Методическое пособие - Единая коллекция Цифровых

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ
ПРОЕКТ «ИНФОРМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ»
ИЗДАТЕЛЬСТВО ООО"ДОС"
Е.А.Бунимович, В.А.Булычев,
В.В.Калманович
Инновационный учебно-методический комплекс
ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА
в школьном курсе математики
Методическое пособие для учителя
Москва – Калуга
2008
Издание подготовлено в рамках проекта «Информатизация системы
образования», реализуемого Национальным фондом подготовки
кадров по заказу Министерства образования и науки Российской
Федерации
Бунимович Е.А., Булычев В.А., Калманович В.В.
Вероятность и статистика в школьном курсе математики.
Методическое пособие для учителя. – М., 2008. – 139 с.
Данное пособие является неотъемлемой частью инновационного учебнометодического комплекса (ИУМК) «Вероятность и статистика в школьном
курсе математики», предназначенного для изучения вероятностностатистической линии в курсе математики основной школы с 7-го по 9-й
классы, а также в профильной школе с 10-го по 11-й классы. Отдельные
фрагменты ИУМК могут использоваться также в 9-х классах для проведения
предпрофильного обучения.
Помимо методического пособия, ИУМК включает в себя учебник для
общеобразовательных учреждений (в двух частях) и программный сетевой
комплекс с набором интерактивных цифровых ресурсов. Идейной основой
электронной составляющей ИУМК являются виртуальные лаборатории –
интерактивные модули, предназначенные для моделирования вероятностных
ситуаций и анализа полученных в них результатов. В качестве основного
инструмента для обработки статистических данных используется табличный
процессор MS Excel.
© ООО "ДОС", 2008 г.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
4
Краткое изложение авторской концепции курса
6
Характеристика содержания учебного материала
9
Календарно-тематическое планирование курса
11
7 класс (18 уроков)
11
8 класс (14 уроков)
12
9 класс (14 уроков)
13
10 класс (16 уроков)
14
11 класс (14 уроков)
15
Структура ИУМК
17
Структура учебника
17
Структура диска
18
Методические рекомендации по организации занятий
20
Глава 1. Анализ данных
20
Глава 2. Случайные события и вероятность
28
Глава 3. Опыты с равновозможными исходами
41
Глава 4. Случайная выборка
47
Глава 5. Числовые характеристики выборки
52
Глава 6. Комбинаторика
60
Глава 7. Алгебра событий
84
Глава 8. Геометрическая вероятность
Глава 9. Случайные величины
116
123
Приложение 1. Рекомендуемая литература
135
Учебники и учебные пособия для общеобразовательной школы
135
Дополнительная литература
135
Книги и статьи методической и методологической направленности
136
Приложение 2. Руководство по установке
138
Минимальные системные требования
138
Установка ИУМК
138
Запуск ИУМК
139
Удаление ИУМК
140
3
Предисловие
Одной
из
принципиальных
особенностей
новых
российских
образовательных стандартов по математике является включение в
обязательный минимум содержания элементов теории вероятностей и
статистики.
Нехватка учебных и методических материалов, а также отсутствие у
большинства учителей практического опыта преподавания этой линии в
школьном курсе математики делают весьма актуальной задачу создания
учебных пособий, включающих весь комплекс соответствующих материалов
для ученика и учителя, в том числе и электронную поддержку данного курса.
Выделение вероятностно-статистической линии из общего курса школьной
математики в виде отдельного ИУМК целесообразно, на наш взгляд, по
следующим причинам:

вероятностно-статистический материал все еще отсутствует во
многих учебниках математики, получивших на сегодняшний день
широкое распространение в учебной практике, или представлен
крайне скудно и неинтересно, не подкреплен системой
вспомогательных материалов для ученика и учителя;

преподавание теории вероятностей и статистики имеет свою
уникальную специфику (проведение реальных экспериментов,
требующих больших затрат времени; статистическая обработка
больших массивов данных и т.д.), которая требует иных, помимо
традиционных, форм организации учебной деятельности;

вероятностно-статистическая
линия
особенно
насыщена
межпредметными связями, вследствие чего материал ИУМК может и
должен быть использован не только на уроках математики, но и на
занятиях по другим предметам (информатика, биология, физика,
экономика и др.).
Использование информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в
преподавании вероятностно-статистической линии играет особую роль. В
4
теории вероятностей и статистике, как ни в какой другой области математики,
требуется постоянное обращение к реальным вероятностным ситуациям
и опытным данным. Однако проведение статистических испытаний всегда
требует слишком много времени и дополнительного оборудования. Вызывает
затруднение и ручная обработка статистической информации сколько-нибудь
значительных объемов. А ведь только при большом количестве
экспериментальных данных школьник может в полной мере ощутить
проявление основных статистических закономерностей. Именно по этой
причине использование современных компьютерных средств обучения,
специализированного программного обеспечения становится при изучении
этой линии школьной математики особенно актуальным и необходимым.
5
Краткое изложение авторской концепции курса
Основными целями создания ИУМК являются:

максимальная активизация познавательной
деятельности
школьников при изучении вероятностно-статистического материала;

внедрение компетентностного подхода в изучение вероятности и
статистики как наиболее естественно приспособленной для этого
части курса математики;

методическая помощь учителю в преподавании новой линии
школьного курса математики и правильной расстановке акцентов
при введении новых математических понятий, а также в освоении
инновационных форм педагогической деятельности.
Средствами достижения поставленных целей служат:

значительное увеличение доли информации, представляемой в
подвижных зрительных образах, являющихся опорой для
содержательно-практической
деятельности
учащихся
и
активизирующих наглядно-образное мышление;

систематическое использование таких форм учебной деятельности
как наблюдение и моделирование, работа в группах, коллективные
исследования, которые способствуют формированию у учащихся
базовых компетенций в области сбора, обработки, представления и
интерпретации информации, а также вероятностной оценки
окружающих событий и явлений;

выдвижение на первый план практической стороны изучаемых
вопросов, широкое использование реальных статистических данных,
так называемого «социального фона»; практическая интерпретация
полученных результатов;

развитие навыков работы с компьютером, активное использование
современных компьютерных средств обработки и представления
6
статистических данных, работа с информационными ресурсами сети
Интернет.
Идейную основу ИУМК и ядро его методической концепции составляют
виртуальные лаборатории – интерактивные модули, предназначенные для
моделирования случайных экспериментов и обработки полученных в них
результатов. Каждая лаборатория включает набор инструментов,
позволяющих учащемуся самостоятельно строить математическую модель
той или иной вероятностной ситуации, выбирать способ обработки
полученных в эксперименте данных и самостоятельно интерпретировать
полученные результаты.
Основным
достоинством
лабораторий
является
возможность
с
минимальными затратами сил и учебного времени многократно повторить
поставленные в них опыты и собрать таким образом материал, необходимый
для содержательных статистических выводов (оценки вероятностей и
числовых характеристик случайных величин, проверки основных
вероятностно-статистических законов и т.д.).
Лаборатории дают возможность не только визуализировать на экране
компьютера саму процедуру проведения опыта, но и наглядно, с помощью
графиков и диаграмм, показать изменение ключевых величин,
продемонстрировать фундаментальный факт стабилизации частот и т.д.
Виртуальные эксперименты могут использоваться для демонстрации
важнейших вероятностных законов и самопроверки ответов, полученных при
решении теоретических задач. Большинство лабораторий снабжено
механизмами промежуточного контроля и самоконтроля действий ученика.
Работа с любой лабораторией возможна как непосредственно в окне HTMLдокумента, куда она встроена, так и в отдельном самостоятельном окне (с
возможностью при необходимости использовать все пространство экрана).
В качестве основного инструмента для обработки статистических данных в
ИУМК выбран табличный процессор MS Excel, ставший de facto
стандартным средством проведения финансовых, экономических, научных и
других расчетов. Для удобства все электронные таблицы (как и лаборатории)
встроены непосредственно в HTML-страницы учебника, с которыми
работают учащиеся. Любая таблица может быть активизирована и раскрыта в
7
окне MS Excel простым щелчком мыши, а ее сохранение в личной папке
ученика происходит автоматически при закрытии и встраивании обратно в
документ.
Одним из важных методических приемов, опирающихся на возможности
современных ИКТ, является также активное использование при выполнении
многих заданий так называемой коллективной панели данных (далее КПД). Внешне КПД представляет собой обыкновенную таблицу с общим
доступом, позволяющую организовать в процессе проведения урока
совместный сбор и обработку статистической информации. Структура
таблицы настраивается автоматически в зависимости от выбранной в данный
момент задачи. Ученик получает доступ к своей части таблицы для внесения
изменений и ко всей таблице в целом для чтения внесенных в нее данных. В
любой момент времени содержимое КПД может быть экспортировано в MS
Excel для последующей обработки и анализа. Таким образом, таблица может
использоваться для коллективного сбора данных с их последующей
индивидуальной обработкой, анализом полученных результатов и
коллективным обсуждением.
Игровые и соревновательные элементы, присутствующие в решениях
многих вероятностных задач, делают процесс обучения с использованием
данного ИУМК интересным и увлекательным.
8
Характеристика содержания учебного материала
Содержание ИУМК опирается в своей основе на Государственный
образовательный стандарт общего и среднего образования в образовательной
области «Математика». В полном объеме здесь представлены все темы
вероятностно-статистической линии, заявленные в обязательном минимуме
содержания:
-
Табличное и графическое представление данных.
-
Числовые характеристики рядов данных.
-
Вероятность и статистическая частота наступления события.
-
Опыты с равновозможными исходами и классическое определение
вероятности.
-
Поочередный и одновременный выбор элементов из конечного
множества.
-
Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение
комбинаторных задач.
-
Геометрическое вычисление вероятности.
-
Элементарные и сложные события. Вероятность суммы событий.
Вероятность противоположного события.
-
Понятие о независимости событий.
-
Решение практических задач с применением вероятностных методов.
Однако авторы считают возможным представить в данном ИУМК
дополнительный материал, выходящий за рамки обязательного минимума
содержания. Этот материал может как расширить круг изучаемых вопросов,
так и углубить представления школьников об изучаемых вероятностностатистических понятиях и методах:
9
-
Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Формула
полной вероятности.
-
Компьютер и вероятность. Моделирование статистических
экспериментов на компьютере. Устройство компьютерных датчиков
случайных чисел.
-
Случайные величины. Распределение вероятностей случайной
величины. Числовые характеристики случайной величины.
-
Испытания Бернулли. Успех и неудача. Наиболее вероятное число
успехов. Закон больших чисел. Нормальное приближение
распределения Бернулли.
-
Корреляция и регрессия. Понятие о статистической зависимости
случайных величин. Коэффициент корреляции. Линейная
регрессионная модель.
При отборе содержания авторы исходили из того, что ИУМК должен, с
одной стороны, обеспечить изучение предмета на базовом уровне, с другой –
содержать дополнительный материал, который может быть усвоен
заинтересованными учениками, не требуя от них дополнительной
математической подготовки. Были учтены и соответствующие возможности
компьютерных технологий, без которых включение в ИУМК некоторых
перечисленных выше тем было бы невозможным. Кроме того, на отбор
содержания повлиял целый ряд других школьных предметов, использующих
в своем понятийном аппарате вероятностно-статистические методы (физика,
биология, география, экология, экономика и др.).
10
Календарно-тематическое планирование курса
В соответствии с выбранным содержанием в ИУМК предполагается
следующее календарно-тематическое планирование. Общий объем учебной
нагрузки – 76 учебных часов. Рекомендуемое при этом распределение
материала по классам:
Класс
7
8
9
10
11
Количество часов
18
14
14
16
14
7 класс (18 уроков)
№
урока
1
Тема урока
Основные вопросы
Раздел
ИУМК
Глава 1. Анализ данных
Сбор
и
анализ Чем занимается статистика? Сбор
статистических данных
данных. Систематизация данных.
Анализ данных
1.1
2
Таблицы
Что такое таблицы? Таблицы
вокруг нас
1.2
3
Диаграммы
Виды диаграмм. Что
увидеть на диаграмме?
можно
1.3
4-8
Электронные таблицы
Что такое электронная таблица?
Примеры электронных таблиц.
Построение диаграмм
1.4
9
Обобщающий урок
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 1
1
10
Глава 2. Случайные события и вероятность
Случайный
Что
такое
случайный
эксперимент
и
его эксперимент?
Примеры
свойства
случайных экспериментов
11
2.1
11
Случайные события
Случайные,
невозможные,
достоверные
события.
Наблюдаем за событиями
2.2
12
Элементарные исходы
Исходы эксперимента. Примеры
элементарных событий
2.3
13
Случайные события и
множества
События
как
множества
благоприятных исходов. Строим
события из исходов. Диаграммы
Эйлера
2.4
14,15
Частота
Какие бывают частоты? Подсчет
частот
2.5
16,17
Вероятность
Что такое вероятность? Оценка
вероятности по частоте
2.6
18
Обобщающий урок
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 2
2
8 класс (14 уроков)
№
урока
Тема урока
Основные вопросы
Раздел
ИУМК
Глава 3. Опыты с равновозможными исходами
19,20
Равновозможность
исходов
Что такое равновозможность?
Генераторы равновозможности.
Выбор равновозможных исходов
3.1
21-24
Классическое
определение
вероятности
Вероятность
в
опытах
с
равновозможными
исходами.
Когда классическое определение
неприменимо?
Вычисление
вероятности
3.2
25
Обобщающий урок
Повторение
3
12
и
обобщение
материала, изученного в главе 3
26,27
Глава 4. Случайная выборка
Генеральная
Что такое выборочный метод?
совокупность
и Выборка и статистический ряд.
случайная выборка
Примеры
выборочных
обследований
28,29
Таблица
полигон
30,31
32
частот
и
4.1
Таблица частот. Полигон частот.
4.2
Группировка данных и
гистограмма
Группировка
Гистограмма частот.
4.3
Обобщающий урок
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 4
данных.
4
9 класс (14 уроков)
№
урока
33,34
Тема урока
Основные вопросы
Глава 5. Числовые характеристики выборки
Характеристики
Среднее
значение.
Мода.
среднего
Медиана. Сравнение средних
характеристик
Раздел
ИУМК
5.1
35,36
Вычисление средних по
таблице частот
Вычисление среднего значения.
Вычисление моды. Вычисление
медианы
5.2
37,38
Характеристики
разброса
Размах. Дисперсия
5.3
39,40
Вычисление разброса
по таблице частот
Вычисление
размаха.
Вычисление дисперсии
5.4
41
Обобщающий урок
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 5
5
13
42,43
Глава 6. Комбинаторика (начало)
Перечисление
Кодирование
комбинаций.
комбинаций
Лексикографический порядок.
Дерево перебора
6.1
44,45
Правила умножения и
сложения
Правило умножения. Правило
сложения. Правило вычитания
6.2
46
Обобщающий урок
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 6
6
10 класс (16 уроков)
№
урока
47,48
Тема урока
Основные вопросы
Глава 6. Комбинаторика (окончание)
Перестановки
и Перестановки.
Размещения.
размещения
Перестановки с повторениями.
Размещения с повторениями
49,50
Сочетания
51,52
Комбинаторика
вычислении
вероятностей
53
Обобщающий урок
54
Глава 7. Алгебра событий
Диаграммы Эйлера
Множество и его элементы.
Операции над множествами
55
Противоположное
событие
и
вероятность
при
его
Раздел
ИУМК
6.3
Сочетания. Треугольник Паскаля
6.4
Исходы - перестановки. Исходы размещения.
Исходы
размещения с повторениями.
Исходы - сочетания
6.5
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 6
6
Противоположное
событие.
Вероятность противоположного
события
14
7.1
7.2
56
Сумма и произведение
событий
Сумма событий. Произведение
событий
7.3
57
Формула
сложения
вероятностей
Несовместные события. Формула
сложения
7.4
58,59
Условная вероятность и
независимость
Условная
Независимость
вероятность.
7.5
60,61
Формула
умножения
вероятностей
Формула произведения. Сумма
независимых событий
7.6
62
Обобщающий урок
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 7
7
11 класс (14 уроков)
№
урока
63,64
65,66
Тема урока
Основные вопросы
Глава 8. Геометрическая вероятность
Геометрическая
Геометрическая вероятность на
вероятность на прямой плоскости.
Геометрическая
и на плоскости
вероятность на отрезке и
окружности
«Негеометрические»
задачи
геометрической
вероятностью
67
Приложения
парадоксы
геометрической
вероятности
68
Обобщающий урок
Раздел
ИУМК
8.1
Мяч и решетка. Задача о встрече.
8.2
Вычисление площадей методом
Монте-Карло. Опыт Бюффона.
Опыт Бертрана
8.3
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 8
8
с
и
Глава 9. Случайные величины
15
69
Понятие
величины
случайной
Что такое случайная величина?
Случайные величины вокруг нас
9.1
70-72
Дискретные случайные
величины
Закон распределения случайной
величины.
Важнейшие
дискретные
распределения.
Распределение и таблица частот
9.2
73-75
Непрерывные
случайные величины
Плотность
распределения.
Важнейшие
непрерывные
распределения. Распределение и
таблица частот
9.3
76
Обобщающий урок
Повторение
и
обобщение
материала, изученного в главе 9
9
16
Структура ИУМК
В состав ИУМК входят:
-
учебник на печатной основе;
-
компакт-диск с цифровыми ресурсами;
-
данное методическое пособие.
Структура учебника
Учебник состоит из 9-ти глав. Каждая глава включает от двух до шести
параграфов. На изучение каждого параграфа отводится от одного до пяти
уроков. Каждый параграф включает три основных раздела и один
дополнительный:
-
необходимые теоретические сведения и примеры;
-
тесты;
-
задания практикума;
-
темы для исследований и описание вероятностных игр.
Большинство
теоретических
сведений
и
примеров
требуют
использования цифровой составляющей ИУМК (они помечены в учебнике
специальным значком

). При этом возможны две формы работы с
электронной составляющей ИУМК:
-
самостоятельное изучение нового материала (работа с текстом и
проведение экспериментов);
-
фронтальное объяснение с использованием проектора (текст
озвучивает учитель, на экран выводятся только интерактивные
модели экспериментов).
17
Тесты служат для проверки усвоения основных понятий курса. В
соответствии с общепринятой классификацией задания тестов разделены на
вопросы с закрытым ответом (единственным и множественным выбором),
открытым ответом, установление соответствия, установление порядка. Все
они продублированы на диске и могут использоваться для автоматического
контроля знаний.
Задания практикума являются основным средством для получения
практических навыков работы с вероятностно-статистическим материалом и
развития стохастической и ИКТ-компетентности учащихся. Все задания
делятся на четыре категории, каждая из которых помечается специальным
значком:




- можно выполнять как с компьютером, так и на бумаге;
- для выполнения необходим компьютер;
- для выполнения необходима локальная сеть;
- для выполнения необходим выход в Интернет.
Темы предлагаемых исследований предполагают внеурочную работу и
являются, чаще всего, коллективными проектами.
Структура диска
Входящий в комплект ИУМК компакт-диск содержит полный набор
цифровых ресурсов для ученика и учителя. Статус пользователя
(учитель/ученик) определяется при его регистрации.
МОДУЛЬ УЧЕНИКА включает в себя «Уроки» – полный рубрикатор
учебных ресурсов, структура которого идентична оглавлению учебника на
печатной основе. При выполнении тестов и заданий практикума все
полученные учеником оценки заносятся в электронный классный журнал, а
результаты проведенной работы – в личную папку каждого ученика. В ответах
на вопросы тестов и заданий практикума используются стандартные средства
18
ввода: поля для ввода чисел и текста, выпадающие списки, флажки для
множественного выбора.
ВНИМАНИЕ! В задачах на вычисление вероятности ответ можно
вводить в форме как десятичной, так и обыкновенной дроби. При этом
обыкновенная дробь вводится через наклонную черту, например: 1/2; 8/17 и
т.д. Некоторые задания практикума допускают при вводе ответа погрешность,
предусмотренную в условии.
Проверка выполненных заданий практикума может проводиться одним из
трех способов:
-
по контрольным ответам, которые ввел ученик (инструментарий
лабораторий и MS Excel служит в этом случае «вспомогательным
оборудованием» для получения или проверки результатов);
-
по результатам деятельности в лаборатории (компьютер
проверяет построенную в лаборатории модель, конструкцию и т.д.);
-
полученные учеником результаты могут сохраняться в его личной
папке и проверяться учителем через классный журнал.
Кроме того, ученик имеет доступ к разделам «Виртуальные лаборатории»
(здесь собраны все используемые в ИУМК лаборатории) и «Помощь», где
подробно описана технология работы со всем диском и каждым из его
компонентов в отдельности.
МОДУЛЬ УЧИТЕЛЯ имеет дополнительные разделы «Классный журнал»
и «Коллективная панель данных». Журнал дает учителю полную
информацию о результатах учебной деятельности каждого ученика,
обеспечивает доступ непосредственно к этим результатам и позволяет, если
это необходимо, оценить их правильность (выставить оценку). Кроме того,
через журнал происходит ведение списка классов и списка учеников.
Коллективная панель данных позволяет учителю быстро просмотреть любые
данные, собранные учениками в процессе выполнения соответствующих
заданий практикума, и, в случае необходимости, внести в них изменения (в
том числе, произвести полную очистку КПД).
19
Методические рекомендации по организации
занятий
В этом разделе даны конкретные методические рекомендации по проведению
каждого урока и указания к выполнению всех заданий практикума. Значком
«» отмечены задания, рекомендованные авторами для обязательного
выполнения.
Глава 1. Анализ данных
Урок 1. Сбор и анализ статистических данных
На этом уроке учащиеся должны получить начальное представление о трех
основных
этапах
любого
статистического
исследования:
сборе,
систематизации и анализе статистических данных.
Сбор данных – процесс, как правило, трудоемкий и дорогостоящий. Как вы
знаете, этим занимаются сегодня целые научные институты и фонды. Если к
сбору статистических данных подключить самих учащихся, то, во-первых, вы
получите эти данные бесплатно, во-вторых, интерес к их дальнейшей
обработке сильно возрастает.
Заметим, что статистические данные можно собирать не только прямыми
опросами или измерениями, но и с помощью современных средств ИКТ из
сети Интернет, закладывая у учащихся элементы информационной культуры.
Следует с первых уроков обратить внимание учащихся на возможность
неграмотной или недобросовестной интерпретации статистических данных –
соответствующие примеры и задания приведены в материалах урока.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Задача на ту же тему, что и пример 6. Вполне возможно на уроке
объединить рассмотрение примера 6 и решение этой задачи. Она не
имеет единственно верного решения и подразумевает обсуждение
ответов учеников: на чем они основывали выставленную четвертную
оценку, как, по их мнению, ставит эту оценку учитель, можно ли
придумать способ автоматической обработки текущих оценок для
выставления итоговой.
20
2.
 Чтобы правильно ответить на вопросы задачи, нужно видеть все
данные, содержащиеся в таблице, а для этого необходимо развернуть ее в
отдельном окне. Не забудьте напомнить об этом учащимся. Могут
вызвать затруднение разные единицы счета (млн. и тыс. человек).
3.
 Так как данные указаны на 1000 человек, то для нахождения
процентной доли указанные значения нужно разделить на 10.
4.
Задание на умение быстро выбрать нужную информацию при ее
избыточности. Необходимые данные для ответов содержатся в таблице с
вопросом №3: «Игра каких команд на чемпионате мира по футболу Вам
понравилась?». Все числовые данные выражены в процентах.
5.
Таблица содержит достаточно много данных, поэтому найти в ней
наибольшие значения вручную не так просто, но вполне возможно. Если
кто-то из школьников уже умеет упорядочивать данные с помощью MS
Excel – пусть поделится этим с товарищами. Через несколько уроков мы
будем изучать возможности MS Excel очень подробно. Для ответа на
последний вопрос нужно заметить, что все числовые данные приведены
из расчета на 10000 человек.
6.
 Ответ ученики дают в сводной форме: письменно в окне программы,
если они выполняют это задание самостоятельно, или устно, в процессе
обсуждения в классе. Если ученик отвечает письменно, то его ответ
нуждается в проверке и оценке учителем. Правильное объяснение
полученного парадокса состоит в том, что в хорошую погоду движение
наиболее интенсивное. А интенсивность движения как раз и является
основным фактором, влияющим на количество ДТП1.
7.
 Задание связано со сбором и анализом реальных статистических
данных, а так как это данные об одноклассниках, то задание должно
показаться интересным для учеников, повысить их заинтересованность в
На этот счет есть знаменитая шутка, принадлежащая замечательному русскому
статистику А.И.Чупрову: чем больше в городе пожарных, тем чаще в нем происходят
пожары.
1
21
полученных результатах. Правильность выполнения задания оценивает
учитель или обсуждается в классе.
8.
Для выполнения задания необходимо использовать Интернет. Задача
состоит в том, чтобы ученик попробовал самостоятельно найти ответ на
сайте. Коллективная панель данных позволяет ученикам сравнить ответы
и обсудить их. Использование Интернет и КПД должны повысить
мотивацию решения данной задачи.
Урок 2. Таблицы.
Основная цель урока состоит в том, чтобы учащиеся на собственной практике
почувствовали, что таблицы являются удобным способом для
упорядочивания и систематизации больших объемов информации.
Основные навыки, которые должен получить здесь ученик, состоят в
следующем:
-
разбираться в структуре таблицы и находить в ней нужную
информацию;
-
самостоятельно структурировать информацию и представлять ее в
виде таблицы;
-
составлять на основе заданной таблицы новые (сводные);
-
использовать таблицы для подсчета
статистических опытов и наблюдений.
результатов
различных
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Для решения задачи нужно проанализировать первую строку таблицы.
Так как Игры = Выигрыши + Ничьи + Поражения, то любой из этих
столбцов можно восстановить, зная остальные. Между забитыми и
пропущенными мячами в данной таблице связи нет.
2.
 Столбец «Изменения, %» показывает, на сколько процентов значение
населения в 2006 г. выросло по сравнению с 2005 г. Эту идею можно
проверить на любом из государств (например, для Китая), а потом
22
применить к России. Если учащиеся уже знакомы с основами работы в
MS Excel, то можно ввести формулу =(C9-D9)/D9*100.
3.
 Таблица небольшая, поэтому ответы можно получить методом
«пристального взгляда» (не забудьте только развернуть таблицу в
отдельном окне, чтобы увидеть все содержащиеся в ней данные). Для
ответа на второй вопрос учащиеся должны заметить, что таблица
упорядочена по столбцу «Дата».
4.
 Задачу вполне можно решить устно: 7:0,5 = 14 млн. кв.км. Главное –
увидеть эти данные в таблице и не забыть о размерности.
5.
Задача довольно быстро решается вручную, поскольку любая
хронологическая таблица (в том числе и наша) упорядочена по
возрастанию дат.
6.
 Пользуясь указанной на диске подсказкой, нужно найти для каждого
региона последнюю строку в таблице с названием этого региона и
воспользоваться значением «№ в регионе» для этой строки.
7.
Последняя строка и столбец являются итоговыми.
8.
Перед решением задачи желательно обсудить с учениками, что значит
«нарастающий итог», как составляются такие таблицы, как по таким
таблицам определить значение признака в интересующий нас момент
времени. Обсуждение этих вопросов и решение этой задачи будет
способствовать лучшему усвоению понятия накопленной частоты в
дальнейшем.
9.
 При решении задачи следует обратить внимание на столбец «ПО» –
по каким дням действует расписание: например, «136» означает, что поезд
ходит по понедельникам, средам и субботам, а «24» - по вторникам и
четвергам. Т.к. 1 января 2008 года - это вторник, то первым поездом будет
084А отправлением в 10:30.
Урок 3. Диаграммы.
Работа с диаграммами обычно вызывает интерес у всех учащихся. К наиболее
популярным их разновидностям относятся кусочно-линейные графики,
23
столбчатые и круговые диаграммы. Реже используются диаграммы
рассеивания. Они оказываются особенно полезными при изучении
статистических зависимостей, к которым мы вернемся в самом конце нашего
курса.
От ученика требуется:
-
уметь читать готовые диаграммы, извлекая из них нужную
информацию;
-
строить по имеющимся
заданного типа;
-
самостоятельно выбирать наиболее подходящий для представления
указанных данных тип диаграммы.
статистическим
данным
диаграммы
Интересно рассмотреть с учащимися дополнительные виды диаграмм,
которые не входят в круг обязательного изучения.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 При ответе на третий вопрос нужно не забыть, что Евразия состоит из
Европы и Азии.
2.
 С учениками стоит обсудить, от чего зависит количество очков в
футбольном чемпионате, за что дают очки и сколько. Ученики должны
прийти к выводу: чем больше выигрышей, тем больше очков; чем
больше проигрышей, тем меньше очков; связь между числом очков и
числом ничьих выражена гораздо слабее.
3.
 (а также 4, 5 и 6) Основная цель заданий – научиться извлекать из
множества диаграмм и графиков те, что содержат необходимые для
решения задачи данные. Задание №6 имеет также воспитательный
характер (о вреде курения). Кроме того, для ее решения потребуется
представление о политической карте Европы: знание местоположения и
границ крупных государств.
24
7.
 Решение оценивает учитель. Прямая получится в том случае, если
между X и Y будет линейная зависимость. Этот результат полезно
обсудить в классе.
8.
Решение оценивает учитель. Задание должно повысить интерес
учащихся к теме, так как основано на дальнейшей обработке собранных
ими ранее реальных данных. От ученика требуется верно составить
сводную таблицу; диаграммы будут изменяться автоматически.
9.
Наблюдение за изменением на диаграмме осуществляется в процессе
внесения данных. Необходимо обсудить получившуюся связь между
ростом и весом человека. Задание оценивает учитель.
Уроки 4-8. Электронные таблицы
Если при изучении математики компьютер может служить хорошим
помощником, то при изучении статистики он просто необходим.
Электронные таблицы (ЭТ) являются самым простым и доступным для
учащихся средством обработки статистических данных. Преимущества
электронных таблиц достаточно полно продемонстрированы в тексте
учебника и цифровой составляющей ИУМК. Все задания на обработку
данных, начиная с этого урока, мы будем выполнять с помощью MS Excel.
Тема является чрезвычайно важной для всей статистической линии учебника.
От степени ее усвоения, особенно от получения практических навыков
работы с MS Excel, во многом зависит успешность работы школьников с
данным пособием в целом.
На тему отводится 3 урока. Если этого окажется недостаточно, то их
количество можно увеличить.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Для решения задачи нужно построить столбец «Продолжительность
сериала», задав формулу для вычисления его значений и размножив ее на
весь столбец: =F2*G2. Далее использовать его для сортировки по
убыванию.
25
2.
Для
ответа
на
оба
вопроса
нужно
построить
столбец
«Продолжительность события»: =B2-A2 и использовать его для
сортировки по убыванию.
3.
Для ответа на первый вопрос нужно отсортировать данные по столбцу
«2005». Для ответов на остальные вопросы нужно построить новый
столбец: «2005» - «1985», затем отсортировать по нему данные и выбрать
регионы с наибольшим и наименьшим значениями. При этом не
учитываются регионы, для которых неизвестны данные на 2005 или на
1985 годы. Имеет смысл обсудить с учениками, почему в некоторых
регионах, в частности в Москве, ситуация так сильно ухудшилась.
4.
 Если в некоторой возрастной группе на 1000 мужчин приходится N
женщин, то доля мужчин в этой группе будет
женщин -
N
.
1000  N
1000
, а доля
1000  N
Остается умножить эти доли на общую
численность группы, и мы найдем количество мужчин и количество
женщин.
5.
Столбец «О» надо заполнить формулой =E2*$M$1+F2*$M$2+G2*$M$3.
После этого отсортировать таблицу по убыванию числа набранных
очков.
6.
 Возраст каждого бегуна может быть найден через разность между двумя
датами (датой результата и датой рождения) по следующей формуле:
=ЦЕЛОЕ((H2-E2)/365).
7.
Для решения нужно суммировать столбец «Территория, кв.км» в одной
таблице, при этом не забыть о требуемой размерности ответа (млн.кв.км,
а не кв.км), и столбец «Площадь, млн.кв.км» в другой таблице. Разность
между полученными числами объясняется тем, что территория
Антарктиды не принадлежит какому-либо государству, а также
погрешностями измерения площадей стран и частей света.
8.
Сложность и простоту задачи можно измерять полученным за нее
средним баллом.
26
9.
 Задача простая. Возможно, решать ее будет интересней, если сначала
предположить, какими должны оказаться ответы, а затем уже решить
задачу и сравнить результаты с предполагаемыми.
10. Построенную диаграмму оценивает учитель. По условию должна быть
построена одна диаграмма (общая для частей света и океанов).
11.  Заполняем столбец A прогрессией с началом -2 и шагом 0,1. Столбец
B заполняем формулой =1/(1+ABS(A1)). Затем с помощью мастера
диаграмм строим по этим двум столбцам график.
12.  Все написано в условии задачи.
13. Реальная зарплата задана в процентах относительно января 1993 г.
Можно обратить внимание учеников на то, что реальная зарплата в
каждом году имеет скачок в росте или даже достигает своего пика в
декабре; обсудить, с чем это связано.
14. Решение оценивает учитель. На получившейся диаграмме будут
прослеживаться три периода: 1993 - 1994 гг., 1995 – сентябрь 1997 гг.,
1997 - 2006 гг. Для каждого периода хорошо видна своя гипотетическая
прямая, около которой группируются точки на диаграмме. Можно
предположить, что в каждый из этих периодов проводилась своя
экономическая политика. Ответ можно обсудить в классе.
15.  Простая задача.
16.  Решение оценивает учитель. Ученики должны обратить внимание, что
на диаграммах «Рим-Варшава» и «Рим-Вашингтон» прямая связь (чем
выше температура в одном городе, тем выше она и в другом), так как все
эти города расположены в северном полушарии, а на диаграмме «РимСантьяго» связь обратная, так как Сантьяго находится в южном
полушарии. Этот ответ может быть получен при обсуждении в классе.
17.  Простая задача.
18.  Решение оценивает учитель. Желательно, чтобы вся информация о
распределении населения была размещена на одной диаграмме и была
27
хорошо читаема. Для этого, например, можно построить
дополнительные столбцы с данными о количестве мужчин и женщин
(см. задачу 4). После этого выбрать в MS Excel тип диаграммы
«Гистограмма с накоплением», которая отражает вклад каждой категории
в общую сумму.
19.  В этой задаче учащиеся впервые сталкиваются с функцией
СУММЕСЛИ(). Она позволяет не только отбирать ячейки из заданного
диапазона по заданному критерию, как это делает функция
СЧЕТЕСЛИ(), но и суммировать при этом соответствующие им ячейки
из другого диапазона. Полученные результаты можно обсудить в классе.
Глава 2. Случайные события и вероятность
Урок 10. Случайный эксперимент и его свойства
Знакомство с вероятностно-статистическим материалом начинается с трех
важнейших понятий, предваряющих определение вероятности: случайный
опыт, случайное событие, элементарный исход.
Авторы [1], [2] начинают знакомство со случайными событиями уже в 5-м
классе, справедливо полагая, что в этом возрасте закладываются основы
вероятностной интуиции, позволяющие впоследствии усвоить формальные
методы вычисления вероятностей. В этот период ученик должен получить
общее представление о случайном событии, научиться выделять среди них
невозможные и достоверные.
На более позднем этапе, в 6-7 классах, появляется понятие случайного
эксперимента, в контексте которого рассматривается любое случайное
событие. Одновременно с этим возникает представление о его возможных
исходах. Первоначальное знакомство с этими понятиями происходит на
нематематическом языке, поэтому главной задачей учителя является
разъяснение их существенных признаков, о которых, в основном, и идет речь
в первом разделе этой темы. В результате знакомства с этими понятиями
ученик должен научиться различать случайные и неслучайные опыты; на
практике ощутить их непредсказуемость; уметь воспроизводить случайные
опыты в ВЛ, как по их точному описанию, так и с помощью абстрактной
урновой схемы (например, заменять пирожки с разной начинкой
разноцветными шарами).
28
Комментарии к задачам практикума:
1.
 (а также 2, 3). Выполняя эти задания, ученик, во-первых, должен
убедиться в непредсказуемости случайного опыта; во-вторых,
почувствовать, что
«степень непредсказуемости» зависит как от
количества возможных исходов (задания 1 и 2), так и от распределения
шансов между ними (задача 3). В задаче 3 ученики, возможно, сами
догадаются, какую сумму очков выгоднее предсказывать. Во всяком
случае, они должны понять, какие суммы вообще возможны в данном
опыте (от 2 до 12).
4.
 Для решения задачи ученики должны провести несколько
экспериментов с данными моделями и на их основе сделать
соответствующий вывод. В опыте без возвращения нельзя вытащить
более 3 красных шаров или более 3 зеленых, а в опыте с возвращением
число шаров одного цвета может быть любым от 0 до 4. Эти схемы
выбора очень важны для дальнейшего.
5.
 При построении модели нужно реализовать случайный выбор 3-х
предметов из 10-ти с возвращением.
6.
 Чтобы наверняка вытащить два носка одного цвета, нужно доставать на
1 носок больше, чем общее количество цветов (принцип Дирихле). Этот
ответ может быть получен в процессе обсуждения в классе или в
результате экспериментов в ВЛ. Для правильного построения модели
нужно реализовать одновременный случайный выбор 3-х из 6-ти.
7.
Диаметр монеты должен быть больше расстояния между линейками. Этот
ответ несложно доказать теоретически и проверить с помощью ВЛ.
8.
 При построении модели нужно реализовать случайный выбор 2-х
цифр из 7-ми (от 0 до 6) с возвращением. После проведения 240 опытов
в ВЛ будет построена столбчатая диаграмма частот. Для такой же
системы исходов нужно построить столбчатую диаграмму в MS Excel по
реальным данным футбольного чемпионата. Расхождения будут очень
заметными, так как выборы любых чисел в ВЛ имеют равные шансы, чего
нельзя сказать о шансах забить любое число мячей в матче. К этому
ответу лучше прийти в ходе коллективного обсуждения в классе.
29
9.
Аналогично №8. При построении модели и диаграмм не нужно
учитывать резус-фактор крови.
10.  В построенной модели в урне должно быть 6 шаров: 3 шара одного
цвета и 3 другого (например, 3 красных и 3 желтых шара). Из нее
вынимают одновременно два шара. Полученные после проведения 1000
опытов диаграммы будут примерно одинаковы.
11. В построенной модели в урне должно быть 2 шара разных цветов
(например, 1 белый и 1 черный). Из нее вынимают 3 шара с
возвращением (белый шар – орел, черный – решка). При правильно
построенной модели диаграммы после 1000 опытов будут примерно
одинаковыми.
Урок 11. Случайные события
На этом уроке происходит первое знакомство с понятием случайного
события – одним из важнейших во всем курсе. Учащиеся должны научиться
выделять среди случайных событий невозможные и достоверные; по
результату эксперимента определять, какие из событий произошли, а какие
нет.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 (а также 2 и 3). Ученик должен распознать, какие из событий
произошли, а какие нет в результате проведенного им одного опыта. При
выполнении этих заданий имеет смысл обсудить с учениками, какие из
перечисленных событий могут происходить одновременно, а какие не
могут, какое из событий происходит всегда, когда не происходит другое,
а какие всегда происходят одновременно. Но уделять много времени этим
вопросам не стоит, они должны подвести учащихся к последующим
темам уроков.
4.
 Задача аналогична №6 из урока 2.1.
5.
 Монета не пересечет три линейки, если ее диаметр будет меньше, чем
удвоенное расстояние между двумя линейками. Если уже решалась задача
№7 из урока 2.1, то имеет смысл обсудить, что общего и что различного
в решении этих задач.
30
6.
 Наиболее простой способ подсчитать ничьи – это найти разность в
счете, а затем с помощью функции СЧЕТЕСЛИ() вычислить количество
нулей в этом столбце.
7.
 При решении важно обратить внимание на размерность (м и см). На
первый и второй вопросы можно ответить с помощью функции
СЧЕТЕСЛИ(). На последние два вопроса можно найти ответ, используя
функции МИН() и МАКС(). Если ввести в ячейку C2 формулу
=МАКС($B$2:B2) и растянуть ее на весь столбец C, то в каждой ячейке
этого столбца мы будем видеть максимальный уровень подъема воды за
все предшествующие годы. Остается посчитать, сколько раз этот
максимум изменялся (этот подсчет тоже можно автоматизировать, если
найти в столбце D разность каждых двух последовательных ячеек столбца
C и затем посчитать количество ненулевых элементов).
8.
Результаты выполнения задания желательно обсудить в классе.
Возможно, кто-то сможет дать правильный ответ и объяснить свое
мнение, не проводя опыта, но в любом случае серию опытов в ВЛ нужно
провести, чтобы убедиться в правильности предположения.
9.
 Программа засчитывает ответ, если все предсказания сбылись, поэтому
скорее всего ученику понадобится несколько попыток. Здесь желательно
обсудить в классе стратегию предсказания, ее может подсказать
предварительный анализ частоты событий в ВЛ. Стоит обратить
внимание учеников на то, что событие В может произойти, только если
произойдут и все остальные события.
10.  Решение аналогично №9, но здесь важно обратить внимание учеников
на то, что события А и В несовместны (не могут произойти
одновременно в одном опыте). То же самое касается событий A и C.
Игра:
Чтобы обыграть компьютер, ученику нужно найти опытным путем
правильную стратегию игры. Для этого нужно предположить, какие вообще
стратегии возможны: выбирать такой же цвет, выбирать другой цвет,
выбирать всегда один и тот же цвет и т.д., а затем проверить результативность
выбранной стратегии на практике.
31
Урок 12. Элементарные исходы
На этом уроке ученики должны понять, что мы будем называть полной
системой исходов опыта и какие исходы можно считать элементарными.
Особое внимание следует уделить обсуждению второго вопроса, поскольку
неверное толкование элементарности выбранных исходов повлечет в
дальнейшем неизбежные ошибки при вычислении вероятностей.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 (а также 2-6). Нужно построить модель точно по приведенному
описанию, а потом просто сосчитать полученные исходы. Чтобы
различать одноцветные шары, их нужно перенумеровать. В №3 нужно
обязательно обсудить с учениками, какие закономерности в количестве
исходов они заметили.
7.
 До этого момента все исходы опыта автоматически перечислял
компьютер – от ученика требовалось только правильно построить
модель. В этой задаче учащимся впервые предлагается перечислить и
посчитать соответствующие исходы самостоятельно, а лабораторию
использовать для самопроверки. Ничего страшного, если при подсчете
будут допущены ошибки. Главное, чтобы они заметили их
самостоятельно.
8.
Задание основано на собранных ранее учениками данных, поэтому
должно быть интересно. Ответы в графе «Осуществилось» оценивает
учитель, поскольку они зависят от конкретного класса. Важно обратить
внимание на то, что возможных дней рождений (число, месяц) 366, а не
365 (не забыть 29 февраля). Осуществившиеся в выборке дни недели
можно найти с помощью функции ДЕНЬНЕД().
9.
Для подсчета общего числа возможных исходов нужно их просто
выписать. Осуществившиеся исходы легче увидеть, если упорядочить
выборку по группе крови. Важно чтобы учащиеся поняли разницу между
числом проведенных опытов и числом осуществившихся в выборке
исходов.
32
10.  Общее число исходов легко найти, если понять, что каждый исход
можно закодировать числом из двух цифр: 00, 01, …, 99 – всего 100
чисел. Результаты приведенных матчей можно тоже представить в виде
таких чисел, построив столбец C по формуле =A2*10+B2. Если
отсортировать по нему таблицу, то несложно посчитать количество
разных чисел даже вручную.
11.  Несмотря на то, что столбики гистограммы для исходов будут
отличаться по высоте, ученики должны понять, что эти отличия, вопервых, незначительные, а во-вторых, постепенно исчезают по мере
увеличения числа опытов. Ответ можно дать без проведения опытов из
соображений симметрии кубика. Эта и следующие задачи служат для
пропедевтики понятий частоты, вероятности, равновозможности,
которые появятся на следующих уроках.
12.  Здесь исход «ЛП» будет происходить явно чаще остальных. При
увеличении числа опытов эта разница исчезать уже не будет. Ответ
можно дать и без проведения опыта: если мы будем различать все
варежки, то для исхода «ЛП» будет заметно больше вариантов. Конечно,
в отличие от №11, сам ответ и его объяснение уже не столь очевидны и
плохо подкреплены жизненным опытом.
13. Решение аналогично №12.
14. Явно чаще остальных будет выбиваться 1 очко. Обоснование этого факта
основывается на геометрическом определении вероятности, с которым
учащиеся будут знакомиться только в 9-м классе. Тем не менее,
интуитивно они должны понять, что частота попадания при случайном
выстреле явно зависит от площади. Остается доказать, что площади
колец возрастают по мере удаления от центра.
Игра:
Ученик путем проведения опытов должен выяснить, каким кубиком выгоднее
играть. Полезно обсудить, можно ли найти «хороший» кубик до начала игры
и как это сделать.
33
Урок 13. Случайные события и множества
Принципиальным моментом этого раздела является переход от словесного
описания событий и экспериментов к теоретико-множественному.
Включение элементарных понятий из теории множеств в обязательный
минимум школьного образования делают такой переход не только
возможным, но и крайне полезным как для самой теории вероятностей, так и
для дальнейшего закрепления основных теоретико-множественных понятий и
операций. На этом этапе ученики должны уметь:
-
перечислять все возможные (в случае их большого количества некоторые) исходы опыта, используя для этого их естественные
обозначения;
-
строить по словесному описанию события соответствующее
множество благоприятных исходов;
-
переходить от события, представленного в виде множества исходов,
к его словесному описанию (понимая, что такой переход
неоднозначен).
Комментарии к задачам практикума:
1.
 (и 2) Простейшие задачи по теме. Требуется построить события по
словесному описанию, выбрав из всех возможных исходов опыта
благоприятные для заданных событий. На этих задачах ученикам нужно
освоиться с новыми методами работы в ВЛ. При решении задачи 2
полезно обсудить с учениками взаимное расположение указанных
событий.
3.
 Чтобы правильно выполнить задание можно предложить следующий
ход рассуждений: есть ли общие исходы у этих событий (да), какие («3»);
пересекаются ли заданные события (да, пересекаем их на диаграмме и
размещаем «3» на пересечении); в каких еще случаях происходит событие
А, в каких - событие В (размещаем эти исходы на диаграмме).
4.
 Решение можно построить аналогично №3.
34
5.
 Задача, обратная к предыдущим. Так как предложены варианты
словесных описаний, задачу можно считать простой.
6.
(а также 7, 8). Задачи на построение событий по словесному описанию.
Они сложнее предыдущих, так как заданные опыты имеют значительно
больше возможных исходов, некоторые описания событий могут быть не
сразу верно поняты (поэтому их стоит сначала обсудить,
«расшифровать»), сложнее определить, подходит ли каждый конкретный
исход для заданного события. Например, решая №7, ученик должен
обратить внимание, что левые перчатки обозначены нечетными числами,
а правые четными, и использовать это при выборе нужных исходов;
понять, что событие С={перчатки на одну руку} означает: выбраны или
две левые или две правые перчатки.
9.
 Задача на взаимное расположение событий, а также на распознавание
противоположного события и изображение его на диаграмме Эйлера. Не
забудьте, что для закраски события на диаграмме нужно включить режим
«Закрасить».
10. Задача аналогична №№ 6 - 8. При решении нужно обратить внимание на
то, что все пары ботинок по условию разные (имеют разный размер),
хотя и изображены в ВЛ одинаковыми. Поэтому, например, выбор
ботинок 125 содержит пару 12, а выбор 145 не содержит парных ботинок.
11. При решении задачи имеет смысл обсудить взаимное расположение
перечисленных событий - это может облегчить вычисление числа
благоприятных для них исходов. Все 100 исходов разделятся на три
непересекающиеся события А, В и С, причем исходов у события В будет
столько же, сколько и у события С (в силу симметрии). Разумеется,
модель случайного выбора 2-х чисел из 10-ти здесь явно не подходит.
Хотя множество исходов в указанной модели то же самое, что и для
футбольного матча, распределение частот будет совсем другим: ясно, что
0:0 будет встречаться неизмеримо чаще, чем 9:9.
12.  Задача на распознавание события по его изображению на диаграмме
Эйлера.
35
13.  Задача на взаимное расположение событий на диаграмме Эйлера,
более сложная по сравнению с №9.
Игра:
Пробуя разные варианты, ученик должен прийти к выводу, что преимущество
в игре всегда у того, кто делает выбор вторым, что если зеленый кубик лучше
синего, а красный лучше зеленого, то отсюда еще не следует, что красный
кубик лучше синего. Это неожиданный вывод, который может служить
хорошей мотивацией для изучения дальнейшего материала. Интересно
провести исследование, как второму игроку правильно выбрать себе кубик из
оставшихся.
Уроки 14-15. Частота
Принципиальным новшеством, отличающим методическую систему авторов
[1], [2] от предшествующих попыток ввести элементы теории вероятностей в
общеобразовательной школе, было главенство частотного подхода к
определению вероятности (см. комментарий к следующему уроку). Сегодня с
таким подходом согласно большинство авторов, пишущих для школы.
Такое введение вероятности требует достаточно подробного знакомства
учащихся с понятиями абсолютной и относительной частоты, изучения
статистического материала, предоставленного как в готовом виде, так и
полученного самостоятельно. Наблюдение за реальной стабилизацией
относительных частот играет, на наш взгляд, не менее важную роль в
развитии вероятностного мышления и интуиции, чем получение
комбинаторных навыков.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Задача нуждается в обязательном обсуждении. Анализируя результаты
на КПД, ученики должны обратить внимание, что в графе «самый частый
исход» записаны разные исходы (может быть, даже все возможные
исходы опыта), а их абсолютные и относительные частоты получились у
всех очень близкими. Отсюда можно сделать вывод, что все эти исходы
происходят одинаково часто, имеют равные шансы произойти.
36
2.
 Ответы на первый и второй вопросы оценивает учитель (они будут у
всех разными). Ответы на третий и четвертый оценивает компьютер.
Нужно обсудить с учащимися, почему они должны получиться у всех
одинаковыми.
3.
 Решение оценивает учитель. Теперь на КПД самым частым исходом у
всех будет 7 с примерно равными частотами. Обсудите с учащимися,
почему здесь ситуация отличается от задачи 1?
4.
 Решение оценивает учитель. На КПД самым частым исходом у всех
(или почти у всех) будет 6 с примерно равными частотами, а самым
редким - исход 1.
5.
 При построении модели нужно перенумеровать мальчиков и девочек –
иначе невозможно будет построить событие C.
6.
 В первой таблице нужно найти общее количество ничьих (столбец
«Н») и общее количество матчей (столбец «И»). Вообще говоря, сумма в
этих столбцах дает удвоенный результат (каждый матч и ничья считается
дважды), но это все равно не даст ошибки при вычислении
относительной частоты. Во второй и третьей таблицах нужно найти
разность в счете каждого матча и воспользоваться функцией
СЧЕТЕСЛИ() (критерий: разность в счете равна нулю). Частоты ничьих
по футболу получатся близкие, а по хоккею частота будет заметно
отличаться. Этот факт устойчивости частот полезно обсудить для
дальнейшего.
7.
Абсолютные частоты можно посчитать с помощью СЧЕТЕСЛИ(). Для
своего класса решение оценивает учитель,.
8.
Нужно найти разность между имеющимся весом и идеальным с
помощью MS Excel и посчитать, сколько раз произошло каждое событие
(здесь это можно сделать даже вручную). Для своего класса решение
оценивает учитель.
9.
 Задание оценивает учитель. Самый частый исход у всех будет 3, а
самый редкий - 0 или 6. Это можно обсудить. Чтобы понять причину
такой закономерности, попросите учащихся изменить условия опыта –
37
поставить опцию «Различать все монеты». Для 0 и 6 по-прежнему
осталось по одному благоприятному исходу, а для 3 их стало 20.
10. До проведения опыта учащиеся должны самостоятельно задать в ВЛ
нужные события через множество благоприятных исходов, а затем по
графику вероятности приблизительно определить их частоту. Частоты на
КПД будут у соответствующих событий примерно одинаковыми. Чаще
всего будет выниматься 1 красный шар, реже всего – 3. Интересно еще до
проведения опыта попросить школьников высказать свои гипотезы на
этот счет, проверив их интуицию.
11.  Коды для букв идут в конце списка (без учета букв «Ё» и «ё»),
последние 32 кода с большими значениями частот соответствуют
маленьким буквам, а идущие перед ними 32 кода с частотами поменьше –
большим буквам (ведь большие буквы встречаются в обычном тексте
гораздо реже маленьких).
Уроки 16-17. Вероятность
Определение вероятности на основе частотного подхода является
принципиально важным моментом в концепции всего данного курса.
Остальные определения (классическое, геометрическое) становятся в этом
случае уже не определениями как таковыми, а лишь способами вычисления
вероятности в определенных типах случайных экспериментов.
Для школьного курса такой подход нам кажется наиболее правильным с
методической и даже методологической точек зрения. Вероятность выступает
как универсальная количественная мера возможности осуществления
случайных событий, а все частные формулы для ее подсчета служат лишь для
вычисления этой меры в определенном круге ситуаций.
Разумеется, у этого подхода есть свои сложности, главная из которых –
невозможность точно вычислить вероятность «по определению». Для оценки
полученной точности можно пользоваться изложенным в учебнике
правилом: ошибка обратно пропорциональна квадратному корню из числа
проведенных опытов.
Обязательно обратите внимание учащихся на фундаментальные свойства
вероятности, перечисленные в учебнике.
38
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Ученику нужно построить события А, В и С в ВЛ «Классическая
вероятность». Для требуемой точности оценки вероятности нужно
провести около 2500 опытов (поскольку ошибка обратно
пропорциональна
N , то N  1 2  1  2500 ). Значение
0,02
0,004
вероятности можно оценить по графику для частоты событий или
вычислить, используя относительные частоты исходов опыта.
2.
 Ученику потребуется смоделировать опыт, причем не с пирожками, а с
шарами или другими предметами трех разных видов («с повидлом,
яблоками и капустой»). Нумеровать предметы не нужно – тогда легче
будет построить искомое событие. Для оценки вероятности достаточно
провести около 2500 опытов.
3.
 Моделировать опыт можно разными способами. Если взять двух
мальчиков и двух девочек, то их нужно будет перенумеровать, т.к. иначе
мы не построим события A и D. Можно вместо мальчиков и девочек
взять со «склада» буквы А, К, Н, О. Для оценки вероятности достаточно
провести около 2500 опытов.
4.
 В этой задаче несколько сложнее задать сами события (труднее увидеть
благоприятные исходы). Важно, чтобы при построении событий ученики
поняли, почему для события C нет благоприятных исходов. Для оценки
вероятности с точностью до 0,01 необходимо провести около 10000
опытов.
5.
С помощью функции СЧЕТЕСЛИ() нужно найти сначала абсолютную
частоту события {Уровень воды поднялся выше 9 м = 900 см}, а затем
его относительную частоту. При задании условия не забыть о выборе
размерности (см).
6.
 В каждом тираже была своя относительная частота выигрыша, но все
они колеблются около какого-то числа. Чтобы найти это число, можно
заменить все полученные серии опытов на одну большую серию:
посчитать с помощью функции СУММ() число проданных билетов и
39
число выигравших за весь период, а затем найти относительную частоту
выигрыша.
7.
 Вероятность оценивается через относительную частоту события
{Продано меньше 540 билетов}. На второй вопрос ученик дает
письменный ответ в свободной форме или вопрос обсуждается в классе.
В ответе должно быть отражено, что в праздничные и предпраздничные
дни спрос на билеты может заметно измениться, поэтому эти данные для
оценки вероятности заданного события использовать нельзя.
8.
 С помощью функции СЧЕТЕСЛИ() нужно найти относительную
частоту события {Интервал между звонками больше 30 с}.
9.
Конечно, можно было бы дать ответ, не проводя опыта: ведь интуитивно
многим учащимся понятно, что монета с равными шансами упадет на
любую из своих сторон, а значит в опыте с 4 монетами, в котором 16
равновозможных исходов (все они перечислены в лаборатории), каждый
из них имеет столько же шансов, сколько и любой другой. Поэтому
сумма относительных частот приблизительно поровну разделится между
всеми 16 исходами. Этот вопрос, как подготовку к следующей главе,
имеет смысл коротко обсудить в классе.
10.  (и 11) Любое из предложенных значений вероятности можно
проверить в ВЛ, задав уровень вероятности на вкладке события. Если в
классе обсуждалась задача №9, то, возможно, ответ получится дать и без
проведения опыта. В этом случае его необходимо подтвердить в ВЛ.
12. Здесь ученику нужно сначала экспериментально выяснить в ВЛ, какие
именно исходы опыта происходят чаще, а какие реже других, а затем
построить события, состоящие из этих исходов.
13. Ученик должен провести серии опытов с тремя разными моделями
выбора: одновременный, выбор с возвращением и без возвращения.
Выбор нужной модели происходит по кнопке «Изменить условия опыта».
14.  Так как 6 максимальное число на кубике, то после экспорта данных в
MS Excel можно построить столбец с помощью функции МАКС(), в
котором для каждого опыта будет записано наибольшее число из
40
выпавших на кубике. Затем с помощью СЧЕТЕСЛИ подсчитать, сколько
раз шестерка встречалась в
построенном столбце и найти
относительную частоту этого события. Для получения нужно точности
достаточно провести около 2500 опытов.
Глава 3. Опыты с равновозможными исходами
Уроки 19-20. Равновозможность исходов
В этой главе мы начинаем систематическое рассмотрение «математических»
методов вычисления вероятности случайных событий. Так называемая
формула Лапласа
P( A) 
m
, является исторически первым точным
n
способом априорного (независимого от опыта) вычисления вероятности.
К сожалению, авторы многих учебников, приводя эту формулу, забывают
лишний раз напомнить об условиях ее применимости: опыт должен иметь
конечное число равновозможных исходов. Непонимание этого условия
может стать основным источником ошибок при решении задач на
вычисление вероятности.
Именно поэтому мы считаем необходимым посвятить понятию
равновозможности отдельный урок. Очень полезно рассмотреть здесь
примеры, в которых исходы опыта либо неравновозможны по свой сути
(кнопка, пуговица, кубик со смещенным центром тяжести и т.д.), либо в
качестве исходов ошибочно рассматриваются неравновозможные события.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Отвечая на вопрос о равновозможности исходов, ученики должны
попытаться сначала высказать и попытаться обосновать свое мнение, а
уже затем сделать экспериментальную проверку. Приведенные исходы
нельзя считать элементарными. Подсказка этого ответа содержится в
условии задачи: мы не различаем внешне одинаковые предметы,
участвующие в эксперименте, а значит, исходы можно описать более
детально, введя эти различия. Число элементарных исходов можно найти
с помощью ВЛ, изменив условия опыта («Различать все предметы»).
Решая эту и следующую задачи, нужно обсудить, почему приведенные в
41
условии исходы неравновозможны: каждый из них распадается на разное
количество элементарных исходов.
2.
 Аналогично №1.
3.
 Решение аналогично №1 и №2, но здесь из опыта видно, что в
предложенной системе неэлементарных исходов
они будут
равновозможными. Необходимо обсудить, почему здесь это так: теперь
на каждый неэлементарный исход приходится одинаковое число
равновозможных элементарных исходов.
4.
 Аналогично №№ 1 и 2.
5.
 (а также 6 и 7). Как и в предыдущих задачах, нужно прийти к ответу с
помощью рассуждений, а затем проверить его экспериментально.
Опыты, описанные в задачах №6 и №7, ученики уже ставили и
обрабатывали их результаты на уроках главы 2. Будет хорошо, если они
вспомнят, что тогда у них получалось.
8.
 В лаборатории построена модель жеребьевки и заданы события –
результаты жребия. Экспериментально можно получить правильный
ответ (правда, нужно будет провести довольно длинную серию опытов –
шансы игроков отличаются всего на 0,04). Важно обсудить в классе очень
красивое теоретическое обоснование этого факта: опыт имеет 25
равновозможных элементарных исходов – их невозможно разделить
поровну между игроками! Более тщательное рассмотрение показывает,
что 12 исходов благоприятны для первого игрока и 13 – для второго.
9.
 Моделью жеребьевки может служить выбор трех шаров без
возвращения из двух белых и одного черного. Черный шар моет посуду.
Шансы всех сестер одинаковые.
10. Модель этой жеребьевки построить уже непросто даже с помощью ВЛ.
Дело в том, что у этого эксперимента бесконечное (счетное) число
исходов: орел может впервые выпасть на первом шаге, на втором, на
третьем и т.д. Есть два выхода из этой ситуации. Первый: построить
приближенную модель из конечного числа бросаний (например,
бросаем не более 10 раз – если орел так и не выпал, оставляем посуду
42
немытой...). Второй: проводим длинную серию из бросаний одной
монеты, а затем «режем» ее на кусочки, каждый из которых завершается
выпадением орла; полученные результаты обрабатываем в MS Excel. В
любом случае учащиеся быстро заметят, что жребий несправедливый:
шансы участников относятся как 1:2:4.
11. Если правильно построить модель и провести достаточное количество
опытов, то можно заметить, что вероятность попасть в разные команды
выше (если быть точным, то шансы играть в одной команде и в разных
относятся как 3:4). Результаты проведенных экспериментов удобнее
обработать в MS Excel.
12. Жеребьевку можно свести к опыту с восемью монетами (даже если
распределение игроков по командам произошло раньше восьми
бросаний, никто не мешает бросить монету все восемь раз). Сложнее
придумать, как их обработать, используя MS Excel. В вопросе с
очередностью бросаний интересно рассмотреть три крайних случая:
Витя и Митя в очереди бросаний первый и второй, первый и последний,
предпоследний и последний. В первом случае совершенно очевидно, что
вероятность попасть в разные команды и в одну команду одинаковые (обе
по 1/2); во втором случае это уже не столь очевидно (хотя и верно); а в
третьем случае это не так: попасть в одну команду гораздо вероятнее, чем
в разные (соответствующие вероятности равны 11/16 и 5/16). Все эти
результаты можно подтвердить экспериментально.
Уроки 21-24. Классическое определение вероятности
В качестве испытанного на практике рабочего «инструмента» для решения
задач на классическое определение вероятности можем предложить
следующую общую схему:
1)
Описание всех возможных исходов
перечисление (полное или частичное).
2)
Обоснование равновозможности перечисленных исходов (здесь можно
опираться на симметрию самого объекта, участвующего в опыте;
использовать прямые указания в тексте задачи: «случайно», «наугад», «не
глядя» и т.д.).
43
опыта,
их
кодирование
и
3)
Подсчет общего числа исходов опыта n (на первом этапе – прямой
подсчет; позже – использование комбинаторных правил и формул).
4)
Описание благоприятных для события A исходов, их перечисление
(полное или частичное). Если все исходы уже были выписаны, то можно
просто отметить среди них благоприятные для A.
5)
Подсчет числа
6)
Вычисление вероятности по формуле P ( A) 
7)
Проверка и интерпретация полученного результата.
m благоприятных для события A исходов.
m
.
n
Обратите внимание, что первые три пункта касаются только случайного
эксперимента и никак не связаны со случайным событием A.
Нуждается в комментариях последний седьмой пункт приведенной схемы.
Получив ответ, необходимо обсудить с учениками его реальный смысл,
привести частотную интерпретацию. Полезно выяснить, совпадает ли
полученная величина с интуитивным представлением учеников о
вероятности; удовлетворяет ли ее основным свойствам и т.д. Использование
на уроках инструментария ВЛ позволяет организовать самостоятельную
проверку полученных результатов через проведение виртуального
эксперимента и сравнение вычисленной вероятности с полученной в опыте
частотой. Такая проверка важна как с содержательной, так и с методической
точки зрения: закрепляя понятие о вероятности как предельном значении
частоты с одной стороны, она создает дополнительную мотивацию для
изучения методов ее расчета с другой.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Простая задача. Проверка ответа в лаборатории не составляет труда.
2.
Для ответа на третий вопрос используется новая лаборатория
«Статистический анализ текста». Ответом будет частота гласных букв в
стихотворении «Парус». При подсчете букв нужно убрать опцию
«Различать строчные/прописные».
44
3.
 В первой ситуации моделью может служить случайный выбор одного
шара из 10-ти синих (мальчики) и 20-ти красных (девочки). Во второй
нужно рассмотреть две разные модели – случайный выбор одного из 10ти мальчиков (7 знают урок и 3 не знают) и случайный выбор одной из
20-ти девочек (15 знают и 5 нет). Для ответа на вопрос нужно сравнить
полученные в этих моделях вероятности. В третьей ситуации опыт
представляет собой случайный выбор пяти шаров из 29-ти черных и
одного белого (Федя). Если белый шар окажется среди пяти вынутых,
Федя идет к доске. Чтобы избежать сложной комбинаторики, с которой
учащиеся еще не знакомы, можно пойти на маленькую хитрость, изменив
условия эксперимента. Будем считать, что учитель положил в урну 25
белых шаров и 5 черных и предлагает ученикам тянуть жребий. Те, кто
вытащат черные шары, будут отвечать. С какой вероятностью Феде
достанется черный шар? В этом случае годится модель «выбор одного
шара из 25-ти белых и 5-ти черных».
4.
 Построение моделей в первых двух ситуациях не представляет труда
(два кубика и одновременный выбор двух чисел от 0 до 6). Интересно,
что третья ситуация не сводится ко второй: выбор «доминошки» нельзя
смоделировать с помощью случайного выбора двух чисел от 0 до 6 ни
одновременно, ни с возвращением, ни без. Обязательно обсудите эту
ситуацию с учащимися.
5.
 Для вычисления вероятностей все 36 исходов опыта удобно записать в
виде прямоугольной таблицы. После этого легко будет увидеть, в каких
клетках таблицы максимум равен 1, 2, 3 и т.д.
6.
 Все восемь возможных исходов этого опыта можно увидеть в
лаборатории (считая, например, что орел – мальчик, решка – девочка).
7.
 Условиям опыта больше соответствует вторая модель, в которой 8
шаров распадаются на 4 одноцветные пары (как и ботинки в исходном
опыте).
8.
 Для ответа на последний вопрос можно рассуждать так: случайно
N  1 предметами N предметов все равно, что
случайно выбрать один, который останется. Выбор N предметов
вытащить из корзины с
45
сводится к выбору одного, а условие «будут выбраны все яблоки»
равносильно «останется груша».
9.
 Перед решением задачи еще раз обратите внимание учеников: для
использования формулы классической вероятности исходы опыта нужно
выбрать так, чтобы они были равновозможны.
10.  Для решения задачи нужно предположить, что в урне n белых шаров
и выразить соответствующую вероятность через n . Затем приравнять эту
вероятность к 1/15 и найти n .
11.  Модель поможет учащимся увидеть все исходы опыта и найти среди
них благоприятные для каждого из указанных в задаче событий.
12.  При подсчете вероятностей напомните учащимся, что опыт имеет 16
элементарных равновозможных исходов независимо от того, что
написано на карточках.
13. Для получения правильного ответа в двух последних пунктах помните,
что 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Игры:
Два кубика. Учащиеся вполне готовы к тому, чтобы принять перед началом
игры оптимальное решение. Достаточно выписать все 36 возможных
элементарных исходов одной партии и найти, сколько из них благоприятны
для каждого кубика (15 для красного и 21 для синего).
Три кубика. Интригой игры является известный со времен французского
философа Ж.Кондорсье парадокс нетранзитивности: синий кубик лучше
красного, зеленый лучше синего, а красный лучше зеленого. Все три
утверждения несложно доказать простым перечислением благоприятных
исходов для каждой пары кубиков (см. предыдущую игру). Таким образом, в
этой игре невыгодным оказывается право первого выбора – второй игрок
всегда может выбрать ответ, который приводит к поражению противника.
46
Глава 4. Случайная выборка
Уроки 26-27. Генеральная совокупность и случайная выборка
Выборочный метод лежит в основе всех статистических исследований.
Подробное обсуждение вопросов, связанных с понятием репрезентативности
случайной выборки выходит далеко за рамки школьного курса, однако мы
считаем, что хотя бы обозначить одну из важнейших проблем всех реальных
исследований необходимо уже на этом этапе.
В дальнейшем мы будем всегда иметь дело с выборкой, представленной в
виде одного или нескольких числовых рядов. Чаще всего эти данные будут
задаваться в виде электронной таблицы, полученной из реальных источников
(официальных статистических отчетов, переписей и опросов), или
формироваться учащимися самостоятельно в результате проведенной серии
экспериментов, самостоятельного опроса, исследования.
Анализ результатов, полученных в выборке, чаще всего начинается с их
ранжирования, поэтому на этом уроке мы еще раз возвращаемся к
инструментам MS Excel для сортировки данных.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 В первом задании практикума учащиеся самостоятельно получают три
случайных выборки, проведя серии экспериментов в ВЛ, и экспортируют
их результаты в MS Excel. Ответить на поставленные вопросы не
составит труда, если вычислить для каждой выборки соответствующие
суммы очков и упорядочить по ним каждую выборку. При обсуждении
результатов
учащиеся
должны
увидеть,
что
статистические
закономерности начинают проявляться только при увеличении объема
выборки (одинаковые результаты получатся только для выборки из 1000
опытов).
2.
 Результаты, полученные в задаче, должны быть обсуждены. Вопрос о
репрезентативности не имеет однозначного ответа. Можно ли считать
генеральной совокупностью всех учеников вашей школы? Всех учеников
из данной параллели? Интересно сравнить результаты для разных
классов.
47
3.
Учащиеся должны сами предложить, по каким свойствам выборки можно
определить, из какой генеральной совокупности она получена. Для этого
нужно вспомнить, что им известно о перечисленных в условии задачи
видах спорта.
4.
 Простое упражнение на ранжирование данных.
5.
 Для решения задачи нужно построить ряд, элементы которого равны
абсолютной разнице в счете: =ABS(D2-E2), и ранжировать по нему
выборку.
6.
 Простое упражнение на ранжирование данных.
7.
 Задача представляет интерес, поскольку в ней обрабатываются данные,
связанные с самими учащимися.
Уроки 28-29. Таблица частот и полигон
Составление таблицы частот полезно начать с ручного подсчета для
небольших по объему выборок. При этом вручную считаются только
абсолютные частоты, а относительные и накопленные вычисляются по
формулам (пример 1). Обратите особое внимание на формулу для подсчета
относительных частот, в которой ссылка на ячейку с общим объемом
выборки (суммой абсолютных частот) должна быть обязательно абсолютной!
После этого можно переходить к большим выборкам, в которых для подсчета
абсолютных частот используется функция СЧЕТЕСЛИ() (пример 2). При
этом ссылка на диапазон подсчета должна быть абсолютной (он одинаковый
для всех значений таблицы), а ссылка на критерий – относительной (для
каждого значения своя ячейка).
На этих же уроках учащиеся должны познакомиться с новой ВЛ – «Анализ
случайной выборки». Лаборатория служит некоторым заменителем MS Excel
и во многих случаях упрощает работу по составлению таблицы частот и
построению полигона, поскольку делает это автоматически. Единственное,
что должны освоить школьники, - передавать данные в ВЛ через буфер
обмена (или вводить их вручную).
48
Заканчивается тема рассмотрением полигона частот. Учащиеся уже знакомы с
ним по ВЛ «Анализ случайной выборки». Остается научиться строить его с
помощью MS Excel.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Это задание можно сделать вручную, проводя все подсчеты в уме.
Хотя, возможно, некоторые учащиеся предпочтут использовать MS Excel.
2.
 Здесь лучше использовать возможности MS Excel. Подсчет
абсолютных частот удобнее провести вручную, предварительно
ранжировав исходные данные.
3.
 В этой задаче для подсчета абсолютных частот лучше использовать
функцию СЧЕТЕСЛИ(), поскольку ряд содержит слишком большой
объем чисел. Для оценки вероятности нужно взять сумму
соответствующих относительных частот или накопленную частоту.
4.
 Первое упражнение на освоение возможностей новой лаборатории.
От учащихся требуется провести эксперимент, экспортировать данные в
MS Excel и построить по ним заданный ряд (сумма очков), а затем
перенести его через буфер обмена в ВЛ «Анализ случайной выборки».
Таблица частот и полигон будут построены автоматически. Можно
попросить учащихся проверить полученную таблицу с помощью MS
Excel. Для оценки вероятности следует взять соответствующую
относительную частоту.
5.
 Перед построением таблицы частот нужно дополнить исходную
таблицу столбцом, содержащим номер месяца. Для его вычисления
следует вычислить функцию МЕСЯЦ() от столбца Date.
6.
Все ответы легко увидеть на полигоне частот. Объяснение следует из
количества возможных разложений каждого из приведенных чисел в
произведение двух сомножителей от 1 до 6.
7.
 Чтобы оценить вероятность, нужно сложить относительные частоты
для 0, 1 и 2 угаданных номеров.
49
8.
 Для каждого из трех чемпионатов нужно построить ряд, равный
разности в счете. Затем скопировать эти три ряда в ВЛ «Случайная
выборка» через буфер обмена и найти ответ.
9.
 Абсолютную частоту каждой группы крови можно найти с помощью
функции СЧЕТЕСЛИ(). Затем по абсолютным частотам найти
относительные. Ответы к задаче получаются умножением относительных
частот на 1000.
10.  Задача представляет интерес, поскольку в ней обрабатываются данные,
связанные с самими учащимися.
Уроки 30-31. Группировка данных и гистограмма
Необходимость в группировке данных учащиеся должны почувствовать сами
– для этого урок начинается с рассмотрения примера 1. Хорошо, если они
самостоятельно сформулируют причину, по которой таблица частот для веса
портфелей получилась такой неудачной (все или почти все значения в
выборке оказались различными).
На вопрос, когда следует группировать данные, не всегда можно ответить
однозначно: зачастую грань между непрерывным и дискретным признаками
достаточно условна. То же самое касается и количества интервалов, на
которые нужно разбивать диапазон изменения признака.
Технические трудности на этом уроке снова связаны с подсчетом абсолютных
частот в заданный интервал. Их можно преодолеть двумя способами:
применить уже знакомую учащимся функцию СЧЕТЕСЛИ() для подсчета
накопленных абсолютных частот, а затем вычислить по ним абсолютные
частоты (пример 2); использовать новый инструмент MS Excel – пакет
анализа данных (пример 3). Обратите внимание, что в первом случае
придется использовать довольно хитрый способ для того, чтобы задать
критерий подсчета в функции СЧЕТЕСЛИ(): склеивать с помощью
операции “&” знак “<=” и содержимое соответствующей ячейки.
Использование пакета анализа в этом отношении выглядит проще (если
только он вообще был установлен при инсталляции MS Office на ваш
компьютер).
50
ВЛ «Анализ случайной выборки», как и в случае с обычной таблицей частот,
позволяет обойти все перечисленные трудности и, кроме того, дает очень
удобную возможность интерактивно менять количество интервалов для
группировки, наблюдая при этом за изменением таблицы частот и
гистограммы.
Заканчивается материал урока объяснением того, как строить гистограммы
распределения частот с помощью MS Excel.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Задание можно выполнить вручную, проведя все расчеты в уме.
Предварительно можно ранжировать предложенный ряд данных. Еще
раз обратите внимание учащихся на то, что в учебнике мы договорились
рассматривать
все
промежутки
в
виде
полуинтервалов
[ a; b) .
Исключение составляет последний промежуток, включающий оба конца.
2.
 Абсолютные частоты попадания в указанные интервалы проще
посчитать вручную, предварительно ранжировав данный в задаче ряд.
Для вычисления относительных частот лучше использовать возможности
MS Excel.
3.
 В этом задании без функции СЧЕТСЛИ() (или пакета анализа) уже не
обойтись.
4.
Задание используется для пропедевтики понятия геометрической
вероятности (вероятность попадания случайной точки в заданную
область пропорциональна ее площади), которое появится только в 9-м
классе. Нам кажется, что учащиеся вполне способны дать следующее
объяснение: интервалам равной длины на гистограмме соответствуют
кольца равной толщины в мишени; площади этих колец возрастают по
мере удаления от центра, поэтому возрастает и частота попадания.
5.
 Для ответов на поставленные вопросы понадобятся два числовых ряда:
год авиакатастрофы (функция ГОД() от столбца Date) и количество
жертв (столбец Fatalities). Эти ряды следует вставить через буфер обмена
51
в ВЛ «Анализ случайной выборки», а затем экспериментально подобрать
нужное количество интервалов для группировки.
6.
 Данные нужно сгруппировать по столбцу «Минута матча» в интервалы
по 5 минут и построить соответствующую таблицу частот с помощью
функции СЧЕТЕСЛИ() или пакета анализа данных.
7.
 Данные из столбца «Начало» нужно вставить через буфер обмена в ВЛ
«Анализ случайной выборки» и экспериментально подобрать нужное
количество интервалов для группировки.
8.
 Необходимо произвести группировку данных в указанные интервалы
(функция СЧЕТЕСЛИ() или пакет анализа данных), а затем найти для
них относительные и накопленные частоты.
9.
Для иллюстрации ответа данные из столбцов «Класс» и «Итого»
переносятся через буфер обмена в ВЛ «Анализ случайной выборки».
Полученные в ней полигон (столбец «Классы») и гистограмму (столбец
«Итого») должен проверить учитель.
10.  Выбор формы представления во многом будет зависеть от точности, с
которой будут введены данные, от их количества и величины разброса.
Глава 5. Числовые характеристики выборки
Уроки 33-34. Характеристики среднего
Основная задача этой главы – показать учащимся, каким образом можно
свести большой набор статистических данных к нескольким числовым
характеристикам, характеризующим весь набор в целом. При этом следует
обязательно обратить внимание и на возможные ошибки и нелепые выводы,
связанные с неполнотой информации, заключающейся в этих
характеристиках.
Среднее арифметическое уже знакомо учащимся из курса математики,
поэтому его рассмотрение не должно вызывать трудностей. При введении
моды нужно обратить внимание на то, что она не всегда существует и что ее
можно находить также для нечисловых данных. Определение медианы, не
52
смотря на свою простоту, часто вызывает типичную ошибку: перед ее
вычислением учащиеся забывают ранжировать заданный статистический ряд.
Самый сложный вопрос – какая из трех характеристик лучше отражает
поведение ряда в целом. В учебнике приведены примеры, в которых среднее,
мода или медиана не имеют никакого содержательного смысла, хотя и могут
быть вычислены. Хорошо, если учащиеся дополнят этот ряд примеров
своими.
На этом уроке учащиеся знакомятся с тремя новыми функциями MS Excel:
СРЗНАЧ(), МОДА(), МЕДИАНА(). Хорошо, если в рассмотренных на диске
примерах они проверят работу этих функций прямым вычислением
соответствующих величин.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Обратите внимание учащихся, что в этой задаче мода – наиболее
неудачная характеристика выборки.
2.
Из трех вычисленных характеристик, пожалуй, мода наиболее
информативна (при условии большого объема данных). Она показывает
наиболее «опасный» для взятия ворот период матча.
3.
 Обратите внимание учащихся, что MS Excel корректно работает с
данными, заданными в формате «дата-время». Это связано с тем, что
моменты времени хранятся в памяти, как обычные вещественные числа
(например, 02:08 как 0,00148), что позволяет применять к ним функцию
СРЗНАЧ(). Если эту задачу решать вручную, то придется переводить все
моменты в минуты, а потом обратно в часы.
4.
 Ответ можно вводить с точностью до часа. Чтобы объяснить столь
большую разницу в средних, нужно вспомнить географию: в каком
направлении от Москвы идут поезда с указанных трех вокзалов.
5.
 В этой задаче есть, над чем подумать. Во-первых, здесь не получится
найти отдельно моду в каждом из двух столбцов (пусть учащиеся
объяснят, почему). Во-вторых, говоря о самом популярном сете, не нужно
учитывать порядок чисел – 1:0 и 0:1 это один и тот же счет. Исходные
53
данные нуждаются в «перекодировке». Один из возможных вариантов
указан в подсказке, но для нее еще нужно придумать формулу:
=МАКС(A1:B1)*10+МИН(A1:B1).
6.
Хорошо, если в классе есть знатоки спорта, которые объяснят
полученные отличия.
7.
 На этой задаче можно задержаться - здесь есть что обсудить! Нужно
попросить учащихся еще до проведения эксперимента предсказать
предполагаемые результаты, вспомнив для этого классическое
определение вероятности. Правильное предсказание (в идеале) должно
быть таким:
Первый кубик
Второй кубик
Сумма
Максимум
Ср.знач.
3,5
3,5
7
4,47
Мода
не знаю
не знаю
7
6
Медиана
3,5
3,5
7
7
Если предсказание не получится – пусть учащиеся попытаются
объяснить полученные результаты.
8.
Задача имеет продолжение: как изменяется полученная величина с
ростом N? Для этого можно использовать все тот же MS Excel –
вычислить среднее значение длины интервала для возрастающих
значений N от 1 до 10 000 и построить график.
9.
 В этой задаче нужно сообразить, по каким данным вычислять средние
характеристики (столбец H). Наилучший прогноз за год получится, если
среднее значение за день умножить на 365.
10.  Чтобы решить задачу, нужно упорядочить таблицу по классам, а потом
вычислить среднее по каждому из полученных диапазонов.
11. Чтобы решить задачу, нужно найти среднее по каждой строке и каждому
столбцу. Для наглядности можно построить диаграммы.
54
12.  Найти можно только среднее арифметическое. Для этого нужно
суммировать все голы (забитые ИЛИ пропущенные, но ни в коем случае
не те и другие!) и поделить на общее количество игр – 240.
13. Простая задача, но интересная с точки зрения результата. Можно
попросить учащихся до решения задачи предсказать результат.
14. См. предыдущее задание.
15.  Задача чисто экспериментальная. Но проводя эксперимент, учащиеся
интуитивно должны понять, как «управлять» поведением средних
характеристик. Результат проверяет учитель.
16. То же, что в задаче 15, но проверка автоматическая.
17.  Задача подводит к понятию взвешенного среднего, которое будет
обсуждаться на следующем уроке. Среднее по России – это не среднее
арифметическое регионов. В каждом регионе проживает разное
количество людей.
Уроки 35-36. Вычисление средних по таблице частот
Вычисление средних по таблице частот вызывает одну и ту же типичную
ошибку: учащиеся забывают «взвесить» значения выборки приведенными в
таблице частотами. Особенно если частоты «завуалированы» в исходных
данных или вовсе отсутствуют (как было в последнем задании предыдущего
урока).
Тем большую опасность таят в себе функции MS Excel СРЗНАЧ(), МОДА() и
МЕДИАНА(), которые просто неприменимы к таблице частот! Алгоритм
вычисления средних для этого случая описан в учебнике и приведен в
примерах на диске.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Простая задача.
2.
 Для правильного ответа нужно взять середины интервалов.
55
3.
При вычислении ответов можно игнорировать добавление «и более».
4.
Для правильного ответа переведите все интервалы в часы.
5.
Правильный способ – второй, т.к. первый не учитывает, что страны
занимают разную площадь.
6.
Здесь все просто: нужно найти общее количество матчей, сумму забитых
и сумму пропущенных голов, а потом поделить каждую сумму на
количество матчей.
7.
 Имеют смысл мода и медиана. Пусть учащиеся опишут реальные
ситуации, в которых эти характеристики могут использоваться.
8.
К сожалению, наезд на пешехода – самое частое ДТП (берутся только те
происшествия, в которых есть хоть один пострадавший, поэтому не
учитываются мелкие столкновения автомобилей).
9.
 Нужно найти средний выигрыш на одну карточку и вычесть его из
стоимости карточки.
10. Задача сложна технически: чтобы быстро найти средний возраст по
каждой выставке, нужно умело комбинировать абсолютные и
относительные адреса ячеек в формулах. Возможное решение
следующее: в столбец H заносим среднее значение возраста для каждого
интервала; в ячейку I2 вводим формулу =B2*$H2/100, которую
распространяем на весь столбец I; находим сумму в столбце I – это будет
среднее арифметическое для выборки из столбца B. Чтобы найти
среднее для остальных пяти выборок, достаточно распространить
формулы столбца I на столбцы J, K, L, M, N.
11.  См. замечание к предыдущей задаче.
12. К трудностям двух предыдущих задач прибавляется еще и избыточность
информации, из которой учащиеся должны выбрать нужную.
13. При вычислении ответа столбец «нет данных» нужно игнорировать.
56
14. Сначала нужно суммировать данные за все три года, а потом находить
средний возраст.
15.  Здесь те же трудности, что в задачах 10-13: для быстрого получения
ответа по каждому округу нужно правильно использовать абсолютные и
относительные адреса ячеек в формулах.
16. Во всех трех таблицах данные избыточны. Нужно взять данные за
последние годы.
17.  Трудность только в том, что значения выборки (оценки) и их частоты
(численность населения) разнесены по разным таблицам, поэтому
сначала нужно скопировать эти данные в одну таблицу.
Уроки 37-38. Характеристики разброса
Характеристики разброса служат естественным дополнениям к средним
характеристикам и несут информации о степени изменчивости
интересующей нас величины.
Размах, хотя и является очень простой для понимания величиной, часто дает
необъективную картину, связанную с ошибками наблюдений или
нетипичными «выбросами».
Идея «усреднить» отклонения наблюдаемой величины от своего среднего
значения является вполне естественной, но неожиданно заводит в тупик:
среднее отклонение от среднего всегда оказывается нулевым. Хорошо, если
учащиеся «зайдут» в этот тупик сами и сами же предложат возможные выходы
из него (суммировать абсолютные величины отклонений, квадраты
отклонений и т.д.).
После рассмотрения дисперсии следует обратить внимание на ее
размерность, из-за которой приходится перейти к понятию среднего
квадратического или стандартного отклонения. При этом нужно
предостеречь учащихся от бездумного сравнения дисперсий и стандартных
отклонений разнородных (имеющих разные единицы измерения) величин.
Сложный вопрос – интерпретация стандартного отклонения. Что означает,
например, результат, полученный в примере 3: стандартное отклонение веса
57
портфеля от своего среднего значения составило по данным проведенных
наблюдений 700 г? В учебнике упоминается так называемое «правило трех
сигм», но пользоваться им нужно очень осторожно, т.к. справедливо оно
лишь для тех величин, распределение которых близко к нормальному
(правда, для портфелей, это как раз так и есть).
На этом уроке вводятся две новых функции MS Excel: ДИСПР() и
СТАНДОТКЛОНП().
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Обратите еще раз внимание учащихся на единицы измерения всех
трех величин.
2.
 См. комментарий к задаче 4 из урока 21.
3.
 См. комментарий к задаче 6 из урока 21.
4.
 С точностью до 0,1 у всех получится одинаковый результат. Это
должно навести на мысль, что характеристики разброса, так же как и
средние, с ростом числа экспериментов стабилизируются и
приближаются к некоторым «объективным» характеристикам изучаемых
величин. К ним мы вернемся уже в 10-м классе, когда будем изучать
случайные величины.
5.
Задача не совсем корректна: мы вычисляем не дисперсию всех оценок,
полученных в экзамене по каждому предмету, а дисперсию средних
оценок по регионам. Но и она тоже представляет интерес.
6.
 См. комментарий к задаче 11 из урока 21.
7.
 См. комментарий к задаче 13 из урока 21.
8.
 Задача чисто экспериментальная. Но проводя эксперимент, учащиеся
интуитивно должны понять, как «управлять» поведением характеристик
разброса. Результат проверяет учитель.
9.
То же, что в задаче 8, но проверка автоматическая.
58
10. Задача позволяет экспериментально открыть известные свойства
среднего, дисперсии и стандартного отклонения: при умножении всех
чисел ряда на одно и то же число
k среднее значение умножается на k ,
2
дисперсия – на k , стандартное отклонение – на
k.
Уроки 39-40. Вычисление разброса по таблице частот
Как и в комментариях к уроку 23, отметим, что вычисление дисперсии по
таблице частот вызывает следующую ошибку: учащиеся забывают «взвесить»
значения выборки приведенными в таблице частотами.
И здесь также очень опасно использование стандартных функций MS Excel
ДИСПР() и СТАНДОТКЛОНП(), которые не учитывают частоты. Алгоритм
вычисления средних для этого случая описан в учебнике и приведен в
примерах на диске.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Простая задача.
2.
 Для правильного ответа нужно взять середины интервалов.
3.
 В этой задаче учащиеся должны сначала по тексту задачи
самостоятельно заполнить таблицу частот, а уж потом находить нужные
характеристики.
4.
 Задание на умение качественно оценить дисперсию по полигону
частот. Как уже говорилось, дисперсия характеризует разброс величин
около своего среднего значения. Как правило, среднее значение близко к
моде, т.е. к наиболее частому значению выборки. На полигоне частот в
этой точке достигается максимум. Чем меньше дисперсия, тем сильнее
выражен этот максимум, чем больше дисперсия – тем более пологим,
плоским выглядит полигон частот.
5.
 См. замечание к задаче 11 из урока 23.
6.
См. замечание к задаче 13 из урока 23.
59
7.
 См. замечание к задаче 15 из урока 23.
8.
 На гистограммах хорошо видна тенденция к увеличению среднего
возраста населения (графики сдвигаются вправо) и исчезновение пика в
районе интервала 60-64 лет, что приводит к одновременному
уменьшению дисперсии.
Глава 6. Комбинаторика
Уроки 42-43. Перечисление комбинаций
Уже признано, что главная причина неудачных попыток ввести элементы
комбинаторики в школе – стремление с первых шагов сделать акцент не на
составлении комбинаций, а на их подсчете. Изучение комбинаторики должно
начинаться
с
перечисления
(конструирования)
комбинаций,
встречающихся в реальных жизненных ситуациях. И только после этого
различным видам комбинаций можно давать их математические названия и
выводить формулы для их подсчета.
Простейшим перебором комбинаций мы уже занимались, когда вводили
классические определение вероятности и выписывали все возможные исходы
опытов, в которых участвовало несколько объектов (шаров, кубиков, монет,
перчаток и т.д.). На этом уроке мы возвращаемся к этому вопросу более
основательно. Для построения и перечисления комбинаций школьнику
дается в помощь специальная ВЛ «Комбинаторика»:
60
Конструировать в ней комбинации можно двумя способами:
1) с помощью дерева (в левой части окна);
2) непосредственно собирая каждую комбинацию из заданных
элементов (в правой части окна).
Описать множество элементов, из которых будет строиться комбинация,
можно с помощью кнопки
. Заметим еще, что при построении дерева
можно использовать две возможности:
1) добавлять сразу целый уровень, продолжая каждую ветку одним и
тем же набором возможных разветвлений (т.н. регулярное дерево);
2) работать с каждой веткой отдельно,
индивидуальный набор разветвлений.
добавляя
для
нее
В первом случае используется кнопка «Добавить уровень», во втором – нужно
щелкнуть правой кнопкой мыши на соответствующей ветке дерева.
61
Если говорить о прямом перечислении комбинаций без использования
дерева, то удобно ввести на комбинациях отношение порядка (чтобы ничего
не упустить и не повторяться дважды). Общепринятым здесь является
лексикографический порядок, хорошо знакомый школьникам по работе с
обычным словарем.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 В этой задаче комбинации удобно строить с помощью дерева: первый
уровень – 4 варианта (поезд, автобус, электричка, такси); второй уровень
– 2 варианта (поезд, автобус). Поскольку дерево регулярное, удобно
пользоваться кнопкой «Добавить уровень». Всего должно получиться 8
комбинаций.
2.
 В этой задаче появляется слово «перестановка», вполне понятное
учащимся на интуитивном уровне. Как и в №1 комбинации можно
строить с помощью дерева, которое будет иметь три уровня. Только
теперь при построении каждого уровня и выборе возможных
разветвлений нужно поставить опцию «Не повторять уже
использованные». Поскольку комбинаций немного (всего 6), то можно
обойтись и без дерева, получив все комбинации простым перечислением.
3.
 Обратите внимание учащихся, что в отличие от предыдущей задачи
одну и ту же букву можно использовать дважды. При построении лучше
пользоваться деревом, т.к. комбинаций получится довольно много – 25.
4.
 Здесь дерево будет содержать 4 уровня, а комбинаций получится 16.
5.
 В этой задаче есть, над чем подумать. Решается она также с помощью
дерева, которое будет содержать уже 6 уровней. При построении каждого
следующего уровня нужно обязательно пользоваться опцией «Не
повторять уже использованные». Всего должно получиться 36 вариантов.
6.
 В этом задании перед учащимися открывается «пустая» лаборатория:
учащимся предоставляется самостоятельно выбрать способ кодирования
первых, вторых и третьих блюд. Удобнее всего использовать для этого
символы, например: первые блюда – цифры, вторые блюда – латинские
буквы, третьи блюда – русские буквы. Для выбора способа кодирования
62
нужно нажать кнопку «Задать множество элементов» и выбрать эти
элементы. Каждый ученик должен выбрать свой собственный, наиболее
удобный для него способ кодирования, а затем перечислить с его
помощью все варианты. В любом случае их должно получиться 24.
7.
Это задание наиболее сложное. В качестве подсказки ученикам
предлагается перечислять возможные сценарии стрельбы, как
комбинации из зеленых и красных шаров: зеленый шар – попал, красный
шар – промахнулся. Задача осложняется тем, что дерево комбинаций в
данном случае нерегулярное: на одном и том же уровне оно содержит
разное количество ответвлений. Точнее, до третьего уровня оно
регулярное, поэтому его можно строить с помощью кнопки «Добавить
уровень». Четвертый и пятый уровни для каждой ветки строятся
индивидуально: для этого нужно щелкнуть правой кнопкой мыши на
соответствующей ветке и выбрать ее возможные продолжения. Всего
должно получиться 26 различных сценариев, из которых в 16
биатлонисту не удается поразить все три цели (т.е. он бежит штрафные
круги).
Уроки 44-45. Правила умножения и сложения
В данном разделе вводятся главные правила для подсчета комбинаций:
правило умножения, правило сложения и правило вычитания.
Собственно, правилом как таковым можно считать только правило
умножения. Правило сложения – это скорее один из методов решения
комбинаторных задач. Если для подсчета комбинаций не идет правило
умножения (непонятно на что умножать на следующем шаге) – попытайтесь
использовать правило сложения: поделить комбинации на непересекающиеся
классы, посчитать число комбинаций внутри каждого класса, а потом сложить
эти числа. То же самое касается и правила вычитания.
Для эффективного использования перечисленных правил и освобождения
учащихся от рутинных вычислений (но не от вычислений вообще!) в ИУМК
создан специальный калькулятор:
,
63
который в любой момент может быть вызван кнопкой
, находящейся в
левой верхней части рабочего окна. Чтобы добавить в него новую формулу,
нужно нажать кнопку
и набрать формулу в появившемся редакторе
формул:
Для применения комбинаторных правил умножения и сложения в
калькуляторе имеются кнопки
и
. Перед их нажатием необходимо
выделить в списке введенных формул те величины, которые необходимо
соответственно сложить или перемножить:
.
Результат любого вычисления можно скопировать в буфер кнопкой
чтобы быстро вставить его в поле ответа.
,
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Чтобы «увидеть», как работает правило умножения, учащиеся могут как
в этой, так и в последующих задачах начать с построения дерева
64
комбинаций, уже знакомого им по предыдущему уроку. Для применения
правила умножения нужно щелкнуть мышью в поле «Количество
комбинаций» и ввести выражение:
задаче ответ можно посчитать и в уме.
8  10  7  560 . Правда, в этой
2.
 См. предыдущую задачу. Ответ: 49 и 42.
3.
 Задача чуть-чуть сложнее предыдущих, т.к. в условии отсутствуют
числа,
которые
нужно
перемножать:
12  10  10  10  12  12  1728000 .
4.

Задача еще сложнее: при использовании правила умножения
количество вариантов (а значит и сами сомножители) на каждом шаге
изменяется. При этом первый выбор нужно делать для водительского
места (из трех возможных) 3  4  3  2  1  72 . Если учащимся сложно
сразу применить правило умножения, пусть попробуют начать с
построения дерева вариантов: кого посадим на первое место
(водительское), кого - на второе и т.д. Типичная ошибка при решении
этой задачи – умножают 3 на 2 и получают 6 способов.
5.
Ответ: 2  256 .
6.
 Начиная с этой задачи, учащиеся должны научиться комбинировать
правила умножения и сложения. Для ответа на первый вопрос,
8
достаточно применить правило умножения: 5  3125 . Для ответа на
второй вопрос придется отдельно считать количество слов длины 1, 2, 3,
5
4 и 5, а затем складывать: 5  5  5  5  5  3905 . Отметим еще
раз, что для проведения таких вычислений удобно использовать
встроенный в ИУМК калькулятор (нашли все произведения – выделили
их – сложили все выделенное).
2
7.
3
4
5
 В первом слове все буквы различны, поэтому ответ получается по
правилу умножения: 5  4  3  2  1  120 . А вот во втором – две буквы
совпадают, поэтому слов получится в два раза меньше – 60. Хорошо,
если учащиеся заметят это сами (например, построив все возможные
комбинации непосредственно в лаборатории).
65
8.
Это сложная задача, в которой с помощью правила умножения нужно
составить уравнение, да еще с двумя (!) неизвестными. Если в одной из
команд было m игроков, а в другой - n, то всего было совершено m  n
рукопожатий. Получаем уравнение: m  n  323 . Число 323 выбрано
здесь, естественно, не случайно. Оно имеет единственное нетривиальное
разложение на два множителя: 323  17  19 . Значит, в одной из
команд 17 игроков, а в другой – 19. Всего на площадке – 36 игроков.
Чтобы подвести учащихся к такому решению, можно предложить им
посчитать количество рукопожатий для каких-нибудь заданных m и n
(можно дать несколько вариантов).
9.
* В случае с ладьей работает правило умножения: после выбора первой
клетки, независимо от ее расположения, на доске остается 14 клеток, в
которые можно попасть ходом ладьи. Значит, ответом будет
64  14  896 ? Но это неверно: ведь каждую пару клеток мы считали
при этом дважды, поэтому для получения правильного ответа нужно
применить «правило деления»:
64  14
 448 . Для слона ситуация
2
сложнее. После выбора первой клетки, количество клеток, в которые
можно попасть из нее ходом слона зависит от расположения этой клетки
на доске и может равняться 7, 9, 11 или 13 (пусть учащиеся найдут все эти
клетки на доске). При этом количество таких клеток равно,
соответственно, 28, 20, 12 и 4:
7
7
7
7
7
7
7
7
7
9
9
9
9
9
9
7
7
9
11
11
11
11
9
7
7
9
11
13
13
11
9
7
7
9
11
13
13
11
9
7
7
9
11
11
11
11
9
7
7
9
9
9
9
9
9
7
66
7
7
7
7
7
7
7
7
Применяя правило умножения, сложения и деления, получаем:
7  28  9  20  11  12  13  4
 280 .
2
10. В задаче можно применить правило вычитания: найдем сначала
количество пятизначных чисел, которые НЕ удовлетворяют условию
задачи, а потом вычтем это количество из общего количество
пятизначных чисел. Итак, найдем количество пятизначных чисел, в
которых любые две соседние цифры различны. На первое место можем
поставить любую цифру, кроме 0 (9 вариантов); на второе место –
любую цифру, кроме той, что на первом (9 вариантов); на третье место –
любую цифру, кроме той, что на втором (9 вариантов) и т.д. Итого по
правилу умножения будет 9  59049 таких чисел. Всего пятизначных
5
99999  10000  1  90000 . Значит, ответом на вопрос
5
задачи будет 90000  9  30951 .
чисел -
Уроки 47-48. Перестановки и размещения
С перестановок, как правило, начинается знакомство с основными типами
комбинаций. Подсчет числа перестановок не вызывает затруднений у
школьников и является прекрасной иллюстрацией правила умножения.
Размещение обобщает понятие перестановки. Для решения вероятностных
задач они играют еще большую роль, чем перестановки, поскольку именно
на них строится схема выбора без возвращения: из M объектов друг за другом
вынимают без возвращения N объектов. Каждый исход такого опыта – это и
есть размещение из M по N. Как и для перестановок, число размещений
легко находится по правилу умножения.
При подсчете числа перестановок и размещений школьники впервые
сталкиваются с факториалом. Самое время уделить ему здесь немного
внимания, поговорить о его замечательных свойствах. Обязательно нужно
67
показать учащимся, как быстро растут значения
N! , вычислив несколько
первых значений и оценив их величину при больших N . Хорошая задача
для программистов – написать программу, которая выписывает все цифры
числа 100! (для математиков – найти количество нулей в конце этого числа).
Далее рассматриваются размещения с повторениями. Несмотря на более
сложное название, эти комбинации для школьников более привычны, чем
обычные размещения. Ведь размещения с повторениями есть не что иное, как
слова в заданном конечном алфавите (алфавит понимается здесь в
обобщенном смысле – как множество тех объектов, из которых строятся
комбинации). Именно поэтому наряду с термином размещение с повторением в
учебнике используется термин слово.
Наконец, последним типом комбинаций, который вводится в этой теме,
являются перестановки с повторениями. Для их подсчета вводится в
рассмотрение последнее (четвертое – по числу арифметических действий)
комбинаторное правило – правило деления.
Все перечисленные типы комбинаций (вместе с формулами для их подсчета)
учащиеся могут получить в ВЛ «Комбинаторика» - для этого достаточно
выбрать множество элементов универсума и задать тип комбинаций:
68
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Ответ можно найти разными способами: построить все комбинации с
помощью дерева, применить правило умножения, использовать формулу
для количества перестановок. Ответ:
2.
5!  120 .
 Ответ можно найти разными способами: построить все комбинации с
помощью дерева, применить правило умножения, использовать формулу
для количества размещений. Ответ:
3.
 Ответ: 5  390625 .
4.

16  15  14  3360 .
8
В
этой
задаче
используется
формула
для
перестановок
с
9!
 181440 ; ВЕРОЯТНОСТЬ –
2!
11!
10!
 9979200 , МАТЕМАТИКА  151200 .
2!  2!
3!  2!  2!
повторениями: ГЕОМЕТРИЯ –
5.
 Все такие коды – размещения с повторениями из 2 по 16. Ответ:
216  65536 .
6.
 Каждое такое расписание – перестановка с повторениями. Ответ
6!
 60 .
3!  2!
7.
 Каждая радуга – перестановка из семи цветов. Ответ: 7!  5040 . В
природе из них встречаются всего две: обычная и перевернутая.
8.
* Каждая расстановка книг на полке – перестановка из 30. Ответ:
30! 265252859812191058636308480000000 .
Сложность
только в том, как получить точное значение этого 33-значного числа?
Любой калькулятор и даже MS Excel даст только его приближенное
значение, округлив до 15-25 значащих цифр. На эту тему см.
исследование, предлагавшееся в конце предыдущего урока (так
называемая «Длинная арифметика»).
69
9.
Здесь
8
A30

ответ
можно
получить
и
без
«длинной
арифметики»:
30!
 235989936000 .
32!8!
10. Каждое допустимое построение гусей – это перестановка из 6-ти
(положение двух из 8-ми гусей уже фиксировано). Поэтому всего таких
6!  720 . Если проводить перестроение с равными
120  60
 10 минут.
интервалами, то это надо будет делать каждые
720
построений будет
11. * Эта задача уже не сводится к простому пересчету перестановок. Точнее,
нам нужно посчитать не все перестановки из 20-ти учеников, а только те,
которые удовлетворяют условию задачи. Попробуем применить для
этого правило умножения: на ПЕРВОЕ МЕСТО ЗА ПЕРВЫМ
СТОЛОМ можно посадить любого из 20-ти учеников; после этого на
ВТОРОЕ МЕСТО ЗА ПЕРВЫМ СТОЛОМ можно посадить любого из
10-ти учеников другого пола; на ПЕРВОЕ МЕСТО ЗА ВТОРЫМ
СТОЛОМ можно посадить любого из 18-ти оставшихся учеников; после
этого на ВТОРОЕ МЕСТО ЗА ВТОРЫМ СТОЛОМ можно посадить
любого из 9-ти учеников другого пола и т.д. Всего по правилу умножения
будет
20  10  18  9  16  8  ...  6  3  4  2  2  1  210  10!10!  13484225986560000
таких вариантов.
12. * А вот эту задачу можно решить и без использования длинной
арифметики: ведь нам нужно найти не само число 100!, а лишь
количество нулей, на которое оно заканчивается. Очевидно, количество
нулей равно максимальной степени числа 10, на которую делится 100!.
Представим себе, что мы разложили 100! на простые множители:
100!  2 a  3b  5c  7 d  ...
Каждое из простых чисел входит в это разложение в какой-то степени.
Для ответа на вопрос задачи достаточно узнать, с какими показателями в
70
это разложения входит 2 и 5 (поскольку 10  2  5 ), и выбрать из этих
показателей минимальный. Очевидно, что у 5 этот показатель будет
меньше. Его легко найти, если посчитать, сколько чисел в диапазоне от 1
до 100 делятся на 5 и на 52. Ответ: 24.
Уроки 49-50. Сочетания
Сочетание, пожалуй, самый важный для вероятностных задач тип
комбинаций. Если без формул для числа перестановок и размещений,
вообще говоря, можно обойтись – достаточно знать правило умножения – то
без формулы для числа сочетаний решить многие вероятностные задачи
будет весьма затруднительно. На сочетаниях строится схема с одновременным
выбором предметов: из M объектов одновременно вынимают наугад N объектов.
Каждый исход такого опыта – сочетание из M по N.
При знакомстве с сочетаниями нужно акцентировать внимание учащихся на
том факте, что сочетания отличаются друг от друга только составом предметов –
значит, порядок элементов внутри сочетания не важен. Поэтому при
выписывании сочетания следует всегда располагать все его элементы по возрастанию.
Комментарии к задачам практикума:
1.

Стартовая
C136 
2.

шестерка
–
сочетание
из
13
по
6.
это
сочетание.
Ответ:
13!
 1716 .
6!7!
Каждый
вариант
зачеркивания
–
Ответы:
C  376992 , C  13983816 .
5
36
3.
6
49
 Каждый вариант выбора – сочетание из 100 по 5. При подсчете ответа
НЕ НУЖНО вычислять 100! – иначе придется снова обращаться к
«длинной
арифметике».
Вместо
этого,
нужно
сократить
соответствующую дробь, и тогда оставшееся произведение будет уже не
совсем
не
таким
«длинным»:
5
C100

100! 96  97  98  99  100

 75287520 .
5!95!
5!
71
Хороший
пример, на котором ученик должен почувствовать,
суперсильный компьютер не заменит мозги!
4.
Ответ:
20
C50

50!
 47129212243960 .
20!30!
Можно
что
даже
сравнить
полученный результат с ответом предыдущей задачи и обсудить, от чего
n
зависит величина числа C m .
5.
 Сложность задачи в том, что здесь не выбирают, а делят на две части.
Хорошо, если учащиеся сами сообразят, как деление на части сводится к
выбору из совокупности. Разделить класс из 28-ми человек пополам – это все
равно, что выбрать из 28-ми человек половину (то есть, 14). Те, кого мы
выбрали, будут в одной команде, оставшиеся – в другой. Всего способов 14
C 28

6.
28!
 40116600 .
14!14!
 В этой задаче подсчет числа сочетаний необходимо комбинировать с
правилом умножения: сначала выбираем 1-го вратаря из 3-х, потом 4
защитника из 10-ти, затем 5 полузащитников из 7-ми и, наконец, 1-го
нападающего из 4-х: C3  C10  C7  C 4  52920 .
1
7.
4
5
1
 Задача похожа на предыдущую. Но теперь все выборы делаются из одной
совокупности (футболисты делились на вратарей, защитников и т.д., а
туристы – нет). После каждого выбора нужно учитывать, что общий
объем совокупности уменьшается: сначала выбираем 8 из 20-ти, потом –
7 из 12-ти оставшихся после первого выбора, и, наконец, 5 из 5-ти
оставшихся: C 20  C12  C5  99768240 .
8
8.
7
5
Каждая допустимая траектория представляет собой чередование шагов
вправо и вверх в любой последовательности. При этом, чтобы попасть в
правую верхнюю клетку, нужно сделать ровно ( N  1) шагов вправо и
столько же вверх. Закодируем каждую траекторию символами «|» и «–».
Тогда задачу можно переформулировать так: сколько слов длины
2  ( N  1) можно составить из символов «|» и «–» так, чтобы в каждом
72
слове их было поровну (т.е. по ( N  1) )? Вот теперь пора вспомнить
про сочетания: для получения каждого такого слова нужно выбрать из
2  ( N  1) свободных мест ровно половину (т.е. ( N  1) ), на которых
будут размещены символы «|». Количество способов, которым это можно
сделать, равно
C2N( N11) 
(2  N  2)!
. Прежде, чем решать
( N  1)!( N  1)!
задачу в общем виде, можно рассмотреть частные случаи
9.
N  2, 3, 4, ...
Все «доминошки» можно разделить на два класса: дубли и все остальные.
N  1 . Любой не дубль можно
рассматривать, как неупорядоченную пару из чисел от 0 до N , т.е.
сочетание из N  1 по 2. Таким образом, всего «доминошек» будет
( N  1)!
( N  1)  ( N  2)
.
N  1  C N2 1  N  1 

2!( N  1)!
2
Понятно, что дублей будет ровно
10. Каждый прямоугольный параллелепипед задается тремя числами –
длинами его трех взаимно перпендикулярных ребер (или по-другому –
длиной, шириной и высотой). При этом порядок чисел в такой тройке не
имеет значения. Поэтому количество искомых параллелепипедов будет
равно количеству неупорядоченных троек, которые можно составить из
целых чисел от 1 до N , то есть, количеству сочетаний из N по 3:
C N3 
N!
.
3!( N  3)!
11. Р е ш е н и е 1 . Из условия задачи следует, что каждой паре прямых
соответствует ровно одна точка пересечения (ведь прямые не
параллельны и не совпадают) и, наоборот, каждой точке пересечения
соответствует какая-то пара прямых (никакие три не пересекаются в
одной точке). Значит, точек пересечения ровно столько, сколько пар
2
прямых, т.е. C N .
Р е ш е н и е 2 . Если к N прямым добавить еще одну, то она по
условию задачи пересечется с каждой из них. Поэтому к уже имеющимся
73
точкам пересечения добавится еще N новых точек. Получаем
закономерность, которую можно представить таблицей:
Количество прямых
Количество точек
2
1
3
1+2
4
1+2+3
…
…
N
1  2  3  ...  ( N  1)
Во втором столбце получаем не что иное, как треугольные числа:
C22 , C32 , C42 ,..., C N2 .
Уроки 51-52. Комбинаторика при вычислении вероятностей
Материал этого раздела служит своеобразным «оправданием» тех трудностей,
которые приходится преодолевать при изучении комбинаторики. Именно
здесь содержится наибольшее количество интересных вероятностных задач с
нетривиальным решением и интересным практическим содержанием.
На материале этого раздела школьники должны почувствовать, насколько
мощный инструмент для вычисления вероятности они получили в виде
только что изученных комбинаторных правил и формул.
В приведенных примерах разбираются случайные опыты, исходы которых
представляют собой рассмотренные перед этим типы комбинаций:
перестановки, размещения, размещения с повторениями, перестановки с
повторениями, сочетания. Ключевым шагом в решении таких задач является,
как правило, определение типа комбинации, после чего подсчет вероятности
становится делом техники.
В этом разделе обобщаются те модели случайных опытов, которые
разбирались на предыдущих уроках. Большинство из них может быть
74
сведено к одной из трех классических моделей с выбором элементов из
конечного множества. Понимание этого требует от школьника довольно
высокого уровня абстрактного мышления. Можно сказать, что здесь
закладывается (или развивается) одна из важнейших сторон математической
культуры: умение видеть одинаковое в разном и разное в одинаковом. Теория
вероятностей, как никакая другая область математики, дает для этого
богатейший материал.
Почти в каждой задаче ученики получают в помощь для решения задачи
две лаборатории:
-
ВЛ «Комбинаторика» для перечисления и подсчета возможных
исходов опыта;
-
ВЛ «Классическая вероятность»
вероятности по частоте.
для
проверки
найденной
Постарайтесь уже с первых заданий практикума настроить учащихся на
использование этих возможностей.
Учитывая важность и объективную сложность многих заданий этого раздела,
мы сочли необходимым привести в комментариях к задачам практикума
различные (иногда даже неверные!) способы их решения.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Легкая задача. Все ответы полезно проверить в лабораториях.
2.
 Затруднение, скорее всего, вызовет решение пункта в). Всего исходов
36. Исходов с равным количеством очков – 6. Значит, исходов с
НЕравным количеством очков 36-6=30. Поскольку ситуация абсолютно
симметричная, то исходов, в которых на первом кубике больше, ровно
столько же, сколько исходов, в которых на втором больше, т.е. 30:2=15.
Второй вариант решения – составить таблицу
исходами и найти среди них благоприятные.
75
6  6 , заполнить ее
3.
 Исходы опыта – размещения с повторениями из 6 по 3. Всего исходов
6 3  216 . Когда все три числа одинаковые – 6. Когда все три разные 6  5  4  120 . Когда ровно два одинаковых - 216  6  120  90 .
4.
 Р е ш е н и е 1 . Исходы опыта – перестановки из 6. Всего исходов – 6!
Чтобы получить любой благоприятный исход, нужно:
1)
указать два места подряд (пять способов);
2)
расположить на них учебники математики и литературы (2 способа);
3)
расположить оставшиеся 4 учебника на 4-х местах (4! способов).
Всего, по правилу умножения, получаем
Окончательный ответ -
5  2  4! таких вариантов.
5  2  4! 1
 .
6!
3
Р е ш е н и е 2 ( о ч е н ь р и с к о в а н н о е , н о в е р н о е ) . Не будем
различать между собой учебник математики и литературы (2 синих шара)
и четыре остальных учебника (4 белых шара). Тогда задачу можно
переформулировать так: 2 синих и 4 белых ряда случайным образом
выкладывают в ряд. С какой вероятностью два синих шара окажутся
рядом? Исходы опыта – перестановки с повторениями (и они
6!
 15 . Благоприятных – 5
2!4!
5 1
 .
(они легко рисуются или выписываются). Отсюда ответ 15 3
РАВНОВОЗМОЖНЫ!). Всего исходов
Почему мы назвали это решение рискованным? Дело в том, что в
качестве
возможных
исходов
опыта
были
выбраны
НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ исходы. Тем не менее, они оказались
РАВНОВОЗМОЖНЫМИ,
поэтому
решение
можно
считать
правильным. В задачах, где исходами являются перестановки с
повторениями, такой способ решения приемлем, поскольку каждому
неэлементарному исходу (перестановке с повторениями) соответствует одно и то же
76
количество элементарных исходов (обычных перестановок). В нашем случае -
2!4! .
1
.
10
5.
 См. предыдущую задачу. Ответ:
6.
См. задачи 4 и 5. Ответы:
7.
 Р е ш е н и е 1 . Исходы опыта – сочетания из 10 по 2. Благоприятных
исходов – 5 (ведь именно столько пар обуви, т.е. парных ботинок).
1 1 1
, , .
6 12 6
Отсюда искомая вероятность равна
5
5  2!8! 1

 .
2
C10
10!
9
Решение 2 (не совсем честное, но правильное).
Достали первый ботинок. Независимо от того, каким он оказался, в
шкафу осталось 9 ботинок, среди которых РОВНО ОДИН парный к
тому, что мы уже вытащили. Значит, вероятность его вытащить -
1
.
9
Почему это решение не совсем честное? Во-первых, мы заменили
одновременный выбор на последовательный (хотя, как уже обсуждалось,
эти две схемы выбора, по существу, идентичны). Во-вторых, не очень
понятно выражение «независимо от того, каким он оказался». Тем не
менее, решение абсолютно верное (и главное – очень изящное, без
всяких комбинаторных формул). Этот способ решения будет
неоднократно встречаться и дальше. Кстати, многим учащимся он очень
нравится.
8.
 В этой задаче мы приведем для каждого пункта по два решения,
причем некоторые из них будут НЕПРАВИЛЬНЫМИ. Как показывает
опыт, именно такие решения часто приводят учащиеся.
Пункт а) – выбор с возвращением.
Р е ш е н и е 1 . Возможные исходы опыта – размещения с повторениями
из 6 по 2 (шары могут повторяться, т.к. возвращаются обратно в корзину).
77
Всего исходов - 6  36 . Благоприятные исходы – размещения с
повторениями из 3 по 2 (чтобы получить благоприятный исход, нужно
2
выбрать два шара из трех белых). Благоприятных исходов - 3  9 .
2
Ответ:
9
1
 .
36 4
Решение
2
(правильное,
но
нежелательное!).
Возможные исходы опыта – ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ. Благоприятный среди них
только один – ББ. Ответ -
1
.
4
Почему это решение нежелательно? В качестве исходов опыта выбраны
НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ исходы, которые именно в этой ситуации
оказались РАВНОВОЗМОЖНЫМИ. Это и позволило дать правильный
ответ. Но произошло это только потому, что белых и черных шаров
было поровну, а выбранные шары возвращались обратно. Уже в
следующих двух пунктах такой подход к решению задачи даст ошибку.
Пункт б) – выбор без возвращения.
Р е ш е н и е 1 . Возможные исходы опыта – размещения из 6 по 2. Всего
исходов - A6  6  5  30 . Благоприятные исходы – размещения из 3
2
по 2 (чтобы получить благоприятный исход, нужно выбрать два шара из
трех
белых).
Благоприятных
исходов
-
A32  3  2  6 . Ответ:
A32
6 1

 .
2
A6 30 5
Р е ш е н и е 2 ( н е п р а в и л ь н о е ! ) . Возможные исходы опыта – ББ,
БЧ, ЧБ, ЧЧ. Благоприятный среди них только один – ББ. Ответ (неправильный).
Пункт в) – одновременный выбор.
78
1
4
Р е ш е н и е 1 . Возможные исходы опыта – сочетания из 6 по 2. Всего
исходов - C 6  15 . Благоприятные исходы – сочетания из 3 по 2 (чтобы
2
получить благоприятный исход, нужно выбрать два шара из трех белых).
Благоприятных
исходов
-
C 32  3 .
Ответ:
C32
3 1

 .
2
C6 15 5
Неудивительно, что он совпадает с ответом в пункте б) – ведь мы уже
обсуждали эквивалентность этих двух схем выбора.
Р е ш е н и е 2 ( н е п р а в и л ь н о е ! ) . Возможные исходы опыта – ББ,
БЧ, ЧЧ. Благоприятный среди них только один – ББ. Ответ -
1
3
(неправильный).
В неправильных решениях пунктов б) и в) в качестве возможных исходов
опыта были взяты НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ и, как следствие,
НЕРАВНОВОЗМОЖНЫЕ исходы опыта. В их неравновозможности
легко убедиться, проведя соответствующие опыты в лаборатории. Если
кто-то из учащихся предложит одно из приведенных неправильных
решений, обязательно обсудите его и выявите причину ошибки.
9.
 Р е ш е н и е 1 . Возможные исходы опыта – размещения из 36 по 2.
Всего исходов - A36  1260 . Чтобы получить благоприятный исход,
2
нужно выбрать либо 2 красных карты ( A18  306 способов), либо 2
2
черных карты (еще
306 способов).
Искомая вероятность -
2 A
612 17


.
2
A36
1260 35
2
18
Р е ш е н и е 2 . Вытянули первую карту. Независимо от того, какого она
цвета, в колоде осталось 35 карт, из которых ровно 17 того же цвета, что
и вытянутая. Значит, искомая вероятность равна
79
17
.
35
10.  Исходы опыта – сочетания из 25 по 2. Всего исходов - C 25  300 . В
2
пункте а) благоприятных исходов 24 (именно столько можно составить
пар, в которые будет входить Ира). В пункте б) благоприятный исход
всего один (пара Ира – Аня). Ответы:
11. См. предыдущую задачу. Ответ:
12. См. задачу 4. Ответы:
24
2 1
1

; 2 
.
2
C 25 25 C25 300
1
1

.
3
C25 2300
1 2
; .
3 5
13. См. предыдущую задачу. Ответ:
14. См. задачи 12-13. Ответ:
1
.
5
15. См. задачи 12-14. Ответ:
1
.
10
1
.
15
16.  Исходами этого опыта будут размещения с повторениями из 12 по 12:
первый человек мог родиться в любом из 12-ти месяцев, второй – тоже в
12
любом из 12-ти и т.д. Всего исходов - 12 . Можно считать их
равнововозможными (хотя в каких-то месяцах дней больше, в каких-то
меньше, но эта разница слишком мала, чтобы серьезно повлиять на
ответ). Благоприятными будут все исходы, в которых у всех 12-ти людей
месяцы рождения разные. Чтобы получить такой исход, можно выбрать
для первого человека месяц рождения 12-ю способами, для второго – уже
только 11-ю, для третьего – 10-ю и т.д. Всего благоприятных исходов
будет
12! Ответ:
12!
 0,0000537 .
1212
80
17.  Поскольку вы получаете 7 «доминошек» из 28-ми, то исходами опыта
7
будут сочетания из 28 по 7. Всего исходов - C 28 . Любой благоприятный
исход – это сочетание из 21 «не дубля» по 7. Всего благоприятных
исходов -
C
7
21 .
7
C21
21!21!
Ответ: 7 
 0,098 .
C28 14!28!
18. Исходами опыта можно считать сочетания из 24 по 12 (см. задачу 5 из
уроков 31-32). Всего исходов -
12
. Чтобы получить благоприятный
C24
исход, нужно выбрать 6 из 12-ти мальчиков и 6 из 12-ти девочек – это
можно
C126  C126
сделать
способами.
Ответ:
C126  C126
12!4

 0,316 .
12
C24
6!4 24!
19. Рассадить 24 ученика по местам – значит выбрать какую-то перестановку
из них. Поэтому исходами опыта можно считать перестановки из 24-х.
Благоприятные исходы можно посчитать двумя разными способами.
С п о с о б 1 - й - см. задачу 11 из урока 30. В этой задаче объясняется,
как посчитать количество вариантов, когда за каждой партой сидят
мальчик и девочка - только там это делается для 20 учеников. Пользуясь
тем же методом, получаем, что количество благоприятных исходов в
12
нашей задаче равно 2
 12!12! .
С п о с о б 2 - й . Сначала выберем за каждым столом место для мальчика
и место для девочки. Поскольку для каждого стола это можно сделать
двумя способами, то всего способов сделать такой выбор для всех 12-ти
212 . Теперь рассадим на выбранные
для мальчиков места всех мальчиков ( 12! способов), а на выбранные для
девочек – всех девочек (тоже 12! способов). Совершить все эти действия
столов будет по правилу умножения
последовательно, друг за другом, можно будет по правилу умножения
212  12!12! способами.
Получили то же самое
благоприятных исходов, но совершенно другим способом.
81
количество
Ответ:
212  12!12! 939796614359285760000

 0,0015 .
24!
24!
20. Ответы:
P( A0 ) 
6
C40  C32
4! 32! 30!6! 32!30! 27  28  29  30





 0,465
6
C36
4!0! 26!6! 36! 26!36! 33  34  35  36
P( A1 ) 
5
C41  C32
 0,414
6
C36
P( A2 ) 
4
C42  C32
 0,111
6
C36
P( A3 ) 
3
C43  C32
 0,010
6
C36
P( A4 ) 
2
C44  C32
 0,00026
6
C36
21. Разделить колоду из 36-ти карт на двоих все равно, что выбрать 18 из 36ти. Поэтому исходами опыта можно считать сочетания из 36-ти по 18.
18
Всего исходов - C36 . Благоприятным будет любое сочетание, в котором
выбраны ровно 2 туза из 4-х (это можно сделать
C42 способами) и 16 «не
16
тузов» из 32-х (это можно сделать C32 способами). Всего таких исходов
по правилу умножения - C  C
2
4
16
32 .
16
C42  C32
153

 0,397 .
Ответ:
18
C36
385
22. Р е ш е н и е 1 . Разделить тридцать конфет на троих можно так: выбрать
сначала 10 из 30-ти для первого, потом 10 из оставшихся 20-ти для
второго, а оставшиеся 10 отдать третьему. Всего таких исходов будет
10
10
C 30
 C 20
. Благоприятным можно считать любой исход, при котором
для первого из друзей мы выбираем 1 конфету из 3-х с сюрпризом и 9
конфет из 27 обычных, а для второго – 1 конфету из 2-х оставшихся с
сюрпризом и 9 конфет из 18-ти оставшихся обычных. Тогда и третьему
из друзей автоматически достается одна конфета с сюрпризом.
Совершить все описанные действия друг за другом можно таким
82
количеством способов: C3  C 27  C 2  C18 . Это и будет количество
1
9
1
благоприятных
исходов.
C C C C
C C
1
3
9
27
10
30
9
1
2
10
20
9
18

Ответ:
6  10
 0,246 .
28  29  30
3
Р е ш е н и е 2 . Представим, что все тридцать конфет уже поделены
между друзьями поровну, а теперь мы «разбрасываем» в них сюрпризы.
Тогда первый сюрприз может попасть в любую из 30-ти конфет, второй
– в любую из 29-ти оставшихся, и третий – в любую из 28-ми
оставшихся. Исходы опыта – размещения из 30-ти по 3. Всего исходов 3
A30
 30  29  28 . Чтобы сформировать благоприятный исход, нужно
выбрать одну из десяти конфет первого друга, в которой будет лежать
сюрприз (10 способов), одну из десяти конфет второго друга (10
способов) и одну из десяти конфет третьего (10 способов). Всего такой
выбор можно осуществить 10
3
способами. А теперь нужно еще
разложить 3 сюрприза по выбранным трем конфетам ( 3!  6 способов).
Получается, что всего способов для формирования благоприятного
исхода будет
6  103 . Ответ:
6  103
 0,246 . Получили тот же
28  29  30
ответ, но более простыми и короткими рассуждениями!
23. Распределить 20 школьников по трем автомобилям можно так: выбрать 8
человек из 20-ти для первого автомобиля, потом 7 человек из 12-ти
оставшихся для второго, а оставшиеся 5 посадить в третий. Далее см.
первое
из
решений
предыдущей
задачи.
Ответ:
C186  C127  C188  C105  C188  C107
59

 0,31 .
8
7
C20  C12
190
83
Глава 7. Алгебра событий
Урок 54. Диаграммы Эйлера
Теоретико-множественный подход в свое время лег в основу
аксиоматического построения теории вероятностей (см. [22]) и превратил ее в
полноценную математическую дисциплину. Учитывая появление элементов
теории множеств в стандартах школьного образования, этот подход
невозможно обойти при изучении случайных событий и свойств
вероятностей.
Хорошо известным средством для наглядного изображения всех операций
над множествами служат диаграммы Эйлера, к которым мы вновь
возвращаемся на этом уроке (напомним, что первое знакомство с ними уже
состоялось при изучении темы «Случайные события и вероятность»). Именно
с их помощью наглядно демонстрируются различные операции над
множествами, а затем – над случайными событиями и их вероятностями.
Для решения большинства задач на этом и последующих уроках
используется ВЛ «Диаграмма Эйлера»:
84
Лаборатория имеет 6 рабочих режимов, каждый из которых включается
соответствующей кнопкой на панели инструментов:
«Рука» – позволяет передвигать мышью множества и их элементы
(левая кнопка мыши) и изменять размеры множеств (правая кнопка
мыши); таким образом, в этом режиме вы всегда можете добиться любого
взаимного расположения множеств и их элементов по отношению друг к
другу;
«Заливка» – в этом режиме вы можете закрасить любую область
на диаграмме Эйлера (левая кнопка мыши) или снять закраску (правая
кнопка); цвет заливки выбирается из выпадающего списка,
находящегося рядом с этой кнопкой; находясь в этом режиме вы всегда
можете выделить любую интересующую вас комбинацию событий:
пересечение, объединение и т.д.
«Ластик» – в этом режиме щелчок левой кнопкой по любому
множеству или элементу удаляет его с диаграммы;
«Множество» – включив этот режим, щелкните в любом месте
диаграммы левой копкой мыши и введите название нового множества
– оно появится на диаграмме;
«Элемент» – щелкните в любом месте диаграммы левой копкой
мыши и введите название нового элемента – он появится на
диаграмме;
«Количество» – щелкните в любом месте диаграммы левой копкой
мыши и введите число – в этом месте диаграммы появится
специальный флажок с указанием количества элементов (или
вероятности) этой части диаграммы; в строке статуса автоматически
происходит суммирование всех таких количеств, попадающих в
заштрихованную область.
В лаборатории имеется еще одна интересная возможность: щелкнув по
кнопке
, вы можете ввести любую теоретико-множественную
формулу, включающую операции объединения, пересечение, разности и
дополнения. Формула вводится с помощью специального редактора формул:
85
Полученный результат будет немедленно показан на диаграмме:
Отметим еще одну важную особенность лаборатории: при передвижении
множеств на диаграмме заштрихованная часть диаграммы автоматически
обновляется.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Ответ: от 4 до 7 элементов. Два крайних случая учащиеся должны
построить на диаграмме Эйлера: 4 элемента – если A  B , 7 элементов
– если
A B  .
86
2.
 Ответ: от 0 до 3 элементов. Два крайних случая учащиеся должны
построить на диаграмме Эйлера: 0 элементов – если
A B  , 3
элемента – если A  B .
3.
 Ответ можно получить с помощью диаграммы Эйлера,
последовательно указывая количество элементов в каждой из ее частей.
Поскольку на поле присутствует 22 игрока, а 18+14=32, то 10 игроков
знают оба языка (они были посчитаны и в числе 18-ти, знающих
английский, и в числе 14-ти, знающих русский). Только английский язык
знает 18-10=8 игроков. Только русский язык знает 14-10=4 игрока.
4.
 Ответ нужно сконструировать в лаборатории,
соответствующие области диаграммы в указанные цвета.
5.
 См. предыдущую задачу.
6.
 Здесь требуется решить обратную задачу: описать закрашенную часть
диаграммы теоретико-множественной формулой. Задачи такого рода
интересны тем, что допускают различные правильные ответы – ученику
достаточно найти любой из них.
закрашивая
Имеющийся в ВЛ инструментарий позволяет учащимся провести
самопроверку: для этого перед тем, как дать окончательный ответ, нужно
нажать кнопку
и ввести формулу – соответствующая часть диаграммы
будет закрашена, и учащиеся смогут убедиться в правильности ответа или
увидеть свою ошибку.
7.
 См. предыдущую задачу.
8.
 Ответ:
87
9.
В этой задаче ВЛ «Диаграмма Эйлера» может служить инструментом для
проверки целого ряда теоретико-множественных тождеств. Для этого на
первой диаграмме закрашивается область, соответствующая левой части
тождества, во второй лаборатории – правой части. Получившиеся
области сравниваются.
Урок 55. Противоположное событие и его вероятность
Этот урок посвящен простейшей одноместной операции – дополнению. На
языке событий это означает переход к противоположному событию.
Вообще использование двух языков – естественного и теоретикомножественного – является прекрасным средством развития логического
мышления, формирует у учащихся умение переходить от реальных ситуаций
к их математическим моделям. Вот почему, начиная с этого раздела и на
протяжении всей главы, мы рекомендуем рассматривать параллельно два
взгляда на любую операцию: формальный теоретико-множественный, в
рамках которого каждое событие - это подмножество в множестве всех исходов
опыта; и естественный, использующий словесное описание события.
После определения операции дополнения и рассмотрения примеров
выясняется, как ведет себя вероятность при применении данной операции.
Приводится обоснование формулы для вероятности противоположного
события. Отметим, что при аксиоматическом построении эта формула
является элементарным следствием аксиомы аддитивности. Но поскольку в
школьном курсе мы берем за основу частотный подход, то и обоснование
всех формул здесь и в дальнейшем мы ищем именно в рамках этого подхода.
В качестве инструментария в задачах практикума используются ВЛ
«Комбинаторика» (для представления исходов опыта) и ВЛ «Классическая
вероятность» (для проверки вероятности по частоте).
88
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Простая задача.
2.
 Первое событие – это A  B , второе событие -
B , третье событие -
A.
3.
 Простая задача.
4.

Поскольку
опыт
P( A )  1  P( A)  1 
5.
имеет
64
равновозможных
исхода,
то
2
31

.
64 32
 Пусть A={Не выпадет ни одной шестерки}. Опыт имеет 6
6
6
благоприятных исходов. Из них 5 исходов благоприятны для события
A.
Поэтому
P( A) 
56
.
66
В
задаче
требуется
найти
56
P( A )  1  6  0,665 .
6
1
93
 0,271 .
103
6.
См. предыдущую задачу. Ответ:
7.
Разберем пункт а). Из 12-ти месяцев случайно выбираются три с
3
возвращением. Опыт имеет 12 равновозможных исходов. Пусть
A={все родились в разных месяцах}. Для этого события имеется
12  11  10 благоприятных исходов. Поэтому P( A) 
задаче требуется найти P ( A )  1 
12  11  10
 0,236 .
12 3
Аналогично решается пункт б): P ( A )  1 
89
12  11  10
. В
12 3
765
 0,388 .
73
8.
 Противоположными будут события B и C. Исходы опыта – сочетания
из 6-ти по 2; их количество - C 6  15 . Для события A всего один
2
благоприятный
исход,
поэтому
P ( A) 
1
. Для события
15
B
благоприятными будут исходы, в которых из четырех НЕкрасных шаров
выбирают
любые
два
–
таких
исходов
C42  6 ,
поэтому
6 2
 . Вероятность C можно посчитать через вероятность
15 5
2 3
противоположного события: P (C )  1  P ( B )  1   . Наконец,
5 5
P( B ) 
благоприятные исходы для события D можно посчитать по правилу
умножения: выбираем любой шар из двух красных и любой шар из
четырех НЕкрасных – это можно сделать
P( D ) 
9.
2  4  8 способами. Отсюда
8
.
15
Вероятнее событие A.
10. Опыт с N-кратным бросание кубика имеет 6
N
равновозможных исходов.
A  {в N бросаниях не
N
выпало ни одной шестерки}. Для него имеется 5 благоприятных
Противоположным к событию A будет событие
5N
исходов. Отсюда P( A)  1  P( A )  1  N . Остается подобрать
6
такое наименьшее N, при котором выполняется неравенство
1
5N 1
 .
6N 2
Это будет N=4.
2  1024
11. Опыт с подбрасыванием 10-ти монет имеет
равновозможных исхода. Рассмотрим событие A = {орлов и решек
10
90
выпадет поровну}. Оно имеет C10  252 благоприятных исхода.
5
A  {выпадет разное количество
орлов и решек}. Оно имеет 1024  252  772 благоприятных исхода.
Противоположным к A будет событие
Поскольку события «Орлов выпадет больше» и «Решек выпадет больше»
абсолютно симметричны, то каждое из них содержит по
благоприятных исходов. Ответ:
772
 386
2
386 193

 0,377 .
1024 512
4
12. Покажем, как решается задача для N=4. Опыт имеет 6 благоприятных
исходов. Для интересующего нас события A противоположным будет
событие A = {все числа на кубиках различны}. Оно имеет
благоприятных
исхода.
P( A)  1  P( A )  1 
6  5 4  3
Отсюда
6  5  4  3 13

 0,722 . Для остальных N
64
18
задача решается аналогично.
Урок 56. Сумма и произведение событий
На этом уроке рассматриваются две основные операции над событиями –
объединение и пересечение. Следуя упомянутому выше «двойственному»
взгляду на события, мы рассматриваем два определения каждой операции –
формальное теоретико-множественное и естественное словесное.
Важно, чтобы при рассмотрении примеров и задач учащиеся почувствовали
преимущества теоретико-множественного подхода при определении
результатов объединения и пересечения. Зачастую именно формальное
представление событий как подмножеств в множестве  позволяет
безошибочно найти результаты применения любых операций и однозначно
их записать; в то время как словесное описание этих результатов может быть
весьма запутанным и вызывать у учащихся затруднения логического или даже
лингвистического плана.
91
Важную роль в получении навыков работы с базовыми операциями играют
диаграммы Эйлера – соответствующая ВЛ используется в большинстве заданий
практикума.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 При решении этой задачи учащиеся могут использовать ВЛ
«Диаграмма Эйлера». Достаточно правильно расположить шесть
возможных исходов опыта на диаграмме, чтобы увидеть все ответы.
2.
 Ответ:
3.
 При решении задачи можно использовать ВЛ «Диаграмма Эйлера».
Первоначально ученик выбирает правильное расположение указанных
событий на диаграмме:
Затем расставляет на диаграмме «флажки» с известным количеством
исходов в каждом из четырех событий A, B, C, D:
92
Далее эти флажки корректируются с учетом количества исходов в каждом
из попарных пересечений:
Теперь остается закрасить интересующую нас комбинацию событий и
лаборатория сама посчитает, сколько исходов в нее попало (эта
информация выводится внизу в строке статуса). Ответы: 5, 1, 6, 29.
4.
 См. предыдущую задачу. Ответы: 31, 1, 32, 129.
5.
 См. задачу 3 и 4. Ответы: 1, 25.
6.
 Ответ:
93
7.
 Простая задача.
8.
 Ответы: A  B - взят либо белый, либо красный шар;
A  C - взят
белый шар; A C - невозможное событие; ( A  B )  C - взят
черный шар.
9.
Ответы:
A B C
ABC
( А  В  С)
( АВ  АС  ВС )
( АВ  АС  ВС )  АВС
A  B C
( А  В  С)
произошло только А
произошли все три события
произошло по крайней мере
одно из этих событий
произошло по крайней мере
два события
произошло ровно два
события
ни одно событие не
произошло
произошло не более двух
событий
Урок 57. Формула сложения вероятностей
Следуя
«двойственной»
природе
случайных
событий,
понятие
несовместности можно рассматривать с двух точек зрения: это события,
которые не могут произойти одновременно (естественный язык); это непересекающиеся
94
множества (теоретико-множественный язык). В любом случае говорить о
несовместности событий можно только в рамках одного и того же
эксперимента.
С несовместными событиями связано важнейшее свойство вероятности –
свойство аддитивности: вероятность суммы несовместных событий равна
сумме их вероятностей. В аксиоматической теории это свойство является одной из
аксиом вероятности. При частотном подходе мы обосновываем эту формулу
через очевидное соотношение между частотами несовместных событий и их
объединения.
В конце раздела формула сложения вероятностей обобщается на случай
совместных событий. Выясняется, что для ее использования нужно
вычислять вероятность пересечения, что естественным образом подводит к
материалу следующего раздела.
Основным инструментом при решении задач практикума служит ВЛ
«Диаграммы Эйлера».
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Простая задача. Ответ: 0,6.
2.
 Простая задача. Ответ: 0,2.
3.
 В этой задаче учащиеся могут использовать для решения ВЛ
«Диаграмма Эйлера». Прежде всего нужно правильно расположить
события A и B (так, чтобы выполнялось A  B ). После этого можно
закрашивать на диаграмме левую часть формулы и выяснять – будет ли
она совпадать с правой частью.
4.
 Простая задача. Ответ: 0,3.
5.
 Пусть A={Выиграет первый билет}, B={Выиграет второй билет}.
Коля забыл, что события A и B могут произойти одновременно, поэтому
P( A  B )  0 . Отсюда
95
P( A  B )  P( A)  P( B )  P( A  B )  1  P( A  B )  1 .
6.
 Ответ: в 4 раза. Этот ответ легко получить с помощью диаграммы
Эйлера:
(здесь в A входят все, кто имеет компьютер, а в B – кто умеет
программировать).
7.
 Ответ: 0,15 + 0,18 – 0,03 = 0,3.
8.
Ответ: 0,01 + 0,008 – 0,002 = 0,016.
9.
Ответ: от 0,15 до 0,27. Минимальная вероятность будет при
максимальная – при
10. Вероятность
A B,
A B  .
достоверного
события
равна
1.
Поскольку
P( A  B )  P( A)  P( B ) для любых событий, то событие A  B
может быть достоверным только в тех случаях, когда P( A)  P( B )  1 .
11. Пусть A={отлично}, B={хорошо}, C={удовлетворительно}. Тогда:
P{ получит стипендию} = P( A  B )  P( A)  P( B )  0,3 ;
P{не сдаст экзамен} = 1  P( A  B  C )  1  P( A)  P( B )  P(C )  0,4 .
12. Пусть A={вызовут на первом}, B={вызовут на втором}. Тогда:
P{хотя бы на одном} = P( A  B )  P( A)  P( B )  P( A  B )  0,32 ;
P{вообще не вызовут} = 1  P( A  B )  1  0,32  0,68 .
96
13. Рассмотрим события A = {орлов выпадет больше}, B = {решек выпадет
больше}, C = {орлов и решек выпадет поровну}. Очевидно, что эти
события попарно несовместны и в объединении дают достоверное
событие, поэтому
P( A)  P( B )  P(C )  1 .
Кроме того, в силу симметрии P ( A)  P ( B ) . Чтобы найти ответ,
достаточно
вычислить
P (C ) . Эксперимент имеет
210  1024
равновозможных исхода, из которых C10  252 благоприятны для
5
1  C105  193
события C. Отсюда P( A)   1  10  
 0,377 .
2 
2  512
Уроки 58-59. Условная вероятность и независимость
Понятие независимости играет фундаментальную роль во всей теории
вероятностей. На нем основаны наиболее известные результаты этой теории,
нашедшие широкое использование в приложениях и превратившие ее в одну
из самых популярных математических дисциплин. Формально независимость
событий A и
B означает выполнение соотношения:
P( A  B )  P( A)  P( B )
(*).
Сложный вопрос методического плана – как прийти к этой формуле
наиболее естественным образом? Если несовместность легко выражается в
обычных
теоретико-множественных
терминах
(несовместные

непересекающиеся), то у независимости такого аналога просто нет. Показать
независимость на диаграмме Эйлера весьма затруднительно, поскольку для
этого должны выполняться количественные соотношения между
вероятностями. В то же время независимость имеет вполне определенный
смысл на обычном языке и означает отсутствие какого-либо взаимного влияния
событий друг на друга.
В нашем пособии выбран наиболее естественный подход к понятию
независимости, связанный с определением условной вероятности: событие
97
A не зависит от события B , если его условная вероятность P ( A | B ) равна
безусловной P( A) . При этом условная вероятность, формально заданная
формулой
P( B | A) 
P( A  B )
, может быть определена как обычная
P( A)
вероятность события A в изменившихся условиях эксперимента.
Чтобы сделать определение независимости симметричным и распространить
его на события нулевой вероятности, его удобно записать в виде (*). В
приведенных примерах и заданиях практикума учащиеся обязательно
должны почувствовать, что формальное понимание независимости совпадает
с естественным пониманием в тех случаях, когда речь идет о событиях,
связанных:
-
с разными объектами, участвующими в эксперименте и не влияющими
друг на друга (бросаем два разных кубика) ;
-
с разными этапами одного и того же эксперимента, не влияющими друг на
друга (два раза подряд бросаем кубик).
В этом случае независимость следует из самой природы опыта, и формулу (*)
можно применять для вычисления вероятности пересечения событий. Если же
рассматриваются два события, связанные с одним и тем же объектом или
этапом эксперимента (примеры 2 и 5), независимость ниоткуда не следует, и
тогда ее нужно доказывать или опровергать, проверяя, выполняется ли соотношение (*).
Для выполнения большинства заданий практикума используется хорошо
знакомая учащимся ВЛ «Классическая вероятность», но теперь в ней
появляются новые инструменты:
-
кнопка
«Задать условие» – позволяет выбрать любое событие в
качестве условия, относительно которого будут вычисляться все
вероятности (это событие должно быть к этому моменту внесено в
список случайных событий в ВЛ);
98
-
флажок
«Вкл/откл условие» – если флажок включен, то при
проведении экспериментов фиксируются только те, в которых
выполнено заданное условие.
Таким образом, эти новые механизмы позволяют следить за изменением
условной частоты событий и исходов относительного любого заданного
условия и оценивать условную вероятность по частоте.
Таким же образом можно убедиться в зависимости или независимости
любых событий A и B: достаточно выбрать B в качестве условия и
проследить, изменяется ли поведение частоты события A при включении/отключении
флажка «Условие» (включать и отключать флажок можно прямо во время
проведения серии экспериментов):
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Пусть A={В первый раз выпало 2 очка}, B={Во второй раз выпало
больше, чем в первый}. В задаче нужно найти условную вероятность
P(B|A). Найдем ее, как вероятность события B в новых условиях: если
произошло A, то множество возможные исходов сократилось до шести:
99
21, 22, 23, 24, 25, 26.
Из этих шести исходов четыре исхода благоприятны для B. Поэтому
P( B | A) 
4 2
 .
6 3
В этой и последующих задачах учащиеся могут самостоятельно
проверить правильность своего ответа, проведя серию экспериментов
в лаборатории «Классическая вероятность». Чтобы получить оценку
условной вероятности по частоте, нужно выбрать соответствующее
событие в качестве условия (кнопка
) и поставить флажок в поле
«Условие». Во многих задачах условие уже задано – остается только
поставить флажок.
2.
 Для каждого значения
k от 1 до 6 задача решается аналогично
5
предыдущей. Безусловная вероятность P ( A) 
. С увеличением k ,
12
как и следовало ожидать, условная вероятность уменьшается и доходит до
0 при
3.
k  6.
 Эта задача должная рассеять распространенное заблуждение,
состоящее в том, что вероятность вытащить счастливый (или
несчастливый) билет на экзамене зависит от очередности. При этом
одним учащимся кажется, что выгоднее идти в начале, а другим – в конце.
Решение задачи показывает, что безусловные вероятности для всех
участников экзамена одинаковые (в задаче рассматриваются только два
первых). Заблуждение же возникает из-за того, что безусловную вероятность
путают с условной.
Проще всего найти P( A) : когда первый заходит в аудиторию, то на
столе лежат 10 билетов, из которых 5 легких. Отсюда P ( A) 
100
5 1
 .
10 2
Почти также просто вычислить P ( B | A) : если произошло событие A ,
то когда второй студент заходит в аудиторию, то на столе лежат 9
билетов, из которых 4 легких. Отсюда P ( B | A) 
Для вычисления
4
.
9
P (B ) придется рассмотреть схему выбора без
возвращения: из 10 билетов один за другим вытаскивают без
возвращения два билета. Исходы опыта – размещения из 10-ти по 2.
Количество исходов -
10  9  90 . Благоприятные исходы для события
B также можно посчитать по правилу умножения: на второе место
можно поставить любой из 5 счастливых билетов, на первое – любой из
9 оставшихся:
5  9  45 . Отсюда P( B ) 
45 1
 .
90 2
Наконец, условную вероятность P ( A | B ) можно посчитать только по
определению, т.к. событие A предшествует во времени событию B. Для этого
нужно найти сначала P ( A  B ) . Опять обращаемся к схеме выбора без
возвращения. Благоприятные исходы для события A  B также можно
посчитать по правилу умножения: на первое место можно поставить
любой из 5 счастливых билетов, на любой – любой из 4 оставшихся
счастливых билетов:
5  4  20 . Отсюда P( A  B ) 
20 2
 .
90 9
Теперь воспользуемся определением условной вероятности:
P( A | B ) 
P( A  B ) 2 1 4
 :  .
P( B )
9 2 9
Все ответы можно проверить экспериментально.
4.
 См. предыдущую задачу. Ответы:
20  19  18
19  18
18
 0,496 ;
 0,620 ;
 0,783 .
25  24  23
24  23
23
101
5.
Опыт первый: наугад выбирается дальтоник. Из данных задачи следует,
что отношение мальчиков и девочек среди дальтоников составляет 5:1.
Отсюда вероятность, что дальтоник окажется мальчиком – 1/6.
Опыт второй: наугад выбирается мальчик. Поскольку дальтоники
составляют среди мальчиков 5%, то вероятность, что мальчик окажется
дальтоником – 0,05.
6.
 Из соображений полной симметрии опыта, можно без всяких
вычислений сказать, что шансы игроков равны. А поскольку ничьих быть
не может (при пяти бросаниях количество орлов не может равняться
количеству решек), то обе искомые вероятности равны
1
.
2
Если первым выпал орел, то ситуация меняется. Теперь нам предстоит
бросить монету только 4 раза. Вова побеждает в случаях, когда
количество орлов в 4-х бросаниях будет равно 2, 3 или 4, а Оля – 0 или 1.
Нетрудно найти их шансы: Вова 7.
11
5
, Оля .
16
16
 Введем обозначения: A={случайный игрок знает английский язык},
B={ случайный игрок знает русский язык }. Из условия задачи получаем:
P( A) 
18
14
10
, P( B ) 
, P( A  B ) 
.
22
22
22
По этим данным несложно найти условную вероятность P ( A | B ) , о
которой спрашивается в задаче:
P( A | B ) 
8.
P( A  B ) 10 14 5

:
 .
P( B )
22 22 7
Если считать вероятности рождения и мальчика одинаковыми, то можно
перейти к рассмотрению опыта, в котором 4 раза бросают монету (орел –
мальчик, решка – девочка).
У него будет 2  16 равновозможных
4
102
исходов и найти вероятности в пункте а) не составит труда (см.,
например, задачу 13 из урока 38):
P ( A) 
6 3
1  3 5
 , P ( B )  P (C )    1   
.
16 8
2  8  16
В пункте б) речь идет уже об условной вероятности. В качестве условия
известно, что один из четверых детей – мальчик. На языке монет это
можно интерпретировать как событие D={хотя бы один раз выпал орел}.
Оно содержит 15 из 16-ти возможных исходов опыта.
P( A | D ) 
9.
4
6
5
, P( B | D ) 
, P (C | D ) 
.
15
15
15
 При доказательстве независимости (или зависимости) событий в этой
и последующих задачах не всегда нужно проверять ее формально по
определению, вычисляя до конца все необходимые вероятности. Иногда
независимость очевидно следует из условий эксперимента, а
зависимость может быть получена с помощью оценок и
рассуждений.
В этой задаче шары вытаскивают без возвращения. Если событие A
произошло, то шансы событий B и D, очевидно, уменьшаются (для D
они просто становятся нулевыми), а для события C - увеличиваются.
Событие B увеличивает шансы события C, а шансы D сводит к нулю.
Наконец, события C и D несовместные, а поэтому, как было показано в
одном из примеров, не могут быть независимыми. В итоге, среди
перечисленных событий нет ни одной пары независимых.
Разумеется, все эти рассуждения можно (и даже нужно) подкрепить
формальным вычислением всех условных и безусловных вероятностей –
тем более, что в этой задаче это сделать совсем несложно. Но
ограничиваться только вычислениями не стоит. Учащиеся должны
понять содержательный смысл важнейшего в теории вероятностей
понятия независимости.
103
Очень полезно проверить полученные результаты в эксперименте,
наблюдая, как меняется частота каждого из перечисленных событий, если
одно из них выбирается в качестве условия.
10.  По сравнению с предыдущей задачей изменена схема выбора – теперь
шары вынимаются с возвращением. В результате события A и B
становятся независимыми.
11. А вот в этой задаче никакие рассуждения не помогут найти правильный
ответ - придется считать все вероятности по определению:
N
P( A)
P( A | B )
A и B независимы?
10
1/2
1/3
зависимы
11
5/11
1/3
зависимы
12
1/2
1/2
независимы
12. См. пояснения к задаче 9. Ответ:
A
A
B
C
D
B

C


D



13. А вот в этой задаче, как и в задаче 11, для заполнения таблицы придется
вычислять условные и безусловные вероятности. Ответ:
A
B
A
B
C
104
C
D



D



14. Независимость A и B очевидна: один кубик никак не может повлиять на
другой. Зависимость C и D также очевидна: если произойдет D, то
событие C превращается из случайного в достоверное.
А вот зависимость и независимость других пар придется выяснять по
определению:
A
A
B
C
D


B

C


D

15. Доказательство состоит в вычислении всех перечисленных вероятностей,
их произведений и проверке соответствующих равенств.
16. См. аналогичную задачу, разобранную в примере 4. Ставку нужно
поделить в отношении 3:1. Первый игрок забирает 48 пистолей, второй –
16.
Уроки 60-61. Формула умножения вероятностей
Этими уроками заканчивается раздел, посвященный алгебре событий,
поэтому при выполнении заданий практикума используются все изученные
ранее формулы.
Начинается урок с повторения формулы умножения для независимых
событий
P( A  B )  P( A)  P( B ) , которая уже обсуждалась ранее.
Учащиеся еще раз должны уловить разницу: в каких задачах этой формулой
можно пользоваться для вычисления вероятности (независимость следует из
условий проведения эксперимента), а в каких – проверять выполнение этой
формулы (для доказательства независимости).
105
Затем формула умножения обобщается на произвольные (зависимые)
события: P( A  B )  P( A)  P( B | A) . Как и предыдущая, эта формула
кажется тавтологией, поскольку является переписанным в другом виде определением
условной вероятности. Но при решении задач она оказывается чрезвычайно
полезной: если в задаче присутствует эксперимент, состоящий из нескольких
действий, следующих во времени друг за другом (событие A предшествует
во времени событию
B ), то условную вероятность P ( B | A) можно
вычислить не по определению, а исходя из новых условий эксперимента.
Тогда формула произведения может быть использована для нахождения
P( A  B ) .
Заканчивается урок выводом еще одной полезной формулы для вычисления
вероятности объединения независимых событий.
Для выполнения заданий практикума и проверки полученных ответов
учащимся предлагается использовать ВЛ «Классическая вероятность». С ее
помощью удается смоделировать почти все описанные в заданиях опыты. При этом
предполагается, что к этому времени учащиеся имеют достаточный большой
опыт работы с ВЛ, который позволит им при построении моделей свободно
переходить от реальных предметов к их условным обозначениям (разноцветным шарам,
символам, числам).
В заключение отметим, что появление в этой главе значительного количества
новых формул открывает новые возможности для решения задач – теперь
многие из них могут быть решены разными методами, что и демонстрируется
в приведенных ниже комментариях.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Пусть A={первый шар белый}, B={второй шар черный}. Используем
общую формулу умножения: P( A  B )  P( A)  P( B | A) .
а) события зависимы: P ( A  B ) 
4 6 4
  ;
10 9 15
106
б) события независимы: P ( A  B ) 
2.
4 6
6


.
10 10 25
 Общей формулой умножения вероятностей будет удобнее
пользоваться, если перейти от одновременного выбора к последовательному
выбору без возвращения (мы уже неоднократно обсуждали эквивалентность
этих двух схем выбора):
P{белый-белый} =
4 3 2
 
;
10 9 15
P{черный-черный} =
6 5 1
  ;
10 9 3
P{белый-черный} = 1 
3.
2 1 8
  .
15 3 15
 По условию задачи опыт с кнопкой имеет два исхода, которые мы
обозначим «ш» и «о» (их вероятности 0,6 и 0,4 соответственно). Опыт с
двум кнопками имеет четыре возможных исхода:
шш, шо, ош, оо.
Их вероятности можно найти по правилу произведения для независимых
событий:
0,6· 0,6; 0,6· 0,4; 0,4· 0,6; 0,4· 0,4.
Искомая вероятность находится по правилу сложения:
0,6· 0,6 + 0,4· 0,4 = 0,52.
4.
 Опыт состоит в том, что из всей совокупности зрителей,
присутствующих на матче, выбираются два человека. Опыт имеет
32  9 возможных исходов:
107
СС, СД, С0, ДС, ДД, Д0, 0С, 0Д, 00.
(С – Спартак, Д – Динамо, 0 – не болеет ни за одну из команд).
Как и в опыте с двумя кнопками, их вероятности можно посчитать по
правилу умножения для независимых событий (поскольку зрителей на
матче достаточно много, то события с первым и вторым болельщиками
можно считать независимыми). Искомая вероятность находится по
правилу сложения:
P{СД+ДС} = P{СД} + P{ДС} = 0,5· 0,3 + 0,3· 0,5 = 0,3.
5.
 Для решения задачи нужно использовать формулы сложения
вероятностей для несовместных и умножения вероятностей для
независимых событий:
P{шары одного цвета} =
6.
3 2
5 4
7 9
      0,396 .
15 15 15 15 15 15
 Р е ш е н и е 1 . Исходы опыта – сочетания из 8 по 2. Всего исходов -
C82  28 . Благоприятный исход всего один (пара 45-го размера).
Искомая вероятность -
1
.
28
Р е ш е н и е 2 . Заменим одновременный выбор на последовательный
без возвращения (чтобы применить правило умножения). Пусть
A={первый ботинок 45-го размера}, B={второй ботинок 45-го размера}.
Тогда
P( A  B )  P( A)  P( B | A) 
108
2 1 1
 
.
8 7 28
7.
 Найдем сначала вероятность противоположного события (абонент не
угадает номер с трех попыток):
1
9 8 7 7
  
. Искомая вероятность 10 9 8 10
7
3

.
10 10
1
.
3
8.
 См. предыдущую задачу. Ответы: все вероятности равны
9.
 Будем обозначать попадание в мишень буквой П (попал), а промах –
буквой М (мимо). Тогда все возможные сценарии или исходы стрельбы
будут следующие:
П, МП, ММП, МММП, ММММ.
Разумеется, эти исходы будут неравновозможны, но по формуле
произведения можно найти вероятность каждого из них:
P{П} =
0,3 ;
P{МП} = 0,7  0,3 ;
P{ММП} =
0,72  0,3 ;
P{МММП} =
0,73  0,3 ;
P{ММММ} =
0,7 4 .
Теперь, чтобы найти вероятность каждого из заданных событий,
достаточно сложить вероятности соответствующих им исходов:
P{выиграет первый} = P{П}+P{ММП} = 0,3  0,72  0,3  0,447
P{выиграет второй} = P{МП}+P{МММП} = 0,7  0,3  0,73  0,3  0,3129
P{никто не выиграет} = P{ММММ} = 0,74  0,2401.
Обратите внимание учеников, что сумма полученных вероятностей равна
1. Полученные ответы можно проверить в ВЛ, заменив стрельбу в
мишень подбрасыванием кнопки.
109
10. Используя рассуждения из предыдущей задачи, можем найти вероятности
интересующих нас событий:
P{выиграет первый} = P{П}+P{ММП} = p  (1  p )(1  q) p
P{выиграет второй} = P{МП}+P{МММП} = (1  p)q  (1  p) 2 (1  q)q
Получаем уравнение:
p  (1  p)(1  q) p  (1  p)q  (1  p) 2 (1  q)q ,
откуда
q
p
.
1 p
11.  Р е ш е н и е 1 . Исходами эксперимента будут перестановки из 5-ти
конфет. Всего исходов - 5! Благоприятными будут перестановки, в
которых на последнем месте стоит одна из трех конфет «Красная
шапочка» (это и означает, что «Мишки» закончились раньше). Таких
перестановок по правилу умножения будет
равна
3 4! . Искомая вероятность
3  4! 3
 .
5!
5
Р е ш е н и е 2 . Будем обозначать «Красную шапочку» буквой Ш, а
мишку – буквой М. Исходами опыта можно считать перестановки с
повторениями из трех букв Ш и двух букв М. Всего таких перестановок
будет
5!
 10 . Благоприятными среди них будут все перестановки с
3!2!
повторениями, которые заканчиваются на букву Ш – их будет столько же,
сколько перестановок с повторениями из двух букв Ш и двух букв М, т.е.
4!
6 3
 6 . Искомая вероятность равна
 .
2!2!
10 5
Р е ш е н и е 3 . Последней конфетой в подарке с равными шансами
может оказаться любая из 5-ти конфет. Поскольку «Шапочек» среди них
три, а «Мишек» - две, то вероятность, что это будет «Красная шапочка»
равна 3/5.
110
Полученный ответ можно проверить в ВЛ «Классическая вероятность»:
из коробки, в которой лежит 3 красных шара («Красные шапочки») и 2
синих («Мишки косолапые») без возвращения вытаскивают пять шаров. С
какой вероятностью последний шар окажется красным?
12. Чтобы получить зачет у Строгачева нужно три раза подряд получить
«хороший» вопрос: сначала таких вопросов 15 из 20-ти, затем 14 из 19-ти
и, наконец, 13 из 18-ти. По формуле умножения вероятностей получаем:
15 14 13
   0,399 .
20 19 18
Чтобы получить зачет у Середнякова нужно два раза подряд получить
«хороший» вопрос:
15 14

 0,553 .
20 19
Наконец, у Добрякова возможно несколько вариантов сдачи зачета:
ХХХ, ХХП, ХПХ, ПХХ
(буквой Х обозначаем «хороший» вопрос, буквой «П» - плохой). Для
первого варианта вероятность мы уже считали – она равна
15 14 13
  ;
20 19 18
15 14 5
  . Вероятность сдать зачет
20 19 18
15 14 13
15 14 5
   3     0,86 .
Добрякову 20 19 18
20 19 18
для каждого из трех оставшихся -
Для проверки ответа можно провести эксперимент в ВЛ, используя схему
выбора без возвращения: из коробки, в которой 15 зеленых и 5 красных
шаров достают три шара (зачет у Строгачева и Добрякова) или два шара
(зачет у Середнякова) без возвращения.
13.  Введем обозначения:
A = {первый стрелок попал в мишень};
111
B = {второй стрелок попал в мишень}.
В задаче нужно найти вероятности следующих событий:
A  B , A  B, A  B, A  B .
Используем для этого все известные нам формулы (вероятность
противоположного события, формула сложения, формула умножения):
P( A  B )  0,3  0,4  0,12 ;
P( A  B )  0,7  0,6  0,42 ;
P( A  B )  0,7  0,6  0,42  0,88 ;
P( A  B )  0,3  0,4  0,12  0,58 .
14. Вероятность, что отдельно взятый саженец примется, равна 0,8. Если
считать, что саженцы принимаются независимо друг от друга, то:
P{приметя хотя бы один из пяти} =
P{примутся все пять} =
1  0,25  0,99968 ;
0,85  0,32768 .
Чтобы найти наиболее вероятное число саженцев, которые примутся,
придется найти все вероятности:
P{примется четыре} =
5  0,2  0,84  0,4096 ;
P{примется три} =
10  0,22  0,83  0,2048 ;
P{примется два} =
10  0,23  0,82  0,0512 ;
P{примется один} =
5  0,24  0,8  0,0064 ;
P{примется ноль} =
0,25  0,00032 .
Видно, что наиболее вероятное число принявшихся саженцев равно 4.
112
Полученные ответы можно проверить в ВЛ экспериментально, если
заменить опыт с высадкой пяти саженцев подбрасыванием пяти кнопок.
15.  Для решения задачи применим формулу сложения вероятностей для
независимых событий:
P {хотя бы один выиграет} =
1  0,73  0,657 .
16.  Используя формулу сложения вероятностей для независимых событий,
получаем: если куплено n билетов, то вероятность, что хотя бы один
выиграет, равна
1  0,8n . Остается найти первое n , при котором
1  0,8n  0,5 или 0,8n  0,5 .
n  1,2,... находим, что впервые это неравенство
справедливо при n  4 .
Перебирая подряд
17. Используя ту же идею, что и в предыдущей задаче, получаем неравенств
на число монет n :
1  0,5n  0,99 или 0,5n  0,01 .
Ответ: 7 монет.
18. Снова та же идея, что и в двух предыдущих задачах:
n
n
 5
 5
1     0,99 или    0,01 .
6
6
Ответ: 26 кубиков.
З а м е ч а н и е . Поскольку число n в этой задаче довольно большое, то
для его нахождения удобно использовать MS Excel.
113
19. В этой задаче ничего не сказано о том, как проводится жребий.
Попробуйте обсудить это с учащимися. Пусть они выскажут различные
предложения по проведению жребия. Главное, чтобы он был
справедливым, т.е. у каждого из его участников (перед началом его
проведения) были абсолютно равные шансы попасть в любую из двух
команд.
Ответ: 5/11, т.е. несколько меньше 1/2.
Этот результат часто удивляет учащихся, которые считаю, что события
«они будут играть в одной команде» и «они будут играть в разных
командах» равновозможны.
20. Рассмотрим сразу общий случай. Если число испытаний n нечетно, то,
очевидно, число орлов не может равняться числу решек, поэтому
вероятность равна 0.
Пусть теперь число испытаний четно:
n  2k . Общее число
n
равновозможных исходов равно 2 - именно столько различных
последовательностей длины n можно составить из букв О и Р.
Чтобы исход был благоприятным, в такой последовательности должно
быть ровно половина (т.е. ровно
k ) орлов. Выбрать из n мест те k , на
k
которых будут стоять орлы, можно C n способами. Таким образом,
число благоприятных исходов равно C 2 k 
k
вероятность – она равна
выражение с ростом
( 2k )!
. Отсюда находим
k!k!
( 2 k! )
. Чтобы понять, как ведет себя это
k!k!2 2 k
k , постройте его график в MS Excel.
21. Рассмотрим три события:
A = {Петя и Света попадут в 1-й вагон};
B = { Петя и Света попадут во 2-й вагон};
C = { Петя и Света попадут в 3-й вагон}.
114
В задаче требуется найти P ( A  B  C ) . Поскольку события A, B и C
несовместны,
P( A  B  C )  P( A)  P( B )  P(C ) .
то
Вероятность каждого из этих событий найдем по правилу умножения:
P( A  B  C ) 
15 14 8 7
7 6





 0,354 .
30 29 30 29 30 29
22. Опыт заканчивается после того, как все бракованные детали будут
извлечены из ящика. Это может произойти на 2-м, 3-м или 4-м шаге.
Найдем вероятность каждого из этих трех событий (будем обозначать
буквой И исправную деталь, а буквой Б – бракованную):
P{опыт закончится на 2-м шаге} = P {ББ} =
2 1 1
  ;
4 3 6
P{опыт закончится на 3-м шаге} = P {ИББ} + P{БИБ} =
2 2 1 2 2 1 1
      ;
4 3 2 4 3 2 3
P{опыт закончится на 4-м шаге} = 1 
1 1 1
  .
6 3 2
Ответ: вероятнее всего будут извлечены все 4 детали.
23. Этот опыт имеет бесконечно много возможных исходов. Выпишем их:
О, РО, РРО, РРРО, РРРРО, …
По формуле умножения для независимых событий можем найти
вероятность каждого из них:
1 1 1 1 1
, , , , ,...
2 2 2 23 2 4 25
Заметим, что хотя исходов бесконечно много, сумма их вероятностей попрежнему равна 1 – ее можно найти как сумму бесконечной
геометрической прогрессии со знаменателем 1/2:
115
1 1
1
1
1
1 1
 2  3  4  5  ...  
 1.
2 2
2
2
2
2 1 1
2
Найдем вероятность выигрыша для каждого из игроков:
P{выиграет первый} = P{О}+P{РРО}+ P{РРРРО}+…=
1 1
1
1 1
2
 3  5  ...  
 ;
2 2
2
2 1 1 3
4
P{выиграет второй} = P{РО}+P{РРРО}+ P{РРРРРО}+…=
1
1
1
1 1
1
 4  6  ...  
 .
2
2
2
2
4 1 1 3
4
Глава 8. Геометрическая вероятность
Уроки 63-64. Геометрическая вероятность на прямой и на плоскости
Основная задача этой главы – показать учащимся, каким образом можно
свести большой набор статистических данных к нескольким числовым
характеристикам, характеризующим весь набор в целом. При этом следует
обязательно обратить внимание и на возможные ошибки и нелепые выводы,
связанные с неполнотой информации, заключающейся в этих
характеристиках.
Среднее арифметическое уже знакомо учащимся из курса математики,
поэтому его рассмотрение не должно вызывать трудностей. При введении
моды нужно обратить внимание на то, что она не всегда существует и что ее
можно находить также для нечисловых данных. Определение медианы, не
смотря на свою простоту, часто вызывает типичную ошибку: перед ее
вычислением учащиеся забывают ранжировать заданный статистический ряд.
Самый сложный вопрос – какая из трех характеристик лучше отражает
поведение ряда в целом. В учебнике приведены примеры, в которых среднее,
мода или медиана не имеют никакого содержательного смысла, хотя и могут
116
быть вычислены. Хорошо, если учащиеся дополнят этот ряд примеров
своими.
На этом уроке учащиеся знакомятся с тремя новыми функциями MS Excel:
СРЗНАЧ(), МОДА(), МЕДИАНА(). Хорошо, если в рассмотренных на диске
примерах они проверят работу этих функций прямым вычислением
соответствующих величин.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Обратите внимание учащихся, что в этой задаче мода – наиболее
неудачная характеристика выборки.
2.
Из трех вычисленных характеристик, пожалуй, мода наиболее
информативна (при условии большого объема данных). Она
показывает наиболее «опасный» для взятия ворот период матча.
3.
 Обратите внимание учащихся, что MS Excel корректно работает с
данными, заданными в формате «дата-время». Это связано с тем, что
моменты времени хранятся в памяти, как обычные вещественные
числа (например, 02:08 как 0,00148), что позволяет применять к ним
функцию СРЗНАЧ(). Если эту задачу решать вручную, то придется
переводить все моменты в минуты, а потом обратно в часы.
4.
 Ответ можно вводить с точностью до часа. Чтобы объяснить
столь большую разницу в средних, нужно вспомнить географию: в
каком направлении от Москвы идут поезда с указанных трех
вокзалов.
5.
 В этой задаче есть, над чем подумать. Во-первых, здесь не
получится найти отдельно моду в каждом из двух столбцов (пусть
учащиеся объяснят, почему). Во-вторых, говоря о самом популярном
сете, не нужно учитывать порядок чисел – 1:0 и 0:1 это один и тот же
счет. Исходные данные нуждаются в «перекодировке». Один из
возможных вариантов указан в подсказке, но для нее еще нужно
придумать формулу: =МАКС(A1:B1)*10+МИН(A1:B1).
117
6.
Хорошо, если в классе есть знатоки спорта, которые объяснят
полученные отличия.
7.
 На этой задаче можно задержаться - здесь есть что обсудить!
Нужно попросить учащихся еще до проведения эксперимента
предсказать предполагаемые результаты, вспомнив для этого
классическое определение вероятности. Правильное предсказание (в
идеале) должно быть таким:
Первый кубик
Второй кубик
Сумма
Максимум
Ср.знач.
3,5
3,5
7
4,47
Мода
не знаю
не знаю
7
6
Медиана
3,5
3,5
7
7
Если предсказание не получится – пусть учащиеся попытаются
объяснить полученные результаты.
8.
Задача имеет продолжение: как изменяется полученная величина с
ростом N? Для этого можно использовать все тот же MS Excel –
вычислить среднее значение длины интервала для возрастающих
значений N от 1 до 10 000 и построить график.
9.
 В этой задаче нужно сообразить, по каким данным вычислять
средние характеристики (столбец H). Наилучший прогноз за год
получится, если среднее значение за день умножить на 365.
10.  Чтобы решить задачу, нужно упорядочить таблицу по классам, а
потом вычислить среднее по каждому из полученных диапазонов.
11. Чтобы решить задачу, нужно найти среднее по каждой строке и
каждому столбцу. Для наглядности можно построить диаграммы.
12.  Найти можно только среднее арифметическое. Для этого нужно
суммировать все голы (забитые ИЛИ пропущенные, но ни в коем
случае не те и другие!) и поделить на общее количество игр – 240.
13. Простая задача, но интересная с точки зрения результата. Можно
попросить учащихся до решения задачи предсказать результат.
118
14. См. предыдущее задание.
15.  Задача чисто экспериментальная. Но проводя эксперимент,
учащиеся интуитивно должны понять, как «управлять» поведением
средних характеристик. Результат проверяет учитель.
16. То же, что в задаче 15, но проверка автоматическая.
17.  Задача подводит к понятию взвешенного среднего, которое будет
обсуждаться на следующем уроке. Среднее по России – это не
среднее арифметическое регионов. В каждом регионе проживает
разное количество людей.
Уроки 65-66. «Негеометрические» задачи с геометрической вероятностью
Вычисление средних по таблице частот вызывает одну и ту же типичную
ошибку: учащиеся забывают «взвесить» значения выборки приведенными в
таблице частотами. Особенно если частоты «завуалированы» в исходных
данных или вовсе отсутствуют (как было в последнем задании предыдущего
урока).
Тем большую опасность таят в себе функции MS Excel СРЗНАЧ(), МОДА() и
МЕДИАНА(), которые просто неприменимы к таблице частот! Алгоритм
вычисления средних для этого случая описан в учебнике и приведен в
примерах на диске.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Простая задача.
2.
 Для правильного ответа нужно взять середины интервалов.
3.
При вычислении ответов можно игнорировать добавление «и более».
4.
Для правильного ответа переведите все интервалы в часы.
5.
Правильный способ – второй, т.к. первый не учитывает, что страны
занимают разную площадь.
119
6.
Здесь все просто: нужно найти общее количество матчей, сумму
забитых и сумму пропущенных голов, а потом поделить каждую
сумму на количество матчей.
7.
 Имеют смысл мода и медиана. Пусть учащиеся опишут реальные
ситуации, в которых эти характеристики могут использоваться.
8.
К сожалению, наезд на пешехода – самое частое ДТП (берутся
только те происшествия, в которых есть хоть один пострадавший,
поэтому не учитываются мелкие столкновения автомобилей).
9.
 Нужно найти средний выигрыш на одну карточку и вычесть его из
стоимости карточки.
10. Задача сложна технически: чтобы быстро найти средний возраст по
каждой выставке, нужно умело комбинировать абсолютные и
относительные адреса ячеек в формулах.
11.  См. замечание к предыдущей задаче.
12. К трудностям двух предыдущих задач прибавляется еще и
избыточность информации, из которой учащиеся должны выбрать
нужную.
13. При вычислении ответа столбец «нет данных» нужно игнорировать.
14. Сначала нужно суммировать данные за все три года, а потом
находить средний возраст.
15.  Здесь те же трудности, что в задачах 10-13: для быстрого
получения ответа по каждому округу нужно правильно использовать
абсолютные и относительные адреса ячеек в формулах.
16. Во всех трех таблицах данные избыточны. Нужно взять данные за
последние годы.
120
17.  Трудность только в том, что значения выборки (оценки) и их
частоты (численность населения) разнесены по разным таблицам,
поэтому сначала нужно скопировать эти данные в одну таблицу.
Урок 67. Приложения и парадоксы геометрической вероятности
Характеристики разброса служат естественным дополнениям к средним
характеристикам и несут информации о степени изменчивости
интересующей нас величины.
Размах, хотя и является очень простой для понимания величиной, часто дает
необъективную картину, связанную с ошибками наблюдений или
нетипичными «выбросами».
Идея «усреднить» отклонения наблюдаемой величины от своего среднего
значения является вполне естественной, но неожиданно заводит в тупик:
среднее отклонение от среднего всегда оказывается нулевым. Хорошо, если
учащиеся «зайдут» в этот тупик сами и сами же предложат возможные выходы
из него (суммировать абсолютные величины отклонений, квадраты
отклонений и т.д.).
После рассмотрения дисперсии следует обратить внимание на ее
размерность, из-за которой приходится перейти к понятию среднего
квадратического или стандартного отклонения. При этом нужно
предостеречь учащихся от бездумного сравнения дисперсий и стандартных
отклонений разнородных (имеющих разные единицы измерения) величин.
Сложный вопрос – интерпретация стандартного отклонения. Что означает,
например, результат, полученный в примере 3: стандартное отклонение веса
портфеля от своего среднего значения составило по данным проведенных
наблюдений 700 г? В учебнике упоминается так называемое «правило трех
сигм», но пользоваться им нужно очень осторожно, т.к. справедливо оно
лишь для тех величин, распределение которых близко к нормальному
(правда, для портфелей, это как раз так и есть).
На этом уроке вводятся две новых функции MS Excel: ДИСПР() и
СТАНДОТКЛОНП().
Комментарии к задачам практикума:
121
1.
 Обратите еще раз внимание учащихся на единицы измерения всех
трех величин.
2.
 См. комментарий к задаче 4 из урока 21.
3.
 См. комментарий к задаче 6 из урока 21.
4.
 С точностью до 0,1 у всех получится одинаковый результат. Это
должно навести на мысль, что характеристики разброса, так же как и
средние, с ростом числа экспериментов стабилизируются и
приближаются к некоторым «объективным» характеристикам
изучаемых величин. К ним мы вернемся уже в 10-м классе, когда
будем изучать случайные величины.
5.
Задача не совсем корректна: мы вычисляем не дисперсию всех
оценок, полученных в экзамене по каждому предмету, а дисперсию
средних оценок по регионам. Но и она тоже представляет интерес.
6.
 См. комментарий к задаче 11 из урока 21.
7.
 См. комментарий к задаче 13 из урока 21.
8.
 Задача чисто экспериментальная. Но проводя эксперимент,
учащиеся интуитивно должны понять, как «управлять» поведением
характеристик разброса. Результат проверяет учитель.
9.
То же, что в задаче 8, но проверка автоматическая.
10. Задача позволяет экспериментально открыть известные свойства
среднего, дисперсии и стандартного отклонения: при умножении
всех чисел ряда на одно и то же число
умножается на
k среднее значение
k , дисперсия – на k 2 , стандартное отклонение – на
k.
122
Глава 9. Случайные величины
Урок 69. Понятие случайной величины
Скажем сразу, что материал этой главы выходит за рамки нынешнего
стандарта школьного математического образования. Однако без знакомства с
ним представление о вероятностно-статистической картине мира будет
неполным.
Случайные величины играют в теории вероятностей и ее приложениях не
менее важную роль, чем случайные события. Напомним, что понятие
случайного события мы формировали постепенно:

событие, которое при одних и тех же условиях может, как
произойти, так и не произойти;

любое событие, связанное со случайным экспериментом;

любое подмножество в  – множестве всех элементарных исходов
опыта.
Совершенно аналогичные стадии можно выделить при формировании
понятия случайной величины:


величина, значения которой зависят от случая;
любая величина, связанная со случайным экспериментом;

любая числовая функция1, определенная на элементарных исходах
опыта, т.е. на элементах
 .
Важно осознать, что для каждого исхода опыта случайная величина имеет
вполне конкретное (неслучайное) значение. Но поскольку исход опыта
заранее непредсказуем, то непредсказуемо и значение случайной величины.
Таким образом, чтобы полностью определить случайную величину, нужно
задать ее значения на каждом из элементарных исходов опыта. Это
иллюстрируют приведенные в уроке примеры.
На самом деле все обстоит несколько сложнее – в математике от этой функции
требуется еще измеримость. Но обсуждать здесь это понятие мы не будем.
1
123
Знакомство с понятием случайной величины полезно не только в
практическом отношении (после него легче изучать статистический
материал), но и для формирования математической культуры школьника в
целом. Оно расширяет и углубляет представление учащихся о функции,
позволяет рассмотреть большое количество содержательных примеров, в
которых рассматриваются функции, заданные на множествах самой разной
природы. Если знакомство со случайными событиями развивает и углубляет
понятие о множестве, то случайные величины делают то же самое с понятием
функции.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 Перед решением задачи можно провести серию экспериментов,
экспортировать полученные результаты в MS Excel и найти с
помощью соответствующих формул значение каждой из
перечисленных величин в каждом опыте – это поможет лучше
понять суть задачи. Ответ: x и y - 6 значений, s - 11 значений, p 18 значений, M и m - 6 значений. Можно продолжить задачу,
спросив у учащихся, одинаково ли часто встречаются в проведенной
серии экспериментов найденные значения.
2.
 Для решения задачи попросите учащихся переформулировать
словами каждое из приведенных событий:

{x=3} – на первом кубике выпало 3 очка;


{y<3} – на втором кубике выпало 1 или 2 очка;
{ s  10} – выпало (4;6), (5;5), (6;4), (5;6), (6;5), (6;6);
 {M=m} – на кубиках выпали одинаковые числа;
 {M+m=x+y} – достоверное событие.
Ответ: P{x=3}=1/6, P{y<3}=1/3, P{ s  10}=1/6, P{M=m}=1/6,
P{M+m=x+y}=1.
3.
 Здесь требуются два вида рассуждений, которые опираются на
понятие вложенности событий и на статистический опыт. Поскольку
A  C  D , то P( A)  P(C )  P( D ) . Нулевые ничьи на
чемпионате России бывают гораздо чаще, чем матчи, в которых
124
забивают сразу 10 голов (об этом Вам скажет любой, кто
интересуется футболом), поэтому P ( B )  P ( A) .
4.
 Ответ: x=3,09; y=4,12; r=5,15; s=5;
5.
 Для получения ответа нужно заштриховать на плоскости, в
которой находится мишень, множество благоприятных для каждого
события исходов, а затем найти отношение площади полученной
области к площади всей мишени. Ответ: P(A)=11/100, P(B)=0,
P(C)=1/2, P(D)=1. Полученные ответы можно проверить
экспериментально.
6.
 При решении задачи будьте внимательны: случайные величины
x , y , z являются зависимыми: при любом исходе опыта
выполняется соотношение x  y  z  3 . Ответ:
Сл.величина
Кол-во значений
4
7
7
3
2
Как и в задаче 1, можно провести серию экспериментов, вычислить
для каждого опыта значения x , y , z , а через них – и значения
x y
yz
xz
x y
x yz
искомых величин.
7.
Поскольку
C  B , то P(C )  P( B ) . Имеется и другое вложение
- A  B , но оно не помогает сравнению вероятностей A и C .
Здесь нужно использовать другое соображение: случайная величина
T непрерывная, поэтому любое свое значение она принимает с
вероятностью 0.
Уроки 70-72. Дискретные случайные величины
В математике (по крайней мере, школьной) функция действительного
аргумента чаще всего задается формулой. Иногда (к сожалению, редко)
функцию задают графически. Но для случайных величин эти способы, как
125
правило, не годятся, т.к. их область определения может быть не числовой.
Именно поэтому на первый план выходит проблема описания такой
функции.
Удобным способом представления информации о случайной величине x
является закон ее распределения. Он показывает, какие значения, и с какими
вероятностями может принимать эта величина. Отметим, что часть
информации о функции x при таком представлении теряется: в законе не
указывается не только чему равно x ( ) для каждого
,
но и само
множество  . Тем не менее, этой информации оказывается вполне
достаточно для решения очень многих практических задач, связанных с
исследованием случайных величин.
Дискретные величины принимают конечное или счетное множество
значений, поэтому для них закон распределения можно представить,
перечислив все возможные значения и соответствующие им вероятности. Это
делают с помощью таблицы или общей формулы, выражающей вероятность
каждого значения.
Целью раздела является не только дать общее понятие о законе
распределения и способах его задания, но и научиться находить законы
распределения конкретных дискретных величин в простейших случайных
опытах.
Комментарии к задачам практикума:
1.
s
 Для решения задачи нужно выписать все возможные значения
каждой из указанных величин и найти их вероятности (см. задачи 1 и
2 из предыдущего урока). Должны получиться следующие таблицы,
которые необходимо ввести в ВЛ «Дискретные случайные
величины»:
p
2
1/36
3
2/36
4
3/36
5
4/36
6
5/36
7
6/36
8
5/36
9
4/36
10
3/36
11
2/36
12
1/36
r
p
-5
1/36
-4
2/36
-3
3/36
-2
4/36
-1
5/36
0
6/36
1
5/36
2
4/36
3
3/36
4
2/36
5
1/36
126
M
p
1
1/36
2
3/36
3
5/36
m
1
11/36
2
9/36
3
7/36
p
4
7/36
5
9/36
6
11/36
5
3/36
6
1/36
4
5/36
Найденные законы распределения можно проверить экспериментально:



проведите серию экспериментов с кубиками;
экспортируйте результаты в MS Excel;
вычислите в столбцах C,D,E,F для каждого эксперимента
значения случайных величин s, r, M , m ;


скопируйте в буфер содержимое столбцов C,D,E,F;
вставьте их в ВЛ «Дискретные случайные величины».
Полученные в ВЛ полигоны частот должны быть близки к
теоретическим распределениям (чем больше объем выборки – тем лучше
приближение).
2.
M m
p
 См. комментарий к заданию 1. Должны получиться такие законы:
2
1/36
3
2/36
4
3/36
5
4/36
6
5/36
7
6/36
8
5/36
9
4/36
10
3/36
M m
p
0
1
2
3
4
5
6/36
10/36
8/36
6/36
4/36
2/36
mM
p
-5
2/36
-4
4/36
-3
6/36
-2
8/36
-1
10/36
0
6/36
127
11
2/36
12
1/36
Хорошо, если учащиеся сами сообразят, что распределение
M  m совпадает с распределением
случайной величины
случайной величины s из задачи 1, поскольку при любом исходе
M  m  s . Кроме того, они должны объяснить, как по
распределению M  m найти распределение m  M .
3.
 Для первой выборки наибольшие вероятности сосредоточены
около значений 1..3, а для второй – около 4..6. Первая соответствует
футбольному чемпионату, вторая – хоккейному. Обе выборки
хорошо приближаются как биномиальным, так и пуассоновским
распределением.
4.
 Случайная величина
k
p
k имеет следующий закон распределения:
1
2
3
1/28
18/28
9/28
Получить его можно с помощью следующих рассуждений. Начнем с
вероятности события {k  1} , которое наступает, когда все вынутые
3
шары одного цвета. Вытащить три шара из девяти можно C9
способами. Из этих способов ровно один, когда все три шара
красные, один – когда все три желтые и один – когда все три зеленые.
Отсюда искомая вероятность будет
3
3
1


.
3
C9 84 28
Теперь найдем вероятность события {k  3} , которое наступает,
3  3  3  27
27 27 9

благоприятных исходов, откуда вероятность равна 3 
.
C9 84 28
когда все шары имеют разный цвет. Оно имеет
128
Остается найти вероятность события {k  2} , которую можно
получить
1
вычитанием
из
1
уже
найденных
вероятностей:
1
9 18


.
28 28 28
Все полученные вероятности можно проверить, если смоделировать
достаточное количество экспериментов.
5.
Составим таблицу возможных (но НЕРАВНОвозможных!) исходов
нашего опыта и выпишем для каждого из них значения заданных
величин:
Исход
x
ККК
ККЖ
ККЗ
КЖЖ
КЖЗ
КЗЗ
ЖЖЖ
ЖЖЗ
ЖЗЗ
ЗЗЗ
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
y
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
z
x y
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
3
3
2
3
2
1
3
2
1
0
yz
0
1
-1
2
0
-2
3
1
-1
-3
xz
3
2
1
1
0
1
0
1
2
3
x y
x yz
0
2
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Используя результаты и рассуждения, приведенные в предыдущем
задании, найдем вероятности каждого из приведенных исходов:
Исход
ККК
ККЖ
ККЗ
КЖЖ
КЖЗ
КЗЗ
ЖЖЖ
ЖЖЗ
ЖЗЗ
ЗЗЗ
Вероятность
1/84
3/28
3/28
3/28
9/28
3/28
1/84
3/28
3/28
1/84
129
Остается сложить вероятности, соответствующие каждому из значений
перечисленных величин и получить их законы распределения:
x y
p
yz
p
0
1
2
3
1/84
3/14
15/28
5/21
-3
-2
-1
0
1
2
3
1/84
3/28
3/14
1/3
3/14
3/28
1/84
0
1
2
3
1/3
3/7
3/14
1/42
xz
p
x y
p
0
1
2
13/28
9/28
6/28
x yz
p
6.
0
19/28
1
9/28
 Количество орлов может быть от 0 до 3. Выпишем все
равновозможные исходы опыта (вероятность каждого из них по 1/8
Исход Кол-во орлов
ООО 3
ООР
2
ОРО
2
ОРР
1
РОО
2
РОР
1
РРО
1
РРР
0
Чтобы получить закон распределения остается сложить вероятности,
соответствующие каждому из значений:
x
0
1
130
2
3
p
1/8
3/8
3/8
1/8
Полученный закон – закон распределения Бернулли с параметрами
N 8 и p 
7.
1
.
2
Задача во многом похожа на предыдущую, но теперь случайная
величина x равна не количеству орлов, а разности орлов и решек:
-5
1/32
x
p
8.
-3
5/32
-1
10/32
3
5/32
5
1/32
 Чтобы найти закон распределения заданной величины, нужно
вычислить отношении площади соответствующего кольца к
площади круга:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p
19
100
17
100
15
100
13
100
11
100
9
100
7
100
5
100
3
100
1
100
9.
Заменим описанный в задаче опыт подбрасыванием монеты: монету
будем бросать, пока не выпадет три орла, но не более пяти раз.
Пусть
k - количество выполненных при этом бросаний. Возможные
значения случайной величины k : 3, 4, 5.
k  3 : ООО. Отсюда
Выпишем все благоприятные исходы для
1
P{k  3}  .
8
Выпишем все благоприятные исходы для
ООРО. Отсюда P{k  2} 
Вероятность
события
P{k  5}  1 
k  4 : РООО, ОРОО,
3
.
16
{k  5}
1 3 11

 .
8 16 16
131
находим
вычитанием
из
1:
Закон распределения случайной величины t :
t
p
30
1/8
40
3/16
50
11/16
Уроки 73-75. Непрерывные случайные величины
Для дискретных величин закон распределения удобно представлять в виде
таблицы. Однако для непрерывных величин эта форма представления уже
непригодна. Непрерывные величины принимают значения из некоторого
промежутка, которые уже нельзя перечислить. Для них закон распределения
задается плотностью вероятности – специальной функцией, интеграл от
которой по любому множеству дает вероятность попадания случайной
величины в это множество.
В теории вероятностей есть универсальные способы представления законов
распределения, единые для дискретных и непрерывных величин – например,
функция распределения. Однако для всех этих способов требуется вводить
новое определение интеграла – интеграла по Лебегу. Поэтому при
элементарном изложении приходится рассматривать только наиболее важные
частные разновидности случайных величин: дискретные и непрерывные.
Комментарии к задачам практикума:
1.
 В этой задаче все ответы можно сначала получить теоретически –
как площади соответствующих прямоугольников, а затем проверить
себя с помощью инструментария лаборатории, передвигая два
соответствующих ползунка на графике. Ответ: a) 0,7; b) 0,3; c) 0,4; d)
0.
2.
 Здесь найти точный ответ школьники уже не смогут (да и не
только школьники – интеграл от плотности нормального
распределения не выражается в элементарных функциях). Поэтому
единственный способ - оценить заданные вероятности с помощью
предлагаемого инструментария лаборатории: а) 0,98; б) 0,16; в) 0,69;
г) 0,31; д) 1 (с точностью до 0,01).
3.
 См. комментарий к задаче 2. Ответ: а) 0,86; б) 0; в) 0,12; г) 0,14; д) 1.
132
4.
 Для треугольного распределения вычисление интеграла
превращается в вычисление площадей треугольников и трапеций,
поэтому вполне доступно школьникам. Ответ: a) 0,875; b) 0,125; c)
0,125; d) 0,125; e) 0,5.
5.
Плотность распределения случайной величины
M выглядит так:
 0, x  0

p( x )  2 x,0  x  1
 1, x  1

6.
 В этой задаче могут получиться разные результаты. Выборки взяты
из нормальных законов распределения со следующими параметрами:
x - (1; 0,2), y - (0;1), z - (-2;0,2).
7.
Биномиальное распределение с параметрами N  100, p  0,5
хорошо приближается нормальным распределением с параметрами
a  50,   5 .
8.
Биномиальное распределение с параметрами N  100, p  0,01
хорошо приближается показательным распределением с параметром
 1.
9.
При
10. При
a  1,5 .
  0,69 .
11. Значение параметра
a находится из условия, что площадь под
графиком p ( x ) должна равняться 1. Поскольку в данном случае это
площадь треугольника, то легко сообразить, что a 
12. Ответ:
133
2
.
3
 0, x  0
1
a) p ( x )   ,0  x  3
3
 0, x  3
c)
 0, x  0
p( x )    x
e , x  0
x2
b) p ( x ) 
1 2
e
2
0, x  0

 4
3
 9 x,0  x  2
d) p ( x )  
4
12 3
 x ,  x3
9 2
9

0, x  3
134
Приложение 1. Рекомендуемая литература
Учебники и учебные пособия для общеобразовательной
школы
1.
Математика. Учебники для 5-6 классов общеобразовательных
учреждений. / Под ред. Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина. – М.:
Просвещение, 2004.
2.
Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебники для 7-9
классов общеобразовательных учреждений. / Под ред. Г.В.Дорофеева. –
М.: Просвещение, 2004.
3.
Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. Учебное
пособие для 5-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа,
2002.
4.
Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность.
Учебное пособие для 5-9 классов общеобразовательных учреждений. –
М.: Дрофа, 2004.
5.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории
вероятностей. Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных
учреждений./ Под ред С.А.Теляковского. – М.: Просвещение, 2003.
6.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая
обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9
классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
7.
Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность.
Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. –
М.: Просвещение, 2004.
8.
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория
вероятностей и статистика. – М.: МЦНМО, 2004.
Дополнительная литература
9.
Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию
вероятностей. - М.: Наука, 1964.
10. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей.
- М.: Просвещение, 1990.
135
11. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных
решениями. - М.: Наука, 1975.
вероятностных
задач
с
12. Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. - М.: Мир, 1969.
13. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников. - М.: Просвещение,
1996.
14. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.:
Финансы и статистика, 1995.
15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. - М.:
Мир, 1984.
Книги и статьи методической и методологической
направленности
16. Борель Э. Вероятность и достоверность. - М.: Наука, 1969.
17. Булычев В.А., Бунимович Е.А. Изучение вероятностно-статистического
материала в школьном курсе математики. Программа для курсов
повышения квалификации учителей // Математика в школе, № 4, 2003 г.,
с.59 – 63.
18. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом
школьном курсе математики. // Математика в школе, № 4, 2002 г., с.52 –
58.
19. Бунимович Е.А. Методическая система изучения вероятностностатистического материала в основной школе. Автореферат и
диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических
наук. – Москва, 2004 г.
20. Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. - М.:
Просвещение, 1979.
21. Дайменд С. Мир вероятностей. – М.: Статистика, 1970.
22. Майстров Д.Е. Теория вероятностей (исторический очерк). – М.: Наука,
1967.
23. Реньи А. Трилогия о математике. - М.: Мир, 1980.
136
24. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9
классы. // автор-составитель В.Н.Студенецкая. – Волгоград: Учитель,
2005.
25. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. Краткий курс и научнометодические замечания. - М.: Изд-во МГУ, 1972.
Учебники [1], [2] – первый и, по-видимому, наиболее продуманный опыт
введения вероятностно-статистической линии в курсе математики основной
школы. Новый для школьной математики материал органично вписан в
общую авторскую концепцию. Учебные пособия [3], [4] продолжают
методическую линию [1], [2], расширяя круг рассматриваемых вопросов и
дополняя их необходимыми теоретическими сведениями. Содержат большое
количество задач разного уровня сложности. Учебные пособия [5] - [7]
изданы как дополнения к известным учебникам алгебры: [5] - под редакцией
С.А.Теляковского, [6] – А.Г.Мордковича, [7] – Алимова Ш.А., Колягина Ю.М.,
Сидорова Ю.В, Федорова Н.Е., Шабунина М.И. Книга [8] является
самостоятельным
учебным
пособием,
написанным
известными
специалистами в этой области и содержащим богатый фактический материал.
Из дополнительной литературы можно порекомендовать классическую книгу
[9], выдержавшую рекордное количество отечественных и зарубежных
изданий, известный факультативный курс [10], замечательный сборник задач
[11], а также учебник для американских школьников [12].
Научные основы рекомендуемого нами подхода к преподаванию
вероятностно-статистической линии в основной школе систематически
изложены в [19]. Совершенно уникальной по содержанию является книга [20],
в которой авторы делятся собственным опытом преподавания элементов
вероятности и статистики в начальной школе. В книге [24] вы найдете
решение всех задач из учебных пособий [5] - [7].
Из вузовских пособий отметим [25] – единственный учебник, снабженный
пространными научно-методическими комментариями, классическую книгу
[15], содержащую огромное количество интересных задач, а также [14] –
прекрасное пособие по обработке статистических данных на компьютере.
137
Приложение 2. Руководство по установке
Минимальные системные требования


операционная система Windows Me/2000/XP;
Internet Explorer версии 5.0 или выше;


процессор Pentium 400 Мгц;
ОЗУ 64 Мб;


разрешение экрана 1024x768 с глубиной цвета 16 бит;
CD-ROM;

100 Мбайт свободного места на жестком диске (для установки на
сервер или домашний компьютер).
Установка ИУМК из Коллекции
Для установки ИУМК из коллекции выберите и запустите ресурс «Сетевой
программный
комплекс»,
который
представляет
собой
самораспаковывающийся архив cdprst.exe. После извлечения всех файлов
будет автоматически запущена программа установки ИУМК на сервер. В
окне инсталляции выберите диск и папку для установки, нажмите на кнопку
«OK» и дождитесь конца установки (на экране будет бежать индикатор
копируемых файлов). На сервер будут скопированы все цифровые ресурсы
ИУМК и запущена служба (service) PRSTSrv, необходимая для обслуживания
клиентских запросов учеников к серверу, где установлена программа. После
завершения установки откройте общий доступ на чтение к папке, в
которую была уставлена программа.
После установки серверной части Вам будет предложено установить
клиентскую часть программы. Если Вы производите установку на
домашний компьютер, то вам нужно установить и серверную, и клиентскую
части программы!
Для установки клиентской части программы на рабочие станции
школьной локальной сети откройте с рабочей станции папку на сервере, в
которую была установлена серверная часть комплекса (к ней уже открыт
общий доступ). Найдите в ней папку CLIENT и запустите из нее программу
SetupCli.exe – на рабочую станцию будет установлена клиентская часть
138
программы, в результате чего в стартовом меню Windows появится группа
«Вероятность и статистика».
Установка ИУМК с CD-диска
Для установки ИУМК на сервер запустите файл SetupSrv.exe из
корневого каталога диска. В окне инсталляции выберите диск и папку для
установки ИУМК, нажмите на кнопку «OK» и дождитесь конца установки (на
экране будет бежать индикатор копируемых файлов). На сервер будут
скопированы все цифровые ресурсы ИУМК и запущена служба (service)
PRSTSrv, необходимая для обслуживания клиентских запросов учеников к
серверу, где установлена программа. После завершения установки откройте
общий доступ на чтение к папке, в которую была уставлена программа.
После установки серверной части Вам будет предложено установить
клиентскую часть программы. Если Вы производите установку на
домашний компьютер, то вам нужно установить и серверную, и клиентскую
части программы!
Для установки клиентской части программы на рабочие станции
школьной локальной сети откройте с рабочей станции папку на сервере, в
которую была установлена серверная часть ИУМК (к ней уже открыт общий
доступ). Найдите в ней папку CLIENT и запустите из нее программу
SetupCli.exe – на рабочую станцию будет установлена клиентская часть
программы, в результате чего в стартовом меню Windows появится группа
«Вероятность и статистика».
Запуск ИУМК
Для работы с цифровыми ресурсами ИУМК на вашем компьютере должен
быть установлен Internet Explorer версии 5.0 или выше. В настройках Internet
Explorer должно быть разрешение на просмотр ActiveX-компонентов. В
большинстве случаев эти условия выполнены по умолчанию.
Для запуска ИУМК откройте группу «Вероятность и статистика» в стартовом
меню Windows (кнопка «Пуск») и выберите «ИУМК Вероятность и
статистика». В результате откроется html-файл с окном регистрации. Можно
выбрать любой класс и любого пользователя, пароль вводить не нужно.
Учителя выделены в отдельный класс пользователей, имеющих специальные
139
права доступа (дополнительные разделы «Журнал» и «КПД»). В дальнейшем
учитель может сам корректировать список пользователей программы и
их пароли через классный журнал.
ВНИМАНИЕ! Если в окне регистрации список классов и список
пользователей программы будут пустыми, это означает, что при инсталляции
программы не удалось запустить службу PRSTSrv. В этом случае обратитесь к
администратору Вашей сети.
Дальнейшая навигация и работа с материалами ИУМК происходит по
стандартным правилам Web-интерфейса.
Удаление ИУМК
Для деинсталляции ИУМК и удаления соответствующих файлов с Вашего
компьютера откройте группу «Вероятность и статистика» в стартовом меню
Windows (кнопка «Пуск») и выберите «Удаление ИУМК Вероятность и
статистика».
140