2. Уравнение плоскости План урока 1. Понятие нормали к плоскости 2. Существование векторов, перпендикулярных плоскости 3. Существование плоскости, перпендикулярной вектору 4. Векторная форма записи уравнения плоскости 5. Уравнение плоскости в декартовых координатах 6. Геометрический смысл коэффициентов уравнения плоскости 7. Уравнение плоскости, перпендикулярной данной прямой 8. Уравнение плоскости, параллельной данным прямым 9. Нормальное уравнение плоскости Тесты Домашнее задание 2.1. Понятие нормали к плоскости Ненулевой вектор AB назовем перпендикулярным плоскости , если для всяких двух различных точек M и N плоскости векторы AB и MN перпендикулярны. Перпендикулярность вектора AB и плоскости записывают в виде AB Иногда вектор, перпендикулярный к плоскости, называют нормалью к этой плоскости. Вопрос. Как доказать, что в кубе ABCDA1B1C1D1 вектор AA1 является нормалью к плоскости ABCD ? 2.2*. Существование векторов, перпендикулярных плоскости Существование векторов, перпендикулярных данной плоскости, вытекает из следующего утверждения. Пусть вектор AB перпендикулярен двум неколлинеарным векторам MN и MK плоскости . Тогда AB . Доказательство. Пусть P и Q — две произвольные различные точки плоскости . Тогда векторы MN , MK и PQ компланарны. Поэтому по признаку компланарности векторов имеем PQ xMN yMK . Тогда AB PQ AB ( xMN yMK ) x AB MN y AB MK x 0 y 0 0 Так как AB PQ 0 , то AB PQ . Вопрос. Как доказать, что если AB , то для каждого t 0 вектор t AB также перпендикулярен к плоскости ? 2.3.** Существование плоскости, перпендикулярной вектору Существование плоскостей, перпендикулярных данному ненулевому вектору, вытекает из следующего утверждения. Пусть AB 0 и M — заданная точка пространства. Тогда множество всех точек K таких, что AB MK 0 , образует плоскость. Доказательство. Напомним, что через каждую точку пространства можно провести единственную плоскость, перпендикулярную заданной прямой. Рассмотрим плоскость , проходящую через точку M и перпендикулярную прямой AB . Докажем, что плоскость и является множеством всех таких точек K , что AB MK 0 . I. Пусть P — произвольная точка плоскости , отличная от точки M . Тогда прямые AB и MP перпендикулярны. Поэтому величина угла между векторами AB и MP равна , 2 откуда AB MP 0 . II. Пусть F — такая произвольная точка, что AB MF 0 . Если MF 0 , то точка F совпадает с точкой M , а поэтому F . Если MF 0 , то из условия AB MF 0 следует, что угол между ненулевыми векторами AB и MF равен . Но тогда прямая 2 MF перпендикулярна прямой AB . Отсюда следует, что точка F лежит в плоскости . Вопрос. Как доказать, что множество точек всех прямых, проходящих через заданную точку и перпендикулярных данной прямой, образует плоскость? 2.4. Векторная форма записи уравнения плоскости В пространстве для каждой плоскости можно построить перпендикулярный к ней вектор n . Тогда, если в плоскости выбрать точку M , то можно задать как множество всех таких точек K , что либо K M , либо вектор MK перпендикулярен вектору n . Эти условия равносильны равенству n MK 0 . Записывая последнее равенство через координаты, можно получить уравнение данной плоскости. Пример 1. Пусть плоскость проходит через точку M (1 2 3) и перпендикулярна вектору n (57 6) . Обозначим координаты произвольной точки K плоскости переменными (u v s ) . Тогда MK (u v s ) (1 2 3) (u 1 v 2 s 3) Поэтому равенство n MK 0 записывается в следующем виде: (57 6) (u 1 v 2 s 3) 0 , 5(u 1) (7)(v 2) 6 ( s 3) 0 , 5u (7)v 6s (5 1 (7) 2) 6 3) 0 , 5u 7v 6s 9 0 . Таким образом, координаты (u v s ) всех точек плоскости являются всеми решениями уравнения au bv cs d 0 , где a 5 , b 7 , c 6 , d 9 . Обычно переменные координаты точек плоскости обозначают ( x y z ) . Тогда уравнение рассматриваемой плоскости принимает вид 5 x 7 y 6 z 9 0 Вопрос. Как доказать, что уравнения 5 7 9 x y 3 z 0 и 5 x 7 y 6 z 9 0 задают 2 2 2 одну и ту же плоскость? 2.5. Уравнение плоскости в декартовых координатах Рассмотренный в предыдущем пункте пример и аналогичные ему задачи показывают, что плоскость определяется линейным уравнением вида ax by cz d 0 , (1) где a , b , c , d — конкретные числа, причем хотя бы одно из чисел a , b , c отлично от нуля. Докажем, что каждое уравнение вида (1) при условии отличия от нуля хотя бы одного из коэффициентов a , b , c определяет плоскость. d Доказательство. Пусть, для определенности, a 0 . Положим p , q 0 , r 0 и, a аналогично тому, как это сделано в предыдущем пункте, составим уравнение плоскости , проходящей через точку M ( p q r ) и перпендикулярной ненулевому вектору n (a b c ) . Обозначим координаты произвольной точки K плоскости переменными ( x y z ) . Тогда MK ( x y z ) ( p q r ) ( x p y q z r ) n MK 0 (a b c)( x p y q z r ) 0 a( x p) b( y q ) c( z r ) 0 ax by cz (ap bq cr ) 0 ax by cz (a ( d ) b 0 c 0) 0 a ax by cz d 0 Таким образом, решениями уравнения ax by cz d 0 являются координаты ( x y z ) всех точек плоскости . Следовательно, линейное уравнение вида (1) при условии отличия от нуля хотя бы одного из коэффициентов a , b , c определяет плоскость, что и требовалось доказать. Вопрос. Как найти координаты какой-нибудь точки плоскости с уравнением 2 y 3 z 5 ? 2.6. Геометрический смысл коэффициентов уравнения плоскости В уравнении плоскости ax by cz d 0 коэффициенты a , b , c имеют важный геометрический смысл: вектор n (a b c ) является нормалью к этой плоскости. Это означает, что по уравнению плоскости можно сразу представить направление перпендикулярных к ней прямых. Вопрос. Как доказать, что плоскости с уравнениями x 2 y 3 z 1 и 2 x 4 y 6 z 1 параллельны? 2.7. Уравнение плоскости, перпендикулярной данной прямой В девятом классе было показано, что нахождение уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки, сводится к решению системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. В этом пункте рассмотрим, как составлять уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой. Пример 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ребра основания ABCD равны 2, высота SH равна 4. Точка M – середина ребра AB , точка N — середина ребра SC , и точка K — середина отрезка MN . Через точку K перпендикулярно прямой MN проводится плоскость . Найти, в каких отношениях плоскость делит ребра пирамиды. Решение. Введем прямоугольную систему координат с началом H и осями Hx , Hy , Hz , направленными так, как указано на рисунке 1. Тогда A(1 1 0) , B(11 0) , C (11 0) , S (0 0 4) . Так как точка M середина ребра AB , то ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек A и B , откуда M (01 0) . Аналогично находятся 1 1 1 1 координаты точек N и K : N 2 , K 1 . 4 4 2 2 Вычислим координаты вектора MN , перпендикулярного искомой плоскости : 1 1 1 3 MN HN HM 2 (01 0) 2 2 2 2 2 Так как MN , то уравнение плоскости имеет вид 1 3 x y 2z d 0 2 2 или x 3 y 4 z d1 0 Для нахождения числа d1 запишем условие, что плоскость проходит через точку K : (1) 14 3 14 4 1 d1 0 7 Отсюда d1 . Поэтому плоскость имеет уравнение 2 7 x 3 y 4 z 0. 2 Для нахождения координат точек пересечения плоскости с ребрами пирамиды можно задавать ребра в параметрической форме. Например, найдем координаты точки F пересечения плоскости с ребром AS (рисунок 2). Имеем HF HA AF HA t AS где t — неизвестное значение параметра. Так как A(1 1 0) , S (0 0 4) , то HA (11 0) , AS (11 4) ,откуда HF (11 0) t (11 4) (1 t1 t 4t ) , и точка F имеет координаты x 1 t , y 1 t , z 4t . Так как точка F лежит в плоскости , то координаты точки F удовлетворяют уравнению плоскости: 7 (1 t ) 3(1 t ) 4 4t 0 2 15 3 3 3 3 , t . Следовательно, точка F имеет координаты 1 1 4 2 8 8 8 8 3 5 5 3 или . Число t определяет отношение, в каком точка F делит ребро AS, 8 8 8 2 потому что AF : AS 3:8 , откуда AF : FS 3: 5 . Вопрос. Какие координаты имеет точка пересечения плоскости с прямой CD ? 2.8.* Уравнение плоскости, параллельной данным прямым При составлении уравнений плоскости, параллельных прямым, можно использовать следующий признак. Если нормаль к плоскости перпендикулярна прямой a , то плоскость параллельна прямой a . Пример 3. Покажем, как в кубе ABCDA1B1C1D1 провести плоскость через середины ребер Отсюда 20t AA1 и CD параллельно прямой BD1 . Решение. Обозначим ребро куба через a . Введем прямоугольную систему координат с началом B и осями, направленными так, как изображено на рисунке 3. Найдем координаты вершин B , D1 , середины M ребра AA1 и середины N ребра CD : B(0 0 0) , a a D1 (a a a) , M a 0 , N a 0 . 2 2 Пусть искомая плоскость имеет уравнение mx ny kz l 0 . Тогда из условия M составляется уравнение a ma k l 0 2 из условия N получаем уравнение a m na l 0 2 Далее, так как вектор p (m n k ) перпендикулярен плоскости , а плоскость должна быть параллельна прямой BD1 , то p BD1 , откуда p BD1 (m n k ) (a a a) ma na ka 0 . В итоге, для неизвестных m , n , k , l получаем систему ka ma 2 l 0 ma na l 0 2 a(m n k ) 0 Эта система равносильна системе 2l 2m k a 0 2l m 2n 0 a m n k 0 Вычитая из первого уравнения второе, получаем 2m k m 2n 0 , m k 2n 0 , m k 2n . Так как из третьего уравнения m k n , то 2n n , откуда n 0 . Поэтому 2l m k 0 , k m . Подставляя в первое уравнение системы, получаем 2m m 0 , a 2l m . В итоге неизвестные m , n , k выражаются через l : a 2l 2l m n 0 k m a a Полагая l a , имеем m 2 n 0 k 2 Окончательно уравнение плоскости можно записать в виде 2x 2z a 0 . Вопрос. Какие координаты имеет точка пересечения плоскости с ребром CC1 ? 2.9.** Нормальное уравнение плоскости Рассмотрим еще один возможный подход к составлению уравнения плоскости. Пусть плоскость не проходит через начало O системы координат. Опустим из точки O на плоскость перпендикуляр OP . Положение точки P в пространстве можно задать расстоянием OP p и тремя углами , , , которые луч OP образует соответственно с положительными лучами осей Ox , Oy и Oz (рисунок 4). Рассматривая проекции точки P на оси системы координат, получаем, что точка P имеет p cos p cos , ординату p cos . Следовательно, абсциссу и аппликату P( p cos p cos p cos ) , откуда p 2 OP2 p 2 cos2 p 2 cos2 p 2 cos2 Пусть M ( x y z ) — произвольная точка плоскости . Заметим, что плоскости принадлежат те и только те точки M , для которых либо точка M совпадает с точкой P , либо треугольник OMP прямоугольный. Во всех случаях можно написать равенство OM 2 OP 2 MP 2 Записав это равенство через координаты точек, получаем: x 2 y 2 z 2 p 2 ( x p cos )2 ( y p cos ) 2 ( z p cos ) 2 , 2 p( x cos x cos x cos ) p 2 p 2 cos2 p 2 cos2 p 2 cos 2 Так как p 2 cos2 p 2 cos2 p 2 cos2 p 2 , то 2 p( x cos y cos z cos ) 2 p 2 x cos y cos z cos p (2) Таким образом, уравнению (2) удовлетворяют координаты ( x y z ) тех и только тех точек, которые лежат на данной плоскости . Уравнение (2) называется нормальным уравнением плоскости. В нормальном уравнении плоскости каждый коэффициент при переменных и свободный член имеют конкретный геометрический смысл: свободный член p неотрицателен и равен расстоянию от начала координат до плоскости; коэффициенты cos , cos , cos при x , y , z равны косинусам углов, образуемых нормалью OP к плоскости с положительными лучами осей Ox , Oy , Oz соответственно, если направление нормали рассматривать от начала O к плоскости; вектор n (cos cos cos ) имеет единичную длину и является нормалью к плоскости; выполняется также условие cos2 cos 2 cos 2 1 Вопрос. Как записать нормальное уравнение плоскости, проходящей через начало координат? Проверь себя. Задание 1.Выбрать из предложенных ответов правильные. Правильных ответов может быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные. Какие из плоскостей содержат точку М(1; -2; 3)? 1. x 2 y 3z 1 0 2. 2 x y 4 z 16 0 3. x y 2 z 5 0 1 5 1 4. x y z 4 0 3 3 3 Ответ: 2, 4. Какая из указанных точек принадлежит плоскости с уравнением x y z 2 0 ? 1. (5, -7, 4) 2. (-3, -1, 7) 3. (0, 28, -25) 4. (7, 8, -13) Ответ: 1, 4. Какие из указанных векторов перпендикулярны к плоскости с уравнением 2x z 3 0 ? 1. (-4, 2, 2) 2. (6, 0, 3) 3. (2, 0, 4) 4. (5, 1, 10) Ответ: 3, 4. В прямоугольной системе координат с началом О задана плоскость с уравнением x 5 y 3z 1 0 . Для каких из указанных точек М отрезок ОМ пересекает эту плоскость? 1. М(2; 1; 3) 2. М(-3; 2; -1) 3. М(-1; -2; -5) 4. М(5; -1; 2) Ответ: 1, 4. Задание 2. Выбрать правильные ответы 1 Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку A 1 2 перпендикулярно 2 вектору n (12 2) . 1. x 2 y 2 z 6 0 2. x 2 y 2 z 6 0 3. x 2 y 2 z 6 0 4. x 2 y 2 z 6 0 Ответ: 3. 1 Укажите уравнение плоскости, для которой точка A 3 2 является основанием 2 перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. 1. 2 x 12 y 8 z 51 0 2. 2 x 12 y 10 z 53 0 3. 2 x 10 y 8 z 53 0 4. 2 x 12 y 8 z 53 0 Ответ: 4. Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку A(1 3 2) параллельно плоскости 2 x y z 2 0 . 1. 2 x y z 3 0 2. 2 x y z 1 0 3. 2 x y z 4 0 4. 2 x y z 1 0 Ответ: 2. Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку A(11 0) , параллельно прямым BC и MN , если B (01 2) , C (1 2 3) , M (1 21) , N (3 2 2) . 1. x y 2 z 1 0 2. x y 2 z 0 3. x y 2 z 1 0 4. x y 2 z 0 Ответ: 2. Домашнее задание 1. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору n , если: а) A(0 0 0) , n (1 0 0) ; б) A(1 0 0) , n (11 2) ; 1 в) A(1 21) , n 12 ; 2 2. Известно, что точка A является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости, если: а) A(111) , б) A(1 2 1) , в) A(3 4 2) , 3. Составьте уравнение плоскости: а) проходящей через точку A(111) параллельно плоскости x y z 0 ; б) проходящей через точку A(1 2 1) параллельно плоскости 2 x y z 4 0 ; в) проходящей через точку A(21 4) параллельно плоскости 3x 3 y 2 z 1 0 ; 4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки A , B , C , если: 5 1 а) A 1 2 , B(0 3 2) , C 2 0 ; 4 4 3 б) A 11 , B (1 4 3) , C (212) ; 2 в) A(111) , B(11 3) , C (01 0) ; г) A(212) , B(414) , C (3 05) ; 3 д) A(111) , B(0 31) , C 1 0 . 2 5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки A и B параллельно прямой CD , если: а) A(111) , B (2 0 ) , C (1 0 0) , D(0 21) ; б) A(1 0 1) , B (1 4 3) , C (21 4) , D (3 2 2) ; в) A(1 0 0) , B(11 3) , C (011) , D(11 2) ; г) A(212) , B(212) , C (21 2) , D(3 2 3) ; д) A(0 31) , B 1 212 , C (0 4 3) , D(1 4 2) . 6. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает ось Ox в точке A , ось Oy в точке B , ось Oz в точке C , причем: а) A(1 0 0) , B (01 0) , C (0 01) ; б) A(2 0 0) , B(0 3 0) , C (0 0 5) ; в) A(2 0 0) , B (01 0) , C (0 0 2) ; г) A(2 0 0) , B(01 0) , C (0 0 4) . 7. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A , параллельно прямым BC и MN , если: а) A(1 0 0) , B (1 21) , C (2 2 3) , M (1 01) , N (11 4) ; б) A(111) , B (0 01) , C (1 1 2) , M (011) , N (4 41) ; в) A(111) , B(111) , C (2 2 3) , M (21 3) , N (3 0 3) ; г) A(0 0 0) , B(21 3) , C (3 2 4) , M (21 2) , N (2 21) ; Рисунки (названия файлов) Рисунок 1 — Рисунок 2 — Рисунок 3 — Рисунок 4 — 11-24.eps 11-25.eps 11-26.eps 11-27.eps