Определенный интеграл - Камышинский технологический

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Волгоград
2008
УДК 517.3 (07)
О – 62
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ: методические указания к практическим
занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. Л. А. Крапивина; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 23 с.
Рассматриваются основные методы вычисления определенных интегралов и задачи на применение определенного интеграла. Содержатся
примеры решения задач и задачи для самостоятельной работы.
Предназначены для студентов СПО специальностей 230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления в промышленности», 140212 «Электроснабжение промышленных предприятий», 151001 «Технология машиностроения», 260704 «Технология текстильных изделий», 080110 «Экономика и бухгалтерский учет в промышленности».
Ил. 13.
Библиогр.: 6 назв.
Рецензент: ст. преподаватель А. А. Кулеша
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2008
Введение
Настоящие методические указания предназначены для всех специальностей среднего профессионального образования (СПО), изучающих
по дисциплине математика тему «Определённый интеграл» в том или
ином объёме. Методические указания написаны в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов в области математики для специалистов СПО.
Методические указания содержат всю основную информацию по теме «Определённый интеграл». Поэтому указания могут широко использоваться студентами:
- на практических занятиях;
- для самостоятельного изучения материала;
- для выполнения индивидуального задания;
- для подготовки к зачету;
- для подготовки к экзамену и т. д.
Новый учебный материал усваивается студентами легче (особенно
имеющими пробелы в довузовской подготовке), если он сопровождается
большим количеством иллюстрирующих его примеров с комментариями
по элементарной математике. Поэтому в методических указаниях теоретический материал изложен кратко и доступно, а примеры рассматриваются более подробно. Задания для самостоятельного решения сопровождаются ответами для самопроверки и самоподготовки студента.
Изложение материала ведется на доступном, но строгом математическом языке.
Методические указания содержат количество задач большее, чем
предполагает учебная программа. Это позволяет преподавателю варьировать количеством и сложностью задач для практических занятий различных специальностей.
3
Тема: Вычисление определенного интеграла и применение
определенного интеграла к решению задач
Продолжительность занятия:
- специальность 230103 Автоматизированные системы обработки информации и управление в промышленности – 2 часа
- специальность 151001 Технология машиностроения - 2 часа
- специальность 260704 Технология текстильных изделий – 1 час
- специальность 140212 Электроснабжение промышленных предприятий
- 2 часа
- специальность 080110 Экономика и бухгалтерский учет в промышленности- 4 часа
Цель занятия. Научить студента вычислять определенные интегралы
и применять их к решению задач.
Порядок проведения:
1) изучить теоретический материал;
2) разобрать предложенный пример;
3) выполнить самостоятельно индивидуальные задания;
4) ответить на контрольные вопросы.
Студент должен:
знать: формулу Ньютона-Лейбница, формулы интегрирования заменой переменной и по частям для определенного интеграла и применения
определенного интеграла к решению задач;
уметь: вычислять определенные интегралы методом замены переменного и по частям и применять определенные интегралы для решения задач.
1. Понятие определённого интеграла
Пусть функция y  f (x) определена на отрезке [a; b], a  b . Выполним следующие действия.
1. С помощью точек x0  a, x1 ,..., xn  b x0  x1  ...  xn  разобьём
отрезок [a; b] на n частичных отрезков [ x0 ; x1 ], [ x1; x2 ],..., [ xn 1; xn ] .
2. В каждом частичном отрезке [ xi 1; xi ] , i=1,2,…,n выберем произвольно точку ci  [ xi 1 ; xi ] и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f (ci ) .
3. Умножим найденное значение функции
f (ci )
xi  xi  xi 1 соответствующего частичного отрезка:
f (ci )  xi .
4. Составим сумму Sn указанных произведений:
n
S n  f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...  f (cn )xn   f (ci )xi .
i 1
4
на длину
Сумма вида
n
 f (c )x
i
i 1
i
называется интегральной суммой функции
y  f (x) на отрезке [a; b] .
Обозначим
 длину
через
  max xi (i  1,2,..., n) .
наибольшего
частичного
отрезка:
5. Найдём предел интегральной суммы, при n   так, что   0 .
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, ни от
выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от
функции y  f (x) на отрезке [a; b] и обозначается
b
 f ( x)dx . Таким обраa
зом,
b
n
 f ( x )dx  lim  f (c )x
n 
a
i
i 1
.
i
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x ) – подынтегральной функцией, f ( x ) dx –
подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [ a; b] - областью (отрезком) интегрирования.
Функция y  f (x) , для которой на отрезке [ a; b] существует опреb
 f ( x)dx , называется интегрируемой на этом отрезке.
делённый интеграл
a
Основные свойства определённого интеграла
b
b
a
a
1. c  f ( x)dx  c  f ( x)dx , где с – число


b
b
b
a
a
a
2. ( f ( x)  g ( x)) dx  f ( x)dx  g ( x)dx



Свойство 2 справедливо для любого конечного числа слагаемых.
3.
b
a
b
4.
a
 f ( x)dx   f ( x)dx

a
b
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , где a<c<b
Свойство 4 позволяет разбивать отрезок интегрирования на части.
Свойство 4 называют аддитивностью определённого интеграла. Свойство
применяют при вычислении площадей фигур.
5
Определённый интеграл применяют для решения геометрических и
физических задач. Например, вычисление площадей фигур, объёмов тел
вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, объёма тел, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и многие другие прикладные задачи.
2. Вычисление определённого интеграла.
Для вычисления определённого интеграла от функции f(x) на отрезке
[a; b] применяют формулу Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ,
a
т.о. для вычисления определённого интеграла
b
 f ( x)dx
надо найти соот-
a
ветствующий неопределённый интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Формулу Ньютона-Лейбница также записывают в виде:
b
b
a
a
 f ( x )dx  F ( x )
 F (b)  F (a )
2
Пример 2.1. Вычислить x 2 dx .

1
Найдём одну из первообразных для функции f ( x)  x 2
x3
x3
 c , т.е. F ( x) 
3
3
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
2
 x dx 
2
x3
1
1
7
 (23  13 )  (8  1) 
31 3
3
3
Решение записывают в виде:
2
2
2
 x dx 
1
x3
1
7
 (23  1) 
31 3
3

Пример 2.2. Вычислить
4
 sin 2 xdx
0


1

 (cos 2   cos 0) 
2
4
0
0
1

1
1
 (cos  cos 0)  (0  1)  
2
2
2
2
4
1
 sin 2 xdx  2 cos 2 x
4
6
Пример 2.3. Вычислить
1
dx
1 x
2
0
1
dx
1 x

0 .
4
4
Задания для самостоятельной работы
 arctgx 0  arctg1  arctg 0 
1
2
0

Задания
Ответы
4
1. 3 x 2 dx

0

2.
256
6
1
3
 sin 3xdx
0
3
3.

dx
1 x
2
12
1
1
1 2
(e  1)
2
4. e 2 x dx

0
2
5.
1
 ln 3
2
dx
 1  2x
1


4
2
6. sin 2 2 xdx

0
Для вычисления определённого интеграла методом подстановки
(замены переменной) полезно находить пределы интегрирования для новой переменной. Приведём примеры.
2
Пример 2.4. Вычислить
 xe
x2
dx
1
2
Пусть t  x , тогда dt  ( x 2 )' dx  2 xdx  dt  xdx
2
Вычислим пределы интегрирования для новой переменной t.
Если x  2 , то верхний предел интегрирования для новой перемен-
ной tверхнее  tв  22  4
Если
x  1 , то нижний предел tнижнее  tн  12  1
Решение записывают в виде:
7
t  x2
tв  4
4
4
4
1 4
1 t
1 t
t dt
xe
dx

dt

2
xdx

e

e
dt

e
 2 (e  e)
tн  1 
1

2 21
2 1
1
dt
 xdx
2
2
x
2

Пример 2.5. Вычислить
2
cos xdx
 2  sin x
0
t  2  sin x
dt  (2  sin x)' dx  cos xdx 3
cos xdx
dt
0 2  sin x  t в  2  sin   2  1  3  2 t  ln t
2
t н  2  sin 0  2  0  2

2
 ln 3  ln 2  ln
3
2
1
3
2
1. sin x  cos 2 xdx

0
4
2. x 16  x 2 dx

21
0
e
3. ln x dx
1 x

2
Задания для самостоятельной работы
Ответы
Задания

3
1
3
1
2
6
4. cos x  esin x dx

e 1
0
2
5. x  ( x 2  1) 3 dx

10
1
1
8
Для вычисления определённого интеграла методом по частям применяют формулу
b
 u  dv  uv
b
b
a
a
  v  du
a

Пример 2.6. Вычислить x sin 2 xdx

0
8

 x sin 2 xdx 
ux
0
du  x' dx  dx

x
  cos 2 x 
1
2
dv  sin 2 x v   sin 2 x   cos 2 x
0
2



1
x
1 1

   cos 2 xdx   cos 2 x   sin 2 x  ( cos 2 
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1

1

 cos 0)  (sin 2  sin 0)   1  0  (0  0)  
2
4
2
4
2
e
Пример 2.7. Вычислить
 x ln xdx
1
e
 x ln xdx 
1
u  ln x du  (ln x)' dx 
dv  xdx v   xdx 
e
e
1
dx
x
e

x2
2
x2
ln x 
2
1
e
e
x2 1
x2
1
x2
1 x2
   dx 
ln x   xdx 
ln x  
2 x
2
21
2
2 2
1
1
1
2
e
(
1
e2
ln e 
2
2
1
1
e
1
1
e
e2 1
 ln 1)  (e 2  1)  (  1   0)  (e 2  1) 

 
2
4
2
2
4
2
4 4
2e 2  e 2  1 1 2

 (e  1).
4
4
Задания для самостоятельной работы
Задания
Ответы

6
5
9
1. (2  x) sin 3xdx

0
1

0
2
2. arcsin xdx

1
0
3. (2 x  3)e  x dx

3e  5
1

2

4. ( x  1) cos xdx

2
0

5.
 x sin xdx

0
9
2
3. Вычисление площадей плоских фигур
Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Определим криволинейные трапеции с основаниями на оси ох и оси
оу и соответствующие формулы для вычисления их площадей.
Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f ( x)  0 , прямыми x  a , x  b (a  b) и осью ох, называется криволинейной трапецией (с основанием на оси ох).
Площадь криволинейной трапеции (рис.1) с основанием на оси ох
вычисляется по формуле
y
y  f ( x)
b
S   f ( x )dx
0
a
x  a
x  b
x
Рис. 1.
x
0
Если f ( x)  0 , т.е. криволинейная трапеция расположена ниже оси
ох (рис.2), то её площадь вычисляется по
x  a
формуле
x  b
.
y
b
S    f ( x)dx
y  f ( x)
a
Рис. 2.
Если для всех x  [a; b] выполняется условие f 2 ( x)  f1 ( x) , т.е.
f 2 ( x)  f1 ( x)  0 , то площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций
y  f1 ( x) , y  f 2 ( x) и прямыми x  a , x  b ,
a  b (рис.3), вычисляется по формуле
y
y  f ( x)
2
b
y  f ( x)
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x)) dx
a
1
0
x  a
x  b
x
Рис. 3.
10
Заметим, что одна из прямых (или обе) могут «стягиваться» в точку.
Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции  ( y )  0 , прямыми y  c , y  d , c  d , и осью оу, называется
криволинейной трапецией (с основанием на оси оу).
Площадь криволинейной трапеции с основанием на оси оу (рис.4)
вычисляется по формуле:
y
y  d
d
S    ( y )dy
y  c
x   ( y)
0
c
x
Рис. 4.
Если  ( y )  0 , т.е. криволинейная трапеция расположена левее оси
оу (рис.5), то её площадь вычисляют по формуле
y
y  d
d
S     ( y )dy
y  c
x   ( y)
c
0
Рис. 5.
x
y  [c; d ] выполняется условие 2 ( y)  1 ( y) , т.е.
Если для всех
2 ( y)  1 ( y)  0 , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиками непрерывных функций
x  2 ( y) , x  1 ( y) и прямыми
y  c , y  d , c  d (рис.6), вычисляется по формуле
y
y  d
d
S   ( 2 ( y )  1 ( y )) dy
y  c
c
x   ( y)
1
x   ( y)
0
x
2
Рис. 6.
Заметим, что одна из прямых (или обе) могут «стягиваться» в точку.
Если плоская фигура не является криволинейной трапецией указанных видов, то её разбивают на криволинейные трапеции прямыми, параллельными оси оу или ох и применяют соответствующие формулы.
Пример 3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x2 1 , x  2 , y  0 , x  0 .
Построим линии, ограничивающие фигуру.
11
y  x 2  1 – парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;1).
x  2 – прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси оу.
y  0 – аналитическое выражение оси ох.
x  0 – аналитическое выражение оси оу.
y
5
2
1
0
1
2
Рис. 7.
x2
x
Построенная фигура (рис.7) является криволинейной трапецией с
основанием на оси ох, поэтому её площадь вычисляется по формуле
b
S   f ( x)dx .
a
f ( x)  x 2  1 , a  0 , b  2 .
2
2
3
Тогда S  ( x 2  1)dx  x  x 2  8  2  2 2  2  4 2 (кв. ед.).

0
0
3
3
0
3
3
Пример 3.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x  2 y  8  0 , y  1, y  3 , x  0 .
Построим линии ограничивающие фигуру.
x  2 y  8  0 – прямая; если x  0 , то 2 y  8  0  y  4 ,
если y  0 , то x  8  0  x  8 .
Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).
y  1 – прямая, параллельная оси ох.
y  3 – прямая, параллельная оси ох.
x  0 – ось оу.
y
y  3
y 1
8
0
x
x  2y  8  0
Рис. 8.
12
Фигура (рис.8) является криволинейной трапецией с основанием на
d
оси оу, поэтому S   ( y )dy .

c
x  2 y  8  0  x  8  2 y  y  8  2 y
c  1, d  3
3
Тогда S  (8  2 y )dy  8 y 3  2 y

1
2 3
2
1
 8(3  1)  (32  12 ) 
1
 16  8  8 (ед2).
Пример 3.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x 2  4 x, y  0 .
Построим линии ограничивающие фигуру.
y  x 2  4 x - парабола, симметричная относительно оси OY. Т.к.
y  x 2  2  2 x  4  4  x  2  4 , то вершина


2; 4 .
Координаты вершины также можно определить по формуле
b
4
x0  

 2,
2a
2 1
y0  2 2  4  2  4.
y  0 - ось OX.
Найдем координаты точек пересечения графиков (рис.9) функций.
2
 y  x 2  4 x,
2
 x  4x  0

y  0
x ( x  4)  0
x  0, x  4
y  0 4
y
0
x
-4
Рис. 9.
Т.о. 0  x  4 , на этом отрезке функция
b
S   f ( x)dx .
a
f ( x)  x 2  4 x, a  0, b  4 .
13
x 2  4 x  0 , поэтому
4
4
4
x3
x2
64
2 2
S    ( x  4 x)dx  
4
   32  10 (ед ).
3 0
2 0
3
3
0
Пример 3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Тогда
2
y  x2 , y  x  2
Построим линии, ограничивающие фигуру.
y  x 2 – парабола, симметричная относительно оси оу, вершина
(0;0).
y  x  2 – прямая, если x  0 , то y  2 ,
если y  0 , то
Найдём точки пересечения линий:
x2  x  2
2
x  2 .
y  x ,
 x2  x  2  0

y  x  2
x  1, x  2
Т.о.  1  x  2, a  1, b  2
f1 ( x)  x 2 , f 2 ( x)  x  2, f 2 ( x)  f1 ( x) (рис.10).
y
y  x2
y  x2
2
-2 -1 0
2
x
Рис. 10.
b
2
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x)) dx   ( x  2  x 2 )dx 
1
a
3 2
x

3
x2
2
2
 2 x 1 
2
1
1
1
3
2
 (4  1)  2(2  1)  (8  1)   6  3  4,5 (ед ).
2
3
2
1
14
Задания для самостоятельного решения
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Ответы
2 ед2
2
8
1. y  x , x  1, x  3, y  0.
3
2. x  2 y  12  0, y  1, y  4, x  0.
21 ед2
3. y  2 x  x 2 , y  x.
1 2
ед
6
4. y  1 x 2 , y  4  x.
2
18 ед2
1 ед2
2
104 ед2
5. x  2 y  4  0, x  y  5  0, y  0.
13
6. y 2  9 x, x  1, x  9.
7. xy  2, x  0, y  1, y  4.
8. y  ln x, y  0, x  2.
2 ln 4 ед2
2 ln 2  1 ед2
9. y  x  3, y  x 2  1.
9 ед2
2
10. y  sin x, x    , x   , x  0.
4
3
3  2 ед2
2
2 ед2
10
3
11. x  4  y 2 , x  0.
12. x 
y , y  1, y  4, x  0.
4
2 ед2
3
13. xy  4, x  y  5.
15
 4 ln 4 ед2
2
14. y  x3 , x  2, x  1, y  0.
4,25 ед2
1 ед2
3
15. y  x 2 , y 2  x.
4. Вычисление объёмов тел вращения
Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной линией y  f (x) , отрезком оси
абсцисс
a  x  b и прямыми x  a, x  b , вычисляется по формуле
b
V x    f 2 ( x )dx .
a
15
Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной линией x   ( y ) , отрезком оси
ординат c  y  d и прямыми y  c, y  d , вычисляется по формуле
d
V y     2 ( y )dy .
c
Пример 4.1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями y  x , x  4, y  0.
Построим ограничивающие линии.
y  x - ветвь параболы, расположенная выше оси OX, т.к. x  0 ;
x  4 - прямая, параллельная оси OY;
y  0 - ось OX.
y
y x
2
1
0
1
2
3
4
y0
x
-2
x4
Рис. 11.
При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси ох образуется тело вращения.
Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох,
b

то объём тела вращения вычислим по формуле Vx   f 2 ( x)dx .
a
По условию y  x , т.е. f ( x) 
этом 0  x  4 , т.е. a  0, b  4.
x , тогда f ( x)  ( x ) 2  x. При
2
2 4
Тогда Vx   xdx    x   (4 2  0)  8 (ед3.)
0
2 0 2
Пример 4.2. Вычислить объём тела, образованного вращением во4
круг оси оу фигуры, ограниченной линиями y 
Построим ограничивающие линии.
16
2
, y  1, y  4, x  0.
x
y
2 - гипербола, ветви которой расположены в I и III координатx
ных углах;
y  1 - прямая, параллельная оси OX;
y  4 - прямая, параллельная оси OX;
x  0 - ось OY.
y
x0
y4
y 1
y
1
0
1
2
2
x
x
x2
Рис. 12.
При вращении криволинейной трапеции (рис.12) вокруг оси оу образуется тело вращения.
Т.к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси оу,
d
то объём тела вращения вычислим по формуле V    2 ( y)dy .
y

c
2
По условию y  2  x  2 , т.е.  ( y )  , тогда  2 ( y )  4 .
y
y2
x
y
При этом 1  y  4 , т.е. c  1, d  4 .
4
4
1
1
Тогда V y   4 dy  4 y  2 dy  4 y
 4

1 y 2
1
1 1
y1
4
4
1
3
3
 4 (  1)  4 ( )  3 (ед .)
4
4
Пример 4.3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями
Построим ограничивающие линии.
y  x 2 , y 2  x.
y  x 2 - парабола с вершиной в точке 0; 0 , симметрична относи-
тельно оси OY;
x  y 2 - парабола с вершиной в точке 0; 0 , симметрична относи-
тельно оси OX.
17
y  4 - прямая, параллельная оси OX;
x  0 - ось OY.
y
y  x2
y2  x2
1
0
1
x
Рис. 13.
При вращении криволинейной трапеции (рис.13) вокруг оси OX образуется тело вращения.
По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём
равен разности двух объёмов: объёма Vx1, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y 2  x, y  0, x  1, и объёма
Vx2, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y  x 2 , y  0, x  1. Т.о. Vx  Vx1  Vx 2
b

Вычислим Vx1   f 2 ( x)dx .
a
Для Vx1: y  f ( x)  x , при этом 0  x  1 . Тогда
2
2
1
1
Vx1    xdx  
0
x2

3
 (ед .)
2 0 2
Вычислим Vx 2  
b
f
2
( x)dx .
a
Для
1
Vx 2    x 4 dx  
0
y  x 2 ,т.
Vx2:
5 1
x
5
0

f ( x)  x 2  f 2 ( x)  x 4 .
е
 (ед3.)
5
Т.о. Vx      5  2  0,3 (ед3.)
2 5
10
18
Тогда
Задания для самостоятельной работы
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линияОтветы
ми:
1. y  3  x, x  0, y  0.
9π ед3
2. y 2  4 x, y  0, x  3.
18π ед3
3. y  sin x,0  x   .
 2 ед3
2
4. y 
1
, x  1, x  3, y  0.
x
2 ед3

3
3
 8
(e  1) ед
4
5. y  e 2 x , x  0, y  0, x  2.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:
1. y  x 2 , y  4.
8π ед3
2. xy  6, y  1, y  6, x  0.
30π ед3
2
3. y  x , x  0, y  2 2.
2
4. x  y  1, y  2, y  5, x  0.
8π ед3
7,5 ед3
96 ед3

5
5. y  x 3 , y  8, x  0.
5. Решение некоторых физических
задач с помощью определённого интеграла
Пусть материальная точка перемещается вдоль оси ох под действием
переменной силы F  F (x) , направленной параллельно оси. Тогда работа,
произведённая силой F при перемещении точки из положения x  a в
положение x  b (a  b) вычисляется по формуле:
b
A   F ( x)dx .
a
Пример 5.1. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м
По закону Гука упругая сила F, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F  kx , где k – коэффициент пропор19
циональности. По условию сила F  100 Н растягивает пружину на
x  0,01 м, т.е. 100  k  0,01  k  10000 . Тогда F  kx  10000 x .
Вычислим работу:
0 , 05
x2
A   10000 xdx  10000
2
0
0 , 05
 5000 x 2
0 , 05
0
 5000  0,052  12,5 (Дж)
0
Определённый интеграл применяют для вычисления пути S прямолинейного движения.
Путь S, пройденный материальной точкой за промежуток времени от
t  a до t  b , равен определённому интегралу от скорости v (t ) :
b
S   v(t )dt
a
Пример 5.2. Вычислить путь, пройденный точкой за 4 секунды от
начала движения, если скорость точки v  2t  4 (м/с).
По условию: v(t )  2t  4, a  0, b  4 .
4
2 4
Тогда S  (2t  4)dt  2 t  4t 4  4 2  4  4  32 (м/с).
0
0
20
Задания для самостоятельного решения
1. Найти работу производимую при сжатии пружины на 0,03 м, если
для сжатия её на 0,005 м нужно приложить силу в 10 Н.
Ответ: 0,9 Дж.
2. Сила упругости пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3 Н. Найти
работу, которую надо произвести, чтобы растянуть эту пружину на 0,05 м
Ответ: 0,075 Дж.
3. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м
Ответ: 125 Дж.
4. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см,
если известно, что для сжатия пружины на 1 см необходима сила в 30 Н.
Ответ: 33,75 Дж.
5. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины а 0,08 м,
если для сжатия её на 0,01 м нужна Сида в 25 Н.
Ответ: 8 Дж.
6. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t )  2t 2  t  1 (м/с).
Найти путь, пройденный за первые 3 с.
Ответ: 16,5 м.
20
7. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t )  2t  a (м/с).
найти значение параметра a , если известно, что за промежуток времени
от
t1  0 до t2  2 (с) тело прошло путь длиной 40 м.
Ответ: a  18 .
8. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t )  12t  t 2 (м/с).
Найти длину пути, пройденного телом от начала пути, до его остановки.
Указание: в моменты начала и остановки скорость тела равна нулю.
Ответ: 288 м.
9. Найти путь, пройденный точкой за третью секунду, зная скорость
её прямолинейного движения v(t )  3t 2  2t  3 (м/с).
Ответ: 11 м.
10. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из
одной точки в одном направлении. одно тело двигалось со скоростью
v1 (t )  3t 2  2t (м/с), другое со скоростью v2 (t )  2t (м/с). определить расстояние между телами через 2 секунды.
Ответ: 8м.
Вопросы для самопроверки
1. Запишите определение определённого интеграла через предел интегральных сумм.
2. Сформулируйте основные свойства определённого интеграла.
3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
4. Запишите формулу интегрирования по частям для определённого
интеграла.
5. Запишите формулы для вычисления площадей плоских фигур.
6. Запишите формулы для вычисления объёмов тел вращения.
7. Запишите формулу для вычисления работы переменной силы.
8. Запишите формулу для вычисления пути прямолинейного движения.
21
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пехлецкий И. Д. математика: учебник – М.: изд. центр. «Академия», «Мастерство», 2002 г, [170-187].
2. Афанасьева О.Н. и др. сборник задач по математике для техникумов.- М., Наука,
1992 г.
3. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1. –М.,
Высшая школа, 1999г.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений. – 7 – изд., стер. – М.: Высшая шк.,2004г.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14 – изд. испр. – М.: Издательство физико – математической литературы, 2000г.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч-1. Учебное издание. – М.: Айрис-пресс, 2003г, [221-232], [239-240], [245-247].
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ..........................................................................................................3
Вычисление определенного интеграла и применение определенного
интеграла к решению задач.............................................................................4
1. Понятие определенного интеграла……………………………………….4
2. Вычисление определенного интеграла…………………………………...6
3. Вычисление площадей плоских фигур………………………………….10
4. Вычисление объемов тел вращения……………………………………..15
5. Решение некоторых физических задач с помощью определенного
интеграла………..............................................………………………….…..19
Вопросы для самопроверки………………………………………………...21
Список рекомендуемой литературы………………………………..….…..25
22
Составитель: Лариса Алексеевна Крапивина
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией автора
Темплан 2008 г., поз. № 35К.
Подписано в печать 10. 04. 2008 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,44. Усл. авт. л. 1,25.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
23