Файл9 - Севастопольская морская академия

АНООВО «СЕВАСТОПОЛЬСКАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра «Фундаментальных дисциплин»
Л.В. Николайчук
Ю.М. Рудов
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ №2
для студентов заочной формы обучения
направления/специальности
26.05.05 Судовождение;
26.05.06 Эксплуатация судовых энергетических установок;
26.05.07 Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики
Севастополь, 2014
Николайчук Л.В. – старший преподаватель
Рудов Ю.М. - доктор технических наук, профессор
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы №3 по
дисциплине «Математика» для студентов I - го курса заочной формы обучения
инженерных специальностей. – Севастополь: СевМА, 2014
Методические указания к выполнению расчетно-графической
работы по дисциплине «Математика» для специальностей
«Судовождение», «Эксплуатация судовых энергетических
2
установок», «Эксплуатация судового электрооборудования и
средств автоматики»
ПЕРВЫЙ КУРС ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Студенты на 1-ом курсе выполняют 2 контрольные работы.
Срок сдачи расчетно-графической работы 1 - декабрь;
срок сдачи расчетно-графической работы 2 - июнь.
В каждом задании – 6 вариантов; вариант назначает преподаватель.
График консультаций – на кафедре.
Материал к расчетно-графической работе №2
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
3
Вопросы к экзамену по материалу главы 3:
1. Пределы, свойства пределов.
2. Свойства бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
3. Непрерывность функций.
4. Геометрический смысл производной.
5. Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.
6. Дифференциал функции и его свойства.
7. Применение 1-й и 2-й производных для исследования функций.
8. Общий план исследования функции и построение графика.
Тема 4. Интегральное исчисление
Вопросы к экзамену по материалу главы 4:
1. Неопределенный интеграл и его свойства.
2. Непосредственное интегрирование, интегрирование по частям.
3. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
4. Разложение многочлена на множители и представление рациональной дроби
суммой простейших дробей.
5. Интегралы от иррациональных функций.
6. Интегрирование тригонометрических выражений.
7. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
8. Свойства определенных интегралов.
9. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Формула
Ньютона – Лейбница.
10.Способы вычисления определенных интегралов.
11.Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных
функций.
Тема 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Вопросы к экзамену по материалу главы 5:
1. Определение функций нескольких переменных, области, линии и поверхности
уровня.
2. Частные приращения и частные производные. Теорема о равенстве частных
смешанных производных.
4
3. Полное приращение и полный дифференциал.
4. Производная по направлению. Градиент и его свойства.
5. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких
переменных.
Тема 6. Дифференциальные уравнения и системы
Вопросы к экзамену по материалу главы 6:
1. Основные определения о дифференциальных уравнениях.
2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
5. Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые понижением
порядка.
6. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 2-го порядка.
Различные случаи корней характеристического уравнения.
7. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
8. Определение частных решений ЛНДУ с правой частью вида
9.Определение
частью вида.
f ( x )  e ax P( x ).
частных решений ЛНДУ с правой
f ( x)  eax P( x) cos x  Q( x) sin x

10. Системы
обыкновенных
дифференциальных уравнений. Решение системы методом исключения.
11. Решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений 2го порядка методом Эйлера. Различные случаи характеристических чисел.
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы №2.
Основные правила дифференцирования функций:
1.
(u  v)  u   v
2.
(uv)  u v  uv

 u  uv  uv
3.   
v2
v
5
Таблица производных
Свойства:
1.
2.
 с  f (х)dx  c f (х)dx
 (f (х)  (х))dx   f (х)dx   (x)dx
(  f ( х )dx)  f ( х )
 f ( x )dx  f (х )  с
3.
4.
Таблица основных неопределенных интегралов
6
1. dx  x  C
x n 1
2. x dx 
 C , n  1
n 1
x2
3. xdx 
C
2
dx
4.
 ln x  C
x
dx
1
5. 2    C
x
x
dx
6.
 2 x C
x
9. cos xdx  sin x  C
n
10. sin xdx   cos x  C
dx
 ctgx  C
sin 2 x
dx
 tgx  C
12. cos 2 x
11.
dx
 arctgx  C  arcctgx  C
1 x2
dx
14.
 arcsin x  C   arccos x  C
2
1 x
dx
15.
 ln x  x 2  h  C
2
x h
13.
7. e x dx  e x  C
ax
8. a dx 
C
ln a
x
Методы интегрирования
1. Метод замены переменного
у   f ( х)dx , замена x   (t ) , dx   (t )dt
y   f ( (t )) ' (t )dt
2. Метод интегрирования по частям
 иdv  иv   vdи
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 1.
Найти производную у, если заданы следующие функции
2
х
а) у  5х  3соsx  5  tgx  13 ;
b)
у  e х tgx ;
4
2
c) y  arcctg( x  3 x ) .
Решение:
а) Найдём производную простой функции
7
у   ( 5х 2  3соsx  5 х  tgx  13 ) = ( 5х 2 )  ( 3соsx )  ( 5 х )  ( tgx )  ( 13 ) 
 10 х  3 sin x  5 х ln x 
1
;
cos 2 x
b) В данном случае нужно вычислить производную произведения (основные
правила дифференцирования функций)
1
1
х

е
(
tgx

);
cos 2 х
cos 2 x
у   ( e х tgx )  е х tgx  e х
4
2
с) y  arcctg( x  3 x ) - сложная функция.
y   ( arcctg( x 4  3x 2 ) ) 



1
  ( х 4  3х 2 ) 
  
4
2 2 
4
2
2 arcctg( х  3х )  1  ( х  3х ) 
1


1
  ( 4 х 3  6 х ) 
  
4
2
2
4
2
2 arcctg( х  3х )  1  ( х  3х ) 
=
1
2 х 3  3х
arcctg( х 4  3х 2 )  ( 1  ( х 4  3х 2 )2 )
.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 2.
Найти производную y х и вторую y xx , если заданы следующие функции
 х  t  sin t ,
b) 
 y  2  cos t
a) у  х ln x  5 ;
Решение:
а) ух  ( x ln x  5 )x  ( x ln x )x  ( 5 )x  ln x  1 ;
у xx = (ln x  1 )х 
1
;
х
b) производная функции, заданной параметрически вычисляется по формуле:
у х 
Так как, хt  1  cos t ,
уt  sin t ,
у t
.
хt
у х 
то
8
sin t
.
1  cos t
Для определения второй производной первую производную
y x дифференцируем по
t:

sin t  ( 1  cos t )  cos t  sin t  sin t
cos t  1
1

( y x )t  


 
.
2
2
( 1  cos t )
( 1  cos t ) 1  cos t
 1  cos t 
Разделим полученное выражение на
хt и найдём уxx :
уxx 
1
.
( 1  cos t ) 2
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 3.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию
х3
у 2
х 4
и, используя результаты исследования, построить ее график.
Решение: 1) Область существования – вся числовая ось за исключением точек
х1  2,
х2  2 . Это точки разрыва. Определяем характер точек разрыва.
x3
lim
  ,
x  2  0 x 2  4
x3
lim
  ,
x 2 0 x 2  4
x3
lim
  .
x20 x 2  4
x3
lim
  ,
x 2 0 x 2  4
Так как ветви кривой стремятся к бесконечности при
х1  2,
х2  2 , то в этих
точках – разрыв второго рода, имеются вертикальные асимптоты с уравнениями
х  2,
х  2.
Определяем точки пересечения графиком осей координат. Если
Если y  0  x  0 . Имеется одна точка – начало координат.
9
x 0 y 0.
2) Так как
f ( x ) 
(  x )3
x3


 f (  x )   f ( x ) , то функция является
(  x )2  4
x2  4
нечетной. График функции симметричен относительно начала координат.
3) Если существует конечный предел
lim f ( x )  b ,
или
x  
lim f ( x )  b ,
x
то график имеет горизонтальную асимптоту с уравнением
x3
 ,
x x 2  4
lim
y  b . В нашем случае
следовательно горизонтальной асимптоты нет.
Если существуют два конечные предела
lim
x 
f(x)
 k,
x
lim ( f ( x )  kx )  b ,
x 
то график имеет наклонную асимптоту с уравнением
y  kx  b .
Для данного примера:
k  lim
x 
f(x)
x3
 lim
 1,
x  x( x 2  4 )
x
 x3

4x
b  lim  2
 1  x   lim 2
 0.
x  x  4
x  x  4


Таким образом существует наклонная асимптота с уравнением
y  x.
4) определяем первую производную
y 
x 2 ( x 2  12 )
.
( x 2  4 )2
x  2 3 , x  0 , x  2 3 (производная равна нулю) и точки
Критические точки
х  2 , х  2 (производная не существует).
Знаки первой производной определяем методом интервалов
10
5) Вторая производная
8 х( х 2  12 )
.
( х 2  4 )3
у  
Вторая производная равна нулю при
х=0 и не существует при
х=-2, х=2.
Знаки второй производной определяем методом интервалов
6) Результаты исследования обобщаем с помощью таблицы
Значение
Значение
Знак
Знак
аргумента х
функции у
у
у 
Вывод о
функции
-
+
-
Возрастает,
выпуклость
-3 3
0
-
максимум
функции
-
-
-
убывает,
выпуклость
не сущ.
не сущ.
не сущ.
2 x 0
+
-
+
убывает,
вогнутость
х=0
0
0
0
точка перегиба,
график
пересекает оси
координат
0 x2
-
-
-
убывает,
выпуклость
не сущ.
не сущ.
не сущ.
+
-
+
убывает,
вогнутость
х=2 3
3 3
0
+
минимум
функции
х>2 3
+
+
+
возрастает,
вогнутость
   x  2 3
х=-2 3
 2 3  x  2
х=-2
х=2
2 x2 3
11
вертикальная
асимптота
вертикальная
асимптота
На основании выводов таблицы результатов исследования строим график функции
у
10
5
-10
-5
-2
2
0
5
10
х
-5
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 4.
Найти неопределенный интеграл
arccos x

1 x2
dx . Решение: решим интеграл методом
подведения под знак дифференциала


arccos x
1  x2
dx   
3
2
1
2
arccos x d (arccos x )    (arccos x ) d (arccos x ) 
(arccos x )
2
С  
3
3
2
(arccos x )3  С .
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 5.
Используя формулу интегрирования по частям, вычислить интеграл:
 ln( x
2
 1 )dx
Решение: Формула интегрирования по частям имеет вид:
 иdv  иv   vdи
Проинтегрируем данный интеграл
12
u  ln( х 2  1 ), dv  dx
2

  x ln( x 2  1 )  x  2 xdx  x ln( x 2  1 ) 
ln(
x

1
)
dx


 x2 1
du  2 xdx ,v  x

2
x 1


x2 11
dx
 2 2
dx  x ln( x 2  1 )  2 dx  2 2  x ln( x 2  1 )  2 x  2arctgxх  С
x 1
x 1
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 6.
Найти неопределенный интеграл
 sin 2 x cos 5xdx
Решение: используем тригонометрические формулы превращения произведения в
сумму
1
cos  cos   (cos(    )  cos(    )),
2
1
sin  sin   (cos(    )  cos(    )),
2
1
sin  cos   (sin(    )  sin(    )).
2
 sin 2 x cos 5 xdx 

1
1
1
(sin
7
x

sin(

3
x
))
dx

sin
7
xdx

sin 3 xdx 
2
2
2
1
1
cos 7 x  cos 3 x  C .
14
6
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 7.
Найти интеграл рациональной функции:
dx
 x x 1
2
Решение: подинтегральная функция
13
f(x)
1

x ( x 1)
2
правильная рациональная функция. Разложим её на простые множители:
1
А В
С
Аx( x  1 )  В( x  1 )  Сx 2
  


x 2 ( x 1 ) x x 2 x 1
x 2 ( x 1 )
Аx 2  Аx  Вx  B  Cх 2 x 2 ( А  С )  x( В  А )  В


x 2 ( x 1 )
x 2 ( x 1 )
Сравнивая коэффициенты перед x в числители, составим и решим систему
уравнений:
 В  1,

 А  1,
С  1.

 А  С  0,

В  А  0,
 В  1;

1
1 1
1



x2( x 1) x x2 x 1
Тогда
dx
dx
dx
dx
1






ln
x

 ln x  1  С 
 x 2 x  1  x  x 2  x  1
x
 ln
x 1 1
  С.
x
x
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 8.
Вычислить определенные интегралы:
1
x
4 x
(
e

1
)
e dx

0
Решение: вычислим данный интеграл методом замены переменной и применим
формулу Ньютона - Лейбница
14
b
 f ( x)dx F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
t e x 1
1
0 ( e  1 ) e dx  dt  e dx
t1  0,t 2  e  1
x
4
x
x
e1
t5
  t dt 
5
0
4
e1
0
1
 ( e  1 )5 .
5
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЯ 9.
Найти частные производные первого и второго порядков от функции:
Z  5 х 6  ln( y  1 )  ху
Решение: Найдем частные производные первого порядка:
Z у  
Z х  30 х 5  у ,
1
 х.
у 1
Частные производные второго порядка:
  150х 4 ,
Z xx
Z уу 
1
,
( у  1 )2
  1 .
Z ху
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЯ 10.
Дана функция z = х 3  2 ху 2  ln y ,
1) grad z в точке А;

точка А(2; 1) и вектор
а (2; 5). Найти:

2) производную в точке А по направлению вектора а .
Решение: 1) Градиент функции Z в точке А вычислим по формуле:


gradZ  Z х  i  Z у  J .
Для этого вычислим производные функции Z первого порядка:
Z у  4 ху 
Z х  3х 2  2 у 2 ,
1
.
у
Найдем значения производных в данной точке А(2;1):
Z х
А( 2 ;1 )
 10 ,
Z у
А( 2 ;1 )
 7 .


gradZ  10i  7 J .

2) Производная функции Z в точке А(х; у) по направлению вектора а( а х ; а у )
вычисляется по формуле:
15
Z а  Z х  cos   Z у  cos  ,
где cos  и cos  - направляющие косинусы:
ау
cos    .
а
а
cos   х ,
а

Найдем направляющие косинусы, предварительно найдя длину вектора а (2; 5):

а  2 2  52  4  25  29 ;
5
.
29
2
5
Z а  10 
7
.
29
29
cos  
2
,
29
cos  
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЯ 11.
Найти экстремумы функции двух переменных: Z  х 2  2 ху  4 у 3 .
Решение: Экстремум функции двух переменных находится на основании
необходимого и достаточного условий экстремума функции.
Необходимое условие экстремума функции: если функция в данной точке имеет
экстремум, то все частные производные первого порядка в этой точке равны нулю,
или не существуют в данной точке.
Достаточное условие экстремума функции: если существуют частные
производные функции второго порядка в точке М:
 М  А ;
 М  В ;
Z уу М  С , то если:
Z xx
Z xу
  АС  В 2  0 , A  0 - то точка М – точка минимума;
  АС  В 2  0 , A  0 - то точка М – точка максимума;
  АС  В 2  0 - то в точке М нет экстремума;
  АС  В 2  0 - требуются дополнительные исследования.
Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум:
1. Найти частные производные первого порядка.
2. Приравнять к нулю частные производные первого порядка и найти критические
точки.
3. Найти значения частных производных функции второго порядка в критических
точках и сделать вывод на основании достаточного условия экстремума
функции.
Найдем экстремум функции Z  х 2  2 ху  4 у 3
1. Найдем частные производные функции первого порядка:
Z х  2 х  2 у ,
Z у  2 х  12 у 2 .
2. Приравняем к нулю частные производные первого порядка и найдем критические
точки:
2 х  2 у  0,
х  у ,
х  у ,



2
2
 у( 6 у  1 )  0.
 2 х  12 у  0,
6 у  у  0,
16
Получаем две критические точки: М1(0; 0), М2(1/6; 1/6).
3. Найдем частные производные второго порядка:
  2 ,
  2 ,
Z xу
Z xx
Z уу  24 у .
В критической точке М1(0; 0) частные производные второго порядка имеют
значения: А=2, В=-2, С=0. Следовательно,   АС  В 2  4  0 - в этой точке
экстремума нет.
В критической точке М2(1/6; 1/6) частные производные второго порядка имеют
значения: А=2, В=-2, С=4. Следовательно,   АС  В 2  8  4  4  0 - в этой
точке функция имеет минимум.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЯ 12.
Определить тип дифференциальных уравнений первого порядка и найти их общее
решение:
а) ( у 2  2 ху )dx  x 2 dy  0 ;
б) ху   у  sin x
Решение:
а) Проверим данное дифференциальное уравнение на однородность, для этого
у   f ( x; y ) , и проверить выполнение условия:
нужно привести его к виду:
f ( x; y )  f ( tx;ty ) .
dy y 2  2 xy
y 2  2 xy
2
2

x dy  ( y  2 xy )dx ,
, значит, f ( x; y ) 
.
dx
x2
x2
Найдем f ( tx; ty ) :
t 2 y 2  2tx  ty y 2  2 xy
f ( tx;ty ) 

. Условие однородности выполняется,
t 2 x2
x2
данное дифференциальное уравнение однородное.
Пусть у  их , у   и х  и . Подставим замену в уравнение:
u x  u 
u 2 x 2  2ux 2
,
x2
u x  u 2  3u - уравнение с разделяющими
переменными,
du
du
dx
х
 u 2  3u ,

.
dx
u ( u  3 ) x
Проинтегрировав обе части полученного уравнения, имеем:
1
3
3
1

u 3
u 3
ln 3
 ln Cx ,
 Cx ,
ln u 3  ln u  3 3  ln Cx ,
3
u
u
возвращаясь к подстановке, имеем:
y  3x
 ( Cx )3 ,
y
y
3x
- общее решение данного уравнения .
1  ( Cx )3
б) Разделив уравнение на x, получим уравнение вида
у   p( x ) y  f ( x ) - линейное уравнение первого порядка.
Пусть y  u  v , y   u   v  u  v  . Подставим в уравнение
xuv  xuv  uv  sin x
17
xu v  u( xv  v )  sin x .
Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части
Выберем неизвестную v так, чтобы выражение в скобках превращалось в нуль:
xv  v  0 . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его
относительно неизвестной v :
dv
v
v
dv
dx
1
 ,
v   ,
  ,
v .

dx
x
x
v
x
x
При определении v считаем, что произвольная С=0. Подставим значение v в
уравнение
u   sin xdx  C ,
u  sin x ,
du  sin xdx ,
u  C  cos x .
C  cos x
- общее решение данного уравнения.
x
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЯ 13.
Найти общее решение дифференциального уравнения
у   cos x .
Решение: данное уравнение имеет вид:
у( п )  f ( x ) .
Решение таких уравнений сводится к повторному интегрированию п раз. При этом
общее решение будет содержать п произвольных постоянных.
Интегрируем левую и правую части уравнения:
 у dx   cos xdx  C1 ,
Окончательно,
y  uv 
y  sin xdx  C1 .
Интегрируем повторно:
 y dx   sin xdx   C dx  C
1
2
,
y   cos x  C1 x  C2 .
Последняя формула – общее решение уравнения.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЯ 14.
Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий указанным начальным
условиям:
y   3 y   10 y  0, y1  0,
y1  0 .
Решение: данное уравнение – линейное однородное дифференциальное уравнение
(ЛОДУ). Составим характеристическое уравнение, где коэффициенты сохраняем,
функцию у заменяем единицей, а все её производные – соответствующими
степенями к:
к 2  3к  10  0 , где к1  2, к 2  5
Корни характеристического уравнения действительные, разные, тогда общее
2 х
5х
решение имеет вид: у  С1е  С 2 е .
А в зависимости от корней характеристического уравнения линейного
однородного дифференциального уравнения второго порядка его решения
представлены в таблице:
18
Корни
характеристического
уравнения
1. действительные
Общее решение ЛОДУ
2. действительные
3. комплексные
4. мнимые
Найдем производную от общего решения:
у   2С1е 2 х  5С 2 е 5 х .
Используя условия y0  1, y0  1 , найдем частное решение данного уравнения.
20
50
С1е  С2 е  1,

 2С1е 20  5С2 е 50  1
С1  С 2  1,

 2С1  5С 2  1
3
,
7
4
С2  .
7
С1 
Запишем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
у
3 2 х 4 5 х
е  е .
7
7
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЯ 15.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
у   у   6 у  е х ( х  1 )
Решение: Вначале определяется общее решение соответствующего ЛОДУ (см.
пример 6):
Далее находим частное решение ЛНДУ. Коэффициент в показателе экспоненты
в правой части не равен корню характеристического уравнения, следовательно,
Для нахождения
коэффициентов.
у*= ех(Ах + В).
неизвестных А, В применяем
19
метод
неопределенных
Подставим у* в заданное уравнение. Для этого нужно найти
Подставляя
y*' и
у*''
y*, y*' и у*'' в уравнение,
получаем
Разделим тождество на ех, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях х:
Следовательно, искомое общее решение записывается как
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РГЗ № 2
(Дифференциальное и интегральное исчисление)
Задание 1
Найти производную у, если заданы следующие функции
x
1.1. а) у = 2 х 2  3 sin x  2 x  tgx  12;
c) y 
b) y = e ctgx ;
arctg ( x 3  4 x ;
1.2. a) y  3x 2  4 sin x  4 x  ctgx  15;
b) у = ех  arccosx;
4
2
с) y  arcctg ( x  3x );
x
b) y  e arctgx;
1.3. а) у  5x 2  sin x  5x  ctgx  6;
c) у  аrc cos( x 3  4 x );
1.4. a) y  5x 2  2 cos x  7 x  ln x  2;
b) y = ex sinx;
3
2
с) y  arctg ( 2 x  3x );
x 2
b) y  e x ;
1.5. a) y  2 x 3  3tgx  5x  cos x  10;
c) y  arccos( x 3  4 x );
20
x
b) y  e log 5 x;
1.6. a) y  x 4  5 sin x  8 x  ctgx  13;
c)
x2 1
.
y
cos x
Задание 2
Найти производную
у х и вторую у xx , если заданы следующие функции
2.1 а) y  x ln x;
 x  sin t ,
b) 
 y  t sin t
2.2 а) y  (2 x  1) ln( x  2);
 x  cos t ,
b) 
 y  sin 2t
3
3
ln x
;
2.3 а) y  x 
x
 x  2( t  sin t ),
b) 
 y  4( 2  cos t )
2.4 a) y = x lnx +5;
 x  t  sin t ,
b) 
 y  2  cos t
2.5 a) y = ln ctg2x;
 x  e t cos t ,
b) 
 y  e t sin t
2.6 а) y  log 2 3 1  x 2 ;
 x  sin t ,
b) 
 y  t  cos t
Задание 3
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя
результаты исследования, построить ее график
3.1 y 
( x  1) 3
;
( x  1) 2
3.4 y 
(1  x ) 2
;
1 x
3.2 y 
1  x3
;
x2
x
3.5 y  xe ;
2
3.3 y 
x2
;
1 x
3.6 y 
x3  4
.
x2
ЗАДАНИЕ 4
21
Найти неопределенные интегралы:
х 4 dx
4.1.

4.3.
e
4  x5
sin3 x
;
cos 3xdx;
cos 2 х
dx;
4.5.  2
a  sin 2 2 х
sin 2 xdx
;
2
x
4.2.
 1  cos
4.4.

x
(1  x 2 ) 3
arcsnix

4.6.
1  x2
dx;
dx;
ЗАДАНИЕ 5
Используя формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы:
5.1.
 x  sin 2 xdx,
5.2.
 x3
5.4.
x
5.5.
 ln( x
2
ln xdx,
x
dx,
2
 1)dx ,
5.3.
 arcsin xdx,
5.6.
 x cos
2
xdx.
ЗАДАНИЕ 6
Найти неопределенные интегралы:
6.1.  cos x sin 3xdx,
6.2.  cos 2 x cos 3xdx,
6.3.  sin 2 x sin 5xdx,
3
6.4.  cos xdx,
2
6.5.  tg xdx,
3
6.6.  sin xdx.
ЗАДАНИЕ 7
Найти интегралы:
22
xdx
,
7.1. 
( x  1)( 2 x  1)
( x 2  3x  2)dx
,
7.4. 
x( x 2  2 x  1)
x3 1
dx,
7.3.  2
4x  x
x5  x4
dx,
7.2 .  3
x  4x
7.5.

x3  1
dx,
x3  x2
7.6.
x
4
dx
.
 x2
ЗАДАНИЕ 8
Вычислить определенные интегралы:
е
1
х 1
8.1 
dx,
х

1
4
9
8.2  (e  1) e dx,
x
2
x
0
dx
8.5  1  cos x ,

dx
,
8.4 
x
1

ln
x
1

x
1
2
е3
8.3
dx
1  ln 2 x
,
2
5
cos
x  sin 2xdx
8.6 
0
2
ЗАДАНИЕ 9.
Найти частные производные первого и второго порядков от следующих функций:
9.1 Z  ln( x  y 2 ),
9.3 Z 
x
,
y2
9.2 Z  arctg
9.4 Z  tg
x
y
y
,
x
x
,
y2
y
9.6 Z  x .
9.5 Z  xy  ,
ЗАДАНИЕ 10.

Дана функция z = z (x,y), точка А(х0,у0) и вектор а . Найти:
1) grad z в точке А;

2) производную в точке А по направлению вектора а .
10.1. z  xy
А(2;1);
10.2. z  x 2  xy  y 2
А(1;1);
10.3. z  ln( x 2  y 2 ), А(3;4);
10.4. z  e
x2  y2
,
А(1;1);
10.5. z  4  x 2  y 2 ,
10.6. z 
2
2
x
y

,
3
5
А(1;3);
А(1;0);

а (2;1).

а (6;8).

6 8
.
a
;
25 25

а (1;2).

а (2;3).

а (2;2).
23
ЗАДАНИЕ 11.
Найти экстремумы функции двух переменных:
11.1 z  x 2  xy  y 2  9 x  6 y  20
11.2 z  x 2  xy  y 2
11.3 z  2 xy  4 x  2 y,
11.4 z  x 3  8 y  6 xy  1,
11.5 z  e 0.5 x x  y 2 ,
11.6 z  3x  6 y  x 2  xy  y 2 .
ЗАДАНИЕ 12.
Определить тип дифференциальных уравнений первого порядка и найти их общее
решение:
12.1 а) ( х  у )dx  ( y  x )dу  0;
б) y  
2y
 ( x  1 )3 ;
x 1
y x 1

;
x
x
б) ( x  y )dx  xdy  0;
12.2 а) y   2
12.3 а) ( х  y )dx  ( y  x )dy  0;
x
б) y   y  e ;
 y
2
12.4 а) y   x ;
x
y
б) ху   у ln .
x
х
12.5 а) y   2 xy  xe .
2
б) x 2  xy dx  xydy  0;
12.6 а) ( x  y )dx  xdy  0;
б) y  
y
 x cos x;
x
ЗАДАНИЕ 13.
Найти общее решение дифференциального уравнения
13.1 y   x  sin x;
13.2 y   2 x  0;
13.3 y   xex ;
13.4 y  
1
;
2х3
1
;
1  x2
ЗАДАНИЕ 14
Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий указанным начальным
условиям:
13.5 xy   2;
13.6 y  
24
14.1
14.2
14.3
14.4
y   5 y   4 y  0.
y   4 y   4 y  0,
y   4 y   4 y  0,
y   10 y   25 y  0,
14.5 y   2 y   10 y  0,
14.6 y   5 y   6 y  0,
y (0)  1,
y (0)  1;
y (0)  3,
y (0)  0,
y (0)  1;
y (0)  3;
y (0)  0,
y (0)  1;
 
y    0,
6
y (0)  1,

 
y    e 6 ;
6
y (0)  6.
ЗАДАНИЕ 15
Найти общее решение дифференциального уравнения:
15.1 y   y   2 y  8 sin 2 x,
15.2 y   y  5 x  2;
15.3 y   6 y   5 y  2 х 2  1;
ех



15.4 у  2 у  у  2
х 1
15.5 y   3 y   2  6 x;
15.6 y   4 y  5e x .
25