Document 421288

Практическое занятие 5 Тройной интеграл
5.1 Определение, свойства и вычисление тройного интеграла
5.2 Замена переменных в тройном интеграле
5.3 Цилиндрические и сферические координаты
5.4 Приложения тройного интеграла
5.1 Определение, свойства и вычисление тройного интеграла
О п р е д е л е н и е т р о й н о г о и н т е г р а л а . Пусть Q за-
мкнутая область пространства 3 , на котором задана непрерывная функция f  x; y; z  . И пусть    Qi  , i  1,2,..., n , разбиение
области Q на частичные области Q1 , Q2 , ... , Qn с объемами
V1 , V2 , ... , Vn . При этом мелкость разбиения есть
  max d Qi  , где d Qi  – диаметр частичной области Qi ,
1i  n
i  1,2,..., n . В каждой малой части Qi выберем произвольную
точку Ci  i ; i ;  i  .
Сумма
n
 n  , Ci    f  i ;i ; i   Vi
(5.1)
i 1
называется интегральной суммой Римана для функции f x; y; z 
на множестве Q , соответствующей разбиению  и выбору точек Ci  Qi , i  1,2,..., n .
Если функция f  x; y; z  , ограничена на Q , то для любого
разбиения    Qi  , i  1,2,..., n , определены числа:
mi 
inf
 x ; y ; z Qi
f x; y; z  , M i  sup
 x; y ; z Qi
f x; y; z  .
Суммы
n
n
s   mi  Vi ,
S   M i  Vi
i 1
i 1
называются нижней и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению    Qi  множества Q .
63
Тройным интегралом от функции f  x; y; z  по множеству Q
называется предел (если он существует) интегральной суммы
(5.1) при   0 :
n
 f x; y; z dV  lim  f i ;i ; i Vi ,
 0
V
(5.2)
i 1
подынтегральная функция f x; y; z  называется интегрируемой
по замкнутой области Q , множество Q – областью интегрирования, x , y , z – переменными интегрирования, dv – элементом
объема.
Не ограничивая общности, можно считать, что dv  dxdydz.
Поэтому можно записать:
 f x; y; z dxdydz  f x; y; z dv .
V
V
Теорема 1 (необходимое условие интегр ируе м о с т и ) Если функция f  x; y; z  интегрируема в замкнутой
области Q , то она ограничена в этой области.
Теорема 2 (достаточное условие интегр ир у е м о с т и ) Если функция f  x; y; z  непрерывна в замкнутой
области Q , то она интегрируема в ней.
Теорема
3
(критерий
интегрируемости
Д а р б у ) Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема в замкнутой области Q  3 , необходимо и достаточно, чтобы для любого   0 нашлось такое   0 , что для любого разбиения    Qi  с мелкостью      выполнялось неравенство S  s   .
С в о й с т в а т р о й н о г о и н т е г р а л а . Для тройного интеграла справедливы следующие свойства:
–  dv  V , где V – объем области Q ;
Q
– (линейность) если  и  — произвольные постоянные
числа, функции f x; y; z  и g x; y; z  интегрируемы в области
64
Q , то функция   f x; y; z     g x; y; z  тоже интегрируема в
Q и справедливо равенство:
 f x; y; z   g x; y; z dv 
Q
   f x; y; z dv    g x; y; z dv ;
Q
Q
– (аддитивность) если область Q является объединением
Q1 и Q2 , не имеющих общих внутренних точек, на
областей
каждом из которых функция f x; y; z  интегрируема, то
f x; y; z  также интегрируема на Q и справедлива формула:
 f x; y; z dv   f x; y; z dv   f x; y; z dv ;
Q
Q1
Q2
– (монотонность) если в области Q имеет место неравенство
f  x; y; z   0 , то
 f x; y; z dv  0 ;
Q
– если функция f x; y; z  непрерывна в области Q , объем которой равен V , то
m  V   f x; y; z dv  M  V ,
Q
где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции на множестве Q .
– (теорема о среднем) если функция f x; y; z  непрерывна в
области Q , объем которой равен V , то в этой области существует такая точка P0 x0 ; y0 z0  , что
 f x; y; z dv  f x0 ; y0 ; z0   V .
Q
В ы ч и с л е н и е т р о й н о г о и н т е г р а л а . В декартовых
координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных.
65
Пусть функция f  x; y; z  определена на измеримом множестве
Q   x; y; z   x; y   G  Oxy, z1  x; y   z  z2  x; y  ,


где z1  x; y  и z 2 x; y  – непрерывные функции в области G . И
пусть каждая прямая, параллельная оси Oz , пересекает границу
области Q не более чем в двух точках (рисунок 5. 1), т. е. пространственная область Q является элементарной относительно
оси Oz .
Рисунок 5. 1 – Пространственная область Q
Т е о р е м а 4 Пусть 1) существует тройной интеграл
 f x; y; z dxdydz;
Q
2)  x; y  G существует определенный интеграл
I x; y  
z2  x; y 
 f x; y; z dz
z1  x ; y 
(при постоянных x и y ).
Тогда существует двойной интеграл
z2  x; y 
 I x; y dxdy   dxdy
G
G
и справедливо равенство:
66
 f x; y; z dz
z1  x ; y 
z2  x; y 
 f x; y; z dxdydz  dxdy  f x; y; z dz .
V
(5.3)
z1  x ; y 
G
Данная формула позволяет свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных x и y ) и
внешнего двойного интеграла по области G .
Выражение
I x; y  
z2  x; y 
 f x; y; z dz
(5.4)
z1  x ; y 
представляет собой функцию двух переменных. Если для этой
функции и области G   x; y  a  x  b, y1  x   y  y1  x  , по


которой она интегрируется, выполнены условия теоремы о сведении двойного интеграла к повторному, то, переходя от двойного интеграла  I x; y dxdy к повторному интегралу, получаем
G
b
 f x; y; z dxdydz   dx
Q
a
y1  x 

z2  x; y 
 f x; y; z dz .
dy
y1  x 
(5.5)
z1  x ; y 
Если пространственная область Q не является элементарной,
то ее необходимо разбить на конечное число элементарных областей, к которым можно применить формулу (5.5).
Порядок интегрирования в формуле при определенных условиях может быть иным, т. е. переменные x , y , z можно менять
местами.
Пусть Q – прямоугольный параллелепипед
Q  x; y; z  a  x  b, c  y  d , p  z  q,
f x, y, z  – непрерывная в Q функция. Тогда:

Q
Если
b
d
q
d
b
q
q
d
b
a
c
p
c
a
p
p
c
a
f dxdydz   dx  dy  f dz   dy  dx  f dz   dz  dy  f dx .
f  x, y , z     x   g  y   h  z 
67
и область Q – прямоугольный параллелепипед, то

b
d
q
f x, y, z dxdydz   x dx g  y dy hz dz .
Q



a
c
p
(5.6)
5.2 Замена переменных в тройном интеграле
Замена переменных в тройном интеграле  f x; y; z dxdydz
Q
состоит в переходе от координат x , y , z к новым криволинейным координатам u , v , w по формулам
(5.7)
x  x  u; v; w , y  y  u; v; w , z  z  u; v; w ,
где  u; v; w  Q*  3uvw .
Функции (5.7) осуществляют взаимно-однозначное отображение области Q*  3uvw на область Q  3xyz .
Т е о р е м а 5 Пусть 1) Q и Q * замкнутые ограниченные
области в пространствах
3
xyz
и
3
uvw
соответственно;
2) функция f x; y; z  ограничена и непрерывна в области Q ;
3) функции xu; v; w , y u; v; w , z u; v; w имеют в области
Q * непрерывные частные производные первого порядка и яко-
x x x
u v w
Dx; y; z  y y y

 0 в области Q * .
биан J 
Du; v; w u v w
z z z
u v w
Тогда справедлива формула замены переменных в тройном
интеграле
f  x; y; z dxdydz 
(5.8)
Q


 f xu; v; w; yu; v; w; zu; v; w J dudvdw.
Q*
68
5.3 Цилиндрические и сферические координаты
Ц и л и н д р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы . Пусть M x; y; z 
произвольная точка в пространстве Oxyz , M ' x; y  – проекция
точки M на плоскость Oxy . Точка M однозначно определяется
тройкой чисел r ; ; z  , где r ;  – полярные координаты точки
M ' , z – аппликата точки M (рисунок 5. 2). Тройка чисел
r ; ; z  называется цилиндрическими координатами точки M .
Рисунок 5. 2 – Связь декартовых и
цилиндрических координат
Рисунок 5. 3 – Связь декартовых и
сферических координат
Переход от прямоугольных координат  x; y; z  к цилиндрическим координатам r ; ; z  задается формулами
 x  r cos  ,

(5.9)
 y  r sin  ,
 z  z,

где 0  r   , 0    2 ,    z   . Иногда в качестве промежутка изменения  берётся промежуток       .
Якобиан отображения есть
x x x
r  z cos  r sin  0
D( x, y, z ) y y y
J

 sin  r cos 0  r .
D( p, , z ) r  z
0
0
1
z z z
r  z
69
С ф е р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы . Пусть M x; y; z  – произвольная точка в пространстве Oxyz , M ' x; y  – проекция точки
M на плоскость Oxy . Точка M однозначно задается тройкой
чисел r ; ;  , где r – расстояние точки M до точки O (начала
координат),  – угол между лучами OM и Oz ,  – полярный
угол точки M ' на плоскости Oxy (рисунок 5. 3).
Тройка чисел r ; ;  называется сферическими координатами точки M .
Переход от прямоугольных координат  x; y; z  к сферическим
координатам r ; ;  задается формулами
 x  r cos sin  ,

 y  r sin  sin  ,
 z  r cos ,

где 0  r   , 0    2 , 0     .
Якобиан отображения есть:
x x x
r  
D( x, y, z ) y y y
J


D(r , , ) r  
z z z
r  
cos sin 
 r sin  sin 
 sin  sin 
r cos sin 
cos
0
(5.10)
r cos cos
r sin  cos  r 2 sin  .
 r sin 
x2 y 2 z 2


 1 или его
a 2 b2 c2
частью, переходят к обобщенным сферическим координатам по
формулам:
Если тело ограничено эллипсоидом
70
 x  a r sin  cos  ,

 y  b r sin  sin  ,
 z  c r cos  ,

(5.11)
якобиан отображения равен
J  abcr 2 sin  .
Тогда
 f x, y, z dxdydz
Q

 f ar sin  cos, br sin  sin , cr cos abcr sin  drdd .
2
Q*
5.4 Приложения тройного интеграла
Пусть Q материальное тело с плотностью  x; y; z  . Тогда
тройной интеграл используется для вычисления:
– объема тела
(5.12)
V   dxdydz ;
Q
– массы тела
m     x; y; z  dxdydz ;
(5.13)
Q
– статических моментов M yz , M zx , M xy тела относительно
координатных плоскостей Oyz , Ozx , Oxy соответственно:
M yz   x  x; y; z  dxdydz ;
Q
M zx   y   x; y; z  dxdydz ;
(5.14)
Q
M xy   z   x; y; z  dxdydz ;
Q
– координат центра  xc ; yc ; zc  тяжести тела:
M yz
M xy
M
,
;
x0 
z0 
y0  zx ,
m
m
m
71
(5.15)
– моментов инерции I yz , I zx , I xy тела относительно координатных плоскостей Oyz , Ozx , Oxy соответственно:
I yz   x 2   x; y; z  dxdydz ;
Q
I zx   y 2   x; y; z  dxdydz ;
(5.16)
Q
I xy   z 2   x; y; z  dxdydz ;
Q
– моментов инерции I x , I y , I z , I 0 тела относительно координатных осей Ox , Oy , Oz и начала координат O  0;0  соответственно:
I x  I zx  I xy , I y  I xy  I yz , I z  I yz  I zx ;
(5.17)
I 0  I yz  I zx  I xy .
Вопросы для самоконтроля
1 Дайте определения: а) интегральной суммы, б) нижней и
верхней сумм Дарбу.
2 Что называется тройным интегралом?
3 Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции f  x; y; z  .
4 Перечислите свойства тройного интеграла.
5 Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к
повторному.
6 Сформулируйте теорему о замене переменных в тройном
интеграле.
7 Какие координаты называются цилиндрическими? Чему равен якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим?
8 Какие координаты называются сферическими? Чему равен
якобиан перехода от декартовых координат к сферическим?
9 При вычислении каких величин используется тройной интеграл?
72
Решение типовых примеров
1 Вычислить
 x  y  z dxdydz, где
Q
Q    x; y; z  0  x  1,0  y  2, 0  z  3  .
Р е ш е н и е . Область интегрирования – прямоугольный параллелепипед. По формуле (5.6) получим:
1
2
0
0
3
  x  y  z  dxdydz   dx  dy   x  y  z  dz 
Q
0
2

z2  3
9



 dx  xz  yz   0 dy  dx  3 x  3 y  dy 
2 
2
0
0
0
0
1
2
1
 
 
1
1
3
9 

  3 xy  y 2  y  02 dx 
2
2 
0

  6 x  6  9  dx 
0
1
   6 x  15  dx   3x 2  15 x 
1
0
 3  15  18 .
0
2 Вычислить интеграл
 x  y  z dxdydz, область Q
огра-
Q
ничена плоскостями x  0 , y  0 , z  0 , x  y  z  1  0 .
Р е ш е н и е . Область Q проектируется на плоскость Oxy в
область G , которая представляет собой треугольник (рисунок 5. 4): G    x; y  0  x  1, 0  y  1  x .
Рисунок 5.4 – Область интегрирования для типового примера 2
Рисунок 5.5 – Область интегрирования для типового примера 3
73
Имеем
1
1 x
1 x  y
0
0
0
 x  y  z dxdydz  dx  dy  x  y  z dz 
Q
1 x  y
1
1 x

z2 
  dx   xz  yz  
2
0
0 
0
dy 
1 x
1
1
1
1 
y3 
   y  yx2  xy 2   dx    2  3x  x3  dx =
60
2 0
3 
0
1
1
3x 2 x 4 
1 3 1
  2x 
     .
6
2
4 0 6 4 8
  x
3 Вычислить интеграл
2
 y 2  dxdydz , где область Q
Q
ограничена поверхностями z  x 2  y 2 и z  1 (рисунок 5. 5).
Р е ш е н и е . Вычислим данный интеграл, переходя к цилиндрическим координатам по формулам (5.9).
Область Q проектируется в круг x 2  y 2  1 . Поэтому
0    2 , 0  r  1 . Постоянному значению r в пространстве
Oxyz соответствует цилиндр x 2  y 2  r 2 . Рассматривая пересечение этого цилиндра с областью Q , получаем изменение координаты z от точек, лежащих на параболоиде, до значений тех
точек, лежащих на плоскости z  1 , т. е. r 2  z  1 .
Имеем:
 x
2

2
1
1
0
0
2
 y 2 dxdydz   d  dr  r 2  rdz 
Q
2
1
2
 r4 r6 
1

  d  r z 2 dr      d 
d  .


4 6
12 0
6
0
0
0
0
1
 
3
1
2
4 Вычислить интеграл
 x
2

 y 2  z 2 dxdydz, где область Q
V
есть шар x 2  y 2  z 2  R 2 (рисунок 5. 6).
74
Рисунок 5. 6 – Область интегрирования для типового примера 4
Рисунок 5. 7 – Область интегрирования для типового примера 5
Р е ш е н и е . Вычислим данный интеграл, переходя к сферическим координатам по формулам (5.10).
Из вида области Q следует, что
0  r  R , 0    2 , 0     .
В этом случае подынтегральная функция примет вид:
x 2  y 2  z 2  r 2 sin 2  cos2   r 2 sin 2  sin 2   r 2 cos 2  
 r 2 sin 2   r 2 cos 2   r 2 .
Тогда
 x
2


R
Q
0
R
2
 y 2  z 2 dxdydz   dr  d  r 2 r 2 sin  d 

2
0
0
5 R
0
0
R

0
0
  r 4 dr  sin  d  d  2  r 4 dr  sin  d 
0
R
 4  r 4 dr  4
0
r
5
0

4R
.
5
5
3

5 Вычислить
Q
 x2 y2 z 2 
 2  2  2  dxdydz, где Q – эллипсоид
a
b
c 

2
x
y2 z2


1.
a 2 b2 c2
Р е ш е н и е . Переходя к обобщенным сферическим координатам по формулам (5.11), получим уравнение эллипсоида
r 2  1.
(рисунок 5. 7)
75
Тогда
3

Q

 x2 y 2 z 2 
 2  2  2  dxdydz 
a
b
c 

 r
6
 r
 r 2 sin  abcdrdd  abc
Q*
8
sin  drdd 
Q*
2

1
 

0
0
 abc d sin d r 8 dr  abc  
0
 cos  0  r
2
0 
9
9
1
0

abc
4abc
.
 2 1  1 
9
9
6 Найти объем тела, ограниченного поверхностями
2z  x2  y 2 , z  2 .
Р е ш е н и е . Тело Q ограничено снизу параболоидом вращения с осью симметрии Oz , вершиной в начале координат, сверху – плоскостью z  2 . Проекция тела на плоскость Oxy – область, ограниченная окружностью
2 z  x 2  y 2 ,
 x2  y2  4 .

z

2
,

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам по формулам (5.9):
x2  y2
r2
 z  2 , то
 z  2.
Так как
2
2
Очевидно, что 0    2 , 0  r  2 .
Тогда по формуле (5.12) объем тела равен

V
 dxdydz  r drddz 
Q*
Q
2
2
2
  
2
2
 
 d dr rdz  d rz
0
0
r2
2
0
0
2
r2
2
2
2

r2 
dr  d r  2  dr 
2
0
0 
 
2
2
2
2


r3 
r4 
 d  2r  dr   r 2   02 d  4  2d 
2
8
0
0
0
0
 


76
2

 2 d  2
2
0
 4 .
0
7 Найти массу шара x 2  y 2  z 2  2 Rz , если плотность в
каждой точке обратно пропорциональна расстоянию ее до начала координат.
k
Р е ш е н и е . По условию  x, y, z  
и тогда по
2
x  y2  z2
формуле (5.13) масса равна
k
m
dxdydz .
2
x  y2  z2
V
Уравнение сферической поверхности приведем к каноническому виду
x 2  y 2  z 2  2 Rz ;

x 2  y 2  z 2  2Rz  R 2  R 2 ;
x 2  y 2  z  R   R 2 .
Сфера с центром в точке 0;0; R  радиуса R . Проекция тела
на плоскость z  0 – область, ограниченная окружностью
x2  y2  R2 .
Переходим к сферическим координатам (5.10) .Из уравнения
сферической поверхности находим пределы для r :
x 2  y 2  z 2  2 Rz  0  r 2  2 Rr cos  0 
 r r  2 R cos   0  0  r  2 R cos .
2
При этом 0    2 , 0   
Тогда масса равна
m

Q
k
x2  y 2  z 2

2
.
dxdydz  k

Q*
77
r 2 sin 
drd d 
r

k

2
2
2 R cos 
0
0
 
r sin drd d  k d d
Q*
0

2

2
 
 k d sin 
0
 r sin  dr 
0
2
r
2
2 R cos 
0
2
d 
2
k
d sin   4 R 2  cos2  d 
2 0
0
 

2
2
 2kR2 d cos2  d cos  
 
0
2
 2kR2
0
cos 
3
0

3

2
0
2
1
2

d  2kR2  0  d  kR2  
3
3
0

2
0
4
 kR 2 .
3
Задания для аудиторной работы
1 Вычислить следующие тройные интегралы по указанным
пространственным областям:
3 

а)
 5 x  z dxdydz, Q : y  x , y  0 , x  1 , z  0 ,
2 
Q 

z  x 2  15y 2 ;
 x  y  z dxdydz, Q :  1  x  0 , 0  y  1 , 2  z  3 ;
б)
2
Q
в)
dxdydz
 1  x  y  z 
3
, Q : x  y  z  1, x  0 , y  0 , z  0 ;
Q
г)
 4 x  y  z dxdydz, Q
z  2  x2 , x  y 1, x  0 , y  0 ,
Q
z 0;
д)
 zdxdydz,
Q : z  1  x2  y 2 , z  0 , y  x , y  2x ,
Q
x
1
;
2
78
 ydxdydz,
е)
Q : 4  x 2  y 2  z 2  16 ,
y  3x ,
y  0,
Q
z0;

ж)
zdxdydz, Q :
Q
 8 y ze
и)
2
 xyz
x2 y 2 z 2


1, z  0 ;
a 2 b2 c2
dxdydz, Q : x  0 , x  2 , y  1 , y  0 , z  0 ,
Q
z  2;
к)
dxdydz
 4x  3 y  z  2
6
, Q : x  y  z  1, x  0 , y  0 , z  0 ;
Q
л)
 1  2 y dxdydz, Q : z  y
2
, z  2x  6 , x  0 , z  4 ;
Q
м)
 x
2
y 2 dxdydz, Q : x 2  y 2  1 , 0  z  x 2  y 2 .
Q
2 Найти объем тела, ограниченного поверхностями z  4  y 2 ,
z  y 2  2 , x  1 , x  2 .
3 Вычислить массу тела Q , ограниченного поверхностями
x 2  y 2  2 z , z  2 , если плотность  x, y, z   x 2  y 2 .
4 Найти массу шара x 2  y 2  z 2  2 x , если плотность
 x, y, z   x 2  y 2  z 2 .
5 Вычислить массу тела Q , ограниченного поверхностями
z  2y 2 , z  3y 2  y  0  , z  4 x , z  5 x , z  3 , с плотностью  x, y, z   y .
6 Вычислить объем тела Q , ограниченного поверхностями
2 z  y 2 , 2 x  3 y  12 , x  0 , z  0 .
7 Найти объем тела Q , ограниченного поверхностями
x 2  y 2  10 x , x 2  y 2  13 x , z  x 2  y 2 , z  0 , y  0 .
79
8 Найти объем тела Q , ограниченного поверхностями
z  64  x 2  y 2 , 12 z  x 2  y 2 .
9 Найти массу однородного тела Q , ограниченного поверх-
ностями x 2  y 2  z 2  16 , x 2  y 2  z 2  8 z
10 Вычислить массу тела Q , ограниченного поверхностью
9 x 2  2 y 2  18 z 2  18 , если плотность

  x, y , z   x 2  y 2

x2 y2

 z2 .
2
9
Задания для домашней работы
1 Вычислить следующие тройные интегралы по указанным
пространственным областям:
6 x  8 y  4 z  5dxdydz , Q : 0  x  1 , 0  y  1 , 0  z  1 ;
а)

Q
 x  y  z dxdydz,
б)
Q : x y a , z 0, z c , x  0,
Q
y  0;
в)
 x

2
 y 2  z 2 dxdydz , Q : y 2  z 2  b 2 , x  0 , x  a ;
2
 y 2  z dxdydz, Q : z  x 2  y 2 , z  c c  0 ;
Q
г)
 x

3
Q
д)
 x
2

3
 y 2  z 2 dxdydz, Q : верхняя половина шара
Q
x  y  z 2  R2 ;
2
2
е)

Q
2
 x2 y 2 z 2 
 2  2  2 dxdydz, Q : внутренность эллипсоида
a
b
c 

2
x
y
z2


1;
a 2 b2 c2
80
ж)
 5x  3z dxdydz, Q : x
2
 y 2  1 , z  4 , z  2x  3y  0 ;
Q
 2 x  y dxdydz,
и)
Q:
yx,
y  0,
z  1,
x 1,
Q
z  1 x  y2 ;
2
к)

zdxdydz, Q :
Q
л)

x2  y2 z 2
 2 и z  h h  0  ;
R2
h
x 2  y 2  z 2 dxdydz, Q : x 2  y 2  z 2  y ;
Q
м)
xdxdydz
 x
2
Q
y z
2
2

, Q : 1  x2  y2  z 2  9 , y  x , y  0 ,
z0.
2 Вычислить массу тела Q расположенного в первом октанте
и ограниченного цилиндрическими поверхностями z  2x 2 ,
z  3  x2
x0,
и плоскостями
y  0,
y  2 , если
 x, y, z   xy 2 .
3 Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостями
x  y  z  1 , x  0 , y  0 , z  0 , если  x, y , z   x .
4 Найти массу тела Q , ограниченного поверхностями
z  x 2  10 y 2 ,
z  20  x 2  10 y 2 ,
если
плотность
равна
 x, y, z   x 2  y 2 .
5 Вычислить массу тела Q , ограниченного поверхностью
3
 x2 y2 z 2 
 

 16 9  4  .


6 Вычислить объем тела Q , ограниченного поверхностями
x2 y2 z 2


 1 , с плотностью  x, y, z  
16 9
4
y 2  4 x  4 , y 2  2 x  4 , z  0 , z  3 .
7 Найти объем тела Q , ограниченного поверхностями
y 2  x  1 , y 2 1  x , x  y  z  3 , z  0 .
81
8 Найти объем тела Q , ограниченного поверхностями
y  12  x 2  z 2 , y  z 2  x 2 .
82