План урока Тема: «Вычисление пределов функции» Тип урока Цель:

План урока
Тема: «Вычисление пределов функции»
Тип урока – практическая работа.
Цель: закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции.
Задачи:
1.
Формировать умения и навыки вычисления пределов;
0 ∞
2.
Познакомить учащихся со способами раскрытия неопределенностей ( , );
0 ∞
3.
Сформировать у учащихся навыки вычисления предела многочлена и отношения многочленов;
4.
Сформировать у учащихся навыки применения первого и второго замечательных пределов для
0 ∞
раскрытия неопределенностей ( 0 , ∞);
5.
Развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
6.
Формировать умения и навыки самостоятельно умственного труда;
7.
Способствовать воспитанию дисциплинированности, усидчивости, навыков самостоятельности
и умения работать индивидуально.
Структура занятия:
1.
Организационный момент (1-2 минуты)
2.
Проверка домашнего задания (7-10 минут)
3.
Сообщение темы занятия, актуализация опорных знаний (3-5 минут)
4.
Формирование, закрепление первичных умений и применение их в стандартных ситуациях (4045 минут)
5.
Применение знаний и умений в измененных ситуациях (25минут)
6.
Итог урока, рефлексия (3-4 минуты)
7.
Задание на дом (1 минута)
Ход занятия
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.
2. Проверка домашнего задания:
Выясняет, были ли сложности с выполнением домашнего задания. При необходимости отвечает на
вопросы учащихся. Просит некоторых учащихся сдать тетради для проверки домашнего задания.
3. Сообщение темы занятия, актуализация опорных знаний
Сообщается тему урока: «Вычисление пределов». Вместе с учащимися формулирует цель урока.
Прежде чем начать вычислять значения пределов функции, просит учащихся дать определение
предела функции и вспомнить основные свойства пределов.
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для всех значений x, достаточно близких к а
и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.
Основные свойства пределов:
1.
Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин равен алгебраической
сумме пределов слагаемых;
2.
Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов;
3.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела;
4.
Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел
знаменателя не равен 0;
5.
Предел положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же
переменной;
6.
Если переменные x,y,z удовлетворяют неравенствам x<=y<=z и x->a, z->a, то и y->a.
4. Формирование, закрепление первичных умений и применение их в стандартных ситуациях:
Сначала рассмотрим примеры непосредственного нахождения предела функции в точке.
№120. Найти lim (𝑥 2 − 7𝑥 + 4)
𝑥→3
Решение. Для нахождения предела данной функции заменим аргумент x его предельным значением:
lim (𝑥 2 − 7𝑥 + 4) = 32 − 7 ∗ 3 + 4 = −8
№121. Найти
𝑥 2 +𝑥+2
lim 𝑥 2 +2𝑥+8
𝑥→2
𝑥→3
Решение. Проверим, не обращается ли знаменатель дроби в нуль при x=2: имеем 22 + 2 ∗ 2 + 8 = 16 ≠
0. Подставив предельное значение аргумента, находим
𝑥2 + 𝑥 + 2
22 + 2 + 2
8
1
lim 2
= 2
=
=
𝑥→2 𝑥 + 2𝑥 + 8
2 + 2 ∗ 2 + 8 16 2
Рассмотрим теперь такие примеры, когда применение свойств предела становится возможным лишь
после некоторых предварительных преобразований.
№122. Найти lim
𝑥→0
√2+𝑥−√2−𝑥
5𝑥
Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при x0 равны 0. Умножив числитель и
знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим
2+𝑥−2+𝑥
√2 + 𝑥 − √2 − 𝑥 (√2 + 𝑥 − √2 − 𝑥) ∗ (√2 + 𝑥 + √2 − 𝑥)
=
=
5𝑥
5𝑥 ∗ (√2 + 𝑥 + √2 − 𝑥)
5𝑥 ∗ (√2 + 𝑥 + √2 − 𝑥)
2𝑥
2
=
=
5𝑥 ∗ (√2 + 𝑥 + √2 − 𝑥) 5 ∗ (√2 + 𝑥 + √2 − 𝑥)
√2+𝑥−√2−𝑥
5𝑥
𝑥→0
Следовательно, lim
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥 2 −2𝑥
2
√2+𝑥+√2−𝑥)
= lim 5∗(
𝑥→0
= 5lim(
𝑥→0
lim 2
𝑥→0
√2+𝑥+√2−𝑥)
2
= 5∗2
√2
√2
= 10
№123. Найти lim
Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность,
разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на
множитель х-2. В результате получим
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥2 − 4
𝑥+2
lim 2
= lim
= lim
=2
𝑥→2 𝑥 − 2𝑥
𝑥→2
𝑥→2 𝑥
𝑥(𝑥 − 2)
Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы делимого и делителя равны 0, нужно
преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого
равен 0, и, сократив дробь на этом сомножитель, найти предел частного.
2𝑥 2 +7𝑥+6
𝑥→−2 (𝑥+2)2
№124. Найти lim
Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность,
разложим числитель на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х+2.
3
2(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)
2𝑥 2 + 7𝑥 + 6
2𝑥 + 3
lim
= lim
= lim
2
2
𝑥→−2
𝑥→−2
𝑥→−2
(𝑥 + 2)
(𝑥 + 2)
𝑥+2
Здесь предел делителя равен 0. Таким образом, знаменатель дроби неограниченно убывает и
стремиться к 0, а числитель приближается к -1. Ясно, что вся дробь неограниченно растет, что условно
2𝑥 2 +7𝑥+6
𝑥→−2 (𝑥+2)2
записывается так: lim
= ∞.
Перейдем к примерам нахождения предела функции на бесконечности.
2𝑥 3 −3𝑥 2 +5𝑥+7
𝑥→∞ 3𝑥 3 +4𝑥 2 −𝑥+2
№131. Найти lim
Решение. При x->∞ имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть эту неопределенность,
разделим числитель и знаменатель на x3.Тогда получим
3 5
7
2−𝑥+ 2+ 3 2
2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 + 7
𝑥
𝑥
lim
= lim
=
4 1
2
𝑥→∞ 3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 + 2
𝑥→∞
3+𝑥− 2+ 3 3
𝑥
𝑥
4𝑥 3 +𝑥 2 −2
№134. Найти lim 3𝑥 2 +5𝑥−2
𝑥→∞
Решение. Разделив числитель и знаменатель на x3 и перейдя к пределу, получим
1 2
4+𝑥− 3
4𝑥 3 + 𝑥 2 − 2
𝑥 =∞
lim
= lim
5
2
𝑥→∞ 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2
𝑥→∞ 3
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3
поскольку числитель последней дроби стремиться к пределу, отличному от нуля, а знаменатель – к
нулю.
№135. Найти lim
𝑥→∞
√𝑥 2 +4
𝑥
Решение. При стремлении аргумента x к бесконечности имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы
раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на x. Тогда получим
𝑥2 + 4
√
2
4
√𝑥 + 4
𝑥2
lim
= lim
= lim √1 + 2 = 1
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥
1
𝑥
№136. Найти lim
3𝑥
𝑥→∞ √𝑥 2 −2𝑥+3
Решение. Предельный переход 𝑥 → ∞ всегда можно заменить предельным переходом при а → 0, если
положить а=1/x (способ замены переменной). Так, полагая в данном случае x=1/а, найдем, что а → 0 при 𝑥 →
∞. Следовательно,
3𝑥
lim
а→0 √𝑥 2
− 2𝑥 + 3
= lim
а→0
3𝑥 2 +5𝑥+1
𝑥→∞ 𝑥 2 −2
1
3𝑎
√ 12 − 2 + 3
𝑎
𝑎
= lim
а→0
1
3𝑎
√1 − 2𝑎2+ 3𝑎
𝑎
2
= lim
а→0 √1
3
− 2𝑎 + 3𝑎2
=
3
=3
1
№137. Найти lim
Решение. 1 способ. Разделив числитель и знаменатель на x2, находим
5 1
3+ + 2 3
3𝑥 2 + 5𝑥 + 1
𝑥 𝑥
lim
= lim
= =3
2
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥2 − 2
1
1− 2
𝑥
2 способ. Положим x=1/а; тогда что а → 0 при 𝑥 → ∞. Значит
3 5
3𝑥 2 + 5𝑥 + 1
3 + 5𝑎 + 𝑎2
2+𝑎+1
𝑎
lim
=
lim
=
lim
=3
1
𝑥→∞
а→0
а→0
𝑥2 − 2
1 − 2𝑎2
−
2
𝑎2
№142. Найти lim (√𝑥 + 1 − √𝑥)
𝑥→∞
Решение. Здесь требуется найти предел разности двух величин, стремящихся к бесконечности
(неопределенность вида ∞-∞). Умножив и разделив данное выражение на сопряженное ему, получим
1
(√𝑥 + 1 − √𝑥)(√𝑥 + 1 + √𝑥)
=
√𝑥 + 1 − √𝑥 =
√𝑥 + 1 + √𝑥
√𝑥 + 1 + √𝑥
1
Следовательно lim (√𝑥 + 1 − √𝑥) = lim 𝑥+1+ 𝑥 = 0.
𝑥→∞
𝑥→∞ √
√
Рассмотрим примеры, в которых используются замечательные пределы.
sin 𝑘𝑥
№ 143. Найти lim 𝑥
𝑥→0
Решение. Произведем подстановку kx=y. Отсюда следует, что 𝑦 → 0 при 𝑥 → 0, а x=y/k. Тогда
получим
sin 𝑘𝑥
sin 𝑦
𝑘 sin 𝑦
sin 𝑦
lim
= lim
= lim
= 𝑘 lim
=𝑘
𝑥→0
𝑦→0 𝑦⁄𝑘
𝑦→0
𝑦→0 𝑦
𝑥
𝑦
𝑠𝑖𝑛𝑦
Так как lim 𝑦 = 1
𝑦→0
sin 𝑘𝑥
𝑥→0 sin 𝑙𝑥
№ 144. Найти lim
Решение. Имеем
sin 𝑘𝑥 lim sin 𝑘𝑥
sin 𝑘𝑥
𝑘
𝑥
lim
= lim 𝑥 = 𝑥→0
=
sin 𝑙𝑥
𝑥→0 sin 𝑙𝑥
𝑥→0 sin 𝑙𝑥
𝑙
lim
𝑥
𝑥→0 𝑥
Здесь мы разделили числитель и знаменатель дроби на x (это можно сделать, так как 𝑥 → 0, но x<>0), а
затем воспользовались результатом предыдущего примера.
1−𝑐𝑜𝑠8𝑥
№ 145. Найти lim 2𝑥 2
𝑥→0
Решение. Преобразуем числитель к виду 1-cos8x=2sin24x. Далее находим
1 − 𝑐𝑜𝑠8𝑥
2𝑠𝑖𝑛2 4𝑥
sin 4𝑥 sin 4𝑥
sin 4𝑥
sin 4𝑥
lim
=
lim
= lim (
∗
) = lim
∗ lim
= 4 ∗ 4 = 16
2
2
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
2𝑥
2𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
№ 146. Найти lim 𝑥 2
𝑥→0
Решение. 1 способ. Здесь имеет место неопределенность вида 0/0. Применяя известную
тригонометрическую формулу и выполняя элементарные преобразования, получим
𝑥
𝑥
𝑥
2𝑠𝑖𝑛2 2
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 sin(2) sin(2) 1
lim
= lim
= lim ∗
∗
=
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0 2
𝑥2
𝑥2
𝑥/2
𝑥/2
2
2 способ. Преобразуем числитель следующим образом:
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)
𝑠𝑖𝑛𝑥 2
1
=
=
=(
) ∗
2
2
2
𝑥
𝑥 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑥 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
Следовательно,
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥 2
1
𝑠𝑖𝑛𝑥 2
1
1
1
lim
= lim (
) ∗ lim
= (lim
) ∗
= 12 ∗
=
2
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥→0 𝑥
1 + lim 𝑐𝑜𝑠𝑥
1+1 2
№ 147. Найти
3𝑡𝑔 𝑥
lim
𝑥→0 𝑥
Решение. Заменив tg x на sin x/cos x, получим
𝑥→0
3𝑡𝑔 𝑥
3 sin 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
3
𝑠𝑖𝑛𝑥
3
= lim
= lim (
∗
) = lim
∗ lim
=1∗3=3
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
2 3𝑥
№ 154. Найти lim (1 + )
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥→∞
Решение. Имеем
2
2
2
lim (1 + )3𝑥 = lim ((1 + )𝑥/2 )6 = (lim (1 + )𝑥/2 )6
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥
𝑥
𝑥
Положим x/2=y. Тогда при неограниченном возрастании x переменная y также будет неограниченно
2
1
возрастать. Поэтому, используя второй замечательный предел, получим lim (1 + )𝑥/2 =lim (1 + )𝑦 = 𝑒. Итак,
lim (1 +
𝑥→∞
2 3𝑥
)
𝑥
𝑥
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑦
6
=𝑒 .
3+𝑥 1⁄
) 𝑥
3
№ 155. Найти lim (
𝑥→0
Решение. Запишем основание степени в виде
1
.
3
3+𝑥 1⁄
3+𝑥 3 1
) 𝑥 = lim ( ) ⁄𝑥∗ ⁄3
3
𝑥→0 3
ln 𝑥−1
lim
𝑥→𝑒 𝑥−𝑒
Следовательно, lim (
𝑥→0
№ 156. Найти
3+𝑥
𝑥
𝑥
1
1
3
𝑥 3⁄ 1⁄
𝑥) 3
3
= (lim(1 + )
𝑥→0
=𝑒
1⁄
3
3
= √𝑒.
Решение. Имеем
ln 𝑥−1
ln 𝑥−ln 𝑒
= lim 𝑥−𝑒
𝑥→𝑒 𝑥−𝑒
𝑥→𝑒
lim
1
𝑙𝑛
= 𝑒 lim 𝑥
𝑥
𝑒
𝑥→𝑒 𝑒 −1
1
= 𝑒 lim
𝑧→0
ln(𝑧+1)
𝑧
3
= 1 + 3, а показатель степени – в виде 𝑥 = 𝑥 ∗ 3 = 𝑥 ∗
1
1
= 𝑒 ∗ 1 = 𝑒 (здесь
𝑥
𝑒
− 1 = 𝑧)
5. Применение знаний и умений в измененных ситуациях:
Предлагает учащимся выполнить самостоятельную работу (4 варианта, см. приложение).
6. Подведение итогов урока, рефлексия
Объявляет итог урока, называет оценки.
В качестве рефлексии учащимся предлагается закончить предложения и высказать свои мнения.
Данное занятие для меня…
Я почувствовал(а), что…
В будущем я…
Сегодня работать для меня было…
Мне бы хотелось изменить…
На следующем занятии мне бы хотелось…
7.Задание на дом
[2, стр.180], №130, №133, №140, №151, №158.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Самостоятельная работа
Вычисление пределов
Вариант – 1
2
1. lim (𝑥 − 6𝑥 + 5)
𝑥→2
6
1
Самостоятельная работа
Вычисление пределов
Вариант – 3
1. lim (2𝑥 2 − 3𝑥 − 5)
𝑥→5
4
1
2. lim (𝑥 2 −9 − 𝑥−3)
2. lim (𝑥 2 −4 − 𝑥+2)
3. lim
3. lim
𝑥→3
𝑥→∞
4. lim
5𝑥 6 −4𝑥 3 +𝑥
9−𝑥−𝑥 6
3+4𝑥−𝑥 3
𝑥→∞ 7𝑥 2 +6
sin 3𝑥
5. lim
𝑥→0
𝑥
𝑥→2
3𝑥 7 −4𝑥 3 +𝑥
𝑥→∞ 9+𝑥−2𝑥 7
3+4𝑥−5𝑥 6
4. lim
𝑥→∞ 3𝑥 2 +16
sin2 3𝑥
5. lim
9𝑥 2
𝑥→0
Самостоятельная работа
Вычисление пределов
Вариант – 2
1. lim (𝑥 2 + 4𝑥 − 8)
Самостоятельная работа
Вычисление пределов
Вариант – 4
1. lim (2𝑥 2 + 3𝑥 + 2)
2.
2. lim (
𝑥→−2
√𝑥−4−2
lim ( 𝑥−8 )
𝑥→8
𝑥 10 −3𝑥 6 −𝑥
3. lim 9+𝑥−12𝑥 10
𝑥→∞
4. lim
13+7𝑥−15𝑥 5
3𝑥 4 +6
𝑥→∞
3
sin 2𝑥
5. lim
𝑥→0
8𝑥 3
𝑥→−4
𝑥−6
)
𝑥→6 √𝑥+3−3
2𝑥 9 −7𝑥 3 −2
3. lim 19+4𝑥−2𝑥 9
𝑥→∞
4. lim
1+𝑥−5𝑥 7
𝑥→∞ 2𝑥 3 +1
sin 5𝑥
5. lim
𝑥→0
𝑥