ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

«Математическая статистика и
теория вероятностей
в школьном курсе математики»
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
МОУ СОШ №6
Осипян С. Г.
ГЕОРГИЕВСК, 2010г.
Цель и краткая характеристика курса:
Основная цель: сформировать у учащихся представление –
 о
простейших
статистических
характеристиках
и
их
использовании при анализе данных;
 о сборе и обработке статистических данных, о наглядной
интерпретации статистической информации;

о понятиях «перестановка», «размещение», «сочетание» и
соответствующих
формулах,
выработать
умение
решать
комбинаторные задачи.
Важное место среди разнообразного инструментария, используемого в
социально-экономических исследованиях, занимают методы и модели
специальных выборочных обследований, анализ временных рядов и систем
эконометрических
уравнений,
производственные
функции,
функции
потребления и спроса, вероятностные модели экономического роста и
равновесия,
многомерный
статистический
анализ
экономической
информации, математические модели страхования, модели движения
населения и т.п.
Понимание и осмысленное использование этого инструментария в
решении исследовательских и практических социально-экономических задач
невозможны без определенного запаса знаний и навыков в области теории
вероятностей,
математической
статистики
и
многомерного
статистического анализа. Именно на овладение необходимым минимумом
этих знаний и навыков и нацелен курс “Вероятность и статистика”.
Построение методов и организационных форм обучения учитывает, что они
обращены к пользователю (а не к разработчику) описываемых в курсе
методов и моделей, а потому нацелено, в первую очередь, на разъяснение их
прикладных
возможностей
и
на
изложение
рекомендаций
по
их
использованию.
Не смотря на то, что введение курса «Комбинаторика» вызвано велением
времени, очень многие учителя оказались не готовы к этому. (Отметим, что
мы все изучали теорию вероятности в вузах). Однако, до сегодняшнего дня
отсутствует единая система преподавания
и учебников по этому разделу
математики.
В своей работе мы должны помнить, что основы вероятностного мышления
необходимо заложить при изучении школьного курса математики. Особое
место должно занимать не заучивание формул и правил, а развитие
вероятностной интуиции учащихся и их практическое применение.
В 7 – ом классе учащиеся знакомятся с такими простейшими
статистическими характеристиками, как
среднее арифметическое, мода,
медиана и размах. Их содержательный смысл разъясняется на простейших
примерах. Учащиеся должны знать смысл каждого понятия, уметь находить
их характеристики в несложных случаях, понимать их практическое
применение.
Среднее арифметическое ряда данных является одним из основных
статистических понятий. Оно используется в статистике наряду с такими
величинами, как среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Наряду со средним арифметическим широкое применение в статистике
имеют такие характеристики, как мода и медиана. Мода определяется как
число наиболее часто встречающееся в данном ряду. Во многих случаях
предпочтение даётся не среднему арифметическому, а моде ряда.
В
статистических исследованиях моду часто используют как вспомогательный
показатель, характеризующий типичность среднего арифметического.
Медиана определяется сначала для упорядоченного ряда данных. При этом
различают два случая: когда число членов ряда нечётное и когда оно чётное.
Кроме
вышеупомянутых
средних
величин,
в
данном
параграфе
рассматривается ещё один показатель, используемый в статистике, - размах
ряда. Это наибольшее различие данных в ряду.
В 8 – ом классе изучается тема « Статистические исследования». В этой
теме
учащиеся
впервые
встречаются
с
представлением
результатов
исследования в виде таблицы частот или относительных частот.
Они должны уметь находить в таблице частот такие статистические
характеристики, как среднее арифметическое, мода, размах.
Принципиально новым для учащихся являются такие понятия, как
интервальный ряд, генеральная совокупность и выборочная совокупность. В
данном параграфе рассматривается вопрос о наглядном представлении
статистической информации. С круговыми и столбчатыми диаграммами
учащиеся
уже знакомы, новым для них являются понятие полигона и
гистограммы.
В 9 – ом классе учащиеся знакомятся с понятием перестановки,
размещения, сочетания: даются определения и соответствующие формулы
разрабатываются навыки для решения комбинаторных задач.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений:
случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и
первым попыткам математического анализа азартных игр (кости, рулетка,
орлянка и др.).
Первоначально её основные понятия не имели строго математического
вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам,
как к свойствам реальных событий. Важный вклад в теорию вероятностей
внёс Яков Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в
простейшем случае независимых испытаний. В первой половине 19 – ого
века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок
наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во
второй половине 19 – ого века основной вклад внесли русские учёные П. Л.
Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов. В это время была доказана
центральная предельная теорема и разработана теория цепей Маркова.
Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации,
предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория
вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала
восприниматься как один из разделов математики.
Все события реального мира можно разделить на три группы: достоверные,
невозможные и случайные.
А так же, вероятные, равновероятные и
маловероятные.
Опыт, эксперимент, любое практическое действие называется испытанием.
Результат или исход испытания называется событием.
В практике для
обозначения того или иного события используются заглавные латинские
букв: A, B, C, D, F…
Событие, которому неблагоприятен ни один из возможных исходов
испытания, называется невозможным.
Событие, которому благоприятен любой исход испытания, называется
достоверным.
События Х и У называются совместными, если появление одного из них не
исключает появление другого в одном и том же испытании.
События Х и У называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление другого в одном и том же испытании.
События Х и У называются противоположными друг другу, если в данном
испытании они не совместны, а одно из них обязательно происходит.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ:
- Вероятность
- Вероятностное пространство
- Случайная величина
- Математическое ожидание
- Дисперсия случайной величины
- Независимость
- Условная вероятность
- Закон больших чисел.
Вероятность
–
мера
достоверности
случайного
события.
Оценкой
вероятности события может служить частота его наступления в длительной
серии независимых повторений случайного эксперимента.
Наряду со случайными событиями, как факторами в схеме испытаний,
характеризующими её качественно, результаты опытов можно описать и
количественно. Это и ведёт к понятию случайной величины в теории
вероятностей. Фактически, всегда результаты опытов можно представить
количественно с помощью одной или нескольких числовых величин.
Перечень возможных значений каждой одномерной случайной величины
может быть дискретным ( конечным или бесконечным), так и непрерывным.
Условная вероятность – вероятность одного события при условии, что другое
событие уже произошло.
Закон больших чисел - утверждает, что эмпирическое среднее (среднее
арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему, т. е. математическому ожиданию, этого
распределения.
Центральные предельные законы – класс теорем в теории вероятностей,
утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных
величин имеет распределение, близкое к нормальному распределению.
КОМБИНАТОРИКА
Раздел математики,
выясняющий, сколько возможных различных
комбинаций, подчинённым тем или иным условиям, можно составить из
имеющихся объектов. Или решать задачу о выборе
из конечного числа
объектов и их размещение по какому либо известному правилу.
Основным способом решения комбинаторных задач является «метод
корзинок» и правило произведения.
Правило произведения: Если выбор какого – то объекта состоит
последовательного
из
выбора частей к нему, причём первую часть можно
выбрать a числом способов, вторую часть – b способами независимо от
выбора первой части, и так далее вплоть до n – ой части, то общее число
способов построить сам объект равно произведению: a*b*c*…
Задача №1: У рояля 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь
последовательно: а) 4 звука, б)4 разных звука?
Решение: По правилу произведения имеем: а) 88*88*88*88 = 59 969 536;
б) 88*87*86*85 = 55 965 360.
Задача №2: Сколько натуральных чисел являются трёхзначными?
Решение: Первые цифры искомых чисел могут быть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Вторые и третьи цифры будут от 0 до 9. Значит, по правилу произведения
находим, что общее число трёхзначных натуральных чисел равно
9*10*10 =900.
Задача №3: Сколько есть шестизначных чисел, в каждом из которых нет
одинаковых цифр, а вторая и четвёртая цифры нечётны?
Решение: Ясно, что надо взять 6 корзинок. В первую корзину запишем одну
из девяти цифр, кроме нуля. Возникает вопрос: а сколько способов
поставить цифру во вторую корзину? Это зависит от того, какая цифра
уже стоит на первом месте. Если нм первое место мы поставили «2», то на
второе место можно поставить «1», «3», «5», «7» или «9».Если же на
первом месте стоит нечётное число, то можно поставить остальные
нечетные.
Поэтому, выберем такой порядок заполнения корзинок: ВО вторую
поместим любую нечетную цифру, в четвертую – любую из оставшихся
нечетную цифру, в первую любую кроме «0» и тех двух, что уже
поставлены, в третью – любую из 7 оставшихся, в пятую – любую из 6
оставшихся, в шестую – любую из 5 оставшихся.
Всего 5*4*7*7*6*5=29400 чисел.
Пример: Сколько есть перестановок цифр 0, 1, …, 9, в которых хотя бы
один из трех цифр делится на 3?
Решение: Всего имеется 10 цифр, поэтому имеется 10!. Количество
перестановок, к которых ни одна из первых цифр не равно 0, 3, 6, 9, равно
6*5*4*7!. Значит число искомых перестановок равно
10! – 6*5*4*7! = 3 024 000.
Перестановки, размещения, сочетания.
Классической
задачей
комбинаторики
является
задача
о
числе
перестановок, которую можно сформулировать так: сколькими способами
можно расставить n различных предметов в n различных местах?
Решение этой задачи выглядит так: возьмём n корзинок, в которую будем
укладывать n различных предметов. В первую корзинку можно положить 1
из n предметов, во вторую – 1 из (n-1) оставшихся предметов и т. д., вплоть
до последней корзинки, в которую можно единственным образом положить
оставшийся предмет. По правилу произведения получаем
n*(n – 1)*(n – 2)*…=n! способов. Значит, число перестановок из n элементов
равно n!.
Рۡn=n!
Отметим, что по соглашению 0!=1.
Пример №1: Сколькими способами можно выписать в колонку фамилии 30
учеников?
Ответ: Р30 = 30!.
Пример №2: Сколькими способами можно расставить на шахматной доске
8 одинаковых ладей так, чтобы ни какие две из них не били друг друга?.
Решение: Ладьи не будут бить друг друга тогда и только тогда, когда на
каждой горизонтали и на каждой вертикали стоит равно одна ладья.
Поэтому будем выставлять их по горизонталям. Первую можно поставить
на любые 8 полей первой горизонтали, вторую – на 7 полей второй
горизонтали, третью – на 6 полей третьей горизонтали и т. д.
Получаем Р8 = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320 (способов).
Пример №3: Сколько различных слов, даже бессмысленных, можно
составить, переставляя буквы в слове «арбуз»?
Решение: Р5 = 5! = 1*2*3*4*5 = 120 (слов).
Перестановки с повторениями: перестановки из n элементов, в каждую из
которых входят α элементов а, β элементов b, γ элементов с, и т. д., где
α +β+γ+…+λ =n, называются перестановками из n элементов с повторениями.
Размещения
Следующей классической задачей комбинаторики является задача о
числе размещений, которую можно сформулировать так:
Сколькими способами можно выбрать и разместить по m
различным
местам m различных предметов из n имеющихся в наличии различных
предметов?
Данная задача обобщает задачу о числе перестановок. Действительно,
перестановки возникают при m = n, т. е. в том случае, когда нужно брать
и размещать все n имеющихся предметов.
Число размещений вычисляется по формуле:
Аn = n!:( n – т)!
Пример: Сколькими способами можно разместить на полке 5 из 8 книг?
5
Решение: А8 =8! : (8 – 5)! = 8* 7*6*5 = 6720 (способов).
Пример:
Сколько
шестизначных
телефонных
номеров
существует,
состоящих из различных цифр?
6
Решение: А10 = 10! : (10 – 6)! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 =151 200 (номеров).
Сочетания:
Ещё одна классическая задача комбинаторики является задача о числе
размещении, которую можно сформулировать так:
Сколькими способами можно выбрать т
различных предметов из
имеющихся в наличии n различных предметов?
Число сочетаний вычисляется по формуле:
т
Сп = = n!:[( n – т)! * т!]
Пример: Из 20 учащихся кружка математики 4 необходимо отправить на
олимпиаду. Сколькими способами можно составить команду на олимпиаду?
4
Решение:
С20 = (20 *19 * 18* 17): (4* 3* 2* 1) = 4 845 способами можно
составить команду.
Разбиения и выборки с повторениями:
Задача комбинаторики о числе разбиений можно выразить вопросом:
сколькими способами можно разбить n различных предметов на группы по
определенному числу предметов в каждой группе.
Итак: для первой группы необходимо выбрать n1 предметов из имеющихся
n предметов в наличии. Для второй группы необходимо выбрать n2
предметов из n-n1 оставшихся в наличии. Для третьей группы нужно
выбратьn3 предметов из оставшихся n-n1-n2 предметов.
Таким образом:
n1, n2
Сn = n!/(n1!* n2!).
Пример: Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трем
комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной?
n1 n2
Сn = n!/(n1!* n2!) = 8! / (1!*3! * 4!) =280 (способами).
В конце мы хотим предложить несколько задач для самостоятельного
решения:
№1. Сколькими способами можно раздать двум игрокам пополам колоду из
36 карт так, чтобы у каждого было 2 туза?
№2. Сколько есть десятизначных чисел,
в записи которых цифра 1
встречается в 2 раза, а цифры 2, 3, 4 по одному разу?
№3. Найти сумму всех четырехзначных чисел, которые состоят из цифр 1,
2, 3, 4 а) без повтора, б) в которых одна и та же цифра повторяется только
один раз?
№4. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых сумма цифр четная?