СКАЧАТЬ: «Невозм
advertisement
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа№1 имени 50-летия «Красноярскгэсстрой» Наименование секции МАТЕМАТИКА Исследовательская работа Невозможный мир Автор: Гурская Ольга Валерьевна ученица 10 класса Руководитель: Лонская Татьяна Александровна, учитель математики г. Саяногорск 2008г. Содержание 1. Введение стр. 3 2. Основная часть Примеры невозможных фигур История невозможных фигур Невозможный мир Эшера Многогранники Форма пространства Логика пространства Классификация невозможных фигур 3. Заключение Создавайте сами невозможные объекты 4. Литература стр. 4 стр. 6 стр. 7 стр. 8 стр. 9 стр. 11 стр. 12 стр. 14 стр. 16 2 Введение Наши глаза познавать не умеют природу предметов. А потому не навязывай им заблуждений рассудка. Тит Лукреций Кар Я стала замечать, что на рекламных плакатах, вывесках, в журналах используются необычные геометрические фигуры, название которых я не знала. Существует большой класс изображений, про которые можно сказать: "Что видим? Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. (см. приложение 1) Я поставила перед собой цель познакомиться с ними. Узнать историю их возникновения, авторов этих фигур, какое место они занимают в математике. 3 Основная часть Примеры невозможных фигур Я узнала что такие фигуры имеют общее название – невозможные фигуры. Оказалось, что на протяжении долгого времени психологи использовали геометрические фигуры разного рода при изучении человеческой личности. С начала века было разработано более 200 фигур и иллюзий для анализа психологических аспектов зрительного процесса и умственной деятельности пациентов. Они рассматривали эти объекты и пытались понять их. При помощи таких экспериментов, когда глазу предлагалась противоречивая информация, было получено множество новых сведений о типах личности. Очень интересно наблюдать за человеком, рассматривающим невозможный объект, и так же интересно наблюдать за тем, как он пытается понять его. Невозможные объекты важны для психологов, выясняющих, что же привлекает внимание людей. Рис. 2 Итак. Невозможная фигура - эта фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве.Геометрические фигуры – лучшие источник вдохновения для изобретения невозможных объектов. Приведу примеры невозможных фигур. Эта фигура (см. рис 1) – возможно, первый опубликованный в печати невозможный объект. Рис 1. Трибар Она появилась в 1958 году в статье под заголовком "Удивительные фигуры, особый вид оптических иллюзий". Ее авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как "трехмерную прямоугольную структуру". Она также получила название "трибар", или "деформированный трибар". В этой статье фигурировали еще два загадочных объекта. Таким образом, "невозможные объекты" были впервые представлены широкой общественности на примере этих трех фигур. Тройной деформированный трибар Фигура слева (см. рис 2) – это простая, но более глубокая разработка треугольника Пенроуза. На примере первого трибара можно было увидеть 4 лишь одно невозможное соединение, а в этой фигуре – несколько. Вы на каждом шагу начинаете по-новому смотреть на нее – так получается с любым невозможным объектом. Предмет кажется довольно убедительным, но если вы попробуете построить что-то подобное в реальности, то у вас ничего не выйдет. Вот в чем суть всех невозможных объектов! Треугольник из 12 кубов Для построения этой фигуры мы взяли один из трибаров и разбили его на кубы. При этом ничего не изменилось: новая фигура так же совершенно невозможна, как и предшествующая ей! Существует еще множество невозможных фигур (я просмотрела более 500) Приведем примеры некоторых их них. ( см. на слайды) Рис. 3 История невозможных фигур Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvard), нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков (см. рис 4). Опыты с необычными объектами художник продолжил и в 1940 году создал фигуру "Opus 2B", представляющую собой редуцированный невозможный треугольник, состоящий всего из трех кубиков (см. рис. 2). Все кубики реальны, но их расположение в трехмерном пространстве Рис. 4 невозможно. Оскар Рутесвард. Независимо от Рейтерсвэрда английский "Opus 1" . 1934 год. математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников. Рис.5 "Opus 2B" 5 В 1961 г. голландец М. Эшер (Maurits C. Escher), вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию «Водопад» (см. рис. 6). Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу. С тех пор невозможный треугольник не раз использовался в работах других мастеров. Рис. 6 Помимо уже упомянутых можно назвать «Водопад» бельгийца Жоса де Мея (Jos de Mey), швейцарца Сандро дель Пре (Sandro del Prete) и венгра Иштвана Ороса (Istvan Orosz). Также популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом (см. рис. 7). Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» («Ascending and Descending») (рис. 17) Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка» (рис.8). При внимательном изучении картинки можно Рис. 7 Рис. 8 заметить, что три зубца Невероятная лестница «Чертова вилка» постепенно переходят в Пенроуза два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта. Хочется подробнее рассказать о творчестве Морица Корнилиса Эшера. Невозможный мир Эшера. Знакомство с невозможными фигурами открыло для меня новый невозможный мир – мир математиков, исследователей и художников. Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. 6 Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства. Эшер интересовался всеми видами мозаик Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей. Многогранники Рис. 9 7 Правильные геометрические тела - многогранники - «Четыре тела» имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" (рис. 9) Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен Рис. 10 внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой «Порядок и хаос» конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы. Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды" (рис. 11), на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким Рис. 11 образом нам необходимо отвлечься от привычного «Звезды» восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера. Форма пространства 8 рис. 12 «Три пересекающиеся плоскости» Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три пересекающиеся плоскости" (рис. 12) - хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов. Еще более странное пространство показано в работе "Змеи" (рис. 13). Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже? Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или рис. 13 изгибе. Единственное, к чему не должна приводить «Змеи» деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Рис. 14 Лист мебиуса II 9 Другая интересная литография назавается "Картинная галерея", в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город ... стоп! Что-то не так... Рис. 15 Картинная галерея Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины - белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой, где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф. Логика пространства Под "логикой" пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо. Рис. 16 Куб с полосками 10 Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" (рис. 16) выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине. Еще один из аспектов логики пространства перспектива. На рисунках, в которых присутствует Рис. 17 эффект перспективы, выделяют так называемые точки Сверху и снизу исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине "Cверху и cнизу" художник разместил сразу пять точек исчезновения - по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции. Классификация невозможных фигур В ниже приведенной морфологической таблице классификации невозможных объектов можно найти основные типы невозможных фигур. Таблица 1. 11 Таблица не претендует на полноту и строгий порядок, но дает возможность оценить все многообразие невозможных фигур. В таблице более 300 тысяч комбинаций различных элементов. 12 13 Заключение Создавайте сами невозможные объекты Есть ли какая-либо более существенная польза от невозможных рисунков, чем игра ума? В некоторых больницах специально развешивают изображения невозможных объектов, поскольку их рассматривание способно надолго занять больных. Логично было бы развесить такие рисунки в кассах, в милиции и прочих местах, где ожидание своей очереди длится порой целую вечность. Рисунки могли бы выступить в роли этаких «хронофагов», т.е. пожирателей времени. 21 октября 2005г. на математическом факультете Университета штата Пенсильвания состоялось открытие необычной скульптуры под названием «Октакуб» (рис. 18). Она представляет собой изображение четырехмерного геометрического объекта в трехмерном пространстве. По мнению автора скульптуры, профессора Адриана Окнеану, столь красивой фигуры такого рода в мире не существовало, ни виртуально, ни физически, хотя трехмерные проекции четырехмерных фигур изготавливались и раньше. Вообще математики легко оперируют с четырех-, пяти– и еще более многомерными объектами, однако изобразить их в трехмерном пространстве невозможно. «Октакуб», как и все подобные фигуры не является действительно четырехмерным. Его можно сравнить с картой – проекцией трехмерной поверхности земного шара на плоский лист бумаги. Рис. 18 Трехмерная проекция четырехмерной фигуры была получена Окнеану методом радиальной стереографии при помощи компьютера. При этом была сохранена симметрия исходной четырехмерной фигуры. Скульптура имеет 24 вершины и 96 граней. В четырехмерным пространстве грани фигуры прямые, но в проекции они искривлены. Углы же между гранями у трехмерной проекции и исходной фигуры одинаковы. «Октакуб» был изготовлен из нержавеющей стали в инженерных мастерских Университета штата Пенсильвания. Установлена скульптура в отремонтированном корпусе имени Макаллистера математического факультета. Высота, ширина и длина скульптуры одинаковы и составляют около 180 см. Размещена скульптура на гранитном пьедестале высотой 90 см так, чтобы е центр находился примерно на уровне взгляда человека. 14 В наше время, смотря на множество конструированых всевозможных фигур и на то, что создано моими во всем мире, могжно назвать это робким началом чего-то более значительного и всеобъемлющего. Поэтому в ближайшем будущем можно ожидать, что игра со зрительным восприятием реализуется в области голограмм и изображений, созданных компьютером. Может быть, уже к концу нашего столетия будет воздвигнут храм невозможного, в котором нам откроется головокружительная перспектива прекрасного и достойного поклонения несуществующего, освобождающего нас на несколько мгновений от цепей реальности. Собственно говоря, невозможный объект несложно создать. Если вы знаете обычные геометрические фигуры и у вас есть немного воображения, то это можно сделать за считанные минуты. Поскольку создание невозможных объектов довольно сильно ограничено пределами графики, вполне возможно, что два человека, работающие независимо друг от друга, могут создать что-то одинаковое или очень похожее. Вдохновить на создание невозможных объектов может практически все. (см. приложение 2) При создании фигур, которые мы видим в моей работе в качестве образцов использовались обыкновенные бытовые предметы и некоторые более-менее знакомые вещи. Они были по-новому переосмыслены, преображены и доведены до совершенства всего лишь при помощи воображения. Находить невозможные объекты в обыкновенных предметах так же увлекательно, как и искать сокровища. Из простых рисунков может родиться огромное количество невозможных объектов. Еще более интересно – самому дать им названия! Возможно, лучший способ начать – взять в руки блокнот и карандаш, сделать несколько набросков знакомых предметов, с которыми встречаешься ежедневно. Не берите ничего сложного, лучше используйте фигуры с простой геометрической формой. Нарисовав что-то, попытайтесь поэкспериментировать, сделав несколько последовательных рисунков. В этом надо немного попрактиковаться, но вы будете удивлены конечным результатом. Ваше задание (уж вам решать, принимать его или нет) состоит в том, чтобы создать собственный невозможный объект в домашних условиях! 15 ЛИТЕРАТУРА 1. Рутесвард О. Невозможные фигуры. - М.: Стройиздат, 1990. 2. Сайт В. Алексеева www.impworld.narod.ru. 3. Сайт Д. Ракова www.rakov.de. 4. Сайт «Наука и жизнь» http:// nauka.relis.ru 16 Приложение 1. Картины с использованием невозможных фигур Вильям Хогард. "Невозможная перспектива", где намеренно сделано по меньшей мере четырнадцать ошибок в перспективе. Мадонна с младенцем. 1025 год. 17 Питер Брейгель. "Сорока на виселице". 1568 год. Марсель Дюшамп. Рекламная картинка с кроватью невозможной конструкции. Мауриц Корнелиус Эшер. "Восхождение и спуск". 18 Роджер Пенроуз. "Невозможный треугольник". 1954 год. Построение "невозможного треугольника". Скульптура "Невозможный треугольник", вид с разных сторон. Она построена из криволинейных элементов и выглядит невозможной только из одной точки. "Mail to" (Р1-4). тушь, карандаш. На рисунке - хорошо известный символ электронной почты @. Он сложен из реальных кирпичиков, но пересечение образованных ими линий невозможно. 19 Невозможный алфавит - комбинация из возможных и невозможных фигур, среди которых есть даже элемент рамки. "Москва" (схема линий метрополитена) 20 Приложение 2. Комната Амеса Изобретение названо в честь реализовавшего его Адельберта Амесамладшего, офтальмолога (США). Он впервые сконструировал свою комнату в 1946 году. Данный дизайн создан на основе представлений от Г.Гельмгольтца, ведущих свое начало еще в 19-м веке. В комнате Амеса представлены совместно две иллюзии. Первая - то, что комната выглядит кубической, хотя на самом деле она трапецеидальная, вторая заключается в том, что любые объекты смотрятся или увеличенными, или уменьшенными в зависимости от приближения/удаления от дальнего угла к ближнему. Восприятие кубической комнаты Если вы смотрите в комнату Амеса через смотровое отверстие (чтобы исключить ненужные точки просмотра), то данная комната кажется нормальной, то есть кубической, но этот образ обманчив. Пол, потолок, стены и дальние окна имеют форму трапеции. Например, дальний левый угол значительно ниже правого переднего. Стены смотрятся перпендикулярными полу, хотя на самом деле они не находятся под прямым углом по отношению к нему. На схематическом рисунке показаны ощущения смотрящего и данность. Основная форма - это действительная комната Амеса, пунктирные линии - линии света, форма, нарисованная пунктирно, - это то, какой вы ощущаете саму комнату Амеса. Причем два видимых угла комнаты смотрятся практически равноудаленно от точки просмотра. Но по-настоящему левый видимый угол дальше правого почти в два раза. 21 Если смотреть в комнату Амеса с другой точки, то ощущение иллюзии исчезнет, то есть комната перестанет быть кубической и откроются все секреты. Хотя стоит только внимательно присмотреться к представленной фотографии, и элемент трапецеидальности можно найти. Но... На этом и держатся многие современные технологии, а также всевозможные технологии индустрии шоу-бизнеса - стереотипы:). Практическое применение Дело в том, что комната Амеса моделируема в современных условиях. Причем сие действие вполне под силу компьютерному дизайнеру. Не тому, кто сидит дома и изучает Photoshop, а тому, чья работа напрямую связана с Blue Box, с так называемой "голубой комнатой", в которой все действующие персонажи снимаются на голубом фоне, после чего оный вырезается и заменяется на компьютерный пейзаж (кстати, есть и Green Box). Так вот, помимо стандартных пейзажей, можно применить и комнату Амеса. Эффект будет превосходен, если создать компьютерное окружение, отталкиваясь от точки просмотра. Хотя это только в теории… christopher@tut.by 22
