К расчету динамики установившегося движения выходного звена

УДК 631.331
Г.Н. Лимаренко, М.В. Шевчугов, А.Н. Щепин
К РАСЧЕТУ ДИНАМИКИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЫХОДНОГО
ЗВЕНА В ВОЛНОВОЙ РЕЕЕЧНОЙ ПЕРЕДАЧЕ
Приведены результаты теоретических исследований и методов расчета в
поступательном приводе с волновой реечной передачей неравномерности
установившегося движения его выходного звена – роликовой рейки,
взаимодействующей с многокулачковым механизмом.
Ключевые слова: толкатель, диаграмма, фазовый сдвиг, приведенный
момент инерции, динамическая ошибка скорости.
G.N. Limarenko, M.V. Shevchugov, A.N. Shepin
There have been reduced results of theoretical researches and method of analysis
in forward drive with harmonic rack-and-pinion drive for irregularity of steady motion
its rolling strip as outlet link, which interacts with multicam mechanism.
Keywords: pusher, diagram, phase shift, equivalent moment of inertia, velocity
dynamic error.
Волновая реечная передача с роликовой рейкой [1] основана на
взаимодействии многокулачкового вала с толкателями, контактирующими с
выходным звеном – рейкой на линейных участках диаграмм их относительного
движения. Количество толкателей в механизме преобразования движения
выбирается таким, чтобы в зацеплении с роликами рейки одновременно
находились не менее двух толкателей. Это теоретически обеспечивает линейность
функции положения выходного звена, малые изменения характеристики
приведенной жесткости и равномерное распределение движущих сил по
промежуточным звеньям.
Вместе с тем известно, что работа кулачковых механизмов сопряжена с
возникновением переменных ускорений на участках разгона и выбега при
удалении и приближении толкателей. Переменные ускорения создают
переменные силы инерции и динамическая система привода становится
нелинейной. Одновременно с переменными ускорениями в системе возникают
переменные аналоги скоростей центров масс звеньев, что вызывает переменность
работы сил сопротивлений при их движении в механизме. В приводах с
подобными механизмами возникает внутренняя виброактивность, снижающая их
динамическое качество.
Динамический анализ привода при взаимодействии с механической
системой, имеющей переменные параметры (содержащей шарнирно-рычажные и
кулачковые механизмы), методом последовательного приближения разработан
М.З. Коловским и подробно освещен в научной и учебной литературе [2,3].
Волновая реечная передача (ВРП) является своеобразным многокулачковым
механизмом, в котором исполнительный орган - рейка перемещается с
постоянной скоростью подобно перемещению гайки в винтовом механизме.
Приводной вал содержит Z кулачков, установленных с фазовым разворотом друг
относительно друга на угол   2 / Z . Промежуточные приводные звенья –
толкатели перемещаются в корпусе механизма в соответствии с диаграммами
(рис. 1) [1], взаимодействуя с роликами рейки на ее линейных участках, с
фазовым сдвигом. Перемещение толкателей на остальных участках диаграммы
происходит без взаимодействия с роликами рейки.
Рис. 1 – Диаграмма относительного движения толкателей с участками: 1-2 –
нижнего выстоя, 2-3 – разгона, 3-4 – линейного движения, 4-5 – выбега; Pp,
Pp'– шаг рейки и расчетный шаг. Участки приближения толкателя
симметричны участкам его удаления.
Принципиальная схема ВРП представлена на рис. 2. За один оборот
кулачкового вала толкатели последовательно войдут в контакт с роликами рейки
и каждый переместит ее на величину P  Pp / Z . Приводной управляемый
электродвигатель соединен непосредственно с кулачковым валом через муфту.
Рис. 2 – Схема взаимодействия в ВРП кинематических элементов: 1- вал
кулачковый, 2 – толкатель с клиньями, перемещающийся в направляющих
корпуса, 3 – рейка с вращающимися роликами (цевками)
Исследование
установившегося
движения
агрегата
выполним,
воспользовавшись статической характеристикой двигателя. В этом случае задача
сводится к отысканию периодического решения уравнения
..
J пр (q) q 
0,5J пр (q )
q
.
.
.
(q ) 2  Q ст (u , q )  Tc (q, q) ,
(1)
где J пр (q) - переменный приведенный момент инерции машинного агрегата,
.
Qст (u, q) - идеальная характеристика движущего момента, зависящая от
.
.
напряжения u и скорости ротора q , Tc (q, q) - приведенный момент активных сил
сопротивления.
Приведенный момент инерции агрегата определим по зависимости
6
6
J пр (q)  J д  J kv  m p Vsp 10  m T 10
2
 V
Z
2
k 1
stk
,
(2)
где J д , J kv - моменты инерции ротора двигателя и кулачкового вала, m p , m T массы рабочего органа и толкателя, Vsp , Vst – аналоги скорости рейки с рабочим
органом и скорости толкателя (мм/рад).
При анализе динамики ВРП следует учитывать две ее особенности. Первая
особенность заключается в симметричности значений аналогов скорости
толкателя на участках удаления и приближения за один оборот кулачкового вала
(рис. 3).
Рис. 3 – Аналог скорости толкателя
В соответствии с этой особенностью, а также учитывая возведение в квадрат
аналога Vst скорости Vst в зависимости (2), последнее слагаемое можно записать в
виде укороченной суммы
6
J npt  2m T 10
Z/2
V
k 1
2
stk
.
(3)
Второй особенностью ВРП является циклическое изменение инерционных
характеристик механизма, связанное в входом в зацепление очередного толкателя.
Аналоги скорости соседних зацепляющихся толкателей сдвинуты по фазе. На рис.
3 утолщенными линиями показаны начальные положения аналогов скоростей
толкателей сдвинутых по фазе относительно первого толкателя, находящегося в
начальном положении. Это позволяет при расчете приведенного момента инерции
толкателей по зависимости (3) рассматривать значения аналогов их скоростей
2
лишь на угловом участке поворота кулачкового вала  p 
, т.е. до момента
Z
входа в зацепление очередного толкателя. В связи с этим привод с ВРП можно
рассматривать как передаточный механизм, в котором используется
мультипликатор с передаточным отношением i  Z / 1 : за один оборот вала
электродвигателя рабочий вал с кулачковым механизмом как бы вращается в Z
раз быстрее. При этом приведенный момент инерции рейки с рабочим органом
является величиной постоянной, так как рейка движется с постоянной скоростью,
взаимодействуя с толкателями с коэффициентом перекрытия    2,33 . Аналог
скорости рейки Vsp связан с аналогом скорости толкателя Vst на линейном
участке его движения зависимостью
Vsp  Vst  tg ( p ) ,
(4)
где  p - угол клина на толкателе. Для ВРП также и приведенный момент
.
активных сил сопротивления Tc (q, q) в зависимости (1) следует рассматривать как
величину постоянную.
Рассмотрим пример расчета неравномерности движения агрегата с ВРП, у
которого число толкателей Z=8, шаг роликов рейки PP  20 мм. ВРП обеспечивает
тяговое усилие 1300 Н, скорость перемещения рейки при номинальной частоте
вращения ротора электродвигателя n n  1000 мин-1 – 0,33 м/с. Масса
перемещаемого рабочего органа m p  100 кг. Приводной электродвигатель – ДК15,2-1ХХ-АТ с параметрами: мощность W=0,54 кВт, напряжение U=110 В, ток при
номинальном режиме Jn=6,5 A, ток холостого хода Jx=0,8A, сопротивление
обмоток якоря
R=2,1=Ом, момент инерции ротора J д  4,16E-3 кгм2,
номинальный крутящий момент Тн=5,2 Нм. Конструктивные параметры ВРП:
полный ход толкателей h t  12,06 мм, ход толкателей при взаимодействии с
роликами рейки h a  8,32 мм, диаметр роликов d p  5,5 мм, масса толкателя
m T  0,093 кг, момент инерции кулачкового вала J kv  1,6  104 кгм2.
Расчетные значения аналогов скоростей толкателей для 10 положений на
2
 45 приведены в таблице 1.
участке поворота кулачкового вала p 
Z
Таблица1.Аналоги скоростей толкателей, мм/рад
Номер
толкателя
1
2
3
4
Угловые положения толкателей
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0,145 0,564 1,212 2,018 2,892 3,739
5,261 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297
5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297 5,297
5,297 5,297 5,234 4,871 4,212 3,345 2,385 1,460
9
4,466
5,297
5,297
0,182
10
4,992
5,297
5,297
0
Значения приведенного момента инерции толкателей, рассчитанные по
выражению (3), проведены в таблице 2
Таблица 2. Суммарные приведенные моменты инерции толкателей, кгм2
Jnpt/106 15,5
15,6
15,5
14,9
13,8
13,1
13,0
13,4
14,2
15,0
Значение приведенного момента инерции рабочего органа с рейкой, кгм2
J npp (q )  m p Vsp2  10 6  0,001013 .
Суммарный приведенный момент инерции привода машинного агрегата с
ВРП
представим в виде ряда Фурье, принимая за условный период время поворота
кулачкового вала на угол  p .
10

J np (q)  J 0   J np (
n 1
2n
),
10
(5)

где J 0 - постоянная составляющая, J np - переменная составляющая, определенная
как сумма двух гармоник, вычисленных по формулам:
1 10  2n
n
1 10  2n
n
J1c   J np (
) cos( ) ; J1S   J np (
) sin( ) ;
5 n 1
5
5
5 n 1
5
5
1 10  2n
2n
1 10  2n
2n
J 2 c   J np (
) cos(
) ; J 2S   J np (
) sin(
).
5 n 1
5
5
5 n 1
5
5
На рис. 4 приведены построенные при помощи MathCad графики рассчитанных

J np и J np (q) / q .
Рис. 4 Характеристики приведенного момента инерции
Уравнение
движения
машинного
агрегата,
учитывая
постоянство
.
приведенного момента активных сил сопротивления Tc (q, q) в зависимости (1),
запишем в форме
..


..
J n 0   Tд (q)  Tc   J np (q) q 
0,5J np (q)
q
.
(q ) 2 ,
(6)

где движущий момент Tд (q) (Нм) представим в виде статической характеристики,
рассчитанной по данным двигателя
.
Tд (q) 
KT
( U  K E  30   / )  40,875  0,3405   ,
R
(7)
Tc  Ft  VsT  tg ( p )  Ftp  Vst  5,297  10 3 (1300  tg ( p )  175)  5,06
-приведенный момент (Нм) сил сопротивления на рабочем органе и ведущих
толкателях, Ftp  175 – сила трения (Н) на ведущих толкателях, KT  0,78, K E  0,096
- конструктивные параметры, коэффициент при угловой скорости  представляет
собой крутизну s  0,3405 статической характеристики двигателя,  –
динамическая ошибка углового положения ротора.
Из уравнения (6), полагая в нулевом приближении его правую часть равной
нулю, а также   0 и противоположность знаков момента сил сопротивления и
движущего момента, определим среднюю скорость вращения ротора двигателя,
с-1
(40,875  5,06)
c 
 105,18 .
0,4305
.
Динамическую ошибку |  | c определим из (6), представив в его правую
часть в виде возмущающего момента L(c t ) с использованием коэффициентов

разложения в ряд Фурье J np (q )
2
L(t )   [L l cos(lt  |  l ] ,
(8)
l 1
где l - порядок гармоники, L l  Llc2  LlS2 , Llc  0,5  J lSl2 , LlS  0,5  J lcl2 J lc , J lS –
коэффициенты разложения в ряд Фурье функции Jnp(q), =c·Z. Угол  l –
L
L
определяется с учетом знака sin  l   lS
и cos l   lC . Т.к. значения
Ll
Ll
J np (q )
производной
на три порядка меньше значения коэффициентов
q
разложения в ряд Фурье функции J np (q) (рис. 4), ее учитывать не будем.
Динамическую ошибку скорости в первом приближении определим по
выражению [4]
.
[L l sin( lt   l   l ]
,
2
2 2 2
l 1
J0l   s
2
  
где  l  arctg(
(9)
s
)  .
J 0 l
Рассчитанная ошибка скорости вала электродвигателя, а также рабочего
органа ВРП представлена графиком на рис. 5.
Рис. 5 – Динамическая ошибка скорости выходного звена ВРП.
По максимальному и минимальному значениям ошибки скорости определен
коэффициент неравномерности движения рабочего органа ВРП по выражению

 max   min 0,052  0,045

 0,001 .
c
105,2
Выводы.
1. Предложена методика расчетной оценки неравномерности движения выходного
звена волновой реечной передачи – рейки с рабочим органом на основе метода
расчета динамики машинного агрегата с жесткими звеньями, разработанного М.З.
Коловским.
2. В связи с линейной характеристикой скорости рабочего органа в возмущающем
воздействии системы привода ВРП приведенный момент активных сил
.
сопротивления Tc (q, q) в зависимости (1) следует рассматривать как величину
постоянную.
3. В приведенном значении момента инерции передачи следует учитывать его
изменение с цикличностью входа в зацепление очередного толкателя, а частоту
возмущающего воздействия от переменного момента инерции в Z раз
превышающее частоту вращения кулачкового вала, где Z – количество
кулачковых механизмов в передаче.
Литература
1.Реечная передача, работающая по принципу бегущей волны / Г.Н.Лимаренко.//
Межвузовский сб. Теория машин металлургического и горного оборудования.
Вып.9. – Свердловск, 1985, с. 94-99.
2.Коловский М.З. Динамика машин. Л.: Машиностроение. 1989.- 264 с.
3.Конструирование машин: Справочно-методическое пособие: В 2 т.Т.1/
К.Ф.Фролов, А.Ф.Крайнев, Г.В. Крейнин и др.Под общ. ред. К.Ф. Фролова. – М.:
Машиностроение, 1994.-528 с.
4.Механика машин: Учеб. пособие для втузов./ И.И.Вульфсон, М.Л. Ерихов, М.З.
Коловский и др.; Под ред. Г.А.Смирнова. – М.: Высш. шк., 1996 – 511 с.