УДК 523

УДК 523.03:677.4
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ТЕКСТИЛЬНЫМ
ИЗДЕЛИЯМ
Ахмедов К., д.т.н.,проф.Мавлянов Т.М.,к.т.н.,доц.Янгибаев Ю.Д (ТИТЛП г.Ташкент)
Как известно существует достаточно много работ по теории оболочек. Однако целесообразности
применения этих теории к текстильным оболочкам недостаточно обоснованы. Поэтому, приступая к работе
по созданию математических моделей текстильных оболочек, целесообразно проверить возможность
использования нелинейной теории мягких оболочек применительно к текстильным оболочкам и
сформулировать допустимые упрощения, которые позволили бы получить практические результаты.
Теория мягких оболочек применяется при расчете тонкостенных конструкций, изгибная жесткость
которых весьма мала. Одна из важных особенностей таких конструкций состоит в том, что при
определенных условиях на поверхности оболочки могут появляться мелкие складки. Они возникают в
результате действия сжимающих сил.
Разрешающие уравнения должны быть составлены для деформированного состояния. Наиболее
общей оказывается теория больших деформаций оболочки, использующая нелинейные геометрические и
физические соотношения.
Ниже рассмотрены некоторые вопросы теории мягких оболочек. Особенности построения исходных
зависимостей, их обоснование и применение для расчета выявлены в задаче о деформировании мягкой
текстильной оболочки.
Пусть срединная поверхность оболочки отнесена к криволинейной ортогональной системе
координат  и  совпадают с линиями главной кривизны срединной поверхности оболочки. В выбранной
системе координат срединная поверхность будет характеризоваться главными кривизнами
соответствующими
радиусами
K1  K1 ( ,  ), K 2  K 2 ( ,  ) и
коэффициентами
первой
квадратичной
формы
 R1 ( ,  ), R2  R2 ( ,  ),
A  A( ,  ), B  B( ,  ), с помощью которых квадрат линейного элемента срединной поверхности
кривизны R1
представляется формулой
dS 2  A 2 d 2  B 2 d 2 .
Величины
K i , A, B должны подчиняться известным соотношениям Гаусса-Кодации [1]
1 K 2
1 B
 ( K1  K 2 )
;
A 
A1 A2 
1  1 B
(
)  K1 K 2 B.
A  A 
(1)
Повороты нормали к координатной поверхности, возникающие в результаты деформации можно
выразить через перемещения точек координатной поверхности u , v, w :
1 w
1 w
(2)
 K1u;  2  
 K 2 v.
A 
B 
Положительные направления перемещений u , v, w и поворотов 1 ,  2 показаны на рис.1.
Удлинения и сдвиг связаны с перемещениями
и поворотами следующими нелинейными соотношениями:
z
1  

2
2
1
1


u
Рис.1
Рис.2.
1 u
1
1 u
1
1 B
 K1 w  12 ; E 22 
 K 2 w   22 
u;
A 
2
B 
2
AB 
1 B
1 u
E12  E 21 
v  K1 w  1  2 
.
AB 
B 
E11 
(3)
Компоненты изгибной деформации координатной поверхности связаны с перемещениями и
поворотами соотношениями
1 1
1  2
1 B
; K 22 

1 ;
A 
B 
AB 
(4)
K 2 v
1 1
1 B
1  2
1 B
1 u
K12 

2 
; K 21 
 K1 (
v
).
B  AB 
A 
A 
AB 
B 
K11 
Выше приведенными формулами определяются геометрические соотношения простейшего
варианта нелинейной теории мягких оболочек. Далее переходим к установлению физических соотношений
для мягких оболочек.
Предположим, что элемент, рассматриваемый оболочки характеризуется модулем упругости,
коэффициентом Пуассона и нелинейно-упругой диаграммой растяжения образцов  ( ) (рис.2).
Интенсивность деформаций в этом случае
i 
2
( 11   22 ) 2  ( 22   33 ) 2  ( 11   33 ) 2 ,
3
(5)
а интенсивность напряжений
2
 i   112   11 22   22
Связь
 i   i ( i ).
(6)
между интенсивностями напряжений и деформацией определяется зависимостью
Для определения этой зависимости использует диаграмму растяжения (рис.2). С помощью
этой диаграммы по формулам
i  ; i   
можно посчитать значения
модули:
.
Ec   i ( i ) /  i секущий
i
и
i ,
1  2

3E
определяющие диаграмму деформирования
(7)
 i   i ( i ) и
Ek  d i ( i ) / d i . При этом деформации и
и касательный
напряжения связаны зависимостями
 ii  ( K  2 Ec / 9) 0  2 Ec  ii / 3 (i  1,2,3), K 
В случае, когда
 11 
 33
намного меньше, чем
 22 и  11
E
;  0   11   22   33 . (8)
3(1  2 )
уравнение (8) можно преобразовать к виду
1  2 Ec / 9 K
1
1
1
( 11   22 ) 
( 11   22 ) (1  2),  33  
( 11   22 ). (9)
9K
Ec
2
1  4 Ec / 9 K
Компоненты вектора обобщенных усилий связаны с компонентами вектора обобщенных
деформаций соотношением
N  C   D,
где
(10)
T
C - матрица жесткостей; N  T11 T22 M 11 M 22 S H ; D  вектор дополнительных сил
(например, влажностные, температурные и др.).
Далее основываясь на [2] напишем уравнения равновесия для элемента оболочки.

T11   (T11  T22 )  S   k1 (Q11  H  )  p1  0;

S   2 ( S  k1 H )  T22  k 2 (Q22  H )  p 2  0;


Q11  Q11  Q22  k1T11  k 2T22  p3  0;

M 11   ( M 11  M 22 )  H   Q11  0;
(11)

H   2H  M 22  Q22  0,
где
.
p1  q1  u; p2  q2  v; p3  q z  w
(12)
q1 , q2 , q z - распределенные поверхностные нагрузки, направление которых совпадает с
направлениями координатных осей  ,  , z.
В качестве примера рассмотрим мягкую цилиндрическую оболочку, расчетная схема которой
представлена на рис.3.
L1'
R
б
P
L1
Рисунок 3 - Расчетная схема
При этом система (11) сводится к виду
dy
 f ( , y ),
d
(13)
где y - вектор перемещений, компоненты которого является
поворота
(v ) ;
y 3 - поперечное перемещение (w) ;
y1 - продольная сила (T1 ) ; y 2 - угол
y 4 - продольное перемещение (u ), ненулевые
компоненты векторов определяют по формулам
f1  (T2  T1 )
1  1 1
T 1  1 1
cos( ); f 2  2
sin(  ); f 3  (1   1 ) cos( ); f 4  (1   1 ) sin(  )  1;
1 2 R
T1 1   2 R
 1  u / R;  2  w / R.
Для интегрирования уравнений системы необходимо на каждом контуре иметь по два граничных
условия. В рассматриваемом случае они имеет следующий вид:
(15)
w(0)  0; u(0)  0;  (l / 2)   / 2; T1 (l / 2)  p( R  w) / 2.
При расчете мягких оболочек необходимо определить силы и деформированную геометрию
оболочки, часть поверхности которой занимают складки. Условие существования складчатых участковравенство нулю одной из главных сил, в данном случае сила T2 . Тогда общий вид систему уравнений
остается также как в виде (13), компоненты правой части будут другими
f 1  T1 (1   1 ) 3 / 2
1
p
cos( ); f 2  ; f 3  (1   1 ) cos( ); f 4  (1   1 ) sin(  )  1;
R
T1
 1  u / R;  2  w / R.
Уравнение (13) решается численно, методом Рунге-Кутта на «Mathcad». Численные результаты
приведены, для каждого случая в виде графиков на рис.4 и рис.5.
20
 Z 1 
 Z 2 
 Z 3 
 4
Z
0
20
40
0
2
4
6
 0
Z
8
Рисунок 4 - Изменение компонентов перемещения и усилий в зависимости от угла
10
(мягкая оболочка без складок)
50
 Z1 1 
 Z1 2 
 Z1 3 
 4
Z1
0
50
100
0
2
4
6
 0
Z1
8
10
Рисунок 5 - Изменение вектора перемещений и усилий в зависимости от угла.
(мягкая оболочка со складками)
Приведенные решения иллюстрируют основные подходы к расчету мягких оболочек. При
нелинейной постановке необходимо составлять численные алгоритмы расчета. Полученные упрощенные
результаты могут быть основой для получения более точных нелинейных решений.