Потапов Антон Павлович

На правах рукописи
Потапов Антон Павлович
Численное моделирование высокоскоростных соударений
деформируемых тел методом сглаженных частиц
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2009
Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического
института (государственного университета)
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор
Петров Игорь Борисович
Официальные оппоненты:
доктор технических наук
профессор
Медин Станислав Александрович
кандидат физико-математических наук
доцент
Евдокимов Алексей Витальевич
Ведущая организация:
Институт автоматизации проектирования РАН
Защита состоится « 15 » октября 2009 г. в 9.00 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом
институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл.,
Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.
Автореферат разослан 11 сентября 2009г.
Ученый секретарь диссертационного совета
кандидат физико-математических наук
Федько О.С.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Решение проблемы обеспечения защиты и жизнедеятельности населения
и опасных объектов при угрозах террористических проявлений требует
разработки методов математического моделирования ударных и взрывных
воздействий на жилые и промышленные здания, самолеты, надводные и
подводные
суда.
Работа
посвящена
математическому
моделированию,
разработке методов и комплекса программ для проведения численных
экспериментов в данном классе проблем. Современные прикладные задачи
требуют как аккуратного описания разрушения и разлета вещества в областях
интенсивных напряжений, так и аккуратного моделирования волновых
процессов в остальной области моделирования. Численное решение задач
такого рода сеточными методами сопряжено с большими трудностями, такими
как построение трехмерной сетки и необходимостью ее периодической
перестройки. Альтернативным вариантом решения такого класса задач является
метод сглаженных частиц (”Smooth Particle Hydrodynamics” – SPH). Данный
метод применим как для двумерного, так и для трехмерного случаев и
описывает разлет вещества.
Моделирование волновых процессов с помощью метода сглаженных
частиц изучено недостаточно глубоко. Оригинальный метод сглаженных
частиц не является монотонным и на разрывных решениях дает нефизичные
осцилляции численного происхождения. Модифицированный монотонный
метод, построенный по аналогии со схемой Годунова, размывает разрывы в
решении.
Представляется
логичным
создание
метода,
соединяющего
преимущества этих двух методов (второй порядок аппроксимации и
монотонность)
и
уменьшающего
их
недостатки
(наличие
численного происхождения и размыв численных решений).
3
осцилляций
Цели диссертационной работы
Целями работы являлись:
- численное решение динамических задач механики деформируемого
твердого тела: внедрения высокоскоростного ударника в многослойную
преграду, соударения самолета со зданием, соударения оболочечных объектов,
имеющих внутренние перегородки;
- создание гибридного метода сглаженных частиц;
- визуализация численных решений динамических трехмерных задач;
комплекса
-создание
реализующих
как
эффективные
методы
трехмерных
проблемно-ориентированных
апробированные
численные
моделирования,
динамических
задач
с
программ,
методы,
так
адаптированные
для
участием
нескольких
и
новые
решения
интенсивно
взаимодействующих тел сложной структуры.
Научная новизна работы
1. Разработан и реализован гибридный метод сглаженных частиц,
позволяющий адекватно описывать разлет вещества и волновые
процессы.
2. Реализован комплекс программ для исследования динамических задач
в трехмерных неоднородных телах, в том числе, в многослойных,
перфорированных.
3. Проведено
сравнение
результатов
предложенных
методов
с
применением компьютера с результатами физических экспериментов и
численных экспериментов, основанных на других методах.
4. Проведено моделирование процесса внедрения высокоскоростного
ударника в многослойную преграду. Были обнаружены вихревые
структуры
в
поле
скоростей,
получена
разрушения тыльной поверхности преграды.
4
характерная
картина
5. При
моделировании
распространения
упругих
волн
в
перфорированных средах, выявлена клинообразная форма движения
волнового фронта, что подтверждается расчетами с помощью сеточнохарактеристического метода.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Гибридный метод сглаженных частиц.
2. Сравнение алгоритмов поиска ближайших соседей.
3. Распараллеленный метод сглаженных частиц.
4. Программный
комплекс
для
численного
моделирования
и
визуализации задач динамики деформируемого твердого тела методом
сглаженных частиц.
5. Результаты моделирования воздействий ударных нагрузок на здания и
оболочечные объекты.
Практическая и теоретическая ценность
1. Теоретическую ценность имеет разработанный гибридный метод
сглаженных
частиц,
так
как
сочетает
в
себе
достоинства
оригинального и монотонного методов, что позволяет аккуратно
рассчитывать разрывные решения.
2. Реализованный программный комплекс позволяет решать задачи
моделирования ударных и взрывных нагрузок на трехмерные объекты
со сложной внутренней структурой.
3. Разработанный распараллеленный метод сглаженных частиц позволил
реализовать параллельную версию программы, что в свою очередь
позволило существенно сократить время вычислений, а так же
увеличить разрешение моделей.
5
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на
следующих научных семинарах и конференциях:

Научные
конференции
МФТИ
«Современные
проблемы
фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2006, 2008)
[8, 9];

XXXV международная конференция «Гагаринские чтения» (Москва,
2009) [7];

Семинар в ЦКБ морской техники «Рубин» (Санкт-Петербург, 2009)

Семинары академиков О.И. Белоцерковского и В.В. Бетелина в
Институте автоматизации и проектирования РАН (Москва, 20082009).
Исследования по теме диссертации проводились в рамках работ по
грантам
РФФИ
(06-01-00013а,
06-01-08013-ОФИ,
08-08-13505-ОФИЦ),
контракту № П.244 с Федеральным агенством по Образованию от 22 июля
2009г, программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008
г.г.)» и НИР, проводимых Научно-исследовательском институте системных
исследований РАН.
Публикации
Основные результаты диссертационной работы изложены в девяти
печатных работах, в том числе двух – в изданиях из списка, рекомендованного
ВАК РФ [1, 2]. В работах с соавторами лично соискателем выполнено
следующее: разработка гибридного метода сглаженных частиц и создание
соответствующего комплекса программ, проведение и анализ вычислительных
экспериментов.
6
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка
использованных источников. Общий объем диссертации составляет 107
страниц. Список использованных источников содержит 74 наименования.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, дан краткий обзор работ по
теме диссертации и описана структура диссертации. Рассмотрены методы,
используемые в настоящее время при моделировании механики твердого тела,
основанные на сетках, частицах и методы типа частица-сетка.
Каждая глава предваряется кратким описанием ее содержания.
В первой главе подробно описаны цели работы и приведены постановки
задач, решенных в работе.
Первой
задачей
явлалось
моделирование
волновых
процессов и
процессов разрушения при соударении самолета со зданием. Данная задача
представляет практический интерес с точки зрения решения проблемы защиты
от террористических актов. При расчетах параметры ударника подбирались
таким образом, чтобы наиболее реалистично имитировать падение
легкого
одномоторного самолета. Считалось, что дюралюминиевый ударник имеет
скорость 200 м/с при длине 20 метров и диаметре 5 метров. Здание
моделировалось бетонной решеткой с периодом 10 метров на 2,5 метра. В этой
задаче основной интерес представляют волновые процессы в стенах и
перекрытиях здания, а также разрушения в зоне соударения.
В качестве второй задачи рассматривалось моделирование процессов
деформирования корпусов объектов подводной техники при столкновениях
объектов между собой, с грунтом и с высокоскоростными объектами. Задача
представляется
актуальной
вследствие
необходимости
моделирования
аварийных ситуаций на подводных лодках для минимизации их последствий
для экипажа и техники. Считалось, что оболочка объектов состоит из цилиндра
7
с полусферическими окончаниями. Внутри объекты имеют перегородки в трех
плоскостях. В этой задаче основной интерес представляют волновые процессы
в перегородках объектов и их оболочках, а также разрушения в зоне контактов
с другими объектами.
Во второй главе основное внимание уделено математической модели
деформируемого упруго-пластического твердого тела. Состояние вещества
описывается следующими функциями:

- плотность,
u
- вектор
скорости,   - тензор напряжений,  - внутренняя энергия.
В данной работе
используется упругопластическая модель вещества.
Законы сохранения массы, импульса и энергии записываются в виде
u
d
  0,
dt
x
du 1  

 0,
dt  x
de 1
     ,
dt 
где
1  u u

2  x x
   




-
тензор
скоростей
деформации,
d
dt
-
субстанциональная производная по времени.
Реологические соотношения записываются в гипоупругой форме с
учетом Яумановских членов в производной по времени:
dS
1


 2          S R  S R ,
dt
3


где S - девиатор тензора напряжений;
R 
1  u u


2  x x

 .

Для описания пластических течений используется теория ПрандтляРейсса. В этой теории для определения начала пластического течения
8
используется критерий Мизеса. Если s  S S  2K 2 , то считается, что имеет
место пластическое течение. В случае s  2 K 2 движение среды считается
упругим.
Для учета эффекта пластичности в правую часть уравнения
реологический соотношений необходимо добавить член   s   S    S , где

0, при s  2 K 2

  s   0, при s  2 K 2 ; S   0

  , при s  2 K 2 ; S    0
K2
В этом случае выражение S S не выходит за границы поверхности
Мизеса.
В качестве уравнения состояния моделируемой среды использовано
уравнение состояния [1]
n

K   
P  P (  , e)      1  ,

n   0 


где K и n - константы, определяемые экспериментальным путем.
Третья глава диссертации посвящена описанию методов сглаженных
частиц.
Метод
гладких
(сглаженных)
частиц
(Smoothed
Particle
Hydrodynamics - SPH) является бессеточным лагранжевым численным
методом для расчетов процессов высокоскоростного соударения, а также
иного интенсивного динамического нагружения тел, в особенности, когда
имеет место существенное изменение топологии моделируемых обьектов
(разлет вещества). Метод может быть реализован в консервативной форме,
кроме того, одним из основных его преимуществ является простой переход к
трехмерному случаю. Производные вычисляются с помощью сплайнинтерполяции, в соответствии с чем каждая гладкая частица является точкой
интерполяции, в которой известны параметры деформируемой среды.
9
Численное решение во всей области интегрирования получается с помощью
интерполяционных
функций,
для
которых
эти
частицы
являются
интерполяционными узлами. Таким образом, вычисление градиентов
сводится к аналитическому дифференцированию гладких функций.
Основная суть известного метода заключается в приближении формулы
a  x    a  x   x  x  dx
R
следующей цепочкой преобразований. Вначале мы заменяем обобщенную
функцию   x  аналитической функцией   x  x, h  , которую называют ядром
сглаживания, а h – радиусом сглаживания. В результате получим
a  x    a  x   x  x, h  dx .
R
В случае, если рассматривается среда плотности
  x ,
то можно
использовать следующее приближение
 a  x  
a  x   
   x  x, h    x  dx
R  x
   
Ядро   x  x, h  должно удовлетворять условиям
   x, h dx  1 ,
R
  x, h  
  x  .
h0
В работе Моногана утверждается, что при соблюдении этих условий и
выборе
  x 2 
  x, h   exp     
 h 


построенная таким образом аппроксимация
обеспечивает порядок O  h 2  .
Теперь рассмотрим численные методы вычисления этих интегралов.
Предполагалось, что среда разбита на маленькие, по сравнению с
характерными размерами рассчитываемой модели, элементы. Каждый такой
10
элемент имеет свое значение аппроксимируемого параметра a  x  равное ai .
Также считались известными: его плотность - i , местоположение - xi , а
также масса - mi . Заменой интегрирования суммированием по частицамсоседям мы получим
a  x  
i
mi ai
i
  xi  x, h  .
Использование такой аппроксимации существенно упрощает вычисление
градиента полевой функции
a  x 
, так как достаточно аналитически
x
продифференцировать ядро сглаживания, что даст
a  x 
m a   xi  x, h 
.
 i i
x
i
x
i
Таким образом, вычисление градиентов сводится к дифференцированию
аналитических функций. Однако стоит отметить, что данное выражение не
является единственной формой аппроксимации производной
того,
в
большинстве
случаев
более
удобными
и
a  x 
. Более
x
качественными
аппроксимациями являются другие формы, но так как их запись очень сильно
зависит от уравнений и задачи, то описывать их в этой части мы не будем.
Рассмотрим более подробно ядро сглаживания. Нам важно, чтобы
носитель функции  ( x, h) был конечным, так как в сплошной среде все
  x 2 
взаимодействия короткодействующие. Однако exp      этим свойством не
 h 
обладает. Из-за вышеперечисленных причин нами использовался следующий
сплайн
11
 3 2 3 3
1  2   4 
,    0,1

3

h

3
  2   
,
  x, h   
,  1, 2
3
4

h

0,   2,  



где  
x  x
.
h
Численные аппроксимации уравнений механики деформируемого тела,
построенные с помощью метода SPH, выглядят следующим образом:
d i

  mk  uk  ui  ik ,
dt
xi
k
      
dui
  mk  i 2  k 2  ik ,
dt
k  xi
k
 i

dei
 k

  i
  mk ui  uk  2  2
dt
k
k
 i


 ik
  ,
 xi
dSi
1


 2   i     i   Si Ri  Si Ri ,
dt
3


 i 
1 mk  
ik 
 ik
 uk  ui

 uk  ui
,

2 k k 
xi
xi 
Ri 
ik 
1 mk  
 ik
 uk  ui

 uk  ui


2 k k 
xi
xi 








Интегрирование уравнений для i-ой частицы производится по следующей
схеме.
12

1 du n 
xin 1  xin  t  uin  t i 
2
dt 

n
d
in 1  in  t i
dt
du n
uin 1  uin  t i
dt
dSin
n 1
n
Si  Si  t
dt
причем значения компонент тензора напряжений  in 1 вычисляется с помощью
уравнения состояния по вычисленным значениям плотности  in 1 и девиатора
Sin 1 .
Более подробно вывод формул можно найти в работах [1, 2]. Решения,
найденные таким методом, обладают сильной немонотонностью, что мешает
использовать данный вариант метода при решении задач с интенсивными
взаимодействиями.
Для устранения нефизичных осцилляций использован подход Моногана,
основанный на введении искусственной вязкости. Численные эксперименты
[1, 2] показали, что применение такой же формы вязкости в задачах механики
деформируемого твердого тела дает удовлетворительные результаты.
  
  
При использовании искусственной вязкости в множители вида  i 2  k 2 
k 
 i
добавляется член
aik cik  bik2
ik
, где ik
 u  u  x  x  h ,

 x  x   0.01h




i
k
i
k

 2
i
k
2
cik
- средняя
скорость звука,  ik - средняя плотность, a и b – коэффициенты искусственной
вязкости.
Метод
с
искусственной
вязкостью
обладает
приемлемой
немонотонностью, что позволяет использовать его при решении реальных
задач динамики деформируемых сред.
13
С целью обеспечения второго порядка точности и монотонности было
предложено использовать известную гибридную схему. Для определения
разрывов в решении используется аналог отношения второй и первой
производных решения по координате.
~
a  ai 1  ai    ai  ai 1 
~
a  ai 1  ai    ai  ai 1 
Однако в нашем случае мы не можем пронумеровать частицы вдоль
координатной оси. Для определения порядка мы будем использовать само
значение координаты
a

i
*
 ai
a
*
 zz
*
*
 ai
 zi
 zi

.
i
Здесь a* , z* - значение параметра и местоположение данной частицы, а
суммирование ведется по всем ее соседям. Подставив в качестве a все
компоненты скорости и напряжения, и просуммировав полученные  , мы
получим коэффициент, который хорошо показывает разрывы в решении.
На рис. 1 приведены сравнительные результаты решения задачи о
распаде разрыва по напряжению с помощью гибридизированной и гибридной
схем через 20, 40 и 60 шагов интегрирования. Из сравнительных графиков
видно, что гибридная схема меньше размывает разрывы.
14
Рис. 1. Распад разрыва по напряжению (сравнительный график)
В четвертой главе исследуется возможность применения различных
существующих алгоритмов поиска соседей, а так же известные алгоритмы и
способы хранения данных в параллельной версии программы, с целью
минимизации времени расчетов.
Рассмотрены
последовательности
вычислений,
проведения интегрирования одного шага по времени:
•
Поиск соседей;
•
Вычисление производных;
15
необходимых
для
•
Вычисление новых значений;
•
Обновление оптимизирующих структур;
•
Сохранение срезов данных.
Вначале мы для каждой частицы находим всех ее соседей. Данная задача
является вычислительно сложной и довольно трудоемкой, так как полный
перебор имел бы сложность O  n 2  . При количестве частиц порядка 104  5 105
такие затраты непозволительны, и возможность использования любого
известного метода сглаженных частиц сомнительна. Автором были проведены
вычислительные эксперименты по оценке такого алгоритма поиска, и в
результате один шаг интегрирования занимал около 5 минут для 104 частиц.
Одним из более эффективных способов поиска соседей является
применение оптимизирующей структуры в виде окто-дерева. Построение
полного списка соседей для одной частицы с использованием дерева имеет
сложность O  n log n  . При количестве частиц 5 105 время построения дерева
равно 15 секундам, а построение всех соседей для всех частиц занимает еще 25
секунд.
Далее мы вычисляем для всех частиц производные полевых функций и
вычисляем шаг по времени для каждой частицы. После, зная производные для
каждой частицы и общий шаг по времени, производим интегрирование.
Следующим шагом необходимо обновить дерево, так как положение
частиц могло измениться, и, соответственно, у частиц на следующем шаге
интегрирования будут другие соседи. На данном этапе возможно проведение
полной
перестройки
оптимизирующей
структуры
либо
ее
частичное
обновление. Для окто-дерева применялась полная перестройка дерева.
Так как нам важна зависимость полевых функций от времени, то теперь
нам необходимо сохранить эти значения. Программный комплекс, созданный в
рамках данной работы, поддерживает сохранение одно-, двух- и трехмерных
срезов скалярных и векторных величин. Обработка всех полученных в ходе
16
численного эксперимента срезов, такая как визуализация или нахождение
соответствующих функционалов на них, проводится после окончания всех
вычислений.
В ходе работы также был реализован алгоритм, использующий хэштаблицу из стандартной библиотеки STL. Использование данного алгоритма
позволило увеличить производительность на ~30% и отказаться от поддержки
собственной библиотеки, реализующей окто-дерево.
Исследованы особенности параллельной версии метода и реализована
программа
на
его
основе.
В
случае
параллельных
вычислений
последовательность действий для интегрирования одного шага по времени
имеет дополнительные инструкции:
•
Поиск соседей;
•
Вычисление производных и шага по времени;
•
Синхронизация шага по времени;
•
Вычисление новых значений;
•
Обновление оптимизирующих структур;
•
Синхронизация
приграничных
частиц
между
соседними
процессами;
•
Сохранение срезов данных.
При сохранении срезов каждый процесс сохраняет только свои данные,
это позволяет перенести этап сборки всего среза на этап обработки результатов
вычисления, ускоряя вычисления.
При
синхронизации
данных
используются
асинхронные
вызовы
библиотеки MPI, что позволяет не вводить строгий порядок обмена
сообщениями между вычислителями, проводить интегрирование внутренних
узлов одновременно с рассылкой данных соседям, а также отказаться от
дополнительных копирований памяти.
17
В пятой главе приведены результаты численного моделирования для
прикладных
задач,
анализ
экспериментальными
полученных
данными
и
результатов
результатами
и
сравнение
других
с
численных
экспериментов.
Для задачи соударения самолета со зданием полученные результаты
приведены на рис. 2. На рисунках представлены распределения модуля
скорости (слева) и давления (справа).
В
распределении
давления
виден
фронт
возмущений,
имеющий
конусообразную форму, что характерно для решетчатых конструкций. Также в
области удара четко видны разрушения и большие деформации как здания, так
и самолета. Представленные результаты свидетельствуют об адекватности
качественных
характеристик
процесса
соударения
трехмерному
моделированию на основе гибридного метода сглаженных частиц.
Для решения второй задачи о моделировании ударной нагрузки на
движущиеся
подводные
экспериментов.
объекты
Рассматривались
был
проведен
столкновения
ряд
двух
вычислительных
объектов,
удар
о
препятствие, падение самолета, попадание артиллеристского снаряда, посадка
на
дно.
На
рис.3
приведены
графики
разрушения
материалов
при
перпендикулярном соударении движущихся подводных объектов. Размеры
объектов: диаметр внешней оболочки – 23м; длина – 75м; внутренние
перегородки образуют равномерную кубическую сетку с шагом 5м. Скорость
налетающего объекта равна 15 м/с.
18
Рис. 2. Распределение модуля скорости (слева) и давления (справа)
19
Рис. 3. Распределение меры разрушения материла объектов.
В заключении приводятся основные результаты и выводы работы.
20
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1.
Разработан и реализован гибридный метод, позволяющий более
точно, по сравнению с известными методами, моделировать
волновые процессы в твердом деформируемом теле.
2.
Создан
программный
комплекс,
позволяющий
решать
многомерные задачи механики деформируемого твердого тела о
высокоскоростных соударениях деформируемых тел.
3.
Проведен ряд верификационных численных экспериментов,
подтверждающих корректность и точность метода.
4.
Эффективность
подтверждена
разработанных
результатами
методов
численных
и
алгоритмов
экспериментов
и
сравнением с экспериментальными данными и результатами,
полученными с помощью известных сеточных методов.
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. А.П. Потапов, С.И. Ройз, И.Б. Петров. Моделирование волновых
процессов методом сглаженных частиц // Математическое моделирование –
2009. T. 21, №7. – C. 20-28.
2. А.П. Потапов, И.Б. Петров. Моделирование высокоскоростных
соударений методом сглаженных частиц // Информационные технологии –
2009. №8. – С. 46-50.
3. А.П. Потапов, И.Б. Петров. Моделирование высокоскоростных
соударений методом сглаженных частиц (SPH) // Вестник Российского
государственного университета им. И.Канта. Серия «Физико-математические
науки» – 2009. №10. С. 50-56.
4. С.И. Ройз, А.П. Потапов, И.Б. Петров. Численное моделирование
последствий ударных воздействий на защитные конструкции // Моделирование
21
процессов обработки информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2007.
— С. 16 – 22.
5. А.П. Потапов, С.И. Ройз, И.Б. Петров. Моделирование волновых
процессов методом сглаженных частиц // Моделирование и методы обработки
информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2008. — С. 38 – 48.
6. С.И. Ройз, А.П. Потапов, И.Б. Петров. Численное исследование
разрушения перфорированных конструкций // Модели и методы обработки
информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2009. — С. 27 – 31.
7. А.П. Потапов. Моделирование ударных нагрузок на стержни методом
сглаженных
частиц
//
XXXIII
Гагаринские
чтения.
Научные
труды
Международной молодежной научной конференции в 8 томах. М.: МАТИ,
2009. Т.4. — С. 144 – 145.
8. А.П.
Потапов.
Численное
моделирование
высокоскоростных
соударений со зданиями методом сглаженных частиц // Труды 49-й научной
конференции
МФТИ
«Современные
проблемы
фундаментальных
и
прикладных наук» Часть VII «Управление и прикладная математика». — М.Долгопрудный: МФТИ, 2006. — С. 71.
9. А.П. Потапов. Моделирование ударных воздействий на стержневые и
плоские объекты методом сглаженных частиц // Труды 51-й научной
конференции
МФТИ
«Современные
проблемы
фундаментальных
и
прикладных наук». Часть VII «Управление и прикладная математика». — М.Долгопрудный :МФТИ, 2008. — С. 45.
ПОТАПОВ Антон Павлович
22
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ СОУДАРЕНИЙ
ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ
СГЛАЖЕНЫХ ЧАСТИЦ
Автореферат
Подписано в печать 07.09.2009. Формат 60х90 1/16.
Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № 315
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Печать на аппарате Rex-Rotary Copy Printer 1280. НИЧ МФТИ.
141700, г Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9
тел.: (495) 4088430, факс (495) 5766582
23