«Воронежский государственный технический универси- тет» Математическая логика и теория алгорит-

ГОУ ВПО
«Воронежский государственный технический университет»
«Утверждаю»
Декан ЕГФ
_____________С.М.Пасмурнов
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.01.04 Математическая логика и теория алгорит-
мов
Для специальности (направления) _230104 «Системы автоматизированного
проектирования»
форма обучения
срок обучения
очная
нормативный
Воронеж 2007
Рабочая программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом направления
654600 «Информатика и вычислительная техника» специальности
специальности 230104 «Системы автоматизированного проектирования»
на основании примерной программы дисциплины
__________________________________________________________________
утвержденной “_ ”
____________200 г.
____по образованию в области машиностроения и приборостроения_______
(название УМО)
Составитель программы_______к.т.н. Литвиненко Ю.В._______________
(подпись) (уч.степень, звание, ФИО)
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры
Систем автоматизированного проектирования и информационных систем
Протокол № ___ от “___”_____________200 г.
Зав. кафедрой
САПРИС______________________________
(наименование кафедры разработчика)
____________________________
(подпись)
Рабочая программа рассмотрена и одобрена методической комиссией
Естественно-гуманитарного факультета
(наименование факультета обучающего студентов)
Председатель МК________________________Яскевич О.Г.
СОДЕРЖАНИЕ
рабочей программы преподавания дисциплины
Выписка из Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования государственных требований к минимуму содержания уровню подготовки инженера
направления 654600 «Информатика и вычислительная техника»
специальности 230104 «Системы автоматизированного проектирования»
Инженер должен знать: логика высказываний; логика предикатов; исчисления; полнота; синтаксис и семантика языка логики предикатов. Клазуальная
форма. Метод резолюций в логике предикатов. Принцип логического программирования. Темпоральные логики; нечеткая и модальные логики; нечеткая
арифметика; алгоритмическая логика Ч.Хоара. Логика высказываний. Логическое следование, принцип дедукции. Метод резолюций. Аксиоматические системы, формальный вывод. Метатеория формальных систем. Понятие алгоритмической системы. Реурсивные функции. Формализация понятия алгоритма;
машина Тьюринга. Тезис Черча; Алгоритмически неразрешимые проблемы.
Меры сложности алгоритмов. Легко и трудноразрешимые задачи. Классы задач
P и NP. NP-полные задачи. Понятие сложности вычислений; эффективные алгоритмы. Основы нечеткой логики. Элементы алгоритмической логики.
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Цель изучения дисциплины
Целью преподавания дисциплины является изучение теоретических и
алгоритмических основ базовых разделов математической логики и теории
алгоритмов.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- получить знания об основах логики высказываний, логики предикатов,
нечеткой логики и теории алгоритмов;
- употреблять специальную математическую символику для выражения
количественных и качественных отношений между объектами;
- знать основные методы и алгоритмы математической логики, связанные
с моделированием и оптимизацией систем различной природы;
- уметь строить и анализировать алгоритмы для решения дискретных задач.
При изучении данной дисциплины необходимо знание студентами математики в объеме первого курса, а также дискретной математики.
3. Объем дисциплины и виды учебной работы
Форма обучения_очная
Срок обучения нормативный
Курс 2
Вид занятий
Всего
часов
100
Общая трудоемкость
51
Аудиторные занятия
Лекции
34
Практические занятия
17
49
Самостоятельная работа
Работа над темами для
45
самостоятельного изучения
Подготовка к практическим,
4
семинарским и лаб.занятиям
Рубежи контроля знаний
экзамен
(экзамен, зачет)
Семестры и
количество часов
4
100
4
51
4
34
4
17
4
49
4
45
4
4
4
экзамен
4. Содержание дисциплины
4.1.Разделы дисциплины и виды занятий(тематический план)
N n/n
1
2
3
4
5
Разделы дисциплины
Введение
Логика высказываний
Теория булевых функций
Логика предикатов
Теория алгоритмов
Лекции
(час)
2
10
12
6
4
Практич.
занят.(час)
4
5
8
-
4.2.Содержание разделов дисциплины.
РАЗДЕЛ 1. Введение (2часа).
Лекция 1. Место математической логики и теории алгоритмов в системе
математического образования. Использование элементов математической логики и теории алгоритмов в решении прикладных задач автоматизированного
проектирования. Связь данной дисциплины с общепрофессиональными и спе-
циальными дисциплинами. Организационно-методические указания по изучению дисциплины.(2 часа)
Самостоятельное изучение История становления математической логики
как науки
РАЗДЕЛ 2. Логика высказываний (10 часов).
Лекция 2. Высказывания и основные логические операции. Пропозициональные формулы. Таблицы истинности. Тавтология и противоречие. Использование тавтологий для проверки логической правильности рассуждений.(2 часа)
Самостоятельное изучение Интерпретация логических формул
Лекция 3. Равносильность формул. Основные равносильности логики
высказываний. Двойственность. Закон двойственности. (2 часа)
Самостоятельное изучение Доказательства равносильности формул.
Лекция 4. Логическое следствие. Доказательство логического следствия
построением совместных таблиц истинности и методом от противного. Метод
резолюций в логике высказываний. (2 часа)
Самостоятельное изучение Выполнимость множества формул
Лекция 5. Нормальные формы формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Алгоритмы приведения к дизъюнктивным и конъюнктивным нормальным формам. (2 часа)
Самостоятельное изучение Нормальные формы формул.
Лекция 6. Совершенные нормальные формы. Аналитический и табличные методы приведения пропозициональных формул к совершенным формам. (2 часа)
Самостоятельное изучение Совершенные нормальные формы.
РАЗДЕЛ 3. Теория булевых функций (12 часов).
Лекция 7. Булевы функции и способы их представления. Элементарные
булевы функции алгебры логики. Свойства булевых функций. Многочлены
Жегалкина. (2 часа)
Самостоятельное изучение Элементарные булевы функции алгебры логики.
Лекция 8. Способы задания булевых функций: матричный, геометрический, аналитический способы. (2 часа)
Самостоятельное изучение Модифицированная таблица истинности
Лекция 9. Минимизация булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм. Алгоритм Квайна и Мак-Класки минимизации булевых функций. (2 часа)
Самостоятельное изучение Методы минимизации булевых функций.
Лекция 10. Минимизация булевых функций в классе дизъюнктивных
нормальных форм. Минимизация булевых функций с помощью карт Карно.
Геометрический метод минимизации булевой функции. (2 часа)
Самостоятельное изучение Методы минимизации булевых функций.
Лекция 11. Функционально полные системы булевых функций. Базис.
Алгоритмы проверки самодвойственности, линейности и монотонности функции. (2 часа)
Самостоятельное изучение Свойства элементарных булевых функций.
Составление таблицы Поста для элементарных булевых функций.
Лекция 12. Теорема Поста доказательства полноты системы булевых
функций. Анализ и синтез релейно-контактных схем. Упрощение и преобразование логических схем. (2 часа)
Самостоятельное изучение Применение булевых функций для анализа и
синтеза дискретных устройств.
РАЗДЕЛ 4. Логика предикатов (6 часов).
Лекция 13. Предикаты. Использование предикатов для записи различных предложений. Операции над предикатами. Кванторы. (2 часа)
Самостоятельное изучение Варианты навешивания кванторов.
Лекция 14. Предикатные формулы. Равносильность формул. Основные
равносильности логики предикатов. Нормальная форма и сколемовская стандартная форма предикатных формул. (2 часа)
Самостоятельное изучение Выполнимость и общезначимость предикатных формул.
Лекция 15. Исчисление предикатов. Основные аксиомы и правила вывода исчисления предикатов. Теорема дедукции в исчислении предикатов.
Клаузальная форма. Приведение предикатных формул к клаузальной форме. (2
часа)
Самостоятельное изучение Метод резолюций в логике предикатов.
РАЗДЕЛ 5. Теория алгоритмов (4 часа).
Лекция 16. Формализация понятия алгоритма. Основные требования к
алгоритмам. Понятие алгоритмической системы. Рекурсивные функции. (2 часа)
Самостоятельное изучение Машина Тьюринга.Тезис Черча.
Лекция 17. Вычислимость и разрешимость. Меры сложности алгоритмов.
Разрешимые и неразрешимые проблемы. NP-полные задачи. Формальные
грамматики и их свойства. (2 часа)
Самостоятельное изучение Схемы алгоритмов и потоков данных.
N
n/n
1
2
3
4
5
6
7
8
5.Практические занятия.
N разКолделаНаименование практического занятия
во час
дисцип
2
Высказывания и операции над ними. Построение таблиц
2
истинности пропозициональных формул. Проверка логической правильности рассуждений. Логическое следствие. Метод резолюций в логике высказываний
2
Метод резолюций в логике высказываний Упрощение ло2
гических выражений с использованием основных тождеств алгебры логики. Приведение пропозициональных
формул к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальной
формам. Аналитический и табличный методы приведения пропозициональных формул к совершенным нормальным формам.
3
Булевы функции и способы их представления. Многочле2
ны Жегалкина.
3
Минимизация булевых функций с использованием алго2
ритма Квайна и Мак-Класки. и карт Карно. Минимизация
булевых функций с использованием карт Карно
3
Геометрический метод минимизации булевых функций.
2
Определение полноты систем булевых функций.
3
Применение булевых функций для анализа и синтеза дис2
кретных устройств. Анализ
и
синтез релейноконтактных схем. Упрощение и преобразование логических схем.
4
Предикаты. Использование кванторных предикатов для
3
записи различных предложений. Определение выполнимости и общезначимости предикатных формул. Основные равносильности логики предикатов. Приведение
предикатных формул к нормальной форме и сколемовской стандартной форме.
4
Исчисление предикатов. Организация логического вывода
2
в исчислении предикатов. Приведение предикатных формул к клаузальной форме. Метод резолюций в логике
предикатов.
6.Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
6.1. Рекомендуемая литература
1.
2.
3.
4.
5.
а) основная литература
1.
Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика
для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988. 480 с.
2.
Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики:
Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ, 1992. 264 с.
3.
Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгоритмов. М.: Наука,
1984.
4.
Леденева Т.М. Специальные главы математики. Дискретная
математика: Учеб. пособие. Воронеж. гос. техн. ун-т. Воронеж,
1997. 130 с.
б) дополнительная литература
1.
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высшая
школа, 1986. 310 с.
2.
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука,
1979. 272 с.
3.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука,
1976. 320 с.
4.
Мощенский С.С. Лекции по математической логике. М.: Наука,
1970.
5.
Свами А.А., Тхуласирман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир,
1984. 454 с.
в) методическая литература
Логика высказываний: Методические указания к выполнению практических заданий по курсу "Математическая логика и теория алгоритмов" для
студентов специальности 220300 "Системы автоматизированного проектирования" очной формы обучения / Каф. систем автоматизированного
проектирования и информационных систем; Сост. Ю.В.Литвиненко. Воронеж: ВГТУ, 2005. - 17 с.
Элементы математической логики : Методические указания к практическим и индивидуальным занятиям/ С.Ю.Белецкая, Л.Д.Кретова,
Е.Н.Королев, Н.Б.Ускова. Воронеж.: ВГТУ, 1998. 20 с.
Минимизация булевых функций : Методические указания к практическим и индивидуальным занятиям/ С.Ю.Белецкая, Л.Д.Кретова,
Н.Б.Ускова. Воронеж.: ВГТУ, 1998. 38 с.
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
8. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
8.1. Методические рекомендации для преподавателя
В рамках изучения дисциплины ставится задача освоения студентами основ логики высказываний, логики предикатов, нечеткой логики и теории алгоритмов. При изучении данной дисциплины необходимо знание студентами математики в объеме первого курса, а также дискретной математики.
Работа преподавателя по организации изучению дисциплины заключается в
чтении лекций в соответствии с рабочей программой, проведении лабораторных занятий и их прием у студентов, проведение промежуточных мероприятий
по проверке знаний, проведение итогового контроля в виде экзамена и проведение контроля остаточных знаний. Самостоятельное изучение отдельных разделов дисциплины преподаватель должен организовать в соответствии с планом-графиком самостоятельной работы студентов. Основной учебный материал занесён в систему дистанционного обучения Афина.
8.2. Методические рекомендации для студентов
Студенты очной формы обучения нормативного срока обучения изучают
дисциплину "Математическая логика и теория алгоритмов" в течение 4 семестра. Виды и объем учебных занятий, формы контроля знаний приведены в табл.
1. Темы и разделы рабочей программы, количество лекционных часов и количество часов самостоятельной работы студентов на каждую из тем приведены в
табл. 2. В первой колонке этой таблицы указаны номера тем согласно разделу 4. Организация лабораторного практикума, порядок подготовки к лабораторным занятиям и методические указания к самостоятельной работе студентов, а также порядок допуска к лабораторным занятиям и отчетности по проделанным работам определены в методических указаниях по выполнению лабораторных работ.
Самостоятельная работа студентов в ходе изучения лекционного материала заключается в проработке каждой темы в соответствии с методическими
указаниями , а также в выполнении домашних заданий, которые выдаются преподавателем на лекционных занятиях. Необходимым условием успешного
освоения дисциплины является строгое соблюдение графика учебного процесса
по учебным группам в соответствии с расписанием.
Приложение 1.
Календарный план чтения лекций.
Номер и краткое название темы (лекции)
Лекция 1
Введение
Лекция 2
Основные логические операции
Лекция 3
Законы логики высказываний
Лекция 4
Логическое следствие
Лекция 5
Нормальные формы формул
Лекция 6
Совершенные нормальные формы
Лекция 7
Булевы функции
Лекция 8
Способы задания булевых функций
Лекция 9
Алгоритм Квайна минимизации БФ
Лекция 10
Минимизация БФ с помощью карт Карно
Лекция 11
Полные системы БФ
Лекция 12
Релейно-контактные схемы
Лекция 13
Предикаты
Лекция 14
Предикатные формулы
Лекция 15
Исчисление предикатов
Лекция 16
Понятие алгоритма
Лекция 17
NP-полные задачи
Дата
NN
недель
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Примечание
Приложение 2.
План-график самостоятельной работы
N
недели
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
История становления математической логики как науки.
Интерпретация логических формул
Доказательства равносильности формул.
2
Объем
(кол-во
заданий)
1
1
2
3
2
3
4
Выполнимость множества формул
Нормальные формы формул.
Совершенные нормальные формы.
Элементарные булевы функции алгебры
логики.
Модифицированная таблица истинности.
Методы минимизации булевых функций.
Методы минимизации булевых функций.
Свойства элементарных булевых функций.
Составление таблицы Поста для элементарных булевых функций.
Применение булевых функций для анализа
и синтеза дискретных устройств.
Варианты навешивания кванторов.
Выполнимость и общезначимость предикатных формул.
Метод резолюций в логике предикатов.
Машина Тьюринга.Тезис Черча.
Схемы алгоритмов и потоков данных.
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
4
2
2
4
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
4
4
2
Вид работы
Норматив
час/задание
Всего за
неделю
(час)
2
Вопросы к экзамену по курсу «Математическая логика и теория
алгоритмов»
1. Предмет и разделы математической логики. Логика высказываний:
определение высказывания.
2. Основные логические операции над высказываниями, таблицы истинности.
3. Формулы и подформулы логики высказываний, интерпретация.
4. Равносильность в логике высказываний, ТИ-формулы, ТЛ-формулы,
опровержимые формулы.
5. Законы логики высказываний.
6. Логическое следствие (доказательство построением таблиц истинности и методом от противного).
7. Выполнимость множества формул и логическое следствие.
8. Двойственные формулы. Основной принцип двойственности.
9. Нормальные формы логики высказываний. Алгоритм приведения к
ДНФ.
10. Нормальные формы логики высказываний. Алгоритм приведения к
КНФ.
11. СДНФ: определение, алгоритм приведения.
12. СКНФ: определение, алгоритм приведения.
13. Многочлены Жегалкина.
14. Релейно-контактные схемы.
15. Теория булевых функций: основные определения, все возможные
элементарные булевы функции.
16. Способы задания булевых функций. Матричный способ.
17. Способы задания булевых функций. Геометрический способ.
18. Минимизация булевых функций. Основные определения.
19. Алгоритм Квайна и Мак-Класки минимизации булевой функции.
20. Минимизация булевых функций с помощью карт Карно.
21. Геометрический способ минимизации булевых функций.
22. Функционально-полные системы булевых функций: основные
определения.
23. Критерий полноты Поста: основные классы булевых функций.
24. Самодвойственные функции: определение, распознавание самодвойственности.
25. Линейные булевы функции: определение, проверка на линейность.
26. Монотонные функции: определение, проверка на монотонность.
27. Теорема Поста.
28. Логика предикатов: основные определения.
29. Логика предикатов: кванторы.
30. Логика предикатов: эквивалентные соотношения.
31. Нормальные формы представления предикатных формул. ПНФ:
определение и алгоритм получения.
32. Теория алгоритмов: основные определения.
Билет №1
1. Предмет и разделы математической логики. Логика высказываний:
определение высказывания.
2. Алгоритм Квайна и Мак-Класки минимизации булевой функции.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №2
1. Основные логические операции над высказываниями, таблицы истинности.
2. Минимизация булевых функций с помощью карт Карно.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №3
1. Формулы и подформулы логики высказываний, интерпретация.
2. Релейно-контактные схемы.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №4
1. Равносильность в логике высказываний, ТИ-формулы, ТЛ-формулы,
опровержимые формулы.
2. Способы задания булевых функций. Геометрический способ.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №5
1. Законы логики высказываний.
2. Логика предикатов: основные определения.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №6
1. Логическое следствие (доказательство построением таблиц истинности и методом от противного).
2. Самодвойственные функции: определение, распознавание самодвойственности.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №7
1. Выполнимость множества формул и логическое следствие.
2. Функционально-полные системы булевых функций: основные определения.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №8
1. Двойственные формулы. Основной принцип двойственности.
2. Логика предикатов: кванторы.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №9
1. Нормальные формы логики высказываний. Алгоритм приведения к
ДНФ.
2. Способы задания булевых функций. Матричный способ.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет № 10
1. Нормальные формы логики высказываний. Алгоритм приведения к
КНФ.
2. Минимизация булевых функций. Основные определения.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №11
1. СДНФ: определение, алгоритм приведения.
2. Многочлены Жегалкина.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №12
1. СКНФ: определение, алгоритм приведения.
2. Критерий полноты Поста: основные классы булевых функций.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №13
1. Теория булевых функций: основные определения, все возможные
элементарные булевы функции..
2. Логика предикатов: эквивалентные соотношения.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №14
1. Геометрический способ минимизации булевых функций.
2. Нормальные формы представления предикатных формул. ПНФ:
определение и алгоритм получения.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет № 15
1. Линейные булевы функции: определение, проверка на линейность.
2. Теория алгоритмов: основные определения.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет № 16
1. СДНФ: определение, алгоритм приведения.
2. Монотонные функции: определение, проверка на монотонность.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____
Билет №17
1. Теорема Поста.
2. Логика предикатов: кванторы.
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры от «___»_____
Протокол №____