Выбор экономической политики на базе многокритериальной оптимизации

Выбор экономической политики на базе многокритериальной оптимизации
Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Боровский Ю.В., Алшанов Р.А., Боровский Н.Ю.,
Айсакова Б.А.
В работе представлены результаты по выбору эффективной согласованной
экономической политики в сфере экономического роста при многокритериальной
оптимизации на базе двух вычислимых моделей общего равновесия с общими
переменными оптимизации. Показана эффективность применения одного метода
совместной параметрической идентификации исследуемых моделей: CGE модели
секторов экономики и CGE модели с сектором знаний. Найдены согласованные
оптимальные (в смысле функции полезности на базе двух сформулированных критериев средних значений ВВП страны и ВДС инновационного сектора экономики в выбранном
промежутке времени) значения регулируемых параметров.
Key words: вычислимая модель общего равновесия, parametrical identification,
многокритериальная оптимизация.
Введение
Как известно [1], принятие решений по экономической политике в сфере
экономического роста является многоцелевой проблемой, связанной как с выбором
адекватных математических моделей, так и с выбором методов оптимизации и
согласования целей.
В [1, 2, 3] не обсуждается выбор адекватных моделей, обеспечивающих как
решение задачи оценки согласованных оптимальных (с точки зрения функции полезности
на базе критериев, описывающих степень достижения соответствующих целей) значений
экономических инструментов, так и решение задачи эффективной реализации найденных
значений экономических инструментов. В них [1, 2, 3] также, не рассматриваются
вопросы: выбора эффективных методов решения задач параметрической идентификации
для случая большого числа оцениваемых параметров; выбора алгоритма решения задачи
оценки точек Парето области на базе двух и более CGE моделей, имеющих общие
ограничения на эндогенные переменные.
В работе обосновывается выбор двух CGE моделей для решения задачи в сфере
экономического роста по согласованной оптимизации на базе двух целей: максимизации
валовой добавленной стоимости инновационного сектора и максимизации ВВП.
Предложен алгоритм совместной параметрической идентификации указанных моделей.
На основе двух CGE моделей сформулирована двухкритериальная задача оптимизации и
построено Парето множество, на базе которого методом иерархии [4] решена задача
согласованной оптимизации.
1. Представление вычислимых моделей общего равновесия
Выбор адекватных математических моделей для решения задач согласованной
оптимизации и эффективной реализации найденных оптимальных значений
экономических инструментов в рассматриваемой сфере экономического роста
осуществляется в классе CGE моделей.
Рассматриваемые вычислимые модели общего равновесия в общем виде
представляется с помощью следующей системы соотношений [5].
1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных
переменных для двух последовательных лет:
1
𝑥𝑖 (𝑡 + 1) = 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑦𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ), 𝑥𝑖 (0) = 𝑥𝑖0 ,
(1)
Здесь 𝑖 = {1, 2} – номер модели (значение 𝑖 = 1 соответствует CGE модели секторов
экономики и 𝑖 = 2 - CGE модели с сектором знаний) 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛 − 1 – номер года,
дискретное время; 𝑥̃𝑖 (𝑡) = (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑦𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖 (𝑡)) ∈ 𝑅 𝑚𝑖 – вектор эндогенных переменных
системы;
𝑚𝑖,1
(𝑡)) ∈ 𝑋𝑖,1 (𝑡),
𝑚𝑖,2
(𝑡)) ∈ 𝑋𝑖,2 (𝑡),
𝑥𝑖 (𝑡) = (𝑥𝑖1 (𝑡), 𝑥𝑖2 (𝑡), … , 𝑥𝑖
𝑦𝑖 (𝑡) = (𝑦𝑖1 (𝑡), 𝑦𝑖2 (𝑡), … , 𝑦𝑖
𝑧𝑖 (𝑡) =
𝑚
(𝑧𝑖1 (𝑡), 𝑧𝑖2 (𝑡), … , 𝑧𝑖 𝑖,3 (𝑡))
(2)
∈ 𝑋𝑖,3 (𝑡).
Здесь переменные 𝑥𝑖 (𝑡) включают в себя значения основных фондов секторовпроизводителей, остатки средств агентов на счетах в банках и др.; 𝑦𝑖 (𝑡) включают в себя
значения спроса и предложения агентов на различных рынках и др., 𝑧𝑖 (𝑡) – различные
виды рыночных цен и доли бюджета на рынках с государственными ценами для
различных экономических агентов; 𝑚𝑖,1 + 𝑚𝑖,2 + 𝑚𝑖,3 = 𝑚𝑖 ; 𝑢(𝑡) – общий для обеих
моделей
вектор
управляемых
(регулируемых)
параметров,
𝑢(𝑡) =
1 (𝑡), 2 (𝑡),
𝑞 (𝑡))
𝑞
(𝑢
𝑢
…,𝑢
∈ 𝑈(𝑡) ⊂ 𝑅 ; 𝑋𝑖,1 (𝑡), 𝑋𝑖,2 (𝑡), 𝑋𝑖,3 (𝑡), 𝑈(𝑡), – компактные множества
𝑠
с непустыми внутренностями; 𝛼𝑖 = (𝛼𝑖1 , 𝛼𝑖2 , … , 𝛼𝑖 𝑖 ) ∈ 𝐴𝑖 ⊂ 𝑅 𝑠𝑖 - вектор неуправляемых
параметров, 𝐴𝑖 - открытое связное множество; 𝑓𝑖 : 𝑋𝑖,1 (𝑡) × 𝑋𝑖,2 (𝑡) × 𝑋𝑖,3 (𝑡) × 𝑈(𝑡) × 𝐴𝑖 →
𝑅 𝑚𝑖,1 – непрерывное отображение для 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛 − 1.
2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и
взаимодействие агентов на различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения
допускают выражение переменных 𝑦𝑖 (𝑡) через экзогенные параметры и остальные
эндогенные переменные:
𝑦𝑖 (𝑡) = 𝑔𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ).
(3)
Здесь 𝑔𝑖 : 𝑋𝑖,1 (𝑡) × 𝑋𝑖,3 (𝑡) × 𝑈(𝑡) × 𝐴𝑖 → 𝑅 𝑚𝑖,2 - непрерывное отображение, 𝑡 =
0, 1, … , 𝑛.
3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений
равновесных значений рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с
государственными ценами для различных экономических агентов:
𝑧𝑖,𝑄𝑖 +1 (𝑡) = ℎ𝑖 (𝑦𝑖,𝑄𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖,𝑄𝑖 (𝑡), 𝐿𝑖 , 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ).
(4)
Здесь 𝑄𝑖 = 0, 1, … – номер итерации; 𝐿𝑖 – набор из положительных чисел
(настраиваемые константы итераций, при уменьшении их значений экономическая
система быстрее приходит в состояние равновесия, однако при этом увеличивается
опасность ухода цен в отрицательную область; ℎ𝑖 : 𝑋𝑖,2 (𝑡) × 𝑋𝑖,3 (𝑡) × (0, +∞)𝑚𝑖,2 × 𝑈(𝑡) ×
𝐴𝑖 → 𝑅 𝑚𝑖,2 – непрерывное отображение (являющееся сжимающим при фиксированных
𝑥𝑖 (𝑡) ∈ 𝑋𝑖,1 (𝑡), 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝛼𝑖 ∈ 𝐴𝑖 и некоторых фиксированных 𝐿𝑖 . В этом случае
отображение ℎ𝑖 имеет единственную неподвижную точку, к которой сходится
итерационный процесс (3), (4)), 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛.
Вычислимые модели (1), (3), (4) при фиксированных значениях экзогенных
параметров для каждого момента времени t определяет значения эндогенных переменных
𝑥̃𝑖 (𝑡), соответствующие равновесию цен спроса и предложения на рынках товаров и услуг
агентов в рамках следующего алгоритма.
2
1) На первом шаге полагается 𝑡 = 0 и задаются начальные значения переменных
𝑥𝑖 (0)
2) На втором шаге для текущего 𝑡 задаются начальные значения переменных 𝑧𝑖,0 (𝑡)
на различных рынках и для различных агентов; с помощью (2), вычисляются значения
𝑦𝑖,0 (𝑡) = 𝑔𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖,0 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ) (начальные значения спроса и предложения агентов на
рынках товаров и услуг).
3) На третьем шаге для текущего 𝑡 запускается итерационный процесс (4). При этом
для каждого значения 𝑄𝑖 текущие значения спросов и предложений находятся из (3):
𝑦𝑖,𝑄𝑖 (𝑡) = 𝑔𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖,𝑄𝑖 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ) через уточнения рыночных цен и долей бюджетов
экономических агентов.
Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов
и предложений на различных рынках. В результате определяются равновесные значения
рыночных цен на каждом рынке и долей бюджета на рынках с государственными ценами
для различных экономических агентов. Индекс 𝑄𝑖 для таких равновесных значений
эндогенных переменных мы опускаем.
4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента
времени 𝑡 с помощью разностных уравнений (1) находятся значения переменных 𝑥𝑖 (𝑡) для
следующего момента времени. Значение 𝑡 увеличивается на единицу. Переход на шаг 2.
Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами
параметрической идентификации, прогноза и регулирования на заранее выбранных
интервалах времени.
2. Вычислительные эксперименты по нахождению оптимальных значений
регулируемых параметров одной двухкритериальной задачи на базе двух
вычислимых моделей общего равновесия
2.1. Выбор и совместная параметрическая идентификация двух вычислимых
моделей общего равновесия
Эвристической основой выбора двух и более CGE моделей на примере двух целей
может служить следующий алгоритм:
1 шаг: Выбор двух и более CGE моделей по назначению.
2 шаг: Оценка соответствия результатов шага 1 требованиям обеспечения как
решения задачи оценки согласованных, с точки зрения функции полезности на базе
критериев, описывающих степень достижения соответствующих целей, значений
экономических инструментов, так и решение задачи эффективной реализации найденных
значений экономических инструментов.
В работе в рамках первого шага предложенного алгоритма из множества CGE
моделей выбраны две: CGE модель с сектором знаний [5] и CGE модель отраслей
экономики [5], которые предназначены для исследований в рамках экономического роста.
Оценка соответствия выбранных CGE моделей на первом шаге требованиям второго шага
рассматриваемого алгоритма показывает, что совместное рассмотрение CGE модели с
сектором знаний с интегральным рассмотрением всех отраслей экономики (кроме
отраслей науки и образования и инновационного сектора) в виде прочих отраслей
экономики с CGE моделью отраслей экономики позволяет эффективно реализовать
найденные оптимальные значения экономических инструментов на уровне прочих
отраслей (CGE модели с сектором знаний) на базе развёрнутой структуры отраслей
экономики (CGE модели отраслей экономики).
Выбранные CGE модели представлены в следующем порядке:
Рассматриваемая модель описывает поведение и взаимодействие на 46 товарных
рынках и 16 рынках рабочей силы следующих 19 экономических агентов (секторов).
Экономический агент № 1. Сельское хозяйство, охота и лесоводство;
3
Экономический агент № 2. Рыболовство, рыбоводство;
Экономический агент № 3. Горнодобывающая промышленность;
Экономический агент № 4. Обрабатывающая промышленность;
Экономический агент № 5. Производство и распределение электроэнергии, газа и
воды;
Экономический агент № 6. Строительство;
Экономический агент № 7. Торговля; ремонт автомобилей и изделий домашнего
пользования;
Экономический агент № 8. Гостиницы и рестораны;
Экономический агент № 9. Транспорт и связь;
Экономический агент № 10. Финансовая деятельность;
Экономический агент № 11. Операции с недвижимым имуществом, аренда и услуги
предприятиям;
Экономический агент № 12. Государственное управление;
Экономический агент № 13. Образование;
Экономический агент № 14. Здравоохранение и социальные услуги;
Экономический агент № 15. Прочие коммунальные, социальные и персональные
услуги;
Экономический агент № 16. Услуги по ведению домашнего хозяйства;
Часть выпущенного продукта экономических агентов - производителей товаров и
услуг № № 1–16 используется в производстве, другая часть уходит на инвестиции, а
третья продается домашним хозяйствам. Агенты–производители торгуют между собой
промежуточными и инвестиционными товарами.
Экономический агент № 17. Совокупный потребитель, объединяющий в себя
домашние хозяйства;
Совокупный потребитель покупает потребительские товары, производимые
агентами–производителями. Кроме того, он покупает импортные товары, предлагаемые
внешним миром.
Экономический агент № 18. Правительство, представленное совокупностью
центрального, региональных и местных правительств, а также внебюджетными фондами.
Правительство устанавливает налоговые ставки и определяет сумму субсидий агентампроизводителям и размеры социальных трансфертов домашним хозяйствам. Кроме того, в
этот сектор входят некоммерческие организации, обслуживающие домашние хозяйства
(политические партии, профсоюзы, общественные объединения и т. д.);
Экономический агент № 19. Банковский сектор, включающий в себя Национальный
банк и коммерческие банки.
Здесь экономические сектора № 1-16 являются агентами производителями.
Модель отраслей экономики представляется в рамках общих выражений
соотношений (1), (3), (4) соответственно 𝑚1,1 = 67, 𝑚1,2 = 597, 𝑚1,3 = 34 выражениями, с
помощью которых рассчитываются значения ее 698 эндогенных переменных. Эта модель
также содержит 2045 оцениваемых экзогенных параметров.
CGE модель с сектором знаний описывает поведение и взаимодействие на 9
товарных рынках и 2 рынках рабочей силы следующих 7 экономических агентов:
Экономический агент № 1 — сектор науки и образования (знаний),оказывающий
услуги по обучению студентов и производству знаний;
Экономический агент № 2 — инновационный сектор, представляющий собой
совокупность инновационно – активных предприятий и организаций;
Экономический агент № 3 – прочие отрасли экономики;
Экономический агент № 4 – совокупный потребитель, объединяющий в себя
домашние хозяйства;
Экономический агент № 5 – правительство;
Экономический агент № 6 — банковский сектор.
4
Здесь экономические сектора № 1, 2, 3 являются агентами производителями.
Модель с сектором знаний представляется в рамках общих выражений соотношений
(1), (3), (4) соответственно 𝑚2,1 = 12, 𝑚2,2 = 88, 𝑚2,3 = 10 выражениями, с помощью
которых рассчитываются значения ее 110 эндогенных переменных. Эта модель также
содержит 86 оцениваемых экзогенных параметров. Из них 𝑠0 = 9 оцениваемых
параметров являются общими для двух рассматриваемых моделей.
Задача параметрической идентификации рассматриваемой пары исследуемых
макроэкономических математических моделей состоит в нахождении оценок неизвестных
значений их параметров в заданной области, при которых достигается минимальное
значение целевой функции, характеризующей:
- отклонения значений выходных переменных модели от соответствующих
наблюдаемых значений (известных статистических данных);
- расхождения между значениями эндогенных переменных двух моделей, имеющих
одинаковый смысл;
и при дополнительном условии совпадения соответствующих значений 𝑠0 общих для
обеих моделей оцениваемых параметров.
Эта задача сводится к нахождению минимального значения функции нескольких
переменных (параметров) в некоторой замкнутой области Ω евклидова пространства с
ограничениями вида (2), накладываемыми на значения эндогенных переменных. В случае
большой размерности области возможных значений искомых параметров, стандартные
методы нахождения экстремумов функции часто бывают неэффективными в связи
наличием нескольких локальных минимумов целевой функции. Ниже предлагается
алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической идентификации
макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную проблему «локальных
экстремумов»
В качестве области из множества 𝑈 × 𝐴1 × 𝐴2 × 𝑋1,1 × 𝑋2,1 для оценки возможных
𝑞+𝑠+𝑚
значений экзогенных параметров рассматривалась область вида Ω = ∏𝑗=1 1[𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ], где
[𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ] - промежуток возможных значений параметра 𝜔𝑗 , 𝑗 = 1, … , (𝑞 + 𝑠1 + 𝑠2 − 𝑠0 +
𝑚1,1 + 𝑚2,1 ). При этом оценки параметров, для которых имелись наблюдаемые значения,
искались в малых промежутках [𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ] с центрами в соответствующих наблюдаемых
значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках,
покрывающих наблюдаемые значения (в случае нескольких таких значений). Прочие
промежутки [𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ] для поиска параметров выбирались с помощью косвенных оценок их
возможных значений. Для нахождения минимальных значений непрерывной функции
нескольких переменных 𝐹: Ω → 𝑅 с дополнительными ограничениями на эндогенные
переменные вида (2) в вычислительных экспериментах использовался алгоритм
направленного поиска Нелдера - Мида [6]. Применение этого алгоритма для начальной
точки 𝜔1 ∈ Ω можно интерпретировать в виде сходящейся к локальному минимуму 𝜔0 =
argmin 𝐹 функции 𝐹 последовательности {𝜔1 , 𝜔2 , … }, где 𝐹(𝜔𝑗+1 ) ≤ 𝐹(𝜔𝑗 ), 𝜔𝑗 ∈ Ω; 𝑗 =
Ω,(2)
1,2, … В описании следующего алгоритма мы будем считать, что точка 𝜔0 может быть
найдена достаточно точно.
Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемых моделей на
основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума
двух различных функций предложены два критерия следующего типа:
𝐾𝐴 (𝜔) =
𝑛𝑖,𝐴
√
∑𝑡2 (∑2𝑖=1 ∑𝑗=1
𝛼𝑖,𝑗
𝑛𝛼 (𝑡2 −𝑡1 +1) 𝑡=𝑡1
1
5
𝑗
(
𝑗∗
𝑦𝑖 (𝑡)−𝑦𝑖 (𝑡)
𝑗∗
𝑦𝑖 (𝑡)
2
𝑛
𝑢,𝐴
) + ∑𝑗=1
𝛼𝑢,𝑗 (
𝑗
𝑗
𝑦1 (𝑡)−𝑦2 (𝑡)
𝑗
𝑦2 (𝑡)
2
) ),
𝐾𝐵 (𝜔) =
𝑛𝑖,𝐵
√
∑𝑡2 (∑2𝑖=1 ∑𝑗=1
𝛽𝑖,𝑗
𝑛𝛽 (𝑡2 −𝑡1 +1) 𝑡=𝑡1
1
𝑗
𝑗∗
𝑦𝑖 (𝑡)−𝑦𝑖 (𝑡)
(
𝑗∗
𝑦𝑖 (𝑡)
2
𝑛
𝑗
2
𝑗
𝑦1 (𝑡)−𝑦2 (𝑡)
𝑢,𝐵
) + ∑𝑗=1
𝛽𝑢,𝑗 (
𝑗
𝑦2 (𝑡)
) ).
(5)
𝑗
𝑗∗
Здесь {𝑡1 , … , 𝑡2 } – промежуток времени идентификации; 𝑦𝑖 (𝑡), 𝑦𝑖 (𝑡) –
соответственно расчетные и наблюдаемые значения выходных переменных i-ой модели,
𝐾𝐴 (𝜔) – вспомогательный критерий, 𝐾𝐵 (𝜔) – основной критерий; 𝑛𝑖,𝐵 – количество
наблюдаемых эндогенных переменных i-ой модели, 𝑛𝑖,𝐵 > 𝑛𝑖,𝐴 ; 𝑛𝑢,𝐵 - количество
эндогенных переменных двух моделей, имеющих одинаковый смысл, 𝑛𝑢,𝐵 > 𝑛𝑢,𝐴 ; 𝛼𝑖,𝑗 > 0,
𝛼𝑢,𝑗 > 0, 𝛽𝑖,𝑗 > 0 и 𝛽𝑢,𝑗 > 0 – некоторые весовые коэффициенты, значения которых
определяются в процессе решения задачи параметрической идентификации динамических
𝑛𝑖,𝐴
𝑛𝑖,𝐵
𝑛𝑢,𝐴
𝑛𝑢,𝐵
систем; ∑2𝑖=1 ∑𝑗=1
𝛼𝑖,𝑗 + ∑𝑗=1
𝛼𝑢,𝑗 = 𝑛𝛼 , ∑2𝑖=1 ∑𝑗=1
𝛽𝑖,𝑗 + ∑𝑗=1
𝛽𝑢,𝑗 = 𝑛𝛽 .
Алгоритм решения задачи параметрической идентификации пары моделей был
выбран в виде следующих этапов.
1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров 𝜔1 ∈ Ω,
решаются задачи 𝐴 и 𝐵, в результате находятся точки 𝜔𝐴0 и 𝜔𝐵0 минимума критериев 𝐾𝐴 и
𝐾𝐵 соответственно.
2. Если для некоторого достаточно малого числа 𝜀 верно неравенство 𝐾𝐵 (𝜔𝐵0 ) < 𝜀,
то задача параметрической идентификации моделей (1), (3), (4) решена.
3. В противном случае, используя в качестве начальной точки 𝜔1 точку 𝜔𝐵0 ,
решается задача A, и, используя в качестве начальной точки 𝜔1 точку 𝜔𝐴0 , решается
задача B. Переход на этап 2.
Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить
искомым значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного
критерия с помощью другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической
идентификации.
В результате совместного решения задач A и B согласно указанному алгоритму на
базе статистических данных Республики Казахстан за 2000-2008 г.г. c использованием
алгоритма Нелдера-Мида [6] были получены значения 𝐾𝐴 = 0.044 и 𝐾𝐵 = 0.026. При этом
средняя относительная величина отклонений расчетных значений переменных
используемых в основном критерии от соответствующих наблюдаемых значений, а также
отклонений значений общих для двух моделей переменных модели 1 от соответствующих
значений переменных модели 2 составила менее 0.26%.
Результаты просчета и ретроспективного прогноза модели на 2008 г., частично
представленные в таблице 1 демонстрируют расчетные (𝑌1 , 𝑌𝑔𝑖 , 𝑃𝑖 ), наблюдаемые
значения и отклонения расчетных значений основных выходных переменных моделей от
соответствующих наблюдаемых значений. Здесь промежуток времени 2000 - 2007 гг.
соответствует периоду параметрической идентификации моделей; 2008г.- период
ретропрогноза; 𝑌1 – валовый выпуск (× 1012 тенге, в ценах 2000 года, тенге – денежная
единица Республики Казахстан; аналог переменной 𝑌1 у второй модели отсутствует); 𝑌𝑔𝑖 –
ВВП (× 1012 тенге, в ценах 2000года); 𝑃𝑖 – индекс потребительских цен в процентах к
предыдущему году; знак «*» соответствует наблюдаемым значениям, знак «Δ»
соответствует отклонениям (в процентах) расчетных значений эндогенных переменных от
соответствующих наблюдаемых значений.
6
Таблица 1. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных моделей и
соответствующие отклонения.
Год
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
𝑌1∗
5.44
6.32
6.47
6.86
7.72
8.52
9.25
9.69
9.84
𝑌1
5.36
6.28
6.41
6.80
7.68
8.49
9.23
9.55
9.66
𝛥𝑌1
-1.51
-0.55
-0.9
-0.87
-0.45
-0.33
-0.26
-1.4
-1.89
𝑌𝑔𝑖∗
2.45
2.78
3.05
3.36
3.72
4.09
4.55
5.01
5.18
𝑌𝑔1
2.45
2.76
3.03
3.33
3.72
4.09
4.55
5.01
5.22
𝑌𝑔2
2.43
2.80
3.05
3.35
3.74
4.07
4.57
5.05
5.21
Δ𝑌𝑔1
-0.13
-0.69
-0.71
-0.72
-0.13
0.01
0.03
-0.07
0.86
Δ𝑌𝑔2
-0.70
0.75
0.08
-0.38
0.51
-0.39
0.46
0.85
0.53
𝑃𝑖∗
106.4
106.6
106.8
106.7
107.5
108.4
118.8
109.5
𝑃1
107.8
108.8
108.4
107.5
107.2
108.1
117.4
109.3
𝑃2
104.6
105.8
106.4
105.9
107.2
108.1
118.5
109.3
Δ𝑃1
1.35
2.11
1.52
0.83
-0.24
-0.25
-0.30
-0.16
Δ𝑃2
-1.73
-0.77
-0.36
-0.72
-0.31
-0.32
-0.29
-0.15
2.2. Согласованная оптимизация на базе двух вычислимых моделей общего
равновесия
В работе рассматривается многоцелевой (двухцелевой) выбор оптимальной
экономической политики с двумя независимыми по предпочтению критериями,
характеризующими ВВП и ВДС инновационного сектора на базе двух CGE моделей
(CGE модели отраслей экономики и CGE модели с сектором знаний) с их
малоотличающимеся эндогенными переменными, имеющими одинаковый смысл.
Формулировка рассматриваемой задачи имеет вид:
1
1
2015
𝐾1 = 5 ∑2015
̅̅̅̅ и 𝐾2 = ∑𝑡=2011 𝑌22 (𝑡) → max 𝑂 𝑗 (𝑡),𝑗=1,16
̅̅̅̅̅̅ .(6)
𝑡=2011 𝑌𝑔1 (𝑡) → max 𝑂𝑘 (𝑡),𝑘=1,3
5
На базе двух CGE моделей (CGE модели отраслей экономики и CGE модели с
сектором знаний), дополнительно имеющих следующие ограничения на эндогенные
переменные, имеющие одинаковый смысл.
𝑗
𝑗
𝑦1 (𝑡) ∈ 𝑌1 (𝑡), 𝑦2 (𝑡) ∈ 𝑌2 (𝑡), |𝑦1 (𝑡) − 𝑦2 (𝑡)| ≤ 𝜀𝑗
(7)
Дополнительные ограничения на рост уровня потребительских цен, в рамках -ой
CGE модели, имеют следующий вид:
𝑃𝑖 (𝑡) ≤ 1.09𝑃̅𝑖 (𝑡); 𝑡 = 2011, … , 2015; 𝑖 = 1, 2.
(8)
Ограничение на уровень дополнительных инвестиций, вкладываемых в рамках двух
CGE моделей, имеет вид:
16
3
2015
𝑘
12
∑2015
𝑡=2011 ∑𝑘=1 𝑂 (𝑡) = ∑𝑡=2011 ∑𝑗=1 𝑂𝑗 (𝑡) ≤ 11.5 ∙ 10 .
(9)
𝑘
𝑘
𝑘
3
Здесь 𝑂𝑘 (𝑡) = ∑16
𝑗=1 𝑂𝑗 (𝑡), 𝑂𝑗 (𝑡) = ∑𝑘=1 𝑂𝑗 (𝑡), при этом некоторые 𝑂𝑗 (𝑡) = 0, как не
имеющие экономического содержания. Так 𝑂𝑗1 (𝑡) = 0 при 𝑗 = 1, … ,10, 12, 14,15,16 и
3 (𝑡)
𝑂13
= 0.
7
При приведённой формулировке двухкритериальной задачи соответствующие
обозначения имеют следующие содержания:
𝑌𝑔𝑖 – ВВП (× 1012 тенге, в ценах 2000года);
𝑌22 (𝑡) – gross value added of the second model’s innovative sector in the year 𝑡 (× 1010
tenge, in prices of 2000);
𝑌1 и 𝑌2 – заданные множества;
𝜀𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑛𝑢,𝐵 – заданные малые числа;
𝑃̅𝑖 (𝑡) – расчётный уровень потребительских цен i-ой моделей без оптимизации;
𝑃𝑖 (𝑡) – уровень потребительских цен с оптимизацией.
𝑂𝑘 (𝑡) – дополнительные инвестиции, идущие на субсидирование отраслейпроизводителей CGE модели с сектором знаний;
𝑂𝑗 (𝑡) – дополнительные инвестиции, идущие на субсидирование отраслейпроизводителей CGE модели отраслей экономики;
11.5 ∙ 1012 – объём инвестиций на период 2011 – 2015 годы (в тенге);
𝑗 = 1, … ,16 – номер отрасли модели 1;
𝑘 = 1, 2, 3 – номер отрасли модели 2;
𝑂𝑗𝑘 (𝑡) ≥ 0 - дополнительные инвестиции, идущие в год t на субсидирование j-ой
отрасли первой модели, при субсидировании k-ой отрасли второй модели.
Для сформулированной двухкритериальной задачи с использованием алгоритма
Нелдера–Мида [6] была построена оценка П множества Парето в виде набора точек на
плоскости (𝐾1 , 𝐾2 ), представленная на рисунке 1. На рисунке 1 точки Парето множества П
для наглядности последовательно соединены непрерывной линией.
Пусть предпочтения лица принимающего решения (ЛПР) в рамках
двухкритериальной задачи (6) на базе рассматриваемых моделей с ограничениями (7), (8),
(9) определяются с помощью линейной функции полезности вида
𝑈(𝐾1 , 𝐾2 ) = ∑2𝑖=1 𝑊𝑖 𝐾𝑖 /𝐾𝑖0 → max
(10)
Здесь 𝑊𝑖 > 0 – веса, значения которых заранее не известны; но предполагается, что
∑2𝑖=1 𝑊𝑖 = 1.
В рамках определения значений весов 𝑊𝑖 ЛПР сообщает не сами значение весов, а
показатель относительной важности 𝑎1,2 для пары критериев (𝐾1 , 𝐾2 ). В этом случае ЛПР
𝑊
определяет число 𝑎1,2 = 𝑊1. Добавляя сюда условие 𝑊1 + 𝑊2 = 1, получим систему из
2
двух уравнений с двумя неизвестными, из которой получаем
𝑊1 =
1
1+𝑎1,2
; 𝑊2 = 1 − 𝑊1.
(11)
Сформулируем следующую задачу оптимизации функции полезности на базе двух
целевых функционалов задачи двухкритериальной оптимизации по синтезу оптимального
закона параметрического регулирования.
Задача 1. На базе двух CGE моделей (модели отраслей экономики и модели с
сектором знаний) с общими эндогенными переменными и для заданного показателя
относительной важности 𝑎1,2 для пары критериев (6) найти такой набор дополнительных
направляемых в отрасли экономики страны инвестиций 𝑂𝑘 (𝑡) и 𝑂𝑗 (𝑡), удовлетворяющий
условию (9), чтобы соответствующие ему решения исследуемых CGE моделей
удовлетворяли для указанных значений времени условиям (7) - (8) и доставляли максимум
функции полезности (10).
Согласование целей на базе сформулированной двухкритериальной задачи
оптимизации можно осуществить следующим образом:
8
Путём взаимодействия с ЛПР в процессе решения сформулированной
двухкритериальной задачи, определяется оптимальная (в смысле критерия (10) со
значениями весов (11)) точка 𝐴(𝐾1𝑚 , 𝐾2𝑚 ) ∈ Π и значения долей дополнительных
инвестиций 𝑂𝑗𝑘 (𝑡) по значениям критериев 𝐾1𝑚 , 𝐾2𝑚 .
На рисунке 1, например, отмечена точка 𝐴(6.27, 4.30) ∈ Π представляющая решение
второго этапа рассматриваемой задачи оптимизации для случая 𝑎1,2 = 1, (𝑊1 = 𝑊2 = 0.5).
Наклонная прямая проходящая точку A – это линия уровня (equipotential line) функции
полезности (10) для рассматриваемого случая, соответствующая максимальному значению
этой функции на множестве Π.
Анализ представленной на рисунке 1 оценки Π множества Парето показывает, что
при различных значениях выбираемого ЛПР показателя 𝑎1,2 возможны только следующие
ситуации.
1. Если 𝑎1,2 < 0.217, то решению задачи 1 соответствует точка 𝐵(5.89, 4.36) ∈ Π.
2. Если 𝑎1,2 ≈ 0.217, то задача 1 имеет два решения, которым соответствуют точки B
и A.
3. Если 0.217 < 𝑎1,2 < 1.373, то решению задачи 1 соответствует точка A.
4. Если 𝑎1,2 ≈ 1.373, то задача 1 имеет два решения, которым соответствуют точки A
и 𝐶(6.28, 4.29) ∈ Π.
5. Если 𝑎1,2 > 1.373, то решению задачи 1 соответствует точка C.
Рис. 1. Оценка множества Парето для задачи 1.
Заключение
Показана эффективность предложенного метода совместной параметрической
идентификации двух большеразмерных CGE моделей.
Предложен эффективный метод выбора согласованной экономической политики в
сфере экономического роста на базе постановки и решения многокритериальной
(двухкритериальной) задачи оптимизации в среде двух CGE моделей.
Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении
эффективной государственной экономической политики в сфере экономического роста.
Литература
9
[1] F.J. Andre, M.A. Cardenete, & C. Romero, Designing public policies: An approach based on multi-criteria
analysis and computable general equilibrium modeling, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems,
(642), Springer, 2010.
[2] R.L. Keeney, H. Raiffa, Decisions with multiple objectives: preferences and value tradeoffs (Cambridge
University Press, 1993).
[3] E. Triantaphyllou, Multi-criteria decision making methods: a comparative study (Kluwer Academic Publishers,
2002).
[4] T. L. Saaty, The analytic hierarchy process: planning, priority setting, resource allocation (McGraw-Hill,
1980).
[5] V.L. Makarov, A.R. Bakhtizin, & S.S Sulakshin, The use of computable models in public administration
(Moscow: Scientific Expert, 2007, in Russian).
[6] J.A Nelder, R. Mead, A simplex method for function minimization, The Computer Journal, (7), 1965, 308-313.
10