Мат моделирование биотехнологических процессов

1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Математическое моделирование
биотехнологических процессов
Методические указания к практическим занятиям
Красноярск
СФУ
2013
2
УДК 601.2:519.71
ББК 30.16
Составитель П.В. Миронов
М 20 Математическое моделирование биотехнологических процессов: Методические указания к практическим занятиям [Текст] / сост. П.В. Миронов. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2013. – 29 с.
Методические указания составлены в соответствии с учебным планом и программой по дисциплине «Математическое моделирование биотехнологических процессов». Методические указания содержат краткие теоретические введения по соответствующим темам курса и условия задач для решения на практических занятиях, список литературы, контрольные вопросы; даны рекомендации для подготовки к занятиям.
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению «Биология», магистерская программа «Микробиология и биотехнология».
УДК 601.2:519.71
ББК 30.16
© Сибирский федеральный
университет, 2013
3
СОДЕРЖАНИЕ
Общие сведения
……………………………………………………………..
4
1. Кинетика ферментативных реакций
……………………………………
5
1.1. Определение кинетических параметров ферментативных реакций
...
1.2. Конкурентное и неконкурентное ингибирование
……………………
1.3. Задачи к разделу 1 «Кинетика ферментативных реакций
…………..
5
6
7
2. Периодическое культивирование микроорганизмов
………………….
8
2.1. Количественные характеристики культур микроорганизмов
……….
2.2. Ингибирование и активация роста микроорганизмов
……………….
2.3. Интегральная форма уравнения роста микробных популяций
……...
2.4. Ингибирование роста высокими концентрациями субстрата
……….
2.5.Задачи к разделу 2 «Периодическое культивирование микроорганизмов
………………………………………………………………………..
9
10
12
15
3. Хемостатное культивирование микроорганизмов
……………………..
19
3.1. Кинетика неосложнённого роста
………………………………………
3.2. Определение параметров неосложнённого роста по данным
стационарных состояний
…………………………………………………..
3.3. Ингибирование продуктом метаболизма при хемостатном культивировании …………………………………………………………………..
3.4. Ингибирование ионами водорода при хемостатном культивировании
……………………………………………………………………………
3.5. Задачи к разделу 3 «Хемостатное культивирование микроорганизмов …………………………………………………………………………
19
16
20
20
23
24
4
Библиографический список ……………………………………………….
25
Приложение А (обязательное) Вопросы для коллоквиумов
……………..
27
Приложение Б (справочное) Перечень ключевых слов
………………….
28
5
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Преподавание дисциплине «Математическое моделирование биотехнологических процессов» осуществляется путем чтения курса лекций, проведения практических занятий и самостоятельной работы с контролем приобретенных знаний, навыков и умений. Практические занятия направлены на расширение и детализацию теоретических знаний, на выработку и закрепление навыков профессиональной деятельности, являются средством развития культуры
научного мышления. Они позволяют расширять теоретического знания и применять их при решении задач, что, в свою очередь, способствует более углубленному изучению тем и разделов дисциплины. На практических занятиях
изучаются способы решения различных типов задач по применению математических моделей в ферментативной и микробиологической кинетике, в массообменных процессах в биореакторах. На практических занятиях более подробно обсуждаются ключевые и трудно усваиваемые вопросы по теоретическому материалу, проводится промежуточный контроль и устный опрос студентов, презентация подготовленных студентами рефератов. Закрепление полученных знаний проводится во внеучебное время в ходе выполнения самостоятельной работы – решения предложенных задач и подготовки рефератов.
При оценке успеваемости студентов по дисциплине «Математическое
моделирование биотехнологических процессов» значительное внимание уделяется текущему контролю успеваемости и итоговой аттестации. Текущий
контроль осуществляется путем промежуточного контроля, устного опроса в
ходе решения задач или обсуждения сложных для понимания вопросов.
В процессе самостоятельного изучения курса каждый студент должен
выполнить входной контроль. Для этого в конце занятия студент получает у
преподавателя тестовые задания, ответы на которые готовит в период до следующего занятия дома, используя рекомендуемую учебную литературу по соответствующей теме.
Контроль проводится в начале каждого занятия. Такой контроль позволяет определить степень усвоения студентом учебного материала и предусматривает самостоятельную работу с учебной литературой, позволяющей решить предложенные варианты задач.
Для промежуточного контроля проводятся три коллоквиума.
На практические занятия в процессе изучении дисциплины «Математическое моделирование биотехнологических процессов отводится 24 часа.
6
1. КИНЕТИКА ФЕРМЕНТАТИВНЫХ РЕАКЦИЙ
В основе всех биотехнологических процессов лежат кинетические закономерности ферментативных реакций, процессов роста и развития культур
микроорганизмов, тканей растений и животных. В связи с этим для студентовбиотехнологов важным является овладение навыками количественного описания ферментативных процессов, количественного описания и анализа кинетических закономерностей культивирования микроорганизмов, проведения биотехнологических расчётов.
1.1 Определение кинетических параметров ферментативных реакций
Многие ферментативные реакции описываются уравнением МихаэлисаМентен
V = Vmax S / (Ks + S), (1.1)
где V – скорость реакции, моль/л·с;
Vmax – максимально возможная скорость реакции при достаточно
высоких концентрациях субстрата, моль/л∙с;
Ks – субстратная константа (константа Михаэлиса);
S – концентрация субстрата, моль/л.
Графически уравнение Михаэлиса-Ментен имеет вид гиперболы.
Как правило, при изучении ферментативных процессов стоит задача
определения констант уравнения Михаэлиса-Ментен на основе ограниченного
количества экспериментальных определений скорости реакции при нескольких значениях концентрации субстрата. Для этого наиболее часто применяются графические методы определения констант, которые заключаются в том,
что уравнение различными способами представляется в линейном виде.
Метод Лайнуивера и Бэрка. Уравнение Михаэлиса-Ментен можно
представить в линейном виде:
1/V = (Ks/Vmax) · (1/S) + 1/Vmax). (1.2)
В координатах 1/V от 1/S (в двойных обратных координатах) уравнение
(1.2) имеет вид прямой линии с тангенсом угла наклона Ks/Vmax; отрезок, отсекаемый по оси ординат, равен 1/Vmax, а отрезок, отсекаемый по оси абсцисс,
равен -1/Ks. Следовательно, константы Ks и Vmax можно легко определить,
если имеются надёжно измеренные скорости реакций как минимум при двух
различных концентрациях субстрата.
Метод Вульфа-Августинсона-Идая. Уравнение (1.1) можно представить
в виде:
V = Vmax – Ks · V/S. (1.3)
7
В координатах V от V/S это уравнение имеет вид прямой, тангенс угла
наклона которой равен Ks; отрезок, отсекаемый по оси ординат, равен Vmax/Ks, а
отрезок, отсекаемый по оси абсцисс, равен Vmax .
Уравнение Михаэлиса-Ментен в интегральной форме. Учитывая, что
скорость ферментативной реакции V = -dS/dt (концентрация субстрата убывает), можно записать
-dS/dt = Vmax S/(Ks + S). (1.4)
Разделяя переменные и интегрируя в соответствующих пределах, получим
уравнение Михаэлиса-Ментен в интегральной форме
(So – S)/t = Vmax + Ks/t ∙ ln(S/So). (1.5)
Это уравнение может быть использовано для определения Vmax и Ks по
данным измерений, полученным в ходе реакции, если определение начальной
скорости затруднено. Для этого величину S необходимо измерить через определённые промежутки времени и результаты представить в виде графика (1/t)
∙ ln(S/So) от (So – S)/t. При этом получим прямую с тангенсом угла наклона,
равным -1/Ks, отсекающую по оси ординат отрезок Vmax/Ks, по оси абсцисс –
отрезок Vmax.
Уравнение (1.4) является трансцендентным, поэтому его нельзя решить алгебраически относительно S, как функции времени. Однако если определены
константы уравнения Михаэлиса-Ментен и известно So, то можно графически
определить зависимость убыли концентрации субстрата S от времени.
1.2 Конкурентное и неконкурентное ингибирование
Уравнение Михаэлиса-Ментен для случая конкурентного ингибирования имеет вид:
V = Vmax · S/Ks (1+ i/Ki) + S, (1.6)
где i – концентрация ингибитора;
Ki – константа ингибирования.
Из уравнения (1.6) видно, что влияние конкурентного ингибитора проявляется в увеличении константы Ks в (1+i/Ki) раз, а Vmax не зависит от присутствия конкурентного ингибитора.
Для случая неконкурентного ингибирования уравнение МихаэлисаМентен имеет вид:
V = Vmax · S/(1+i/Ki) ∙ (Ks + S). (1.7)
Из уравнения (1.7) видно, что константа Ks не зависит от присутствия неконкурентного ингибитора, а величина Vmax уменьшается в (1+i/Ki) раз.
8
Для случая конкурентного ингибирования, следовательно, можно рассчитать значения констант Ks и Ksi = Ks (1+i/Ki), откуда можно найти значение
константы ингибирования Ki при известной концентрации ингибитора i:
Ki = i/(Ksi/Ks) – 1. (1.8)
Для неконкурентного ингибирования Ki рассчитывают по формуле
Ki = i/(Vmax/Vmax.i) – 1, (1.9)
где Vmax.i = Vmax /(1+i/Ki).
1.3
Задачи к разделу 1 «Кинетика ферментативных реакций»
Задача 1. В таблице 1 приведены результаты определения скорости гидролиза АТФ миозином в зависимости от концентрации субстрата. Определить различными графическими методами константы уравнения Михаэлиса-Ментен.
Таблица 1 – Зависимость скорости реакции гидролиза АТФ от концентрации
субстрата (миозина)
S, моль/л
V, моль/л∙с
0,01
0,10
0,025
0,138
0,030
0,150
0,050
0,165
0,075
0,175
0,100
0,185
0,150
0,190
0,2
0,192
0,3
-
Задача 2. Ферментативная реакция подчиняется уравнению МихаэлисаМентен. Начальная концентрация субстрата So = 0,1 ммоль/л, Vmax = 0,1
мкмоль/л∙с, Ks = 0,01 ммоль/л. Определить остаточную концентрацию субстрата через 10 мин после начала реакции.
Задача 3. При концентрации субстрата 0,025 и 0,1 ммоль/л скорости ферментативных реакций составили соответственно 0,138 и 0,185 мкмоль/лс. В
присутствии ингибитора в концентрации 0,001 ммоль/л скорости реакции составили при тех же концентрациях субстрата 0,164 и 0,1 ммоль/лс. Определить тип ингибирования и параметры уравнения Михаэлиса-Ментен.
Задача 4. Определить, какую долю Vmax будет составлять скорость реакции при концентрациях субстрата 0,5; 2 и 10 величин Ks.
Задача 5. Многие ферменты необратимо ингибируются ионами металлов, такими как ионы меди, серебра и другими, которые могут взаимодействовать с важными для активности ферментов сульфгидрильными группами.
Сродство ионов серебра к SH-группам столь велико, что практически каждая
группа связывает один ион. К 10 мл раствора, содержащего 1 мг/мл чистого
фермента, добавили такое количество AgNO3, которое достаточно для полной
инактивации фермента. Для этого потребовалось 0,342 мкмоля AgNO3. Рассчитать минимальную молекулярную массу фермента.
9
2 ПЕРИОДИЧЕСКОЕ КУЛЬТИВИРОВАНИЕ МИКРООРГАНИЗМОВ
Кинетические кривые роста микроорганизмов характеризуются несколькими фазами в развитии культуры (рисунок 2.1). После введения инокулята обычно наблюдается индукционный период в развитии культуры (лагфаза), в течение которого не происходит заметного роста концентрации клеток. В этот период клетки адаптируются к питательной среде, перестраивается
метаболизм, синтезируются необходимые ферменты.
I – лаг-фаза; II – фаза ускорения роста; III – фаза экспоненциального роста;
IV – фаза замедления роста; V – стационарная фаза; VI – фаза отмирания
Рисунок 2.1 – Кинетическая кривая роста популяции микроорганизмов
Лаг-фаза сменяется фазой экспоненциального роста, в течение которой
быстро накапливается биомасса. Затем в связи с истощением субстрата фаза
экспоненциального роста на некоторое время сменяется фазой линейного роста. В дальнейшем скорость роста еще больше замедляется (фаза замедления
роста) лизисом клеток. В некоторых случаях рост культуры может переходить
в достаточно продолжительную стационарную фазу, при которой рост компенсируется отмиранием и лизисом клеток. При полном истощении субстрата
наступает фаза отмирания клеток.
Многочисленные экспериментальные исследования позволили установить следующие важные закономерности:
- скорость изменения числа микроорганизмов в экспоненциальной фазе роста
пропорциональна концентрации клеток в системе
dX/dt = X, (2.1)
где X – концентрация клеток;
10
 – коэффициент пропорциональности (удельная скорость роста), имеет размерность обратного времени, обычно ч-1.
Интегрирование этого уравнения при начальных условиях Х = Хо и t = 0 даёт
зависимость концентрации клеток от времени роста
Х = Хо · ехр(t). (2.2)
В большинстве случаев значение удельной скорости роста зависит от
концентрации лимитирующего субстрата S в соответствии с уравнением Моно
(S) = m · S/(Ks + S), (2.3)
где m – максимальная удельная скорость роста, ч-1;
Ks – константа сродства субстрата к микроорганизмам (субстрат ная константа).
По форме это уравнение соответствует уравнению Михаэлиса-Ментен.
2.1 Количественные характеристики роста культур микроорганизмов
Удельная скорость роста. Уравнение (2.2), представленное в логарифмической форме, может быть использовано для определения удельной скорости роста:
lnX = lnXo + t. (2.4)
В координатах lnX от t экспоненциальная фаза роста представляет собой прямую, тангенс угла наклона которой равен величине . Удельная скорость роста
может быть также вычислена по формуле
lnX2/X1 = (t2 – t1), (2.5)
где X1 и X2 – соответственно концентрации биомассы в моменты времени t1 и t2;
 – коэффициент пропорциональности, ч-1.
По аналогии с уравнением Михаэлиса-Ментен константы уравнения Моно могут быть определены на основе линеаризации уравнения (2.3):
1/ = 1/m + (Ks/m)1/S; (2.6)
 = m – Ks (/S); (2.7)
/S = (m /Ks) – /Ks; (2.8)
S/ = (Ks/m) + S/m. (2.9)
Кроме удельной скорости роста, культура может характеризоваться также
временем удвоения биомассы или временем генерации
11
g = удв. = ln2/. (2.10)
Экономический коэффициент или выход биомассы. Экономический коэффициент определяется соотношением
Y = X/S, (2.11)
где X – увеличение биомассы, соответствующее потреблению субстрата S.
В периодических культурах, как правило, определяется средняя величина за весь период роста
Yср = (Х – Хo)/(So – S), (2.12)
где Хo и Х – начальная и конечная концентрации биомассы;
So и S – начальная и конечная концентрации субстрата.
Конкретный штамм характеризуется величиной Y за весь период экспоненциального роста. Экономический коэффициент может определяться для
потребления любого субстрата, других компонентов питания, а также в отношении кислорода.
2.2 Ингибирование и активация роста микроорганизмов
Полное конкурентное ингибирование. В этом случае удельная скорость
роста в экспоненциальной фазе определяется выражением
 = (m S)Ks(1+ i/Ki) + S, (2.13)
где i – концентрация ингибитора;
Ki – константа ингибирования.
Зависимость в обратных координатах (метод Лайнуивера и Бэрка) имеет
вид пучка прямых, пересекающихся на оси ординат в точке, равной 1/m. На
оси абсцисс прямые отсекают отрезки, равные -1/Ks (рисунок 2.2).
Константу конкурентного ингибирования Ki можно определить с помощью выражения
Кэф = Ks(1 + i/Ki), (2.14)
где Кэф – эффективное значение субстратной константы с учётом ингибирования, если представить экспериментальные данные в координатах Кэф от i.
12
-1/Ks -1/
а
б
Рисунок 2.2 – Зависимость  от S в обычных (а) и двойных обратных координатах (б) при конкурентном ингибировании
Для определения Ki можно применить также метод Диксона, для чего
экспериментальные результаты откладывают в координатах 1/ от i.
Полное неконкурентное ингибирование. В этом случае удельная скорость роста культуры в фазе экспоненциального роста определяется выражением
μ = (m S)/(1 + i/Ki) (Ks + S). (2.15)
Зависимость в координатах уравнения Лайнуивера и Бэрка имеет вид пучка
прямых, пересекающихся на оси абсцисс (рисунок 2.3).
а) б)
Рисунок 2.3 – Зависимость  от S в обычных (а) и двойных обратных координатах (б) при неконкурентном ингибировании
Константу неконкурентного ингибирования можно определить с помощью выражения
m.каж = m/(1 + i/Ki) (2.16)
13
посредством построения графика 1/m.каж от i.
Неконкурентная активация. Удельная скорость роста культуры в этом
случае определяется формулой
 = mS(Kr + r)/(Kr + r)/(Ks + S), (2.17)
где Kr – константа активации;
 – коэффициент (больше 1);
r – концентрация активатора.
Зависимость скорости роста в координатах уравнения Лайнуивера и Бэрка
имеет вид пучка прямых, пересекающихся на оси абсцисс. Анализ уравнения
(2.17) можно проводить с помощью выражения
m каж = m(Kr + r)/(Kr + r), (2.18)
преобразованного к виду
1/m каж/(m – 1) = 1/( – 1) + Kr/( – 1)r. (2.19)
Построение графика в координатах этого уравнения 1/m каж/(m – 1) от 1/r позволяет провести раздельное определение констант  и Kr.
2.3 Интегральная форма уравнения роста микробных популяций
Замедление скорости роста культуры микроорганизмов (уравнение
Ферхюльста). Предполагается, что уравнение роста имеет вид:
dX/dt = X – X/Xm, (2.20)
где Xm – предельное накопление биомассы.
Интегрирование этого уравнения при начальных условиях t = 0 и Х = Хо даёт
уравнение
Х(t) = b · exp(t)/1+aexp(t), (2.21)
где a = 1/(Xm/Xo) -1, b = (Xm/Xo)/(Xm/Xo) -1.
Время , при котором концентрация биомассы достигает половины предельного значения, можно вычислить по уравнению (2.21) при Х = Xm/2Xo
 = Ln (Xm/Xo). (2.22)
При условии Xm  Xo, получим
ln(Xm/Xo)Х/(Xm/Xo – Х) = t. (2.23)
14
Если неизвестна начальная концентрация, а известна кинетика Х во времени,
то можно воспользоваться уравнением
lnX/(Xm – X) = t + С, (2.24)
где С = lnXo/Xm.
Тангенс угла наклона зависимости логарифмической функции этих
уравнений даёт возможность определить удельную скорость роста .
Интегральная форма уравнения роста. Если в уравнении роста культуры учесть расход лимитирующего субстрата, то, используя уравнения (2.1),
(2.3) и (2.12), подставив выражение для  в уравнение Моно (2.3) его значение
из уравнения (2.12), получим дифференциальное уравнение роста
dX/dt = mX/1 + Ks/So – (X – Xo)/Y. (2.25)
Интегрирование этого уравнения даёт уравнение роста Моно в интегральной
форме:
1 + YKs/(YSo + X)lnX/Xo – YKs/(YSo + X)ln(YSo + Xo – X)/YSo = mt. (2.26)
Это уравнение можно записать в виде:
(1+В)lnX/Xo – Bln(YSo + Xo – X)/YSo = mt. (2.27)
При переходе к безразмерной переменной N = X/Xo получим
(1+В)lnN – Bln(1 + A – AN) = mt, (2.28)
где А = Xo/YSo или
lnN – B/(1 + В) · ln(1 + A – AN) = mt/(1 + В). (2.29)
Культивирование микроорганизмов обычно проводят в условиях, когда
предельное накопление биомассы существенно превышает Хо: YSoХо; при
этом получим А  1 и тогда уравнение (2.29) приобретает вид:
lnN – Ks/(Ks + So) ∙ ln(1 – AN) = mtSo/(Ks + So). (2.30)
В условиях малого накопления биомассы и небольшого расхода субстрата АN
 1, N  1/A = YSo/Xo и тогда второй логарифмический член уравнения близок к нулю, следовательно,
lnN = mtSo/(Ks + So), или Х = Хо · ехр{mSo/(Ks + So)t}, (2.31)
т. е. имеет место экспоненциальный рост культуры.
15
В режиме, близком к истощению субстрата, AN1 и при этом условии
Ks/(Ks + So)ln(1 – AN)  lnN и тогда (2.32)
Ks/(Ks + So)ln(1 – AN)  mtSo/(Ks + So) или (2.33)
(1 – AN)  ехр(mSo/Ks)t. (2.34)
При достаточно больших временах культивирования
N = 1/A = YSo/Xo, или (2.35)
Xm = Yso. (2.36)
Это выражение для предельного накопления биомассы в периодической культуре. С учётом внесенного инокулята Хо получим
Xm = YSo + Хо. (2.37)
Рост в условиях нулевого порядка по субстрату. Если Ks  So, то уравнение (2.30) будет иметь вид:
lnN – ln(1 – AN) = (mSo/Ks)t или (2.38)
N/(1 – AN) = ехр(mSo/Ks)t. (2.39)
При Ks  So
Х/Хо = ехр(mSo/Ks)t/1 + (Хо/YSo) ∙ ехр(mSo/Ks)t, (2.40)
т. е. получим уравнение Ферхюльста. Если найдено время , в течение которого концентрация биомассы достигает половины от предельного накопления,
то при известном значении YSo/Xo можно определить группу параметров:
mSo/Ks = (lnYSo/Ks)/. (2.41)
Линеаризация кривой роста во всём интервале времени в координатах уравнения
ln(X/Xm – X) = (mSo/Ks)t + C (2.42)
позволяет по тангенсу угла наклона прямой определить параметр mSo/Ks.
Интегральное уравнение роста микробной популяции в условиях истощения
субстрата можно представить в форме
lnN – Фln(1 – AN) = t, (2.43)
16
где Ф = Ks/(Ks + So), (2.44)
 = mSo/(Ks + So). (2.45)
Это же уравнение можно записать в виде
N/(1 – AN) = exp(t). (2.46)
При этом Ф = 1, если Ks  So, Ф  1, если Ks  So.
Из экспериментальных данных можно определить параметр А = Xo/YSo; параметры Ф и  можно определить с помощью одной из линеаризованных форм
уравнения (2.43):
(1/t)lnN =  + (1/t)Фln(1 – AN), (2.47)
lnN/ln(1 – AN) = Ф + t/ln(1 – AN). (2.48)
При известном значении So и определённых из экспериментальных данных величин Ф и  можно вычислить значение Ks (при Ф  1) и m:
Ks = ФSo/(1 – Ф), (2.49)
m = /(1 – Ф). (2.50)
2.4 Ингибирование роста высокими концентрациями субстрата
Уравнение для удельной скорости роста при ингибировании роста субстратом имеет вид:
 = mSo/Ksэфф. + So(1 + So/Kiэфф.), (2.51)
где Kiэфф – константа ингибирования субстратом.
При малых концентрациях субстрата, когда So  Kiэфф, уравнение (2.51) преобразуется в обычное уравнение Моно
 = mSo/(Ksэфф. + So), (2.52)
из которого стандартными способами могут быть определены его параметры.
При высоких концентрациях So  Ksэфф. скорость роста описывается уравнением
 = m/(1 + So/Kiэфф.). (2.53)
Это уравнение может быть представлено в виде:
1/ = 1/m + 1/m Kiэфф, (2.54)
17
из которого графически могут быть определены параметры m и Kiэфф.
2.5 Задачи к разделу 2 «Периодическое культивирование микроорганизмов»
Задача 1. При исследовании роста культуры микроорганизмов в периодических условиях получены следующие экспериментальные данные:
t, ч
D, е.о.п.
2,0
0,113
2,5
0,142
3,0
0,190
3,5
0,262
4,0
0,330
4,5
0,449
5,0
0,580
Определить удельную скорость роста.
Задача 2. Определить m и Кs для роста на среде с глюкозой культуры микроорганизмов, исходя из следующих экспериментальных данных:
S, мМ/л
, ч-1
1
0,23
3
0,38
5
0,43
7
0,47
10
0,49
12
0,50
14
0,50
16
0,50
Задача 3. Определить m и Кs для роста дрожжей Candida utilis на на среде с
этанолом и уксусной кислотой на основе следующих экспериментальных данных:
Концентрация
этанола,
мМ/л
1
3
5
7
9
11
Максимальная уд.
скорость роста ,
ч-1
0,200
0,300
0,333
0,370
0,383
0,400
Концентрация
уксусной кислоты,
мМ/л
1
2
4
7
10
14
Максимальная уд.
скорость роста ,
ч-1
0,140
0,217
0,283
0,300
0,310
0,310
Задача 4. Определить константу неконкурентного ингибирования этанолом
роста бактерий в условиях, когда So  Ks на основе экспериментальных данных:
Концентрация этанола, мМ/л
, ч-1
0
0,55
15
0,46
31
0,38
46
0,27
126
0,14
Задача 5. Определить тип ингибирования роста, m, Кs, Кi,  на основе следующих экспериментальных данных:
i, мМ/л
S, мМ/л
1
2
3
5
10
15
0
, ч-1
0,091
0,167
0,231
0,333
0,500
0,600
10
20
30
0,058
0,109
0,153
0,227
0,385
0,441
0,047
0,088
0,125
0,188
0,300
0,469
0,041
0,078
0,111
0,167
0,269
0,427
18
Задача 6. Определить несколькими способами константы уравнения Моно для
роста дрожжей на этаноле на основе следующих экспериментальных данных:
t, ч
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Х, г/л
0,058
0,058
0,078
0,100
0,127
0,143
0,169
0,192
0,214
S, мМ/л
16,3
16,0
15,5
15,0
14,2
13,4
12,5
11,4
10,1
t, ч
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,5
8,0
Х, г/л
0,253
0,299
0,331
0,403
0,473
0,513
0,513
S, мМ/л
8.5
7.2
5.0
2.6
0,3
Задача 7. Определить экономический коэффициент для роста дрожжей на
среде с этанолом и уксусной кислотой по экспериментальным данным:
Этанол
Х – Хо, г а.с.м.
0,02
0,05
0,08
0,10
0,15
0,18
0,21
0,25
0,29
0,30
0,34
0,37
0,40
So – S, мМ/л
0,8
1,8
2,7
3,1
3,7
4,9
6,0
6,9
8,5
10,0
10,8
11,6
13,4
Уксусная кислота
Х – Хо, г а.с.м.
0,02
0,03
0,04
0,08
0,09
0,11
0,13
0,18
0,25
0,26
0,33
So – S, мМ/л
1,5
2,9
3,6
4,6
5,4
7,3
8,7
11,6
13,5
15,8
17,7
Задача 8. Скорость роста культуры микроорганизмов подчиняется уравнению
Ферхюльста. Определить , если Хm/Xo = 100, а время, при котором концентрация биомассы достигает половины максимальной, составляет 30 ч.
Задача 9. Определить предельное накопление биомассы, если Xo = 0,01 г/л; Ys
= 0,1; So = 10 г/л.
Задача 10. Определить m, Ks, Ys для роста дрожжей на среде с глюкозой:
t, ч
Х, г/л
S, г/л
0
0,25
20,0
2
0,26
20,0
4
0,28
19,9
6
0,30
19,6
8
0,39
19,2
10
0,79
18,9
12
1,32
18,4
14
2,5
16,6
16
5,85
9,2
20
10,5
1,3
Задача 11. Определить m, Ks эфф., Ki эфф. для роста дрожжей на среде с уксусной кислотой для случая ингибирования роста избытком субстрата.
Этанол
S, мМ/л
, ч
-1
Уксусная кислота
S, мМ/л
, ч-1
19
1
1
3
5
7
9
11
14
22
30
100
187
260
353
610
780
2
0,20
0,30
0,33
0,37
0,39
0,40
0,40
0,38
0,39
0,34
0,33
0,30
0,28
0,18
0,14
3
1
3
5
8
11
15
20
26
60
100
200
400
4
0,14
0,22
0,28
0,30
0,31
0,30
0,29
0,29
0,28
0,25
0,21
0,10
Задача 12. При исследовании роста культуры получены следующие экспериментальные данные при различных начальных концентрациях субстрата:
So = 1 г/л
t, ч
0
Х, г/л
0,01
So = 3 г/л
t, ч
0
Х, г/л
0,01
So = 5 г/л
t, ч
0
Х, г/л
0,01
So = 10 г/л
t, ч
0
Х, г/л 0,01
So = 20 г/л
t,ч
0
Х, г/л 0,01
So = 50 г/л
t, ч
0
Х, г/л 0,01
0,05
0,013
1,33
0,015
2,30
0,02
3,74
0,03
4,85
0,04
5,79
0,05
7,48
0,07
1,28
0,02
2,03
0,03
3,00
0,05
3,41
0,08
4,37
0,10
4,75
0,12
5,20
0,13
1,15
0,02
2,30
0,04
3,24
0,07
3,83
0,10
4,53
0,15
5,03
0,20
5,46
0,25
3,89
0,10
4,56
0,15
5,04
0,20
5,41
0,25
5,7
0,30
1,18
0,02
2,35
0,04
1,45
0,02
1,43
0,015
2,90
0,04
4,89
0,04
8,11
0,10
4,80
0,10
10,51
0,20
6,21
0,20
11,90
0,30
13,63
0,50
7,01
0,30
15,84
1,00
7,57
0,40
17,04
1,50
17,80
2,00
Видно, что рост данной культуры лимитируется избытком субстрата. Определить m, Ks, Ki, если Y = 0,1.
20
3 ХЕМОСТАТНОЕ КУЛЬТИВИРОВАНИЕ МИКРООРГАНИЗМОВ
3.1 Кинетика неосложнённого роста
Система уравнений, описывающих кинетику процесса культивирования
в режиме хемостата, имеет вид:
dX/dt = ( – D)X
dP/dt = X/Yp – DP,
dS/dt = (So – S)D – X/Ys (3.1)
где D = v/Vo – скорость разбавления, ч-1;
v – объёмная скорость притока свежей питательной среды;
Vo – объём питательной среды в ферментаторе;
Ys – экономический коэффициент по субстрату;
Yp – экономический коэффициент по продукту.
В стационарном режиме в хемостате удельная скорость роста соответствует скорости разбавления. При dX/dt = 0 из (3.1) следует, что  = D.
Поскольку рост подчиняется уравнению Моно (2.3), то можно записать
mS/(Ks + S) = D. (3.2)
Отсюда можно определить значения стационарных концентраций субстрата как функцию скорости разбавления D:
Sст. = DKs/(m – D). (3.3)
При условии dS/dt = 0 из (3.1) получим выражение для стационарной концентрации биомассы
Хст. = Ys(So – S) = YsSo – DKs/(m – D). (3.4)
Рост культуры в режиме хемостата характеризуется критической скоростью разбавления Dкр., выше которой культура вымывается из ферментатора.
Значение Dкр может быть найдено из уравнения (3.4) при условии, что Хст. = 0
и при этом S = So:
Dкр = mSo/(Ks + So). (3.5)
Стационарная концентрация продукта может быть найдена из системы (3.1):
Рст. = Х/Yp = (Ys/Yp)So – DKs/(m – D). (3.6)
21
3.2 Определение параметров неосложнённого роста по данным стационарных состояний
Наиболее просто определяются параметры Ys и Yp из уравнений (3.4) и
(3.6). Для этого необходимо определить стационарные концентрации субстрата, биомассы и продукта. Кроме того, Ys может быть найдено как тангенс
угла наклона зависимости Хст. от Sст.
Уравнение (3.3) можно представить в линейной форме:
1/ Sст. = (m/Ks)(1/D) – 1/Ks (3.7)
или D = m – Ks(D/ Sст.). (3.8)
В соответствии с уравнением (3.7) зависимость 1/Sст от 1/D представляет собой прямую с тангенсом угла наклона m/Ks; Отрезок, отсекаемый на
оси ординат, равен -1/Ks. Значение m может быть найдено из длины отрезка,
отсекаемого на оси абсцисс.
Для определения Ks из зависимости Sст от D необходимо экспериментально найти значения стационарных концентраций субстрата при двух скоростях разбавления. В этом случае Ks может быть определена по формуле
Ks = (D1 – D2)/( D2/S2) – (D1/S1). (3.9)
Аналогично может быть найдена величина m.
3.3 Ингибирование продуктом метаболизма при хемостатном культивировании
Конкурентное ингибирование. Для случая конкурентного ингибирования в стационарном состоянии можно записать:
 = mSст/Ks(1 + Рст/Кi) + Sст = D; (3.10)
D(So – S) = (1/Ys)mSстXст/Ks(1 + Рст/Кi) + Sст; (3.11)
DPст = (1/Yр)mSстXст/Ks(1 + Рст/Кi) + Sст. (3.12)
Из соотношений (3.4) и (3.6) получим выражение для Рст:
Рст. = Х/Yp = (Ys/Yp)(So – Sст). (3.13)
Подстановка (3.13) в (3.10) приводит к выражению:
mSст/{Ks(1 + (Ys/YpКi) · (So – Sст) + Sст} = D. (3.14)
22
Это уравнение может быть решено относительно Sст:
Sст = Ks1 + ( SoYs/YpКi)/{( m/D) – 1 + (KsYs/YpКi)}. (3.15)
Уравнение (3.15) описывает зависимость стационарных концентраций
субстрата от концентрации вводимого субстрата, скорости разбавления и кинетических параметров роста культуры и ингибирования продуктом метаболизма. В случае с конкурентным ингибированием стационарная концентрация
субстрата является линейной функцией его начальной концентрации. Это отличает процесс с ингибированием от неосложнённого роста.
Из условия So  Sст можно получить неравенство
D  mSo/(Ks + So). (3.16)
Отсюда следует, что существует критическая скорость разбавления, выше которой в хемостате невозможно стационарное состояние:
Dкр = mSo/(Ks + So). (3.17)
Из (3.17) видно, что для системы с конкурентным ингибированием продуктом критическая скорость разбавления та же, что и для неосложнённого
роста. Важную роль в уравнении для стационарных концентраций субстрата
играет безразмерный параметр KsYs/YpКi .
Стационарные концентрации биомассы и продукта можно вычислить на
основе уравнений (3.11) и (3.12). Получим:
Хст. = YsSo{( m/D) – 1 – Ks/So}/{( m/D) – 1 + KsYs/YpКi}; (3.18)
Рст. = (Ys/Yp){So – Ks1 + ( SoYs/YpКi)/( m/D) – 1 + ( KsYs/YpКi)}. (3.19)
Уравнение (3.15) можно преобразовать к виду:
Sст = (Ks +So)D/m + ( – 1)D. (3.20)
Из уравнения (3.20) видно, что Sст линейно зависит от So и гиперболически
от D. Это уравнение можно записать в виде:
Sст = Ks/(m/D) + ( – 1) + So/(m/D) + ( – 1). (3.21)
При постоянной скорости разбавления, но при различных So параметры этой
прямой:
а = Ks/(m/D) + ( – 1), (3.22)
23
tg  = /(m/D) + ( – 1). (3.23)
Для определения параметров m, Ks и  необходимо определить значения а и tg  при различных скоростях разбавления. Для этого можно воспользоваться уравнениями
1/а = (m/KsD) – (1 – )/Ks; (3.24)
1/tg  = (m/D) – (1 – )/. (3.25)
Параметры этих прямых позволяют определить , m и Ks.
Уравнение для стационарной концентрации биомассы (3.18) можно записать в виде:
Хст. = YsSo( m/D – 1)/( m/D – 1 + ) – KsYs/( m/D – 1 + ). (3.26)
Зависимость стационарной концентрации биомассы от концентрации
вводимого субстрата представляет собой прямую с параметрами:
а = KsYs/( m/D – 1 + ); (3.27)
tg  = Ys( m/D – 1)/( m/D – 1 + ). (3.28)
Прямая пересекает ось абсцисс в точке
Sn = Ks/( m/D – 1), (3.29)
которая не зависит от  и Ys. Если зависимость Хст от Sо исследована при
различных скоростях разбавления, то по уравнению (3.29) можно найти Ks
и  m, используя линейную анаморфозу:
1/Sn =  m/KsD – 1/Ks. (3.30)
Для нахождения  и Ys при найденных независимо параметрах Ks и m можно
воспользоваться уравнениями (3.27) и (3.28). Например, (3.27) можно преобразовать
к виду:
1/а = (m/YsKsD) – (1 – )/YsKs. (3.31)
Из отрезка, отсекаемого по оси ординат и тангенса угла наклона, определяются параметры  и Ys.
Неконкурентное ингибирование. Для случая неконкурентного ингибирования
в стационарном состоянии удельная скорость роста определяется выражением:
 = mSст/(1 + Рст/Кi) (Ks + Sст) = D. (3.32)
В режимах, когда So и D относительно малы, можно получить приближённое
выражение для Sст:
24
Sст  (Ks + So)/{(m/D) – 1 + ( + 1)}. (3.32а)
Для этих условий определение параметров роста может быть выполнено
теми же методами, что и для случая конкурентного ингибирования. При более
высоких значениях So решение уравнения для Sст представляет собой нелинейную функцию, что позволяет отличить неконкурентное ингибирование от конкурентного.
3.4 Ингибирование ионами водорода при хемостатном культивировании
Часто при культивировании продуктами метаболизма являются органические кислоты, которые смещают рН среды в область низких значений (закисление среды) и тем самым снижают скорость роста культуры. Для предотвращения ингибирования кислотными продуктами в ферментатор подают с
постоянной скоростью раствор нейтрализующего агента (щёлочи).
В стационарном режиме для концентрации ионов водорода получим выражение
Рст = Н = (Ys/Yp)(So – Sст) – vo/D, (3.33)
где vo/D – стационарная концентрация щёлочи в ферментаторе;
vo – скорость подачи щёлочи в ферментатор.
В простейшем случае, предполагая конкурентное ингибирование ионами водорода, получим
 = mSст/Ks(1 + Н/Кi) + Sст = D. (3.34)
При подстановке в это уравнение значение для стационарной концентрации ионов
водорода из уравнения (3.34), получим выражение для Sст:
Sст = (Ks + So – Ksvo/КiD)/m/D – 1 + , (3.35)
где  = KsYs/YpКi.
Стационарный уровень концентрации биомассы при введении нейтрализующего агента с постоянной скоростью будет иметь вид:
Хст = YsSo(m -D) – KsD + Ksvo/Кi/(m + ( – 1)D. (3.36)
Зависимость стационарной концентрации субстрата Sст как функции вводимого субстрата So является линейной функцией
Sст = (KsD – Ksvo/ Кi)/(m + ( – 1)D + DSo/ (m + ( – 1)D. (3.37)
В формуле (3.37) тангенс угла наклона прямой в координатах Sст от So равен
25
tg  = D/(m + ( – 1)D (3.38)
или 1/tg  = m/D + ( – 1)/. (3.39)
Эта зависимость позволяет определить значения m и . Отрезок, отсекаемый
на оси ординат прямой (3.37), равен
а = (KsD – Ksvo/Кi)/(m + ( – 1)D. (3.40)
Если найдены значения vo, m и , то из (3.40) можно найти Ks и Кi.
3.5 Задачи к разделу 3 «Хемостатное культивирование микроорганизмов»
Задача 1. При хемостатном культивировании микробной культуры получены следующие экспериментальные данные по стационарным концентрациям субстрата,
биомассы и продукта. Найти Ks, Ys и  m при So = 5 г/л.
D, ч-1
Sст, г/л
Хст, г/л
0,05
0,263
2,368
0,10
0,556
2,222
0,20
1,250
1,875
0,30
2,143
1,429
0,40
3,333
0,833
0,45
4,090
0,455
Задача 2. Хемостатное культивирование популяции микроорганизмов при So
= 25 г/л проводили до достижения стационарных концентраций при различных скоростях разбавления. Экспериментальные данные приведены в таблице:
D, ч-1
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
Sст, г/л
0,041
0,083
0,128
0,174
0,223
0,504
0,875
1,407
2,292
Хст, г/л
4,992
4,983
4,974
4,965
4,955
4,899
4,825
4,719
4,542
D, ч-1
0,29
0,30
0,31
0,30
0,30
0,29
0,25
0,23
0,21
Sст, г/л
3,973
6,000
6,000
9,061
15,708
19,261
23,313
25,000
Хст, г/л
4,205
3,800
3,800
3,180
1,858
1,148
337
0
Выяснить механизм роста и определить кинетические параметры Ks, Ys и 
m, Ki и Dкр.
Задача 3. Выяснить механизм роста микробной популяции и определить кинетические параметры, исходя из данных по стационарным концентрациям субстрата, биомассы и продукта при хемостатном культивировании:
So = 1 г/л
D, ч-1
Sст, г/л
Хст, г/л
Рст, г/л
So = 5 г/л
D, ч-1
Sст, г/л
Хст, г/л
Рст, г/л
26
0,02
0,124
0,05
0,309
0,08
0,490
0,10
0,690
0,13
0,787
0,16
0,962
So = 10 г/л
D, ч-1
Sст, г/л
0,02
0,348
0,05
0,864
0,10
1,707
0,30
4,884
0,50
7,778
0,60
9,130
0,088
0,069
0,051
0,031
0,021
0,004
0,438
0,346
0,255
0,155
0.107
0,019
Хст, г/л
0,965
0,914
0,829
0,512
0,222
0,087
Рст, г/л
4,826
4,586
4,146
2,558
1,111
0,435
0,020
0,224
0,050
0,556
0,10
1,098
0,20
2,143
0,40
4,092
0,45
4,551
So = 25 г/л
D, 1/ч
Sст, г/л
0,02
0,721
0,05
1,790
0,10
3,537
0,30
10,116
0,50
16,111
0,70
21,596
0,478
0,444
0,390
0,286
0,091
0,045
2,389
2,222
1,951
1,429
0,455
0,285
Хст, г/л
2,428
2,321
2,146
1,488
0,889
0,340
Рст, г/л
12,139
11,665
10,732
7,442
7,444
1,702
Задача 4. При хемостатном культивировании для нейтрализации образующейся кислоты в ферментатор с постоянной скоростью 0,01 мМ/ч подаётся
раствор щёлочи. Определить кинетические параметры роста при условии
Ys/Yp = 1. Экспериментальные данные приведены в таблице
So = 1 мМ/л
D, ч-1
0,01
Sст, г/л
0,09
So = 5 мМ/л
D, ч-1
0,01
Sст, г/л
0,376
So = 10 мМ/л
D, ч-1
0,01
Sст, г/л
0,835
So = 25 мМ/л
D, ч-1
0,01
Sст, г/л
2,211
0,04
0,250
0,10
0,526
0,20
0,750
0,30
0,65
0,40
0,935
0,09
1,426
0,10
2,632
0,30
4,108
0,50
4,618
0,70
4,877
0,04
2,897
0,10
5,263
0,30
8,162
0,50
9,164
0,70
9,671
0,04
7,309
0,10
13,178
0,30
20,324
0,50
22,800
0,70
24,055
Задача 5. Культура микроорганизмов характеризуется следующими кинетическими параметрами: Ks = 5 г/л; Ys = 0,5;  m = 0,35 ч-1. Аналитическим и графическим методами определить величину максимальной производительности
ферментатора при концентрации So = 20 г/л. Рассчитать величину критической
скорости разбавления.
Библиографический список
Основная литература
1 Ферментативные процессы в биотехнологии [Текст] : монография / А. М.
Безбородов, Н. А. Загустина, В. О. Попов ; отв. ред. Л. И. Воробьева ; Российская академия наук [РАН]. Институт биохимии им. А.Н.Баха. - Москва
: Наука, 2008. - 335 с. : ил. - Списки лит. в конце гл. - ISBN 978-5-02-0356610
27
2 Загоскина, Н.В. Биотехнология: теория и практика [Текст] / Л.В. Назаренко, Е.А. Калашникова, Е.А. Живухина – М.: ОНИКС, 2009. – 493 с.
3 Варфоломеев, С. Д. Химическая энзимология [Текст] / С. Д. Варфоломеев. – М.: МГУ, 2005. – 408 с
Дополнительная литература
4 Аркадьева, З. А. Промышленная микробиология /З. А. Аркадьева [и др.];
под ред. Н. С. Егорова. – М.: Высш. шк., 1989. – 688 с.
5 Бейли, Д. Основы биохимической инженерии [Текст] / Д. Бейли, Д. Оллис. – М.: Мир, 1989. – Т. 1. – 590 с.
6 Бейли, Д. Основы биохимической инженерии [Текст] / Д. Бейли, Д. Оллис. – М.: Мир, 1989. – Т. 2. – 590 с.
7 Березин, И. В. Иммобилизованные ферменты [Текст]: учебное пособие для
вузов / Березин И. В. [и др.]. – Кн. 7. – М.: Высшая школа, 1987. – 159 с.
8 Березин, И. В. Инженерная энзимология [Текст]: учебное пособие для вузов / Березин И. В. [и др.]. – Кн. 8. – М.: Высшая школа, 1987. – 143 с.
9 Варфоломеев, С. Д. Биокинетика [Текст] / С. Д. Варфоломеев, К. Г. Гу-ревич. – М.: Фаир-Пресс, 1999. – 720 с.
10 Варфоломеев, С. Д. Биотехнология. Кинетические основы микробиологиеских процессов [Текст] / С. Д. Варфоломеев, С. В. Калюжный. – М.:
Высшая школа, 1990. – 296 с.
11 Варфоломеев, С. Д., Кинетические методы в биохимических исследо-ваниях [Текст] / С. Д. Варфоломеев, М. Н. Зайцев. – М.: МГУ, 1982. – 345
с.
12 Курский, М. Д. Биохимическая кинетика [Текст] / М. Д. Курский, С. А. Костерин, В. К. Рыбальченко. – Киев: Высшая школа, 1987. – 262 с.
13 Ленинджер, А. Основы биохимии, в 3 т. [Текст] / А. М. Ленинджер. – Мир,
1985.
14 Романовский, Ю. М. Математическое моделирование в биофизике [Текст]
/ Ю. М. Романовский, Н. В. Степанова, Д. С. Чернавский. – М.: Наука,
1985. – 343 с.
15 Рубин, А. Б. Биофизика. Гл. I. Кинетика биологических процессов [Текст]
/ А. Б. Рубин. – М.: Высшая школа, 2003. – 350 с.
28
Приложение А
Вопросы для коллоквиумов
1 Понятия о ферментах, ингибиторах, активаторах.
2 Классификация ферментов, механизмы действия.
3 Факторы, влияющие на скорость ферментативных реакций.
4 Уравнение Михаэлиса-Ментен. Методы определения констант уравнения
Михаэлиса-Ментен.
5 Влияние конкурентных ингибиторов на скорость ферментативных реакций. Методы определения кинетических параметров.
6 Влияние неконкурентных ингибиторов на скорость ферментативных реакций. Методы определения кинетических параметров.
7 Микробиологическая кинетика. Периодическое и непрерывное культи-вирование. Кривая роста.
8 Уравнение роста клеток в экспоненциальной фазе.
9 Количественные показатели роста микробных популяций.
10 Методы определения показателей роста.
11 Уравнение Моно. Лимитирующие факторы роста. Принцип узкого места.
12 Графическая интерпретация уравнения Моно. Методы определения параметров уравнения Моно.
13 Конкурентное ингибирование роста микробных популяций.
14 Неконкурентное ингибирование роста микробных популяций.
15 Методы определения параметров уравнения Моно для случая конку-рентного ингибирования роста микробных популяций.
16 Методы определения параметров уравнения Моно для случая неконкурентного ингибирования роста микробных популяций.
17 Уравнение Ферхюльста.
18 Уравнение роста в интегральной форме.
19 Проточные (непрерывные) культуры микроорганизмов.
20 Математическая модель хемостата.
21 Стационарные режимы в хемостате. Уравнения для стационарных концентраций субстрата и биомассы.
22 Определение параметров роста культуры в хемостате.
23 Оптимизация производительности хемостата.
24 Хемостатное культивирование с рециркуляцией биомссы.
25 Процессы переноса в биотехнологических системах. Массообмен между
газовой и жидкой фазами в ферментаторах.
29
Приложение Б
Перечень ключевых слов
1 Активация роста
микроорганизмов
2 Биотехнологические процессы
3 Выход биомассы
4 Глюкоза
5 Графические методы
6 Дрожжи
7 Задачи
8 Ингибирование ионами водорода
9 Интегральная форма уравнения
10 Кинетика
11 Кривые роста микроорганизмов
12 Кинетические параметры
13 Конкурентное ингибирование
14 Константы уравнения
15 Концентрация субстрата
16 Культивирование
микроорганизмов
17 Метод ВульфаАвгустинсона-Идая
18 Механизм роста
19 Микробные популяции
19 Неконкурентная активация
20 Неосложнённый рост
21 Периодическое культивирование
22 Продукт
23 Производительность ферментатора
24 Среды
25 Стационарные состояния
26 Удельная скорость роста
27 Уксусная кислота
28 Уравнение Михаэлиса-Ментен
29 Уравнение Моно
30 Уравнение Ферхюльста
31 Ферментативные реакции
32 Ферментатор
33 Хемостатное культивироване
34 Штамм
35 Экономический коэффициент
36 Экспериментальные данные
37 Экспоненциальная фаза
38 Экзоферменты
40 Эндоферменты
30
Учебное издание
Миронов Петр Викторович
Математическое моделирование биотехнологических процессов.
Методические указания к практическим занятиям
Редактор И.О. Фамилия
Корректор И.О.Фамилия
Компьютерная верстка: И.О.Фамилия
Подписано в печать (дата) 2011 г. Формат 60х84/16. (А5)
Бумага офсетная. Печать плоская.
Усл. печ. л. … (количество страниц/29). Уч.-изд. л. ? ?.
Тираж 100 экз. Заказ ????. (Дает РИО)
Редакционно-издательский отдел
Библиотечно-издательского комплекса
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Тел/факс (391) 244-82-31. E-mail rio@sfu-kras.ru
http://rio.sfu-kras.ru
Отпечатано Полиграфическим центром
Библиотечно-издательского комплекса
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а