n-1

1. Суть и характер автоматического управления. Automaatjuhtimine
1.1 Системы
Все время мы будем говорить о системах контроля и управления. Поэтому остановимся на
общем понятии «система». Это фундаментальное понятие. Система включает в себя набор
(множество) объектов. Объекты не совпадают друг с другом и отличаются какими то
параметрами, например. разным положением в пространстве. Объекты в системе часто имеют
различные свойства и принципиально отличаются друг от друга, хотя это не обязательно. Второе
обязательное условие для системы – взаимодействие между объектами, что подразумевает
наличие сил и энергии объектов. В процессе взаимодействия группы объектов могут
связываться этими силами в укрупнённые блоки.
Возникает взаимодействия между этими блоками. Могут образовываться еще более крупные
составные части системы со своими свойствами и взаимодействиями.
Самовозникающие свойства систем.
Давайте возьмем пример из совсем другой области. Вот есть такое явление —
сверхпроводимость. Может быть, вы даже знаете. Сверхпроводимость — это когда какое-нибудь
тело полностью теряет электрическое сопротивление, ток через него может течь без всякого
сопротивления вообще. Если сверхпроводник замкнуть в круг и пустить через него ток, без
всякого напряжения, то он будет крутиться часами, днями, годами — такие эксперименты
делались. Он не затухает, крутится, крутится... Это называется сверхпроводимость. Явление это,
конечно, замечательное, и физики попытались разобраться, как оно возникает.
Если совсем наивно подходить к пониманию природы, то можно сказать: раз это явление есть в
таком вот веществе, давайте разделим его на атомы и покопаемся в каждом атоме или каждой
молекуле, попытаемся найти происхождение — что-нибудь такое, что дает ему
сверхпроводимость. Вы, конечно, можете это сделать: распилить на атомы, изучить отдельные
атомы — теоретически, экспериментально, как угодно. И вы там ничего не увидите! Там не будет
ни малейшего намека на сверхпроводимость, потому что сверхпроводимость ничего — почти
ничего — не знает про атомы, а атомы ничего — почти ничего — не знают про
сверхпроводимость.
Если взять один атом, то в нем не будет сверхпроводимости, просто будет атом, и всё. Если два,
три атома — то же самое. Ну, получится какая-нибудь там молекула маленькая. Если взять много
атомов, то вдруг оно возникает. Ну, конечно, не вдруг, не скачком — оно плавно проступает, оно
как будто цветок из бутона поднимается, когда вы много-много атомов берете. Но такие явления
возникают сами по себе, просто из-за того, что частицы взаимодействуют. Их не надо было
закладывать изначально.
Точно так проявляется такое свойство как давление и свойство температуры. У одного атома или
одной молекулы нет давления, нет температуры. У них другие свойства – скорость, внутренняя
энергия, неопределенность местоположения, кантовые числа. И вдруг при изменении количеств
атомов ( молекул) появляется температура системы, которую мы чувствуем как своим телом так
и приборами.
Я еще хочу сказать, что эта вещь возникает не только в физике, разных ее областях. В математике есть
самовозникающие явления, в экономике есть самовозникающие явления, даже в биологии они есть. При
желании многое можно интерпретировать как самовозникающее явление — явление, которое возникает
из-за взаимодействия. При наличии определенных типов элементов и взаимодействий возникают и
системы автоматического управления. Задача инженера создавать такие системы,чтобы в них можно
было реализовать свойства устойчивости и управляемости.
Мы должны уметь увидеть эти составные части системы и описать взаимосвязь между ними. Слежение за
состоянием объектов и за взаимодействиями между ними называется контролем. Первоначально
объект контроля (управления ) представляется нам как нечто цельное, громоздкое, крупное. И требуется
разбить исходный объект на отдельные элементы и описать взаимовлияние и взаимодействие между
ними. Но не только описать, а и следить за состоянием данной системы.
Это есть декомпозиция объекта – разбиение на более простые составные части , которые называем
локальными подсистемами. Результатом декомпозиции является структурная схема объекта.
Здесь Р1 и Р2 локальные подсистемы, С1 и С2 управляющие блоки локальных подсистем, С0 –
координирующий блок. Вертикальные стрелки указывают движение информации.
Какие элементы нужно обязательно включать в систему, чтобы получить такую структуру как система
автоматического управления?
Система регулирования содержит регулирующие устройства - исполнительные механизмы (ИУ, ИМ).
Их предназначение - воздействовать на технологический процесс и изменять состояние объекта
управления. Исполнительные устройства представляют собой преобразователи. На вход механизма
обычно подается стандартный сигнал, и он превращает входной сигнал (электрический, оптический,
механический, пневматический и др.)
в движение штока клапана или поворот заслонки.
Исполнительные механизмы устанавливаются на трубопроводах сырья, материалов
или
энергоносителей. Изменение положения заслонки или зазора для движения среды в клапане изменяет
энергобаланс в
технологическом объекте. В результате изменяется состояние технологического
объекта, что и требуется для регулирования . Исполнительные механизмы в зависимости от источников
питания бывают разных типов: электрические, пневматические, гидравлические. В настоящее время в
качестве исполнительных механизмов широко используются электрические двигатели с управляемой
частотой вращения. Это наиболее экономичный способ регулирования.
Заслонки регулирующие и запорно-регулирующие. Заслонка представляет собой корпус
цилиндрической формы (редко - квадратной), по внешнему виду напоминающий короткий отрезок
трубы. Внутри корпуса расположена ось, на которой закреплен затвор. Затвор движется вращательно,
поворачиваясь на 90 градусов. Управление затвором обычно осуществляется при помощи привода. При
передаче движения от привода, затвор поворачивается вокруг оси, открывая, таким образом, проход
корпуса, через который проходит рабочая среда. См. рисунок Zasl;nka.
Клапана односедельные и двухседельные, в которых используется система затвор – седло.
Затвор (шток) перекрывает седло(выемка), меняя диаметр прохода для среды. Вследствие
уравновешивающего действия потока, который разветвляется под углом 180°, затвор двухседельного
регулирующего органа испытывает значительно меньшее неуравновешенное механическое усилие и
соответственно требует меньших перестановочных усилий исполнительного механизма. Клапана
шланговые для абразивных сред и диафрагмовые для регулирования потоков агрессивных сред при
невысоких давлениях и температурах.
Любая система управления (ручного, автоматического или автоматизированного) в обязательном
порядке содержит четыре элемента (или четыре множества элементов), объединенных в замкнутый
контур передачи воздействий:
- объект управления, - управляющая часть, - датчик (датчики), - исполнительное устройство (устройства).
1.2 Информация
Какие формы взаимодействий между элементами обязательны в системах автоматического
управления? Обязательно есть передача и обработка информации. Информация это сообщение об
изменении состояния объекта. При таком определении появляется новое понятие
«сообщение». Оно связано с передачей и приёмом сигнала, вызванного изменением состояния.
О передаче сигналов и защите от искажений имеется масса книг, статей, диссертаций.
Построены теории Шеннона, Винера, Калмана и других. Этим занимается теория связи и теория
обработки сигналов.
Вторым принципиальным моментом является то, что только изменение состояния есть
информация. Известное и неизменное данное не является информацией. Если я скажу, что в
феврале зима это сообщение не даст Вам никакой информации, кроме подозрения на сбой в
работе. Но тоже сообщение с данными о температуре на улице «плюс 20», вызовет большой
интерес и реакцию. Поэтому сообщения несут в себе разное количество информации.
Информация всегда проявляется в материально энергетической форме в виде сигналов,
хотя это не материя и не энергия, которые переходят друг в друга с соблюдением законов
сохранения. Информация может исчезать и появляться. Математические основы описания
возникновения и передачи информации отличаются от основ описания преобразования
материальных потоков.
Информация объективно существует независимо от нашего сознания, но выявляется при
взаимодействии с конкретным объектом. В автоматике информация приходит от датчиков
технологических параметров, концевых положений и других устройств. Физические величины,
определяющие ход технологического процесса, называются технологическими параметрами
процесса. Например, температура, давление, расход, напряжение, состав и т.д.
Датчик (Д) – устройство или комплекс устройств, преобразующих измеряемый параметр
технологического процесса в вид, удобный для дальнейшей передачи и использования. Как
правило, технологические параметры неудобно или невозможно контролировать (наблюдать,
выводить на пульт оператора и т.д.) напрямую, без дополнительных технических средств.
Например, температуру объекта нельзя наблюдать непосредственно. Численный контроль
температуры возможен только по результату воздействию на другие тела. Для этого
используют разного рода преобразователи, которые измеряемые параметры преобразуют в
наблюдаемые или стандартные сигналы, понятные другим приборам.
Например, ртутный термометр преобразует температуру в перемещение столбика
ртути. В термопаре разная величина температуры вызывает пропорциональную величину
разности потенциалов между двумя проводами. В термометре сопротивления изменяется
величина электрического сопротивления мостика из резисторов. В техническом манометре
изменение давления вызывает изменение радиуса кривизны трубки, и соответственный
поворот стрелки. В пьезометрических манометрах изменение давления вызывает изменение
частоты пульсаций пьезо кристалла. В настоящее время все указанные изменения
датчики
преобразуют в стандартные сигналы, соответствующие значению технологического параметра.
Л1 1.3 Обратная связь
Обязательным взаимодействием в системах автоматического управления является обратная связь
параметра характеризующего состояние элемента ( выходной параметр элемента) и исполнительным
механизмом действующим на данный объект. Такая идея была сознательно сформулирована в 19 веке
на основании обобщения ряда технических решений реализованных в процессе промышленной
революции. Новизна заключалась в идее рассматривать объект управления и обратную связь как
единую систему. Такая система имеет другие свойства, чем сам объект регулирования. Возникают
возможности добиваться желаемого поведения объекта в составе системы. Это то самовозникающая
свойство, о котором мы говорили в разделе о системах из множества элементов.
Примером может служить регулятор Уатта. При использовании потока пара для вращения лопастей,
колес, валов и подобных механических конструкций важно держать постоянной скорость вращения этих
конструкций. Английский конструктор изобрел устройство, позволяющее успешно решать эту задачу.
Массивный шарик связывается пружиной с вращающимся валом. В тоже время он связан рычажной
передачей с клапаном на трубопроводе подачи вращающего пара. Шарик вращается вместе с валом и
под действием центробежной силы растягивает пружину на определенную величину. При этом он
обеспечивает соответствующее открытие клапана (за счет смещения рычажной системы).
Первоначальная настройка натяжение пружины и рычажной системы обеспечивают требуемое
положение клапана и нужный объем подачи пара для желаемой скорости вращения.
Когда в процессе движения скорость вращения становится выше заданной, увеличивается
центробежная сила и шар сильнее растягивает пружину, удаляясь от вала. При этом рычажная передача
прикрывает клапан на линии подачи пара. Вращающая сила уменьшается, и скорость вращения падает.
При понижении скорости вращения вала, центробежная сила уменьшается. Пружина притягивает шар
ближе к валу, а рычажная система соответственно отрывает регулирующий клапан. Пара идет больше,
скорость вращения восстанавливается. Этот процесс регулирования является классическим, многократно
исследовался, имеет точное математическое описание.
Специального отдельного регулятора в системе Уатта нет. Роль регулятора выполняет пружина с шаром,
которая является одновременно и датчиком скорости вращения. Сам регулятор Уатта самостоятельную
законченную конструкцию, устанавливается непосредственно на технологическом объекте и работает без
участия человека. Энергию для работы он черпает непосредственно из технологического процесса.
Человек требуется для предпусковой настройки.
Устройства такого типа, черпающие энергию для
изменения положения исполнительного механизма из процесса, называются Регуляторами прямого
действия.
После формулировки основополагающего решения заключающего в использование обратной связи по
измеряемым выходным параметрам был определен математический принцип использования этой
связи. Он гласит, что для регулирования технологического параметра требуется величину управляющего
сигнала рассчитывать и устанавливать пропорционально величине изменения
регулируемого
выходного параметра. Применение этих простых и понятных
вызвало революцию в управлении
технологическими процессами.
Исследования показали, что обратная связь присутствует в живой и неживой природе. Все живые
существа имеют массу внутренних контуров регулирования. Все стабильные процессы на Земле являются
такими только потому, что постоянно идет регулирование с использованием обратной связи.
Потребовался математический аппарат для однотипного описания свойств объектов управления,
обратной связи и управляющих устройств. Такой математикой стали преобразования Лапласа. В свою
очередь, частотная теория позволила разработать математические основы создания алгоритмов для
модулей регулирования. Для реализации математических решений были разработаны аппаратные
средства - регуляторы. Они показали высокую эффективность. Без них стало нельзя обходиться. В
конкурентной борьбе аппаратные регуляторы помогали фирмам выигрывать. Автоматика стала наукой и
модной дисциплиной.
Обратная связь может быть положительной и отрицательной. При положительной связи значение
выходного параметра накладывается на задание. Положительная обратная связь— связь, при которой
изменение выходного сигнала системы приводит к изменению входного сигнала, которое способствует
дальнейшему увеличению отклонению выходного сигнала от задания. Положительная обратная связь
ускоряет реакцию системы на изменение входного сигнала, поэтому её используют в ситуациях, когда
требуется быстрая реакция в ответ на изменение внешних параметров. В то же время положительная
обратная связь приводит к неустойчивости и возникновению качественно новых (автоколебательных)
систем.
Если цифровой логический элемент либо операционный усилитель охватить небольшой
положительной обратной связью, получится схема с гистерезисом (или триггер Шмидта),
которая с успехом применяется для устранения дребезга контактов, ложных срабатываний
датчиков (или кабельных приёмников), состояния «неопределённости» от влияния помех.
Пример из другой области: рост населения Земли и развитие технологии находятся в
положительной обратной связи. Положительная обратная связь вызывает движение по
гиперболе.
Значительно более используема отрицательная обратная связь. Отрицательная обратная связь (ООС) —
вид обратной связи, при котором изменение выходного сигнала системы приводит к такому изменению
входного сигнала, которое противодействует первоначальному изменению. При отрицательной обратной
связи задание сравнивается (вычитание) со значением выходного параметра. Отрицательная обратная
позволяет создавать устойчивые системы. Отрицательная обратная связь делает систему более
устойчивой к случайному изменению параметров. Отрицательная обратная связь широко используется
живыми системами разных уровней организации — от клетки до экосистем.
Регуляторы в подавляющем большинстве работают по принципу отрицательной обратной связи. В
сумматоре определяется величина рассогласования «е» (отклонения). Изменение величины
управляющего сигнала происходит на основании значения рассогласования по заложенным алгоритмам
и уравнениям.
сумматор
Z
e
f
Р
u
ОУ
y
На рисунке Z – заданное значение технологического параметра, е – рассогласование, Р
– регулирующий блок, U- сигнал на исполнительный механизм, f – внешние
возмущения, ОУ – объект управления, Y – регулируемый параметр состояния объекта.
Сумматор вычитает из задания сигнал обратной связи. Принцип функционирования
регулирующей системы. В сумматоре постоянно происходит сравнение (вычитание)
текущего значения регулируемой величины у с заданным значением Z, определяя
отклонение е = z – у. Изменение управляющего сигнала на выходе регулятора зависит
от изменения отклонения. Если текущее значение равно заданному значению, то
регулятор не меняет управляющее воздействие (система работает в установившемся
режиме). В противном случае управляющее воздействие на объект u изменяется в
соответствии с величиной отклонения по алгоритмам, заложенным в регулятор. Чем
больше отклонение регулирования (и дольше оно наблюдается), тем больше изменение
управляющего воздействия и тем больше соответствующее изменение энергобаланса в
объекте регулирования.
2.1. Обработка информации.
Мы видим, что, исходя из своей сути, процесс автоматического регулирования и управления
содержит много действий и взаимодействий составляющих элементов. Чтобы получился
ожидаемый результат, следует выполнять действия в определенной последовательности. Иначе
произойдет непредвиденное и часто опасное событие. Например, если при ядерной реакции
несвоевременно опустить тормозящий стержень, произойдет ядерной взрыв. Действия должны
быть логичными и вытекать друг из друга. Последовательность взаимосвязанных действий
называется алгоритмом.
На рисунке 5.1 в первом, укрупненном, представлении дана последовательность работ
и действий по получению и организации движения информации в системе контроля и
регулирования с использованием контроллера/компьютера.
2.2 Составляющие алгоритма при опросе и первичной обработке параметров
Контроллер инициализирует получение сигнала (информации) от датчика. В
датчике часто закладывается аналоговые фильтры/сглаживатели, которые удаляют
случайные шумы или явные нарушения (выбросы) сигнала. Мы уже отмечали, что
датчики вырабатывают величины сигнала, входящие в
стандартный ряд.
Это
требуется для согласованного приема и обработки сигналов. Поэтому в программе
указывается тип и характеристики входного сигнала, его нижние и верхние границы.
Эти данные должны списываться непосредственно с самого датчика или, в крайнем
случае, с паспорта датчика. Таким образом, мы обеспечиваем согласованную обработку
сигнала в разных частях и блоках системы. В описании алгоритма в табличном виде мы
указываем эту информацию в графе параметры сигнала. Рассмотрим движение сигнала
и информации.
Сигнал в контроллер поступает в аналоговом виде и должен преобразовываться
в числовой вид. Эту роль выполняют аналогово-цифровые преобразователи (АЦП) на 4
или 8 или 16 или 32 или 64 входа. Больше входов я не встречал. Наиболее
распространены АЦП на 8 входов для аналоговых сигналов и АЦП на 16 входов для
дискретных
сигналов.
В
АЦП
реализовано
решение,
называемое
мультиплексированием. Оно позволяет устройству последовательно подключать
датчики для съема информации, а контроллер обращается к данным нужного ему для
алгоритма параметра.
В современных электронных полупроводниковых
мультиплексорах коммутация
составляет несколько микросекунд. Они имеют хорошие эксплуатационные
характеристики. Но большую опасность представляют для них большие токи утечек и
скачки напряжения на входе. Сгорает операционный усилитель в АЦПпреобразователях. Для предотвращения рекомендуется использование защитных
барьеров, сбрасывающих лишнее напряжение и ток на землю через систему
заземления. Цепи электропитания модулей должны быть заземлены.
Компьютер выбирает величину параметров не непрерывно, а в некоторые моменты времени и
воспринимает сигнал как последовательность дискретных значений.
Дискретизация –
считывание
сигнала в
определенные
моменты
времени,
связана также
с
мультиплексированием и должна быть строго синхронизирована с ним. Значение аналогового
сигнала считывается вначале каждого периода дискретизации и считается постоянным в
течение времени АЦП преобразования. Эта операция называется задержкой нулевого порядка.
Такой подход учитывается при численном моделировании систем и дискретизации по времени
формул для непрерывных систем. Возникают дискретные представления матриц системы, в
которых ее элементы рассчитываются из матрицы непрерывной системы по выражениям:
Ad = eAΔ ,
Cd = CeAΔ . Bd = (C•∫eAΔ ) B . Здесь Δ – частота опроса параметров.
Пример дискретизации непрерывного аналогового сигнала:
Интервал дискретизации Δ должен быть достаточно коротким, чтобы правильно
описывать непрерывный вид параметра. Теоретически (теория передачи информации,
закон Найквиста) частота дискретизации должна в два раза и более превышать частоту
наивысшей составляющей непрерывного сигнала.
Частотные составляющие
определяются с помощью спектрального анализа исходного непрерывного сигнала.
Нужно учитывать, слишком короткий интервал опроса приводит к излишней загрузке
контроллера/компьютера и неоправданной трате машинного времени.
Если опрос проходит шесть или три раза период колебания, то исходный сигнал будет
восстановлен правильно.
Если сигнал дискретизируется пять раз за четыре периода, то аппроксимирующая
(восстановленная) синусоида будет неправильной и иметь более низкую частоту.
Обычно реальный сигнал возмущается высокочастотными шумами. Если их не
выбросить из входного сигнала, то при
восстановлении они будут искажать
аппроксимацию, вызывать появление в ней псевдо частот в выходном сигнале.
Высокочастотные компоненты можно удалить аналоговым фильтром.
Примеры псевдо частот:
Влияния помех на восстановление сигнала. Пусть у нас есть входной сигнал:
Провода сигнала не экранированы и находятся вблизи силового кабеля электропитания. Идет
наводка с частотой 50 Гц.
Если мы квантуем входной сигнал с частотой 60 Гц, получаем картину:
Мы нарушаем правило Найквиста. Нормальная частота опроса должна быть более 100 Гц.
Аппроксимация квантованного сигнала дает псевдочастоты.
Сравнение исходного и восстановленного сигналов. Аппроксимированный сигнал содержит
колебания. отсутствующие в исходном. Вопросы фильтрации помех рассмотрим позже.
Преобразование сигналов. Аналогово-цифровой преобразователь генерирует цифровой код –
двоичное слово – на основе аналогового сигнала.
Входное напряжение падает на резисторах. С каждого резистора снимается величина
напряжения
и поступает на вход компаратора, где сравнивается с опорным
напряжением. На выходе каждого компаратора появляется 0 или 1 в зависимости от
соотношения этих напряжений. Двоичный код преобразуется в число и дальше
участвует в расчетах. Число компараторов определяет число битов принимающих
участие в преобразовании входного сигнала. Чем больше битность, тем
точнее
измерение. Для 12битного преобразования максимальный код (число) – 4095.
Линейное преобразование со сдвигом: стандартному диапазону входных сигналов 4 -20
ма, соответствует границы числового кода 800 – 4095. Если параметр изменяется в
границах 0 – Хмах, то возникает линейное преобразование преобразование со
сдвинутой шкалой. Его вид- Ртек = (Хмах/(4095-800))*(Ктек – 800) = (Хмах/3295)*(Ктек –
800) = (К преоб)*(Ктек – 800) . Где Ктек – значение кода для текущего значения параметра.
Если для передачи сигналов используется стандартный диапазон 4 -20 ма, то можно обнаружить
разрыв в линии, если сигнал меньше 4ма. Если сигнал превышает верхнее значение числового
кода, это говорит об исключительной или ошибочной ситуации. В алгоритмах нужно
предусматривать контроль на достоверность сигнала.
Для превращения числа в контроллере в аналоговый сигнал, понятный
исполнительному механизму, используется цифро-аналоговый преобразователь.
Положение ключей S1, S2,…Sn соответствует либо 0, либо 1 в цифровом слове на входе ЦАП, а
выходное напряжение составляет сумму убывающих членов, умноженную на опорное
напряжение:
.
Например, в 8 битном ЦАП, двоичный байт 01011001, вызовет выходное напряжение 3,48
вольт при опорном напряжении 10 вольт.
Л2 Вопросы фильтрации
Где
Т = R*С, Vi –входное напряжение, Vo –напряжение на конденсаторе. Если производная
равна 0, фильтр имеет коэффициент усиления 1. Передаточная функция фильтра, полученная
преобразованием Лапласа к дифференциальному уравнению, равна:
Частота среза равна
Пассивный RL фильтр низкой частоты
Дифференциальное уравнение RL фильтра
Где
Передаточная функция RL фильтра аналогична функции RС фильтра
Частота среза равна
Для фильтров низкой частоты схема обработки частот имеет следующий вид:
Фильтры высокой частоты:
Поменяв местами, резистор и конденсатор в первой схеме или резистор и индуктивность во
второй, получим фильтры высокой частоты:
Дифференциальное уравнение для высокочастотного RC фильтра
Где Т = R • C.
Дифференциальное уравнение для высокочастотного RL фильтра
Где
.
Передаточная функция для высокочастотного RC фильтра:
Передаточная функция для высокочастотного RL фильтра:
Для фильтров высокой частоты схема обработки частот имеет следующий вид:
для высокочастотного RC фильтра и
для высокочастотного RL фильтра.
Цифровые фильтры:
На каждом к-ом шаге опроса, мы используем сравнение (вычитание) реально измеренного,
неотфильтрованного значения Y, и его оценки Yᵔ (отфильтрованного значения), взятых с
весовыми коэффициентами a1……ak, и b1,,,,,, bk. Выбор коэффициентов a1……ak, и b1,,,,,, bk
представляет творческую, исследовательскую задачу и определяет качество фильтрации.
Экспоненциальный фильтр
Это фильтр первого порядка, определяемый следующим уравнением:
В фильтре мы указываем с помощью весового коэффициента α, чему мы больше доверяем –
измеренному значению Y или его оценки Yᵔ. На первом шаге оценка принимается равной
самому измеренному значению. Результат применения фильтра увидим на графиках:
Цифровые фильтры высокой частоты:
Пример работы фильтра высокой частоты;
Исходный сигнал
Выделенный высокочастотный сигнал.
Основные действия первичной обработки измеренной информации;
- сохранить исходные данные;
- проверить соответствие исходных данных параметрам датчика – диапазону выходных
значений и диапазону возможных скоростей изменения параметра. Если значение выходит из
допустимых границ, данное исключается из дальнейшей обработки и нужно генерировать
аварийное сообщение.
- Вычислить среднее значение данных за тот интевал времени, который используется в задачах
конроля и управления , как единичный интевал- За секунду, минуту , час;
- применить цифровую фильтрацию и сохранить отфильтрованные данные;
- принеобходимости выполняется масштабирование, т.е. перевод параметров в одну систему
измерения, например, все расходы приводятся к единице измркния М3/час;
- линеаризация параметра, например, при измерении температуры термопарой, нелинейная
зависимость апроксимируется системой линейных отрезков, совпвдающих с харатеристикой
термопары на отдельных участках. Это можно сделать с помощью прстой линейной звисимости:
- вавтоматических системах проволится анализ входных данных для принятия решения о
дальнейших действиях, например о генерации управляющих сигналов или срабатывании
защиты;
Струкруа данных для обработки измеренмй:
- шкалы параметров;
Л3 2.3 Подготовка и оформление алгоритма
Так же как и при разбиении большой системы на меньшие составляющие подсистемы, действия
в алгоритме можно и нужно детализировать до такой степени, чтобы исключить возможность
неоднозначного понимания смысла и обеспечить ясность в способе выполнения действия (т. е. как это
сделать практически). Начинается составление алгоритма с подготовки укрупненного, но цельного и
законченного варианта. Из него должно быть понятно, какое действие является началом процесса и при
каких условиях алгоритм считается завершенным. Также должен указываться переход к следующему
алгоритму. Это может быть и возврат на начало данного алгоритма, к началу цикла. Такой тип алгоритма
называется циклическим. По нему программа может работать неопределенно долго. Алгоритм часто
оформляют в виде блок- схемы
Пример простого алгоритма управления температуры нагрева пластика. В блок-схеме нет регулирования.
Другой пример показывает использование обратной связи от дискретных датчиков
положения. Они срабатывают и меняют ход выполнения программы тогда, когда
произошло событие, значимое для
процесса.
Такие алгоритмы постоянно
используются в задачах автоматического управления и следующий пример - более
близкий к реальности алгоритм управления.
Управление на основании событий -
Рис 2.6
В этом случае отдельные блоки программы включаются по событиям, произошедшим на объекте
управления. Если событие не происходит, то блок программы никогда не включается. Управление по
событиям дает большие и гибкие возможности контроля и регулирования. В этом случае прерывается
работа текущей подпрограммы и вызывается новый программный блок. В свою очередь и он может быть
прерван и так далее. По мере выполнения задач подпрограмм, нужно аккуратно возвращаться к
прерванным задачам и продолжать работу системы. Возврат в прерванные блоки алгоритмов –
ответственная и опасная задача. Она требует продумывания на этапе разработки алгоритма.
Любой реальный алгоритм – это целая система взаимодействующих между собой крупных
блоков, решающих каждый свою задачу, но вызывающих другие блоки или прерывающие работу уже
действующих по сообщениям о событиях технологического процесса. Сколько сделать таких блоков, и
какой размерности будет каждый блок – это искусство алгоритмистов и программистов.
Алгоритмы реализуются в управляющих устройствах, контроллерах, управляющих компьютерах.
Роль алгоритма легко оценить на примере посещения Луны. Бортовой управляющий компьютер
корабля- ракеты Аполлон 11 (1969 год ) имел 64 КБ памяти и быстродействие в 128 Кбит/сек, но все
задачи полета и посадки на Луну были выполнены своевременно и правильно. Конечно, гигантские
усилия направлялись на оптимизацию программ, что сейчас делается очень мало и слабо. Но представьте
себе, как были продуманы и отшлифованы алгоритмы.
Отсутствие алгоритмов не позволяет предсказывать и управлять. Например, правильный прогноз погоды
– только на 4 дня, несмотря на гигантские мощности компьютеров. Вывод - основное значение для
управления и регулирования имеют правильные алгоритмы контроля и управления, а не мощность и
производительность вычислительной техники. Хороший и правильный алгоритм позволяет качественно
решать задачи управления на слабой и плохой технике, лишь бы она была надежной. Алгоритмы
составляются до написания программ, и именно здесь закладывается оценка Вашей работы. А создание
алгоритма требует изучения и понимания объекта. Обязательно проверяйте Ваши мысли и
предположения о работе объекта управления в ходе создания алгоритма на объекте управления.
Основное время разработки системы должно уйти именно на эту стадию работы. Только уверенность,
подтвержденная опытами на объекте, дает право на составление алгоритмов, а потом на их
программирование.
Всегда оформляйте Ваш алгоритм графически или хотя бы таблично. Лучше готовить оба
варианта описания алгоритма и проверять их взаимно. Никогда не оставляйте усики – ответвления на
блок схеме без указания действия при этой ситуации. Даже самые маловероятные события обязательно
произойдут. Если не предусмотрены действия для таких ситуаций, программа остановится и произойдёт
авария. В крайнем случае давайте аварийный сигнал и выдавайте информацию оператору процесса.
Л4 3 Классические и современные методы управления.
В 1876 году появилась работа, оказавшая большое влияние на науку о регулировании - труд
профессора И.А. Вышнеградского "Об общей теории регуляторов". В этой работе было
выведено условие устойчивости для линейных систем третьего порядка и даны конкретные
указания о том, как влияют конструктивные параметры на устойчивость. И.А. Вышнеградский
явился основоположником классической теории регулирования. В 1866 году выходит в свет
статья Максвелла "О регуляторах". Швейцарский математик А. Гурвиц в 1895 году ввел
алгебраические условия устойчивости для линейных систем любого порядка. Долгое время
оставалась неизвестной инженерам аналогичная работа Рауса, выполненная им еще в 1877
году по просьбе Максвелла.
Основы общей теории устойчивости динамических систем были заложены выдающимся
русским учёным А.М. Ляпуновым. В своей докторской диссертации в 1892 году им впервые
были сформулированы условия устойчивости решений обыкновенных дифференциальных
уравнений, дано строгое определение понятия устойчивости, разработаны два основных
метода исследования устойчивости: первый метод Ляпунова исследования устойчивости в
малом и второй, прямой метод исследования устойчивости в большом.
В те годы, по-видимому, еще никто не подозревал о будущей роли теории А.М. Ляпунова в
общей теории управления. Лишь в 40-50 годах 20 века его теоремы заработали в полную силу.
В 1932 году американец шведского происхождения Гарри
Активно развивалась использование частотного описания технологических процессов,
появились десятки
вариаций анализа частотных характеристик. Появились понятия
амплитудно-частотных характеристик, фазо-частотных и амплитудно-фазовых характеристик.
Строились их годографы (кривые) для визуального определения сколько раз годограф
охватывает точку (-1, 0j).
Передаточные функции стали основным инструментом работы
инженеров автоматчиков. Разрабатывались методы синтеза многомерных и многосвязных
систем регулирования на базе передаточных функций. Анализировалась точность и грубость
систем управления. Во всех этих разработках объект рассматривался как черный ящик,
описываемый только соотношением входных и выходных сигналов.
Была выявлена
дифференциация систем управление по задачам регулирования по отклонению, по
возмущению и смешанного управление. В настоящее время все это рассматривается как
классические методы управления.
Л5 3.1 Математический аппарат классической теории
Весьма удобно исследовать линейные системы с постоянными параметрами с помощью
преобразования Фурье и Лапласа. Идея была простая – вместо функций во времени
использовать их представление в виде суммы гармонических колебаний, т.е. синусоид и
косинусоид. Фиксируем входные и выходные функции в виде числовых последовательностей.
Пусть имеется объект с входом Х вх(t) и выходом Х вых(t). Математмческое описание «внутри»
объекта нам неизвестно.
Эти функции (оригиналы) методами
операционного исчисления переводятся в другие, удобные для работы, функции, называемые
образами. Далее работают с образами, а затем обратными преоразованиями возвращаются к
исходному (временному описанию).
Исследование систем регулирования упрощается, поскольку позволяет от решения
дифференциальных уравнений перейти к работе с алгебраическими уравнениями.
В основе преобразования Фурье лежит формула Эйлера
, где
— математическая константа, определяющаяся следующей формулой:
. Отсюда
cos ωt = (e+ jω + e- jω)/2. Значение е =2,71828…
представляется так:
Графически формула Эйлера
В преобразовании Фурье временной сигнал
представляется как сумма
(∑)
экспоненциальных функций ept., где pt = ± jω, что соответствует представлению сложного
сигнала в виде суммы гармоник cos ωt и sin ωt. В интегральном представлении соотношение
называют прямым преобразованием Фурье. Функция угловой частоты
называется Фурье-изображением или частотным спектром функции
–
Эти функции (спектры) в теории автоматического управления представляют графически,
изображая отдельно их действительную и мнимую части:
На рис. представлено типичное изображение спектра непериодического сигнала.
Заметим, что временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда:
функция однозначна, содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов; функция
абсолютно интегрируема, то есть
Поэтому нет спектра единичной ступенчатой функции для преобразования Фурье -функции
(импульсной функции) и ряда других важных функций: они не соответствуют этим условиям.
Если совместить в осях действительной части (абсцисса) и мнимой части (ордината) оба графика
строя точку для каждой частоты, то получим амплитудно фазово частотную характеристику.
Пример амплитудно фазово частотной характеристики
Здесь Ѡ – частота, ϕ(Ѡ) – фаза (сдвиг от «0» начала колебаний по данной частоте), А(Ѡ) –
модуль (абсолютное значение) от W(j Ѡ)- амплитуды интенсивности сигнала, находится по
формуле Пифагора.
Л6 3.2 Для исключения проблем с отрицательными частотами и расширения области
испльзования спектральных преобразований модифицированное преобразование,
называемое пребразованием Лапласа. Соотношение
называют прямым преобразованием Лапласа. Комплексная переменная S = σ + jω,
называется оператором Лапласа, где ω - угловая частота, σ - некоторое положительное
постоянное число. Функция комплексной переменной
называется изображением сигнала
по Лапласу. Операция определения изображения по оригиналу сокращенно записывается , где - символ прямого преобразования Лапласа. Символ L[х(t)] обозначает
операцию преобразования Лапласа для функции, стоящей в квадратных скобках.
Преобразование Лапласа определяется для тех значений s, при которых интеграл сходится.
Преобразование Лапласа для вектор-функции Х (t), является вектором, компоненты которого
являются преобразованиями Лапласа для каждой компоненты вектора. Функции X(s) и Y(s)
называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по
отношению к X(s) и Y(s).
Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная изображение по Лапласу, можно определить
оригинал, используя соотношение обратного преобразования
или
, где
- символ обратного преобразования Лапласа.
Сравниваем преобразование Фурье и Лапласа для функций отличных от нуля только при
положительном значении аргумента
(Фурье)
(Лаплас) Здесь р= σ + jω = s
Большинство функций времени в Теории Автоматического Управления имеют преобразование
Лапласа.
На практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются
таблицы преобразований, фрагмент которой показан в табл. 1.
Таблица 1.
1
Таблицы преобразования Лапласа могут быть использованы для определения Фурьеизображений таких абсолютно интегрируемых функций, которые равны 0 при
. Для
получения Фурье-изображений в этом случае достаточно положить в изображении по Лапласу
значение σ = 0, т.е.
.
Рассмотрим основные теоремы преобразования Лапласа, которые широко используются в ТАУ.
1.Теорема линейности. Любое линейное соотношение между функциями времени
справедливо и для изображений по Лапласу этих функций;
;
2 Теорема о дифференцировании оригинала. Если
и
,
то
,
где
- начальное значение оригинала. Для второй производной используют
выражение
.
1. Для производной
-го порядка справедливо следующее соотношение:
; Для производной
-го порядка при нулевых начальных
условиях справедливо следующее соотношение:
;
то есть дифференцирование степени оригинала по времени при нулевых начальных условиях
соответствует умножению изображения на
.
Теорема об интегрировании оригинала.
;
В области изображений по Лапласу сложные операции дифференцирования и
интегрирования сводятся к операциям умножения и деления на , что позволяет переходить от
дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим. Это является главным
достоинством преобразования Лапласа как математического аппарата теории автоматического
управления.
Теорема запаздывания. Для любого
справедливо соотношение
;
Теорема о свертке (умножении изображений).
,
;
Где
Обратной функцией для S (т. е. функцией во временной области), соответствующей S = σ ± jω,
будет показательная функция С*e σ sin(ωt).
3.3 Использование полиномов и дробных функций комплексного переменного в различных
формах широко используют в ТАУ для представления передаточных функций и решения задач
синтеза и анализа САУ. полюсов и нулей некоторой дробно-рациональной функции.
Для дифференциального уравнения порядка n, описывающего какой то производственный процесс,
преобразование Лапласа приведет к замене
каждой производной на произведение Y∙Sn или U∙Sm, где n и m будут иметь величину равную степени
производной. После вынесенния за скобки общих сомножителей Y(s) и X(s) получим выражение:
. (3.3) где Y(s) и U(s) преобразование
Лапласа функций входной функции Y(t) и входного сигнала U(t). Переход от одной модели к другой
прост и заключается в замене знаков дифференциалов
на операторы s, знаков интегралов
на
множители, а самих u(t) и y(t) - изображениями U(s) и Y(s). Это алгебраическое уравнение и работают с
ними методами линейной алгебры. Начальные значения U(s) и Y(s) предполагаются нулевыми.
Л7 4.1 Передаточные функции.
Отношение изображений выходного и входного сигналов исследуемого объекта называют передаточной
функцией динамического звена. Понятие передаточной функции справедливо для объектов
описываемых линейными или линеаризованными уравнениями.
.
(4.1)
Передаточная функция в самом простом понимании является реакцией системы на
подачу импульсной функции. Эта реакция (импульсная характеристика) динамического
звена на импульсное воздействие
обозначается как
. При этом схема такого
взаимодействия имеет вид –
Рассмотрим математическое описание подачи импульса на динамическое звено с передаточной
функцией
. На входе дельта функция
Образ преобразование Лапласа входнонго сигнала
равно 1. Выход (реакция) системы на
взод определяется ее хначением передаточной функции. Она умножается на образ входа, т.е на 1.
. Преобразование Лапласа импульсной функции = 1.
Таким образом
Если мы вычислим образ Лапласа для выходной кривой системы, то получим значение
пнредаточной функции. Передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной
характеристики динамического звена т.е. это образ Лапласа выхода с объекта при подаче на него
импульсного сигнала. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по
передаточной функции обратным преобразованием Лапласа.
,
Любой входной сигнал можно интерпретировать как последовательность во времени импульсных
функций разной интенсивности. Соответственно и выход объекта будет суммой последовательно
возникающих реакций объекта на эти входные сигналы. В понятиях частотного описания объекта это
представляется умножением передаточной функции на спектр входного сигнала.
В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение
преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых
начальных условиях.
4.2 Получение передаточной функции из дифференциальных уравнений.
W(s) = Y(s)/ U(s). Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно найти выходной сигнал.
Разделив вход Y(s) на U(s) получим выражение передаточной функции в виде дроби. Из уравнения (3.3)
получается выражение
n
n-1
W(s) = Y(s)/ U(s) = (b0*s + b1*s
n
n-1
+ ... +bn)/(s + a1*s
+ ... +an)
где – полиномы из выражения (3.3) стоят в числителе и знаменателе этой дроби,
действительные числа, -порядок числителя и порядок знаменателя. Они могут быть различны.
Здесь S = σ ± jω.
Полиномы дробно-рациональной функции могут быть представлены в виде произведения биномов
(разложение многочлена на сомножители), тогда функция может быть представлена в форме Боде
(2)
где
- корни уравнения
,
- корни знаменателя
.
Корни полинома числителя называют нулями передаточной функции , так как при любом из этих
корней значение
уравнения) при которых
. Корни полинома знаменателя (по другому характеристического
называют полюсами дробно-рациональной функции, так как
. Полюсы и нули являются действительными или комплексно-сопряженные числа.
Их принято располагать на плоскости комплексной переменной , обозначая расположение полюсов
крестиками, а нулей кружками. На рисунке показано расположение
Пример
Представьте дробно-рациональную функцию
в форме Боде и покажите расположение полюсов и нулей дробнорациональной функции на комплексной плоскости. Решение
Найдем корни уравнения ( «нули» )
(«нуля»)
,
. Получаем два комплексно-сопряженных корня
.
Найдем полюсы данной W(s)
. Получаем три полюса, решая кубическое уравнения.
.
Покажем расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости (см. рис. 2).
Л8 4.3 Частотные характеристики динамических звеньев (объектов)
Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента,
полученную путем формальной замены на
в выражении передаточной функции
Напомним:
.
Рассмотрим динамическое звено –
.
Передаточную функция от комплексной переменной s можно представить в виде суммы действительной
и мнимой частей для каждой частоты, которая получится после подстановки вместо s значений jѠ в
диапазоне от 0 до ∞.
Здесь:
– действительная (вещественная) часть для
– модуль (амплитуда)
,
,
– мнимая часть
– фаза для аргумент ω
,
.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след
движения конца) вектора
0 до
, построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от
.
Модуль (амплитуда) амплитудно-частотной характеристики –
.
Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями
частоты, поэтому частотная характеристика графически представляется в виде амплитудно-фазовой,
действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –
.
Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –
Мнимая частотная характеристика (МЧХ) –
.
.
4.3 Эксперементальное построение передаточной функции. Пусть имеется звено с входным
. e
сигналом колебательным сигналом
jѠ
= cos Ѡ + j*sin Ѡ – формула Эйлера.
Установившийся сигнал на выходе динамического звена также будет колебательным сигналом со
сдвиго по фазе.
(4,3). Сигнал на выходе звена определим с помощью теоремы об умножении
изображений - по теореме о свёртке:
В результате :
Для перехода к установившемуся режиму полагаем
.
, тогда получаем
. Справа от знака равенства есть прямое преобразование Фурье для
функции импульсной функции w (τ) – передаточная функция W(jѠ),
.
Поэтому с учитывая, что выходной сигнал описывается выраженнием (4,3)
.
Отсюда следует простой алгоритм экспериментального определения частотных характеристик линейного
динамического звена, объекта или системы управления конкретной структуры:
1.
Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты
2.
Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса.
3.
Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала.
4.
Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала
определит модуль частотной характеристики при частоте
и постоянной амплитуды.
.
5.
Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент)
частотной характеристики при частоте
6.
.
Умножение значения модуля на cos(угла) даст значение вещественной части характеристики,
а умножение значения модуля sin(угла) даст значение мнимой части характеристики.
Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем
определить частотные характеристики конкретного устройства. Затем строим графики всех типов
частотных характеристик и получаем математическое описание объекта.
Частотные характеристики
показывают, во сколько раз объект (динамическое звено или
устройство), работающее в установившемся режиме, изменяет амплитуду входной синусоиды заданой
частоты
, и на какой угол он сдвигает входную синусоиду по фазе.
4.3 Примеры типовых звеньев
Л 9 Апериодическое инерционное звено первого порядка — описывается дифференциальным
уравнением первого порядка:
процесса изменения напряжения в RC цепочке.
. Применяется для тепловых процессов,
К стандартному виду приводится делением на
, где:
правой и левой части уравнения:
— выходная величина;
— входная величина;
— коэффициент усиления звена;
— постоянная времени, характеризующая
инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.
Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путем применения к
дифференциальному уравнению преобразования Лапласа:
,
.
Комплексная передаточная функция получается при подстановки вместо
переменой
. Чтобы
разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на
комплексно-сопряженное число
:
Обратное преобразование Лапласа апериодического звена дает следующие выражения для
временных характеристик: импульсная функция -
,
Переходная характеристика h(t) (т.е. реакция на единичное ступенчатое воздействие):
,
.
Частотные характеристики представлены ниже. Следует обратить внимание на то, что точки
перегиба этих кривых связаны со значением величины Т. Особенно заметно это на годографе мнимой
частотной характеристике (МЧХ).
.
В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно
описать апериодическим звеном 1-го порядка. Это частично верно т. к. много законов физики
описываются этими уравнениями. Например:
1. При движении твердого тела в жидкой или газообразной среде на него действует сила сопротивления
(или вязкого трения). При таком режиме движения второй закон Ньютона записывается в виде
следующего дифференциального уравнения:
2. Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т.е. производная dT/dt ,
пропорциональна разности температур тела и окружающей среды - dT/dt = T – a , где а - const.
3. Скорость радиоактивного распада (количество ежесекундно испускаемых частиц, равное числу
ежесекундно распадающихся ядер) прямо пропорциональна только наличному в данный момент
количеству радиоактивных ядер. dN/dt = -λN(t). (где: N(t),см-3 - ядерная концентрация радиоактивных
ядер в рассматриваемый момент времени t; dN/dt,см-3с-1 – мгновенное значение скорости
радиоактивного распада).
Список законов физики с таким математическим описанием можно продолжить.
4.3.1 Пример идентификации апериодического объекта по переходной кривой
Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе,
называется идентификацией объекта.
Предположим, что при подаче на вход некоторого
объекта ступенчатого воздействия была получена
переходная характеристика (см. рисунок 1.31). Требуется
определить параметры передаточной функции.
у
ууст
д

T
Рисунок 1.31
t
Передаточная функция апериодического звена имеет
вид
W (s) 
K
e  s (инерционное
Ts  1
звено
с
запаздыванием).
Параметры передаточной функции: К - коэффициент усиления, Т - постоянная времени,  запаздывание. Они определяются из характеристик кривой разгона рисунка 1.31
Коэффициентом усиления К, показывает, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал в
установившемся режиме, Он равен отношению выходной величины у ко входной величине х:
K
у уст ,
Постоянная времени Т - Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т
х
определяется просто: проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки
пересечения с осью времени и асимптотой yуст; Величина Т определяется как интервал времени
между этими точками. Запаздыванием  называется промежуток времени от момента изменения
входной величины х до начала изменения выходной величины у. Передаточная функция звена
запаздывания: W(s) = e- Ƭ s.
4.3.2 Другой пример
– идеальное интегрирующее звено. Например зависимость температуры в
водонагревателе мощностью 2 кВт от времени после включения нагрева. Дифференциальное уравнение
звена - dy/dt =(1/T) x(t). Скорость изменения величины не зависит от самой величины. Образ по
Лапласу - Y(s) = 1/T * X(s). Другими примерами интегрирующих процессов могут быть: перемещение
ленты транспортера; поворот оси двигателя, налив жидкости в емкость, рост давления в замкнутом
сосуде. Передаточная функция интегрирующего звена
. Временные характеристики
,
.
Графики импульсной и переходной функции показаны на рисунке:
Частотная характеристика
,
.
Это звено смещает гармонический сигнал любой частоты на угол
выходной величины от входной.
Л.10 4.4. Звенья второго порядка Для электрической RLC
дифференциальное уравнение:
в сторону отставания
цепочки получаем следующее
Общий вид:
Если дискриминант этого уравнения D>0 и оба корня α1 и α2 действительные, то общее
решение уравнения
где А1 и А2 константы общего решения
Если дискриминант этого уравнения отрицательный D<0 оба корня комплексны и сопряжены
α1 +ωj и α2 – ωj, то решение уравнения
где А, А1 и А2 константы общего решения. Они находятся из заданных начальных условий.
Передаточная функция такого звена:
АЧХ апериодического звена 2-го порядка
Фазочастотная характеристика
звена.
АмплитудноФазоЧастонаяХарактеристика апериодического звена 2-го порядка.
Если от управляющего сигнала линейно завист ускорение то это интегрируещее звено второго порядка
Передаточная функция такого звена имеет вид:
4.5 Дифференциальный вид законов природы.
4.5.1 Основной закон динамики
dp  Fdt
связывает бесконечно малое изменение импульса
dp с силой F, действующей в течении бесконечно малого интервала времени dt. Можно сказать,
что сила – это скорость изменения импульса: F=dP/dt . Отсюда: F = m* dv/dt. Для движения
под действием силы тяжести и сопротивления среды m dv  mg  kv , где g – ускорение, k
dt
–коэффициент сопротивления среды, решение уравнения v  Ce

k
t
m

mg ,
C= const.
k
4.5.2 Свободные колебания. Частица движется к центру под действием силы,
пропорциональной растоянию до центра. Меньше расстояние-меньше сила. Это пружина с
жесткостью k.
Fx   kx .
d 2x k
 x  0.
dt 2 m
Применяем основной закон механики:
Решением этого дифуравнения будет
A называют амплитудой, а постоянную
0
m
d 2x
  kx . Отсюда:
dt 2
xt   A sint   0  . Постоянную
– начальной фазой колебаний. Амплитуда и
начальная фаза определяются положением и скоростью частицы в начальный момент времени.
Постоянная

k
m
называется круговой частотой.
Такое же дифференциальное описание имеет проекция вращения точки вокруг центра на
пространственную ось.
Это дифференциальное уравнение гармонического
движения. ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний,
происходящих в течение 2π секунд;
Л 11 5.1 Простые структурные схемы и их преобразование .
Систему автоматического управления (САУ) можно представить в виде совокупности динамических
звеньев с известными математическими моделями. Рассмотрим структуру типичной САУ –
Где
– передаточные функции соответственно объекта, датчика и регулятора,
– изображения задающего, возмущающего и выходного сигналов.
В процессе анализа и синтеза САУ необходимо получать передаточные функции САУ, которые связывают
выходную переменную с заданием и возмущением в САУ, по известным структурной схеме и
передаточным функциям динамических звеньев, входящих в состав САУ.
Эта задача решается путем преобразования (сворачивания) структурной схемы к одному динамическому
звену с искомой передаточной функцией на основе использования правил эквивалентных
преобразований структурных схем и принципа суперпозиции (наложения).
Рассмотрим правила эквивалентных преобразований, не изменяющих свойств систем и необходимых для
нахождения передаточной функции:
1.
Последовательное соединение динамических звеньев.
2.
Параллельное соединение динамических звеньев.
3.
Замкнутый контур с отрицательной обратной связью.
4.
Замкнутый контур с положительной обратной связью.
5.
Перестановка суммирующих звеньев.
6.
Перенос точки ветвления через динамическое звено.
7.
Перенос точки ветвления с выхода на вход суммирующего звена.
Применим рассмотренные правила для упрощения структурной схемы
Рис. 1
После преобразований по указанным правилам получим свернутую структурную схему.
Операторное уравнение этой структуры будет иметь вид:
(1)
Уравнение показывает, что
взятых с коэффициентами
коэффициента
является линейной комбинацией изображений входных сигналов,
и
. Выясним смысл этих коэффициентов на примере
. Для этого положим в (1)
, тогда получим –
(2)
Таким образом, из (2) следует,
– это передаточная функция динамического звена, к которому
свернута структурная схема в предположении, что изображения всех входных сигналов, кроме
равны нулю.
,
Теперь становится ясным смысл и самого операторного уравнения (1), описывающего систему. Он
заключается в том, что реакция линейной системы на совместно действующие входные сигналы может
быть определена в виде суммы частичных реакций, каждая из которых вычисляется в предположении,
что на систему действует только один входной сигнал, а остальные равны нулю. Это формулировка
фундаментального принципа, который называют принципом наложения или суперпозиции.
Для многоконтурных схем, в которых некоторые выходы снова поступают на входы звеньев,
целесообразно использовать формулу Мейсона:
 ek  s 
1 m
W  s i  s
 s i1 ek  i 
,
связывающего вход
Xk
где
W ek  i  s
– передаточная функция i-го прямого канала,
с выходом Ye; m – число таких каналов; ∆(s) – специальный полином, который
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы, содержащих обратные связи, и вычисляется
как сумма передаточных функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений передаточных
функций разомкнутых контуров пар, троек и т.д. не соприкасающихся друг с другом цепей с обратными
связями.
Л 12 5.2 Логарифмические частотные характеристики
Значения амплитуд и частот существенно различаются друг от друга. Кроме того, и сама величина
диапазона частот, в котором характеристики конкретного устройства представляют интерес, может быть
значительна, от долей герц до десятков мегагерц. Решение этой проблемы лежит в использовании
логарифмических масштабов в частотных характеристиках.
В технике связи используют понятие коэффициента передачи по мощности для четырехполюсника,
являющегося отношением мощности на входе к мощности на выходе.
. Для этого коэффициента в технике связи используется логарифмическое представление,
логарифмический коэффициент передачи по мощности –
(1). Логарифмический коэффициент усиления по мощности измеряют специальными
единицами, которые носят название Белл (Б). Белл соответствует усилению мощности в 10 раз. Чаще
используют единицу в десять раз меньшую – децибел (дБ).
.
Формула (1) в децибелах имеет вид:
.
Логарифмический коэффициент усиления можно выразить через отношение выходного и входного
напряжений
.
По аналогии, в теории автоматического управления такое представление используют для выражения
амплитуды частотной характеристики в децибелах –
(2)
По оси частот в теории автоматического управления так же используют логарифмический масштаб на основе
десятичного логарифма частоты. При этом ось частот будет иметь следующий вид –
Логарифмическая шкала не имеет нуля и может пересекаться вертикальной осью в любом месте, что может
быть интересно исследователю.
Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое
представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной
характеристики выражен в децибелах, а частота – в логарифмическом масштабе.Логарифмической фазовой
частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют такое представление фазочастотной
характеристики (ФЧХ) , в котором частота выражена в логарифмическом масштабе.
5.2.2 Логарифмические частотные характеристики апериодического звена
В этом случае, при частоте ω =1/Т, имеем
.
Как мы увидим в дальнейшем, при синтезе и анализе систем бывает удобнее пользоваться не точными, а
асимптотическими характеристиками
5.3 Удобства использования логарифмических характеристик. Пусть имеется объект управления:
Его передаточная функция –
.
Амплитудная частотная характеристика
и его фазо- частотная характеристика
(3)
По этим выражениям получим логарифмические характеристики:
(5)
ЛАЧХ –
(6)
ЛФЧХ –
Таким образом, логарифмические частотные характеристики САУ могут быть определены, как сумма
логарифмических частотных характеристик последовательно включенных составляющих САУ звеньев.
Логарифмические масштабы и использование асимптот позволяет суммирование вместо умножения, в том
числе графическое суммирование годографов ЛАЧХ. Широкое распространение вычислительной техники
позволяет переложить все расчетные функции на компьютеры, и ручная графическая работа и действия с
годографом используются все меньше.
Л13
4.1 Критерии устойчивости
Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное
функционирование автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно выяснить те условия, которые
обеспечивают принципиальную работоспособность системы, ее устойчивость.
На комплексной плоскости корней корни с отрицательными вещественными частями располагаются на
левой полуплоскости и называются левыми, а корни, расположенные в правой полуплоскости,
называются правыми. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы может быть
сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения
являются левыми (отрицательными). Чтобы понять, скажем, почему для устойчивости линейной
системы дифференциальных уравнений х° = Ах
требуется отрицательность действительных частей
собственных значений матрицы А, естественно обратиться напрямую к записи решения этого
дифференциального решения.
Если λ больше 0 решение Х будет бесконечным.
Для оценки устойчивости системы в классической теории практически не требуется находить корней ее
характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно
судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая
самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.
Критерий
устойчивости
Михайлова
предназначен
для
оценки
устойчивости
системы
по
его
характеристическому уравнению. Устойчивая система содержит только левые корни, т. е.
. И, т. е.
для устойчивости системы характеристический частотный вектор должен пройти последовательно
(поочередно) в положительном направлении (против часовой стрелки)
движение при
квадрантов. Вектор начинает
с положительной вещественной оси.
4.1.1 Порядок расчета устойчивости по критерию Михайлова:
1.
Записывается характеристическое уравнение замкнутой системы:
.
Производится замена
и выделяются вещественная
осях координат
,п
,при изменении
частотный вектор (годограф Михайлова).
от
и мнимая
до
слагаемые. В
, строят характеристический
Рис. 5.3. Годографы Михайлова для систем: а - устойчивых, б - неустойчивых
По виду годографа Михайлова судят об устойчивости системы. Устойчивые годографы проходят поочередно
квадрантов. На границе устойчивости годограф проходит через начало координат.
При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить
величину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая
теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее
реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы,
использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы.
Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия
Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе
логарифмическом масштабе.
4.1.2 Критерий Найквиста
и запас устойчивости по амплитуде
в
Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной
разомкнутой системы. Условие устойчивости замкнутой системы
сводится к требованию, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0). На рис. а
характеристике (а.ф.х.)
характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а
характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшить
коэффициент передачи в неустойчивой системе 2, то ее а.ф.х. сожмется к началу координат, в результате
чего система станет устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика
устойчивой системы, в конце концов охватит точку (-1, j0) и система потеряет устойчивость.
Данная выше формулировка критерия Найквиста относится к системам, которые являются устойчивыми в
разомкнутом состоянии. В случае одноконтурной системы устойчивость в разомкнутом состоянии всегда
обеспечивается, если система состоит только из устойчивых звеньев. При наличии местных обратных связей
должна быть еще проверена устойчивость образованных этими связями контуров. Для этого, в свою
очередь, может быть применен критерий Найквиста или любой другой.
Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для
устойчивости системы в замкнутом состоянии амплитудной фазовой характеристики разомкнутой
системы должна охватывать точку (-1, j0).
При этом число пересечений ею отрицательной
действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на
обратном направлении, где
– число полюсов передаточной функции
положительной действительной частью.
больше числа пересечений в
разомкнутой системы с
В соответствии с критерием Найквиста, об устойчивости можно судить не только по а.ф ч.х., но и совместно
по амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристикам. Обычно при этом пользуются
логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.
Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости
ее в замкнутом состоянии является не охват а.ф.х. W(jω) точки (-1, j0).
Последнее имеет место, если при частоте, на которой A(ω) =1, фаза меньше 180°. На рис. 5.4 б. показаны
логарифмические характеристики, Здесь изображены одна логарифмическая амплитудная частотная
характеристика L(ω) и четыре варианта логарифмической фазной характеристики ϕ(ω) . Если учесть при
этом, что значению А = 1 соответствует L = 20lg1=0, критерий устойчивости Найквиста для систем,
устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что л.а.ч.х. должна пересечь ось абсцисс раньше,
чем фаза окончательно перейдет за значение -180°. Или иными словами, на частоте среза ωср величина фазы
должна быть меньше 180°. Изложенное иллюстрируется рис. 5.4, б. В случае л.ф.х. 1 и 4 замкнутая система
устойчива. Л.ф.х. 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, а л.ф.х. 3 –
неустойчивой замкнутой системе.
Для астатических систем и систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в
замкнутом состоянии является следующее: при положительной л.а.ч.х. число пересечений л.ф.х. уровня 180° снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.
При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить
величину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая
теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее
реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы,
использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы.
Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия
Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе Δϕ и запас устойчивости по амплитуде ΔL в
логарифмическом масштабе. Эти величины показаны на рис. 5.4, б для системы с л.ф.х., представленной
кривой 1. Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема л.а.ч.х., при
котором система окажется на границе устойчивости. Запас устойчивости по фазе определяется величиной по
фазе, которую остается до частоты среза, чтобы система оказалась на границе устойчивости. Рекомендуется
выбирать запас устойчивости по фазе больше 30° , а запас устойчивости по амплитуде больше 6 дБ.
Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.
5 Синтез линейных систем автоматического управления.
Разработка математических описаний объектов, сначала разомкнутых, а затем замкнутых, с анализом
устойчивости таких систем привела к пониманию необходимости добавки корректирующих звеньев в
систему управления. Этим занимается в теории автоматического управления раздел синтеза автоматических
систем. Корректирующие звенья исправляют амплитудно-частотные и фазовые характеристики
автоматической системы так, чтобы выполнялись требованиям по критериям устойчивости.
Последовательное включение корректирующего звена (замкнутая
система). Здесь Wo –передаточная функция объекта управления, Wk - передаточная функция
корректирующего звена.
Последовательное включение корректирующего звена в
замкнутой системе. К(р) - передаточная функция корректирующего звена.
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид: W(p) = K(p)Wo(p) /(1+K(p)Wo(p)).
5.1 Подбор передаточных функций звеньев называется синтезом. Основные этапы синтеза системы:
1) Задаться желаемой передаточной функцией замкнутой системы
желаемая переходная функция системы.
Фжел(p), при которой обеспечивается
2) Определить желаемую передаточную функцию разомкнутой системы
выражения передаточной функции замкнутой системы):
G жел (p) 
Ф жел (р)
1  Ф жел (р)
(по формуле, выводимой из
3) Найти передаточную функцию корректирующего устройства (выводится из выражения последовательно
соединенных динамических звеньев).
Wк (p) 
G жел (р)
Wo (p)
Наиболее важным является первый этап – этап выбора Фжел(p). Её определение осуществляется на основе
корневого метода, который заключается в том, что корни характеристического уравнения системы
помещаются в заданные положения на комплексной плоскости, что обеспечивает желаемое быстродействие
и желаемый вид переходных процессов.
Примем вид желаемой Передаточной Функции замкнутой системы.
Ф жел (p) 
a 0 p  a 1p
n
n 1
1
 ...  a n 1p  a n
. Выберем аn =1
Обозначим корни характеристического уравнения p1, p2, … pn и введем понятие среднегеометрического
корня характеристического уравнения:
n
желаемой системы. А
A=
n
p1p 2 ...p n
.
Где А – среднегеометрический корень
= 1/а0. Это выражение применяется в дальнейших преобразованиях.
Поделим числитель и знаменатель желаемой ПФ системы на a0.
Ф жел (p) 
1
а0







a
a
1
p n   1 p n 1  ...   n 1 p   
 a0 
 a0   a0 
Аn
 n

p  (a 1A n 1 )Ap n 1  (a 2 A n 2 )A 2 p n 2  ...  (a n 1A)A n 1p  A n
Желаемая передаточная функция разомкнутой системы равна,
Аn
Ф жел (р)
G жел (p) 
1  Ф жел (р) = p n  c1Ap n 1  c 2 A 2 p n 2  ...  c n 1A n 1p =

T p  c1T
n
n
1
p  ...  c n 1Tp
n 1 n 1
, где коэффициенты Ск = ак Аn-k , k=1…n–1, а Т = 1/А – базовая
постоянная времени системы (величина обратная среднегеометрическому корню).
При аналитическом синтезе системы, чтобы выбрать желаемую передаточную функцию необходимо:
1)
Определить порядок n желаемой передаточной функции системы.
2) Выбрать определенный способ распределения корней характеристического уравнения на комплексной
плоскости. Выбор стандартного распределения сразу определяет стандартную формулу передаточной
функции.
3)
Определить коэффициенты ск (для типовых способов распределения корней они приводятся в
справочниках).
4)
Определить величину среднегеометрического корня А (или базовой постоянной времени Т), исходя из
требуемого быстродействия системы (времени переходного процесса).
Пример типового распределения корней (биномиального):
выбираются одинаковыми, действительными и равными (–А).
Все корни характеристического уравнения
j
–А
Тогда желаемая передаточная функция системы:
Ф жел (p) 
An
( p  A) n
Знаменатель данной функции представляет собой бином Ньютона. Запишем желаемые передаточные
функции для различных порядков системы.
n
Ф жел (р)
1
A
pA
2
А2
p 2  2Aр  A 2
3
А3
p 3  3Aр 2  3A 2 р  А 3
4
А4
p 4  4Aр 3  6A 2 р 2  4А 3 р  А 4
При выборе биномиальной функции для любого n переходные процессы получаются монотонными.
Биномиальное распределение корней применяют в тех случаях, когда перерегулирование недопустимо. Для
каждого порядка системы будет свое относительное время переходного процесса τпп
n
1
2
3
4
τпп, о.е.
3
4,75
6,3
7,8
Если прядок системы n выбран и задано желаемое
среднегеометрический корень определяется по формуле:
А
время
переходного
процесса
tпп,
то
 пп
t пп
Рассмотрим переходные функции системы при биномиальном распределении корней. Эти переходные
функции будем рассматривать в относительном времени τ=А·t. Такие переходные функции будут
универсальными, поскольку они подходят для любого значения А.
τ
Таким образом, чем более высокое быстродействие требуется (чем меньше tпп), тем больше по модулю
должен быть среднегеометрический корень.
5.2 Стандартные корректирующие звенья:
В настоящее время разработан и повсюду применяются набор стандартных корректирующих звеньев,
объединенных в общую систему, которая называется регулятором. Каждый регулятор содержит нескольких
простых звеньев. Обычно это звено линейного усиления, интегрирующее звено и дифференциальное звено.
Они в свою очередь соединены параллельно, что приводит к сложению их передаточных функций.
Эти звенья вырабатывают управляющее воздействие U(t). Мы рассмотрим работу регуляторов, как с
математической точки зрения, так и с анализа их частотных характеристик.
Усилительное звено
(пропорциональное регулирование).
П-закон
Для пропорционального
регулирования управляющее воздействие должно быть пропорционально входного сигнала (величине
рассогласования). Если регулируемый параметр отклоняется от заданного значения, требуется увеличивать
воздействие на объект. Коэффициент пропорциональности обозначают как K1: u = K1.e.
Передаточная функция П-регулятора имеет вид:
.
Если
ошибки равна, например, единице, то управляющее воздействие станет равным K1 (см. рисунок).
е(t)
1
u(t)
K1
величина
Частотные характеристики:
,
.
Интегрирующее звено (интегральное регулирование).
И-закон Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки. То есть чем дольше существует
отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше управляющее воздействие:
u  K 0  e( t )dt .
К0 = 1/Т
Передаточная функция звена:
.
Временные характеристики
Интегральное звено запоминает значение импульса и складывает импульсы приходящие один за другим.
При постоянном отклонении управляющее воздействие увеличивается со скоростью, пропорциональной
величине отклонения. Например, при е = 1 скорость роста управляющего сигнала будет равна 1/Т.
Частотные характеристики
,
.
Достоинство данного принципа регулирования в отсутствии статической ошибки, т.е. при
возникновении ошибки регулятор будет увеличивать управляющее воздействие, пока не добьется заданного
значения регулируемой величины. Недостаток – содействует неустойчивости процесса из-за отставания по
фазе.
Дифференцирующее звено (дифференциальное регулирование).
Д-закон Регулирование ведется по величине скорости изменения регулируемой величины:
u  K2
de( t )
dt .
К2 = Т. Передаточная функция
Частотная характеристика
,
.
Временные характеристики: Импульсная функция w =Т •dδ/dt, Переходная функция h = Т •δ
При использовании дифференцирующего звена быстрый рост регулируемой величины вызовет большее
управляющее воздействие. При медленном росте – меньшее воздействие. Регулятор генерирует
управляющее воздействие только при изменении регулируемой величины. Например, если ошибка имеет
вид ступенчатого сигнала е = 1, то на выходе такого регулятора будет наблюдаться один импульс (функция). В этом заключается его недостаток, который обусловил отсутствие практического использования
такого регулятора в чистом виде.
На практике типовые П-, И- и Д-законы регулирования редко используются в чистом виде. Чаще они
комбинируются и реализуются в виде ПИ-регуляторов, ПД-регуляторов, ПИД-регуляторов. Регулирующие
звенья объединяются параллельно, их выходные сигналы складываются. Эти звенья относятся к
элементарным. Промышленная реализация их не сложна и не очень трудоемка. Широкий диапазон
изменения коэффициентов и постоянных времени позволяет корректировать и заметно менять частотные
характеристики объектов управления.
Пропорционально-интегрирующее звено
5.2.1 Комбинированный ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор):
Представляет собой два параллельно работающих звена - Пропорционального и Интегрального. Данное
соединение сочетает в себе достоинства обоих звеньев: быстродействие и отсутствие статической ошибки.
ПИ-закон регулирования описывается уравнением
u  K 0  e( t )dt  K1  e( t ) К1 = Кп, К0 =1/Т.
е
П
И
Передаточная функция
u
.
Временные характеристики можно определить по известным характеристикам усилительного и
интегрирующего звеньев –
,
.
Интегральная часть обеспечивает запоминание выработанных управляющих воздействий и накопление их
сумм при наличии отклонений.
Частотные характеристики
,
Пи - регулятор имеет два независимых параметра (настройки): K0 – коэффициент интегральной части и K1 –
коэффициент пропорциональной. При возникновении рассогласования е = 1 управляющий выход
изменяется, как показано на рисунке. Суммируются выходные сигналы обеих звеньев.
ПИ регулятор имеет хорошую АЧФХ, в виде вертикальной линии. Ее добавление к частотной характеристике
объекта позволяет сдвигать результирующую характеристику в нужном направлении к точке (-1, jω).
ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор) можно представить как
соединение трех параллельно работающих регуляторов (см. рисунок). Закон ПИД-регулирования
u  K 0  e( t )dt K1  e( t )  K 2
описывается
уравнением:
de( t )
dt
WПИД(s) = K0/s + K1 + K2 s.
и передаточной функцией:
Реакция регулятора на единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке.
u(t)
е(t)
K1
1
t
импульс
 = arctg K0
t
ПИД-регулятор является самым распространённым типовым регулятором, поскольку он сочетает в себе
достоинства всех трех элементарных корректирующих звеньев.
Приобретая промышленный ПИ или ПИД регулятор, вы не имеете гарантий, что с помощью трех типовых
элементарных звеньев измените характеристики результирующего объекта управления и добьётесь
устойчивости замкнутой системы. Чтобы повысить вероятность достижения этого результата, изготовитель
обеспечивает возможность менять частотные и временные характеристики каждого из звеньев в очень
широких пределах. Учитывайте возможности и диапазон параметров регулятора при его выборе для работы.
5.2.2 Правила настройки регуляторов.
На практике применяются различные приближенные методики определения параметров настройки
регуляторов. В качестве примера рассмотрим методику колебаний Зиглера-Никольса настройки регуляторов
для устойчивых объектов, которая заключается в следующем. На реальном объекте с П-регулятором
начинают постепенно увеличивать значение коэффициента K до тех пор, пока в замкнутой системе не
возникнут автоколебания. Это критическое усиление регулятора Kкр и период колебаний Ткр на выходе
регулятора. Затем приближенные значения параметров находятся в соответствии с рекомендациями
таблицы 2.11. Здесь предполагается, что передаточная функция объекта может быть представлена в виде
(апериодическое звено)
W(s) 
K  s
e
Ts  1 здесь
K
– передаточный коэффициент;
Т –постоянная времени, τ – время
запаздывания.
Таблица 2.11. Определение параметров настройки регулятора по методике колебаний
Закон регулирования
Значение параметров настройки
П
КП = 0.5 Kкр
ПИ
КП = 0,45 Kкр, ТИ= 0,85 Ткр
ПИД
КП = 0,6 Kкр, ТИ= 0,5 Ткр , Тд= 0,05 Тр
Необходимо отметить, что получаемые параметры настройки с использованием рекомендаций табл. 2.11
следует рассматривать как начальные значения, которые в последующем требуют уточнения.
При настройке ПИД-регулятора надо учитывать, что интегральная составляющая (И) позволяет обеспечить
нулевую ошибку слежения, однако вследствие увеличения фазового сдвига ее действие имеет тенденцию к
дестабилизации. Дифференцирующая составляющая (Д) придает регулятору прогнозирующее свойство. За
счет того, что управляющее действие пропорционально скорости изменения ошибки обеспечивается
стабилизирующий эффект, однако это может приводить к выработке больших управляющих сигналов.
5.3. Математическое описание ПИД регулятора.
Согласно принципу обратной связи входным сигналом, как для аналогового, так и для цифрового
регулятора является величина отклонения, которая определяется как разность между заданным и текущим
значением регулируемого параметра (e = z – у). Выходным сигналом регулятора является величина
воздействия (управляющего u), подаваемая на исполнительный механизм. В настоящее время входы и
выходы реализуется в виде стандартных сигналов. В некоторых случаях выход регулятора представляет
собой последовательность импульсов для исполнительного механизма, например, шагового двигателя.
Уравнение классического ПИД регулятора в его классическом математическом выражении имеет вид:
ПИД регулятор вырабатывает управляющий сигнал как сумму трех составляющих. Кроме того можно
задавать начальное значение выходного сигнала - UО. Первая составляющая Up пропорциональна
рассогласованию e(t) (напомним, е это разница выходного сигнала и задания), вторая составляющая Ui
равна интегралу (сумме) по времени отклонений всех e(t), а третья часть суммы равна производной
отклонения e(t). Совместно действуют три корректирующих элементарных звена - пропорционального
интегрального и регулирования по производной.
Базовый сигнал UО, будет на выходе регулятора в начале процесса регулирования. Кроме того он играет роль
поправочного значение, а также смещения. Параметр К – коэффициент усиления регулятора. Ti – постоянная
времени регулирования, Td – постоянная времени дифференцирования. Эти параметры используются для
настройки системы управления и изменения качества регулирования. Усиление регулятора – К безразмерная величина. Постоянные времени выражаются в секундах. Выход реального регулятора всегда
ограничен некоторыми пределами Umax и Umin.
Интегральная часть важна для устранения статической ошибки. Она накапливает и запоминает значение
своего выхода для каждого момента времени. Если замкнутая система регулирования достигла заданного
значения величины e(t) и Uр(t) станут равны 0, но допустить, чтобы u(t) на выходе регулятора стала равна 0
нельзя. При нулевом выходном сигнале регулятора исполнительные механизмы закроются
и
технологический процесс прекратится. И тут на помощь приходит интегральная часть, которая помнит свой
выходной сигнал Ui на момент, соответствующий достижения заданного значения. На выходе регулятора
останется эта величина сигнал Ui.
Соответственно, если снова начнет меняется величина e(t), то начнут изменяться все выходы
корректирующих звеньев, включая Ui, который будет накапливать и запоминать свой выход на пути к
заданному значению.
Дифференциальная часть следит за скоростью изменения параметра и прогнозирует величину следующего
отклонения от задания. В зависимости от прогноза она воздействует на управляющий сигнал, тормозя или
ускоряя его рост.
5.3.1 Реализация ПИД регулятора в контроллерах и компьютерах.
Разработчикам приходится реализовывать ПИД-регулятор на устройствах вычислительной техники в
дискретном числовом виде. Выражение, которое нужно запрограммировать имеет вид:
ΔU(i) = U(i) - U(i-1) = ΔUp(i) + ΔUi(i) + ΔUD(i) где
ΔUp(i) = К• e(i)
ΔUi(i) = Ui(i-1) + Ki • e(i)
Ki = K • h/ Ti
Ui(0) = UО
ΔUD(i) = KD • (Y(i) - Y(i-1))
Здесь учитывается то, что все действия в компьютерах (контроллерах) осуществляются пошагово.
U(i) и e(i) – это значения выхода регулятора и величины рассогласования на (i) шаге. U(i-1) – это значение
выхода регулятора на прошлом (i-1) шаге. Y(i) и Y(i-1) – значение регулируемой величины на текущем и
прошлом шаге.
Регулятор на каждом шаге рассчитывает величину приращения управляющего сигнала ΔU(i),
который добавляется (или вычитается) к предыдущему сигналу на исполнительный механизм.
U(i) = U(i-1) + ΔU(i). (i), (i-1) – номера шагов управления. Контроллер (компьютер) выдает на исполнительный
механизм значение U(i).
Начальное значение UО включено в состав интегральной части как ее значение на первом шаге и далее в
явном виде не проявляется. При изменении свойств объекта управления регулятор будет подстраиваться
под объект путем подбора нового значения Ui при достигнутом заданном режиме.
В вычислительном плане алгоритм чрезвычайно прост. Требуется:
ввести коэффициенты К, Ki, KD и величину UО в программу;
запомнить значение выходного сигнала с регулятора U(i-1);
получить значения e(i) = Y(i) - Y(i-1);
рассчитать значения ΔUp(i), ΔUi(i), ΔUD(i) по указанным выше формулам;
рассчитать значение ΔU(i);
найти значение U(i) = U(i-1) + ΔU(i) и выдать его на исполнительный механизм;
продолжить эту последовательность действий, начиная со второго пункта;
5.3.2 Устойчивость системы
данием.
Основным показателем качества системы управлания является устойчивость, так как ее назначение
заключается в поддержании заданного значения регулируемого параметра или изменении его по
определенному закону. Регулятор воздействует на систему таким образом, что ликвидирует это отклонение.
Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое
равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все
возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется
неустойчивой.
Пусть выходной сигнал звена или системы y(t) рассматривается как сумма двух составляющих
y(t) = yуст + уп(t), здесь y(t) - текущее значение
где
y уст  lim y(t )
t 
- и уп(t) – переходная составляющая, равная
уп(t) = y(t) – yуст.
Необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется следующим образом: Звено или система
называются устойчивыми, если переходная составляющая с течением времени стремится к нулю:
lim yп (t )  0
t 
. (То есть весь переходный процесс стремится к установившемуся состоянию). Если уп(t) с
течением времени стремится к бесконечности, звено или система называются неустойчивыми.Примеры
переходных процессов для каждого случая приведены на рисунках
5.3.3 Прямые показатели качества
К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка ест, время регулирования tp
и другие. Рассмотрим их, использую нижеприведенный рисунок переходного процесса. По нему можно
понять все определения для установившегося значения выходной сигнала.
y уст  lim y(t )
t 
.
Степень затухания  определяется по формуле
  1
A3
A 1 , где А1 и А3 - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.
Колебательность переходного процесса обусловлена наличием комплексного корня
в характеристическом уравнении.
Перерегулирование  =
y max  y уст
A1

y уст
y уст
где ymax - максимум переходной кривой.
Статическая ошибка ест = х - ууст, где х - заданная величина.
Время переходного процесса (Время регулирования) tp определяется следующим образом:
определяется допустимое отклонение  и строится «коридор» шириной 2. Время tp соответствует
последней точке пересечения y(t) с данной границей. Это есть время, после которого колебания
регулируемой величины перестают превышать допустимого отклонения от установившегося значения.
Оптимальные значения времени регулирования, времени достижения первого максимума,
перерегулирования и статической ошибки соответствуют минимальным значениям (чем меньше, тем
лучше). Степень затухания, наоборот, должна быть максимально большой (максимум  равен 1).
Время достижения первого максимума tм - определяется по графику
5.3.4. Интегральные критерии качества
Качество переходного процесса характеризует площадь по кривой этого процесса. Чем меньше площадь
под кривой процессам тем лучше. Площадь под кривой какой-то функции равна интегралу от этой
функции. Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка:
:
которая равна площади, заключенной между прямой
∞) и кривой
(
Интегральная оценка учитывает как величину динамических отклонений,
так и длительность их существования. Поэтому, чем меньше оценка, тем лучше качество процесса
управления.
Недостатком линейной интегральной оценки является то, что ее можно применять лишь для заведомо не
колебательных
(апериодических)
переходных
процессов.
Интеграл
I1
вычисленный
для
знакопеременной кривой, будет существенно меньше интеграла, вычисленного для апериодической
кривой, хотя качество переходного процесса в этом случае будет значительно хуже. Это связано с тем, что
значение интеграла зависит от знаков площадей подынтегральной функции. В случае ухудшения качества
переходного процесса, когда он будет иметь незатухающий колебательный характер, I1 уменьшится до
нуля.
В связи с этим для колебательных переходных процессов применяют такие интегральные оценки,
знакопеременность подынтегральной функции которых устранена. Таким свойством обладает
квадратичный интегральный критерий
в котором знаки площади не принимаются во внимание. Этот критерий является наиболее широко
используемым интегральным критерием. Имеются еще более сложные интегральные критерии качества,
содержащие вторую и следующие производные от ΔX. Их применение требует описания переходного
процесса соответственно кривыми второго и следующих порядков.
6.1 Подходы к моделированию систем
При анализе начинать нужно с описания объекта управления. Стратегия управления базируется на
понимании, как физический процесс реагирует на входной сигнал. Если есть модель из линейных
дифференциальных уравнений, то можно получить решение из этой системы. Обычно готовых моделей
нет. Тогда нужно проводить эксперименты, подавая разные типы входных сигналов.
Работу системы управления можно описать словесно. Словесное описание помогает понять
принцип действия системы, ее назначение, особенности функционирования и т.д. Однако, оно не дает
количественных оценок качества управления, поэтому не пригодно для нахождения характеристик и
синтеза систем автоматизированного управления.
Исторически теория автоматического управления (ТАУ) построена на использовании анализ функций
комплексной переменной - преобразований Лапласа. Обычно в частотных методах описывается только
связь между входными и выходными сигналами. Часть внутренних переменных и связи между ними
остаются скрытыми. Описания ОУ имеют меньшую размерность и меньшее число параметров.
Но теряется глубина понимания процессов. Говорят даже о «Черном ящике». Такая модель называется
внешним описанием
, в противоположность уравнению состояния.
Известно, что любое движение, и процесс
математически можно описать в виде
дифференциальных уравнений. В настоящее время процессы часто моделируют набором связанных
между собой дифференциальных уравнений для баланса энергии, массы, компонентов масс, сил и
моментов. Состоянием называется набор всех переменных, производные которых входят в систему
дифференциальных уравнений. Если известны текущие значения переменных состояния ( Х 0 ) и
управляющие сигналы, то можно описать дальнейшее поведение системы.
4.Математические модели в пространстве состояний
Линейная система дифференциальных уравнений для переменных состояния записывается в виде:
Основу математической модели многомерной системы во временной области составляет
векторно-матричная форма записи системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая
носит название уравнения состояния. Уравнение состояния имеет вид –
(1)
где
— вектор состояния размерности
однозначно определяющие его состояние,
, который включает в себя переменные объекта,
— вектор управления или входа размерности
действующие на систему извне,
, который включает в себя сигналы,
— матрицы параметров, включающие в себя параметры системы, размерность которых
соответственно
,
— порядок системы.
Иногда уравнение состояния (1) записывают в развернутой форме –
.
Уравнение состояния и структура полностью описывают объект управления, вектор состояния
содержит переменные объекта, которые однозначно описывают его состояние.
Но в реальных системах многие компоненты не могут быть измерены или наблюдаемы с
помощью датчиков. Эту ситуацию разрешает введение дополнительного уравнения выхода, которое
определяет те переменные, которые доступны для наблюдения (на выходе системы) –
(
2)
где
— вектор выхода размерности
для наблюдения,
— матрица параметров размерности
, который содержит переменные объекта, доступные
–
в системах управления
Уравнение выхода (2) также можно записать в развернутой форме
Состояние это вектор – столбец из переменных состояния.
Выходные величины – измерения, обозначаются через Y1, Y2,…Yp и составляют вектор столбец
. Выходные переменные величины классической теории остались,
состояниями они связаны своей системой уравнений.
но с
Графически уравнение состояния и уравнение выхода могут быть представлены в виде, показанном на
рис.
Управляющие входные сигналы, которые влияют на переменные состояния и которые может менять
оператор процесса. Это переменные управления U .
. Обычно число управляющих величин R меньше, чем переменных
состояния N
.
Отдельно рассмотрим объект управления:
Непосредственно измерить все переменные состояния обычно не удается. Существуют переменные,
которые не измеряются.
Возмущения (изменения нагрузки, внутренние шумы) которые влияют на переменные состояния,
обозначаются V:
6.2 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем
Выше были рассмотрены два вида моделей многомерной системы. Установим связь между этими двумя
видами. Так как исходной базой для математических моделей являются дифференциальные уравнения,
то логичным будет определить связь уравнений состояния с передаточными матрицами САУ. Для этого
применим преобразование Лапласа к уравнениям состояния и выхода
(1)
(2)
при нулевых начальных условиях, заменим оригиналы переменных изображениями по Лапласу и
получим систему векторно-матричных операторных уравнений
(3)
Определим связь между вектором входа и векторами состояния и выхода. Из первого уравнения системы
(3) имеем –
и если матрица
не вырожденная, то есть
, получим –
(4)
Откуда следует, что
(5)
Подставив (4) в (3), получаем –
,
В результате получаем –
(6)
Вспомним, что компонентами эквивалентных матриц являются передаточные функции системы.
Следовательно, выражения (5) и (6) представляют собой универсальные формулы для вычисления всех
необходимых для анализа передаточных функций многомерной системы, по которым могут быть
получены структурные схемы и частотные характеристики.
Полином
является общим знаменателем для всех передаточных функций, а уравнение –
(7)
является характеристическим уравнением системы.
В общем случае решение для состояний Х(t) системы с постоянными параметрами записывается
Где Ʌi
собственные значения (полюса) характеристического уравнения матрицы А,
еi
-
-
соответствующие им собственные вектора, ʍi – значения из строк матрицы участвующей в
преобразовании матрицы А в диагональный вид (с учётом начальных значений Х0). Это
выражение вытекает из свойств записи матрицы А в диагональном виде, удобном для понимания
свойств объекта управления. Видно, что реакция системы является комбинацией движений по
собственным векторам матрицы А. Размах движений определяется собственными значениями
этой матрицы.
7. Свойства систем описываемых параметрами состояния
Основными аспектами современной линейной теории управления являются: описание систем
посредством пространства состояний, оптимизация в терминах квадратичного критерия качества и
оптимальное восстановления состояний, например, с применением фильтра Калмана — Бьюси.
7. 1 Управляемость объекта
Понятие управляемости введено известным специалистом Кальманом. Оно основывается на
возможности перевода всех параметров состояния объекта из любого заданного значения в любое
другое заданное значение за конечное время. Имеется в виду, что есть такая входная вектор переменная, которая, изменяясь, переводит систему из одного состояния в другое.
Пример
частично управляемой системы: Смесительный бак в случае подачи обеих расходов с одинаковыми
концентрациями С1 =С2. (U) = (F1, F2).
Как бы мы не изменяли параметры F1, F2,
вывести концентрацию в баке С на любое значение кроме С1 нам не удастся. Это пример частично
управляемой системы.
Для линейных систем с постоянными параметрами справедлив следующий результат:
N-мерная линейная система с постоянными параметрами х (t) = Ах (t) + Bu (t) является полностью
управляемой тогда и только, тогда, когда вектор-столбец матрицы управляемости
Р = (В, АВ, А2В, …., Аn-1 В)
порождает n мерное пространство ( имеет ранг n) .
Матрица Р должна иметь размерность N. Это значит, что входные переменные должно влиять на все
n параметров состояния. Если условие не соблюдается, то мы имеем подпространство управляемых
состояний, а также подпространство неуправляемых состояний. При учете наличия управляемых и
неуправляемых величин, дифференциальное уравнение состояния преобразуется в каноническую
форму управляемости:
Здесь подматрица A11, связанная с управляемой
частью параметров состояния, имеет размерность m соответствующую размерности управляющей
подматрицы В1 , а пара A11, В1 является полностью управляемой.
Ранг матрицы равен числу строк (столбцов) наибольшей ее подматрицы, у которой определитель не
будет равен 0.
7.2 Восстанавливаемость (наблюдаемость) системы
Естественно рассматривать задачу восстанавливаемости, которая ставит проблему определения
настоящего состояния по прошлым наблюдениям. Определение восстанавливаемости введено
Калманом. Восстанавливаемость дополняет понятие наблюдаемости. Наблюдаемость означает, что
имеется возможность определить состояние в момент t0 по значения выходной переменной.
N-мерная линейная система с постоянными параметрами
является полностью восстанавливаемой в том и только
том случае, если вектор-строки матрицы восстанавливаемости порождают п-мерное пространство
.
Восстанавливаемость зависит только от матриц матрицы измерений С и матрицы А. Она должна
иметь размерность N. Это означает, что измеряемых параметров должно быть достаточно чтобы
вычислить все n параметров состояния. Если система не является полностью восстанавливаемой, то
по выходным измеряемым переменным невозможно однозначно установить, в каком состоянии
система находится. Ненаблюдаемые параметры состояния располагаются в нуль-пространстве
матрицы Q.
Система параметров состояния представляется в канонической форме восстанавливаемости:
Здесь А'11 — матрица размерами m X m, а пара А'11, С'1 , является полностью восстанавливаемой.
7.3 Наблюдатели состояния
Теория управления дает возможность восстановить не наблюдаемые состояния
технологического объекта. Необходима динамическая модель процесса. Кроме того. Необходима
модель связывающая измеряемые величины с параметрами состояния. Учитывается, что на систему
действует шум состояний, а наблюдения искажаются ошибками измерений (шум измерений).
Известный математик Кальман разработал теорию восстановления состояний, для чего ввел
понятие наблюдателя, восстанавливающего состояния.
Для динамической системы
x°(t) = A (t) x(t) + B (t) u (t)
y(t)=C(t)• X(t)
Матричное выражение
x˄° (t)=A (t)x˄ (t) + B(t) u(t) + K(t) [y (t) -C(t)x ˄ (t) ]
является наблюдателем (восстановителем состояния). Здесь x ˄ - оценка состояния параметра
Х. Начальное значение оценки x ˄(0) = х(0). K(t) называется матрицей коэффициентов усиления
наблюдателя.
Наблюдатель использует принцип обратной связи и сравнивает оценку измерений, полученную с
использованием оценки состояния, со значением полученным непосредственным
измерением.
Полученное отклонение используется для корректировки динамической модели и величины оценок ,
рассчитываемых по этой модели.
Выражения такого типа применяются и считаются на вычислительных устройствах – компьютерах и
контроллерах. Значения параметров используются в числовом (двоичном) виде. Измеряемые значения
поступают на входные модули вычислителей, которые преобразует аналоговый входной сигнал в
числовой вид.
7.4 Регулирование по восстановленным состояниям
Логично использовать полученные оценки неизменяемых переменных в системах регулирования и
управления, используя типовые законы управления. Теория линейного оптимального управления для
дифференциальных систем с постоянными коэффициентами
показывает, что можно отдельно
рассматривать задачу построения устойчивого восстановителя состояния и задачу разработки
устойчивого закона управления с обратной связью по состоянию. Их взаимосвязь приводит к устойчивой
системы управления по наблюдаемым переменным.
Для решения задачи построения линейного дискретного регулятора с обратной связью по выходной
переменной нужно найти управляющее воздействие в виде матрицы U(i):
U(i) = - F(i) • X˄(i)
где F(i) матрица коэффициентов для регулятора, X˄(i) - линейная оценка состояний полученных
восстановителя состояний.