Статья «Где в природе встречается прогрессия?» Великая книга

Статья «Где в природе встречается прогрессия?»
Великая книга природы написана математическими символами.
Г. Галилей.
Все живые существа рождаются, растут, а затем стареют, претерпевают
непрерывные изменения и превращения и в конце концов умирают; иными словами, все
они всегда вовлечены в какие-то процессы развития во времени. И мы обнаруживаем, что
некоторые из этих процессов подчинены законам геометрической прогрессии.
Существует легенда, а может быть и не легенда, что английский математик Абрахам
де Муавр в престарелом возрасте однажды обнаружил, что продолжительность его сна
растёт на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату,
когда она достигла бы 24 часов — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер. Так с
помощью арифметической прогрессии можно предугадать какой-либо результат развития
природного явления.
Но чаще в природе мы можем встретить явления, которые подчиняются законам
геометрической прогрессии.
Практически нет места на Земле, где бы ни встречались бактерии. Они живут во
льдах Антарктиды при t - 830С и в горячих источниках, t которых достигает + 850 до 900С. Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений.
Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в
той же комнате после урока. Условия жизни бактерий разнообразны, также разнообразны
и функции бактерий в нашей жизни. Но всевозможные виды бактерий размножаются
делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и
получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия
с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить 281 474 976 710 656
клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в
природе. Предположим, что в кабинете, где проходит урок математики, численность
бактерий равняется 1000 ед. на мм2, тогда какой будет численность к концу рабочего дня.
При благоприятных условиях деление клеток у многих бактерий может происходить через
каждые 20-30 минут.
Вычислим последовательно численность колонии бактерий 1-ого, 2-ого, 3-его, 4-ого,
5-ого, 6-ого поколений.
Имеем, для геометрической прогрессии:
b1=1000
b2=1000·2=2000
b3=(1000·2)·2=1000·22=4000
b4=(1000·22 )·2=1000·23=8000
b5=(1000·23) ·2=1000·24=16 000
b6=(1000·24) ·2=1000·25=32 000
Если рассматривать, что общая продолжительность учебных занятий 5 часов, то за
это время колония бактерий даст 10 поколений. И тогда численность 10 поколения можно
рассчитать по формуле
b10=1000·29
Мы можем рассчитать численность бактерий в кабинете к концу учебных занятий,
используя формулу суммы 10 членов геометрической прогрессии:
b1 (q n  1) 1000  (210  1)
s10 

 1 023 000
q 1
2 1
При таком быстром размножении потомство одной бактерии за 5 суток способно
образовать массу, которой можно было бы заполнить все моря и океаны. Однако в
природе этого не происходит, так как большинство бактерий быстро погибает под
действием солнечного света, при высушивании, нагревании до 650 - 1000С, под действием
дезинфицирующих веществ. Вот почему в период эпидемий необходимы
профилактические меры, иначе вредоносные бактерии поглотят человечество. Если дать
видам размножаться свободно, без ограничения, численность любого из них росла бы в
геометрической прогрессии, и это несмотря на то, что одни производят за всю жизнь всего
несколько яиц или детёнышей, а другие тысячи и даже миллионы зародышей, которые
могут вырасти во взрослые организмы. Способность к размножению у некоторых
организмов настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно
размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы
составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить
около 375 железнодорожных вагонов.
Изучив геометрическую прогрессию и рассмотрев некоторые примеры из жизни
живых организмов, мы пришли к выводу, что размножение живых организмов в природе
происходит по законам геометрической прогрессии. Например, известный биолог
К.А,Тимирязьев заметил, что при отсутствии неблагоприятных воздействий, потомство
одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного
шара, а по наблюдениям Карла Линнея: потомство пары мух съест мёртвую лошадь также
скоро как лев”. Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого
равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд.
раз.
Рассмотрим задачу:
Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может
оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть
поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр. С какой интенсивностью
размножаются тли? Переведем задачу на математический язык. Имеем геометрическую
прогрессию:
b1=1
n=5
Sn=300 млн.
Найти знаменатель геометрической прогрессии q.
Воспользуемся формулой суммы n членов геометрической прогрессии.
b1 (q n  1)
, тогда, подставив в
q 1
уравнение:
Sn 
данную формулу наши данные, получим
1(q n  1)
q 1
Получим:
5
300q-300= q  1
300 
q5-1-300q+300=0
q5-300q+299=0
Решив уравнение, получим, что q=1 млн. шт.
Значит только одна тля при одном размножении дает поколение в 1 млн. ед новых
тлей.
Мы предлагаем всем рассмотреть такие задачи:
1.
Бактерия за одну секунду производит себе подобную. Если одну бактерию
поместить в банку, то она заполнится бактериями за 30 сек. За какое время
две бактерии заполнять эту же банку?
2.
Если бактерии за одни сутки заполняют 0,25-литровый стакан, за какое
время их количество удвоится и займёт пол-литровый объём. Выберите
правильный ответ:
а) одни сутки;
в) один час;
б) двое суток;
г) полчаса.
3.
У капустной тли свой паразит – наездник афидиус, дающий за лето более 6
поколений по 30 особей (из них 50% самцов) в каждом.
4.
Какого количества достигнет всё потомство от одного афидиуса через 6
месяцев, если этот паразит будет размножаться беспрепятственно?
5.
Хватит ли к осени капустных тлей для питания такого количества
афидиусов, если афидиус своё яйцо откладывает только в одну тлю?
"Глубокое изучение природы – вот самый обильный источник математических
открытий".
Фурье.