Д.В. Кузьмин Моделирование динамики мехатронных систем
advertisement
Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет Д.В. Кузьмин МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ. УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ Монография Архангельск 2008 УДК 519.8:621.865.8 ББК 30.2 Рецензент: В.И. Малыгин, доктор технических наук, профессор кафедры технологии металлов и машиностроения (Севмашвтуз, филиал Санкт-Петербургского государственного морского технического университета, г. Северодвинск) К 89 Кузьмин, Д.В. Моделирование динамики мехатронных систем. Уравнения и алгоритмы: монография / Д.В. Кузьмин. – Архангельск: Арханг. гос. техн. ун-т, 2008. – 120с. ISBN 978-5-261-00396-0 Рассмотрены особенности мехатронных систем с точки зрения проектирования, сформулирована задача автоматизации математического моделирования динамики мехатронных систем с использованием компьютеров. Приведены теоретические положения метода связных графов, на основе которого разработаны алгоритмы автоматизированного формирования уравнений кинематики и динамики многозвенных механизмов, ориентированные на использование возможностей современных аппаратных и программных средств автоматизации вычислений. Получены связные графы, описывающие динамику функциональных элементов электромеханических и гидравлических приводов мехатронных систем. Результаты теоретических исследований сопровождаются подробными примерами расчетов, выполненными с использованием математического пакета программ Mathcad 2001. Предназначена для инженеров и научных работников, специализирующихся в разработке САПР роботов-манипуляторов и других мехатронных систем, а также для студентов вузов, изучающих моделирование и автоматизированное проектирование мехатронных систем. Ил. 47. Табл. 3. Прил. 2. Библиогр. 50 назв. Ил. 47. УДК 519.8:621.865.8 ББК 30.2 Рекомендовано к изданию ученым советом Архангельского государственного технического университета ISBN 978-5-261-00396-0 © Архангельский государственный технический университет, 2008 © Кузьмин Д.В., 2008 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая монография посвящена математическому моделированию динамики мехатронных систем с пространственными многозвенными механизмами методом связных графов, а также вопросам автоматизации на основе данного метода процессов формирования дифференциальных уравнений динамики мехатронных систем. Автоматизация моделирования и исследования динамики мехатронных систем (в том числе и роботовманипуляторов) с использованием компьютеров является в настоящее время одной из актуальных задач мехатроники, так как существует необходимость разработки и внедрения эффективных САПР мехатронных систем различного целевого назначения. Интерес автора, как и многих других исследователей, к методу связных графов основывается на том, что данный метод имеет началом системный подход к сложному, физически неоднородному объекту изучения, каким и является мехатронная система. Применение метода связных графов в задачах моделирования мехатронных систем позволяет не только получать дифференциальные уравнения динамики, но и связный граф, по которому можно визуально анализировать динамические взаимовлияния между элементами системы; при этом уравнения динамики системы следуют из связного графа, в результате применения к его узловым точкам законов Кирхгофа. Литература, в которой в той или иной степени освещается моделирование динамики мехатронных систем с помощью связных графов, в России не является распространенной, тогда как за рубежом библиография по данному вопросу довольно обширна. Анализ состояния вопроса показал, что, несмотря на накопленный опыт практического применения метода связных графов в задачах математического описания динамики механических систем, существует ряд вопросов и предположений о границах области применения, которые побуждают исследователей отказываться от метода связных графов и выбирать классические методы динамики. Например, есть устоявшийся тезис о том, что метод связных графов нецелесообразно применять в 3 случае механизма с распределенными массами звеньев в виду необходимости учета большого числа инерционных накопителей энергии материальных точек; или вопрос о применимости метода связных графов в случае системы с дифференциальными неинтегрируемыми связями. Поэтому основной целью теоретического исследования, результаты которого изложены в настоящей монографии, было получить обоснованные ответы на подобные вопросы и показать, что применение метода связных графов в задачах описания динамики механических систем равносильно применению дифференциального вариационного принципа Даламбера – Лагранжа, а, следовательно, не имеет ограничений в пределах применимости законов классической механики. Автор считает своим долгом выразить сердечную благодарность доктору техн. наук, профессору П.Д. Крутько, руководившему представленной научной работой на стадии подготовки кандидатской диссертации; доктору физ.-мат. наук, профессору С.Л. Зенкевичу и доктору техн. наук, профессору Ю.В. Подураеву за внимание к научной работе автора и ценные замечания, которые были учтены при написании монографии. 4 ВВЕДЕНИЕ Приоритетным направлением развития науки и технологии на современном этапе, является проблематика, связанная с разработкой, созданием и внедрением мехатронных систем - нового поколения систем автоматического и автоматизированного управления на базе достижений в области механики, автоматики, электроники и информатики. Развитие мехатроники является определяющим в формировании нового технологического базиса - основы экономики высокоразвитых стран начала XXI века. Они во многом обусловливают состояние и уровень развития оборонных отраслей промышленности, имеют первостепенное значение для обеспечения национальной безопасности, определяют новый технический уровень и технологический прогресс в важнейших сферах экономики. Основными направлениями исследований в области теоретических и прикладных проблем мехатроники и робототехники являются [17]: исследование кинематики, динамики мехатронных и робототехнических систем и их моделирование; сенсорные устройства и информационное обеспечение мехатронных и робототехнических систем; исполнительные элементы, устройства и приводы мехатронных систем; интеллектуализация мехатронных и робототехнических систем; отраслевые мехатронные и робототехнические системы (станкостроение, автомобильная, аэрокосмическая, биомедицинская, бытовая техника и др.); надежность, качество, стандарты в мехатронике и робототехнике; экономико-социальные аспекты мехатроники и робототехники; подготовка специалистов в области мехатроники и робототехники. 5 Согласно [43], основная концепция мехатроники состоит в согласованности принципов проектирования физически разнородных компонентов мехатронной системы. Микропроцессорная система управления не «пристраивается» к разработанным ранее механизмам и приводу, а проектируется с ними совместно, что позволяет гарантированно обеспечить согласованное функционирование подсистем и требуемые характеристики машины уже на ранних стадиях проектирования. Такой подход к созданию технически сложного объекта в условиях жестких ограничений времени требует наличия развитой системы автоматизированного проектирования (САПР), включающей в себя программные модули автоматизированного формирования и исследования математических моделей динамики как машины в целом, так и ее отдельных функциональных частей. Математическое и алгоритмическое обеспечение подобных программных модулей, в соответствии с системным подходом к проектированию, должно быть основано на применении единого метода, инвариантного к физической природе моделируемой системы. Но в современных САПР для анализа на макроуровне, как правило, применяются программы одноаспектного (монодисциплинарного) моделирования: методики многоаспектного моделирования почти не используются в существующих САПР машин, хотя в средствах анализа систем с физически разнородными компонентами нуждается значительная часть проектных организаций [35]. Такое состояние вопроса, в основном, обусловлено следующими причинами: развитие методов проектирования (в том числе и автоматизированного) механических и электрических систем в течение длительного времени осуществлялось обособленно; подготовка специалистов в учебных заведениях осуществлялась (и во многих случаях продолжает осуществляться) по традиционным программам, не предусматривающим общего подхода к изучению дисциплин механики, электротехники и теории автоматического управления; отсутствие в полной мере разработанных теоретических основ моделирования и проектирования мехатронных систем. 6 В настоящее время идет интенсивное развитие метода связных графов – наиболее общего метода построения математических моделей динамики систем, который основан на аналогиях фазовых переменных и приводит к инвариантности форм математического описания динамических систем различной физической природы. Уравнения и алгоритмы динамики, полученные на основе метода связных графов, будут составлять уже в ближайшей перспективе математическую и алгоритмическую базу программных модулей САПР мехатронных систем различного целевого назначения. Положение об идентичности математического описания динамики физически разнородных систем, основанное на электромеханических аналогиях, должно также стать одним из основных в преподавании общепрофессиональных и специальных дисциплин будущим инженерам - специалистам в области робототехники и мехатроники. 7 1. АВТОМАТИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ Мехатронная система как объект проектирования Мехатронная система – это машина, в состав которой входят управляемые механизмы, исполнительный привод, цифровая система обработки информации и управления. Современные машины технологического, транспортного, энергетического или информационного назначения, управление движением которых осуществляется на основе микропроцессорных средств, представляют собой мехатронные системы. Примерами мехатронных систем являются станки с ЧПУ, промышленные и специальные роботы, персональные компьютеры, современное медицинское оборудование, системы бытового и специального назначения. Широкое использование цифровых вычислительных систем в качестве основы устройств управления в мехатронных системах обусловлено их следующими свойствами: возможностью перепрограммирования без внесения аппаратных изменений; высокой скоростью обработки данных и, следовательно, возможностью реализации сложных алгоритмов управления; высокой помехозащищенностью; малыми габаритами и массой, низкой потребляемой мощностью при больших вычислительных возможностях; низкой себестоимостью серийных образцов микропроцессоров. С точки зрения проектирования к важнейшим особенностям мехатронных систем относятся: согласованное функционирование электрической и механической подсистем; наличие пространственных механизмов, обладающих сложной структурой и большим числом степеней свободы; наличие системы автоматического управления, обладающей свойствами адаптивности, оптимальности и инвариантности; 8 высокая степень надежности в течение всего установленного срока эксплуатации. Появление к концу XX века машин нового класса (мехатронные системы), потребовало их всестороннего изучения с целью выявления общих закономерностей устройства, функционирования, проектирования, производства и эксплуатации. Это, в свою очередь, определило развитие новой области науки и техники – мехатроники. Термин «мехатроника» (mechatronics) образован слиянием слов «механика» и «электроника». Согласно определению, данному в [9], мехатроника - это область науки и техники, основанная на синергетическом объединении узлов точной механики с электронными, электротехническими и компьютерными компонентами, обеспечивающая проектирование и производство качественно новых модулей, систем и машин с интеллектуальным управлением их функциональными движениями. Главным принципом организации мехатронных систем является принцип синергетики (от греч. sinergia – содружество, содействие). Основываясь на принципе синергетики, мехатроника изучает и разрабатывает новый методологический подход к созданию машин с качественно новыми характеристиками [37]. Принцип синергетики предполагает совместное, согласованное функционирование всех подсистем и элементов единой системы; обеспечение согласованной работы достигается тогда, когда организация системы и управление учитывают основные особенности подсистем, функциональных элементов и нагрузки. Соответственно, разрабатываемые методы математического моделирования и проектирования мехатронных систем должны основываться на едином, комплексном подходе к объекту проектирования. Модели динамики мехатронных систем и формы их представления Моделью (от лат. modulus – образец, мера) называется устройство, обладающее основными свойствами изучаемого объекта [2, т. 16, с. 399]. Моделирование как метод исследования применяется тогда, когда изучаемый объект, по каким-либо причинам, частично или полностью 9 недоступен. Такая ситуация возникает при проектировании принципиально новой техники, так как для обоснования принимаемых проектных решений необходимо исследовать систему, пока еще не существующую физически. Моделирование может быть натурным, когда модель имеет ту же физическую природу, что и изучаемый объект; аналоговым, когда модель и объект имеют различную физическую природу. Если свойства изучаемого объекта выражены математическими соотношениями (уравнениями, неравенствами), то говорят о наличии математической модели. Высокий уровень развития вычислительной техники и программного обеспечения, достигнутый к настоящему времени, позволяет рассматривать математическое моделирование как мощный инструмент научных исследований. Так как мехатронные системы представляют собой технически сложные изделия, проектирование и подготовка к производству которых должны осуществляться в достаточно сжатые сроки, значение математического моделирования с использованием компьютеров является определяющим. Поэтому САПР мехатронных систем обязательно включает в себя подсистему математического моделирования динамики, которая позволяет в автоматизированном режиме разрабатывать модели динамики проектируемого изделия, проводить их исследование, решать инженерные задачи оптимизации и синтеза. В задачах автоматизации моделирования, исследования и проектирования мехатронных систем используются следующие основные формы представления математических моделей динамики: система дифференциальных уравнений; связный граф; структурно-динамическая схема. Уравнения динамики являются наиболее общей формой представления математической модели мехатронной системы или ее отдельных подсистем. Они представляют собой равенства, связывающие координаты системы, их скорости и ускорения с действующими на систему силами. В качестве координат могут выступать не только линейные и угловые положения звеньев механической части машины, но и объемы рабочей жидкости гидропривода, электрические заряды, 10 протекающие через поперечные сечения проводников, и т.п. Силовыми параметрами в уравнениях динамики мехатронной системы, кроме, собственно, «механических» сил и их моментов относительно каких-либо осей, могут являться также давление рабочей жидкости (газа), электрическое напряжение. Формирование уравнений динамики электромеханической системы в обобщенных координатах может быть осуществлено методом Лагранжа [36], а также на основе связного графа системы, путем применения к его узлам законов Кирхгофа. Понятие «связный граф динамической системы», а также подробное изложение метода связных графов применительно к задачам динамики мехатронных систем будут даны в главе 2 настоящей монографии. Интересным и перспективным в задачах моделирования динамики мехатронных систем является подход, состоящий в том, что динамика исполнительного механизма с несколькими степенями свободы в пространстве обобщенных координат представляется как динамика изображающей точки в римановом пространстве. Метрика риманова пространства в данном случае определяется из условия равенства мгновенных значений кинетической энергии изображающей точки и кинетической энергии многозвенного механизма в каждой точке пространства [37]. Динамика мехатронной системы, как правило, описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Применение эффективных методов анализа и синтеза, разработанных в теории линейных систем автоматического управления, предполагает линеаризацию уравнений динамики. Методы линеаризации исходных нелинейных уравнений динамики проектируемой системы подробно изложены в [13, 41]. В свою очередь, линейная модель динамики системы может быть представлена в форме структурно-динамической схемы, т.е. ограниченного набора линейных динамических звеньев, объединенных в общую структуру с помощью прямых и обратных связей. Компьютерный анализ и синтез систем автоматического управления, осуществляемый на основе представления динамики систем структурно-динамическими схемами, интенсивно развивался с 70-х гг. прошлого столетия и в настоящее время достаточно распространен (специальные программные 11 комплексы Simulink, VisSim и др.). Существенными результатами, полученными в этом направлении, являются пакет программ ПДС (Проектирование Динамических Систем) [19], специальный программный комплекс МВТУ [34], разработанные в МГТУ им. Н.Э. Баумана. На основании методики анализа линеаризованных исполнительных систем с помощью логарифмических частотных характеристик [30], полученной Лесковым А.Г., разработаны пакеты программ ПАЛС (Программа Автоматического Линейного Синтеза), ПСП-3, ПАМ. Ряд задач проектирования мехатронных систем, имеющих пространственные механизмы с большим числом степеней свободы, или управления их движением, можно решить без составления и интегрирования сложной системы уравнений, а ограничившись исследованием инвариантов механической части (работа обобщенных сил на малых перемещениях, кинетическая энергия) с помощью тензорногеометрического метода [37]. Автоматизация моделирования системы. Постановка задачи динамики мехатронной Одним из направлений научных исследований в мехатронике является разработка общих теоретических положений, на основе которых возможно создание эффективных методов математического моделирования мехатронных систем и алгоритмов автоматизации моделирования. Так как свойства объекта управления, исполнительного привода и информационной системы должны рассматриваться в комплексе и учитываться уже на ранних стадиях проектирования мехатронной системы, необходимо разрабатывать модели динамики как механических, так и электрических подсистем с помощью единого метода. При этом метод математического моделирования динамики мехатронной системы должен обладать следующими свойствами: инвариантность к физической природе моделируемых объектов; формальность действий, выполняемых при реализации метода; 12 удобство результатов вычислений для анализа и использования в проектировании. Роботы-манипуляторы, мобильные, антропоморфные роботы, многокоординатные станки с ЧПУ и т.п., обладают пространственными исполнительными механизмами, которые могут иметь большое число степеней свободы и содержать замкнутые кинематические контуры, что осложняет математическое моделирование динамики таких мехатронных систем. Многоступенчатые передаточные механизмы приводов, в свою очередь, представляют известные трудности при моделировании динамики, поскольку в них существенны такие отклонения от идеальной механической передачи, как инерционность, упругая податливость звеньев, люфты и сухое трение в кинематических парах. Механическая часть машины, в отдельных случаях, может представлять собой неголономную систему (с наличием дифференциальных неинтегрируемых связей). Поэтому метод, положенный в основу алгоритмов автоматизированного формирования моделей динамики мехатронных систем, должен обладать общностью, достаточной для учета всех перечисленных факторов. Создание математических моделей динамики многомерных систем, состоящих из физически разнородных функциональных частей, представляет собой трудоемкую и наукоемкую задачу, для решения которой в условиях жестких ограничений времени необходимо эффективное и максимально полное использование возможностей современных средств автоматизации вычислений. К новым возможностям аппаратных и программных средств автоматизации вычислений относятся: высокая вычислительная мощность; автоматизация создания пространственно-геометрических моделей (компьютерная графика); автоматизация математических вычислений в символьном виде (компьютерная алгебра); развитые системы обмена информацией между программными модулями различного целевого назначения; 13 свободный доступ участников проекта к промежуточным результатам проектирования, возможность оперативного использования ранее полученных результатов в разработке новых проектов; доступная широкому кругу пользователей визуализация и анимация моделируемых объектов и процессов. Соответственно, задача автоматизации моделирования динамики мехатронной системы состоит в следующем: анализ существующих методов динамики и обоснование выбора метода, на базе которого будет разрабатываться математическое обеспечение программного модуля автоматизированного формирования модели динамики мехатронной системы; разработка математического, алгоритмического и программного обеспечения, ориентированного на возможности современных средств автоматизации вычислений и позволяющего в автоматизированном режиме создавать и исследовать модели динамики мехатронных систем. Сравнительный анализ методов динамики В настоящее время известно пять методов получения уравнений динамики многозвенных исполнительных механизмов: Метод Лагранжа, основанный на уравнениях Лагранжа II рода и описании кинематики системы матрицами однородных преобразований координат; Модифицированный метод Лагранжа, основанный на уравнениях Лагранжа II рода и рекуррентном описании кинематики механической системы; Метод Эйлера, основанный на применении второго закона динамики и принципа Даламбера; Метод Гаусса, основанный на принципе наименьшего принуждения; Метод связных графов. Метод Лагранжа с описанием кинематики матрицами однородных преобразований координат и метод Эйлера считаются традиционными и наиболее часто используемыми на практике. Вывод уравнений движения 14 голономных механических систем методом Лагранжа отличается простотой и единством подхода, а сами уравнения, полученные этим методом, обеспечивают строгое описание динамики и могут быть использованы для разработки законов управления в пространстве присоединенных переменных [11]. Выражения для кинетической и потенциальной энергии звеньев можно записать относительно координат звеньев в неподвижной системе координат. Согласно [13], данное преимущество метода Лагранжа позволяет применять его для вывода уравнений движения механических систем, содержащих замкнутые контуры. Как уже было указано, уравнения динамики в форме Лагранжа можно составить для электрической системы. Уравнения и алгоритмы динамики роботов-манипуляторов, основанные на применении метода Лагранжа, изложены в [5, 6, 13, 16, 45, 46]. Применение метода Эйлера приводит к системе прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям механической системы. Данный метод наиболее эффективен с вычислительной точки зрения, что позволяет использовать его для управления системой в реальном времени [45, 46] и для моделирования ее движений на компьютере [15]. Преимуществом метода Эйлера является также возможность вычислять силы и моменты сил реакций в кинематических парах механизма. С точки зрения анализа, рекуррентные соотношения не являются удобными, поэтому метод Эйлера практически не применяется в задачах синтеза законов управления. Метод Эйлера изложен в [5, 13, 45, 46]. Еще один подход к формированию эффективной в вычислительном плане системы точных уравнений динамики основан на применении модифицированного метода Лагранжа [45]. Этот подход позволяет получить уравнения динамики в векторно-матричной форме, удобной для анализа. Помимо того, что эти уравнения обеспечивают снижение по сравнению с уравнениями Лагранжа вычислительных затрат на расчет динамических коэффициентов, они позволяют различать динамические эффекты, обусловленные вращательным и поступательным движением звеньев, что желательно при синтезе управления в пространстве состояний. Вычислительная эффективность этих уравнений обусловлена 15 использованием для описания кинематики звеньев матриц поворотов и векторов относительного положения. Использование модифицированного метода Лагранжа для анализа систем, содержащих замкнутые кинематические контуры, сопряжено с трудностями, так как данный метод предполагает рекуррентные вычислительные процедуры. Метод, основанный на принципе Гаусса, в отличие от методов, основанных на уравнениях Лагранжа, позволяет получать уравнения динамики механических систем, как с голономными, так и с неголономными связями. Он был разработан российскими учеными Поповым Е.П., Верещагиным А.Ф., Зенкевичем С.Л. для решения задачи моделирования движений манипуляторов и подробно описан в [3, 6, 13, 38]. При использовании принципа Гаусса задача сводится к определению ускорений истинного движения, которые обеспечивают минимум выражению для принуждения. Это достигается путем численной минимизации принуждения как функции обобщенных ускорений механической системы методом динамического программирования или неопределенных множителей Лагранжа. Несомненным достоинством метода Гаусса можно считать возможность его применения для исследования движения механических систем с неупорядоченными связями [38]. Согласно [13], преимущество метода Гаусса достигается именно в тех случаях, когда используются численные методы минимизации принуждения на каждом шаге интегрирования уравнений динамики. Метод связных графов основывается на представлении системы (механической, электрической, гидравлической или комбинированной) в виде некоторого конечного числа элементов, имеющих формальное математическое описание и соединенных друг с другом в общую структуру посредством связей [46]. Этот метод является результатом развития теории графов, одним из основоположников которой, согласно [2, т. 7, с. 265], был Л. Эйлер. Математическая модель динамики системы отображается в виде схемы (графа), на основании которой выводятся уравнения динамики; при этом механическая часть системы может быть неголономной. Основным преимуществом метода связных графов является структурно-графическое представление динамики исследуемых систем, 16 что позволяет проследить все взаимовлияния элементов системы визуально и получить уравнения динамики путем применения к связному графу простых законов Кирхгофа. Использование метода связных графов дает наибольший эффект при описании, анализе и проектировании разветвленных систем с наличием замкнутых кинематических контуров. Результаты сравнительного анализа, помещенные в Таблице 1.1, показывают, что наиболее перспективным с точки зрения автоматизации моделирования динамики мехатронных систем является метод связных графов. Данный метод, с одной стороны, обладает наибольшей общностью и требуемой инвариантностью к физической природе объектов исследования. С другой стороны, результатом его применения является не только замкнутая система дифференциальных уравнений динамики, но и связный граф исследуемой системы, что расширяет возможности инженерного анализа и автоматизации моделирования динамики с использованием компьютеров. Таблица 1.1 Механические системы Метод Лагранжа модифициро ванный Эйлера Гаусса связных графов голоно мные неголоно мные + - с замкнутым и контурами + + + + + + + + Электр ические систем ы Результат вычислений замкн. рекур чис система рент. лен дифф. урав ный уравн. нения + + - - - - + - + + + - - Таким образом, метод связных графов принят в качестве теоретической основы уравнений и алгоритмов автоматизированного моделирования динамики мехатронных систем, приведенных в главе 3 настоящей монографии. 17 2. МЕТОД СВЯЗНЫХ ГРАФОВ 2.1. Теоретические основы Динамические свойства технической системы, определяющие характер протекающих в ней процессов, могут быть представлены в виде графа, на котором связи между элементами системы отображаются линиями или стрелками. Метод получения уравнений динамики системы путем применения закона сохранения к узловым точкам ее графа, называется методом связных графов1. Этот метод был разработан Г. Пейнтером (Henry M. Paynter) в 1950 г. и, в дальнейшем, успешно применялся в задачах математического моделирования динамики различных технических систем [48 - 50]. В основу метода связных графов положен системный подход к описанию динамики: исследуемый объект рассматривается в виде совокупности связанных между собой в общую структуру элементов, функционирующей как единое целое. Динамическая система имеет входы и выходы, через которые осуществляется обмен энергией с элементами более широкой системы, в состав которой входит рассматриваемая система. Например, исполнительный привод робота получает энергию от источника питания, преобразует ее и поставляет на входные звенья механизмов робота; следовательно, привод рассматривается как подсистема робота. При этом определенная часть энергии питания преобразуется приводом в тепловую энергию и рассеивается. В свою очередь, робот также является подсистемой, взаимодействующей с другими единицами технологического оборудования в составе РТС и т.д. Принципиально важно здесь то, что исследуемая динамическая система не рассматривается вне связи с элементами более широкой системы, то есть, не является изолированной. В литературе, посвященной вопросам математического моделирования динамики систем, употребляется и другое название - узловой метод. 1 18 Состояние каждого элемента в фиксированный момент времени движения системы характеризуется двумя параметрами: величиной e (от англ. effort - усилие), имеющей физический смысл «усилие, напряжение» и величиной f (от англ. flux – поток), имеющей физический смысл «скорость». Распределение потоков (усилий) в узловых точках связного графа подчиняется закону сохранения энергии, сформулированному в виде первого (второго) закона Кирхгофа: f k 0, (2.1) k для узла с одним и тем же значением e; e k 0, (2.2) k для узла с одним и тем же значением f. На основании законов (2.1) и (2.2) формируются дифференциальные уравнения динамики исследуемой системы. Элементами динамической системы являются: инерционный накопитель энергии, емкостный накопитель энергии, диссипативный элемент, функциональный преобразователь, гиратор. На входах и выходах системы расположены источники усилий (потоков), определяющие действие со стороны более широкой системы, в составе которой находится исследуемая система. Перейдем к подробному рассмотрению каждого из элементов. Динамическое состояние инерционного накопителя энергии в общем случае описывается уравнением: e d mf , dt (2.3) где f dq dt , q q(t ) – координата; m m(t ) - инерция накопителя, t время. В частности, если m const , то уравнение (2.3) принимает вид e mdf dt . Инерционным накопителем в механической системе является 19 массивное тело: если q – поступательное перемещение, то m – масса тела, e - сила; если q – вращательное перемещение тела вокруг некоторой оси, то m – момент инерции, e – момент силы относительно этой оси. В электрической системе в качестве инерционного накопителя выступает катушка индуктивности: q – заряд, протекающий через поперечное сечение проводника, m – индуктивность, e – напряжение на клеммах катушки. Емкостный накопитель энергии в общем случае описывается уравнением: e kf dt , (2.4) где k (q) de dq - жесткость накопителя [14]. В большинстве инженерных задач жесткость накопителей постоянна и уравнение (2.4) используется в виде e k fdt . Емкостным накопителем в механической системе является упругое тело (пружина): если q – линейная деформация, то k – коэффициент жесткости; если q – угловая деформация, то k – крутильная жесткость. В электрической системе емкостным накопителем энергии является конденсатор: q – заряд на обкладках конденсатора; k 1 C , C – емкость конденсатора. Ясно, что одно и то же физическое тело (электрический проводник) обладают как свойством инерционного, так и свойством емкостного накопителя. Выбор элемента, математически описывающего тело или проводник в конкретной задаче, зависит от того, какое свойство является более существенным, и будет учитываться в расчетах. Диссипативный элемент. Элемент, преобразующий механическую или электрическую энергию в тепловую энергию, описывается уравнением: e R ( f ) , (2.5) где R – коэффициент, который в общем случае является функцией времени. Наиболее часто в уравнении (2.5) принимают R = const и φ(f) = f (линейное сопротивление с постоянным коэффициентом). В механических 20 системах с помощью диссипативного элемента учитывают потери энергии, обусловленные наличием сухого и вязкого трения; в электрических системах – потери энергии на омических сопротивлениях (резисторах). Функциональный преобразователь преобразует подаваемую на его вход энергию с одними параметрами в энергию того же вида, но с другими параметрами. Он описывается уравнениями: eвых m 1eв х , f вых mfв х , (2.6) где eвх , eвых – усилия, fвх , fвых – потоки на входе и выходе преобразователя; m – коэффициент преобразователя. В общем случае m – функция времени t, которая может быть задана неявно. При моделировании динамики механических систем уравнения (2.6) используются для математического описания идеальных механизмов, в том числе и с жидкими (газообразными) рабочими телами; в электрических системах – для описания идеальных преобразователей электрических сигналов. Тепловые потери в реальных механизмах и электрических цепях учитываются путем добавления в расчетную модель соответствующих диссипативных элементов с приведенными значениями сопротивления. В п. 2.2 будет показано, как учесть тепловые потери энергии в преобразователе при решении конкретной задачи. Гиратор (от греч. gyros – круг, вращение) преобразует энергию одного вида в энергию другого вида. Он описывается уравнениями eвых kfв х , f вых k 1eв х , (2.7) где k – коэффициент гиратора. Уравнения (2.7) соответствуют идеальному гиратору. При моделировании гираторов с учетом тепловых потерь в расчетную модель добавляются диссипативные элементы. Примером 1 гиратора является электрический двигатель: M Д kiЯ , Д k eC ; MД – момент двигателя, iЯ – ток в цепи якоря, ωД – угловая скорость, eС – 21 противо-ЭДС двигателя; k k Д , Φ – магнитный поток двигателя, kД – конструктивный коэффициент. Рассмотренные элементы имеют математическое описание, инвариантное к физической природе моделируемых систем и процессов, поэтому метод связных графов наилучшим образом подходит для использования в задачах математического моделирования динамики мехатронных систем. Наличие связного графа позволяет визуально проанализировать динамические взаимовлияния в исследуемой системе, а простые законы (2.1) и (2.2) удобны при автоматизированном получении уравнений динамики. 2.2. Моделирование динамики систем Связный граф динамической системы может быть построен в двух эквивалентных вариантах. Согласно [33], граф, связи которого не образуют замкнутых контуров, называется бесконтурным, в противном случае контурным. Более традиционными в задачах моделирования динамики технических систем являются контурные графы, которые получили широкое распространение в электротехнике и гидравлике. Бесконтурные графы менее известны; они применялись отдельными исследователями при моделировании динамики систем, состоящих из материальных точек или из твердых тел, совершающих простые движения. В таблице 2.1 даны обозначения элементов для двух указанных вариантов связных графов. Таким образом, на контурном графе инерционный, емкостный накопители и диссипативный элемент являются двухполюсниками, на бесконтурном графе – одновходовыми элементами. Функциональный преобразователь и гиратор на контурном графе являются четырехполюсниками, а на бесконтурном – двухвходовыми элементами. Рассмотрим некоторые примеры математического моделирования с использованием связных графов. 22 Таблица 2.1 Наименование элемента Обозначение Контурный граф f m Инерционный накопитель энергии e e f Емкостный энергии Бесконтурный граф k накопитель e (kf )dt e f R Диссипативный элемент e R ( f ) e f2 f1 Функциональный преобразователь d (mf ) dt e1 T e1 , f 1 k e1 m e2 , f 2 f2 f1 Гиратор m e2 G 23 k e2 e1 , f 1 e2 , f 2 Таблица 2.1. Продолжение e Источник усилия e Общее усилие Общий поток f2 f1 e 1 f e2 1 e3 Узел f3 Задача 1 Определить коэффициент полезного действия (КПД) одноступенчатого редуктора с передаточным числом u (рис. 2.1) как функцию момента полезной нагрузки MН. Угловая скорость шестерни 1 const . Момент сил сухого трения, приведенный к выходному валу: M T M 0 fM Н , где M0 – момент трения в ненагруженной передаче, f – постоянный коэффициент трения, f 1 . Звенья редуктора считать абсолютно твердыми. ω2 M1,ω1 M1 MН 1 u-1 2 1 1 MTsign(ω2) Рис. 2.1 Рис. 2.2 24 MН Решение Связный граф редуктора изображен на рис. 2.2. Применяя к узлам графа закон (2.2), получим уравнение моментов: M 1 u 1 M H M T sign (2 ) . Умножая левую и правую части равенства на ω1 и учитывая, что 1 u2 , будем иметь уравнение баланса мощности M11 M H 2 M T 2 sign(2 ) . (2.8) Разделив (2.8) на входную мощность M 11 , получим 1 , где M H M1 u - КПД редуктора, M T sign(2 ) M1 u - коэффициент потерь на трение. Искомое уравнение (M Н ) 1 MT sign(2 ) ( M Н MT sign(2 )) ; график η(MН) приведен на рис. 2.3. η y 1.0 L2 L1 m1 q2, P O 0 m2 q1, M MН Рис. 2.3 x Рис. 2.4 Анализ графика показывает, что КПД редуктора равен нулю, если редуктор не нагружен (MН = 0) , и возрастает при увеличении момента нагрузки, приближаясь к значению, максимально возможному при заданном коэффициенте трения. На практике, наибольшее значение КПД достигается при оптимальном для данного редуктора значении механической мощности на выходном валу [18]. 25 Задача 2 Получить уравнения динамики манипулятора (рис. 2.4), работающего в горизонтальной плоскости Oxy. Трением в кинематических парах пренебречь, массы звеньев m1 и m2 считать сосредоточенными в центрах масс. Решение Примем за обобщенные координаты манипулятора управляемые перемещения q1(t) и q2(t). Соотношения, связывающие декартовы координаты масс звеньев с обобщенными координатами: x1 L1cq1 , y1 L1sq1 ; x2 ( L q2 )cq1, y2 ( L q2 )sq1 , (2.9) где cq cos( q), sq sin( q) , L L1 L2 . Дифференцируя (2.9) по времени t, получим уравнения, определяющие вид функциональных преобразователей и структуру связного графа манипулятора (рис. 2.5): x1 q1L1sq1, y1 q1L1cq1 ; x2 q1 ( L q2 )sq1 q2cq1, y2 q1 ( L q2 )cq1 q2 sq1 . (2.10) Анализ связного графа показывает, что движение звена 2 относительно звена 1 оказывает динамическое влияние на привод звена 2 и наоборот, так как в образовании скоростей x2 , y 2 участвуют обобщенные скорости q1 , q2 . Привод звена 1 нагружен инерцией звеньев 1 и 2, тогда как привод звена 2 нагружен только инерцией звена 2. Применяя к узлам q1 , q2 закон (2.2) получим уравнения динамики манипулятора: M L1sq1m1 x1 L1cq1m1 y1 ( L q2 ) sq1m2 x2 ( L q2 )cq1m2 y2 , P cq1m2 x2 sq1m2 y2 . 26 (2.11) Теперь, чтобы получить уравнения динамики в обобщенных координатах, необходимо продифференцировать (2.10) по времени t и подставить результат дифференцирования в (2.11). Окончательно имеем M m1L12 m2 ( L q2 ) 2 q1 2q1q2 ( L q2 )m2 , P m2 ( L q2 )q12 m2 q2 . (2.12) L1sq1 M y1 d (m1 y1 ) dt 1 q1 1 x1 d (m1 x1 ) dt L1cq1 1 ( L q2 )sq1 Σ x2 d (m2 x2 ) dt 1 cq1 (L q2 )cq1 P q 2 1 sq1 Σ y 2 d (m2 y 2 ) dt 1 Рис. 2.5 Заметим, что при использовании полярной системы координат r1 L1 , r2 L q2 ,1, 2 q1 связный граф манипулятора получается более простым, а объем вычислений в процессе формирования уравнений (2.12) – меньшим. 27 Задача 3 Получить уравнения динамики электромеханического привода, функциональная схема которого изображена на рис. 2.6: iЯ MТ K k, b JД JН JРП, u UУ αД αН αВ MН LЯ, RЯ Рис. 2.6 На схеме обозначены: UУ – напряжение управляемого источника питания, iЯ – ток в цепи якоря двигателя, LЯ, RЯ – индуктивность и активное сопротивление цепи якоря двигателя, K – коэффициент двигателя, JД – момент инерции ротора двигателя, αД - угол поворота ротора двигателя, k – приведенный коэффициент жесткости механической передачи, b – приведенный коэффициент потерь на деформацию, αВ – угол поворота входного вала редуктора, JРП – момент инерции редуктора, приведенный к валу нагрузки, u – передаточное отношение редуктора, MТ – момент сухого трения, приведенный к валу нагрузки, αН – угол поворота вала нагрузки, JН – момент инерции нагрузки, MН – момент нагрузки. Решение d ( LЯ i Я ) dt iЯ UУ 1 d ( J Д Д ) dt K В Д 1 1 u-1 Н d J РП J H H dt 1 -1 RЯ iЯ Σ 1 b Рис. 2.7 28 MT sign( H ) (k )dtMT sign( H ) MН Бесконтурный граф привода представлен на рис. 2.7, Д В . Уравнения динамики получим, применяя к узлам В , Д , i Я закон (2.2): k Д В b Д В u 1 J H J РП Н M T sign ( Н ) M H , i Я K J Д Д b( Д В ) k ( Д В ), U У LЯ (2.13) di Я RЯ i Я K Д . dt Уравнения (2.13) также могут быть получены из контурного графа рассматриваемого привода (рис. 2.8) известным из электротехники методом контурных токов. LЯ Д iЯ В JД b K UУ RЯ G Н u-1 T k JH +JРП MН MT Рис. 2.8 Рассмотренные примеры иллюстрируют возможности метода связных графов в задачах математического описания динамики различных, в том числе и физически неоднородных, технических систем. Изложенное дает основание утверждать, что метод связных графов можно рассматривать как наиболее общий метод построения теоретических моделей динамики мехатронных систем. 29 2.3. Автоматизация моделирования динамики с использованием метода связных графов С точки зрения автоматизации наиболее сложным является формирование расчетной схемы, так как переход от реального технического объекта к его расчетной схеме связан с необходимостью определения совокупности факторов и условий, которые будут учтены при моделировании. Утверждения, согласно которым одни действующие факторы признаются существенными, а другие – незначительными, основываются на инженерном опыте и творческой интуиции исследователя; это обстоятельство в общем случае приводит к невозможности полностью автоматизировать процедуру формирования расчетной схемы технического объекта. Исключение составляют лишь конструкции, узлы и элементы, для которых существуют готовые расчетные схемы: например, подшипниковые опоры валов редукторов, балочные конструкции, типовые четырехполюсники из пассивных электротехнических элементов и т. п. В остальных случаях расчетная схема, в достаточной мере отвечающая свойствам реального технического объекта, может быть составлена только инженером-специалистом. Автоматизированное построение математической модели мехатронной системы в форме уравнений динамики может осуществляться в следующем порядке [1, 44]: 1) на основе заданной расчетной схемы строится связный граф системы; 2) на основе графа выводятся уравнения динамики. Выполнение этапа 1) в автоматическом режиме легко осуществить, если заранее известно число функциональных преобразователей в системе и их коэффициенты (см. задачи 1, 3 п. 2.2). В этих случаях связный граф автоматически воспроизводится по заданной расчетной схеме, так как каждому элементу схемы ставится в соответствие предварительно занесенный в базу данных участок связного графа. 30 На этапе 2) информация о структуре графа записывается в матрицу A [ aij ] , где i – номера узлов, j – номера связей графа. При этом если связь j входит в узел i, то aij = 1; если связь j выходит из узла i, то aij = -1; если связь j не соединяет узел i, то aij = 0. Матрица A, составленная таким образом, называется матрицей инциденций2 [39]. Тогда уравнения динамики системы будут определяться равенством, выражающим в векторно-матричной форме закон (2.2): A e 0 , (2.14) где e [e j ] - вектор усилий, передаваемых по связям графа. Если связь j осуществляется функциональным преобразователем с коэффициентом m, то при aij = - 1 (связь j выходит из узла i) вместо усилия на выходе преобразователя ej подставляется усилие на его входе mej. Если связь j, соединяющая узлы i и k, осуществляется гиратором с коэффициентом K, то aij 1 , e j Kf k и akj 1 , e j Kf i . Решим с помощью данного алгоритма задачу 3 п. 2.2. Пронумеруем все узлы и связи в графе привода (рис. 2.9). На рис. 2.9 номера узлов выделены жирным шрифтом и курсивом. Матрица инциденций в данном случае будет иметь вид: 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 . 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Вектор усилий e [e j ] , j 1,2,,14 . Тогда, согласно (2.14) и с учетом действия гиратора по связи 4 а также функциональных преобразователей по связям 7, 11 будем иметь: Связь инцидентна тем узлам графа, которые она соединяет. Отсюда название матрицы, в которой содержится информация о структуре графа. 2 31 e1 e2 e3 K Д Ki e e Я 5 6 A e e8 e9 e10 0. 1 e ( 1 ) e u 7 11 e11 e12 e13 e14 (2.15) Подставив в (2.15) значения, соответствующие усилиям в связях графа (рис. 9), и приняв во внимание узел Σ с общим усилием e6 e7 e8 , получим уравнения, идентичные (2.13). Автоматизированное моделирование и исследование динамики мехатронных систем по задаваемому пользователем на модельном поле связному графу системы практически реализовано в специализированном пакете программ CAMPG (США, 1997 г.). d ( LЯ i Я ) dt d ( J Д Д ) dt 5 2 UУ 1 iЯ 1 1 K 4 4 В Д 2 1 1 -1 3 6 3 Σ 8 5 Н 1 9 d J РП J H H dt 1 12 7 RЯ iЯ -1 11 u MT sign( H ) ( k ) dt 13 14 MН 10 b Рис. 2.9 Известные трудности автоматизации моделирования в порядке «расчетная схема конкретного объекта – связный граф – уравнения 32 конкретного объекта» возникают тогда, когда объектами исследования являются машины, оснащенные многозвенными механизмами с большим числом степеней свободы и сложной структурой, например, роботыманипуляторы. Связный граф манипулятора, звенья которого образуют вращательные кинематические пары, будет содержать функциональные преобразователи с нелинейными коэффициентами (см. рис. 2.5); число таких преобразователей и их коэффициенты зависят как от структуры манипулятора, так и от выбора системы координат (прямолинейной или криволинейной), связанной с его основанием. Это приводит к необходимости разработки обширной базы элементов расчетных схем и соответствующих им участков связного графа. Связный граф манипулятора, представляющего собой разомкнутую кинематическую цепь с четырьмя степенями свободы, будет иметь довольно сложную структуру. Увеличение числа степеней свободы такого манипулятора приведет к тому, что его связный граф может вообще оказаться неудобным для дальнейшего использования. С другой стороны, накопленный к настоящему времени инженерный опыт проектирования, создания и эксплуатации манипуляторов позволяет заранее определить множество свойств (структурные, пространственно-геометрические, инерционномассовые, упругие, диссипативные), сочетание которых в достаточной степени характеризует динамику исследуемого механизма. Поэтому указанных осложнений при автоматизации моделирования динамики манипуляторов можно избежать, если принять подход, предложенный в [22, 24]: 1) методом связных графов получить общее уравнение динамики механической системы, состоящей из произвольного числа твердых тел, образующих между собой поступательные и вращательные кинематические пары; 2) на основе заданной геометрической модели конкретного механизма, определить число функциональных преобразователей и их коэффициенты; 3) на основе общего уравнения с учетом информации об инерционномассовых параметрах звеньев заданного механизма и действующих на 33 него силах, а также с учетом информации о функциональных преобразователях, получить уравнения динамики заданного механизма. Этап 1), являющийся теоретическим исследованием, выполняется один раз. Он включает в себя построение связного графа механической системы общего вида, из которого на основании законов (2.1) и (2.2) выводится общее уравнение динамики. В результате этого исследования будем иметь уравнение, позволяющее в автоматизированном режиме формировать уравнения динамики механизмов с различной структурой и числом звеньев. Этапы 2) и 3) легко формализуются и представляются в виде линейных алгоритмов; их выполнение может быть полностью автоматизировано. В данном случае для формирования уравнений динамики конкретного механизма связный граф не требуется, но он может быть воспроизведен с целью визуального анализа динамики исследуемого механизма. Математическое и алгоритмическое обеспечение программ автоматизированного формирования уравнений динамики манипуляторов, разработанное в соответствии с предложенным подходом, будет дано в главе 3. Необходимо отметить следующее. Порядок действий «объект общего вида – общее уравнение – уравнение конкретного объекта» приемлем лишь тогда, когда свойства конкретного объекта не выходят за рамки, установленные для объекта общего вида, тогда как формирование уравнений динамики конкретного объекта непосредственно по его связному графу такого ограничения не имеет. Поэтому в решении задач автоматизации моделирования динамики мехатронных систем представляется целесообразным комбинированное использование двух рассмотренных подходов. 34 3. УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ ДИНАМИКИ 3.1. Несвободная механическая система. Реакции связей Реальные механизмы математически моделируются в виде несвободных механических систем, представляющих собой совокупность некоторого конечного числа подвижно связанных между собой твердых тел (звеньев). Движение звеньев в кинематических парах обусловлено ограничениями на положения и скорости точек одного звена относительно другого, возникающими в результате контакта звеньев. Кроме того, относительное движение точек, принадлежащих одному и тому же звену, также ограничено в соответствии с заданной моделью звена – «твердое тело» Подобные ограничения в механике называют связями. Число независимых связей в механизме таково, что он всегда имеет как минимум одну степень свободы. Классификация связей и способы их математического описания достаточно изложены в учебниках по теоретической механике; в данном параграфе будут приведены лишь некоторые пояснения, касающиеся теории связей, необходимые для лучшего понимания излагаемого в главе 3. Рассмотрим простую систему, состоящую из двух материальных точек P1,2 (рис. 3.1, а). Относительное движение точек ограничено удерживающей геометрической связью r2 r1 L 0 , L const , где r1,2 – радиус-векторы положения точек относительно неподвижного начала отсчета. Система движется в пространстве под действием приложенных к точкам активных сил F1,2. Так как величины и направления активных сил произвольны, то заданная геометрическая связь будет обеспечена только в том случае, если взаимодействие между точками по направлению P1P2, характеризуемое силой реакции связи R21 R12 , окажется достаточным для удержания их на расстоянии L одна от другой (рис. 3.1, б). Данная математическая модель может быть использована, например, для исследования движения тонкого и легкого металлического стержня с расположенными на его концах массами. Но здесь следует вспомнить, что силовая нагрузка стержня из реального материала обязательно будет сопровождаться деформациями, т.е. расстояние L в действительности 35 непостоянно и зависит от активных сил. Пренебречь деформациями, считая их очень малыми по сравнению с длиной L, мы можем лишь тогда, когда активные силы F1,2 намного меньше предельного для данного стержня значения R12. R21 P1 P1 F1 F1 L r1 F2 r1 L F2 P2 r2 P2 r2 O R12 O а) б) Рис. 3.1 Таким образом, движение несвободной системы можно рассматривать как результат действия активных сил и сил реакций связей, наибольшие возможные величины которых многократно превосходят наибольшую возможную величину любой активной силы, стремящейся нарушить связь. Иначе говоря, связь будет действовать, если физически гарантирована требуемая для этого сила, и нарушится, если такая сила не гарантирована. Принятое в теории разделение связей на «кинематические» и «динамические» весьма условно, так как с точки зрения динамики запретить движение в каком-либо направлении можно только силой и, строго говоря, все связи являются «динамическими» Пусть в рассмотренном примере стержень выполнен из хрупкого материала, разрушающегося при малых деформациях. В условиях предельных для стержня нагрузок очень вероятен случай, когда силы межатомного взаимодействия в материале будут преодолены и наступит разрушение стержня. Так как деформациями мы пренебрегаем, можно 36 утверждать, что в данном случае система скачкообразно изменяет свои структурные свойства, и причиной этого является внезапное исчезновение реакции связи. Такое скачкообразное изменение структурных свойств, связанное с исчезновением или, наоборот, возникновением реакции связи характерно для систем с неудерживающими связями. Примером подобной системы могут служить две точечные массы, соединенные гибкой нерастяжимой нитью длины L. Такая связь задается неравенством L r2 r1 0 . Это означает, что для положений точек, удовлетворяющих условию L r2 r1 0 , реакция связи отсутствует и система является свободной, но для положений, удовлетворяющих L r2 r1 0 , возникает реакция связи, препятствующая дальнейшему увеличению расстояния между точками, а система становится несвободной. В приведенных случаях можно считать, что система обладает свойством скачкообразно изменять свою структуру и динамику движения. Приведенные рассуждения позволяют заключить следующее. В задачах динамики механических систем, предполагающих гарантированное обеспечение сил реакций заданных связей, для положений и скоростей системы не сопряженных с образованием новых связей, нет необходимости использовать понятие «неудерживающая связь» Если указанные условия не соблюдаются, то целесообразно рассматривать динамику системы отдельно для каждого ее возможного структурного состояния. В ходе дальнейшего изложения в настоящей главе, уравнения и алгоритмы динамики конкретных механических систем будут даны в предположении, что все действующие в них связи – удерживающие. 3.2. Уравнения динамики голономной системы с сосредоточенными массами Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек Pi, i 1,2,, n . Постоянные массы точек обозначим mi, их радиус- 37 векторы положения относительно неподвижного начала отсчета – ri ri (t ) , t - время. На положения точек системы наложено r независимых стационарных геометрических связей; число степеней свободы системы в m 3n r 0 . Связи будем полагать трехмерном пространстве удовлетворяющими условию идеальности: n R r 0 , i 1 i (3.1) i где Ri – равнодействующие сил реакций связей, приложенные к точкам системы, ri - виртуальные перемещения точек, удовлетворяющие наложенным на систему связям. За обобщенные координаты примем параметры q j , j 1,2,, m , однозначно определяющие положение системы в пространстве и являющиеся, как минимум, дважды непрерывно дифференцируемыми функциями времени. Будем считать, что принятые обобщенные координаты имеют геометрический смысл линейных и угловых расстояний. К точкам системы приложены активные силы Fi, а также силы (моменты) Qj, действующие непосредственно по обобщенным координатам. Такой моделью может быть представлен манипулятор или какой-либо другой механизм на начальном этапе исследования динамики. Построим связный граф рассматриваемой механической системы. Так как, в общем случае, ri ri (q1 , q2 ,, qm ) , то абсолютные скорости точек системы m ri ij q j , ij j 1 ri , i 1,2,, n . q j (3.2) Равенства (3.2) определяют коэффициенты функциональных преобразователей и структуру связного графа системы, представленного в векторной форме на рис. 3.2. Применяя к узлам графа закон (2.2), получим n n i 1 i 1 Q j ij mi ri Fi ij Ri , откуда в виду условия (3.1) окончательно будем иметь: 38 n Q j ij mi ri Fi , j 1,2,, m . (3.3) i 1 i1 1 j ij q j 1 Qj Ri d mi ri dt ri Σ 1 nj Fi im Рис. 3.2 Уравнение (3.3) являются общим уравнением динамики механической системы со стационарными голономными связями. В неподвижной декартовой системе координат ri xi yi T zi , Fi Fix Fiy T Fiz и уравнение (3.3) представляется в виде [20, 24] Q j X ij mi xi Fix Yij mi yi Fiy Z ij mi zi Fiz , j 1,2,, m , (3.4) n i 1 где X ij xi q j , Yij yi q j , Z ij zi q j . Проекции абсолютных ускорений точек на оси координат 39 X ij m m j 1 j ,k 1 xi X ij q j m yi Yij q j m qk Yij q q j q k , j 1 j ,k 1 k m m Z ij zi Z ij q j j 1 q j ,k 1 q j q k , (3.5) q j q k . k Уравнение (3.4) можно использовать в качестве математической основы алгоритма автоматизированного формирования уравнений динамики механизмов с сосредоточенными массами звеньев. Отметим, что определение ускорений по формулам (3.5) требует выполнения большого числа элементарных математических операций. Например, в случае разомкнутой кинематической цепи без ветвления, суммарное число математических операций сложения и умножения, требуемых формулами (3.5), возрастает по закону полинома четвертой степени от числа степеней свободы m цепи. Это обусловливает необходимость применения декомпозиции при моделировании разомкнутых цепей с числом степеней свободы большем четырех. В задачах, в которых возможно создание базы данных по моделям динамики участков цепи (например, при проектировании роботов-манипуляторов агрегатно-модульного типа) существенно экономить вычисления позволяют алгоритмы, основанные на уравнениях динамики в неинерциальной системе отсчета [26]. 40 3.3. Уравнения динамики голономной системы с распределенными массами В задачах моделирования динамики механизмов часто бывает необходимо учесть распределенный характер масс звеньев. Это, в принципе, можно сделать путем многократного увеличения числа точек n в системе с точечными массами (п. 3.1), но практически такой подход нецелесообразен. Влияние распределенных масс звеньев, как твердых тел, на динамику системы будем учитывать с помощью тензоров инерции, элементы которых являются интегральными массово-геометрическими характеристиками: J xi J i J xyi J xzi J xyi J yi J yzi J xzi J yzi , J zi i 2 2 i 2 2 i 2 2 где J x ( y z )dmi , J y ( x z )dmi , J z ( y x )dmi Vi J xyi xydmi , Vi Vi J xzi xzdmi , (3.6) - осевые, Vi J yzi yzdmi Vi - центробежные моменты Vi инерции, Vi –объем звена, i 1,2,, n . За обобщенные координаты qj, j 1,2,, m , примем независимые вращательные и поступательные перемещения звеньев в кинематических парах. Заданы ri ri (q j ) - радиусвекторы центров масс, i Ai a (qk ) - матрицы поворота звеньев относительно неподвижной системы координат, , 1,2,3 , qk – угловые координаты, k 1,2, , s , s m . Системы активных сил внешней нагрузки, действующих на каждое звено, приведены к центрам масс соответствующих звеньев: Fi – главные векторы, Mi – главные моменты этих сил. Непосредственно по обобщенным координатам на механизм действуют силы (моменты) Qi. Связи, наложенные на звенья механизма, будем по-прежнему считать стационарными и идеальными. 41 Кинематическое состояние звена i в неподвижной системе отсчета характеризуется векторами линейной скорости центра масс ri и угловой скорости i , i 1,2,, n . Так как звенья образуют кинематические пары, эти векторы могут принимать лишь те величины и направления, которые допускаются связями в кинематических парах. Соответственно, связный граф рассматриваемой системы в обобщенной векторной форме будет иметь вид (рис. 3.3). Qл q л ri 1 1 d mi ri dt Fi Qу i q у 1 d J ii dt 1 Mi Рис. 3.3 На графе обозначены: QЛ – вектор сил, QУ – вектор моментов, действующих по обобщенным координатам, q Л - вектор линейных обобщенных скоростей, qУ - вектор угловых обобщенных скоростей. Граф показывает, что в формировании скоростей ri участвуют скорости линейных и угловых обобщенных координат, тогда как в формировании скоростей i участвуют только угловые обобщенные скорости. Получим уравнения, описывающие функциональные преобразователи угловых обобщенных скоростей q k , k 1,2, , s , в угловые скорости звеньев i , 42 i 1,2,, n . Известно, что вектор угловой скорости звена i xi yi zi T определяется матрицей iz 0 0 i A i Ai1 iz iy ix iy ix . (3.7) 0 Так как матрицы Ai ортогональные, то Ai1 AiT и в соответствии с (3.7) проекции угловых скоростей звеньев на оси неподвижной системы координат будут иметь вид i i i i i ix a31i a21 a 32 a22 a 33 a23 , iy (a31i a11i a32i a12i a33i a13i ) , (3.8) i i i iz a 21 a11i a 22 a12i a 23 a13i . s i a k 1 q k Учитывая, что a i q k , из (3.8) получим s s s k 1 k 1 k 1 ix ik q k , iy ik q k , iz ik q k , 3 где ik 1 a3i qk 3 a , ik i 2 1 a3i qk 3 a , ik i 1 1 a2i qk (3.9) a1i - функциональные преобразователи. Равенства (3.9) дают структуру участка связного графа системы, которая отображает динамику вращения звеньев вокруг их центров масс (рис. 3.4). Применяя к узлам графа закон (2.2), получим уравнения, описывающие динамику вращательных движений звеньев в векторной форме [27, 28] Qk ik K i M i , k 1,2,, s , n i 1 43 (3.10) i где ik k T ki , K i K xi ki K yi T K zi ; K i J i i - кинетические моменты звеньев относительно их центров масс, Qk – составляющие моментов, действующих по угловым обобщенным координатам, которые обеспечивают вращение звеньев относительно их центров масс. i1q1 q k Qk ik ik is q s i1q1 1 is q s i1q1 ik K ix ix 1 iy M ix K iy M iy K iz 1 iz 1 is q s M iz Рис. 3.4 Векторы K i вычисляются по формулам K i J i i i J ii , i ix iy iz T , проекции угловых ускорений на оси неподвижной системы координат s s ix ik qk k 1 l ,k s s k 1 l ,k iy ik qk ik ql q k , ql ik ql q k , ql s s k 1 l ,k iz ik qk ik ql q k . ql 44 (3.11) Таким образом, уравнения динамики рассматриваемой системы с учетом поступательного движения звеньев будут иметь вид Q j (t ) ij mi ri Fi ij K i M i , j 1,2,, m . n i 1 (3.12) Если q j - линейное перемещение, то матрицы поворота Ai , i 1,2,, n , не будут зависеть от q j , ij 0 и слагаемое (3.10) в уравнениях (3.12) будет равно нулю. С точки зрения механики это означает, что инерция вращений звеньев относительно их центров масс и главные моменты активных сил Mi не оказывают влияния на динамику приводов, управляющих движением в поступательных кинематических парах. Равенство нулю (3.11) будет иметь место и в том случае, когда Ji = 0, Mi = 0, i 1,2,, n , что соответствует модели механизма с точечными массами звеньев. Покажем, что уравнения (3.10) следуют из уравнений динамики вращательных движений звеньев в форме Лагранжа. Кинетическая энергия вращения звена относительно его центра масс Ti 0.5iT Ki 0.5ix Kix iy Kiy iz Kiz с учетом (3.9) приводится к виду Ti 0.5 ik K ix ik K iy ik K iz q k 0.5 ik K i q k . Дифференцируя s s k 1 k 1 (3.13) q K , по (3.13) получим s Ti q k 0.5 ik K i K i q k ik q k . k 1 Так как K i qk J i (i qk ) J i ik s и k 1 ik q k i , s (K i q k ) ik q k J i ik i . k 1 Матрица Ji – симметрическая: 45 то J iT J i , i следовательно, J i k i J ii ik K i ik и Ti qk ik Ki . Производная по времени d Ti dt qk ik K i ik Ki . (3.14) Частная производная (3.13) по q k : s s Ti qk 0.5 ik qk q k K i ik q k K i qk ; k 1 k 1 s k 1 ik с учетом qk qk ik и K i qk J i i qk J i ik , получим Ti qk ik Ki . Элементарная работа сил внешней (3.15) нагрузки на вращательном s перемещении звена: dAi M ii dt M i ik dqk , следовательно k 1 Ai qk ik M i . (3.16) Уравнения динамики вращательных движений звеньев в форме Лагранжа Qk n n i 1 i 1 A d T qk dt qk T , k 1,2, , s , qk (3.17) где A Ai , T Ti . Просуммировав (3.14 – 3.16) по индексу « i » и подставив результаты суммирования в (3.17), получим уравнения, идентичные (3.10): 46 Qk ik K i M i ik K i K i ik K i M i , k 1,2,, s . n n n i 1 i 1 i 1 Таким образом, уравнения динамики вращательных движений звеньев в обобщенных координатах, полученные методом связных графов, имеют структуру, аналогичную структуре уравнений динамики системы с сосредоточенными массами. Уравнения (3.12) позволяют организовать поэтапное исследование динамики механизма. На первом этапе система представляется в виде модели с сосредоточенными массами (Ji = 0, Mi = 0, i 1,2,, n ); по результатам исследования ее динамики могут быть приняты основные проектные решения. После конструкторской проработки узлов и модулей, математическую модель можно уточнить, добавив в уравнения, полученные на первом этапе, слагаемые, которые учитывают динамическое влияние распределенных масс. Задача Получить уравнения динамики в обобщенных координатах для манипулятора с двумя вращательными кинематическими парами (рис. 3.5). y x O m2g m1g z q2, Q2 q1, Q1 L L Рис. 3.5 47 Звенья манипулятора считать твердыми телами с равномерно распределенной массой: m1,2 – массы, J 1, 2 J 1x, 2 0 0 0 J 1y, 2 0 0 0 J 1z , 2 моменты 1, 2 2 инерции звеньев 1 и 2, J z (1 12)m1, 2 L . Q1,2 – моменты, действующие на звенья со стороны привода. На рис. 14 обозначена Oxyz – неподвижная система координат. Решение Положения центров масс и угловые положения звеньев 1 и 2 относительно неподвижной системы отсчета описываются уравнениями: L r1 C1 2 T L L S1 0 , r2 LC1 C12 2 2 C1 A1 S1 0 S1 0 C12 C1 0 , A2 S12 0 0 1 L LS1 S12 2 S12 C12 0 T 0 , 0 0 . 1 (3.18) (3.19) Здесь и далее S1, 2 sin q1, 2 , C1, 2 cos q1, 2 , S12 sin( q1 q2 ) , C12 cos(q1 q2 ) . Частные производные координат векторов r1, r2 по обобщенным координатам: X 11 L L L L S1 , Y11 C1 , X 21 LS1 S12 , Y21 LC1 C12 , 2 2 2 2 X 22 L L S12 , Y22 C12 , X12 Y12 0 , Z11 Z12 Z 21 Z 22 0 . 2 2 (3.20) Проекции скоростей центров масс на оси системы координат O0x0y0z0: x1 L L L L S1q1 , y1 C1q1 , x 2 ( LS1 S12 )q1 S12 q 2 , 2 2 2 2 48 y 2 ( LC1 L L C12 )q1 C12 q 2 , z1 z2 0 . 2 2 (3.21) Проекции ускорений: L L L L S1q1 C1q12 , y1 C1q1 S1q12 , z1 z2 0 , 2 2 2 2 L L L L x2 ( LS1 S12 )q1 ( LC1 C12 )q12 LC12 q1q 2 S12 q2 C12 q 22 , 2 2 2 2 L L L L y2 ( LC1 C12 )q1 ( LS1 S12 )q12 LS12 q1q 2 C12 q2 S12 q 22 . 2 2 2 2 x1 (3.22) Силы тяжести звеньев: F1 0 0 m1 g , F2 0 0 m2 g . T T (3.23) Подставив (3.20 – 3.23) в уравнение (3.4) и выполнив алгебраические преобразования, получим уравнения динамики манипулятора, не учитывающие инерцию вращательных движений звеньев (модель с точечными массами): 5 1 1 1 Q1 m1 L2 m2 L2 m2 L2C2 q1 m2 L2 m2 L2C2 q2 m2 L2 S 2 q1q 2 4 2 4 4 1 1 1 m2 L2 S 2 q 22 LC1m1 g LC1 LC12 m2 g , 2 2 2 (3.24) 1 1 1 1 1 Q2 m2 L2 m2 L2C2 q1 m2 L2 q2 m2 L2 S 2 q12 C12m2 g. 2 4 2 2 4 Вычислим компоненты Q1, 2 динамического влияния распределенных масс звеньев. Из (3.19) в соответствии с равенствами (3.9) будем иметь: T 11 12 22 0 0 1T , 21 0 , 1 0 0 q1 , 49 T 2 0 0 q1 q 2 T , 1 0 0 q1 , 2 0 0 q1 q2 T . (3.25) Производные кинетических моментов звеньев по времени: K 1 J11 1 J11 J 1z q12 T 0 J 1z q1 , 2 K 2 J 2 2 2 J 22 J z2 q1 q2 0 J z2 q1 q2 . T (3.26) Так как моменты сил нагрузки относительно центров масс звеньев равны нулю, из (3.10) с учетом (3.25), (3.26) получим: 1 1 1 Q1 ( J 1z J z2 )q1 J z2 q2 m1 L2 m2 L2 q1 m2 L2 q2 , 12 12 12 1 1 Q2 J z2 q1 J z2 q2 m2 L2 q1 m2 q2 . (3.27) 12 12 Окончательно, уравнения динамики рассматриваемого манипулятора в соответствии с (3.12): 4 1 1 1 Q1 Q1 Q1 m1 L2 m2 L2 m2 L2C2 q1 m2 L2 m2 L2C2 q2 3 2 3 3 1 1 1 m2 L2 S 2 q1q 2 m2 L2 S 2 q 22 LC1m1 g LC1 LC12 m2 g , 2 2 2 (3.28) 1 1 1 1 1 Q2 Q2 Q2 m2 L2 m2 L2C2 q1 m2 L2 q2 m2 L2 S 2 q12 C12m2 g. 2 3 2 2 3 Результаты исследования математических моделей динамики (3.24) и (3.28) при значениях параметров m1 10кг , m2 5кг , L 1м ; q1, 2 (t ) q1, 2 (0) 0.5 t 1 2 sin 2t , q1, 2 (0) 0 рад , 2c показали, что наибольшие различия моментов Q1, 2 и Q1, 2 наблюдаются в моменты времени t 0.5с и t 1.5с . В указанные моменты времени угловые ускорения в кинематических парах манипулятора достигают максимального значения 2.467 рад/c. При выборе модели (3.28) в качестве 50 эталонной, наибольшие расхождения составляют 3.253% для моментов Q1 , Q1 и 2.972% для моментов Q2 , Q2 [23]. Малые значения расхождений моментов, установленные в ходе вычислительного эксперимента, подтверждают обоснованность использования модели с точечными массами на предварительных этапах исследования динамики манипуляторов. 3.4. Уравнения динамики голономной системы с наличием замкнутых кинематических контуров Исполнительные механизмы управляемых машин различного назначения, наряду с большим числом степеней подвижности, могут иметь структуру с ветвлением кинематической цепи. Если при обходе звеньев механизма не удается обойти все звенья одним путем, то есть, не пересекая соединения дважды, или обход одних и тех же звеньев возможен разными путями, то кинематическая цепь данного механизма имеет хотя бы одно ветвление. В первом случае механизм будет иметь разомкнутые ветви и структуру типа «дерево» (рис. 3.6, а), во втором – замкнутые ветви или контуры (рис. 3.6, б). Усложнение структуры механической системы неизбежно ведет к известным трудностям ее математического описания при решении задач динамики. Они обусловлены необходимостью учета структурных особенностей системы, множественностью вариантов при назначении обобщенных координат и определении действующих в системе связей, а также ограничениями на применение эффективных в вычислительном плане рекуррентных процедур. Учет структурных особенностей механической системы при автоматизации ее математического описания предполагает кодирование параметров, описывающих структуру. Наиболее удобный алгоритм кодирования структуры был предложен П.Б. Слиеде [5]. Данный алгоритм основан на том, что каждому звену присваивается дополнительный параметр - порядковый номер предыдущего звена, с которым данное звено образует кинематическую пару. Таким образом, описание структуры типа «дерево» не вызывает каких-либо затруднений. 51 4 7 6 4 5 7 3 5 3 6 2 2 а) 1 б) 0 1 0 Рис. 3.6 Более сложной является задача назначения обобщенных координат в разветвленной механической системе, имеющей замкнутые контуры. Действительно, при замыкании ветвей образуются новые связи, и число степеней свободы становится меньше, чем число подвижных звеньев системы. Перемещения звеньев контура в соседних кинематических парах становятся взаимозависимыми, причем любое из этих перемещений может быть принято за обобщенную координату. При назначении обобщенных координат предпочтение часто отдается относительным перемещениям несущих звеньев исполнительного механизма, однако более удобным, особенно при решении задач управления, может быть выбор в пользу управляемых координат. Выбор обобщенных координат при исследовании механизмов с замкнутыми контурами осуществляется непосредственно специалистом-разработчиком. Задача определения уравнений связей в механической системе, имеющей замкнутые контуры, до сих пор не имеет универсального решения. Данное состояние вопроса обусловлено тем, что функции положения механизмов с замкнутыми контурами, вообще говоря, достаточно сложно выразить аналитически. Кроме этого, функции положения замкнутых механизмов зависят от конкретной сборки этих механизмов. Однако на практике, как правило, в качестве замкнутых контуров используются хорошо известные механизмы (коромыслово- 52 ползунный, четырехшарнирный, кулисный, с качающимся цилиндром и т.п.), синтез которых ведется по допускаемому значению угла давления. Данное ограничение, вместе с ограничениями хода управляемого звена, не допускают самопроизвольный переход замкнутого контура в другую сборку, что позволяет использовать только те уравнения связей, которые соответствуют имеющей место сборке. Для плоских четырехзвенных механизмов эти уравнения можно найти в [7]. Рассмотрим голономную механическую систему с числом степеней свободы m, имеющую структуру типа «дерево». Уравнения динамики (3.12) такой системы можно записать в виде: j Pj 0 , j 1,2,, m , (3.29) где j ij mi ri ij K i , Pj Q j (t ) ij Fi ij M i - приведенные n n i 1 i 1 силы инерции и обобщенные силы соответственно. Предположим, что при замыкании ветвей в контуры независимыми остаются первые s обобщенных координат разомкнутой системы q1 , q2 ,, qs , s m , а остальные подчиняются уравнениям связей q f (q1 , q2 ,, qs ) , s 1, s 2,, m . (3.30) Дифференцируя (3.30) по времени t, получим уравнения, определяющие коэффициенты функциональных преобразователей связного графа системы с замкнутыми кинематическими контурами (рис. 3.7) s q q , f , s 1, s 2,, m . q 1 (3.31) Применяя закон (2.2) к узлам связного графа, изображенного на рис. 3.7, получим уравнения динамики: m P P , 1,2,, s , s 1 (3.32) которые вместе с (3.30) описывают динамику голономной системы с замкнутыми кинематическими контурами. 53 1 s 1, Φμ+Pμ q 1 q Σ 1 Φν+Pν m s Рис. 3.7 Покажем, что уравнения (3.32) следуют также из общего уравнения динамики в форме Даламбера – Лагранжа: m j 1 j Pj q j 0 , (3.33) где q j - вариации перемещений звеньев в кинематических парах. Из s (3.30) следует, что q q , s 1, s 2,, m . С учетом этой 1 подстановки уравнение (3.33) примет вид m P P q 0 , откуда, в силу независимости q , 1 s 1 s получим уравнения (3.32). Таким образом, алгоритм формирования уравнений динамики механизма с замкнутыми контурами и геометрическими связями может быть принят следующим. 54 1) Назначаются обобщенные координаты q , 1,2,, s , механизма с 2) 3) 4) 5) замкнутыми контурами. Определяются уравнения, связывающие относительные перемещения звеньев контуров с принятыми обобщенными координатами. Каждый контур размыкается путем мысленного устранения одной из кинематических пар, перемещение звеньев которой не является обобщенной координатой контура. Формируются функции положения полученного в результате выполнения шага 3) разомкнутого механизма. Кодирование структуры осуществляется с помощью алгоритма Слиеде. Формируются уравнения динамики разомкнутого механизма в обобщенных координатах q j , j 1,2,, m , согласно (3.3) для модели с точечными массами или (3.12) для модели с распределенными массами. 6) Формируются уравнения динамики механизма с замкнутыми контурами в обобщенных координатах q , 1,2,, s , согласно (3.32). На практике часто встречается случай, когда звенья основной разомкнутой цепи механизма намного массивнее остальных подвижных звеньев (исполнительные механизмы дорожных, подъемнотранспортных машин, оснащенных гидроприводом). Тогда, на предварительном этапе исследования, можно учесть инерцию только несущих звеньев и сформировать уравнения динамики основной цепи, приняв за обобщенные координаты управляемые перемещения механизма. Задача Получить уравнения динамики механизма с качающимся цилиндром, изображенного на рис. 3.8. Механизм расположен в горизонтальной плоскости и движется под действием силы Q1 со 55 стороны рабочей жидкости в цилиндре. Инерцией вращения звеньев относительно их центров масс и силами трения в кинематических парах пренебречь. Решение Рассматриваемый механизм является одноконтурным и имеет одну степень свободы. За обобщенную координату q1 примем управляемое перемещение штока 1 относительно цилиндра 2. Уравнения, связывающие перемещения звеньев 2 и 3 относительно стойки 0 с обобщенной координатой, имеют вид [7]: B q1 2 B02 B32 q3 f 3 (q1 ) arcsin , 2 B0 B3 B cos( f 3 (q1 )) , q2 f 2 (q1 ) arccos 3 B q 1 (3.34) где B B1 B2 . Мысленно устраним кинематическую пару, образованную коромыслом 3 и штоком 1 (рис. 3.9). Полученный разомкнутый механизм имеет одно ветвление и три степени свободы. Уравнение 2 динамики коромысла 3 разомкнутого механизма очевидно: m3 L3 q3 0 , а динамика ветви 0 – 2 – 1 описывается уравнениями (см. задачу 2 п. 2.2): m L 2 2 2 2 2q1q2 ( L q1 )m1 0, Q1 m1 ( L q1 )q22 m1q 1 0 , m1 ( L q1 ) 2 q где L B2 L1 . Подставляя эти уравнения в (3.32), получим Q1 m1q1 m1 ( L q1 )q 22 21 (m2 L22 m1 ( L q1 ) 2 )q2 2q1q 2 ( L q1 )m1 31m3 L23 q3 , (3.35) 56 где 21 f 2 (q1 ) q1 , 31 f 3 (q1 ) q1 . Уравнение (3.35) вместе с (3.34) описывает динамику механизма с качающимся цилиндром. Если масса коромысла 3 намного превосходит массу гидроцилиндра, то приближенная модель динамики механизма будет более простой: Q1 31m3 L23 q3 , где q3 31q1 31 q1 q12 , 31 2( B q1 ) B0 B3 4 ( B0 B3 ) 2 ( B q1 ) 2 B02 B32 1 B 2 4 ( B0 B3 ) 2 ( B q1 ) 2 B02 3 2 2 2 3 2 0 1 2 2 2 3 31 q1 2( B0 B1 ) 4 ( B0 B3 ) ( B q1 ) B B 2 1 2 2 1 , 2( B q1 ) 2 ( B q1 ) 2 B02 B32 ( B0 B3 ) 3 . B3 L3 L3 m3 m3 q3 q3 m1 B1 m1 L1 L1 B0 B0 m2 m2 q1,Q1 q1,Q1 q2 q2 B2 B2 L2 L2 Рис. 3.9 Рис. 3.8 Результаты исследования приближенной модели при значениях параметров B0 B 0.7 м , B3 0.4 м , L3 1.2 м , m3 500кг , законе 57 движения штока q1 (t ) 0.3t 1 2 sin( 2t ), м , 5c , приведены на рис. 3.10. q1, м q3, рад t, с t, с Q1, Н dq1 /dt, м/c t, с Q1, Н Рис. 3.10 3.5. Уравнения динамики системы с линейными неголономными связями Рассмотрим систему материальных точек Pi, i 1,2, , N , движущуюся относительно инерциальной системы отсчета. Пусть на точки системы наложено s стационарных неголономных связей, соответствующих уравнениям m b j 1 kj (q)q j 0 , k 1,2,, s . (3.36) Здесь q j - обобщенные координаты системы, число которых составляет m 3N r , r – число независимых геометрических связей. При этом будем полагать, что число степеней свободы системы n m s 0 . Обозначим j j (q, q , q, t ) - силы инерции точек, приведенные к обобщенным координатам q j , Q j Q j (q , q, t ) - обобщенные силы. Предположим, что из всех обобщенных координат независимыми являются 58 q1 , q2 ,, qn , а остальные qn1 , qn2 , , qn s - зависимы. Тогда равенства (3.36) можно представить в виде: n q n k ki qi , k 1,2,, s . (3.37) i 1 Коэффициенты ki ki (q) уравнений (3.37) определяют функциональные преобразователи связного графа неголономной системы, изображенного на рис. 3.11. Qi i qi q1 1 a1i a11 ∑ a1i 1 Qi1 i1 qn 1 1 Qn1 n1 a1n q n qi 1 1 Рис. 3.11 Применяя к узлам графа закон (2.2), получим уравнения [25] s Qi i ki (Qnk nk ) , i 1,2,, n , k 1 59 (3.38) которые, совместно с (3.37), описывают динамику рассматриваемой неголономной системы. Достоверность уравнений динамики (3.38) покажем, преобразовав их к известным уравнениям П.В. Воронца [31]: s d Qi ki Qnk dt qi qi qnk k 1 s T n ( k ) Aij q j , i 1,2,, n , q k 1 n k j 1 (3.39) s s ki kj ki kj (k ) ; (q1 ,, qm , q1 ,, q n , t ) A где ij j i q q q q 1 1 j n i n - выражение для кинетической энергии системы, не содержащее величин q nk , k 1,2,, s . Запишем силы инерции, приведенные к обобщенным координатам, в виде j d T T и подставим их в уравнения (3.38): dt q j q j s d T T d T T Qi ki Qnk dt qi qi dt qnk qnk k 1 . (3.40) Здесь T T (q1 , , qm , q1 , , q m , t ) - кинетическая энергия системы. Согласно [16], имеем: s d T d T d s d T ki ki , dt qi dt qi k 1 dt q nk k 1 dt q nk T s T n kj ql , ql ql k 1 q nk j 1 ql i 1,2,, n , l 1,2,, m . С учетом этих равенств, уравнения (3.40) примут вид d s T dt q i qi k 1 q n k s s d ki n kj T q Q Q j i ki n k dt qn k k 1 q n k j 1 qi k 1 откуда получим 60 n kj q q j , j 1 n k s d Qi ki Qn k dt qi qi qnk k 1 s T d ki n ki s kj q j . (3.41) i j 1 qi 1 q n k 1 q n k dt n s n kj d ki ki q Aij( k ) q j , i 1,2,, n , k 1,2,, s , то Так как i j dt j 1 qi 1 q n j 1 уравнения (3.41) тождественны (3.39). Таким образом, уравнения динамики системы, содержащей геометрические и дифференциальные неинтегрируемые связи, могут быть получены в два этапа. 1) Построение связного графа системы с исключенными из нее неголономными связями и вывод уравнений динамики голономной системы в обобщенных координатах 2) Наложение дифференциальных неинтегрируемых связей (3.36) и вывод уравнений динамики неголономной системы согласно (3.38). Наличие связного графа существенно облегчает как анализ динамических взаимовлияний в неголономной системе, так и процедуру вывода уравнений динамики. Уравнения (3.38) имеют общую структуру, что позволяет их использовать в задачах автоматизации математического описания динамики механических систем. Задача Механическая система состоит из тонкого однородного стержня, который скользит по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 3.12, а); m – масса, J – момент инерции стержня относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс C. Стержень движется под действием системы сил, главный вектор которой F, M - главный момент относительно точки C. Скорость V центра масс в любой момент времени 61 движения направлена вдоль стержня. Построить связный механической системы и получить ее уравнения динамики. x Fx граф d mx dt 1 V F tg φ C M Fy y 1 x O M а) d my dt d J dt 1 б) Рис. 3.12 Решение Положение стержня определяется координатами x, y центра масс и углом φ. Скорость V точки C, исходя из условия задачи: xtg y 0 . (3.42) Уравнение (3.42) задает дифференциальную неинтегрируемую связь, следовательно, рассматриваемая система является неголономной. Связный граф системы будет иметь вид (рис. 3.12, б). Анализ графа показывает, что перемещение φ независимо, тогда как перемещения x и y взаимосвязаны, т.е. система имеет две степени свободы. Уравнения динамики получим, применяя к узлам графа закон (2.2): 62 Fx mx tg Fy my 1 , Fy my (1) Fy mx tg M J . Подставляя в , уравнения для Fx, Fy формулу (3.42), будем иметь x Fx Fytg (1 tg 2 )m y , y ( Fx Fytg ) tg (1 tg 2 )m x , M . J (3.43) Дифференциальные уравнения (3.43) являются уравнениями динамики рассматриваемой системы. Ясно, что первые два уравнения взаимосвязаны, так как одно уравнение может быть получено из другого подстановкой (3.42). Траектория центра масс стержня, полученная в результате численного интегрирования (3.43) на интервале времени t = [0,4]с шагом h = 0.004с при нулевых начальных условиях и значениях m 1кг , J 0.1кг м 2 , Fx 5Н , Fy 0 , M 0.2Н м , приведена на рис. 3.13. y, м x, м Рис. 3.13 63 Рассмотренная механическая система является моделью скольжения хорошо заточенного конька по гладкому, твердому льду. Траектории, подобные линии на рис. 22, практически реализуются при фигурном катании. 3.6. Общий алгоритм формирования уравнений динамики механической системы Результаты теоретических исследований, изложенные в п. 3.2 – 3.5, дают основание утверждать, что применение метода связных графов к механической системе равносильно применению принципа Даламбера Лагранжа. Метод связных графов, в отличие от классического вариационного принципа, дает графическую информацию о структуре действующих в механической системе связей, анализ которой позволяет условно разделить системы твердых тел с положительным числом степеней свободы по сложности3 математического описания их динамики на следующие уровни: кинематические цепи с геометрическими связями, не имеющие замкнутых контуров; кинематические цепи с геометрическими связями и с наличием замкнутых контуров; кинематические цепи с неголономными связями. Общий алгоритм формирования уравнений динамики механической системы представлен блок-схемой (рис. 23). На схеме обозначены: процедура 1 – формирование уравнений динамики голономной системы, не имеющей замкнутых контуров, согласно (3.12); процедура 2 – формирование уравнений динамики системы с наличием замкнутых контуров согласно (3.31), (3.32); процедура 3 – формирование уравнений динамики неголономной системы согласно (3.37), (3.38). Сложность здесь определяется не трудоемкостью построения модели, а числом отдельных процедур, необходимых для ее построения. 3 64 начало Структура, геометрия, инерционно-массовые параметры, активные силы. Да Есть замкн. контуры? Нет Процедура 1 Обобщенные координаты, уравнения связей. Есть негол. связи? Нет Да Процедура 2 Процедура 3 Уравнения динамики конец Рис. 3.14 Процедура 1 является основной в алгоритме (рис. 3.14). Для ее выполнения требуются исходные данные по структуре, геометрическим инерционно-массовым параметрам, а также по активным силам, приложенным к исследуемой системе. Если система не содержит замкнутых кинематических контуров, то число ее обобщенных координат будет равно числу подвижных звеньев и дополнительных указаний пользователя по назначению обобщенных координат не требуется. Инерция вращения звеньев относительно их центров масс учитывается заданием тензоров (3.6); если тензоры инерции равны нулю, то в результате выполнения процедуры 1 будут получены уравнения динамики системы с сосредоточенными массами звеньев. Процедура 2 учитывает дополнительные связи (3.30), накладываемые на систему при замыкании 65 участков разомкнутой кинематической цепи в контуры. Для ее выполнения пользователю необходимо указать те относительные перемещения звеньев, которые будут приняты за обобщенные координаты. Уравнения связей (3.30) выбираются из базы данных по типовым контурам. На входе процедуры 2 задаются уравнения динамики системы без контуров, полученной при размыкании контуров исходной системы; результатом ее выполнения являются уравнения динамики системы с замкнутыми контурами. Процедура 3 на основе уравнений голономной системы формирует уравнения динамики соответствующей системы с неголономными связями. Уравнения неголономных связей задаются пользователем в начале автоматизированного расчета с использованием предлагаемого алгоритма. Формирование уравнений динамики механической системы требует уравнений ее кинематики (зависимостей, связывающих положения звеньев в неподвижной системе координат с обобщенными координатами, принятыми в качестве управляемых перемещений), которые для системы без замкнутых контуров могут быть получены в полностью автоматизированном режиме. Алгоритмы формирования уравнений кинематики механизмов основаны на использовании векторно-матричного способа задания перемещений твердого тела, матриц однородного преобразования координат. В настоящее время существует много алгоритмов получения уравнений кинематики механизмов; хорошо известным и наиболее часто используемым на практике является алгоритм Денавита-Хартенберга [13, 45, 46], известны алгоритмы, использующие рекуррентные вычислительные процедуры [45], а также основанные на теории кинематического винта [5]. Указанные алгоритмы предполагают назначение локальных (связанных с подвижными звеньями) систем координат после задания геометрической модели механизма, что не является удобным в автоматизированных расчетах с использованием современных CAD-систем. Далее будет приведено математическое и алгоритмическое обеспечение программ автоматизированного формирования уравнений кинематики, основанное на непосредственном указании локальных систем координат в процессе построения геометрической модели механизма в CAD-системе [22, 24]. 66 3.7. Алгоритм формирования уравнений кинематики Рассмотрим механизм, звенья которого образуют вращательные и поступательные кинематические пары; кинематическая цепь механизма разомкнутая и не имеет ветвлений. В системе координат, связанной с неподвижным основанием, радиус-векторы центров масс звеньев ri0 ri0 (q1 , q2 ,, qi ) , (3.44) а матрицы поворота, задающие ориентацию звеньев относительно осей неподвижной системы координат cos(i0 , ii ) cos(i0 , ji ) cos(i0 , ki ) R cos( j0 , ii ) cos( j0 , ji ) cos( j0 , ki ) , cos( k0 , ii ) cos( k0 , ji ) cos( k0 , ki ) 0 i (3.45) где i0 , j0 , k0 - единичные векторы неподвижной системы координат O0 x0 y0 z0 , ii ii (q1, q2 ,, qi ) , ji ji (q1, q2 ,, qi ) , ki ki (q1 , q2 ,, qi ) - единичные векторы локальных систем координат подвижных звеньев Oi xi yi zi , q j q j (t ) - поступательные и вращательные перемещения звеньев в кинематических парах, i, j 1,2,, m , m – число степеней свободы механизма, равное числу его подвижных звеньев. Требуется разработать алгоритм автоматизированного получения (3.44) и (3.45) в виде функций обобщенных координат механизма. Ввод информации о структуре и геометрии манипулятора в компьютер наиболее удобно осуществлять путем построения трехмерной геометрической модели в CAD - системе. В графической среде можно создать модели вращательных и поступательных соединений (рис. 3.15), описав их как блоки со следующими свойствами. Если соединение i вращательное, то соответствующая ему символьная матрица преобразования задается в виде: 67 cqi sq Qi i 0 0 sqi cqi 0 0 0 1 0 0 0 0 ; 0 1 (3.46) для поступательного соединения: 1 0 Qi 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 qi . 1 (3.47) звено i - 1 звено i - 1 yi yi Ci Ci qi qi Oi Oi zi zi звено i xi звено i xi Рис. 3.15 В дальнейшем, используя готовые блоки, можно строить геометрические модели механизмов. Например, модель манипулятора с числом степеней свободы m = 3, работающего в сферической системе координат, будет выглядеть так, как показано на рис. 3.16. 68 z0 z2 O2 x2 q2 x3 y2 z1 q3 O3 y0 z3 C3 y3 y1 x0 x1 O0, O1 q1 Рис. 3.16 Координаты центров масс Ci звеньев i в системах координат Oi , xi , y i , z i вводятся пользователем при указании положений центров масс звеньев. Привязка модели к неподвижной системе отсчета O0 , x 0 , y 0 , z 0 может выполняться как автоматически (звено с индексом i = 0 учитывается в программе как неподвижное), так и прямым указанием пользователя. Положение звеньев манипулятора в любой момент времени полностью определяется ее постоянными геометрическими параметрами (длинами звеньев, углами скручивания) и вектором обобщенных координат q q1 (t ) q2 (t ) qm (t )T . Рассмотрим разомкнутую систему без ветвления при q 0 . Тогда положение звеньев в системе координат O0 , x 0 , y 0 , z 0 будет постоянным и зависящим только от величин геометрических параметров самих звеньев. Матрицы перехода от i системы координат к системе координат i - 1, в этом случае будут также постоянными: R Hi i 000 69 pi , 1 (3.48) где ii 1 ii Ri ji 1 ii ki 1 ii ii 1 ji ji 1 ji ki 1 ji ii 1 ki ji 1 k i k i 1 ki постоянные матрицы поворота, определяемые углами скручивания; pi p1i p 2i p3i T - постоянные векторы переноса, определяемые длинами звеньев. Матрицы Ri вычисляются по координатам векторов ii 1 , ji 1 , ki 1 и ii , ji , ki в системе координат O0 , x 0 , y 0 , z 0 : Ri BiT1 Bi , (3.49) где матрицы Bi 1 ii 1 ji 1 i1(i 1) ki 1 i2 ( i 1) i3( i 1) j1(i 1) j2 ( i 1) j3( i 1) k1( i 1) i1i k2 (i 1) ; Bi i2i i3i k3(i 1) j1i j2i j 3i k1i k 2i . k 3i Векторы переноса в i-1 системах координат определяются по следующей формуле: 0 pi , i 1, pi T 0 ( R1 Ri 1 ) pi , i 1, (3.50) 0 где p i - векторы переноса, вычисленные в неподвижной системе координат. Полные матрицы перехода от i – той системы координат к системе координат i - 1, есть результат умножений численных матриц Hi, на символьные матрицы Qi , описываемые выражениями (3.46) и (3.47): Ai H iQi . 70 (3.51) Вывод уравнений кинематики выполняется согласно следующим уравнениям: i ri0 0 ri Ai , 1 1 (3.52) i где ri - радиус векторы центров масс C i в системах отсчета, связанных со звеньями i, i Ai0 Ak - матрицы перехода от системы k 1 координат i к неподвижной системе координат. Матрицы (3.45) входят в Ri0 pi0 0 A состав данных матриц перехода: i . Блок-схема общего 1 000 алгоритма кинематики механизма без ветвления приведена на рис. 3.17. В тех случаях, когда механизм имеет ветвления кинематической цепи, порядок присоединения звеньев будем задавать при помощи структурного алгоритма Слиеде: каждому звену i поставим в соответствие номер si того звена, с которым оно соединяется при движении по цепи в сторону основания. Например, для разомкнутого механизма (рис. 3.9) значения si, соответствующие подвижным звеньям i = 1, 2, 3, представлены в табл. 3.1. i si 1 2 2 0 Таблица 3.1 3 0 Тогда при вычислении матриц перехода Ai от последующих систем координат к предыдущим, согласно формулам (3.48) – (3.51), структура механизма будет учтена, если вместо индекса i – 1 в эти формулы подставить индекс si. Нетрудно убедиться, что в случае разомкнутой системы без ветвления si = i – 1, i = 1, ... , m. 71 На схеме обозначены: O – матрица начальных точек локальных систем координат, связанных с подвижными звеньями; I, J, K – матрицы координат концов единичных векторов ii, ji, ki в неподвижной (базовой) системе координат. Такая форма представления информации об основных геометрических параметрах звеньев характерна для графических программных модулей, в которых прямолинейный отрезок (вектор) задается координатами его начала и конца в базовой системе декартовых координат. начало O (3 x m), I (3 x m), J (3 x m), K (3 x m), структура механизма 3. Вычисление матриц A1, ..., Am 1. Вычисление координат векторов 4. Формирование уравнений кинематики ii, ji, ki, i = 1,..., m 5. Запись уравнений кинематики в файл 2. Вычисление матриц H1, ..., Hm конец Рис. 3.17 Задача Координатно-измерительная машина (КИМ) Thorus 6/9200 (Garda, Италия), предназначенная для измерения крупногабаритных деталей, изображена на рис. 3.18. Программная обработка результатов измерений, выполняемых с помощью рычажного механизма, осуществляется ПЭВМ. 72 Рычажный механизм КИМ имеет шесть вращательных степеней свободы; выходное звено оснащено механическим датчиком касания (щупом), центр сферической головки которого находится на расстоянии 130 мм от оси шарнира. Получить функции положения центра головки щупа в системе координат, связанной с основанием механизма. Решение Геометрическая модель механизма КИМ в положении q 0 , выполненная в CAD-системе с использованием принятых графических изображений шарниров, показана на рис. 3.19; расстояния между осями шарниров условно не показаны. Пусть отрезки, изображающие векторы ii , ji , ki , i 1,,6 , имеют длину 1 мм. Тогда матрицы абсолютных координат крайних точек этих отрезков будут следующими: 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 O 0 1700 2500 2595 4465 4600 , I 0 1700 2500 2595 4465 4600 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 J 1 1701 2501 2596 4465 4601 , K 0 1700 2500 2595 4466 4600 . 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 q1 95 1870 1700 800 q6 q5 q4 q3 q2 Рис. 3.18 73 q1 z0, z1 q2 x0, x1 z2 y0, y1 O0, O1 x2 q3 z3 y2 O2 x3 O3 y3 z4 O4 x4 Рис. 3.19 q4 y4 q5 y5 O5 x5 z5 q6 z6 y6 x6 С6 Матрицы, задающие преобразования координат, связанные с перемещением звеньев в кинематических парах, описываются формулами (3. 46): Ci S Qi i 0 0 Si Ci 0 0 0 0 0 0 , где Ci cos qi , Si sin qi , i 1,,6 . 1 0 0 1 Матрицы O, I, J, K, Q являются исходными данными расчетной программы, написанной на алгоритмическом языке системы Mathcad и реализующей алгоритм (рис. 3.17). Расчетная программа и результат ее выполнения – аналитическая запись вектора абсолютного положения точки C6 в базовой системе координат O0 x0 y0 z0 приведены в приложении 1. 74 3.8. Алгоритмы формирования уравнений динамики системы с сосредоточенными массами Дадим алгоритм формирования уравнений динамики (3.4) для системы без ветвления с точечными массами [21, 24]. Проекции скоростей центров масс звеньев на оси неподвижной системы координат O0 , x 0 , y 0 , z 0 u x 1i q j , j 1 q j i вычислим i zi0 j 1 по формулам u3i q j , q j где 0 zCi u3i (q1 ,, qi ) 0 i 0 xCi u1i ( q1 ,, qi ) , i y 0 i j 1 u2i q j , q j 0 yCi u 2i (q1 ,, qi ) , - абсолютные координаты центров масс звеньев. Собирая одноименные проекции абсолютных скоростей центров масс в матрицы-столбцы, будем иметь: x x 0 x n u11 q 1 u 12 q1 u 1n q1 y y 0 y n u 21 q 1 u 22 q1 u 2n q1 z z 0 zn u31 q 1 u 32 q 1 u 3n q1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 u12 q2 u1n q2 0 0 0 0 u 22 q2 u 2 n q2 0 0 u32 q2 u3n q2 0 0 0 q1 0 q 2 , u1n q n qn x U1 q, (3.53) 0 q1 0 q 2 , u 2 n q n qn y U 2 q , (3.54) 0 q1 0 q 2 , u3n q n qn z U 3 q . (3.55) 75 В формулах (3.53) – (3.55) верхний индекс «0» обозначает проекции скоростей на оси неподвижной системы координат. Соответственно, для абсолютных ускорений центров масс звеньев получим уравнения n x U1q i 1 n n U1 U 3 U 2 qqi , y U 2 q qq i , z U 3 q qqi . qi i 1 qi i 1 qi (3.56) Уравнения динамики системы будут иметь вид 0 0 xi0 y z 0 0 i i Q j (t ) mi ( xi g1 ) F1i mi ( yi g 2 ) F2i mi (zi0 g3 ) F3i q j q j i 1 q j j 1,2,, m, n где Fi F1i F2i g g1 g 3 - ускорение свободного падения. g2 F3i T , (3.57) - равнодействующие сил внешней нагрузки, T начало ri(q1,…,qi), mi, Fi, g, i=1,…,n 3. Формирование выражений для абсолютных ускорений 1. Формирование матриц U1, U2, U3 4. Формирование уравнений динамики 2. Вычисление ∂Uk/∂qi, k = 1,2,3, i = 1,…n 5. Запись уравнений динамики в файл Рис. 3.20 конец Алгоритм, формирующий уравнения динамики согласно (3.56), (3.57) приведен на рис. 3.20. Данный алгоритм эффективен, когда число степеней 76 свободы разомкнутой цепи с вращательными кинематическими парами m 4. На разомкнутый механизм с вращательными соединениями в процессе движения кроме n компонент сил инерции звеньев, обусловленных обобщенными ускорениями, действует n j 1 2n(n 1) j 1 компонент сил инерции, обусловленных обобщенными скоростями. Например, выражения для проекций абсолютного ускорения центра масс последнего звена в случае механизма с шестью вращательными парами будут содержать 27 компонент, зависящих от скоростей и ускорений. Суммирование этих проекций согласно (3.57) приводит к громоздкому аналитическому выражению, для упрощения которого потребуется большой объем оперативной памяти. Решение проблемы может быть осуществлено двумя способами: 1) 2) увеличением объема оперативной памяти компьютера; модификацией вычислительного алгоритма. Первый способ малопригоден, так как, при повышении числа степеней свободы, оперативной памяти компьютера может оказаться недостаточно. Поэтому наиболее рациональным будет второй способ, состоящий в изменении алгоритма (рис. 3.20) таким образом, чтобы выражения для компонент сил и моментов вычислялись и упрощались по отдельности. В этом случае при выполнении процедуры упрощения отпадает необходимость загружать выражение для управляющей силы или момента целиком в оперативную память компьютера. Обратимся к выражениям (3.56) описывающим проекции ускорений центров масс звеньев на оси неподвижной системы координат. Так как уравнения связей получаются путем ортогональных преобразований, то сомножители при компонентах проекций ускорений представляют собой функции, содержащие синусы и косинусы обобщенных координат. Следовательно, при вычислении сил и моментов сил инерции, действующих по обобщенным координатам, сомножители при одинаковых инерционных компонентах должны сокращаться (образуя 77 тригонометрические единицы или взаимно уничтожаясь). Это означает, что, складывая по отдельности проекции одноименных компонент сил инерции на оси неподвижной системы координат, а затем, суммируя полученные простые слагаемые, можно формировать уравнения динамики без необходимости упрощать громоздкие аналитические выражения. Поясним изложенный способ на простом примере. Пусть требуется получить уравнение динамики системы (рис. 3.21), состоящей из невесомого стержня длины L, шарнирно прикрепленного к неподвижному основанию одним концом и массой m, помещенной в точке C, на другом конце. Уравнения, описывающие положение точки C имеют вид: xC LCq, yC LSq. Проекции абсолютного ускорения точки C будут выражаться следующими зависимостями: xC LqSq Lq 2 Cq, yC LqCq Lq 2 Sq. y C, m yC L q, M xC O x Рис. 3.21 Число степеней свободы системы n = 1. Проекции ускорения точки C содержат две компоненты, одна из которых зависит от q , а другая – от q . Частные производные, определяющие функциональные преобразователи связного графа, равны: xC y LSq, C LCq. Уравнение динамики системы q q имеет вид: M M 1 (q) M 2 (q ) , 78 x C y ( LqSq ) m C ( LqCq) mL2 q( S 2 q C 2 q) mL2 q, q q x y M 2 (q ) m C ( Lq 2 Cq) m C ( Lq 2 Sq ) mL2 q 2 ( SqCq CqSq) 0. q q M 1 (q) m Суммируя компоненты M1 и M2, окончательно получаем: M mL2 q . Усовершенствование алгоритма (рис. 3.20) будет заключаться лишь в изменении порядка выполнения символьных операций, предусмотренных уравнениями (3.56) и (3.57): упрощение уравнений динамики будет вестись покомпонентно. Таким образом, уравнения динамики, получаемые при помощи нового алгоритма, не будут нуждаться в процедуре конечного упрощения, требующей большого объема оперативной памяти. Представим проекции ускорений точек системы (3.56) в следующем виде: x x ~ x , y y ~y , z z ~z , где x U1q , y U 2 q и z U 3 q - (3.58) компоненты, обусловленные n n n l 1 l 1 l 1 ~ ~ ~ обобщенными ускорениями; x 1l qql , y 2l qql и z 3l qql - компоненты, обусловленные обобщенными скоростями; U k kl , k 1,2,3 . С учетом (3.58) уравнение динамики (3.57) ql принимает вид [22, 24]: Q M S G F B K , где Q Q1 Q2 Qn M M 1 - вектор управляющих сил и моментов, T M2 Mn T (3.59) - вектор сил и моментов обусловленных ускорениями в соединениях, S S1 сил инерции, S2 Sn T - вектор центробежных, кориолисовых сил и моментов сил инерции, 79 G G1 G2 Gn T F F1 F2 Fn T вектор - сил вектор - и сил моментов нагрузки сил и их тяжести, моментов; B b1 q1 b2 q 2 bn q n - вектор сил и моментов сил вязкого трения, T K k1 q1 k 2 q 2 k n qn - вектор сил и моментов сил упругости. T q1 , , qn U1,U2,U3 m1,..., mn Вычисление вектора сил инерции M Вычисление вектора центробежных и кориолисовых сил S Φ1i,Φ2i,Φ3i i=1,..., n q1 , , q n M S Q Σ -K g F1i,F2i,F3i i=1,..., n Вычисление вектора сил тяжести G Вычисление сил внешней нагрузкиF Рис. 3.22 Элементы векторов M, S, G и F будут равны: 80 -B -G -F M j mi u1ij xi u2ij yi u3ij zi , (3.60) S j mi u1ij ~ xi u2ij ~ yi u3ij ~ zi , (3.61) G j mi u1ij g1 u2ij g 2 u3ij g3 , (3.62) Fj u1ij F1i u2ij F2i u3ij F3i , (3.63) n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 где u kij - элементы матриц функциональных преобразователей Uk; Fki – координаты активных сил, приложенных к точке Сi; k 1,2,3 , i, j 1, , n . Согласно поставленной задаче, векторы B и K полагаются известными. Тогда общий алгоритм вывода уравнений динамики будет иметь следующую структуру (рис. 3.22). Он экономно использует оперативную память компьютера, что дает возможность выводить уравнения динамики механических систем с большим числом степеней свободы при небольшом объеме оперативной памяти. Алгоритмы вычисления векторов M, S, G и F даны в приложении 2. Они основаны на использовании типовых символьных операций умножения матрицы A (n x n) на вектор b (n x 1), c c1 cn A b , и суммирования элементов T вектора c, n c ci [10]. Особенностью этих алгоритмов является то, что i 1 операция умножения на ноль при их реализации не выполняется (на каждом шаге цикла вычисляемому элементу присваивается значение «ноль»; если хотя бы один множитель элемента равен нулю, то выполняется переход к следующему шагу цикла). Алгоритмы, реализующие вычисление компонент, обусловленных инерцией звеньев относительно их центров масс, согласно формулам (3.9) – (3.11), могут быть организованы аналогичным образом: с раздельным вычислением составляющих, определяемых обобщенными скоростями, ускорениями и внешней моментной нагрузкой относительно центров масс звеньев. 81 3.9. Вычислительная эффективность алгоритмов динамики Реализация алгоритмов формирования уравнений динамики механических систем, имеющих пространственную структуру и большое число степеней свободы, требует сохранения в устройствах памяти компьютера больших объемов данных и выполнения значительного числа математических операций. Снижение затрат времени на выполнение поставленной задачи может быть достигнуто за счет рационального использования возможностей компьютера: уменьшения числа необходимых математических операций, уменьшение числа обращений к устройствам внешней памяти, учета особенностей архитектуры процессора при разработке алгоритмов, использования сохраненных в ПЗУ результатов предыдущих вычислений. Согласно [12], одним из важнейших показателей вычислительной эффективности является число математических операций сложения и умножения, требуемое для реализации алгоритма4. По этому критерию предпочтительным будет тот алгоритм, который требует меньшего объема вычислений для решения одной и той же задачи. Для алгоритмов динамики манипуляторов типовой задачей является формирование уравнений динамики манипулятора, представляющего собой разомкнутую кинематическую цепь без ветвлений, движущуюся в однородном поле сил тяжести. Общее число операций умножения и сложения, необходимых для вывода уравнений динамики такого манипулятора с использованием алгоритма, разработанного на основе метода связных графов NSg (n) N K (n) N M (n) N S (n) NG (n) NV (n) , (3.64) Алгоритм динамики предусматривает также символьное дифференцирование функций одного аргумента. Но число операций символьного дифференцирования, по сравнению с числом операций сложения и умножения, пренебрежимо мало. 4 82 где NK(n) – число операций, необходимых для формирования уравнений кинематики; NM(n) – для вычисления вектора M инерционных компонент; NS(n) - для вычисления вектора S центробежных и кориолисовых компонент; NG(n) - для вычисления вектора G гравитационных компонент, NV(n) - для вычисления инерционных компонент собственного вращения звеньев; n – число степеней свободы манипулятора. Слагаемые в (3.64) вычисляются по формулам: 194, n 1, N K ( n) 366n 217, n 1, (3.65) N M ( n) 11 3 9 2 1 n n n, 3 2 6 (3.66) N G ( n) 11 2 7 n n, 2 2 (3.67) NV (n) 12n 4 12n3 18n 2 55n , (3.68) 8 31 11 2 N S ( n) n 4 n 3 n 2 n 3 6 6 3 (3.69) На рис. 3.23 приведены графики NSg(n), рассчитанного согласно (3.64) – (3.69) и соответствующего показателя NLa(n) алгоритма динамики, разработанного Дж. Уикером на основе метода Лагранжа [45]. Анализ графиков показывает, что разработанный на основе метода связных графов алгоритм в задаче формирования уравнений динамики разомкнутого манипулятора требует на порядок меньше операций сложения и умножения, чем алгоритм Уикера. Показатели NSg(n) и NLa(n) изменяются по закону полинома четвертой степени от числа степеней свободы манипулятора, так как оба алгоритма предполагают вычисление ускорений звеньев в базовой системе координат, связанной с основанием манипулятора. Также на рис. 3.23 приведен график NS (n) NSg (n) NV (n) – показатель вычислительной эффективности алгоритма, разработанного в п. 3.7, 3.8 для манипулятора с сосредоточенными массами. 83 Рис. 3.23 Существенного снижения вычислительных затрат при формировании уравнений динамики можно достичь в тех случаях, когда заранее известны уравнения динамики некоторой части манипулятора: например, при добавлении модуля к роботу агрегатно-модульного типа или при установке манипулятора на подвижное основание. Тогда к уже имеющимся уравнениям динамики участка кинематической цепи (ускоряющего механизма) можно добавить уравнения динамики присоединяемой части (ускоряемого манипулятора), вычисленные в соответствующей неинерциальной системе отсчета и получить уравнения динамики составного манипулятора (рис. 3.24). На рис. 3.24 обозначены: 1 – ускоряющий механизм, 2 – ускоряемый манипулятор. Динамика системы «ускоряющий механизм - ускоряемый манипулятор» будет описываться уравнениями [26] 84 r q F J n i i 1 i n Qs s i 1 n где ie J ic k 0 , k l 1, l 2,, l m , (3.70) k k mi ril qk wirl ri ( Fi mi wi ) 0 , s 1,2,, l , qs - инерционные компоненты (3.71) уравнений, i 1 описывающих динамику ускоряемого манипулятора, установленного на неподвижном основании; Fi - равнодействующие активных сил, J ie - силы инерции переносного движения, r F 1 qs Qs J ic - кориолисовы силы инерции. r m w 1 qs - обобщенные силы, s - силы инерции ускоряющего механизма, приведенные к обобщенным координатам, wi wir wie wic - абсолютные ускорения звеньев манипулятора; l – число степеней свободы ускоряющего механизма, m – число степеней свободы ускоряемого манипулятора. z0 1 ql+1 ql 2 q2 y0 O0, x0 ql+2 ql+ m q1 Рис. 3.24 Если известны уравнения динамики, как манипулятора, так и ускоряющего механизма, задача формирования уравнений динамики 85 системы «ускоряющий механизм – манипулятор» сводится к вычислению неизвестных сумм в (3.70), (3.71). Ясно, что это потребует меньших объемов вычислений, чем вывод уравнений динамики манипулятора с m+l степенями свободы традиционным способом. Применение (3.70), (3.71) в качестве математического обеспечения программного модуля, осуществляющего вывод уравнений динамики, позволит более интенсивно использовать накопленные промежуточные результаты в задачах моделирования динамики сложных манипуляторов и за счет этого увеличить эффективность САПР роботов. Отметим также, что (3.70), (3.71) можно использовать как основу алгоритма динамики манипулятора в общем случае, когда k , Qs и s неизвестны. Для этого вначале следует вычислить инерционную компоненту m конечного одноподвижного участка кинематической цепи, затем последовательно сформировать уравнения динамики для степеней свободы от m до 2 в соответствии с (3.70); уравнение динамики для первой степени свободы формируется согласно (3.71). 86 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИВОДА ДИНАМИКИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО 4.1. Автоматизация моделирования динамики привода мехатронной системы Исполнительным приводом мехатронной системы называется ее функциональная часть, предназначенная для преобразования управляющих сигналов, формируемых микропроцессорной системой управления, в соответствующие силы и моменты, прилагаемые к звеньям исполнительного механизма (объекта управления). Привод мехатронной системы является следящим, т.е. представляет собой активную динамическую систему с главными обратными связями по управляемым координатам. В состав исполнительного привода входят двигатели (электрические, гидравлические, пневматические), передаточные механизмы, измерительные, преобразующие устройства, предварительные усилители и усилители мощности. Питание привода энергией осуществляется от стационарных или автономных источников питания. Двигатели, передаточные механизмы и усилители мощности составляют силовую часть привода. В следящих приводах используются силовые части, управляющие скоростью исполнительного двигателя, или специально сформированные силовые части, управляющие моментом двигателя. В отдельных случаях, когда усилия или моменты двигателей достаточны для обеспечения требуемых движений объекта управления, силовая часть привода может не содержать передаточных механизмов. Следящие приводы являются сложными многоконтурными системами. Одна из основных задач проектирования следящего привода – анализ динамики и синтез алгоритмов управления, обеспечивающих требуемые показатели качества системы управления (точность, быстродействие, запасы устойчивости и др.). Согласно [41], при решении этой задачи необходимо располагать уравнениями динамики основных элементов следящего привода, и, прежде всего, уравнениями его силовой части. Анализ и синтез следящего привода усложняются необходимостью учета упругих деформаций и люфтов в передаточных механизмах, что 87 особенно существенно для систем большой мощности, а также необходимостью учета сухого трения, ограничения линейной зоны усилителей и ряда других факторов. Формирование уравнений динамики исполнительного привода с учетом указанных особенностей является сложной задачей, решение которой целесообразно автоматизировать. Проектирование исполнительного привода предполагает обоснованный выбор двигателей и определение параметров передаточных механизмов. На стадии энергетического расчета привода многие характеристики (коэффициенты полезного действия, жесткости, потерь на деформацию, люфты и т.п.) являются неизвестными. Поэтому на данном этапе используется приближенная математическая модель, в которой учитываются лишь наиболее существенные свойства привода. После конструкторской проработки силовой части уточняются упругие, диссипативные и инерционные характеристики отдельных элементов механических передач, определяются люфты, трение в кинематических парах, динамические свойства двигателей и усилителей мощности, что позволяет разработать более точную математическую модель привода. Такая модель используется для решения задач анализа динамики и синтеза следящего привода на последующих этапах проектирования мехатронной системы, а также при выполнении проверочных расчетов. Автоматизированное формирование модели динамики исполнительного привода должно обеспечивать возможность развития и уточнения модели в процессе проектирования; это достигается применением САПР, CAD и СAE - модули которой используют единый формат данных и могут функционировать совместно. Механические характеристики исполнительного привода определяются динамическими свойствами объекта управления, типовыми законами его движения и внешними силовыми воздействиями на объект управления. Основные проектные решения по функциональным элементам привода принимаются на основе результатов, полученных при исследовании модели динамики объекта управления с учетом требуемых законов движения и действующих сил. В свою очередь, синтез системы управления выполняется по результатам математического моделирования с учетом динамических особенностей объекта управления и 88 исполнительного привода. Соответственно, построение модели динамики исполнительной части мехатронной системы можно рассматривать как процесс, осуществляемый в следующем порядке: модель объекта управления – модель исполнительной системы (объект управления и привод) - модель исполнительной системы с учетом системы управления движением. Непрерывность процесса формирования модели динамики исполнительной системы и согласованность отдельных частей модели обеспечивается за счет применения на всех этапах единого метода математического моделирования динамики – метода связных графов. 4.2. Модель динамики электропривода на основе двигателя постоянного тока независимого возбуждения Исполнительные приводы, основным функциональным элементом которых является электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ), получили широкое распространение в технике, благодаря основному достоинству таких двигателей - линейной механической характеристике, наличие которой позволяет применять простые схемы управления. Возбуждение в ДПТ НВ осуществляется от отдельной обмотки статора или от постоянных магнитов, что характерно для двигателей малой мощности. Используемые в приводах роботов и станков ДПТ НВ называются исполнительными; они предназначены для продолжительной эксплуатации в условиях частых пусков, реверсов и многократных кратковременных перегрузок по моменту. Как правило, исполнительные ДПТ НВ развивают номинальную мощность на достаточно высокой частоте вращения ротора (1000 – 6000 об/мин), что приводит к необходимости вводить в состав привода редукторы с большим (до нескольких сотен) передаточным отношением. Редукторы, обеспечивающие большие передаточные отношения, обычно являются многоступенчатыми; в них наиболее сильно проявляются такие отклонения от идеальной механической передачи, как инерционность, упругая податливость, люфт и трение в кинематических парах. Поэтому 89 при автоматизированном моделировании динамики электропривода на основе ДПТ НВ должна обеспечиваться возможность учета всех указанных факторов. i J1, K ЭЗ1 U ЭЗ2 ЭЗN αN+1, MN+1 α1, M1 Редуктор L, R Рис. 4.1 Функциональная схема системы «двигатель-редуктор» изображена на рис. 4.1. Параметры двигателя: J1 – момент инерции, α1 – угол поворота ротора, K – коэффициент двигателя, M1 – момент двигателя, L – индуктивность, R – активное сопротивление цепи якоря. Управляющее напряжение – U, ток в цепи якоря - i. Редуктор, в соответствии с [41], представляется в виде системы последовательно соединенных элементарных звеньев (ЭЗ), расчетная схема элементарного звена приведена на рис. 4.2. На схеме обозначены: ui – передаточное отношение безынерционного элемента зацепления, Δθi – зона нечувствительности элементарного звена, ki – коэффициент жесткости, bi –коэффициент потерь на деформацию, αi+1 – угол поворота выходного вала, Ji+1 – момент инерции, MТi+1 – момент сухого трения, Mi+1 – момент нагрузки на выходном валу элементарного звена i. Δθi MТi ki , bi ui αi, Mi Ji+1 αi+1, Mi+1 ЭЗ i Рис. 4.2 90 Расчетная схема элементарного звена может быть поставлена в соответствие одной ступени зубчатой передачи, как с неподвижными осями, так и планетарной. d ( J i i1 ) dt i Mi ui-1 1 M Ti 1sign ( i1 ) i 1 Σ i 1 Mi+1 -1 1 m(θi) i (k )dt i i 1 bii d ( J i 1 i1 ) dt Рис. 4.3 Связный граф элементарного звена [29] представлен на рис. 4.3. Он содержит два элемента, имеющих нелинейные характеристики: функциональный преобразователь (люфт) с коэффициентом преобразования m(i ) i i , где 0, i i 2 i ( i ) i i , i , i sign ( i ) 2 2 i (t ) i (t )ui1 i1 - угол закручивания (4.1) упругого элемента и диссипативный элемент (сухое трение), момент MTi+1 которого пропорционален моменту нагрузки Mi+1 на выходном валу элементарного звена и направлен в сторону, противоположную направлению вращения выходного вала, i 1,2,, N . Графики функций φ(θ) и M CT ( ) , описывающих соответственно люфт и сухое трение, приведены на рис. 4.4. 91 d (Li ) dt MCT φ MT -Δθ /2 θ 0 Δθ /2 0 U -MT Ri Рис. 4.5 Рис. 4.4 d (Li ) dt d ( J11 ) dt 1 i 1 U K i 1 u1-1 1 K Ri -1 d ( J i i ) dt i ui-1 1 M Ti 1sign ( i1 ) Σ i 1 -1 1 u d ( J i 1 i1 ) dt 1 i 1 i 1 m(θi) i (k )dt i i 1 bii M TN 1sign ( N 1 ) MN+1 N 1 -1 1 d ( J N 1 N 1 ) dt Рис. 4.6. Связный граф сервопривода на основе ДПТ НВ с N-ступенчатым редуктором. 92 При построении связного графа привода с использованием компьютера элементарное звено используется как типовой элемент расчетной схемы, в соответствие которому ставится заранее известный участок связного графа. Связный граф сервопривода на основе ДПТ НВ (рис. 4.1), управляющего перемещением исполнительного механизма по одной степени свободы, изображен на рис. 4.7. Он может быть составлен в автоматизированном режиме по заданной кинематической схеме сервопривода из типовых участков, соответствующих ступеням механической передачи (рис. 4.3) и ДПТ НВ (рис. 4.5). Формирование уравнений динамики сервопривода осуществляется на основе его связного графа в порядке, описанном в п. 2.3 настоящей монографии. Уравнения, описывающие динамику сервоприводов всех управляемых перемещений в совокупности с уравнениями динамики исполнительного механизма, составляют математическую модель динамики силовой части исполнительной системы. Изложенный способ автоматизированного формирования уравнений динамики может быть использован и в случае передаточного механизма с разветвленной кинематической цепью; например, когда несколько двигателей работают на общую нагрузку, управляя одним и тем же перемещением исполнительного механизма. Рекомендации к определению расчетных величин люфтов Δθ в механических передачах содержатся в [16], значений коэффициентов крутильной жесткости валов k и коэффициентов потерь на деформацию b – в [8, 32]. Задача Получить уравнения динамики мехатронного модуля, состоящего из электродвигателя МИГ370ДТ и двухступенчатого планетарного редуктора. Схема модуля изображена на рис. 4.7. Параметры двигателя: номинальная мощность – 370 Вт, номинальное напряжение питания – 27 В, номинальный ток якоря – 17 А, номинальная частота вращения – 6000 об/мин, активное сопротивление якоря R 0.12Ом , индуктивность якоря L 2.4 105 Гн , коэффициент двигателя K 0.04 , момент инерции ротора J1 4.8 105 кг м2 . Параметры редуктора: передаточные отношения 4 ступеней u1 8 , u2 10 , коэффициент жесткости k 7 10 Н м рад , 93 коэффициент потерь на деформацию b 10 Н м с рад , люфты в ступенях 5 104 рад , момент инерции водила и сателлитов первой ступени относительно оси вращения водила J 2 3.0 105 кг м2 , момент инерции второй ступени с учетом J 3 5.5 104 кг м 2 . нагрузки Трение в кинематических парах считать пренебрежимо малым. i U u1 α1, M1 u2 α3, M3 Рис. 4.7 Решение Расчетная схема модуля соответствует схеме, изображенной на рис. 34, число эквивалентных звеньев N=2. Связный граф динамики модуля имеет вид (рис. 4.8). Применяя к узлам потоков графа закон (2.2) получим уравнения динамики модуля: di Ri K1 dt Ki J11 u11m(1 )k1 b1 U L m(1 )k1 b1 J 22 u21m( 2 )k 2 b2 m( 2 )k 2 b2 J 33 M 3 где i (t ) i (t )ui1 i1 , i 1,2 . 94 (4.2) Интегрирование уравнений (4.2) с учетом (4.1) методом Рунге-Кутты четвертого порядка с шагом h 1.2 10 6 c на интервале времени t 0,0.12c при значениях U 27В , M 3 50Н м и нулевых начальных условиях, дает закон изменения тока якоря (рис. 4.9, а), законы изменения углов поворота (рис. 4.9, б, в, г) и угловых скоростей (рис. 4.9, д, е, ж) валов редуктора. d ( J11 ) dt d (Li ) dt i 1 U K 1 u1-1 1 Ri Σ 2 1 В -1 u d ( J 2 2 ) dt M3 -1 1 m(θ1) 1 (k )dt 1 1 b1 1 2 Σ 3 1 1 2 1 m(θ2) 2 (k )dt 2 1 b2 d ( J 3 3 ) dt Рис. 4.8 Результаты математического моделирования показывают динамическое влияние люфтов в механической передаче: выходные валы ступеней 1 и 2 начинают движение из состояния покоя в результате упругих ударов, энергия которых частично поглощается звеньями 95 механизма. На практике, подобные динамические эффекты сводят к минимуму, повышая точность изготовления звеньев или применяя люфтовыбирающие устройства. Моделирование динамики с учетом нелинейности типа «люфт» на ранних стадиях проектирования привода позволит более обоснованно назначать класс точности звеньев и решать вопрос о применении люфтовыбирающих устройств. i, A 2 , рад 1 , рад а) t, с 3 , рад б) t, с 1, рад / c в) t, с 2 , рад/ c t, с г) t, с t, с д) 3 , рад / c е) t, с ж) Рис. 4.9 4.3. Модель динамики гидропривода с гидроцилиндром двухстороннего действия Гидравлический (электрогидравлический) привод имеет широкое применение в робототехнике, станкостроении и подъемно-транспортном 96 машиностроении благодаря своему основному достоинству – возможности обеспечения значительных силовых воздействий при относительно небольших габаритах и массе исполнительных элементов. По причине малой сжимаемости жидкости, гидропривод отличает также малое время реакции на задающее входное воздействие. У современных гидроприводов это время может составлять примерно 0.005 с. Управление скоростью движения выходного звена осуществляется путем изменения площади проходных сечений в магистрали нагнетания рабочей жидкости (дроссельное управление), а также за счет изменения рабочего объема насоса или двигателя (объемное управление). Гидроприводы дроссельного управления, в свою очередь, могут получать энергию от насосов постоянной или переменной производительности. Гидропривод дроссельного управления с насосом постоянной производительности является наиболее распространенным, благодаря простой и относительно дешевой конструкции, но его КПД довольно низкий. Применение насосов переменной производительности позволяет повысить КПД гидропривода, уменьшить необходимый объем рабочей жидкости и отказаться от системы ее охлаждения, но себестоимость гидропривода в целом увеличивается, так как насосы переменной производительности являются существенно более дорогими. Механическая характеристика гидропривода дроссельного управления является нелинейной, так как зависимость разности давлений на входах и выходах дросселирующих клапанов от объемного расхода рабочей жидкости – нелинейная. Гидропривод объемного управления отличает высокий КПД, небольшие габаритные размеры и масса, механическая характеристика, близкая к линейной. Стоимость таких гидроприводов является высокой, так как в них используются дорогостоящие плунжерные насосы переменной производительности. Роботы, станки с ЧПУ, современные подъемно-транспортные машины с микропроцессорным управлением оснащаются следящим гидроприводом. Подробные сведения о гидроприводах машин можно найти в [40, 42]. Динамика гидропривода зависит от физических свойств рабочей жидкости (жидкостно-газовой смеси): плотности, сжимаемости, вязкости, 97 теплоемкости и теплопроводности. Существенный вклад в динамику гидропривода вносят особенности его механической части (трение и зазоры в кинематических парах, упругая податливость звеньев). При разработке математической модели динамики гидропривода в каждом конкретном случае следует учитывать лишь наиболее значимые факторы, так как учет всех действующих факторов нецелесообразен из-за усложнения модели и отсутствия точных данных обо всех параметрах системы. Автоматизация моделирования динамики гидропривода основывается на том, что его типовым элементам можно поставить в соответствие определенные математические модели, которые представляются заранее известными участками связного графа. Состояние элементов связного графа, описывающего динамику гидравлической системы, характеризуется двумя параметрами: объемным расходом Q, м3 / c (переменная типа «поток») и давлением p, Н м 2 (переменная типа «усилие»). Уравнения (2.3) – (2.5), описывающие динамику процессов, протекающих в одновходовых элементах связного графа гидравлической системы, имеют вид: p d mQ - инерционный dt накопитель энергии, p cQ dt - емкостный накопитель энергии, p (Q, x) - элемент, рассеивающий энергию. В уравнениях обозначены: m, кг м 4 коэффициент массы; c, Н м5 - коэффициент жесткости жидкости в выделенном участке трубопровода. Коэффициенты m, c рассчитываются по формулам [44]: m V A2 , c E Al , где , кг м3 - плотность, V , м3 объем, E, Н м2 - модуль объемной упругости рабочей жидкости; A, м 2 площадь поперечного сечения, l, м - длина выделенного участка трубопровода. Функция (Q, x) , описывающая потери давления на местных управляемых гидравлических сопротивлениях, имеет вид [42]: (Q, x) k ( x)Q 2 , (4.3) где k ( x) 0.5 A( x) 2 , 0.6 0.8 - безразмерный коэффициент расхода, A(x ) - площадь поперечного сечения рабочего окна золотникового 98 распределителя, x, м – перемещение золотника. Потери давления на участке трубопровода при ламинарном течении [44]: (Q) Г Q , (4.4) где Г 2V A2 - коэффициент гидравлического сопротивления, Н с м5 , - коэффициент линеаризованного вязкого трения жидкости. Идеальный гидроцилиндр математически описывается как функциональный преобразователь (2.6): v A1Q , F A p1 p2 , где v, м с скорость перемещения поршня относительно цилиндра, F, Н - усилие, развиваемое гидроцилиндром, p1 , p2 - давления жидкости в полостях цилиндра, A – площадь активной поверхности поршня. Аналогичными уравнениями описывается идеальный гидромотор: w1Q , M w p1 p2 , где , рад с - скорость вала, M , Н м - момент, развиваемый гидромотором, w – активный объем гидромотора. Рассмотрим силовую часть гидропривода, состоящую из гидроцилиндра двухстороннего действия 1 и четырехщелевой золотниковой пары 2 (рис. 4.10). p x 2 Q1 Q3 1 Q2 F M S Рис. 4.10 99 Будем полагать, что давление рабочей жидкости p, создаваемое насосом, постоянное. На рис. 4.10 обозначены: x – перемещение золотника, Q1 – расход жидкости в магистрали нагнетания, Q2 – расход жидкости в сечении цилиндра у поверхности поршня, Q3 – расход жидкости в магистрали слива, S – перемещение штока, M – масса объекта управления, приведенная к штоку гидроцилиндра, F – сила, действующая со стороны конструкции, связывающей шток с объектом управления. Примем, что звенья гидроцилиндра и золотниковой пары абсолютно твердые. Связный граф простейшей модели данного привода, не учитывающей инерционные, упругие свойства рабочей жидкости и обладающей одной степенью свободы, имеет вид (рис. 4.11). (Q , x ) p Q 1 A1 S 1 d ( MS ) dt (Q , x ) Рис. 4.11 F На графе обозначены: Q Q j , j 1,2,3 - объемный расход, A – площадь активной поверхности поршня. Уравнение динамики такой модели при M const : p 2 (Q, x) A1 (MS F ) , (4.5) где (Q, x ) - гидравлическое сопротивление в золотниковой паре, описываемое уравнением (4.3). Уравнение (4.5) используется в решении задачи предварительного выбора элементов гидропривода и определения основных параметров гидросистемы. Модель динамики привода с учетом упругих и инерционных свойств рабочей жидкости представлена связным 100 графом, изображенным на рис. 4.12. Уравнения динамики привода, следующие из связного графа d m1 ( S )Q1 c1 ( S )Q12dt , dt 1 d c1 (S )Q12dt A dt MS F c3 (S )Q23dt , d c3 (S )Q23dt dt m3 (S )Q3 (Q3 , x). p (Q1 , x) (4.6) В уравнениях (4.6) обозначены: m1(S), m3(S) – коэффициенты масс, c1(S), c3(S) – коэффициенты жесткости рабочей жидкости в полостях гидроцилиндра; Q12 Q1 Q2 , Q23 Q2 Q3 . (Q1 , x) p Q1 1 d ( m1 ( S )Q1 ) dt Σ (c (S )Q Q12 1 1 12 )dt -1 A1 Q2 S 1 1 F (Q1 , x) Q3 d ( MS ) dt -1 Σ 1 d (m3 ( S )Q3 ) dt Рис. 4.12 101 Q23 1 (c ( S )Q 3 23 )dt Интегрирование (4.5), (4.6) выполнено при следующих значениях параметров: давление на входе, создаваемое насосом – 1МПа; площадь активной поверхности поршня – 0.0201 м2, длина рабочего хода штока – 1 м, диаметр золотника – 0.02 м, положение золотника x = 0.002 м, золотник цилиндрический, проточка в гильзе – кольцевая, коэффициент расхода – 3 0.7; плотность рабочей жидкости - 900кг / м , модуль упругости – 1750 МПа, масса объекта управления, приведенная к штоку гидроцилиндра - 6000 кг, усилие нагрузки – 15кН. Начальные условия: для (4.5) S (0) 0.400 м , S (0) 0 ; для (4.6) с учетом сжатия рабочей жидкости в гидроцилиндре под действием нагрузки S (0) 0.399 м , S (0) 0 , Q1 (0) Q2 (0) Q3 (0) 0 . Уравнения проинтегрированы на интервале h 5 104 c . t 0,5c , шаг интегрирования времени Результат интегрирования (4.5) приведен на рис. 4.13, уравнений (4.6) – на рис. 4.14. S, м t, c S , м / с Рис. 4.13 102 t, c S, м t, c S , м / с t, c Рис. 4.14 Полученные графики показывают, что при больших силовых и инерционных нагрузках влияние упругих свойств рабочей жидкости на динамику движения штока гидроцилиндра является существенным. Рассмотренная модель динамики исполнительной части гидропривода, при необходимости, может быть дополнена диссипативными элементами, учитывающими протечки рабочей жидкости и наличие сухого трения в кинематических парах. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотрены вопросы математического моделирования и автоматизации процессов формирования моделей динамики мехатронных 103 систем с использованием компьютеров. Показано, что метод связных графов, как теоретическая основа уравнений и алгоритмов автоматизированного моделирования динамики мехатронных систем различного состава и назначения, является наиболее предпочтительным, в силу его общности и инвариантности к физической природе объектов моделирования. Решены следующие научные задачи: получены связный граф голономной системы с точечными массами и общее уравнение динамики этой системы в обобщенных координатах; получены связный граф голономной системы с распределенными массами и общее уравнение динамики этой системы в обобщенных координатах; получены связный граф голономной системы с наличием замкнутых кинематических контуров и общее уравнение динамики этой системы в обобщенных координатах; получены связный граф механической системы с линейными неголономными связями и общее уравнение динамики этой системы в обобщенных координатах; получены общие уравнения, описывающие динамику системы, состоящей из многозвенного механизма и подвижного основания; получен связный граф эквивалентного звена, учитывающего свойства инерции, упругой податливости, трение и люфт в передаточных механизмах; показано, что люфт в механической передаче математически описывается как функциональный преобразователь с нелинейным коэффициентом преобразования; получен связный граф, описывающий динамику силовой части гидравлического привода, состоящей из гидроцилиндра двухстороннего действия и четырехщелевого золотникового клапана, с учетом инерционных и упругих свойств рабочей жидкости. Установлено, что применение метода связных графов в задачах моделирования динамики механических систем равносильно применению принципа Даламбера – Лагранжа, являющегося одним из наиболее общих 104 утверждений в теоретической механике. Но, в отличие от классического дифференциального вариационного принципа, описание динамики систем связными графами дает четкое представление о структуре уравнений в обобщенных координатах, что позволяет разложить сложную задачу формирования уравнений динамики системы с распределенными массами, замкнутыми кинематическими контурами и неголономными связями на более простые задачи, решаемые последовательно. Предложен подход к решению задачи автоматизации математического моделирования динамики мехатронных систем на основе метода связных графов, предполагающий применение общих уравнений динамики в сочетании с использованием связных графов типовых функциональных элементов мехатронных систем и матриц инциденций. Разработаны алгоритмы кинематики и динамики многозвенных рычажных механизмов, ориентированные на использование возможностей современных средств автоматизации вычислений и графических построений, дана оценка вычислительной эффективности разработанных алгоритмов по наиболее общему критерию – числу математических операций сложения и умножения, необходимых для формирования уравнений динамики механизма с разомкнутой кинематической цепью без ветвлений. Результаты научной работы, изложенные в настоящей монографии, могут быть использованы в качестве математического и алгоритмического обеспечения эффективных автоматизирующих программных математическое модулей моделирование и исследование динамики мехатронных систем различного целевого назначения. 105 САПР, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Автоматизация моделирования промышленных роботов / В.М. Дмитриев, Л.А. Арайс, А.В. Шутенков. – М.: Машиностроение, 1995. – 304 с. 2. Большая Советская Энциклопедия: В 30 т. / Под ред. А.М. Прохорова. – 3-е изд. – М.: Советская Энциклопедия, 1972 -1976. 3. Верещагин, А.Ф. Метод моделирования на ЦЭВМ динамики сложных механизмов роботов-манипуляторов / А.Ф. Верещагин // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1974. – №6. – C. 89 - 94. 4. Верещагин, А.Ф. Принцип наименьшего принуждения Гаусса для моделирования на ЭВМ динамики роботов-манипуляторов / А.Ф. Верещагин // Докл. АН СССР. – 1975. – Т. 220, №1. – С. 51 - 53. 5. Воробьев, Е.И. Механика промышленных роботов: В 3 т./ Е.И. Воробьев, С.А.Попов. – М.: Высшая школа, 1988. – Т. 1: Кинематика и динамика. – 299 с. 6. Вукобратович, М. Управление манипуляционными роботами / М. Вукобратович, Д. Стокич: пер. с сербскохорватск. - М.: Наука, 1985. – 384 с. 7. Вульфсон, И.И. Механика машин / И.И. Вульфсон, М.Л. Ерихов. – М.: Высшая школа, 1996. – 511с. 8. Вульфсон, И.И. Динамические расчеты цикловых механизмов / И.И. Вульфсон. – Л.: Машиностроение, 1976. – 543 с. 9. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Направление подготовки дипломированного специалиста 652000 – Мехатроника и робототехника. Министерство образования РФ: офиц. текст. - М.: 2000. – 37 с. 10. Дьяконов, В. Mathcad: Учебный курс / В. Дьяконов. – СПб.: Питер, 2001. – 624 с. 11. Ермолов, И.Л. Синтез движений технологических роботов для операций с движущимися объектами на основе метода компьютерной алгебры: Автореф. дис. … канд. техн. наук: защищена 17.06.1997 / И.Л. Ермолов.– М.: Изд-во МГТУ «СТАНКИН», 1997. – 19 с. 106 12. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике / В.С. Зарубин; под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. – 469 с. 13. Зенкевич, С.Л. Управление роботами / С.Л. Зенкевич, А.С. Ющенко. – М.: Изд-во МГТУ им Баумана, 2000. – 400 с. 14. Кобринский, А.Е. Механизмы с упругими связями. Динамика и устойчивость /А.Е. Кобринский. – М.: Наука, 1964. – 392 с. 15. Кожокару, А.А. Программное управление технологическими роботами с аналитико-экспериментальной оптимизацией по критерию быстродействия: Автореф. дис. … канд. техн. наук: защищена 25.06.1998 / А.А. Кожокару. – М.: Изд-во МГТУ «СТАНКИН», 1998. – 19 с. 16. Коловский, М.З. Основы динамики промышленных роботов / М.З. Коловский, А.В. Слоущ. – М.: Наука, 1988. – 240 с. 17. Коростелев, В.Ф. Первая Всероссийская научно-техническая конференция «Мехатроника, автоматизация, управление»: итоги Первой Всероссийской научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация, управление» [Электронный документ] . – M.: Изд-во «Новые технологии», 2004. – 4 с. (http://novtex.ru/mech/vlad_sum.htm). Проверено 04.05.2008. 18. Красковкий, Е.Я. Расчет и конструирование механизмов приборов и вычислительных систем / Е.Я. Красковкий, Ю.А. Дружинин, Е.М. Филатова; под ред. Ю.А. Дружинина. – 2-е изд., перераб и доп. – М.; Высш. шк., 1991 – 480 с. 19. Крутько, П.Д. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем / П.Д. Крутько, А.И. Максимов, Л.М. Скворцов. – М.: Радио и связь, 1988. – 306 с. 20. Крутько, П.Д. Метод связных графов в задачах математического описания динамики голономных механических систем / П.Д. Крутько, Д.В. Кузьмин // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2001. – №6. – C. 63 - 68. 21. Кузьмин, Д.В. Автоматизация описания динамики роботовманипуляторов методом связных графов / Д.В. Кузьмин // Вопросы 107 технологии, эффективности производства и надежности: Сб. статей. – Северодвинск, 2001. – Вып. 18. – С. 69 - 74. 22. Кузьмин, Д.В. Структура алгоритмического обеспечения автоматизированной системы вывода уравнений динамики методом связных графов / Д.В. Кузьмин // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2002. – №3. – C. 86 – 92. 23. Кузьмин, Д.В. Сравнительный анализ динамики двухзвенных манипуляторов с распределенными и сосредоточенными массами звеньев / Д.В. Кузьмин // Вопросы технологии, эффективности производства и надежности: Сб. статей. – Северодвинск, 2002. – Вып. 19. – С. 43 - 48. 24. Кузьмин, Д.В. Автоматизация вывода уравнений динамики исполнительных систем роботов на основе метода связных графов: Дис. …канд. техн. наук: защищена 05.11.2002: утв. 17.01.2003 / Д.В. Кузьмин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 196 с. 25. Кузьмин, Д.В. Метод связных графов в задачах математического описания динамики неголономных систем / Д.В. Кузьмин // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2005. – №4. – C. 78 - 81. 26. Кузьмин, Д.В. Алгоритмы динамики манипулятора в неинерциальной системе отсчета / Д.В. Кузьмин // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2006. – №6. – C. 86 – 89. 27. Кузьмин, Д.В. Математическое моделирование динамики многозвенных рычажных механизмов методом связных графов / Д.В. Кузьмин // Наука и технологии. Т. 1. Труды XXVI Российской школы: Сб. статей. - М.: РАН, 2006. – С. 234 – 239. 28. Кузьмин, Д.В. Метод связных графов в задачах математического описания динамики систем с распределенными массами звеньев / Д.В. Кузьмин // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2007. – №1. – C. 91 - 95. 29. Кузьмин, Д.В. Автоматизация математического моделирования динамики электропривода с многоступенчатыми передаточными механизмами / Д.В. Кузьмин // Механика и процессы управления. Труды XXXVII Уральского семинара, посвященного 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного 108 ракетного центра «КБ им. Академика В.П. Макеева»: Сб. статей. – Екатеринбург: УрО РАН, 2007. – С. 155 – 162. 30. Лесков, А.Г. Моделирование и анализ робототехнических систем с помощью ЭВМ / А.Г. Лесков, А.С. Ющенко. - М.: Машиностроение, 1992. – 80 с. 31. Маркеев, А.П. Теоретическая механика / А.П. Маркеев. – М.: Наука, 1990. – 416 с. 32. Нелинейные задачи динамики и прочности машин / Под ред. В.Л. Вейца. – Л.: ЛГУ, 1983. – 336 с. 33. Норенков, И.П. Основы автоматизированного проектирования / И.П. Норенков. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 360 с. 34. Норенков, И.П. Информационная поддержка наукоемких изделий. CALS-технологии. / И.П. Норенков, П.К. Кузьмик. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 320 с. 35. Норенков, И.П. Математическое моделирование объектов мехатроники /И.П. Норенков, В.А. Трудоношев, В.Г. Федорук // Электронный журнал «Наука и образование» [Электронный документ]. – М.: Изд-во «Наука и образование. Инженерное образование». – 2005, №3. – 6с. (http://technomag.edu.ru/doc/51158.html). Проверено 05.05.2008. 36. Павленко, Ю.Г. Лекции по теоретической механике / Ю.Г. Павленко. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 392 с. 37. Подураев, Ю.В. Мехатроника: основы, методы, применение / Ю.В. Подураев. – М.: Машиностроение, 2007. – 256 с. 38. Попов, Е.П. Манипуляционные роботы. Динамика и алгоритмы / Е.П. Попов, А.Ф. Верещагин, С.Л. Зенкевич. – М.: Наука, 1978. – 400 с. 39. Свами, М. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами, К. Тхуласираман; пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 455 с. 40. Свешников, В.К. Станочные гидроприводы: Справочник / В.К. Свешников, А.А. Усов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М: Машиностроение, 1988. - 512 с. 41. Следящие приводы: В 3 т. 2-е изд., доп. и перераб. / Под ред. Б.К. Чемоданова. Т. I: Теория и проектирование следящих приводов / Е.С. Блейз, А.В. Зимин, Е.С. Иванов и др. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 904 с. 109 42. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам / Я.М. Вильнер, Я.Т. Ковалев, Б.Б. Некрасов и др.; под. ред. Б.Б. Некрасова. - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн: Высшая школа, 1985. - 382 с. 43. Старостин, А.К., Мехатроника мобильных агрегатов / А.К. Старостин, П.И. Чинаев. – Киев: УкрНИИНТИ Госплана УССР, 1991. – 56 с. 44. Тарасик, В.П. Математическое моделирование технических систем / В.П. Тарасик. – Мн.: ДизайнПРО, 2004. – 640 с. 45. Фу, К. Робототехника / К. Фу, Р. Гонсалес, К. Ли; пер. с англ.; под ред. В.Г. Градецкого. – М.: Мир, 1989. – 624 с. 46. Шахинпур, М. Курс робототехники / М. Шахинпур; пер. с англ. С.С. Дмитриева; под ред. С.Л. Зенкевича. – М.: Мир, 1990. – 527 с. 47. Элементы гидропривода. Справочник. /Е.И. Абрамов, К.А. Колесниченко, В.Т. Маслов. - 2-е изд., перераб. и доп. – Киев, Техника, 1977. – 320 с. 48. Paynter, H. Hydraulics By Analog - An Electronic Model of a Pumping Plant J. Boston Society of Civil Engineering, July 1959, pp.197-219. 49. Paynter, H. Bond Graphs and Diakoptics, The Matrix Tensor Quarterly, 19(3), 1969, pp.104-107. 50. Paynter, H. Discussion Regarding "State-Space Formulation for Bond Graph Models of Multi-Port Systems" by R.C. Rosenberg, Trans. of the ASME, J. of Dynamic Systems Measurement and Control, 93(2), 1971, pp.123-125. 110 Приложение 1. Вычисление уравнений кинематики КИМ «Thorus 6/9200» в системе Mathcad 2001 Èñõîäíûå äàííûå. Ìàòðèöû êîîðäèíàò òî÷åê âåêòîðîâ ËÑÊ 0 0 0 0 0 0 O 0 1700 2500 2595 4465 4600 0 0 0 0 0 0 J 1 0 0 0 1 1 I 0 1700 2500 2595 4465 4600 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1701 2501 2596 4465 4601 0 0 0 0 0 0 K 0 1 0 1 0 0 0 1700 2500 2595 4466 4600 1 0 0 0 1 1 Ìàòðèöû ñòðóêòóðû ìåõàíèçìà C1 S1 S1 C1 Q1 0 0 0 0 0 0 C4 S4 S4 C4 Q4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 C2 S2 S2 C2 Q2 0 0 0 0 0 0 C5 S5 S5 C5 Q5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 C3 S3 S3 C3 Q3 0 0 0 0 0 0 C6 S6 S6 C6 Q6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1. Âû÷èñëåíèå êîîðäèíàò âåêòîðîâ ËÑÊ 4 i5 ( I O) 0 i5 0 1 5 i6 ( I O) 0 i6 0 1 0 k1 ( K O) 0 k1 0 1 1 k2 ( K O) 0 k2 0 1 0 k3 0 1 3 k4 ( K O) k4 0 0 k5 1 0 5 k6 ( K O) 1 k6 0 0 0 i1 ( I O) 1 i1 0 0 0 j1 ( J O) 0 j1 1 0 1 i2 ( I O) 1 i2 0 0 1 j2 ( J O) 0 j2 1 0 2 i3 ( I O) i3 0 2 j3 ( J O) j3 1 3 i4 ( I O) 0 i4 0 1 3 j4 ( J O) 0 j4 1 0 4 j5 ( J O) 1 j5 0 0 2 k3 ( K O) 0 j6 1 0 4 k5 ( K O) 5 j6 ( J O) 1 0 111 0 0 1 0 2. Âû÷èñëåíèå ìàòðèö ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìåõàíèçìà 0 1 0 0 B1 i1 0 B0 0 1 0 B2 i2 0 0 1 B3 0 i3 T 2 B1 k1 0 B4 i4 1 B4 j4 2 B4 k4 1 B2 j2 2 B2 k2 0 B5 i5 1 B5 j5 2 B5 k5 1 B3 j3 2 B3 k3 0 B6 i6 1 B6 j6 2 B6 k6 T R1 B0 B1 T R2 B1 B2 1 0 0 R1 0 1 0 0 0 1 R3 B2 B3 1 0 0 R2 0 1 0 0 0 1 T 1 0 0 R3 0 1 0 0 0 1 T R4 B3 B4 R4 1 B1 j1 T R5 B4 B5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 p1 O R5 R6 B5 B6 1 0 0 0 0 1 0 1 0 R6 1 0 p2 O O 3 2 p4 O O 2 1 p3 O O 4 3 p5 O O 5 4 p6 O O T P1 p1 T P2 R1 p2 T P4 ( R1 R2 R3) p4 1 0 0 0 0 1 0 1 0 P3 ( R1 R2) p3 T P5 ( R1 R2 R3 R4) p5 0 P1 0 0 0 P2 1.7 103 0 0 P4 95 0 0 3 P5 1.87 10 0 T P6 ( R1 R2 R3 R4 R5) p6 P3 0 800 0 0 P6 0 135 F ( 0 0 0 1 ) N1 augment ( R1 P1) N2 augment ( R2 P2) N3 augment ( R3 P3) 1 0 0 0 N1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 3 N2 0 1 0 1.7 10 0 0 1 0 1 0 0 0 N3 0 1 0 800 0 0 1 0 N4 augment ( R4 P4) N5 augment ( R5 P5) N6 augment ( R6 P6) 0 0 1 0 N4 0 1 0 95 1 0 0 0 0 1 0 0 3 N5 0 0 1 1.87 10 0 1 0 0 1 0 0 0 N6 0 0 1 0 0 1 0 135 112 H1 stack( N1 F) 1 0 H1 0 0 1 0 H2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 H4 stack( N4 F) 0 0 H4 1 0 1 0 1.7 10 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 H3 0 0 0 3 1 0 H5 0 0 0 0 1 1.87 10 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 800 0 1 0 0 1 0 H6 0 0 0 3 1 0 H2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 H4 1 0 0 1 0 1 0 95 0 0 1 0 0 0 A1 H1 Q1 0 0 1 1.87 10 1 0 0 0 0 1 0 0 0 3 A2 H2 Q2 C1 S1 S1 C1 A1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 A4 H4 Q4 0 S4 A4 C4 0 1 0 H5 0 0 3 1 0 1.7 10 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 C5 S5 0 0 A5 S5 C5 0 0 1 0 H3 0 0 0 0 0 1 0 800 1 0 1 0 0 0 1 0 H6 0 0 1 0 135 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A3 H3 Q3 0 1700.0 1 0 0 1 0 0 A5 H5 Q5 C4 0 95 S4 0 0 0 0 1 0 C2 S2 S2 C2 A2 0 0 0 0 C3 S3 S3 C3 A3 0 0 0 0 0 0 0 800 1 1 0 0 A6 H6 Q6 1 1870.00 0 0 0 1 0 0 113 1 0 0 1 0 1 0 135 0 0 1 0 3. Âû÷èñëåíèå ìàòðèö ïåðåõîäà 1 0 H1 0 0 0 H6 stack( N6 F) H5 stack( N5 F) 1 0 95 0 0 0 0 0 1 0 1 H3 stack( N3 F) H2 stack( N2 F) C6 S6 0 0 A6 S6 C6 0 0 0 135 0 1 0 0 1 0 0 Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ÑÊ6 ê ÑÊ0 A06 A1 A2 A3 A4 A5 A6 Âåêòîð ïîëîæåíèÿ òî÷êè öåíòðà ùóïà â ÑÊ0 0 130 P06 A06 0 1 114 Приложение 2. Алгоритмы вычисления компонент уравнений динамики механической системы Начало U1, U2, U3, q mi, i = 1,...,n j = 1,n m = 1,n i = 1,n Сохранение aim := 0 aim := aim* mi вектора М k = 1,3 Конец D : A * q да ukij =0 M j : D нет да ukim=0 нет akim := ukij*ukim aim := aim + akim вычисление и покоординатное сложение множителей при компонентах q j , j 1, , n Алгоритм вычисления вектора сил инерции M 115 Начало U1, U2, U3, Ф1l, Ф2l, Ф3l, q mi, i,l = 1,...,n j = 1,n S j : E El : D l = 1,n D : A * q m = 1,n i = 1,n aim := aim* mi * q l aim := 0 нет да k = 1,3 aim = 0 да ukij = 0 нет φklim=0 да нет akim := ukij* φklim aim := aim + akim Сохранение вектора S Конец Алгоритм вычисления вектора S центробежных и кориолисовых сил инерции 116 Начало U1, U2, U3, g=(g1 g2 g3)T mi, i = 1,...,n j = 1,n G j : C i = 1,n Сохранение вектора G ci = 0 k = 1,3 Конец да ukij=0 нет cki := fkij * mi * gk ci := ci + cki Алгоритм вычисления вектора сил тяжести G 117 Начало U1, U2, U3, Fi=(F1i F2i F3i)T i = 1,...,n j = 1,n Fj : C i = 1,n Сохранение вектора F ci = 0 k = 1,3 Конец да ukij=0 нет cki := fkij * Fki ci := ci + cki Алгоритм вычисления вектора нагрузки F 118 Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………….3 ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………5 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ………………………………………………………………………………8 1.1. Мехатронная система как объект проектирования………………………………...8 1.2.Модели динамики мехатронных систем и формы их представления…………………………………………………………………………….9 1.3.Автоматизация математического моделирования мехатронной системы. Постановка задачи…………………………………………………………………………..12 Сравнительный анализ методов динамики……………………………………………14 2. МЕТОД СВЯЗНЫХ ГРАФОВ………………………………….............................18 2.1.Теоретические основы……………………………………………………………...18 2.2.Моделирование динамики систем………………………......................................22 2.3.Автоматизация моделирования динамики с использованием метода связных графов………………………………………………………………………………………..30 3. УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ ДИНАМИКИ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ…………………………………………………………………….35 3.1.Несвободная механическая система. Реакции связей….....................................35 3.2.Уравнения динамики голономной системы с сосредоточенными массами………………………………………………………38 3.3.Уравнения динамики голономной системы с распределенными массами………………………………................................................................................41 3.4.Уравнения динамики голономной системы с наличием замкнутых кинематических контуров…………………………………………………………………51 3.5.Уравнения динамики системы с линейными неголономными связями……………………………………………………………………………………..59 3.6.Общий алгоритм формирования уравнений динамики механической системы…………………………………………………………………………………….64 3.7.Алгоритм формирования уравнений кинематики……………………………….67 3.8.Алгоритмы формирования уравнений динамики системы с сосредоточенными массами……………………………………75 3.9.Вычислительная эффективность алгоритмов динамики…………………………82 119 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРИВОДА………………………………………………………...............................87 4.1. Автоматизация моделирования динамики привода мехатронной системы…………………………………………………………..87 4.2. Модель динамики электропривода на основе двигателя постоянного тока независимого возбуждения………………………………….89 4.3. Модель динамики гидропривода с гидроцилиндром двухстороннего действия………………………………………………………..96 ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………...............................103 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………………106 Приложение 1……………………………………………………………………………111 Приложение 2……………………………………………………………………………115 Оглавление…………………………………………………………..............................119 Научное издание Кузьмин Дмитрий Васильевич МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ. УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ Монография Подписано в печать 27.10.2008 Формат 70х84/16. Усл. печ. л. 8,45. Тираж 500 экз. Заказ № 237. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета в типографии ГОУ ВПО «Архангельский государственный технический университет» 163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, 17 120