в формате Word 97 (220К)
advertisement
Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 1 из 9 Рисованные объекты. Световые лучи распространяются от яркого источника в разные стороны, испытывая, возможно, на своём пути те или иные отклонения. Это могут быть отражения от всевозможных преград, либо проникновение внутрь них, если преграды окажутся хотя бы отчасти прозрачными. Ясно, что поведение света в данных событиях, как и всё в природе, подчиняется каким-то определённым законам. Более того, любой взрослый человек, даже если он со школьных времён не брал в руки ни одной книжки по физике, по этому поводу непременно воскликнет: «Знаю, знаю! Угол падения равен углу отражения» - настолько это кажется очевидным, да и фраза какая-то уж очень хорошо запоминаемая. Ответ даётся, правда, неполный, зато если с той же задачей обратиться к ученикустаршекласснику, голова которого отягощёна множеством разнообразных, но чаще всего не связанных между собой знаний из области физики (не говоря уже о других предметах), то какие только не услышишь варианты. Или угол падения равен углу преломления, или угол преломления равен углу отражения, или вообще все углы равны, или, наоборот, между ними разница в 90 градусов. Причём говорится это, иногда, совершенно абстрактно, безо всякой даже попытки представить картину самого явления. Вот с неё-то, с картины, мы и начнём очередное занятие. Если она схематична, т.е. состоит из простых элементов – линий, стрелок, прямоугольников, окружностей, и т.п., то чтобы её нарисовать, совсем необязательно запускать в работу графический редактор; вполне хватит изобразительных возможностей, встроенных в сам Excel. Надо только вывести на экран дополнительную панель инструментов рисования, либо через меню «Вид», либо ещё проще – щёлкнув по соответствующей кнопке на стандартной панели, в правой её части. Нормально панель рисования располагается внизу, хотя её можно перетащить и в другое место. Строим картинку, как обычно: прежде выбираем нужную фигуру на панели и затем проводим мышкой (с нажатой левой клавишей) там, где её надо расположить. Начнём с прямоугольной рамки, покрывающей почти весь лист. По умолчанию она оказывается залитой сплошным белым цветом, но и его, и цвет самой ограничительной линии, и её толщину можно менять. Для этого щёлкаем правой клавишей в любом месте рамки (находясь над ней, мышиный курсор имеет вид небольшого крестика из стрелок), и выбираем из контекстного меню самый нижний пункт «Формат автофигуры». Крохотные квадратики по бокам рамки позволяют растягивать или, наоборот, сужать её (курсор при этом - двойная стрелка, диагональная или прямая). Кстати, и саму рамку целиком можно передвигать, не меняя размеров. Вообще, подобные действия мы будем производить по отдельности над многими из выстраиваемых объектов, а их нам потребуется ещё довольно много. Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 2 из 9 Тиражирование объектов. Проведём теперь прямую линию, обозначающую границу двух разных физических сред, где распространяется свет (чтобы линия получилась строго горизонтальной, во время движения мыши удерживаем нажатой клавишу Shift). Пусть для примера это будут стекло и воздух, - на рисунке отметим их соответственно маленькими штрихами и точками. Один штрих построить несложно, но нам их нужно целый десяток, причём желательно одинаковых по длине. Поступим так: проведя где-нибудь под границей коротенький отрезок прямой, и тут же, не снимая выделения, пока по бокам видны упомянутые ранее квадратики, скопируем его в буфер, а затем нужное количество раз подряд щёлкнем по кнопке «Вставить». Вот они и выйдут, десять одинаковых, смещённые в правильном геометрическом строе; нам лишь останется, сознательно нарушив порядок, разместить их равномерно по всему пространству, занятому стеклом (если при перетаскивании мы, промахнувшись, случайно зацепим и сместим не штрих, а саму рамку, то наверху есть замечательная кнопка «Отменить»). С точками дело обстоит несколько сложнее: нет такой фигуры на панели рисования. Ну что же, нет, так сделаем! Ведь что такое точка, - это очень маленький кружок. Вот мы и нарисуем сначала произвольный овал, а потом через карточку его формата, только на этот раз открытую на вкладке «Размер», закажем и высоту, и ширину минимальными. Полученную точку снова растиражируем в нужном количестве экземпляров. Идём далее и рисуем источник света. Для него подойдёт одна из имеющихся в наборе автофигур под названием «Солнце» (чтобы оно было правильной формы, опять-таки удерживаем Shift). А от источника протягиваем лучи – стрелки, и один какой-нибудь выделяем цветом особо, чтобы проследить его дальнейший путь. На границе он расщепляется, и обе составляющие, отражённый и преломлённый лучи, доходят, наконец, до своих приёмников. Причём отражённый, заведомо симметричный, нам лучше будет не рисовать заново, а, сделав предварительно копию падающего, просто отразить его слева направо, и несколько укоротить. Аналогичные действия выполним для углов, образуемые всеми тремя лучами с единой осью отсчёта – пунктирным перпендикуляром (линия с шаблоном «Штрих»). Сам же угол изобразим посредством автофигуры «Дуга» (и снова с Shift’ом) подходящего размера. Правда, здесь уже под размером надо понимать две вещи: во-первых, линейный масштаб, с сохранением пропорций, и, во-вторых, величину угла в градусах. Потому-то наряду с обычными белыми квадратиками по прямоугольному периметру объекта, имеется ещё дополнительно пара жёлтых ромбиков, ухватившись за которые, мы можем увеличивать или уменьшать раствор угла. Подстраивать углы – работа, конечно, кропотливая, требующая точного глаза и твёрдой руки. Заливку тут удобнее взять полупрозрачную, чтобы сквозь неё просвечивались лучи. Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 3 из 9 Подписи к рисунку. На панели рисования имеется кнопка «Надпись»; щёлкнув по ней, мы проводим в поле рисунка небольшую рамочку, внутри которой появляется мигающий текстовый I-образный курсор, и вводим пояснительный текст, не обращая пока внимания на цвет фона и шрифта, - всё это можно менять как угодно и после набора. В нашем случае, например, заливка, пожалуй, совсем не нужна, да и саму линию лучше сделать бесцветной. Размер же рамочки, зацепившись обычным образом за квадратики, подбираем таким, чтобы уместилась вся надпись, состоящая иногда и из нескольких строчек. Карточка содержит много вкладок именно потому, что правой клавишей мыши было вызвано контекстное меню (а в нём последний пункт «Формат надписи») не собственно самого текста, а всей текстовой рамки, так что для получения полного спектра возможностей форматирования щелчок надо производить точно по ограничительной линии. Однако, это хорошо ещё, что на нашем рисунке надписей не так уж много и они свободно располагаются, не перекрывая друг друга. Ну а если бы их было гораздо больше? И вообще, каково соотношение между несколькими рисованными объёктами, будь то текстовые рамки, линии, стрелки, дуги и т.д., если их области (а ведь они все прямоугольные) накладываются одна на одну? Скажем, если фоновая заливка не используется, то понятно, что из-под верхней, например, надписи, будет проглядывать нижняя. Но не всегда же мы работаем без заливки, и, кстати, как разобрать, какая надпись выше, а какая ниже? Действительно, рисунок состоит как бы из множества слоёв, один над другим. Логично предположить, что все объекты, распределяются по ним в порядке их создания: тот, который создан позже, тот и будет выше. Так оно и есть, но нам предоставляется возможность менять исходное положение, и устанавливать самим, какой объект поднять, а какой опустить. Зачем? Да хотя бы затем, чтобы добраться до какого-нибудь из них, если он случайно вдруг окажется перекрытым. Делается это через посредство пункта меню под названием «Порядок». В нём предусмотрено четыре перемещения выделенного объекта: в самый нижний слой, в самый верхний, или же на один шаг в том и другом направлении. Имеется ещё одно полезное действие, которое, правда, в нашем случае останется невостребованным. Это поворот рисованного объекта в плоскости рисунка на произвольный угол, - так называемое свободное вращение. Вызывается оно щелчком по одноимённой кнопочке панели рисования; после него по углам выбранного нами прямоугольного фрагмента появляются, вместо белых квадратиков, маленькие зелёные кружочки, взявшись за любой из которых мы и можем производить вращение. Только по какой-то причине, к сожалению, эта операция не применима к текстовым рамкам. Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 4 из 9 Группировка объектов. Итак, после ввода всех пояснительных надписей (в том числе и одиночных букв для обозначения точек, расстояний и углов), картинка практически готова. Пора переходить к содержательной части задачи, к её постановке и последующим расчётам. Только лишь перед этим мы, в качестве вспомогательного построения, проведём дополнительно ещё три луча, серым цветом, вдоль какой-нибудь другой, произвольной, чисто гипотетической траектории распространения света, которая в настоящем эксперименте не наблюдается. Точнее говоря, первый из этих лучей, AS, и на самом деле имеет полное право на существование, наряду со всеми другими, испускаемыми источником. Но вот отразится и преломится свет в точке падения, обозначенной буквой S, совсем не так, как указывают ему направления SB и SC, поскольку проведены они с нарушением обоих законов, - и отражения, и преломления. Цель всего проводимого нами исследования как раз и будет состоять в том, чтобы попытаться найти какой-то критерий, отличающий ту единственную пару линий AOB и AOC, реальную, от всех других могущих, в принципе быть, но не осуществляемых в природе. Причём критерий нас будет интересовать именно природный, физический, так сказать, живой, а не сухой геометрический, вроде равенства меду собой каких-то одних углов (закон отражения), или постоянства отношения синусов каких-то других (закон преломления). Коротко говоря, чем же для света траектория ASC хуже траектории AOC? Последнее, что нам надо сделать с рисунком, это объединить все его разрозненные пока что фрагменты – рамки, линии, углы, стрелки, буквы, надписи и др. в один общий рисунок, который можно было бы перемещать по листу Excel как единое целое, или даже передавать в какую-либо другую программу, если это потребуется. Для такого объединения служит действие «Группировать». Но ещё до того как отдать такую команду, надо, конечно, пометить отдельные объекты, щёлкая по ним при нажатой клавише Shift. Причём не обязательно помечать сразу всё, что было нарисовано; наоборот удобнее даже это делать по частям. Так, например, в настоящий момент выделены и будут объединены пять фрагментов; четыре из них расположены выше границы (в воздухе), а пятый – ниже (в стекле). Первые четыре – улыбающаяся рожица, фигурная скобка и их буквенные обозначения, окружены каждый своими белыми квадратиками. А вот у нижнего, пятого, состоящего из тех же элементов, квадратиками ограничена их общая прямоугольная область, и очевидно потому, что объединение было уже сделано заранее. Если теперь щёлкнуть по слову «Группировать», то получится один ещё большего размера фрагмент, к которому в дальнейшем должны будут прибавляться всё новые и новые, пока картина не станет полной. Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 5 из 9 Поиск минимума. Перейдём теперь уже к самим экспериментам. Нам надо вычислить расстояния, проходимые светом на его пути от источника к приёмнику вдоль разных траекторий, а также значения углов. Все эти данные мы поместим в таблицу, и, заполнив её, постараемся выявить какие-либо закономерности в результатах вычислений. Руководящей для нас идеей здесь должна послужить догадка о том, что если говорить, допустим, об отражении, то длина реального, наблюдаемого в действительности пути света, для которого угол равен углу , по-видимому, является наименьшей в сравнении со всеми иными предполагаемыми направлениями. У любого другого и углы бы не совпадали, и вместе с тем проходимое расстояние оказывалось бы больше. Это легко доказать и чисто геометрически, но имея в виду дальнейший план исследования, мы проверим данное предположение непосредственными «измерениями». А именно, просто подсчитаем длины разных путей, перемещая мысленно точку S вдоль границы в некоторых разумных пределах. Тем самым длину x мы задаём по своему желанию, а уж все остальные величины вычисляются по разным формулам. Так, гипотенуза La есть корень квадратный из суммы квадратов катетов a и x; аналогичную роль катетов для гипотенузы Lb играют отрезки d-x и b. В сумме обе гипотенузы и дают общую длину проходимого пути. С углами дело обстоит сложнее, но ненамного. Тут потребуется вложение функций. Сначала вычисляем синус угла, как отношение двух длин – противолежащего катета к гипотенузе: sin = x / La и sin = (d-x) / Lb. Затем от полученного числа берём арксинус и, наконец, результат переводим из радианов в градусы. В итоге формула выходит не такой уж и громоздкой: [F5] = ГРАДУСЫ(ASIN(A5/B5)) или [G5] = ГРАДУСЫ(ASIN((G$1-A5)/C5)). Какими бы ни были расстояния a и b, и даже d (только не в очень широких пределах), всегда наименьшему пути будут соответствовать равные углы, – в этом мы убеждаемся прямыми пробами. Специально для удобства наблюдения предусмотрены два вспомогательных столбца, по которым могут «пробегать» красные стрелочки, указывающие на самое маленькое расстояние и самое маленькое абсолютное значение разности углов. Даже если эта разность не нулевая, а такое иногда может случиться (исключительно из-за недостаточно мелкого шага по величине x), всё равно перемещение стрелок будет синхронным. Что касается самой «стрелки», то, не имея в Excel возможности вставить символ псевдографики, мы вправе использовать для этой цели, например, Word, через универсальный буфер обмена (перейдя в Word набрать и скопировать, а, вернувшись в Excel, – вставить). Итак, рассмотрев пока только отражение, выскажем, тем не менее, рабочую гипотезу. Чтобы дойти от точки, где расположен источник, до точки, где расположен приёмник, свет, как бы из соображений экономии, выбирает кратчайший путь. Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 6 из 9 Большие числа. Хотя бы только и применительно лишь к отражению, всё равно такая формулировка закона, конечно, предпочтительнее скромного утверждения о равенстве углов. Это уже не просто экспериментально установленный факт, а некий принцип. Кроме того, под его влияние попадает и чистое, без отражений, распространение света по прямой линии в однородной среде. Вместо двух законов, отражения и прямолинейного распространения, мы получаем один – движения по кратчайшей траектории. Не сможем ли мы и в третьем случае, при переходе луча из одной среды в другую, усмотреть проявление того же принципа? На первый взгляд – нет. Совсем никаких вычислений не надо проводить, чтобы, бросив один лишь взгляд на нашу картинку, сказать, что кратчайшим путём от точки A до точки C будет прямая линия, не совместимая ни с каким вообще преломлением. Ведь если бы свет действительно распространялся кратчайшим путём, то, переходя через границу, луч не менял бы вовсе своего направления. А на самом деле направление меняется, причём хорошо известно из опытов, как. Тут всё определяется относительным показателем преломления двух сред. Это такое число, которое равно отношению синуса угла падения к синусу угла преломления. Так, если говорить о воздухе и стекле, то показатель преломления n, равный, допустим, одной целой и пяти десятым, есть свидетельство того, что под каким бы углом исходный луч света не падал, преломлённый пойдёт немного ближе к перпендикуляру, причём sin sin = 1,5. Как если бы у него, у луча, имелся калькулятор, на котором быстренько подсчитывалось бы, что, например, при = 30˚ угол должен быть равен arcsin(0,5/1,5), или, приблизительно, 19˚. То есть действительная траектория света есть ломаная линия, а значит, не кратчайшая. Впрочем, это смотря как понимать слово «кратчайший». Что, если подсчитывать не длину пути, а время, требуемое на его прохождение? Тогда уже надо учитывать и различие в скорости света, которая для стекла меньше, чем для воздуха. Причём меньше, как известно из физики, именно в том же самом отношении, что и синусы углов - в частности у нашего сорта стекла, с показателем преломления 1,5, скорость в полтора раза меньше, чем у воздуха. И совсем необязательно, что прямой, самый короткий путь выйдет и самым быстрым. Таблица увеличивается в размерах за счёт новых столбцов, но результат подтверждает высказанное предположение. Действительно, там, где время оказывается наименьшим, а в нашем случае это около отметки x = 650, там и закон преломления выполняется! Одно только не совсем удобно: очень уж громоздкой получается запись чисел, показывающих время. Всё это, конечно, из-за того, что свет распространяется с колоссальной скоростью – триста тысяч километров в секунду (в воздухе). Поэтому, даже если брать расстояния в метрах, то счёт пойдёт на миллионные доли. Волей неволей приходится применять экспоненциальный формат. Либо, для лучшей наглядности, выражать скорость в Мм/с (Мега), а время в мкс (микро). Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 7 из 9 Наложение диаграмм. Таким образом, мы пришли к замечательной обобщённой формулировке того принципа, который лежит в основе всех законов распространения света, как в однородной среде, так и при переходе из одной в другую: свет движется по кратчайшему (в смысле быстрейшему) пути. Неплохо было бы теперь представить табличные результаты на отдельном листе в наглядной форме диаграмм. На первую, связанную с отражением, мы выведем данные из столбцов L и в их зависимости от x, чтобы увидеть, как оба графика синхронно достигают минимума, причём при произвольных изменениях параметров a и b. Вообще-то, построить сразу два графика на одной диаграмме нетрудно, выделив предварительно оба диапазона ячеек. Но сейчас такой вариант не подходит, поскольку рассматриваемые величины отличаются более чем на порядок. Придётся сначала построить две одиночные диаграммы, с разным масштабом вертикальных осей, а затем, постараться наложить их друг на друга так, чтобы оси x совпали (у верхней диаграммы будет установлен прозрачный фон). Строим L(x): Лист «Отражение»D3:D23Мастер диаграммГрафикПервыйДалееРяд Подписи по оси xA3:A23ДалееЛегенда(нет)Далееимеющемся(Графики)Готово. Растягиваем диаграмму (в клетки A2:E23) и меняем формат оси x: ШрифтАвтомасштаб(нет) Размер(6) ШкалаЧисло категорий(2 и 2)галочку снятьОК. Формат оси y: ШкалаМинимум(1000)Максимум(1800)Цена основных(100)Шрифт(6) Цвет синийОК. Диаграмму выделяем, копируем в буфер и вставляем в F2: на копии правая кнопкаИсходные данныеРядЗначенияH3:H23ОКФормат оси yШкалаМинимум(0)Максимум(80) Цена основных(10)ВидМетки(вверху)Ось невидимаяШрифтЦвет красныйОК Формат области диаграммыВидЗаливка прозрачнаяОКФормат области построения (То же самое)Формат рядов данныхВидЛинияЦвет красныйСглаженнаяОК. Теперь предстоит самое трудное – наложить копию на оригинал и выровнять у них области построения. Мы будем двигать границы то на одной, то на другой диаграмме, а переход осуществлять из контекстного меню «на передний» или «на задний план» (после выбора надо только щёлкать где-нибудь в стороне, чтобы снять выделение). Работа требуется просто ювелирная, но зато в итоге получается эффектная картина, после аналогичных действий со второй парой диаграмм. Напоследок в ячейки столбцов F и G поместим исходные значения a, b, c и n, чтобы было удобнее их менять, а в соответствующие клетки сделанных ранее листов внесём вместо стоящих там чисел - ссылки. Ну и добавим пояснительные надписи (через панель рисования). Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 8 из 9 Подбор параметра. На листе графиков хорошо наблюдать, что какими бы ни были конкретные значения расстояний до источника, обоих приёмников, границы раздела сред, а также каков бы ни был показатель преломления, всегда минимумы будут совпадать, располагаясь друг над другом. Благодаря сглаженности линий мы можем даже определить (приблизительно, на глаз), через какую именно точку границы пройдут лучи, хотя в самих таблицах величина x меняется скачками, с некоторым шагом, и истинное положение минимума не вычисляется. Если же нам захочется узнать его с большей точностью, мы можем обратиться к ещё одной вспомогательной службе Excel, которая называется «Подбор параметра» и вызывается из меню «Сервис». Это как бы подгонка исходных данных задачи к требуемому ответу, известному заранее. В случае отражения света таким ответом будет значение «ноль» для разницы между углами и , а в случае преломления – «ноль» для разницы между показателем преломления n и отношением синусов N. Исходным же числом, т.е. тем самым параметром, о котором идёт речь, и там, и там является величина x. В обеих таблицах она меняется скачкообразно, с шагом 50 (или 25), оставляя пусть и небольшую, но всё-таки заметную неопределённость относительно точного места касания (или пересечения) границы. Вот эту-то неопределённость мы и должны устранить. А попутно, раз уж мы затронули меню «Сервис», рассмотрим ещё один его пункт – «Зависимости». Через него включается отображение, в форме синих стрелок, функциональных связей между ячейками и становится видно, что, например, на клетку K18, выбранную нами для «подгонки», влияют J18 и F23, а на них, в свою очередь, другие и т.д. Цепочка может быть прослежена до самого начала, до того самого «параметра» A18, каковой мы и собираемся «подбирать». По нажатию ОК, довольно быстро искомое значение для x будет выведено с предельной точностью в десяток знаков после запятой, и его, при желании можно таким и оставить. Не всегда, впрочем, механизм подбора параметра работает «как часы», случаются подчас и сбои, когда решение поставленной задачи не удаётся найти. Причина этого, по-видимому, лежит в несовершенстве заложенного в программу алгоритма поиска, и выходом из ситуации может служить, например, небольшой допуск на то значение целевой ячейки, которое мы устанавливаем (скажем, вместо нуля ввести одну тысячную). Кроме того, саму эту целевую ячейку лучше взять поближе к месту предполагаемого минимума, в клетке K13. Так или иначе, но мы всё-таки должны получить значение x, равное (при указанных a, b, d и n), примерно, 547,57 метров, на чём и завершить очередное, седьмое по счёту занятие, сохранив таблицу на диске в файле «Распространение света». Занятие 7. Законы отражения и преломления света стр. 9 из 9 Проверочные вопросы. 1. Если у рисованного объекта «Прямоугольник» нет заливки цветом, т.е. рамка прозрачная, то где надо щёлкать мышью, чтобы вызвать меню формата этой фигуры, или хотя бы даже просто выделить её? 2. Каков минимальный размер точек, символизирующих на схеме опыта воздух, и построенных с помощью рисованного объекта «Овал»? 3. Как называется и где на панели рисования находится фигурка, изображающая на схеме опыта приёмники излучения? Можно ли изменить широту её улыбки? 4. В чём состоит эффект удерживания клавиши Shift при создании какой-либо фигуры вообще, и, в частности, во время рисования «Дуги»? 5. По какой малозаметной детали на третьем по счёту рисунке можно судить о том, что при его подготовке текстовые надписи (и в том числе «Стекло …»), в процессе достижения наибольшей выразительности картины, многократно удалялись и создавались вновь? 6. Сколько всего рисованных объектов (и сколько, в том числе, текстовых надписей) имеется на схеме опыта? 7. Как вывести греческие буквы в надписи для обозначения углов? 8. Как убедиться в том, что при группировке в окончательную единую картину были включены все рисованные объекты до самого последнего? 9. Как будет выглядеть содержимое ячеек с исходными данными на листах «Отражение» и «Преломление», после внесения в них ссылок на значения a, b, c и n с листа «Графики»? 10. Как добиться того, чтобы на диаграмме преломления |N - n| отображалась с одним знаком после запятой, несмотря на то, что источником данных для неё является соответствующий столбец таблицы, где установлена точность в два знака? Задание для самостоятельной работы. Предположим, что по некоторой, можно считать, плоской местности проходит через крупный рабочий город прямолинейный участок железной дороги. На определённом расстоянии от города, но, к сожалению, несколько в стороне от неё, открыто месторождение какого-то полезного ископаемого, в котором как раз очень нуждается предприятие города. Руководством принято решение построить в срочном порядке шоссе от карьера к дороге для перевозки руды. Вопрос ставится только, в какой точке они должны будут пересекаться, чтобы совокупные затраты на строительство и на перевозку были наименьшими. Учтено должно быть, по возможности, всё: помимо расстояний, это и стоимость перевозки тонны руды по шоссе и по железной дороге (по шоссе – дороже), и стоимость постройки километра шоссе, а также предполагаемый полный объём месторождения. Указания к исполнению. Надо сделать рисунок – план местности с обозначением всех расстояний и построить таблицу, в которой одно из расстояний, а именно от города до перевалочной станции, взято за исходную переменную, а стоимость перевозки вычисляется.
