Задача 5.15. В момент времени волновая функция частицы в

Задача 5.15.
В момент времени t  0 волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме
шириной a с бесконечно высокими стенками имеет вид:
  C 1  C 2
где C - некоторая константа,  1 - волновая функция основного состояния, а  2 равновероятная суперпозиция основного и второго возбужденного состояний. Найдите
волновую функцию  ( x, t ) и среднее значение импульса частицы в данном состоянии.
Решение:
Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:
Рисунок 1
, x  0

U ( x)  0, 0  x  a
, x  a

Составим уравнение Шредингера для стационарных состояний для области 0  x  a :
 2 
2m
2
E  0
(1)
 2 2m
 2 E  0
x 2
 2
 k 2  0
2
x
где k 2 
2m
2
(2)
E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
 ( x)  A sin(kx   )
На волновую функцию вида (3) налагаются граничные условия. Из условия
непрерывности следует:
(3)
 (0)  0  sin   0    0
 (a)  0  sin ka  0  ka   n, где n  1, 2,3,...
(4)
Таким образом, собственные волновые функции имеют вид:
 
nx 
a 
 n ( x)  A sin 
(5)
где n  1, 2,3,... - квантовое число. Найдём энергетический спектр частицы в
2m
потенциальной яме данного вида. Так как k 2  2 E , то:
k2 
2m
2
E
 2 n2
a2
 En 
2
2
2ma 2
n2
(6)
Таким образом, в потенциальной яме данного вида, значение энергии частицы может
принимать одно из значений дискретного энергетического спектра (6). Определим
постоянную A в выражении для собственных волновых функций (5), используюусловие
нормировки:
a
2
2

2
2 

dx

1

A
 n
 sin  a nx dx  1  A  a
a
0
0

(7)

Значит, волновые функции собственных состояний имеют вид:
 n ( x) 
2
 
sin  nx 
a
a 
(8)
Волновая функция основного состояния частицы (при n  1 ), имеет вид:
1 
2

sin 
a
a

x

(9)
Волновая функция второго возбуждённого состояния (при n  3 ), имеет вид:
3 
2
 3 x 
sin 

a
 a 
(10)
Равновероятная суперпозиция основного и второго возбуждённого состояний:
 1,3 
1
1
1
1   3 
2
2
2
2

sin 
a
a
 1
x
2

2
 3 x  1   
sin 

 sin 
a
a a
 a 
Таким образом, волновая функция  имеет вид:

 3
x   sin 

 a

x

 2

sin 
a
 a
  C 1  C 1,3  C 
 1  
x
 sin 
a a

 2 1    1
 3  
 C 
sin  x  
sin 
x
a
a 
 a  
 a

 3
x   sin 

 a

x    

(11)