Вычисление производных» Рабочая тетрадь с печатной основой

Е. В. Ивчина
Рабочая тетрадь
с печатной основой
«Вычисление производных»
Рязанский станкостроительный колледж РГРТУ
Автор: Ивчина Елена Валентиновна, преподаватель математики РССК РГРТУ.
Рецензент: Дмитриева М.Н., кандидат педагогических наук, доцент,
преподаватель математики РязГМУ.
Настоящее пособие соответствует действующим образовательным
стандартам. Оно предназначено для формирования и закрепления навыков
вычисления производных функций с помощью таблицы производных и правил
дифференцирования функций. В пособии подробно разобраны все формулы
таблицы производных, а также возможные трудности и ошибки при
применении таблицы производных. Пособие предназначено для студентов 1-2
курсов учебных заведений СПО, может быть использовано в средней школе
при изучении темы «Производная».
Рязань – 2014.
Методические указания для преподавателя по использованию рабочей
тетради.
Настоящее пособие предполагает использование для студентов 1 курса,
так как основное его назначение – формирование прочного навыка
вычисления производных функций. Задания, представленные в рабочей
тетради, учат:
- применять формулы таблицы производных, «видеть» структуру
аналитического выражения функции для последующего применения правил
дифференцирования, различать числовую константу и коэффициент (что
бывает непонятно некоторым студентам еще со школы), правильно оформить
решение упражнения, использовать требуемую символику.
При составлении пособия учтены все основные ошибки, которые
допускают учащиеся при освоении навыков вычисления производных.
Пособие предполагает первичное заучивание таблицы производных через
письменную работу с формулами и многократное решение упражнений.
Полезно
использовать
данную
рабочую
тетрадь
как
средство
интенсификации учебного процесса, а также для выполнения домашних
заданий студентами. Пособие не заменяет объяснений педагога и не
предполагает полную замену работы у доски.
Для успешной работы полезен поэтапный контроль закрепления
учебных навыков: по применению таблицы производных, по вычислению
производных суммы, затем произведения и частного функций. Также важно
предусмотреть наличие заданий для группы учащихся с сильной подготовкой
с целью более глубокого развития их математических навыков решения
упражнений по вычислению производных. В пособии имеется небольшое
количество заданий, требующих размышления, но в целом его основное
назначение – формирование базовых навыков по вычислению производных.
Для студентов 2 курса рабочая тетрадь будет полезна в случае
отсутствия усвоения навыков работы с производными либо как источник
повторения.
(Текст рабочей тетради)
При решении практических упражнений по вычислению производных
функции используют:
а) правила дифференцирования;
б) таблицу производных элементарных функций.
Выпишем для себя и правила дифференцирования функций и таблицу
производных. Правила дифференцирования необходимо заучить сразу. А к
таблице производных вы вернетесь ещё раз после того, как выполните все
задания тетради и доучите те её формулы, которые недостаточно хорошо
запомнили в процессе решения.
Правила дифференцирования
1. (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))′ = 𝑓(𝑥)′ + 𝑔(𝑥)′
2. (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥))′ = 𝑓(𝑥)′ ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′ (𝑥)
3. (
𝑓(𝑥) ′
)
𝑔(𝑥)
=
𝑓′ (𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔′ (𝑥)
(𝑔(𝑥))′
, g(x) ≠ 0.
4. (𝑐 ∙ 𝑓(𝑥))′ = 𝑐 ∙ 𝑓 ′ (𝑥),
где f(x), g(x) –дифференцируемые функции,
с - произвольное постоянное число.
Таблица производных элементарных функций.
1.(𝑐)′ = 0
3.(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛−1
2.(𝑥)′ = 1
4.(√𝑥)′ =
1
1
𝑥
𝑥2
5.( )′ =
6.(𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
7. (𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 ∗ ln 𝑎
9.(log 𝑎 𝑥) =
1
2√𝑥
1
𝑥 ln 𝑎
11.(𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = − sin 𝑦
8.(ln 𝑥)′ =
1
𝑥
10.(sin 𝑥)′ = cos 𝑦
12.(𝑡𝑔𝑥)′ =
1
cos2 𝑥
13.(𝑐𝑡𝑔𝑥)′ = −
1
14. (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥)/ =
sin2 𝑥
15. (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥)/ = −
17. (arccos 𝑥)′ = −
1
1+𝑥 2
16. (arcsin 𝑥)′ =
1
1+𝑥 2
1
√1− 𝑥 2
1
√1− 𝑥 2
Первый этап в освоении навыков нахождения производных функций –
это умение пользоваться таблицей производных.
1. Проработка формул таблицы производных.
(𝑪)′ = 𝟎
Работа с формулой №1:
Формула утверждает, что производная от числа, или константы, равна
нулю. В процессе решения важно уметь отличить в аналитическом выражении
функции число от числового коэффициента при переменной.
Упражнение 1.
Выписать в первый столбец числа, а во второй - выражения с переменными:
3 ln 𝑥 , √3,7, log 3 5, 2√𝑥, ln 2,75 ,
cos 0,8, 4𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝜋, е2, е𝑠𝑖𝑛𝑥 ,
1
5
𝑥
3
3
𝜋
5
х
6
, , √7, ln 20, , sin , sin 2𝑥,
2,5
∙ 𝑒 𝑥 , 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛0,7, 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥, 𝑡𝑔
х
𝑡𝑔 .
3
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
4𝜋
3
, 3∙5𝑥 , 34 ,
Сделайте вывод: число (константа) отличается от выражения с переменной
тем, что не содержит___________________________________________
Упражнение 2.
Выпишите выражения, производная от которых равна нулю:
3
3√5/𝑥, 2𝑒 7 , 𝑙𝑛√𝑥, 𝑙𝑛 , 𝑠𝑖𝑛0,5, 107,3 .
4
___________________________________________________________
Упражнение 3.
Найдите производную:
𝑦 = √15,2
𝑦=3
𝑦 = 6100
𝑦 = 14
𝑦 = −2,5
𝑦 = 0,005
𝑦 ′ = (3)′ = _____; 𝑦 ′ = (√15.2)′ = _____ ;
𝑦 ′ = (6100 )′ = _____ ;
𝑦 ′ = (14)′ = _____ ; 𝑦 ′ = (−2,5)′ = _____ ; 𝑦 ′ = (0,005)′ = ______ .
(𝒙)′ = 𝟏
Работа с формулой №2:
Данную формулу рассмотрим как частный случай формулы №3 и
вернемся к ней в конце рассмотрения формулы №3.
(𝒙𝒏 )′ = 𝒏 ∙ 𝒙𝒏−𝟏
Работа с формулой №3:
Эта формула позволяет находить производную степенной функции 𝑦 =
𝑥𝑛.
𝑥𝑛
Итак:
х- переменная,
основание степени
!
n – показатель степени
Важно помнить:
степень n может быть любым числом: положительным, отрицательным,
дробью.
Упражнение 4.
Указать значение степени у следующих формул:
𝑦 = 𝑥 3 , n = ____; 𝑦 = 𝑥 5 , n = _____; 𝑦 = 𝑥 7.3 , n = ____;
𝑦 = 𝑥 5 , n = ____; 𝑦 = 𝑥 −2 , n = ____; 𝑥 2.5 , n = ____;
1
3
𝑦 = 𝑥 7 , n = ____; = 𝑥 −3 , n = ____; 𝑦 = 𝑥 0.04 , n = ____ ;
𝑦 = 𝑥 −6 , n = ____.
Обратите внимание!
При вычислении производной степенной функции по формуле - исходная
степень выписывается вперед, а новая степень равна исходной, уменьшенной
на единицу:
(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1
Примеры:
а) 𝑦 = 𝑥 2
𝑦 ′ = (𝑥 2 )′ = 2 ∙ 𝑥 2−1 = 2 ∙ 𝑥
б) 𝑦 = 𝑥 3.4
𝑦 ′ = (𝑥 3,4 )′ = 3,4 ∙ 𝑥 3,4−1 = 3,4 ∙ 𝑥 2,4
в) 𝑦 = 𝑥 −7
𝑦 ′ = (𝑥 −7 )′ = −7 ∙ 𝑥 −7−1 = −7 ∙ 𝑥 −8
2
г) 𝑦 = 𝑥 7
2
2
2
2
5
𝑦 ′ = (𝑥 7 )′ = ∙ 𝑥 7−1 = ∙ 𝑥 −7
7
7
Упражнение 5.
Заполнить пропуски:
А)
𝑦 = 𝑥 4 ; n =____ ;
𝑦 = 𝑥 −3 ; n =_____ ;
𝑦 ′ = 4 ∙ 𝑥 ___−1
𝑦 ′ = −3 ∙ 𝑥 ___−1
𝑦 = 𝑥 2,5 ; n =_____ ;
𝑦 = 𝑥 −1,3 ; n =_____ ;
𝑦 ′ = 2,5 ∙ 𝑥 ___−1
𝑦 ′ = −1,3 ∙ 𝑥 ___−1
𝑦 = 𝑥 0,8 ; n =_____ ;
𝑦 = 𝑥 −0,01 ; n =_____ ;
𝑦 ′ = 0,8 ∙ 𝑥 ___−1
𝑦 ′ = −0,01 ∙ 𝑥 ___−1
3
2
𝑦 = 𝑥 −7 ; n =____ ;
𝑦 = 𝑥 5 ; n =_____ ;
3
2
𝑦 ′ = ∙ 𝑥 ___−1
𝑦 ′ = − ∙ 𝑥 ___−1
5
7
𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛5 ; n =_____ ;
𝑦 ′ = 𝑙𝑛5 ∙ 𝑥 ___−1
Б)
𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 𝑥 12
𝑦 ′ = (𝑥 3 )′ = ___𝑥 ___−1 = ___𝑥 __
𝑦 ′ = (𝑥 12 )′ = ___𝑥 ___−1 = ___𝑥 __
𝑦 = 𝑥 −7
𝑦 = 𝑥 −2
𝑦 ′ = (𝑥 −7 )′ = ___𝑥 ___−1 = ___𝑥 __
𝑦 ′ = (𝑥 −2 )′ = ___𝑥 ___−1 = ___𝑥 __
𝑦 = 𝑥 0,003
𝑦 = 𝑥 −3,4
𝑦 ′ = (𝑥 0,003 )′ = ___𝑥 ___−1 = ___𝑥 __ 𝑦 ′ = (𝑥 −3,4 )′ = ___𝑥 ___−1 = ___𝑥 __
4
1
𝑦 = 𝑥 −3
𝑦 = 𝑥3
4
1
𝑦 ′ = (𝑥 3 )′ = ___𝑥 ___−1 = ___𝑥 __
𝑦 ′ = (𝑥 −3 )′ = ___𝑥 ___−1 = ___𝑥 __
𝑦 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛0,7
𝑦 = 𝑥 𝑡𝑔2,7
𝑦 ′ =___ х__
𝑦 ′ =____ х__
Упражнение 6.
Вычислить производные функций:
𝑦 = 𝑥5 ; 𝑦′ = (
)′ = ___ х___
𝑦 = 𝑥 −13 ; 𝑦 ′ = (
)′ = ___ x___
𝑦 = 𝑥 10 ; 𝑦 ′ = (
)′ = ___х___
𝑦 = 𝑥 12,7 ; 𝑦 ′ = (
)′ = ___ х___
𝑦 = 𝑥 −7 ; 𝑦 ′ = (
)′ = ___ х___
𝑦 = 𝑥 0,04 ; 𝑦 ′ = (
)′ = ___ x___
𝑦 = 𝑥 −3,08 ; 𝑦 ′ = (
)′ = ___ x___
12
𝑦 = 𝑥 19 ; 𝑦 ′ = ( )′ = ___ х___
3
𝑦 = 𝑥 −11 ; 𝑦 ′ = (
)′ = ___ x___
Вернемся к формуле №2
(x)′ = 1 , перепишем функцию следующим образом:
𝑦 = 𝑥 = 1 ∙ 𝑥 1 , (объясните значение каждой появившейся в записи единицы
_________________________________________________________________ )
Найдем значение производной этой функции, как производную степенной
функции, то есть с помощью формулы № 3:
𝑦 ′ = 1 ∙ 𝑥 1−1 = 1 ∙ 𝑥 0 = 1 ∙ 1 = 1
Итак, важно понимать, что в функции y = x степень переменной x равна 1, а
поскольку никаких вариантов степени здесь быть не может, то выучим
(запомним, поймем):
𝑦 ′ = (𝑥)′ = 1
Работа с формулами № 4, 5:
Обе формулы также можно рассматривать, как частные случаи
формулы №3.
Попробуем, опираясь на формулу №3 и формулу а𝑛 =
1
а−𝑛
, получить
1
значения производных функций 𝑦 = √𝑥 и 𝑦 = .
𝑥
а) 𝑦 = √𝑥
1
𝑦′ = (
б) 𝑦 =
)′ = 𝑥 2 =____х___ = ___
1
𝑥 ___
=−
1
2√𝑥
;
1
𝑥
𝑦′ = (
)′ = 𝑥 −1 =____х___ = ___
1
𝑥 ___
1
= − 2.
𝑥
Обе функции также не могут иметь вариантов изменения степени, поэтому их
следует запомнить.
Упражнение 7.
Продолжите строчки:
(√𝑥)′ =
1
2√𝑥
, _____________________________________________________
_________________________________________________________________
1
1
𝑥
𝑥2
( )′ = −
; ______________________________________________________
_________________________________________________________________
Работа с формулой № 6:
(𝒆𝒙 )′ = 𝒆𝒙
y = ex – показательная функция, называемая экспонента, с очень
необычным основанием е ≈ 2,7- число Эйлера.
)) Единственная функция, которая радует и награждает за труды по
нахождению производных: производная от экспоненты равна самой
функции! Всё просто!
Итак: (ex )′ = ex !
Упражнение 8.
Продолжите строчку, проговаривая про себя формулу:
(ех)/ = ех, (ех)/ = ех, __________________________________________________
Работа с формулой № 7: (𝒂𝒙 )′ = 𝒂𝒙 𝐥𝐧 𝒂
Это тоже показательная функция у = ах, где а ≠ 1, а > 0.
! Важно помнить: основание степени а может быть как целым, так и
дробным числом.
Структура формулы:
производная функции у = ах равна самой этой
функции, умноженной на натуральный логарифм от основания степени а :
(𝒂𝒙 )′ = 𝒂𝒙 𝐥𝐧 𝒂
Упражнение 9.
Заполнить пропуски:
1) у = 3х, у/ = (3х)/ = __х ∙ ln__ ;
2) у = 2,7х, у/ = (2,7х)/ = __х ∙ ln__ ;
2 х
/
2 х
3) у = ( ) , у = (( ) ) =
5
/
5
__х ∙ ln__ ;
4) у = 7х, у/ = (__)/ = 7х ∙ ln__ ;
5) у = 4,1х, у/ = (__)/ = ___х ∙ ln 4,1 ;
1 х
/
1 х
6) у = ( ) , у = (( ) ) = ____ ∙ ln__ .
/
3
3
Упражнение 10.
Найдите производные следующих функций:
4 х
1) у = ( ) , у/ = (___)/ = ____________________________
7
2) у = 2,3х ,
у/ = (___)/ = _____________________________
3) у = 6х , у/ = (___)/ = ________________________________
4) у = 0,8х, у/ = (____)/ = _______________________________
5) ** у = ( ln 4,3)х , у/ = (____)/ ∙ ln____
Работа с формулами № 8 - 16:
Все эти формулы имеют понятную структуру, а главное, они просты в
применении и не будут содержать нюансов, которые могут сбить с толку или
дезориентировать вас при решении упражнений. Работу с ними мы ограничим
их сравнительным анализом и письменным запоминанием.
Упражнение 11.
Продолжите строчку с проговариванием про себя формулы:
1
(ln х)/ = , _________________________________________________
х
________________________________________________________
( logaх)/ =
1
𝑥∙𝑙𝑛𝑎
, ______________________________________________
________________________________________________________
Упражнение 12.
Сравните пары формул 6, 7 и 8, 9. Что вы заметили? Запишите своими
словами ваши наблюдения.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
Упражнение 13.
а) Продолжите строчки с проговариванием записи:
(sin х)/ = cos х, ______________________________________________
________________________________________________________
(cos х)/ = - sin х, _____________________________________________
________________________________________________________
б) Что вы наблюдаете? Запишите.
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Упражнение 14.
а) Продолжите строчки с проговариванием записи:
1
(𝑡𝑔𝑥)′ = cos2 𝑥 ,_________________________________________________________
______________________________________________________________________
1
(𝑐𝑡𝑔𝑥)′ = − sin2 𝑥, ______________________________________________________
______________________________________________________________________
б) Что вы наблюдаете? Запишите.
________________________________________________________
________________________________________________________
____________________________________________________________
В
следующем
упражнении
мы
с
вами
будем
записывать
и
проговаривать при записи формулы. С помощью этого упражнения вы
сможете быстрее заучить формулы таблицы.
Упражнение 15.
Продолжите строчки с проговариванием записи:
(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥)/ =
1
1+𝑥 2
, ____________________________________________
____________________________________________________________
(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥)/ = −
1
1+𝑥 2
,___________________________________________
_____________________________________________________________
(arcsin 𝑥)′ =
1
√1− 𝑥 2
, _____________________________________________
______________________________________________________________
(arccos 𝑥)′ = −
1
√1− 𝑥 2
, ___________________________________________
_______________________________________________________________
Постарайтесь выявить зависимости между функциями и их производными.
Мы рассмотрели с вами, как «работают» формулы таблицы
производных элементарных функций. Приступаем к освоению следующего
этапа.
2. Вычисление производных функций с применением правил
дифференцирования.
Работу с такими функциями производим по алгоритму:
1. Внимательно анализируем выражение функции и выделяем в нем все
арифметические действия и коэффициенты при переменных.
2. К выделенным действиям и коэффициентам применяем правила
дифференцирования.
3. Завершаем работу применением таблицы производных и
упрощением выражения там, где это необходимо.
Пример: Найти производную функции у = 3х2 + √х ∙ sin х.
Анализ выражения функции представим в виде схемы:
3∙
+
∙
В нашей схеме число 3 – это числовой коэффициент, а
,и
,
- это элементарные функции, представленные в
условии, т.е. х2,√х и sin х соответственно.
К данной функции будем последовательно применять правила
дифференцирования.
Шаг 1:
применяем правило № 1 дифференцирования суммы функций.
у/ = (3х2 + √х ∙ sin х)/ = (3х2)/ + (√х ∙ sin х)/ = …..
Шаг 2:
к первому слагаемому применяем правило № 4 – вынесение
коэффициента за знак производной.
…. = 3(х2)/ + (√х ∙ sin х)/ = …….
Шаг 3:
Ко второму слагаемому, которое является произведением функций
√х и sin x, применим правило № 2 – дифференцирования произведения
функций.
….. = 3(х2)/ + (√х)/∙sin x +√х ∙ (sin х)/ = …
Шаг 4:
Воспользуемся таблицей производных.
….= 3∙2х +
1
∙ sin x + √х ∙ cos x……
2√х
Шаг 5:
Затем упростим выражение.
…. = 6х +
sin х
2 √х
+ √х ∙ cos x. Это и будет ответом.
Письменная запись решения в тетради будет выглядеть так:
Найти производную функции у = 3х2 + √х ∙ sin х.
Решение: у/ = (3х2 + √х ∙ sin х)/ = 3(х2)/ + (√х)/∙sin x +√х ∙ (sin х)/ =
= 6х +
sin х
2 √х
+ √х ∙ cos x.
Ответ: у/ = 6х +
!
sin х
2 √х
+ √х ∙ cos x.
Обратите внимание, что при решении примера все три правила
дифференцирования применяются одновременно.
Упражнение 16.
Впишите в условные значки схемы соответствующие функции.
Укажите номера правил дифференцирования, которые следует использовать
для указанной функции.
а) у = 5√х + 2sin x∙ tg x
у=5
+2∙
Правила №____, №____, №_____.
∙
б) у = 7 + х2 - 4√х
у=
+
+4∙
Правила №____, №_____.
в) у =
sin х∙√х
ln 𝑥+2
∙
+
у=
Правила №_____, №____, №____.
у = 3х – х2+ 1
у = 3∙
-
+
Правила №____, №_____.
Упражнение 17.
Представьте в виде схемы аналитические выражения функций.
Условные обозначения можете использовать по своему усмотрению
(геометрические фигуры, звездочки, и т.п.)
а) у = 5√х - cos x,
б) у =
2х
cos х
у = ________________________________
- 6х +1,
у = ________________________________
3
в) у = ln x – 0,3 ∙ cos x + 4,
5
у = ___________________________________
г) у = 6х∙ ln x + х2,
д) у = 3х ∙log 5 х е) у =
3𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥
5 𝑙𝑛𝑥
у = _______________________________
ln х
2𝑐𝑜𝑠𝑥
,
+ х2, у = _______________________________
у = _______________________________
Упражнение 18.
Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных
найдите производные следующих функций:
а)
у = 4 sin x + √х ,
у/ = (____________)/= __ (_____)/+ (____)/ =
= __________________
у = 6 ∙5х + 3cos x,
у/ = (____________)/= __ (_____)/+___(____)/ =
= _________________
у = 2 ln x - √х ,
у/ = __________________________
у = 3х3- 2х + 4,
1
1
3
2
у/ = __________________________
у = х3 + х2- 2х,
у/ = __________________________
1
у = х3 + 0,1∙ln x + sin x, у/ = __________________________
5
б)
у = √х ∙tg x, у/ = (___)/∙ (____) + (____)∙(____)/ =
= ___________________________________
у = (х2- 2х) ∙ (х – 3), у/ = (___)/∙ (____) + (____)∙(____)/ =
= ___________________________________
* Найдите второй способ решения данного примера и воспользуйтесь им.
Результаты сравните.
2 способ: у/ = _____________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
у = 4,2cos x∙ tg x, у/ = ______________________________________
1
у = х5∙ ctg x,
у/ = ______________________________________
5
в)
у=
2 sin 𝑥
4𝑥
((
, у =
/
)/ ∙(
)−(
)∙(
)/ )
)2
(
= ___________________
__________________________________________________________
у=
х2 −3х+1
х−3
((
, у/ =
)/ ∙(
)−(
)∙(
)/ )
)2
(
= ___________________
__________________________________________________________
у=
cos х
х2 −2х
, у/ =
)/ ∙(
((
)−(
)/ )
)∙(
)2
(
= ___________________
__________________________________________________________
у=
1,8 cos х
6∙х3
, у/ =
((
)/ ∙(
)−(
(
)∙(
)2
)/ )
= ___________________
__________________________________________________________
* у = ln 3 + 3ln x,
у/ = _____________________________________
y = 0,110 + 0,1x , у/ = _____________________________________
y = x3∙ 5ln0,4 ,
у/ = _____________________________________
y = √𝑥 ∙ (x2 – 3x + 6), у/ = _________________________________
__________________________________________________________
y = tg x ∙ sin x, у/ = _________________________________________
y=
√𝑥
0,5𝑥 2 −4𝑥−2
, у/ = __________________________________________
__________________________________________________________
y=
y=
𝑙𝑛𝑥 ∙ √𝑥
𝑥−3
, у/ = _____________________________________________
(𝑥−3)∙√𝑥
2𝑥 2 −𝑥
+ 𝑒 𝑥 , у/ = _______________________________________
__________________________________________________________
Следующим этапом в совершенствовании наших умений работы с
производными будет
3. Нахождение производной функции в точке.
Собственно, этот этап, хотя и последний, но самый простой в освоении.
В школе вы наверняка легко и успешно выполняли задания такого типа:
а) (в 5 – 6 классе) Найдите значение выражения 6а + 4b при а = 0,5 и b = 3.
Решение: при а = 0,5 и b = 3: 6∙0,5 + 4∙3 = 3 + 12 = 15.
Ответ: 15
б) (в 7 – 9 классе) Найти значение функции у = х2 – 6х +1 в точке
1
х= .
2
1
1
1
1
6
1
3
2
2
2
4
2
4
4
Решение: у( ) = ( )2 – 6( ) + 1 = - + 1 = – 3 + 1 = -1 .
3
Ответ: -1 .
4
Наверняка среди вас есть такие, кому эти задания очень нравились!
Вернемся к производным.
Производная является функцией. А правая часть формулы функции в
большинстве случаев содержит переменную.
Поэтому нахождение значения производной функции в точке сводится к
простому алгоритму:
1. Найти производную функции.
2. В полученную производную подставить указанную в условии задачи
точку вместо переменной.
Пример: Найти значение производной функции у = 3х2 – 2х в точке х = 3
(у/(3) -?).
Шаг 1: у/ = (3х2 – 2х)/ = 3∙2х – 2 = 6х – 2.
Шаг 2: у/(3) = 6∙3 – 2 = 18 – 2 = 16.
Упражнение 19.
Найти значения производных следующих функций в указанных точках:
𝜋
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 , 𝑦 ′ = ( ) −?
2
__________________________________________________________
𝑦 = 3𝑥 2 , 𝑦 ′ (4)−?,
__________________________________________________________
1
𝑦 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2 , 𝑦 ′ (3)−? ,
2
___________________________________________________________
𝑦 = 5𝑥 , 𝑦 ′ (6)−? ,
___________________________________________________________
𝑦 = √𝑥, 𝑦 ′ (9)−?,
___________________________________________________________
𝑦 = 4𝑒 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑦 ′ (0)−?
___________________________________________________________
𝑦 = (𝑥 2 − 3)(𝑥 3 − 2) , 𝑦 ′ (1)−?
___________________________________________________________
1
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 , 𝑦 ′ = (𝜋)−?
3
___________________________________________________________
𝜋
𝜋
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 , 𝑦 ′ ( ) −?
2
2
___________________________________________________________
𝑦=
√𝑥+𝑒 𝑥
2𝑒 𝑥
, 𝑦 ′ (0) =?
___________________________________________________________
𝑦=
2𝑥 4 −3
𝑥 3 −5
, 𝑦 ′ (2)−?
_________________________________________________________
))
Поздравляем! Теперь вы освоили основные приемы работы с
производными функций.
Рекомендуем вам вернуться к таблице производных и заучить формулы,
которые вы недостаточно хорошо запомнили в процессе решения.
Для закрепления результата попробуйте составить «микс» из функций,
представленных в таблице производных, с помощью знаков арифметических
действий
и
добавления
коэффициентов.
Найдите
производные
от
получившихся у вас функций или…..предоставьте это сделать своим друзьям.
Результат проверьте. Пусть эта небольшая игра разнообразит ваш досуг, а
заодно закрепит навыки нахождения производных.
Огромных вам успехов в учёбе!
Литература.
1. Дадаян А. А. Математика. Учебник для среднего профессионального
образования. М.:, «Форум – Инфра», 2008 г.
2. Дадаян А. А. Сборник задач по математике. Учебное пособие. М.:,
«Форум – Инфра», 2008 г.