Решение задач по курсу «Теория управления и Радиоавтоматика».

Решение задач по курсу «Теория управления и Радиоавтоматика».
Задачи и ответы к ним приведены в учебнике А.И. Тяжева «Основы теории управления и
радиоавтоматика».
1. Для системы, структурная схема которой изображена на рисунке, определить
передаточные функции WP ( p) , WЗ ( p) , Wе ( p) .
x
xk
Wk
e
y
x1
W1
W2
Краткая теория.
Попробуем определить понятие передаточной функции системы. Для определения ошибок в
динамическом режиме необходимо составить дифференциальное уравнение равновесия системы.
В общем случае это уравнение является нелинейным уравнением высокого порядка и его
интегрирование* связано с большими трудностями. Поэтому, по мере возможности, стремятся
провести линеаризацию характеристик элементов СУ. Линеаризацию проводят по формуле
Тейлора, в соответствии с которой разложение нелинейной функции двух аргументов x и z имеет
вид:
dF
dF
1 d 2F 2 1 d 2F 2
y  F ( x, z )  F ( x0 , z0 ) 
x 
z 
x 
z  Rn 1 ,
dx
dz
2 dx 2
2 dz 2
где x0 , z0 – постоянные установившиеся значения входных переменных x и z ; x, z – малые
отклонения от установившихся значений x и z ; Rn1 – остаточный член полного решения.
Линеаризованные дифференциальные уравнения устройств СУ определяют общее
дифференциальное уравнение, которое можно представить в виде:
an y ( n ) (t )  an 1 y ( n 1) (t )  ...  a0 y (t )  bm x ( m ) (t )  bm 1 x ( m 1) (t )  ...  b0 x(t ) ,
где y (t ), x (t ) – выходной и входной сигналы системы.
В стационарных системах управления коэффициенты дифференциального уравнения являются
постоянными величинами, в нестационарных – переменными.
Подготовим уравнение к преобразованию по Лапласу. Для этого заменим знак производной
(i )
 (t ) на символ дифференцирования pi (t ) . Необходимо помнить, что в данном случае p i – это
не сомножитель и не может быть отделен от  (t ) . Перепишем уравнение с использованием
символа дифференцирования:
n
m
 a p y(t )   b p x(t ) .
i
i 0
i
i
i 0
i
Преобразуем по Лапласу левую и правую части выражения с учетом первого и второго свойств
преобразования, получим:
n
m
i 0
i 0
 ai piY ( p)   bi pi X ( p) .
В этом выражении p     j уже являются сомножителями, поэтому изображения
Y ( p), X ( p) можно вынести за знаки сумм, в результате получим:
i
i
n
m
i 0
i 0
Y ( p ) ai p i  X ( p ) bi p i .
Это дифференциальное уравнение и для определения состояний в каждый момент времени его нужно интегрировать
по этим моментам.
*
Введем понятие передаточной функции. Передаточной функцией системы называется
отношение изображений по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного
сигнала, т.е.:
Y ( p)
.
W ( p) 
X ( p)
Отсюда следует:
m
W ( p) 
Y ( p)

X ( p)
b p
i 0
n
i
i
a p
i 0

i
N ( p)
,
D( p)
i
где N ( p), D( p) – обозначения многочленов.
Также, отсюда следует, что
Y ( p)  W ( p) X ( p) .
Таким образом, в зависимости от условий задачи, можно найти: выходной сигнал по известной
передаточной функции и входному воздействию, входной сигнал по известным выходному
сигналу и передаточной функции или передаточную функцию по определению. Строго говоря,
последнее уравнение необходимо переписать в виде:
Y ( p)  W ( p) X ( p)  WH ( p) ,
где WH ( p) – передаточная функция системы относительно начального состояния системы.
Найти сигналы по последнему уравнению достаточно просто, используя таблицу
преобразований Лапласа. В случае нетабличных функций, необходимо решать обратное
преобразование Лапласа непосредственно или пользуясь теоремой вычетов.
Вернемся к рассмотрению задачи.
Получим передаточную функцию разомкнутой системы (т.е., без ветви y  e ) WP ( p) . Для
этого будем предполагать, что имеется некоторый входной сигнал x : X ( p ) . Рассмотрим
прохождение сигнала через ветвь k . По уравнению, выходной сигналу xk соответствует
изображение xk : X ( p) Wk ( p) . Затем этот сигнал поступает на первый вход сумматора.
Рассмотрим прохождение сигнала через ветвь 1. Аналогично получаем, что x1 : X ( p) W1 ( p) .
Это справедливо, поскольку в этот момент на второй вход вычитателя ничего не поступает (по
условию задачи).
После сумматора сигнал будет соответствовать суперпозиции сигналов в ветвях (свойство
преобразования Лапласа), т.е. xk ,1 : X ( p) Wk ( p)  W1 ( p)  .
Прохождение этого сигнала через ветвь 2 можно сравнить с исходным сигналом, т.е.
y : X 1,k ( p )W2 ( p ) . С учетом полученного ранее изображения:
y : X ( p) Wk ( p)  W1 ( p) W2 ( p) .
Воспользуемся определением передаточной функции и получим:
Y ( p) X ( p) Wk ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p) 
WP ( p) 

 Wk ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p) .
X ( p)
X ( p)
Получим передаточную функцию замкнутой системы WЗ ( p) .
Для этого рассмотрим схему со стороны выходного сигнала y .
Y ( p)  W2 ( p) X1,k ( p)  W2 ( p)  X1 ( p)  X k ( p)   W2 ( p) X1 ( p)  W2 ( p) X k ( p) .
В свою очередь, X1 ( p)  W1 ( p) E ( p)  W1 ( p) X ( p)  W1 ( p)Y ( p) .
Подставляем обратно и получаем:
Y ( p)  Wk ( p)W2 ( p) X ( p)  W1 ( p)W2 ( p) X ( p)  W1 ( p)W2 ( p)Y ( p) ,
Y ( p)  W1 ( p)W2 ( p)Y ( p)  Wk ( p)W2 ( p) X ( p)  W1 ( p)W2 ( p) X ( p) ,
W ( p)W2 ( p) X ( p)  W1 ( p)W2 ( p) X ( p)
Y ( p)  k
.
1  W1 ( p)W2 ( p)
По определению передаточной функции получаем:
W ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)
WP ( p)
.
WЗ ( p)  k

1  W1 ( p)W2 ( p)
1  W1 ( p)W2 ( p)
Получим передаточную функцию сигнала ошибки. Не следует путать сигнал ошибки, который
имеет свою передаточную функцию, с ошибкой системы ( y  x ).
1  W1 ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)  Wk ( p)W2 ( p) 1  Wk ( p)W2 ( p)
We ( p )  1  WЗ ( p) 

.
1  W1 ( p)W2 ( p)
1  W1 ( p)W2 ( p)
Начальное выражение получается из условия:
E( p)  X ( p)  Y ( p)  X ( p)  We ( p)  1  WЗ ( p) ,
по определению.
2. Для системы, структурная схема которой изображена на рисунке, определить
передаточные функции WЗ ( p) , We ( p) .
x
S
e
x0
W0
W1
x1
y
W2
Получим передаточную функцию разомкнутой системы (т.е., без ветви y  e ) WP ( p) . Она нам
будет необходима исключительно во вспомогательных целях.
Имеем Y ( p)   X 0 ( p)  X1 ( p) W2 ( p)  X 0 ( p)W2 ( p)  X1 ( p)W2 ( p) .
Отдельно рассмотрим X 0 ( p) .
X 0 ( p)   X ( p)  Y ( p) W0 ( p)  X ( p)W0 ( p)  Y ( p)W0 ( p) .
Подставим обратно в выражение:
Y ( p)  X ( p)W0 ( p)W2 ( p)  Y ( p)W0 ( p)W2 ( p)  X ( p)W1 ( p)W2 ( p) ,
Y ( p)  Y ( p)W0 ( p)W2 ( p)  X ( p)W0 ( p)W2 ( p)  X ( p)W1 ( p)W2 ( p) ,
X ( p)W0 ( p)W2 ( p)  X ( p)W1 ( p)W2 ( p)
Y ( p) 
.
1  W0 ( p)W2 ( p)
По определению, передаточная функция
W ( p )W2 ( p )  W1 ( p )W2 ( p )
WP ( p)  0
.
1  W0 ( p)W2 ( p)
Аналогично получим передаточную функцию замкнутой системы. Для этого необходимо
дополнительно рассмотреть X 1 ( p) .
X1 ( p)   X ( p)  Y ( p) W1 ( p)  X ( p)W1 ( p)  Y ( p)W1 ( p) .
Далее подставляем
Y ( p)  Y ( p)W0 ( p)W2 ( p)  Y ( p)W1 ( p)W2 ( p)  X ( p)W0 ( p)W2 ( p)  X ( p)W1 ( p)W2 ( p) ,
X ( p)W0 ( p)W2 ( p)  X ( p)W1 ( p)W2 ( p)
Y ( p) 
,
1  W0 ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)
Найдем по определению WЗ ( p)
W0 ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)
.
1  W0 ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)
Аналогично Зад.1 найдем передаточную функцию сигнала ошибки:
1  W0 ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)  W0 ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)
We ( p )  1  WЗ ( p) 

1  W0 ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)
1  2W0 ( p)W2 ( p)

.
1  W0 ( p)W2 ( p)  W1 ( p)W2 ( p)
WЗ ( p) 
3. Для системы, передаточная функция которой представлена, найти выходной сигнал
системы y в установившемся режиме при постоянном входном сигнале x  c 1(t ) :
b1 p  b0
WЗ ( p )  3
.
p  a2 p 2  a1 p  a0
Выходной сигнал системы можно получить из определения передаточной функции
Y ( p)  W ( p)  X ( p) , соответственно, y(t )  L1 W ( p)  X ( p) . Под установившемся режимом
понимаем устремление времени t   . Таким образом, можно представить y уст в виде:
X
.
p
Здесь мы используем 11 свойство преобразования Лапласа о том, что lim y(t ) : lim pY ( p) , а
y уст  lim y (t ) : lim pWЗ ( p)
t 
p 0
t 
также из таблицы преобразований Лапласа находим соответствие 1(t ) :
p 0
1
.
p
Окончательно получаем:
y уст  lim y (t ) : lim pWЗ ( p)
t 
p 0
b
X
: c  0 .
p
a0
4. По критерию Гурвица оценить устойчивость системы, передаточная функция которой
в замкнутом состоянии имеет вид:
2 104
.
WЗ ( p)  3
p  130 p 2  3, 2 103 p  2 104
Краткая теория.
Как уже отмечалось ранее, процессы в САУ описываются дифференциальными уравнениями
вида:
1  WP ( p) y(t )  WP ( p) x(t ) .
Было сказано, что решением данного уравнения является уравнение вида
y(t )  yB (t )  yП (t ) ,
содержащее две составляющие: yB (t ) – решение уравнения; yП (t ) – переходная составляющая
решения.
Признаком устойчивости системы автоматического управления (радиоавтоматики) является
постепенное возвращение системы в состояние покоя* по окончании возмущающего входного
воздействия. В нашем случае это значит:
yП  0 .
*
Справедливо также: в исходное состояние.
Переходная составляющая решения уравнения зависит от корней характеристического
уравнения, которое получают приравниванием нулю левой части дифференциального уравнения,
описывающего состояние системы:
1  WP ( p)  0 .
Необходимым и достаточным условием устойчивости САУ является то, что действительные
части всех корней характеристического уравнения системы должны быть отрицательны. Это
простое условие может быть проверено на практике только при степени характеристического
уравнения m меньшей четырех ( m  3 ). При m  4 общего аналитического решения
характеристических уравнений не найдено. Поэтому для оценки устойчивости таких САУ
предложено несколько косвенных методов.
Вернемся к рассмотрению задачи.
Для оценивания устойчивости по этому критерию потребуется квадратная матрица Гурвица
коэффициентов ai . Коэффициенты ai берутся из дифференциального уравнения системы.
m
W ( p) 
b p
i 0
n
i
i
a p
i 0
.
i
i
Очевидно, что в данном случае существуют b0  2 104 и a3  1 , a2  130 , a1  3, 2 104 и
a0  2 104 .
Критерий Гурвица гласит: если при a0  0 все определители i  0 , i  1, m , то система
устойчива. Так как  m  a0   m1 , то при a0  0 достаточно проверить знаки определителей  i .
Преимуществом критерия Гурвица является тот факт, что нет необходимости знать точное
значение определителей  i . Из условия  m1  0 можно определить параметры системы, при
которых она находится на границе устойчивости.
Построим матрицу Гурвица для нашего примера.
a2 a0 0 130 2 10 4
0
3
a3 a1 0  1 3, 2 10
0 .
0 0 a0
0
0
2 10 4
Определим знаки определителей. Первый определитель равен 1  a2  0 , т.к. a2  0 . Второй
определитель
2 
a2
a0
a3
a1
 a1a2  a3a0  3, 2 103 130  2 104  0 .
Третий
определитель
3  a3   2  0 .
На этом основании можно сделать вывод о том, что система удовлетворяет критерию
устойчивости Гурвица, а следовательно, является устойчивой.
5. Для системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии представлена
ниже, определить запас устойчивости по усилению
10
.
WP ( p) 
p(1  0,1 p)(1  0, 01 p)
Запас устойчивости по усилению можно определить по формуле:
1
,

WP (кр )
где WP () – модуль комплексного коэффициента передачи или амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ); кр – критическая частота системы, которая характеризуется тем, что на
этой частоте фазо-частотная характеристика (ФЧХ) приобретает значение равное  , т.е.,
(кр )   . Покажем это на графике.
()
кр
lg 

Важно отметить, что ФЧХ – это аргумент отношения мнимой части комплексного
коэффициента передачи к его действительной части. Таким образом, ФЧХ может быть равна

()   arctg ()   .
2
Такой ФЧХ обладает интегратор. Исследуем нашу систему на наличие интегратора. Из
системной функции видим:
10
1
1
1
.
WP ( p) 
 10  

p(1  0,1 p)(1  0, 01 p)
p (1  0,1 p) (1  0, 01 p)
1
Известно, что передаточная функция интегратора имеет вид Wинт ( р)  , с учетом некоторой
р
постоянной времени. Следовательно, в состав нашей системы входит интегратор, который, на

критической частоте, дает сдвиг фазы на  . Недостающий фазовый сдвиг должны создать два
2
инерционных звена. Для объединения двух аргументов инерционных звеньев в один,
воспользуемся формулой из тригонометрии:
 x y 
arctg ( x)  arctg ( y )  arctg 
,
 1  xy 
при x  y  1 .
Подставим и получим:
 0,11кр 
 
arctg  0,1кр   arctg  0, 01кр   arctg 
   .

2
 1  0, 001 
2 2
кр 

Рассмотрим, в каких случаях это условие может выполняться. Ранее уже отмечалось, что

()  arctg ()  . В свою очередь аргумент функции обращается в бесконечность в корнях
2
характеристического уравнения вида 1  0,0012кр  0 . Решим это уравнение и найдем корни:
1  0,0012кр  0 ,
0,0012кр  1 ,
2кр  1000 ,
кр  1000 сек 1 .
Подставим полученное значение критической частоты в модуль комплексного коэффициента
передачи, который получим из системной функции по определению модуля, подставив вместо p
комплексную переменную p    j . Получим:
10
WP () 
,
2
2
2
2
  1   0,1  1   0, 01
WP (кр ) 
10
кр  1   0,1кр   1   0, 01кр 
2
2
2
2

10

1000  1  0,011000  1  0,0001 1000
1
 .
11
Из формулы для получения запаса устойчивости по усилению, получаем:
1

 11 .
WP (кр )

Примечание
Решим эту задачу с использованием критерия Гурвица. Как уже отмечалось в Зад. 4, при
 m1  0 можно определить параметры системы, при которых она находится на границе
устойчивости. В частности, известно что запас устойчивости по усилению равен
K
  кр ,
K
где K  10 ; а K кр – определяется при  m1  0 , в нашем случае:  2  0 .
Получим характеристическое уравнение:
0,001 p3  0,11 p 2  p  10  0 .
Очевидно, что в нашем случае существуют a3  0, 001 , a2  0,11 , a1  1 и a0  K  10 .
Можно проверить систему на устойчивость и убедиться, что система является устойчивой.
Найдем  2 :
2 
a2
a0
a3
a1

a2
K
a3
a1
 a1a2  a3 K .
При  2  0 , справедливо заменить K на K кр и выразить:
a1  a2
 110 .
a3
Из формулы для нахождения запаса устойчивости по усилению имеем:
K
110
  кр 
 11 .
K
10
K кр 
6. Для системы, с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
20(1  pT )
,
WP ( p)  2
p (1  0,1 p)
найти постоянную времени T , при которой запас устойчивости по усилению для
замкнутой системы равен двум.
Из теории известно, что в общем виде можно представить передаточную функцию замкнутой
по выходу обратной связью системы через передаточную функцию разомкнутой системы в виде:
WP ( p)
WЗ ( p) 
.
1  WP ( p)
Решим характеристическое уравнение и найдем полюсы передаточной функции замкнутой
системы с использованием критерия Гурвица, аналогично Зад. 5.
20(1  pT )
1  WP ( p)  1  2
0,
p (1  0,1 p)
20(1  pT )
 1 ,
p 2 (1  0,1 p)
20(1  pT )   p 2 (1  0,1 p) ,
0,1 p3  p 2  20 pT  20  0
Имеем, a3  0,1 , a2  1 , a1  20T и a0  K  20 . Найдем второй определитель и приравняем его
к нулю для нахождения критического коэффициента усиления:
a a0
2  2
 a2 a1  a3a0 ,
a3 a1
 2  a2 a1  a3 K кр  0 .
Отсюда,
K кр 
Из условия задачи,  
K кр
K
a1  a2 20T

 200T .
a3
0,1
 2 . Найдем T :
200T
 2,
20
10T  2 ,
T  0, 2 сек .
7. Найти зависимость критического коэффициента усиления от постоянной времени T
для системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид:
K
.
WP ( p) 
p(1  pT )2
Решим данную задачу аналогично Зад. 6.
Для этого получим передаточную характеристику замкнутой системы из условия
WP ( p)
WЗ ( p ) 
.
1  WP ( p)
K
p (1  pT ) 2
WЗ ( p ) 
.
K
1
p (1  pT ) 2
Выпишем в явном виде характеристическое уравнение данной системы:
T 2 p3  2Tp 2  p  K  0 .
Здесь a3  T 2 , a2  2T , a1  1 и a0  K . Найдем второй определитель матрицы Гурвица и
приравняем его нулю.
a a0
2  2
 a2 a1  a3a0 ,
a3 a1
 2  a2 a1  a3 K кр  0 ,
a1  a2 2T 2
 2  .
a3
T
T
Окончательно получаем ответ о взаимосвязи критического коэффициента усиления и
постоянной времени T :
2
K кр  .
T
K кр 
8. По критерию устойчивости Найквиста оценить устойчивость системы, передаточная
функция которой в разомкнутом состоянии
100
.
Wp ( p) 
p(1  0, 05 p)(1  0, 02 p)
Для решения этой задачи найдем значение модуля комплексного коэффициента передачи в
характерной точке   кр .
Представим передаточную функцию в виде
1
1
1
.
Wp ( p)  100  

p (1  0, 05 p) (1  0, 02 p)
1
В Зад. 5 уже было отмечено, что передаточная функция интегратора Wинт ( p)  . Также было
p

отмечено, что на критической частоте интегратор создает фазовый сдвиг, равный  . В свою
2
очередь, выбор частоты   кр позволяет нам однозначно характеризовать систему через ФЧХ,
которое принимает значение  . Недостающий фазовый сдвиг 

должны создать два
2
инерционных звена.
Для объединения двух аргументов инерционных звеньев в один, воспользуемся формулой из
тригонометрии:
 x y 
arctg ( x)  arctg ( y )  arctg 
,
 1  xy 
при x  y  1 .
Подставим и получим:
 
arctg  0, 05кр   arctg  0, 02кр      .
2 2

Ранее уже отмечалось, что ()  arctg ()  .
2

 
0, 07
arctg 
 ,
2
 1  0, 001  2
кр


0, 07
,
1  0, 0012кр
1  0,0012кр  0 ,
кр  1000 сек 1 .
Подставим полученное значение частоты
кр
в формулу для модуля комплексного
коэффициента передачи и найдем конкретное значение модуля в точке кр .
WP (кр ) 
100

1000  1  0, 05  1000

2

 1  0, 02  1000

2

100
 1, 43 .
1000 1,87 1,18
Значение модуля комплексного коэффициента передачи равно 1, 43  1 . Значит можно сделать
вывод о том, что система является неустойчивой.

9. По логарифмическим частотным функциям определить запас устойчивости по
усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
Wp ( p) 
100(1  0, 25 p)
.
p(1  p)(1  0, 01 p) 2
Для решения данной задачи, перепишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде
1 1  0, 25 p
1
.
Wp ( p)  100  

p 1 p
(1  0, 01 p) 2
Можно представить как
Wp ( p)  100 Wинт ( p) Wк. з. ( p)  Wинерц .з. ( p)  .
2

Интегратор создает фазовый сдвиг равный  .
2

На частоте сопряжения инерционное звено создает фазовый сдвиг, равный  . Два
4

инерционный звена на сопряженной частоте создадут фазовый сдвиг равный  . Определим
2
частоту сопряжения из условия
1  0, 01сопр  0
сопр  100 сек 1 .
Корректирующее звено на частоте сопр не создает фазового сдвига.
Подставим полученное значение сопряженной частоты в модуль комплексного коэффициента
передачи системы аналогично Зад. 5 и получим:
1 1 1
WP (кр  сопр )  1 0, 25 

 .
2 2 8
Из формулы для получения запаса устойчивости по усилению, получаем:
1

8.
WP (кр )
10. Найти критический коэффициент усиления в системе, передаточная функция которой
в замкнутом состоянии
p 1
.
WЗ ( p)  4 3
10 p  0, 02 p 2  p  1
Построим матрицу Гурвица для данной системы.
a2 a0 0 0, 02 1 0
a3
0
Аналогично
K кр 
Зад.
5
найдем
a1
0
0  104
a0
0
критический
1 0.
0 1
коэффициент
a1  a2
 200 . Окончательно получаем   200 .
a3
усиления
как

K кр
K
,
где
11. По логарифмическим частотным функциям определить запас устойчивости по
усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
50(1  0, 2 p)
.
WP ( p)  2
p (1  0, 02 p)
Представим передаточную функцию замкнутой системы в виде
50(1  0, 2 p)
WP ( p )
p 2 (1  0, 02 p)
WЗ ( p ) 


1  WP ( p) 1  50(1  0, 2 p)
p 2 (1  0, 02 p)
50(1  0, 2 p)
50(1  0, 2 p)
p 2 (1  0, 02 p)
 2
 2
.
p (1  0, 02 p)  50(1  0, 2 p) p (1  0, 02 p)  50(1  0, 2 p)
p 2 (1  0, 02 p)
Найдем ФЧХ данной системы на критической частоте
(кр )    arctg  0, 2кр   arctg  0, 02кр    .
Равенство ФЧХ   кр    следует из определения. Дальнейшие преобразования получаем из
соответствия слагаемых характеристического уравнения элементов: p 2 – два интегратора, каждый

из которых дает сдвиг фазы по  , в сумме это равно  . Корректирующие звенья также дают
2
определенный сдвиг, такой чтобы общий сдвиг с учетом двух интеграторов был равен  . Имеем:
arctg  0, 2кр   arctg  0, 02кр   0 .
Это условие выполняется только при стремлении кр   . Подставим это значение в модуль
коэффициента передачи и получим
WP (кр  )  0 .
Откуда окончательно получаем
1

.
WP (кр )
12. Определить коэффициент усиления K в системе, передаточная функция которой в
разомкнутом виде представлена ниже, при котором запас устойчивости по усилению 
равен   10
K (1  0,5 p)
.
WP ( p) 
p(1  2 p)(1  0, 02 p) 2
Решим эту задачу аналогично Зад. 9. Для этого распишем передаточную функцию в виде
WP ( p) 
K 1  0,5 p
1


.
p 1  2 p 1  0, 02 p 2
Очевидно, что имеется последовательное включение интегратора, который, как известно, на

критической частоте кр даст сдвиг фазы равный   кр    , два инерционных звена, которые
2
на частоте сопряжения сопр , являющейся также критической частотой, также дадут сдвиг фазы на

 . Корректирующее звено на частоте сопр сдвига фазы не имеет. Найдем частоту сопряжения
2
0, 02сопр  1 ,
сопр  50 .
Подставим полученное значение критической частоты в формулу для нахождения модуля
комплексного коэффициента передачи в формулу для нахождения запаса устойчивости по
усилению при том, что значение запаса устойчивости известно заранее   10 .

1
 10 ,
WP  кр 
1 1 1 K
K
.
WP  кр   

 
4 2 2 50 400
Решим совместно и получим K  40 .
13. Определить импульсную характеристику (t ) замкнутой системы, передаточная
функция которой имеет вид
3
.
WЗ ( p) 
(1  0, 2 p)(1  0, 01 p)
14. Найти импульсную характеристику (t ) замкнутой системы, передаточная функция
которой в разомкнутом виде представлена ниже
20
.
WP ( p) 
p(1  0,1 p)
15. Определить выходной сигнал в установившемся режиме при управляющем
воздействии x(t )  1(t ) и указать порядок астатизма системы, передаточная функция которой
имеет вид
1
.
WЗ ( p) 
(1  0,1 p)(1  0, 02 p)(1  0, 01 p)
16. Определить выходной сигнал в установившемся режиме при входном сигнале
x(t )  1(t ) и указать порядок астатизма системы, передаточная функция которой имеет вид
0,8
.
WЗ ( p) 
(1  0,1 p)(1  0, 02 p)(1  0, 01 p)
17. Определить выходной сигнал в установившемся режиме в замкнутой системе при
входном воздействии x(t )  10  sin 5t , передаточная функция которой в разомкнутом виде
имеет вид
100(1  0, 2 p)
.
WP ( p)  2
p (1  0, 02 p)
18. Каковы условия получения указанного порядка астатизма замкнутой системы если
передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
b2 p 2  b1 p  b0
WP ( p) 
.
c4 p 4  c3 p 3  c2 p 2  c1 p  c0
19. Каковы условия получения указанного порядка астатизма системы если передаточная
функция системы имеет вид
WЗ ( p) 
b2 p 2  b1 p  b0
.
a4 p 4  a3 p 3  a2 p 2  a1 p  a0
20. Каковы условия получения указанного порядка астатизма системы если передаточная
функция ошибки системы имеет вид
d p 4  d p 3  d 2 p 2  d1 p  d 0
.
We ( p)  4 4 3 3
a4 p  a3 p  a2 p 2  a1 p  a0