где (2)

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
УФИМСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Зам.директора по УВР
__________Л.Р.Туктарова
«___»_____________200__г
Методические указания
для студентов-заочников по проведению
практических занятий
Методическая разработка
по дисциплине
«Математика»,
для специальностей 2015, «Почтовая свзь, 2004 «Сети связи»
Согласовано
Методист УГКР
_______ А.Г.Кильдибекова
Рассмотрено
На заседании ПЦК математических
дисциплин
Протокол № 2 от « 30» сентября 2004г.
Председатель ПЦК _____Султанова В.Ф.
Разработал преподаватель:____________
Курбангалеева
Н.Р.
Уфа 2004
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
УФИМСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Методические указания
для студентов-заочников по проведению
практических занятий
для специальностей 2015 «Почтовая связь», 2004 «Сети связи»
по дисциплине «Математика»
(наименование дисциплины по примерному учебному плану)
Уфа –2004
Методические указания для студентов заочного отделения по проведению практических
занятий для
специальностей
2015 «Почтовая связь», 2004 «Сети связи»
(№ специальности и её наименование)
по дисциплине «Математика»
(наименование дисциплины)
Составитель: Курбангалеева Н.Р.
Рецензенты: Султанова В.Ф.
Пупыкина Н.А.
преподаватель математики
УГКР
– преподаватель математики УПЭК
- преподаватель математики
УГКР
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ………………………………………………………………….
Правила выполнения практических работ…………………………………..
Практическая работа № 1 …………………………………………………
Практическая работа № 2 ……………………………………………………
Практическая работа № 3…………………………………………………
Практическая работа № 4……………………………………………………
Практическая работа № 5…………………………………………………
ПРЕДИСЛОВИЕ
Назначение методических указаний
Настоящий сборник практических работ предназначен в качестве методического пособия
для проведения практических работ по программе дисциплины «Математика», утвержденной
31.08.04 для специальностей 2015 «Почтовая связь», 2004 «Сети связи».
Данный сборник содержит описания следующих практических работ:
1. Вычисление пределов функций. Вычисление производных элементарных функций. Правила
дифференцирования. Геометрический и механический смысл производной.
2. Вычисление дифференциала функции. Приложение дифференциала функции к
приближенным вычислениям.
3. Неопределенные и определенные интегралы, их свойства. Вычисление площадей плоских
фигур с помощью определенного интеграла.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
5. Основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания. Случайные
события, вероятность события.
Требования к знаниям и умениям при выполнении практических работ
В результате выполнения практических работ, предусмотренных программой по данной
специальности, студент должен:
знать:
- основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей;
уметь:
- вычислять пределы;
- вычислять производные элементарных функций,
- вычислять неопределенные и определенные интегралы;
- решать обыкновенные дифференциальные уравнения;
- решать простейшие задачи, используя аппарат теории вероятностей.
Практические работы рассчитаны на выполнение в течение двух учебных часов.
Правила выполнения практических работ
1. Студент должен прийти на практическое занятие подготовленным к выполнению работы.
Студент, не подготовленный к работе, не может быть допущен к ее выполнению.
2. Каждый студент после выполнения работы должен представить отчет о проделанной работе,
содержание которого определено в конце каждой практической работы
3. Отчет о проделанной работе следует выполнять в журнале практических работ на листах
формата А4 с одной стороны листа.
4. Рисунки и чертежи , необходимые при решении задач, следует выполнять карандашом с
помощью чертежных инструментов (линейки, циркуля и т.д.).
5. Вычисления производить с точность до двух значащих цифр.
6. Исправления выполняются на обратной стороне листа отчета. При мелких исправлениях
неправильное слово (буква, число и т.п.) аккуратно зачеркивают и над
ним пишут правильное слово (букву, число).
7. Если студент не выполнил практическую работу или часть работы, то он может выполнить
работу или оставшуюся часть во внеурочное время, согласованное с преподавателем.
8. Оценку по практической работе студент получает с учетом срока выполнения работы, если:
-
задачи решены правильно и в полном объеме;
студент может ответить на все контрольные вопросы, содержащиеся в практической
работе;
студент может пояснить выполнение любого этапа работы;
отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнению работы.
Зачет по практическим работам студент получает при условии выполнения всех
предусмотренных программой работ после сдачи отчетов по работам при удовлетворительных
оценках за опросы на контрольные вопросы во время практических занятий.
Практическое занятие № 1.
Тема: Вычисление пределов. Вычисление производной функции. Правила
дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной.
1. Цель: Выработка навыков вычисления пределов с использованием
замечательных пределов, раскрытие неопределённостей. Выработка
навыков вычисления производной по алгоритму. Закрепление навыков
вычисления производных элементарных функций. Закрепление навыков
решения задач на геометрический и физический смысл производной.
2. Пояснения к работе:
2.1 Краткие теоретические сведения
Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их
пределов, если последние существуют:
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x).
xa
xa
xa
Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов,
если последние существуют:
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x).
x a
x a
x a
Следствие:
Постоянный
множитель
можно выносить за знак предела, т.е.
lim (cf ( x))  c lim f ( x).
xa
xa
Теорема 4: Предел отношений двух функций равен отношению их пределов,
если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:
lim
xa
f ( x)
f ( x) lim
 x a
.
g ( x) lim g ( x)
xa
Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных
примерах. 1) Предел многочлена. Вычислить lim (5x 3  2 x 2  3x  7).
x2
lim (5 x 3  2 x 2  3x  7)  lim (5 x 3 )  lim (2 x 2 )  lim 3x  lim 7  5 lim x 3  2 lim x 2  3 lim x  7 
x2
x 2
x 2
x 2
x 2
x2
x2
x2
 5(lim x)  2(lim x)  3 lim x  7  5  2  2  2  3  2  7  49.
3
x 2
2
3
x 2
2
x 2
Таким образом, для вычисления предела многочлена f (x) при x  x0 достаточно
вместо переменной x поставить значение x 0 , к которому она стремится, и
выполнить соответствующие действия, т.е.
lim f ( x)  lim f ( x0 ).
x  x0
x x0
2) Предел отношения двух многочленов, lim
x x
0
f ( x)
, где x 0 - число.
g ( x)
а) Если g ( x0 )  0 , то можно применить теорему о пределе частного.
Пример 1. Пусть требуется вычислить
lim
x 3
f ( x)
x 3  2x  3
 lim 2
.
g ( x) x3 x  3x  3
Здесь f ( x)  x 3  2 x  3 и g ( x)  x 2  3x  3 . Так как g (3)  32  3  3  3  21  0 , то имеем:
lim ( x 3  2 x  3) 18 6
x 3  2x  3
lim 2
 lim x3 2


x 3 x  3 x  3
x 3 lim ( x  3 x  3)
21 7
x 3
б) Если g ( x0 )  0 , то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если
f ( x0 )  A  0, то lim
x  x0
f ( x)
;
g ( x)
если же f ( x0 )  0 -имеем неопределенность вида 0/0. В этом с и случае предел
f ( x)
можно вычислить разложением многочленов f (x) и g (x ) на множители
x x0 g ( x )
или заменой y  x  x0 .
lim
x 2  5x  6
.
x 2  6x  8
Здесь f (2)  2 2  5  2  6  0, g (2)  2 2  6  2  8  0 . Так как x  2 , имеем
Пример 2. Вычислить lim
x 2
lim
x 2
x 2  5x  6
( x  2)( x  3)
x 3 1
 lim
 lim

2
x  6 x  8 x2 ( x  2)( x  4) x2 x  2 2
или, заменяя y  x  2 и учитывая, что y  0 при x  2 , получаем
x 2  5x  6
( y  2) 2  5( y  2)  6
y 2  4 y  4  5 y  10  6
y2  y

lim

lim

lim

x2 x 2  6 x  8
y  2 ( y  2) 2  6( y  2)  8
y  2 y 2  4 y  4  6 y  12  8
y 2 y 2  2 y
y 1 1
 lim

y 2 y  2
2
lim
3) Предел отношения многочленов
f ( x)
при x   .
g ( x)
3x 3  2 x 2  3x  1
.
4x 3  x 2  7 x  8
2 3
1 
2 3
1 


x 3  3   2  3  lim  3   2  3 
3
2
3x  2 x  3x  1
x x
x x
x  x  
x  3000 3
lim
 lim 


 .
3
2
x  4 x  x  7 x  8
x 
1 7
8 
1 7
8  4000 4

3
x  4   2  3  lim  4   2  3 
x x
x x
x  x  
x 

Пример 3. Вычислить lim
x 
x 3  3x  2
x 4  2 x 3  3x  1
Пример 4. Вычислить lim
x 
3
2

3 2
x 3 1  2  3 
1 
x  3x  2
x 
 x
x x
lim 4
 lim
 lim
0
x  x  2 x 3  3 x  1
x 
x


2 3
1 
1 
 2 3
4
x 1   3  4 
x1   3  4 
x 
x 
 x x
 x x
3
4 x 5  2 x 4  3x  1
x 3  2x 2  4x  2
2 3
1 
2 3
1 


x5  4   4  5 
x2 4   4  5 
5
4
4 x  2 x  3x  1
x x
x x
x 
x 
lim 3
 lim 
 lim 

2
x  x  2 x  4 x  2
x 
2 4
2
2 4
2  x 
3
1  2  3
x 1   2  3 
x x
x
x x
x 

Пример 5. Вычислить lim
x 
4) Пределы некоторых иррациональных функций. Для вычисления предела
lim f ( x) ,
x a
f ( x)  f (a ) , воспользуемся равенством
где f ( x)  0 и lim
xa
lim
x a
f ( x) 
f (a) ,
которое принимается нами без доказательства. Например,
2 x 2  3x  4  2(1) 2  3(1)  4  9  3.
lim
x 1
Пример 6. Вычислить lim
x 0


2x
3x 2  x  4  2
.
Так как lim 3x 2  x  4  2  0 , то теорему о пределе частного применить нельзя.
x 0
Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю,
получим
2x
lim
x 0


3x 2  x  4  2







2 x 3x 2  x  4  2
2 x 3x 2  x  4  2
2 3x 2  x  4  2

lim

lim

x 0
x 0
x 0
3x  1
3x 2  x  4  2 2
3x 2  x
 lim


2 3 0  0  4  2
 8
3* 0 1
5) Применение замечательных пределов
sin x
1 и
x 0
x
lim
x
 1
lim 1    e
x 
x

Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов.
sin 3 x
x
sin 3 x
3 sin 3x
sin 3x
lim
 lim
 3 lim
, заменяя 3 x  y и учитывая, что y  0 при x  0 ,
x 0
x 0
x 0
x
3x
3x
Пример 7. Вычислить lim
x 0
получаем
sin 3x
sin y
 3 lim
 3 *1  3 .
x 0
y 0
3x
y
3 lim
Пример 8. Вычислить lim
x 0
tg 5 x
sin 3 x
tg5 x
1 
5 sin 5 x
3x  5
1
sin 5 x
 sin 5 x
 1
 lim 

 lim 


 
 lim



x 0 sin 3 x
x 0 cos 5 x sin 3 x
5x
3 sin 3x  3 lim cos 5 x x0 5 x

 x0  cos 5 x
lim
x 0

5 1 1 5
 1 
3 1 1 3
Здесь мы воспользовались известным из курса средней школы пределом
lim cos x  1 .
x 0
3 

Пример 9. Вычислить lim
1 

x 
 2x 
5x
15
3 

lim 1  
x 
 2x 
Заменяя
5x




1 

 lim 1 
x 
 2x  
  
  3 
2x 3
 5
3 2
 2x  2




 3  



1



 lim  1 
x   

 2x  
  3  

   



2x
 y и учитывая, что y   при x   , можем написать
3
15
3 

lim 1  
x 
 2x 
5x
 2x  2




 3  
15

y 2
15




1 
  lim  1  1    e 2 .
 lim  1 
x   
y  

y  
 2x  



  3  









1

sin 3x
lim
x 0
3x
3. Задание для самостоятельной работы
1. Найти предел функции в точке:
x 2  121
x  11
a) lim
x 11
x2  x  6
x3
б) lim
x 3
2. Найти предел функции на бесконечности:
3x 2  5
5x  x 2
a) lim
x 
б) lim
x 
4
x  5x
2
3. Найти предел функции:
xctg2 x
а) lim
x 0
4 

б) lim
1  
x 
 3x 
x
 x2
в) lim


x 
 x 
3x
4. Найти предел функции в точке:
a) xlim
 5
x 2  3x  10
x5
x 2  64
x 8
б) lim
x 8
5. Найти предел функции на бесконечности:
7x 2  2x  6
x5
a) lim
x 
б) lim
x 
x 2  2x3
x2  x4
6. Найти предел функции:
а) lim
x 0
x
tg3x

б) lim
1 
x 

3 

4x 
x
x  3

 x 

в) lim

x 
2x
7. Найти предел функции в точке:
a) xlim
 3
x 2  x  12
x3
б) xlim
5
x 2  25
x5
8. Найти предел функции на бесконечности:
a) lim
x 
1 x2
5x  1  2 x 2
б) lim
x 
x  x3
x3  2x 4
9. Найти предел функции:
а) lim
x 0
sin 2 x
tg 4 x
x4

 x 

б) lim

x 
3x

в) lim
1 
x 

5 

6x 
x
10.Найти предел функции в точке:
a) lim
x 2
x 2  5 x  14
x2
б) xlim
7
x 2  49
x7
11. Найти предел функции на бесконечности:
a) lim
x 
x2  x3
x 3  12 x 5
б) lim
x 
9x 2  2x  1
1 x2
12. Найти предел функции:
а) lim ctg3x  sin 4 x
x 0
 x  3
б) lim


x 
 x 
4x
6 

в) lim
1  
x 
 5x 
x
Определение 1. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности
точки x 0 .
Производной функции f (x) в точке x 0 называется предел отношения
приращения функции f ( x0 ) к приращению аргумента x при x  0 , если
этот предел существует, и обозначается f ( x0 ) .
Итак,
f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
 lim
x 0
x 0
x
x  x0
f ( x0 )  lim
Производную функции y  f (x) в точке x обозначают f (x), y (x),
(1)
df
, причем
dx
все эти обозначения равноправны.
Из определения производной вытекает следующая схема её нахождения,
которую мы изложим на следующем примере.
Пример. Найти производную функции y  f ( x)  x 2  2 x  3 в её произвольной
(но фиксированной) точке x .
1) Даём аргументу x приращение x  0 и находим “наращенное” значение
функции:
y  y  f ( x  x)  ( x  x) 2  2( x  x)  3  x 2  2 xx  (x) 2  2 x  2x  3.
2) Находим приращение функции:
y  f ( x)  f ( x  x)  f ( x)  x 2  2 xx  (x) 2  2 x  2x  3  x 2  2 x  3 
 2 xx  (x) 2  2x.
3) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
y f ( x) 2 xx  (x) 2  2x


 2 x  x  2
x
x
x
4) Находим предел этого отношения при x  0 , т.е. искомую производную:
y
f ( x)
 lim
 lim (2 x  x  2)  2 x  2  2( x  1)
x 0 x
x 0 x
x 0
y   f ( x)  lim
Определение 2. Операция нахождения производной называется
дифференцированием функции.
Определение 3. Функция, имеющая производную в точке x 0 , называется
дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой
точке интервала (a; b) , называется дифференцируемой на этом интервале; при
этом производную f (x) можно рассматривать как функцию на (a; b) .
Теорема. Если функция f (x) дифференцируема в точке x 0 , то она
непрерывна в этой точке.
Эта теорема даёт лишь необходимое условие существования производной, но
не достаточное, т.е. из непрерывности функции f (x) в точке x 0 не следует её
дифференцируемость в этой точке.
Основные правила дифференцирования
а) с  0
б) (u  v)  u   v 
в) (uv)  u v  uv

 u  u v  uv 
г)   
v2
v
д) Cu  x  Cu x
е) дифференцирование сложной функции, если y  f (u ) , u  u (x) , то
y  f (u ( x)) −сложная функция. Тогда,
dy df du


или y x  f u  u x .
dx du dx
Здесь c  const , а u и v −дифференцируемые функции
   nx
1. x n
Таблица производных основных элементарных функций
n 1


2. sin x   cos x , sin u   cos u  u 


3. cos x    sin x , cos u    sin u  u 
1
1


 u
4. tgx  
, tgu  
2
cos x
cos 2 u
1
1


5. ctgx    2 , ctgu    2  u 
sin x
sin u
1
1


6. arcsin x  
, arcsin u  
 u
1 x2
1 u2
1
1


7. arccos x   
, arccos u   
 u
1 x2
1 u2
1
1
 u
, (arctgu ) 
2
1 x
1 u2
1
1
 u
9. (arcctgx)  
, (arcctgu)  
2
1 x
1 u2


10. a x  a x ln a , a u  a u ln a  u  ,


11. e x  e x , e u  e u  u 
1
1


 u
12. log a x  
, log a u  
x ln a
u ln a
 1
 1
13. ln x   , ln u    u 
x
u
8. (arctgx) 
 
 
 
 
Пример. Найти производные следующих функций:
1) y  4 x 3 
1

x
3
2) x  1cos x ;
x 1
3) y 
;
2 arccos x
4) y  5 x  x ln x ;
6
3
x2
;
5) y  2 x  3 ;
5
6) y  sin 3 x и найти значение производной при x 

.
3
Решение
1) Запишем данную функцию следующим образом
y  4x  x
3

1
2

2
3
 6x .
Тогда




2 
1
 

 3
  23 
  12    23 
  12 
3 
3
3
2
y    4 x  x  6 x   4 x   x    6 x   4( x )   x   6 x  

 







 
5
1
4
 1 
 2 
 4  3x 2     x 2  6   x 3  12 x 2 

2 x x x3 x 2
 2
 3
3
2) Имеем

 




y   x 3  1 cos x  x 3  1 cos x  x 3  1 cos x    x 3  (1) cos x  x 3  1 (cos x) 
;


2
3
2
3
 3 x  0 cos x  ( x  1)(  sin x)  3x cos x  ( x  1) sin x





 



3) Имеем


1  x 1 
1 ( x  1) arccos x  (arccos x)( x  1)
 1 x 1 
y   





  
2  arccos x 
2
arccos 2 x
 2 arccos x 
(x 

1
1  arccos x   
1
1 x2

 
2
arccos 2 x

( x  1) arccos x  ( x  1)

1  x 2 arccos x  x  1
1 x2



2 arccos 2 x
2 1  x 2 arccos 2 x
4) Имеем


1

y   5 x  x ln x  5 x  ( x ln x)  5 x ln 5   x  ln x  xln x    5 x ln 5  ln x  x  


x
x
 5 ln 5  ln x  1

  
5) Имеем

y   2 x  3
5
  5(2x  3) (2x  3)  5(2x  3)
4
4
 2  10(2 x  3) 4
6) Имеем

y   sin 3 x  3 sin 2 x  (sin x)  3 sin 2 x  cos x

Подставим значение x  в производную. Получим
3


2
 3 1 9

y ( )  sin x   3 sin
 cos  3


3
3
3
 2  2 8

3


2

Пример. Применив известные формулы
С  x
 0,
x   nx
n
n 1
и правила дифференцирования, найти производные функции
а) y  3x 7  2 x 5  3x 2  1
б) s 
t2 3
2t  1
Решение.
а)




y  3x 7  2 x 5  3x 2  1  3x 7  2 x 5  3x 2  (1)  3  7 x 6  2  5x 4  3  2 x  21x 6  10 x 4  6 x

      
б)


 t2  3

t 2  3 (2t  1)  (2t  1)t 2  3 2t (2t  1)  2t 2  3 4t 2  2t  2t 2  6



s 



 
(2t  1) 2
(2t  1) 2
(2t  1) 2
 2t  1 
2t 2  2t  6 2(t 2  t  3)


(2t  1) 2
(2t  1) 2
3. Задание для самостоятельной работы.
1.Вычислить производную функции y = x2 – 2x по алгоритму в точке x0 = 3.
2.Вычислить производную следующих функций, пользуясь правилами
дифференцирования:
а) y = 3x3 – 6x2 + 3x + 5;
б) y = (x + 3) (2x – 7) ;
в) y 
6x  3
.
x2
3.Найти производную функции:
а) ƒ(x) = 4 sin x
б) qx  
2
x
x3
и
и
вычислить f '     ;
2
 3 
вычислить q / (2) .
4.Вычислить производную функции y = -x2 + 3x + 4 по алгоритму в точке x0 = 2.
5.Вычислить производную следующих функций, пользуясь правилами
дифференцирования:
а) y = 16 + 5x - 4x + x ;
2
3
б) y = (3x + 7) (2 – 4x) ;
2x3 1
в) y 
;
x
6.Найти производную функции:
а) ƒ(x) = 3 cos x
и
вычислить f '     ;
б) qx  
и
вычислить q / (-1).
4
x
x2
5
 6 
7.Вычислить производную функции y = 2x - 3x2 по алгоритму в точке x0 = 1.
8.Вычислить производную следующих функций, пользуясь правилами
дифференцирования:
а) y = -7x3 + 6x2 + x - 13; б) y = (3 - 3x2) (4 + 5x) ; в) y 
9.Найти производную функции:
3 
;
 4 
а) ƒ(x) = 2 tg x
и
вычислить f ' 
б) qx  
и
вычислить q / (3).
1
7
2x3
8x  x 2
.
x3
10.Вычислить производную функции y = x2 + 5x - 1 по алгоритму в точке x0 = 4.
11.Вычислить производную следующих функций, пользуясь правилами
дифференцирования:
а) y = -3x3 + 4x2 + 11x – 18 ; б) y = (10x2 - 1) (2 + 7x) ;
в) y 
2x  x2
.
x3
12.Найти производную функции:
2 
;
 3 
а) ƒ(x) = 4 ctg x
и
вычислить f ' 
б) q x  
и
вычислить q / (5).
2
 10
x2
Геометрическое и механическое приложения производной.
1. Геометрическое приложение производной.
Производная функции y  y (x) при данном значении аргумента x  x0 равна
угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в
точке с абсциссой x 0 . (См. рис.):
Уравнение прямой к
графику функции y  y (x) в
точке M 0 ( x0 , y0 ) имеет вид
y  y0  y ( x0 )( x  x0 )
(1)
()
Если y (x) имеет при x  x0
бесконечную производную, то
уравнение касательной таково:
x  x0
Пример : Составить уравнение касательной к параболе y  2 x 2  6 x  3 в точке
M 0 (1;1) .
Решение. Найдём производную функции y  2 x 2  6 x  3 при x  1. Имеем
y   4 x  6 , откуда y (1)  2.
Воспользовавшись уравнением () , получим искомое уравнение касательной :
y  (1)  2( x  1) или 2 x  y  1  0 .
2.Механическое приложение производной.
Производная y ( x0 ) от функции y  y (x) , вычисленная при значении
аргумента x  x0 представляет собой скорость изменения этой функции
относительно независимой переменной x в точке x  x0 .
В частности, если зависимость между пройденным путем s и временем t
при прямолинейном движении выражается формулой s  s(t ) , то скорость
движения в любой момент времени t есть
изменения скорости движения) есть
ds
, а ускорение (т.е. скорость
dt
d 2s
.
dt 2
Пример. Точка движется прямолинейно по закону s 
t3
 2t 2  t ( s
3
выражается в метрах, t −в секундах). Найти скорость и ускорение через 1
секунду после начала движения.
Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной по
времени:
v(t ) 
ds
 t 2  4t  1
dt
Отсюда v(1)  4 (м/c).
Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по
времени:
a(t ) 
d 2s
 2t  4
dt 2
и, следовательно, a (1)  6 (м/c).
3. Задание для самостоятельной работы.
1.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = sin x в точке x 

3
2
.
3
2.Составить уравнение касательной к кривой y = sin 3x в точке ( ; 0) .
3.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = 2(x – 9)2 + 12, в которой касательная
параллельна Ox .
4.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 5t + 1. Найти мгновенную
скорость и ускорение точки в момент времени t = 5c.
3
4
5.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = cos x в точке x   .

6
6.Составить уравнение касательной к кривой y = cos 3x в точке ( ;0).
7.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) =
1
(x – 6)2 - 12, в которой касательная
2
параллельна Ox .
8.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 4t - 5. Найти мгновенную
скорость и ускорение точки в момент времени t = 2c.
5
4
9.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = tg x в точке x   .
10.Составить уравнение касательной к кривой y = sin 2x в точке (
3

; ).
6 2
11.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = ln 3x - x, в которой касательная
параллельна Ox .
12.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 4t2 + 3t + 2. Найти мгновенную
скорость и ускорение точки в момент времени t = 3c.
13.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = ctgx в точке
3
x .
4
14.Составить уравнение касательной к кривой y = cos 2x в точке (
3

;
).
13 2
15.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) =6(x – 1)2 + 5, в которой касательная
параллельна Ox .
16.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t2 + 8t + 10. Найти мгновенную
скорость и ускорение точки в момент времени t = 1c.
Список литературы
1. И. И. Валуце “Математика для техникумов” (стр. 188-217)
2. Т. Лисичкин, Е. В. Царькова “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные
задания. Москва, 1987г (стр. 52-61)
Практическое занятие № 2.
Тема: Вычисление дифференциала функции. Приложение дифференциала к
приближенным вычислениям.
1. Цель: Выработка навыков вычисления дифференциала функции.
Выработка навыков вычисления приближенных значений функций.
2. Пояснения к работе:
2.1 Краткие теоретические сведения
Определение. Дифференциалом функции y  y (x) в точке x называется главная
часть f ( x)x приращения функции y , линейно зависящая от приращения
аргумента x .
Дифференциал обозначается символом dy . По определению, dy  f ( x)x .
В частности, при f ( x)  x получим dx  1 x или dx  x , т.е. дифференциал
аргумента равен его приращению.
Тогда dy  f ( x)dx ., т.е. дифференциал функции y  f (x) в точке x равен
произведению производной в точке x на дифференциал аргумента. Отсюда
y 
dy
, так что выражение, которое мы раньше считали цельным символом,
dx
теперь можно рассматривать как дробь, равную отношению дифференциала
функции к дифференциалу аргумента.
Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием,
так же как и нахождение производной.
Пример 1. Найти дифференциал функции y  (2 x 3  4) 5 .
Решение. Находим дифференциал данной функции:
y   5(2 x 3  4) 4 (2 x 3  4)  5(2 x 3  4) 4  6 x 2  30 x 2 (2 x 3  4) 4 .
Умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал
функции:
dy  30 x 2 (2 x 3  4) 4 dx.
1
Пример 2. Найти дифференциал функции s  2 .
ln t
Решение. Сначала найдем производную данной функции:
s  
2

2
2
ln t 
ln t 
1
2

2 ln t (ln t )
2

  3t  
.
4
ln t
ln t
t ln 3 t
Умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал
функции:
ds 
2
dt.
t ln 3 t
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям
Приращение функции связано с дифференциалом функции соотношением
y  dy   (x)  x ,
где  (x)  0 при x  0 .
Приращение функции и дифференциал функции отличаются друг от друга на
бесконечно малую, имеющую порядок малости выше, чем x . Если пренебречь
этой бесконечно малой, то получим приближенное равенство y  dy , т.е. при
малых приращениях аргумента x приращение функции с достаточной степенью
точности можно заменить её дифференциалом.
Учитывая, что y  f ( x  x)  f ( x) , получим f ( x  x)  f ( x)  dy , откуда
f ( x  x)  f ( x)  dy
Эти приближенные равенства применяются для приближенных вычислений, так
как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление её
приращения.
Пример 1. Вычислить приближенное значение приращения функции y  x 2  2 x  5
при изменении аргумента от x  2 до x  2,001 .
Решение. Находим дифференциал аргумента:
dx  x  2,001  2  0,001 .
Приращение аргумента мало, поэтому приращение функции y приближенно
равно её дифференциалу dy . дифференциал функции вычисляем по формуле
dy  y ( x)dx . Предварительно найдем производную функции и её значение при
x  2:
y  2x  2 ,
y (2)  2  2  2  6 .
Тогда dy  6  0,001  0,006 и y  0,006.
Точное значение приращения функции найдем по формуле y  f (2,001)  f (2) , где
f (2)  2 2  2  2  5  13 ,
f (2,001)  (2,001) 2  2  2,001  5  13,006001.
Тогда y  13,006001  13  0,006001 .
Сравнивая полученный результат с дифференциалом dy , видим, что абсолютная
погрешность равна 0,000001. Однако абсолютная погрешность не дает
достаточно полной характеристики точности подсчета. Поэтому вычислим и
относительную погрешность:

0,000001
 0,02% .
0,006001
Эта точность обычно оказывается вполне достаточной для расчетов,
производимых в технике. Поэтому такой погрешностью можно пренебречь и
вместо приращения функции находить её дифференциал, который вычислить
проще, так как он зависит от x линейно.
Пример 2. Вычислить приближенное значение функции y  x 3  x 2  2 x при
x  2,01 .
Решение. Находим дифференциал аргумента: dx  x  2,01  2  0,01. Приращение
аргумента мало, поэтому для вычисления приближенного значения функции
воспользуемся формулой
f ( x  x)  f ( x)  dy или f (2,01)  f (2)  dy.
Сначала найдем значение функции при x  2 : f (2)  2 3  2 2  2  2  8 .
Дифференциал находим по формуле dy  y ( x)dx , для чего найдем производную
функции и её значение при x  2 :
y   3x 2  2 x  2,
y (2)  3  2 2  2  2  2  12  4  2  14 .
Тогда dy  14  0,01  0,14.
Следовательно, f (2,01)  8  0,14  8,14 .
Пример 3. Найти приближенное значение 16,06.
Решение. Нам надо найти приближенное значение функции y  x при x  16,06.
Находим дифференциал аргумента: dx  x  16,06  16  0,06.
Приращение аргумента мало, поэтому f (16,06)  f (16)  dy , f (16)  16  4 .
Дифференциал находим по формуле dy  y ( x)dx , для чего найдем производную
функции и её значение при x  16 :
f ( x) 
 x   2 1 x ;
f (16) 
1
2 16

1
 0,125.
8
Следовательно, 16,06  4  0,0075  4,0075. В действительности 16,06  4,00749... .
Пример 4. Найти приближенное значение 3 0,988
Решение. Как и в предыдущем примере, имеем:
f (0,988)  f (1)  dy ;
y3 x,
dx  x  0,988 `1  0,012;

 13  1  23
1
y    x   x 
;
3
3 x2
  3
1
1
0,012
y (1)  , dy   (0,012)  
 0,004;
3
3
3
f (1)  3 1  1.
Тогда 3 0,988  1  0,004  0,996.
3.Задания для самостоятельной работы
1.Найти дифференциал следующих функций
а) y  (1  x 2 ) 5
в) y  (ax 2  b) 3
б) y  x 2  1
г) y  e x 2 x
2.Найти приближенное значение приращения следующих функций
а) f ( x)  2 x 3  3x  5 при x  3,001
б) f ( x)  x 3  5x 2  80 при x0  4 и x  0,001
в) f ( x)  2 x 2  7 при x0  3 и x  0,1
г) f ( x)  ln( x 2  4) при x0  4 и x  0,03
3.Найти приближенное значение степеней
а) 5,0133
в) (1,005)10
б) (1,012) 3
г) (0,975) 4
4.Найти приближенное значение корня
а) 0,96
в) 24,84
б) 3 1,006
г) 99,5
Список литературы
1.
В. Т. Лисичкин, Е. В. Царькова “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные
задания. Москва, 1987г (стр. 74-80)
2.
И. И. Валуце “Математика для техникумов” (стр. 240-245)
Практическое занятие № 3.
Тема: Неопределённый и определенный интегралы, их свойства. Методы
интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур с помощью
определенного интеграла.
1. Цель: Выработать навыки вычисления неопределённого интеграла
методом непосредственного интегрирования и методом подстановки.
Закрепление навыков и умений вычисления определенного интеграла,
решения прикладных задач с помощью определенного интеграла.
2. Пояснения к работе:
2.1 Краткие теоретические сведения
2. Неопределенный интеграл
Определение: Совокупность всех первообразных функций F ( x)  c для
функции f (x) на некотором промежутке называется неопределённым
интегралом и обозначается
 f ( x)dx  F ( x)  c
Таким образом,
 f ( x)dx  F ( x)  c
где f ( x)dx называется подынтегральным выражением, а с−произвольной
постоянной интегрирования.
Например,
 2 xdx  x
2
c,
так как
x
2
c

2
 2 x.
Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.
2. Метод непосредственного интегрирования.
Под непосредственным интегрированием понимают способ
интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных
преобразований подынтегральной функции и применения свойств
неопределенного интеграла приводятся к одному или нескольким
табличным интегралам.
Свойства неопределённого интеграла
1) d  f ( x)dx  f ( x)dx
2)  dF ( x)dx  F ( x)  c
3)  a  f ( x)dx  a  f ( x)dx
4)   f1 ( x)  f 2 ( x)  f 3 ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx   f 3 ( x)dx
Таблица основных интегралов
1.  dx  x  c
2.  x n dx 
x n 1
c
n 1
dx
8.
 cos
9.
 sin
2
x
dx
2
x
 tgx  c
 ctgx  c
3.

dx
 ln x  c
x
4.  е x dx  e x  c
5.  a x dx 

dx
 arcsin x  c
1 x2
dx
 arctgx  c
11. 
1 x2
dx
1
x
12.  2 2  arctg  c
a
a
a x
dx
1
xa
c
13.  2 2  ln
2a x  a
x a
10.
ax
c
ln a
6.  sin xdx   cos x  c
7.  cos xdx  sin x  c
Пример 1. Найти интеграл

3dx
.
x7
Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем
( a n 
1
, a  0 ) и найдем неопределенный интеграл от степени:
an
3dx
x 71
x 6
3 1
1
7

3
x
dx

3

c

3
c    6 c   6 c
 x7 
 7 1
6
6 x
2x
Пример 2. Найти интеграл  85 x 3 dx.
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем
a m / n  n a m , a  0 и найдем неопределенный интеграл от степени:


8
5
3
5
x 3 dx  8 x dx  8
3
1
5
3
5
x
x x
5
c 8
 c  8 x  x 3 / 5  c  5 x5 x 3  c.
3
8
8
1
5
5
1
2
1
Пример 3. Найти интеграл  1  2  dx.

x 
Решение. Раскроем скобки по формуле a  b 2  a 2  2ab  b 2 и неопределенный
интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же
алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:
2
1 
2
1


 1  x 2  dx   1  x 2  x 4
2
1
 x   3  c.
x 3x
x 1 x 3

2
4
dx

dx

2
x
dx

x
dx

x

2

c 




1  3

Пример 4. Найти интеграл  ctg 2 xdx.
Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой
ctd 2 x 
1
 1 и свойствами неопределенного интеграла:
sin 2 x
dx
 1

2
 ctg xdx    sin 2 x  1dx   sin 2 x   dx  ctgx  x  c.
3. Интегрирование методом подстановки
Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью
элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом
подстановки.
Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой
переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который
сравнительно легко берется непосредственно. Для интегрирования методом
подстановки можно использовать следующую схему:
1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной
2) найти дифференциал от обеих частей замены
3) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после
чего должен получится табличный интеграл)
4) найти полученный табличный интеграл
5) сделать обратную замену.
Пример 5. Найти интеграл

dx
3
(5  3 x) 2
.
1
3
Решение. Произведем подстановку 5  3x  t , тогда  3dx  dt , откуда dx   dt .
Далее получаем

1
1
 dt
2
3

1
1
t
  3    t 3 dt   
 c  3 t  c  3 5  3 x  c
2
3 2
3
3 1/ 3
(5  3 x)
t
dx
3
2
Пример 6. Найти интеграл  (2  соsx) sin xdx.
Решение. Сначала положим 2  cos x  t , тогда  sin xdx  dt , откуда sin xdx  dt .
Далее получаем
t3
1
3
 (2  соsx) sin xdx   t (dt )   t dt   3  c   3 (2  cos x)  c .
2
2
2
Пример 7. Найти интеграл
e x dx
 2  3e x .
1
3
Решение. Сначала положим 2  3e x  t , тогда 3e x dx  dt , откуда e x dx  dt . Далее
получаем

e x dx

2  3e x

1
dt
1 dt
1
1
3
 
 ln t  c  ln( 2  3e x )  c.
t
3
t
3
3
В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения
которых можно использовать следующие формулы ( k  0, n  0 −постоянные):
1
k
1 a kx
kx
a
dx


c.

k ln a
1
 sin kxdx   k cos kx  c .
1
 cos kxdx  k sin kx  c .
dx
1
 cos 2 kx  k tgkx  c .
dx
1
 sin 2 kx   k ctgkx  c .
dx
1
n
 k 2  n 2 x 2  nk arctg k x  c .
dx
1
n
 k 2  n 2 x 2  n arcsin k x  c .
1.  e kx dx  e kx  c .
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x
2
1
k
Так, при нахождении  cos dx можно использовать формулу  cos kxdx  sin kx  c ,
1
2
x
2
x
2
где k  . Тогда  cos dx  2 sin  c.
3. Задание для самостоятельной работы.
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
v6  v
 3v dv
 5
4 
dx
д)   2 

1 x2 
 cos x
а)  (5 x 4  7 x  3)dx
6
г)   sin x  dx

x
б)
в)  (5 x  2 x)dx
2. Методом подстановки вычислить:
5
а)  (7  3 x) dx
в) 
б)  3 sin 5 xdx
5dx
1  9x 2
г)

д)
e x 1  e x dx
3dx
 1  2x
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а)  x 2 sin xdx
б)

ln x
dx
x3
4. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
2v  3v 3
dv
а)  (4 x  3x  2 x  8)dx
б) 
5v
3
3
2 
dx
г)   cos x  dx д)   2 
2 
x

 sin x 1  x 
3
в)  (3 x  3x 2 )dx
2
5. Методом подстановки вычислить:
6
а)  (5  4 x) dx
б)  7 cos 6 xdx
в) 
4dx
3  4x
г)

7dx
д)
1  16 x 2
e x dx
 ex 1
6. Методом интегрирования по частям вычислить:
а)  x cos xdx
б)

ln x
dx
x2
7. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а)  (2 x 4  3x  5)dx

г)  
3

2
 1 x
8
sin 2
4v  v 2
 v dv
4
д)    9 sin x dx
x

в)  ( x 2  2 x )dx
б)

dx
x 
8. Методом подстановки вычислить:
4
а)  (2  7 x) dx
б)  6 cos 2 xdx
в) 
5dx
3  4x
г)
2dx
 1  16 x
9. Методом интегрирования по частям вычислить:
2
д)  e x cos(e x )dx
а)  xe x dx
б)

ln x
dx
x4
10.Методом непосредственного интегрирования вычислить:
v  2v 3
 v 2 dv
7
д)    6 cos x dx
x

а)  (5 x 5  6 x 3  1)dx
г)  
4
7

2
cos 2
1 x
в)  (4 x  3x  5)dx
б)

dx
x
11.Методом подстановки вычислить:
3
а)  (2 x  9) dx
б)  11sin 3xdx
в) 
9dx
4x  5
г)

7dx
1  36 x 2
д)  e x sin( e x )dx
12.Методом интегрирования по частям вычислить:
а)  x 2 ln xdx
б)

ln x
dx
x5
3. Определенный интеграл
Определённый интеграл и его геометрический смысл.
Определение 1. Приращение F (b)  F (a) любой из первообразных функций F ( x)  c
при изменении аргумента от x  a до x  b называется определённым интегралом
от a до b функции f (x) и обозначается

b
a
f ( x)dx (читается: интеграл от до эф от
икс де икс).
Числа a и b называются пределами интегрирования, а - нижним, b - верхним.
Отрезок a, b называется отрезком интегрирования. Функция f (x) называется
подынтегральной функцией, а переменная x - переменной интегрирования.
Таким образом, по определению

b
a
f ( x)dx  F (a)  F (b).
(1)
Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Если интегрируемая на отрезке a, b функция f (x) неотрицательна, то
определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции f (x) , осью абсцисс и прямыми x  a и x  b
b
S   f ( x)dx.
a
Свойства определенного интеграла
Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые
х ах
функции интегрируемы в соответствующих промежутках.
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю
a
 f ( x)dx  0.
a
2. При перестановки пределов интегрирования знак интеграла меняется на
противоположный
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx.
3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части
b

c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , где a  c  b.
a
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
b
b
a
a
 сf ( x)dx с f ( x)dx.
5. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных
функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.
b
b
b
a
a
a
 ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx  f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx.
Непосредственное вычисление определенного интеграла
Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти
соответствующий неопределенный интеграл, служит формула НьютонаЛейбница
b

a
b
f ( x)d x   f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a),
b
a
т.е. определенный интеграл равен разности значений любой
первообразной функции при верхнем и нижнем пределах
интегрирования.
Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:
1) найти неопределенный интеграл от данной функции;
2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала
верхний, затем нижний предел интеграла;
3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат
подстановки нижнего предела.
4
 xdx.
Пример 8. Вычислить интеграл
1 / 2
Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный
интеграл:
4
x2
x
dx


2
1 / 2
4

1 / 2
1  2  1 
4   
2 
 2
2
 1
  16  1   1  63  63  7 7 .
 2
4 2 4
8
8

 /4
Пример 9. Вычислить интеграл
 1

 sin x dx.

2

/ 4  соs x



Решение. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов
от каждой функции:
 /4
 /4
 /4
dx


 /4
 /4
 1

 
 sin x dx  
  sin xdx  tgx  / 4  cos x  / 4  tg  tg    cos 

2
2

4
4

 4
 / 4  соs x
 / 4 cos x
 / 4
2
2
 
 cos    1  (1) 

 2.
2
2
 4
Вычисление определенного интеграла методом подстановки
Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в
следующем:
1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;
2) найти новые пределы определенного интеграла;
3) найти дифференциал от обеих частей замены;
4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную
(после чего должен получится табличный интеграл);
5) вычислить полученный определенный интеграл.
Пример 10. Вычислить интеграл
7

0
dx
3
8 x
dx.
Решение. Введем подстановку 8  x  t , тогда  dx  dt , dx  dt .
Определим пределы интегрирования для переменной t . При x  0
получаем t н  8  0  8 , при x  7 получаем t в  8  7  1 .
Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым
пределам, получим
7

1
dx
3
0

8 x
3
2

3
dx  
8

64  1 
 dt
3
t
1
  t
1 / 3
8
8
dt   t
8
1
1 / 3
t 2/3
3
dt 
 3 t2
2/3 1 2
8

1
3
9
(4  1)   4,5
2
2
Пример 11. Вычислить интеграл
 /2

cos x sin xdx.
0
Решение. Положим cos x  t , тогда  sin xdx  dt и sin xdx  dt . Определим
пределы интегрирования для переменной t . При x  0 получаем
t н  cos 0  1, при x   / 2 получаем t в  cos( / 2)  0 .
Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым
пределам, получим
 /2
0
0

cos x sin xdx   t (dt )    t
0
1
2
 t t
3
1

0
1
1
1/ 2
dt   t
1
1/ 2
0
1
t 1 / 21
t 3/ 2
2
dt 

 t 3/ 2
1/ 2  1 0 3 / 2 0 3
1

0
2
2
(1  0)  .
3
3
Пример 12. Вычислить интеграл
2
 x
1
x2
3
2

2
dx.
1
3
Решение. Произведем подстановку x 3  2  t , тогда 3x 2  dx  dt , x 2 dx  dt .
При x  1 получаем t н  13  2  3 , при x  2 получаем t в  2 3  2  10 .
Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым
пределам, получим
2
1
10
10
dt
10
1 2
1 t 1
1 1
1 1 1
1 7  7
3
dx


t
dt




         
2
2


33
3 1 3
3 t3
3  10 3 
3  30  90
x3  2
3 t

1
x2
10

3. Задание для самостоятельной работы.
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие
определенные интегралы:

а)
1
4
dx
п cos 2 x

б)  3(1  z 2 )dz
1
3
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

1
а)  5  2 x  dx
2
2
3
sin x
б) 
dx
3  cos x
0
1
x
в)  e xdx
2
0
3. Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие
определенные интегралы:

а)

3
dx
п sin 2 x

2
1
б)  5( y 2  1)dy
1
4. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
3
2

3
а)  2 x  12 dx
б)
2
2
cos x
0 2  sin x dx
в)
 3e
x3
x 2 dx
0
5. Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие
определенные интегралы:
2
1
dx
а) 
2
0 1 x
б)  4( x  x 3 )dx
0
6. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

5
а)  4  x 3 dx
4
б)
12
dx
в)
2
3x
 cos
0
п
2

3 sin x  1 cos xdx
0
7. Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие
определенные интегралы:
а)
3
2

1
0
dx
1 x2
б)  2( x 3  x)dx
2
8. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

а)
 x
2
1
2
 1 xdx
3
9
dx
б)  2 dx
п sin 3 x
18
2
в)

3

2
1  cos x sin xdx
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого
интеграла.
Геометрический смысл определённого интеграла
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции
y  f (x) (где a  x  b ), осью Ox и отрезками прямых x  a и x  b (рис. 1),
вычисляется по формуле:
S  I , где
b
I   f ( x)dx .
a
рис.1
Пример 13.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y  x 2 , прямыми
x  1 , x  2 и осью абсцисс (рис.2).
Решение
Применяя формулу (1), получаем
2
x3
I   x dx 
3
1
2
2
1
1
 (1  8)  3;
3
S  9(кв.ед.)
(1)
рис.2
рис. 3
Площадь фигуры АВСD (рис. 3), ограниченной графиками
непрерывных функций y  f1 ( x) и y  f 2 ( x) , (где a  x  b ) и отрезками
прямых x  a и x  b , вычисляется по формуле
b
I   ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx
S  I , где
(2)
a
Пример 14.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y  6 x  x 2  5 и осью
Ox (рис.4).
Решение.
Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения
графиков функций y  6 x  x 2  5 и y  0 . Для этого решим систему
 y  6 x  x 2  5,

y  0.

Имеем y  6 x  x 2  5 , 6 x  x 2  5  0 , x1, 2  3  9  5  3  2; x1  1, x2  5 .
Теперь найдем искомую площадь по формуле (2):
5
5
5
5
x2
I   (6 x  x  5)dx  6 xdx   x dx  5 dx  6
2
1
1
1
1
2
5
2
1
x3

3
5
1
1
2
5
 5 x 1  3  24  124  5  4  10 ;
3
3
2
S  10 кв.ед.
3
рис.4
Пример 15. Найти площадь фигуры, заключённой между y = x3 , x = -1. x
= 2 и осью OX (рис.5 )
рис.5
Решение.
y = x3; y = 0 → x = 0; y’ = 3x2; y’ = 0 → x = 0;
y” (0) = 0; y”(-1) = -6; y”(1) = 6;
y” = 6x;
y” меняет знак → (0;0) – точка перегиба.
Искомая площадь состоит из двух частей;
2
2
0
x4
x4
S   x dx   x dx  

4 0 4
0
1
3
0
 40
3
1
1
1
 4 (кв.ед.)
4
4
3. Задание для самостоятельной работы.
1. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
а) y  x 2 , x  1, x  3 , y  0 ;
б) y  2 cos x , y  0 ; 

x

2
2
в) y  x  3x  4 , y  4  x ;
2
;
2. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
а) y  x 3 , x  1, x  3 , y  0 ;
б) y  2 cos x , y  0 ; 0  x   ;
в) y  x 2  5x  3 , y  3  x ;
3. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
а) y  1  x 2 , y  0 ;
б) y  sin 2 x , y  0 ; 0  x 

2
;
в) y  x 2 , y  2  x 2 , x  0;
4. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
а) y  x 3 , x  1, y  0 ;


3
3
б) y  cos 0,5 x , y  0 ; x   ;    x   ;
в) y   x  6 , y  2 x  3 ;
2
Список литературы
1. Т. Лисичкин, Е. В. Царькова “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные
задания. Москва, 1987г (стр. 90-107)
2. И. Валуце “Математика для техникумов” (стр. 247-281)
Практическая работа № 4.
Тема: Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка,
дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,
дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
1. Цель: Выработать навыки и умения при решении дифференциальных
уравнений 1-го порядка (с разделяющимися переменными и однородных
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами),
навыки нахождения их общего и частного решений.
2. Пояснения к работе
2.1 Краткие теоретические сведения:
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
независимую переменную, искомую функцию, её производную (или
дифференциал аргумента и дифференциал функции).
Если дифференциальное уравнение содержит производную или
дифференциал не выше первого порядка, то оно называется
дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого
уравнения F ( x, y, y )  0 , где y  f (x) искомая неизвестная функция, y   f (x)
 её производная по x , а F  заданная функция переменных x, y, y'.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
называется функция y   ( x, c) от x и произвольной постоянной C ,
обращающая это уравнение в тождество по x.
Общее решение, записанное в неявном виде Ф( x, y, C )  0 , называется
общим интегралом.
Частным решением уравнения F ( x, y, y )  0 называется решение,
полученное из общего решения при фиксированном значении C : y   ( x, C0 ) ,
где C0  фиксированное число.
Частным интегралом уравнения F ( x, y, y )  0 называется интеграл,
полученный из общего интеграла при фиксированном значении C :
Ф( x, y, C0 )  0 .
График любого частного решения дифференциального уравнения
F ( x, y, y )  0 называется интегральной кривой. Общему решению (и общему
интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых,
зависящих от одного параметра.
Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения
n-го порядка (n=1, 2, 3,…), удовлетворяющего начальным условиям вида
( n 1)
y( x0 )  y 0 , y ( x0 )  y 0 , y ( x0 )  y 0.... , y ( n1) ( x0 )  y0
, называется задачей Коши.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию
y( x0 )  y 0 . Другими словами, из всех интегральных кривых данного
дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит
через данную точку ( x0 , y0 ).
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общий вид такого уравнения
X ( x)Y ( y)dx  X 1 ( x)Y1 ( y)dy  0 ,
где X ( x), X 1 ( x) функции только от x , Y ( y), Y1 ( y) функции только от y .
Поделив обе части уравнения на произведение X 1 ( x)Y ( y)  0 , получим
уравнение с разделенными переменными:
Y ( y)
X ( x)
dx  1
dy  0.
X 1 ( x)
Y ( y)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Y1 ( y)
X ( x)
 X ( x) dx   Y ( y) dy  C.
1
Замечание. Если произведение X 1 ( x)Y ( y)  0 при x  a и y  b , то эти
функции x  a и y  b являются решениями дифференциального уравнения
при условии, что при этих значениях x и y уравнение не теряет числового
смысла.
Пример 1. Решить уравнение. Найти частное решение ydy  xdx ,
удовлетворяющее условию y  4 при x  2 .
Решение. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя,
находим общее решение уравнения
 ydy   xdx,
y2 x2 C

 .
2
2 2
Для получения более простого по форме общего решения постоянное
слагаемое в правой части представлено в виде
C
. Тогда
2
y 2  x 2  C.
Подставив в общее решение значения y  4 и x  2 , получим 16  4  С ,
откуда С  12 .
Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию,
имеет вид y 2  x 2  12 .
Пример 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
xy   y  y 3 .
dy
, то
dx
xdy
 y  y 3 , откуда xdy  ( y 3  y)dx.
dx
Разделим обе части уравнения на произведение xy( y 2  1) :
dy
dx
 .
2
x
y ( y  1)
Решение. Так как y  
Преобразуем дробь:
1
y ( y 2  1)

y2 1 y2
y2 1
y2
1
y


  2
.
2
2
2
y ( y  1)
y ( y  1) y ( y  1) y y  1
Тогда
1
y 
dx
  2
dy  .
x
 y y  1
Интегрируя, находим
1
  y  y
2
y 
dx
dy   ,
x
 1
dy 1 d ( y 2  1)
dx
 y  2  y2 1   x ,
1
ln y  ln( y 2  1)  ln x  ln C1 .
2
Для облегчения потенцирования и получения более простого по форме
общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде
ln C1 . После потенцирования получим
y
 C1  x ,
y2 1
откуда
y
y2 1
y
 C1 x, или
y2 1
 Cx, где C  C1 .
Произведение xy( y 2  1) при x  0 и при y  0 . При этих значениях x и y
дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, поэтому x  0 и
y0
 решения уравнения, но решение y  0 входит в решение
y
y 1
2
 Cx
при C  0 .
Значит, решения уравнения имеют вид
y
y 1
2
 Cx и x  0 .
Пример 3. Решить уравнение (1  e x ) yy   e x . Найти частное решение,
удовлетворяющее условию y  1 при x  0 .
dy
, то
dx
dy
(1  e x ) y
 e x , откуда (1  e x ) ydy  e x dx.
y
Решение. Так как y  
Разделим обе части уравнения на 1  e x :
ydy 
e x dx
.
1 ex
Интегрируя, находим
 ydy  
e x dx
,.
1 ex
1 2
y  ln( 1  e x )  ln C ,
2
или
1 2
y  ln C (1  e x ).
2
После потенцирования получим решение
ey
2
/2
 C (1  e x ).
При y  1 и x  0 имеем e1 / 2  C (1  e 0 ) , e  2C , откуда C  e / 2 .
Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному
условию, имеет вид
ey
2
/2

2
e
(1  e x ), или 2e y / 2  e (1  e x ),
2
Линейные дифференциального уравнения первого порядка
Общий вид такого уравнения
y   f ( x) y  q ( x) ,
(1)
где f (x) и q(x) – заданные функции от x . Это уравнение является линейным
относительно искомой функции и её производной
Если q( x)  0 , то линейное дифференциальное уравнение (1) называется
однородным. Оно имеет вид y   f ( x) y и решается методом разделения
переменных:
dy
 f ( x) y ,
dx

dy
 f ( x)dx ,
y 
y  C1 e F ( x) ,
dy
 f ( x)dx ,
y
ln y  F ( x)  ln C1 ,
y  C1e F ( x ) ,
y  Ce F ( x ) ,
где F (x)  некоторая первообразная функции f (x) , а C  C1  произвольная
постоянная.
Если f ( x0  0 , то уравнение (1) принимает вид y   q (x) и решается
методом разделения переменных
dy
 q (x) ,
dx
dy  q( x)dx ,
y  Q( x)  C ,
где Q(x)  некоторая первообразная функции q(x) , а C  произвольная
постоянная.
Существуют различные приемы решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения. Рассмотрим два из них.
1. Этот прием решения основан на применении следующей теоремы:
если y   (x)  некоторое решение уравнения, то все решения этого уравнения
задаются формулой
y  Ce F ( x )   ( x) ,
где Ce F ( x )  общее решение однородного уравнения. Иными словами, для
нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы одно
его частное решение.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
y   y  x  1.
Решение. Подбором находим, что функция y  x является решением
данного линейного неоднородного уравнения. Найдем общее решение
соответствующего однородного уравнения
y  y  0 ,
dy
 y,
dx
ln y   x  ln C1 ,
dy
 dx ,
y
y  C1 e  x ,
y  Ce  x , где C  C1 .
Общее решение данного уравнения имеет вид y  Ce  x  x.
2. Этот прием решения основан на простом замечании, что любую
величину t (переменную или постоянную) можно представить в виде
произведения двух множителей t  uv , причем один из них можно выбрать
произвольно ( лишь бы он был отличен от нуля).
Например, в равенстве tgx  uv можно взять v  e x , тогда u  e  x tgx ;
можно взять v  1  x 2 , тогда u 
tgx
1 x
2
, и т.д.
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
будем искать в виде y  uv , где u и v  функции от x .
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
y   yctgx  sin x.
Решение. Данное уравнение является линейным. Полагаем y  uv ,
тогда y   u v  uv  и уравнение преобразуется к виду
u v  uv   uvctgx  sin x или u v  u (v   vctgx)  sin x.
Так как один множитель можно выбрать произвольно, то выберем в
качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v   vctgx  0 . Тогда для
отыскания u получим уравнение uv  sin x.
решим уравнение v   vctgx  0 . Имеем
dv
dv
 vctgx  0,
 ctgxdx,
dx
v
dv cos xdx

, ln v  ln sin x , v  sin x.
v
sin x
В качестве v выбран частный интеграл уравнения при C  0.
Подставим значение v во второе уравнение и решая его, найдем u , как
общий интеграл этого уравнения
u  sin x  sin x,
u   1,
du  dx,
u  x  C.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Если дифференциальное уравнение содержит производную или
дифференциал не выше второго порядка, то оно называется
дифференциальным уравнением второго порядка. Общий вид такого
уравнения F ( x, y, y , y )  0 , где y  f (x) искомая неизвестная функция,
y   f (x) и y   f (x)  её производные по x , а F  заданная функция
переменных x, y, y', y .
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка
называется функция y   ( x, C1 , C2 ) от x и произвольных постоянных C1 и C2 ,
обращающая это уравнение в тождество по x.
Общее решение, записанное в неявном виде Ф( x, y, C1 , C2 )  0 , называется
общим интегралом.
Частным решением уравнения F ( x, y, y , y )  0 называется решение,
полученное из общего решения при фиксированном значении C1 и C2 :
y   ( x, C10 , C 20 ) , где C10 и C 20  фиксированные числа.
Частным интегралом уравнения F ( x, y, y )  0 называется интеграл,
полученный из общего интеграла при фиксированном значении C1 и C2 :
Ф( x, y, C10 , C 20 )  0 , где C10 и C 20  фиксированные числа.
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка
состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию
y( x0 )  y 0 , y ( x0 )  y 0 . Постоянные C1 и C2 определяются из системы
уравнений
 y 0   ( x0 , C1 , C 2 ),

 y 0   ( x0 , C1 , C 2 ).
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с
постоянными
коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными
коэффициентами
называется уравнение
вида
y   py   qy  f (x)
,
(1)
где p и q  некоторые
числа.
Если F ( x)  0 ,
то дифференциальное
уравнение называется
однородным. Оно
имеет вид
y   py   qy  0
(2)
Справедлива теорема: если y1 и y2  частные решения уравнения (2), причем
y1 / y2  const , то
функция
y  C1 y1  C2 y2 , где C1
и C 2  произвольные
постоянные, является
общим решением
этого уравнения
Решением данного
дифференциального
уравнения (2) должна
быть такая функция,
которая, будучи
подставленной в
уравнение, превратит
его в тождество.
Левая часть уравнения
представляет собой
сумму функции y и её
производных y  и y  ,
взятых с некоторыми
постоянными
коэффициентами.
Чтобы такая сумма
обратилась в нуль,
надо, чтобы y , y  и
y  были подобны
между собой.
kx
Такой функцией является функция y  e , где k  постоянная. Требуется подобрать
k так, чтобы эта
функция
удовлетворяла
уравнению (2).
kx
kx
kx
2 kx





Так как y  e (kx)  ke , а y  ke (kx)  k e , то, подставляя эти значения y , y 
и y  в левую часть
уравнения (2), получим
k 2 e kx  pkekx  qe kx  0.
Сокращая на
множитель e kx , не
обращающийся в нуль,
получим
характеристическое
уравнение
k 2  pk  q  0.
(3)
Это уравнение
определяет те
значения k , при
которых функция
y  e kx является
решением
дифференциального
уравнения (2).
При решении
характеристического
уравнения (3)
возможны три случая:
№
1
2
3
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
y   5 y   6н  0.
Решение.
Составим
характеристическое
уравнение и найдем его
корни
k 2  5k  6  0 ,
D  25  24  1,
5 1
k1 
 2,
2
5 1
k2 
 3.
2
Корни
характеристического
уравнения являются
действительными и
различными. Поэтому
y1  e 2 x ,
y 2  e 3 x  частные
решения, а
y  C1e 2 x  C 2 e 3 x  обще
е решение данного
уравнения.
Пример 7.
Найти общее решение
дифференциального
уравнения
y   4 y   4 y  0.
Решение.
Характеристическое
уравнение
k 2  4k  4  0 или
(k  2) 2  0
имеет
действительные
равные корни
k1  k 2  2 . Поэтому
y1  e 2 x и
y 2  xe2 x  частные
решения, а
y  e 2 x (C1  C2 x)  общ
ее решение данного
дифференциального
уравнения.
Пример 8.
Найти общее решение
дифференциального
уравнения
y   6 y   13 y  0.
Решение.
Составим
характеристическое
уравнение и найдем его
корни:
k 2  6k  13  0 ,
D  36  4 13  36  52  16
,
 6  4i
k1 
 3  2i,
2
 6  4i
k2 
 3  2i.
2
Корни
уравнения являются
комплексносопряженными.
Поэтому
y1  e 3 x cos 2 x ,
y 2  e 3 x sin 2 x  частн
ые решения, а
y  e 3 x (C1 cos 2 x  C 2 sin 2 x) 
общее решение данного
дифференциального
уравнения.
3. Задание для самостоятельной работы:
1.Найти общее решение дифференциального уравнения.
х 1уdx  dy
2.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.
х  у dy  ydx  0
3.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения.
х  у dx  xdy  0

 y  0 при х  1
4.Найти общее решение дифференциального уравнения.
2 хdx  3 y 2 dy
5.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения


хydx  x 2  y 2 dy  0
6.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения.
 xy 2 y /  x 3  y 3

 y  3 при х  1
7.Найти общее решение дифференциального уравнения.
х 3 dy  y 3 dx  0
8.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.
х
2

 у 2 dx  2 xydy  0
9.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения.


 y 2 dx  x 2  xy dy  0

 y  1, если х  1
10.Найти общее решение дифференциального уравнения.
у/  х2 у  х2
11.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

х3 у /  у у 2  х 2

12.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения.
 х 2 у /  ху  у 2

 у  1, если х  1
13.Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными:
у // 
1
.
х2
14.Найти общее решение однородного линейного дифференциального
уравнения:
у //  2 у /  5 у  0.
15.Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными:
у //  х 2  1
16.Найти общее решение однородного линейного дифференциального
уравнения:
y //  10 y /  9 y  0.
17.Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными:
у //  sin x  1 .
18.Найти общее решение однородного линейного дифференциального
уравнения:
y //  7 y /  12 y  0 .
19.Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными:
у //  60 х 2  4 х  2 .
20.Найти общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения:
у //  9 у  0.
Список литературы
1. Т. Лисичкин, Е. В. Царькова “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные
задания. Москва, 1987г (стр. 114-125)
2. И. Валуце “Математика для техникумов (стр. 316-339)
Практическое работа №5.
Тема: Основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки и
сочетания. Случайные события, вероятность события.
1. Цель: Выработать навыки и умения по вычислению основных понятий
комбинаторики - размещений, перестановок и сочетаний, научиться
применять их для решения простейших комбинаторных задач. Выработать
навыки и умения по вычислению вероятности событий, используя
классическое определение вероятности при решении простейших задач.
2. Пояснения к работе
2.1 Краткие теоретические сведения:
Основные понятия комбинаторики.
При решении ряда теоретических и практических задач требуется из
конечного множества элементов по заданным правилам составлять
различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких
комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными, а раздел
математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.
Комбинаторика широко применяется в теории вероятностей, теории
массового обслуживания, теории управляющих систем и вычислительных
машин и других разделах науки и техники.
1. Размещения
Определение 1. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.
Размещением из п элементов по т (0  m  n) элементов называется
упорядоченное подмножество, содержащее m различных элементов данного
множества.
Из определения вытекает, что размещения из n элементов по m
элементов - это все m - элементные подмножества, отличающиеся составом
элементов или порядком их следования.
Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов
обозначают Anm и вычисляют по формуле
Anm  n(n  1)( n  2)...( n  m  1)
Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов
в каждом равно произведению m последовательно убывающих
натуральных чисел, из которых большее есть n .
Для кратности произведение первых n натуральных чисел принято
обозначать n! ( n −факториал).
Условились считать, что 0! 1.
Тогда формулу числа размещений из n элементов по m элементов можно
записать в другом виде:
Anm 
n!
.
(n  m)!
Условились считать, что An0  1.
Пример 1. В группе из 30 учащихся нужно выбрать комсорга, профорга,
физорга. Сколькими способами это можно сделать, если каждый из 30
учащихся комсомолец, член профсоюза и спортсмен?
Решение. Искомое число способов равно числу размещений из
30 элементов по 3 элемента. Положив n  30 , а m  3 , получаем
3
A30

30!
 28  29  30  24360.
(30  3)!
Пример 2. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась
фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?
Решение. Передача фотокарточки одним учащимся другому есть размещение
из 30 элементов по 2 элемента. Искомое число фотокарточек равно числу
размещений из 30 элементов по 2 в каждом:
2
A30

2. Перестановки
30!
 29  30  870.
(30  2)!
Определение 2. Перестановкой из n элементов называется размещение
из n элементов по n элементов.
Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то
различные перестановки отличаются друг от друга только порядком
следования элементов.
Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают Pn . Из
определения перестановок следует
Pn  1  2  3    n  n!.
Пример 3. Сколькими способами можно расставлять на одной
полке шесть различных книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок
из 6 элементов, т.е. P6  1  2  3  4  5  6  720.
Пример 4. Сколько четырехзначных чисел можно составить из
цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?
Решение. По условию дано множество из четырех элементов,
которые требуется расположить в определенном порядке. Значит,
требуется найти количество перестановок из четырех элементов:
P4  1  2  3  4  24,
т.е. из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 четырехзначных числа (без
повторений).
3. Сочетания
Определение 3. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.
Сочетанием из n элементов по т (0  m  n) элементов называется любое
подмножество, которое содержит т различных элементов данного
множества.
Следовательно, сочетания из n элементов по т элементов - это все т элементные подмножества n - элементного множества, причем различными
подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав
элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга лишь порядком
следования элементов, не считаются различными.
Число всех возможных сочетаний из n элементов по т элементов
обозначают С nm и вычисляют по формуле
С nm 
Anm
n!

Pm m!(n  m)!
Число сочетаний С nm обладает следующим свойством:
С nm  С nn  m (0  m  n)
Пример 5. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд
в однокруговом чемпионате?
Решение. Так как игра любой команды А с командой В совпадает с
игрой команды В с командой А, то каждая игра есть сочетание из 20
элементов по 2. Искомое число всех игр равно числу сочетаний из 20
элементов по 2 элемента в каждом:
2
С 20

20  19
 190.
1 2
Пример 6. Сколькими способами можно распределить 12 человек
по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?
Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12
элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12
элементов по 6 в каждом:
С126 
12  11  10  9  8  7
 924.
1 2  3  4  5  6
Случайные события. Вероятность события
Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса
условий, в результате которого произойдет какое-либо событие.
Например, бросание монеты − испытание; появление герба или цифры −
события.
Случайным событием называется событие, связанное с данным
испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а
может и не произойти. Слово «случайное» для краткости часто опускают и
говорят просто «событие». Например, выстрел по цели − это опыт,
случайные события в этом опыте −попадание в цель или промах.
События могут быть достоверными, невозможными и случайными. Те
события, которые обязательно произойдут при осуществлении определённой
совокупностей условий (или в результате опыта), называют достоверными.
Событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена
определенная совокупность условий, называют невозможным. События,
которые при испытании могут произойти, а могут и не произойти, называют
случайными.
События называются несовместными, если никакие два из них не
могут появиться вместе (т.е. появление одного из них исключает появление
другого). В противном случае события называются совместными. Например,
попадание и промах при одном выстреле − это несовместные события.
События A1 , A2 ,..., An называются попарно несовместными, если любые
два из этих событий несовместны.
Например, если произведено два выстрела по мишени, то события A1
−«два попадания», А2 −«только одно попадание», А3 −«ни одного попадания»
попарно несовместны.
Несколько событий в данном опыте образуют полную систему
событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы
одно из них.
Например, учащемуся на экзаменах достался билет с двумя
теоретическими вопросами. События A1 −«учащийся знает оба вопроса», А2
−«учащийся знает первый вопрос», А3 −«учащийся знает второй вопрос», А4
−«учащийся знает только один вопрос», А5 −«учащийся не знает ни одного
из вопросов» образуют полную систему событий, среди которых имеются как
несовместные A1 и А2 , A1 и А5 и другие, так и совместные
Различают события элементарные и составные. Множество всех
элементарных событий, связанных с некоторым опытом, называется
пространством элементарных событий. Каждое событие определяется как
подмножество во множестве элементарных событий А. При этом те
элементарные события, при которых событие А наступает (т.е. принадлежит
подмножеству А), называются благоприятствующими событию А.
Пусть A  случайное событие, связанное с некоторым опытом.
Повторим опыт n раз в одних и тех же условиях и пусть при этом событие А
появилось т раз.
Определение 1. Отношение числа т опытов, в которых событие А
появилось, к общему числу п проведённых опытов называется частотой
события А.
Оказывается, что при многократном повторении опыта частота
события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу.
Например, при многократном бросании игральной кости частота выпадения
каждого из чисел очков от 1 до 6 колеблется около числа 1/6.
Свойство устойчивости частоты случайного события было подмечено
и на явлениях демографического характера. Подсчитано, например, что
частота рождения мальчика колеблется около числа 0,517.
Описанные в приведенных примерах явления, а также неоднократные
наблюдения и других массовых явлений позволяют сделать вывод, что если
опыт повторяется в одинаковых условиях достаточно большое количество
раз, то частота некоторого события А приобретает статистическую
устойчивость, колеблясь около некоторой постоянной величины p к которой
она все более приближается с увеличением числа повторений опыта.
Определение 2. Постоянная величина p , к которой все более приближается
частота событий А при достаточно большом повторении опыта, называется
вероятностью события А (или числовой мерой степени объективной
возможности события) и обозначается P  P( A) .
Классическое определение вероятности
Пусть из системы n несовместных равновозможных
исходов испытания m исходов благоприятствуют событию A .
Тогда вероятностью события A называют отношение m числа
исходов, благоприятствующих событию A , к числу всех исходов
данного испытания:
P( A) 
m
n
Эта формула носит название классического определения вероятности.
Если B  достоверное событие, то m  n и P( B)  1 ; если
C  невозможное событие, то m  0 и P (C )  0 ; если A  случайное событие, то
m  n и P ( A)  1 .
Таким образом, вероятность события заключается в следующих
пределах: 0  P( A)  1 .
Пример 7. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны
одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара
красные (событие A )?
Решение. Число равновозможных независимых исходов равно
n  C132 
13  12
 78.
1 2
Событию A благоприятствуют m  C 72 
P( A) 
76
 21 исходов. Следовательно,
1 2
21 7

.
78 26
Пример 8. Девять различных книг расставлены на удачу на одной
полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся
поставленными рядом (событие C )?
Решение. Число равновозможных независимых исходов равно
n  P9  9!. Подсчитаем число исходов m , благоприятствующих событию C .
Представим себе, что четыре определенные книги связаны вместе, тогда эту
связку можно расположить на полке P6  6! способами (связка плюс
остальные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять
P4  4! способами. При этом каждая комбинация внутри связки может
сочетаться с каждым из P6 способов образования связки, т.е. m  6! 4!.
Следовательно, P (C ) 
6!4!
.
9!
3. Задание для самостоятельной работы:
1 .Из урны, в которой находится 5 белых и 3 чёрных шара, вынимают один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется чёрным.
2.Из урны, в которой находится 12 белых и 8 чёрных шаров, вынимают 2
шара. Какова вероятность того, что оба окажутся чёрными.
3.В партии из 15 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 7
взятых наугад деталей будет 5 стандартных.
4 .Из урны, в которой находится 5 белых и 3 чёрных шара, вынимают один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.
5.Из урны, в которой находится 12 белых и 8 чёрных шаров, вынимают 2
шара. Какова вероятность того, что оба окажутся белыми.
6.В партии из 11 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 5
взятых наугад деталей будет 3 стандартных.
7 .Из урны, в которой находится 6 белых и 4 чёрных шара, вынимают один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется чёрным.
8.Из урны, в которой находится 10 белых и 12 чёрных шаров, вынимают 3
шара. Какова вероятность того, что все они окажутся чёрными.
9.В партии из 13 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 8
взятых наугад деталей будет 3 нестандартных.
10 .Из урны, в которой находится 6 белых и 4 чёрных шара, вынимают один
шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.
11.Из урны, в которой находится 10 белых и 12 чёрных шаров, вынимают 3
шара. Какова вероятность того, что все они окажутся белыми.
12.В партии из 14 деталей 9 стандартных. Найти вероятность того, что среди
8 взятых наугад деталей будет 3 нестандартных.
Список литературы
1. Т. Лисичкин, Е. В. Царькова “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные
задания. Москва, 1987г (стр. 126-132)
2. И. Валуце “Математика для техникумов (стр. 351-369)