Введение В современных радиотехнических устройствах различного ... системах радиоуправления широко применяются автоматические ...

3
Введение
В современных радиотехнических устройствах различного назначения и
системах радиоуправления широко применяются автоматические системы,
которые называют системами радиоавтоматики (системами РА). К числу таких
систем относятся устройства фазовой и частотной автоподстройки частоты,
автоматической регулировки усиления, системы измерения координат
движущихся объектов, измерители дальности, различные следящие фильтры и
др.
Выделение систем РА в самостоятельный класс обусловлено их
особенностями, связанными с условиями работы в составе радиотехнических
устройств и систем радиоуправления, в которых осуществляется обработка
параметров радиосигнала при действии различного вида помех.
Cистемы РА начали применяться в 30-х годах прошлого столетия для
автоматической регулировки усиления в радиоприёмниках. Развитие
радиотехнических устройств, непрерывное усложнение решаемых ими задач
привело не только к повышению требований к качеству работы систем РА, но и
к их функциональному усложнению, в результате чего многие технические
задачи уже не могут быть решены с помощью систем РА, базирующихся на
аналоговой технике. Поэтому в настоящее время в радиоустановках и системах
радиоуправления широко применяются цифровые системы РА, построенные на
базе современной микроэлектроники и микропроцессорной техники.
Методы анализа и проектирования современных систем РА могут быть
разбиты на две группы. Первая группа основывается на хорошо известных
преобразованиях Лапласа, Фурье и Z-преобразовании. Вторая группа
использует понятие пространства состояния и позволяет оценивать процессы в
системах РА в области действительного переменного.
Особенности построения систем радиоавтоматики, их математическое
описание и основные характеристики рассматриваются в данном учебном
пособии, предназначенном для изучения дисциплины “Автоматика и
управление” в рамках учебного плана специальности 160905 “Техническая
эксплуатация транспортного радиооборудования”.
4
1. Принципы построения систем автоматического управления (САУ)
Одним из признаков, определяющих общее построение системы, является
используемый в ней принцип управления (регулирования). Различают системы
с управлением по рассогласованию (ошибке), с управлением по воздействию и
системы с комбинированным управлением.
Всякий процесс управления подразумевает наличие некоторого
устройства – объекта управления (ОУ), режим работы которого автоматически
изменяется в соответствии с сигналом управления ut  , cформированным в
устройстве управления (УУ) по управляющему воздействию xt  .
В зависимости от принципа формирования сигнала управления ut  различают
два основных вида систем радиоавтоматики: разомкнутые и замкнутые.
1.1. Функциональная схема разомкнутой системы
На рис. 1.1, изображающем разомкнутую систему, приведены следующие
обозначения:
nt  - помехи, действующие на систему;
xt  - входное воздействие;
f t   nt   xt  - управляющее воздействие, представленное аддитивной
смесью входного воздействия и помех;
УУ- устройство управления,
ut  - cигнал управления;
ОУ – объект управления;
g t  - возмущающее воздействие, учитывающее влияние внешних
факторов;
yt  - выходной сигнал объекта управления;
Д – датчик, измеряющий выходной сигнал и связанный с объектом
управления;
g и t  - ошибки, возникающие из-за измерения;
yи t  - выходной сигнал системы.
xt 
nt 
f t 
УУ
ut 
g t 
ОУ
y t 
Д
g и t 
yи t 
Рис. 1.1. Функциональная схема разомкнутой системы
В данной системе сигнал управления зависит только от управляющего
воздействия:
5
ut   f xt , nt  .
(1.1)
В таких системах радиоавтоматики обеспечивается заранее заданная
функциональная связь между управляющим воздействием и выходным
сигналом.
1.2. Функциональная схема замкнутой системы радиоавтоматики
В замкнутых системах или в системах с обратной связью сигнал
управления формируется на основании измерения управляющего воздействия и
выходного сигнала:
u t   f xt , nt , yи  .
(1.2)
Выражения (1.1) и (1.2) называют алгоритмами или законами управления
систем радиоавтоматики.
На рис. 1.2 приведена функциональная схема замкнутой системы
радиоавтоматики.
xt 
nt 
f t 
УУ
ut 
g t 
ОУ
y t 
gи  t 
Д
yи t 
Рис. 1.2. Функциональная схема замкнутой системы радиоавтоматики
За счёт обратной связи влияние на качество работы замкнутых систем
радиоавтоматики помех и нестабильности устройств в значительной степени
компенсируется.
В радиотехнических устройствах большое распространение получили
системы, в которых сигнал управления u t  формируется по измеренному
отклонению выходного сигнала от управляющего воздействия f t  .
Функциональная схема такой системы приведена на рис. 1.3.
xt 
nt 
-
f t 
y t 
УУ
ОУ
Д
yи t 
g и t 
Рис. 1.3. Функциональная схема системы, работающей по принципу
рассогласования
6
Cигнал, поступающий с выхода системы на её вход, называют сигналом
обратной связи, et   f t   y и t  - cигналом рассогласования или сигналом
ошибки, устройство, измеряющее et  - измерителем рассогласования, который
совместно с устройством управления образует регулятор системы
радиоавтоматики.
Cистемы радиоавтоматики, построенные подобным образом, называются
системами, работающими по принципу отклонения или рассогласования.
Одной из разновидностей замкнутых систем является система, работающая по
принципу компенсации возмущающих воздействий. Функциональная схема
такой системы приведена на рис.1.4.
g t 
Д
xt 
y t 
u t 
УУ
ОУ
Рис. 1.4. Функциональная схема системы, работающей по принципу
компенсации возмущающих воздействий
Возмущающее воздействие измеряется датчиком (Д) и используется для
формирования сигнала управления u t  . При выполнении определённых
соотношений можно добиться того, чтобы выходной сигнал не зависел от
возмущающего воздействия g t  .
Cистемы радиоавтоматики можно классифицировать также по характеру
задающего воздействия, выделяя при этом системы стабилизации,
программного управления и следящие системы. В системах стабилизации
задающее воздействие описывается постоянной величиной. В системах
программного
управления
задающее
воздействие
описывается
детерминированной функцией времени. Методы анализа следящих систем
полностью применимы к системам стабилизации и программного управления.
1.3. Классификация систем радиоавтоматики
Cистемы радиоавтоматики можно классифицировать по параметру
радиосигнала:
1) по фазе - системы фазовой автоподстройки;
2) по частоте - системы частотной автоподстройки;
3) по временному положению сигнала - системы временной
автоподстройки;
4) по направлению прихода радиосигнала - системы угловой
автоподстройки.
7
Cистемы радиоавтоматики можно классифицировать по характеру
уравнения, описывающего процесс управления:
1) непрерывные или дискретные;
2) линейные или нелинейные;
3) cтационарные (с постоянными параметрами) или нестационарные (с
переменными параметрами).
Cистемы радиоавтоматики можно классифицировать по поведению в
условиях априорной неопределённости статистических характеристик
задающего воздействия и помех:
1) минимаксные;
2) адаптивные;
3) инвариантные.
2. Методы математического описания элементов
и систем автоматического управления
Процессы в системах радиоавтоматики
дифференциальными уравнениями вида:
описываются
линейными
an y n  t   an1 y n1 t   ...  a0 yt   bm x m t   ...  b0 xt  ,
(2.1)
где левая часть уравнения описывает преобразование выходного сигнала
объекта управления, а правая часть описывает пребразование входного
воздействия.
Решение дифференциального уравнения (2.1) связано с вычислительными
трудностями, а во многих случаях, например в следящих системах, не может
быть осуществлено, т.к. не известно управляющее воздействие.
Для исследования систем радиоавтоматики используются следующие
основные характеристики, которые будут рассмотрены ниже: передаточная
функция, переходная и импульсная переходная функции, комплексный
коэффициент передачи или частотная характеристика.
2.1. Передаточная функция
Преобразованием Лапласа называется функциональное преобразование
вида
L f t   F  p  

 f t e
 pt
t .
0
Применим к (2.1) преобразование Лапласа, получим:
D p Y  p   N  p X  p   M н  p  ,
где
D p   an p n  an1 p n1  ...  a0 ; N  p   bm p m  bm1 p m1  ...  b0 ;
Y  p  - преобразование Лапласа для выходного сигнала системы;
8
X  p  - преобразование Лапласа для входного сигнала;
M н - многочлен, отображающий начальные условия.
Введём обозначения:
M  p
N  p
; Wн  p   н
.
W  p 
D p 
D p 
Тогда
Y  p   W  p  X  p   Wн  p  .
W  p  характеризует динамические свойства системы радиоавтоматики,
она не зависит от управляющего воздействия и полностью определяется
параметрами системы ai и bi . Эту функцию называют передаточной. При
Y  p  bm p m  bm1 p m 1  ...  b0

.
нулевых начальных условиях W  p  
X  p  a n p n  a n 1 p n 1  ...  a0
Пример 2.1. Найти передаточную функцию системы радиоавтоматики,
если входное воздействие может быть описано функцией xt   2t  1, а
выходной сигнал может быть описан функцией yt   3e 2t .
Y  p
По определению передаточной функции W  p  
. По таблице
X  p
3
2 1
преобразований Лапласа (см. Приложение): Y  p  
, X  p  2  .
p2
p
p
Тогда
3
3
3p2
p2
p2
W  p 


.
2 1 2  p  p  2 2

p2 p
p2
2.2. Переходная функция и импульсная переходная функции
Переходный процесс физически означает переходный процесс в системе
радиоавтоматики, вызванный входным сигналом в виде единичной функции.
Пусть xt   1t  - единичный сигнал, действующий на систему
радиоавтоматики, т.е. сигнал, описываемый функцией следующего вида:
0, при t  0
1t   
1, при t  0
В этом случае:
W  p
- преобразование Лапласа для выходного сигнала системы
Y  p 
p
(cм. Приложение),
9
W  p 
ht   L1 
 - переходная функция.
 p 
Переходный процесс, возникающий в системе радиоавтоматики при
действии единичного импульса, называют импульсной переходной функцией.
Пусть xt    t  - cигнал вида  -функции, удовлетворяющий условиям:




  t t  1;  xt  t   t  x  .
Тогда
Y  p   W  p  - преобразование Лапласа для выходного сигнала системы
(см.Приложение),
ht   L1 W  p - импульсная переходная функция.
Пример 2.2. Найти переходную и импульсную переходную функцию
2
системы, передаточная функция которой W  p  
.
p3
 W  p 
 2 1
По определению переходной функции: ht   L1 
  L1 
  .
p
p

3
p



2
Разложим выражение
в сумму элементарных дробей:
p p  3
2
A
B
, где A и B - некоторые числа.
 
p p  3 p p  3
A p  3  Bp  2.
Из этого выражения cледует:
 A  B  0,

3 A  2
2
2
Тогда A  , B   .
3
3
2
2
2
 3 3 .
Таким образом,
p  p  3 p p  3
По таблице преобразований Лапласа имеем:
2 2
ht    e 3t .
3 3
По определению импульсной переходной функции:
 2 
wt   L1 
  2e 3t .
 p  3
10
2.3. Частотные характеристики систем радиоавтоматики
Частотная характеристика получается из передаточной функции при
подстановке в передаточную функцию комплексной переменной jw :
W  jw  W  p  p jw .
Частотную характеристику можно представить в виде действительной и
мнимой части:
W  jw   Pw  jQ w .
W  jw  P 2 w  Q 2 w - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),
Qw
- фазочастотная характеристика (ФЧХ) ,
 w  arctg
Pw
Л w  20 lg W  jw логарифмическая
амплитудно-частотная
характеристика.
Пример 2.3. Построить логарифмическую амплитудно-частотную
2
характеристику системы с передаточной функцией W  p  
.
2 p 1
Сделаем замену: p  jw . Тогда:
2
21  2 jw
2  4 jw
2
4w
W  jw 



j
.
2
2
2 jw  1 1  2 jw1  2 jw 1  4w
1  4w
1  4w 2
16 w 2  4
W  jw 
,
1  4w 2




16 w 2  4
Л w  20 lg
 10 lg 16 w 2  4  20 lg 1  4w 2 .
2
1  4w
Л(w)
8
6
4
2
0
-2
0
0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7
-4
3
w
-6
-8
-10
-12
Рис. 2.1. График логарифмической амплитудно-частотной характеристики
2.4.Типовые звенья
Устройства систем радиоавтоматики, классифицируемые по
передаточных функций, называют типовыми (основными) звеньями.
виду
11
1) Безынерционное звено.
Примеры : потенциометр, полупроводниковый усилитель.
W  p   k - передаточная функция;
k - коэффициент передачи звена,
W  jw  k - амплитудно-частотная характеристика звена;
ht   k  1t  - переходная функция.
2) Инерционное звено.
Примеры: RC- цепочка, изображённая на рис. 2.2.
R
U вх
С
U вых
Рис. 2.2. Cхема RC-цепи инерционного звена
k
- передаточная функция;
1  pT
k
- частотная характеристика;
W  jw 
1  jwT
k
- вещественная частотная характеристика;
Pw 
1  w 2T 2
kwT
- мнимая частотная характеристика;
Q w   
1  w 2T 2
k
W  jw  
- амплитудно-частотная характеристика;
1  w 2T 2
 w  arctgwT - фазочастотная характеристика;
W  p 
t

 
T
ht   k  1t   e  - переходная функция звена.


3) Интегрирующее звено.
Примеры: усилитель постоянного тока c большим коэффициентом
усиления, в цепь обратной связи которого включён конденсатор.
k
- передаточная функция;
p
Pw  0 - вещественная частотная характеристика;
W  p 
12
k
- мнимая частотная характеристика;
w
k
W  jw   - амплитудно-частотная характеристика;
w
Qw  
 w  

- фазочастотная характеристика;
2
ht   k  t  1t  - переходная функция звена.
4) Колебательное звено.
Пример: контур, cостоящий из индуктивной
конденсатора, изображённый на рис. 2.3.
катушки,
резистора
и
Рис. 2.3. Cхема электрической цепи колебательного звена
k
,
W  p  2 2
p T  2pT  1
где  - относительный коэффициент затухания.
k
W  jw  
- амплитудно-частотная
2 2 2
2 2 2
1 w T
 4 T w
характеристика;
2wT
- фазочастотная характеристика;
 w  arctg
1  w 2T 2
t

 
b
b 
ht   k 1t   e T  sin t  cos t  , где b  1   2 .
T
T 
b

Если   1, то полюсы передаточной функции –отрицательные действительные
числа и
k
.
W  p 
1  pT1 1  pT2 
1
1
, T2 
, где 1 и 2 - полюсы.
T1 

1
W  jw  1 ,
 w   w .

2
13
3. Структурные схемы и передаточные функции САУ
3.1. Виды соединений звеньев в системах радиоавтоматики
В системах радиоавтоматики встречаются три вида соединений звеньев:
последовательное, параллельное и соединение звеньев по схеме с обратной
связью.
3.1.1. Последовательное соединение типовых звеньев
Cтруктурная схема последовательного соединения звеньев приведена на
рис. 3.1.
xt 
W1
y 2 t 
y1 t 
W2
…
y n t 
y n1 t 
Wn
Рис. 3.1. Последовательное соединение типовых звеньев
По определению передаточной функции
Y  p
Y  p
Y  p
; W2  p   2
;…; Wn  p   n
.
W1  p   1
Y1  p 
Yn1  p 
X  p
Перемножив передаточные функции, получим:
Y  p
W  p 
 W1  p W2  p   ...  Wn  p  .
X  p
Частотная характеристика последовательно соединённых звеньев:
W  jw W 1  jwW2  jw  ...  Wn  jw  W  jw e j w ,
где
W  jw  W1  jw W2  jw  ...  Wn  jw ,
 w  1 w   2 w  ...   n w .
Логарифмическая АЧХ звеньев, соединённых последовательно:
Л w  Л 1 w  Л 2 w  ...  Л n w .
3.1.2. Параллельное соединение звеньев
На вход приёмника при таком соединении звеньев подаётся один и тот же
сигнал, а выходные сигналы суммируются. Cтруктурная схема такого
соединения звеньев приведена на рис. 3.2.
14
y1 t 
W1
xt 
W2
y 2 t 
yt 
…
Wn
y n t 
Рис. 3.2. Параллельное соединение типовых звеньев
Так как
Y1  p   W1  p X  p ,
Y2  p   W2  p X  p ,
.................................
Yn  p   Wn  p X  p ,
то Y  p   W1  p   W2  p   ...  Wn  p X  p  .
Вывод. Передаточная функция параллельно соединённых звеньев равна сумме
передаточных функций отдельных звеньев:
n
W  p   W j  p  ;
i 1
n
W  jw  Wi  jw  Pw  jQw ;
i 1
n
Pw   Pi w - вещественная частотная характеристика звеньев,
i 1
соединённых параллельно;
n
Qw   Qi w - мнимая частотная характеристика;
i 1
W  jw  P 2 w  Q 2 w - амплитудно-частотная
характеристика;
Qw
- фазочастотная характеристика.
 w  arctg
Pw
Пример 3.1. Найти передаточную функцию параллельной системы, состоящей
из трёх звеньев и передаточные функции каждого отдельного звена, если
входное воздействие задаётся функцией xt   2t  1, а выходные сигналы с
15
каждого звена задаются функциями y1 t   3t  2 , y 2 t   5t  1 , y 3 t   2t  4 .
Нарисовать структуру системы.
y1 t 
y1 t 
y 2 t 
y t 
y 3 t 
Рис. 3.3. Cтруктура параллельной системы состоящей из трёх звеньев
Так как выходные сигналы в системе суммируются, то y t   10t  5. По
определению передаточной функции:
10 5 5 p  10

Y  p p 2 p
5 p  10
p2
W  p 



 5.
2 1
p2
X  p
p2

p2 p
p2
3 2

Y1  p  p 2 p 2 p  3
W1  p  


,
2 1
X  p
p2

p2 p
5 1

Y2  p  p 2 p 5  p
W2  p  


,
2 1 p2
X  p

p2 p
2 4

Y3  p  p 2 p 4 p  2
W3  p  


.
2 1
X  p
p2

p2 p
16
3.1.3. Соединение звеньев по схеме с обратной связью
Cтруктурная схема такой системы приведена на рис. 3.4.
xt 
e
W1
y t 
W0
Рис. 3.4. Cоединение звеньев по схеме с обратной связью
На вход звена, охваченного обратной связью, подаётся сигнал
рассогласования, для которого преобразование Лапласа имеет вид:
E  p   X  p   W0  p Y  p  .
(3.1)
По определению передаточной функции
Y  p   W1  p E  p  .
(3.2)
Из (3.1) и (3.2) следует, что E  p   X  p   W0  p W1  p E  p  . Исключив
E  p  , получим:
E  p   1 W 0  p W1  p   X  p ,
W1  p 
X  p .
1  W0  p W1  p 
Cледовательно, передаточная функция звеньев, соединённых по схеме с
обратной связью, равна:
W1  p 
Y  p
- для случая отрицательной
W  p 

X  p  1  W0  p W1  p 
обратной связи;
W1  p 
Y  p
- для случая положительной
W  p 

X  p  1  W0  p W1  p 
обратной связи;
Y  p 

W  jw  W1  jw 1 
P102
w
 w  1 w  arctg
Q10
,
1  P10 w
 Q102
w

1
2
,
17
где P10 w , Q10 w  - вещественная и мнимая частотные характеристики звеньев,
образующих замкнутый контур.
3.2. Передаточные функции
3.2.1. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы
Y  p
.
E p
Для системы, изображённой на рис. 3.5, передаточная функция
разомкнутой системы равна:
W p  p   W1  p W2  p  .
W p  p 
x 2 t 
x1 t 
et 
W1
W2
y t 
Рис. 3.5. Cтруктурная схема системы, которая может находиться в
замкнутом и разомкнутом состоянии
Для замкнутой системы:
Y  p
.
Wз  p  
X1  p
Передаточную функцию замкнутой системы можно выразить через
передаточную функцию разомкнутой системы с помощью выражения
W р  p
W  p 
, в котором передаточная функция обратной связи
1  W0  p W р  p 
W0  p   1 . Таким образом:
Wз  p  
W p  p
1  W p  p
.
3.2.2. Передаточная функция рассогласования
We  p  
E p
.
X1  p
18
Из уравнения замыкания системы E  p   X  p   Y  p  и выражения
Y  p
следует, что E  p   1  Wз  p X 1  p  . Тогда
Wз  p  
X1  p
We  p   1  W з  p  - связь передаточной функции ошибки и передаточной
функции замкнутой системы.
W p  p
1
Так как W з  p  
, то We  p  
- связь передаточной
1  W p  p
1  Wp  p
функции ошибки и передаточной функции разомкнутой системы.
Пример 3.2. Задана структурная схема системы радиоавтоматики, которая
может находиться в замкнутом и разомкнутом состоянии (рис 3.6). На
структурной схеме приняты следующие обозначения:
 (t ) - задающее воздействие ;
et  – сигнал ошибки;
W  p  –передаточная функция звена, входящего в систему;
y t  – выходной сигнал системы.
Сумматор изображён на рисунке в виде кружка, разделённого на секторы.
Затенённый сектор сумматора отображает операцию вычитания.
λ (t)
e (t)
W (p)
y (t)
Рис. 3.6. Структурная схема системы радиоавтоматики, в которую входит одно
звено
2
.
W  p 
p0,2 p  1
Требуется найти передаточные функции разомкнутой, замкнутой системы
и ошибки.
Так как в систему входит одно звено, то передаточная функция системы в
2
разомкнутом состоянии: W р  p   W  p  
.
p0,2 p  1
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии находится
следующим образом:
2
W p  p
2
2
p0,2 p  1
Wз  p  



.
2
1  W p  p
p0,2 p  1  2 0,2 p 2  p  2
1
p0,2 p  1
Используя формулу для передаточной функции ошибки, получим:
19
2
0,2 p 2  p
We  p   1  Wз  p   1 

.
0,2 p 2  p  2 0,2 p 2  p  2
Пример 3.3. Передаточная функция звена, входящего в систему,
2
структурная схема которой изображена на рис.3.6, равна W  p   2 . Задающее
p
воздействие имеет вид:  t   2t  3. Требуется найти выражение для выходного
сигнала и сигнала рассогласования.
По определению передаточной функции:
Y  p   W з  p Л  p  ,
где
Y  p  - преобразование Лапласа для выходного сигнала системы;
Л  p  - преобразование Лапласа для входного воздействия;
W з  p  - передаточная функция системы в замкнутом состоянии.
Исходя из вышеизложенного и таблицы преобразований Лапласа
передаточная функция замкнутой системы рассчитывается по формуле:
2
Wp  p
2
p2
.
Wз  p  

 2
2
1  W p  p
p

2
1 2
p
Из таблицы преобразований Лапласа и свойств преобразований Лапласа
следует, что:
2 3
Л  p  2  .
p
p
2  2
3
2
3p  2
6p  4
 2    2


.
Тогда Y  p   W з  p Л  p   2
p  p  2 p2
p  2 p
p2 p2  2


Разложим эту дробь в сумму элементарных дробей, используя метод
неопределённых коэффициентов:
6p  4
Ap  B Cp  D
;

 2
p2 p2  2
p2
p 2


 Ap  B  p 2  2  Cp  D  p 2  6 p  4 ;
Ap 3  Bp 2  2 Ap  2 B  Cp 3  Dp 2  6 p  4.
Составим
систему
уравнений,
приравнивая
коэффициенты при степенях:
соответствующие
20
 A+C=0,
 B+D=0,


 2A=6,
 2B=4.
Решая эту систему, получим:
 A  3,
 B  2,


C  3,
 D  2.
Cледовательно,
6p  4
3p  2 3p  2 3 2
3p
2






.
p2 p2  2
p2
p2  2 p p2 p2  2 p2  2


Используя таблицу преобразований Лапласа, получим:
y t   3  1t   2t  3 cos 2t  2 sin 2t .
По определению передаточной функции рассогласования:
E  p   We  p Л  p  .
Передаточная функция рассогласования через передаточную функцию
разомкнутой системы рассчитывается по формуле:
p2
.
 2
2
p

2
1 2
p
p2  2
3
2
3p
  2    2
 2
.
Тогда E  p   We  p Л  p  = 2
p p 2 p 2
p 2  p
1
We  p  

1  Wp  p
1
Используя таблицу преобразований Лапласа, получим:
et   2 sin 2t  3 cos 2t .
3.2.3. Передаточные функции статических и астатических систем
Системы радиоавтоматики могут подразделяться на статические и
астатические.
В статических системах ошибка в установившемся режиме отлична от
нуля, а в астатических системах равна нулю.
21
Рис. 3.7. К пояснению статической ошибки системы
На вход астатической системы подан сигнал xt   c  1t  . Согласно
определению передаточной функции ошибки:
c
E  p   We  p X  p   We  p   .
p
Ошибка в установившемся режиме, называемая статической, на
основании теоремы преобразования Лапласа о конечном значении функции:
ec  lim et   lim pE p   lim We  p c .
t 
p0
p0
Из этого выражения следует, что статическая ошибка равна нулю, если
передаточная функция ошибки содержит множитель p (имеет нуль в точке
p =0), в противном случае статическая ошибка не равна нулю.
Передаточная функция ошибки системы с астатизмом порядка 
содержит множитель p . В такой системе ошибка в установившемся режиме
равна нулю при входном сигнале xt   ct  1 .
1
Из формулы We  p  
cледует, что система радиоавтоматики
1  Wp  p
имеет порядок  астатизма, если передаточная функция разомкнутой системы
содержит  интегрирующих звеньев (имеет полюс порядка  в точке p  0 ).
Пример 3.3. Передаточная функция системы в устойчивом состоянии
1
имеет вид: W р  p   2 . Какой порядок астатизма имеет система?
p
Передаточная функция ошибки находится по формуле:
22
p2
 2 .
1
1 2 p 1
p
Передаточная функция ошибки имеет нуль второго порядка в точке
p  0 , cледовательно, данная система является астатической системой второго
порядка.
Пример 3.4. Передаточная функция системы в замкнутом состоянии
определяется формулой:
b2 p 2  b1 p  b0
Wз  p  
.
a 4 p 4  a3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a0
Каковы условия получения порядка астатизма, если:
1)  0,
2)  1,
3)  2 .
Найдём передаточную функцию рассогласования:
b2 p 2  b1 p  b0
We  p   1  W з  p   1 

a 4 p 4  a3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a0
1
We  p  

1  W p  p
1
a 4 p 4  a3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a0  b2 p 2  b1 p  b0
.
a 4 p 4  a3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a0
Перепишем числитель полученного выражения в виде:
a 4 p 4  a3 p 3  a 2  b2  p 2  a1  b1  p  a0  b0  .
Отсюда следует, что условием получения системы:
1) с астатизмом нулевого порядка является условие: a0  b0 ;
2) с астатизмом первого порядка является условие: a0  b0 , a1  b1 ;
3) с астатизмом второго порядка является условие: a0  b0 , a1  b1 , a 2  b2 .
3.2.4. Передаточные функции многоконтурных систем
К многоконтурным относятся системы радиоавтоматики, в которых
помимо замкнутого контура с главной обратной связью имеются контуры,
образованные стабилизирующими обратными связями, введёнными для
придания системе нужных динамических характеристик. Передаточные
функции таких систем находятся путём последовательного сведения
структурной схемы многоконтурной системы к эквивалентной одноконтурной.
23
xt 
et 
W1
W2
y t 
W0
Рис. 3.8. Cтруктурная схема двухконтурной системы
Исходя из вышеизложенного, передаточная функция системы,
структурная схема которой изображена на рис.3.8, находится следующим
образом:
1). Сначала находится передаточная функция внутреннего контура,
изображённого на рисунке штриховкой, который является системой с обратной
связью:
W2  p 
.
Wвн  p  
1 W2  p W0  p 
2). Если представить внутренний контур как отдельное звено, то вся
система представляется как последовательная система, состоящая из двух
звеньев. Тогда её передаточная функция находится следующим образом:
W1  p W2  p 
.
W  p   W1  p Wвн  p  
1  W2  p W0  p 
4. Анализ устойчивости линейных непрерывных стационарных САУ
4.1. Постановка задачи устойчивости
Cистема радиоавтоматики устойчива, если переходная составляющая
решения стремится к нулю. Это означает, что если система выведена из
состояния равновесия каким-либо возмущением, то она возвращается в
исходное состояние после устранения этого возмущения.
Устойчивость линейной системы определяется её характеристиками и не
зависит от действующих воздействий. Процессы в системах радиоавтоматики
описываются дифференциальными уравнениями вида:
1  W p s yt   W p s xt  ,
(4.1)
где

- символ дифференцирования;
s
t
xt  , y t  - входной и выходной сигналы системы.
24
Решение уравнения состоит из двух составляющих:
y t   y в t   y п t  ,
где
y в t  - решение неоднородного уравнения;
составляющая решения.
Найдём корни характеристического уравнения:
1  W p s   0 ;
y п t 
-
переходная
(4.2)
n
y п t    Ci e it ,
(4.3)
i 1
где
i Ci корни
характеристического
уравнения;
постоянные
интегрирования.
Действительному корню характеристического уравнения i в выражении
(4.2) соответствует слагаемое y пi t   Ci e it . Если i  0 , то переходная
составляющая с ростом времени стремится к нулю. Если i  0 , то эта
составляющая неограниченно возрастает .
Паре комплексно-сопряжённых корней уравнения (4.2) соответствует
слагаемое
y пi t   Ai e it sin  i t   i  ,
где  i  j i - корни характеристического уравнения; Ai ,  i - постоянные
интегрирования, определяемые через Ci .
При этом переходная составляющая стремится к нулю, если
вещественные части корней отрицательны, в противном случае амплитуда
колебаний переходной составляющей непрерывно возрастает.
Пара мнимых корней характеристического уравнения позволяет получить
переходную составляющую в виде колебаний с постоянной амплитудой:
y пi t   Ai sin  i t   i  .
Представляется естественным сделать вывод, что для устойчивости
системы радиоавтоматики необходимо и достаточно, чтобы все корни
характеристического уравнения имели отрицательные знаки, или эти корни на
плоскости комплексного переменного были расположены слева от мнимой оси.
Если корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси, то
система радиоавтоматики находится на границе устойчивости. При этом
возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней.
Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического
уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные,
то система радиоавтоматики устойчива не относительно выходного сигнала, а
относительно его производной, выходной сигнал в установившемся режиме
имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально
25
устойчивыми. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару
мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной.
4.1.1. Необходимое условие устойчивости
В соответствии с необходимым условием устойчивости все
коэффициенты характеристического уравнения (4.1) должны быть больше нуля.
Представим (4.1) в виде:
a n  p  1  p  2 ... p  n   0 .
(4.4)
Если система устойчива, т.е. все корни  i отрицательные, то, раскрыв
скобки в (4.4) получим уравнение с положительными коэффициентами. Если
система неустойчива, т.е. хотя бы один из корней положительный, то
перемножив сомножители в (4.4), получим уравнение с несколькими
отрицательными коэффициентами.
4.2. Критерий устойчивости Гурвица
Для оценки устойчивости системы радиоавтоматики по критерию
Гурвица необходимо из коэффициентов характеристического уравнения (4.1)
составить матрицу Гурвица. Перепишем (4.1) в виде:
a n s n  a n1 s n1  ...  a0  0.
Матрица Гурвица имеет вид:
 a n 1 , a n 3 , a n 5 ,...,0 


 a n , a n  2 , a n  4 ,...,0 
(4.5)
. .
. . . . . . ... .. 


 0,

...
...
...,
a
0

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. В левом верхнем
углу матрицы записывается коэффициент a n 1 , по главной диагонали
располагаются коэффициенты характеристического уравнения с младшими
индексами, над элементами главной диагонали записываются коэффициенты с
убывающими индексами, под элементами – с возрастающими.
Для оценки устойчивости системы радиоавтоматики необходимо
вычислить определители Гурвица, которые получают из матрицы (4.5) путём
вычёркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.
Например, первый определитель имеет вид:
1  a n1 ,
2 
a n1a n3
.
a n a n2
Система радиоавтоматики устойчива, если при a n  0
1  0,  2  0,...,  n  0.
(4.6)
26
Раскрыв  n по последнему столбцу, получим:
 n  a0  n1 .
Так как a 0  0 , то для проверки устойчивости системы достаточно
уточнить знаки только до  n 1 определителя. Если  n  0 , то система
радиоавтоматики находится на границе устойчивости. Возможны два случая:
1) cвободный член характеристического уравнения равен нулю, что
соответствует нейтрально устойчивой системе;
2)  n1  0 , что соответствует колебательной границе устойчивости.
Из условия  n1  0 вычисляется критический коэффициент усиления
K кр. , соответствующий границе устойчивости. Отношение
K кр.

K
называют запасом устойчивости по усилению, где K - коэффициент передачи.
Для нормального функционирования системы необходимо, чтобы   2.
Пример 4.1. Оценить устойчивость системы, cостоящей из двух
последовательно соединённых звеньев с передаточными функциями
2
3
и W2  p  
.
W1  p  
1 p
p3
Так как звенья соединены последовательно, то передаточная функция
разомкнутой системы имеет вид:
2
3
6
W р  p   W1  p   W2  p  

 2
.
p 1 p  3 p  4 p  3
Так как характеристическое уравнение имеет вид:
1  W р  p   0 , то
6
 0,
p  4p 3
p2  4 p  9
 0.
p2  4 p  3
Так как это выражение равно нулю, если равен нулю числитель, то
p2  4 p  9  0.
рассмотрим
уравнение
Выпишем
коэффициенты:
a0  9, a1  4, a2  1. Cоставим матрицу Гурвица:
 4 0

 .
1 9 
4 0
Так как a 2  1  0 , 1  4  0 ,  2 
 0 , то по критерию Гурвица
1 9
система устойчива.
1
2
27
Пример 4.2. Для системы, передаточная функция которой в разомкнутом
10
состоянии W p  p  
, определить запас устойчивости по
p1  0,1 p 1  0,01 p 
усилению.
Запас устойчивости по усилению рассчитывается по формуле:
K кр

, где K  10 - коэффициент усиления. Критический коэффициент
K
усиления находится из условия  2  0 после составления матрицы Гурвица:
K кр
1
 0.
cледовательно,
После
1  Wp  p  0 ,
p (1  0,1 p )(1  0,01 p )
преобразований получаем уравнение:
p1  0,1 p 1  0,01 p   K кр  0.
Раскрыв скобки, приходим к уравнению:
0,001 p 3  0,11 p 2  p  K кр  0.
Выпишем коэффициенты: a0  K кр , a1  1 , a 2  0,11 , a3  0,001 .
Cоставим матрицу Гурвица:
 0,11 K кр 0 


0 .
 0,001 1


0,11 K кр 
0
Рассмотрим минор  2 
0,11 K кр
0,001 1
. Критический коэффициент усиления
0,11 K кр
 0 . Тогда K кр  110 .Следовательно, запас
0,001 1
устойчивости по усилению рассчитывается следующим образом:
110

 11.
10
ищется из условия:
4.3. Частотные критерии устойчивости
В уравнении (4.2) заменим s на jw , получим характеристический вектор:
G  jw  a n  jw  1  jw  2 ... jw  n  .
(4.7)
Если корень характеристического уравнения расположен слева от мнимой
оси, то вектор jw  i поворачивается на угол  , если этот корень находится на
комплексной плоскости справа от мнимой оси, то вектор jw  i
поворачивается на угол   .
Определим изменение аргумента вектора G  jw  при изменении частоты
   w   :
28
n
 arg G jw   arg jw  i  .
 w 
i 1
Пусть m корней характеристического уравнения расположены справа от
мнимой оси, а остальные n  m корней – слева.
Тогда  arg G  jw  n  2m  .
   w 
В устойчивой системе m  0 , тогда

 arg G  jw   n
2
  w 
(4.8)
+j
jw   k
jw  i
i
jw
k
0
Рис. 4.1. К оценке изменения аргумента характеристического вектора
Из выражения (4.8) следует критерий устойчивости Михайлова:
G jw  U w  jV w ,
где U w и V w - действительная и мнимая части характеристического вектора.
Критерий Михайлова.
Система радиоавтоматики устойчива, если годограф характеристического
вектора (изображение частотной характеристики на плоскости частотного
переменного), начинаясь на положительной части действительной оси, обходит
последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n - порядок
характеристического уровня системы.
Если годограф проходит через начало координат, то система находится на
границе устойчивости.
В этом случае
U wкр   0, V wкр   0 .
Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых
система находится на границе устойчивости.
29
Рис. 4.2. Общий вид характеристического вектора устойчивой системы
Рис. 4.3. Общий вид характеристического вектора неустойчивой системы
30
Рис. 4.4. Общий вид характеристического вектора системы на границе
устойчивости
Критерий Найквиста.
Система радиоавтоматики, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет
устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф частотной характеристики
разомкнутой системы не охватывает точку с координатами  1, j 0 . В том
случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку,
система неустойчива.
D jw  N  jw
Введём вектор F  jw  1  W p  jw 
,
D jw
где
N  jw
- частотная характеристика разомкнутой системы;
W p  jw 
D jw
D jw  N  jw - характеристический вектор замкнутой системы;
D jw  - характеристический вектор разомкнутой системы.
Определим изменение аргумента вектора F  jw  для случая, когда
замкнутая система устойчива:
 arg F  jw   argD jw  N  jw   arg D jw  0.
0  w 
0  w 
0  w 
Изменение аргумента вектора F  jw  будет равно нулю, если годограф
частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с
координатами  1, j 0 .
31
4.4. Запасы устойчивости
При проектировании следует обеспечить определённые запасы
устойчивости системы, которые характеризуют близость годографа частотной
характеристики разомкнутой системы к точке с координатами  1, j 0 . Запасы
устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза, при которой
амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы равна единице и
критической частоте, при которой фазочастотная характеристика равна   .
Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запас устойчивости
по фазе показывает, на какое значение фазочастотная характеристика
разомкнутой системы на частоте среза отличается от   :
     p wcр. .
Запас устойчивости по усилению определяет, во сколько раз нужно
увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе
устойчивости. Запас устойчивости по усилению вычисляется по формуле:
1

.
W p  jwкр. 
Cистемы радиоавтоматики, годографы частотных характеристик которых
пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами  1, j 0
называют абсолютно устойчивыми.
Если годограф частотной характеристики разомкнутой системы
пересекает вещественную ось и слева от точки с координатами  1, j 0 , то
систему называют условно устойчивой. Неустойчивой такая система может
быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления. Для
нормальной работы системы радиоавтоматики необходимо, чтобы запас
устойчивости по усилению был   2 , а запас устойчивости по фазе 0,5  1 рад .
4.4.1. Оценка устойчивости по логарифмической частотной
характеристике
Если годограф W p  jw не имеет точек пересечения с вещественной осью
слева от точки с координатами  1, j 0 , то для устойчивости замкнутой
системы радиоавтоматики необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие wср.  wкр. .
В условно устойчивых системах радиоавтоматики для оценки
устойчивости следует в диапазоне частот, где логарифмическая амплитудночастотная характеристика больше нуля подсчитать число переходов
логарифмической фазочастотной характеристики через прямую   . Если
32
число положительных переходов через эту прямую равно числу отрицательных,
то система в замкнутом состоянии устойчива.
Если wср.  wкр. , то система радиоавтоматики находится на границе
устойчивости.
Критический коэффициент усиления вычисляют по формуле:
20 lg K кр.  20 lg k  Л .
Пример 4.3. По логарифмическим частотным характеристикам оценить запас
устойчивости по усилению в системе, передаточная функция которой в
501  0,2 p 
разомкнутом состоянии: W p  p   2
.
p 1  0,02 p 
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика вычисляется по
формуле:
Л w  20 lg W  jw .
Запас устойчивости по усилению вычисляется по формуле:
   Л wкр  ,
где wкр соответствует частоте, где ФЧХ=   .
501  0,2 jw
501  0,2 jw
501  0,2 jw1  0,02 jw
W р  jw 



2
2
2
2



w
1

0
,
02
jw

w
1

0
,
0004
w
 jw 1  0,02 jw







50 1  0,2 jw  0,02 jw  0,004 w 2
50 1  0,004 w 2
9w



j
.
 w 2 1  0,0004 w 2
 w 2 1  0,0004 w 2
 w 2 1  0,0004 w 2




Обозначим действительную часть через Pw , а мнимую часть через
Q w  . Очевидно,  р w   , если Pw  0 , Q w  0 . Следует заметить, что
Pw  0 при любых значениях w , а Q w  0 , если w   . Найдём амплитудночастотную характеристику:
W  jw 

50 2 1  0,004 w 2


2
 81w 2

.
w 2 1  0,0004 w 2
Так как степень знаменателя амплитудно-частотной характеристики
больше степени числителя, то W  jwкр   W  j   0 .
Найдём запас устойчивости по усилению:
   Л wкр   20 lg 0   .
4.4.2. Устойчивость систем с запаздыванием
W р  p   W ри  p e  p - передаточная функция разомкнутой системы с
запаздыванием,

33
где
W ри  p -
передаточная
функция
запаздывания;  - время запаздывания;
разомкнутой
системы
без
W р  jw   W ри  jw  - амплитудно-
частотная характеристика разомкнутой системы с запаздыванием;
 р w   ри w  w - фазочастотная характеристика разомкнутой системы с
запаздыванием, где  ри w -фазочастотная характеристика разомкнутой
системы без запаздывания.
Представляется возможным сделать вывод: запаздывание влияет только
на фазочастотную характеристику, создавая на каждой частоте дополнительный
фазовый сдвиг. Поэтому системы радиоавтоматики, устойчивые без
запаздывания, могут быть неустойчивыми при включении в их состав
устройств запаздывания.
5. Качество переходных процессов в САУ
5.1. Постановка задачи анализа качества работы систем радиоавтоматики
При анализе качества работы систем радиоавтоматики исходят из того,
что структурная схема и параметры устройств системы известны. Требуется
оценить качество её работы.
Показатели качества работы зависят не только от характеристик системы
радиоавтоматики, но и от свойств, действующих на неё сигналов –
управляющих воздействий и возмущающих воздействий (помех).
Законы изменения управляющих воздействий и помех обычно заранее
неизвестны, поэтому качество работы систем радиоавтоматики определяется
косвенными признаками, которые называют показателями качества работы
системы.
Динамическая ошибка работы системы радиоавтоматики оценивается при
k
управляющем воздействии вида xt     i t i .
t 0
Существуют методы оценки качества работы систем радиоавтоматики,
основанные на вычислении интегральных оценок. Часто используется
квадратичная интегральная оценка:

2
 2
2
2
J   e t   1 e t    2 e t   ...   k e k  t  t ,

0

где
et  - ошибка системы, равная разности входного xt  и выходного y t 
сигналов;  i - постоянные коэффициенты.
Чем меньше значение интегральной оценки, тем выше качество работы
системы и наоборот.


34
5.2. Методы анализа детерминированных процессов в линейных
стационарных системах
В линейной стационарной системе воздействие u t  и изучаемый процесс
vt  связаны дифференциальным уравнением:
vt   W s ut  ,

где W s  - операторный коэффициент передачи, s  .
t
Для получения аналитических выражений для процессов на выходе
линейной системы применяется метод преобразований Лапласа:
1 c j
vt  
V  p e pt p ,

2j c  j
где
V  p  - изображение выходного процесса.
При нулевых начальных условиях изображение V  p  равно:
V  p  W  pU  p ,
где
U  p  - изображение входного воздействия, вычисляемое по формуле:

U  p    u t e  pt t.
0
Cокращённая запись: U  p   Lu t  .
Для описания воздействия в системе радиоавтоматики часто используют
функции времени, которые либо сами имеют разрыв непрерывности в точке
t  0 , либо имеют разрывные в этой точке производные:
0, при t  0,
1t   
1, при t  0.
При воздействии, описываемом такими функциями, разрывы в точке
t  0 может иметь также выходной процесс vt  и его производные. В этом
случае преобразование Лапласа определяется соотношением:

U  p    ut e  pt t ,
0
т.е. точка t  0 включается в интервал, на котором выполняется
преобразование.
Во многих случаях достаточно знать значение выходного процесса только
при t   :
lim vt   lim pV  p .
t 
p0
35
5.2.1. Типовые входные воздействия
Для оценки свойств систем радиоавтоматики полезно рассмотреть их
поведение при некоторых типовых воздействиях:
 t    0 1t  - ступенчатое воздействие;
 t    1t1t  - линейное воздействие;
 t    2 t 2 1t  - квадратичное воздействие;
 t    0  1t  ...   l t l 1t  - полиномиальное воздействие.
Линейное и квадратичное воздействия характерны для систем
радиоавтоматики.
Линейное
воздействие
возникает,
например,
в
радиолокационном дальномере при постоянной радиальной скорости
перемещения сопровождаемого объекта по отношению к локатору.
Квадратичное воздействие соответствует, например, cлучаю, когда в системе
фазовой автоподстройки частоты частота входного сигнала меняется по
линейному закону.
5.3. Показатели качества переходного процесса в системе радиоавтоматики
В зависимости от характера собственных колебаний системы переходный
процесс в ней может быть колебательным или апериодическим.
Если корни характеристического уравнения системы действительны, то
собственные колебания системы и переходный процесс в ней апериодические.
В случае комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения
собственные колебания системы являются затухающими гармоническими и
переходный процесс в системе колебательный.
К основным показателям качества переходного процесса в системе
радиоавтоматики относятся следующие параметры:
1) длительность переходного процесса t п , равная интервалу времени с
момента подачи сигнала до момента времени, когда выходной сигнал не будет
отличаться от его установившегося значения более чем на 5%;
2) перерегулирование  , равное отношению максимального значения
выходного сигнала в переходном процессе к установившемуся значению:
y
  max ;
yy
3) время установления первого максимума выходного сигнала t p ,
характеризующее скорость изменения выходного сигнала в переходном
процессе;
2
4) частота колебаний в переходном процессе wt 
, где T - период
T
колебаний.
36
Установившееся значение выходного сигнала системы вычисляется
следующим образом:
1
при единичном входном сигнале y y  lim pWз  p    Wз 0, где W з  p  p 0
p
передаточная функция замкнутой системы.
В астатических системах радиоавтоматики установившееся значение
выходного сигнала в переходном процессе равно единице, в статических
K
системах .
1 k
Пример 5.1.
3
Дана система с передаточной функцией звена W  p  
.
(0,1 p  1)0,15 p  1
Требуется найти перегулирование в системе .
λ (t)
e (t)
W (p)
y (t)
Рис. 5.1. Cтруктурная схема системы радиоавтоматики
Передаточная функция замкнутой системы записывается в виде:
3
W p ( p)
 0,1 p  1 0,15 p  1 
3
Wз ( p ) 


3
1  W p ( p) 1 
 0,1 p  1 0,15 p  1  3
 0,1 p  1 0,15 p  1
3
.
0,015 p 2  0,25 p  4
Для приведённого примера:
Wз  p 
3

.
2
p
p 0,015 p  0,25 p  4
Разложим эту дробь в сумму обыкновенных дробей:
Wз  p  A
Bp  С
 
.
p
p 0,015 p 2  0,25 p  4





A 0,015 p 2  0,25 p  4  Bp 2  Cp  3.
0,015 A  B  p 2  0,25 A  C   4 A  0 p 2  0 p  3.
Получим систему уравнений:
37
4 A  3,

0,015 A  B  0,
0,25 A  C  0.

Решением этой системы является следующий набор значений:
 A  0,75,

 B  0,015  0,75  0,01125 ,
C  0,25  0,75  0,1875 .

Таким образом:
Wз  p  0,75 0,01125 p  0,1875 0,75
1125 p  18750





p
p
p
0,015 p 2  0,25 p  4
1500 p 2  25000 p  400000
0,75
9 p  150
0,75
9p
150






p
p
12 p 2  200 p  3200
12 p 2  200 p  3200 12 p 2  200 p  3200
150
0,75 9
p
12




800
50
800
p
12 2 50
2
p 
p
p 
p
3
3
3
3
25
150 25 3
3
p


3
3
12
3
4
4
 


2
2
p 4
25  1775 
25  1775
p  3   9
p  3   9




25
75 1775
3
p

3
3
3
12
3
4
 


2
2
2
2
p 4
1775




25 
1775
25 
1775



 p    
 p    

3  3 
3   3 


25
1775
3
p
3
75
3
3
 4

.
2
2
2
2
p 4
4
1775
25   1775 
25   1775 



p

 p    

  


3
3
3
3

 

 


Используя таблицу преобразований, имеем:
25
25
 t
3
3  t
1775
75
1775
ht    1t   e 3 cos
t
e 3 sin
t.
4
4
3
3
4 1775
По графику ht  (рис.5.2) необходимо определить величину
перерегулирования  .
38
Установившиеся значение выходного сигнала системы вычисляется
следующим образом:
1
y y  lim pWз  p   Wз  0  ,
p0
p
где W з  p  - передаточная функция замкнутой сиcтемы.
h1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
t
Рис. 5.2. График переходной характеристики
3
3

 0,75.
0,015  0 2  0,25  0  4 4
Перерегулирование  равно отношению максимального значения
выходного сигнала в переходном процессе к установившемуся значению:
y
0,86
  max 
 1,15.
yy
0,75
В данном случае y y 
5.4. Частотные показатели качества
Частотные показатели качества работы систем радиоавтоматики
определяются по амплитудно-частотной характеристике замкнутой системы.
К частотным показателям качества работы систем радиоавтоматики
относятся следующие параметры:
1) полоса пропускания wп - диапазон частот, в котором амплитудночастотная характеристика больше или равна единице. Если амплитудночастотная характеристика замкнутой системы радиоавтоматики во всём
диапазоне частот меньше единицы, то полоса пропускания отсчитывается по
уровню 0,7 .
39
2) резонансная частота w р - частота, соответствующая максимуму
амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы, эта частота
характеризует частоту колебаний в переходном процессе;
3) показатель колебательности M - максимальное значение амплитудночастотной характеристики замкнутой системы. Обычно стремятся, чтобы
показатель колебательности не превышал двух.
Рис. 5.3. АЧХ замкнутой системы
6. Анализ точности работы систем
Помимо
статистических
ошибок
точность
работы
систем
радиоавтоматики характеризуется динамическими и переходными ошибками.
Динамическая ошибка – ошибка в установившемся режиме работы
системы при действии на неё нестационарного сигнала.
Переходная ошибка – ошибка при работе системы в переходном
процессе, который возникает при отработке начального рассогласования.
Динамическая точность работы систем радиоавтоматики определяется
при медленно изменяющихся входных сигналах (воздействия, число
производных от которых ограничено).
k
Cигнал xt    ai t i относится к медленно изменяющемуся воздействию,
i 0
так как число производных от этого сигнала неравных нулю, равно k , а k  1 я производная равна нулю. Гармонический сигнал не является медленно
изменяющимся, так как число производных от него равно  .
Переходные процессы в системах радиоавтоматики затухают значительно
быстрее по сравнению с изменением медленно изменяющегося сигнала,
поэтому и достигается установившейся динамический режим работы системы.
По определению передаточной функции рассогласования преобразование
Лапласа для ошибки системы:
40
1
1


E  p   We  p X  p   C0  C1 p  C 2 p 2  ...  C k p k  X  p 
2
k!


или в области действительного переменного


1
1
et   C0 xt   C1 xt   C 2 xt   ...  C k x k  t  .
2
k!
(6.1)
(6.2)
Число слагаемых в последнем выражении ограничено, так как сигнал xt 
является медленно изменяющимся воздействием. Для нахождения неизвестных
коэффициентов C i , которые называются коэффициентами ошибки, известны
три способа.
k
1) Сk  k! k We  p  p0 ;
p
2) вторым способом коэффициенты ошибок находятся путём деления
числителя передаточной функции ошибки на её знаменатель.
3) для реализации третьего способа представим передаточную функцию
ошибки в виде:
bn p n  bn 1 p n 1  ...  b1 p  b0
We  p  
.
a n p n  a n 1 p n 1  ...  a1 p  a0
Перемножив полином знаменателя на (6.1), получим:
an p n  an 1 p n 1  ...  a1 p  a0  C0  C1 p  1 C2 p 2  ...  1 Ck p k  


 
2
k!
(6.3)

 bn p n  bn 1 p n 1  ...  b1 p  b0 .
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p слева и справа в
выражении (6.3), определим формулы для последовательного вычисления
коэффициентов ошибок:
b
b a C
b  a2 C0  a1C1  2
С0  0 , C1  1 1 0 , C2  2
.
a0
a0
a0


В инженерных расчётах коэффициенты ошибок удобнее рассчитывать
через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы:
d m p m  ...  d 2 p 2  d1 p  d 0 k
W p  p 

,
(6.4)
bn p n  ...  b2 p 2  b1 p  b0 p
где  - порядок астатизма системы.
41
Таблица
Формулы расчёта первых трёх коэффициентов ошибок статических и
астатических систем радиоавтоматики через параметры передаточной функции

Сi
С0
0
С1
С2
1
С0
С1
С2
2
С0
С1
С2
Формулы для расчёта
1
1 k
b  d1
k 1
1  k 2
 b  d2
b1 d1  b1 
2 2d1 d1  b1  
2 k 2

k

k

2
1  k 3
1  k 3 
 1  k 
0
1
k
 b  d1 1 
2 1
 2
k 
 k
0
0
2
k
Первое слагаемое в выражении (6.2) называют ошибкой по положению, а
коэффициент С 0 -коэффициентом ошибки по положению, второе слагаемое –
ошибкой по скорости, а коэффициент С1 - коэффициентом ошибки по скорости.
Аналогично, третье слагаемое в (6.2) называют ошибкой по ускорению, а
коэффициент С 2 - коэффициентом ошибки по ускорению.
В астатических системах  первых коэффициентов ошибок равны нулю,
где  - порядок астатизма системы радиоавтоматики.
При анализе качества работы систем радиоавтоматики помимо
вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах приходится
оценивать точность и при гармонических воздействиях. В этом случае нельзя
применять метод коэффициентов ошибок, так как число производных от
гармонического сигнала не ограничено. При этом для расчёта ошибок
необходимо использовать частотные характеристики. По амплитудночастотной характеристике ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки,
по фазочастотной характеристике – сдвиг колебаний ошибки относительно
входного сигнала.
42
Пример
6.1. Найти динамическую ошибку при входном сигнале
1
xt   1 t    2 t 2 следящей системы, передаточная функция которой в
2
разомкнутом состоянии
1  pT2
k
.
W p  p 
p 1  pT1 1  pT3 
1  pT2
k
Преобразуем W p  p  : W p  p  
.
p 1  pT1  T3   p 2T1T3
Коэффициент астатизма   1 .
1
1
T  T  T
Тогда C0  0, C1  , C2  2 1 3 2  2  ,
k
k
k 


xt    1  2 t ,

xt   2 .
Подставим данные в выражение (2), получим:
1
1 T  T  T2 1 
1
1
1
et   1   2 t    2 1 3
 2    2  1   2 t    T1  T3  T2   2 .
k
2 
k
k
k
k
k 
Вывод. При увеличении коэффициента усиления системы и введении
форсирующего звена ошибка уменьшается, увеличение же постоянных времени
инерционных звеньев ухудшает динамическую ошибку системы.
7. Анализ случайных процессов в САУ в установившихся режимах
7.1. Cуммарная ошибка системы
В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно
считать гауссовским, поэтому для расчёта составляющих суммарной средней
квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и
корреляционную функцию ошибки или её спектральную плотность.
На вход системы подаётся воздействие вида:
f t   x t   n t  ,
где
xt  - случайный сигнал; nt  - случайная помеха.
e t   xt   y t  - cуммарная ошибка системы, где y t  - выходной
сигнал системы.
43
n t 
f t 
X(t)
y t 
Wз  p 
e t 
-
Рис. 7.1. К определению суммарной ошибки
На приведённом рисунке круг означает сумматор, а сектор круга со
знаком минус означает операцию вычитания.
Преобразование Лапласа для суммарной ошибки:
E  p   X  p   Wз  p F  p   X  p   1  We  p  X  p   N  p  
 X  p    X  p   N  p   We  p X  p   We  p N  p  
(7.1)
 We  p X  p   N  p We  p   1  We  p X  p   Wз  p N  p .
Вывод. Суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых,
определяющая точность воспроизведения сигнала, зависит от передаточной
функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи, - от передаточной
функции замкнутой системы.
Предположим, что сигнал и помеха являются стационарными
случайными функциями. Тогда математическое ожидание помехи mпом.  0 , а
случайный сигнал представим в виде:
0
xt   m x  xt  ,
где
0
m x - математическое ожидание сигнала; xt  - случайная составляющая
сигнала.
Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме
о конечном значении функции:
me  lim pWe  p mx  p  .
p0
Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и
помехи оценивается дисперсией ошибки:

44

 e2  M e 2 t   Re  
 0
,
где
 e2 - дисперсия ошибки;  e - средняя квадратическая ошибка системы, M математическое ожидание от квадрата ошибки; Re   - автокорреляционная
функция ошибки;
2
2
 e2   ex2   eп2   exп
  eпп
;
(7.2)
Первое слагаемое в (7.2) определяет среднюю квадратическую ошибку
воспроизведения сигнала xt  . Второе слагаемое в (7.2) характеризует ошибку
вследствие действия помехи nt  . Последние два слагаемых в (7.2) –
составляющие ошибки из-за корреляции сигнала с помехой и помехи с
сигналом.
Величину
 

me2


1
2 2
e
называют
cуммарной
средней
квадратической
ошибкой
системы
радиоавтоматики.
Дисперсия ошибки может быть вычислена через её спектральную
плотность:
1 
2
(7.3)
 e2 
S x wW  jw ,

2 
где S x w - спектральная плотность сигнала.
Интеграл (7.3) удобно представить в виде:
Gn  jw
1 
1 
2




S
w
W
jw

w  I n ,
x


2 
2  H n  jwH n  jw
где
2 n2
2 n4
Gn  jw  b0  jw
 b1  jw
 ...  bn1 - полином, содержащий чётные
степени w ,
n
n 1
H n  jw  a0  jw  a1  jw  ...  a n - полином, корни которого лежат в
верхней полуплоскости комплексной переменной w ,
n - cтепень полинома H n  jw  .
b
Если n  1 , то I1  0 .
2a0 a1
 b  a0 b1 / a 2
Если n  2 , то I 2  0
.
2a0 a1
 a2 b0  a0 b1  a0 a1b2 / a3
Если n  3 , то I 3 
.
2a0 a0 a3  a1a2 
45
Пример 7.1. Найти дисперсию ошибки, если передаточная функция звена
1
W  p   , а спектральная плотность входного воздействия S x w  0,4 .
p
1 
2
 e2 
S x wWз  jw .

2 
Найдём передаточную функцию замкнутой системы:
1
1
p
.
Wз  p  

1 p 1
1
p
Cделаем замену p на jw . Тогда передаточная функция замкнутой
системы будет иметь вид:
1
1  jw
1
w
Wз  jw 
 2
 2
j 2 .
jw  1 w  1 w  1
w 1
2
1 w
1
2
Wз  jw 

.
2
2
2
1

w
1 w


При подстановке этого выражения в формулу для  e2 получим:
1
 
2
2
e


0,4 

w
0,4

lim arctgw

w 2  1 2 ba

b
a

0,4     0,4
 0,2 .
  
2  2 2  2
Пример 7.2. Найти дисперсию ошибки, если передаточная функция звена
1
W  p   2 , а спектральная плотность входного воздействия S x w  0,2 .
p
Найдём передаточную функцию замкнутой системы:
1
1
p2
,
Wз  p  
 2
1
p

1
1 2
p
1
1
W з  jw  

,
2
 jw  1 1  w 2
1
2
Wз  jw 
.
2 2
1 w

0,2
w
0,2 
w
2
e 

.


2
2  1  w 2
2  1  w2 1  w2




Перепишем подынтегральное выражение в виде (7.3). Для этого сделаем
следующее преобразование:
46
1  w2  1  2w  w 2
0
1  1   jw .
 1  2 j 2 w  j 2 w 2  1   jw   2 j   jw   1   jw ,
2
0
n  2 . Тогда b0  0, b1  1, a0  1, a1  2 j , a2  1 .
В данном случае
1
1
j
1
1




j

.
4j
4
4
4j
4 j2
Cледовательно, J 2 
1
4
 e2  0,2   0,05.
7.2. Эффективная полоса пропускания системы
На практике часто встречаются случаи, когда помеху можно считать
белым шумом, спектральная плотность которого в пределах полосы
пропускания системы радиоавтоматики постоянна.
Дисперсия ошибки системы из-за действия помехи:
S п 0 
 
 Wз  jw w.
2 
Эффективной полосой пропускания системы называется величина:
2
2
еп
f эф.
1

2
wэф. 

 Wз  jw
2
w ,


 Wз  jw
2
w.

Пример 7.3. Передаточная функция разомкнутой системы
Рассчитать эффективную полосу пропускания системы:
wэф 

 Wз  jw
2
w.

Найдём передаточную функцию замкнутой системы:
k
Wр  p
k
p
Wз  p  


.
k
1  W p  p
pk
1
p
Cделаем замену: p  jw . Тогда получим:
W з  jw 
Wз  jw
2
k
k  jw  k 
k2
kw
 2



j
,
jw  k
k  w2
k 2  w2
k 2  w2
k 4  k 2 w2 k 2 k 2  w2
k2



.
2
2 2
2
2
2
2 2
(
k

w
)
k

w
k w




Wp  p 
k
.
p
47


k2
w
w
2
wэф   2
w  k  2
 k arctg
2
2
k
 k  w
 k  w
wэф k k
f эф 

 .
2 2 2


 k .
7.3. Оптимизация параметров радиотехнической следящей системы
Цель оптимизации – выбор параметров системы, при котором
минимизируется результирующая ошибка слежения, вызванная как искажением
задающего воздействия  t  при его прохождении через систему, так и
действием шума на выходе дискриминатора. Решаемые при этом задачи
оптимизации параметров системы отличаются не только структурой
рассматриваемых систем, но и описанием действующих на систему
возмущений, критериями, по которым ведётся оптимизация, наличием
дополнительных требований и ограничений. Охватить все возможные варианты
таких задач весьма затруднительно. Поэтому рассмотрим несколько
характерных случаев:
1) воздействие  t  - детерминированная функция, возмущение  t  флуктуационный процесс;
2) воздействие  t  и возмущение  t  являются случайными процессами.
Если в установившемся режиме математическое ожидание ошибки
слежения M xt   m x , вызванное детерминированным воздействием  t  ,
постоянно и отлично от нуля, то в качестве критерия оптимизации может
применяться условие минимума установившегося значения среднего квадрата
ошибки:
 

2
M x  x  m x2   x2  min
(7.4)
Также в качестве критерия оптимизации может использоваться
требование минимизации дисперсии ошибки слежения при ограничении
максимального значения xmax составляющей ошибки, вызванной воздействием
2
 t  :
 x2  min,
xmax  xдоп ,
где x доп. - максимально допустимое значение ошибки, выбираемое так, чтобы
ошибка не выходила за пределы дискриминационной характеристики и не
возникал срыв сопровождения.
В тех случаях, когда изменение параметра  t  , за которым идёт
слежение, описывается стационарным случайным процессом с нулевым
математическим ожиданием, критерием оптимизации параметров системы
48
может служить минимум дисперсии суммарной ошибки слежения, вызванной
как искажением процесса  t  , так и действием флуктуационного напряжения
 t  :
 x2   x21   x22  min .
8. Нелинейные режимы работы САУ и методы их анализа
8.1. Особенности нелинейных систем
Работа в нелинейном режиме может быть вызвана выходом ошибки
слежения за пределы линейного участка характеристики дискриминатора,
наличием в системе ограничителей и других нелинейных элементов.
При больших отклонениях сигналов от установившихся значений
приходится
учитывать
нелинейные
свойства
элементов
систем
радиоавтоматики, допускающих линеаризацию.
При составлении дифференциальных уравнений нелинейных систем
радиоавтоматики сначала составляют дифференциальные уравнения для
каждого устройства системы. При этом характеристики устройств,
допускающих линеаризацию, линеаризуются. В результате получают систему
дифференциальных уравнений, в которой одно или несколько уравнений
нелинейные. Устройства, допускающие линеаризацию, образуют линейную
часть системы радиоавтоматики, а устройства, которые не могут быть
линеаризированы, составляют нелинейную часть.
Во многих системах радиоавтоматики нелинейные устройства можно
представить как статические, зависимость выходного сигнала от входного в
которых описывается линейной зависимостью вида y  F  x  .
Встречаются случаи, когда линейные устройства описываются
 
дифференциальными уравнениями вида y  F  x, x .


Характерной особенностью нелинейных систем является возможность
возникновения в них автоколебаний.
Рассмотрим основные методы анализа нелинейных систем автоматики:
1) метод фазовой плоскости;
2) метод кусочно-линейной аппроксимации;
3) метод гармонической линеаризации;
4) метод статистической линеаризации;
5) метод моделирования.
8.2. Метод фазовой плоскости
В ряде случаев поведение следящей системы описывается нелинейным
дифференциальным уравнением 2-го порядка:
49
2x
 x 


(8.1)
 x,  .
t 2
 t 
Обозначив x  x1 , уравнение (8.1) можно заменить системой уравнений
1-го порядка:
 x1
 t  x2 ,
.
(8.2)


x
2



 t   x1 , x2
Cостояние системы, описываемой уравнениями (8.2), определяется в
каждый момент времени величиной координаты x  x1 и скоростью её
изменения. Это состояние системы можно отобразить точкой на плоскости с
координатами x1 , x 2 , называемой фазовой плоскостью. При изменении
состояния системы изображающая точка перемещается на фазовой плоскости
по кривым, которые называют фазовыми траекториями. Cовокупность фазовых
траекторий, построенных для различных начальных условий, определяет все
возможные процессы в системе и служит наглядным изображением её
динамических свойств.
Для получения уравнения фазовых траекторий исключим из (8.2) время,
поделив второе уравнение на первое:
x2
(8.3)
   x1 , x2  / x2 .
x1
Интегрирование нелинейного дифференциального уравнения (8.3)
позволяет найти уравнение фазовой траектории:
(8.4)
x2  Фx1  .
8.3. Методы кусочно-линейной аппроксимации и гармонической
линеаризации
8.3.1. Метод кусочно-линейной аппроксимации
Используется в том случае, когда нелинейная часть системы
безынерционна и её характеристика может быть аппроксимирована
прямолинейными участками.
Для каждого участка процессы в системе описываются линейными
дифференциальными уравнениями, решение которых может быть найдено.
Значения переменных в конце данного участка являются начальными
условиями для последующего участка. Таким образом удаётся построить
фазовую траекторию движения системы.
50
8.3.2. Метод гармонической линеаризации
Этот метод базируется на замене нелинейного элемента линейным
звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном
сигнале из условия равенства амплитуд первых гармоник
на выходе
нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод
может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является
низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе
нелинейного звена гармонические составляющие, кроме первой гармоники.
Пусть нелинейное звено является статическим. На вход звена действует
сигнал:
x  a sin  ,
  wt.
На выходе этого звена действует сигнал:
y  F a sin  .
Разложив его в ряд Фурье, получим:
(8.5)
y  qa a sin   q / a a cos  y ВГ ,
где y ВГ - cлагаемое, учитывающее вторые и более высокие гармонические
составляющие.
Коэффициенты ряда Фурье имеют вид:
1 2
qa  
F a sin   sin  ,
a 0
(8.6)
1 2
/
q a  
F a sin   cos
a 0
xs

Так как a cos  , где s 
, то (8.5) можно записать в виде:
w
t

q / a  
y  qa  
s x .
(8.7)
w


Это выражение называют уравнением гармонической линеаризации, а
коэффициенты q a  и q / a - коэффициентами гармонической линеаризации.
Представляется возможным сделать следующий вывод:
при постоянных значениях амплитуды входного сигнала коэффициенты
гармонической линеаризации являются постоянными. Различным амплитудам
входного сигнала соответствуют различные коэффициенты гармонической
линеаризации. В обычной линеаризации коэффициенты не зависят от
амплитуды входного сигнала, а определяются только видом характеристики
нелинейного звена;
уравнение гармонической линеаризации (8.7) – это линейное уравнение,
поэтому и вся система радиоавтоматики становится линейной. Для её
51
исследования могут быть использованы методы, разработанные для линейных
систем. Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от
амплитуды сигнала на входе нелинейного звена позволяет выявить
специфические свойства нелинейных систем, которые не могут быть
определены при использовании обычной линеаризации.
8.3.3. Характеристика с ограничением
Определим коэффициент гармонической линеаризации для нелинейной
характеристики, анализ которой позволяет установить некоторые важные для
практики положения.
По формулам (8.6) получим:

1 
2
q a  
  a sin  
 a  0

 

c sin 

4   sin 2 c


 cos  

 2
4
a

 

 
a sin  
2
2  

 
c sin 
2

2
a
sin





2 

,
q / a   0 ,
где  - значение аргумента, при котором наступает ограничение   arcsin
В этом случае: y  qa x.
с
.
a
Рис. 8.1. К определению коэффициентов гармонической линеаризации
Представляется возможным сделать вывод, что для однозначных
нелинейных характеристик коэффициент гармонической линеаризации
q /  a   0 и, следовательно, уравнение гармонической линеаризации имеет вид
y  q  a  x.
52
8.4 Методы статистической линеаризации и моделирования
Метод статистической линеаризации является приближённым и
применим для систем произвольного порядка. Он основан на замене
нелинейного элемента линейным звеном, коэффициенты передачи которого по
математическому ожиданию и случайной составляющей сигнала определяются
из условия статистической эквивалентности нелинейного звена линейному
звену.
y  F  x  - нелинейная зависимость;
z  kx - линейная характеристика, имеющая те же математическое
ожидание и дисперсию, которые имеются на выходе нелинейного звена с
характеристикой y  F  x  . С этой целью представим z  kx в виде:
0
0
z  kx  k0 mx  k11 x , где x - центрированная случайная функция.
Выберем коэффициенты k 0 и k11 такими, чтобы
m z  k0 m x  m y ;
2 2
 z2  k11
 x   y2 , где
m x , m y , mz
- математические
ожидания сигналов;  x2 ,  y2 ,  z2 - дисперсии сигналов.
Из предыдущих выражений следует, что статистическая равноценность
имеет место, если
my
y
, k11   , причём знак k11 должен совпадать со знаком
k0 
mx
x
производной нелинейной характеристики F  x  .
k0 , k11
Величины
называют
коэффициентами
статистической
линеаризации;

my 
 F  x w  x  x
- математическое ожидание сигнала на выходе

нелинейного звена;
 y2


2
 F  x w  x  x - дисперсия сигнала на выходе нелинейного звена;

w  x  - плотность вероятности распределения случайного сигнала на
входе нелинейного звена.
Рассмотренный метод статистической линеаризации не всегда является
наилучшим, поэтому целесообразно статистическую линеаризацию выполнить
из условия наилучшего приближения корреляционной функции сигнала на
выходе нелинейного звена к корреляционной функции на выходе линейного
звена:
53
0 
2
2 2
M  z  y   k02 m x2  k12
 x  2 k0 m x m y  2 k12 M  x y   M y 2  min.
 
 
Найдём производные по k0 и k12 и приравняем их к нулю. Получим:
2 k0 m x2  2 m x m y  0,
0 
2 k12  x2  2 M  x y   0.
 
Отсюда следует, что k0 
k12 
my
mx
1
 x2
;

  x  mx F  x  w  x  x.

Представляется возможным сделать вывод, что статистическая
линеаризация из условия минимума дисперсии ошибки даёт то же значение
коэффициента k0 , которое было найдено при первом способе линеаризации;
коэффициент линеаризации относительно случайной составляющей k12 имеет
другое значение. Рекомендуется брать их среднее арифметическое значение:
k k
k1  11 12 .
2
Отличие статистической линеаризации от обычной заключается в
зависимости коэффициентов статистической линеаризации от математического
ожидания и дисперсии сигнала на входе нелинейного звена.
Метод моделирования основан на использовании для анализа нелинейных
систем радиоавтоматики различных вычислительных машин. Этот метод не
накладывает ограничений на порядок исследуемых систем и позволяет оценить
качество систем при большом наборе начальных условий и различных видах
входных сигналов и помех.
8.5. Полоса удержания и захвата
Зависимость расстройки  промежуточной частоты от величины
отклонения  w c частоты входного сигнала изображена на риc. 8.2:
54
Рис. 8.2. Полоса удержания и захвата
Если  w c  0 , то   0 .
С увеличением отклонения  w c расстройка  промежуточной частоты
сигнала возрастает. Когда  w c превысит значение, соответствующее точке А,
система скачком перейдёт в новое устойчивое состояние, изображаемое точкой
Б. Подстраивающее действие системы при этом практически прекращается, и
величины  и  w c становятся примерно равными. Если теперь уменьшать
значение  w c частоты сигнала, то подстраивающее действие системы
 wc
восстановится, когда отклонение
станет меньше значения,
соответствующего точке B, и система перейдёт в состояние, изображенное
точкой Г. При отрицательных значениях  w c в системе возникают аналогичные
процессы.
Область частот, лежащая между абсциссами точек А и A/, называется
полосой удержания. Область частот, лежащая между абсциссами точек Г и Г/,
называется полосой захвата системы. Величины этих полос являются важными
параметрами, учитываемыми при проектировании систем частотной
автоподстройки.
Полоса захвата определяет диапазон первоначальных расстроек частоты
сигнала, в пределах которого при включении системы обеспечивается переход
к режиму слежения.
Полоса удержания определяет диапазон расстроек частоты сигнала, в
пределах которого при медленном изменении частоты входного сигнала режим
слежения сохраняется, если система в этот режим уже была введена.
55
9. Математическое описание дискретных систем
9.1. Функциональная схема системы с прерывистым входным сигналом
Значительное распространение на практике получили радиотехнические
следящие системы, cигнал на входе которых имеет прерывистый характер и
образует последовательность импульсов с длительностью  и и периодом
повторения T . Прерывистый характер входного сигнала может быть вызван
различными причинами: импульсным излучением передатчика, cканированием
диаграммы
направленности
антенны
приёмника
в
пространстве,
переключением её с одного сопровождаемого объекта на другой и т.д.
Cуществуют различные варианты построения следящей системы при
наличии прерываний входного сигнала. Один из них показан на рис. 9.1.
u t 
u вх t 
Дис
u k t 
Ф
Кл
ГОС
Рис. 9.1. Функциональная схема дискретной системы
В данной схеме приняты следующие обозначения: ГОС – генератор
опорных сигналов, Дис – дискриминатор, Ф – фильтр.
Ключ коммутируется синхронно с появлением сигнала. Он замкнут во
время действия импульса сигнала и разомкнут на время пауз. Так как во время
пауз информация о величине ошибки слежения дискриминатором не
извлекается, размыкание ключа Кл на это время препятствует попаданию на
вход фильтра флуктуационного напряжения с выхода дискриминатора и
повышает тем самым точность слежения.
Для математического описания преобразования непрерывного сигнала
x  t  в дискретный удобна следующая математическая модель сигнала:

t

x * t   x t      n  ,
(9.1)

n 0  T
Использование дельта-функции безразмерного аргумента связано с тем,
что размерность сигнала x *  t  должна совпадать с размерностью x  t  . Так как
56
t
по правилу изменения масштаба аргумента дельта-функция     T   t  , то
T 
из (9.1) следует:

x  t   x  t  T    t  nT  .
*
(9.2)
n 0
Множитель T нужно учитывать при предельных переходах T  0  . Во
всех остальных случаях его можно опускать и модель сигнала принимать в
виде:

x *  t   x  t     t  nT  .
(9.3)
n 0
Cигнал x  t  называют мгновенными импульсами или обобщённым
дискретным сигналом.
*
9.2. Математический аппарат Z-преобразования
На математическом аппарате Z - преобразования строится современная
теория дискретных систем радиоавтоматики.
Подвергнем (9.3) преобразованию Лапласа:

X  p    x *  t  e  pt t 
0

 x  nT  e  pnT ,
n 0
Функцию x  nT  называют дискретной.
Обозначим: e pT  z . Тогда
X z  

 x  nT  z n  Z  x t .
n 0
Функцию X z  называют Z-преобразованием сигнала x  t  .
9.2.1. Cвойства Z-преобразования
1.Свойство линейности.
Если X1  z   Z  x1  t   , X 2  z   Z  x 2  t   , то
Z ax1  t   bx 2  t    aX1  z   bX 2  z  .
2. Первая теорема смещения.
Если X  z   Z  x  t   , то для целых k Z  x  t  kT    z  k X  z  .
3. Вторая теорема смещения.
Если X  z   Z  x  t   , то для целых k
(9.4)
57
k 1


Z  x  t  kT    z k  X  z    x  nT  z n  .
n 0


4. Свёртка функций.
Если Y  z   X1  z  X 2  z  , то
y  nT  
n
 x1  nT  mT  x2  mT .
m 0
5. Предельные значения.
Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то
они могут быть найдены путём следующего предельного перехода:
z 1
lim x  nT   lim
X z  ,
n 
z 1 z
lim x  nT   lim X  z  - формула для начального значения сигнала.
n 0
z 
6. Формула обращения.
Дискретные значения функции по её Z-преобразованию
следующим контурным интегралом:
1
x  nT  
X  z z n 1z - формула обращения.

j 2 T z 1
определяют
7. Z- преобразование изображённого по Лапласу процесса совпадает с Zпреобразованием самого процесса, т.е.
Z  X  p   Z x  t  .
8. Если сигнал запаздывает на время T , то последовательность мгновенных
импульсов имеет вид:

x  t    x  t  T   t  nT  .
*
n 1
При этом Z- преобразование вычисляется по формуле:

X  z    x  nT  T z n .
n 1
9.3. Передаточные функции дискретных систем
9.3.1. Пример дискретной системы
Использование Z-преобразования для анализа дискретных систем во
многом аналогично использованию преобразования Лапласа при анализе
непрерывных систем. Необходимым этапом такого анализа является
нахождение передаточной функции дискретной системы, которая определяется
как отношение Z-преобразований выходного и входного процессов системы
при нулевых начальных условиях в системе. Познакомимся с методикой
58
определения передаточной функции дискретной системы на примере системы,
изображённой на рис. 9.2.
xt 
 t 
SД

u t 
W1 s 
vt 
y t 
W2 s 
Рис. 9.2. Пример дискретной системы
На рисунке приведены следующие обозначения:
S Д - дискриминационная характеристика;
 - импульсный элемент;
v  t  - выходной процесс системы;
W1  s  , W2  s  - коэффициенты передачи звеньев.
На выходе импульсного элемента формируется напряжение:

u  t   S Д  x  kT    t  kT  .
k 0
При подаче его на вход фильтра с коэффициентом передачи W1  s  на его
выходе образуется процесс:

v  t   S Д  x  kT  g1  t  kT  , где g1  t  - импульсная переходная функция
k 0
фильтра.
По теореме свёртки и равенству Z  X  p   Z x  t  имеем:
V  z   S ДW1  z  X  z  ,
где
W1  z   Z g1  t   Z W1  p  - изображение импульсной переходной
функции g1  t  , совпадающей с Z- изображением передаточной функции W1  p  ,
связанной с g1  t  преобразованием Лапласа.
Ошибка слежения в рассматриваемой системе равна:
x t    t   y t  ;
X z   Л z   Y z ,
где
59
Л  z  ,Y  z  - Z-изображение процессов   t  и y  t  ,
Y  z   S ДWПН  z  X  z  ,
где
WПН  z   Z WПН  p  - Z- изображение функции WПН  p   W1  p  W2  p  ,
являющейся передаточной функцией приведённой непрерывной части системы.
Из формул X  z   Л  z   Y  z  и Y  z   SДWПН  z  X  z  имеем:
X z   Л z  
1
.
1  S ДWПН  z 
Подставив это выражение в формулу для V  z  , получим:
X z   Л z  
S ДW1  z 
.
1  S ДWПН  z 
Отсюда следует, что искомая передаточная функция рассматриваемой
замкнутой дискретной системы описывается соотношением:
S ДWПН  z 
.
Wv  z   W y  z  
1  S ДWПН  z 
При анализе ошибок слежения в тактовых точках используется
передаточная функция W x  z  , связывающая Z- изображения воздействия   t 
и ошибки слежения x  t  .
Так как X  z   Л  z  
1
1
, то W х  z  
.
1  S ДWПН  z 
1  S ДWПН  z 
9.3.2. Разностные уравнения
Знание передаточной функции дискретной системы позволяет описать
связь между дискретными процессами на её входе и выходе с помощью
разностного уравнения. Чтобы получить это уравнение, представим
передаточную функцию W  z  системы в виде дробно-рациональной функции
переменной z 1 :
b0  b1 z 1  ...bm z  m
W z  
.
1  a1 z 1  ...  an z n
Подставив это выражение в уравнение V  z   W  z  Л  z  , запишем:
1  a z
1
1



 ...  an z n V  z   b0  b1z 1  ...  bm z m Л  z  .
60
Применим теорему обращения к обеим частям этого уравнения.
Используя первую теорему смещения и полагая, что   t   v  t   0 при t  0 ,
получаем:
v k  a1v k 1  ...  anv k  n  b0 k  b1k 1  ...  bm k  m ,
где введены обозначения
v  kT   v k ,
  kT   k .Решив это уравнение
m
n
i 0
i 1
относительно v k , представим его в виде: v k   bi k  i   ai v k  i .
Это выражение является разностным уравнением, связывающим значения
выходного процесса v  kT  с его значениями в предшествующих тактовых
точках и значениями воздействия в моменты времени:
t  kT ,  k 1 T , …,  k  m  T .
9.3.3. Операторные коэффициенты передачи
Разностное уравнение дискретной системы можно записать в компактной
форме, если использовать операторный коэффициент передачи. Для его
получения введём оператор с , действие которого на временную функцию v  t 
приводит к её сдвигу по времени на величину T . При этом выполняются
следующие соотношения:
cv  t   v  t  T  ,
c 2 v  t   v  t  2T  ,
............................
c nv  t   v  t  nT  .
Тогда разностное уравнение записывается в виде:
v  kT   W c    kT  ,
где
W c  
b0  b1c  ...  bm c m
-
1  a1c  ...  an c n
дискретной системы.
операторный
коэффициент
передачи
9.3.4. Комплексные коэффициенты передачи дискретной системы
Если
W z 
 
-
WД  jw   W e jwT  W  z 
передаточная
z  e jwT
.
функция
и
z  e jwT ,
то
61
Физический смысл комплексного коэффициента передачи дискретной
системы заключается в следующем. На вход дискретной системы подаётся
воздействие   t   Л0 sin wt . Возникающий при этом в установившемся
режиме выходной процесс yt  показан сплошной линией на рис.9.3. Как видно
из рисунка, выходной процесс является несинусоидальным, но в точках y  kT 
совпадает со значениями непрерывного синусоидального процесса, имеющего

частоту w и комплексную амплитуду Y  w  . Комплексный коэффициент
передачи WД  jw 
дискретной системы равен отношению комплексной


амплитуды Y  w  к комплексной амплитуде Л 0  w  входного воздействия.
Рис. 9.3. К понятию комплексного коэффициента передачи дискретной системы
9.4. Условия устойчивости дискретных САУ
9.4.1. Алгебраический критерий устойчивости дискретной САУ
Как следует из раздела 4, непрерывная система устойчива, если полюсы
её передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной
переменной p . Если, учитывая равенство z  e pt , представить передаточную
функцию W  z 
 
дискретной системы в виде W e pT , то условие её
устойчивости формулируется аналогично: дискретная система устойчива, если
  находятся в левой полуплоскости
полюсы её передаточной функции W e pT
комплексной переменной p .
При замене переменных z  e pt левая полуплоскость переменной p
преобразуется в круг единичного радиуса на плоскости переменной z . Поэтому
дискретная система устойчива, если полюсы z i её передаточной функции W  z 
62
находятся внутри окружности единичного радиуса на плоскости переменной z
и, следовательно, удовлетворяют условиям:
zi  1, i  1, 2,..., n.
Представим W  z  в виде: W  z  
B z 
.
A z 
Полюсы z i являются корнями характеристического уравнения системы:
A  z   an z n  ...  a0 .
При n  5 удобно пользоваться алгебраическим критерием устойчивости.
В соответствии с этим критерием дискретная система устойчива, если
коэффициенты её характеристического уравнения удовлетворяют определённой
системе неравенств.
Для уравнения первого порядка, т.е. при n  1 , эти неравенства
записываются в виде:
a1  a0  0, a1  a0  0.
Для уравнения второго порядка ( n  2 ) они имеют следующий вид:
a2  a1  a 0  0;
a2  a1  a0  0;
a2  a0  0.
При n  3 указанная система неравенств принимает вид:
a3  a2  a1  a 0  0;
a3  a2  a1  a0  0;
a32  a02  a0 a2  a1a3  0;
3  a3  a0   a2  a1  0;
3  a3  a0   a2  a1  0.
9.4.2. Частотный критерий устойчивости дискретной САУ
Замкнутая дискретная система является устойчивой, если годограф
комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы не охватывает
точку  1, j 0  на плоскости комплексной переменной w . Так как комплексный
коэффициент передачи дискретной системы является периодической функцией
частоты, при построении годографа достаточно изменять частоту в пределах от
2
0 до П 
.
T
63
9.5. Анализ детерминированных процессов в дискретных системах
Если начальные условия в системе нулевые, то
V  z   Wv  z  Л  z  .
Существует несколько способов нахождения процесса v  kT  по его
изображению V  z  . В общем случае этот переход определяется интегралом
обращения (cм. свойства Z- преобразования). Для его вычисления можно
использовать теорему о вычетах, в соответствии с которой:
1
v  kT  
V  z  z k 1z   Выч V  z  z k 1  ,

2 j Г
zi
где
z i - полюсы подынтегральной функции f  z   V  z  z k 1 .
Выч f  z   lim  z  z i  f  z  - вычет в случае простого полюса,
zi
z  zi
1
 m 1 
m
Выч f  z   lim
z  z i  f  z   - вычет в полюсе m -го

m

1


zi
z  z i  m  1  ! z
порядка.
Если достаточно знать значение выходного процесса только в
установившемся режиме, то для определения его в устойчивой следящей
системе применим теорему о конечном значении оригинала:
z 1
v  kT   lim
V z  .
z 1 z
k 
10. Цифровые системы автоматического управления
10.1. Общая характеристика цифровых следящих систем
Цифровыми называют следящие системы, все или часть блоков которых
построены на базе цифровых вычислительных машин (ЦВМ) или в виде
отдельных цифровых устройств, использующих элементы импульсной и
цифровой техники. Cистемы, не использующие цифровую технику, принято
называть аналоговыми.
Достоинствами цифровых систем является резкое упрощение их
настройки и регулировки, высокая стабильность их характеристик и
параметров, высокая надёжность, удобство изменения их параметров в
процессе работы, гарантированная точность получаемых результатов.
Основным недостатком, возникающим при построении цифровых систем,
является то, что характерной особенностью этих систем является обработка
процессов, подвергшихся дискретизации по времени и квантованию по уровню.
64
В общем случае выполнение этих операций приводит к возрастанию ошибки
слежения.
10.2 Общая структура цифровой радиотехнической системы
Цифровые системы радиоавтоматики весьма разнообразны. На рис.10.1
приведена цифровая радиотехническая следящая система, наиболее близкая к
рассматривавшимся ранее аналоговым системам.
uс t ,  
Дис
Ф
АЦП
u оп t , y 
ГОС
ЦАП
ЦФ
Рис. 10.1. Общая структура цифровой радиотехнической системы
На схеме приняты следующие обозначения:
Дис – дискриминатор;
Ф – фильтр;
АЦП – аналого-цифровой преобразователь;
ЦФ – цифровой фильтр;
ЦАП – цифроаналоговый преобразователь;
ГОС – генератор опорных сигналов.
Связь между цифровыми и аналоговыми блоками системы
обеспечивается с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и
цифроаналогового преобразователя (ЦАП). Для того, чтобы ограничить
ширину спектра процесса, поступающего на АЦП, на выходе дискриминатора
часто включают аналоговый фильтр нижних частот (Ф).
По данной схеме могут быть построены цифровые системы слежения за
направлением прихода, частотой, фазой радиосигнала и другие
радиотехнические следящие системы. Cистемы такого типа называют аналогоцифровыми, так как в схеме используются как цифровые, так и аналоговые
устройства.
65
10.2.1. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП)
Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) осуществляет периодическое
преобразование напряжения, поступающего с аналогового дискриминатора в
цифровую форму. Выполняемое им преобразование состоит из двух этапов:
1) непрерывное напряжение, поступающее на вход АЦП, подвергается
дискретизации по времени.
2) оно квантуется по уровню и полученные квантованные по уровню
величины заменяются числами, представленными в виде кодов.
Временная дискретизация: u  t   u  kT  , где k  0,1, 2,...,T - период
временной дискретизации. Это преобразование – линейная операция и может
рассматриваться как прохождение напряжения u  t  через ключ, коэффициент
передачи которого изменяется по закону:
1, при t  kT ,
k t   
0, при t  kT .
ukT 
t
T
2T
3T
Рис. 10.2. Временная дискретизация.
Этот ключ назовём дискретным элементом (ДЭ). Квантование по уровню,
выполняемое на следующем этапе преобразований в АЦП, cостоит в
округлении значений процесса u  kT  до величин uкв.  kT  , кратных шагу U
квантования по уровню: uкв.  kT   Un  kT  , где n - номер квантованного
уровня. Un  kT  заменяются далее числами n  kT  , записанными в некоторой
системе исчисления (часто двоичной) и отображёнными соответствующими
кодовыми группами. Операция квантования по уровню и замены квантованных
66
величин числами описывается нелинейной функцией Q  u  , характер которой
показан на рис. 10.3.
2
Q u 
1
-1,5
-0,5
u
0
0,5
U
1,5
-1
-2
Рис. 10.3. Квантование по уровню
10.2.2. Цифровые фильтры
Цифровым фильтром называют устройство, которое преобразует
поступившую на его вход последовательность чисел n  kT  в другую
последовательность чисел n1  kT  , формируемую на выходе фильтра.
n1  kT   W  c  n  kT  - уравнение, описывающее цифровой фильтр;
c - оператор временного сдвига на время T ;
W  c  - операторный коэффициент передачи цифрового фильтра,
связанный с его дискретной передаточной функцией Wцф  z  соотношением:
W  c   Wцф  z  / z 1 .
10.2.3. Цифроаналоговый преобразователь (ЦАП)
Цифроаналоговый преобразователь используется в рассматриваемой
системе для преобразования последовательности чисел, поступающей с выхода
цифрового фильтра в непрерывное напряжение:
uвых.  t    n1  kT  U1h t  kT  ,
k
где
U1  шаг преобразования, т.е. приращение выходного напряжения ЦАП
при увеличении поступающего на его вход числа на единицу;
h  t  - функция, зависящая от используемого в преобразователе метода
экстраполяции.
67
Эквивалент ЦАП приведён на рис. 10.4.
n1 kT 
ИЭ
Wфф s 

Рис. 10.4. Эквивалент цифроаналогового преобразователя
На схеме приняты следующие обозначения:  - импульсный элемент с
коэффициентом передачи, описываемым последовательностью дельтафункций: k  t  

   t  kT  ,
замыкающийся в моменты появления чисел на
k 0
входе преобразователя; Wфф  s 
- операторный коэффициент передачи
формирующего фильтра с импульсной переходной функцией, равной U1h  t  .
При использовании в ЦАП экстраполятора нулевого порядка:


Wфф  s   U1 1  e sT / s .
10.3. Cтруктурная схема цифровой системы
Полученные математические описания цифровых и аналого-цифровых
блоков системы позволяют построить её общую структурную схему. В неё,
кроме эквивалентов АЦП, ЦАП и цифрового фильтра входит линейный
эквивалент аналогового дискриминатора, состоящий из безынерционного звена
с коэффициентом передачи S Д и источника шума   t  , а также звенья с
коэффициентами передачи WГОС  s  , Wф  s  ,
генератор опорного сигнала и фильтр Ф.
описывающие аналоговый
 t 
 t 
yt 
xt 
SД
WГОС s 
U 1
W ф s 

Qu 
1  e  sT
s

W c 
Рис. 10.5. Структурная схема цифровой системы
68
Перечисленные выше достоинства цифровых систем могут проявиться
более полно, если цифровыми в них являются не только фильтры, но и другие
блоки: дискриминаторы, генераторы опорного сигнала.
Аналого-цифровое преобразование сигнала uc  t,   в цифровую форму
может осуществляться в цифровых дискриминаторах таких систем до
перемножения сигнала uc  t,   с опорным напряжением. При этом, как
правило, оказывается, что указанное аналого-цифровое преобразование
выполняется вне контура регулирования следящей системы и дискриминаторы
такого типа называют цифровыми дискриминаторами с АЦП вне контура
регулирования.
10.4. Анализ устойчивости цифровых систем
Переходный процесс будет затухающим, если все полюсы цифровой
системы радиоавтоматики на плоскости комплексного переменного z
расположены внутри круга единичного радиуса. Это условие является
необходимым и достаточным для устойчивости системы.
Полюсы системы – корни характеристического уравнения 1  Wp  z   0 ,
где Wp  z  - передаточная функция разомкнутой системы. При подстановке
z 1
областью устойчивости системы является вся левая полуплоскость
s
z 1
комплексной плоскости, следовательно, можно использовать критерии
устойчивости, разработанные для непрерывных систем радиоавтоматики.
10.4.1. Критерий Гурвица
Для проверки устойчивости цифровой системы радиоавтоматики по
критерию Гурвица необходимо от характеристического уравнения
1  Wp  z   0 перейти к уравнению:
1  Wp  s   1  Wp  z  
z
1 s
1 s
Cоставим матрицу Гурвица:
bl 1 , bl  3 , bl  5 ,..., 0 


bl , bl  2 , bl  4 ,..., 0 
0, bl 1 , bl  3 ,..., 0 


............................
0
b0 

 bl s l  bl 1s l 1  ...  b0  0.
Условия устойчивости при bl  0 :
69
1  bl 1  0;
2 
bl 1 , bl  3
bl
 0,...,  l 1  0.
bl  2
Если хотя бы один из определителей меньше или равен нулю, то
цифровая система неустойчива.
Условие  l 1  0 определяет границу устойчивости, из этого уравнения
находится критический коэффициент.
Устойчивость цифровых систем радиоавтоматики может быть оценена и
по частотным критериям устойчивости.
Так, для оценки устойчивости по критерию Найквиста нужно построить
годограф частотной характеристики разомкнутой системы относительно
круговой частоты или относительно псевдочастоты на основе s преобразования, определяемого формулой:
2
2 wT
.
jv  s  j tg
T
T
2
Цифровая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в
замкнутом состоянии, если годограф частотной характеристики разомкнутой
системы не охватывает точку с координатами  1, j 0  .
Запас устойчивости по усилению вычисляется на критической частоте, на
которой ФЧХ разомкнутой системы равна  :
1

,
Wp jw кр.


где
w кр. - критическая частота.
Запас устойчивости по фазе рассчитывается на частоте среза:
    p w cр. ,
 
где
w cр. -частота среза.
70
11. Принципы построения радиотехнических САУ
11.1. Обобщённая функциональная схема радиотехнической САУ
Обобщённая функциональная схема радиотехнической САУ приведена на
рис.11.1.
u вх t ,  
u Д t 
Дис
u оп t , y 
Ф
u ф t 
ГОС
Рис. 11.1. Обобщённая функциональная схема радиотехнической САУ
На схеме приняты следующие обозначения: Дис – дискриминатор; Ф –
фильтр; ГОС – генератор опорных сигналов.
На
один
из
входов
дискриминатора
подаётся
процесс
uвх.  t   uc  t,    uш t  , представляющий собой смесь полезного сигнала
uc  t,   , за параметром   t  которого ведётся слежение, и шума uш  t  . На
второй вход дискриминатора поступает опорный сигнал uоп  t, y  , зависящий от
оценки y  t  отслеживаемого параметра   t  , сформированной в процессе
слежения. Вид опорного сигнала определяется типом следящей системы. Так,
во временном автоселекторе опорным сигналом является последовательность
стробирующих импульсов, в системе фазовой автоподстройки – напряжение
подстраиваемого генератора.
В дискриминаторе входной сигнал uвх.  t  подвергается нелинейному
преобразованию, в результате которого на выходе дискриминатора
формируется напряжение, зависящее от ошибки слежения x    y .
Зависимость F  x  математического ожидания выходного напряжения от
ошибки слежения x принято называть дискриминационной характеристикой.
Выходное напряжение дискриминатора u Д  t  содержит также
флуктуационную составляющую   t, x  , зависящую в общем случае от ошибки
71
слежения
x.
Напряжение
  t, x 
является
результатом
нелинейного
преобразования в дискриминаторе входного процесса uвх.  t  . Необходимо
заметить, что напряжение   t, x  не следует путать с входным шумом uш  t  .
Напряжение u Д  t  , снимаемое с выхода дискриминатора, проходит через
фильтр Ф и воздействует на генератор опорных сигналов (ГОС), изменяя
соответствующий параметр (фазу, частоту, временное положение) опорного
сигнала.
11.2. Обобщённая структурная схема радиотехнической следящей
системы, отображающей процесс автоматического слежения за
параметром сигнала
 x, t 
 t 
xt 
F x 
W s 
y t 
Рис. 11.2. Обобщённая структурная схема радиотехнической следящей системы
На схеме приняты следующие обозначения:
  t  - задающее воздействие, которым является отслеживаемый параметр
сигнала;
y  t  - управляемая величина (частота подстраиваемого генератора,
положение следящих импульсов и т.п.), являющаяся оценкой отслеживаемого
параметра;
x - ошибка слежения.
Заметим, что в некоторых радиотехнических следящих системах
управляемая величина по самому принципу работы должна следить за
параметром радиосигнала с определённым сдвигом. В системе частотной
автоподстройки этот сдвиг равен номинальному значению промежуточной
частоты. В системе фазовой автоподстройки частоты с использованием
опорного генератора сдвиг равен значению фазы опорного генератора. Чтобы
учесть это, в структурной схеме для таких систем под   t  и y  t  следует
72
понимать отклонение параметра сигнала и управляемой величины от их
номинальных значений.
Часть схемы, охваченная штриховой линией, является математическим
эквивалентом дискриминатора и отображает формирование выходного
напряжения дискриминатора, зависящего от ошибки слежения.
Эквивалент дискриминатора, как видно из
рисунка, состоит из
устройства сравнения задающего воздействия   t  и управляемой величиной
y  t  , безынерционного нелинейного звена F  x  и сумматора, на вход которого
подаётся флуктуационное напряжение   t, x  .
Звено с операторным коэффициентом передачи W  s 
описывает
преобразование выходного напряжения u Д  t  дискриминатора, происходящее в
фильтре и генераторе опорных сигналов.
При малых значениях ошибки дискриминационная характеристика
линейна и записывается в виде:
F  x   SД x ,
где S Д  F  x  / x
x 0
- крутизна характеристики дискриминатора.
Форма дискриминационной характеристики F  x  и её крутизна зависят
не только от схемы и параметров дискриминатора, но и от амплитуды сигнала.
Зависимость крутизны S Д от амплитуды сигнала нежелательна, так как
приводит к изменению динамических свойств следящей системы. Поэтому в
усилительном тракте, предшествующем дискриминатору, или в самом
дискриминаторе проводится нормировка сигнала по амплитуде. Нормировка
может осуществляться системой автоматической регулировки усиления или
ограничителем. Характеристика F  x  зависит также от отношения q 2 сигналшум по мощности на входе дискриминатора. При уменьшении отношения q 2
максимумы дискриминационной характеристики снижаются и её крутизна S Д
падает.
Из рассмотрения обобщённой структурной схемы системы следует, что в
ней выполняются соотношения:
x t    t   y t  ;
y  t   W  s  F  x     t , x   .
Cледовательно,
изменение
ошибки
описывается
стохастическим дифференциальным уравнением:
x  t   W  s  F  x     t, x      t   0.
нелинейным
73
12. Системы частотной автоподстройки частоты
Эти системы применяются в радиоприёмных устройствах для
поддержания постоянной промежуточной частоты сигнала, используются для
стабилизации частоты генерируемых колебаний, применяются в качестве
узкополосных перестраиваемых по частоте фильтров и в качестве
демодуляторов частотно-модулированных колебаний с обратной связью по
частоте.
12.1. Функциональная схема АПЧ
uс
u пр
СМ
wпр 
wc
ЧД
УПЧ
uГ
uД
ПГ
ФНЧ
Рис. 12.1 . Функциональная схема АПЧ
Входной сигнал с напряжением uc  t  и частотой w c преобразуется в
смесителе (СМ) в напряжение промежуточной частоты w пр. , усиливается
усилителем промежуточной частоты (УПЧ) и подаётся на частотный
дискриминатор (ЧД). Если промежуточная частота сигнала отличается на w
от её номинального значения, равного центральной частоте УПЧ, то на выходе
ЧД возникает напряжение, значение и знак которого зависят от значения и
знака отклонения промежуточной частоты w . Напряжение с ЧД через фильтр
нижних частот (ФНЧ) подаётся на гетеродин (Г) (перестраиваемый генератор),
частота сигнала которого перестраивается таким образом, что отклонение w
уменьшается, в результате чего промежуточная частота с заданной точностью
оказывается равной центральной частоте УПЧ w про .
12.2. Математическое описание системы АПЧ
Преобразование частоты входного сигнала, выполняемое в смесителе,
описывается соотношением:
(12.1)
w пр.  w c  w г ,
где w c - частота сигнала; w г - частота подстраиваемого генератора;
74
w пр. - промежуточная частота сигнала.
Отклонение w промежуточной частоты сигнала от её номинального
значения w про . определяется равенством:
(12.2)
w  w пр.  w про  w c  w г ,
w c , w г - отклонения частот входного сигнала и гетеродина от
где
номинальных значений w cо , w го .
При условии безынерционности УПЧ частоты сигнала на его входе и
выходе совпадают.
Выходное напряжение частотного дискриминатора при действии на его
входе сигнала и внутреннего шума приёмника можно представить в виде
суммы математического ожидания и центрированной случайной составляющей:
u Д  t   M u Д  t      t,    F       t,   ,
(12.3)
где  - расстройка промежуточной частоты сигнала по отношению к
переходной (центральной) частоте wп дискриминатора, равная
(12.4)
  w пр.  w п ;
F    - математическое ожидание выходного напряжения, зависящее от
расстройки  ;
  t,  - флуктуационная составляющая напряжения u Д  t  .
Зависимость F    математического ожидания выходного напряжения
частотного дискриминатора от расстройки  называют дискриминационной
характеристикой.
Форма функции F    , а также характеристики случайного процесса
  t,  зависят от типа и параметров УПЧ и частотного дискриминатора,
отношения сигнал-шум в полосе УПЧ, наличия и характера флуктуаций
сигнала и от других факторов.
При малых рассогласованиях  дискриминационная характеристика
линейна:
F    SД  ,
где S Д - крутизна дискриминационной характеристики.
Для того, чтобы на выходе дискриминатора формировалось напряжение,
зависящее от величины отклонения w промежуточной частоты от её
номинального значения w про , переходную частоту w п стремятся сделать равной
w про .
Из (12.2) и (12.4) следует, что   w .
При изменении питающих напряжений, температуры, давления,
влажности частоты w про и w п могут различаться на некоторую величину,
характеризующую нестабильность переходной частоты дискриминатора:
75
(12.5)
w п  w про   w .
Из (12.2), (12.4), (12.5) cледует:
(12.6)
  w пр.  w п  w   w .
Фильтр нижних частот, включаемый на выходе частотного
дискриминатора, является, как правило, линейным устройством и описывается
линейным дифференциальным уравнением. При использовании однозвенного
RC-фильтра оно имеет вид:
uф
(12.7)
Tф
 uф  t   u Д  t  ,
t
где Tф  RC – постоянная времени фильтра, uф  t  - напряжение на выходе
фильтра.

Обозначим
 s , имеем:
t
Tф s  1 uф  t   u Д  t  ,


u
t  
ф
1
u Д  t   Wф  s  u Д  t  ,
1  Tф s
(12.8)
где Wф  p  - операторный коэффициент передачи фильтра.
Зависимость частоты подстраиваемого генератора от управляющего
напряжения, поступающего с выхода фильтра нижних частот системы,
называют регулировочной характеристикой, вид которой приведён на рис.12.2.
Рис. 12.2. Вид регулировочной характеристики
w Гмакс. - максимально возможное изменение частоты генератора под
действием управляющего напряжения.
При малых величинах напряжения u ф регулировочная характеристика
линейна и описывается выражением:
w Г  w ГС  Sрuф ,
(12.9)
76
где Sр - крутизна регулировочной характеристики, w ГС - значение собственной
частоты генератора при отсутствии управляющего напряжения:
(12.10)
w ГС  w ГО   w ГС  wcо  w про   w ГС ,
где w ГО , w cо - номинальные значения частот подстраиваемого генератора
(гетеродина) и сигнала.
Cоотношения (12.1)-(12.10) описывают процесс управления в системе
частотной автоподстройки. Их можно отобразить в виде структурной схемы.
Структурной схемой системы автоматического управления принято называть
такую, в которой каждой математической операции, описывающей процесс
управления, соответствует определённое звено.
Cумматор изображён в виде кружка, разделённого на секторы. Cектор
сумматора cо знаком минус отображает операцию вычитания.
w пр
wc
 t , 
w
wпр0
w
-

-
-
wГ
F 
Sp
W ф s 
w ГС
Рис. 12.3. Cтруктурная схема системы частотной автоподстройки
Если  w c  w c  w cо ,  w Г  w Г  w ГО ,  w  0 , то структурная схема
системы частотной автоподстройки упрощается и принимает вид,
изображённый на рис. 12.4:
 t , 

wc
-
F  
wГС
S рWф s 
w Г
Рис. 12.4. Упрощённый вид структурной схемы частотной автоподстройки
77
13. Системы фазовой автоподстройки частоты (cистемы ФАП)
Эти системы применяются в радиоприёмных устройствах в качестве
узкополосных следящих фильтров и демодуляторов сигналов с частотной и
фазовой модуляцией.
u вх t 
ФД
ПГ
ФНЧ
Рис. 13.1. Функциональная схема системы ФАП
Колебания сигнала и подстраиваемого генератора (ПГ) поступают на
устройство, называемое фазовым дискриминатором или фазовым детектором
(ФД). При рассогласовании указанных колебаний по фазе на выходе фазового
детектора появляется напряжение, зависящее от величины и знака этого
рассогласования. Пройдя через фильтр нижних частот, выходное напряжение
детектора изменяет частоту колебаний подстраиваемого генератора. Так как
изменение фазы колебания равно интегралу от его мгновенной частоты, то при
изменении частоты колебаний подстраиваемого генератора меняется и их фаза.
Cущественное различие фильтров, построенных на базе систем ЧАП и
ФАП, состоит в том, что при использовании системы ЧАП информация о
начальной фазе фильтруемого сигнала теряется. В системе ФАП напряжение
подстраиваемого генератора с точностью до ошибки слежения воспроизводит
не только частоту, но и фазу выделяемого сигнала.
На вход фазового детектора поступает напряжение uвх.  t   uc.  t   uш.  t  ,
представляющее собой смесь сигнала и шума:
uc  t   U c sin c  t  ,
(13.1)
где
t
c  t   cо   wc  t  t - фаза сигнала;
0
 cо - начальная фаза;
78
wc  t  - частота сигнала.
Напряжение подстраиваемого генератора:
u Г  t   U о сos Г  t  ,
где
(13.2)
Г  t  - фаза колебаний подстраиваемого генератора.
На выходе фазового детектора формируется напряжение, зависящее от
разности фаз колебаний сигнала и подстраиваемого генератора:
  t   c  t    Г  t  .
(13.3)
Если не учитывать инерционность фазового детектора, то его выходное
напряжение можно представить в виде:
u Д  t   M u Д  t      t   F      t  ,
(13.4)
где
F   - математическое ожидание выходного напряжения, зависящее от
разности фаз  ;
  t  - флуктуационное напряжение, не зависящее от  .
F   - дискриминационная характеристика фазового детектора,
вычисляемая по формуле:
UU
(13.5)
F     c 0 sin  ,
2
где
 - коэффициент пропорциональности.
Управляющее напряжение uф  t  , снимаемое с фильтра нижних частот,
связано с напряжением u Д  t  линейным дифференциальным оператором
Wф  s  :
(13.6)
uф  t   Wф  s  u Д  t  .
Так как в фазовом детекторе напряжения сигнала и подстраиваемого
генератора сравниваются по фазе, необходимо от частоты wГ подстраиваемого
генератора перейти к его фазе  Г :
t
 Г   Г 0   wГ  t t ,
0
где
 Г 0 - начальная фаза подстраиваемого генератора.
(13.7)
79
Структурная схема системы фазовой автоподстройки приведена на рис. 13.2.
 t 

с
F  
-
Wф s 
Sр
Г
w ГО  w ГС
1
s
 ГО
Рис. 13.2. Cтруктурная схема системы ФАП
1
отображает
s
соответствующую (13.7).
Блок
в
этой
схеме
операцию
интегрирования,
Литература
1. Первачёв C.В. Радиоавтоматика.- М.: Радио и связь, 1982.
2. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика.- М.: Высшая школа, 1990.
80
Приложение
Преобразования Лапласа наиболее часто встречающихся функций
№
1
2
f t 
 t 
1 t 
3
t
4
t n1
 n  1!
5
e  t
F  p
№
1
6
f t 
te  t
F  p
1
 p   2
sin  t

8
cos  t
p2   2
p
p2   2
9
e t sin  t
1
p
1
p2
1
pn
7
1
p 
10
e t cos  t

 p   2   2
p 
 p   2   2
81
Cодержание
Введение ............................................................................................................................................. 3
1.Принципы построения систем автоматического управления (САУ)......................................... 4
1.1.Функциональная схема разомкнутой системы ......................................................................... 4
1.2.Функциональная схема замкнутой системы радиоавтоматики ............................................... 5
1.3. Классификация систем радиоавтоматики…………………………………………………….6
2. Методы математического описания элементов и систем автоматического управления ........ 7
2.1. Передаточная функция ............................................................................................................... 7
2.2 Переходная функция и импульсная переходная функции ....................................................... 8
2.3.Частотные характеристики систем радиоавтоматики ............................................................ 10
3. Структурные схемы и передаточные функции САУ ................................................................ 13
3.1 Виды соединений звеньев в системах радиоавтоматики ....................................................... 13
3.2 Передаточные функции ............................................................................................................. 17
4. Анализ устойчивости линейных непрерывных стационарных САУ ...................................... 23
4.1 Постановка задачи устойчивости ............................................................................................. 23
4.2 Критерий устойчивости Гурвица ............................................................................................. 25
4.3 Частотные критерии устойчивости .......................................................................................... 27
5. Качество переходных процессов в САУ .................................................................................... 33
5.1 Постановка задачи анализа качества работы систем радиоавтоматики ............................... 33
5.2 Методы анализа детерминированных процессов в линейных стационарных системах .... 34
5.3. Показатели качества переходного процесса в системе радиоавтоматики .......................... 35
6.Анализ точности работы систем.................................................................................................. 39
7. Анализ случайных процессов в САУ в установившихся режимах ......................................... 42
7.1 Cуммарная ошибка системы ..................................................................................................... 42
7.2 Эффективная полоса пропускания системы............................................................................ 46
7.3 Оптимизация параметров радиотехнической следящей системы ......................................... 47
8. Нелинейные режимы работы САУ и методы их анализа ....................................................... 48
8.1 Особенности нелинейных систем............................................................................................. 48
8.2 Метод фазовой плоскости ......................................................................................................... 48
8.3 Методы кусочно-линейной аппроксимации и гармонической линеаризации ..................... 49
8.4 Методы статистической линеаризации и моделирования ..................................................... 52
9.Математическое описание дискретных систем ......................................................................... 55
9.1 Функциональная схема системы с прерывистым входным сигналом .................................. 55
9.2 Математический аппарат Z-преобразования.......................................................................... 56
9.3 Передаточные функции дискретных систем ........................................................................... 57
10. Цифровые системы автоматического управления .................................................................. 63
10.1 Общая характеристика цифровых следящих систем ............................................................ 63
10.2 Общая структура цифровой радиотехнической системы .................................................... 64
10.3 Cтруктурная схема цифровой системы.................................................................................. 67
11. Принципы построения радиотехнических САУ ..................................................................... 70
11.2 Обобщённая структурная схема радиотехнической следящей системы, отображающей
процесс автоматического слежения за параметром сигнала ....................................................... 71
12. Системы частотной автоподстройки частоты ......................................................................... 73
12.1 Функциональная схема АПЧ .................................................................................................. 73
12.2. Математическое описание системы АПЧ ............................................................................. 73
13. Системы фазовой автоподстройки частоты (cистемы ФАП)…………………………........77
Литература ........................................................................................................................................ 79
Приложение ...................................................................................................................................... 80