Информатика, 10-11 класс М.Г. Мазитова, ДВГГУ РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL

Информатика, 10-11 класс
М.Г. Мазитова, ДВГГУ
РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL
Интенсификация научных исследований и инженерных разработок в современном мире
обусловила необходимость в программном обеспечении, позволяющем получать результат
сложных математических задач в приемлемые сроки. В настоящее время программные средства,
ориентированные на решение математических задач, весьма обширны. Различными фирмами и
институтами был создан ряд программных продуктов, как коммерческих, так и относящихся к
свободному программному обеспечению. К их числу относятся, например, MathLab, Math,
Mathematica, Maple, Scilab, Maxima и др. Математические пакеты охватывают основные разделы
математики и позволяют производить большинство необходимых математических расчетов.
Однако изучение математических пакетов – это дополнительная, трудоемкая задача. В то же время
в курсе информатики обычно включено изучение электронных таблиц MS Excel. MS Excel
уступает специализированным математическим пакетам, но с его помощью может быть решено
большое количество математических задач.
Решение систем уравнений с двумя неизвестными графическим способом
Многие прикладные задачи в технике, экономике и других областях сводятся к решению
системы уравнений.
Решение системы уравнений с двумя неизвестными можно найти и графическим способом.
Решением такой системы будут координаты точки пересечения линий, заданных уравнениями
системы. Графический способ зачастую дает только приближенное решение. Точность решения
зависит от шага табуляции – чем меньше шаг, тем точнее решение.
Для решения системы уравнений необходимо:
1. определить диапазон аргумента х, на котором линии пересекутся;
2. привести (если это необходимо) уравнения системы к виду: y  y (x) ;
3. построить графики линий в одной плоскости;
4. определить координаты точек пересечения.
Рассмотрим пример решения системы уравнений.
Задача. Найти приближенное решение системы уравнений:
x 2  y 2  4

 y  2 sin x
Решение.
1. Первое уравнение системы – это уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом 2. Следовательно, пересечение двух линий может быть только в диапазоне
x  [2; 2] .
2. Первое уравнение в системе приведем к необходимому для построения графика виду:
y  4  x2 .
3. Построим графики.
Этап 1. Создание рабочей таблицы с данными
Введем значения аргумента х в диапазоне [-2; 2] с малым шагом, например, 0.1.
В ячейку A2 введем первое значение аргумента из диапазона: -2 (в ячейке А1 - заголовок),
в ячейку А3 – второе значение аргумента: -1.9 (первое значение плюс шаг). Выделив
диапазон А2:А3, автозаполнением получим все значения аргумента (за правый нижний
угол блока протянем до ячейки А42). В последней ячейке должно быть последнее
значение аргумента из диапазона: 2
Вычислим значения для окружности. В ячейку В2 введем формулу: =КОРЕНЬ(4-А2^2).
Автозаполнением скопируем эту формулу в диапазон В3:В42.
Функция КОРЕНЬ возвращает только положительное значение, поэтому вычисленные
значения – это значения верхней полуокружности. Вычислим значения для нижней
полуокружности. Они будут отличаться от вычисленных только знаком. Введем в ячейку С2
формулу: =-КОРЕНЬ(4-А2) и скопируем ее в диапазон С3:С42.
Вычислим значения для второй кривой. Введем в ячейку D2 формулу: =2*SIN(А2). Скопируем
формулу в диапазон D3:D42.
Этап 2. Построение графиков
Вызовем Мастер диаграмм (кнопка
на панели инструментов Стандартная). В
появившемся диалоговом окне выберем тип диаграммы График.
Нажатием кнопки Далее перейдем к шагу 2 Мастера диаграмм. На первой вкладке Диапазон
данных указываем диапазон (выделяем с помощью мыши диапазон B2:D42). Необходимо
удостовериться, что выбрано Ряды в: столбцах.
Перейдем на вкладку Ряд и введем с помощью мыши диапазон подписей оси х: А2:А42
Можно пропустить шаг 3 и сразу нажать на кнопку Готово.
4. На построенной диаграмме видно, что линии пересекаются в двух точках.
Следовательно, данная система имеет два решения (координаты точек пересечения). Для
нахождения координат наведем указатель мыши на точку пересечение и щелкнем левой кнопкой.
Появится надпись с указанием искомых координат: Ряд «y=2sinx». Точка «1». Значение:
1,68294197. (В надписи будет написано Ряд 3 вместо Ряд «y=2sinx», если на шаге 2 Мастера
диаграмм не были введены названия рядов). Точка «1» соответствует значению х, а Значение:
1,68294197 – соответствует у (если щелчок мыши был по точке на верхней полуокружности, то
значение для той же точки будет отличаться и равняться 1,732050800, поскольку метод дает
только приближенные решения). Таким образом, одно приближенное решение системы:
x1  1; y1  1.68
Аналогично найдем второе приближенное решение системы:
x2  1; y2  1.68
Решение систем линейных уравнений
Графический метод дает лишь приближенное решение. Для решения систем линейных
уравнений можно применять и другие способы решений. Рассмотрим решение систем линейных
уравнений с использованием матриц и операций над ними.
Матрица размера n  m - прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк и m
столбцов.
Элементы матрицы – числа, составляющие матрицу.
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а элементы матрицы –
строчными буквами с двойной индексацией:
 a11 a12  a1m 


 a 21 a 22  a 2 m 
A
- матрица А размера n  m
   


a

a

a
n2
nm 
 n1
Матрица-строка – матрица, состоящая из одной строки:
A  a11 a12  a1m 
Матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца:
 b11 
 
b 
B   21 

 
b 
 n1 
Квадратная матрица – матрица, число строк у которой равно числу столбцов.
Для каждого числа a  0 существует обратное число a 1 и для квадратных матриц
вводится аналогичное понятие. Матрица, обратная по отношению к квадратной матрице А,
обозначается А-1 .
Для нахождения обратной матрицы используется функция из категории Математические
МОБР(массив),
где массив – это числовой массив с равным количеством строк и столбцов.
Как и над числами, над матрицами можно производить ряд арифметических операций. В
частности, можно вычислять произведение матриц. Но перемножать можно не любые матрицы, а
только те, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Также нужно
помнить, что умножение матриц некоммутативно, то есть АВ≠ВА.
Для нахождения произведения двух матриц используется функция из категории
Математические
МУМНОЖ(массив1; массив2),
где массив1 и массив2 – перемножаемые массивы
Решением системы n линейных уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 ,
a x  a x    a x  b ,
 21 1
22 2
2n n
2

 ,
a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  bn
называется такая совокупность n чисел x1, x2, …, xn, при подстановке которых каждое уравнение
системы обращается в верное равенство.
Систему можно записать в виде матричного уравнения:
A X  B ,
где А – матрица коэффициентов при переменных:
 a11 a12  a1n 


 a 21 a 22  a 2 n 
A
;
   


a

 n1 a n 2  a nn 
Х – матрица-столбец неизвестных:
 x1 
 
x 
X   2 ;

 
x 
 n
В – матрица-столбец свободных членов:
 b1 
 
b 
B   2 .

 
b 
 n
Существует ряд методов решения систем, ориентированных на вычисления вручную.
Предполагая использование компьютера для проведения вычислений, наиболее целесообразно
рассмотреть решение системы такого вида в общем виде (метод обратной матрицы).
Решением системы таким методом будет матрица-столбец
X  A 1  B .
Рассмотрим пример решения системы уравнений методом обратной матрицы.
Задача. Решить систему линейных уравнений
 x1  x2  x3  3

2 x1  x2  x3  11
x  x  2x  8
2
3
 1
Решение
1. Введем матрицу А – значения коэффициентов при неизвестных. В нашем случае это
будет матрица, состоящая из 3 строк и 3 столбцов. Введем элементы матрицы в диапазон А1:С3
2. Введем вектор В – значения свободных членов в диапазон Е1:Е3
3. Найдем обратную матрицу А-1. Для этого необходимо:
выделить блок ячеек для результата такого же размера, что и матрица А.
Например, А5:С7;
запустить Мастер функций (кнопка Вставка функций на панели инструментов
Стандартная) и найти в категории Математические функцию МОБР.
в поле Массив ввести диапазон матрицы А (А1:С3).
нажать сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (иногда обратная матрица не
появляется в выделенном диапазоне, тогда необходимо повторить нажатие
клавиш при выделенном диапазоне). В результате в выделенном диапазоне А5:С7
должна появиться обратная матрица:
4. Найдем решение системы уравнений – вектор Х. Для этого умножим обратную матрицу
А-1 на вектор В. Необходимо:
выделить блок под результирующую матрицу (в нашем случае - вектор). Его
размерность будет n x m, где n – количество строк у матрицы А-1, а m –
количество столбцов у матрицы В. В нашем случае размерность будет 3х1.
Выделим, например, диапазон Е5:Е7
выбрать функцию МУМНОЖ с помощью Мастера функций. В поле Массив1
ввести диапазон матрицы А-1 (А5:С7), в поле Массив2 – диапазон матрицывектора В (Е1:Е3).
нажать сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В результате в выделенном
диапазоне появится вектор Х:
где х1=4, х2=2, х3=1 – решение системы уравнений
5. Для того чтобы проверить найденное решение необходимо подставить найденное
решение в исходное матричное уравнение A  X  B . То есть при умножении матрицы А на
матрицу-вектор Х должен получиться вектор В.
Числовые последовательности
При решении многих прикладных математических задач приходится рассматривать суммы,
составленные из большого количества слагаемых. Широко распространенными числовыми
последовательностями являются арифметическая и геометрическая прогрессии.
Для нахождения членов прогрессии в Excel можно использовать стандартные средства, а
также специальную процедуру Прогрессия (Правка → Заполнить → Прогрессия).
Рассмотрим примеры задач.
Задача. Найти сумму первых 8 членов арифметической прогрессии с а1=2 и разностью
прогрессии d=4.
Решение.
1. Найдем члены прогрессии. Можно это сделать двумя способами.
1 способ. Введем в ячейку А1 первый член прогрессии - 2, в ячейку А2 введем значение
второго с учетом разности – 6 (2+4). Выделим блок А1:А2 и автозаполнением найдем остальные
члены прогрессии (протянем до ячейки А8);
2 способ. Введем в ячейку А1 первый член прогрессии – 2. Выделим блок А1:А8. Запустим
процедуру (Правка → Заполнить → Прогрессия). В диалоговом окне в поле Шаг введем значение
разности прогрессии – 4 (необходимо удостовериться, что выставлены значения: Расположение –
по столбцам, Тип - арифметическая)
2
Найдем сумму полученных членов прогрессии. Для этого установим табличный курсор
в ячейку А9 и нажмем кнопку Автосумма
на панели инструментов Стандартная и вводим
диапазон суммирования А1:А8. Результат – сумма первых 8 членов арифметической прогрессии –
128.
Задача. Вычислить все члены геометрической последовательности с первым членом b1=2 и
знаменателем q=2,5, не превосходящие 500.
Решение.
1. Введем в ячейку А1 значение первого члена прогрессии – 2.
2. Выполним команду Правка → Заполнить → Прогрессия.
3. В диалоговом окне Прогрессия переключатель Расположение поставим в положение по
столбцам, Тип – в положение геометрическая, в поле Шаг введем значение знаменателя
прогрессии – 2,5, в поле Предельное значение – 500.
Задания для самостоятельного решения
1. Графически решить систему:
4 y 2  9 x 2  36
 2
 y  x 2 / 9  1
2. Зависимость спроса на некоторый товар у от его цены х выражается уравнением
2
y  2,
x
а зависимость предложения z от цены товара – уравнением
z  x2 1.
Найти точку равновесия - точку пересечения кривых спроса и предложения (решить
систему уравнений графическим способом).
3. Вычислите:
1 2

  0  2 4

A * B   3 4  * 
1
3
2


5 6


4. Найдите обратную матрицу для матрицы:
 2  4 3


A  1  2 4
 3 1 5


5. Решите систему уравнений:
 x  2 y  3z  6

2 x  3 y  4 z  20
3x  2 y  5 z  6

6. Вычислите все члены арифметической прогрессии с а1=4 и разностью прогрессии d=3, не
превосходящие 17