Тест. Показательные уравнения и неравенства

Логарифмическая функция: преобразования, уравнения и неравенства.
Определение. Логарифмом положительного числа х по основанию а ( a  0, a  1 )
называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить х:
log a x  b  a b  x .
Основные свойства логарифмов
a loga b  b
log a x 
a logc b  b logc a
logb x
logb a
loga xy  loga x  loga y
log a b 
log a
1
log b a
x
 log a x  log a y
y
n  log a x  log a x n
loga x2  2  loga x
1
 log a x  log ak x
k
log a 2 x 
1
 log a x
2
Определение. Уравнение (неравенство), содержащее неизвестную под знаком
логарифма, называется логарифмическим.
Решение логарифмического уравнение следует начинать с нахождения области
допустимых значений (ОДЗ) входящей в него неизвестной величины. Для решения
логарифмического уравнения можно использовать следующие приемы: приведение
логарифмов к одному основанию (как правило, числовому), использование основного
логарифмического тождества, замена переменной, потенцирование, использование
монотонности.
Решение логарифмического неравенства начинается с нахождения его ОДЗ.
Равносильными преобразованиями, в основе которых лежат свойства логарифмов,
исходное неравенство сводится к системам или совокупностям простейших неравенств.
При решении элементарных логарифмических уравнений и неравенств удобно
пользоваться соотношениями:
log a f ( x)  log a g ( x)
log a ( x ) f ( x)  log a ( x ) g ( x)
log a ( x ) f ( x)  log b ( x ) f ( x)
log a f ( x)  ()0
log a f ( x)  () log a g ( x)
log a ( x ) f ( x)  ()0
log a ( x ) f ( x)  ()0
log a ( x ) f ( x)  log a ( x ) g ( x)
log a ( x ) f ( x)  () log a ( x ) g ( x)


 f ( x)  0 или g ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  0 или g ( x)  0

a( x)  0, a( x)  1
 f ( x)  g ( x)


 f ( x)  0
 a ( x )  0, a ( x )  1

b( x )  0, b( x )  1
  f ( x)  1

  a ( x )  b( x )

 f ( x)  0

(a  1)  f ( x)  1  ()0

 f ( x)  0, g ( x)  0

(a  1)  f ( x)  g ( x)   ()0

 f ( x)  0, a ( x)  0

(a ( x)  1)  f ( x)  1  ()0

 f ( x)  0, a ( x)  0, a ( x)  1

(a( x)  1)  f ( x)  1  ()0

 f ( x)  0, g ( x)  0, a( x)  0

(a( x)  1)  f ( x)  g ( x)   0

 f ( x)  0, g ( x)  0,

a ( x)  0, a ( x)  1
(a ( x)  1) f ( x)  g ( x)  ()0



Преобразование логарифмов
2 log
1. Результат вычисления выражения log8 5
B)
5
3
равен
1
2
log 125 log 8
125 равен
2. Результат вычисления выражения 9 27
А) 3
B) 4
C) 8
А)
4
3
32
25
C)
1
2 log 4 7
2
3. Результат вычисления выражения (3, 5)
А) 7
B) 4
C) 5


2
1
2 log 4 7
E)
D) 9
E) 2
D) 2
E) 3
D) 3 3
E)
равен
C)
3
А) 1
B) 2
C) 3
B) –0,5
9. Результат вычисления выражения
А) 0,5
E) 1
E) 3
D) 0,5
3
3
6 5
1
 log 1

11  2 30
3
C) 2
2 log 2 22  log11 22
log 2 22  log11 22
B) 1

3log3 216
log81 3

4 log3 8
log 27 3
E)
1
3
равен
D) –2
E) 1
равен
C) 1,5
10. Результат вычисления выражения
3
1
log 1 8  log5 750  log5 3 равен
3
5
8. Результат вычисления выражения log
А) 0,5
3
 log2 9log316 равен
2
А) 2
B) 4
C) 6
D) 8
6. Результат вычисления выражения 1  log 4 20   log5 20  1 равен
А) –2
B) –1
C) 1
D) 2
7. Результат вычисления выражения
7
3
равен


А) 27
B) 9
5. Результат вычисления выражения log
1
3
log125 3
4. Результат вычисления выражения 1  5 log2 5 


D)
D) 2
E) 3
равен
А) 27
B) 3
C) 42
D) 36
E) 18
2 4
11. Результат вычисления выражения log a 2 b  a b  при условии, что log a b  4 , равен
А) 4
B) 2,5
12. Вычислите log33 11  log33 99  log233 3
7
13. Вычислите  log5 
11 

1
C) 2
D) 1,25
E) 4,5
 log52 77  log5 121  log5 49
3log32 45  2  log 3 45  log 3 5  log 32 5
14. Найдите значение выражения
.
3log3 45  log 3 5
Логарифмические уравнения


1. Сумма корней уравнения log 4 5 x1  9  2 равна
А) –2
B) 3
C) 2
D) –3
E) 4
2
2. Если x0 – положительный корень уравнения log3 log 2  x  x  4   1 , то значение выражения
x0  x0  3 равно
А) 4
B) 18
C) –2
D) 10
E) 28
3. Какому интервалу принадлежит корень уравнения log 4  x  2   2 log 1  x  2   8
2
А)
 
B)
5; 7
 
C)
7; 9
 
9; 11
D)
4

11; 13

E)
4. Сумма корней уравнения  log 4  x  1  log 4  6  x     x 2  3x  4   0 равна

13; 15

А) 11
B) 10
C) 7
D) 8
E) 9
2
5. Если k – число корней уравнения log3 x 5 10 x  29 x  19   2 , а x0 – его положительный корень,
3k
равно
x0
1
B)
3
то значение выражения
А) 2
C) 3

D) 1
E)

2
3
6. Произведение корней уравнения log3  x  1  2 lg  4  x   0 равно
2
А) –6
B) –24
C) 12
D) –8
7. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения



log x 3 x  2  log 2  x  3  log 2 2 x  9 x  22
А) 9
2
2
E) 15

B) 8
C) 3
D) 4
E) 5
1
 log x 2 3  1 , то
8. Если k – количество корней, а p – произведение корней уравнения log x
3
x
3
значение выражения p 2  k 2 равно
А) 0
B) 5
C) 8
D) 4
2
3
9. Найдите произведение корней уравнения  log3 x   log3 (81x )
А) –3
B) 36
C) 0
D) 
E) 1
1
9
10. Найдите произведение корней уравнения lg 2 (10 x)  2 lg(100 x)  1  0
А) –4
B) –3
C) 0,1
D) 1
2
11. Произведение корней уравнения log0,2
А)
1
125
B)
E) 27
E) 10
x
2 x
 log0,2
 1 равно:
25
5
1
25
C) 125
D) 25
E) 5
12. Найдите среднее арифметическое корней уравнения x 2 lg x  100
А) 0
B) 1
C) 10
D)
101
20
E)
101
10
log x  y 125  3
13. Если  x0 ; y0  – решение системы уравнений 
, то произведение x0  y0 равно
log y (6  2 x)  1
А) 15
B) 6
C) 4
D) 8
E) 12
4
x

11
 0 равна
14. Сумма корней уравнения  x 2  6 x  7   log 3
1 x
А) 1
B) –2
C) –3
D) 4
E) 5
log32 x
log3 x
x
 162 равно
15. Произведение корней уравнения 3
1
А)
B) 81
C) 9
D) 1
E) 3
9
16. Если x0 – наибольший корень уравнения 4lg x  32  xlg 4  0 , то значение выражения
А) –1
B) –7
C) 0,1
D) 1
2
3
17. Сумма квадратов корней уравнения log x x  14log16 x x  40log 4 x x  0 равна
x0  5
x0  5
E) 3
2
А) 1,5
B) 16,5
C) 17,5
D) 17
E) 1
равно
18. Укажите корень уравнения log8  x2  x  10  log8  x2  2 x  8 
не единственный.
19. Решите уравнение log 22  x 4   4 log 2  x 2   8
20. Решите уравнение 11 
7
log
x2
2
 8  9 log 2
1
или сумму корней, если корень
3
 x
6
2
 x 2  2 xy  8 x  16 y  0

21. Решите систему уравнений 

2 xy
2
2
log3 (1  y  x)  log3  2
4
2 
 x  4 y  2x y 

x 2
10
22. Если x0 – корень уравнения 2  lg x  , то чему равно значение выражения 3 0
?
x0  2
x
Логарифмические неравенства
1. Найдите наименьшее целое решение неравенства log 0,5  2  2 x   4
А) –4
B) 3
C) 10
D) –6
1
2. Множество решений неравенства
 0 имеет вид
2  log5  4  2x 

А) ;  10, 5



B) 10, 5; 1, 5
C) 10, 5; 2



D) ; 2
3. Найдите область определения функции y  log0,1

А) 0, 5; 2


B) 0, 5; 2



 

E) ;  10, 5  10, 5; 2
9  3x

 
1 
D) 2; 3   

E) 3; 
2
4. Найдите область определения функции y  log 6  x  2   log 6  2 x  8 
А)

2; 10

B)

2; 4

C)


2x  1
C) 2; 3

E) 7

2; 4  10

D)
5. Найдите сумму целых решений неравенства log 3 ( x 2  x  2)  log 1
3
А) 3
B) 4
C) 5
6. Решение неравенства log 1 log 4 ( x  2)  0 имеет вид
4; 10
E) 10;




1
x6
D) 6
E) 7

А) x  2
B) 2  x  3
C) 2  x  4
D) 3  x  6
E) x  6
7. Сколько целых решений имеет неравенство log x  6 x  1  log x  5 x  4 
А) 0
B) 4
C) 3
D) 1
E) 2
2
8. Сколько целых чисел является решениями неравенства log0,5 (2 x  3x  1)  2
А) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) бесконечно много
9. Решение неравенства  log0,5 x   log0,5
2
А) решений нет B) x  2, x  0, 25
x
имеет вид
4
C) 0, 75  x  2, 5
D) 0, 25  x  2
E) x  2, 0  x  0, 25
10. Сколько целых чисел является решениями неравенства log3 (2  9 x  1)  4 x  2
А) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) бесконечно много
11. Найдите количество целых решений неравенства
А) 6
B) 7
C) 8


log 1 x 2 3 x  4
12. Найдите число целых решений неравенства 5

x2

5
log3 ( x  2)
9
E) бесконечно много
D) 9
1

11
2 

13. Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству  sin 
3 

1
14. Найдите число целых решений неравенства log0,6 ( x  3) 
log x  2
15. Найдите число целых решений неравенства  x 2  1 log 1  x  6  
3
16. Найдите сумму целых решений неравенства log0,2 ( x  7)  log0,2
17. Найдите сумму целых решений неравенства log
18. Найдите число целых решений неравенства
27
x 1 

5
3
log 1 ( x 2  4 x 5)
3

4
3
 log 0,6 25
2x
0
log x  6 3
27
5 x
2
3

x  1  log 0,5 x 2  2 x  8  0 .
19. Найдите сумму целых решений неравенства log3  x  4   log3  x 2  2 x  2  , удовлетворяющих
условию x  5
20. Найдите наименьшее целое решение неравенства 6log2 x  6 xlog4 36  7 xlog x 36 .
21. Найдите число целых решений неравенства log 2 x  log x 2  1, 5 .
log 2 x  3  5  log 2 x .
22. Решите неравенство
Ответы «Преобразование логарифмов»
1
B
2
B
3
D
4
E
5
C
6
B
7
C
8
C
9
D
10
D
11
E
12
1
13
–1
14
2
Ответы «Логарифмические уравнения»
1
C
2
A
3
E
19
±2, 
4
A
5
D
20
±2
1
2
6
A
7
E
21
(–4;–2)
22
2
8
B
9
E
10
D
11
C
12
D
13
C
14
C
15
D
16
Е
17
С
18
–6
Ответы «Логарифмические неравенства»
1
D
2
C
3
A
4
D
5
C
6
D
7
C
8
B
9
E
10
B
11
D
12
2
13
–6
14
3
15
1
16
–6
17
4
18
0
19
6
20
5
21
3
22
16; 
Комментарии к задачам.
7
13. Решение.  log5 

7

  log5 
11 

1

11 


 log52 77  log 121  log 5 49   log 5
5


 log5 7  log5 11   log5
2
15. 3log3 x   3log3 x 
2
1
log3 x
7

11 
1
 log 5
7

11 
1
7 
7
  log5 
11 
11 

1
 log 5 7  log 5 11
2
 4 log 5 11  log 5 7 
7

   log 5   1
11 

 x log3 x . Поэтому имеем x log3 x  81  log 32 x  log 3 81  log 3 x  2  x1  9 , x2 
1
.
9
16. Использовать формулу a lg b  blg a , получить 2  4lg x  32 , откуда х = 100.
1
1
, x  , x  2. В исходном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2.
16
4
2y
42 y 20 y
Имеем


 0 , где y  log 2 x . Отсюда получим y1  0, y2  0,5; y3  2, затем x1  1,
y 1 y  4 y  2
1
x2 
; x3  4.
2
17. ОДЗ: x  0, x 
9
20. ОДЗ данного уравнения x 2  0, x 2  1 Преобразуем данное уравнение 11  7 log 2 x 2  8  log 2  x 2  .
6
8  y  0
y  8
3
14

2
Введем замену y  log 2 x , тогда 11  y  8  y  

14
 2
2
2
3
3 y  62 y  159  0
11  3 y  64  16 y  y
y  8
3

 y  3 . log 2 x 2  3, log 2 x 2  2, x 2  4, x  2 .
53

2
 y1  3 , y2  3
21. Сгруппировав слагаемые в первом уравнении системы:  x  8 x  2 y   0 , получим
x  8
x  2 y


 или 


2 xy
2 xy

2
2
log
(1

y

x
)

log
log3 (1  y 2  x)  log 32  2
3 2
 3

4
2 
4
2 
 x  4 y  2x y 
 x  4 y  2x y 


Первая система решений не имеет, т.к. при х = 8 не определен log3 (1  y 2  x) .
Подставляя x  2 y во второе уравнение системы, получаем с учетом y  0




4 y2
1
, log3 (1  y 2  2 y)  log32 
log3 (1  y 2  2 y)  log32  2
,
4
3 
2
1 y  2y 
 4y  4y  8y 


log3 (1  y 2  2 y)   log3 1  y 2  2 y
 . Пусть t  log (1  y
2
3
2
 2 y) , тогда t   t  , t  1 или t  0 .
2
Если t  1, то log3 (1  y 2  2 y)  1, 1  y 2  2 y  3, y 2  2 y  2  0, D  0, решений нет.
Если t  0 , то log3 (1  y 2  2 y)  0, 1  y 2  2 y  1, y 2  2 y  0, y  0 или y  2. Т. к. по ОДЗ y  0 , то
y  2 и x  4 .
22. В левой части стоит убывающая функция y  2  lg x , а в правой части возрастающая y 
уравнение имеет корень, то он единственный, подбором находим его: х = 10.
10
. Если
x
20. Используя свойство логарифмов a logc b  blogc a , преобразуем второе слагаемое xlog4 36  xlog2 6  6log2 x .
Тогда неравенство примет вид: 7  6log2 x  7  36  6log2 x  62  log 2 x  2 и х>4.