простого числа, стоящего на последнем месте в последовательности простых чисел на промежутке от 2 до 101, т.е. с порядковым номером простого числа 101. Как выделить составные числа? Можно воспользоваться «решетом» Эратосфена. В общих чертах метод Эратосфена выглядит следующим образом (в силу простоты принципа я не буду сопровождать изложение чертежами, это легко сделать самостоятельно). Изобразим числовую ось и уделим особое внимание первому простому числу 2. Пометим все числа, кратные двум, кроме самого числа 2 (можно зачеркнуть их, отметить маркером, «крестиками» и т.д.). Эту операцию очень удобно выполнить, например, с помощью циркуля или измерителя, предварительно раздвинув его ножки на ширину, равную длине отрезка от 0 до 2. После этого «просеивания» ближайшим к двойке «уцелевшим» числом оказывается второе по порядку простое число 3. Тем же способом отмечаем все числа на числовой оси, кратные трем, не трогая самого числа 3. После этой операции ближайшим к числу 3 не зачеркнутым оказывается третье простое число 5, после него 7 и т.д. Постепенно зачеркиваются все составные числа и остаются не зачеркнутыми простые, которые можно свести в таблицу и, пересчитав по порядку, присвоить порядковые номера. Можно также пересчитать количество «крестиков» на выбранном интервале и определить количество составных чисел. Просто и наглядно, и нет необходимости производить какие-либо вычисления. Единственный недостаток – нужен очень «длинный» чертеж, если, к примеру, захочется найти простое число с номером 1000000. Воспользуемся «решетом», немного изменив способ маркировки составных чисел, пользуясь не измерителем, а «запуская» в качестве маркера вдоль оси от нуля синусоиды (разноцветные для наглядности) с полупериодами, равными простым числам (см. ниже рис.1). Выбрав любую из синусоид, отметим, что в первой после нуля точке пересечения синусоиды с числовой осью находится простое число, в последующих точках пересечения находятся составные числа, кратные этому простому числу. Простые числа по всей числовой оси выделены черным цветом, составные числа помечаются разноцветными точками – красными, зелеными и синими. Составные числа, отмеченные точками, через которые синусоиды проходят единожды, выделены красным цветом. Но среди точек, обозначающих составные числа, встречаются и такие, через которые проходят две синусоиды (точки выделены зеленым цветом), три синусоиды (синий цвет) и т.д., то есть несколько синусоид. Отмечаем это обстоятельство особо, мы к нему вернемся. Прежде чем провести несложные подсчеты, позволю себе сделать одно важное отступление, содержание которого многим известно, тем не менее, думаю, не всем. 7 Рис.1 8 4.1. Введение понятия опорного интервала. Рассмотрим в качестве примера число 96 и представим его в виде произведения только двух сомножителей. Хочу обратить особое внимание на случай, когда оба сомножителя равны друг другу, т.е. 96= 96 96 . 96 равна приблизительно 9,8 , т.е. 96 9,8 9,8. Понятно, что если уменьшить незначительно первый сомножитель по сравнению с 96 , Величина сохраняя неизменным результат произведения, второй сомножитель автоматически увеличится по сравнению с числом 9,8. Например, 96=9,6 10 или 96 9,5 10,1. Если попытаться представить любое натуральное число в виде произведения только двух целых сомножителей, то, что касается простых чисел – их разложить на целые сомножители невозможно (напомню, что умножение на единицу нас не интересует). А вот составное число – обязательно можно, часто даже несколькими способами. В рассматриваемом примере число 96 составное (легко заметить, что оно четное, да еще и делится на 3) и, если попытаться представить его в виде произведения только двух целых чисел, то, понятно, что один из двух целых сомножителей непременно будет меньше 96 9,8 , а второй – обязательно больше этой величины. Если мы будем уменьшать величину первого сомножителя по отношению к числу 96 последовательно до целых значений 8, 6, 4, 3, 2, принадлежащих интервалу [2; 96 ],то увидим, что значение второго целого сомножителя будет возрастать по сравнению с фиксированным значением 96 соответственно до значений 12, 16, 24, 32, 48, входящих в интервал [ 96 ;96]. Следовательно, для того, чтобы убедиться в том, что число 96 принадлежит к составным числам, вполне достаточно обнаружить хотя бы один целый делитель, на который число 96 делится без остатка, в сравнительно небольшом интервале [2; 96 ], и совсем необязательно (это будет нерационально!) искать подобный делитель на гораздо более протяженном отрезке [ 96 ;96]. То есть, если нет делителя в интервале [2; 96 ], то его нет и в интервале [ 96 ;96]! Но, если число 96 делится нацело на составное число 8, принадлежащее интервалу [2; 96 ], то оно обязательно делится без остатка и на простое число 2, которое является простым делителем для составного числа 8, которое еще меньше, чем 8 (вспомним «решето» Эратосфена), и которое также принадлежит интервалу [2; 96 ]. Или, если число 96 делится нацело на составное число 6, то оно обязательно делится без остатка на простые 9 числа – либо на 2, либо на 3, (они также являются простыми делителями для числа 6, также меньше, чем 6 и также принадлежат интервалу [2; 96 ]). Встречаются составные числа, равные квадрату простого числа, например 49=7 7 или 121=11 11, для них справедливы равенства 7= 49 и 11= 121 , т.е. для чисел 49 и 121 имеется всего лишь один делитель. Но и в этом случае этот делитель содержится в пределах интервала [2; 49 ], либо [2; 121 ]. Значит, можно более жестко обозначить признак принадлежности числа c к составным числам: необходимо и достаточно найти хотя бы одно простое число в интервале [2; с ], на которое число c делилось бы без остатка. Если же на указанном интервале нет ни одного простого числа, на которое число c делится без остатка, то в таком случае и само число c является простым числом. В дальнейшем, для краткости, будем называть интервал вида [2; с ] «опорным интервалом». 4.2. Подсчет составных чисел с помощью синусоид. Перейдем к подсчету составных чисел в интервале [2;101]. Сначала выделим опорный интервал, заведомо включающий в свои границы все простые числа, которые образуют минимально необходимый набор множителей для образования абсолютно всех составных чисел, входящих в интервал [2;101]. Таковым является интервал [2; 101 ] (на рис.1 участок числовой оси, 101 10,05, выделен оранжевым цветом). Из таблицы простых чисел следует, что простыми числами, меньшими величины 101 , являются соответственно числа 2, 3, 5 и 7. Повторюсь, каждому числу, меньшему, чем 101, соответствует, конечно, меньший опорный интервал. Но соответствующий каждый из этих опорных интервалов заведомо находится в пределах интервала [2;10,05] и поэтому не может содержать каких-либо других простых чисел, не принадлежащих набору простых чисел 2, 3, 5 и 7. Количество составных чисел, кратных 2, равно 101 -1= 50-1= 49. 1= 2 Оно равно количеству пересечений синусоиды красного цвета с числовой осью за минусом пересечения на цифре 2, обозначающей простое число 2. Для удобства присвоим этой синусоиде имя «2». Количества чисел, кратных числам 3, 5 и 7, равны соответственно числам синусоида «3»), 101 3 = 5 -1=19 10 (фиолетовая 101 -1=32 (серая 2= 3 синусоида «5») и 101 4 = 7 -1=13 (желтая синусоида «7»). Для подсчета количества составных чисел можно было бы удовлетвориться суммой полученных результатов, равной + + + 49+32+19+13=113, если бы не одно, отмеченное нами ранее особо, обстоятельство. На цифре 6, например, пересекаются одновременно две синусоиды. Следовательно, число 6 сосчитано дважды – с помощью синусоид «2» и «3», т.е. при делении числа 101 и на 2, и на 3. Подобная картина двойного подсчета наблюдается в точках, обозначающих числа 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21 и т.д. Если 1 2 3 4= игнорировать этот факт, то в сумме 2+ 3+ 4 дважды будут 1+ сосчитаны некоторые из составных чисел, а именно – те, через которые проходят одновременно две синусоиды. Повторюсь, что существуют точки, через которые проходят одновременно даже не две, а три синусоиды ( 30, 42, 60, 70, 84, 90), в них составные числа просчитываются трижды. А если бы мы в качестве примера выбрали число, гораздо большее, чем 101, то могли бы наблюдать одновременное пересечение в одной точке на числовой оси и четырех, и пяти, и шести и т.д. синусоид. Как уйти от многократного подсчета одних и тех же составных чисел? Для начала компенсируем двойной подсчет. Для этого рассортируем точки на два вида. Итак, красным цветом обозначены точки, через которые проходит только одна синусоида и которые сосчитаны по одному разу – это один вид точек. Через точки зеленого и синего цвета проходят минимум две синусоиды, и они сосчитаны минимум дважды – это второй вид точек. Пересчитаем количество точек второго вида, а полученный результат вычтем из числа 113. Для подсчета воспользуемся методом Эратосфена и изобразим рис.2, сохранив расцветку точек с числами такую же, как на рис.1. Цвета точек для нас важны, а вот расцветка синусоид не имеет значения, она используются лишь для удобства, чтобы легче было различать разные синусоиды и не путаться в них. На рис.2 будем проводить линии новых синусоид с полупериодами, теперь уже равными числам, имеющим зеленый цвет. Чем же примечательны эти числа? Начнем с числа 6=2 3. Как видим, оно кратно сразу двум простым числам, 2 и 3. Поэтому синусоида с полупериодом, равным 6, отмечает все числа, кратные одновременно двум числам 2 и 3: 6, 12, 18, 24, 30,…, 96. Общее количество таких точек в интервале [2;101] равно: 101 = 2 3 = 16 1 (синусоида «2.3»). Заметим, теперь нет необходимости из результата деления вычитать единицу, ведь число 6 – первая точка пересечения синусоиды «2.3» с осью – тоже составное число и оно должно учитываться при подсчете. После первичного «просеивания» 11 Рис.2 12 оказывается, что ближайшим к 6 «уцелевшим» зеленым числом является число 10=2 5. Синусоида «2.5» с полупериодом, равным 10, отмечает все числа, кратные одновременно двум числам 2 и 5: 10, 20, 30, 40, 50, 60,…, 100. Общее количество таких точек в интервале [2;101] равно: 101 = 2 5 =10. Далее по порядку, вслед за 6 и 10, такими же числами, 2 уцелевшими после очередного «просеивания», оказываются 14=2 7, 15=3 5, 21=3 7 и 35=5 7. Причем, 101 = 3 7 =4 и 5 101 = =7, 3 2 7 101 = 3 5 =6, 4 101 = 5 7 =2. Теперь мы можем сосчитать количество 6 точек двойного подсчета, которое равно сумме полученных результатов, а именно: + + + + + 1 2 3 4 5 6 =16+10+7+6+4+2=45. Что же, количество составных чисел равно 113-45=68? И вновь ответ – нет. Вспомним, что в синих точках рис.1 имел место тройной подсчет, а мы его пока и не брались компенсировать. Следовательно, в результате 113-45=68 пока присутствует ошибка – не учтен тройной подсчет одних и тех же составных чисел. Более того, в каждой из этих же синих точек, только уже на рис.2, пересекаются по три «компенсационные» синусоиды, что явно сулит необходимость новой компенсации, причем теперь уже придется компенсировать результат предыдущей компенсации двойного подсчета, т.е. вносить поправку в число 45. Примечательно, что потребность в новых компенсациях возникает в тех же самых синих точках на рис.1 и рис.2. Однако и эти ошибки устраняются аналогичным способом. Компенсируем тройной подсчет. На рис.3 с помощью метода Эратосфена можно провести только три синусоиды, имеющие полупериоды, равные синим числам соответственно 30=2 3 5, 42=2 3 7 и 70=2 5 7 (синусоиды «2.3.5», «2.3.7»и «2.5.7»). В чем же особенность точек 30(60, 90), 42(84) и 70, которые были окрашены в синий цвет еще на рис.1? Поскольку на рис.1 через них проходили сразу три синусоиды, они являлись точками тройного подсчета, т.е. в них трижды учитывалось одно и то же составное число. Следовательно, корректировать подсчет в этих точках необходимо не на один раз лишнего подсчета, как в зеленых точках, а на два лишних раза. И все было бы замечательно, если бы на рис.2 в синих точках собирались бы по две «компенсационные» синусоиды – тогда бы число 45 в результате 113-45=68 действительно было бы истинным числом компенсации лишних подсчетов одних и тех же составных чисел. 13 Рис.3 14 Но, на рис.2 через эти же самые синие точки прошли не две, а три «компенсационные» синусоиды. Компенсация в синих точках получилась чрезмерной, с излишком на один раз. Обратите внимание, все синие числа на рис.1 просчитываются по три раза, и на рис.2 они же просчитываются опять по три раза. Т.е. в результате 113-45=68 синие точки вообще не учтены! Зато на рис.3 новые синусоиды, относящиеся к следующему этапу компенсации, пересекают синие числа каждая сама по себе – один раз, ни в какой точке синего цвета не пересекаются две (или более) новые компенсационные синусоиды. Т.о., сосчитав синие числа и прибавив это количество к промежуточному результату 113–45=68, мы избавляемся от чрезмерной компенсации в синих точках, имевшей место на предыдущем этапе компенсации, и, наконец-то, получаем желанный ответ. Подсчитываем синие числа уже 101 = 2 3 7 =2, 2 привычным 101 = 2 5 7 =1, 3 для нас способом: + + 1 2 3 101 = 2 3 5 =3, 1 =3+2+1=6. Количество составных чисел в интервале [2;101] равно: 113-45+6=74. Следовательно, количество простых чисел на указанном интервале равно 100-74=26, это означает, что простое число 101 имеет номер 26, что и подтверждается таблицей простых чисел. Естественны сомнения в универсальности и точности столь «запутанного», на первый взгляд, предлагаемого метода (оказывается, иногда совсем непросто сосчитать до трех!). Т.е. полученный результат может быть простым совпадением, и нет гарантии, что в дальнейшем, в некоторых частных случаях, при больших значениях простых чисел и больших количествах синусоид, мы не ошибемся в подсчетах количества составных чисел. До сих пор, в принципе, преследовалась цель иллюстрации метода, с помощью которого нам предстоит вывести алгоритм, для знакомства с ним. Попытаемся доказать безошибочность предлагаемого метода для подсчета количества составных и простых чисел в любом числовом интервале. §5. Доказательство точности предлагаемого метода подсчета. Вернемся к компенсации двойного подсчета. Как было показано, общее число первой компенсации 45 слагается из чисел, полученных в результате деления числа 101, с последующим отбрасыванием дробной части, на произведения 2 3, 2 5, 2 7, 3 5, 3 7 и 5 7. Т.е. произведения сформированы из элементов множества, состоящего из четырех простых 15 чисел: 2, 3, 5, 7, путем образования всех возможных сочетаний по 2 элемента из 4. Количество же таких сочетаний, как известно, равно: 4! 2 = C 4 2!2! =6. Тем самым определяются общее количество и числовые значения полупериодов всех возможных синусоид на рис.2, использующихся для компенсации двойного подсчета, т.е. на рис.2 всего можно провести шесть разных синусоид. Рассмотрим произведение 2 3. Если добавлять к нему другие сомножители, то образуются числа, кратные числу 6, но сделать это можно по-разному. Используя, к примеру, только те же числа 2 и 3, и, тем самым, формируя произведения вида 2 ... 2 3, 2 3 ... 3 или 2 ... 2 3 ... 3, мы всегда будем «попадать» в точки пересечения только двух синусоид на рис.1 – с полупериодами, равными 2 и 3. И эти же точки на рис.2 будут принадлежать только одной синусоиде с полупериодом, равным 6 (аналогичное утверждение верно и для любой из остальных пар чисел.) Но как только к любому из указанных произведений добавляется третий сомножитель, кратный третьему простому числу, мы сразу попадаем в какую-нибудь точку пересечения трех синусоид на рис.1 и трех же синусоид второго вида на рис.2 в той же самой точке. Почему? И почему не бывает синих точек на числовой оси на рис.2, в которых сходились бы только две, а не три разные синусоиды? Проанализируем этот феномен на примере точки 30. Если разложить указанное число на элементарные сомножители, то выходит, что 30=2 3 5=2 3 5=6 5=2 5 3=10 3=3 5 2=15 2=2 15=3 10=5 6. Из представленной цепочки равенств видно, что точка 30 по праву принадлежит как каждой из трех синусоид первого вида (рис.1, полупериоды 2, 3 и 5), так и каждой из трех синусоид второго вида (рис.2, полупериоды 6, 10 и 15) и иной ситуации представить невозможно. Т.е. число 30 является наименьшим общим кратным не только для трех чисел 2, 3 и 5, но и для трех составных чисел 6, 10 и 15, каждое из которых получено в результате произведения пары простых чисел. Рассматриваемое тройное произведение 30=2 3 5 сформировано из элементов множества, состоящего из трех простых чисел: 2, 3, 5. Количество синусоид, пересекающихся в точке 30 на рис.1, обретается путем образования 3! 1 сочетаний по 1 элементу из 3, количество сочетаний равно: 3 = =3. А 1!2! на рис.2, в той же точке 30 – по 2 элемента из 3, количество сочетаний 3! 2 равно: C 3 = =3. Количество же синусоид, проходящих через точку 30 2!1! на рис.3 равно единице и равно количеству сочетаний по 3 элемента из 3: C 16 3! = 3!0! =1 (0!=1). Итак, я надеюсь, мы ответили на все вопросы, 3 поставленные в предыдущем абзаце. Как формируются полупериоды синусоид третьего вида и общее количество этих синусоид? Используется множество из четырех простых чисел 2, 3, 5, 7, причем используются сочетания по 3 элемента из 4: 2 3 5, 2 3 7, 2 5 7 и 3 5 7. Точки 60=2 2 3 5 и 90=2 3 3 5 лежат на синусоиде «2.3.5», а точка 84=2 2 3 7 принадлежит синусоиде «2.3.7». C 3 4! =4, значит, 3!1! синусоид компенсации тройного счета должно быть четыре, а не три? Правильно! Дело в том, что значение выбранного для иллюстрации простого числа 101 немного меньше числа 3 5 7=105, поэтому метод Эратосфена не потребовал четвертой синусоиды и мы не видим на рис.3 четвертой синусоиды «3.5.7» с полупериодом, равным 105, а вычисляемое количество пересечений этой синусоиды с осью равно в интервале [2;101] 101 = 3 5 7 =0. 4 Но количество сочетаний по 3 элемента из 4 равно 3 C4 = Более того, если бы вместо исследуемого числа 101 было выбрано число, большее чем 2 3 5 7=210 , то на рис.1 все четыре синусоиды сошлись бы в точке 210. И в ней (и далее в точках, кратных числу 210) пришлось бы компенсировать четырехкратный подсчет, на рис.2 в этой точке пересеклись бы все шесть синусоид второго вида, а на рис.3 – все четыре синусоиды третьего вида. Тогда бы пришлось изображать еще один, четвертый рисунок, теперь уже, наверное, с одной единственной синусоидой, с полупериодом, равным 210? Почему же с одной синусоидой? 4! 4 Потому, что = =1. Хотя, опорный интервал [2;10,05] вырос бы до 4 4!0! величины [2;14,53] и тогда на рис.1 следовало бы нанести пятую синусоиду, с полупериодом, равным 11, и шестую синусоиду, с полупериодом, равным 13, а на рис.2… Но, хватит увлекаться рисунками, на которых хитросплетения синусоид, уже имеющихся и дополнительно возникающих, рискуют вызвать путаницу. Предлагаю мысленно «заглянуть» за интервал [2;101] и исследовать точку 210 (которая не изображена ни на одном из рисунков), и, тем самым, начать плавный переход к алгебре. C 17 5.1. Рассуждения, связанные с точкой 210. Чем характерна эта точка? Число 210=2 3 5 7 является составным числом, кратным всем простым числам 2, 3, 5, 7 из интервала [2;10,05]. Поэтому не следует бояться каких-либо возмущений для нее со стороны вновь возникающих синусоид с полупериодами, равными 11 и 13. Любое составное число должно учитываться один раз. Но, число 210 четырежды (вместо одного раза) просчитывается на первом этапе, внося ошибку подсчета +3. Затем, шестикратно просчитывается на втором этапе (т.е. с излишком на три раза, вместо необходимой трехразовой компенсации, компенсируется первая ошибка подсчета), внося новую, вторую ошибку подсчета -3. После, четырежды (вместо необходимых трех раз, т.е. опять с перебором - на единицу!) компенсируется вторая ошибка на третьем этапе подсчетов, создавая третью ошибку подсчета +1 и, наконец, ровно на единицу 210 = 2 3 5 7 =1 компенсируется вся цепь ошибок на четвертом, заключительном этапе. Весь подсчет выглядит так: 4–6+4–1=(1+3)–(3+3)+(3+1)–1=1+(3–3)–(3–3)+(1–1)=1 (подчеркиванием выделены: число избыточных подсчетов 3, и величины избыточных компенсаций 3 и 1), т.е. в итоге точка 210 сосчитана один раз. А почему в результате цепочки рассуждений по устранению ошибок подсчета точки 210 вновь получена именно единица? Может быть, вновь случайное совпадение? Обратим внимание на формулы, с помощью которых выше последовательно вычислялись количества сочетаний по 2, 3 и 4 элемента в пределах множества, состоящего из 4 элементов. Добавим к ним формулу 4! 1 = C 4 1!3! =4, отражающую количество сочетаний по одному элементу из четырех, т.е. по одному простому числу из набора четырех простых чисел 2, 3, 5 и 7 в интервале [2;10,05] . Эта формула вычисляет количество синусоид на рис.1, равное четырем. Совокупность всех этих формул – не что иное, как серия биномиальных коэффициентов, исключая первый коэффициент C 0 4 (который, кстати, всегда равен единице). Тогда всю цепочку подсчета одного составного числа 210 методом «модернизированного решета» Эратосфена можно отразить формулой: 1 2 3 4 4 4 4 4 C -C +C -C 18 =1. Заменив 1 на C 0 4 , получаем: - 0 1 2 3 C C C C C 4+ 4- 4+ 4- 4 4 =0. Верна ли эта формула? Верна. Действительно, присвоив в формуле n бинома (a b) числу a значение 1, а числу b соответственно –1, и взяв бином со знаком «минус», мы и получим указанный выше результат, который можно записать в общем виде: k (1) h1 C k = 0, h h 0 где k – любое, произвольно выбранное натуральное число; C h k= k! для всех h = 0,1,2,3,...,k. h!(k h)! И, как следствие, мы можем записать: k (1) h1 C k 1. h h 1 Если выбрать произвольно любую точку, обозначающую составное число (кратное, например двум, трем, или сразу семи или шестнадцати простым числам, или любому произвольному количеству простых чисел), то, выстроив подобную цепочку рассуждений, мы получим в итоге аналогичные результаты. 5.2. Табличное доказательство точности предлагаемого метода подсчета. Вернемся к числу 101, не забывая о тех результатах, которые мы только что обрели в рассуждениях, относящихся к числу 210. Еще раз подсчитаем количество красных, зеленых и синих чисел в интервале [2;101], на этот раз уже стараясь логически обосновывать последовательно производимые действия, т.е. приведем наши рассуждения в порядок. Для этой цели составим таблицу. Таблица 1 разбита на четыре части по горизонтали, которые отделены друг от друга цветными линиями. Все, что 19 расположено в таблице выше красной линии, касается подсчета количества красных точек, от зеленой линии до красной – используется для подсчета зеленых точек, от синей линии до зеленой – для синих точек. Последняя строка символически указывает на принципиальную возможность существования чисел, кратных числу 210, количество которых в нашем примере равно 0. Итак, общее количество чисел на отрезке [2;101] можно отобразить формулой: C C + z C C C + w C C C C + n = 100, или x C1 + y 1 1 2 2 2 1 2 3 4 4 4 4 4 1 2 3 3 3 3 x + y + z + w + n = 100, где x - соответствует количеству красных точек, y - количеству зеленых точек, а z – синих точек; w - символически обозначает количество точек, кратных числу 210; n - количество простых чисел (черных точек). Таблица 1. 20 Пусть x1 – количество красных точек, «рожденное» синусоидой «2». Если бы мы решили заново изобразить рис.1, то на числовую ось первой была бы нанесена синусоида «2». И в этом случае выполнялось бы соотношение: x1= 101 -1= 49, 1= 2 (смотри табличное значение в координатах «2» и 1 ). Затем наносится синусоида «3», причем она также образует красные точки, количество которых можно было бы отобразить формулой: x2= (ячейка с координатами «3» и 101 -1= 32 2= 3 2 ). Но следует учесть, что у синусоид «2» и «3» тут же появляются общие точки на пересечениях с числовой осью, которые меняют свою красную окраску на зеленый цвет. Их количество определяется синусоидой «2.3»: 101 y1= 1 = 2 3 = 16, (ячейка с координатами «2.3» и 1 ), следовательно, изменяются и величины x1 и x2: x1= 1 – 1 = 49 – 16 = 33, x2= 2 – 1 = 32 – 16 = 16, (смотри столбец 1 ). Далее изображается синусоида «5», которая, если бы была сама по себе, образовала бы количество красных точек, равное: x3= 101 -1= 19 3= 5 21 «5» и 3 ). Но эта синусоида тут же «взаимодействует» с «2» и «3», и на всех трех синусоидах меняет свою (ячейка в координатах окраску на зеленую еще часть красных точек. Их количество определяется ,и и ). синусоидами «2.5» и «3.5» (смотри ячейки с координатами «2.5» и «3.5» и 4 соответственно, смотри также столбцы 2 2 4 Изменяется, также, вид уже найденных формул и появляются новые соотношения: 101 y1= 1 = 2 3 = 16, 101 y2= 2 = 2 5 = 10, 101 y4= 4 = 3 5 = 6; x1= 1 – 1 – 2 = 49 – 16 – 10 = 23, x2= 2 – 1 – 4 = 32 – 16 – 6 = 10, x3= 3 – 2 – 4 = 19 – 10 – 6 = 3. Однако на рисунке появились уже три синусоиды («2», «3» и «5»), следовательно, могут появиться общие точки на числовой оси для всех трех синусоид. Так и есть, часть зеленых точек перекрашивается в синий цвет. Количество синих точек определяется синусоидой «2.3.5» и формулой: 101 z1= 1 = 2 3 5 = 3 (смотри ячейку в координатах «2.3.5» и 1 , а также столбец Следовательно, следует откорректировать формулы для y1, y2 и y4: y1= 1 – 1 = 16 – 3 = 13, y2= 2 – 1 = 10 – 3 = 7, y4= 4 – 1 = 6 – 3 = 3. 22 1 ). Вслед за этими формулами, следует откорректировать выражения для x1, x2 и x3, учитывая вновь полученные количества зеленых точек и количества синих точек для каждой из синусоид «2», «3» и «5»: x1= 1 –( 1 – 1 )–( 2 – 1 )– 1 = 1 – 1 – 2 + 1 = 49 – 16 – 10 + + 3 = 26, x2 = 2 –( 1 – 1 )–( 4 – 1 )– 1 = 2 – 1 – 4 + 1 = 32 – 16 – 6 + + 3 = 13, x3= 3 –( 2 – 1 )–( 4 – 1 )– 1 = 3 – 2 – 4 + 1 = 19 – 10 – 6 + + 3 = 6. Теперь настает черед синусоиды «7». Как только она появляется на рисунке, тут же на числовой оси обнаруживаются новые точки двойных и тройных пересечений синусоид. Если бы «7» была одна на рисунке, то образовала бы 101 x4 = 4 = 7 -1= 13 красных точек. Но она «взаимодействует» с каждой из синусоид «2», «3» и «5» в отдельности, причем механизм взаимодействия аналогичен выше описанному. Взаимодействие с «2» обнаруживается с помощью «2.7» (столбец (столбец (столбец 3 5 6 ), взаимодействие с «3» обнаруживается с помощью «3.7» ), а взаимодействие с «5» обнаруживается с помощью «5.7» ). Кроме того, она может пересекаться с этими синусоидами на числовой оси, образуя группы по три: «2», «3» и «7»; «2», «5» и «7»; «3», «5» и «7». Этот вид взаимодействия обнаруживается с помощью «2.3.7» синусоид (столбец 4 ) (столбец соответственно. 2 ), «2.5.7» Учитывая (столбец 3 сказанное, ) и «3.5.7» перепишем изображенные выше формулы в новом, откорректированном виде и добавим аналогичные, ранее не фигурировавшие формулы, что нетрудно сделать, воспользовавшись таблицей: 101 z1= 1 = 2 3 5 = 3, 23 101 z2= 2 = 2 3 7 = 2, 101 z3= 3 = 2 5 7 = 1, 101 z4= 4 = 3 5 7 = 0. y1= 1 – 1 – 2 = 16 – 3 – 2 = 11, y2= 2 – 1 – 3 = 10 – 3 – 1 = 6, y3= 3 – 2 – 3 = 7 – 2 – 1 = 4, y4= 4 – 1 – 4 = 6 – 3 – 0 = 3, y5= 5 – 2 – 4 = 4 – 2 – 0 = 2, y6= 6 – 3 – 4 = 2 – 1 – 0 = 1. x1= 1 –( 1 – 1 – 2 )–( 2 – 1 – 3 )–( 3 – 2 – 3 )– 1 – 2 – 3 = = 1 – 1 – 2 – 3 + 1 + 2 + 3 = 49 – 16 – 10 – 7 + 3 + 2 + 1 = 22, x2= 2 –( 1 – 1 – 2 )–( 4 – 1 – 4 )–( 5 – 2 – 4 )– 1 – 2 – 4 = = 2 – 1 – 4 – 5 + 1 + 2 + 4 = 32 – 16 – 6 – 4 + 3 + 2 + 0 = 11, x3= 3 –( 2 – 1 – 3 )–( 4 – 1 – 4 )–( 6 – 3 – 4 )– 1 – 3 – 4 = = 3 – 2 – 4 – 6 + 1 + 3 + 4 = 19 – 10 – 6 – 2 + 3 + 1 + 0 = 5, x4= 4 –( 3 – 2 – 3 )–( 5 – 2 – 4 )–( 6 – 3 – 4 )– 2 – 3 – 4 = = 4 – 3 – 5 – 6 + 2 + 3 + 4 = 13 – 7 – 4 – 2 + 2 + 1 + 0 = 3. Необходимо учитывать возможность существования на числовой оси точек пересечения всех четырех синусоид, количество которых w определяется с помощью синусоиды «2.3.5.7». Понятно, что синусоида такого рода, так сказать «старшая» синусоида, всегда одна. Если бы 24 опорный интервал включал в себя, например, семь первых простых чисел, то синусоида обозначалась бы как «2.3.5.7.11.13.17» и тоже была бы только одной для этого частного случая. В нашем же примере формула для «вишневых» точек выглядит так: w= 101 = 2 3 5 7 = 0, причем эту величину следует использовать для коррекции формул, начиная с подсчета количества синих точек. Итак: z1= 1 – = 3 – 0 = 3, z2= 2 – = 2 – 0 = 2, z3= 3 – = 1 – 0 = 1, z4= 4 – = 0 – 0 = 0. y1= 1 –( 1 – )–( 2 – )– = 1 – 1 – 2 + = 16 – 3 – 2 + 0= 11, y2= 2 –( 1 – )–( 3 – )– = 2 – 1 – 3 + = 10 – 3 – 1 + 0= 6, y3= 3 –( 2 – )–( 3 – )– = 3 – 2 – 3 + = 7 – 2 – 1 + 0= 4, y4= 4 –( 1 – )–( 4 – )– = 4 – 1 – 4 + = 6 – 3 – 0 + 0= 3, y5= 5 –( 2 – )–( 4 – )– = 5 – 2 – 4 + = 4 – 2 – 0 + 0= 2, y6= 6 –( 3 – )–( 4 – )– = 6 – 3 – 4 + = 2 – 1 – 0 + 0= 1. x1= 1 –( 1 – 1 – 2 + )–( 2 – 1 – 3 + )–( 3 – 2 – 3 + ) – – ( 1 – )–( 2 – )–( 3 – )– = 1 – 1 – 2 – 3 + 1 + 2 + 3 – – = 49 – 16 – 10 – 7 + 3 + 2 + 1 – 0 = 22, x2= 2 –( 1 – 1 – 2 + )–( 4 – 1 – 4 + )–( 5 – 2 – 4 + ) – – ( 1 – )–( 2 – )–( 4 – )– = 2 – 1 – 4 – 5 + 1 + 2 + 4 – 25 – = 32 – 16 – 6 – 4 + 3 + 2 + 0 – 0 = 11, x3= 3 –( 2 – 1 – 3 + )–( 4 – 1 – 4 + )–( 6 – 3 – 4 + ) – – ( 1 – )–( 3 – )–( 4 – )– = 3 – 2 – 4 – 6 + 1 + 3 + 4 – – = 19 – 10 – 6 – 2 + 3 + 1 + 0 – 0 = 5, x4= 4 –( 3 – 2 – 3 + )–( 5 – 2 – 4 + )–( 6 – 3 – 4 + ) – – ( 2 – )–( 3 – )–( 4 – )– = 4 – 3 – 5 – 6 + 2 + 3 + 4 – – = 13 – 7 – 4 – 2 + 2 + 1 + 0 – 0 = 3. Следовательно, количество красных точек равно: x = x1 + x2 + x3 + x4 = 22 + 11 + 5 + 3 = 41. Количество зеленых точек равно: y = y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 = 11 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1 = 27. Количество синих точек равно: z = z1 + z2 + z3 + z4 = 3 + 2 + 1 = 6. А количество «вишневых» точек равно: w = = 0. Количество же составных чисел в интервале равно: x + y + z + w = 41+ 27 + 6 + 0 = 74. Предлагаю сверить полученные данные с рисунками. Следовательно, количество простых чисел в указанном интервале равно 26. А теперь просуммируем все выражения, полученные в конце всей цепочки корректировок: 26 x + y + z + w = x1 + x2 + x3 + x4 + y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + z1 + z2 + z3 + z4 + + w = 1 – 1 – 2 – 3 + 1 + 2 + 3 – + 2 – 1 – 4 – 5 + 1 + + – + – – – + + + – + – – – + + + – + – – + + – – + + – – + + – – + + – – + + – – + + – + – + – + – , + 2 4 6 2 3 3 3 2 1 4 4 4 1 1 6 1 2 4 4 2 2 5 4 3 2 1 6 4 3 3 5 3 3 3 4 2 1 – – – 4 И после элементарных преобразований получаем равенство: x + y + z + w = ( 1 + 2 + 3 + 4 ) – ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )+ + ( 1 + 2 + 3 + 4 ) – . Подставляем в формулу числовые значения и получаем: x + y + z + w = (49 + 32 + 19 + 13) – (16 + 10 + 7 + + 6 + 4 + 2) + (3 + 2 + 1 + 0) – 0 = 113 – 45 + 6 = 74. Т.е. мы вернулись к способу подсчета, которым пользовались в начале статьи, в §4, во время иллюстрации метода, применяемого в алгоритме. Итак, учитывая доказательства, приведенные в разделе 5.1, последовательность действий при определении порядкового номера простого числа обретает стройную, логически обоснованную форму, позволяющую утверждать, что исключаются как случайные совпадения, так и ситуации, приводящие к ошибкам. Если неоднократно проводить аналогичные процедуры с любыми, произвольно выбранными, простыми числами, подражая дедуктивному методу доказательства, то каждый раз мы будем приходить к аналогичным выводам (разве что рисунки будут гораздо масштабнее, а таблицы еще более громоздкими). Может быть, приведенное доказательство нельзя назвать вполне строгим, но, на мой взгляд, оно достаточно убедительно. §6. Формула алгоритма. Весь алгоритм можно записать в виде соотношения: 27 m Pn 2 P n (1) P n 1 (1) j 1 P j P k i 1 Pi k 2 m 1 j k m (1) 3 l 1 q2 s 3 l qs (1) r P n ... Pl P q P s m t 1 r u 2 ... v r t u ... v P n ... Pt Pu ... Pv (1) Pn m m n. P w w 1 m Или в более компактном виде: m n Pn 1 m (1) r t 1 r u 2 ... v r t u ... v r 1 где m P n , ... P t P u Pv n – искомый порядковый номер простого числа Pn; Pn – исследуемое простое число; m – количество простых чисел в опорном интервале [2; Pn ]; Pt, Pu, …, Pv – простые числа, принадлежащие опорному интервалу [2; P n ] со своими порядковыми номерами t, u, ..., v; 28 r – количество элементов в сочетаниях простых чисел по 1, по 2, по 3, …, по m элементов, в пределах множества из m элементов. Сразу хотелось бы оговорить применимость формулы к вычислению номеров для простых чисел 2 и 3. Эти числа отличаются от всех остальных простых чисел тем, что их опорные интервалы не содержат ни одного простого числа. Следовательно, в формулах для вычисления их номеров просто отсутствует блок слагаемых вида m t 1 r u 2 ... v r t u ... v а m=0. Тогда n = P n ... P t P u Pv , P2 –1=3–1=2, и n = P1 –1=2–1=1. Первый значительный недостаток алгоритма – это необходимость выполнения большого количества вычислений. Действительно, чем больше величина исследуемого простого числа, тем больше простых чисел содержит C r опорный интервал. А поскольку величина количества сочетаний m , выражающаяся биномиальными коэффициентами и определяющая количество слагаемых в суммах вида m t 1 r u 2 ... v r t u ... v P n ... P t P u Pv , катастрофически быстро возрастает по мере роста m и r, можно предположить, что алгоритм практически теряет смысл. Второй недостаток – это потребность в большом массиве известных заранее простых чисел, принадлежащих опорному интервалу. Но с первым недостатком можно довольно успешно бороться, что будет продемонстрировано позже, предварительно же, можно указать на следующие факты. Если исследовать наибольшее простое число в интервале [2, 100000378499], то имеем опорный интервал [2;1000], который содержит 29 168 простых чисел, наибольшее из которых равно 997168. Однако произведение первых восьми простых чисел уже дает величину, превышающую 1000000, а именно – 9699690, следовательно, 1000000 9699690 =0, т.е. нет смысла составлять произведения, в состав которых входит более семи простых чисел. (И это же утверждение справедливо для всех исследуемых чисел вплоть до 9699667646029, в опорный интервал для которого входит 443 простых числа (3109443)!) Что же касается составления произведений, состоящих из 7, 6, 5, 4, 3 и 2 множителей, то произведения из семи чисел такие, как 21.32.53.74.115.198.239 и 21.32.53.115.136.177.198, и величины произведений вида 53.74.115.136.177.198, 115.136.177.198.239, 2910.3111.3712.4113, 9725.10126.10327 уже превышают 1000000. §7. Идентификация простого числа по признаку смены порядкового номера. Реализация решения обратной задачи. Рассмотрим задачи, обозначенные в разделе §3, в п.2 и п.3 соответственно. N Допустим, мы выбрали произвольное натуральное число , которое даже может быть четным. Если, не смотря на это, к нему применить алгоритм, мы находим номер n, равный некоторому значению q. Что же означает полученный результат? Число q означает номер наибольшего N простого числа в интервале [2; ]. Действительно, если бы мы в §4 и §5 выбрали интервал [2;102], то было бы подсчитано количество составных чисел, равное 75, при том же самом количестве простых чисел 26. Все же разумнее начинать исследование, на предмет принадлежности к простым числам, начиная с нечетного числа N. Если в процессе N выполнения алгоритма, при последовательном делении числа на все простые числа из опорного интервала, мы ни разу не получили целочисленного результата (вычисление слагаемого формулы алгоритма Pn ), то тогда ясно, что N – простое число, а q, соответственно, его i 1 Pi m 30 номер. А если выяснилось, что N – составное, то, как же найти само простое число с номером q? Способов можно придумать много, но основным критерием является признак смены номера простого числа. Если применять алгоритм последовательно к числам значение N–1, N–2, N–3, … , то в какой-то момент n поменяется с q на q-1. Предположим, это произошло на четном N числе –3 (думаю, нет необходимости объяснять, что смена номера простого числа, при используемом способе, всегда происходит на четном исследуемом числе). Мы сразу делаем вывод, что предыдущее нечетное число N–2 как раз и является простым числом с номером q. Можно, например, применить алгоритм сразу к числу N–4, N–2, если N–2 или N– 4 не оканчиваются на 5. (Если какое-либо из чисел, N–2 или N– 4, оканчивается на 5, то его в расчет пропустив брать не следует, а в качестве испытуемого числа вместо него следует выбрать следующее за этими числами в порядке убывания нечетное число N–6.) Если результат не изменился и n по-прежнему равно q, а число N–4 (N–6) также не является простым, то процедуру повторяем подобным образом, отталкиваясь от N–4 (N–6), как от числа N. Если же вдруг оказалось, что при испытании N–4 (N–6) – составное, а значение n уменьшилось на единицу, простым числом Pq является нечетное число, не оканчивающееся на 5, которое меньше N, но больше N–4 (N–6). Если же вдруг окажется что N–4 (N–6) – простое, а значение n уменьшилось на единицу, значит, искомое Pq также находится между N и N–4 (N–6) – то, что не заканчивается на 5. Других ситуаций быть не может. К способам идентификации можно «подмешивать» признаки делимости, а также другие теоремы о простых и составных числах, мне неизвестных. Большой интерес представляет обратная задача (§3, п.3), а именно, по P заданному произвольному порядковому номеру n найти значение n, т.е. задача, которая должна решаться с помощью формулы простого числа. Беря во внимание изложенный выше материал, становится понятной общая 31 P стратегия поиска n. Руководствуясь здравым смыслом, оттолкнувшись от произвольно выбранного известного простого числа с известным порядковым номером, можно, в принципе, в конце концов «выйти» на P нужное значение n. Но перспектива больших объемов вычислений и оперирование с большими массивами простых чисел в опорных интервалах (которые, к тому же, должны быть нам известны!) не «украшает» эту идею. Однако, оказывается, есть возможность значительно усовершенствовать поиски. Основными неудобствами при вычислении n является необходимость фиксировать промежуточные результаты большого количества слагаемых в формуле алгоритма, получаемых путем отбрасывания дробной части от результата деления, и составлять произведения из элементов подмножеств простых чисел опорного интервала, соответствующих различным сочетаниям. А если попробовать не отбрасывать дробные части? Мы будем получать значения номеров с непредсказуемой погрешностью, что может представлять ограниченный интерес, например, при оценке порядка номеров простых чисел с большим количеством значащих цифр. Возможно, в будущем обнаружится некая закономерность, формирующая значения суммарных остатков от деления? Во всяком случае, используя логические построения данного алгоритма, на это рассчитывать не приходится. Не отделяя целых частей от дробных частей, как того требует формула алгоритма, а, используя формулу для приближенных вычислений (см. ниже), и пытаясь выделить дробные части, либо целые части (с помощью какихлибо математических ухищрений), опираясь на эту формулу, мы каждый раз убеждаемся, что решаем уравнение с двумя неизвестными. Поэтому остается довольствоваться тем, что значения дробных частей элементарных слагаемых алгоритма принимают, по-видимому, равновероятные знакопеременные значения в интервале (-1;1). Можно предположить, что значения сумм дробных частей, при исследовании разных чисел, также «колеблются» возле нуля, правда, с «амплитудой» этих колебаний, значительно выходящей за пределы интервала (-1;1). А погрешность значений номеров простых чисел, вычисленных с помощью формулы для приближенных вычислений, по отношению к точным значениям, также может колебаться возле нуля. Рассмотрим формулу алгоритма для вычисления приближенных значений номера простого числа, в которой используются полные значения слагаемых, без отбрасывания дробных частей. Итак, что же так привлекает в предлагаемом упрощении? Формула для приближенных (вычисленных с погрешностью) значений номера известного 32 Pn имеет вид: m n P 1 m n m ( 1) r n t 1 r u 2 ... v r t u ... v r 1 P P P ... P t u v Оказывается, справедливо точное соотношение: m Pi 1 i 1 P P n i m Pn = ( 1) r m t 1 r u 2 ... v r t u ... v r 1 P P P ... P n t u v В этом легко убедиться, произведя преобразования для любого P количества i, (проще взять для примера от трех до шести членов, чтобы не слишком утруждаться). Теперь формула для вычисления приближенного значения n приобретает очень компактный и очень красивый в своей простоте вид: 1 P n P m 1, P m i n i 1 i или 1 n Pn 1 m 1. i 1 Pi m Забегая вперед, хочу отметить, что именно последняя формула и является основной «рабочей» формулой, с помощью которой мною был выбран один из возможных способов вычислений, т.е., собственно, и реализован предлагаемый алгоритм. Еще одной интересной особенностью обладает указанная формула – произведения вида 33 1 1 i 1 Pi 1 1 i 1 Pi , m m или если раскрыть скобки, позволяют составлять весь набор всевозможных сочетаний из множества m чисел, без риска упустить из виду хотя бы одно сочетание. Проведем оценку порядка погрешностей при вычислениях с помощью приблизительной формулы, по сравнению с точной формулой алгоритма. Воспользовавшись таблицей простых чисел, составим свою таблицу, в которой разместим известные табличные значения простых чисел и сравним точные значения их номеров с приближенными, вычисленными по формуле для приближенных значений n. Возьмем опорный интервал [2;43], который содержит простые числа от 21 до 4314. С помощью этого интервала можно исследовать числа со значениями, большими, чем 432 и меньшими, чем 472, которые нумеруются с помощью формул алгоритма, как для точных, так и для приближенных вычислений. Итак, наименьшим, подходящим для наших целей простым числом, является число 1861284. Воспользовавшись формулой для приближенных значений n получаем результат 276,74, или после округления 277. Ошибка 7. Теперь возьмем наибольшее простое число, соответствующее выбранному опорному интервалу, а именно 2207329. Приближенное значение n составляет 325,77, после округления 326, 3. Далее будем увеличивать интервал [2;43], добавляя каждый раз в него по семь очередных, следующих по порядку простых чисел, и выполнять действия, аналогичные произведенным для интервала [2;43], а результаты сведем в Таблицу 2 (см. на следующей странице). Как видно из таблицы, приближенные значения номера простого числа принимают значения, в общем, не совсем оправдывающие наши прогнозы и с достаточно большой погрешностью по отношению к точным значениям, возможно, это связано с малым количеством выборок. Но, решая задачу поиска простого числа по заданному номеру методом последовательного приближения, можно, по крайней мере, выбрать отправную точку для дальнейшей работы, с помощью формулы для приближенных вычислений: 1 P n P m 1. P m i n i 1 34 i Таблица 2. 35 Заменив в формуле виду: P на n P 2 m (или на P 2 m 1 ) и приведя ее к 1 P , n m 1 P P m 2 m i i 1 i можно довольно быстро, используя известные табличные значения простых чисел, подобрать значение P 2 m , максимально приближающее указанное выражение к равенству. После этого следует определить точное значение P n 2 для найденного значения m и, сравнив его с заданным значением n, в зависимости от знака ошибки, продолжить движение в нужном направлении. P Следующие значения для придется выбирать, в общем-то, n произвольно, руководствуясь субъективными предположениями. §8. Борьба с первым недостатком алгоритма. 8.1. Демонстрация вычисления порядкового номера на примере простого числа 5333. Часть 1. Продемонстрируем алгоритм в действии, на примере произвольно выбранного простого числа. Безусловно, может существовать большое количество способов практического использования алгоритма и приведенный ниже способ, на котором я остановился, не претендует на исключительность. Возможно, свежий взгляд со стороны позволит увидеть какие-нибудь новые красивые решения. Но мне не удалось заметить никакого другого метода, который бы эффективнее боролся с одним из главных недостатков алгоритма – необходимостью очень большого объема вычислений. Для ручных вычислений без использования машинных программ удобнее пользоваться не точной формулой, а приближенной: 1 n Pn 1 m 1, i 1 Pi m или еще лучше 36 1 n m 1 Pn 1 i 1 Pi . m Хочу напомнить, что если в правой части приближенного равенства открыть скобки, то мы практически приведем ее к виду, используемому в точной формуле, разве что без обозначений вида R . То есть, подставив в каждое полученное слагаемое конкретные значения переменных, произведя операции умножения и деления, отбросив дробные части и сложив слагаемые, мы получили бы точный результат. Однако такой незатейливый путь потребовал бы ненужной обработки очень большого количества слагаемых и, соответственно, огромного объема вычислений (об этом говорилось в конце §6). Правую часть приближеного равенства можно представить в общем случае в виде суммы: m 1 1 1 P n 1 Pn 1 Pn i 1 Pi Pm i 1 Pi m 1 P 1 P 1 1 P P P P m2 m 3 n m 1 n i 1 m2 i i 1 i 1 1 1 Pn 1 1 Pn 1 Pn 5 2 3 3 2 2 Чтобы проще и быстрее убедиться в справедливости этого равенства, рассмотрим произведение, например, из четырех сомножителей: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Pn a b c d Pn 1 b 1 c 1 d 1 1 1 1 1 1 1 Pn 1 1 1 Pn 1 1 Pn 1 1 a b c d c d b c d 1 1 1 1 1 Pn 1 1 1 Pn 1 Pn 1 a b c d d с d 37 1 1 1 1 1 Pn 1 1 Pn 1 1 1 Pn Pn b c d a b c d d 1 1 1 1 1 1 Pn 1 Pn 1 1 Pn 1 1 1 с d b c d a b c d 1.1. Выберем простое число 5333706 и найдем его номер с помощью алгоритма. Числу 5333706 соответствует опорный интервал [2;73]. В этот интервал входит 21 простое число: 21, 32, 53, 74, 115, 136, 177, 198, 239, 2910, 3111, 3712, 4113, 4314, 4715, 5316, 5917, 6118, 6719, 7120, 7321. Подставим числовые значения в полученное соотношение для правой части приближенного равенства: 5333 1 1 5333 1 1 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 73 2 71 71 2 67 2 73 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 67 2 61 61 2 59 59 2 53 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 53 2 47 47 2 43 43 2 41 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 41 2 37 37 2 31 31 2 29 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 29 2 23 23 2 19 19 2 17 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 17 2 13 13 2 11 11 2 7 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 5333 1 1 1 1 1 7 2 5 5 2 3 3 2 2 Займемся первым слагаемым: 5333 1 1 1 1 1 1 73,051 1 . 73 2 71 2 71 Не спешим отбрасывать в коэффициенте дробную часть (мы всегда успеем это сделать), чтобы избежать ошибки в конечном результате вычислений. 38 Почему возможна ошибка, прояснится позже. Хочу обратить внимание на то, что коэффициент больше значения И так будет всегда, ведь значение N случаи, когда P равно P P m 1 , то есть 73,05 больше 71. больше n 2 m , если вместо P P 2 (или, возможны m выбирается для n N исследования составное число ). Если бы было наоборот, т.е. коэффициент, все же, мог бы принимать значения меньше 71, или хотя бы имело место равенство, то, оказывается, значение результата всего цикла точных вычислений, обозначенного данным произведением, как «шаблоном», было бы равно единице! Докажем это утверждение. 8.2. Лемма. Мы помним, что справедливо соотношение: m Pi 1 i 1 P P n m Pn = ( 1) t 1 r u 2 ... v r t u ... v r 1 i m r P P P ... P n t u v Если мы хотим доказать справедливость утверждения, что точные вычисления, выполненные по шаблону 1 1 Pm i 1 Pi m всегда дают в результате единицу, то, по сути, требуется доказать лемму: Pm m r 1 (1) r m t 1 r u 2 ... v r t u ... v 39 P m ... P t P u P v = 1. Для доказательства приведем точную формулу алгоритма: ( 1) P P m n Pn 1 m n на Pm 1 m m m t 1 r u 2 ... v r t u ... v r 1 Заменив в ней n на m и m r m P n P t P u ... P v , мы получаем соотношение (1) r m t 1 r u 2 ... v r t u ... v r 1 P m , P t P u ... P v которое после исключения m из обеих частей равенства преобразуется к виду, полностью повторяющему условия леммы. Казалось бы, поскольку формула алгоритма доказана, то можно считать доказанной и лемму. Но есть возражение – формула алгоритма выводилась и доказывалась с учетом специальных условий формирования опорного интервала, здесь же эти условия полностью нарушены – опорный интервал не ограничивается значением P =P P n , а «растянут» до значения . Не влияет ли этот факт на достоверность результата? Нет, не влияет, и вот почему. Во-первых, добавление новых синусоид, образованных на основе простых чисел, выходящих за пределы «классического» опорного интервала, не может привести к ошибкам, связанным с возможностью многократного n m P лишнего подсчета составных чисел на всем интервале [2; n ]. Использование простых чисел сверх того количества, которое принадлежит опорному интервалу, всего лишь добавляет к минимально необходимому объему вычислений дополнительный, ненужный объем. Ведь, сколько бы ни проходило синусоид через любую, произвольно выбранную точку, несомненно, учитывая справедливость соотношения 40 k (1) h 1 C k 1, h h 1 с помощью формулы алгоритма эта точка все равно учитывается только один раз! Чтобы убедиться в этом, достаточно вернуться к §5, в особенности к разделу 5.1. Во-вторых, сама по себе сумма m (1) r r 1 m t 1 r u 2 ... v r t u ... v P m ... P v P t P u P определяет не только количество составных чисел в интервале [2; m ], трансформировавшемся в опорный интервал, но подсчитывает количество всех чисел – и простых, и составных (со знаком «–»). Действительно, чтобы подсчитывались только составные числа, к этой сумме нужно добавить член m, который возник при формировании алгоритма в связи с учетом количества простых чисел в опорном интервале. Но мы, избавившись от члена m в процессе преобразования формулы алгоритма, полученной для случая m=n, в формулу леммы, тем самым ликвидировали учет простых чисел. Складывая же отрицательный результат суммирования с числом P m в формуле леммы, мы, по сути, находим количество чисел, принадлежащих интервалу [1; P P ], но не входящих в интервал [2; m ]. Таковых чисел всего одно – это натуральное число 1, которое не относится m ни к простым, ни к составным числам, и которое мы специально исключили ] к интервалу [2; P m ], Понятно, что добавляя синусоиды, выходящие за пределы [2; P m ], из подсчетов, перейдя от интервала [1; создавая алгоритм. Лемма доказана. P P m либо, уменьшая величину m в формуле леммы с сохранением неизменными наборов простых чисел в знаменателях слагаемых (что одно и то же), мы также будем иметь в результате единицу. Для этого достаточно вспомнить рассуждения о влиянии точки 210 и синусоид «3.5.7» и «2.3.5.7» 41 на результаты подсчетов составных чисел для интервала [2;101] в процессе доказательства формулы алгоритма в §5. И еще одно замечание, которое поможет в будущих расчетах несколько сократить количество вычислений. Рассуждая об идентификации простого числа по признаку смены порядкового номера в §7, мы сталкивались со случаями, когда находили номер n, равный некоторому значению причем q, N применяя алгоритм к исследуемому составному числу могло быть даже четным числом. Число q N, означало номер N]. Если применять алгоритм последовательно к числам N+1, N+2, N+3, N+4, …, то, рано или поздно, наибольшего простого числа в интервале [2; на одном из исследуемых чисел произойдет смена номера простого числа в сторону увеличения, т.е. n примет значение q+1. Исследуемое число, на котором может произойти смена номера в данном случае, может быть только нечетным числом, потому что это число обязательно является очередным простым числом. Мы не можем предсказать количества шагов, в течение которых n будет сохранять значение q. Но мы можем с абсолютной уверенностью утверждать, что если для простого нечетного числа номера n = q, P n значение его то, применив алгоритм к четному составному числу N= P = n +1, мы получим то же самое значение n = q, т.е. смены номера не произойдет. Следовательно, если формула алгоритма справедлива (за исключением случая m = 1, когда P =2 и P +1=3, т.е. P 1 1 1 четно, а P +1 – нечетно) в виде: 1 P 11m m m m (1) r m t 1 r u 2 ... v r t u ... v r 1 1 P m , P t P u ... P v то не подлежит сомнению и истинность формулы леммы (за исключением случая m = 1) в виде: 42 P 1 m m r 1 m (1) r t 1 r u 2 ... v r t u ... v 1 P m ... P t P u Pv = 1. А это, в свою очередь, означает, что вычисления, выполненные по шаблону 1 Pm 1 1 i 1 Pi m также всегда дают в результате единицу (кроме случая где P 1 четно, а P =2 и P +1=3, 1 1 P +1 – нечетно). 1 8.3. Демонстрация вычисления порядкового номера на примере простого числа 5333. Часть 2. Доказательство выше приведенной леммы понадобилось для того, чтобы избавиться от очень большого объема ненужных вычислений. Благодаря лемме, все слагаемые, для которых справедливо P n 0, ... P t P u Pv автоматически исключаются из подсчетов, и нам не придется для каждого из слагаемых устанавливать, соответствуют ли оно указанному соотношению, или нет. 1.1. Вернемся к числовому примеру, к первому слагаемому. Чтобы не запутаться в отрицательных и положительных значениях слагаемых, отныне предлагаю сохранять при слагаемых их знаки «+» и «–». Итак, мы остановились на равенстве 43 5333 1 1 1 1 1 1 73,051 1 , 73 2 71 2 71 представляющем собой первое слагаемое из суммы первого уровня. К шаблону такого вида лемма неприменима. Для удобства вычислений добавим новые термины – «первый уровень», «нижние уровни» («нулевой уровень»). Смысл нововведения специально объяснять не будем, он станет понятен сам собой в процессе вычислений. 1.2. Перейдем на второй нижний уровень. Преобразуем первое слагаемое первого уровня к виду: 5333 1 1 5333 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 73 2 71 73 73 71 2 67 73 67 2 61 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 73 61 2 59 73 59 2 53 73 53 2 47 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 73 47 2 43 73 43 2 41 73 41 2 37 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 73 37 2 31 73 31 2 29 73 29 2 23 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 73 23 2 19 73 19 2 17 73 17 2 13 5333 1 1 5333 1 1 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 73 13 2 11 73 11 2 7 73 7 2 5 5333 1 1 5333 1 5333 1 1 1 73 5 2 3 73 3 2 73 2 Вычислим значения коэффициентов: 5333 1 1 1 1 1 1 1 1 73,05 1,031 1 1,091 1 73 2 71 2 67 2 61 1 1 1 1 1 1 1,201 1 1,241 1 1,381 1 2 59 2 53 2 47 1 1 1 1 1 1 1,551 1 1,701 1 1,781 1 2 43 2 41 2 37 1 1 1 1 1 1 1,971 1 2,361 1 2,521 1 2 31 2 29 2 23 44 1 1 1 1 1 1 3,181 1 3,841 1 4,301 1 2 19 2 17 2 13 1 1 1 1 1 1 5,621 1 6,641 1 10.441 1 2 11 2 7 2 5 1 1 1 14,611 1 24,351 36,53 . 2 3 2 За исключением трех слагаемых 1 1 1 1 1 10.441 1 14,611 1 24,351 , 2 5 2 3 2 ко всем остальным шаблонам можно применить лемму. Есть один нюанс – а применима ли лемма к шаблону слагаемого с нецелым коэффициентом? Именно признак применимости леммы к целой части коэффициента и позволяет нам, без риска допустить ошибку в расчетах, избавиться от дробного остатка. То есть, как только мы получаем шаблон, в котором целая часть коэффициента удовлетворяет условиям леммы, наши переходы на более нижние уровни прекращаются. Раскрывая скобки в любом шаблоне и производя операции деления в каждом из слагаемых суммы вида m (1) r t 1 r u 2 ... v r t u ... v K ... P t P u Pv , мы убеждаемся, что сохранение дробной части перед делением, либо избавление от нее до начала деления, не влияет на окончательный результат. u ... v , то значение Если целая часть K кратна произведению t сохраненной дробной части при делении просто уменьшается. Если же при делении целой части коэффициента на произведение образуется новый остаток, представляющий собой целое число, меньшее по величине, чем PP P u ... v , то он, в сумме с исходной дробной частью произведение t коэффициента, являющейся правильной дробью, которая всегда меньше единицы, все равно не может превосходить величины произведения. И поэтому результат от деления суммы остатка и дробной части коэффициента на произведение будет всегда меньше единицы. PP P 45 Если это так, то возникает вопрос, а можно ли в слагаемых типа 1 1 1 1 1 10.441 1 14,611 1 24,351 2 5 2 3 2 тоже отбросить дробную часть коэффициента? Нет, нельзя (подобный вопрос уже звучал, касательно числа 73,05), эта операция преждевременна и может в дальнейшем привести к ошибкам в общем случае. При больших значениях исследуемых чисел, в процессе вычислений возникает необходимость многократно опускаться на более нижние уровни. Если каждый раз, на каждом уровне отбрасывать дробные части, это может, в конечном итоге, привести к потере целой единицы, или даже к еще более ощутимым погрешностям. Сохранение же дробной части до выполнения условия применимости леммы гарантирует нам в итоге абсолютно точный результат. Прежде, чем продвигаться далее, хочу предложить ввести еще одно новое обозначение, своеобразный оператор. Наши преобразования очень просты, но многократные переписывания громоздких формул в процессе преобразований занимают много лишнего места и отнимают много времени. Предлагаю для слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение, специальное обозначение, например, вместо выражения 1 1 10.441 1 2 5 записывать оператор 10,44 2 5 . В числителе дроби, расположенной справа от вертикальной черты, в скобках, будем указывать номер уровня, в знаменателе – наибольшее простое число, присутствующее в сомножителях конкретного слагаемого. Такой способ записи краток и, в то же время, содержит всю необходимую информацию касательно применимости леммы к данному шаблону, либо необходимости перехода на следующий нижний уровень. Это обозначение, кроме всего прочего, избавит нас от лишних, все время повторяющихся оговорок о том, что вычисления производятся по шаблону и нельзя ставить знак равенства между формулой и точным результатом вычислений. Использование оператора позволяет ставить знак равенства. Перепишем первое слагаемое, применяя новые обозначения и одновременно вычислим промежуточный результат: 2 2 2 5333 1 73,05 1 16 10,44 14,61 24,35 36,53 73 71 5 3 2 46 73 16 10,44 2 14,61 2 24,35 2 36 21 10,44 2 14,61 2 24,35 2 5 3 2 5 3 2 . 1.3. Перейдем на третий нижний уровень. Напомню, мы все еще занимаемся первым слагаемым из суммы первого уровня (об этом напоминает первая цифра в номере пункта 1.3.). Всего таких слагаемых в сумме первого уровня – 21. Количество слагаемых совпадает с количеством простых чисел в опорном интервале. Из всех слагаемых второго уровня, лишь трем понадобился переход на третий уровень. Займемся этой суммой: 10,44 2 14,61 2 24,35 2 10,44 10,44 3 10,44 3 10,44 14,61 5 3 2 5 3 3 2 2 3 3,48 3 5 14 4,87 3 7 14,61 3 14,61 24,35 24 , 35 10 2 , 08 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 24 12 24 1 1 3,48 4,87 23 3,48 4,87 . 2 2 2 2 Таким образом, 3 3 3 3 5333 1 21 23 3,48 4,87 2 3,48 4,87 . 73 71 2 2 2 2 1.4. Перейдем на четвертый нижний уровень. 3 3 5333 1 3,48 4,87 2 3,48 4,87 2 3,48 4 , 87 2 3 1 4 2. 73 71 2 2 2 2 5333 1 2. 73 71 2.1. Переходим ко второму слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 71 67 71 71 67 61 71 61 59 71 59 53 71 53 47 71 47 43 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 71 43 41 71 41 37 71 37 31 71 31 29 71 29 23 71 23 19 71 19 17 47 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 71 17 13 71 13 11 71 11 7 71 7 5 71 5 3 71 3 2 71 2 2 2 2 2 2 2 2 2 75,11 1,12 1,23 1,27 1,42 1,60 1,75 1,83 2,03 61 59 53 47 43 41 37 31 2,42 2 2,59 2 3,27 2 3,95 2 4,42 2 5,78 2 6,83 2 10,73 2 29 23 19 17 13 11 7 5 2 2 2 2 2 15,02 25,04 37,56 75 1 15 10,73 15,02 25,04 37 3 2 5 3 2 10,73 3 10,73 3 10,73 15,02 3 15,02 23 10,73 15 , 02 5 3 3 2 2 3 2 2 3 3,58 3 5 15 5,01 3 7 25 12 25,04 25,04 23 10 2 , 15 3 2 2 2 3,58 5,01 3 1 1 3,58 5,01 2 3 1 5 2 3. 2 2 5333 1 3. 71 67 3.1. Переходим к третьему слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 67 61 67 67 61 59 67 59 53 67 53 47 67 47 43 67 43 41 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 67 41 37 67 37 31 67 31 29 67 29 23 67 23 19 67 19 17 67 17 13 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 79 , 60 1 , 30 67 13 11 67 11 7 67 7 5 67 5 3 67 3 2 67 2 59 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,35 1,50 1,69 1,85 1,94 2,15 2,57 2,74 3,46 53 47 43 41 37 31 29 23 19 4,19 2 4,68 2 6,12 2 7,24 2 11,37 2 15,92 2 26,53 2 39,80 17 13 11 7 5 2 2 2 2 11,73 3 11,73 3 79 1 14 11,37 15,92 26,53 39 26 11,73 5 3 2 5 3 3 2 48 3 15,92 3 15,92 11,73 26,53 15 , 92 26 , 53 2 3 2 2 2 3 3 3 26 11 2,35 3,91 5 15 5,31 7 26 13 3 2 2 3,91 5,31 1 1 1 3,91 5 , 31 3 1 5 2 5. 2 2 5333 1 5. 67 61 4.1. Переходим к четвертому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 61 59 61 61 59 53 61 53 47 61 47 43 61 43 41 61 41 37 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 61 37 31 61 31 29 61 29 23 61 23 19 61 19 17 61 17 13 61 13 11 2 1,65 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 87 , 43 1 , 48 61 11 7 61 7 5 61 5 3 61 3 2 61 2 53 47 2 2 2 2 2 2 2 2 1,86 2,03 2,13 2,36 2,82 3,01 3,80 4,60 43 41 37 31 29 23 19 17 2 2 2 2 2 2 5,14 6,73 7,95 12,49 17,49 29,14 43,71 87 1 13 13 11 7 5 3 2 2 2 2 12,49 3 12,49 3 12,49 12,49 17,49 29,14 43 31 12,49 5 3 2 5 3 3 2 2 3 4,16 3 17,49 3 17,49 29,14 17,49 29 , 14 31 12 2 , 50 2 3 2 2 3 2 3 4,16 5,83 6 17 5,83 8 29 14 1 1 1 4,16 5 , 83 2 2 2 2 4 2 5 2 7. 5333 1 7. 61 59 5.1. Переходим к пятому слагаемому первого уровня. 49 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 59 53 59 59 53 47 59 47 43 59 43 41 59 41 37 59 37 31 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 59 31 29 59 29 23 59 23 19 59 19 17 59 17 13 59 13 11 59 11 7 2 1,92 2 2,10 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 90 , 39 1 , 71 59 7 5 59 5 3 59 3 2 59 2 47 43 41 2 2 2 2 2 2 2 2 2,20 2,44 2,92 3,12 3,93 4,76 5,32 6,95 37 31 29 23 19 17 13 11 2 2 2 2 2 2 8,22 12,91 18,08 30,13 45,19 90 1 12 12,91 18,08 7 5 3 2 5 3 30,13 2 45 33 12,91 12,91 3 12,91 3 12,91 18,08 18,08 3 3 2 2 3 2 3 3 3 18,08 30,13 30,13 33 12 2,58 4,30 6 18 6,03 9 30 3 2 2 2 2 4,30 6,03 15 3 1 1 4,30 6 , 03 4 4 2 6 3 9. 2 2 2 5 3 5333 1 9. 59 53 6.1. Переходим к шестому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 53 47 53 53 47 43 53 43 41 53 41 37 53 37 31 53 31 29 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 53 29 23 53 23 19 53 19 17 53 17 13 53 13 11 53 11 7 53 7 5 2 2,34 2 2,45 2 2,72 2 5333 2 5333 2 5333 100 , 62 2 , 14 53 5 3 53 3 2 53 2 43 41 37 31 2 2 2 2 2 2 2 2 3,25 3,47 4,37 5,30 5,92 7,74 9,15 14,37 29 23 19 17 13 11 7 5 2 2 2 2 2 2 20,12 33,54 50,31 100 1 10 9,15 14,37 20,12 33,54 3 2 7 5 3 2 50 9,15 3 9,15 3 9,15 3 9,15 14,37 3 14 , 37 7 5 5 3 3 2 2 5 3 14,37 3 14,37 20,12 3 20,12 33,54 20,12 33,54 40 9 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1,31 1,83 3,05 4 14 2,87 4,79 7 20 6,71 10 33 5 3 2 3 2 2 3,05 4,79 6,71 16 1 1 3 3,05 4 , 79 6 , 71 2 2 2 50 40 9,15 4 3 1 4 2 6 3 11. 5333 1 11. 53 47 7.1. Переходим к седьмому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 47 43 47 47 43 41 47 41 37 47 37 31 47 31 29 47 29 23 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 47 23 19 47 19 17 47 17 13 47 13 11 47 11 7 47 7 5 47 5 3 2 2,77 2 3,07 2 3,66 2 3,91 2 5333 2 5333 113 , 47 2 , 64 47 3 2 47 2 41 37 31 29 23 2 2 2 2 2 2 2 2 4,93 5,97 6,67 8,73 10,32 16,21 22,69 37,82 19 17 13 11 7 5 3 2 2 2 2 2 56,73 113 1 9 10,32 16,21 22,69 37,82 56 48 10,32 7 5 3 2 10,32 3 10,32 3 10,32 3 10,32 16,21 3 16,21 3 16,21 16,21 7 5 5 3 3 2 2 5 3 3 2 2 3 2,06 3 22,69 3 22,69 37,82 22,69 37 , 82 48 10 1 , 47 2 3 2 2 5 3 3 3 3 3 3,44 5 16 3,24 5,40 8 22 7,56 11 37 18 5 1 3 3,44 2 3 2 2 3,44 5,40 7,56 5 , 40 7 , 56 8 3 1 5 2 7 3 17. 2 2 2 51 5333 1 17. 47 43 8.1. Переходим к восьмому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 43 41 43 43 41 37 43 37 31 43 31 29 43 29 23 43 23 19 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 43 19 17 43 17 13 43 13 11 43 11 7 43 7 5 43 5 3 43 3 2 2 3,35 2 4,00 2 4,28 2 5,39 2 6,53 2 5333 124 , 02 3 , 02 37 31 29 23 19 17 43 2 2 2 2 2 2 2 7,30 9,54 11,27 17,72 24,80 41,34 62,01 124 1 8 13 11 7 5 3 2 11,27 3 11,27 3 11,27 3 11,27 17,72 3 17,72 3 17 , 72 7 5 5 3 3 2 2 5 3 3 2 3 24,80 3 24,80 17,72 41,34 24,80 41,34 62 54 11 1,61 3 2 2 5 2 2 3 3 3 3 3 2,25 3,76 5 17 3,54 5,91 8 24 8,27 12 41 20 3 2 3 2 2 3,76 5,91 8,27 6 1 3 3,76 5 , 91 8 , 27 2 2 2 9 3 1 5 2 8 4 18. 11,27 5333 1 18. 43 41 9.1. Переходим к девятому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 41 37 41 41 37 31 41 31 29 41 29 23 41 23 19 41 19 17 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 41 17 13 41 13 11 41 11 7 41 7 5 41 5 3 41 3 2 41 2 2 2 2 2 2 2 2 130,07 3,52 4,20 4,49 5,66 6,85 7,65 10,01 31 29 23 19 17 13 11 52 11,82 2 18,58 2 26,01 2 43,36 2 65,04 130 1 7 11,82 11,82 3 7 5 3 2 7 5 11,82 3 11,82 3 11,82 18,58 3 18,58 3 18,58 18,58 26,01 5 3 3 2 2 5 3 3 2 2 3 2,36 3 3,94 3 26,01 3 26,01 43,36 43 , 36 65 58 11 1 , 69 2 3 2 2 5 3 2 3 3 3 3,94 5 18 3,72 6,19 9 26 8,67 13 43 21 8 1 3 3,94 3 2 2 2 6,19 8,67 6,19 8,67 11 3 1 6 3 8 4 20. 2 2 5333 1 20. 41 37 10.1. Переходим к десятому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 37 31 37 37 31 29 37 29 23 37 23 19 37 19 17 37 17 13 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 144 , 14 4 , 65 37 13 11 37 11 7 37 7 5 37 5 3 37 3 2 37 2 29 2 2 2 2 2 2 2 2 4,97 6,27 7,59 8,48 11,09 13,10 20,59 28,83 23 19 17 13 11 7 5 3 2 13,10 3 13,10 3 13,10 3 13,10 48,05 72,07 144 1 6 13,10 2 7 5 5 3 3 2 2 20,59 3 20,59 3 20,59 28,83 3 28,83 20,59 28 , 83 48,05 5 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 48,05 72 66 13 1,87 2,62 4,37 6 20 4,12 6,86 10 5 3 2 3 2 2 3 4,37 6,86 28 9,61 14 48 24 11 1 3 4,37 6 , 86 2 9,61 2 2 9,61 14 4 2 6 3 9 4 24. 2 5333 1 24. 37 31 53 11.1. Переходим к одиннадцатому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 31 29 31 31 29 23 31 23 19 31 19 17 31 17 13 31 13 11 2 7,48 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 172 , 03 5 , 93 31 11 7 31 7 5 31 5 3 31 3 2 31 2 23 19 9,05 2 10,12 2 13,23 2 15,64 2 24,58 2 34,41 2 57,34 2 86,02 17 13 11 7 5 3 2 13,23 3 13,23 3 13,23 3 13,23 3 13,23 172 1 4 13,23 15,64 11 7 7 5 5 3 3 2 2 15,64 3 15,64 3 15,64 3 15,64 24,58 3 24,58 3 24,58 24 , 58 7 5 5 3 3 2 2 5 3 3 2 2 3 3 34,41 3 34,41 57,34 57,34 86 82 13 1,20 1,89 3 2 2 7 5 2 3 3 3 3 3 3 3 2,65 4,41 6 15 2,23 3,13 5,21 7 24 4,92 8,19 3 2 5 3 2 3 2 3 4,41 5,21 12 34 11,47 17 57 28 9 1 6 4,41 5 , 21 8,19 2 2 2 8,19 11,47 11 , 47 2 15 4 2 5 2 8 4 11 5 30. 2 34,41 5333 1 30. 31 29 12.1. Переходим к двенадцатому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 29 23 29 29 23 19 29 19 17 29 17 13 29 13 11 29 11 7 2 9,68 2 10,82 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 183 , 90 7 , 9955 29 7 5 29 5 3 29 3 2 29 2 19 17 13 2 2 2 2 2 14,15 16,72 26,27 36,78 61,30 91,95 183 1 3 14,15 11 7 5 3 2 54 14,15 3 14,15 3 14,15 3 14,15 3 14,15 16,72 3 16,72 3 16 , 72 11 7 7 5 5 3 3 2 2 7 5 5 3 16,72 3 16,72 26,27 3 26,27 3 26,27 36,78 3 26 , 27 36 , 78 3 2 2 5 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 36,78 61,30 61,30 91 89 14 1,29 2,02 2,83 4,72 7 5 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 7 16 2,39 3,34 5,57 8 26 5,25 8,76 13 36 12,26 5 3 2 3 2 2 5,25 4 5,25 4,72 5,57 18 61 30 12 1 5 4,72 5 , 57 5 , 25 2 2 3 2 2 4 2 8 4 12 6 8,76 12,26 8,76 12 , 26 17 4 2 5 2 5 1 , 75 2 2 2 35 11 34. 5333 1 34. 29 23 13.1. Переходим к тринадцатому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 23 19 23 23 19 17 23 17 13 23 13 11 23 11 7 23 7 5 2 13,63 2 17,84 2 21,08 2 5333 2 5333 2 5333 231 , 87 12 , 20 23 5 3 23 3 2 23 2 17 13 11 7 2 2 2 17,84 3 17,84 3 33,12 46,37 77,29 115,93 231 1 2 17,84 5 3 2 11 7 7 5 17,84 3 17,84 3 17,84 21,08 3 21,08 3 21,08 3 21,08 21 , 08 5 3 3 2 2 7 5 5 3 3 2 2 33,12 3 33,12 3 33,12 46,37 3 46,37 46,37 77,29 5 3 3 2 2 3 2 2 3 2,55 3 3,57 3 5,95 3 8 21 3,01 3 77,29 115 114 17 1 , 62 7 5 3 2 5 2 33,12 55 4,22 3 7,03 3 10 33 6,62 3 11,04 3 16 46 15,46 3 23 77 38 3 2 3 2 2 6,62 4 6,62 5,95 7,03 15 1 5 5,95 7,03 6,62 11,04 3 2 2 2 2 4 3 11 5 15 7 11,04 15,46 15 , 46 20 5 2 7 3 6 2 , 21 2 2 2 44 11 43. 5333 1 43. 23 19 14.1. Переходим к четырнадцатому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 19 17 19 19 17 13 19 13 11 19 11 7 19 7 5 19 5 3 2 21,59 2 25,51 2 40,10 2 56,14 2 5333 2 5333 280 , 68 16 , 51 19 3 2 19 2 13 11 7 5 3 93,56 2 140,34 280 16,51 16,51 3 16,51 3 16,51 3 16,51 3 13 11 11 7 7 5 5 3 16,51 3 16,51 21,59 3 21,59 3 21,59 3 21,59 3 21,59 21 , 59 3 2 2 11 7 7 5 5 3 3 2 2 25,51 3 25,51 3 25,51 3 25,51 40,10 3 40,10 3 25,51 40 , 10 7 5 5 3 3 2 2 5 3 3 2 3 56,14 3 56,14 40,10 93,56 56,14 93,56 140 140 16 1,27 3 2 2 11 2 2 1,50 2 3 2,36 3 3,30 3 5,50 3 8 21 1,96 3 3,08 3 4,32 3 7,20 3 7 10 25 3,64 5 3 2 7 5 3 2 3 5,10 3 8,50 3 12 40 8,02 3 13,37 3 20 56 18,71 3 5 3 2 3 2 2 5,10 4 5,10 5,50 7,20 28 93 46 13 8 1 5,50 7,20 5,10 3 2 2 2 2 8,02 4 8,02 8,50 13,37 18,71 8,50 8 , 02 13 , 37 18 , 71 2 2 3 2 2 2 56 21 5 2 7 3 5 1,7 4 2 8 4 8 2,67 4 4 13 6 18 9 2 55 1 2 53. 2 5333 1 53. 19 17 15.1. Переходим к пятнадцатому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 17 13 17 17 13 11 17 11 7 17 7 5 17 5 3 17 3 2 17 2 313,71 24,13 2 28,52 2 44,82 2 62,74 2 104,57 2 156,85 11 7 5 3 2 24,13 3 24,13 3 24,13 3 24,13 3 24,13 313 24,13 28,52 11 7 7 5 5 3 3 2 2 28,52 3 28,52 3 28,52 3 28,52 44,82 3 44,82 3 44 , 82 7 5 5 3 3 2 2 5 3 3 2 62,74 3 62,74 44,82 104,57 62 , 74 104 , 57 2 156 157 24 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2,19 3,45 4,83 8,04 12 28 4,07 5,70 9,51 14 7 5 3 2 5 3 2 3 3 3 44 8,96 14,94 22 62 20,91 31 104 52 26 1 4 8,04 3 2 2 5,70 4 5,70 8,96 4 8,96 8,04 9,51 5,70 9,51 8,96 3 2 2 3 2 2 2 2 4 2 9 4 8 2,99 4 14,94 20,91 14,94 20 , 91 30 8 4 5 1 , 9 2 2 2 2 4 14 7 20 10 63 1 2 61. 5333 1 61. 17 13 57 16.1. Переходим к шестнадцатому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 2 5333 410,23 13 11 13 13 11 7 13 7 5 13 5 3 13 3 2 13 2 2 2 2 2 37,29 3 37,29 58,60 82,05 136,74 205,12 410 37,29 7 5 3 2 7 5 37,29 3 37,29 3 37,29 58,60 3 58,60 3 58,60 58 , 60 82,05 5 3 3 2 2 5 3 3 2 2 3 7,46 3 82,05 3 82,05 136,74 136 , 74 205 205 37 5 , 33 2 3 2 2 5 3 3 3 3 3 12,42 18 58 11,72 19,53 29 82 27,35 41 136 68 48 2 3 2 2 7,46 4 7,46 11,72 4 11,72 12,42 1 1 7,46 12 , 42 11 , 72 2 3 2 2 3 2 2 4 3 12 6 11 3,91 4 5 19,53 27,35 19,53 27 , 35 49 7 2 , 49 2 2 2 2 3,91 19 9 27 13 89 1 1 3,91 88 3 1 86. 2 5333 1 86. 13 11 17.1. Переходим к семнадцатому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 2 5333 484,82 11 7 11 11 7 5 11 5 3 11 3 2 11 2 2 2 2 69,26 3 69,26 3 69,26 96,96 161,61 242,41 484 69,26 5 3 2 5 3 3 2 96,96 3 96,96 69,26 161,61 96 , 96 161 , 61 2 242 242 69 3 2 2 2 13,85 3 23,09 3 34 96 32,32 3 48 161 80 78 13,85 13,85 4 3 2 2 3 58 2 4 6 23 11 32 13,85 23,09 32,32 23 , 09 32 , 32 78 13 4 , 62 2 2 2 2 4,62 16 113 4,62 113 4 2 111. 2 5333 1 111. 11 7 18.1. Переходим к восемнадцатому слагаемому первого уровня. 2 5333 1 5333 5333 2 5333 2 5333 761 , 86 152 , 37 7 5 3 7 7 5 3 7 3 2 7 2 2 152,37 3 152,37 253,95 253,95 380,93 761 152,37 253 , 95 2 2 3 2 2 380 381 152 50,79 3 76 253 126 178 50,79 50,79 2 178 50 25 203. 2 5333 1 203. 7 5 19.1. Переходим к девятнадцатому слагаемому первого уровня. 2 533,3 5333 1 5333 5333 2 5333 1066 , 6 355 , 53 5 3 2 5 5 3 2 5 2 355,53 1066 355,53 533 533 355 177 355. 2 5333 1 355. 5 3 59 20.1. Переходим к двадцатому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 5333 1777,67 888,83 1777 888 889. 3 2 3 3 2 5333 1 889. 3 2 21.1. Переходим к двадцать первому слагаемому первого уровня. 5333 1 5333 2666. 2 2 5333 1 2666. 2 Для получения окончательного результата, приближенную формулу 1 n m 1 Pn 1 i 1 Pi m можно заменить точным соотношением: n Pn 0 m 1 P m или 1 m 1 n P P 1 P , где P P P m 1 n n 1 n i 1 m 2 60 i 1 i P 1 P 2 P n n 1 P 1 P P P P i 1 n i 1 i n ; 2 P 2 P P P P P P ; i 1 n n j 1 i 1 1 i2 i 1 j 1 j и, в свою очередь, для операторов второго уровня, не удовлетворяющих условиям леммы, справедливо: 2 P P P P P P P n i 1 n j 1 j 1 k 1 j 2 i 1 j Pn 3 j 1 P1 Pi 1 P j 1 3 P P P P P , n i 1 j 1 k 1 k и так далее… Итак, подставляем найденные значения операторов первого уровня в формулу и получаем: n 5333 2666 889 355 203 111 86 61 53 43 34 30 24 20 18 17 11 9 7 5 3 2 21 1 706 , n 706 , что абсолютно точно совпадает с исходными данными 5333706. 8.4. Дополнительные замечания, касающиеся некоторых деталей использования алгоритма. Что еще хотелось бы добавить к сказанному? 61 8.4.1. Количество уровней, на которые придется опускаться в процессе вычислений значений операторов, не может превышать количества сомножителей в произведении, составленном из первых простых чисел опорного интервала таким образом, чтобы величина результата произведения максимально приближалась к значению исследуемого числа, но не превосходила его. То есть, результат произведения 2.3.5.7.11.13=30030 уже превосходит по величине значение 5333706, следовательно, в данном случае речь идет о произведении 2.3.5.7.11, составленном из первых пяти простых чисел – количество уровней не может превышать пяти. Аналогично, для вычисления номера простого числа 17942467310000000 потребуется не более восьми уровней! Более того, большинство операторов будет удовлетворять условиям леммы и они не потребуют вычисления своих значений. Действительно, для определения номера числа 17942467310000000 потребуется интервал [2;133811587]. Это означает, что формула для определения номера простого числа будет содержать 1587 операторов первого уровня. Для вычисления 1 179424673 1 13408,91 оператора первого уровня , при переходе на 13381 13367 13367 второй уровень, потребовалось бы записать и вычислить 1586 слагаемыхоператоров. Но этого можно не делать, если помнить о лемме. Найдем среди известных простых чисел, принадлежащих опорному интервалу, числа, максимально близкие по своим значениям к величине 13408,91 =115,80. Таковыми являются 11330 и 12731. Тогда все операторы в нашей записи, по 2 13408,91 2 105,58 крайней мере, вплоть до оператора , удовлетворяют 127 113 113 условиям леммы, и реально потребуется записать и вычислить лишь 30 операторов второго уровня – остальные 1556 подобных операторов равны единице! Данные обстоятельства внушают оптимизм касательно целесообразности использования предлагаемого алгоритма в сравнении с построением таблиц простых чисел. 8.4.2. Количество необходимых переходов на более нижние уровни можно существенно сократить, если в каждом операторе, начиная с первого уровня, контролировать соотношение значений коэффициента слева от вертикальной черты и знаменателя дроби справа от этой черты. Если значение коэффициента больше, или равно значению знаменателя, но меньше квадратного значения простого числа, следующего по порядку за числом, указанным в знаменателе, то, значит, оператор вычисляет количество простых чисел в интервале, ограниченном величиной коэффициента, за минусом номера простого числа, стоящего в знаменателе 62 правой части оператора, уменьшенного на единицу. Например, оператор 2 37,29 , встречающийся в блоке вычислений 16.1., содержит коэффициент 7 37,29, который больше семи, но меньше, чем 112=121. В интервале [2;37] содержится двенадцать простых чисел, наибольшее из которых 3712 (это известно из начальных условий, поскольку изначально нам известны значения и номера всех простых чисел от 21 до 7321). Номер простого числа 2 12 4 1 9 в знаменателе равен 4, следовательно 37,29 . Точно так же 7 x можно подсчитать результат вычисления оператора вида, например 78,56 . 7 Такой оператор вполне может встретиться при вычислении номеров простых чисел, больших значением, чем 5333. Представим ситуацию, когда нам неизвестны простые числа, большие, чем 7321 (начальные условия в нашем демонстрационном примере). Но вслед за простым числом следуют явно составные числа 74, 75, 76, 77, 78. В дробном числе 78,56 в данной ситуации мы можем смело отбросить дробную часть, следовательно x 78 21 4 1 18 . 7 И точно так же – вплоть до числа 120,99 (если, конечно, мы столкнемся с ситуацией, когда из начальных условий нам будут известны все простые числа в интервале [2;120,99]). Наибольшим простым числом, в x 30 4 1 27 этом случае, является 11330 (см. §2). Поэтому, 120,99 . 7 Надеюсь, нет необходимости подробно разъяснять справедливость утверждений, содержащихся в пункте 8.4.2. Если же такая необходимость имеется, то, желательно еще раз просмотреть статью. 63 Заключение. . По-видимому, можно отыскать еще немалое количество нюансов, относящихся к алгоритму, которые можно обсудить, но пора, наверное, остановиться, иначе статья рискует перерасти в монографию. Невзирая на то, полезен предложенный алгоритм, или бесполезен, я считаю, что основная задача выполнена – тест, который я сам для себя определил, пройден успешно. Можно браться за другие задачи, и, кто знает, может быть мои «фантастические» идеи окажутся не такими уж наивными или абсурдными? Посвящаю эту работу моей маме Алле Ильиничне Трухиной и моим школьным учителям математики Эмме Яковлевне Розенберг и Александру Алексеевичу Жосану, которым я очень обязан в плане развития моих мыслительных способностей, а также моим замечательным школьным друзьям. Хотелось бы выразить благодарность всем людям, которые меня окружали раньше и окружают в моей нынешней жизни. Все они, так или иначе, оказали влияние на формирование моего мировоззрения. Благодаря их добродушному, слегка ироничному, но уважительному отношению к моим чудным увлечениям, от которых сами они, как правило, очень далеки, я был окружен благожелательной атмосферой, которая в немалой степени содействовала совершенствованию моих идей и оформлению их в статью. Хочу также поблагодарить Николая Вельдяксова из Новосибирска (www.nikvel.ru) за отзывчивость и за предоставленную ссылку на сайт primes.utm.edu профессора теннессийского университета в Мартине Криса Кэлдвелла (Chris Caldwell), где я смог воспользоваться таблицами простых чисел. Работа над поисками формулы простого числа завершена. А что же дальше? А дальше, естественно, следующая ближайшая цель – сборка и испытания опытного образца некоторым образом сконструированного инерционного аккумулятора … Забавно, конечно, звучит, но с другой стороны, чего еще можно ожидать от человека, который всерьез намерен был найти формулу простого числа? Декабрь 2003 г. – июнь 2009 г. 64