задача оптимизации стратегии управления
advertisement
«Логистика и управление цепями поставок», №3, 2006 Г.Л. Бродецкий Д.т.н., профессор Каф. логистики ГУ-ВШЭ ПЛАНИРОВАНИЕ ДЕФИЦИТА, ПОКРЫВАЕМОГО ПРИ ПОСТАВКАХ, В МНОГОНОМЕНКЛАТУРНЫХ МОДЕЛЯХ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ Введение. Запасы, управление запасами и стратегии оптимального такого управления – на сегодняшний день эти понятия являются атрибутами многих систем логистики. Хорошо известная двойственность влияния уровня запасов на эффективность работы логистических систем является движущей силой для новых разработок специальных оптимизационных моделей управления запасами. В частности, применительно к условиям разрешенного дефицита (например, для ситуаций, когда издержки по содержанию запасов уже сравнимы с потерями из-за дефицита) разработаны модели планирования дефицита (см., например, [1]). Указанные модели позволяют определять оптимальное значение уровня допустимого дефицита и оптимальные параметры пополнения запаса в задачах минимизации общих суммарных издержек. Однако при этом и постановки задач, и модели оптимизации для таких задач не позволяют учитывать важнейший атрибут анализа денежных потоков, характеризующих такие системы управления запасами, обусловливаемый временной стоимостью денег. Чтобы предусмотреть указанную особенность при оптимизации многономенклатурной модели управления запасами, менеджер сталкивается с новыми постановками задач оптимизации таких систем. Естественно, у менеджеров, работающих в соответствующих областях бизнеса, при этом меняется взгляд, как на структуру самих моделей, так и на критерии оптимизации в рамках таких моделей с учетом временной стоимости денег. А именно, в [2] подчеркнуто, что анализ многономенклатурных моделей управления запасами указанного типа связан с разработкой специального подхода или метода, использующего представление соответствующих логистических процессов (поставки, хранение и т.д. в рамках анализируемой системы управления запасами) на основе имеющих место денежных потоков уходящих и приходящих платежей. В рамках такого подхода вводится понятие интенсивности потока доходов и формулируется критерий оптимизации (отличающийся от принятых в классической теории управления запасами), обусловливаемый атрибутами финансового менеджмента. Это – максимизация чистого приведенного дохода на основе максимизации показателя суммарной интенсивности потока доходов соответствующей системы управления запасами. Реализация таких оптимизационных моделей в конкретных ситуациях требует дополнительной их модификации с учетом специфики практического использования, в частности, - стратегий планирования дефицита. При этом менеджерам (логистам, аналитикам, экономистам, предпринимателям, бизнесменам) необходимо знать, насколько существенными окажутся соответствующие отклонения в рекомендациях для основных параметров стратегий управления, и насколько перспективными окажутся возможности повышения эффективности работы таких систем при учете временной стоимости денег в критериальных функциях для соответствующих многономенклатурных моделей управления запасами. Подчеркнем также, что при учете временной стоимости денег решение задачи оптимизации стратегии планирования дефицита при управления запасами уже будет зависеть (в отличие от традиционного случая) от конкретной, принятой в рамках модели схемы выплат издержек хранения (например, из-за специфики соответствующих контрактных условий выплат таких издержек). Указанные выплаты могут быть привязаны к различным вариантам таких схем. В [2] отмечено, что возможные варианты этих схем мало влияют на параметры оптимальной стратегии. Поэтому достаточно провести анализ для любой их них. В данной работе задача оптимизации работы многономенклатурной системы управления запасами с постоянным спросом для стратегии планирования дефицита будет рассмотрена применительно к модели выплаты издержек хранения в соответствии со схемой, называемой в финансовом анализе «пренумерандо», т.е. когда соответствующие выплаты реализуются в момент поставки соответствующей партии заказа (в начале периода хранения). Найденная и представленная в данной работе оптимальная стратегия управления запасами для указанной модификации модели сравнивается (в рамках условного примера) с предлагаемым традиционным аналогом оптимальной стратегии планирования дефицита, когда временная стоимость издержек/доходов не учитывается. Это позволяет иллюстрировать соответствующие отклонения в рекомендациях для основных параметров таких стратегий управления запасами, а также имеющиеся возможности повышения эффективности логистических процессов в системах управления запасами за счёт учёта действующей на рынке временной структуры процентных ставок. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Анализируется модификация классической многопродуктовой модели управления запасами с постоянным спросом, позволяющая учитывать временную стоимость денег применительно к стратегии планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке. Отметим основные атрибуты модели и используемые далее обозначения: N – количество анализируемых видов товаров, называемых далее i-товарами (i = 1 N); Di – объем годового потребления соответствующего товара; C0 – накладные расходы на поставку одной партии заказа; СПi – стоимость единицы i-товара; РПi – прибыль от реализации единицы i-товара; С0Пi – издержки доставки единицы i-товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии; Сhi – годовые издержки хранения единицы i-товара; qi – размер заказа для i-товара в партии поставки (оптимизируемые величины в рамках рассматриваемой модели); Т0 – общий период поставки (в годах), связанный с показателями qi равенствами Т0 = qi /Di (также оптимизируемая величина); r – годовая ставка наращения, действующая на рынке; учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов. 2 Особенность рассматриваемой здесь оптимизационной многономенклатурной модели управления запасами, помимо соответствующей специфики учета временной стоимости издержек/доходов, состоит также в следующем. Далее считаем, что допускается дефицит каждого вида i-товара, который должен быть покрыт при очередной поставке. Модель учитывает издержки дефицита, причем, как и в традиционных для теории таких моделях (см., например, [1]), они будут представлены в виде издержек или штрафов, которые зависят от длительности промежутка времени до его покрытия (формализуются в виде штрафов за каждую единицу времени дефицита для каждой единицы дефицитного товара). А именно, введем дополнительно следующие обозначения: Si – максимально допустимый дефицит для i-товара (параметр, подлежащий оптимизации); (qi – Si) – остаток заказа для i-товара после покрытия дефицита; СВi – издержки из-за дефицита на единицу i-товара за год (этот показатель позволяет учитывать такие потери из-за дефицита i-товара, которые зависят от длительности промежутка времени до покрытия соответствующего дефицита); t1i и t2i – длительности промежутков времени наличия запасов и дефицита соответственно на периоде поставок T0 для i-товара; γi = t2i/T0 – доля времени наличия дефицита (оптимизируемая величина в рамках модели) для i-товара; (1 – γi) – доля времени наличия запасов (также оптимизируемая величина) для i-товара. Применительно к денежным потокам, характеризующим работу соответствующей системы управления запасами, далее принимаем следующее. Уходящие платежи соотносим с начальными моментами каждого периода времени между поставками товара (оплата поставки и выплаты издержек хранения). Приходящие платежи по каждому i-товару на периодах времени отсутствия дефицита соотносим, в среднем, с серединами таких периодов наличия запасов. Приходящие платежи для i-товаров, покрывающих дефицит (с учетом соответствующих издержек дефицита) соотносим с моментом покрытия дефицита, т.е. с моментом поставки очередной партии товаров. Пусть далее знак обозначает соответствующее суммирование по всему анализируемому количеству видов или номенклатуры товаров, т.е. - суммирование по i от 1 до N. Тогда величины анализируемых денежных потоков в рамках интересующей нас модели планирования дефицита (с его покрытием при очередной поставке партии товаров) определяются следующим образом. Для величины уходящих платежей (УПН) на одном интервале времени повторного заказа для партии товаров, которые соотносим с началом каждого такого периода времени, имеем представление УПН = C0 + qi (C0Пi + CПi )+( qi – Si)∙ Chi t1i /2. Подчеркнем, что здесь слагаемое C0 учитывает выплаты в начале периода поставки, обуславливаемые накладными издержками на поставку заказа, которые не зависят от объема товара в поставляемой партии заказа; слагаемое qiC0Пi учитывает соответствующие издержки на поставку, которые зависят от объема заказа каждого iтовара; слагаемое qi CПi учитывает затраты, обусловливаемые стоимостью партии 3 заказа; множители (qi – Si)/2 в последнем слагаемом учитывают количество единиц iтовара, которые имеются, в среднем, на промежутке времени хранения запасов (применительно к одному периоду поставок), а множители Chit1i учитывают издержки хранения на одну единицу i-товара для указанного промежутка времени. Для величины приходящих платежей (ППСi) по i-товару, которые соотносим, в среднем, с серединой каждого соответствующего периода времени работы с iтоваром на промежутках отсутствия дефицита (для такого i-товара), имеем представление ППСi = (CПi + РПi) (qi – Si). Здесь слагаемое ( qi – Si)CПi – «возвращенная» стоимость i-товара в заказе после его реализации, а (qi – Si)РПi – соответствующая прибыль. Подчеркнем дополнительно, что вся указанная денежная сумма (ППСi) будет соотнесена с серединой интервала времени наличия соответствующего i-товара (такие денежные поступления для модели с постоянным спросом будут равномерно распределены на указанном интервале). Это обусловлено тем, что в рамках рассматриваемой модели для учета временной стоимости денег принята схема простых процентов. Для величины суммарных приходящих платежей (ППД), связанных с покрытием дефицита для всех товаров, которые соотносятся по времени с началом следующего периода поставки, имеем представление ППД = (CПi + РПi) Si – T0 ∙CBi∙Si∙ γi/2. Здесь каждое отдельное слагаемое вида (CПi + РПi)S характеризует величину поступлений для i-товара объемом Si, которые имели бы место без издержек дефицита; величина T0 ∙CBi∙Si∙γi /2 – суммарные потери из-за дефицита, связанные с издержками за каждую единицу времени дефицита для каждой единицы дефицитного i-товара на периоде поставки. Вся указанная денежная сумма (ППД) соотносится с моментом покрытия дефицита, т.е. моментом времени очередной поставки партии товаров. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ В данной работе в отличие от классического подхода задача оптимизации стратегии управления запасами рассматривается именно как соответствующая задача финансового анализа, состоящая в максимизации показателя интенсивности потока доходов (или прибыли). Показатель интенсивности потока доходов для систем управления запасами рассматриваемого типа удобно ввести (из-за периодического характера денежных уходящих и приходящих потоков с соответствующим периодом, равным выбираемому интервалу повторного заказа при общих поставках Т= Т0) как интенсивность потока доходов на одном так называемом периоде регенерации. Для этого определим указанный период регенерации для анализируемой многономенклатурной модели системы управления запасами следующим образом: 1) его длительность совпадает с длительностью выбираемого периода общей поставки Т= T0; 4 2) при этом его середина совпадает с началом периода поставки. Тогда интересующие нас денежные потоки применительно к введенному таким образом периоду регенерации можно схематически представить рисунками 1 и 2, где для упрощения иллюстрируется именно ситуация N=2. Учитывая принципы и правила финансовой математики и финансового менеджмента, при анализе потоков платежей на одном периоде регенерации требуется все рассматриваемые выплаты и поступления привести к одному и тому же моменту времени. В качестве такого момента времени далее удобно выбрать именно середину периода регенерации (момент соответствующей поставки). Приведем все денежные потоки (приходящие и уходящие) в рамках одного такого периода к указанному моменту времени. Суммарный полученный результат будет представлять доход на одном периоде регенерации. После того, как значение указанного дохода будет умножено на 1Т, получим показатель интенсивности потока доходов, т.е. доход за единицу времени (причем, в единицах измерения Т, – в качестве которой выбран год). Требование максимизации интенсивности суммарного потока доходов в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег и планируемого дефицита приводит к задаче максимизации следующей целевой функции (обозначаем ее через F) : F max , где функция F = 1/T [ (qi – Si) (CПi + PПi) ∙(1 – d t1i /2) + Si (CПi + PПi) – C0 – – (C0Пi+CПi) qi – CВi Si γiТ /2 – Chi (qi – Si) t1i/2)] определена в области Т > 0 и qi > 0, γi є [0; 1], причем qi и T связаны равенствами Т = qi /Di . Соответствующая точка максимума определит оптимальное значение интервала повторного заказа T0* общих поставок товаров, при котором интенсивность потока доходов будет наибольшей. Обратим внимание на то, что здесь, как это требуется принципами финансового анализа, финансового менеджмента и финансовой математики, соответствующие платежи уже приведены к общему моменту времени. А именно, - они приведены к моменту общей поставки партии товаров. Поэтому приходящие платежи для каждого iтовара, соотнесенные с серединой соответствующего периода времени наличия запасов i-товара, дисконтированы с учетом дисконта d = r/(1+r) к указанному моменту. При этом напомним, что в соответствии с принятыми выше обозначениями параметр Т измеряется в годах, так что соответствующую размерность имеет и представленный здесь показатель F интенсивности потока доходов. ЗАМЕЧАНИЕ. Подчеркнем, что применительно к вырожденному случаю, когда соответственно Chi =0 или CBi =0, а также применительно к граничным ситуациям, когда, например, априори задано, что по i-товарам планируются поставки только такого размера, которые лишь покрывают дефицит (т.е. заведомо принимается γi = 1) либо априори дефицит не планируется (γi = 0), требуется дополнительный анализ. Учитывая крайне специфический характер таких ситуаций для практических приложений, далее здесь они не рассматриваются из-за ограниченности объема статьи. Предлагается рассмотреть их самостоятельно, если возникнет соответствующая потребность. 5 Уровень запаса q2-S2 t12 t22 q1-S1 t11 t12 T0/2 O T0 3T0/2 2T0 Время -S1 -S2 Период регенерации Рис. 1. Иллюстрация понятия периода регенерации. ППС1 ППД O T0/2 ППС2 t12/2 t11/2 T0 3T0/2 УПН Период регенерации Рис. 2. Иллюстрация денежных потоков на периоде регенерации. 6 Время ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДЛЯ СТРАТЕГИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА После простых преобразований (они здесь опускаются из-за ограниченности объема работы) целевая функция F легко приводится к следующему виду C D C D 1 – T hi i ∙ (1 –γi)2 – T Bi i ∙γi 2 Т 2 2 d – T(CПi + PПi) Di ∙ (1 – γi)2 2 F = Di (РПi – С0Пi) – С0 (*) Опуская первое слагаемое, которое не зависит от параметров анализируемой стратегии управления запасами, меняя знак целевой функции на противоположный и умножая при этом для удобства записи на 2, перепишем задачу оптимизации в виде f min, где функция f определяется равенством f = 2C0 /T TDi(1 – γi)2 ∙[Chi + d(CПi+РПi) TDiγi 2∙СВi . При этом значения функции f уже характеризуют соответствующие потери в интенсивности потока доходов при конкретном выборе длительности Т периода повторного заказа (из-за указанного выше «перехода» к противоположному знаку целевой функции). Для нахождения оптимальных параметров стратегии управления запасами, характеризующих точку минимума функции f, выпишем соответствующие условия первого порядка (∂f/∂T = 0 и ∂f/∂γi = 0, где i =1,2,…,N): Di(1 – γi)2 ∙[Chi + d(CПi+РПi) Diγi 2∙СВi – 2С0/T2 = 0, СВi∙γi – [Сhi + d(CПi + РПi)](1 – γi) = 0, i=1,2,…,N. Из второй группы равенств (∂f/∂γi = 0 , i =1,2,…,N ) легко находим: γi = [Сhi + d(CПi + РПi)]/ [Сhi + d(CПi + РПi)+ СВi], 1 – γi = СВi / [Сhi + d(CПi + РПi)+ СВi]. Соответственно из первого равенства для условий первого порядка (∂f/∂T = 0) получаем T D C i hi d (C Пi 2C 0 Р Пi )(1 i ) 2 Di С Вi i2 Как видим, условия первого порядка дают единственное решение для оптимальной стратегии. При этом, очевидно, что это и есть интересующая нас точка, максимизирующая показатель интенсивности потока доходов при планировании дефицита. Окончательно, подставляя в найденное выражение для T соответствующие 7 формулы для γi и 1 – γi , определяем оптимальное значение T* периода повторного заказа при общих поставках для многономенклатурной стратегии планирования дефицита с учетом временной стоимости денег T* 2C 0 D C (C d (C Р )) [Ci Bi d (Chi P Пi) CПi ] hi Пi Пi Вi При этом имеют место следующие положения. Оптимальное значение размера i- заказа (qi*) в партии общей поставки составляет qi* = Di T * Di 2C 0 D C (C d (C Р )) [Ci Bi d (Chi P Пi) CПi ] hi Пi Пi Вi Оптимальное значение уровня максимально допустимого дефицита для i-товара (Si*) составляет Si* = i* qi* = Сhi d (С Пi PПi ) Di Chi d (C Пi PПi ) C Bi 2C 0 D C (C d (C Р )) [Ci Bi d (Chi P Пi) CПi ] hi Пi Пi Вi Оптимальные значения γi* доли времени наличия дефицита для i-товара определяются приведенными выше выражениями для γi. Оптимальные значения (1-γi*) доли времени наличия запасов для i-товара определяются приведенными выше выражениями для (1-γi). Оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов для i–товаров определяется пропорцией i* C d (C Пi РПi ) . hi * С Вi 1 i СРАВНЕНИЕ С ТРАДИЦИОННЫМИ РЕКОМЕНДАЦИЯМИ (БЕЗ УЧЕТА ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ) Для сравнения с известным традиционно используемым результатом модели планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке, но для ситуации, когда временная стоимость денег не учитывается, обратим внимание на следующее. 1. При r=0 (соответственно и d=0) все атрибуты и параметры полученного оптимального решения соответствуют известным традиционным 8 рекомендациям (если, например, N=1, то см. [1] применительно к соответствующей однономенклатурной модели планирования дефицита). 2. При этом для ситуации, когда временная стоимость денег учитывается (т.е. при r>0 и соответственно d>0), расхождение с такими традиционными рекомендациями модели планирования дефицита становятся очевидными. 3. В частности, оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов при учете временной стоимости денег оказывается (применительно к каждому i-товару) более предпочтительным для промежутков наличия дефицита. Это легко видеть из приведенной выше формулы, определяющей отношение γi*/(1-γi*). 4. Соответственно изменятся и рекомендации для параметров Si * и qi * (см. также приведенные выше формулы). А именно: полученные в этой работе формулы для qi * и Si * очевидным образом иллюстрируют следующий факт. При учете временной структуры процентных ставок (r > 0) оптимальный размер заказа для стратегии планирования дефицита должен быть меньшим, чем этого требует общепринятая формула для этого показателя на основе традиционных рекомендаций. Кроме того, оптимальное значение максимально допускаемого дефицита (по отношению к объему поставок), в свою очередь, должно быть большим, чем этого требует соответствующая общепринятая формула для такого показателя на основе указанных традиционных рекомендаций. Соответствующие числовые иллюстрации будут приведены ниже в рамках рассмотренного примера. Полученные здесь результаты для стратегии планирования дефицита применительно к многономенклатурной модели управления запасами можно представить также в более кратком, и при этом в более удобном для расчетов виде. А именно, пусть далее D ( D1 , D2 ,..., DN ) - вектор годового потребления i-товаров; * - вектор, компоненты *i которого определяются формулами *i =(Chi+d(CПi+PПi))/(Chi+CBi+ d(CПi+PПi)), i 1, N ; C B - вектор, компоненты СBi которого определяются формулами СBi = CBi·*i, i 1, N ; D C B - соответствующее скалярное произведение указанных векторов, т.е. это – число, которое ищется по формуле D C B =D1CB1+ D2CB2+ … + DNCBN. Тогда параметры оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модели можно определять по следующим формулам. для ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЕРИОД ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА (при общих поставках) – T0 * 2C0 /( D · CB ) . ЭКОНОМИЧНЫЙ РАЗМЕР ЗАКАЗА (для i-товара при общих поставках) – 9 qi * Di · 2C0 /( D · CB ) . МАКСИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ДЕФИЦИТА (для i-товара при общих поставках) – Smax i i* Di · 2C0 /( D · CВ ) . Для иллюстрации предложенного в этой статье алгоритма нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модификации модели планирования дефицита (позволяющей учитывать временную стоимость денег), а также для иллюстрации изменения таких параметров по сравнению с рекомендациями традиционного подхода (без учета временной структуры процентных ставок) рассмотрим следующую условную ситуацию с тремя видами продуктов. ПРИМЕР. Пусть анализируется оптимальная стратегия организации общих поставок трех видов товаров. Критерий оптимизации - максимизация чистого приведенного дохода для соответствующих логистических операций с учетом издержек допускаемого (планируемого) дефицита по каждому товару. Необходимые в рамках указанного анализа параметры представлены в табл. 1. Табл. 1 Показатели, характеризующие запасы трех видов продукции Продукт Годовое потребление Di Издержки хранения Сhi (в у.е.) Стоимость ед. товара Спi (в у.е.) 1 D1 = 10 000 2 D2 = 20 000 3 D3 = 5 000 Ch1 = 20 Ch2 = 10 Ch3 = 40 Cп1 = 100 Cп2 = 50 Cп3 = 200 Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с классическими рекомендациями, полагаем Cопi = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, пусть при общих поставках накладные расходы на одну поставку составляют С0 = 40 (у.е.); издержки дефицита CВi по i-товару - следующие: СВ1 = 10; CВ2 = 5 и CВ3 = 20 (у.е.). Также для определенности считаем, что Рпi / Cпi = 0,5 (для всех указанных видов продуктов) и принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r =0,2 и соответственно d = 0,1(6). Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модифицированной модели планирования дефицита при общих поставках этих товаров с учетом временной структуры процентных ставок, так и для традиционной модели (без учета временной стоимости денег), и сравним их между собой. РЕШЕНИЕ. В рамках рассматриваемого примера имеем: D = (10 000; 20 000; 5 000) , C h = (20; 10; 40) ; С п = (100; 50; 200), РП = (50; 25; 100), С В = (10; 5; 20); поэтому компоненты вектора (при учете временной стоимости денег), будут следующими 45 20 0,1(6) (100 50) = =0,(81) 1= 20 0,1(6) (100 50) 10 55 10 10 0,1(6) (50 25) 22,5 = =0,(81) 10 0,1(6) (50 25) 5 27,5 90 40 0,1(6) (200 100) = =0,(81) 3= 40 0,1(6) (200 100) 20 110 (как видим, соответствующий оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов, т.е. отношение γi /(1- γi), будет представлен как отношение i 0, (81) = , 1 i 0, (19) т.е. как 4,26:1); соответственно для вектора С В получаем 2= С В = (100,(81); 50,(81); 200,(81))=(8,(18); 4,(09); 16,(36)); для скалярного произведения D CB имеем D CB =10 0008,(18)+20 0004,(09)+5 00016,(36) = 245 454,(54). Находим оптимальное значение Т0 периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег: Т0 = 2 40 / 245454,54 =0,0180534, (т.е., приблизительно, одна неделя). Соответственно, в указанном оптимальном случае (в рамках оптимизационной модели с учетом временной стоимости денег) при общих поставках этих товаров имеем (после округления): оптимальные размеры заказов для i-товаров при общей поставке – q1* = 180, q2* = 361, q3* = 90 ; максимально допустимый дефицит для i-товаров (покрываемый при поставке) – S1*= 147, S1*= 294, S1*= 74 ; годовые издержки хранения Хi* по видам i-товаров ( в у.е.) – Х1* = 60, Х2* = 61 Х3* = 60; накладные расходы на общие поставки этих товаров за год составят 2 215 (у.е.); суммарные указанные годовые потери равны 2 396 (у.е.). Теперь рассчитаем параметры оптимальной стратегии управления запасами для случая традиционно используемого варианта рассматриваемой модели планирования дефицита, когда временная стоимость денег не учитывается. Как уже отмечалось, в указанном случае параметры оптимальной стратегии можно находить по тем же формулам, но с учетом равенства d=0. А именно, при этом получаем: компоненты вектора , будут следующими 20 = 2/3 1= 20 10 11 10 = 2/3 10 5 40 = 2/3 3= 40 20 2= (как видим, соответствующий оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов, т.е. отношение γi /(1- γi), теперь будет представлен уже как отношение i 2/3 = , 1 i 1/ 3 т.е. как 2:1, а не как 4,26:1 при учете временной стоимости денег); соответственно для вектора С В имеем С В = (102/3; 52/3; 202/3)=(20/3; 10/3; 40/3) поэтому скалярное произведение D CB составит: D CB =10 00020/3+20 00010/3+5 00040/3 = 200 000. Для соответствующего рекомендуемого значения Т00 периода повторного заказа при общих поставках имеем: Т00 = 0,02. С учетом такой рекомендации при общих поставках этих товаров получаем (после округления): объемы i-товаров в заказе – q10 = 200, q20 = 400, максимально допустимый дефицит для i-товаров – S1*= 133, S1*=267, q30 = 100 ; S1*= 67; годовые издержки хранения (обозначаем их снова через Хi0) по видам товаров – Х10 = 222, Х20 = 222 Х30 = 222 (у.е.); накладные расходы на общие поставки этих товаров за год составят 2 000 (у.е.); суммарные указанные годовые потери равны 2 666 (у.е.). Как видим, учет временной структуры процентных ставок и в этой ситуации существенно изменяет традиционно рекомендуемые значения указанных параметров стратегии управления запасами. А именно, – рекомендации на основе традиционных формул без учета временной стоимости денег для стратегии планирования дефицита применительно к рассматриваемой условной ситуации этого примера обусловили следующее: 1) завысили объем заказа на 10-11%; 2) занизили значение максимально допустимого дефицита на 10-11%; 3) занизили значение оптимального показателя доли времени допустимого дефицита для интервалов между поставками товара примерно на 20%, что обусловило нарушение оптимального баланса для длительностей соответствующих промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов более, чем на 55%. Определим соответствующее расхождение в интенсивности потока доходов, обусловливаемое отсутствием или наличием учета временной структуры процентных 12 ставок при выборе стратегии управления запасами. Для этого определим указанные интенсивности доходов в следующих случаях. Случай 1. При учете временной стоимости денег и поставках товара партиями оптимальных (с учетом временной стоимости денег) размеров заказов qi* по каждому виду товара для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при найденных выше оптимальных параметрах стратегии управления запасами ) имеем: F(q*) = 1500 000 – 40/0,0180534 – 0,0180534600 000(0,(18))2/2 – –0,0180534300 000(0,(81))2/2 – 0,01805344500 000,1(6)(0,(18))2/2= = 1495570 ( у.е./год) Случай 2. Если временную стоимость денег не учитывать и поставлять товар партиями с размерами заказов qi0 (в рамках традиционных рекомендаций), то для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при соответствующих указанных выше параметрах стратегии управления запасами) имеем: F(q*) = 1500 000 – 40/0,02 – 0,02600 000(1/3)2/2 – – 0,02300 000(2/3)2/2 – 0,024500 000,1(6)(1/3)2/2 = = 1495166 ( у.е./год). Как видим, интенсивность потока доходов с учетом временной структуры процентных ставок возрастает по анализируемой номенклатуре из трех видов товаров на 404 у.е./год. Это – соответствующий экономический эффект в единицах показателя интенсивности потока доходов, который дает оптимизационная модель с учетом временной стоимости денег применительно к анализируемым трем вилам номенклатуры товаров. Указанное отклонение для интенсивностей доходов может, конечно, показаться не очень значительным. Однако необходимо еще учесть, что в реальных системах управления запасами соответствующий перечень номенклатуры товаров будет измеряться сотнями и даже тысячами наименований. Кроме того, при уменьшении длительности интервала времени между общими поставками товаров соответственно уменьшаются как объемы хранимых товаров, так и объемы соответствующих страховых запасов по этим товарам; следовательно, и «замороженные» в них деньги. Поэтому суммарный показатель возможного повышения эффективности работы соответствующей системы управления запасами за счет учета временной структуры процентных ставок применительно ко всей группе товаров может оказаться весьма существенным. Результаты представленного здесь исследования соответственно позволяют сделать следующие выводы. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Разработанные в классической теории традиционные модели планирования дефицита, покрываемого очередной поставкой партии товаров, при оптимизации стратегий управления запасами могут быть улучшены в смысле максимизации показателей эффективности функционирования таких систем (например, максимизации чистого приведенного дохода или максимизации интенсивности потока доходов) за счет учета действующих на рынке процентных ставок (учета временной стоимости денег) при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы в рамках анализируемых логистических процессов. В этой статье показано, что учет временной структуры процентных ставок существенно изменяет традиционно рекомендуемые значения для параметров соответствующей оптимальной 13 стратегии управления запасами. А именно: показано, что рекомендации, не учитывающие временную стоимость денег, 1) завышают объемы или размеры заказов i-товаров в партиях общих поставок; 2) занижают значение показателя максимально допустимого дефицита по iтоварам; 3) занижают значение оптимального показателя доли времени допустимого дефицита по i-товарам на интервале повторного заказа при общих поставках; 4) нарушают оптимальный баланс соответствующих промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов для i-товаров. Суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет соответствующего учета временной стоимости издержек/доходов по всей номенклатуре товаров может оказаться весьма значительным. Автору хотелось бы, чтобы результаты этого исследования помогли менеджерам, работающим в области управления запасами, по-новому ставить и решать задачи оптимизации соответствующих стратегий управления, достигая при этом лучших результатов, причем без дополнительных затрат капитала фирмы. Работа выполнена при поддержке индивидуального исследовательского гранта ГУ-ВШЭ 2005 г. «Возможности повышения эффективности стратегий управления запасами при учете временной стоимости издержек/доходов». Литература 1. Долгов А.П., Козлов В.К., Уваров С.А. Логистический менеджмент фирмы: концепция, методы и модели. СПб.: Изд. Дом «Бизнес-пресса», 2005. – 384 с. 2.Бродецкая Н.Г., Бродецкий Г.Л. Возможности повышения эффективности стратегий управления запасами при учете временной стоимости издержек/доходов. Журн. «Логистика сегодня», № 2, 2005. ------------------------------------------------------------------------------------------------- АННОТАЦИЯ Учитывать ли при оптимизации многономенклатурной модели стратегии управления запасами временную стоимость денег, в частности, если допускается планирование дефицита по каждому виду товара с его покрытием при очередной поставке партии товаров? На какой эффект можно рассчитывать при использовании оптимизационных моделей, которые позволяют реализовать учет действующих на рынке процентных ставок? Чтобы получить ответы на эти и другие вопросы, в статье представлена оптимальная стратегия для модификации традиционной многономенклатурной модели планирования дефицита при управлении запасами с учетом указанной особенности. Показано, что возможности повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости денег могут оказаться весьма привлекательными. 14
