МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ Государственное бюджетное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ
СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Ставропольский строительный техникум»
ЦИКЛОВАЯ КОМИССИЯ
ЕСТЕСТВЕННО - МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПРОЕКТА
Математические опыты
СТАВРОПОЛЬ, 2014
Рассмотрено на заседании цикловой
комиссии естественно – математических
дисциплин протокол №
от______2014г.Председатель цикловой
комиссии _________________
Е.А.Андреева
Заместитель
директора по УМР
______И.В. Кузнецова
«__» _______ 2014г.
Разработчик:
Т.Д. ВЕЛИЧКО - преподаватель математики, Почетный работник СПО РФ
Рецензент:
Л.В. БЕЛОУСОВА – заместитель директора по развитию в сфере образовательной
деятельности
2
Содержание
1.Тема: «Измеряем высоту техникума»………………………………… 4
Введение ………………………………………………………………..
5
Цели и задачи …………..………………………………………………
6
Ход эксперимента………………………………………………………
8
1.Создание проблемной ситуации
2.Студенты подбирают различные способы выполнения задания
3. Проведение измерительных работ
4. Решение задач………………………………………………………….
11
5. Вычисление погрешностей измерений ……………………………… 14
Вывод……………………………………………………………………… 15
Литература………………………………………………………………
16
2. Тема: «Опытное обоснование некоторых геометрических
формул»……………………………………………………………………...18
Введение ………………………………………………………………….. 19
Цели и задачи …………..………………………………………………
20
Ход занятия………………………………………………………
23
1. Задача №1. Практическим способом доказать или опровергнуть
формулу нахождения площади круга S = πR2.
2. Задача № 2. Практическим способом доказать или опровергнуть
формулу нахождения площади сферы S = 4πR2.
3. Задача №3. Практическим способом доказать или опровергнуть
4
формулу нахождения объема шара Vшара = πR3, зная объем конуса
3
такого же радиуса.
4.Литература……………………………………………………………… 29
3
ЗАНЯТИЕ№1 «ИЗМЕРЯЕМ ВЫСОТУ ТЕХНИКУМА»
Составители:
ИВАНОВ АЛЕКСАНДР - студент гр. С-111
МИХАЙЛОВ ВАЛЕНТИН - студент гр. С-111
ОРАЗБАЕВ ОТЬЕМИЗ - студент гр. С-121
Предлагаемое учебно-методическое пособие ставит своей целью показать, как
использование задач практического характера в процессе изучения математики
повышает эффективность познавательной деятельности студентов.
В пособии собран познавательный исследовательский материал для
проведения кружковых занятий по математике, объединяющий темы «Подобие
треугольников», «Тригонометрия», необходимые для овладения выбранной
специальностью в наглядно-образном восприятии и на основе полученных
математических расчетов и исследований. Изучение темы способствует
формированию у студентов умений по решению практических задач, а также
развитию общих компетенций.
В результате проведения исследовательской работы студенты проявляют свою
активную жизненную позицию, развивают внимание, память, повышают интерес к
изучению математики.
4
Введение
Современное естествознание обладает большим многообразием методов
исследований, среди которых эксперимент – наиболее эффективное и действенное
средство познания.
Эксперимент (от лат. experimentum – проба, опыт) – это метод познания, при
помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются явления
действительности.
Отличаясь от наблюдения активным взаимодействием с изучаемым объектом,
эксперимент осуществляется на основе теории, определяющей постановку задач и
интерпретацию его результатов. Главной задачей эксперимента служит проверка
гипотез, теории. В связи с этим эксперимент, как одна из форм практики, выполняет
функцию критерия истинности научного познания в целом. Как метод
эмпирического исследования в физических, естественных и гуманитарных науках,
эксперимент начал активно применяться лишь в XX веке. В настоящее время
эксперимент – один из основных методов не только научного познания вообще, но и
математического исследования в частности.
В любом естественно-научном эксперименте можно выделить три основных
этапа:
1) подготовительный (постановка задачи, планирование эксперимента);
2) получение экспериментальных данных;
3) обработка результатов эксперимента и их анализ.
Подготовительный этап обычно включает теоретическую проработку
проведения эксперимента, его планирование, подготовку исследуемого объекта.
Анализ результатов эксперимента позволяет оценить тот или иной параметр
исследуемого объекта и сопоставить его либо с соответствующим теоретическим
значением, либо с экспериментальным значением, полученным другими
техническими средствами, что очень важно при определении правильности и
степени достоверности полученных результатов.
Для повышения степени научной обоснованности результатов подобного
исследования необходимо проводить повторные эксперименты, используя при
этом различные их виды.
По специфике поставленной задачи наш эксперимент:
 прикладной; т.к. направлен на получение практического эффекта;
 ретроспективный; т.к. студенты-исследователи пытаются проверить
гипотезы;
 лабораторный, то есть искусственно создаем условия, максимально
приближенные, как к задачам исследования, к реальной ситуации.
5
Тема внеаудиторного занятия
« Измеряем высоту техникума»
Место проведения: территория ГБОУ СПО «ССТ», кабинет математики
Форма проведения – кружковое занятие
Время проведения: 60 минут
Цели занятия:
образовательная:
 продолжить формирование
умений использовать информационнокоммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
 формирование умений делать обобщения на основе полученных данных в
результате исследования, выбор правильных утверждений из нескольких
данных;
 формирование интереса к дисциплине математика;
развивающая:
 развитие творческой активности студентов, создание условий для проявления
инициативы в выборе заданий, в выдвижении собственных идей и
предложений, в различных видах деятельности;
 развитие таких качеств, как умение работать в группе, эффективно общаться
друг с другом, способности к творческой работе над собой;
воспитательная:
 воспитание у студентов стремления к
самосовершенствованию,
удовлетворению познавательных потребностей.
Задачи занятия:
 Создание условий для проведения студентами математического опыта
(эксперимента) по измерению высоты учебного корпуса;
 Привлечение студентов к подготовке теоретического материала, вопросов,
интересных задач на сообразительность из области математики, разработке
компьютерного сопровождения полученных результатов.
6
Формируемые общие компетенции:
выпускник должен обладать общими компетенциями, включающими в себя
способность:
 понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии;
 принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность;
 осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития;
 использовать
информационно-коммуникационные
технологии
в
профессиональной деятельности;
 работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами,
руководством, потребителями;
 брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за
результат выполнения заданий;
 исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных
профессиональных знаний (для юношей).
Междисциплинарные связи: физика, информатика
Оборудование:
1. Рулетка.
2. Определенной длины деревянный брусок
3. Мультимедийный проектор.
4. Экран.
5. Персональный компьютер.
Ход занятия:
1. Организация начала занятия. Постановка целей и задач.
2. Обсуждение и выбор способов выполнения задачи. Инструктаж.
3. Выполнение практических измерений.
4. Расчеты и анализ результатов.
5. Сравнение результатов. Вычисление погрешности измерений.
6. Поведение итогов. Рефлексия.
7
Ход эксперимента
1.Создание проблемной ситуации.
В романе Ж.Верна «Таинственный остров» (глава 14)
необходимо определить высоту скалы.
колонистам острова
«- Сегодня нам надо измерить высоту площадки Дальнего вида, - сказал
инженер.
- Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.
- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к
не
менее
простому
и
точному
способу.
Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером,
который
спустился
с
гранитной
стены
до
окраины
берега.
Взяв прямой шест, длиной 12 футов, инженер измерил его возможно точнее,
сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за
ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу
верёвки.
Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер
воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил
вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое
расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть
и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.
Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось
15 футам, а от палки до скалы 485 футам. По окончании измерений составили
следующую запись…»
«- Тебе знакомы зачатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с
земли.
Да.
Помнишь
свойства
подобных
треугольников?
Их
сходственные
стороны
пропорциональны.
- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных
треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим –
расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же – мой луч зрения.
У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы
хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены;
гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы
первого
треугольника.
- Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так
относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как
высота шеста к высоте стены.
8
Да, и следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста,
сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы
обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты. По
окончании измерений инженер составил следующую запись:
10 : Н = 15 : 500
15Н = 5000
Н = 5000 : 15
Н ≈ 333,33
Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам».
Задание:
1) как можно точнее определить высоту учебного корпуса №1 Ставропольского
строительного техникума;
2) предложить как можно больше различных способов решения.
2.Подбор студентами различных способов выполнения задания




Подобие прямоугольных треугольников
Определение тангенса угла
Расчет через облицовочную плитку
Сведения из паспорта объекта
9
3. Проведение измерительных работ
Измерения проводятся во дворе техникума в ясный день.
О сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог изобретатель...
А.С. Пушкин
На фото:
Время проведения 13 часов 22.09.12.
Ложный шаг не раз
приводил к открытию
новых дорог.
Лешек Кумор
10
4.Решение задач
Способ №1 (подобие треугольников)
АС = 17.5м - длина тени техникума
EF = 2.90м - высота бруса
ЕC = 3.30м - длина тени бруса
Решение:
В
F
А
E
А


ABCFEC C  общий. ВAC  FEC  900 
 AB 
C
AC AB


EC EF
AC  EC 17.5  2.90

AB  15.3 м
AC
3.30
Ответ: в результате первого измерения высота техникума равна 15.3 м.
11
Способ №2 (определение тангенса угла)
АС = 17.5м - длина тени техникума
EF = 2.90м - высота бруса
ЕC = 3.30м - длина тени бруса
Решение:
В
F
А
С
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение
противолежащего катета к прилежащему:
AB
AC
FE
ВFEC : tgC 
EC
ВABC : tgC 
2.90
 0.8787
3.30
AB
tgC 
, значит
17.5
tgC 
AB  17.5 * tgC  17.5 * 0.8787  15.4
Ответ: в результате второго измерения высота техникума равна 15.4 м.
12
Способ № 3 ( расчет по облицовочной плитке)
Высота фундамента АВ = 0.78м
Высота одной плитки СВ = 0.55м
Количество плиток n = 26шт
РТ-высота техникума.
Р
С
Е
А
В
т
Решение:
PT  AB  CE * n
PT  0,78  0,55 * 26  15.08
Ответ: в результате третьего измерения высота техникума равна 15.08м.
Способ№4
По паспорту объекта высота
техникума равна 15.5 метров
13
5.Вычисление погрешности измерений
5.1Нахождение абсолютной погрешности измерений
Определение: Модуль разности между точным числом х и его приближенным
значением а, называется абсолютной погрешностью.
α = ‫׀‬х - a ‫׀‬
Н=15.5 м - точное значение
Н1=15.3 м – результат первого измерения
Н2=15.4 м - результат второго измерения
Н3=15.08м – результат третьего измерения
α 1= ‫ ׀‬15.5м.-15.3м. ‫ =׀‬0.2м
α 2 = ‫ ׀‬15.5м.-15.4м. ‫=׀‬0.1м
α 3 = ‫ ׀‬15.5м.-15.08м. ‫=׀‬0.42м
5.2Нахождение относительной погрешности измерений
Определение: относительной погрешностью δ приближенного значения а числа х
называется отношение абсолютной погрешности α этого приближения к числу a.



* 100%
а
0.2

 1 15.3 *100%  1.3%
2
0.1
*100%  0.65%
15.4
3
0.1
*100%  2.8%
15.08
14
Вывод
Сравнивая данные паспорта объекта (1 корпуса) ССТ с полученными нами
результатами, студенты установили, что измерение и вычисление высоты главного
корпуса ССТ с помощью определения тангенса угла прямоугольного треугольника
являются наиболее точными.
«Достоин незавидного удела
Кто исполняет долг свой кое-как,
Но наибольший вред любому делу
Несет изобретательный дурак.»
Э.Севрус
15
Литература
1. Верн Ж. Таинственный остров [Текст]: роман/Ж.Верн; пер с фр.К.Немчиновой
и А.Худадовой–М:Детю лит,1985.-607 с: ил.-(Б-ка приключений и фантастики)
2. Геометрия:
учебник
для
10-11классов
общеобразовательных
учреждений/.Атанасян Л.С. - М: Просвещение,2008
3. Гумеров, И. Экспериментальная математика И.Гумеров //Математика-2007
№3 – с.9.
1.
2.
3.
4.
Интернет – ресурсы
Эксперимент [Электронный ресурс]: справочник http://ru.wikipedia.ord
Эксперимент
в
математике
[Электронный
ресурс]://Философская
энциклопедия: Режим доступа:http://dik.academik.ru
«Вся элементарная математика» [Электронный ресурс]: интернетшкола://www.bymath.net
«Математика - это просто» [Электронный ресурс]: обучающий сайт/http://
easymath.com.ua
16
ЗАНЯТИЕ№2 «ОПЫТНОЕ ОБОСНОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ»
Составители:
ОРАЗБАЕВ ОТЕМИС - студент гр. С-121
ПАРАЩУКОВ АЛЕКСЕЙ - студент гр. С-121
СТРЕМЕННАЯ ДАРЬЯ – студентка гр. С-131
ФОМИН ПАВЕЛ – студент гр. С-131
Предлагаемое учебно-методическое пособие ставит своей целью показать,
как использование задач практического характера, повышает эффективность
познавательной деятельности студентов, I-II курсов очной формы обучения
по направлению подготовки 270000 Архитектура и строительство, в изучении
математики.
В пособии подобран материал для проведения кружковых занятий по
математике, объединяющий некоторые разделы геометрии, стереометрии алгебры и
математического анализа. Практическое обоснование некоторых формул – это
попытка организовать исследовательскую работу студентов, необходимую для
овладения выбранной специальностью.
Изучение темы способствует формированию у студентов умений по
решению практических задач, а также развитию общих компетенций.
В результате проведения исследовательской работы студенты проявляют
свою
активную жизненную позицию, развивают внимание, память, повышают
интерес к изучению математики.
17
Введение
Наука лишь тогда достигает совершенства,
когда ей удается пользоваться математикой
К. Маркс
Математика - сложная наука, решение задач требует множества знаний.
Умение решать задачи – один из основных показателей уровня
математического развития. Существует несколько видов задач.
По характеру объектов задачи различаются на прикладные задачи и
математические задачи.
Прикладная (практическая) задача – это задача, поставленная вне математики
и решаемая математическими средствами.
Математическая задача – задача, которая выполняется посредством
умозаключения, вычисления.
По отношении к теории задачи делятся на стандартные задачи и
нестандартные задачи.
Стандартные задачи - это задачи, для решения которых имеются готовые
правила (в виде словесного алгоритма, формулы, тождества и т.д.) или эти правила
непосредственно следуют из правил, теорем, определений программного минимума.
Нестандартные задачи – это задачи, способ решения которых не находится в
распоряжении субъекта.
По характеру требований задачи делятся на три вида: нахождение
(распознавание) искомых, задачи на преобразование или построение и задачи на
доказательство и объяснение.
Практика показывает, что студенты с большим интересом решают и
воспринимают задачи практического содержания. Обучающиеся увлечением
наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая, и как чисто
теоретической задаче можно придать практическую форму. К прикладной задаче
следует предъявлять следующие требования:
 способы и методы решения задачи должны быть приближены к практическим
приемам и методам;
 задачи должны соответствовать программе курса, вводиться в процесс
обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;
 в содержании прикладных задач должны отражаться математические и
нематематические проблемы и их взаимная связь;
 вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для
обучащихся, содержание и требование задачи должны «сближаться с реальной
действительностью»;
 прикладная часть задачи не должна покрывать ее математическую сущность.
Прикладные задачи могут быть использованы с разной целью, они могут
заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять
соотношение между математикой и другими дисциплинами.
Прикладная задача повышает интерес студентов к самому предмету,
поскольку для подавляющего большинства ценность математического образования
состоит в ее практических возможностях.
18
Под задачей с практическим содержанием понимается математическая
задача, фабула которой раскрывает приложения математики в окружающей нас
действительности, в смежных дисциплинах, знакомит ее с использованием в
организации, технологии и экономике современного производства, в сфере
обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций.
В педагогических исследованиях прикладная направленность математики основа математического моделирования.
Развитие у обучащихся правильных представлений о характере отражения
математикой явлений и процессов реального мира, роли математического
моделирования в научном познании и в практике имеют большое значение для
формирования диалектико - материалистического мировоззрения.
Задачи должны быть подобраны так, чтобы их постановка привела к
необходимости приобретения студентами новых знаний по математике, а
приобретенные под влиянием этой необходимости знания позволили решить не
только поставленную, но и ряд других задач прикладного характера.
При изложение нового учебного материала следует использовать задачи с
практическим содержанием, отличающиеся ясностью и простотой решения. Их
использование обеспечивает более осознанное овладение математической теорией,
учит самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска,
исследования и доказательства, основным мыслительным операциям, выделению
существенных свойств математических объектов.
19
Тема внеаудиторного занятия
«Опытное обоснование некоторых геометрических формул»
Место проведения: территория ГБОУ СПО «ССТ», кабинет математики
Форма проведения – кружковое занятие
Время проведения: 60 минут
Цели занятия:
образовательная:
 продолжить формирование
умений использовать информационнокоммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
 формирование умений делать обобщения на основе полученных данных в
результате исследования;
 формирование интереса к дисциплине математика;
развивающая:
 развитие творческой активности студентов, создание условий для проявления
инициативы в выборе заданий, в выдвижении собственных идей и
предложений, в различных видах деятельности;
 развитие таких качеств, как умение работать в группе, эффективно общаться
друг с другом, способности к творческой работе над собой;
воспитательная:
 воспитание у студентов стремления к
самосовершенствованию,
удовлетворению познавательных потребностей.
Задачи занятия:
 Создание условий для проведения студентами математического опыта –
решения прикладной задачи;
 Привлечение студентов к подготовке теоретического материала, вопросов,
интересных задач на сообразительность из области математики, разработке
компьютерного сопровождения полученных результатов.
20
Формируемые общие компетенции:
выпускник должен обладать общими компетенциями, включающими в себя
способность:
 понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии;
 принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность;
 осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития;
 использовать
информационно-коммуникационные
технологии
в
профессиональной деятельности;
 работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами,
руководством, потребителями;
 брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за
результат выполнения заданий;
Междисциплинарные связи: информатика и ИКТ
Оборудование:
6. Нить
7. Линейка
8. Строительный гипс
9. Форма (резиновый мячик)
10.Разноцветная бумага.
Ход занятия:
1. Организация начала занятия. Постановка целей и задач.
2. Обсуждение и выбор способов выполнения задачи. Инструктаж.
3. Выполнение практических измерений.
4. Сравнение результатов.
5. Поведение итогов. Рефлексия.
21
Этапы решения задачи:
Предлагается прикладная задача, в которой известен ответ.
Выбираются практические методы доказательства известного ответа.
Производится постановка опыта.
Производятся необходимые измерения, выявляются закономерности и
выражаются с помощью формул.
5. Поиск способов для обоснования или опровержения полученных данных.
6. Делается общий вывод.
1.
2.
3.
4.
Задача №1
Практическим способом доказать или опровергнуть формулу нахождения
площади круга S=πR2.
Способ выполнения:
1.разрезание круга на части
2. составление фигуры с известной формулой площади.
Постановка опыта:
«Поиск истины
важнее, чем обладание
истиной».
Альберт Эйнштейн
22
Разделим круг по диаметру на
два полукруга, а каждый
полукруг - на одно и то же
количество секторов (n)
Обоснование полученных данных:
Полукруги ACB и ADB «распрямим» (насколько это возможно), и выполним
чередование n секторов между собой. Получаем фигуру, близкую по форме к
параллелограмму, а далее – прямоугольник.
23
А
С
D
В
Можно считать высоту (ширину) прямоугольника равной R - радиусу исходного
круга, а длину его основания равной - длине полуокружности ( C = 2πR).
1
Sкруга = Sпрямоугольника =R∙ 2πR= πR2
2
Таким образом используя свойства пределов, получим: при n→∞ ,
S кругового сектора →R,
1
1
т.е. lim = 𝑆кругового сектора ∙ C = lim 𝑅 ∙ 2𝜋𝑅 = πR2.
п→∞
2
2 𝑛→∞
Вывод:
С помощью перехода от исследуемой фигуры к фигуре с известной площадью, мы
доказали формулу площади круга S = πr2. Используя понятие предела функции
обосновали вычисления и преобразования.
.
Задача № 2
Практическим способом доказать или опровергнуть формулу нахождения
площади сферы S = 4πR2.
Способ выполнения:
1. Изготовление модели
2. Сравнительные измерения
Постановка опыта:
Сделаем гипсовую модель полушара; вобьём в неё два гвоздика: один – в центре
круга, другой – в вершине полушара.
24
«Единственным критерием истины является опыт».
Леонардо Да Винчи
Прикрепим конец достаточно толстого шнура к гвоздику в вершине полушара , и,
укладывая шнур спиралью, покроем поверхность полусферы. Затем так же покроем
основание полушара – круг.
Измерим длины шнуров.
Длина шнура, покрывшего основание (круг с радиусом R), в 2 раза меньше длины
шнура, затраченного на покрытие поверхности полусферы:
длина нити площади большого круга сферы
длина нити площади поверхности полусферы
25
Обоснование полученных данных:
Т.к. площадь поверхности полусферы 2πR2 , то
площадь поверхности шара равна Sсферы = 2 Sполусферы= 4πR2
Вывод:
С помощью практических действий, мы доказали формулу площади поверхности
сферы, зная формулу площади большого круга.
Описанный опыт является одним из древнейших, так как достаточно прост и
понятен. С его помощью людям стало известно, что площадь поверхности шара –
сферы, в четыре раза больше площади его большого круга.
Задача №3
Практическим способом доказать или опровергнуть формулу нахождения
𝟒
объема шара 𝑽шара = 𝝅𝑹𝟑 , зная объем конуса такого же радиуса.
𝟑
Способ выполнения:
1. Изготовление моделей конуса и полушара с равными радиусами.
2. Сравнение объемов, в результате переливания воды.
Постановка опыта:
Для опыта выбираются полые модели конуса и полушара так, чтобы радиус
основания конуса и его высота равнялись радиусу полушара.
26
«Предпочитаю найти одну истину,
хотя бы в незначительных вещах,
нежели долго спорить о
величайших вопросах, не достигая
никакой истины».
Галилео Галилей
Модели конуса и шара с равными радиусами
Наполним сосуд-конус водой и перельём его содержимое в сосуд- полушар.
Объём воды, налитой в полушарие, примерно в два раза больше объёма
конуса. (вмещается две порции)
27
Обоснование полученных данных:
1
Объём конуса V= πR2 H. Т.к. H=R (изначально) и Vполушара = 2 Vконуса, то
3
1
4𝜋𝑅 3
3
3
Vшара = 4∙Vконуса = 4 ∗ 𝜋𝑅3 =
Стоит заметить, что Sсферы = 4πR2
𝑅
То есть Vшара = 4πR2 * = Sсферы
3
.
𝑅
*
3
Вывод:
Таким образом, выполнив практические действия, мы получили результаты,
и доказали известную формулу объёма шара.
Установили, что объём шара равен площади его поверхности, умноженной на
треть радиуса. Такая «подстановка» может помочь сэкономить время при
решении прикладных задач.
28
Используемая литература:
1. Астряб А.М. Курс опытной геометрии: индуктивно-лабораторный метод
изложения / А.М. Астряб. — 14-е изд., стер. — М.; Ленинград: Гос. изд-во,
1928. — 299 с. — (Учеб..пособия для школ I и II ступени).
2. Болтянский В. Г. «Технико-педагогические задания на проектирование,
конструирование и изготовление учебного оборудования» . 1970.
3. Глейзер Г. Д. Развитие пространственных представлений школьников при
обучении геометрии. — М.: Педагогика, 1978. Давыдов В. В., Пышкало А. М.
Концепция 4-летнего начального образования // Начальная школа.
4. Захарова А.В. Психология обучения старшеклассника. М.: Знание, 1976. - 64 с.
- /Серия "Педагогика и психология", №9.
Интернет – ресурсы:
Афоризмы и цитаты [Электронный ресурс]: http://aphorism – citation.ru
Эксперимент в математике [Электронный ресурс]://Философская энциклопедия:
Режим доступа:http://dik.academik.ru
«Вся
элементарная
математика»
[Электронный
ресурс]:
интернетшкола://www.bymath.net
«Математика - это просто» [Электронный ресурс]: обучающий сайт/http://
easymath.com.ua
29
30