Метод интервалов

Ход урока
I. Организационный момент
Сегодня перед нами стоит задача: повторить метод интервалов для решения рациональных
неравенств и обобщить его для решения неравенств, содержащих модули, тригонометрические,
показательные и логарифмические функции, а также неравенств, содержащих параметры.
II Воспроизведение повторяемого материала
Учащимся предлагается задание «Найди ошибку» на кодопозитивах.
Задание
Комментарии
2
Квадратное уравнение действительно не имеет
1. x  3 x  5  0
Вычислим
дискриминант
трехчлена, решений, отсюда следует, что график целиком
стоящего в левой части исходного расположен над осью абсцисс, значит, решением
неравенства будет множество  ; .
неравенства
D  9  4  4  11  0
Следовательно, корней нет
Ответ: решений нет
2
При определении знаков на промежутках не

x  1
2.
0
учтена четная степень двучлена.
x  3x  4
Верный ответ: x   ;3  4;
+
+
1
Ответ:
3.
3
4
x
x  1;3  4;
x  82
x  7 
Исходное неравенство строгое, значит точку х = 8
необходимо исключить из ответа.
0
Ответ: x  7;
x  82  0
x  10
Ответ: x  10;
Ошибка массового характера. Такая ошибка очень
часто встречается у учащихся.
В ответ не записано значение х = 8, при котором
неравенство выполняется.
Неравенство нельзя умножать на выражение, знак
которого не известен.
4.
2
1
x2
Умножим обе части неравенства на x  2 .
Получим, 2  x  2 ; x  4
Ответ: x  4;
В процессе такой работы повторяется метод интервалов при решении рациональных и
дробно-рациональных неравенств.
5.
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

- РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
- ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
III.
Систематизация и обобщение ранее изученного.
Вопрос. Что объединяет эти неравенства?
1.
2.
x 3
0
x2
2x 1
0
2x  1



3. 2 x  4 x 2  2 x  3  0


4. 4 x 2  16 x  7 log 2 x  3  0
1

5. sin x sin x    0
2

1  log 2 x  4  log 1 13  x 
2
6. 2
0
x  2 x  3  2 x  10 x  8
Первые пять неравенств можно решить обобщенным методом интервалов, который
применяется для решения неравенств вида Р(х)> 0 (P(x)<0), где левая часть неравенства— не
стандартная функция, а произведение элементарных функций, не обязательно вида f i  ( x  xi ) ki .
Метод интервалов допускает обобщение на выражения самого разного вида и по существу делает
расщепление неравенства более легким и наглядным.
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

-ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
-НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
-ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
-ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
-ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Учащиеся вспоминают схему решения неравенств обобщенным методом интервалов и
применение его для решения некоторых показательных, логарифмических, тригонометрических
неравенств в ходе проверки домашней работы.
Вопрос: А можно ли применить этот же метод для решения задания №6?
Учащиеся формулируют более продвинутый метод решения неравенств, а именно, метод
«замены функции»: любой неудобный сомножитель fn заменяется более удобным, имеющим тот
же знак (но, возможно, другой модуль), а если в результате такой замены расширяется ОДЗ, то в
систему с полученным неравенством включаются и пропавшие ограничения.
ЗАМЕНИ ФУНКЦИЮ

-ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
-НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
-ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
-ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Вопрос: Какие задания из домашней работы решались обобщенным методом интервалов и какие
можно решить «заменой функций»?
С помощью кодоскопа проверяются решения первых трех заданий из четырех, причем
обращается внимание на решение неравенств различными способами.
1. x 2  8 x  2  x 2  2 x  2
Если раскрывать модуль изнутри, как это делают многие, то задача технически сложна, хотя и
решаема. Неравенство равносильно совокупности
 x 2  8x  2  x 2  2 x  2
 x 2  8x  2  x 2  2 x  2
 x 2  8x  2  x 2  2 x  2



  x 2  8x  2   x 2  2 x  2
2
2
2
2
 x  8 x  2  x  2 x  2
 x  8x  2  x  2 x  2
 x 2  2 x  2  x 2  8 x  2  x 2  2 x  2





10 x  0
  x 2  3x  2  0
Ответ:  ;0  1;2  5;

2
 x  5 x  0

3 x  2
2
2
1
2. 3 x 3    3 x  2  27 2 x 3 ;
9
2
2
x 2  6 x 9
2
x 2 2
6 x 9
6 x 9
x2
3
3 3
3 ; 3
3  1  32 1  3 x  0 ; 3 x  1 36 x9  32  0
Обобщенный метод интервалов
Метод «замени функцию»
x2
6 x 9
2
Т.к. y  3 z возрастает на R, то знак левой
Рассмотрим функцию f ( x)  3  1 3
3
части совпадает со знаком функции
D( f )  (;)












Находим нули функции
x 2  0 6 x  9   2  0
2
36 x 9  3 2  0
3x  1  0
x 2 6 x  11  0
6
11

x
x0
Ответ:   ;   0
11
6

Отметив нули на координатной прямой и
расставив знаки, получим
11

Ответ:   ;   0
6

log 3 10 x  3 log 3 3x  10
3.
0
log 3 10 x  log 3 x
Обобщенный метод интервалов
Метод «замени функцию»
Находим
область
определения
функции
log 3 10 x  3  log 3 1log 3 3x  10  log 3 1
log 3 10 x  3 log 3 3x  10
из
условия:
f ( x) 
0
log 3 10 x  log 3 1  log 3 x  log 3 1
log 3 10 x  log 3 x
10 x  3  0
 10 x  3  13x  10  1
0

3 x  10  0
10 x  1x  1


Получим D( f )  (0;)

x  0

10 x  0
 x  0
 10 x  23x  9
0

log 3 10 x  3  0 log 3 3x  10  0 log 3 10 x   0  10 x  1x  1
x  0
10x  3  1
3x  10  1
10x  1

1
x    D( f )
x  3  D( f )
x  1  D( f )
5
Отметив нули на координатной прямой на
 1
области определения и расставив знаки, получим Ответ:  0; 10   1; 


 1
Ответ:  0;   1; 
 10 
IV. Далее учащимся предлагается самостоятельная работа
1 вариант
2 вариант
Решить неравенства:
Решить неравенства:
1
1
1. x 
1. x 
x
x
2
x x  3
2 x 2  x  5
0

0
2.
2.
 3x 2  5 x  11
 2 x 2  3x  15
3. x  x
3. x  x
2
4. log 3 x  6 log 3 x  5  0
4. log 32 x  5 log 3 x  4  0
24 x
 1 
3  

x 1  x
3

0
5.
0
5.
2x  1  x
2x  3  1
Через 15 минут ответы проецируются на доску через кодоскоп. Учащиеся проверяют друг у
друга правильность выполнения заданий и выставляют оценки.
Критерии оценок:
«5» - 5 правильно выполненных задания;
«4» - 4 правильно выполненных задания;
«3» - 3 правильно выполненных задания;
«2» - менее 3 правильно выполненных заданий;
Код правильных ответов
Вариант Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
x2
x   1;0  1;
0;1
 2;1  
1
 1 1
 243 ; 3 
II
x   ;1  0;1 x   ;0   0;5 0 1;  1 1 
 1 1 
вариант
0; 4    3 ;1
 81 ; 3 
Далее обсуждаются вместе с учителем различные подходы к решению данных неравенств,
выбираются более рациональные способы решения, которые демонстрируется на кодопленке.
I вариант
II вариант
2
2
1
1
x 1
x 1
1. x  ;
1. x  ;
0
0
x
x
x
x
+
+
+
+
I
вариант
x   ;0  0;3
-1
0
1
x   1;0  1;
-1
0
1
x   ;1  0;1
2.
2.
x 2 x  3
 0  x 2 x  3  0
2
 2 x  3x  15
x   ;0  0;3
3. x  x ;
t 2  t  0

t  0
0  x  1;
Ответ: 0;1
 2 x 2  x  5  0
x   ;0   0;5
x t 0

2 x 2  x  5
0
 3x 2  5 x  11
x t 0
x  x;
3.
 x 0

 x  1
t  0
t  1 ;

0  t 1
0  x 1
x  0
 
x  1
Ответ: 0 1;
4. log x  6 log 3 x  5  0
4. log 32 x  5 log 3 x  4  0
log 3 x  t
log 3 x  t
2
3
t  6t  5  0 ;
t 2  5t  4  0 ;
 5  t  1 ;
 4  t  1;
1
1
1
1
x
x
 5  log 3 x  1 ;
 4  log 3 x  1 ;
243
3
81
3
 1 1
 1 1
; 
Ответ: 
Ответ:  ; 
 243 3 
 81 3 
Неравенство решается сведением к квадратному, используя метод введения новой переменной
2
24 x
 1 
3  

3

5.
2x  3  1
x 1  x
x2
5.
0
x  1
x  2x  1
0
0;
4x  1x  2
2 x  3  12 x  3  1
2
Ответ:  2;1  
1
2
2x  1  x
x  0,
x 1  x
0
Т.к.
2x  1  x
неравенство
 0;
2 x 1
0
x  13x  1


равносильно
x 1 x x 1 x
0
2 x  1  x 2 x  1  x 
 1 1 
Ответ: 0;    ;1
 4 3 
V. Углубление и расширение знаний
Второй урок начинается с проверки и обсуждения последнего (четвертого) задания из
домашней работы:
xa4
 0 выполняется для всех x  1;3 .
Найти все a, при которых неравенство
x  3a  2
Наряду с аналитическим методом решения, учитель показывает графический метод, так
называемый метод областей, который состоит в переходе от координатной прямой к координатной
плоскости и представляет собой дальнейшее развитие метода интервалов. В новой ситуации
исследуемые выражения зависят не от одной, как прежде, а от двух переменных: точки, в которых
эти выражения обнуляются или теряют смысл, теперь собираются в кривые (в частности, прямые),
а интервалы, на которые ранее точки разбивали числовую прямую, теперь превращаются в
области, на которые кривые разбивают плоскость. Если исследуемые выражения задаются
элементарными функциями, то каждое из них в каждой из полученных областей будут иметь
постоянный знак.
МЕТОД ОБЛАСТЕЙ

МНОЖЕСТВО ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ

-ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
-НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
-ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
-ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
-ТРИГОНОМЕТРИЧЕСИЕ НЕРАВЕНСТВА
аналитическое
1

a   2
2  3a  a  4

1


1 случай 2  3a  3
 a  
 a  3
3

a  4  1

 a  3


1

a   2
a  4  2  3a

1
1


2 случай 2  3a  1
 a 
a
3
3

a  4  3

 a  1


Объединяя эти два случая, получаем
1

a   ;3   ; 
3

графическое
Применим так называемый метод областей. Для
этого в плоскости a; x  проведем линии
x  a  4 и x  3a  2
Множество пар
a; x , удовлетворяющих
неравенству,
изображено
на
рисунке
(пунктирная линия в нем не содержится).
Сечение
этого
множества
прямой
a  const содержит отрезок 1;3 тогда и только
a  a1
тогда, когда 
a  a 2
a1 - решение уравнения a  4  1; a  3  a1
1
a 2 - решение уравнения  3a  2  1; a   a 2
3
a  3
1


a   ;3   ; 
a  1
3

3

Далее учащиеся разбиваются на четыре
группы. Каждой группе предлагается два
одинаковых задания, которые выполняются на больших чистых листах. Ученики выбирают для
защиты каждого задания по одному представителю от каждой группы.
1. (2000, геол., МГУ) На координатной плоскости Оxy найдите площадь фигуры, координаты
точек которых удовлетворяют неравенству: x 2  y 2  4 4  3x 2  3 y 2  0 .
2. Найти все значения параметра а, при которых решением неравенства
2 x 2  x  a  8  x 2  2 x  2a  4 является отрезок.



Решения:
1. x 2  y 2  4  0
Искомая

фигура
x2  y 2  4 ;
4  3x 2  3 y 2  0 
4
.
3
концентрическими
x2  y2 
представляет собой кольцо между двумя
2
окружностями с R  2 и r 
(совпадающие центры – начало координат). Площадь такой
3
8
8
фигуры находится по формуле S  R 2  r 2 и равна
.
Ответ:
3
3
2. Данное неравенство равносильно системе
2 x 2  x  a  8  x 2  2 x  2a  4
. Упрощая,
 2
2 x  x  a  8   x 2  2 x  2a  4
a   x 2  x  4
получим
. Будем рассматривать параметр a, как переменную и отметим на

a  x 2  x  4
координатной плоскости xoa множество точек, координаты которых удовлетворяют
полученной системе. Эти точки одновременно находятся под обеими параболами
a   x 2  x  4 , a  x 2  x  4 . Приравнивая друг другу правые части этих уравнений, находим
координаты точек пересечения парабол  2;2, 2;2
Некоторые прямые, параллельные оси абсцисс, имеют с заштрихованной областью общий
отрезок. Наша задача – указать ординаты точек этих прямых. Это, во-первых ординаты
вершины параболы a  x 2  x  4 ( x0  0,5 , a0  4,25 ) и точек, расположенных ниже нее. Во-
вторых, это точки интервала  2;2 .
Ответ: a  4,25 , a  2
Дополнительное задание. (2000, ВМиК, МГУ) На координатной плоскости Оxy изобразите
множество, координаты точек которых удовлетворяют неравенству log y sin x  0 .
VI. Защита, проверка и обсуждение полученных результатов
VII. Подведение итогов урока
В заключение урока дается оценка работы класса, подводятся итоги, в журнал
выставляются оценки за самостоятельную работу и работу в группах и предлагается
домашняя работа:
1. Найдите все значения а, для которых неравенство ax 2  1  4 x  3a выполняется для всех х
из интервала  1;0.
2. Изобразить фигуру, образованную всеми точками (x;y) декартовой плоскости Оxy,
координаты которых удовлетворяют неравенству x 2  y 2  6x  y   0 .
3. При каких значениях параметра р площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
условием 2 x  y  x  y  3  p будет равна 24?