Лабораторная работа 1-09 “Определение момента инерции

Федеральное агентство по образованию
Вологодский государственный технический университет
Кафедра физики
Физика
Методические указания к лабораторному практикуму. Физические основы
механики, физика колебаний и волн, термодинамика.
Вологда
2006
2
УДК
Физика: Методические указания к лабораторному практикуму.
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика. –
Вологда: ВоГТУ, 2006, 198 с.
Методические указания к лабораторным работам по физике по первой
части курса для студентов всех форм обучения и всех специальностей.
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ.
Составители:
Андреева А.В., старший преподаватель.
Богданов В.И., профессор, доктор физ.-мат. наук
Кузина Л.А., доцент, канд. физ.-мат. наук
Кудряшов Г.П., доцент, канд. тех. наук
Михайлов А.В., доцент, канд. физ.-мат. наук
Попов В.А., ведущий инженер
Цивилев И.С., зав. лабораториями
3
Содержание
Введение ....................................................................................................................... 5
Общие указания к выполнению лабораторных работ ............................................. 6
Лабораторная работа 1–01 “Изучение основных измерительных приборов и
определение линейных размеров твердых тел” ..................................................... 10
Лабораторная работа 1–02 “Определение плотности образца и вычисление
погрешностей косвенных измерений” .................................................................... 18
Лабораторная работа 1-03 “Изучение погрешностей измерения ускорения
свободного падения с помощью математического маятника” ............................. 22
Лабораторная работа 1-04 “Статистическая обработка результатов
эксперимента. Случайные погрешности результатов наблюдений интервалов
времени” ..................................................................................................................... 29
Лабораторная работа 1-05“Исследование упругого соударения шаров” ............ 38
Лабораторная работа 1-06 “Определение коэффициента трения твердых тел” . 45
Лабораторная работа 1-07 “Определение момента инерции тела с помощью
наклонной плоскости”. ............................................................................................. 49
Лабораторная работа 1-08 “Исследование динамики вращательного движения
на маятнике Обербека” ............................................................................................. 55
Лабораторная работа 1-09 “Определение момента инерции маховика”. ............ 66
Лабораторная работа 1-10 “Маятник Максвелла” ................................................. 72
Лабораторная работа 1-11 “Изучение характеристик механического гироскопа”
..................................................................................................................................... 79
Лабораторная работа 1-12 “Определение коэффициента вязкости воздуха
капиллярным методом” ............................................................................................ 87
Лабораторная работа 1-13 “Определение динамического коэффициента
вязкости” .................................................................................................................... 93
Лабораторная работа 1-14 “Определение коэффициента вязкости жидкости по
методу Пуазейля” ...................................................................................................... 97
Лабораторная работа 1-15 “Определение коэффициента вязкости жидкости
методом Стокса”...................................................................................................... 106
Лабораторная работа 1-16 “Определение модуля Юнга методом прогиба”..... 116
Лабораторная работа 1-17 “Изучение упругой деформации растяжения” ....... 123
Лабораторная работа 1-18 “Изучение свободных колебаний пружинного
маятника” ................................................................................................................. 130
Лабораторная работа 1-19 “Изучение колебаний физического маятника” ....... 141
Лабораторная работа 1-20 “Определение коэффициента трения качения
методом исследования колебаний наклонного маятника” ................................. 150
Лабораторная работа 1-21 “Измерение момента инерции тела методом
крутильных колебаний” .......................................................................................... 158
Лабораторная работа 1-22 “Определение отношения удельных теплоемкостей
для воздуха методом адиабатического расширения” .......................................... 170
4
Лабораторная работа 1-23 “Определение отношения C P / CV акустическим
методом”................................................................................................................... 177
Лабораторная работа 1-24 “Определение теплоемкости твердых тел” ............. 184
Лабораторная работа 1-25 “Определение изменения энтропии при нагревании и
плавлении олова“..................................................................................................... 191
Библиографический список.................................................................................... 196
Приложения ............................................................................................................. 197
Справочные материалы .......................................................................................... 197
5
Введение
Представлена первая часть физического практикума по курсу общей
физики. Она состоит из 25 лабораторных работ по трем разделам: “Физические
основы механики”, “Физика колебаний и волн” и “Термодинамика”.
Поскольку в эксперименте важнейшая роль принадлежит оценке
погрешностей измерений физических величин, то первые четыре работы
предваряют практикум. Они посвящены определению погрешностей при
прямых и косвенных измерениях.
Выполнение лабораторной работы включает предварительную
подготовку, проведение экспериментов и составление отчета о результатах
исследований. В указаниях к каждой работе сформулирована цель работы,
представлено теоретическое введение, методика измерений, описание
установки, порядок выполнения работы и обработки результатов измерений.
Кафедрой физики подготовлены методические указания по оформлению
отчетов по лабораторным работам, требований к допуску, защите работ и
обработке результатов измерений.
Эти указания имеются в библиотеке, на сайте кафедры. Образец
оформления отчета по лабораторной работе представлен на стенде кафедры.
Контрольные вопросы, приведенные в конце каждой работы, облегчают
подготовку к ней и защиту. В конце указаний приведен список литературы,
рекомендуемый для самостоятельной подготовки к выполнению лабораторных
работ.
6
Общие указания к выполнению лабораторных работ
В лабораторном практикуме студенты, выполняя лабораторные работы,
изучают физические явления, знакомятся с основными измерительными
приборами и важнейшими методами измерений, овладевают навыками
экспериментирования, обработки и анализа полученных результатов.
1.
Правила оформления отчета по лабораторным работам.
1.1. Тетрадь для отчетов
a. Отчеты по лабораторным работам оформляются каждым
студентом в отдельной тетради.
b. Тетрадь должна быть подписана на первой странице с указанием
курса, группы и Ф.И.О. студента.
c. На первой же странице тетради должна быть таблица по форме 1
Форма 1
№
п/п
№ и
работы
название
лаб. Допуск
Выполнение
Защита
d. Тетрадь сдается преподавателю при получении зачета по
лабораторному практикуму.
e. Возможно оформление работ на компьютере с помощью
редактора Word при наличии заверенных подписью преподавателя
результатов измерений и при условии соблюдения всех правил
оформления. В этом случае отчеты по каждой лабораторной работе
оформляются на отдельных скрепленных между собой листах белой
бумаги формата А4 и складываются в отдельную папку.
1.2. Оформление отчета.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
– № лабораторной работы;
– название л/р;
– цель лабораторной работы;
– теоретическое введение;
– описание установки и методики измерения;
– порядок выполнения работы;
– метрологическую карту;
7
–
–
–
–
таблицу с результатами измерений;
обработку результатов;
заключение (выводы);
используемую литературу.
В теоретическом введении следует изложить сущность изучаемого
физического явления (метода), законы, его описывающие, в виде сжатого
конспекта.
В описании установки и методики измерения необходимо привести
перечень оборудования и приборов с указанием их характеристик; описать
метод определения величин, рабочую схему или экспериментальную
установку; представить рабочую формулу.
Порядок выполнения работы: она должна проводиться в полном
соответствии с представленным ходом работы и в той последовательности,
которые указаны в работе.
Метрологическая карта представляет собой описание используемых в
работе средств измерения и имеет вид:
Форма 2
№
п/п
Наименование
средства
измерения
Тип
Класс
точности
Пределы
измерения
Цена
деления
Погрешность
средства
измерения
Метрологическая карта заполняется перед началом выполнения
лабораторной работы и будет удобна при определении погрешностей прямых
измерений.
Все результаты измерений, черновые записи, идеи должны быть
занесены в тетрадь (в том числе в подготовительную таблицу). О том, как
обрабатывать результаты измерений и вычислить погрешности (ошибки)
измерений, сказано в 3 главе.
Заключение (выводы) должны содержать: конкретный количественный
и качественный результат работы, аналогичные справочные или теоретические
данные, сравнение собственных результатов с известными.
Требования к допуску, выполнению и защите лабораторных работ.
2.1. Допуск
Для допуска к выполнению лабораторных работ необходимо к ней
подготовиться. Это означает следующее:
2.
8
a. Предварительное (с помощью учебных пособий, методических
указаний к лабораторной работе, конспекта лекций) ознакомление с
изучаемым в данной работе физическим явлением, экспериментальной
установкой и методикой исследования.
Студент должен быть готов к ответу на вопросы о том, какое явление
изучается в данной работе; какие основные законы описывают это явление;
какая физическая величина подлежит экспериментальному определению, что
она собой представляет и от чего зависит.
Кроме того, необходимо быть готовым показать на схеме или на
реальной лабораторной установке ее основные элементы, измерительные
приборы и приспособления, охарактеризовать их назначение и принцип
действия, представить вывод формулы погрешности.
b. Наличие полностью оформленного отчета по предыдущей
лабораторной работе и подготовленного отчета по выполняемой
работе.
Если студент доказал свою подготовленность к занятию:
– представил отчеты по лабораторным работам;
– ответил на вопросы допуска;
то преподаватель расписывается в таблице №1 в графе "допуск" данной
лабораторной работы.
Студенты, не подготовившиеся к выполнению работы (не получившие
"допуск"), оформляют отчеты на занятиях. Лабораторную работу им придется
выполнять во внеурочное время.
2.2. Выполнение
Следует последовательно провести все измерения, указанные в порядке
выполнения работы. Данные внести в таблицы. Экспериментальные данные и
промежуточное значение результата измерений необходимо показать
преподавателю, с тем, чтобы получить его подпись в таблице по форме 1 в
графе "выполнение". В конце занятия целесообразно представить отчет по
выполненной работе и защитить предыдущую работу.
Учебная подгруппа для выполнения лабораторных работ делится на
бригады по 2-3 студента. Каждая бригада выполняет работы по маршруту,
установленному для этой учебной группы. В маршрутах предусмотрены
занятия для защиты лабораторных работ и зачетное занятие. Студенты,
9
выполнившие три лабораторные работы и не защитившие ни одной из них, к
выполнению следующей работы не допускаются. Во время занятия они
защищают выполненные работы, пропущенную работу обязаны выполнить во
внеурочное время.
2.3. Защита работ
Для защиты лабораторной работы следует представить полностью
оформленный отчет (образец дан в приложении). В него входят результаты всех
необходимых вычислений с указанием единиц измерения размерных
физических величин. Если результат заносится в таблицу, то достаточно
привести подробный расчет только для одного опыта.
Графические зависимости оформляются в соответствии с правилами
построения графиков, выполняются на миллиметровой бумаге и подклеиваются
в тетрадь. Допускается оформление графиков с помощью компьютера.
Окончательный результат, если это число, следует записать в виде:
A  Aср  A ,
где A – измеряемая величина,
Aср – ее среднее значение,
A – погрешность в ее определении.
Полученные результаты сопоставляются с литературными (как правило,
справочными) данными.
Обсуждение и анализ экспериментальных данных следует завершить
краткими заключениями (выводами), которые должны говорить о достижении
основных целей лабораторной работы.
В каждой работе приведены примерные контрольные вопросы. Они
могут касаться исследованных в работе физических явлений и законов,
методики измерений и обработки результатов. Задания для защиты включают в
себя как качественные вопросы, так и простейшие задачи, имеющие
непосредственное отношение к проделанной работе индивидуально.
При оценке лабораторной работы учитывается качество оформления:
все записи должны быть аккуратными и разборчивыми, рисунки, схемы и
таблицы выполнены с использованием карандаша, линейки и других
необходимых чертежных инструментов. При оформлении отчета следует
ориентироваться на образец, приведенный на стенде кафедры.
10
Лабораторная работа 1–01 “Изучение основных измерительных приборов
и определение линейных размеров твердых тел”
Цель работы: изучить устройство, характеристики и правила работы
основных измерительных приборов, определить линейные размеры образца и
вычислить погрешности прямых измерений.
Теоретическое введение
Физика является опытной наукой, поэтому умение наблюдать
физические процессы и измерять разные физические величины в физике имеет
особое значение.
Измерить величину – значит сравнить ее с другой однородной
величиной, принятой за единицу измерения. Следовательно, под измерением
следует понимать сравнение измеряемой величины с другой величиной,
принятой за единицу измерения.
Такие измерения называют прямыми. При прямых измерениях
определяемую величину сравнивают с единицей измерения непосредственно
или при помощи измерительного прибора, проградуированного в
соответствующих единицах.
Прибором обычно называют измерительное устройство, градуированное
чаще всего непосредственно в единицах измерения. Измерительная установка
обычно включает в себя несколько приборов и вспомогательных устройств.
Резкую грань между прибором и установкой провести трудно.
Кроме измерительных приборов применяют еще и эталонные образцы,
воспроизводящие ту или иную физическую величину – меры или наборы
(магазины) мер. Сюда относятся гири, катушки и магазины сопротивлений и
индуктивностей,
нормальные
гальванические
элементы
(эталоны
электродвижущей силы) и т.д.
Измерительные приборы и установки характеризуются пределами
измерения и чувствительностью.
Чувствительностью прибора или установки называют отношение
перемещения указателя к вызвавшему его изменению измеряемой величины.
Перемещение указателя обычно измеряют в миллиметрах, или в делениях
шкалы, нанесенной на приборе. На практике часто вводят вместо линейного
перемещения l угол поворота  . Таким образом, чувствительность E
11
определяется как
Е
dl
dx
или
E
d
dx
(1.1)
Иногда понятие чувствительности определяют как отношение сигналов
на входе и выходе преобразователя.
В зависимости от вида функции l  f x чувствительность может быть
либо постоянной величиной ( l  x ), либо величиной, зависящей от x . В первом
случае прибор имеет линейную шкалу, во втором - нелинейную. Нелинейность
шкалы – обычно усложняет измерения. но иногда она позволяет увеличить
чувствительность в нужной области значений измеряемой величины за счет ее
уменьшения в других областях.
Наряду с чувствительностью E при измерениях используется пороговая
чувствительность, т.е. минимальное изменение измеряемой величины, которое
может быть отмечено данным прибором. Этот порог, очевидно, тем ниже, чем
больше E .
Цена деления шкалы в случае приборов, шкала которых градуирована в
единицах, пропорциональных линейному перемещению (т.е. в миллиметрах
или в градусах), есть величина, обратная чувствительности Е
C
dx
d
(1.2)
где  по-прежнему имеет смысл линейного l или углового 
перемещения. Величина C удобнее, чем E , для перевода отсчетов по прибору
 в показания прибора (соответствующие значения измеряемой величины).
Точность прибора определяется погрешностью измерения этим
прибором. В этом смысле между точностью и чувствительностью существует
определенное соотношение. Однако такого принципа градуировки
придерживаются далеко не всегда, и поэтому не следует путать точность и
чувствительность. Точность прибора, как правило, указывается в его паспорте
или на его шкале. Указывается максимальная абсолютная или относительная
погрешность градуировки.
Приборы и меры в зависимости от точности разделяются на классы:
первый (высший), второй и т.д. Допускаемые погрешности для каждого класса
определяются государственными стандартами на приборы соответствующего
типа. Для некоторых типов приборов и мер (например, для
электроизмерительных) класс точности выражается числом, указывающим в
определенной форме основную погрешность градуировки, т.е. максимальную
ошибку, допускаемую при работе в нормальных условиях. Так, например, для
12
эталонов сопротивления, индуктивности и емкости класс - это число,
выражающее в процентах относительную погрешность воспроизведения
соответствующей величины.
Если условия отклоняются от нормальных, то возникает дополнительная
погрешность, величина которой определяется особыми условиями, различными
для разных типов приборов.
С учетом вышеизложенного, при однократном измерении величина,
измеренная прибором, не может быть точнее минимального значения цены
деления шкалы данного прибора. Поскольку обычно показания прибора не
совпадают с целым числом делений его шкалы, то в качестве значения
измеряемой величины берется показание прибора или с недостатком или с
избытком в зависимости от положения указателя. Так, например, при
измерении миллиметровой линейкой длины, край предмета оказывается между
25 и 26 делениями. Длина предмета в этом случае будет равна 25 мм с
недостатком или 26 мм с избытком. На практике обычно выбирается то
показание линейки, которое ближе к краю предмета. Максимальная ошибка
измерения длины предмета при этом не превышает 0,5 мм, т.е. половины цены
деления линейки.
Таким образом, если не указывается класс точности прибора, то за
величину погрешности принимается половина цены деления шкалы прибора.
Несмотря на многообразие физических величин, непосредственно
измерять можно лишь некоторые из них. Примером таких непосредственных
(прямых) измерений является измерение длин.
Для измерения линейных величин пользуются различными приборами и
инструментами. Наиболее простыми из них являются масштабная линейка,
штангенциркуль и микрометр.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: линейка, штангенциркуль, микрометр, образцы.
Масштабная линейка представляет собой прямоугольную пластинку с
нанесенными на ней миллиметровыми делениями. При этом ширина штриха
находится в пределах 0.08-0.15 мм. Допускаемая погрешность самой длины
линейки нормируется стандартом:
13
до 300 мм составляет
0,10 мм
до 500 мм
0,15 мм
до 1000 мм
0,20 мм
При измерении длины предмета масштабной линейкой (например с
ценой деления 1 мм) считают верными цифры, обозначающие число целых
делений. Максимальная ошибка не превосходит половины цены деления
линейки, т.е. 0,5.
Чтобы измерить длины с большей точностью пользуются приборами с
нониусом: штангенциркулем и микрометром.
Нониус – это дополнительная шкала, позволяющая более точно
отсчитывать доли наименьшего деления основной шкалы. При использовании
нониуса можно повысить точность измерений с данным масштабом в 10-100
раз.
Линейный нониус состоит из двух перемещающихся одна относительно
другой линеек с нанесенными на них шкалами: основной масштабной шкалой
и дополнительной шкалой нониуса.
Разберем общие принципы устройства нониусов, которые можно
применять и к угловым нониусам.
Одно деление шкалы нониуса меньше, чем одно или несколько
(например k ) делений основного масштаба на 1/ n часть деления основного
масштаба ( n – целое число). Наиболее часто используются нониусы,
содержащие 10 и 20 делений.
Точностью нониуса называют величину y / n , равную отношению цены
наименьшего деления основного масштаба y к числу делений нониуса n . Цену
делений основного масштаба либо указывают на самом приборе, либо легко
определяют по цифрам, нанесенным на шкале основного масштаба.
Для десятичного нониуса n  10 , y  1 мм, k  2 , вся длина шкалы
нониуса, т.е. 10 его делений будут равны:
y  k  n  1  1 10  2  1  19 мм.
Десятичный нониус дает возможность измерять длину с точностью до
0,1 деления основного масштаба, он является самым простым. Шкала нониуса
разбита на 10 равных делений (рис.1.1).
Рис.1.1
14
Если нулевой штрих нониуса совпадает с каким либо штрихом масштаба
(то совпадает и десятый штрих), но остальные штрихи нониуса не совпадают со
штрихами масштаба (см. рис.1.1). Если же нулевой штрих не совпадает с
масштабным, то найдется такой штрих шкалы нониуса, который совпадает с
каким-либо штрихом основного масштаба ( или они будут находится на
наименьшем расстоянии, чем другие). В случае изображенном на рис.1.2 точно
с масштабным штрихом совпадает третий штрих нониуса.
Рис.1.2
Второй штрих слева будет отстоять от масштабного штриха на 0,1 мм.
Следующий штрих не будет совпадать с масштабным на 0,2 мм, а нулевой
штрих нониуса не совпадает с масштабным уже на 0,3 мм. Следовательно, для
нахождения десятых долей при помощи десятичного нониуса нужно номер
“совпадающего” деления нониуса умножить на 0,1. Общая длина измеряемого
отрезка на рис.2 будет равна 10,3мм.
Штангенциркуль (рис. 1.3) состоит из линейки 1 (штанги) с
миллиметровыми делениями и подвижной рамки 2 с нониусом и
закрепляющим винтом 4. На штанге и рамке имеются ножки 5 и 6, которые с
внутренней стороны имеют плоские поверхности.
Рис. 1.3
При сомкнутых вместе ножках штангенциркуля отсчет по нониусу равен
нулю. Измеряемый предмет помещается между ножками (при этом нужно
избегать перекоса). При измерении штангенциркуль берут в правую руку, а
измеряемый предмет придерживают левой рукой.
Часто штангенциркули снабжают еще одной рамкой с закрепляющим и
микрометрическим винтами. Для более точного отсчета измерения можно
15
производить следующим образом. Измеряемый предмет слегка зажимают
ножками. Затем закрепляют винт 4 и производят отсчет по нониусу.
Для измерения внутренних размеров пользуются специально
отшлифованными концами ножек 5 и 6, толщина которых известна и нанесена
на них (в мм). В этом случае к отсчету по нониусу следует прибавить толщину
ножек.
В некоторых конструкциях штангенциркулей имеется соединенная с
рамкой рейка, используемая для измерения глубины отверстий.
Микрометр (рис. 1.4) состоит из скобы 1 с упором 2 и трубкой (стеблем)
3. В трубке имеется внутренняя резьба, в которую ввинчен микрометрический
винт 4, с закрепленным на нем барабаном 5. На конце барабана имеется
фрикционная головка (трещотка) 6.
Рис. 1.4
Действие микрометра основано на свойстве винта совершать при
повороте его поступательное перемещение, пропорциональное углу поворота.
При измерении предмет зажимают между пяткой и микрометрическим винтом.
Для вращения барабана при этом пользуются фрикционной головкой. При
определенной степени нажатия головка начинает проскальзывать и выдавать
характерный треск. Этим приемом микрометрический винт предохраняется от
порчи.
На трубке 3 нанесены деления основной шкалы. Барабан 5 при
вращении винта перемещается вдоль трубки. На барабане нанесена добавочная
шкала. В микрометрах МК-25 шаг микрометрического винта 0,5 мм(т.е. это
смещение барабана вдоль основной шкалы за один полный оборот барабана).
При этом половинные деления, чтобы не загромождать шкалу, располагаются
над прямой линией основной шкалы (рис. 1.5). Шкала барабана разбита на 50
делений. Цена деления барабана равна 0,01 мм (т.е. поворот барабана на одно
деление соответствует продольному перемещению винта на 0,01 мм).
16
Рис.1.5
Следует учесть, что последующее деление основной шкалы начинает
показываться из-под края барабана несколько раньше момента прохождения
нулевого деления шкалы барабана мимо продольной черты основной шкалы.
Поэтому в случае, когда отсчет по барабану немного не доходит до 50, то
начавшее появляться деление основной шкалы не следует принимать во
внимание.
Перед началом работы с микрометром следует убедиться в его
исправности. Перед измерением следует также проверить нулевую точку
микрометра. Если при соприкосновении винта 4 с упором 2 против нулевого
деления шкалы стоит ненулевое деление барабана, то следует учитывать эту
систематическую ошибку прибора. Если отклонение велико, то микрометр
требует регулировки.
Порядок выполнения работы
1. Измерить масштабной линейкой длину, ширину и высоту предложенного
образца. Измерения произвести в 5-ти различных точках поперечного сечения.
2. Операции, указанные в пункте 1 проделать с помощью штангенциркуля.
3. Операции, указанные в пункте 1 проделать с помощью микрометра.
Обработка результатов измерений:
1. Занести результаты измерений, проведенные каждым из измерительных
приборов в таблицу по форме 1.1.
Форма 1.1
измерительный прибор
№ п/п а, мм
b, мм
h, мм
а, мм
b, мм
h, мм
2.
3.
Определить среднее значение измеренных величин.
Определить абсолютную погрешность каждого измерения: x  xср  xi
17
4. Определить абсолютную погрешность результата нескольких измерений
(доверительный интервал) по формуле Стьюдента:
n
h  t


 (hi )
2
i 1
n(n 1)
Значение коэффициента Стьюдента t взять из таблицы в приложении.
5. Округлить полученную величину абсолютной погрешности.
6. Определить относительную погрешность результатов. Окончательный
результат длины, ширины и высоты образца, полученные каждым из
измерительных приборов, представить в виде:
a  aср  a
b  bср  b
h  hср  h
При обработке результатов необходимо воспользоваться формулами,
изложенными в [9].
Контрольные вопросы
1. Что значит измерить физическую величину?
2. Какие бывают измерения?
3. Дайте определения цены деления прибора и его чувствительности.
4. Что такое нониус? Чему равна цена деления его?
5. Измерить
штангенциркулем
(микрометром)
линейный
размер
предложенного образца.
6. Что такое класс точности прибора?
7. Что берут за величину погрешности, если не указывается класс точности
прибора?
8.
Как можно увеличить точность измерения?
Используемая литература
[8]; [9].
18
Лабораторная работа 1–02 “Определение плотности образца и вычисление
погрешностей косвенных измерений”
Цель работы: определение плотности цилиндрического образца и вычисление
погрешности косвенных измерений.
Теоретическое введение
Распределение вещества в пространстве характеризуется некоторой
величиной, называемой плотностью.
Плотность – физическая величина, численно равная пределу отношения
массы тела к соответствующему объему V .
m dm

V  0 V
dV
  lim
Если вещество равномерно
плотность можно представить в виде:
(2.1)
распределено в пространстве, тогда

m
V
(2.2)
Данное выражение можно использовать и для нахождения плотности в
случае неравномерного распределения вещества в некотором объеме. Такая
плотность называется средней.
Таким образом, для нахождения плотности необходимо знать величину
массы вещества и объем, занимаемый данной массой. Для твердых тел
величина объема зависит от их геометрической формы. Для тел правильной
геометрической формы объем определяется по заранее известным формулам.
Так, например, объем полого цилиндра определяется выражением:
V 
 h
4
(d12  d 22 )
(2.3)
где d1 , d 2 – внешний и внутренний диаметры цилиндра, h – высота
цилиндра.
Тогда плотность полого цилиндрического тела будет равна:

4m
 h(d12  d 22 )
(2.4)
Масса твердого тела может быть определена путем взвешивания на
весах. Взвешиванием называется метод определения массы тела путем
сравнения его веса с весом эталонных тел – гирь. Существует большое число
конструкций весов разного назначения.
19
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: штангенциркуль, весы, разновес, цилиндрический
образец.
В данной лабораторной работе применяются электронные весы,
принцип действия весов основан на преобразовании силы тяжести
взвешиваемого груза в аналоговый электрический сигнал, преобразовании его в
цифровую форму и последующей цифровой обработке на однокристальной
ЭВМ с выдачей результата на цифровой индикатор.
Основой преобразователя силы является чувствительный элемент,
выполненный в виде кремниевой балки с концентраторами напряжений, в
области которых сформирован тензорезистивный мост из диффузионных
резисторов. Для температурной компенсации тензочувствительности
предусмотрена транзисторная схема, сформированная на балке.
Весы состоят из основания, пластмассового кожуха и грузоприемной
чашки. В кожухе закреплен преобразователь силы и плата управления с
цифровым индикатором. Передача усилия от чашки к преобразователю силы
осуществляется посредством грузоприемного рычага, шарнирно связанного с
преобразователем силы и кожухом весов.
В верхней части кожуха весов имеется кнопка включения питания [I/0] и
кнопка [СБ], предназначенная для обнуления показаний индикатора при
отсутствии груза.
Порядок выполнения работы
1. Измерить штангенциркулем высоту предложенного цилиндрического
образца. Измерения произвести 10 раз.
2. Измерить штангенциркулем внешний d1 и внутренний d 2 диаметры
цилиндра. Измерения произвести 10 раз.
3. Произвести взвешивание цилиндрического образца на весах не менее 5
раз.
Обработка результатов измерений
1.
Занести результаты измерений в таблицу по форме 2.1.
20
Форма 2.1
N
п/п
2.
h,
мм
h,
мм
d1,
мм
d1,
мм
мм
m
г
m
,
г
г/см3
Определить средние значения измеренных величин
xcр 
x1  x2    xn
n
3. Вычислить среднее значение
формуле:

4.
d2,
d2,
мм
плотности цилиндрического тела по
4mср
 hср (d12cр  d 22ср )
Определить абсолютную погрешность каждого измерения:
h  hср  h ; xi  xср  xi
i
i
5. Определить абсолютную погрешность результата нескольких измерений
(доверительный интервал) по формуле Стьюдента:
n
 x 
x  t
i 1
2
i
n( n  1)
Значения коэффициента Стьюдента t взять из таблицы в приложении.
6. Округлить полученную величину абсолютной погрешности, в
соответствии с правилами округления чисел.
7. Получить формулу для расчета относительной погрешности плотности
полого цилиндрического образца.
8.
Определить относительную  

ср
и абсолютную      ср погрешности
плотности образца.
9. Окончательный результат представить в виде:
   ср   
При обработке результатов необходимо воспользоваться формулами,
изложенными в [9].
Контрольные вопросы
1.
2.
Что значит измерить физическую величину?
Какие бывают измерения?
21
3. Дайте определения цены деления прибора и его чувствительности.
4. Что такое нониус? Чему равна цена деления его?
5. Как определяется абсолютная погрешность при прямых однократных и
многократных измерениях?
6. Как определяется относительная погрешность при прямых однократных и
многократных измерениях?
7. Как вычисляется ошибка при косвенных измерениях?
Используемая литература
[8]; [9].
22
Лабораторная работа 1-03 “Изучение погрешностей измерения ускорения
свободного падения с помощью математического маятника”
Цель работы: 1) изучение колебаний математического маятника: измерение
периода его колебаний и определение ускорения свободного падения;
2) оценка случайной и приборной погрешностей измерения; изучение
зависимости ширины доверительного интервала от числа опытов и
доверительной вероятности.
Теоретическое введение
Считается, что Ньютон выдвинул гениальную идею о том, что не только
между Солнцем и Землей, а между любыми телами, размерами которых можно
пренебречь по сравнению с расстояниями между ними, действует сила
взаимного притяжения, подчиняющаяся закону: сила, с которой две
материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих
точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
F G
m1  m2
r2
(3.1)
Здесь G – коэффициент пропорциональности, называемый постоянной
всемирного тяготения или гравитационной постоянной. В системе СИ G имеет
значение:
G  6,67  1011
м3
кг  с 2
Сформулированный закон носит название закона всемирного тяготения,
а взаимодействие, о котором идет речь в этом законе, называется
гравитационным
взаимодействием.
Заметим,
что
в
отличие
от
электростатического взаимодействия, гравитационная сила всегда есть сила
притяжения.
Выражение (3.1) записано для взаимодействия двух материальных
точек. Силу притяжения, действующую со стороны Земли на всякое тело
вблизи ее поверхности, можно с хорошей точностью считать постоянной, не
зависящей от удаления тела от земной поверхности. Допустим, что тело массы
m находится на высоте h от поверхности Земли ( h  RЗ ). Тогда сила,
действующая на тело и направленная к центру Земли, будет равна
Fт  G
m  MЗ
M
 mG 2З  mg
2
RЗ
RЗ  h
(3.2)
23
где M З – масса Земли, RЗ – радиус Земли, а величина
g G
MЗ
RЗ2
(3.3)
и есть ускорение свободного падения, так как оно равно постоянному (с
точностью до
h
) ускорению, с которым движутся к поверхности Земли все
RЗ
тела под действием ее притяжения. Учитывая, что M З  5,98  1024 кг, RЗ  6,38  106
м, получаем хорошо известное из школы значение g  9,8 м/с2, которое и
проверяется в этой работе на опыте.
Конечно, при подобном рассмотрении мы сделали два упрощающих
предположения. Считаем Землю строго сферическим телом, хотя она слегка
сплющена вдоль своей оси вращения, и предполагаем, что плотность вещества
Земли всюду постоянна. Оба эти предположения выполняются с хорошей
точностью – достаточно сказать, что силы тяжести, измеренные на полюсе и на
экваторе отличаются на доли процента. Так что задача сводится к определению
силы гравитационного притяжения между материальной точкой массы m и
однородным шаром (Землей). Вычисляя эту силу, можно доказать, что действие
шара на материальную точку эквивалентно действию помещенной в центре
шара материальной точки с массой, равной массе шара.
В данной работе ускорение
A
свободного падения определяем на
опыте,
изучая
колебания
математического
маятника
–

небольшого грузика массой
m,
l
подвешенного на абсолютно жесткой,
N
нерастяжимой нити длиной l ; массу
нити будем считать пренебрежимо
S
F
малой. Рассмотрим, как второй закон
Ньютона
позволяет
исследовать
особенности колебательного движения
mg
груза под действием силы тяжести. На
Рис. 3.1. Силы, действующие на маятник
рис. 3.1 показаны силы, действующие
на грузик в момент, когда угол
отклонения его равен  . Уравнение движения (второй закон Ньютона) имеет
вид
ma  m g  N
(3.4)
24
где N – сила натяжения нити, m g – сила тяжести.
В каждой точке движение грузика происходит в направлении
касательной к окружности под действием тангенциальной (направленной по
касательной) составляющей силы тяжести. Из рис. 3.1 видно, что эта
составляющая F  mg  sin  . Проектируя уравнение (3.4) на направление
касательной к траектории движения, запишем
(3.5)
ma  mg  sin 
(сила натяжения нити N направлена по нормали к траектории, так что ее
проекция на касательную равна нулю). Здесь через a обозначена касательная к
окружности составляющая ускорения; a – тангенциальное ускорение.
Так как длина дуги окружности S  l   , то скорость грузика,
направленная по касательной,   l    , и тангенциальное ускорение a    l   
(  
d
d 2
,    2 ). Поэтому уравнение (3.5) при малых отклонениях от
dt
dt
положения равновесия (можно положить sin    ) представляется таким
образом
   02  0
(3.6)
где 02 
g
.
l
Можно
убедиться
(вспомнив
правило
дифференцирования
тригонометрических функций), что решением уравнения (3.6) является
гармоническое колебание
 t   m  cos0t  0 
(3.7)
Системы, описываемые уравнением (3.6), называются гармоническими
осцилляторами.
В (3.7) постоянные m и  0 – амплитуда и начальная фаза; они
определяются начальными условиями, - тем, как именно система выводится из
состояния равновесия; 0 – круговая или циклическая частота. Аргумент
косинуса
0t  0  называется фазой колебания. Поскольку косинус –
периодическая функция с периодом 2 , различные положения грузика,
совершающего гармонические колебания, повторяются через такой
промежуток времени T , за который фаза колебаний получает приращение 2 .
Его можно определить из условия 0 t  T   0  0t  0   2
Откуда
25
T
2
0
Этот промежуток времени называется периодом колебаний. В нашем
случае
T  2
l
,
g
(3.8)
где l – длина нити; g – ускорение свободного падения. Выразим из
формулы (3.8) величину g :
2

2  l
g
T2
(3.9)
Таким образом, измерив длину нити и период колебаний маятника,
можно опытным путем найти ускорение свободного падения. Для получения
более точного результата следует измерять не время одного полного колебания
(период) T , а время нескольких ( N ) колебаний t . Учитывая, что T 
t
,
N
преобразуем выражение (3.9) к виду
(2 N ) 2 l
g
.
t2
(3.10)
Из формулы (3.8) следует, что при фиксированной длине нити l период
колебаний маятника T представляет собой постоянную величину ( g  const для
данной географической точки). Поэтому при неоднократном измерении
времени t одного и того же количества N колебаний, казалось бы, должен
получаться неизменный результат. Однако даже при использовании
сравнительно точного прибора (например, электронного секундомера) можно
убедиться в том, что от опыта к опыту значение t изменяется то в большую, то
в меньшую сторону. Различия в результатах измерения одной и той же
величины объясняются случайными погрешностями. Изучение погрешностей
является одной из главных целей данной лабораторной работы.
Если при многократных измерениях количество колебаний N брать
неизменным, то расчетную формулу (3.10) для определения ускорения
свободного падения удобнее представить в виде
g
C
,
t2
(3.11)
где
C  2N  l
2
(3.12)
В заключение позволим себе еще одно замечание. При выводе формулы
26
для периода колебаний математического маятника было сделано много
различных предположений и допущений. Но без отбрасывания
несущественных подробностей вообще нельзя было бы найти физические
законы. Первым это понял Галилей, который и считается основателем научного
метода в физике.
Экспериментальная часть
Схема экспериментальной установки
1 – штатив;
2 – нить длиной l;
3 – груз;
4 – секундомер;
5 – сантиметровая лента
Порядок выполнения
Упражнение 1. Оценка погрешностей результата n измерений.
1. С помощью сантиметровой ленты измерьте длину нити l , т.е. расстояние
от точки подвеса до центра тяжести груза. Выразив величину l в метрах, по
формуле (3.12) рассчитайте константу C (значение N указывается
преподавателем). Запишите полученный результат (в метрах) в тетрадь.
2. Под руководством преподавателя или лаборанта научитесь работе с
секундомером.
3. Выведите маятник из положения равновесия и отпустите, наблюдая
начавшиеся колебания. Помните, что максимальный угол отклонения нити от
вертикали при этом должен быть малым (примерно в пределах 10). Следите за
тем, чтобы колебания маятника происходили в вертикальной плоскости (груз
не должен описывать круги или «восьмерки»).
4. Не останавливая колебаний маятника, для тренировки несколько раз
измерьте время t , в течение которого он совершает N полных колебаний.
27
5. С разрешения преподавателя приступайте к выполнению основной части
работы. Повторив описанные выше измерения n раз, заполните первые три
столбца таблицу по форме. 3.1.
6. Число измеряемых колебаний N , и число опытов n задается
преподавателем.
Форма 3.1
Номер
g , м/с2
g , м/с2
t, с
g 2 , (м/с2)2
N
опыта
1
2
…
n




7. Для каждого опыта рассчитайте ускорение свободного падения по формуле
(3.11); результаты расчетов занесите в четвертый столбец таблицу по форме 3.1.
8. Изучите методику оценки случайной и приборной погрешностей
измерения [8].
9. Вычислите сумму полученных значений величины g и занесите результат в
соответствующую ячейку таблицы. Рассчитайте среднее значение g и
запишите его в тетрадь.
10. Для каждого i-го опыта найдите отклонение значения от среднего
2
g i  g i  g , а также квадрат отклонения g 2  . Результаты расчетов занесите в
два последних столбца таблицы по форме 3.1.
11. Рассчитайте сумму квадратов отклонений и запишите ее в
соответствующую ячейку. Вычислите среднеквадратичную ошибку  .
12. Выберите из таблицы в приложении значение коэффициента Стьюдента
t n , для n опытов и доверительной вероятности   0,95 . Рассчитайте и
запишите в тетрадь случайную погрешность измерения  S g .
13. Определите абсолютные приборные погрешности прямых измерений
длины нити l и времени t ; оцените относительные ошибки El 
l
l
и Et 
t
t
.
Запишите полученные значения в тетрадь и сравните их между собой.
14. Оцените абсолютную приборную погрешность косвенного измерения
ускорения свободного падения g . При необходимости используйте формулу
 g  g El 2  (2Et ) 2 .
28
15. Оцените полную абсолютную  и относительную E ошибки. Приведите
точность вычисления среднего значения g в соответствие с найденной
погрешностью. Запишите окончательный результат измерений.
Контрольные вопросы
1. Объясните, какие допущения принимались при выводе формулы (3.3).
2. Объясните, какие приближения использовались, чтобы показать, что
колебания математического маятника могут быть гармоническими.
3. Представьте
вывод
формулы
(3.8)
для
периода
колебаний
математического маятника.
4. Дайте определение абсолютной и относительной ошибки измерений.
5. Объясните, почему невозможно получить истинное значение физической
величины и что такое случайная погрешность при прямых измерениях.
6. Какие величины вводятся для характеристики случайной погрешности?
7. Как определяются случайные погрешности при косвенных измерениях?
8. Объясните, как оценивается полная ошибка при измерениях и как
записывается окончательный результат измерений.
Используемая литература
[3] §27.1, 27.2; [9].
29
Лабораторная работа 1-04 “Статистическая обработка результатов
эксперимента. Случайные погрешности результатов наблюдений
интервалов времени”
Цель работы: ознакомление со статистической обработкой результатов
измерений и оценкой случайной погрешности измерений интервалов времени.
Теоретическое введение.
Физика как наука изучает простейшие и вместе с тем наиболее общие
закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее
движения. Физика – экспериментальная наука: ее законы базируются на фактах,
установленных опытным путем. В основе любого эксперимента лежит
измерение: последовательность экспериментальных и вычислительных
операций, осуществляемая с целью нахождения значения физической
величины, характеризующей некоторый объем или явление. Различают прямые
и косвенные измерения.
При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с
единицей измерения непосредственно (например, определение длины стержня с
помощью
линейки)
или
при
помощи
измерительного
прибора,
проградуированного в соответствующих единицах (например, определение
разности потенциалов на концах проводника с помощью вольтметра).
При косвенных измерениях измеряемая величина определяется
(вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, которые
связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью
(например, определение площади круга по измеренному диаметру).
Результат измерения дает лишь приближенное значение измеряемой
величины. Погрешности результата измерения определяются разностью
измеренной хизм и истинной Х величин:
х  хизм  Х
(4.1)
Такую погрешность называют абсолютной, а величину

х
X
(4.2)
относительной погрешностью.
В зависимости от источников погрешностей измерений различают
методические погрешности, связанные с выбором той или иной методики
30
измерения данной величины (например, ускорение свободного падения тел
можно определить через период колебаний математического маятника, а можно
через расстояние, пройденное телом при свободном падении и время,
затраченное на это падение) и инструментальные (приборные) погрешности,
связанные с несовершенством измерительной техники.
Погрешность, вносимая прибором при каждом отдельном измерении,
связана с точностью прибора. Эта погрешность равна той доле деления шкалы
прибора, до которой с уверенностью в правильности результата можно
проводить отсчет. Обычно, если нет оговорок в паспорте прибора, она равна
половине цены наименьшего деления шкалы.
По характеру проявления различают систематические, случайные
погрешности и промахи.
Систематическая погрешность: при повторении одинаковых измерений
она изменяется закономерным образом или остается неизменной. Например, у
прибора сбит нуль отсчета, и он все время дает завышенный результат; при
вычислении используем округленное значение констант и т. д. Этот вид
погрешностей может быть учтен и существенно уменьшен путем введения
поправок.
Случайная погрешность: при повторении одинаковых измерений она
изменяется случайным образом, хаотично и не может быть заранее предсказана
ни по величине, ни по знаку. Причиной появления случайных погрешностей
являются неконтролируемые условий проведения эксперимента (вибрация
здания, колебания напряжения в сети, перемещение воздуха в помещении и т.
д.). Случайные погрешности оцениваются по данным многократных измерений
методами математической статистики.
Промах: погрешность, возникающая в результате небрежности
экспериментатора (например, неправильно снято показание, не по той шкале и
т. п.). Промахи должны быть исключены из результатов измерения и анализу не
подлежат.
Следует иметь ввиду, что, если в результате измерений случайная
погрешность оказывается меньше приборной, то нет смысла увеличивать число
измерений. Если случайная погрешность значительно меньше приборной, то
измерение можно вообще выполнить лишь один раз. Другими словами,
бессмысленно пытаться грубым прибором получить точное значение
измеряемой величины.
Рассмотрим основные положения теории случайных погрешностей. Она
31
базируется на двух главных предположениях, подтверждаемых опытом:
1. При большом числе наблюдений одинаково часто встречаются
погрешности одинаковой величины, но разного знака.
2. Большие (по модулю) погрешности встречаются реже, чем малые, т. е.
вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины
погрешности.
Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются
теорией вероятности. Будем использовать частотное определение вероятности.
Оно эквивалентно принятому в математике, но является более наглядным и
удобным. Это определение связано с представлениями о зависимости между
вероятностью и частотой появления события, принятыми в повседневной
практике.
Обозначим через dN x  число измерений, для которых физическая
величина X попала в интервал значений между x и x  dx , через N – полное
число измерений. Соответственно следует говорить не о точном (истинном)
значении величины Х , а некотором интервале ее значений, то есть о
вероятности того, что величина X имеет значения, лежащие в интервале между
х и x  dx . Эту вероятность обозначают d x 
N  x 
N 
N
d  x   lim
Очевидно, что вероятность
d x 
(4.3)
при прочих равных условиях
пропорциональна величине интервала dx . Поэтому удобно представить d x  в
виде
d x   Px dx
(4.4)
где Px – вероятность того, что значение x лежит в некотором
“единичном” интервале.
функцией распределения.
Px
называется плотностью вероятности или
Px  
d x  1 dN

dx
N dx
(4.5)
Теперь с помощью функции распределения мы хотя и не можем указать
точно, чему равно истинное значение X измеренной величины, но можем
найти, с какой вероятностью  величина x окажется в интервале значений
a  x  b . Эта область значений называется доверительным интервалом, а
связанная с ним величина  – доверительной вероятностью.
b
 a  x  b   Px dx
a
(4.6)
32
Пусть измерение состоит из N независимых повторных наблюдений
величины xi (i=1, 2, 3, …., N ). Построим по этим наблюдениям среднее
арифметическое
1
N
х
N
х
i 1
(4.7)
i
При N   среднее арифметическое совпадает с истинным значением
Х.
Значения
хi
определенным образом группируются относительно
истинного значения Х . Мерой отклонения значения х i в совокупности
измерений служит среднеквадратичное отклонение отдельного измерения  .
N
 

х  x 
2
i 1
i
(4.8)
N 1
Квадрат этой величины  2 называется дисперсией. Величины х ,  ,  2
определяют плотность распределения результатов наблюдения (или плотность
вероятности Px ). Обычно предполагают, что плотность вероятности
подчиняется нормальному закону распределения и описывается функцией
распределения Гаусса:

 хx
P( x) 
 exp 
2 2
 2

1
 
2
(4.9)

Вид функции Гаусса показан на рисунке 4.1.
Произведение Px  dx равно вероятности получения
результата
наблюдения, попадающего в промежуток [ x , x  dx ]. Геометрически эта
вероятность выражается заштрихованной площадкой на рис. 4.1. Очевидно, что
полная площадь под кривой P(x) равна 1 (или 100%).
P(x)
Pmax
2
0,6·Pmax
P(x)
х
dx
Рис.4.1 Функция распределения Гаусса
x
33
Все вышесказанное справедливо при бесконечно большом числе
независимых измерений одной величины. На практике выполняют, конечно,
ограниченное число измерений. В этом случае все полученные измерения
величины х представляют выборку, а х , определенное по (4.7), называется
средним арифметическим. Оно не совпадает с истинным значением величины
Х . Поэтому при проведении конечного числа измерений (а на практике только
это и возможно!) не удается установить истинное значение Х . Можно лишь
указать границы x  х значений, в которых лежит основная часть измерений.
Так, например, если х   , то   68% , если х  2 , то   95% , если х  3  то
  99,7% 
Интервал Х  х  x  X  x и вероятность  называют доверительными.
На практике величина  (и дисперсия) неизвестна (количество измерений
ограничено). Поэтому для оценки используют ее приближенное значение,
называемое
среднеквадратичной
погрешностью
(среднеквадратичное
отклонение среднего значения х ):
S
N
1
xi 2

N N  1 i 1
(4.10)
Распределение Гаусса позволяет достаточно надежно определить
случайные погрешности измерений при большом числе измерений. В
инженерной практике (при N  10 ) вместо распределения Гаусса следует
использовать распределение Стьюдента. В этом случае можно показать, что для
каждой доверительной вероятности  можно найти такое число t N , P ,
называемое коэффициентом Стьюдента, что погрешность прямых измерений
может быть оценена следующим образом:
х  t N , P  S
(4.11)
Величину
x  t P , N  S
еще
называют
доверительной
случайной
погрешностью результата измерения, а вероятность  – надежностью
(доверительной вероятностью) результата. Зная число измерений в опыте N и,
задавая надежность  (обычно принимают   95% ), по таблице в приложении
находят значение коэффициента Стьюдента.
Окончательно результаты измерения можно записать в виде:
х  х  t P , N  S  x  x
(4.12)

x
x
(4.13)
34
Суммируя все вышесказанное, можно предложить следующий порядок
оценки результатов измерений.
1. Выполнить 3-7 измерений некоторой величины (получить выборку).
Результаты занести в таблицу.
2. По формуле 4.7 определить среднее арифметическое.
3. Найти отклонение результатов каждого определенного измерения от
среднего (т.е. хi  x   xi см. числитель в формуле 4.11).
4. Определить по формуле (4.10) среднеквадратичную погрешность S.
5. С помощью преподавателя задаться определенной надежностью
результата.
6. По данным таблицы в приложении определить коэффициент Стьюдента.
7. Записать результат в виде 4.12.
8. Указать относительную погрешность (4.13)
Методика измерений
Работа выполняется одновременно всей подгруппой, разбитой на
бригады по 2 человека. Преподаватель запускает метроном (на каждом занятии
может быть задана своя частота колебаний метронома) и каждая бригада
получает конкретное задание: измерить длительность двух качаний метронома,
другой бригаде – трех качаний и т. д. т. е. каждая бригада будет измерять свой
временной интервал. При отсутствии метронома временные интервалы могут
задаваться по часам, имеющимся в каждой бригаде. В этом случае каждая
бригада также получает свое конкретное задание: провести точное измерение 5секундного интервала, для другой бригады-7-секундного и т. д.
Каждое измерение выполняется вдвоем: один студент дает команды на
включение и выключение секундомера (ориентируясь на метроном или
показания часов), а другой осуществляет запуск секундомера и его остановку и
регистрирует результат в таблице. При этом важно, чтобы первый студент не
знал результатов каждого конкретного измерения (требование независимости
измерений).
Полученные результаты используются для достижения двух целей: одна
– научиться выполнять оценку погрешности прямых измерений, другая –
убедиться в действии закона нормального распределения при проведении
измерений, сопровождающихся случайной погрешностью.
35
Порядок выполнения работы.
Задание 1. Определение погрешности прямых измерений.
1. Бригада выполняет 50 измерений указанного преподавателем интервала
времени  . Результаты заносятся в таблицу по форме 4.1 (столбец 2).
2. По формуле 4.1 вычисляется среднее арифметическое  .
3. Ищутся отклонения каждого измерения от среднего  i   (столбец 3).
4. Заполняется 4 столбец формы 4.1.
5. По формуле 4.10 вычисляется выборочное среднее квадратическое
отклонение S .
6. По таблице в приложении найти коэффициент Стьюдента tp,N (для N  50 ,
  0,95 ).
7.
8.
Вычисляем Stp,N. Находим доверительный интервал.
Записываем результат измерений промежутка времени в виде:      .
9.
Определяем относительную погрешность E 
1.
Задание 2. Построение кривой распределения.
Выбрать из результатов измерений наибольшее  наиб и наименьшее  наим


.
значения интервалов времени. Определить промежуток изменений интервалов
времени  наиб   наим .
2.
Разбить весь промежуток на 10 равных частей (зон) h 
 наиб.   наим.
10
Заполнить столбцы таблицы 4.2.
- Подставить конкретные числа, характеризующие границы зон
(столбец 2).
- Подсчитать количество значений n измеренных интервалов времени ,
попадающих в данную зону (столбец 3).
- Подсчитать относительное число измеренных интервалов времени,
попадающих в каждую зону (столбец 4).
4. Построить гистограмму (см. рис.4.2). Построение выполнять на
миллиметровке! Для этого по оси абсцисс отложить значения измеренных
интервалов времени, указать на оси  наим и  наиб , провести разбиение на 10 зон
3.
шириной h . На каждой зоне построить прямоугольник, высота которого равна
относительному числу измеренных интервалов времени
n
.
N h
Другими
36
словами, гистограмма отражает связь между соответствующими значениями 4
и 2 столбцов таблицы 4.3.
5. Нарисовать прямую плотности распределения результатов измерений. Для
этого отметить точками середины вершин построенных прямоугольников и
построить по этим точкам плавную кривую (см. рис. 4.2).
6. Найти среднеарифметическое  .
7. Найти среднеквадратическое отклонение S .
8. Найти по графику доверительный интервал для надежности   0,95 . Он
примерно равен x  2 .
Форма 4.1. Результаты измерений
№ измер.

 
   
Единицы
1
2
3
…
50
Среднее
С
С
С2
P
2
=
St=
n
N h
Pmax
2
0,6ּPmax
τ
τнаим
h
τнаиб
Рис. 4.2. Гистограмма распределения результатов измерений интервалов времени
37
Форма 4.2. Данные для построения гистограммы.
Номер зоны
Границы зоны
1
2
…
10
наим.наим.h
Контроль
n
n
N h
n=50
 n 
h  
 1
 N h
наим.+hнаим.+2h
наим.+9hнаиб.
Итого
Контрольные вопросы.
1. Что понимается в физике под измерением? Приведите примеры.
2. Как подразделяются измерения? Поясните, приведите примеры.
3. Почему при проведении измерений появляются погрешности? Можно ли
выполнить измерения "точно"?
4. Какие бывают погрешности? Дайте им характеристики, приведите
примеры их появления.
5. Как учесть систематические погрешности? Промахи?
6. Какие предположения лежат в основе теории случайных погрешностей?
7. Какими основными величинами оперирует теория случайных
погрешностей? Поясните их физическую суть.
8. Сколько нужно выполнить измерений, чтобы можно было воспользоваться
законом нормального распределения?
9. Что такое "доверительный интервал", "надежность"?
10. Как на практике находят доверительный интервал при заданной
надежности? Что такое коэффициент Стьюдента?
11. Как по виду функции Гаусса (по графику) определить дисперсию?
12. Что такое "гистограмма"?
13. Подтверждается ли в Вашей работе предположение о том, что результаты
измерений подчиняются закону нормального распределения?
14. Как найти погрешность косвенных измерений?
15. Является ли полученная кривая распределения кривой Гаусса?
Используемая литература.
[8]; [9].
38
Лабораторная работа 1-05“Исследование упругого соударения шаров”
Цель работы: экспериментальное определение импульсов двух упруго
соударяющихся шаров до и после соударения. Проверка выполнения закона
сохранения импульса для замкнутой системы тел.
Теоретическое введение
В физике реальное взаимодействие тел может быть рассмотрено на
простейшей модели – центрального удара двух шаров. Удар называется
центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через
их центры.
Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и
неупругий удары. Эти взаимодействия шаров принципиально отличаются друг
от друга. При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия движущихся
шаров полностью или частично превращается в их внутреннюю энергию
(тепло, энергию остаточных деформаций). После удара шары движутся с
одинаковой скоростью, как единое целое, либо покоятся. При абсолютно
неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон же
сохранения механической энергии не соблюдается.
В случае абсолютно упругого удара кинетическая энергия обоих шаров
сначала превращается в потенциальную энергию упругих деформаций тел.
Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В
итоге потенциальная энергия упругих деформаций снова переходит в
кинетическую энергию движущихся шаров. При центральном абсолютно
упругом ударе выполняются закон сохранения механической энергии и закон
сохранения импульса замкнутой системы тел (шаров).
На основе этих законов сохранения можно получить выражение для
расчета скоростей шаров после абсолютно упругого удара.
Закон сохранения импульса имеет вид
m11  m2 2  m11  m2 2
(5.1)
а закон сохранения энергии
m11
m  2 m u2 m u2
 2 2  1 1  2 2
2
2
2
2
2
(5.2)
где m1 , m2 – массы шаров; 1 и 2 – скорости шаров до удара; u1 и u2 –
скорости шаров после удара.
39
Рассмотрим случай, когда один из шаров массой m2 до удара
неподвижен, т.е. 2  0 .
Тогда законы сохранения импульса и механической энергии запишутся в
форме:
m11  m1u1  m2 u 2
(5.3)
m112 m1u12 m2u22


2
2
2
(5.4)
Совместное решение системы уравнений (5.3) и (5.4) (с учетом того, что
центры шаров движутся по одной прямой) позволяет определить скорости
шаров после удара:
u1 
u2 
m1  m2 
1
(5.5)
2m1
2
m1  m2
(5.6)
m1  m2
Методика измерений
В данной лабораторной работе исследуется центральный упругий удар
шаров, когда до удара шары сближаются по линии, проходящей через их
центры масс (рис.5.1). Такой удар реализуется в установке двумя
подвешенными на нитях равной длины шарами. Расстояние между точками
подвеса равно сумме радиусов обоих шаров.
Рис. 5.1
Пусть левый шар массой m2 до удара покоится. Выведем из положения
равновесия правый шар массой m1 на некоторый угол  и отпустим. Скорости
шаров после удара можно определить по углам отклонения 1 и  2 первого и
второго шаров от положения равновесия. Такой метод называется
баллистическим.
40
Рис.5.2
Получим рабочие формулы для вычисления скоростей шаров u1 и u2
после удара. Скорость первого шара 1 до удара определим, используя закон
сохранения энергии. Считая, что потенциальная энергия шара массой m1 ,
отклоненного на угол  , полностью преобразуется в его кинетическую
энергию, запишем
m1 gh 
m112
2
(5.7)
где h – высота подъема шара (рис. 2); g – ускорение свободного
падения. Как видно из прямоугольного треугольника ABC на рис.5.2,
(5.8)
l  h  l cos
Следовательно,
h  l 1  cos    2 sin 2

2
l
(5.9)
Подставляя выражение (5.9) в формулу (5.7) получим:
12  2 gl 1  cos    4 gl sin 2

2
или
1  2 gl sin

(5.10)
2
Значение скоростей шаров в точке D непосредственно после удара по
аналогии определяется формулами
u1  2 gl sin
u 2  2 gl sin
1
(5.11)
2
2
2
,
(5.12)
41
где 1 и  2 – углы отклонения от положения равновесия 1-го (правого) и
2-го (левого) шаров.
Суммарный импульс системы шаров до 1 -го удара
p c  p1  p 2  m1  0  2m gl sin

2
(5.13)
После 1 -го удара левый шар получает импульс
p2  mu2  2m gl sin
2
2
,
(5.14)
а правый шар останавливается ( u1  0 ; p1  0 ) .
Суммарный импульс системы шаров после 1-го удара
pc  m0  u2   2m gl sin
2
2
(5.15)
После 2-го удара правый шар получает импульс
p1  mu1  2m gl sin
1
2
,
(5.16)
а левый шар останавливается ( p2  0 ).
Тогда суммарный импульс системы шаров после 2-го удара
 


p c  m 0  2 gl sin 1   2m gl sin 1
2 
2

(5.17)
Для проверки выполнения закона сохранения импульса необходимо
сравнить суммарный импульс системы шаров до и после 1-го и 2-го ударов.
После проведения прямых измерений углов  , 1 ,  2 следует вычислить
по формулам (5.13), (5.15), (5.17) импульс системы шаров до и после ударов, а
затем сравнить полученные результаты.
Экспериментальная установка
Измеряемый объект представляет собой два одинаковых шара,
подвешенных на нитках равной длины. Центры масс шаров лежат в
горизонтальной плоскости на расстоянии, равном расстоянию между точками
подвеса нитей. Диаметры шаров составляют d1  d2  60,0 (мм). Массы шаров
m1  m2  200 (г). Шары изготовлены в Бельгии из специального полимерного
материала. Анализ физико-химических свойств этого полимера позволяет
считать, что при соударении шаров условия (5.1) и (5.2) реализуются с хорошей
точностью. Внешний вид установки представлен на рис 5.3.
Основание 1 установлено строго горизонтально на лабораторном столе
через регулируемые антивибрирующие ножки 2. На верхнем конце штанги 3,
42
закрепленной перпендикулярно основанию, предусмотрен механизм подвеса 4.
Рис.5.3
Он позволяет регулировать длину нитей подвеса шаров 5 и 6 и
расстояния между точками подвеса. Поскольку после соударения шары 5 и 6
движутся по разным траекториям, для регистрации их угловых положений на
основании установлены две шкалы: шкала "А" - для правого шара 5 и шкала
"В" - для левого шара 6. Таким образом, углы  и 1 , фиксируются по шкале
"А", а угол  2 – по шкале "В".
Правый шар 5 отклоняют вправо на некоторый угол  и отпускают.
Необходимо следить, чтобы шар был расположен точно над шкалой "А". Тогда
траектория его движения будет лежать в плоскости, где лежат центры масс
обоих шаров и обе измерительных шкалы ("А" и "В"). Только в этом случае
удар будет центральным. Левый шар 6 при этом качнется влево, двигаясь точно
над шкалой "В". Если по какой-то причине этого не произошло (шар 6 качнулся
"в сторону"), эксперимент следует повторить.
Порядок выполнения лабораторной работы
43
1. Необходимо убедиться, что оба шара до начала эксперимента находятся в
покое.
2. Отвести правый шар ( m1 ) вправо на угол  , указанный преподавателем, и
отпустить.
3. Зафиксировать углы отклонения подвесов обоих шаров: 1 (после 1-го
удара) и  2 (после 2-го удара).
4. Данные измерений углов  , 1 ,  2 занести в таблицу по форме 5.1.
Форма 5.1
№
опыта
1
2
3

1
2
1 
2

1
 1i


2
  2i


1
  1i

2
 2   2i 2
Обработка результатов измерений
Предварительно студент должен ознакомиться с правилами оценки
неопределенностей (погрешностей) прямых и косвенных измерений.
1. Провести обработку прямых измерений углов  , 1 ,  2 . Вычислить
средние арифметические значения этих величин для серии n измерений.
2. По данным табл. 1, заполненной по форме 1, определить средние
квадратичные отклонения результата серии измерений S  ср  , S 1ср  , S  2ср 
3. Определить границу доверительного интервала, в котором с заданной
вероятностью p находится каждая из приведенных величин. Для всех прямых
измерений задается одно и то же значение p . Записать результаты прямых
измерений в стандартной форме.
4. Провести обработку результатов косвенных измерений. По формулам
(5.10), (5.11), (5.12) вычислить средние значения скоростей: 1ср – правого шара
до удара; u 2 ср – левого шара после 1-го удара и u1ср – правого шара после 2-го
удара.
5. С использованием рабочих формул (5.10), (5.11) и (5.12) вывести формулы
относительной неопределенности (погрешности)  скоростей шаров до и после
44
удара.
Как видно из рабочих формул, все скорости – 1 , u1 , u2 имеют
одинаковую функциональную зависимость от угла отклонения. Поэтому
формулы относительной погрешности  для всех рассматриваемых скоростей
будут иметь одинаковый вид.
6. Вычислить  по полученным формулам. При вычислении погрешности
значение  брать в радианах. Определить границу доверительного интервала
для каждой из скоростей, т.е. 1ср , u1 р , u2ср .
7.
Окончательно записать результат в стандартной форме:
   ср  
8. По формулам (5.13), (5.15) и (5.17) вычислить импульсы системы шаров до
и после ударов. Для проверки выполнения закона сохранения импульса
сравнить численные значения суммарного импульса системы шаров до и после
первого и второго ударов. Дать заключение о справедливости закона
сохранения импульса для замкнутой системы тел (шаров).
Контрольные вопросы
1. Что называется импульсом тела?
2. Сформулируйте закон сохранения импульса.
3. Какая система называется замкнутой или изолированной?
4. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно упругом и
неупругом ударе?
5. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
6. Представьте вывод формулы скорости первого шара после удара
Используемая литература:
[3] с.59-64; [6] c.56-62; [5] c.76-80;[7] c.19-21, 27-33.
45
Лабораторная работа 1-06 “Определение коэффициента трения твердых
тел”
Цель работы: изучение закономерностей трения и определение коэффициента
трения покоя.
Теоретическое введение
Трение возникает на поверхностях соприкосновения двух твердых тел.
Оно играет важную роль и в технике, и в обыденной жизни. Различают три
вида внешнего трения: трение покоя, трение скольжения, трение качения. На
величину сил трения и характер их зависимости от скорости существенно
влияют состояние поверхностей, их обработка, наличие загрязнений и т.д.
Вместе с тем величина этих сил зависит от величины нормального давления
между поверхностями. Сила трения между соприкасающимися твердыми
телами обладает характерной чертой: она не обращается в нуль вместе со
скоростью. Сила трения, которая существует между соприкасающимися, но не
движущимися телами, носит название трения покоя. Величина и направление
силы трения покоя определяются величиной и направлением той внешней
силы, которая должна была бы вызвать скольжение. Сила трения покоя равна
по величине и противоположна по направлению внешней силе, вызвавшей
движение. Сила трения покоя по величине не может превосходить некоторого
определенного значения, которое называют максимальной силой трения покоя
(или силой трения покоя). Пока внешняя сила не превосходит этого значения,
скольжение не возникает (рис. 6.1). За максимальным значением следует
крутой спад и остается постоянная сила трения скольжения Fск .
Рис.6.1
Трение покоя и трение скольжения не зависят от величины площади
46
соприкосновения твердых тел. Для данных тел силы трения покоя и
скольжения прямо пропорциональны силе давления N , которая одновременно
сжимает оба тела
(6.1)
Fпок  kпок  N , Fск  kск  N
где
k пок
и
k ск
– коэффициенты трения покоя и скольжения.
большинстве случаев изменяется в пределах от 0,2 до 0,7;
k ск
k пок
в
– от 0,2 до 0,5.
Трение покоя играет в технике существенную роль. Оно определяет
наибольшую величину необходимой движущей силы для ведущих колес
автомобилей, а также для подошв пешеходов. В месте соприкосновения с
землей катящееся колесо и подошва ноги движущегося человека находятся в
покое относительно земли. Поэтому здесь действует трение покоя. Трение
скольжения, наоборот, почти всегда мешает, поэтому в машинах и аппаратах
стремятся по возможности исключить внешнее трение между трущимися
частями. Его заменяют внутренним трением тонких слоев жидкости между
взаимно движущимися частями – это называется смазкой.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: наклонная плоскость (трибометр), сменные
пластины, бруски.
Коэффициент трения покоя, скольжения и качения для данной пары
материалов можно определить методом наклонной плоскости. Схема установки
(трибометр) представлена на рис.6.2.
Рис. 6.2
Постоянно увеличивая наклон пластины (1), можно зафиксировать угол
 (5), при котором покоящееся на пластине тело (4) из другого материала
начнёт двигаться. В момент начала движения ускорение тела можно считать
равным нулю (а=0).
47
В соответствии с законом Ньютона
F тр  m g  N  0
Проекции этого выражения на оси x и y равны
 Fтр  mg sin   0

y :  mg cos  N  0 
x:
(6.2)
Отсюда
N  mg cos 
И так как по определению Fтр  kN , то
Fтр  kmg cos 
(6.3)
Из (6.2) и (6.3) следует, что kmg cos   mg sin  ,
так что коэффициент трения покоя
k  tg
(6.4)
Порядок выполнения работы
1. Вращая винт (3) против часовой стрелки освободить направляющую (2) от
зажима. Установить наклонную пластину (1) под углом 15-20 к основанию
(6). Закрепить винтом (3) направляющую (2) в этом положении.
2. Положить на наклонную пластину (основание-дерево) деревянный брусок.
3. Освободив винтом направляющую, необходимо медленно поднимать
наклонную плоскость до тех пор, пока брусок не начнёт движение.
4. В момент начала движения бруска закрепить наклонную плоскость винтом.
5. Определить по угломеру (5) угол наклона наклонной плоскости.
6. Результаты записать в таблицу по форме 6.1. Измерения повторить 10 раз.
7. Установить на наклонную плоскость сменную пластину из алюминия.
8. Проделать действия, указанные в пунктах 1-6 с парой материалов
алюминий-дерево.
9. Установить на наклонную плоскость сменную пластину из текстолита.
10. Проделать действия, указанные в пунктах 1-6 с парой материалов
текстолит-дерево.
11. По формуле (6.4) вычислить значение коэффициента трения k и результаты
занести в таблицу по форме 6.1.
48
N
п/п
Дерево-дерево
k
kср

Дерево-алюминий
k
k

Форма 6.1
Алюминий-алюминий
k
kср

12. Определить среднее значение коэффициента трения .
13. Определить относительную и абсолютную погрешности.
14. Окончательный результат для каждой пары материалов записать в виде:
k  k ср  k
Контрольные вопросы
1. Запишите выражение для силы трения и объясните смысл каждой
величины в ней.
2. Укажите все силы, действующие на тело на наклонной плоскости.
3. Чем определяется величина коэффициента трения?
4. Сравните силы трения покоя и скольжения, скольжения и качения. В каких
случаях трение меньше.
5. Что такое диссипация энергии и как она связана с законом сохранения
энергии?
6. Выведите формулу для расчёта коэффициента трения скольжения бруска
по наклонной плоскости.
Используемая литература
[3]. §38; [1]. §13-15.
49
Лабораторная работа 1-07 “Определение момента инерции тела с помощью
наклонной плоскости”.
Цель работы: усвоение понятия момента инерции тела и определение момента
инерции тел из закона сохранения энергии.
Теоретическое введение
Характеристики движения твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, могут быть определены из основного уравнения динамики
вращательного движения
J
d
M
dt
(7.1)
где J – момент инерции тела,  – угловая скорость,
d
  – угловое
dt
ускорение, M – полный момент внешних сил.
Уравнение (7.1) – это второй закон Ньютона для вращательного
движения. То есть, отличительной особенностью задачи о вращении тела
вокруг оси по сравнению с задачей о движении материальной точки является
то, что теперь в основное уравнение входит не масса тела m , а момент инерции
J , и не сила F , а момент силы относительно оси M .
При выводе этого уравнения пользуются приемом, который применяется
в механике для изучения движения абсолютно твердых тел конечных размеров.
Все тело мысленно разбивается на совокупность маленьких частичек с массами
mi ( i - номер частиц), которые можно рассматривать как материальные точки
с неизменными расстояниями между ними. При этом
 m
i
 m - масса всего
тела. В результате задача сводится к задаче о вращении системы материальных
точек вокруг оси. Из решения ее следует, что момент инерции тела J
определяется таким образом
J   mi ri 2
(7.2)
i
Величина J равна сумме произведений элементарных масс mi на
квадрат их расстояний от оси вращения ri 2 . Вектор ri лежит в плоскости
вращения массы mi и направлен от оси вращения к этой материальной точке.
Из определения (7.2) видно, что задание полной массы тела m еще ничего не
говорит о величине его момента инерции J , который зависит от того, как
50
расположены различные части mi тела относительно той или иной оси.
В случае непрерывного распределения масс с плотностью  сумма в
(7.2) заменится на интеграл по всему объему тела. Каждый из элементарных
объемов тела Vi массой mi  Vi при переходе к бесконечно малым заменяем
на dm  dV и соответственно
J   dm  r 2   r 2 dV
(7.3)
V
Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы
относительно оси представляет собой сложную задачу – необходимо знать, как
плотность тела  меняется от точки к точке    r    x, y, z . Если эта
зависимость известна, тогда нужно вычислить тройной интеграл
J   x 2  y 2  z 2  x, y, z dxdydz . Это несложно делать для однородных (   const )
симметричных твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной оси,
проходящей через центр масс (центр тяжести). Далее будут еще приведены
выражения для моментов инерции шара, цилиндра, пустотелого цилиндра.
Величины моментов инерции чаще определяют из опыта. Рассмотрим,
как это можно сделать, решая задачу о скатывании круглого однородного тела
радиусом R и массой m без скольжения по наклонной плоскости под углом 
к горизонту с высоты h (рис. 7.1), с использованием закона сохранения
энергии.
Задача о скатывании – пример плоского движения твердого тела, т.е.
движения, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в
параллельных плоскостях. Если ось вращения проведем через центр масс тела
(т. О) перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела, то
она (эта ось) будет двигаться поступательно, оставаясь параллельной самой
себе.
В этом случае кинетическую энергию твердого тела при плоском
движении можно представить как энергию вращения вокруг оси, проходящей
через центр масс тела и энергию поступательного движения со скоростью,
равной скорости центра масс 0
Eкин 
здесь
J0
J 0 2 m02

2
2
(7.4)
– момент инерции тела относительно оси вращения,
проходящей через его центр масс,  – угловая скорость тела, m – его масса.
Если тело скатывается с высоты h , то в соответствии с законом
сохранения энергии
51
mgh 
J 0 2 m02

2
2
(7.5)
y
N
O
R
ac
F тр


x
h
mg

x
Рис. 7.1.
Центр масс тела движется равноускоренно под действием силы трения
покоя Fтр и составляющей силы тяжести. Поэтому, если обозначим через S
длину наклонной плоскости ( h  S  sin  ) и считаем, что тело движется с
нулевой начальной скоростью, то можно записать
S  ac
 t
2S
t2
; 0  ac  t ; S  0 ; 0  ,
2
t
2
где t – время движения тела по наклонной плоскости.
Предполагается, что тело скатывается без скольжения, и поэтому
линейная скорость точек соприкосновения тела с наклонной плоскостью равна
нулю, и так что скорость поступательного движения 0 связана с угловой
скоростью  обычным соотношением  
0
R
.
Если теперь подставить выражения для  0 и  в (7.5), и решить это
уравнение относительно J 0 , то получим
 gt 2

J 0  mR 2 
sin   1
 2S

(7.6)
Это соотношение позволяет, измерив на опыте время скатывания тела t ,
длину наклонной плоскости S , массу тела m и его радиус R , определить
момент инерции.
В то же время из (7.3) можно теоретически рассчитать момент инерции
2
5
шара – J  mR 2 ;
52
1
2
цилиндра – J  mR 2 ;
(7.7)
пустотелого цилиндра J  mR12  R22 , где R1 и R2 - внешний и
1
2
внутренний радиусы цилиндра;
и сравнить их с измеренными значениями.
При решении задачи о качении тела предполагали, что силами трения
качения можно пренебречь. Поэтому в законе сохранения энергии не
учитывали работу этих сил трения. Сила же трения покоя (рис.7.1) как раз и
создает вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс
тела. В этом несложно убедиться, если получить выражение (7.6), используя не
закон сохранения энергии (7.5), а решив уравнение движения для центра масс
тела
mac  mg  sin   Fтр
(7.8)
J 0   R  Fтр
(7.9)
Положительные направления оси x и  указаны на рис 7.1.
В заключение найдем условие, при котором будет отсутствовать
проскальзывание при качении тела. Пусть наше тело – цилиндр. Для него
момент
инерции
R2
J0  m
.
2
Если проскальзывания
нет,
то
ускорение
поступательного движения цилиндра при скатывании известным образом
связано с угловым ускорением  : ac    R . Подставив эти определения в
уравнения (7.8) и (7.9), получим из этих уравнений выражение для сил трения
1
Fтр  mg  sin 
3
(7.10)
Известно, что в отсутствии скольжения сила трения не должна
превышать своего максимального значения (см. также работу 1-06).
Fтр  kmg  cos 
(7.11)
где k -коэффициент трения покоя.
Так что условие непроскальзывания скатывающегося цилиндра:
tg  3k
(7.12)
именно под таким углом   arctg3k следует устанавливать наклонную
плоскость при скатывании цилиндра для определения момента инерции.
53
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: наклонная плоскость, электрический секундомер, 1-3
цилиндра разного диаметра.
Эксперимент проводят на установке, изображённой на рисунке.
Начальное положение тела на наклонной плоскости в точке А фиксируется.
Время движения тела на участке АВ измеряется секундомером, который
подключается к розетке. При опускании тела одновременно требуется
включить секундомер. Тело начинает скатываться. В конечной точке В
требуется выключить секундомер.
В работе определяется момент инерции тела вращения относительно
оси, проходящей через его центр масс, по времени скатывания тела без
скольжения по наклонной плоскости.
Порядок выполнения работы
1. Исследуемое тело установите в исходное положение и линейкой измерьте
длину пути тела S по наклонной плоскости.
2. Произведите пуск тела нажатием кнопки и запишите время движения тела
по автоматическому секундомеру. Установите стрелки секундомера на нуль.
Повторите этот пункт 8-10 раз.
3. Взвесьте исследуемое тело.
4. Измерьте штангенциркулем диаметр d тела 10 раз.
5. Проделайте действия указанные в пунктах 1-5, с другими телами.
6. Занести результаты измерения в таблицу по форме 7.1.
Форма 7.1
J эксп
S, cм
t, c
tср , c
m ,г
d, мм
Jтеор
7. Подсчитать tср для каждой серии эксперимента.
8. По формуле (7.6) вычислите экспериментальное значение момента
инерции тела. Величина угла  написана на макете.
9. Вычислите по формуле (7.7) теоретический момент инерции тела и
результаты запишите в таблицу. Сравните его с экспериментальным значением
и укажите причину возможного несоответствия.
10. Вычислите относительную и абсолютную погрешности моментов инерции
Jэкс и Jтеор.
54
11. Результаты вычисления Jэкс и Jтеор. представьте в виде
J экс .  J  J
J теор.  J  J
Контрольные вопросы
1. Сравните формулировки 2-го закона Ньютона – для поступательного и
вращательного движения тела.
2. Что такое момент инерции твердого тела и от чего он зависит?
3. Что такое плоское движение твердого тела и что характерно для такого
движения?
4. Объясните, почему кинетическую энергию тела можно представить в виде
уравнения (7.4).
5. Представьте вывод формулы для момента инерции на основе закона
сохранения энергии (7.6)
6. Выполните то же, что и в п. 5, используя уравнение движения (7.8), (7.9).
7. Объясните, какую роль играет сила трения покоя и получите условие
скатывания цилиндра без скольжения (7.12).
8. Если учесть действие сил трения качения, к каким изменениям при
определении момента инерции тела это приведет?
Используемая литература
[3] c. 53-56; [5] c. 125-128; [7] c. 17-19.
55
Лабораторная работа 1-08 “Исследование динамики вращательного
движения на маятнике Обербека”
Цель работы: проверка основного уравнения динамики вращательного
движения, определение момента инерции маятника Обербека.
Теоретическое введение
Кинематические характеристики вращательного движения.
Движение твердого тела, при котором все точки прямой, жестко
связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела
вокруг неподвижной оси. Прямая называется осью вращения.
При вращении тела вокруг закрепленной оси все его точки описывают
окружности различного радиуса и, следовательно, имеют различные
перемещения, скорости и ускорения. Тем не менее можно описать
вращательное движение всех точек тела одинаковым образом. Для этого
используют следующие кинематические характеристики движения: угол



поворота  , угловую скорость  и угловое ускорение  . Роль перемещения

r при вращательном движении играет вектор малого поворота (угловое

перемещение)  вокруг оси вращения. Он будет одинаков для любой точки
абсолютно твердого тела, то есть тела, деформациями которого можно
пренебречь. Модуль вектора поворота равен величине угла поворота Δφ, вектор
поворота направлен по оси вращения по правилу буравчика (правого винта).
Характеристикой быстроты вращения служит угловая скорость тела,
равная отношению вектора элементарного угла поворота тела к
продолжительности этого поворота:



d
.
dt
(8.1)
Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и
угловое перемещение.
Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует
угловое ускорение


d d 2
 
 2 .
dt
dt

(8.2)

При возрастании угловой скорости ω угловое ускорение  совпадает с
ней по направлению, при убывании – направлено в противоположную сторону.
56
Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина
линейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r :
dS  r  d .
(8.3)
dS
d
r
. Так как
dt
dt
dS
d
 , а  
производная пути по времени – это величина скорости:
(8.1),
dt
dt
Разделив обе части уравнения (8.3) на dt , получим:
то:
  r  .
Теперь продифференцируем (8.4) по времени:
(8.4)
d
d
r
, или:
dt
dt
ak  r ,
где ak
(8.5)
– касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее
быстроту изменения модуля скорости  :
d
 aк .
dt
(8.6)
Динамика твердого тела.


Пусть на тело действует сила F . Моментом силы F относительно точки
О называется физическая величина, равная векторному произведению радиус
вектора r , проведенного из точки
О в точку приложения силы, на
O’


F
вектор
силы
:


M



 
M  rF .
(8.7)
Направление момента силы
определяется правилом буравчика
(рис.8.1), величина момента силы
Fn
O
(8.8)
M  rF sin  ,
r
Δm
где  – угол между радиусα
l

вектором r точки приложения
F

силы и вектором силы F .
Fк
Момент силы относительно
оси характеризует способность
Рис.8.1.
силы вращать тело вокруг этой
оси. Составляющая силы, параллельная оси, вращения тела вызвать не может, а
напряжения, возникающие в оси, нас не интересуют. Тогда достаточно
57
рассмотреть силы, направления которых перпендикулярны оси вращения ОО’
(рис.8.1). Определим плечо силы l относительно оси ОО’ как расстояние от оси
вращения до линии действия силы, тогда
l  r sin  ,
(8.9)
M  Fl .
Более того, поворот тела с закрепленной осью вращения может быть
вызван только касательной составляющей силы Fk , причем эта составляющая
тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо r:
M  Fк r ,
(8.10)
так как Fк  F sin  .
Пусть твердое тело разбито на отдельные элементарные массы Δm.
Выразим касательную составляющую равнодействующей сил, приложенных к
этой точке, по второму закону Ньютона:
(8.11)
Fk  mak .
Учитывая (8.5) для касательного ускорения, получим из (8.10) и (8.11):
M  mr 2 .
(8.12)
Скалярная величина
I  mr 2 ,
(8.13)
равная произведению массы материальной точки на квадрат ее
расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки
относительно оси.


Векторы M и  совпадают по направлению с осью вращения, связаны с
направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (8.12) можно
переписать в векторной форме:


M  I .
(8.14)
Уравнение (8.14) является основным законом динамики вращательного
движения для материальной точки. Соотношение, аналогичное (8.12), можно
записать для каждой точки тела, и затем просуммировать по всем точкам, тогда
(с учетом того, что угловое ускорение одинаково для всех точек и его можно
вынести за знак суммы):


(8.15)
 M i    mi ri2  .
i
i
В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и
внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону
Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом
(внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и
58
лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким
образом, в левой части (8.15) остается суммарный момент только внешних сил.
Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от
оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно
данной оси:
I   mi ri 2 
.
(8.16)
Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств
твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором
законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее
распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном
оси).
В случае непрерывного распределения массы сумма в (8.16) сводится к
интегралу по всему объему тела:
I   r 2 dm .
(8.17)
i
m
Таким образом, доказан основной закон динамики твердого тела:
угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту
внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту
инерции тела относительно оси вращения

M
  .

I
(8.18)
Этот закон аналогичен второму закону Ньютона при поступательном
движении:

a

F

m
(8.19)
и позволяет определить угловое ускорение твердого тела.
Приведем моменты инерции для некоторых однородных тел.
1. Момент инерции тонкостенного кольца (обруча) радиуса R
относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его
плоскости:
I  mR2 .
(8.20)
2. Момент инерции круглого диска (цилиндра) относительно оси,
проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска:
mR2
I
.
2
(8.21)
3. Момент инерции однородного полого диска (толстостенного кольца)
59
внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 относительно оси,
проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска:


m R22  R12
.
I
2
(8.22)
4. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его
центр:
I
2mR2
.
5
(8.23)
5. Момент инерции тонкого длинного стержня длиной l относительно
оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню:
I
ml 2
.
12
(8.24)
Подсчет момента инерции тела относительно произвольной оси
облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела I
относительно любой оси равен сумме момента инерции I c относительно оси,
параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения
массы тела на квадрат расстояния a между осями
I  I c  ma2 .
(8.20)
Экспериментальная часть.
Оборудование: лабораторная установка, секундомер, штангенциркуль
Описание установки.
Рис. 8.2
Маятник Обербека представляет
собой
свободно
вращающуюся
на
горизонтальной оси крестовину со шкивом
радиуса r . Схема установки представлена
на рис.8.2.
Крестовина состоит из четырех
стержней 2, закрепленных под прямым
углом к оси и друг к другу. На каждый
стержень надето по одинаковому грузу 3,
которые можно передвигать вдоль стержня
и закреплять в любой точке между его
основанием и концом. Масса каждого
60
грузика m0  120 г. На шкив 4 навита привязанная к нему одним концом нить 5,
на другом конце которой подвешивается гиря 7 массы m . Нить перекинута
через блок 6. В верхнем положении гиря удерживается вручную. Груз 7
освобождают, предоставляя ему возможность свободного падения.
Измерения времени падения груза производятся при помощи
секундомера, который включают и выключают в соответствующее время.
Методика измерения
Выведем рабочую формулу для определения момента инерции тела.
Если предоставить возможность грузу m падать, то это падение будет
происходить с ускорением a , а уравнением поступательного движения груза на
нити будет (по второму закону Ньютона (8.19) в проекции на вертикальную
ось):
ma  mg  T ,
(8.21)
где T – сила натяжения нити. Отсюда
(8.22)
T  mg  a  .
Сила натяжения нити T сообщает угловое ускорение вращающемуся
маятнику. Момент этой силы относительно оси вращения находим из (8.9); так
как нить является касательной к шкиву, плечо силы l совпадает с радиусом
шкива r, и тогда:
(8.23)
M  Tr  mg  a r .
Тогда уравнение вращательного движения маятника (8.18) запишется в
виде M  I , или:
(8.24)
mg  ar  I .
Так как нить нерастяжима и проскальзывания нет, линейное ускорение
a груза m связано с угловым ускорением шкива  соотношением (см. (8.5)):
(8.25)
a  r .
Так как поступательное движение груза m поступательное без начальной
скорости, то расстояние (высота h ), проходимое грузом за время t , равно
h
at 2
, откуда находим ускорение:
2
a
2h
.
t2
(8.26)
Решая совместно (8.24), (8.25) и (8.26), находим момент инерции
маятника:
61
2h 

mr 2t 2  g  2 
t 

I
,
2h
(8.27)
а также выражение для углового ускорения:
2h
rt 2
(8.28)
2h 

M  m g  2 r .
t 

(8.29)

и момента силы:
Упражнение 1
а) Определение углового ускорения маятника Обербека и момента силы
натяжения;
б) проверка основного закона динамики вращательного движения:
1 M 1

(при I  const ).
2 M2
(8.30)
1. Измерить штангенциркулем диаметр шкива 3 и найти его радиус r .
2. Закрепить грузы на концах крестовины в крайних положениях. Добиться
равновесия крестовины при любом ее повороте.
3. Положить на тарелочку гирьку массой m1 (около 100 г).
4. Вращая крестовину рукой, намотать нить на шкив.
5. Зафиксировать тарелочку с грузом на высоте h=0.7÷0.8 от наинизшего
положения. Записать величину h в таблицу по форме 8.1.
6. Освободить груз и записать в таблицу по форме 8.1 время t1 его опускания.
7. Повторить измерение времени t1 для одной и той же высоты h пять раз,
рассчитать среднее время и его среднюю погрешность и все результаты
записать в таблицу по форме 8.1.
8. Повторить измерения (пункты 4÷6) с массой m2 (150÷200 г), заменив
гирьки на тарелочке.
9. Рассчитать угловые ускорения 1 и  2 по формуле (8.28), найти их
отношение
2
.
1
(8.31)
10. Рассчитать моменты сил M1 и M 2 по формуле (8.29), найти их отношение
M2
.
M1
(8.32)
62
11. Оценить погрешности определения  , M и их отношений
2
M
и 2.
M1
1
12. Все результаты занести в таблицы по форме 8.2.
13. Сравнивая
2
M
и 2 , проверить соотношение
M1
1
2 M2

, и сделать вывод.
1 M 1
Форма 8.1.
№
m1 =
t1 ,
с
кг
Δt1i
m2 =
Δt1
кг
Δt2i
t2 ,
с
Δt2
h,
м
Δh
Δr
r,
м
1
2
3
4
5
-
t1ср.= Σ(Δt1i)2=…
…
t2ср.=…
Σ(Δt2i)2=…
Форма 8.2.
ε1, с-2
М1, Н.м
ε2, с-2
М2, Н.м
2
1
M2
M1
Δε1
ΔМ1
Δε2
ΔМ2
 
 2 
 1 
M 
 2 
 M1 
Замечание 1: погрешность времени t рассчитывается по стандартной
методике расчета погрешностей случайной величины:
n
t  t n , 
 t 
i 1
2
i
n(n  1)
,
(8.38)
где коэффициент Стьюдента для числа опытов n=5 и доверительной
вероятности α=0.95 равен: tn α=2.57; Δti=|tср.- ti|.
Замечание 2: погрешности ε и М рассчитываются, исходя из формул
(33) и (34) соответственно, по стандартной методике расчета погрешностей при
косвенных измерениях:
63
 
      
   h    t    r  ,
 h   t   r 
2
где
2
2
2h

2 
4h 
 2,
 3 ,
 2 2.
h rt
t
rt
r
rt
 M
  M   M
  M

M  
m   
t   
r   
h  ,
 m
  t
  r
  h

2
2
2
2
где производные равны:
2mr M 4mrh
M 
2h  M
2h  M

 2 ,
 3 .
  g  2 r ,
 m g  2  ,
t
t
t
r
t  h
m 
t 

Замечание 3: абсолютные погрешности отношений (31) и (32) удобнее
считать, предварительно рассчитав относительные погрешности:
M 
 
 2 
 2 
2
2
2
2
 1    2t2    2t1  ;  M 1    M 2    M 1  .
 t   t 
 M   M 
M 
 2 
 2   1 
 2   1 
 
 
M 
 1 
1.
(8.34)
Упражнение 2.
а) Определение момента инерции маятника Обербека;
б) проверка теоремы Штейнера.
Оставив грузы m0 на концах стержней, измерить расстояние R1 от центра
тяжести грузов на стержнях до оси вращения.
2. Оставив на тарелочке массу m, повторить 5 раз измерения времени
движения груза t1 с другой высотой h (пункты 4÷5 задания 1), рассчитать
среднее время, по формуле (8.27) рассчитать момент инерции I1 крестовины с
грузами, результаты занести в таблицы по форме 8.3 и 8.4.
3. Передвинуть грузы m0 на середину стержней, измерить расстояние R2 от
центра тяжести грузов на стержнях до оси вращения.
4. Повторить измерение времени t 2 движения груза m 5 раз, рассчитать
среднее время и момент инерции I 2 крестовины для нового положения
грузиков на стержнях.
5. Повторить измерения и вычисления по пункту 4, передвинув грузики на
стержнях вплотную к шкиву, все результаты занести в таблицы по форме 8.3 и
8.4.
64
Форма 8.3.
№
1
2
3
4
5
-
h,
м
m,
кг
Грузы на концах
стержней
t1,
Δt1i
Δt1
с
Δh=… Δm= t1ср.=
…
…
Σ(Δt1i)2=
…
Грузы посередине
стержней
t2,
Δt2i
Δt2
с
t2ср.=
…
Грузы у шкива
t3,
с
Σ(Δt2i)2=
…
t3ср.=
…
Δt3i
Δt3
Σ(Δt3i)2=
…
Форма 8.4.
I1,
кг.м2
I2,
кг.м2
I3,
кг.м2
R1,
м
R2,
м
R3,
м
I 12теоретич.  I 1  I 2
I 13теоретич.  I 1  I 3
ΔI1
ΔI2
ΔI3
ΔR1
ΔR2
ΔR3
I 12экспер .
I 13экспер .
6. Оценить погрешность момента инерции I .
7. Рассчитать изменение момента инерции маятника Обербека при
передвижении грузов с конца стержней на середину по формулам:
(8.35)
I12теоретич.  I1  I 2  4m0 R12  R22 ,
(8.36)
I13теоретич.  I1  I 3  4m0 R12  R32  ,
где m0 = 0.12 кг.
8. Сравнить изменение момента инерции маятника Обербека, рассчитанного с
использованием теоремы Штейнера по формулам (8.35) и (8.36) и полученного
экспериментально по данным табл. 8.3:
I 12экспер .  I 1экспер .  I 2 экспер .
I13экспер .  I1экспер .  I 3экспер .
Сделать выводы.
Замечание 1: погрешность времени t рассчитывается по стандартной
методике расчета погрешностей случайной величины по формуле (8.33).
Замечание 2: погрешность I I рассчитывается, исходя из формулы (8.27)
по стандартной методике расчета погрешностей при косвенных измерениях:
9.
 I
  I   I   I

I  
m    t    r    h  ,
 m
  t   r   h 
2
где производные равны:
2
2
2
65
2h 
2h 


r 2t 2  g  2 
2mrt 2  g  2 
2
I
mr 2t 2 g
t  I mr tg I
t  I




;
;
;
.


m
2h
r
2h
t
h
h
2h 2
Контрольные вопросы
1. Дайте определение углового перемещения, угловой скорости и ускорения.
Как направлены эти вектора?
2. Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины
перемещения, скорости, ускорения.
3. Что такое момент силы относительно точки? Относительно оси? От чего он
зависит? Как направлен вектор момента силы?
4. Что такое момент инерции материальной точки, твердого тела, от чего он
зависит?
5. Сформулируйте и докажите основной закон динамики вращательного
движения (8.18).
6. Сформулируйте теорему Штейнера и покажите, где в работе она
используется.
7. Как и почему изменяется время движения гири, если груз передвинуть
ближе к оси вращения?
8. При каком расположении грузов на крестовине их можно считать
точечными, при каком – нельзя?
9. Выведите формулы (8.27), (8.28), (8.29).
10. Докажите (8.34).
Используемая литература
[5] §1.5; 2.8; 3.2; 4.8; 7.1; [3] §2.4; 4.1; 4.2; 4.3; 5.3; 5.6; [1] § 3-5, 9, 36-39; [6]
§1.2; 1.4; 1.9-1.13; 1.19; 1.31-1.34; [7] §2-7; 16-19.
66
Лабораторная работа 1-09 “Определение момента инерции маховика”.
Цель работы: изучить применение закона сохранения энергии для
вращательного движения; экспериментально определить момент инерции
твердого тела.
Теоретическое введение
В работе изучаются такие движения в
F
механике, при которых существенна конечная
протяженность тел – их нельзя рассматривать в
О
данных условиях как материальные точки. Если
А
ri
тело
является
настолько
жестким,
что
Bi
деформациями, возникающими при его движении
mi
i
можно пренебречь, то тело можно рассматривать
как недеформируемое, абсолютно твердое (или
просто твердое) тело. То есть такое, взаимное
Рис. 9.1
расположение
частей
которого
остается
неизменным во время движения.
Простейшим движением твердого тела является поступательное. Тело
перемещается параллельно самому себе; все точки его имеют одинаковую
скорость и описывают траектории одинаковой формы, только смещенные по
отношению друг к другу. При этом кинетическая энергия равна:
Ek 
1
m 2
2
(9.1)
где  – скорость тела, m – его полная масса.
Другим простейшим видом движения твердого тела является вращение
тела вокруг оси. Определим кинетическую энергию твердого тела,
закрепленного на неподвижной оси, вокруг которой оно может свободно
вращаться (рис.9.1); точка О – след этой оси. К одной из точек тела А
приложена внешняя сила F . Мысленно разделим тело на отдельные
элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать
движущимися как материальные точки. mi – масса этого элемента, ri – его
расстояние до оси вращения. При вращении различные точки тела описывают
окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Если за
время dt тело поворачивается на угол d , то путь dSi , проходимый за это время
67
какой-либо точкой тела Bi , будет равен dSi  ri  d . Разделив dSi на dt , найдем
скорость точки Bi :
i  ri
Величина
d
dt
d
dt
(9.2)
одинакова для всех точек тела и представляет собой
угловое перемещение тела за единицу времени. Она называется угловой
скоростью тела  .
Так что величины скоростей различных i -х элементов равны:
(9.3)
i  ri  
Кинетическая энергия такого элемента по определению равна:
Ek , i 
1
mi  i2
2
(9.4)
Просуммировав эти энергии, получим полную кинетическую энергию
вращающегося твердого тела:
Ek 


1
1
1
m112  m223  ...   2 m1  r12  m2  r22  ...
2
2
2
(9.5)
Стоящая здесь в скобках сумма зависит от того, с каким именно
твердым телом мы имеем дело (от его формы, размеров и распределения массы
в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения. Эта величина,
характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется
моментом инерции относительно данной оси и обозначается буквой J
(9.6)
J  m1  r12  m2  r22  ...
Если твердое тело – сплошное, то его нужно разделить на бесконечно
большое количество бесконечно малых частей. Суммирование в (9.6) заменяем
интегрированием.
J   r 2 dm .
(9.7)
Так как dm  dV (  – плотность тела), то вычисление момента инерции
сводится к объемным интегралам:
J    x 2  y 2  z 2  x, y, z dxdydz
(9.8)
Вычисление таких интегралов в общем случае представляет собой
сложную задачу. Лишь для тел симметричной формы при однородном
распределении массы по объему тела их моменты инерции определить
достаточно просто, если ось вращения проходит через центр масс (шар,
цилиндр, диск, стержень). Поэтому моменты инерции сложных тел проще
определять экспериментально.
68
Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть
записана в виде:
Ek  J
2
2
(9.9)
Это выражение формально похоже на выражение для энергии
поступательного движения (9.1), отличаясь от него тем, что вместо скорости 
стоит угловая скорость  , а вместо массы m - момент инерции J . Так что при
вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе при
поступательном движении.
Далее кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела
можно представить в виде суммы поступательной и вращательной энергий,
если ось вращения проходит через центр инерции тела. Тогда для кинетической
энергии произвольно движущегося тела имеем:
Ek 
m 2 J 0 2

,
2
2
(9.10)
здесь первое слагаемое – кинетическая энергия поступательного
движения,  - скорость перемещения центра инерции; второе слагаемое –
кинетическая энергия вращения тела вокруг оси, проходящей через центр
инерции. Индекс “0” у момента инерции именно это и означает.
Независимо от характера движения тел (поступательного или
вращательного) для замкнутых систем справедлив закон сохранения
механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий), если
между телами действуют только консервативные силы. Если в замкнутой
системе тел действуют и не консервативные силы, например, силы трения, то
изменение механической энергии системы равно работе неконсервативных сил:
Ek  Eп  Aнеконс.сил
(9.11)
В данной лабораторной работе используется именно этот закон.
Необходимо еще дать определение работы при вращении твердого тела.
Выражение для работы A при вращении твердого тела вокруг оси легко
представить, если продолжить отмеченную аналогию между соотношениями
динамики поступательного движения и динамики твердого тела: вместо
линейной скорости  – угловая скорость  ; вместо массы m – момент инерции
J ; вместо силы F – момент силы M , вместо пути S – угол поворота  . Тогда
вместо соотношения A  F  S , определяющего работу при поступательном
движении, для вращательного движения имеем:
A  M 
(9.12)
69
Методика измерений
В основе метода лежит закон сохранения энергии:
mgh1 
m 2 J 2

 M  1
2
2
(9.13)
где mgh1 – потенциальная энергия груза в начальный момент;
m 2
– кинетическая энергия груза в нижней точке траектории;
2
J 2
– кинетическая энергия маховика, когда груз находится в нижней
2
точке траектории; M  1 – работа по преодолению момента силы трения в
подшипниках опоры маховика.
Из уравнения (9.13) необходимо определить момент инерции маховика
J , выразив его через измеряемые величины.
Величина 1 – угол поворота маховика за время падения груза с
высоты h1
1 
h1
.
r
(9.14)
Так как груз движется равноускоренно, то скорость груза в конце
движения будет равна

2h1
.
t
(9.15)
Угловая скорость маховика по определению:


r

2h1
tr
.
(9.16)
Момент сил трения M тр можно найти следующим образом. После того,
как груз достигнет нижней точки, маховик, вращаясь по инерции, поднимет
груз на новую высоту h2 , которая меньше h1 .
Изменение потенциальной энергии груза равно работе против момента
сил трения:
mgh1  mgh2  M тр   ,
(9.17)
где  
h1  h2
– угол поворота маховика за время прохождения грузом
r
пути h1  h2 . Отсюда момент силы трения в опорах равен:
M тр  mg
h1  h2
r .
h1  h2
(9.18)
70
Подставив в выражение (9.13) значения  ,  ,  и M тр из (9.14),
(9.15), (9.16) и (9.18) и проделав преобразования, получим выражения для
определения момента инерции маховика:
 gt 2 h2

J  mr 2 
 1 .
 h1 h1  h2  
(9.19)
Экспериментальная установка
Схема установки представлена на рис.9.2.
Маховик 1 радиусом R имеет шкив 2 радиусом r.
Необходимо определить момент инерции данной
системы. На шкив намотана нить, к которой прикреплен
груз 3 массой m . Высота поднятия груза h1 над
основанием отсчитывается по линейке 4, время
опускания груза измеряется секундомером.
Рис. 9.2
Порядок выполнения работы
1. Наматывая шнур на шкив, поднять груз на высоту h1 (во всех опытах h1
одинаковая).
2. Освободив груз и включив секундомер, определить время падения t груза
до нижней точки.
3. Определить высоту h2 , на которую поднимется груз по инерции.
4. Повторить все измерения 5 раз.
5. Все данные занести в таблицу 1.
6. Рассчитать по формуле (9.18) величину момента сил трения. Принять
m  500г; m  10г .
7. Вычислить по формуле (9.19) момент инерции маховика.
8. Вычислить погрешность измерений.
9. По теоретической формуле рассчитать момент инерции вращающихся
деталей установки.
71
№ m
п/пп кг
1
...
5
ср.
m
кг
r
м
r
h1
h1
h2
h2
м
м
м
м
м
t
с
t
с
Форма 9.1.
M
J
M J
.
2
Н.м Н м кг м кг м2
Контрольные вопросы
1. Что такое момент инерции твердого тела?
2. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
3. Сделайте подробный вывод формулы (9.19).
4. О каком законе сохранения идет речь в этой работе? Сформулируйте его.
5. Чему равна работа при вращении тела вокруг оси?
6. Дайте представление о моделях тел в механике и приведите примеры.
7. Представьте определение замкнутой системы тел.
8. Чем отличаются консервативные силы от неконсервативных? Приведите
примеры.
Используемые литература
[1] §24, 38, 39, 41; [2] §24, 31-33; [3] §3.4; 4.1-4.3; [7] §16, 18; [6] §2.8; 7.1; 7.2.
72
Лабораторная работа 1-10 “Маятник Максвелла”
Цель работы: применение основных законов динамики к изучению движения
твёрдых тел, определение момента инерции маятника Максвелла.
Теоретическое введение
При применении основных законов динамики к изучению движения
твердых тел необходимо исходить их того, что в общем случае движение
твердого тела определяется двумя векторными уравнениями. Одно из них –
уравнение движения центра тяжести твердого тела
m
d
  Fi внешн ,
dt
i
где m – масса всего тела;  – скорость его центра тяжести;
(10.1)
F
i внешн
–
сумма всех внешних сил, действующих на тело.
Другое – уравнение моментов в системе отсчета, жестко связанной с
центром тяжести (в ней покоится центр тяжести)
dL
 M вн ,
dt
(10.2)
где L – момент импульса тела относительно оси, проходящей через
центр тяжести, а M вн – суммарный момент всех внешних сил относительно
этой оси.
Простейшее движение твердого
тела – плоское движение. В этом случае
каждая его точка движется, оставаясь в
одной из параллельных друг другу
плоскостей.
Примером
плоского
движения является качение цилиндра по
плоскости. Другим примером является
маятник
Максвелла,
который
представляет собой однородный круглый
диск радиуса R, подвешенный на двух
Рис. 10.1.
нерастяжимых нитях, намотанных на его
горизонтальную ось (рис 10.1). Под действием силы тяжести диск опускается, и
нити разматываются до полной длины. В нижнем положении раскрутившийся
73
маховичок продолжает вращение в том же направлении и наматывает нить на
ось. Дойдя до верхней точки, диск останавливается и снова начинает свое
движение, совершая таким образом колебания по вертикальной прямой линии;
поэтому такое устройство и называется маятником.
Напомним, что для описания движения ось моментов выбираем жестко
связанную с маятником и проходящую через его центр тяжести. Но такая
система отсчета при ускоренном движении маятника будет неинерциальной. В
ней будут действовать силы инерции и при составлении уравнения моментов
(10.2) должны быть учтены в правой части уравнения моменты сил инерции.
Однако, для плоского движения твердого тела можно выбрать ось, связанную с
телом, относительно которой моменты сил инерции оказываются равными
нулю, и поэтому уравнение моментов имеет такой же вид, как и для осей,
неподвижных в пространстве. Этим свойством обладает ось, движущаяся
поступательно (т.е. перпендикулярно к плоскостям, в которых движутся точки
тела) и проходящая через центр тяжести тела. Тогда равнодействующая сил
инерции, так же как и равнодействующая сил тяжести, будет приложена к
центру тяжести тела и момент ее относительно оси, проходящей через центр
тяжести, будет равен нулю.
В нашем случае этой осью будет геометрическая ось диска. Так как эта
ось неподвижна относительно диска, можно написать выражение момента
импульса относительно этой оси
(10.3)
L  I
где I – момент инерции диска относительно этой же оси,  – угловая
скорость;
а уравнение моментов
dL
 M вн принимает вид:
dt
I    M вн ,
где  
(10.4)
d
– угловое ускорение диска.
dt
Составим далее уравнения плоского движения диска. На диск массой m
действуют внешние силы: тяжести mg и натяжение нити F . Момент силы
тяжести относительно выбранной оси ( как и момент сил инерции) равен нулю.
Поэтому уравнения (10.1) и (10.4) примут вид
mac  mg  2F ,
(10.5)
I  2Fr .
(10.6)
Так как центр тяжести опускается как раз на столько, на сколько
74
раскручивается нить, то величина перемещения центра тяжести диска h и угол
поворота его  связаны соотношением h  r   .
Дифференцируя это соотношение дважды по времени, найдем связь
между ускорением центра масс и угловым ускорением диска:
d c
d
dh
d
 c  r
 r и
 ac  r
 r .
(10.7)
dt
dt
dt
dt
Решая систему уравнений (10.5), (10.6) и (10.7), находим ускорение
ac 
mg
g

I
I
m  2 1
r
mr 2
(10.8)
и силу натяжения нити
F
mg
(10.9)
 mr 2 

21 
I


Из формул (10.8),(10.9) следует, что ускорение и сила натяжения нити не
зависят от того, в каком направлении движется маятник  вверх или вниз.
Следовательно, вес движущегося маятника P  2 F не зависит от направления
движения маховичка и оказывается меньше веса маятника в состоянии покоя.
(Сравните движение маятника Максвелла с равноускоренным движением по
вертикальной прямой линии груза, подвешенного на нити.)
Из уравнения (10.8) находим момент инерции маятника:
g

I  mr 2   1
 ac

Ускорение a c находится по измеренному времени движения t и
пройденному пути:
ac 
2h
.
t2
Итак, момент инерции маятника:
 g

I  mr 2  t 2  1 .
 2h

(10.10)
Поскольку силы трения не принимаются во внимание, то формулу для
момента инерции маховика можно получить также из закона сохранения
механической энергии. Для двух крайних положений диска:
m c2 I 2
E 2  E1  Aтр  0 или

 mgh  0 .
2
2
75
Отсюда
I
1

2
2mgh  m   mr
2
c
2
 g 2

 t  1 .
 2h

Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: маятник Максвелла и принадлежности к нему
(набор съёмных колец, штангенциркуль).
Экспериментальная установка
Рис.10. 2.
Для наблюдения за движением маятника применяется установка,
показанная на рис. 10.2. На вертикальной стойке (1) укреплены два
кронштейна. На верхнем подвижном кронштейне (2) расположены
электромагнит (3), фотоэлектрический датчик (4) и вороток (5), позволяющий
регулировать длину нити подвеса маятника. Момент инерции маятника
76
изменяют с помощью съёмных колец (6). В верхнем положении маятник с
кольцом удерживается электромагнитом, время его движения между крайними
точками измеряется секундомером.
Порядок выполнения работы
1. С помощью регулируемых по высоте ножек установите стойку прибора в
вертикальное положение и, регулируя воротком длину нити, добейтесь
горизонтального положения оси маятника (при проведении опытов следите,
чтобы положение оси оставалось горизонтальным). Включите в электрическую
сеть вилку кабеля питания. Включите прибор в сеть, нажав кнопку “сеть”
2. На обод маховичка наденьте съёмное кольцо. Выпишите массы: m1 - масса
оси, m2
- масса маховичка, m3
- масса съемного кольца, указанные
непосредственно на них. Сумму масс m  m1  m2  m3 , выраженную в кг, занести
в таблицу 10.1.
3. Измерьте высоту расположения нижней грани маятника с кольцом h1 в
крайней нижней точке.
4. Тщательно, виток к витку, наматывайте на стержень нити подвеса до
достижения крайнего верхнего положения. Зафиксируйте положение маятника
электромагнитом, кнопка “пуск” должна быть отжата.
5. Измерьте высоту расположения нижней грани маятника с кольцом h2 в
верхнем положении. Пройденный маятником путь при его опускании составит
h  h1  h2 . Запишите значение h в таблицу по форме 10.1.
6. Измерьте диаметр оси маятника штангенциркулем, определите радиус оси
r
d
и занесите его значение, выраженное в метрах, в таблицу по форме 10.1.
2
7. Одновременно с нажатием кнопки “пуск” (выкл. электромагнит) включить
секундомер. Остановить отсчет времени по достижении маятником крайнего
нижнего положения. Записать результат измерения в таблицу 10.1, повторить
опыт с первым кольцом по п.п. 4-7 4-5 раз для накопления статистики.
8. Рассчитать среднее арифметическое значение tср . Запишите значение в
таблицу.
9. Вычислите по формуле (10.10) момент инерции маятника I экс . Проведите
расчет погрешности измерения.
10. Измерьте радиусы Rв н , r , R1 , R2 ; где Rв н , r , R1 , R2 - внутренний радиус оси,
77
внешний радиус оси, радиус маховичка, радиус съёмного кольца
соответственно.
11. Рассчитайте теоретическое значение I теор момента инерции маятника.
I теор 

2
m1 RВН
 r2
2
  m r


 R12 m3 R12  R22

2
2
2
2

12. Сравните теоретическое и экспериментальное значение момента инерции
маятника.
13. Поменяйте съемное кольцо на другое и выполните действия по пунктам 210.
14. Сделайте выводы по работе.
Форма 10.1
№
п/пп
Кольцо
1
Кольцо
2
Кольцо
3
r, м
m  m1  m2  m3
h, м
t, с
tср, с
кг
Iэкс,
кгм2
Iср,
кгм2
r,
м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Расчёт погрешностей:
 g

I ср  mr 2  tср2  1
 2h

2
2
2
 I
  I
  I
  I

I  
m   
r   
h   
t 
 m
  r
  h
  t

I
 g

 r 2  tср2  1
m
 2h

I
 g

 2mr t ср2  1
r
 2h

mr 2 g 2
I

t ср
h
2h 2
m  5  10 3 кг
r  0,1  10 3 м
h  0,5  10 3 м
2
Iтеор,
кгм2
78
I
mr 2 g

tср
t
h
t  0,01с

I
 100%
I ср
Контрольные вопросы:
1. Какие физические величины характеризуют поступательное движение
твердого тела? Их определение, физический смысл, формулы, единицы
измерения.
2. Какими величинами описывается вращение твёрдого тела вокруг
закреплённой оси? Физический смысл этих величин, формулы
3. Из каких простых движений слагается плоское движение твёрдого тела?
4. Вывод формулы момента инерции маховика на основе закона сохранения
энергии.
Используемая литература:
[3] §4.1; 4.2; 4.3; [6] §1.31; 1.32; 1.33; 1.34; [7] §16-19; [5] §7.1-7.3.
79
Лабораторная работа 1-11 “Изучение характеристик механического
гироскопа”
Цель работы: ознакомиться с особенностями динамики быстровращающегося
твердого тела и измерить его основные параметры: момент импульса,
момент инерции и скорость прецессии.
Теоретическое введение
Гироскопические приборы и устройства находят широкое применение в
различных отраслях техники. Элементарное представление об особенностях
поведения гироскопа дает обыкновенный волчок с его поразительно малой
восприимчивостью к воздействию внешних сил и моментов. Гироскопы чаще
всего применяются для ориентации, для определения тех или иных
направлений. Также гироскопы используются в горном деле для определения
кривизны буровых скважин, для записи неправильностей железнодорожного
пути. В авиации гироскопические приборы применяются в качестве основных
чувствительных элементов (определение направления вертикали и курса), а
также для измерения угловой скорости самолета.
Гироскопом называют симметричное твердое тело, быстро
вращающееся вокруг одной из осей симметрии. Ось может изменять свое
положение в пространстве.
В простейшем варианте гироскоп выполняется в виде массивного диска,
насаженного на вал. (рис. 11.1)
Гироскоп – слово греческого происхождения (гирос) – вращение
(скопейн) – видеть, наблюдать. Это название прибору дал французский физик
Леон Фуко.
В общем случае под гироскопом понимают твердое тело любой формы,
которое совершает вращательное движение. Земной шар, делающий один
оборот за сутки, подчиняется гироскопическим законам точно так же, как
технические гироскопы, вращающиеся с большой угловой скоростью
относительно главной оси по сравнению со скоростями вокруг любых других
осей. Гироскопами заполнен микромир: орбитальное движение и спины
электронов, спин атомных ядер является неисчерпаемой кладовой гироскопии в
недрах микромира.
Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы. Если центр
80
масс гироскопа совпадает с точкой О – точкой опоры гироскопа, то гироскоп
называется уравновешенным
Движение гироскопа определяется уравнением моментов:
dL
M
dt
(11.1)
L – момент импульса гироскопа,
M – момент внешних сил.
Дополнительное вращение оси гироскопа с угловой скоростью  под
действием постоянного момента сил M называется прецессией гироскопа.
При вращении оси соответствующая угловая скорость  (скорость
прецессии) много меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг своей
оси, которую обозначаем через  .
При отсутствии внешнего вращающегося момента
dL
 0 , L  const
dt
(11.2)
вектор L сохраняет свою величину и направление.
Нарушим равновесие гироскопа, сдвинув противовес на l . Зададим
вращающий момент M . Посмотрим, что получается, когда гироскоп раскручен.
В этом случае за время dt вектор L получает приращение
d L  M dt ,
(11.3)
т.е гироскоп за время dt повернется на угол d . Считаем, что вектор L
постоянен по модулю (т.к. момент внешних сил мал) и изменяется лишь по
направлению
d L  L d
(11.4)
dL
d
 L
или L  L  
dt
dt
(11.5)
разделим обе части на dt :
где  
d
– скорость прецессии гироскопа
dt
поскольку   
L  J 
т.е. L  const
подставляя (11.5) в (11.1) получим
(11.6)
81

M

L
mgl
J
(11.7)
где l - плечо силы тяжести (расстояние между т. О и центром масс)
Экспериментальная часть
Общий вид гироскопа представлен на рис. 11.1. где
1 – основание; 2 – колонка; 3 – кронштейн; 4 – фотоэлектрический
датчик №1; 5 – внешняя втулка вращательного соединителя; 6 –
фотоэлектрический датчик №2; 7 – электрический двигатель; 8 – кронштейн; 9
– ротор; 10 – защитный экран; 11 – рычаг; 12 – груз; 13 – диск; 14 – указатель;
15 – блок управления и измерения.
Рис. 11.1
Методика измерений
Одна из точек гироскопа должна быть закреплена - это точка опоры
гироскопа О.
82
Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы. Если центр
масс гироскопа совпадает с точкой О, то гироскоп называется уравновешенным
(рис.11.2).
Рис. 11.2
Ротор гироскопа при своем вращении увлекает близлежащие слои
воздуха, в результате чего возникает сила вязкого трения, определяемая
уравнением Ньютона:
dF  
где

–
коэффициент
динамической вязкости),
d
dn
d
 dS ;
dn
(11.8)
внутреннего
трения
(или
коэффициент
– градиент скорости вдоль нормали к
направлению движения, dS – площадь поверхности соприкосновения слоев.
Момент этих сил сопротивления можно вычислить как:
M   dF  r ,
S
интеграл берется по всей поверхности соприкосновения ротора с
воздушными слоями. Как видно из рис. 11.2, при роторе цилиндрической
формы радиуса R и толщиной h всю его поверхность можно разбить на
боковую поверхность и две поверхности основания. Таким образом:
M   r  dF 
S
 R  dF   r  dF
S бп
при этом на боковой поверхности
S о сн
d d 

 , где а – расстояние от
dn dx a
поверхности диска до кожуха:
На поверхности оснований
d d r


, dS  2rdr , где dS – элемент
dn dz
b
поверхности основания на расстоянии r от оси вращения и толщиной dr, b –
83
расстояние от dS до точек с нулевой скоростью воздушного слоя, т.е. до
торцевой поверхности предохранительного экрана.
На основании вышесказанного находим полный момент сил трения
(момент сил на оси OY)
 2h R 
M      R 3 
 
 a b
Ттаким образом, для коэффициента динамической вязкости получим:
  A
M

где А – постоянный параметр гироскопа: A 
a b
,
R 2bh  aR 
3
R=(802) мм; a=(201) мм; b=(40,5)мм; h=(151)мм;
Экспериментальная установка
Установка представляет собой собственно гироскоп и сопряженные с
ним измерительные системы и имеет следующие технические и
метрологические данные:
диапазон управляемых оборотов двигателя 100010000 об/мин;
диапазон измеряемого времени процессии 199999 мс;
диапазон измеряемого угла процессии 109900;
масса перемещаемого груза 0,60,05 кг;
погрешность измерения времени 0,02%;
погрешность измерения скорости оборотов не больше 2,5%.
Внешний вид гироскопа представлен на рисунке 11.1 на основании 1
оснащенном ножками с регулируемой высотой, позволяющим произвести
выравнивание прибора, закреплена колонка 2. на колонке закреплен кронштейн
3, на котором закреплен фотоэлектрический датчик №1 (4) и внешняя втулка
вращательного соединителя (5).
Вращательный соединитель позволяет гироскопу обращаться вокруг
вертикальной оси и обеспечивает питание электрическим током
фотоэлектрического датчика №2 (6) и электрического двигателя (7)
посредством разъемов.
Электрический двигатель смонтирован на кронштейне (8) таким
образом, что допускает вращения в вертикальной плоскости. На валу двигателя
закреплен ротор (9), защищаемый экраном (10). Рычаг (11), закрепленный на
корпусе двигателя, имеет нанесенную метрическую шкалу. На рычаге
84
закреплен груз (12). При помощи перемещения груза по рычагу можно
уравновесить гироскоп, перемещая центр масс системы.
Поворот гироскопа вокруг вертикальной оси можно считывать с диска
(5) с нанесенной угловой шкалой, при помощи указателя (14). Диск (5) имеет на
окружности отверстия через каждые 50, которые, подсчитываемые
фотоэлектрическим датчиком №1, передают в блок управления измерений (3),
информацию об угле поворота гироскопа.
Ротор (9) имеет на окружности прорези, которые, подсчитываемые
фотоэлектрическим датчиком №2, передают в блок управления и измерений
информацию о скорости оборотов электрического двигателя.
Порядок выполнения работы
Задание 1: Измерение скорости прецессии и кинетического момента
гироскопа.
1. Сбалансируйте гироскоп относительно осей X,Y,Z. Это делается путем
перемещения противовеса по стержню. Сбалансированный гироскоп должен
находится в положении безразличного равновесия.
2. Запишите положение груза, при котором гироскоп сбалансирован (от этого
положения отсчитывается величина l ).
3. Нажмите кнопку "СЕТЬ", выждите 2-3 минуты, чтобы вращение ротора
стабилизировалось.
4. Регулятором
задайте
скорость
вращения
маховика
n = 5000 об/мин.
5. Вычислите значение угловой скорости:   2  n / 60
6. Переместите груз по рычагу на l  1 см влево от положения равновесия,
удерживая рычаг в исходном (горизонтальном) положении, задавая тем самым
момент сил относительно оси OY.
7. Нажмите кнопку "СБРОС".
8. Отпустите гироскоп и после его поворота на угол 20о нажмите кнопку
"СТОП".
9. Определите по счетчикам угол поворота  и время поворота t гироскопа
относительно оси X.
10. Вычислить скорость прецессии по формуле    / t .
11. Рассчитайте момент силы: M y  Pz  l  m  g  l
12. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 11.1.
85
13. Переместите груз по рычагу на - l  2,3 см влево, и затем на 1, 2, 3 см
вправо. Аналогичным образом вычислить скорость прецессии. Результаты
занести в таблицу 11.1.
14. Определите по счетчикам угол поворота и время поворота гироскопа
относительно оси X, повторив п.п. 4-8 для следующих значений: +l = 3 см; +l
= 4 см; данные занесите в таблицу 11.1.
15. Пункты 3-9 повторите еще 2 раза для следующих значений: n2 = 7000
об/мин; n3 = 9000 об/мин.
16. Построить график зависимости скорости прецессии  от угловой скорости
вращения гироскопа  . Полученный экспериментальным путем и
теоретическим по формуле:  
mgl
:
J
где m – масса груза, l – плечо силы тяжести груза, J – момент инерции
гироскопа относительно горизонтальной оси,  – угловая скорость вращения
гироскопа.
17. По данным таблицы 11.1 построить график зависимости угловой скорости
прецессии  от смещения l противовеса из положения равновесия, для трех
значений угловой скорости гироскопа
18. Подсчитайте величину кинетического момента по формуле L 
Mt

.
19. По найденному L и заданной скорости вращения  найти момент инерции
J:
Задание 2: определение момента сил вязкого трения.
1. при помощи перемещаемого груза 12 уравновесить гироскоп, установив
рычаг груза горизонтально.
2. Установите скорость вращения маховика n1=5000об/мин.
3. Не отключая гироскоп от сети, быстрым поворотом рукоятки регулятора
скорости выключите двигатель.
4. Произведите замеры скорости оборотов ротора через каждые 10 секунд.
Данные занесите в таблицу 11.2.
5. постройте график зависимости угловой скорости от времени.
6. найдите угловое ускорение 
7. по формуле 11.9 определите значение коэффициента внутреннего трения
8. постройте график зависимости коэффициента внутреннего трения от
угловой скорости.
86
№
п/п
1
…
6
1
…
6
1
…
6
n,
об/мин
,
1/с
Мy,
нм
f,
град
t,
с
l,
м
,
1/с

Таблица 11.1.
L,
J,
кгм/с кгм
5000
7000
9000
Таблица 11.2
t
c

<My>
1

Пас
/c
Нмс
Контрольные вопросы
1. Дайте определение гироскопического эффекта.
2. Сформулируйте закон изменения момента импульса и запишите его.
3. Что называют моментом силы и моментом импульса тела относительно
неподвижной точки и относительно неподвижной оси?
4. Что называют гироскопом? Каковы особенности его движения?
5. Является ли Земля механичсеким гироскопом?
6. Что называется скоростью прецессии?
7. Приведите примеры, где может быть использован гироскопический эффект
Используемая литература
[4] §11. [3] §4.3; 5.3. [7] §4, 16-19.
87
Лабораторная работа 1-12 “Определение коэффициента вязкости воздуха
капиллярным методом”
Цель работы: изучение внутреннего трения (вязкости) в газах и определение
коэффициента вязкости воздуха.
Теоретическое введение
Газы отличаются от упругих тел, что они оказывают сопротивление
изменению объема (но не формы). Они всегда оказывают давление, стремясь
расшириться и занять любой допустимый объем.
Если газ не находится в состоянии покоя, т.е. равновесие отсутствует, то
говорят, что имеется поток газа, и состояние движущегося газа полностью
определено, если известна скорость потока в каждой точке пространства в
каждый момент времени.
Газ рассматриваем как сплошную
среду. Для неустановившегося движения газа
x
следует различать два способа описания:
вводятся траектории, т.е. пути описываемые
частицами газа с течением времени, и линии

тока, которые получаются следующим
образом.
Представим
себе,
что
в
определенный момент в каждой точке потока
z
в виде
маленьких стрелок нарисованы
Рис. 12.1
векторы скорости частиц. Эти стрелки можно
соединить кривыми, касательные к которым
в каждой точке направлены вдоль стрелок. В неустановившемся потоке картина
линий тока меняется со временем, и траектории частиц газа и линии тока не
совпадают. В часто встречающихся на практике задачах рассматривается
установившееся движение газа (стационарный поток), когда вектор скорости в
каждой точке не меняется со временем, а
линии тока совпадают с
траекториями частиц. Примером стационарного потока является ламинарное
течение. Ламинарным называется поток, в котом газ течет как бы
параллельными слоями, скользящими друг относительно друга с различной
скоростью. В простейшем случае все слои движутся в одинаковом
направлении, например, вдоль оси X . Из за взаимодействия между слоями (это
88
взаимодействие называется еще внутренним трением) более быстротекущий
слой оказывает воздействие на прилегающий к нему слой, пытаясь увлечь за
собой. И наоборот, более медленно текущий слой тормозит более быстрый.
Уже Ньютон указал правильный вид этой тормозящей силы: она должна быть
пропорциональна площади S соприкасающихся слоев и спаду скорости в
перпендикулярном к потоку направлении. Следовательно, если скорость  x
падает в направлении оси Z (рис. 12.1), то на каждый слой действует
прилегающий к нему слой с касательной силой, равной по величине
F  S
d x
dz
(12.1)
Множитель пропорциональности  называется коэффициентом
внутреннего трения или коэффициентом вязкости.
Ламинарный параллельный поток имеет место, например, при
медленном протекании газа в цилиндрической трубе (капилляре) – в этом
случае слои представляют собой совокупность бесконечно тонких
цилиндрических поверхностей, вложенных одна в другую, имеющих общую
ось, совпадающую с осью трубы.
Выделим в капилляре воображаемый цилиндрический объем газа
радиусом r и длиной l , как показано на рисунке 12.2. Обозначим давления на
его торцах P1 и P2 . При установившемся течении сила давления на цилиндр
F  P1  P2 r 2
уравновесится силой внутреннего трения FТ , которая действует на
боковую поверхность цилиндра со стороны внешних слоев газа:
F  FТ  0
(12.2)
Рисунок 12.2 – К расчету объемного расхода газа в случае течения его через капилляр.
Сила внутреннего трения определяется по формуле Ньютона (12.1).
89
Учитывая, что S  2rl
трубы, т.е.
и скорость  r  уменьшается при удалении от оси
d
 0 , можно записать:
dr
FТ  
d
2rl
dr
(12.3)
В этом случае условие стационарности (12.2) запишется в виде:
P1  P2 r 2   d 2rl  0
dr
(12.4)
Интегрируя это равенство, получим
 r   
P1  P2 2
r C ,
4l
где C – постоянная интегрирования, которая определяется граничными
условиями задачи.
При r  R скорость газа должна обратиться в нуль, поскольку сила
внутреннего трения о стенку капилляра тормозит смежный с ней слой газа.
Тогда
 r  
P1  P2 2
R  r2
4l


(12.5)
Подсчитаем объемный расход газа Q , т.е. объем, что протекает за
единицу времени через поперечное сечение трубы. Через кольцевую площадку
с внутренним радиусом r и внешним r  dr ежесекундно протекает объем газа
dQ  2rdr r 
Тогда
R
Q
0
P P
2r r dr   1 2  R 2  r 2 rdr
2l 0
R


или
Q 
P1  P2 4
R
8l
(12.6)
Формулу (12.6), которая называется формулой Пуазейля, можно
использовать для экспериментального определения коэффициента вязкости
газа.
Формула Пуазейля была получена в предположении ламинарного
течения газа или жидкости. Однако с увеличением скорости потока движение
становится турбулентным и слои смешиваются. При турбулентном движении
скорость в каждой точке меняет свое значение и направление, сохраняется
только среднее значение скорости. Характер движения жидкости или газа в
трубе определяется числом Рейнольдса:
90
Re 
 R

(12.7)
где  – средняя скорость потока;  – плотность жидкости или газа.
В гладких цилиндрических каналах переход от ламинарного течения к
турбулентному происходит при Re  1000 . Поэтому в случае использования
формулы Пуазейля необходимо обеспечить выполнение условия Re  1000 .
Кроме этого, эксперимент необходимо проводить таким образом, чтобы
сжимаемостью газа можно было пренебречь. Это возможно тогда, когда
перепад давлений вдоль капилляра значительно меньше самого давления. В
данной установке давление газа несколько больше атмосферного ( 103 см
вод.ст.), а перепад давлений составляет от ~ 10 см вод.ст., т.е. приблизительно
1% от атмосферного.
Формула (12.6) справедлива для участка трубы, в котором установилось
постоянное течение с квадратичным законом распределения скоростей (12.5) по
сечению трубы. Такое течение устанавливается на некотором расстоянии от
входа в капилляр, поэтому для достижения достаточной точности эксперимента
необходимо выполнение условия R  L , где R – радиус, L – длина капилляра.
Экспериментальная часть.
Для определения коэффициента вязкости воздуха предназначена
экспериментальная установка ФПГ 1-1, общий вид которой изображен на рис.
12.3.
Рисунок 12.3. – Общий вид экспериментальной установки ФПТ 1-1.
91
1 – блок рабочего элемента; 2 – блок приборов; 3 – стойка; 4 – капилляр,
5 – реометр; 6 – манометр.
Воздух в капилляр 4 нагнетается микрокомпрессором, размещенным в
блоке приборов 2. Объемный расход воздуха измеряется реометром 5, а нужное
его значение устанавливается регулятором "Воздух", который находится на
передней панели блока приборов. Для измерения разности давлений воздуха на
концах капилляра предназначен V-образный водяной манометр 6.
Геометрические размеры капилляра - радиус R =0,5 мм и длина L =0,1 м.
Порядок выполнения работы
1. Включить установку тумблером "Сеть".
2. С помощью регулятора "Воздух" установить по показаниям реометра
выбранное значение объемного расхода воздуха Q .
3. Измерить разность давлений P в коленах манометра. Значения Q и P
занести в табл. по форме 12.1.
Номер измерения
P , Па
Q , м3/с
Форма 12.1
 , кг/(мс)
4. Повторить измерения по пп. 2-3 для 5 значений объемного расхода
воздуха.
5. Установить регулятор расхода воздуха на минимум, после чего выключить
установку тумблером "Сеть".
Обработка результатов измерений
1. Для каждого режима определить по формуле Пуазейля коэффициент
вязкости воздуха:

2.
3.
R 4 P
8QL
Найти среднее значение коэффициента вязкости.
Оценить погрешность результатов измерения.
92
Контрольные вопросы
1. Напишите и объясните формулу Ньютона для внутреннего трения.
2. Какой физический смысл коэффициента вязкости? В каких единицах
измеряется эта величина?
3. Напишите формулу для коэффициента вязкости идеального газа.
4. В чем заключается капиллярный метод определения коэффициента
вязкости газов?
5. Выведите формулу Пуазейля. При каких условиях ее применяют?
6. Как изменяется скорость движения газа по радиусу канала при ламинарном
режиме течения?
7. Почему при строительстве магистральных газопроводов используют трубы
большого диаметра, а не увеличивают давление газа при его
транспортировании?
Используемая литература
1. [1] §72-78
2. [3] §10.6-10.8
93
Лабораторная работа 1-13 “Определение динамического коэффициента
вязкости”
Цель работы: определить коэффициент вязкости воздуха.
Теоретическое введение
В практикуме три лабораторных работы посвящены определению
коэффициента вязкости, изучая стационарное течение жидкости и газа (в
жидкости – работа 1-14, в газе – работа 1-22 и данная работа). Во всех трех
работах используется формула Пуазейля для объема вещества, который
протекает за единицу времени через поперечное сечение трубы.
То есть, жидкость и газы обладают общими чертами, отличающими их
от твердых тел. Так, всякий объем жидкости или газа способен как угодно
изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил. Это их общее
свойство. Общая черта жидкостей и газов состоит также в том, что только в
отношении деформации всестороннего сжатия (изменения объема) они ведут
себя как упругие тела. Напомним, что из двух элементарных деформаций –
сжатия (растяжения) и сдвига только первая связана с изменением объема.
Элементарная деформация сдвига, как было сказано, не сопровождается
изменением объема. Все же при быстрых деформациях сдвига в жидкостях и
газах могут возникать заметные силы; однако эти силы зависят не от величины
деформации, а от скорости изменения деформации. И если скорость
деформации стремится к нулю, то и силы стремятся к нулю. Поэтому эти силы
следует рассматривать не как упругие силы, а как силы трения – это силы
внутреннего трения, или силы вязкости.
Поскольку в этой работе реализована только несколько другая методика
измерения коэффициента вязкости, то теоретическое введение следует изучать
по работе 1-12, там же представлен и вывод формулы Пуазейля.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: стеклянный сосуд с краном, пробка с капилляром,
штатив, секундомер, мерный стакан (колба), линейка, вода.
В предлагаемом методе определения динамического коэффициента
94
вязкости используется истечение воздуха через капилляр. Известно, что
скорости истечения бесконечно тонких цилиндрических слоев воздуха,
расположенных на различных расстояниях от оси капилляра, различны и
распределены по сечению капилляра по параболическому закону. Наибольшая
скорость будет на осевой линии капилляра и, по мере приближения к стенкам,
скорость уменьшается, а слой, прилегающий к стенке, неподвижен, т.е.
"прилипает" к ней.
Между слоями, движущимися с различными скоростями, возникает
сила внутреннего трения (сила вязкости). При установившемся движении сила
вязкости, действующая на элементарный объем и приложенная к боковой
поверхности цилиндра, уравновешивает разность сил давлений, действующих
на основание цилиндра. На концах капилляра при протекании по нему воздуха
возникает разность давлений (pвхода - pвыхода). При установившемся движении
воздуха она будет неизменной. При малых скоростях течения объем воздуха,
протекающего через сечение капилляра, равен:
V 
r 4 ( p1  p2 )t
;
8 l
отсюда
=
r 4 ( p1  p2 )t
8Vl
.
(13.1)
где r – радиус капилляра; ( p1  p2 )– разность давлений в начале и конце
капилляра;  – динамический коэффициент вязкости; l – длина капилляра; V –
объем газа, протекшего через сечение капилляра за время t .
Таким образом, для определения коэффициента вязкости достаточно
измерить разность давлений, время истечения газа, его объем, радиус и длину
капилляра.
Схема установки представлена на рис. 13.1.
Установка состоит из стеклянного сосуда А со шкалой C.
Верхняя часть сосуда закрыта пробкой с капилляром B, а
в нижней имеется трубка с краном К. Перед началом
работы кран закрыт, сосуд заполнен водой на 3/4 объема
и плотно закрыт пробкой с капилляром. Если открыть
кран К, то, по истечении некоторого времени, вода из
сосуда А будет вытекать каплями. При этом объем воды,
Рис. 13.1
вытекающий из сосуда, равен объему воздуха,
прошедшего через капилляр , а давление у открытого
95
конца трубки D равно сумме давлений: воздуха, находящегося над
поверхностью воды в сосуде А, - рг и гидростатического давления gh:
pг +  g h .
Это давление уравновешивается атмосферным:
рг +  g h = ра .
Учитывая, что давление у верхнего конца капилляра равно
атмосферному, разность давлений на концах капилляра выразится:
ра - рг =  g h.
Поскольку в процессе опыта давление столба воды уменьшается (за счет
истечения), то берут среднее значение
gh ср.ар 
h1  h2
g
2
и выражение для вязкости примет вид:

r 4 g (h1  h2 )t
16lV
.
(13.2)
Порядок выполнения работы
Подготовьте установку к выполнению работы:
a) залейте сосуд на 3/4 объема водой;
b) закройте сверху плотно трубкой с капилляром;
c) подставьте под кран сливную емкость;
d) подготовьте к работе секундомер.
2. Откройте кран К. Когда вода начнет вытекать каплями:
a) отметьте уровень воды h1;
b) подставьте мерный сосуд под трубку D;
c) запустите секундомер.
3. Когда в мерном сосуде будет 50 мл воды:
a) отметьте по шкале новый уровень воды h2. При этом объем воды в
мерном сосуде равен объему прошедшего через капилляр воздуха;
b) одновременно с этим останавите секундомер.
Результаты измерений занесите в таблицу по форме 13.1
Опыт повторите 3-5 раз и определите время истечения воздуха.
4. Полученный результат подставьте в (13.2) и рассчитайте коэффициент
вязкости  .
1.
5.
Выведите формулу для вычисления погрешности .
96
Результаты вычислений занесите в таблицу по форме 13.1.
6.
Форма 13.1
V,
м3
V,
м3
t,
с
t ,
с
h1,
м
h 2,
м
h,
м
,
Па.с
 ,
Па.с

/
1
2
...
Контрольные вопросы
1. Какими общими чертами обладают жидкости и газы?
2. Почему возможно в лабораторных работах 1-14, 1-12 использовать
формулу Пуазейля для определения коэффициента вязкости, хотя в работе 1-14
измеряют свойства жидкостей, а в 1-22 – газа?
3. Каков физический смысл вязкости?
4. От каких параметров и как зависит коэффициент вязкости воздуха?
5. Выведите рабочую формулу для коэффициента вязкости.
Используемая литература
[2] §128-130; [3] §10.6-10.8; [7] §48; [4] §2.27-2.29
97
Лабораторная работа 1-14 “Определение коэффициента вязкости жидкости
по методу Пуазейля”
Цель работы: определить динамический и кинематический коэффициенты
вязкости воды при комнатной температуре и число Рейнольдса в условиях
работы установки.
Теоретическое введение
В данной работе изучаются физические величины, характеризующие
течение реальной жидкости. Реальная жидкость отличается от идеальной тем,
что она обладает внутренним трением, или вязкостью.
Если различные частицы жидкости движутся с одинаковыми
скоростями, направленными одинаково, то это означает, что жидкость
находится в равновесном состоянии. Однако, если скорость течения жидкости
различна в разных местах, то такое состояние жидкости не является
равновесным, и в ней возникают самопроизвольные процессы перехода в
состояние равновесия. Эти процессы обуславливают появление особого
свойства жидкости, которое называется вязкостью, или внутренним трением.
Рассмотрим плоскопараллельный
f
Х
Стенка
поток жидкости, то есть такое ее
течение, при котором векторы скорости
П
i частиц жидкости всюду направлены
одинаково. Пусть также модуль скорости
 меняется (уменьшается) лишь вдоль
положительной оси x (рис. 14.1)
перпендикулярной потоку жидкости
i
(    (x) ).
Опыт
показывает,
что
Рис. 14.1
соприкасающиеся
слои
жидкости,
двигающиеся в одном и том же направлении, но с разными скоростями,
воздействуют друг на друга. Сила взаимодействия ускоряет медленно
движущийся элемент жидкости и замедляет более быстрый. Конечно, в
сплошной среде никаких элементов жидкости нет и это понятие используется
лишь для наглядности, а скорость жидкости распределена непрерывно. Из
опыта следует, что сила внутреннего трения f пропорциональна изменению
скорости жидкости  в направлении, перпендикулярном движению, и зависит
98
от площади S соприкосновения элементов жидкости. Быстрота изменения
скорости  как функции x характеризуется производной d / dx .
Окончательный результат можно записать в виде:
f 
d
S.
dx
(14.1)
Это – закон вязкого трения Ньютона. Здесь f – величина силы,
действующей со стороны одного слоя на другой,  – коэффициент
пропорциональности, получивший название коэффициента вязкости жидкости
(динамическая вязкость). Его размерность вытекает из формулы (14.1).
Единицу измерения принято выражать как 1 Пас. Направление силы f (вправо
или влево на рис. 14.1) зависит от того, быстрее или медленнее движутся слои
относительно друг друга.
Коэффициент вязкости  имеет разные значения для различных
жидкостей, а для определенной жидкости зависит от внешних условий, в
первую очередь от температуры. По своей природе силы трения в жидкости
являются силами межмолекулярного взаимодействия, т.е электромагнитными
силами, как и силы трения между твердыми телами.
Процесс выравнивания скоростей между соседними слоями жидкости
сопровождается переносом импульса p от слоя к слою. Механизм этого
переноса имеет молекулярный характер. Коэффициент вязкости и определяет
быстроту передачи импульса из одного места при течении жидкости в другое.
Если жидкость течет, соприкасаясь с твердой поверхностью (рис 14.1), то
непосредственно прилегающий к твердой стенке слой жидкости “прилипает” к
поверхности – скорость течения обращается в нуль на стенке. По мере удаления
от стенки скорость жидкости увеличивается и, благодаря вязкости жидкости,
возникает поток импульса П
П  
d
dx
(14.2)
– это полный импульс, переносимый в 1 с в положительном
направлении оси Х через единичную площадку.
Действительно, в соответствии со вторым законом Ньютона
взаимодействие слоев жидкости с силой f можно рассматривать как процесс
П
передачи в единицу времени импульса p .
f 
dp
dt
Величина же потока импульса будет равна
(14.3)
99
П
1 dp

S dt
(14.4)
Кроме динамической вязкости  вводится также кинематическая
вязкость  , которая характеризует быстроту выравнивания скорости течения
жидкости. Импульс p – динамическая характеристика движения. Он входит в
основное уравнение динамики (14.3), а скорость – кинематическая
характеристика и она равна импульсу, деленному на массу. Поэтому  вводят
таким образом


,

(14.5)
где  – плотность жидкости.
Представленные соотношения позволяют рассмотреть задачу о
вычислении расхода несжимаемой жидкости, текущей в горизонтальной
круглой прямолинейной трубе с постоянной площадью поперечного сечения
при заданном перепаде давлений p .
Эта задача имеет большое практическое значение: организация работы
нефтепроводов, обычного водопровода безусловно требует ее решения. Будем
полагать, что нам заданы длина трубы L , ее радиус R , давление на концах
трубы P1 и P2 ( P1  P2 ), а также плотность жидкости  и ее вязкость  .
Из решения этой задачи следует, что текущая в трубе жидкость имеет,
как говорят, параболический профиль скоростей: скорость меняется по
квадратичному закону от нуля на стенке до максимального значения
( max  R 2 p / 4 L ) в центре трубы (рис. 14.2).
А расход Q – полный объем жидкости, вытекающей из трубы за 1 с
( Q  V / t ), равен:
Q
R
Рис. 14.2
p  R 4
8  L
(14.6)
Это
соотношение
называется
формулой
Пуазейля. Отличительной чертой (14.6) является
сильная зависимость Q (R ) : Q ~ R 4 . Очевидно, что это
уравнение играет важную роль в физиологии нашего
кровообращения. Заметим также, что капиллярная
система человека имеет длину  105 км (2,5 окружности
Земли).
100
Рассмотренное течение жидкости по трубе характерно своей
упорядоченностью и плавностью: каждая частица жидкости движется по
определенной прямолинейной траектории, и вся картина течения представляет
собой как бы движение различных слоев жидкости с различными скоростями
друг относительно друга. Такое правильное, стационарное течение жидкости
называют ламинарным (слоистым). Формула Пуазейля применима только для
ламинарного течения жидкости.
При достаточно больших скоростях ламинарное течение становится
неустойчивым, хаотичным и переходит в так называемое турбулентное течение.
(латинское lamina – “пластина”, turbulentus – “бурный”, “беспорядочный”).
Представление о турбулентном течении можно получить, если постепенно
открывать водопроводный кран: тонкая струйка течет сначала плавно, но с
увеличением скорости плавность течения нарушается, частицы жидкости
перемешиваются уже беспорядочно, и движение сопровождается сильным
перемешиванием.
Для того, чтобы оценить характер течения жидкости, вводится
безразмерная величина Re , называемая числом Рейнольдса.
Re 
l

(14.7)
здесь  – средняя скорость потока, l – характерный размер (в случае
течения жидкости в трубе это диаметр трубы l  d  2R ).
Опытные данные показывают, что существует критическое число
Рейнольдса, при превышении которого происходит переход из ламинарного
режима в турбулентный. Но сама величина Re КР не универсальна – она зависит
от геометрии системы. Для случая течения жидкости в трубе Re КР  103 .
Методика определения
Метод определения коэффициента вязкости в данной работе основан на
использовании формулы Пуазейля для расхода жидкости Q через трубу при
ламинарном течении (14.6)
Из нее можно выразить  :

 p  r 4  t
,
8V  l
(14.8)
где p – разность давлений на концах капилляра; r – радиус капилляра;
l – длина капилляра; Q – расход жидкости объемом V за время t
101
Q V
t
Если разность давлений на концах капилляра (рис. 14.3) задана и
постоянна, то при заданных параметрах капилляра поток пропускаемой через
него жидкости будет однозначно связан с коэффициентом вязкости по (14.6).
Объем V вытекающей жидкости равен произведению изменения уровня
H жидкости в сосуде на площадь поперечного сечения сосуда
V  H  R 2 ,
(14.9)
где R – радиус сосуда.
Разность давлений p создается за счет массы столба жидкости между
уровнями жидкости в верхней и нижней половинах сосуда, т.е. это
гидростатическое давление, под действием которого жидкость течет по
капилляру
p=gH.
(14.10)
Полная высота Н столба жидкости определяется суммой высот столбов в
верхней Hв и нижней Hн частях сосуда, которые одновременно совпадают с
уровнем жидкости в этих частях сосудов. Так как установка выполнена
симметрично относительно центра, то уровни жидкости в верхней и нижней
частях сосуда совпадают: Hв = Hн, тогда
H = Hв + Hн = 2Hв
(14.11)
Таким образом, из (14.10) видно, что разность давлений на концах
капилляра определяется уровнем жидкости и будет меняться. Поэтому, чтобы
воспользоваться формулой Пуазейля, необходимо брать возможно меньший
объем вытекающей жидкости V в (14.6).
Так как разность уровней в процессе перетекания жидкости
уменьшается, то для расчетов следует взять его среднее значение, например,
для верхнего уровня
HВ 
H НАЧ  H КОН
2
Тогда из (14.11) получим
H = Hнач + Hкон = Нн + Нк .
Разность давлений на концах капилляра
определяется уровнем
жидкости и будет меняться, в то же время формула Пуазейля требует
постоянного давления. Чем меньший объем взят для вычисления результата,
тем она будет точнее. Однако при этом возникает погрешность измерения H,
т.е. разности начального и конечного уровней. Оптимальным для данной
установки будет разность уровней 3-5 см.
102
При введенных обозначениях с учетом того, что объем
жидкости V = (Hн - Hк)  R2, расчетная формула приобретет вид:

r 4   g ( H НАЧ  H КОН ) t

8l  R 2
H НАЧ  H КОН
вытекающей
(14.12)
В начальную часть формулы (14.12) входят постоянные величины, их
следует вычислить и объединить в одну постоянную (для данной установки)
величину С:
C 
r 4 g
.
8l R 2
(14.13)
Тогда окончательная формула для вязкости примет вид:
  C 
( H Н  H К )t
.
HН  HК
(14.14)
Лабораторная установка
Установка (рис. 14.3)
состоит из
герметичного сосуда 1, разделенного на две
равные половины пробкой 2. В нижней половине
сосуда расположен измерительный капилляр 3,
конец которого выходит через пробку в верхнюю
часть. В верхней половине сосуда находится
более толстая (по сравнению с капилляром)
трубка 4 (воздуховод), так же соединяющая через
Рис. 14.3
пробку нижнюю и верхнюю части сосуда.
Исследуемая жидкость 5 в процессе измерения перетекает через
капилляр из верхней части сосуда в нижнюю. Воздух при этом через
воздуховод переходит из нижней части в верхнюю.
Уровни жидкости в верхней и нижней половинах сосуда измеряются по
шкале 6, имеющей нуль в средней части.
Обратное перемещение жидкости (для проведения повторного
измерения) осуществляется поворотом сосуда на 180 на горизонтальной оси 7,
вращающейся во втулке 8. Для предотвращения произвольного
переворачивания сосуда ось имеет прямоугольное основание 9, которое
перемещением оси вдоль втулки вводится в прямоугольный паз втулки.
103
Порядок выполнения работы
1. Аккуратным движением сосуда "на себя" освободите ось от фиксации.
Осторожно поверните сосуд капилляром вверх. При этом жидкость быстро (за
2-3 минуты) перетечет вниз. Дождитесь полного перетекания жидкости.
2. Поверните сосуд снова, капилляром вниз.
3. В течение времени, пока жидкость будет перетекать из верхней половины в
нижнюю (20-25 мин), отмечайте моменты времени (t1, t2, t3 и т.д.), в которые
верхний уровень будет проходить отметки, отстоящие один от другого на 3-5
см (H1, H2, H3 и т.д.). Например, 25; 20; 15; 10; 5 см. Время отсчитывать с
точностью до 1 с, уровень - до 1 мм. Отсчеты заносите в две первых строки
таблицы 14.1.
Обработка результатов
1. Вычитая из каждого последующего момента времени предыдущий,
заполните строку 3 таблицы.
2. Вычитая из каждого предыдущего уровня последующий, заполните
строку 4.
3. Прибавляя к каждому предыдущему уровню последующий, заполните
строку 5.
4. Вычислите для каждого интервала результат по формуле:
K n  
H НАЧ  H КОН t
H НАЧ  H КОН

H n  H n 1 tn  tn 1 
H
и занесите полученный результат в 6 строку.
5. Вычислите по формуле (14.13) постоянную установки C .
6. Вычислите и занесите в таблицу коэффициент вязкости  для каждого
интервала (по формуле 14.14).
7. Найдите среднее значение ср по формуле:
 cp 
1 n
 i
n i 1
8. По формуле (14.5) и среднему коэффициенту вязкости вычислите
кинематическую вязкость .
9. По формуле (14.7) вычислите число Рейнольдса для наибольшей в опыте
средней скорости (по первому интервалу) и среднюю скорость жидкости в
капилляре по формуле:
104
v
V
R 2 H
,
 2
st r t
где V - объем жидкости, прошедшей через капилляр за время t; S - площадь
сечения капилляра.
10. Оцените точность вычисления . Ошибка вычисления  находится как
сумма частных ошибок всех измеряемых или заданных величин , входящих в
уравнение (14.12).
  r   R2  l2  2t   H2 Н   H2 К
2
11. По результатам вычислений определите характер течения жидкости
(турбулентный, ламинарный), считая критическим значением Re = 2000.
Сделайте вывод по характеру течения жидкости и надежности измерения .
Сравните ср с табличным значением, сделайте выводы.
Исходные данные.
Исследуемая жидкость: вода.
Радиус капилляра r  0.60  0.01 , см
Длина капилляра l  0.320  0.001, м
Внутренний радиус сосуда R  2,40  0.05 , см.
№ п/п Измеряемая
t1
или
рассчитываемая
величина
1
t, с
H1
2
Н , см
3
4
5
tn+1 - tn , с
Hn + Hn+1,см
H n  H n 1 , см
K n
6
7
 , Пас
8
ср ,Пас
9
 , Нмс/кг
Re
10
t2
t3
t4
t5
Таблица 17.1
t6
t7
H2
H3
H4
H5
H6
H7
105
Контрольные вопросы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Что такое динамический коэффициент вязкости?
Что такое кинематический коэффициент вязкости?
В чем состоит метод Пуазейля определения вязкости?
Что такое число Рейнольдса ? Что оно характеризует?
Какое течение жидкости называют ламинарным?
Какое течение жидкости называют турбулентным?
Объясните механизм внутреннего трения жидкости.
От каких факторов зависит вязкость жидкости?
Как и почему меняется вязкость жидкости с изменением температуры ?
Используемая литература.
[1] §72-78; [2] §39-43; [3] 10.6-10.8; [7]§28-33; [4]§45/
106
Лабораторная работа 1-15 “Определение коэффициента вязкости жидкости
методом Стокса”.
Цель работы: ознакомление с методом Стокса и определение коэффициента
вязкости различных жидкостей.
Теоретическое введение
Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя
относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося
более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила.
Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой
действует тормозящая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего
трения, направлены по касательной к поверхности слоёв.
Пусть два слоя (рис.15.1) площади S , отстоящих друг от друга на
расстояние z , движутся со скоростями v1 и v2 соответственно, Δv=v2–v1.
Направление,
в
котором
z
отсчитывается расстояние между
ΔS
слоями (ось z), перпендикулярно
V2
вектору скорости движения слоев.
Величина
Δz
ΔS
dv
v
V1
 lim
dz z 0 z ,
которая показывает, как
быстро меняется скорость при
переходе от слоя к слою,
x
Рис.15.1
называется градиентом скорости.
Величина силы внутреннего трения

F , действующей между слоями, пропорциональна площади соприкосновения
движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):


dv
F   S ,
dz
(15.1)
где  – коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Знак «–»
показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то есть
что быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.
Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая
107
вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к силе
внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 площади слоев. Эта единица называется
паскаль-секундой (Па.с). В некоторые формулы (например, число Рейнольдса,
формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к плотности
жидкости ρ. Это отношение получило название коэффициента кинематической
вязкости  :
 

.

(15.2)
Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона
(15.1), вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются
ньютоновскими. К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению
(15.1)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных
молекул, например, растворы полимеров.
Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при
изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на
опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз. При
понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько возрастает,
что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое тело.
Я.И. Френкель вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости
жидкости с температурой:
 E 
,
 kT 
  Aexp 
(15.3)
где А – множитель, который зависит от расстояния между соседними
положениями равновесия молекул в жидкости и от частоты колебаний молекул,
ΔЕ – энергия, которую надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла
перескочить из одного положения равновесия в другое, соседнее (энергия
активации). Величина ΔЕ обычно имеет порядок (2÷3).10-20 Дж, поэтому,
согласно
формуле
(15.3),
при
0
нагревании жидкости на 10 С вязкость
её уменьшается на 20÷30%.
Значения
коэффициентов
вязкости газов существенно меньше,
чем жидкостей. С повышением
температуры
вязкость
газа
увеличивается
(рис.15.2)
и
при
Рис.15.2
критической температуре становится
108
равной вязкости жидкости.
Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры
указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.
Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость газов переносом
импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса
вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое газа,
движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его скорость
(средняя скорость направленного движения молекул) возрастает. Слой газа,
движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой газа,
движущийся с большей скоростью, замедляется. С повышением температуры
интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает, и вязкость газа
увеличивается.
Вязкость жидкости имеет другую природу. В силу малой подвижности
молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за
взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется силами
взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С повышением
температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается, и вязкость также
уменьшается.
Несмотря на различную природу, вязкость жидкостей и газов с
макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (15.1).

Величину импульса p , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в
другой слой за время Δt, можно найти из второго закона Ньютона:
 
p  Ft .
Из (15.1) и (15.4) получим:


dv
p   St .
dz
(15.4)
(15.5)
Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно
сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу,
перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за
единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус»
показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более
медленный.
При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления.
Происхождение этого сопротивления двояко.
При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей (то есть обтекание
тела ламинарное), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды.
109
Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что
непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью
задерживается, как бы прилипая к телу. Он трется о следующий слой, который
слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со
стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои можно
считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения пропорциональна
скорости тела: F ~  . Теоретический расчет внутреннего трения для движения
шарика в вязкой среде с небольшой скоростью, когда нет вихрей, приводит к
формуле Стокса:
(15.6)
Fc  6r ,
где r – радиус шарика,  – скорость его движения,  – коэффициент
динамической вязкости среды.
Второй механизм сил сопротивления включается при больших
скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При
увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри. Часть работы,
совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование
вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию. При
турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости тела: F ~  2 .
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: лабораторная установка, микрометр, линейка,
штангенциркуль, секундомер, шарики.
Метод определения
Этот метод основан на измерении скорости установившегося движения
твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной внешней силы, в
простейшем случае – силы тяжести.
Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости
методом Стокса. Если взять шарик большей плотности, чем плотность
жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно сосуда. На падающий шарик
действуют три силы (рис.15.3):
1. сила вязкого трения FС по закону Стокса (15.6), направленная вверх,
навстречу скорости: FС = 6πηrv;
110
2. сила тяжести, направленная вниз:
Fтяж  mg ,
(15.7)
где m  шV – масса шарика;  ш – плотность шарика; g – ускорение
свободного падения; V – объем шарика, равный:
4
V  r 3 ;
3
(15.8)
3. выталкивающая сила FАрх, согласно закону Архимеда, равная весу
вытесненной жидкости:
FАрх =Vρжg,
(15.9)
где  ж – плотность жидкости.
Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) для падающего
шарика в проекциях на вертикальную ось:
ma=Fтяж–FАрх–FС.
(15.10)
Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости движения
шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна скорости.
Поэтому на некотором начальном участке l0 (рис.15.3) падения шарика в
жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил тяжести и
выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением. Величину
участка l0 можно оценить из уравнения движения (см. дальше).
По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого
трения. С момента достижения равенства
FС = Fтяж – FАрх
(15.11)
сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в
соответствии с первым законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с
набранной им к этому моменту скоростью.
По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти
коэффициент вязкости жидкости η.
После подстановки в (15.11) выражений (15.6-15.9) получим:
4
6r   ш   ж   r 3 g
3
после сокращения и замены радиуса r шарика через его диаметр d ,
r
d
:
2
2
3v 
или:
2 d 
   ш   ж g
3 2 
111
3v 
d2
ш  ж g .
6
(15.12)
Из (15.12) выразим коэффициент динамической вязкости:

d 2 g  ш   ж 
.
18v
(15.13)
Наконец, скорость v шарика выражаем через пройденный путь h и
h
t
время падения t : v  :

4
1
3
l0
FC
h
FA
2
Fтяж
Рис.15.3
d 2 g ( ш   ж )t
.
18h
(15.14)
Выведенная формула (15.14) для расчета
коэффициента вязкости, как и формула Стокса
(15.6), получены в предположении, что шарик
движется в сосуде неограниченного объема. При
движении шарика по оси цилиндрического сосуда
конечного диаметра D в формуле (14) необходимо
учесть влияние стенок сосуда. Уточненная
рабочая формула имеет вид:
'
d 2 g (  ш   ж )t
.
d
18h(1  2.4 )
D
(15.15)
где D – диаметр цилиндрического сосуда
установки.
Описание установки.
Установка состоит из высокого цилиндрического прозрачного сосуда 1
(рис.15.3), по высоте которого на стенке нанесены на определенном расстоянии
друг от друга метки 2. В сосуд налита исследуемая жидкость 3 с известной
плотностью. Для определения ее вязкости в верхней части сосуда вблизи
центра в жидкость опускают маленькие шарики 4, плотность которых
несколько больше плотности жидкости.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Определение коэффициента вязкости жидкости без
112
учета влияния стенок сосуда.
1. Штангенциркулем измерить диаметр d шарика.
2. Пинцетом или смоченной палочкой опустить шарик по центру сосуда.
3. Определить при помощи секундомера время t прохождения шарика между
метками.
4. Измерить линейкой расстояние между метками h . Повторить пункты 1-3
еще для четырех шариков.
5. Рассчитать коэффициент вязкости по формуле (15.14) в каждом опыте.
Плотность жидкостей и плотность шарика взять в приложении.
6. Найти среднее значение коэффициента вязкости и рассчитать погрешность
 .
Упражнение 2. Определение коэффициента вязкости жидкости по
уточненной формуле с учетом влияния стенок сосуда.
1. Измерить линейкой внутренний диаметр D сосуда 1.
2. Рассчитать коэффициент вязкости жидкости по формуле (15.15).
3. Сравнить результаты, полученные по формулам (15.14) и (15.15) и сделать
выводы.
4. Все результаты занести в таблицу по форме 15.1.
№
d,
м
1
2
3
4
5
Средние –
Δd,
м
t,
c
Δt,
c
h,
м
Δh,
м
η,
Δηi,
Па.с Па.с
Δη
по
(15.17)
Форма 15.1.
D, η’,
l0,
м
Па.с м
–
Замечание. Погрешность коэффициента вязкости Δη рассчитывается
двумя способами:
а) по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:
113
n
  
  t n ,
2
i
i 1
n(n  1) ,
(15.16)
где коэффициент Стьюдента для числа опытов n  5 и доверительной
вероятности α=0.95 равен: tn, α=2.57; Δηi=|ηср.– ηi|.
б) исходя из формулы (15.14) по стандартной методике расчета
погрешностей при косвенных измерениях:
       

  
h   
t   
d 
 h
  t   d
 ,
2
2
2
(15.17)
d g (  ш   ж )t  d g (  ш   ж )  2dg (  ш   ж )t




18h
18h 2
18h
где h
, t
, d
.
2
2
Расчет по (15.17) производится для одного какого-либо опыта, при этом
в качестве t , h и d нужно взять приборные погрешности.
Упражнение 3. Оценка участка неравномерного падения шарика l0.
Выведем формулу для оценки l0.
Запишем формулу (15.10):
ma=Fтяж–FАрх–FС.
(15.10)
после подстановки выражений (15.6-15.9) получим:
4
3
4
3
ρш r 3 a=(ρш– ρж) r 3 g –6πηrv,
4
3
или после почленного деления на ρш r 3 :
a
 ш   ж  g 
ш
6rv
,
4 3
ш r
3
и далее после сокращения и элементарных преобразований и с учетом
того, что ускорение – это производная скорости по времени a 
v 
9
  ж
vg ш
.
2
2 ш r
ш
dv
 v :
dt
(15.18)
Решением дифференциального уравнения (15.18) будет функция:
v  v р  v р - v 0  exp  bt  ,
(15.19)
где vр – скорость равномерного (установившегося) движения, v0 –
начальная скорость шарика, которую можно принять равной нулю,
коэффициент b в показателе степени экспоненты равен:
114
b
9
.
2 ш r 2
(15.20)
Убедиться в том, что (15.19) является решением уравнения (15.18),
можно путем подстановки (15.19) в (15.18), рассчитав предварительно
производную скорости v по времени; при этом будут получены также и
выражение для b (15.20), и формула для установившейся скорости движения
(см.(15.13)):
vр 
d 2 g  ш   ж 
.
18
(15.21)
Заметим, что (15.19) удовлетворяет начальным условиям: при t=0
скорость равна v0, при t→∞ скорость v→vр. Движение можно считать
практически равномерным, если экспонента мала:
exp  bt  <<1.
Это реализуется при (bt)→∞, то есть если t>>b-1. Достаточно
потребовать (bt)=4; в этом случае отличие скорости от установившейся
составит не более 2% (при v0=0): exp  bt   e4  0.0183 . Таким образом, оценим
4
b
l0, проинтегрировав (15.19) по времени на промежутке [0: t1], где t1  :
t
bt1
 bt  1


e
 1 
  v р  t1  e
l0   v(t)dt   v р 1  exp( bt ) dt v р  t 
;
  b  


b
0
0

0


t1
t1
4
b
Далее, с учетом того, что exp  bt1   0 и подстановки t1  :
l0 
3v р
b
,
откуда с учетом (15.20) и (15.21):
2
d 
2 ш  
2
d g ( ш   ж )
2 ,
l0  3

18
9
и окончательно:
l0 
3ш gd 4 ш  ж 
.
324 2
(15.22)
1. Оценить участок неравномерного движения шарика по формуле (15.22).
2. Записать результат в таблицу 15.1.
3. Сравнить полученное значение с величиной l0, реально используемой в
установке.
4. Сделать вывод.
115
Контрольные вопросы.
1. Запишите формулу Ньютона для коэффициента динамической вязкости.
Сделайте поясняющий рисунок.
2. Что называется коэффициентом динамической вязкости? Поясните его
физический смысл и выведите его размерность.
3. Объяснить механизм внутреннего трения для газов и жидкостей. Как
зависит от температуры вязкость газов и жидкостей? Почему?
4. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Сделайте
рисунок, запишите второй закон Ньютона для шарика, падающего в вязкой
жидкости.
5. Почему, начиная с некоторого момента, шарик движется равномерно?
6. Как зависит скорость падения шарика от его диаметра?
7. Имеет ли смысл использование уточненной формулы (15.15) при
выполнении работы на данной установке?
8. Выведите приближенную расчетную формулу (15.14) для коэффициента
вязкости.
9. Докажите (15.19) и (15.20).
Используемая литература
[5] §9.4; [3] §10.7, 10.8; [1] §75, 76, 78, 130; [6] §5.6, 5.7; [7] §31, 33, 48.
116
Лабораторная работа 1-16 “Определение модуля Юнга методом прогиба”
Цель работы: определение модуля Юнга материала путем измерения прогиба
стержня при нагрузке.
Теоретическое введение
Прочность, долговечность и надежность металлических изделий
(твердых тел), работающих в различных условиях, во многом зависит от
характеристик, определяющих упругие свойства материалов.
Твердые тела при этом будем рассматривать как сплошную среду с
определенной плотностью  . Под воздействием внешних сил твердые тела в
той или иной степени деформируются , то есть изменяют свою форму и объем.
При всем разнообразии деформаций тел возможно любую деформацию свести
к двум основным (элементарным): растяжению (сжатию)
и сдвигу.
Деформация растяжения
характеризуется
величиной относительного
удлинения  :

l
,
l0
(16.1)
где l 0 – длина тела до растяжения; l1 – после растяжения; l  l1  l0 –
абсолютное удлинение.
Деформация называется упругой, если после снятия нагрузки полностью
восстанавливаются размеры и форма тела, т.е. это обратимая деформация.
Сдвигом называется такая деформация твердого тела, при которой все
его плоские слои, параллельные некоторой неподвижной плоскости,
называемой плоскостью сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах,
смещаются параллельно друг другу. Деформация сдвига характеризуется
величиной относительного сдвига. При малых деформациях сдвига
относительный сдвиг есть просто измеренный в радианах угол  .
При деформации однородного сдвига величина  во всех точках тела
одна и та же.
Растяжение тела всегда
сопровождается соответствующим
сокращением его поперечного сечения и, наоборот, сжатие – соответствующим
увеличением поперечного сечения. Характеристикой этого изменения
поперечных размеров при растяжении и сжатии является относительное
поперечное расширение или сжатие:
117
 
d1  d 0 d

,
d0
d
(16.2)
где d 0 – поперечный размер тела до деформации, а d1 – после
деформации..
Ясно, что знак продольной деформации  противоположен знаку
поперечной   . Отношение



(16.3)
называют коэффициентом Пуассона. Он не зависит от размеров тел и
для всех тел, сделанных из данного материала, является константой,
характеризующей его свойства. Для всех известных в природе тел коэффициент
Пуассона имеет значение в пределах от 0 до 0,5.
Деформацию реальных твердых тел представляют в виде диаграммы.
При этом удобно растяжение задавать не силой как таковой, а отношением
силы к площади сечения:
 
F
S
(16.4)
Рис. 16.1. Диаграмма растяжения
Величина  в механике деформируемых твердых тел называется
напряжением и измеряется в Н/м2. Диаграмма растяжения схематически
представлена на рис.16.1 в виде зависимости    . Как видно из рис.16.1, при
малых деформациях  ~  (напряжение пропорционально деформациям). Это
есть известный из школы закон Гука. Точка А соответствует максимальному
напряжению, при котором еще сохраняется пропорциональность между  и  ,
то есть еще справедлив закон Гука.
(16.5)
  E  ,
где E – модуль упругости (модуль Юнга для данного материала).
Напряжение, соответствующее точке А, называется пределом
118
пропорциональности  пр . Выше т.А удлинение 
растет быстрее, чем
напряжение  . В этой области (т.А’) находится предел упругости тела  y .
Точного определения предела упругости тела дать вообще невозможно, так как
малые остаточные деформации наблюдаются всегда.
Далее (за т.А’) начинается область текучести материала (пластическая
деформация) – наибольшие деформации, которым подвергся материал, почти
целиком сохраняются как остаточные, но целость материала еще не
нарушается. При еще больших нагрузках наступает разрушение.
Область упругих деформаций обычно очень незначительна (например,
для стали пределу упругости соответствует значение  порядка 0,001).
В отличие от растяжения и сжатия деформация сдвига вызывается
касательными напряжениями 
F||
 
где F|| – сила, параллельная
S
,
(16.6)
поверхности твердого тела, которая
вызывает сдвиг.
При малых деформациях закон Гука в этом случае имеет вид,
аналогичный (16.5):
  G ,
(16.7)
где G – коэффициент пропорциональности между напряжением сдвига
 и углом сдвига  - называется модулем сдвига.
Итак, упругие свойства деформируемого упругого тела характеризуются
двумя основными модулями упругости – модулем Юнга и модулем сдвига G .
Еще одна упругая константа – коэффициент Пуассона  . В изотропных
твердых телах (у таких тел свойства одинаковы во всех направлениях) эти три
константы E , G и  не являются независимыми, а связаны между собой
соотношением
G
E
2  1   
(16.8)
Из (16.8), кстати, следует, что G  E в твердых телах.
Экспериментальная часть
В работе определяется модуль упругости предложенных образцов и
проверяется зависимость деформации от нагрузки.
Используется установка, которая показана на рис. 16.2.
119
Рис. 16.2.
Изгиб представляет собой более сложный вид деформации, чем
деформация растяжения или сжатия, так как заключает в себе одновременно и
растяжение, и сжатие. Различные слои образца при изгибе несут неодинаковую
нагрузку. В большинстве случаев испытания на изгиб проводятся
сосредоточенной нагрузкой на образец, лежащий на двух опорах. Образцы
изготовляют обычно в виде стержней прямоугольного сечения. Длина образца
на 40-60 мм больше, чем расстояние между опорами. Ширина образца должна
быть вдвое больше его толщины.
На исследуемый образец надевается подвеска для грузов, а образец
кладется на острые металлические опоры. Подвеска с грузами находится на
одинаковом расстоянии от точек опоры стержня. Стрела прогиба h образца
измеряется индикатором часового типа.
Если к середине стержня (рис. 16.2), опирающегося концами на
неподвижные опоры, приложить вертикальную силу, направленную
перпендикулярно оси стержня, то будет наблюдаться деформация изгиба (на
рис. 16.2 деформации представлены не в масштабе). Нижние слои стержня при
этом испытывают деформацию растяжения, верхние - деформацию сжатия, а
средний слой, длина которого не изменяется, нагрузок не несет и называется
нейтральным. При так называемом чистом изгибе напряжения, которые
испытывают слои материала при деформации, имеют прямую зависимость от
их деформации: сжатию соответствуют отрицательные напряжения,
растяжению - положительные.
Величина прогиба при этом оказывается обратно пропорциональной
модулю Юнга E . Вывод формулы для модуля Юнга по этому методу
относительно сложен. Окночательно формула имеет вид:
Fl 3
mgl 3
E=

,
4hab3 4hab3
(16.9)
120
где: F – приложенная к образцу сила, F  mg ;
l – длина образца между опорами;
h – стрела прогиба образца;
a – ширина образца;
b – толщина образца.
Лабораторная установка
Схема установки
представлена на рис. 16.3.
для
определения
модуля
Юнга
по
прогибу
Рис. 16.3
На основании 1 закреплена массивная направляющая 2. По ней могут
перемещаться стойки 3 и кронштейн 4, зажимаемые в необходимом положении
винтами 5 (вручную). Стойки вверху оканчиваются призмами 6, на
параллельные острия которых устанавливается измеряемый образец 7. В гнезде
8 кронштейна зажимается вручную винтом 9 индикатор перемещения 10. На
образце напротив индикатора подвешена серьга 11 с платформой для
специальных (с прорезью) гирь 12. При нагружении платформы гирями образец
прогибается. Стрела прогиба 13 регистрируется перемещением стрелки
индикатора.
Методика измерений
1. Ослабив винты 5, установите призмы 6 на заданное (преподавателем)
расстояние. Закрепите винты.
2. Установите кронштейн 4 на одинаковом расстоянии от стоек. Закрепите
винты.
121
3. Расположите образец на призмах так, чтобы гнездо индикатора находилось
над средней частью по ширине образца.
4. Вставьте индикатор в гнездо, осторожно утопив его так, чтобы стрелка
малой шкалы оказалась около метки 5 мм. Аккуратно зажмите индикатор
винтом 9.
5. Измерьте штангенциркулем толщину b и ширину a образца. Измерьте
линейкой расстояние между ребрами призм l. Установите поворотом кольца
нуль на индикаторе.
6. Аккуратно поставьте на платформу гирю. Запишите (по красной шкале)
показания индикатора.
7. Снимите с платформы гирю. Если стрелка сместилась с нулевой отметки,
установить нуль. Повторите для контроля несколько раз измерения с тем же
грузом.
8. Проведите аналогично п.7 измерение прогиба с гирями большей массы
(массы брать около 1,2,3,4,5 кг).
9. Результаты занести в таблицу предложенной формы 16.1.
Форма 16.1.
a=
м
b=
м
l=
м
Масса гири m, кг
Показания индикатора n, дел
Сила F, Н
Стрела прогиба h, м
Модуль Юнга E, Н/м2
10. Рассчитайте модуль Юнга при каждом измерении и усредните результат.
11. Рассчитайте ошибку определения модуля Юнга E (достаточно рассчитать
для одного опыта).
12. Значения модуля Юнга, совпадающие с учетом ошибки E друг с другом,
т.е. не выходящие за границы значений (Ecp+ E) и (Ecp - E), позволяют
определить истинное (среднее) значение модуля Юнга.
13. С учетом п.12 определить среднее значение модуля Юнга.
14. Ошибка модуля Юнга E определяется из рабочей формулы (16.9) как
сумма частных ошибок всех величин, входящих в выражение :
E 
2
2
2
2
( Em )  ( El )  ( Eh )  ( Ea )  ( Eb )
2
, где
122
E
Em 
m
E
Eh 
Eb 
h
E
b
m 
gl
3
4 hab
h 
mgl
 h ;
2
3mgl
4 hab
El 
E
l
3
4 h ab
b 
3
 m ;
3
Ea 
l 
3mgl
4 hab
E
a
2
3
 l ;
mgl
a 
3
2 3
 a;
4 ha b
3
4
 b.
Контрольные вопросы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Что такое модуль Юнга?
Что такое абсолютное и относительное удлинение образца?
Что такое механическое напряжение?
Что такое коэффициент Пуассона?
Что такое абсолютное и относительное поперечное сжатие?
Какие из перечисленных характеристик относятся к материалу?
Какие из перечисленных характеристик относятся к образцу ?
Закон Гука и его физический смысл.
Кривая зависимости  и ее характерные точки и участки.
Деформация сдвига, иллюстрация пластических деформаций.
В чем состоит суть данного метода измерения Е?
Зависит ли модуль Юнга от нагрузки и стрелы прогиба?
Чем отличается деформация прогиба от деформации растяжения?
Напишите формулу для модуля Юнга по прогибу.
Используемая литература
[1] §14; [7] §21; [4] §48.
123
Лабораторная работа 1-17 “Изучение упругой деформации растяжения”
Цель работы: определить коэффициент упругости, модуль Юнга и
коэффициент Пуассона для образца резины и проверить применимость для
этого образца закона Гука.
Теоретическое введение
Жидкости сопротивляются изменению их объема, но не сопротивляются
изменению формы. С этим свойством связан характерный для жидкостей закон
Паскаля: передаваемое жидкостью во все стороны давление одинаково.
Твердые же тела сопротивляются как изменению объема, так и
изменению
формы;
они
сопротивляются,
как
говорят,
любому
деформированию. Для твердых тел не справедлив закон Паскаля. Передаваемое
твердым телом давление различно в разных направлениях. Давления,
возникающие в твердом теле при его деформировании, называются
напряжениями. В отличие от давления в жидкости, упругие напряжения в
твердом теле могут иметь любые направления по отношению к площадке, на
которую действуют силы. Но при всем разнообразии деформации твердых тел
оказывается возможным любую деформацию тела свести к двум основным
типам, которые поэтому называют элементарными деформациями. Ими
являются растяжение (сжатие) и сдвиг.
Так что, введя физические величины, характеризующие деформацию
растяжения и сдвига, можно затем с помощью этих же величин характеризовать
и другие типы деформаций (изгиб, кручение, …).
В данной работе изучаются
величины, характеризующие упругую
d0
деформацию растяжения. Пусть на
d

l
l0
цилиндр первоначальной длины l0 и
диаметра
d0
действует
растягивающая сила F (рис. 17.1).
При этом образец увеличивает свою
длину на l  l  l0 , l – абсолютное
F
Рис. 17.1
удлинение.Величину

l
l0
(17.1)
124
называют относительным удлинением (деформацией).
При растяжении   0 , при сжатии   0 . При однородном растяжении
величина  во всех точках тела одинакова.
Отношение силы F к величине сечения S на которое она действует,
называется напряжением  в данном сечении:  
F
.
S
Опыт показывает, что при малых деформациях, при малых
относительных удлинениях  для цилиндров разного сечения S и длины l , но
сделанных из одного и того же материала, напряжения пропорциональны
деформации:
(17.2)
  E ,
где E – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств
материала цилиндра, но не зависящей от его размеров. Он называется модулем
упругости или модулем Юнга данного материала.
Если деформации тела достаточны малы, то по прекращению действия
вызвавших деформацию внешних сил F тело возвращается в исходное
недеформированное состояние. Такие деформации называются упругими.
Соотношение (17.2) называют законом Гука. Модуль Юнга, однако, еще
не характеризует полностью упругие свойства тела. Это видно и из рисунка
17.1. – продольное растяжение цилиндра связано с сокращением его
поперечных размеров: удлиняясь, цилиндр одновременно становится более
тонким. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное
сжатие
 
d
d0
(17.3)
где d  d   d0 – абсолютное поперечное сжатие. При растяжении    0 ,
при сжатии    0 .
Очевидно, что величина   также пропорциональна растягивающему
напряжению  , и тем самым она пропорциональна и величине относительного
удлинения  . Вводится соотношение

Величина


.

(17.4)
называется коэффициентом Пуассона. Коэффициент
Пуассона  , как и модуль Юнга E , не зависит от размеров тела и является
константой, характеризующей свойства вещества.
Можно показать из общих требований механической устойчивости
125
твердого тела, что значение коэффициента Пуассона меняется в пределах от 0
до ½. Значение   0 достигается у пористых тел (например, у пробки), не
меняющих при растяжении своих поперечных размеров. Близкие к ½ значения
 достигаются у таких тел, как резина, которые значительно легче поддаются
изменению своей формы, чем изменению своего объема.
Таким образом, упругие свойства твердого тела характеризуются двумя
величинами: E и  .
Отметим, что в наших рассуждениях мы подразумеваем, что твердое
вещество изотропно – свойства его одинаковы во всех направлениях. Упругие
свойства анизотропных тел – монокристаллов – характеризуются большим
числом упругих постоянных (не 2, а 21 – в самом общем случае).
Упругие деформации, по определению, исчезают после снятия
вызывающих их напряжений (абсолютно упругое тело). Конечно, реальные
твердые тела вовсе не обладают этой способностью в полной мере. Только пока
деформации тела не превосходят известных пределов, оно восстанавливает
свою форму, и то лишь с известной степенью точности. Этот предел, до
которого реальные тела ведут себя приблизительно как абсолютно тела
упругие, называется пределом упругости. Различные тела обладают различным
пределом упругости, но для всех тел существует предел, после которого тело
уже не возвращается к исходному состоянию и сохраняет в заметной степени
измененную форму. Такие деформации называются остаточными или
пластическими.
Рассматривать тела как абсолютно упругие имеет смысл только при
условии, что деформации тел заведомо не достигают предела упругости. При
малых и медленных деформациях многие
реальные твердые тела можно считать
абсолютно упругими. Вопрос о том, как
малы
и
медленны
должны
быть
деформации, чтобы данное реальное тело
можно было рассматривать как абсолютно
упругое, должен быть решен на опыте
путем изучения поведения тел при
различных величинах деформаций.
Рис. 17.2
Для
этой
цели
применяются
специальные машины, в которых образцы испытуемого материала
подвергаются различным деформациям. Результаты испытаний материалов
126
представляют в виде графиков, изображающих связь между деформациями
образца и напряжениями (силами), в нем возникающими (рис.17.2). Как видно
из рисунка 17.2, при малых деформациях  ~  . Наличие этой
пропорциональности называют законом Гука. Эта область называется также
“областью пропорциональности”. Далее напряжения растут медленнее, чем
деформации. В этой области и лежит предел упругости тела. Точного
определения предела упругости дать вообще невозможно, так как малые
остаточные деформации наблюдаются всегда. Пределом упругости считаются
такие деформации, после которых остаточные деформации достигают
некоторой определенной условно выбранной доли (например, 0,001%) от той
наибольшей деформации, которой подвергается образец. Предел упругости  у
лежит обычно близко за пределом пропорциональности  п . Дальше начинается
область текучести. Под действием напряжения, равного пределу текучести  т ,
тело непрерывно увеличивает свою деформацию, оно будет течь как жидкость.
При еще больших деформациях наступает разрушение.
Область упругих деформаций в большинстве применяемых на практике
материалов очень незначительна (например, для стали пределу упругости
соответствует значение   0,01 ). Поэтому наибольшие деформации, которые
может выдержать данный материал без разрушения, определяются главным
образом величиной области текучести. Материалы, для которых эта область
мала, способны выдерживать без разрушения только малые деформации – это
хрупкие материалы. Те же, которые способны без разрушения выдерживать
большие деформации – вязкие материалы. Например, чугун и сталь имеют
примерно одинаковую область упругих деформаций и примерно одинаково
ведут себя в этой области – они в одинаковой степени упругие. Но область
текучести у чугуна гораздо меньше, чем у стали, поэтому он гораздо более
хрупок.
Экспериментальная часть
Оборудование и принадлежноси: лабораторная установка, набор грузов (гирь).
Лабораторная установка
Установка для измерения
схематически показана на рис. 17.3.
Исследуемый образец (резиновая трубка) 1 имеет на концах металлические
127
Рис. 17.3.
зажимы 2. Верхний зажим закреплен неподвижно к штативу, к нижнему
зажиму подвешена платформа 3 для размещения гирь 4. Параллельно образцу
закреплена линейка 5, нулевое деление которой совпадает с верхним концом
образца. (За концы образца можно принимать внутренние концы зажимов). По
нижней части линейки отмечается первоначальная длина (ненагруженного)
образца. На шкале линейки 5 находится стрелка 6, основание которой
закреплено на нижнем зажиме. При растяжении образца стрелка перемещается
на величину абсолютного удлинения.
В нашем опыте роль внешней силы F играет сила тяжести F  mg . Из
определения напряжения  
F
l
, закона Гука   E 
для цилиндрического
S
l
образца диаметром d , искомое соотношение для модуля Юнга имеет вид:
E
F l
4mgl

 2
S l d l .
(17.5)
Методика измерения
1. При свободной от гирь платформе по шкале линейки найдите длину
образца l и начальное положение стрелки l0 . Положение стрелки отмечают с
точностью 0,5 мм.
2. Ставьте на платформу грузы парами (симметрично подвесу во избежание
перекоса). Каждый раз отмечайте показания стрелки удлинения l .
3. Результаты измерений занесите в таблицу по предложенной форме 17.1.
4. При максимальной нагрузке штангенциркулем измерьте диаметр образца.
(Следите, чтобы штангенциркуль не зажимал резину, а лишь только касался ее
поверхности). Так же измерьте начальный диаметр (ненагруженного образца).
5. Для проверки применимости закона Гука постройте графики зависимости
128
модуля Юнга E от напряжений  .
6. Рассчитайте ошибку определения модуля Юнга E (достаточно рассчитать
для одного опыта).
7. Значения модуля Юнга, совпадающие с учетом ошибки E друг с другом,
т.е. не выходящие за границы значений Eср  E и Eср  E , позволяют
определить истинное (среднее) значение модуля Юнга.
8. С учетом п.7 определить среднее значение модуля Юнга.
9. Используя те же значения, что и в п. 8, определить среднее значение
коэффициента Пуассона.
10. Ошибка модуля Юнга E определяется из рабочей формулы (17. 5) как
сумма частных ошибок всех величин, входящих в выражение :
E 
E m 
E d 
E
m
E
d
m 
d 
( E m )
4 gl
2
d l
8mgl
3
d l
2
 ( E )
l
2
 ( E d )
 m ; E l 
 d ;
E
l
E l 
2
l 
E
 ( l )
 ( E l )
4 mg
2
d l
2
, где
 l ;
 ( l ) 
4 mgl
2
d ( l )
2
  ( l );
 m , l , d ,  l  - абсолютные погрешности определения соответствующих
величин.
Измеряемая
рассчитываемая
величина
Масса груза m, кг
l , мм
 l  l'  l0 , мм
d , мм
d  d  dисх
F mg,
 F

S
l
l
,
н
Н
м2
, мм
Форма 17.1
и Ненагруженный 1-й груз 2-й груз 3-й груз 4-й груз 5-й груз
образец
0
129
E


 Н
,
 м2
 d

d


Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Что такое коэффициент упругости, модуль Юнга?
Что такое абсолютное и относительное удлинение образца?
Что такое механическое напряжение?
Что такое коэффициент Пуассона?
Что такое абсолютное и относительное поперечное сжатие?
Какие из перечисленных характеристик относятся к материалу?
Какие из перечисленных характеристик относятся к образцу?
Закон Гука и его физический смысл.
Кривая зависимости    и ее характерные точки и участки.
Деформация сдвига, иллюстрация пластических деформаций.
В чем состоит суть данного метода измерения E ?
Размерность E и 
Порядок величин E для различных твердых тел
Учитывается ли в опыте масса самого стержня?
15. Почему мы не определяем величины  и   для сталей?
Используемая литература
[1] §14; [7] §21; [4] §48.
130
Лабораторная работа 1-18 “Изучение свободных колебаний пружинного
маятника”
Цель работы: Определение жесткости пружины, определение периода
свободных затухающих колебаний, логарифмического декремента затухания,
коэффициента затухания.
Теоретическое введение
Колебаниями называются процессы (движения или изменения
состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости
от физической природы колебательного процесса различают механические
колебания (колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, давления
воздуха), электромагнитные (переменный ток в цепи, колебания
напряженностей электрического и магнитного полей) и др.
Однако
математическое описание колебаний различной физической природы
практически одинаково.
Механическим колебательным движением называется процесс, при
котором система (материальная точка, тело, система тел), многократно
отклоняясь от положения равновесия, вновь возвращается к нему. Колебания
называются периодическими, если система приходит в положение равновесия
через равные промежутки времени. Время одного полного колебания
называется периодом.
Свободными (собственными) колебаниями называются колебания,
которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на
колебательную систему и возникают вследствие начального отклонения этой
системы от состояния равновесия.
Гармоническими называются колебания, при которых колеблющаяся
величина х изменяется со временем по закону синуса или косинуса:
x  A cos0t  0  ,
(18.1)
здесь A – амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся
величины х),   0t  0  – фаза колебаний,  0 – начальная фаза, ω0 – круговая
(циклическая) частота собственных
колебаний Т соотношением:
колебаний,
0  2 
2
,
T
связанная
с
периодом
(18.2)
ν – частота собственных колебаний (число полных колебаний в единицу
131
времени,  
N
).
t
Для механических колебаний х имеет смысл смещения тела
(материальной точки) из положения равновесия. Найдем скорость v и
ускорение a колеблющегося тела:
dx
  A0 sin 0t  0  ;
dt
(18.3)
d v d 2x
 2  02 A cos0t  0   02 x .
dt
dt
(18.4)
v
a
Из (18.4) получаем дифференциальное уравнение гармонических
колебаний:
d 2x
 02 x  0 .
2
dt
(18.5)
Из (18.5) следует, что если вторая производная по времени какой-либо
физической величины (например, смещения) пропорциональна самой величине
с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со
временем по гармоническому закону.
Колебательная система будет совершать свободные колебания, если её
вывести из положения равновесия и предоставить самой себе. Со свойствами
свободных колебаний можно ознакомиться на примере пружинного маятника.
Его основными частями являются груз массой m и пружина с коэффициентом
жёсткости k (рис.18.1).
Рис.18.1
Маятник совершает колебания около положения равновесия, двигаясь
возвратно-поступательно.
В положении равновесия сила тяжести уравновешивается упругой
силой:
132
mg  kl0
(18.6)
где l0 – удлинение пружины под действием груза.
Смещение груза из положения равновесия будет характеризоваться
координатой x, причем ось x направлена по вертикали вниз, а нуль оси
совместим с положением равновесия. При смещении груза из положения
равновесия на расстояние, равное x, удлинение пружины станет равным (l0+x),
тогда полная сила, вызывающая колебания маятника и возвращающая его к
положению равновесия, примет значение
(18.7)
F  mg  k l0  x  .
Учитывая условие равновесия (18.6), получим
(18.8)
F  kx .
При малых деформациях эта сила описывает закон Гука. Выведем

уравнение движения маятника на основе второго закона Ньютона: a 

F
 i
i
m
.В
проекциях на ось х получим:
ma  kx ,
(18.9)
x   02 x  0
(18.10)
или
где x  a 
2
k
d x
– ускорение, 02  .
2
m
dt
Выражение (18.10) совпадает с (18.5), это – дифференциальное
уравнение гармонических незатухающих колебаний, а его решение имеет вид:
x  A0 cos 0 t   0 
,
(18.11)
где A0 – амплитуда колебаний, φ0 - начальная фаза, ω0 – круговая
частота:
0 
Так как 0 
k
.
m
(18.12)
2
, то период колебаний
T0
T0  2
m
.
k
(18.13)
Опыт показывает, что свободные колебания пружинного маятника
затухают – амплитуда колебаний груза со временем уменьшается. Причиной
затухания колебаний в пружинном маятнике является сила сопротивления
среды и связанная с этой силой диссипация энергии – превращение
133
механической энергии колебаний во внутреннюю. Силу сопротивления среды
при малых скоростях можно считать пропорциональной скорости движения, а
направление её противоположно скорости:
(18.14)
Fc  rx ,
здесь r – коэффициент сопротивления среды, x   
dx
dt
– скорость
движения груза.
В таком случае на маятник действуют две силы – упругая сила (18.8) и
сила сопротивления (18.14). По второму закону Ньютона: ma  kx  rx ; с учетом
того, что a  x , получим дифференциальное уравнение свободных затухающих
колебаний:
r
k
x  x  0 ,
m
m
(18.15)
x  2 x   0 x  0 .
(18.15’)
x 
или
2
Здесь приняты следующие обозначения:
r
,
m
k
02  ,
m
2 
(18.16)
(18.17)
где β – коэффициент затухания, 0 – циклическая частота собственных
колебаний, то есть колебаний системы, если бы затухания не было.
Решением дифференциального уравнения (18.15) при условии малости
затухания (то есть если β < ω0) является функция
x  A0 e t cos t   0 
,
(18.18)
в чем можно убедиться путем подстановки (18.18) в (18.15),
предварительно найдя производные. При этом будет получено и выражение для
круговой частоты затухающих колебаний:
   02   2
.
(18.19)
График функции (18.18) приведен на рис.18.2.
Если затухание велико (β > ω0), движение системы не имеет
колебательного характера и будет апериодическим (рис.18.3). Этот случай в
дальнейшем рассматриваться не будет.
134
x(t)
A(t)=A0e-βt
Рис.18.2
x(t)
Рис.18.3
Период затухающих колебаний найдем из (18.19):
T 
2


2
02   2
.
(18.20)
Таким образом, если на тело, кроме силы упругости, действует сила
сопротивления среды, то тело будет совершать колебательное (но не
гармоническое) движение с частотой, зависящей от массы тела m, жесткости
пружины k и коэффициента затухания β, характеризующего силу
сопротивления среды. При этом частота ω затухающих колебаний оказывается
меньше частоты 0 собственных незатухающих колебаний из-за действия
тормозящей силы сопротивления. Амплитуда колебаний будет с течением
времени уменьшаться по экспоненциальному закону:
At   A0e  t ,
(18.21)
здесь A0 – начальная амплитуда колебаний.
Отношение значений амплитуд затухающих колебаний в моменты
времени t и (t+T) называется декрементом затухания:
A0 exp(  t )
A(t )

 exp T 
A(t  T ) A0 exp   (t  T ) 
,
135
а логарифм декремента
декрементом затухания:
  ln
затухания
называется
логарифмическим
 
A(t )
 ln e T  T
A(t  T )
,
(18.22)
Или иначе: логарифмический декремент затухания – это натуральный
логарифм отношения амплитуд двух следующих друг за другом колебаний:
  ln
An
An1 ,
(18.23)
где колебания с номерами n и (n+1) отстоят друг от друга по времени на
один период. Если два колебания отстоят друг от друга по времени на N
периодов (t=NT), то отношение их амплитуд:
An
A0 exp(  t )
A(t )


 exp NT 
An N A(t  NT ) A0 exp   (t  NT )
,
откуда следует, что коэффициент затухания
A
ln  0
A
   N
NT


,
(18.24)
здесь предположили для удобства, что n  0 .
Промежуток времени  , в течение которого амплитуда затухающих
колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации. Из (18.21)
можно получить, что

1
.
Еще одна важная физическая величина характеризует затухание
колебаний – добротность:
Q

.
(18.25)
Можно показать, что добротность обратно пропорциональна
относительной убыли энергии колебаний за время, равное одному периоду:
Q  2
E (t )
E (t )  E (t  T ) .
(18.26)
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: пружина, подвеска, набор грузов, линейка,
секундомер.
136
Описание установки
Схема лабораторной установки изображена на
рис. 18.4. К штативу 1 прикреплены пружина с
подвеской 2 и кронштейн 3 с линейкой 4, которая
служит для измерения величины смещения груза В от
положения равновесия.
Порядок выполнения работы.
Упражнение
1.
Определение
жесткости
пружины.
Измерения.
1. Заметить по шкале линейки и записать начальное
положение подвески l 0 .
2. Положить на подвеску дополнительный груз m,
Рис. 18.1
записать новое положение l подвески.
3. Повторить опыт с другими добавочными грузами.
Все результаты занести в таблицу по форме 18.1.
Обработка результатов измерений.
1. Определить удлинение пружины
(18.27)
l  l  l0 .
2. Вычислить силы упругости
F  mg .
(18.28)
3. Вычислить жесткость пружины в каждом опыте по формуле:
k
mg
,
l
(18.29)
4. Рассчитать среднее значение kср. и погрешность Δk по формулам
(18.30) и (18.31). Здесь ki – значение жесткости, полученное в i-том
опыте, n – число опытов, tn,α – коэффициент Стьюдента
(рекомендуется
взять
коэффициент
для
доверительной
вероятности α=0.95, см. табл.1), Δki=|ki–kср.| –
абсолютная
погрешность, полученная в i-том опыте. Все данные занести в
табл.18.1.
n
kср 
k
in
n
i
,
(18.30)
137
n
k  tn ,
 k 
i 1
2
i
nn  1
.
(18.31)
Рекомендуется обработать те же результаты измерений графически.
Метод графической обработки результатов.
Из (18.27) и (18.29) получаем:
l  l 0  l  l 0 
mg
g
 l0  m
k
k .
(18.32)
Таким образом, зависимость l=f(m) линейна и график её представляет
собой прямую, тангенс угла наклона которой γ к оси абсцисс (m) равен
коэффициенту при m: tgγ=g/k, или
k=gctg γ.
(18.33)
Для графической обработки результатов:
11.Построить график зависимости l=f(m). При большом разбросе
экспериментальных точек нужно провести прямую линию так, чтобы
сверху и снизу графика было одинаковое число точек.
12.Определить котангенс угла наклона γ графика к оси m.
13.Вычислить жесткость по формуле (18.33), результаты записать в
табл.18.1.
14.Сравнить значение, полученное по формуле (18.33), с kср .
№ l0,
м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
кг
mg, l, Δl=l–l0,
Н
м м
k,
kср Δki (Δki)2
Н/м Н/м Н/м
Таблица 18.1.
Δk ctg γ, k=gctg γ,
Н/м кг/м Н/м
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Упражнение 2. Определение периода свободных затухающих колебаний.
138
Измерения
1. Положить на подвеску груз массой mгруза =0.5÷0.7 кг. Записать в
табл.18.2 суммарную массу подвески и дополнительного
груза
m=mподвески+mгруза.
2. Зафиксировать и записать в табл.18.2 величину l0 – положение
равновесия нагруженного маятника.
3. Задать величину A0 – начальную амплитуду (А0=0.04÷0.10 м). Это
определит величину lнач  l0  A0 – начальную отметку на шкале, от которой
оттянутый вниз от положения равновесия маятник начнет свободные
колебания.
4. Приготовить секундомер к работе, оттянуть маятник вниз до
положения lнач. Отпустить маятник вместе с пуском секундомера и отсчитать
N=100 полных колебаний (считать число полных колебаний по моментам
возвращения маятника в нижнее положение максимального отклонения).
5. При счете «100» ОДНОВРЕМЕННО провести отсчет l – положения
шкалы, до которого опустится груз и t – времени ста полных колебаний, НЕ
ОСТАНАВЛИВАЯ СЕКУНДОМЕР и не прекращая отсчета числа колебаний.
(Если одновременные измерения времени и амплитуды затруднительны,
провести две серии опытов: одна – только для измерения времени, вторая –
только амплитуды.)
6. Продолжить наблюдения и произвести те же измерения l и t для числа
колебаний N=200,…700. Все результаты записать в таблицу 18.2.
Обработка результатов измерений.
1. Вычислить амплитуду колебаний на N-ном (N=100,…700) колебании:
AN  l  l0 .
2. Вычислить период колебаний: T  t / N для N  100,...700 .
n
3. Найти средний период и его погрешность по формулам: Tср 
n
T  t n,
 Ti
i 1
n
,
 T 
i 1
2
i
n(n  1) ,
где ΔTi=|Ti–Tср.|, tn , – коэффициент Стьюдента для доверительной
вероятности α=0.95.
4. Вычислить циклическую частоту:  
2
и ее погрешность  .
Tср
139
A
ln  0
A
5. Вычислить коэффициент затухания по формуле (18.24):    N
NT


 и
его погрешность  .
6. Вычислить логарифмический декремент затухания λ:
  t ,
(18.34)
и его погрешность.
Примечание: погрешности Δω, Δβ и Δλ рассчитать по стандартным
формулам для расчета погрешностей при косвенных измерениях. Например,
2
2
 
  
  

  
A0   
AN   
T 
 ,
 A0
  AN
  T
2
где A0 и AN – погрешности амплитуды колебаний – принять равными
A
ln  0
A


1

1
   N2


1 мм;
;
;
NT
NTAN T
A0 NTA0 AN


.
7. Вычислить теоретическую величину периода колебаний Tтеор  2
m
kср
и сравнить с экспериментальным средним значением.
8. Записать кинематическое уравнение свободных (затухающих)
колебаний для исследуемого пружинного маятника. Для этого в уравнение
(18.18) подставить соответствующие числовые значения A0 ,  ,  из табл.18.2 и
18.3. Сделать выводы.
№
m l0 А0 N
l
АN t
T
Tср
ΔTi
(ΔTi)2
Таблица 18.2.
2
n
ΔT
 T 
i 1
1
2
3
4
5
6
7
100
200
300
400
500
600
700
i
140
ω
Δω
β
Δβ
λ
Δλ
Тср.
Таблица 18.3.
Ттеор.
Контрольные вопросы.
1. Что называют свободными или собственными колебаниями?
2. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение
периода колебаний, частоты. Получите выражения для скорости и ускорения
при механических гармонических колебаниях.
3. Сформулируйте закон Гука и укажите область его применимости.
4. Что такое жесткость пружины? От чего она зависит?
5. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний
пружинного маятника и запишите его решение.
6. То же для затухающих колебаний; доказать формулы (18.18) и (18.19).
Нарисуйте зависимость x(t) для затухающих колебаний.
7. Как изменятся амплитуда и период затухающих колебаний по сравнению с
незатухающими гармоническими колебаниями?
8. Что такое коэффициент затухания? Запишите уравнение, выражающее
закон убывания амплитуды затухающих колебаний, нарисуйте зависимость
A(t).
9. Дайте определение логарифмического декремента затухания, докажите
формулу (18.34).
10. Что такое добротность? Как она связана с уменьшением энергии
колебаний? Используя (18.26), докажите (18.25) при условии малости затухания
(β << ω0).
Используемая литература.
[5] §19.1, 19.2, 19.6; [3] §27.1, 27.2, 28.1; [1] §52-54; 58. [6] §3.3; 3.6, 3.7, 3.
141
Лабораторная работа 1-19 “Изучение колебаний физического маятника”
Цель работы: изучение зависимости периода колебаний от параметров
маятников и измерение ускорения свободного падения.
Теоретическое введение
Колебательным движением называется процесс, при котором система,
многократно отклоняясь от положения равновесия, каждый раз вновь
возвращается к нему.
Существует общность закономерностей большого разнообразия
колебательных процессов, поэтому все они могут быть сведены к совокупности
простейших колебаний – гармонических.
Гармоническим колебательным движением
называется такое
колебательное движение, при котором колеблющаяся величина изменяется с
течением времени по закону синуса или косинуса. Основные характеристики
колебательных процессов можно рассмотреть на примере механических
колебаний материальной точки.
Представим себе материальную
y
точку М, равномерно вращающуюся по
окружности радиуса А с угловой
скоростью ω (рис.19.1). Тогда точка Мх –
проекция точки М на ось х – будет
A
совершать периодические колебания
φ
вдоль оси х. Смещение колеблющейся
точки от положения равновесия вдоль
оси х определяется по закону:
x  A cost   0  ,
(19.1)
где А – амплитуда колебаний
(абсолютное значение максимального
смещения),   t   0  – фаза колебаний,
которая определяет угловое смещение
Рис.19.1
точки М в любой момент времени, α0 –
начальная
фаза,
–
круговая

(циклическая) частота, равная
  2 
2
,
T
(19.2)
где ν – частота колебаний (число полных колебаний в единицу времени,
 
N
, здесь N – число колебаний за время t), T – период колебаний (время
t
совершения одного полного колебания). Выражение (19.1) – кинематическое
уравнение гармонического колебательного движения.
142
Скорость
колеблющейся

продифференцировав (19.1) по времени:
материальной
  x  A sin t   0  .
точки
получим,
(19.3)
Продифференцировав (19.3), получим ускорение а:
a  x   2 A cost   0  .
(19.4)
Учитывая (19.1), будем иметь: a  x   2 x , или:
x   2 x  0 .
(19.5)
Выражение (19.5) описывает гармонические колебания величины x и
называется дифференциальным уравнением гармонического осциллятора. Его
решением является гармоническая функция (19.1). Если вторая производная по
времени какой-либо физической величины (не обязательно смещения!)
пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная
физическая величина изменяется
со временем по гармоническому
закону.
Любое тело (рис. 19.2),
подвешенное в поле силы тяжести
так, что точка подвеса О не
совпадает с центром тяжести С,
называется
физическим
маятником. Пусть
отклонение
маятника
от
положения
равновесия
характеризуется
углом
φ. При отклонении
маятника
от
положения
равновесия возникает
вращающий

момент силы M , стремящийся
вернуть маятник в положение
Рис.19.2
равновесия.
Его
величина
.
М=mgl sin, где m – масса
маятника; l – расстояние от центра тяжести маятника до точки подвеса, d=l.sin
– плечо силы тяжести (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси
вращения).


Направления вращающего момента M и углового перемещения 
противоположны (момент силы возвращает маятник к положению равновесия),
поэтому
M=– mgl.sin.
(19.6)
По второму закону Ньютона для вращательного движения маятника:
(19.7)
M  I ,
где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через
точку подвеса;  – угловое ускорение маятника, равное второй производной
угла поворота:     .
143
Из уравнений (19.6) и (19.7) имеем:
I   mgl sin   0 ,
или
  
mgl
sin   0 .
I
(19.8)
При малых углах sin    , и уравнение (19.8) будет иметь вид:
  
mgl
  0.
I
(19.9)
Сравнивая (19.9) и (19.5), устанавливаем, что  изменяется по
гармоническому закону с круговой частотой ω, причем
2 
mg
,
I
(19.10)
а период колебаний маятника
T
2

 2
I
.
mg
(19.11)
Если вся масса маятника сосредоточена в одной точке
(например, шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой
нити), то такой маятник называют математическим (рис.19.3).
В других случаях маятник называют физическим.
Приведенной
длиной
физического
маятника
Рис.19.3
называется длина такого математического маятника, который
имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник:
T  2
lпр.
I
 2
.
mg
g
(19.12)
Для математического маятника момент инерции рассчитывается как для
материальной точки: I  ml 2 , поэтому период его колебаний равен:
T  2
m 2

 2
.
mg
g
(19.13)
В лабораторной работе используется физический маятник в виде кольца
(рис.19.4) или в виде однородного тонкого
стержня (рис.19.5). Момент инерции
маятника относительно точки подвеса О
можно найти по теореме Штейнера:
момент инерции тела относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции
тела
относительно
оси,
проходящей через центр масс параллельно
данной оси, и произведения массы тела на
квадрат расстояния между осями. Для
кольца получим:
I o  I c  mr 2 .
(19.14)
Здесь I o – момент инерции
Рис.19.4
144
маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса O, IC – момент
инерции относительно оси, проходящей через центр масс – точку C, r –
расстояние между осями. Момент инерции полого (толстостенного) цилиндра
или кольца массой m с внутренним радиусом r и наружным R относительно
оси, проходящей через центр масс, равен:
1
2
IC= m(R2+r2),
(19.15)
Тогда из (19.14) и (19.15) получаем:
1
2
1
2
1
8
IO= m(R2+r2)+mr2= m(R2+3r2) = m(D2+3d2),
(19.16)
где D  2 R и d  2r – внешний и внутренний диаметры диска
соответственно. Из формулы (19.11) выразим ускорение свободного падения с
учетом, что l=r=d/2, и из (19.16) подставим момент инерции:
g
и окончательно:
4 2 I
8 2 m( D 2  3d 2 )



,
T 2 m d T 2 md
8
2
g
 2 D 2  3d 2
T2

d
.
(19.17)
Для стержня по теореме Штейнера получим:
I  I c  ml 2 ,
O
lпр. l
C
L
O1
(19.18)
где I – момент инерции
стержня относительно
точки
подвеса (не совпадающей с
центром масс!), l – расстояние
между центром масс (центром
стержня) и точкой подвеса (длина
физического маятника), IC –
момент
инерции
стержня
относительно центра масс:
mL2
IC 
,
12
(19.19)
где L – длина стержня, m –
его масса.
Можно показать, что для
Рис.19.5
любого маятника приведенная
длина lпр. больше, чем расстояние
l от центра масс до точки подвеса (длины физического маятника): из (19.12) и
(19.18) следует, что
lпр. 
I
I  ml 2 I C
 C

l  l.
ml
ml
ml
Точка О1, лежащая на прямой ОС на расстоянии lпр.от точки подвеса
маятника (рис.19.5), называется центром качания маятника. Центр качания О1 и
145
точка подвеса О обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так,
чтобы его ось качания проходила через точку О1, то точка О будет совпадать с
новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и
период колебаний маятника останутся прежними. Покажем это. По теореме
Штейнера момент инерции I1 маятника относительно оси, проходящей через
точку О1, равен:
I1  I 0  ml12 .
(19.20)
Из (19.18) и (19.20) вычислим IC:
IC= I1 – ml12=I – ml2.
(19.21)
Из (19.12) выразим момент инерции маятника I 
mgl1
аналогичную формулу для I1: I1 
2
mgl
2
и запишем
. Здесь использовано условие, что частота
колебаний маятника относительно оси, проходящей через точку О1, должна
быть той же самой, что и для оси, проходящей через точку О. Подставив оба
момента инерции в (19.21) получим уравнение:
mgl1

2
 ml12 
mgl

2
 ml 2 .
Далее после преобразований:
g

2
(l1  l )  (l12  l 2 ) ,
и после сокращения на (l1–l):
g
2
 l1  l .
Но по определению приведенной длины физического маятника (19.12):
g
2
 lпр. ,
то есть
lпр. =l1+l,
что и требовалось показать.
Для физического маятника – стержня из (19.12), (19.18) и (19.19)
получим:
mL2
 ml 2
lпр.
,
T  2 12
 2
mgl
g
или:
lпр.
L2

l.
12l
Экспериментальная часть
1.
Математический маятник.
Примечание: выполнять только по заданию преподавателя.
(19.22)
146
Цель: определение ускорения свободного падения.
Оборудование: секундомер, математический маятник (шарик на нити на
штативе).
1. Ознакомиться с установкой. Определить длину математического маятника
l. Отвести маятник от положения равновесия на небольшой угол (10÷15 0) и
отпустить. Пропустив 2-3 колебания, включить секундомер и определить время
t, за которое совершится N полных колебаний (взять 50÷100 колебаний).
Вычислить период колебаний маятника по формуле (19.23):
(19.23)
T t/N .
2. Повторить опыт (можно установить другую длину маятника) не менее 3
раз. Вычислить значение ускорения свободного падения по формуле:
g
3.
4.
4 2l
.
T2
(19.24)
Рассчитать погрешности измерений.
Все результаты занести в таблицу по форме 19.1.
№
опыта
1
2
3
4
5
l,
м
Δl,
м
N
t,
с
Δt,
с
ΔTi,
с
T,
с
g,
м/с2
Tср.= Σ(ΔTi)2= gср.
ΔT=
Таблица 19.1.
Δg,
Δg/g Δg,
2
м/с
м/с2
Σ(Δgi)2=
Δg=
Примечание: Среднее значение периода Тср. рассчитывается только в
том случае, если длина маятника одна и та же во всех опытах. Ускорение
свободного падения g рассчитать один раз, исходя из среднего значения
периода. В этом случае погрешность периода рассчитывается по стандартной
методике расчета погрешностей случайной величины:
 Ti 
n
T  tn ,
2
i 1
n(n  1)
,
(19.25)
где n – число опытов, ΔTi=|Ti–Tср.| – абсолютная погрешность каждого
опыта, tn,α – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности α=0.95
Далее погрешность Δg рассчитать по стандартной формуле для расчета
погрешностей при косвенных измерениях:
147
 g   g

g   l   
T  ,
 l   T

2
2
(19.26)
Если длина маятника в опытах была неодинаковой, ускорение
свободного падения g рассчитывается в каждом опыте, затем усредняется, и его
погрешность рассчитывается как при прямых измерениях случайной величины,
то есть по формуле, аналогичной (19.25):
 gi 
n
g  tn,
2
i 1
n(n  1)
.
2, а) Физический маятник – кольцо (обруч).
Цель: определение ускорения свободного падения.
Оборудование: секундомер, физический маятник (кольцо или обруч на
штативе с опорной призмой), линейка, штангенциркуль.
1. Измерить внешний D и внутренний диаметр d диска.
2. Определить при помощи секундомера время t , за которое совершится
N полных колебаний (30-50). Вычислить период колебаний по формуле (19.23).
3. Повторить опыт не менее 3 раз (оптимально – 5).
4. Определить ускорение свободного падения по формуле (19.17),
подставив в неё среднее значение периода колебаний.
5. Подсчитать погрешность измерений:
 g
  g
  g

g  
T   
D    d  ,
 T
  D
  d

2
2
2
где производные
g
2 2 D 2  3d 2 g 2 2 D g  2 3d 2  D 2
 3 
 2  ,


,
T
D
T
d
d2
T
d d T 2
получены из (19.17).
6. Все результаты измерений и вычислений занести в таблицу по форме
19.2.
№
D, ΔD, d, Δd, N t, Δt, T,
ΔTi, (ΔTi)
опыта м м
м м
с с с
с
1
2
3
4
5
Tср.=
Σ(ΔTi)2=
2
Форма 19.2.
ΔT g,
Δg, Δg/g
2
м/с м/с2
148
2, б) Физический маятник – стержень.
Цель: определение приведенной длины физического маятника.
Оборудование: секундомер, физический маятник (стержень с опорной
призмой), штатив, линейка.
1. Измерить длину стержня L.
2. Измерить l – расстояние от точки подвеса стержня до его центра.
3. Определить при помощи секундомера время t, за которое совершится N
полных колебаний (30÷50). Вычислить период колебаний по формуле (19.23).
4. Повторить опыт 5 раз.
5. Рассчитать погрешность периода по формуле (19.25).
6. Определить экспериментальное значение приведенной длины физического
маятника, исходя из формулы (19.12) и подставив в нее среднее значение
периода колебаний:
lпр. 
7.
T2
g.
4 2
(19.25)
Рассчитать погрешность приведенной длины:
 lпр.
  lпр.

 
T   
g 
 T
  g

2
lпр.
2
8. Найти точку качания физического маятника: вычислить l1=lпр – l, закрепить
опорную призму маятника на расстоянии l1 от центра стержня.
9. Повторить измерения времени t1 для N колебаний и расчеты периода T1 и
его погрешности (пункты 3-5). Результаты записать в таблицу по форме 19.3.
№
L,
м
l, м N t, T, с
с
ΔTi,
с
T1, с
ΔT1i,
с
Форма 19.3.
lпр., Δlпр., lпр. Δlпр.
м
м теор. теор.
1
2
3
4
5
ΔL= Δl=
Tср.= Σ(ΔTi)2= T1ср.= Σ(ΔT1i)2=
ΔT=
ΔT1=
10. Сравнить T1 и T, сделать выводы.
11. По формуле (19.22) определить lпр.теор. –
приведенной длины, рассчитать погрешность:
 l пр.   l пр.

 
l   
L 
 l
  L
 ,
2
l пр.
теоретическое значение
2
где производные рассчитываются, исходя из (19.22):
149
l пр.
l

L2
1
12l 2
;
l пр.
L

2L L

12l 6l .
12. Все полученные данные записать в табл.19.3.
13. Сравнить теоретическое и экспериментальное значения lпр, сделать
выводы.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение колебательного процесса.
2. Какие колебания называются гармоническими?
3. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
4. Что называется математическим маятником?
5. Дайте определение физического маятника.
6. Что называется угловым ускорением?
7. Дайте определение момента инерции твердого тела.
8. Что такое момент силы?
9. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
10. Получите дифференциальное уравнение колебаний физического маятника.
11. Получите формулу для круговой частоты и периода колебаний
физического маятника.
12. Сформулируйте теорему Штейнера. Как в данной работе она используется?
13. Что такое приведенная длина физического маятника?
14. Как найти период и частоту колебаний математического маятника?
15. Выведите формулу (19.17).
16. Что такое точка качания? Чем она замечательна?
Используемая литература
[5] §2.8, 7.1, 7.3, 19.1, 19.2; [3] §4.1, 4.2, 4.3, 27.1, 27.2; [1] §38, 39, 49, 50, 53, 54;
[6] §3.3; 3.6, 3.7, 3.8; [7] §16, 18, 140, 141, 142.
150
Лабораторная работа 1-20 “Определение коэффициента трения качения
методом исследования колебаний наклонного маятника”
Цель работы: Определение коэффициента
исследования колебаний наклонного маятника.
трения
качения
методом
Теоретическое введение
На любое движущееся тело действуют силы трения. Природа этих сил
может быть различной, но в результате их действия всегда происходит
превращение механической энергии во внутреннюю энергию трущихся тел, т.
е. энергию теплового движения частиц.
В механике различают два вида трения: сухое, или внешнее, между
твердыми телами и внутреннее, или вязкое, между слоями жидкости или газа.
Внешним трением называется явление возникновения в месте контакта
двух соприкасающихся твердых тел касательных сил, препятствующих
относительному перемещению этих тел. Внешнее трение между движущимися
друг относительно друга телами называется кинематическим. Внешнее трение
между взаимно неподвижными телами называется трением покоя. Оно
проявляется в том, что для возникновения относительного перемещения двух
соприкасающихся тел к одному из них нужно приложить внешнюю силу
F  F0 , где F0 - так называемая предельная сила трения покоя.
В зависимости от характера относительного движения различают трение
скольжения, возникающее при поступательном перемещении (скольжении)
одного тела по поверхности другого, и трение качения, возникающее тогда,
когда одно тело катится по поверхности другого.
Сила трения скольжения, возникающая при скольжении сухих
поверхностей тел друг относительно друга, в основном вызывается
механическим зацеплением между неровностями поверхностей и сцеплением
между молекулами в областях их непосредственного соприкосновения.
В приближенных расчетах можно считать, что величина силы трения
скольжения пропорциональна силе нормального давления Fн , а следовательно,
и силе реакции опоры N , действующей на тело:
Fтр  fN
(20.1)
где f - безразмерный коэффициент трения скольжения, зависящий от
свойств материалов обоих тел.
151
Коэффициент трения зависит также от множества других факторов:
качества обработки трущихся поверхностей, наличия на них загрязнений,
скорости скольжения и т. д.
При качении тела вращения (шара, цилиндра, диска и т. д.) по плоской
поверхности тело и поверхность в области соприкосновения деформируются.
Поэтому линия действия силы реакции поверхности R не совпадает с линией
действия силы нормального давления Fн (рис. 20.1).
Рис.20.1
Нормальная к плоскости составляющая N силы R численно равна силе
нормального давления, а горизонтальная составляющая представляет собой
силу трения качения Fтр.к . В первом приближении можно считать, что
Fтр.к  f к
N
r
(20.2)
где r - радиус катящегося тела; f к - коэффициент трения качения.
Коэффициент трения качения имеет размерность длины и зависит от
материала тел, состояния их поверхностей и ряда других факторов. Трение
качения значительно меньше трения скольжения, поэтому повсюду, где
возможно, трение скольжения колеса заменяют трением качения
(использование шариковых и роликовых подшипников и т. д.).
Методика измерения
Одним из экспериментальных методов определения коэффициента
трения качения является метод наблюдения колебаний наклонного маятника.
152
При колебаниях маятника шарик катится по исследуемому образцу, при
этом возникает сила трения качения, вызывающая затухание колебаний
маятника. Нить маятника и образец наклонены относительно вертикали на
одинаковый угол. Шарик движется под действием следующих сил: силы
тяжести mg , силы натяжения нити T , силы реакции образца N и силы трения
качения Fтр.к . Результирующая всех сил — возвращающая сила Fв - стремится
вернуть маятник в положение равновесия.
На рис.20.2 схематически изображен вид наклонного маятника сбоку, 
- угол наклона образца относительно вертикали.
Силу тяжести mg можно разложить на две составляющие: Fн и T  .
Составляющая Fн - сила нормального давления, уравновешивается силой
реакции образца N и определяет силу трения качения. Из рис.20.2 видно, что
Fн  mg sin 
(20.3)
Сила T  является проекцией силы тяжести mg на плоскость, в которой
колеблется нить маятника (плоскость колебаний). Из рис.20.2 следует:
T   mg cos 
(20.4)
Рис. 20.2
На рис.20.3 изображена плоскость колебаний маятника. При отклонении
маятника на небольшой угол  от положения равновесия возникает
возвращающая сила Fв направленная в сторону уменьшения  . Согласно
рис.20.3, она равна
Fв  T  sin 
(20.5)
Сила трения качения, возникающая при движении шарика, направлена
противоположно Fв .
153
Пусть
в
некоторый
момент
времени
шарик
отклоняется
на
i 
максимальный угол  . Полная энергия i -го колебания E без учета трения
равна работе по подъему шарика на угол  i . Элементарная работа, совершаемая
при отклонении шарика на малый угол d , равна
dA  Fв dS  Fвld
(20.6)
где dS - дуга, которую описывает шарик при его отклонении на малый
угол d ; l — расстояние от оси вращения до центра шарика.
Тогда полная энергия i -го колебания будет равна
i
E i   Ai    Fвld
(20.7)
0
Подставляя в (20.7) выражения (20.5) и (20.4), получим
i
E i    mgl cos  sin d  mgl cos  1  cos  i 
(20.8)
0
Рис.20.3
Действие силы трения качения вызывает уменьшение энергии
колебаний. Полагая, что за период амплитуда колебаний изменяется мало, из
(20.8) получим выражение для изменения энергии за период
E i   mgl cos  sin  i  i
(20.9)
где i — уменьшение угла отклонения маятника за i -е колебание.
Изменение энергии за период равно работе сил трения во время i-го
колебания. Эта работа равна
i 
Aтр  4 Fтр.к l i
(20.10)
Подставляя в (20.10) выражение (20.2) и учитывая, что N  Fн , получим
i 
Aтр
 4 f k Fн / r li
(20.11)
С учетом (20.3) выражение (20.11) перепишется в виде
i 
Aтр
 4 fk
mg sin 
l i
r
(20.12)
Приравнивая (20.9) и (20.12) и учитывая, что при малых углах
154
отклонения (   4...50 ) sin  i   i , получим выражение для  i :
 i  4
fк
tg
r
(20.13)
Уменьшение максимального угла отклонения за n колебаний при не
слишком большом числе колебаний ( n  10 ) найдем суммированием всех i , за
n колебаний:
n
  i  4n
n 1
fк
tg .
r
(20.14)
На основании (20.14) можно записать
 0   n  4n
fк
tg ,
r
(20.15)
где  0 — угол начального отклонения маятника;  n — угол отклонения
после n полных колебаний. Из (20.15) получим рабочую формулу для расчета
коэффициента трения качения:
fк  r
0  n
4n
ctg
(20.16)
Экспериментальная часть
Объектом измерения является трущаяся пара: лакированная
алюминиевая пластина и окрашенный стальной шарик. При колебаниях
маятника шарик катится по пластине. Между этими телами возникает трение
качения. Силу трения качения можно изменять, меняя угол наклона маятника
(30°; 40°; 60°).
Установка представлена на рис. 20.4, 20.5. Наклонный маятник собран
на массивном стальном основании 1, которое от лабораторного стола отделяют
четыре регулируемые антивибрационные ножки 2 (см. рис. 20.4).
На основании жестко закреплена металлическая П-образная опора 3
(рис.20.5). Посредством бронзовой втулки 4 в опору 3 вмонтирована
металлическая опорная шайба 5. На ней жестко закреплены алюминиевая
лакированная пластина 6. с нанесенной измерительной шкалой 7. Деления
шкалы показывают угол отклонения маятника (в угловых градусах). Кроме
пластин 6 в опорную шайбу 5 вмонтирована металлическая штанга 8, к
вершине которой посредством крепежного узла 9 подвешен металлический
шарик 10 (см. рис.4). Длина нити подвеса выбирается таким образом, чтобы при
колебаниях маятника шарик 10 катился посередине алюминиевой пластины 6.
Именно пластина 6 и шарик 10 и являются теми взаимодействующими телами,
155
между поверхностями которых требуется определить коэффициент трения
качения f к .
Рис.20.4
Рис. 20.5
В нижней части опоры 3 (см. рис. 20.5) находится фиксирующий
механизм, позволяющий изменять вертикальное положение маятника, т.е.
устанавливать его под углом 30°, 40° или 60° относительно нормали
(перпендикуляра) к основанию 7. Угловое положение маятника изменяется
легким нажатием на верхнюю часть штанги 8. В момент фиксации нового
положения опорной шайбы 5 в опоре 3 раздается негромкий щелчок.
Величину угла наклона маятника можно увидеть в окне 11,
расположенном справа на опоре 3. После того, как наклонный маятник
установлен под нужным углом, следует убедиться, что положение шарика 10
соответствует нулевой отметке шкалы. (Если это не так, следует пригласить
преподавателя.) Затем аккуратно двумя пальцами шарик отклоняют от
положения равновесия на угол  100 и отпускают. Наклонный маятник начнет
совершать затухающие колебания, по параметрам которых можно определить
коэффициент трения качения  fк  ,
Как видно из формулы (20.16), для определения коэффициента трения
качения необходимо провести прямые измерения следующих величин:  0 ;  n ;
156
r.
Порядок выполнения работы
1. Измерить штангенциркулем несколько раз диаметр ( d  2r ) шарика.
Результат занести в таблицу по форме 20.1.
Форма 20.1
r
r  d / 2 , мм
№ опыта
ср
 ri , мм
r
ср
 ri  , мм2
2
1
2
3
N
2. Установить угол наклона образца  . Значение угла  задается
преподавателем в диапазоне от 30 до 60°.
3. Отклонить шарик из положения равновесия на угол  0  100 и отпустить
его. В этот момент начать отсчет числа колебаний, который в данной работе
удобнее производить визуально.
4. После 10 периодов колебаний маятника быстро произвести отсчет угла  n
по угловой шкале прибора.
Измерения  n для заданного угла  повторить несколько раз.
Результаты измерений занести в таблицу по форме 20.2.
  ... град;  0  ... град.
№ опыта  n , град

nср
 n


n ср
 n

2

Форма 20.2
0
  nср

1
2
3
Обработка результатов
1. Произвести обработку результатов прямых измерений.
2. По формуле (20.16) вычислить среднее значение коэффициента трения
качения f к для заданного угла  .
ср
157
Замечание. При вычислениях f к значения углов  0 и  n брать в радианах.
( 10  1,75  102 рад).
3. Вывести формулу для расчета относительной
погрешности E измеряемой величины f к .
неопределенности
4.
Определить границу доверительного интервала для f к : fk  E  f к .
5.
Окончательно записать результат в стандартной форме
ср
ср
f k  f k  f k
Контрольные вопросы
1. В чем заключается явление трения? Какие виды трения вы знаете?
2. Напишите формулы для силы трения скольжения и силы трения качения.
3. Какая колебательная система называется математическим маятником?
Чему равен период колебаний математического маятника?
4. Что собой представляет наклонный маятник?
5. Какие силы действуют на шарик при колебаниях маятника?
6. В чем проявляется действие сил трения?
7. Как можно оценить изменение энергии колебаний маятника за период?
8. Чему равна работа сил трения за период колебаний?
Используемая литература
[2] §31; [3] §3.1-3.4.
158
Лабораторная работа 1-21 “Измерение момента инерции тела методом
крутильных колебаний”
Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом измерения
моментов инерции тел методом крутильных колебаний.
Теоретическое введение
Движение твердого тела с закрепленной осью.
Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого в
данных условиях можно пренебречь. При этом расстояния между любыми
двумя точками тела остаются неизменными. При вращении тела с закрепленной
осью все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают
окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой
осью вращения. При таком движении путь S, скорость v, ускорение а разных
точек тела неодинаковы, поэтому для описания движения неудобно
пользоваться этими понятиями. Угол поворота α любой точки тела одинаков и

может быть использован как мера перемещения тела. Угловое перемещение d
– это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика, модуль
которого равен углу поворота тела за время dt . Угловая скорость характеризует
быстроту вращения и равна производной по времени от углового перемещения:




d
  .
dt
(21.1)
Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и
угловое перемещение. Быстроту изменения угловой скорости во времени
характеризует угловое ускорение:


d d 2 
 
 2    .
dt
dt

(21.2)
Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в ту же сторону,

что и вектор угловой скорости  , если величина угловой скорости

увеличивается, и в сторону, противоположную  , если ее модуль уменьшается.
Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина
линейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r:
(21.3)
dS  r  d .
Разделив обе части уравнения (21.3) на dt , получим:
dS
d
r
. Так как
dt
dt
159
производная пути по времени – это величина скорости:
dS
d
 , а  
(21.1),
dt
dt
то:
  r .
(21.4)
Теперь продифференцируем (20.4) по времени:
aк  r ,
где aк
d
d
r
, или:
dt
dt
(21.5)
– касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее
быстроту изменения модуля скорости  :
d
 aк .
dt
Сформулируем и докажем основной закон динамики твердого тела. Он
аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении:

 F
a
m
(21.6)
и позволяет определить угловое ускорение твердого тела: угловое
ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту
внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту
инерции тела относительно оси вращения

 

M
I
.
(21.7)
Моментом
силы
O
относительно оси называется

вектор, направленный по оси
i

вращения
и связанный с
Mi
направлением силы правилом
буравчика, модуль которого
равен произведению силы на ее
F
in
O
плечо: M  F  l . Плечо силы l
ri
относительно оси вращения –
Δmi
li
α
это кратчайшее расстояние от
линии действия силы до оси
Fi
вращения.
Fiк
Рассмотрим
твердое
Рис.21.1.
тело, которое может вращаться
вокруг неподвижной оси ОО
(рис.21.1). Разобьем это твердое тело на отдельные элементарные массы Δmi.
Равнодействующую всех сил, приложенных к Δmi, обозначим через Fi.
160
Достаточно рассмотреть случай, когда сила Fi лежит в плоскости,
перпендикулярной оси вращения: составляющие сил, параллельные оси, не
могут влиять на вращение тела, так как ось закреплена. Тогда уравнение
второго закона Ньютона для касательных составляющих силы и ускорения
запишется в виде:
(21.8)
Fik  mi  aik .
Нормальная составляющая силы Fin обеспечивает центростремительное
ускорение и на угловое ускорение не влияет. Из (21.5): aik  ri где ri – радиус
вращения i-той точки. Тогда
(21.9)
Fik  miri .
Умножим обе части (21.9) на ri :
(21.10)
Fik ri  miri  ri .
Заметим, что
Fik ri=Fi sinα ri=Fili,
где α – угол между вектором силы Fi и радиус-вектором точки ri
(рис.21.1), li – перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из центра
вращения (плечо силы). Окончательно из (21.10) получим:
M i  mi ri 2 .
(21.11)
Скалярная величина mi ri 2 , равная произведению массы материальной
точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции
материальной точки относительно оси ОО:
I i  mi ri 2 .
(21.12)


Векторы M i и  совпадают по направлению с осью вращения, связаны с
направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (21.11)
можно переписать в векторной форме:


M i  I i .
(21.13)
Просуммируем (21.11) по всем элементарным массам, на которые
разбито тело:


2
(21.14)
 M i    mi ri  .
i
i
Здесь учтено, что угловое ускорение всех точек твердого тела
одинаково, и его можно вынести за знак суммы. В левой части равенства стоит
сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой
точке тела. Но по третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела
взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и
161
противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их
моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (21.14)


остается суммарный момент только внешних сил:  M i  M в нешних .
i
Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от
оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно
данной оси:
(21.15)
I   mi ri 2 .
i
Таким образом, из (21.14) получим (21.7).
Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств
твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором
законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее
распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном
оси).
В случае непрерывного распределения массы сумма в (21.15) сводится к
интегралу по всему объему тела:
I   r 2 dm .
(21.16)
m
Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h,
внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 (рис.21.2) относительно оси,
проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем
диск на тонкие кольца толщиной dr и высотой h так, что внутренний радиус
кольца равен r, внешний –
(r+dr) (рис.21.3). Объем такого кольца
dV  hdS  h2rdr , где dS  2rdr – площадь основания тонкого кольца. Его масса:
dm  dV  h2rdr .
(21.17)
Подставим dm в (21.16) и проинтегрируем по r ( R1  r  R2 ):
R2
R
R2




 r 4  2 h R24  R14
 R22  R12 R22  R12
I   r dm   r h2rdr  2 h  r dr  2 h  

2
2
 4 R
m
R1
R1
2
2
3

1
Масса диска m  hS  h R  R  , тогда окончательно:
2
2
I

2
1

m R22  R12
.
2
(21.18)
В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим
в (21.18) R1=0, R2=R и получим:
mR2
I
.
2
(21.19)
Если ось вращения не проходит через центр масс тела, вычисления по
162
формуле (21.16) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента
инерции облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела
относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I c тела
относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси,
и произведения массы тела на квадрат расстояния a между осями:
О
R2
R1
h
dr
r
R1
R2
О
Рис.21.2.
Рис.21.3.
I  I c  ma2 .
(21.20)
В данной работе момент инерции тела (платформы) определяется
экспериментально методом крутильных колебаний. Рассмотрим общие
закономерности колебательного движения крутильного маятника.
Испытуемое твердое тело 1, имеющее вид диска радиуса R, подвешено
на упругой металлической проволоке 2 (рис.21.4) так, что нижний конец
проволоки проходит через центр тяжести диска, а верхний закреплен. При
повороте диска на некоторый угол  вокруг оси ОО возникают упругие силы,
которые стремятся возвратить диск к положению равновесия. Возвращающий
момент сил М обусловлен упругими деформациями, возникающими при
закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа. При малых
углах поворота α можно считать, что этот момент сил прямо пропорционален
углу поворота, то есть выполняется закон Гука:
(21.21)
M  K ,
163
где K – коэффициент пропорциональности, называемый модулем
кручения, величина которого зависит от материала проволоки и ее размеров.
Знак «–» показывает, что момент упругих сил возвращает тело к положению


d 2
 K  0 .
dt 2
(21.23)
равновесия, то есть векторы момента сил M и углового перемещения 
направлены в противоположные стороны, их проекции на ось вращения имеют
противоположные знаки.
По основному закону динамики вращательного движения (21.7):
(21.22)
M  I  ,
где I - момент инерции тела относительно оси ОО,     – угловое
ускорение. Из (21.2), (21.21) и (21.22) получаем уравнение для угла поворота α:
I
Уравнение (21.23) можно записать так:
    2  0 ,
K
где принято обозначение:  2  , или:
I

K
.
I
(21.24)
(21.25)
Уравнение вида (21.24) является дифференциальным уравнением
гармонических колебаний. Его решением является гармоническая функция:
   0 cos  t  0  .
(21.26)
Здесь ω – круговая частота колебаний, φ0 – начальная фаза, φ=ωt+φ0 –
фаза колебаний в данный момент времени, α0 – амплитуда колебаний
(максимальное значение угла поворота α). Убедимся в том, что (21.26) является
решением
дифференциального
уравнения
(21.24)
непосредственной
подстановкой, вычислив производные:
    0 sin t   0  ;
    2 0 cost   0    2 .
(21.27)
Из (21.27) следует (21.24). Вообще, если вторая производная по времени
какой-либо физической величины пропорциональна самой величине с
противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со
временем по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса.
Период крутильных колебаний, то есть время одного полного
колебания, найдем из (21.25):
T
2

 2
I
.
K
(21.28)
164
Из выражения (21.28) находим момент инерции тела:
I
T 2K
.
4 2
(21.29)
Для исключения из формулы (21.29) неизвестного модуля кручения К
поступают следующим образом. На диск помещают дополнительный груз,
момент инерции которого Iгруз относительно оси колебаний известен. При этом
полный момент инерции тела с дополнительным грузом станет равным
I1=I+Iгруз, и период T1 крутильных колебаний изменится:
T1  2
I  I груз
K
,
(21.30)
или:
I  I груз 
T12 K
.
4 2
(21.31)
Поделив почленно (21.31) на (21.29), получим:
I  I груз
I

T12
,
T2
откуда окончательно для неизвестного момента инерции платформы:
I  I груз
T2
.
T12  T 2
(21.32)
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: лабораторная установка с секундомером и
металлические диски.
Описание установки (вариант 1).
В первом варианте установки (рис.21.4) платформа 1, момент инерции
которой требуется определить, подвешена на проволоке 2. На платформу 1
симметрично на расстоянии a от центра помещают три дополнительных груза
массой m и радиусом r каждый. Эти три груза относительно оси ОО создают
дополнительный момент инерции Iгруз, который находится по теореме
Штейнера (21.20) и равен:
 mr 2

I груз  3
 ma2  .
 2

(21.33)
Здесь момент инерции одного дополнительного груза относительно оси,
165
проходящей через центр масс, найден из (21.19): I c 
mR2
.
2
Подставив (21.33) в (21.32), для вычисления искомого момента инерции
платформы окончательно получим:
I
3
T2
m( 2 a 2  r 2 ) 2 2 .
2
T 1T
(21.34)
Для измерения линейных размеров и расстояний используется
штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру, масса
каждого дополнительного груза m=730 г.
Порядок выполнения работы
1. Исследуемое тело – платформа (без дополнительных грузов) приводится в
крутильные колебания.
Внимание! Угол закручивания не должен превышать 10-150, иначе
можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не
выполняется закон Гука (21.21), и колебания не будут гармоническими.
Секундомером
измерить
время t, которое требуется для
2
совершения 20 полных колебаний.
O
Опыт повторить 5 раз, найти
1
среднее время tср и вычислить
период колебаний:
a
3
tср.
.
(21.35)
T
20
r
O
R
2. На
исследуемое
тело
установить 3 дополнительных
груза (диска) и вновь (5 раз)
определить время 20 колебаний,
найти t1ср. и период колебаний:
T1 
Рис.21.4.
t1ср.
20
.
(21.36)
3. Штангенциркулем измерить
радиус дополнительных дисков r и линейкой - расстояние a между осями.
Измерения проводятся три раза для каждого из грузов, значения a и r
усредняются.
4. Вычислить момент инерции по формуле (21.34).
166
5. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 21.1.
6. Вычислить абсолютную и относительную погрешности измерений.
Замечание 1: погрешность времени t рассчитывается по стандартной
методике расчета погрешностей случайной величины:
 ti 
n
t  tn,
2
i 1
n(n  1)
,
(21.37)
где коэффициент Стьюдента для числа опытов n=5 и доверительной
вероятности α=0.95 равен: tn ,  2,57 . При этом погрешность периода колебаний
из (21.35):
T 
t
.
20
(21.38)
Замечание 2: для вычисления относительной погрешности
воспользоваться формулой:
2
I
можно
2
I
 m   2rr   4aa   2T   2T1T1   2TT 
   2
 , (21.39)
E
 
 2

  2
   2
2 
2 
2 
2 
I
 m   r  2a   r  2a   T   T1  T   T1  T 
при этом I рассчитывается по усредненным значениям времени; либо I
2
2
2
2
рассчитывается в каждом из пяти опытов, затем усредняется, и погрешность
ΔI рассчитывается как погрешность случайной величины,
аналогично (21.37). Можно рассчитать погрешность обоими способами и
сравнить результаты.
7. Сделать выводы по работе.
№
Δti
t
Δt1i
t1
T
T1
r
a
m
I
Таблица 21.1.
I
ΔI
E(I ) 
I
c
с
c
с
с
с
м
м
кг кг.м2
кг.м2
1
2
3
4
5
tср. Σ(Δti)2= t1ср. Σ(Δt1i)2= ΔT ΔT1 Δr Δa Δm Iср.
Δt=
Δt1=
Σ(ΔIi)2=
ΔIср=
Описание установки (вариант 2).
Установка (рис.21.5) состоит из штатива, исследуемого диска 1,
закрепленного на проволоке 2, и одного съемного груза в виде диска 3. Ось
167
съемного груза совпадает с осью диска. Для измерения линейных размеров и
расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по
секундомеру. Массу съемного диска необходимо определить из его размеров и
плотности.
Масса диска m  V (плотность стали
3
2
ρ=7800 кг/м3), а его объем V  Sh   R22  R12 h ,
тогда
1

(21.40)
а момент инерции дополнительного
съемного диска из (21.40) и (21.18):
I груза 
Рис.21.5

m  Sh   R22  R12 h ,
h
2
R
4
2

 R14 .
(21.41)
Далее из (21.32) и (21.41) получим
расчетную формулу для момента инерции
платформы:
I
h
2
R
4
2
 R14
T TT
2
2
1
2
.
(21.42)
Порядок выполнения работы
Исследуемое тело (без дополнительного груза) приводится в крутильные
колебания.
Внимание! Угол закручивания не должен превышать 10-150, иначе
можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не
выполняется закон Гука (21.21), и колебания не будут гармоническими.
1. Секундомером измерить время t, которое требуется для совершения 20
полных колебаний, и вычислить период колебаний по формуле (21.35). Опыт
повторить 5 раз.
2. На исследуемое тело установить дополнительный диск и вновь (5 раз)
определить время 20 колебаний, найти t1ср. и период колебаний (21.36).
3. Линейкой и (или) штангенциркулем измерить внешний R2 и внутренний R1
радиусы дополнительного диска и его толщину h (рис.21.2). Вычислить момент
инерции по формуле (21.42).
4. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу по форме 21.2:
168
Форма 21.2.
№t
c
Δti
t1
Δt1i
с
c
с
T
с
T1
R1 R2 ΔR h
с
м
м
ΔI
Δh I
м м м
E(I ) 
I
I
кг.м2 кг.м2
1
2
3
4
5
tср. Σ(Δti)2= t1ср. Σ(Δt1i)2= ΔT ΔT1
Δt=
Δt1=
Σ(ΔIi)2=
ΔIср=
Iср.
Вычислить абсолютную и относительную погрешности измерений.
Замечание: для вычисления относительной погрешности I можно
воспользоваться формулой:
5.
3
I
 h   4 R1 R1
E
    4
4
I
 h   R2  R1
2
2
  4 R23 R2
  4
  R  R4
1
  2
2
  2T   2T1 T1
 

  T    T 2  T 2

 1
2
2
  2TT
  2
 T T 2
  1
2



 , (21.43)
при этом I рассчитывается по усредненным значениям периода; либо I
рассчитывается в каждом из пяти опытов, затем усредняется, и погрешность ΔI
рассчитывается как погрешность случайной величины, аналогично формуле
(21.37). Можно рассчитать погрешность обоими способами и сравнить
результаты.
Сделать выводы по работе.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение углового перемещения, угловой скорости и ускорения.
Как направлены эти вектора?
2. Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины
перемещения, скорости, ускорения.
3. Что такое момент силы относительно оси? От чего он зависит? Как
направлен вектор момента силы?
4. Что такое момент инерции материальной точки, твердого тела, от чего он
зависит?
5. Сформулируйте и докажите второй закон Ньютона для вращательного
169
движения (21.7).
6. Выведите дифференциальное уравнение крутильных колебаний (21.24).
7. Докажите, что выражение (21.26) является решением дифференциального
уравнения (21.24).
8. Какие колебания являются гармоническими?
9. Что такое период колебаний, частота колебаний?
10. Сформулируйте теорему Штейнера и покажите, где в работе она
используется.
11. Можно ли пользоваться расчетными формулами в этой работе, если углы
отклонения крутильных колебаний будут большими? Почему?
12. Докажите формулы (21.39) и (21.43).
Используемая литература
[5] §2.8, 7.1, 19.1, 19.2; [3]§4.1-4.3, 27.1, 27.2; [1]§36-39, 52, 53; [6]§1.4, 1,311.34, 3.3, 3.6; [7] §2,3 4, 16, 17, 18, 19, 140, 141, 142.
170
Лабораторная работа 1-22 “Определение отношения удельных
теплоемкостей для воздуха методом адиабатического расширения”
Цель работы: усвоить термодинамические величины, характеризующие
состояние идеального газа; определить отношение удельных теплоемкостей
Cp/Cv для воздуха
Теоретическое введение
Теплота Q , приданная системе (телу), расходуется на изменение ее
внутренней энергии dU и на совершение работы A .
Q  dU  A  dU  pdV
(22.1)
Уравнение (22.1) – первое начало термодинамики. Символ  (в
некоторых учебниках используется обозначение d  ) указывает на то, что
бесконечно малые изменения Q и A не являются полными дифференциалами,
то есть количество теплоты Q и работа A зависят от пути процесса. Только
внутренняя энергия U является функцией состояния и от пути процесса не
зависит.
При поглощении веществом теплоты Q его температура, как правило,
увеличивается. Отношение Q к повышению температуры dT называется
теплоемкостью вещества C
C
Q
(22.2)
dT
Так как величина Q зависит от характера процесса, то и теплоемкость C
от пути процесса зависит. Поэтому необходимо указывать, каким именно
способом изменяется температура при определении теплоемкости. Часто
встречающиеся виды процессов – при постоянном объеме ( V  const ) –
изохорический и при постоянном давлении ( P  const ) – изобарический.
Соответствующие им теплоемкости обозначают CV и CP .
Для газов эти величины связаны друг с другом простым образом. По
определению
CP 
QP
dT
, CV 
QV
dT
(22.3)
Из (22.1) QP  dU  PdV  d U  PV P  dH , H  U  PV – энтальпия или
теплосодержание.
171
QV  dU , так как при V  const , PdV  0 .
Отсюда следует, что теплоемкости С P и С V есть частные производные
от энтальпии и внутренней энергии по температуре (при постоянных давлении
и объеме). Уравнения
 H 
 U 
СP  
 и CV  

 T  P
 T  V
(22.4)
можно рассматривать как определения. Они позволяют найти H и U
термодинамической системы, если известны C P T  или CV T  .
Каждое состояние термодинамической системы характеризуется
совокупностью значений физических величин, отражающих ее свойства.
Величины, имеющие простую физическую природу и допускающие
непосредственное измерение (давление P , температура T , объем системы V ),
используют в качестве параметров состояния. Уравнением состояния называют
выражение, связывающее эти параметры. Для однородных систем постоянного
состава оно имеет вид
(22.5)
f P,V ,T   0
У идеальных газов особенно простое уравнение состояния
PV  RT ,
(22.6)
где V  – объем одного моля; R – универсальная газовая постоянная.
Используя определение теплоемкости (22.3), первое начало
термодинамики и уравнение состояния для газов, можно записать для
идеальных газов в расчете на один моль:
CP 
QP
dT

dU  PdV
 CV  R ,
dT
(22.7)
так как PdV  RdT . Уравнение (22.7) называют соотношением Майера.
Если применить первое начало термодинамики (22.1) для описания
адиабатического расширения (сжатия) идеального газа ( Q  0 ; изменение
состояния без теплообмена), учитывая определения:
dU  CV dT , A  PdV , CP  CV  R и введя обозначение   CP / CV
(адиабатическая постоянная), то получим уравнение
TV  1  const
(22.8)
Из него следует, что при адиабатическом процессе температура T и
объем V идеального газа меняются таким образом, что произведение TV  1
остается постоянным. Поскольку  всегда больше единицы, то   1  0 и,
адиабатическое расширение сопровождается охлаждением, а сжатие –
172
нагреванием газа. Комбинируя уравнение (22.8) с (22.6), можно получить
соотношение, связывающее параметры P и V при адиабатическом процессе
PV   const
(22.9)
Это равенство называется уравнением Пуассона. Еще одно уравнение
для адиабатического процесса связывает параметры P и T
P 1  T   const
Величина  для газов играет большую роль при адиабатических
процессах. В частности, этой величиной определяется скорость
распространения звука в газах; от нее зависит течение газов по трубам со
звуковыми скоростями.
Экспериментальная часть
Описание установки и методика измерения
Экспериментальная установка (рис.
22.1) состоит из стеклянного баллона 1
соединенного
с
открытым
U-образным
водяным манометром 2 и имеющего кран 3.
Кран позволяет баллону сообщаться с
атмосферой.
К
баллону
подсоединен
нагнетательный воздушный насос.
Рис. 22.1
В работе определение отношения
CP

CV
производится классическим методом Клемана
и Дезорма, основанным на использовании уравнения изотермического процесса
(22.10)
p   const
и уравнения адиабатического процесса
p   const
(22.11)
соблюдающихся для идеального газа.
В равенствах (22.10) и (22.11) p обозначает по прежнему давление, а

V
- удельный объем газа.
m
Исследуются параметры идеального газа, последовательно проходящего
через три состояния. Вначале с помощью насоса необходимо по возможности
быстро накачать небольшое количество воздуха в баллон при закрытом кране 3.
173
Через 2-3 мин. температура воздуха в баллоне понизится до температуры
окружающей среды T1 , газ придет в состояние равновесия. Об этом можно
судить по прекращению изменений показаний манометра. В этих условиях
берется отсчет разности уровней h1 в обоих коленах манометра. Обозначим для
первого данного состояния газа его удельный объем 1 , давление p1  p 0  h1 ,
температуру T1 ( p 0 - атмосферное давлении, p 0  10 4 мм водяного столба).
Если теперь открыть кран 3 быстро, на несколько секунд, то баллон
соединяется с атмосферой. Практически сразу давление воздуха в баллоне
станет равным атмосферному p 0 . Процесс происходит быстро и его можно
считать адиабатическим. При адиабатическом расширении газ охлаждается до
температуры T2 . Второе состояние газа характеризуется параметрами: 2 новый удельный объем, P2  P0 атмосферное давление и T2 - температура
( T2  T1 ).
Затем кран 3 закрыть. Давление газа в баллоне начнет возрастать, так
как охладившийся при адиабатическом расширении воздух станет снова
нагреваться. Воздух нагревается изохорически до комнатной температуры T1 .
Возрастание давления – изменение положения уровней в манометре
прекратится, когда установится новое равновесное состояние газа, которому
соответствует разность уровней в манометре h2 . Параметры газа в этом третьем
состоянии: давление p3  p0  h2 , удельный объем  3   2 (ни масса, ни объем
газа при последних изменениях не менялись), температура T3  T1 .
На рис.22.2 показаны адиабата (1-2) и изохора (2-3). Состояние газа 1 и 3
имеют одну и ту же температуру T1 . Следовательно, точки 1 и 3 должны
находиться на одной изотерме (1-3).
Переход (1-2) из первого состояния во второе описывается уравнением
Пуассона (22.9), которое в нашем случае следует записать так:


p11  p 2 2 или  p0  h1     1   p0  h2     2
(22.12)
здесь 1 и  2 - удельные объемы газа до и после расширения.
Сравнивая конечное, третье состояние с первым, видим, что
температура газа в этих состояниях одинакова. Значит, к переходу (1-3)
применим закон Бойля – Мариотта.
p1  1  p3  2 или  p0  h1 1   p0  h2 2
(22.13)
Возведя полученное равенство (22.13) в степень  , разделив его на
(22.12) и прологарифмировав полученное выражение, приходим к формуле
174

h 
ln 1  1 
p0 

 


h 
h 
ln 1  1   ln 1  2 
p0 
p0 


Так как
(22.14)
h1
h
 1 и 2  1 , то можно воспользоваться приближенной
p0
p0
формулой ln 1  x  x и записать (22.14) в виде
 
h1
h1  h2
(22.15)
Р
1
3
p
Ратм
p
H2
2

Рис. 22.2
Необходимо отметить, что на опыте не удается осуществить совпадение
момента перекрытия крана с окончанием адиабатического расширения
(состояние 2). Если кран закрыть раньше, чем давление упадет до атмосферного
(на рис 22.2 пунктирная линия; в нашем случае Pатм  P2  P0 ), то получим
завышенное значение
p   h2 .
Наоборот, при запаздывании получается
заниженное значение p  h2 и чем больше время запаздывания t , тем сильнее
p  отличается от равновесного значения h2 .
Адиабатический переход газа из состояния 1 в состоянии 2 происходит
за какое-то время t . Величина t неизвестна. Однако это время гораздо меньше
чем время, в течение которого необходимо держать кран в открытом
положении. Поэтому время запаздывания t можно считать равным полному
времени открытия крана. Как показывает опыт, величины p  , h2 и t связаны
следующим соотношением
(22.16)
ln p  ln h2  At
где A - константа.
175
Из (22.16) следует, что истинное значение h2 можно найти из графика
зависимости ln p  f t  , продолжив его до точки пересечения с осью ординат,
т.е. h2  pИСТ  p при t  0 .
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Измерение давления p  h2 при разных временах
запаздывания.
1. С помощью насоса накачать в баллон воздух, доведя показания уровня
воды в левой трубке манометра до 20 делений (20 см), подождать 2-3 мин, пока
температура в баллоне не уравняется с комнатной. Определить давление газа в
баллоне по формуле h1  hл  hпр , где hл и hпр - высота уровня воды в левой и
правой трубках манометра соответственно.
2. Быстро открыть кран 3, одновременно включить секундомер. Через t  2 с
кран 3 перекрыть.
3. После перекрытия крана давления в баллоне начинает расти. Через 2-3 мин
определить давление газа в баллоне по формуле h2  hл  hпр .
4.
Повторить измерения при t  3,4,5,6,7,8 с. Следить за тем, чтобы начальное
давление в каждом опыте было одним и тем же. то есть h1  const . Результаты
измерений занести в таблицу по форме 22.1, рассчитав ln p
Упражнение 2: Определение истинного значения p графическим путем
и вычисление величины показателя адиабаты 
ln p
ln pист
2
1.
4
6
8
t, c
Рис. 22.3
По данным измерений построить график lnp=f(t) (рис.22.3). По графику
176
определить pист, т.е. h2  p , соответствующее мгновенному адиабатическому
расширению газа (формула 22.12).
2. По формуле (22.5) вычислить величину . Вычислить абсолютную и
относительную погрешность ,
3. Записать все результаты вычислений в таблицу по форме 22.2
t,с
2
3
4
5
6
Форма 22.1.
7
8
p, дел
ln p
Форма 22.2
h1 ,
h2  pист ,
дел
дел




Контрольные вопросы
1. Запишите первое начало термодинамики для изохорного, изотермического
и адиабатического процессов.
2. Почему теплоемкость газа зависит от способов и условий нагревания?
3. Какая физическая величина в первом начале термодинамике не зависит от
характера процесса?
4. Почему Сp больше Cv ?
5. Какой процесс называется адиабатическим? Как связаны параметры
состояния идеального газа при адиабатическом процессе?
6. Объясните каким образом и почему меняется температура газа в баллоне.
7. Нарисуйте на p-V диаграмме все процессы, происходящие с газом в этом
опыте.
8. Получите рабочую формулу (22.15) для определения 
9. Объясните, почему необходимо измерять зависимость
изменении состояния газа от 1 к 2?
Используемая литература
[2]§83, 88; [3]§9.1-9.6; [7]§55; [4]§34; [5]§34.1-34.4.
pt  ?
При
177
Лабораторная работа 1-23 “Определение отношения C P / CV акустическим
методом”
Цель работы: изучить рспространение звуковых волн в газах, определить
адиабатическую постоянную воздуха.
Теоретическое введение.
Термодинамические
соотношения,
определяющие
величины
теплоёмкостей при постоянном давлении ( С P ) и при постоянном объёме ( C V )
приведены в работе 1-22 “Определение отношения газовых постоянных
адиабатическим методом”. Там же отмечено, что отношение С P / CV  
определяет скорость распространения звука в газах. Поэтому, измеряя
величину скорости звука в газе, можно определить значение адиабатической
постоянной  .
Рассмотрим, чем определяется скорость звуковых волн в газе и как она
зависит от температуры. Звуковыми или акустическими волнами называют
упругие волны малой интенсивности, т.е. слабые механические возмущения
(деформации), распространяющиеся в упругой среде. В сплошной среде любую
малую деформацию можно представить в виде элементарных деформаций
растяжения (сжатия) и сдвига. Поэтому упругие свойства изотропных твердых
тел вполне определяются двумя упругими константами – модулем Юнга E
(растяжение, сжатие) и модулем сдвига G (чистый сдвиг). И соответственно в
твердых телах могут распространяться продольные волны (волны сжатия,
растяжения) и поперечные волны (волны сдвига).
Что же касается газов, то они в отличие от твердых тел способны как
угодно изменить свою форму под действием сколь угодно малых сил. Лишь для
изменения самого объема газа как и для твердых тел, необходимы конечные
внешние силы. Т.е. газы ведут себя как упругие тела только в отношении
изменения объема. Из двух элементарных деформаций – растяжения (сжатия) и
сдвига – только первая связана с изменением объема. Поэтому только в
отношении деформации растяжения и сжатия газы ведут себя как упругие тела.
Однако и в отношении этой деформации есть существенное различие в
поведении газов от твердых тел. Твердое тело можно растянуть или сжать в
каком–либо одном направлении. Его можно также сжать во всех направлениях,
т.е. подвергнуть всестороннему сжатию или растяжению. В газах же имеем
178
дело только со всесторонним сжатием (только деформации сжатия). Какой бы
объем ни занимала данная масса газа, газ всегда оказывается сжатым, так как в
отсутствие внешних сил объем газа будет увеличиваться беспредельно. Итак,
газы ведут себя как упругие тела только в отношении деформации
всестороннего сжатия.
Давление в газе зависит от степени его сжатия. Так же, как и в твердых
телах, связь между давлением (напряжением) и сжатием (деформацией)
определяется упругими свойствами тела. Упругие свойства газа
характеризуются объемной упругостью (сжимаемостью), то есть соотношением
между изменением объема (плотности) данной массы газа и изменениями
давления в нем. Объемная упругость жидкостей и газов количественно может
быть охарактеризована отношением действующего давления к величине
относительного изменения объема, которое этим давлением вызвано.
Пусть объём газа при некотором нормальном давлении равен V и при
изменении давления на P он изменится на V . Следовательно, относительное
изменение объёма есть V / V , а коэффициент сжимаемости K определяют как:
K 
V / V
1 V

P
V P
(23.1)
Обратная величина называется модулем сжатия:
K1 
1
P
 V
K
V
(23.2)
Знак минус взят затем, чтобы K было положительно ( V и P всегда
противоположны по знаку).
Если выразить (23.2) через плотность  ( m  V ), то получим:
K1  
P

(23.3)
Найдем теперь, как связана скорость звуковых волн в газе с его
упругими свойствами – с модулем сжатия. Звуковая волна в газе представляет
собой последовательные чередующиеся области сжатия и разрежения,
распространяющиеся со скоростью, зависящей от упругих свойств газа.
Как может возникнуть область сжатия в газе?
Представим себе пластину очень больших размеров, помещённую в газ
(рис.23.1). Сообщив пластине быстрое перемещение со скоростью U вдоль
нормали к ней, мы вызовем в прилегающем слое газа сжатие и вследствие этого
повышение давления. Это давление вызовет движение следующего слоя газа и
т.д. Сжатие будет передаваться от слоя к слою; в газе будет распространяться
импульс сжатия. Рассчитываем скорость его распространения.
179
пластина
Пусть
импульс
сжатия
соответствует
увеличению плотности  на  и увеличению
давления p на p . Через площадку S за время t
проходит часть импульса сжатия t , где  скорость распространения импульса. Прохождение
этого участка импульса сжатия связано с
увеличением массы справа от площадки S на
величину m  St ( m   V ,      0 ;  -
F
плотность газа в области сжатия; 0 - плотность
недеформированного газа). При этом через
площадку
передается
количество
движения
  t
m  S   2t . Вместе с тем слева на площадку S
действует сила F  S  p . Изменение количества
движения должно быть равно F  t по второму
закону Ньютона. Следовательно:
  S 2t  pSt , или
Рис. 1 Распространение
импульса сжатия в газе
2 
p

(23.4)
Таким образом, скорость распространения области сжатия в газе
определяется тем, как изменяется его плотность при изменении давления.
Чтобы получить теперь окончательное выражение для скорости звука в
газе, необходимо принять во внимание, что упругие свойства газов зависят от
температуры. При быстром сжатии газа выделяется тепло, которое не успевает
распространиться в соседние объёмы. Сжатие газа без отвода тепла – это
адиабатический процесс. При адиабатическом изменении состояния газа вместо
закона Бойля-Мариотта, который справедлив при неизменной температуре
(изотермическое сжатие), связь между объёмом и давлением дается уравнением
Пуассона
PV   const ,
(23.5)
где   CP / CV .
Так как плотности обратно пропорциональны объемам, то уравнение
Пуассона можно переписать так
P



P0
 0
Или
P 0  P0  
(23.6 )
180
Дифференцируя (23.6), находим
dP P0  1


d 0
Если сравнить выражение  
(23.7)
E
( E - модуль Юнга), определяющее

скорость распространения продольных звуковых волн в твердых телах, (23.3),
(23.4) и (23.7) то видно, что величина
какую величина
E

P0  1

играет в газе такую же роль,
 0
в твердом теле. Эта величина и определяет скорость
распространения области сжатия. В отличие от модуля Юнга твердого тела,
модуль сжатия газа зависит от того значения плотности  , которое имеет газ в
области сжатия.
Только в том случае, когда сжатие столь мало, что можно положить
  0 , модуль сжатия перестает зависеть от  и скорость распространения
области сжатия не зависит от величины сжатия (деформации).
В этом случае, как следует из (23.7)
dP
P
 0
d
0
(23.8)
и скорость распространения слабых импульсов сжатия:
 
P
(23.9)

Звуковые волны можно рассматривать как ряд таких импульсов сжатия,
следующих вплотную друг за другом и распространяющихся с одинаковой
скоростью. Пока сжатия в звуковой волне не велики, она должна
распространяться со скоростью, определяемой (23.9).
Используем уравнение состояния для идеального газа PV 
m

RT (  -
молярная масса, R - универсальная газовая постоянная, T - температура) в виде
P


RT

.
Тогда выражение для скорости звуковых волн в идеальном газе
принимает такой вид:
 
RT

Отсюда отношение газовых теплоемкостей:
(23.10)
181
  2

(23.11)
RT
Из него следует, что для определения адиабатической постоянной
  CP / CV достаточно при постоянной температуре в газе измерить скорость
звука.
Отметим еще, что формула (23.10) имеет ясный физический смысл:
передача возмущений в звуковой волне в газе осуществляется за счет теплового
движения молекул, поэтому не удивительно, что скорость звука равна по
2
порядку величины скорости теплового движения молекул тепл   
3RT

Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: звуковой генератор, осциллограф, стеклянная труба
с вмонтированным в ее торцы микрофоном и телефоном.
Методика измерений
Наиболее удобный метод определения скорости звуковых волн основан
на измерении длины волны стоячих звуковых волн. Стоячей звуковой волной
называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих
синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и
имеют одинаковые частоты и амплитуды. Точки, в которых амплитуда стоячей
волны равна нулю, называются узлами, а точки, в которых амплитуда волны
максимальна – пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами и
между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины
волны  бегущих волн. Эту величину называют длиной стоячей волны:
ст   / 2 .
В случае свободных колебаний струн, стержней, столбов газа в них
устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют
определенным условиям, то есть могут принимать только определенные
дискретные значения, называемые собственными частотами. Если L - длина
столба газа,  - фазовая скорость волны,  - длина волны, то для столбов газа в
трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине L укладывается
целое число длин стоячей волны – условие стоячей волны
182
Ln

2
, ( n  1, 2, 3, ... ).
(23.12)
Поскольку частота  и длина волны  связаны соотношением    , то
ограничение на частоты стоячей волны должны быть следующими.
 п 
п
2L
(23.13)
Для измерения скорости звука в воздухе используется установка,
представленная на рис.23.2.
Рис. 23.2.
Звуковые колебания в воздухе, находящемся в трубке 1, возбуждаются
телефоном 2, подключенным к звуковому генератору. Микрофон 3,
соединенный с электронным осциллографом, позволяет анализировать характер
распространения звука в трубе.
Другими словами – левому торцу трубы (телефон) сообщаются
гармонические колебания от внешнего источника (генератора звуковых
колебаний). В столбе газа распространяются звуковые волны, которые
отражаются от правого торца трубы (микрофона). Возникновение стоячей
волны в этом столбе газа при заданном внешнем воздействии на одном из
торцов трубы представляет собой не что иное, как явление резонанса.
Значительная амплитуда стоячей волны (резонанс) появляется, когда частота
внешнего воздействия (звукового генератора) совпадает с собственной
частотой (23.13).
Измеряя частоту для последовательных резонансов  п и  п 1 , из (23.13)
можно записать уравнение для определения скорости звуковой волны в газе
 п 1   п 

2L
;   2L n 1  n 
(23.14)
и тогда соотношение для определения отношения теплоемкости газа
С Р / СV   имеет вид
4 L2
 n 1  n 2  
 
RT
(23.15)
Порядок выполнения работы
1.
Ознакомиться с краткой теорией вопроса и принципом действия установки.
183
2. Подключите приборы к сети.
3. Изменяя частоту генератора от 500 до 2000 Гц, установите частоты, при
которых на экране осциллографа наблюдается резкное увеличение амплитуды
сигнала.
4. Результаты опытов занесите в таблицу по форме 23.1. При записи
результатов учтите, что, начиная со второго значения, каждый результат в
таблице записывается дважды, т.к. является следующим для предыдущего, но
предыдущим для следующего измерения.
5. Подставьте экспериментальные результаты в рабочее выражение (23.15) и
вычислите .
6. Вычислите погрешность .
7. Запишите результаты в виде  = ср  . При записи результата
подумайте, сколько знаков после запятой следует поставить.
8. Выключите установку. Проверьте порядок на Вашем рабочем столе.
Форма 23.1
L,
м
L,
м
T,
К
T,
К
n ,
Гц
500
609
720
n+1 ,
Гц
609
720
n+1-n,  ,
Гц
Гц


Контрольные вопросы
1. Дайте определения Ср и Сv, используя первое начало термодинамики.
2. Представьте примеры, в которых на опыте измеряют Ср и в которых - Сv.
3. Сравните значения скорости звука в газах и твёрдых телах и модули
упругости в них.
4. В чём отличие зависимости P(V) для газов и твёрдых тел?
5. Сравните зависимости P(V) в газах для изотермического и адиабатического
процессов.
6. Почему распространение звука в газах – адиабатический процесс?
7. Объясните, почему модуль сжатия характеризует упругие свойства газов.
Используемая литература
[2]§67, 69; [3]§9.1-9.6; [7]§55; [4]§34.
184
Лабораторная работа 1-24 “Определение теплоемкости твердых тел”
Цель работы: усвоение основных понятий в термодинамике, оценка
удельных теплоемкостей некоторых твердых тел.
Теоретическое введение
Среди различных тепловых свойств важное место занимает
теплоемкость С, под которой для тела (или системы тел) понимают отношение
C
Q
(24.1)
dt
где Q - бесконечно малое количество теплоты, полученное системой
при повышении температуры на dT .
Средняя теплоемкость Cср в интервале температур от T1 до T2 может
быть представлена таким образом:
Cср 
Q
1 T2

 Cdt ,
T2  T1 T2  T1 T1
(24.2)
где Q - количество теплоты, за счет получения которой температура
системы повысилась от T1 до T2 .
Так как количество сообщенной теплоты зависит от характера процесса
(от пути процесса), определений (24.1) и (24.2) недостаточно, и необходимо
указать, каким именно способом повышается температура. Действительно, если
температура тела повышается вследствие адиабатического процесса, то Q  0 и
С=0. Если в системе происходит изотермический процесс, то Q  0 или Q  0 ,
а C   .
Обычно на опыте имеют дело с двумя видами теплоемкостей: при
постоянном давлении, P  const   CP , и при постоянном объеме, V  const   CV .
CP 
 QP
dT
, CV 
 QV
dT
,
(24.3)
где QP  d U  PV P  dH , H - энтальпия, а
QV  dU , U - внутренняя энергия, а Q  dU  PdV - первое начало
термодинамики.
Таким образом, теплоемкости CP и CV есть частные производные от
энтальпии и внутренней энергии по температуре (при постоянных давлении и
объеме). Уравнения
185
 H 
 U 
CP  
 и CV  

 T  P
 T V
(24.4)
можно рассматривать как определения. Они не имеют прямого
отношения к теплоте и характеризуют зависимость энтальпии и внутренней
энергии от температуры в условиях постоянного давления или объема и
позволяют найти энтальпию или внутреннюю энергию системы при любой
температуре, если известны CP T  и CV T  .
Теплоемкости
CP
и
CV
связаны
между
собой
простым
термодинамическим соотношением:
CP  CV  9 2 KVT
(24.5)
где  - температурный коэффициент линейного расширения, K модуль всестороннего сжатия (см. определение в работе 1-23), V - объем тела,
T - температура.
Относительная величина разности C p  Cv для твердых тел невелика и ею
можно пренебречь при невысоких температурах. Напомним, что в газах это не
так: ( C p  Cv  R ).
Чтобы теплоемкость вещества не зависела от массы тела вводят понятие
удельной c и молярной теплоемкостей C . Удельная теплоемкость измеряется в
Дж ;
Дж
, а молярная – в
. Из соображений размерности ясно, что C  c   ,
кг  K
моль  K
где  - молярная масса вещества.
Рис. 24.1
Экспериментальные факты, относящиеся к теплоемкости типичных
неорганических, химически простых, одноатомных кристаллических тел,
можно свести к следующим пунктам.
1. При комнатных температурах значения теплоемкости таких веществ
близки к 3R , т.е. 25
Дж
. Это так называемый закон Дюлонга – Пти.
моль  K
186
2. При низких температурах теплоемкость заметно уменьшается и в области
абсолютного нуля температур приближается к нулю (рис. 24.1).
Эту особенность температурной зависимости теплоемкости твердого
тела при низких температурах можно объяснить только с помощью квантовой
теории (модели Эйнштейна и Дебая).
Методика измерений
Для экспериментального определения теплоемкости исследуемое тело
помещается в калориметр, который нагревается электрическим током. Если
температуру калориметра с исследуемым образцом очень медленно
увеличивать от начальной T0 на T , то энергия электрического тока пойдет на
нагревание образца и калориметра:
IU  m0C0T  mCT  Q
(24.6)
где I и U - ток и напряжение нагревателя;  - время нагревания; m0 и m
- массы калориметра и исследуемого образца; C0 , C - удельные теплоемкости
калориметра и исследуемого образца; Q - потери тепла в теплоизоляцию
калориметра и в окружающее пространство.
Для исключения из уравнения (24.6) количества теплоты, расходованной
на нагрев калориметра и потери теплоты в окружающее пространство
необходимо при той же мощности нагревателя нагреть пустой калориметр (без
образца) от начальной температуры T0 на ту же разность температур T .
Потери тепла в обоих случаях будут практически одинаковыми и очень
малыми, если температура защитного кожуха калориметра в обоих случаях
постоянная и равна комнатной: Q0  Q
IU 0  m0C0T  Q0
(24.7)
Из уравнений (24.6) и (24.7) вытекает
IU    0   mCT
(24.8)
Уравнение (24.8) может быть использовано для экспериментального
определения удельной теплоемкости материала исследуемого образца. Изменяя
температуру калориметра, необходимо построить график зависимости разности
времени нагрева от изменения температуры исследуемого образца:
   0   f T  , по угловому коэффициенту которого
удельную теплоемкость образца.
K 
mC
можно определить
JU
187
Экспериментальная часть.
Для определения теплоемкости твердых тел предназначена
экспериментальная установка ФПТ1-8, общий вид которой показан на рис. 24.2.
Образцы нагреваются в калориметре, схема которого приведена на рис.
24.3.
Калориметр представляет собой латунный корпус с коническим
отверстием, куда вставляется исследуемый образец. На наружной поверхности
корпуса в специальных пазах размещается нагревательная спираль. Снаружи
корпус калориметра теплоизолирован слоями асбеста и стекловолокна и закрыт
алюминиевым кожухом. Калориметр закрывается теплоизолирующей крышкой.
Исследуемые образцы расположены в гнездах в блоке рабочего элемента 2.
После окончания эксперимента образец можно вытолкнуть из конического
отверстия корпуса калориметра с помощью винта. Для удаления нагретого
образца из калориметра и установки образца в нагреватель используется
рукоятка, расположенная в специальном гнезде рядом с исследуемыми
образцами.
Рисунок 24.2 - Общий вид экспериментальной установки ФПТ1-8: 1 - блок приборов; 2 блок рабочего элемента; 3 - стойка; 4 - нагреватель; 5 - исследуемые образцы.
Температура калориметра измеряется цифровым термометром, датчик
188
которого находится в корпусе калориметра. В блоке приборов 1 расположен
источник питания нагревателя, мощность которого устанавливается
регулятором «Нагрев». Напряжение и ток в цепи нагревателя измеряется
вольтметром и амперметром, расположенными на передней панели блока
приборов.
Время
нагрева
калориметра
измеряется
секундомером,
расположенным в блоке приборов. Секундомер приводится в действие при
включении питания блока приборов.
Рисунок 24.3 - Схема калориметра: 1 - образец; 2 - корпус, 3 - асбест; 4 - кожух; 5 рукоятка; 6 - стекловолокно; 7 - винт; 8 - датчик температуры; 9 - нагреватель; 10 - крышка.
Массы образцов и относительные атомные массы материалов приведены
в таблице 24.1.
Таблица 24.1
№
Материал образца
Атомная масса, кг/моль Масса , г
п/п
1
Дюраль
26,98 10-3
80
2
Латунь
63,57 10-3
180
3
Сталь
55,85 10-3
150
Порядок выполнения работы
1.
Снять кожух блока рабочего элемента установки и подвесить его на винтах
189
задней панели. Включить установку тумблером «Сеть».
2. Пустой калориметр плотно закрыть крышкой. Включить тумблер
«Нагрев». С помощью регулятора «Нагрев» установить необходимое
напряжение в цепи.
3. При температуре калориметра t0  25 °С включить отсчет времени. Сделать
7-10 измерений времени нагрева пустого калориметра через интервал 1°С.
Результаты занести в таблицу по форме 24.2.
Форме 24.2
№
п/п
U,
J,
T ,
0 ,
,
   0 , с,
В
А
К
с
с
с
C ,
Дж/(кгК) Дж/(мольК)
4. Выключить тумблер «Нагрев», открыть крышку и охладить калориметр до
начальной температуры t 0 .
5. Вращая винт влево, поместить в калориметр один из исследуемых
образцов, взятый по указанию преподавателя. Плотно закрыть крышку
калориметра и подождать 3 мин. для того, чтобы температуры калориметра и
образца сравнялись.
6. Включить нагреватель калориметра, установив такое же напряжение в
цепи как и при нагревании пустого калориметра.
7. Включить отсчет времени при той же начальной температуре t0 . Сделать 710 измерений времени нагревания калориметра с образцом  через интервал
температуры 1°С. Результаты занести в таблицу по форме 24.2.
8. Регулятор «Нагрев» установить в крайнее левое положение, выключить
тумблер «Нагрев», открыть крышку калориметра. Для удаления образца из
калориметра винт вращать вправо, после чего с помощью рукоятки вынуть
нагретый образец.
9. Выключить установку тумблером «Сеть»
Обработка результатов измерений
1. Построить график зависимости разности времени нагревания калориметра
с образцом и пустого калориметра от изменения температуры калориметра
   0  f T  и определить угловой коэффициент K .
190
2.
Используя значение углового коэффициента K , определить удельную
теплоемкость образца по формуле C 
JU
K
m
Используя данные таблицы 24.1, определить молярную теплоемкость
C образца.
4. Оценить погрешность результатов измерений.
3.
Контрольные задания
1. Дайте определение теплоемкости и укажите единицы ее измерения.
2. Объясните,
почему
теплоемкости
различны
для
разных
термодинамических процессов.
3. Какие соображения можно привести, чтобы понять, почему C p  Cv ?
4. Попытайтесь из формулы
соотношение Майера: C p  Cv  R
(24.5)
получить
для
идеальных
газов
5. В чем особенности теплоемкостей твердых тел в отличие от газов?
6. В чем заключается метод электрического нагрева для определения
теплоемкости твердых тел?
7. Выведите формулу для экспериментального определения теплоемкости.
8. Почему во время эксперимента нагревание пустого калориметра и
калориметра с образцом необходимо производить при одной и той же
мощности нагревателя?
9. Чем ограничена максимально допустимая температура нагревания
калориметра?
10. Основные источники ошибок данного метода измерений.
Используемая литература
[1] §87, 114; [3]§9.3, 9.5; [7]§53.
191
Лабораторная работа 1-25 “Определение изменения энтропии при
нагревании и плавлении олова“
Цель работы: определение изменения энтропии при фазовом переходе первого
рода на примере плавления олова.
Теоретическое введение
Состояния вещества, которые могут существовать одновременно в
равновесии друг с другом, называются различными фазами вещества. В
зависимости от агрегатного состояния различают газовую, жидкую и твердую
фазы. Будем говорить далее о фазах чистого вещества. Переход из одной фазы
в другую называют фазовым превращением или фазовым переходом.
Характерная особенность фазовых превращений – скачкообразное изменение
свойств вещества. Так при нагревании льда его тепловое состояние меняется
постепенно до тех пор, пока температура не становится равной 00С. Тогда лед
начинает превращаться в жидкую воду, обладающую совершенно другими
свойствами. После фазового перехода вещество состоит из тех же атомов, но
обладает другими свойствами.
По классификации фазовых переходов, принадлежащей П. Эренфесту, в
фазовых переходах I рода скачком изменяются такие термодинамические
характеристики как плотность, объем, энтропия; - первые производные от
свободной энергии Гиббса. При этом выделяется или поглощается теплота.
Примерами таких переходов являются процессы испарения и плавления
вещества.
Фазовые переходы II рода осуществляются без выделения или
поглощения теплоты, не меняются объем, энтропия. Однако, скачком меняются
производные от этих величин (вторые производные от свободной энергии
Гиббса) – теплоемкость, коэффициент
теплового расширения и т. д.
Примерами таких переходов являются фазовые переходы типа "парамагнетикферромагнетик", переход в сверхпроводящее состояние, переход жидкого гелия
в сверхтекучее состояние.
В данной работе необходимо измерить температуру фазового перехода температуру плавления олова, что и позволит рассчитать изменение энтропии
при этом фазовом превращении.
Фазовый переход I рода сопровождается выделением или поглощением
192
некоторого количества тепла (так называемая скрытая теплота перехода).
Согласно условиям равновесия такой переход происходит обратимо при
постоянном давлении и постоянной температуре. Первое начало
термодинамики вводит одну функцию состояния (величину, не зависящую от
пути процесса) – внутреннюю энергию U . Второе начало термодинамики –
другую функцию состояния – энтропию S . Для обратимых процессов
dS 
Q
T
,
(25.1)
где Q - бесконечно малое изменение теплоты, сообщаемое системе при
малом изменении ее состояния, T - ее температура. Символ  указывает на то,
что изменение Q не является полным дифференциалом в отличие от dS . То
есть, количество теплоты Q не является функцией состояния.
Поэтому можно воспользоваться вторым началом термодинамики и
рассчитать изменение энтропии системы S при переходе из состояния a в
состояние b :
b
Q
a
T
S  
(25.2)
В нашем случае изменение энтропии при нагревании и плавлении олова
S определяется как сумма изменения энтропии S1 при нагревании олова до
температуры плавления и изменения энтропии S 2 при плавлении олова.
S  S1  S2
(25.3)
Выражение для S1 нетрудно получить, учитывая, что количество
теплоты  Q , получаемое веществом при изменении его температуры, равно
 Q  c  m  dT .
Тогда
Tп
Q
Tк
T
S1  
c  m  dT
T
 c  m  ln п
Tк
T
Tк
Tп
 
(25.4)
где Tп - температура плавления олова, Tк - комнатная температура, c –
удельная теплоемкость.
Так как плавление вещества происходит при постоянной температуре
Tп , то при расчете S 2 по формуле (25.1) величину
1
1

необходимо вынести
T Tп
из-под знака интеграла, а теплоту плавления Q2 выразить через удельную
теплоту плавления  и массу вещества m :
S 2 
1
Q2   m

 Q 
Tп
Tп
Tп
(25.5)
193
Окончательное выражение для изменения энтропии при нагревании и
плавлении олова с учетом формулы (25.2) будет иметь вид:
S  c  m  ln
Tп   m

Tк
Tп
(25.6)
Экспериментальная часть
Для определения изменения энтропии при нагревании и плавлении
олова предназначена экспериментальная установка ФПТ 1-11, общий вид
которой показан на рис. 25.1
Рисунок 25.1 - Общий вид экспериментальной установки ФПТ1-11
1 – стойка; 2 – кронштейн; 3 – нагреватель; 4 – датчик температуры; 5 – тигель с
исследуемым материалом; 6 – блок рабочего элемента; 7 – блок приборов
Нагревание олова происходит в тигле с помощью электрического
нагревателя 3, источник питания которого размещен в блоке приборов 7
Температура олова измеряется цифровым термометром, расположенным в
блоке рабочего элемента 6. Время нагрева измеряется цифровым
секундомером, расположенным в блоке приборов. Секундомер приводится в
действие при включении питания блока приборов.
Порядок выполнения работы
194
1. Включить установку тумблером «Сеть» и измерить начальную
температуру олова TК
2. Одновременно включить нагреватель и запустить секундомер и через
каждую минуту измерять температуру олова. Измерения проводить до тех пор,
пока температура не достигнет постоянной величины ( Tп ), а затем начнет
увеличиваться. Результаты измерений отмечать на графике T  f t  . Все
результаты заносить в таблицу по форме 25.1.
3. Выключить нагреватель и провести аналогичные измерения при
охлаждении олова, отмечая температуру на том же графике, что и в п.2
4. Выключить установку тумблером “Сеть”.
Обработка результатов измерения
1. По
двум
полученным
графикам
определить
температуры,
соответствующие участкам графиков, паралелльным оси времени, и по их
среднему значению найти температуру плавления олова.
2. по формуле (25.6) определить изменение энтропии во время нагревания и
плавления олова. Удельную теплоту плавления и удельную теплоемкость олова
найти в справочниках, m  150 г.
3. Оценить погрешность измерений.
Форма 25.1
t,с
U, мВ
T,K
Контрольные вопросы
1. В чем отличие фазовых переходов первого рода от фазовых переходов
второго рода?
2. Приведите примеры фазовых переходов.
3. Какие функции состояния вводят начала термодинамики?
4. Дайте определение обратимого процесса.
5. Чему равно изменение энтропии при изотермическом и адиабатическом
процессах?
6. Выведите основную расчетную формулу, используемую в данной работе.
195
7. До какой температуры нужно нагревать олово в тигле при выполнении
эксперимента?
8. Какая величина больше - удельная теплота плавления или удельная
теплота испарения?
Используемая литература
[3]§11.3
196
Библиографический список
1. Савельев, И.В. Курс физики: учеб.пособие.: В 3-х т. Т.1/И.В. Савельев.-М.:
Наука, 1977.с.
2. Савельев, И.В., Курс физики: Учеб.пособие.: В 3-х т. Т.1/И.В. Савельев.М.: Наука, 1989.с.
3. Детлаф, А.А. Курс физики/ А.А. Детлаф, Б.М. Яворский.-М.: Высш.шк.,
1989.-500 с.
4. Зисман Г.А. Курс общей физики/Г.А. Зисман, О.М. Тодес.-М.: Высш.шк,
1972-465с.
5. Калашников, Н.П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т. Т.1/Н.П.
Калашников, М.А. Смондырев. – 2-е изд., перераб. – М.: Дрофа, 2003. -400 с.
6. Лозовский, В.Н. Курс физики: учебник для вузов.: в 2-х т. Т.1/В.Н.
Лозовский. –СПб.: Лань, 2000.-576с.
7. Трофимова, Т.И. Курс физики/ Т.И. Трофимова.-М.: Высш.шк., 1999.-542с.
8. Зайдель, А.Н. Элементарные оценки ошибок измерений/ А.Н.Зайдель.Наука, 1968.с.
9. Богданов, В.И. Физика: методические указания по оформлению отчетов и
обработке результатов измерений./В.И.Богданов.-Вологда, ВоГТУ, 2005.-39 с.
197
Приложения
Справочные материалы

0,90
0,95
0,99
Значения коэффициента Стьюдента
Число измерений n
2
3
4
5
6
7
8
9
6,3 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86
12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31
63,7 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36
10
1,83
2,26
3,25
15
1,76
2,14
2,98
Дробные и кратные приставки к единицам измерения
обозначение приставка множитель обозначение приставка
п
пико
да
дека
10 12
н
нано
г
гекто
109
мк
микро
к
кило
106
м
милли
М
мега
103
c
санти
Г
гига
102
д
деци
Т
тера
101
20
1,73
2,09
2,86
множитель
101
10 2
103
106
109
1012
Некоторые константы и часто применяемые величины
Постоянная Больцмана k  1,38  1023 Дж/К
Постоянная Авогадро N A  6,02  1023 моль-1
Ускорение свободного падения g  9,8 м/с2
Универсальная газовая постоянная R  8,31 Дж/(моль·К)
Скорость света в вакууме c  3  10 8 м/с
Вещество
алюминий
бронза
вода
глицерин
ртуть
свинец
серебро
Плотность веществ 
вещество
 , кг/м3
2700
медь
8800
олово
1000
масло машинное
1260
Масло растительное
13600
железо
11350
латунь
10500
эбонит
 , кг/м3
8900
7300
900
970
7900
8400
1200
25
1,71
2,06
2,80
198
глицерин
воздух
Вязкость некоторых веществ
0
10
20
t, С
12,10
3,95
1,48
 , Па·с
0
0
15
25
t, С
17,9
18,4
 , мкПа·с 17,2
0
30
0,60
50
19,6