Налбандян Ю.С., Спинко Л.И. Руководство к решению задач по

3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Ю.С.Налбандян, Л.И.Спинко
Руководство к решению задач
по математическому анализу
Методические указания для студентов специальности
«Менеджмент организаций»
(дневное и заочное отделения экономического факультета РГУ)
Ростов-на-Дону
2004
4
Данное методическое пособие предназначено для студентов специальности «Менеджмент организаций» и содержит решения типовых задач по математическому анализу, рассматриваемых в рамках курса
«Высшая математика». Рекомендуется студентам заочного отделения
как руководство к выполнению домашней контрольной работы № 1, а
студентам дневного отделения – как материал, дополняющий содержание практических занятий (для самоподготовки и закрепления приобретаемых навыков).
Печатается в соответствии с решением кафедры математического
анализа РГУ, обеспечивающей преподавание курса «Высшая математика» (протокол № 12 от 6 июля 2004 г.), и методической комиссии экономического факультета.
© Ю.С.Налбандян, Л.И.Спинко, 2004
5
ВВЕДЕНИЕ
В данном методическом пособии приводятся подробные решения основных
типовых задач и упражнений по всем разделам математического анализа, которые
изучаются в общем курсе «Высшая математика». Студентам-заочникам рекомендуется тщательно разобрать все примеры и придерживаться предложенных алгоритмов при выполнении заданий первой индивидуальной домашней контрольной
работы из [10]. Студенты дневного отделения могут использовать данные указания при решении домашних упражнений в течение семестра, а также при подготовке к контрольным работам и экзамену.
Дополнительную информацию теоретического характера можно найти в
учебниках [5]–[7] (по всем разделам), а также в [9] (для §§1–2, пп. 3.1, 3.2, 4.1–4.4,
5.1–5.5). Решения задач, не вошедших в данное пособие, имеются в [1] –[4] и в [8].
§ 1. Вычисление пределов
1.1. Основные теоретические положения. Вычисление пределов опирается
на свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций и основные теоремы об арифметических действиях с пределами. Используется также один из известных замечательных пределов:
sin x
(1.1.)
lim
1
x 0
x
Следует учитывать и теорему о пределе сложной функции. В частности, в силу этого утверждения
sin u( x)
(1.2)
lim
 1, если при этом u( x)  0.
xa u ( x)
Пусть lim f ( x)  A , lim g ( x)  B . При вычислении предела алгебраической
x a
x a
суммы функций возможны ситуации:
1) если A и B – конечные числа, тогда lim  f ( x)  g ( x)   A  B (по теореме о
x a
пределе алгебраической суммы);
2) если один из пределов (A или B) конечен, а другой является одним из бесконечных символов, то lim  f ( x)  g ( x)    (в силу свойств бесконечно больших
x a
функций);
3) в случае, когда f(x) и g(x) – бесконечно большие функции одного знака, то
lim  f ( x)  g ( x)    ; если же f(x) и g(x) – бесконечно большие функции разных
x a
знаков, то ничего конкретного (в общей ситуации) утверждать нельзя, поэтому
говорят о неопределенности вида    , требующей дополнительного исследования.
6
Вычисляя предел произведения функций, необходимо учитывать следующее:
1) если A и B – конечные числа, то lim f ( x) g ( x)  AB (по теореме о пределе
xa
произведения);
2) если один из пределов (A или B) конечен и отличен от нуля(!), а другой является одним из бесконечных символов, то lim f ( x) g ( x)   (по свойству бескоxa
нечно больших функций);
3) если один из пределов равен нулю, а второй является одним из бесконечных символов, то говорят о неопределенности вида 0   .
Наконец, при вычислении пределов частного применяются такие правила:
f ( x) A
1) если A и B – конечные числа, причем B0, то lim
 (по теореме о
x a g ( x )
B
пределе частного);
f ( x)
2) если A и B – конечные числа, причем A0, B=0, то lim
  (так как
xa g ( x)
функция 1/g(x) при этом является бесконечно большой при x  a и остается воспользоваться свойствами бесконечно больших функций);
f ( x)
3) если A   , а B – любое конечное число, то lim
  , а если B   , а А
xa g ( x)
f ( x)
– любое конечное число, то lim
 0 (в силу свойств бесконечно больших
xa g ( x)
функций);
4) наконец, если A=B=0, то говорят о неопределенности вида 0 0 , а если A и
B – бесконечные символы, то о неопределенности вида   .
1.2. Раскрытие неопределенностей вида   . В данном случае в числителе
и знаменателе рекомендуется вынести за скобки слагаемое, которое растет быстрее других (для многочленов, в частности, это слагаемое, имеющее старшую степень). В результате алгебраическая сумма представляется в виде произведения
бесконечно большой функции на функцию, имеющую конечный и отличный от
нуля предел.
n2  3n  4
Пример 1.1. Вычислить lim
.
n
n4  1  2
Решение. Предел последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции. Очевидно, что в силу свойств бесконечно больших функций
n 4  1  2   и n2  3n  4   . Поэтому имеем неопределенность
при n  
вида   . Проведем подготовительные преобразования:
7
n 4  1  2  n 4 (1 

1
1
2
2
;
)

2

n
1



4
2 
n4
n
n


 3 4
n 2  3n  4  n 2 1   2  .
 n n 
Далее получаем:
 3 4
3 4
n 2 1   2 
1  2
n  3n  4
 n n   lim
n n  1.
lim
 lim
4
n
n
n


1
2
1
2
n 1  2
1 4  2
n2  1  4  2 
n
n
n
n 

Последнее равенство справедливо в силу теорем о пределе суммы и частного
функций с учетом того, что все слагаемые, кроме единиц, являются бесконечно
малыми (по теореме о связи между бесконечно большой и бесконечно малой
функциями).
2
1.3. Раскрытие неопределенностей вида    . Неопределенности такого
вида возникают, как правило, либо при исследовании разности двух дробей (в
этом случае рекомендуется приводить дроби к общему знаменателю), либо при
рассмотрении разности иррациональных выражений (для избавления от иррациональностей следует преобразовать исходное выражение либо к разности квадратов, либо к сумме или разности кубов). Далее задача сводится к рассмотренной
выше неопределенности вида   .
Пример 1.2. Вычислить lim
n 


n2  n  n .
Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность    , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Для a  b таким «сопряженным» является a b .
Таким образом, получаем:

lim  n  n  n   lim
2
n
n2  n  n

n

n2  n  n
n2  n  n

  lim n  n  n
2
n
2
n2  n  n
 lim
n
n
n2  n  n
Таким образом, мы попали в ситуацию, разобранную при решении примера
1.1. Проведем соответствующие преобразования в знаменателе:
lim
n
n
n2  n  n
Итак, lim
n 

n
 lim
n
1
n2 (1  )  n
n

n 2  n  n  1/ 2 .
 lim
n
n

1 
n  1   1
n 

 lim
n
1
1
 .
2
1
1 1
n
.
8
1.4. Раскрытие неопределенностей вида 0 0 . В этой ситуации основная
цель преобразований – выделить в числителе и знаменателе множители вида (x-a)
(именно они при вычислении предела при x  a "обеспечивают" наличие неопределенности).
x2  9
Пример 1.3. Вычислить lim 2
.
x3 x  3x  18
Решение. Подставляя предельное значение x=3 в числитель и знаменатель,
получаем, что оба выражения обращаются при этом в нуль. Стоящие в числителе
и знаменателе многочлены можно разложить на множители, причем в числителе
достаточно воспользоваться формулой разности квадратов, а в знаменателе необходимо предварительно найти корни соответствующего квадратного трехчлена.
Следует помнить, что если x1 , x2 – корни квадратного трехчлена ax 2  bx  c , то
справедлива формула
ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) ,
(1.3)
а для трехчлена x 2  bx  c выполняется равенство
x 2  bx  c  ( x  x1 )( x  x2 ) .
(1.4)
Таким образом, имеем:
x2  9
( x  3)( x  3)
x 3 33 2
lim 2
 lim
 lim

 .
x 3 x  3 x  18
x 3 ( x  3)( x  6)
x 3 x  6
36 3
6 x 2
x 2
x3  8
Решение. Подставляя предельное значение x=2 в числитель и знаменатель,
получаем, что оба выражения обращаются в нуль. Знаменатель представляет собой «сумму кубов», поэтому при разложении его на множители получаем:
x3  8  x3  23  ( x  2)( x 2  2 x  4) . После умножения числителя и знаменателя на
Пример 1.4. Вычислить lim
6  x  2 , имеем:
сопряженное числителю выражение
lim
x 2
6 x 2
( 6  x  2)( 6  x  2)
 lim

3
x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4)( 6  x  2)
x 8
6 x4

x 2 ( x  2)( x  2 x  4)( 6  x  2)
1
1
1
 lim 2


x 2 ( x  2 x  4)( 6  x  2)
(4  4  4)( 6  2  2) 48
 lim
2
9
При вычислении пределов тригонометрических функций применяются «замечательные пределы» (1.1) и (1.2).
sin 4 x
tg (3x  6)
sin 3x  sin8 x
Пример 1.5. Вычислить а) lim
; б) lim
; в) lim
.
2
x 0
x 2
x 0
x
x 4
x
Решение. В случае а) очевидно, что при x  0 4 x  0 и sin 4 x  0 . Чтобы
применить (1.2), необходимо получить в знаменателе выражение, совпадающие с
аргументом синуса. Для этого числитель и знаменатель умножаем на число «4»:
sin 4 x
4sin 4 x
sin 4 x
lim
 lim
 4lim
 4 1  4 .
x 0
x 0
x 0
x
4x
4x
Однако на практике оказывается полезной теорема, согласно которой в произведении и в частном эквивалентные функции (т.е. те, для которых выполняется
f ( x)
равенство lim
 1 ) можно заменять друг другом. В частности,
x a g ( x )
x sin x tgx при x  0 ; u( x) sin u( x) tgu( x) при x  a и u ( x)  0 . (1.5)
sin 4 x
4x
 lim  4 .
x 0
x 0 x
x
В случае б) знаменатель разложим на множители как «разность квадратов», а
в числителе воспользуемся одним из соотношений (1.5):
tg (3x  6)
tg (3x  6)
3( x  2)
3
3
lim 2
 lim
 lim
 lim
 .
x2
x2 ( x  2)( x  2)
x2 ( x  2)( x  2)
x2 ( x  2)
x 4
4
В задании в) необходимо сначала преобразовать числитель в произведение,
используя формулу разности синусов, а потом применить эквивалентные соотношения из (1.5), учитывая, что 11x / 2 при x  0 :
Поэтому решение а) можно записать в следующем виде: lim
sin 3 x  sin8 x
2sin(11x 2)cos( 5 x / 2)
 lim

x 0
x 0
x
x
2(11x / 2)cos(5 x / 2)
11x cos(5 x / 2)
 lim
 lim
 11cos0  11.
x 0
x 0
x
x
lim
Замечание. Другие примеры на вычисление пределов можно найти в [1, стр.69] и в [3, стр.7-18].
§ 2. Классификация точек разрыва
При решении задач используются следующие определения.
Точка x=a называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если
выполняется одно из условий: 1) a не принадлежит области определения данной
10
функции, но существует конечный lim f ( x) ; 2) a принадлежит области определеx a
ния данной функции, существует конечный lim f ( x) , но lim f ( x)  f (a) .
x a
xa
Точка x=a называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если
lim f ( x) не существует, но существуют конечные, различные между собой одноx a
сторонние пределы lim f ( x)  f (a  0) и lim f ( x )  f (a  0)
x a
x a
x a
xa
Точка x=a называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если
хотя бы один из односторонних пределов lim f ( x) , lim f ( x) равен бесконечности
x a
x a
x a
xa
или не существует.
При определении характера разрыва в точке x=a необходимо сначала найти
lim f ( x) . Если этот предел существует, то x=a окажется (в зависимости от значеx a
ния предела) либо точкой устранимого разрыва, либо точкой разрыва второго рода. Если lim f ( x) не существует, то находят односторонние пределы – в зависиx a
мости от них x=a будет точкой разрыва первого или второго рода.
sin 2 x
.
x2  x
Решение. 1) Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, непрерывны при
всех вещественных x. Однако знаменатель обращается в нуль при x=0 и x=-1, т.е.
эти точки не принадлежат области определения и являются точками разрыва. Исследуем каждую из них.
sin 2 x
2x
2
2) Рассмотрим x=0. Так как lim 2
 lim
 lim
 2 , а рассматx0 x  x
x0 x( x  1)
x0 x  1
риваемая точка не принадлежит области определения, заключаем, что x=0 – точка
устранимого разрыва.
3) Пусть теперь x=-1. Так как при x  1 x 2  x  0 , а sin 2 x   sin 2 , то
sin 2 x
заключаем, что lim 2
  . Следовательно, x=-1 – точка разрыва второго рода.
x 1 x  x
Замечание. Другие примеры, связанные с определением характера разрыва,
можно найти в [1, стр.10-11].
Пример 2.1. Найти и классифицировать точки разрыва функции f ( x) 
§ 3. Дифференцирование функций
3.1. Правила дифференцирования функций одного переменного. При
нахождении производных и дифференциалов функции y  f ( x) применяются следующие правила:
 f ( x)  g ( x) 
'
 f '( x)  g '( x) ;
(3.1)
11
 f ( x) g ( x)   f '( x) g ( x)  f ( x) g '( x) ;
'
 Cf ( x)   Cf '( x) ;
'
(3.2)
(3.3)
'
 f ( x)  f '( x) g ( x)  g '( x) f ( x)
.
(3.4)
 g ( x)  
2
g
(
x
)


Заметим, что (3.3) следует из (3.2), так как производная константы всегда
равна нулю ( C '  0 ).
Чтобы найти производную функции y  f ( x) в точке x  a , необходимо сначала найти f '( x) , а затем в полученное выражение подставить заданное значение.
Необходимо также знать таблицу производных основных элементарных
функций. В Таблице 1 формулы приводятся как для функции независимого аргумента y  f ( x) , так и для сложной функции y  f (u ( x)) .
Таблица 1
1) x '  1, ( x )'   x 1
2) (cos x)'   sin x
1) (u )'   u 1u '
3) (sin x)'  cos x
3) (sin u )'  cos u  u '
4) (tgx)' 
1
cos 2 x
1
5) (ctgx)'  2
sin x
x
x
6) (a )'  a ln a ,
4) (tgu )' 
7) (e x )'  e x
7) (eu )'  euu '
8) (log a x)' 
9) (ln x)' 
1
,
x ln a
1
x
1
1  x2
1
11) (arcctgx)' 
1  x2
1
12) (arcsin x)' 
1  x2
1
13) (arccos x)' 
1  x2
10) (arctgx)' 
2) (cos u )'   sin u  u '
u'
cos 2 u
u '
5) (ctgu )'  2
sin u
6) (au )'  au ln a  u ' ,
8) (log a u )' 
9) (ln u )' 
u'
,
u ln a
u'
u
u'
1  u2
u '
11) (arcctgu )' 
1  u2
u'
12) (arcsin u )' 
1  u2
u '
13) (arccos u )' 
1  u2
10) (arctgu )' 
12
Дифференциал функции y  f ( x) в произвольной точке задается формулой
df  dy  f '( x)dx ,
(3.5)
а в фиксированной точке формулой
df xa  dy x a  f '(a)dx .
(3.6)
Для определения производной второго порядка используем правило
(3.7)
f ''( x)   f '( x)  ' .
Пример 3.1. Найти производную f '( x) для f ( x)  ln(tg(3x )  x3 ) и выписать
дифференциал этой функции.
Решение. Данную функцию можно представить в виде f ( x)  ln u( x) , где
u ( x)=tg(3x )  x3 , и воспользоваться формулой 9) из Табл.1. Далее к числителю полученного выражения применяем (3.1), а функцию tg(3x ) также рассматриваем как
сложную и находим ее производную с помощью 4):
tg(3x )  x3  '  tg(3x )  ' ( x3 )'

x
3
f '( x)   ln(tg(3 )  x )  ' 


tg(3x )  x3
tg(3x )  x3
(3x )'
3x ln 3
2

3
x
 3x 2
2
x
2
x
3x ln 3  3 x 2 cos 2 (3x )
cos (3 )
cos (3 )



.
tg(3x )  x3
tg(3x )  x3
cos 2 (3x )(tg(3x )  x3 )
Итак, f '( x) 
3x ln 3  3 x 2 cos 2 (3x )
3x ln 3  3x 2 cos 2 (3x )
df

dx (в силу (3.5)).
,
а
cos 2 (3x )(tg(3x )  x 3 )
cos 2 (3x )(tg(3x )  x3 )
x
в точке x=2.
x 1
Решение. Функция представляет собой частное, поэтому применяем (3.4), а
также формулу производной степенной функции (для x  x1/ 2 и для x 2 ):
Пример 3.2. Найти производную функции f ( x) 
2
1
( x 2  1)  2 x x
 x  ( x )'( x  1)  ( x  1)' x 2 x


 2  
2
2
2
2
x

1
(
x

1)
(
x

1)


x2  1  4 x2
1  3x 2


.
2 x ( x 2  1) 2
2 x ( x 2  1) 2
'
1/ 2
2
2
Вычисляем производную в заданной точке, для этого подставляем в найденное выражение значение x=2:
1  3  (2)2
13
.
f '(2) 

2
2
2 2(2  1) 18 2
13
1cos x
1cos x
Пример 3.3. Найти дифференциал функции f ( x)  e
в произвольной
точке и в точке x=/2.
Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции, воспользовавшись формулами 7), (3.4) и 2):
f '( x)  e
1cos x
1 cos x
e
1cos x
 1  cos x 
1 cos x  (1  cos x )'(1  cos x )  (1  cos x )'(1  cos x ) 

 e
(1  cos x) 2
 1  cos x 
1cos x
1 cos x
'
1cos x
sin x(1  cos x)  sin x(1  cos x)
2sin x
1
 cos x 


e
.
(1  cos x) 2
(1  cos x) 2
Далее вычисляем производную в точке x=/2. Поскольку cos( / 2)  0 и
sin( / 2)  1, то f '( / 2)  2e . В силу (3.6) df x / 2  2edx .
Пример 3.4. Найти вторую производную функции f ( x) 
x
.
1  x2
Решение. Сначала найдем f '( x) и обязательно упростим полученное выражение:
'
1  x2  x
(2 x)
 x  x ' 1  x  ( 1  x )' x
2 1  x2 
f '( x)  



2
(1  x 2 )
(1  x 2 )
 1 x 
x2
2
1 x 
2
(1  x 2 )  x 2
1
1

x



 (1  x 2 ) 3 / 2 .
2
2
3
/
2
(1  x )
(1  x 2 ) 1  x 2 (1  x )
2
2
Теперь в силу (3.7) и 1) получаем:
'
3
3x
3x
.
f ''( x)   (1  x 2 )3/ 2    (1  x 2 ) 5 / 2 (2 x) 

2
(1  x 2 )5 / 2
(1  x 2 )5
3.2. Правило Лопиталя вычисления пределов. Если при вычислении пределов затруднительно использование эквивалентностей, то можно применить следующее утверждение.
Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки a, а также являются одновременно бесконечно малыми
(или бесконечно большими) при x  a . Пусть, далее, g '( x)  0 в окрестности точ-
14
ки a (кроме, возможно, самой точки). Если существует lim
x a
lim
x a
f '( x)
, то существует и
g '( x)
f ( x)
f ( x)
f '( x)
, причем lim
.
 lim
xa g ( x)
xa g '( x)
g ( x)
Пример 3.5. Найти с помощью правила Лопиталя:
2ln(1  x)  2sin x  x 2
а) lim
;
x0
x3
б) lim x ln(sin x)
x 0
Решение. a) В данном случае после подстановки x=0 замечаем, что и числитель, и знаменатель дроби обращаются в нуль, т.е. мы имеем дело с неопределенностью 0 0 . Однако использовать замечательные пределы и перейти к эквивалентным функциям нельзя, так как в числителе – сумма. Воспользуемся правилом
Лопиталя, предварительно проверив все условия.
Неопределенность 0 0 уже отмечена. Функции, стоящие в числителе и знаменателе, дифференцируемы при всех вещественных x и g '( x)  3x 2  0 при x  0 .
В силу сформулированного выше утверждения, если в этом случае существует
предел отношения производных, то его значение совпадет со значением искомого
предела. Предположим, что это так, и проведем вычисления:
2ln(1  x)  2sin x  x 2
lim
x 0
x3
2
 2cos x  2 x
1

x
 lim
x 0
3x 2
(2ln(1  x)  2sin x  x 2 )'
 lim

x 0
( x3 )'
(0 / 0)
1
 1

 sin x  1 (0 / 0)
 cos x  x 

2
2
(1  x) 2
1 x


lim
 lim

3 x 0
( x 2 )'
3 x 0
2x
'
(0 / 0)

'
 1

(1)(2)

sin
x

1
 cos x


2
3
(0 / 0)
(1

x
)
1
1
2 1
(1

x
)
  lim

lim 

 1.
3 x 0
( x)'
3 x 0
1
3
2ln(1  x)  2sin x  x 2
Итак, lim
1
x0
x3
При решении этого примера правило Лопиталя фактически было применено
трижды (в тех местах, где над знаком равенства указан вид неопределенности).
При этом для обеспечения строгости рассуждений необходимо каждый раз проверять условия сформулированного выше утверждения.
Рассмотрим теперь задание б). Очевидно, что здесь вообще нет эквивалнетных функций. Кроме того, при x  0 ( x  0, x  0) sin x  0 и lnsin x   .
Это неопределенность вида 0   , к которой правило Лопиталя не применяется,
15
однако можно учесть, что если f(x) – бесконечно малая при x  a функция, то
1/f(x) будет бесконечно большой при x  a . Поскольку
ln sin x
,
x ln sin x 
x 1
то мы приходим к неопределенности  /  и далее действуем так, как при решении задания а). Обе функции требуемым условиям удовлетворяют, поэтому
cos x
2
ln sin x
(ln sin x)'
sin x   lim x cos x  lim x cos x  0
lim x ln(sin x)  lim

lim

lim
x 0
x 0
x 0
x 0  x 2
x 0 sin x
x 0
x 1
( x 1 )'
sin x
x
(учтено, что lim
 lim
 1 ). Итак, lim x ln(sin x)  0 .
x0
x0 sin x
x 0
x
3.3. Правила дифференцирования функций двух переменных. При дифференцировании функции z  f ( x, y) по одной из независимых переменных вторая фиксируется и считается константой (это следует из определения частных
производных первого порядка). Применяются уже знакомые правила (.3.1)-(3.4) и
формулы из табл.1, однако при записи обязательно указывается, по какой переменной происходит дифференцирование. Так, для производной по x используются
f
f
обозначения f x' ( x, y) или
( x, y ) . Аналогично запись f y' ( x, y )  ( x, y ) обознаx
y
чает производную по y.
Для полного дифференциала первого порядка функции z  f ( x, y) имеем:
df  f x' ( x, y)dx  f y' ( x, y)dy ;
df
x  a , y b
 df
M
 f x' (a, b)dx  f y' (a, b)dy .
(3.8)
(3.9)
Частные производные второго порядка z  f ( x, y) определяются по формулам
f xx'' ( x, y )  ( f x' )'x ( x, y) ;
f xy'' ( x, y )  ( f x' )'y ( x, y ) ;
f yy'' ( x, y)  ( f y' )'y ( x, y) ;
f yx'' ( x, y )  ( f y' )'x ( x, y ) .
(3.10)
(3.11)
Заметим, что если исходная функция удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам, то справедливо равенство f yx'' ( x, y )  f xy'' ( x, y ) В этом случае говорят, что «смешанные производные второго порядка» совпадают, или «смешанная
производная не зависит от порядка дифференцирования».
Справедлива формула для полного дифференциала второго порядка функции
z  f ( x, y) :
d 2 f  f xx'' ( x, y)dx 2  2 f xy'' ( x, y)dxdy  f yy'' ( x, y )dy 2
(3.12)
16
Пример 3.6. Найти частные производные первого порядка и выписать дифференциал первого порядка функции f ( x, y)  sin( x 2  2 xy  y)
Решение. Чтобы найти f 'x ( x, y ) , необходимо зафиксировать переменную y.
Воспользовавшись формулой 3) из Табл.1, а также (3.1) и (3.3), получим:
f x' ( x, y )  cos( x 2  2 xy  y )( x 2  2 xy  y )'x 
 cos( x 2  2 xy  y )(( x 2 )'x  2 y ( x)'x  ( y )'x )  cos( x 2  2 xy  y)(2 x  2 y).
В данном случае числовой коэффициент и переменная y выступали в роли
констант: во втором слагаемом они были вынесены за скобки при дифференцировании, а третье слагаемое от x не зависело – поэтому его производная по x равна
нулю.
Аналогично поступаем и с f y' ( x, y) , только теперь фиксируется переменная y:
f y' ( x, y )  cos( x 2  2 xy  y )( x 2  2 xy  y)'y 
 cos( x 2  2 xy  y )(( x 2 )'y  2 x( y)'y  ( y)'y )  cos( x 2  2 xy  y)(2 x  y).
Чтобы выписать дифференциал первого порядка, воспользуемся (3.8.):
df  cos( x 2  2 xy  y )(2 x  2 y )dx  cos( x 2  2 xy  y )(2 x  y )dy 
 cos( x 2  2 xy  y )((2 x  2 y )dx  (2 x  y )dy ).
Пример 3.7. Найти частные производные второго порядка функции
f ( x, y)  x ln(5x  3 y) . Выписать d 2 f
.
x 1, y 1
Решение. Сначала находим частные производные первого порядка. Следует
обратить внимание на то, что при фиксированном y функция представляет собой
произведение двух функций, зависящих от x, а при фиксированном x это константа, умноженная на функцию от y. Применяя известные уже приемы дифференцирования, получаем:
5x
f 'x ( x, y)  ( x)'x ln(5x  3 y)  x(ln(5x  3 y))'x  ln(5 x  3 y) 
;
5x  3 y
3x
.
f ' y ( x, y)  x(ln(5x  3 y))' y 
5x  3 y
Теперь воспользуемся формулами (3.10) и любой из формул (3.11).
5x '
5
(5 x  3 y)  5 x
5
15 y
f xx'' ( x, y)  (ln(5x  3 y) 
)x 
5


;
5x  3 y
5x  3 y
(5x  3 y) 2
5 x  3 y (5 x  3 y) 2
'
 3x 
9
1 '
f ( x, y)   


3
x
(5
x

3
y
)
 3x  (1)(5 x  3 y) 2 (3) 
;



y
(5 x  3 y)2
 5x  3 y  y
''
yy
17
f yx'' ( x, y)  (
3x '
(5 x  3 y)  5 x
9y
) x  3

.
2
5x  3 y
(5x  3 y)
(5 x  3 y)2
В качестве проверки можно найти вторую смешанную производную и убедиться, что результаты совпадают:
'
'

5x 
3
f ( x, y )   ln(5 x  3 y ) 
 5 x  (5 x  3 y ) 1  
 
y
5x  3 y  y 5x  3 y

''
xy

3
5 x(1)(3) 3(5 x  3 y )  15 x
9y



 f yx'' ( x, y ).
2
2
2
5 x  3 y (5 x  3 y )
(5 x  3 y )
(5 x  3 y )
Чтобы записать теперь дифференциал второго порядка в заданной точке (1;1),
вычислим значения производных в этой точке, а затем применим (3.12):
f xx'' (1;1) 
9
5
15
5 15
5
9
9

    ; f yy'' (1;1) 
  ; f xy'' (1;1)  ;
2
2
5  3 (5  3)
2 4
4
(5  3)
4
4
d2 f
5
9
9
5dx 2  18dxdy  9dy 2
  dx 2  2  dxdy  dy 2 
.
x 1, y 1
4
4
4
4
3.4. Производная по направлению и градиент. Пусть z  f ( x, y) — функция двух переменных, определенная в некоторой области D, M(x,y) – произвольная
точка этой области, l  ( a, b) – некоторое направление (вектор, соединяющий
начало координат с точкой (a,b) и передвинутый параллельным переносом из начала коорY
динат в точку M). Через  и  обозначим углы,
образованные вектором направления с положительными направлениями осей OX и OY.
l
Так как (см. рис. 1) a | l | cos , b | l | cos  ,

O

X
то справедливы формулы
a
b
(3.13)
cos  , cos   .
|l |
|l |
Рис.1
При этом cos и cos  называются
«направляющими косинусами».:
Производная функции z  f ( x, y) по направлению l  ( a, b) в точке M задает скорость изменения функции в этом направлении и может быть найдена по
формуле
f
f
f
(3.14)
( M )  ( M )cos  ( M )cos  .
x
y
l
18
Градиентом функции z  f ( x, y) в точке M называют вектор с координатами, равными значениям частных производных первого порядка в этой точке:
 f

f
gradf ( x, y ) M   ( M ), ( M )  .
y
 x

(3.15)
Он определяет направление наискорейшего возрастания функции, а его величина,
которую находят по формуле
2

 f
  f
  (M )    (M )  ,
 x
  y

2
gradf ( x, y) M
(3.16)
совпадает с максимальной скоростью возрастания функции в данной точке.
Пример 3.7. Пусть f ( x, y )  3 x 2  3xy  8 y . Найти градиент функции в точке
M(3;1), величину градиента функции в этой точке и производную функции в той
же точке по направлению l  ( 1, 2) .
Решение. Предварительно находим частные производные функции первого
порядка и их значения в заданной точке:
'
f
1
2x  3y
  ( x 2  3 xy  8 y )1/ 3   ( x 2  3 xy  8 y ) 2 / 3 ( x 2  3 xy  8 y )'x 
;
x
x
3
3 3 ( x 2  3 xy  8 y ) 2
f
f
2  3  3 1
3
1
( M )  (3;1) 
 3  ;
x
x
3 3 (32  3  3  1  8  1) 2 3 8 2
'
f
1
3x  8
  ( x 2  3xy  8 y )1/ 3   ( x 2  3xy  8 y ) 2 / 3 ( x 2  3 xy  8 y )'y 
;
y
y
3
3 3 ( x 2  3xy  8 y ) 2
f
f
3  3  8
1
1
1
( M )  (3;1) 


 .
2
y
y
3 2
12
3 3 (32  3  3  1  8  1) 2 3 3 82
Теперь воспользуемся формулами (3.15) и (3.16):
gradf ( x, y ) M
 1 1 
  , ;
 2 12 
1
1
37
 1   1 
     


.
4 144
12
 2   12 
2
gradf ( x, y ) M
2
Далее, | l |  (1) 2  22  5  1 , поэтому в силу (3.13) cos  1/ 5 ,
cos   2 / 5 , и в силу (3.14):
f
1 (1) 1 2
1
1
3  1 2
1
.
(M )  
 





2
l
5 12 5 2 5 6 5 6 5 6 5 3 5
Замечание. Решение других задач, связанных с дифференцированием, можно
найти в [1, стр.12-14], [2, стр.18-22], [3, стр.22-27], [4, стр.14-16].
19
§ 4. Исследование функций
4.1. Интервалы монотонности и точки экстремума функции y  f ( x) . Как
известно, характер монотонности функции на числовом интервале (a,b) связан со
знаком ее производной на этом интервале (если 0  )x (' f при всех x из (a,b), то
функция возрастает, а если f '( x)  0 при всех x из (a,b), то убывает). Далее,
пусть X – область определения функции y  f ( x) и x0  X . Если для всех x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 )  M (или
f ( x)  f ( x0 )  m ), то число M (m) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции y  f ( x) , а сама точка x0 - точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином «экстремум функции» (соответственно, говорят и о «точках экстремума»).
При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.
1) Установить область определения функции y  f ( x) .
2) Найти ее первую производную.
3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается
в нуль (т.е. решить уравнение f’(x) = 0 ) Такие точки называются стационарными.
Найти значения x, при которых функция определена, а производная – нет (эти точки в дальнейшем называются критическими).
4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.
5) Если при переходе через найденную точку x0 производная знак не меняет,
то x0 не является точкой экстремума; если в окрестности точки x0 слева от
нее f '( x)  0 , а справа f '( x)  0 , то x0 - точка максимума исходной функции и
f max  f ( x0 ) ; если же в окрестности x0 f '( x)  0 слева и f '( x)  0 справа, то x0 точка минимума исходной функции и f min  f ( x0 ) .
Пример 4.1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
f ( x)  3 x  x 3 .
Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид f '( x)  3  3x 2 и также определена при всех x. Из уравнения
f '( x)  3  3x 2  0 находим стационарные точки: x1  1, x2  1 . Составляем таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной. Для этого, наряду с
другими способами, можно ограничиться вычислением значения производной в
промежуточных точках полученных интервалов. Например, f '(0)  3  0 ,
f '(2)  3  3(2) 2  3  12  0 f '(2)  3  3(2)2  3  12  0 . Считаем также значения
функции в найденных точках: f (1)  3(1)  (1)3  2 , f (1)  3  1  2 . Данные
20
собираем в таблицу, в последней строке которой указываем характер монотонности функции:
X
(; 1)
–1
(1;1)
1
(1; )
—
0
+
0
—
f ' ( x)
Поведение f(x)
-2
Вывод
Убыв.
Т мин.
2
Возр.
Т. макс.
Убыв.
Итак, f возрастает на интервале (1;1) , убывает на интервалах (; 1) и (1; ) ,
имеет точку локального минимума x=-1 (при этом f min  f (1)  2 ) и точку локального максимума x=1 ( f max  f (1)  2 ).
x2
Пример 4.2 Найти экстремумы функции f ( x) 
.
x2
Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, кроме
2 x( x  2)  1  x 2 x 2  4 x

x=-2. Дифференцируя частное, получаем, что f '( x) 
.
( x  2) 2
( x  2) 2
Очевидно, что производная также определена при всех x, кроме x=-2 (критическая
точка). Из уравнения x 2  4 x  0 находим стационарные точки: x1  4 , x2  0 . Составляем, как и выше, таблицу для числовых интервалов и устанавливаем знаки
производной (можно заметить, что знаменатель всегда положителен, а потому
знак производной зависит только от числителя). Определяем также значения
функции в найденных точках и собираем данные в таблицу.
x
(; 4)
–4
(4; 2)
-2
(-2,0)
0
(0; )
f ' ( x)
+
0
—
Не сущ.
—
0
+
Повед.f(x)
Вывод
Не сущ.
-8
Возр.
Т макс.
Убыв.
0
Убыв.
Т. мин.
Возр.
Таким образом, x=-4 – точка локального максимума и f max  f (4)  8 , x=0 –
точка локального минимума ( f min  f (0)  0 ).
Следует обратить внимание на то, что данный пример иллюстрирует «локальность» экстремума (в частности, оказывается, что f max  f min ).
Пример 4.3. Найти экстремумы функции f ( x)  3 x 2 .
Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее про2
изводная имеет вид f '( x)  3 . При этом производная не определена там, где в
3 x
21
нуль обращается знаменатель, т.е. при x=0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит постоянное число, и потому дробь
не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком 3 x , а
потому и со знаком x, получаем, что слева от x=0 (там, где x<0) f '( x)  0 , а справа
f '( x)  0 . Поэтому x=0 – точка минимума исходной функции, и f min  f (0)  0 .
4.2. Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на
числовом отрезке. Пусть y=f(x) – функция, определенная на отрезке [a;b]. Если
f(x) непрерывна на этом отрезке, то существуют точки x1  [a; b] и x2  [ a; b] , в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!). Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из (a;b)),
либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения
функции f(x) на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма.
1) Найти первую производную f’(x).
2) Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые
попадают в отрезок [a;b].
3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках x=a, x=b), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума не определять!
4
Пример 4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения f ( x)  x 3  3x 2 на
3
отрезке [1;4].
Решение. f '( x)  4 x 2  6 x  2 x(2 x  3) , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: 2 x(2 x  3)  0 . Итак, x  3/ 2 и x  0 - стационарные точки. При
этом 3/ 2 [1;4] , а x  0 [1;4] , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка:
4
5
3 4  27 3  9 9 27
9
4  64
112
.
f (1)   3   ; f ( ) 

 
  ; f (4) 
 3  16 
3
3
2
38
4
2 4
4
3
3
112
3
9
Сравнивая значения, получаем: min f ( x)  f ( )   , max f ( x)  f (4) 
.
x[1;4]
3
2
4 x[1;4]
При решении задач практического характера полезно пользоваться следующим фактом.
Утверждение. Пусть функция y  f ( x) определена на открытом числовом
интервале (a;b) и имеет на нем единственную стационарную точку x0 . Если x0 точка локального максимума, то max f ( x)  f ( x0 ) ; если x0 - точка локального
x( a ;b )
минимума, то min f ( x)  f ( x0 )
x( a ;b )
22
Пример 4.5. Предприятие выпускает некий товар в объеме, превосходящем 1
кг. Прибыль (в у.е.) зависит от объема выпущенного товара ( x ) и определяются
формулой F ( x)   x3  20 x 2  13x  4 . Найти объем производства товара, при котором прибыль будет максимальна.
Решение. В силу условий задачи функция, максимум которой нас интересует,
определена на интервале (1; ) . Найдем производную этой функции и приравняем к нулю: F '( x)  3x 2  40 x  13  0 . Решив квадратное уравнение, получим два
корня: x1  13, x2  1/ 3 . Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только первое значение (13>1, 1/3<1). Сравнив знаки производной слева и справа от точки
x1  13 , получим, что это точка максимума. Находим максимальное значение F(x)
на заданном интервале: max F ( x)  F (13)  133  20  132  13  13  4  1010 .
x(1; )
Итак, при объеме производства в 13 единиц прибыль будет максимальной и
составит 1010 у.е.
4.3. Направления выпуклости графика функции одного переменного. Рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:
1) Установить область определения функции y  f ( x) .
2) Найти вторую производную f ''( x) .
3) Выяснить, в каких точках из области определения вторая производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение f ''( x)  0 ).
4) Установить знак второй производной на числовых интервалах, на которые
найденные точки разбили область определения, и определить направления выпуклости (если f ''( x)  0 , то график функции направлен выпуклостью вверх, т.е. ;
если f ''( x)  0 - выпуклостью вниз, т.е. ).
5) Если при переходе через найденную точку x0 направление выпуклости меняется, то точка ( x0 , f ( x0 )) называется точкой перегиба графика функции.
Пример 4.6. Найти направления выпуклости и точки перегиба графика функции f ( x)  x 2  x 4 .
Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее
производная имеет вид f '( x)  2 x  4 x3 , а вторая производная f ''( x)  2  12 x 2 (она
также определена при всех x). Из уравнения 2  12 x 2  0 находим точки: x1  1
6,
x1  1 6 . Составляем таблицу для числовых интервалов, определяем знак второй производной и характер выпуклости графика заданной функции. Заметим, что
1 1
5
f (1/ 6)  f (1/ 6)  
 :
6 36 36
23
(; 1/ 6)
1/ 6
(1/ 6;1/ 6)
1/ 6
(1/ 6; )
f ''( x)
—
0
+
0
—
Вывод
График направлен выпуклостью вверх, 
5/36
График
направлен выпуклостью
вниз, 
5/36
График
направлен
выпуклостью
вверх, 
x
Таким образом, точки (
1 5
1 5
; ) и (
; ) — точки перегиба.
6 36
6 36
4.4. Построение эскиза графика функции одного переменного. Полное исследование функции проводится по следующему плану.
1. Найти область определения функции y=f(x).
2. Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае, когда, например, функция является
нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика
при x  0 с последующим симметричным его отображением (относительно начала
координат для нечетной функции или относительно оси OY для четной).
3. Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки пересечения графика с осью OY подставляем в
аналитическое выражение функции значение x=0).
4. Определить, где функция f(x) является непрерывной; установить точки разрыва и найти lim f ( x ) и lim f ( x ) . Если хотя бы один из этих пределов равен бесxa
xa
xa
xa
конечности, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции.
5. Найти f '( x) и с ее помощью определить интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения.
6. Найти f ''( x) , с ее помощью определить направления выпуклости графика
функции и найти точки перегиба.
7. Найти наклонные асимптоты графика. Уравнение наклонной асимптоты
имеет вид y=kx+b, где k и b находятся по формулам
f ( x)
k  lim
,
b  lim( f ( x)  kx)
(4.1)
x 
x 
x
(предполагается, что эти пределы существуют и конечны).
В некоторых случаях пределы в (4.1) приходится вычислять отдельно при
x   и x  
8. Собрать всю информацию и построить эскиз графика.
24
Пример 1.4.7. Провести полное исследование и построить график функции
x2
.
f ( x) 
x2
Решение. Придерживаемся предложенной схемы исследования.
1. Функция определена при всех вещественных x, кроме x = -2.
2. Область определения не симметрична относительно начала координат, поэтому свойством четности или нечетности функция не обладает (заметим, что в
случае симметричности области определения необходимо проверить выполнение
одного из равенств: f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x)). Исходная функция не является и периодической.
3. Решая уравнение f(x)=0, находим, что график функции пересекает оси координат в точке (0,0).
x2
4. В силу свойств непрерывных функций функция f ( x) 
непрерывна
x2
там, где определена, т.е. при всех вещественных x, кроме x = -2. Поскольку
x2
lim f ( x)  lim
 ,
x2
x2 x  2
то x = -2 – точка разрыва второго рода, а прямая x = -2 является вертикальной
x2
x2
асимптотой графика. Кроме того, заметим, что lim
  , lim
  .
x 2 x  2
x 2 x  2
x 2
x 2
5. Необходимые расчеты, связанные с исследованием первой производной,
были проведены при решении примера 4.1. В частности, была найдена первая
x2  4 x
производная f '( x) 
, определены точки экстремума и значения функции в
( x  2) 2
них: x = -4 – точка максимума, графику принадлежит точка (-4, f(-4)), т.е. (-4;-8); x
= -4 – точка минимума, графику принадлежит точка (0, f0)), т.е. (0;0). Кроме того,
из таблицы следовало, что f(x) возрастает на интервалах (; 4) и (0; ) , а убывает на интервалах (4; 2) и (2;0)
6. Найдем теперь вторую производную:
'
 x 2  4 x  (2 x  4)( x  2) 2  2( x  2)( x 2  4 x)
f ''( x)   f '( x)  '  


2 
( x  2) 4
 ( x  2) 
2( x  2)(( x  2) 2  x 2  4 x)
24


.
( x  2)4
( x  2)3
Очевидно, что знак второй производной зависит только от знака знаменателя.
При x>-2 f ''( x)  0 и график направлен выпуклостью вниз, а при x>-2 f ''( x)  0 и
график направлен выпуклостью вверх.
25
7. Найдем теперь уравнение наклонной асимптоты. По первой из формул (4.1)
получаем:
f ( x)
x2
x
x
k  lim
 lim
 lim
 lim
1
x 
x  ( x  2) x
x  x  2
x 
2
x
x(1  )
x
(поступали так же, как при решении примера 1.1). Далее,
 x2

x 2  x( x  2)
2 x
b  lim( f ( x)  kx)  lim 
 x   lim
 lim
 2
x 
x  x  2
x  x  2
x2

 x
(аналогично). Таким образом, прямая y  1  x  2  x  2 – наклонная асимптота.
Эскиз полученного графика приведен на рис.2.
Рис.2
4.5. Экстремумы функции двух переменных. Сразу отметим, что само
определение локальных экстремумов функции z  f ( x, y) фактически не отличается от случая функции одного переменного y  f ( x) (только теперь точками локального экстремума будут точки вида M ( x0 , y0 ) ). Алгоритм поиска состоит в
следующем.
1) Установить область определения функции.
2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к нулю,
т.е. решить систему уравнений
 f ' x ( x, y )  0
.

 f ' y ( x, y )  0
Решения этой системы дадут координаты стационарных точек.
3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции и
вычислить их значения в найденных ранее стационарных точках вида M ( x0 , y0 ) .
4) Найти для каждой стационарной точки числовые характеристики:
26
  f ''xx ( x0 , y0 )  f '' yy ( x0 , y0 )   f '' xy ( x0 , y0 )  ,
2
  f '' xx ( x0 , y0 ).
(4.2)
5) Если   0,   0 , то M ( x0 , y0 ) - точка локального минимума исходной
функции и f min  f ( x0 , y0 ) ; если   0,   0 , то M ( x0 , y0 ) - точка локального
максимума исходной функции и f max  f ( x0 , y0 ) ; во всех остальных случаях
M ( x0 , y0 ) не является точкой экстремума.
Пример 4.8. Найти экстремумы функции f ( x, y)  1  15 x  2 x 2  xy  2 y 2 .
Решение. Функция определена при всех парах (x,y). Найдем частные производные первого порядка, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
f 'x ( x, y )  15  4 x  y ,
f ' y ( x, y)   x  4 y ;
15  4 x  y  0 15  4(4 y)  y  0 15  15 y  0


.


x

4
y

0
x


4
y
x


4
y



Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4.
Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные
второго порядка:
f xx'' ( x, y)  (15  4 x  y)'x  4 ;
f yy'' ( x, y)  ( x  4 y)' y  4 ;
f xy'' ( x, y)  (15  4 x  y)' y  1.
В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационарной
точки M(4;-1) имеем: f xx'' (4; 1)  4 ; f yy'' (4; 1)  4 ; f xy'' (4; 1)  1 . В силу (.4.2)
  (4)  (4)  (1)2  16  1  15  0 , поэтому M(4;-1) является точкой локального
экстремума исходной функции. Далее,   4  0 , следовательно, M(4;-1) – точка
локального максимума f(x,y), и
f max  f (4; 1)  1  15  4  2  42  4  (1)  2(1) 2  1  60  32  4  2  31.
Пример 4.9. Найти экстремумы функции f ( x, y)  x3  y 3  3xy , считая, что
x>0 и y>0.
Решение. Область определения функции задана в условии. Найдем частные
производные первого порядка: f x' ( x, y)  3x 2  3 y , f y' ( x, y)  3 y 2  3x . Далее, решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):
2
 y  x2
3x 2  3 y  0 
y 1
 yx



 2
 2 2
 3

( x )  x  0  x( x  1)  0  x  1
3 y  3x  0 
27
Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производные
второго порядка: f xx'' ( x, y )  6 x ; f yy'' ( x, y)  6 y ; f xy'' ( x, y)  3 . Вычисляем их значения в точке M: f xx'' (1;1)  6 ; f yy'' (1;1)  6 ; f xy'' (1;1)  3 . Подставляем в (4.2). Так как
  36  9  27  0 , то M(1;1) – точка экстремума; поскольку   6  0 , то она является точкой локального минимума исходной функции и f min  f (1;1)  1 .
4.6. Понятие об условном экстремуме функции двух переменных. При
решении примера 4.9 мы столкнулись с тем, что на переменные было наложено
дополнительное ограничение. Фактически это была задача поиска условного экстремума функции f ( x, y) , которая в общем случае ставится следующим образом:
найти экстремумы функции z  f ( x, y) , если известно, что переменные удовлетворяют условиям 1 ( x, y )  0 ,  2 ( x, y)  0 ,...,  n ( x, y)  0 . Для решения подобных
проблем существует специальная теория, однако в некоторых ситуациях задачу
удается свести к поиску обычного экстремума функции одного переменного.
Пример 4.10. Найти экстремум функции f ( x, y)  x3  xy  2 y при условии
x  y  3  0.
Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функцию:
y  3  x , а потому F ( x)  f ( x,3  x)  x 3  x(3  x)  2(3  x)  x 3  x 2  5 x  6 .
Мы получили функцию одного переменного, которую исследуем по схеме,
разобранной в п.4.1. Функция F ( x) определена при всех x. Приравнивая к нулю
производную, получаем: F '( x)  3x 2  2 x  5  0  x  1, x  5/ 3 . Далее определяем знак производной на интервала и строим таблицу:
(1; )
(5/ 3;1)
(; 5/ 3)
x
-5/3
1
F '( x)
+
0
—
0
+
Вывод
Возр.
Т. макс.
Убыв.
Т. мин.
Возр.
Для известных значений x найдем соответствующие им значения y: при x=1
y=2; при x=-5/3 y=14/3. Существующие в теории утверждения позволяют говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой минимума исходной функции f ( x, y) , а
точка N(-5/3;14/3) – точкой максимума этой функции. Соответственно,
f min  f (1;2)  1  2  4  3 ,
f max  f (5/ 3;14 / 3) 
125 5 14
14 337

2 
.
27
33
3
27
Замечание. Различные задачи на исследование функций одного и двух переменных разбираются также в [1, стр.14-18], [2, стр.14-18], [3, стр.27-32], [4, стр.1619].
28
§ 5. Интегралы и их приложения
5.1. Основные определения и формулы. Функция F(x) является первообразной функции f(x), если на некотором множестве X выполняется равенство
F(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается  f ( x)dx . При этом, если F(x) – какая-либо из
первообразных f(x), то
 f ( x)dx  F ( x)  C , константа C пробегает все множество
действительных чисел. В таблице 2 на стр. 26 приводятся основные формулы, в
которых u=u(x).
Таблица 2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
 du  u  C
u

du 
du
u
u
 1
 1
11)
a
12)
du
1 u 1

 u 2  1 2 ln u  1  C
13)
u
14)

15)

16)

 ln | u | C
du
 cos
1 u
 C ,   1
 sin udu   cos u  C
 cos udu  sin u  C
2
u
 tgu  C
du
 sin 2 u  ctgu  C
u
u
 e du  e  C ,
au
9)  a du 
C
ln a
u
du
10)
2
2
2
 arctgu  C
du
1
u
 arctg  C
2
u
a
a
du
1
ua
 ln
C
2
a
2a u  a
du
1 u
du
2
 arcsin u  C
a2  u 2
du
u k
2
 arcsin
u
C
a
 ln | u  u 2  k | C , k  R
Очевидно, что формулы 10), 12) и 14) являются частными случаями формул
11), 13) и 15) соответственно.
Если f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a;b], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ,
(5.1)
a
где F(x) – какая-либо первообразная для f(x). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.
29
И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):
 ( Af ( x)  Bg ( x))dx  A f ( x)dx  B  g ( x)dx ,
b
b
b
a
a
a
 ( Af ( x)  Bg ( x))dx  A f ( x)dx  B  g ( x)dx .
Пример 5.1. Найти: а)

x  x 1
dx ; б)
x
3
 (x
2
 5 x  3)dx .
1
Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем
свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):

x  x 1
1 1
dx

dx  1 
  dx  5 dx  x 1/ 2 dx 

x
x
x
x


1/ 2
x
 x
 ln | x | C  x  2 x  ln | x | C.
1/ 2




В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):
3

1
3
3
3
3
3
x3
5x
3
2
x
2
x
( x  5  3)dx  x dx  5 dx  3 dx 

 3x 1 
3 1 ln 5 1


1

1
1
1
1 3 1
26 120
44 120
 (33  13 ) 
(5  5 )  3(3  1) 

6

.
3
ln 5
3 ln 5
3 ln 5
5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.
Пример 5.2 Найти: а)

cosln x
dx ; б)
x
3

0
x2
dx .
9  x6
Решение. В примере а) можно заметить, что
dx
 d ln x , а затем воспользоx
ваться формулой 5) при u=lnx:
cosln x
dx  cosln xd ln x  sin ln x  C.
x


30
1
В случае б) x 2 dx  dx3 , а потому в силу 11) при u  x3 получим:
3
3

0
3
x2
1
dx3
1 1
x3
dx 
  arctg
9  x6
3 9  ( x3 ) 2 3 3
3

0
3

0
 1
1
3 3

  arctg
 arctg 0   (arctg 3  0)  .
9
3
27
 9
Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:
1
d ( x n1 )
; e x dx  de x ; cos xdx  d sin x ; sin xdx  d cos x ;
dx  d (ax  b) ; x n dx 
a
n 1
dx
 dtgx ;
cos 2 x
dx
 dctgx ;
sin 2 x
dx
dx
 dartcgx ;
1  x2
1  x2
 d arcsin x .
Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы
интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:
x3  dt  dx 3  dt 
3
3 3
x2
1
dt
2
2
dx

3
x
dx

dt

x
dx

dt
/
3;


9  x6
3 9  t2
0
0
x  0  t  0; x  3  t  3 3


3 3
1 1
t
  arctg
3 3
30
1

 (arctg 3  arctg0)  .
9
27
В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в
выражении присутствует иррациональность вида n ax  b , то можно положить
t  n ax  b или ax  b  t n .
Пример 5.3 Найти: а)


dx
; б)
x 2x  3
2

x 3 1  xdx .
1
Решение. В случае а) имеем
2 x  3  t; 2 x  3  t 2 ;
dx
tdt
dt
2
t



2

arctg
C
((t 2  3) / 2)t
t2  3
x 2 x  3 x  (t 2  3) / 2  dx  tdt
3
3


(после замены применили табличную формулу 11)).
При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.
31
3
7

0
x 1  xdx 
1  x  t 3 ; x  t 3  1;
dx  3t dt ;
2

1

 (t  1)t 3t dt  (t 6  t 3 )dt 
2
3
x  0  t  1; x  7  t  2
3
2
1
1
 t 7 2 t 4 2    27 1   24 1    127 15 
508  105 1209
  3          3
 3

   3

.
 7 1 4 1   7 7   4 4   7
4
28
28


5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид
 udv=uv- vdu ,
для определенного
b
(5.2)
b
b
 udv  uv   vdu  u(b)v(b)  u(a)v( a)   vdu ,
b
a
a
a
(5.3)
a
При этом важно учитывать следующее.
1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на
функции sin x, cos x, e x , a x , то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся
под знаком интеграла выражение относится к dv.
2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические
( arctgx, arcctgx, arcsin x, arccosx ) или логарифмические ( ln x, lg x, log a x )
функции, то в качестве u выбирается одна из них.
Пример 5.4. Найти: а)  ln(3x  2)dx ; б)
ln 2
 xe
x
dx .
0
Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило. Именно,
3dx
полагаем u  ln(3x  2) . Тогда du   ln(3x  2)  ' dx 
. Далее, dx  dv , а пото3x  2
3xdx
му v   dx  x . Следовательно,  ln(3x  2)dx  ln(3x  2)  x  
. В полученном
3x  2
интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда
степень числителя не меньше степени знаменателя):
3x
3x  2  2
2
.

1
3x  2
3x  2
3x  2
Окончательно решение выглядит так:
32

3xdx
2 

 x ln(3x  2)  1 
 dx 
3x  2
3
x

2


dx
2 d (3x  2)
 x ln(3x  2)  dx  2
 x ln(3x  2)  x 

3x  2
3
3x  2
2
 x ln(3x  2)  x  ln(3x  2)  C.
3
ln(3x  2)dx  ln(3x  2)  x 





В примере б) используем (5.3) и первое из правил.
u  x  du  dx
ln 2

x
xe dx 
0

x
x
dv  e dx  v  e dx  e
ln 2
 (ln 2  e
ln 2
 ln 2
 0) 

e x dx  
0
x
  xe
 x ln 2
0


(e x )dx 
0
ln 2  x ln 2
ln 2 1
1  ln 2
e

 (  1) 
.
0
2
2
2
2
5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата
и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)-16).
dx
dx
xdx
Пример 5.5. Найти: а)
; б)
; в)
.
2
2
x  3x  3
x  4x  6
3  6x  x2
Решение. В случае а) действуем следующим образом:
3
9
3
21
x 2  3x  3  ( x  ) 2   3  ( x  ) 2  ,
2
4
2
4
поэтому (с учетом 13) )
x  3/ 2  t ,
dx
dx
dt




2
3 2 21
21
dx

dt
x  3x  3
2
(x  ) 
t 
2
4
4



3
x 
1
t  21 / 2
1
2

ln
C 
ln
2( 21 / 2) t  21 / 2
21
3
x 
2



21
2  C  1 ln 2 x  3  21  C.
21
21 2 x  3  21
2
При решении примера б) потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе ( x 2  4 x  6  ( x  2)2  4  6  ( x  2)2  2 ), получим:
33

x  2  t,
xdx
xdx
(t  2)dt
tdt
dt


x

t

2,



2
.
x2  4 x  6
( x  2) 2  2
t2  2
t2  2
t2  2
dx  dt




dt
1
t

arctg
C .
 t2  2 2
2
В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:
tdt
1 d (t 2  2) 1

 ln | t 2  2 | C .
2
2
t 2 2
t 2
2
Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x, получаем:
Для второго из интегралов в силу 11) (табл.2) имеем:



xdx
1
1
x2
 ln | ( x  2) 2  2 | 2
arctg
C 
x  4x  6 2
2
2
1
x2
 ln | x 2  4 x  6 |  2arctg
 C.
2
2
2
В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:
3  6 x  x 2    x 2  6 x  3    ( x  3) 2  9  3    ( x  3) 2  12   12  ( x  3) 2 .
Далее проводим замену переменной ( x  3  t , dx  dt ) и окончательно имеем:

dx
3  6 x  x2


dx
12  ( x  3) 2


dt
12  t 2
 arcsin
t
x3
 C  arcsin
 C.
12
12
5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании выражений вида sin m x cos n x (где m и n – натуральные числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.
1) Если обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»:
2
sin   (1  cos 2 ) / 2 ; cos2   (1  cos2 ) / 2 .
2) Предположим, что какое-либо из чисел m и n – нечетное. Например,
n=2k+1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют», чтобы внести под знак дифференциала (т.к. cos xdx  d sin x ). В оставшемся выражении
cos 2 k x с помощью основного тригонометрического тождества sin 2 x  cos2 x  1
выражают через sin x ( cos2 k x  (cos2 x)k  (1  sin 2 x)k ). После преобразования
подынтегрального выражения (и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида  sin xd sin x , каждый из которых можно
sin 1 x
найти с помощью формулы 2) из таблицы 2:  sin xd sin x 
C.
 1
Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы

34
1
sin(   ) x  sin(   ) x  ;
2
1
cos( x)cos(  x)   cos(   ) x  cos(   ) x  ;
2
1
sin( x)sin(  x)   cos(   ) x  cos(   ) x  .
2
sin( x)cos(  x) 
(5.4)
(5.5)
(5.6)
Пример 5.6. Найти: а)  sin 5 x cos 4 xdx ; б)  sin15 x cos 4 xdx ; в)  sin 4 2xdx .
Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx,
поэтому действуем по второму правилу, учитывая, что sin xdx  d cos x .
 sin x cos xdx   sin x cos x sin xdx   sin
   (1  cos x) cos xdx    (1  2cos x  cos
5
4
4
2
2
4
4
2
4
x cos 4 xd (cos x) 
4
x)cos4 xd (cos x) 
cos5 x
cos7 x cos9 x
   (cos x  2cos x  cos x)d (cos x)  
2

 C.
5
7
9
4
6
8
В примере б) воспользуемся формулой (5.4), линейностью неопределенного
1
интеграла, равенством dx  dax и табличной формулой 4):
a


sin15 x cos 4 xdx 

1
2
 sin19 x  sin11x  dx 

1 1
1 1
1
1

sin19 xd (19 x)  
sin11xd (11x)   cos19 x  cos11x  C.
2 19
2 11
38
22
В случае в) последовательно понижаем степень, учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные
формулы:
 sin 2 xdx   (sin 2 x)
4
2
2
 1  cos 4 x 
dx  
 dx 
2


1  cos8 x 
dx  2 cos 4 xdx 
dx  
2

2

1
4 x  dx  
4
1 3
2
1
1
1
 3
 
dx 
cos 4 xd (4 x) 
cos8 xd (8 x)dx   x  sin 4 x  sin8 x  C.
4 2
4
2 8
8
64
 8

1
4

 1  2cos 4 x  cos


2



35
5.6. Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной
трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b]
функции f(x), называется область, ограниченная графиком функции y=f(x), осью
OX и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b. Коротко это можно записать так:
T f  ( x, y ) : a  x  b,0  y  f ( x) (см. рис.3).
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что
площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле
b
ST f   f ( x )dx
(5.7)
a
Если область на плоскости имеет вид T  ( x, y) : a  x  b, g ( x)  y  f ( x) (см.
рис.4), причем от обеих функций требуется только непрерывность, то справедлива
формула
b
b
b
a
a
a
ST   f ( x)dx   g ( x )dx    f ( x )  g ( x )  dx .
Рис. 3
(5.8)
Рис. 4
Пример 5.7. Найти площадь области, ограниченной:
а) осью ОХ и линиями y  x, y  1/ x, x  2 ;
б) графиками функций y 2  2 x, x  y  4 .
Решение. Предварительно необходимо построить соответствующие графики
и определить область, площадь которой нужно найти. Для случая а) это сделано
на рис.5 (стр.35). Очевидно, что заштрихованная область представляется в виде
объединения двух криволинейных трапеций: T1  ( x, y) : 0  x  x1,0  y  x и
T2  ( x, y) : x1  x  2,0  y  1/ x . Здесь x1 – абсцисса точки пересечения графи-
36
ков функций y  x, y  1/ x . Нужное значение найдем, решая соответствующую
систему уравнений:
 yx
 yx
y  x




 2
 y  1/ x  x  1/ x
x  1
Таким образом, выбираем решение x1  1 (с учетом того, что x1  0 ). Площади
криволинейных трапеций T1 и T2 находим по формуле (5.7), а затем суммируем,
чтобы получить область всей интересующей нас области:
1
1
x2
1
ST1   xdx 
 ;
2 0 2
0
2
1
1
2
ST2   dx  ln x 1  ln 2; S  ST1  ST2   ln 2 .
x
2
1
В случае б) графики и область, площадь которой надо найти, изображены на
рис.6 (стр.35). Очевидно, что мы имеем дело с объединением двух областей. При


этом T1  ( x, y) : 0  x  x1,  2 x  y  2 x (эта криволинейная трапеция состоит
из двух симметричных относительно оси OX частей, поэтому ST1  2ST ' , где


1


T  ( x, y) : 0  x  x1,0  y  2 x ) и T2  ( x, y) : x1  x  x2 ,  2 x  y  4  x . Как и
'
1
выше, x1 и x2 - абсциссы точек пересечения графиков, которые находим, решая
систему уравнений:
2
2

 y2  2x
(4  x)  2 x  x  10 x  16  0


,

x

y

4
y

4

x
y

4

x




откуда x1  2 и x2  8 . Для вычисления площади криволинейной трапеции T1' применяем формулу (5.7), для вычисления площади T2 - (5.8):
2
ST '  
1
0
8
2
2
2
2
8
2 xdx  2  x dx  2  x3/ 2  2   23  ;
3
3
3
0
0
1/ 2
8
8
x2
2
1/ 2
ST2   (4  x  ( 2 x ))dx   (4  x  2 x )dx  (4 x   2  x 3/ 2 ) 
2
3
2
2
2
 (4  8 
64
2
4
2
2
8 38
 2   83 )  (4  2   2   23 )  0   32  6   .
2
3
2
3
3
3 3
8 38
 18.
Окончательно имеем: S  ST1  ST2  2ST '  ST2  2  
1
3 3
Замечание. Другие примеры, связанные с нахождением неопределенных и
определенных интегралов и определением площадей плоских областей можно
найти в [1, стр.19-24], [2, стр.3-8] и [4, стр.3-11].
37
Рис. 5
Рис.6
ЛИТЕРАТУРА
1. Налбандян Ю.С., Спинко Л.И. Контрольные здания по математическому
анализу. Метод. Указания для студентов заочного отделения экономфака РГУ.
Часть I. - Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1999.
2. Налбандян Ю.С., Спинко Л.И. Контрольные здания по математическому
анализу. Метод. Указания для студентов заочного отделения экономфака РГУ.
Часть II. - Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2001.
3. Абанин А.В., Епифанов О.В., Подпорин В.П. Функции, пределы, производные. Методические указания для студентов ОЗО экономического факультета. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1989.
4. Абанин А.В., Епифанов О.В., Подпорин В.П. Определенный интеграл, функции многих переменных, ряды, дифференциальные уравнения. Методические указания по курсу математического анализа для студентов ОЗО экономического факультета. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1991.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989
(и позднее).
6. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш Кремера. М.: Банки и
Биржи, ЮНИТИ. 1998 (и позднее).
7. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова.
М.: ИНФРА-М. 2000.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М. 2001
9. Фоменко С.В. Математический анализ. Часть I. Ростов-на-Дону. 2001
10. Налбандян Ю.С. Задания для домашних контрольных работ для студентов
специальности «менеджмент организаций» (заочное отделение экономического
факультета РГУ). Ростов-на-Дону, 2004.
38
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ..................................................................................................................... 3
§ 1. Вычисление пределов ........................................................................................ 3
1.1. Основные теоретические положения ....................................................... 3
1.2. Раскрытие неопределенностей вида   ............................................... 4
1.3. Раскрытие неопределенностей вида    ............................................. 5
1.4. Раскрытие неопределенностей вида 0/ 0 ................................................ 6
§ 2. Классификация точек разрыва .......................................................................... 7
§ 3. Дифференцирование функций .......................................................................... 8
3.1. Правила дифференцирования функций одного переменного ............... 8
3.2. Правило Лопиталя вычисления пределов ............................................... 11
3.3. Правила дифференцирования функций двух переменных .................... 13
3.4. Производная по направлению и градиент ............................................... 15
§ 4. Исследование функций ...................................................................................... 17
4.1. Интервалы монотонности и точки экстремума функции y=f(x) ........... 17
4.2. Наибольшее и наименьшее значения функции
одного переменного на числовом отрезке ...................................................... 19
4.3. Направления выпуклости графика функции одного переменного ....... 20
4.4. Построение эскиза графика функции одного переменного................... 21
4.5. Экстремумы функции двух переменных ................................................. 23
4.6. Понятие об условном экстремуме функции двух переменных ............. 25
§ 5. Интегралы и их приложения ............................................................................. 26
5.1. Основные определения и формулы .......................................................... 26
5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной ..................... 27
5.3. Интегрирование по частям ........................................................................ 29
5.4. Подынтегральные выражения, содержащие квадратный трехчлен ..... 30
5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций ............... 31
5.6. Приложения определенного интеграла ................................................... 33
Литература ................................................................................................................. 35