Примеры Дано: и . Найти и . Решение: Дано: и Найти Решение

Примеры
Дано:
4
A1 ,3   ( 2  3 0 ) и B3 ,1    3  .
1
 
Найти A1 ,3   B3 ,1 и B3 ,1  A1 ,3  .
Решение:
A1 ,3   B3 ,1  C1 ,1  ( 2  4  ( 3 )  3  0  1 )  1.
 4  2 4  ( 3 ) 4  0   8  12 0 
B3 ,1   A1 ,3   D3 ,3    3  2 3  ( 3 ) 3  0    6  9 0  .
 1  2 1  ( 3 ) 1  0   2  3 0 

 

Дано:
2 1 0
2 1 1
A3 ,3    1 1 2  и B3 ,3    3 1 2  .
1 2 1
1 1 0




Найти A3 ,3   B3 ,3   B3 ,3   A3 ,3  .
Решение:
2 1 0 2 1 1
A3 ,3   B3 ,3    1 1 2    3 1 2  
 1 2 1   1 1 0 

 

 ( 2  2  1  3  0  1 ) ( 2  1  1  1  0  ( 1 )) ( 2  1  1  2  0  0 )   7 3 4 
 ( 1  2  1  3  2  1 ) ( 1  1  1  1  2  ( 1 )) ( 1  1  1  2  2  0 )    7 0 3  .
 ( 1  2  2  3  1  1 ) ( 1  1  2  1  1  ( 1 )) ( 1  1  2  2  1  0 )   9 2 5 

 

B3 ,3   A3 ,3 
6 5 3 
  9 6 4 .
1 0  2


A3 ,3   B3 ,3   B3 ,3   A3 ,3 
 7 3 4   6 5 3   1  2 1 
 7 0 3    9 6 4    2  6  1 .
9 2 5 1 0  2  8 2 7 

 
 

▲
В рассмотренных ранее примерах системы линейных уравнений
представляются в виде матричных уравнений:
1)
1 x 1  2 x 2  1 x 3  430,
3 x1  0 x 2  2 x 3  460,
1 x 1  4 x 2  0 x 3  420,
эквивалентна
x1 
x2 
x 3  200 ,

0.372 x1  0.007 x 2  0.006 x 3  0 ,
2) 
0.220 x  0.130 x  0.280 x  0 ,
0.050 x1  0.030 x 2  0.030 x 3  0 ,
1
2
3

 1 2 1   x 1   430 
 3 0 2    x    460  ;
 1 4 0   x 2   420 

  3 

эквивалентна
0 x 1  2 x 2  2 x 3  4 x 4  1 x 5  0 x6  1 x7  0 x 8  0 x9  150 ,
3) 1 x 1  1 x 2  0 x 3  0 x 4  2 x5  0 x6  0 x7  1 x 8  0 x9  200 ,
1 x 1  0 x 2  1 x 3  0 x 4  0 x 5  2 x6  0 x7  0 x8  1 x9  300 ,
1
1
1

 200 
 0.372  0.007  0.006   x 1   0 
 0.220 0.130  0.280    x 2    0  ;
 0.050 0.030  0.030   x 3   0 




эквивалентна
 x1 
x 
 x2 
 x 3  150
0
2
2
4
1
0

1
0
0




 1 1 0 0 2 0 0  1 0    x 4    200  ;
 1 0 1 0 0 2 0 0  1   x 5   300 

  6 

x
 7
 x 8 
 x9 
 x 1  0 x 2  0 x 3  0 x 4  0 x 5  x6  4 ,
 x 1  x 2  0 x 3  0 x 4  0 x 5  0 x6  8 ,
0 x  x 2  x 3  0 x 4  0 x 5  0 x6  1 0 ,
4)  1
0x  0x  x  x  0x  0x  7 ,
0 x 1  0 x 2  0 x 3  x 4  x5  0 x6  12 ,
2
3
4
5
6
 1
0
x

0
x

0
x

0
x

x

x
2
3
4
5
6  4,
 1
эквивалентна
1
1

0
0
0
0

0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1   x1   4 
 
0   x2   8 

0   x 3   10 


.
0   x4   7 
 
0   x 5   12 
1   x6   4 
▲
Пример
Вычислить определитель матрицы
 1  2 1 1
 2 1  1  1
.
A4 ,4   
 1 7  5  5 
 3  1  2 1
Решение.
А) Вычислим определитель способом понижения порядка, используя
разложение по
4 -ому столбцу:
12 1 1
2 11
12 1
2 111
1 4
24
d ( A4 ,4  ) 
 1  ( 1 ) 1 7  5  1  ( 1 ) 1 7  5 
1 7 55
312
312
312 1
 5  ( 1 )
3 4
12 1
12 1
44
2 1  1  1  ( 1 ) 2 1  1  ( 28  15  1  21  2  10 ) 
312
1 7 5
 ( 14  30  1  21  4  5 )  5  ( 2  6  2  3  8  1 ) 
 ( 5  2  14  1  20  7 )  29  15  5  ( 10 )  3  9.
Ответ: d ( A4 ,4  )  9.
Б) Вычислим определитель более рациональным способом, используя
предварительные эквивалентные преобразования.
Следующее эквивалентное преобразование матрицы не влияет на
величину ее определителя: прибавление к одной строке матрицы другой
строки, умноженной на любое число.
Будем вычислять определитель путем разложения по 2 -ой строке.
Преобразуем эту строку прибавлением к ней 1 -ой строки с целью
получения в ней больше нулевых элементов:
12 1 1 12 1 1
2 111 31 0 0

.
1 7 55 1 7 55
312 1 312 1
Продолжаем эквивалентные преобразования с той же целью, прибавляя к
1 -ому столбцу утроенный 2 -ой столбец:
12 1 1 52 1 1
31 0 0
01 0 0

.
1 7 55 22 7 55
312 1
012 1
Тогда
52 1 1
5 1 1
01 0 0
2 2
d ( A4 ,4  ) 
 1  ( 1 ) 2 2  5  5 
22 7 55
02 1
012 1
 ( 25  0  44  0  22  50 )  9.
Ответ: d ( A4 ,4  )  9.
Пример
Решить систему, заданную расширенной матрицей:
A 3 , 4 
 1 2 3 5


   2 4 4 4 .
 3 1 1  4


Решение.
1 2 3
d ( A3 ,3  )   2 4 4  4  24  6  36  4  4  10.
3 1 1
5 2 3
d ( A3 ,3 1 )  4 4 4  20  32  12  48  8  20  20.
4 1 1
d ( A3 ,3 2
1 5 3
)   2 4 4  4  60  24  36  10  16  30.
34 1
d ( A3 ,3 3
1 2 5
)   2 4 4  16  24  10  60  16  4  10.
3 14
Ответ:
x1 
d ( A3 ,3 1 )
x3 
d ( A3 ,3 3 )
d ( A3 ,3  )
d ( A3 ,3  )

20
 2,
10

 10
 1.
10
x2 
d ( A3 ,3 2 )
d ( A3 ,3  )

30
 3,
10
▲
Пример
Вычислить обратную матрицу для матрицы:
2
1
A2 ,2   
.
 1  3
Решение.
Вычислим определитель матрицы: d A2 ,2    7  0 .
Определитель матрицы A2 ,2  отличен от нуля, следовательно, для
матрицы A2 ,2  существует единственная обратная матрица. Вычислим
присоединенную матрицу:
A11  3 , A12  1 , A22  2 , A21  1 ,
1
3


1   3  1 7
~
 3  1

1
7
.
A2 ,2   
; A2 ,2  


2 
2   1
2
7  1
 1
 

7
7
Проверкой убеждаемся, что A  A1  E .
Пример
Вычислить обратную матрицу для матрицы
 1 3 4
A 3,3     1 0 0  .


 2 6 12 
Решение.
Составим матрицу вида:
 1 3
4 1 0 0

0 0 1 0.

 2 6 12 0 0 1 

0
B 3,3
  1 0
 3

Элемент b101  1 и первую строку, содержащую данный элемент,
назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в
результате которых первый столбец преобразуется в единичный с
единицей в первой строке. Для этого к второй и третьей строкам прибавим
первую строку, соответственно умноженную на 1 и –2. В результате
данных преобразований получим матрицу:
 1 3 4 1 0 0

3 4 1 1 0.

 0 0 4  2 0 1

B 13,3  3    0


В матрице B 13,3
преобразуем второй столбец в единичный. В
 3
качестве направляющего элемента выберем элемент b212  3 . Так как
направляющий элемент b212  1 , то разделим вторую (направляющую)
строку на 3:
 1 3 4 1
0 0


4
1
1
0
1
0
.

3 3
3 
 0 0 4  2 0 1


Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на –3, и получим
матрицу:
 1 0 0 0  1 0


2
4 1
1 0.
B 3,3

0
1

 3
3 3
3
 0 0 4  2 0 1


2
Третий столбец матрицы B 3,3
преобразуем в единичный. В качестве
 3
направляющего
элемента
выбираем
элемент
Делим
b323  4 .
направляющую (третью) строку на 4:


1 0 
 1 0 0 0
 0 1 4 1
1
0 .
3 3
3


0
0
1
1
1



0

2
4
Ко второй строке прибавляем третью, умноженную на –4/3, и получим
матрицу:


1
0 
 1 0 0 0
3
1  1 .
B 3,3
 0 1 0 1
 3
3
3

0
0
1
1 

1
0

2
4 
Откуда
A 1


1
0 
 0
1  1 .
 1
3
3

1 
 1
0

2
4 
Проверкой убеждаемся, что A  A1  E .
▲
Примеры
1)
Используя обратную матрицу, решить систему линейных
уравнений, представленную расширенной матрицей:
A3 ,4 
3 2 2 3 
  2 3 1 1 .
1 2 1 1 


Решение.
3 22
d ( A3 ,3  )  2 3 1  9  2  8  6  4  6  1  0.
1 2 1
A11  ( 1 )11 3 1  1 , A12  ( 1 )1 2 2 1  1, A13  ( 1 )1 3 2 3  1 ,
2 1
1 1
1 2
3 2
 4 ,
A21  ( 1 )21 2  2  6 , A22  ( 1 )2 2 3  2  5 , A23  ( 1 )2  3
2 1
1 1
1 2
A31  ( 1 )31 2  2  8 ,
3 1
3 2
 5.
A32  ( 1 )3 2 3  2  7 , A33  ( 1 )3 3
1 1
2 3
 1  6 8
~
A3 ,3     1 5  7  .


 1  4 5
1
3 , 3 
A

~
A3 ,3 
d
1
3 , 3 
X  3 ,1   A
 1 6  8
  1  5 7 .


 1 4  5
 B3 ,1 
  1 6  8   3 ( 3  6  8
  1  5 7    1  = (  3  5  7

 
 
 1 4  5  1  ( 3  4  5
)  1 
)    1  .
  
)  2 
Проверка:
 3 2  2  1  ( 3  2  4
 2 3 1     1   ( 2  3  2

   
 1 2 1  2  ( 1  2  2
2)
)   3 
)   1  .
 

)  1 
Найти матрицу X m ,n  из уравнения
 1 2 2 
 3 2 
 2  5  3  X
 8  3 .

  1 2  2  m ,n    7  6 




Решение.
Сначала убеждаемся в том, что d ( A3 , 3  )  0.
Прежде всего необходимо найти размерность матрицы X m ,n .
Число m строк в матрице X m ,n  должно быть равно числу столбцов в
матрице, на которую матрица X m ,n  умножается слева: m  3.
Число n столбцов в матрице X m ,n  равно числу столбцов в матрице
произведения: n  2.
Обозначим
A3 ,3 
 1 2 2 
  2  5  3,
 1 2  2


B3 ,2 
 3 2 
  8 3.
7  6


Найдем матрицу A31,3  :
1 2 2
d ( A3 ,3  )  2  5  3  10  6  8  10  8  6  4  0 .
1 22
Вычислим алгебраические дополнения:
A11  ( 1 )1 1  5  3  16 ,
22
A13  ( 1 )1 3
A12  ( 1 )1 2
23
7,
12
25
 1,
1 2
A21  ( 1 )21 2 2  8 ,
2 2
A23  ( 1 )2  3
1 2
 0,
1 2
A31  ( 1 )3 1
2 2
 4,
53
A33  ( 1 )3 3
1 2
 1.
25
A22  ( 1 )2  2
1 2
 4,
1 2
A32  ( 1 )3 2
Составим присоединенную матрицу:
 A11 A21 A31   1 6 8 4 
~
A3 ,3    A12 A22 A32    7 4 1  .

A
 
 13 A23 A33    1 0 1 
Рассчитаем обратную матрицу:
1 2
 1,
23
1
3 , 3 
A
 A11
1
A


12
d  A3 ,3   d ( A3 ,3  )  A
 13
~
A3 ,3 
 A11

 d
A
  12
 d
 A13

 d
A21
d
A22
d
A23
d
A21
A22
A23
A31 
A32  
A33 
A31  

 


4

2

1
d  
A32 
7
1
 
 1  .
d   4
4
1
A33   1
0  
 
4 
d   4
Умножив исходное уравнение на обратную матрицу слева, получим:
A31,3   A3 ,3   X 3 ,2   A31,3   B3 ,2  ,
E 3 ,3   X 3 ,2   A31,3   B3 ,2  ,
X 3 ,2   A31,3   B3 ,2  =


 4  2  1 
 3 2
 7
1  
 
 1    8  3 
4  7  6
 4

 1 0  1  
 4
4 


 ( 12  16  7 ) ( 8  6  6 ) 
3 4
 21
7
14
6  
 (
8  ) (
 3  )   1 1  .
4
4
4   1 2
 4

 (  3  0  7 ) ( 2  0  6 )  
 4

4
4
4
Проверка:
A3 ,3   X 3 ,2   B3 ,2  .
  1 2 2   3 4   ( 3  2  2 ) ( 4  2  4 )    3 2 
 2  5  3    1 1 = ( 6  5  3 ) ( 8  5  6 )  =  8  3.

 
  ( 3  2  2 ) ( 4  2  4 )  


1
2

2
1
2

7

6



 



▲
▼
Пример
Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:
 x 1  x 2  2 x 3  1 ,
 2 x 1  x 2  2 x 3  4 ,
4 x 1  x 2  4 x 3  2.
Решение.
Сначала убеждаемся в том, что d ( A3 , 3  )  0.
Составим расширенную матрицу:
0 
A3 ,4 
1
1 2  1


 2  1 2  4 .
4
1 4  2 

1 итерация.
В качестве направляющего элемента выбираем элемент a101  1 .
Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого к второй и третьей
строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на –2 и –
4. Получим матрицу:
1 
A 3 , 4 
1
1
2  1 

 0  3  2  2 .
0  3 4 2


На этом первая итерация закончена.
2 итерация.
Выбираем направляющий элемент a212  3 . Так как a 212  1 , то делим
вторую строку на –3. Затем умножаем вторую строку на -1 и 3 и
складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим
матрицу:
2 
A3 ,4 
1

 0
0

0
4 3  5 3

1
2 3 2 3 .
0  2
4 
3 итерация.
Выбираем направляющий элемент a 3 23  2 . Так как a 3 23  1 , то делим
вторую строку на –2. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого
умножаем третью строку на –4/3 и –2/3 и складываем соответственно с
первой и второй строками. Получим матрицу:
3 
A 3 , 4 
 1 0 0 1


 0 1 0 2 .
0 0 1  2


Откуда x 1  1 , x 2  2 , x 3  2 .
Пример
Найти ранг матрицы
2  4 3 1
1  2 1  4
A4 ,5   
 0 1  1 3
4 7 4  4
0
2
.
1
5 
Решение.
Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы:
2  4  0.
12
Однако в матрице есть и отличные от нуля миноры второго порядка:
M
4 3
 0.
2 1
Окаймляющий минор третьего порядка
24 3
M  1  2 1  0.
0 11
/
Однако оба минора четвертого порядка, окаймляющие минор M / , равны
нулю:
24 3 1
12 14
 0,
0 11 3
4 7 4  4
24 3
12 1
0 11
4 7 4
0
2
 0.
1
5
Т. о., ранг матрицы А4,5  равен трем: r ( A4 ,5  )  3 .
Следовательно, в данной матрице три линейно независимые строки и три
линейно независимых столбца. И те, и другие – первые.
▲
Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:
 x1
 x1
2 x
 1
2 x 1


4
4
x2
x2
x2
x2
 x3
 2 x3
 5 x3
 x3

x4
 3 x4
 10 x 4
 6 x4
 4
 8
.
 20
 4
Решение.
Расширенная матрица имеет вид:
1  1

0 
1 1
A 4,4  1  
2 4
2  4

1 1 4 

2 3 8
.
5 10 20 
1  6 4 
Применяя элементарные преобразования (из второй строки вычитаем
первую, из третьей и четвертой строк вычитаем две первые), получим:
1  1 1  1 4 


1
1
4 4 
0 2
A 4 ,4  1  
.
0
6
3
12
12


 0  2  1  4  4


В полученной матрице вторая, третья и четвертая строки линейно
зависимы. Поэтому продолжая элементарные преобразования (из третьей
строки вычитаем три вторых строки, к четвертой строке прибавляем вторую,
а из первой строки вычитаем вторую), получим:
1  3

2 
0 2
A 4, 4  1  
0 0
0 0

0  5 0

1 4 4
.
0 0 0 
0 0 0 
Тогда исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:
 5 x4  0
 x1  3 x2
.

2 x2  x3  4 x4  4

Общее решение имеет вид:
x1  3 x 2  5 x4 ,
x3  4  2 x2  4 x4 .
Найдем базисные решения. Для этого полагаем x 2  0 , x 4  0 , тогда
x 1  0 , x 3  4 . Базисное решение имеет вид: 0 , 0 , 4 , 0  .
Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных
неизвестных примем x 3 и x 4 . Выразим неизвестные x 1 и x 2 через
неизвестные x 3 и x 4 :
x1  6  3 x3  x4 ,
2
1
x2  2 
x  2 x4 .
2 3
Тогда базисное решение имеет вид: 6 , 2 , 0 , 0  .
▲