Объем призмы

Объем призмы
Теорема. Объем прямой призмы равен произведению площади основания
на высоту: Vпр=Sосн·Н.
Доказательство. Возьмем треугольную призму и дополним ее до
параллелепипеда.
Точка O является центром симметрии параллелепипеда. Поэтому
достроенная призма симметрична исходной относительно точки O,
следовательно, имеет объем, равный объему исходной призмы.
Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному
объему данной призмы.
1
Vпр= Vпар
2
Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на
высоту. Площадь его основания равна удвоенной площади треугольника ABC, а
высота равна высоте исходной призмы.
Отсюда заключаем, что объем исходной призмы равен произведению
площади ее основания на высоту.
1
С другой стороны, Sосн.пр= Sосн.пар, а высота призмы и параллелепипеда
2
общая.
1
1
Из равенства Vпр= Vпар= Sосн.пар·H следует, что Vпр=Sосн·Н.
2
2
Теорема доказана.
Следствие. Объем прямой призмы равен произведению площади
основания на длину бокового ребра.
Теорема. Объем любой призмы равен произведению площади ее
основания на высоту: Vпр=Sосн·Н.
Доказательство. Возьмем произвольную призму. Разобьем ее основание
на треугольники. Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных
призм, ее составляющих.
Объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания
на высоту: V=SоснH.
Следовательно, объем произвольной призмы:
V=S1H+S2H+…+SnH= (S1+S2+…+Sn)H,
где S1, S2, …, Sn – площади треугольников, на которые разбито основание
призмы, а Н – высота призмы. Отсюда V=SоснH.
Теорема доказана.
Теорема. Объем наклонной призмы равен произведению площади
перпендикулярного сечения на боковое ребро: V=Sпс·l.
Доказательство. Пусть ABCA1B1C1 – наклонная призма, AB2C2 –
перпендикулярное сечения этой призмы.
Дополним призму АВ2С2А1В1С1 до прямой призмы АВ2С2А1В3С3. Легко
заметить, что объемы призмы ABCA1B1C1 и АВ2С2А1В3С3 равны.
Объем прямой призмы АВ2С2А1В3С3 V=SAC B AA1, а, следовательно, и
2 2
объем призмы ABCA1B1C1 равен V=SAC B AA1=Sпс·l.
2 2
Теорема доказана.
Следствие. Объем наклонной призмы равен произведению площади
основания на высоту: V=S·H.
Примеры решения задач
Задача № 1. Найти объем призмы, если
ее основанием служит прямоугольный
треугольник с катетами 4 и 2 см, а
высота призмы равны 6 см.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания Sосн=
1
2
АВ*ВС=4 см. Отсюда V=4*6=24 см3.
ОТВЕТ: 24 cм3
Задача № 2. Найти объем призмы, если
ее высота 10 см, а в основании –
треугольник со сторонами 29, 36 и 25
см.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания
вычисляется по формуле Герона S= p(p  a )(p  b)(p  c) , где a, b и с –
стороны треугольника, р – полупериметр. р=(AB+BC+AC):2=(29+36+25):2=45
см. S=360 см2. Отсюда V=360*10=3600 см3.
ОТВЕТ: 3600 см3
Задача № 3. Найти объем призмы, в
основании которой лежит ромб с
диагоналями 6 см и 8 см, а высота
призмы равна 3 см.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания
1
вычисляется по формуле Sосн= АС*BD=24 см2. Отсюда V=24*3=72 см3.
2
ОТВЕТ: 72 см3
Задача № 4. Вычислить объем
правильной шестиугольной призмы со
стороной основания 2 см и высотой 2 3
см.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания равна
шести площадям равносторонних треугольников Sосн=6Sтр=6*а2* 3 /4=6 3 см2.
Отсюда V=6 3 *2 3 =36 см3.
ОТВЕТ: 36 см3
Задача № 5. Основанием призмы
служит параллелограмм со сторонами 4
см и 5 см, угол между сторонами равен
30º. Вычислить объем призмы, если ее
высота равна 4 см.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания
вычисляется по формуле Sосн=АВ*ВС*sin BAD=10 см2. Отсюда V=10*4=40 см3.
ОТВЕТ: 40 см3
Задача № 6. Основанием призмы
служит прямоугольный треугольник с
углом 45º и гипотенузой 2 2 см.
Вычислить объем призмы, если ее
высота равна 4 см.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания
1
вычисляется по формуле Sосн= АС*BD. АС=BD (свойство прямоугольного
2
треугольника с углом 45º). АВ=АС*sin45º=2 см. Отсюда Sосн=2 см2, V=8 см3.
ОТВЕТ: 8 см3
Задача № 7. АВСА1В1С1 - прямая
треугольная призма, основание которой равнобедренный треугольник ABC с
боковыми сторонами АВ и СВ.
Вычислите объем призмы, если СС1 = 5
см, АВ = 4 см, угол ВАС = 75°.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания
1
вычисляется по формуле Sосн= АВ*ВС*sinАВС. АВ=АС (треугольник
2
равнобедренный),АВС=180°-2*75°=30°, следовательно Sосн=4 см2, V=20 см3.
ОТВЕТ: 20 см3
Задача № 8. Найти объем правильной
треугольной призмы, если ее боковая
грань – квадрат площадью 12 см2.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания
вычисляется по формуле Sосн=АС2* 3 /4. Сторону призмы можно найти из
площади грани. АС= S =2 3 см. Отсюда V=(2 3 )2* 3 /4*2 3 =18 см3.
ОТВЕТ:18 см3
Задача № 9. Основанием прямой
четырехугольной призмы служит
прямоугольник со сторонами 3 см и 4
см. Вычислите объем призмы, если
площадь ее диагонального сечения
равна 30 см2.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Sосн=AB*BC=3*4=12 см2.
Площадь диагонально сечения Sсеч=AC*AA1, где АС – диагональ основания,
АА1 – высота призмы. Диагональ основания находится по теореме Пифагора и
равна 5 см. Из формулы площади сечения AA1=Sсеч:АС=30:5=6 см. Отсюда
V=12*6=72 см3.
ОТВЕТ: 72 см3
Задача № 10. Площадь поверхности
правильной треугольной призмы равен
14 3 см2. Вычислить объем призмы,
если ее высота 2 3 см.
РЕШЕНИЕ:
Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле Sпп=2Sосн+3Sгр.
Sгр=АВ*Н, Sосн=АВ2* 3 /4. Из площади полной поверхности находим AB. АВ=
2 см. Отсюда V=Sосн*H= 3 +2 3 =6 см3.
ОТВЕТ: 6 см3
Задача № 11. Основанием прямой
призмы служит прямоугольный
треугольник, катеты которого равны 3
см. Площадь сечения, проведенного
через один из катетов основания и
противолежащую вершину верхнего
основания, равна 7,5 см2. Найдите объем
призмы.
РЕШЕНИЕ:
1
2
2
АВ*ВС=4,5 см . Высота АА1 находится из прямоугольного треугольника АВА1.
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания Sосн=
АА1= А1В 2  АВ 2 . А1В находится из площади сечения: А1В=2Sсеч:ВС=5 см.
Отсюда АА1=4 см, V=18 см3.
ОТВЕТ: 18 см3
Задача № 12. Основание прямой призмы равнобедренный треугольник. Радиус
окружности, описанной около треугольника
основания, равен 4 см, а угол при его
основании равен 30°. Вычислите объем
призмы, если ее боковое ребро равно боковой
стороне треугольника, служащего основанием
призмы.
РЕШЕНИЕ:
1
2
2
АВ sin(180°-2*30°). АВ=2Rsin30°=4 см, где R – радиус описанной окружности.
АС=2Rcos30°=4 3 см. Отсюда Sосн=4 3 см, V=48 см3.
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания Sосн=
ОТВЕТ: 48 см3
Задача № 13. Основание прямой
призмы - параллелограмм, длины сторон
которого равны 8 см и 6 см, а угол
между ними 30°. Вычислите объем
призмы, если площадь ее полной
поверхности равна 328 см2.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Sосн=АВ*AD*sin30°=24 см2.
Площадь полной поверхности Sпп=2(Sосн+S1+S2)=2(AB*AD+AB*AA1+AD*AA1).
Отсюда АА1=10 см, V=240 см3.
ОТВЕТ: 240 см3
Задача № 14. Основание прямой
призмы - ромб, площади диагональных
сечений призмы равны 30 см2 и 40 см2.
Вычислите объем призмы, если
известно, что площадь ее основания
равна 24 см2.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания
известна. Высота находится из площадей диагональных сечений. H=S1:AC,
H=S2:BD, где АС и BD – диагонали ромба. H2=S1S2:(AC*BD). Из площади
1
ромба S= AC*BD находим, AC*BD=2S=48 см2. Отсюда Н=25 см, V=120 см3.
2
ОТВЕТ: 120 см3
Задача № 15. В правильной
четырехугольной призме радиус
окружности, описанной около
диагонального сечения, равен 2 6 см.
Вычислите объем призмы, если
известно, что боковое ребро призмы в
два раза больше стороны основания.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Основанием является
квадрат с площадью S=АВ2. Боковое ребро призмы является высотой, ее длина
равна 2АВ (по условию), следовательно, объем призмы V=2АВ3. Диаметр
описанной окружности является диагональю призмы АС1=2r=4 6 см. Из
прямоугольных треугольников АВВ1 и АВ1С1 находим АВ=4 см. Отсюда V=128
см3.
ОТВЕТ: 128 см3
Задача № 16. Основание призмы треугольник, длины сторон которого
равны 2 см, 3 см и 3 см. Длина бокового
ребра призмы равна 12 см, и оно
наклонено к плоскости основания под
углом 45°. Вычислите объем призмы.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания
находится по формуле Герона. S= p(p  a )(p  b)(p  c) , где a, b и с – стороны
треугольника, р – полупериметр. S=2 2 см2. Высота призмы находится из
прямоугольного треугольника ВОВ1. H=BB1sin 45°=6 2 см. Отсюда V=24 см3.
ОТВЕТ:24 см3
Задача № 17. Основанием прямой призмы
служит прямоугольный треугольник, один
из катетов которого равен 4 см. Площадь
сечения, проведенного через другой катет и
противолежащую ему вершину верхнего
основания, равна 15 см2. Найдите объем
призмы, если длина ее бокового ребра
равна 3 см.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Высота является боковым
1
ребром и равна 3 см. Площадь основания Sосн= АВ*ВС. Сечение является
2
1
прямоугольным треугольником Sсеч= ВС*ВА1. ВА1 находится по теореме
2
Пифагора ВА1= А1А 2  АВ 2 =5 см. Из формулы площади сечения ВС=6 см.
Подставив значения, находим V=36 см3.
ОТВЕТ: 36 см3
Задача № 18. В правильной четырехугольной
призме сумма площадей оснований равна
площади ее боковой поверхности. Вычислите
объем призмы, если диаметр окружности,
описанной около сечения призмы
плоскостью, проходящей через две вершины
нижнего основания и противолежащую
вершину верхнего основания, равен 3 см.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Из условия 2Sосн=4Sгр,
Sосн=2Sгр, АD2=2АD*АА1, АD=2АА1. Отсюда V=АD2*АD/2=АD3/2. Диаметр
описанной окружности является диагональю призмы АС1. Из треугольников
АDC1 и DCC1 по теореме Пифагора находим AD. AD=2 см. Отсюда V=8 см3.
ОТВЕТ: 8 см3
Задача № 19. Длины двух сторон основания
прямой треугольной призмы равны 14 см и 8
см, а угол между ними равен 30°. Вычислите
объем призмы, если сумма площадей
боковых граней, содержащих данные
стороны, равна 220 см2.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Площадь основания Sосн=
АВ*АС*sin30°=28 см2. По условию SABB1A1+SACC1A1=
=AB*AA1+AC*AA1=AA1(AB+AC). Отсюда АА1=10 см, V=280 см3.
1
2
ОТВЕТ: 280 см3
Задача № 20. Основание призмы равносторонний треугольник. Длина
бокового ребра призмы равна 4 см, и
оно наклонено к плоскости основания
под углом 60°. Вычислите объем
призмы, если перпендикулярная
проекция одной из вершин верхнего
основания является центром нижнего
основания.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Высота ОВ1 находится из
прямоугольного треугольника ОВВ1. ОВ1=ВВ1sin60°=2 3 см. Площадь
основания находится по формуле Sосн=АВ2 3 /4. По свойству описанной
окружности АВ=2r*sin60°. r=BO=ВВ1cos60°=2 см. Подставив значения,
получим V=18 см3.
ОТВЕТ: 18 см3
Задача № 21. Основанием прямой
призмы служит равнобедренная
трапеция, основания которой равны 8 см
и 4 см. Через большее основание
трапеции и середину противолежащего
бокового ребра проведена плоскость,
составляющая с плоскостью основания
угол 45°. Площадь сечения равна 36 см2.
Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Sосн=Sсеч*cos 45°=18 2 см2.
1
Высота ВВ1=2КВ. Sсеч= (AD+KM)KL. KL=6 см. Из треугольника KBL –
2
КВ=KLsin45°=3 2 см.
Отсюда ВВ1=6 2 см, V=216 см3.
ОТВЕТ: 216 см3
Задача № 22. В правильной
шестиугольной призме
ABCDFEA1B1C1D1F1E1 диагонали B1F и
B1E равны соответственно 43 см и
39 см. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Sосн=6АВ2 3 /4. Из
треугольников BFB1 и BB1E находим АВ=2 см, ВВ1=3 3 (BF=2BA,
BE=2ABsin60°). Отсюда V=54 см3.
ОТВЕТ: 54 см3
Задача № 23. В наклонной треугольной
призме основанием служит правильный
треугольник со стороной, равной 4 3
см. Одна из его вершин проектируется в
центр нижнего основания. Боковые
ребра призмы составляют с основанием
угол 60°. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Sосн=АВ2 3 /4=12 3 см2.
Высота В1О=ВO*tg60°, где ВО – радиус описанной окружности. ВО=АВ 3 /3=4
см. Отсюда В1О=4 3 см, V=144 см3.
ОТВЕТ: 144 см3
Задача № 24. Сторона основания
правильной четырехугольной призмы
равна 5 см. Угол между
пересекающимися диагоналями двух
смежных граней 60°. Найдите объем
призмы.
РЕШЕНИЕ:
V=Sосн*H. Площадь основания Sосн=АВ2=25 см2. Высота призмы находится по
теореме Пифагора. АА1= А1D 2  АD 2 . Треугольник DC1A1 равнобедренный,
DA1=DC1=A1C1=АD 2 =5 2 см. Отсюда АА1=5 см, V=125 см3.
ОТВЕТ: 125 см3
Задача № 25. Основание прямой
призмы – равнобокая трапеция с
основаниями 4 см и 14 см и диагональю
15 см. Две боковые грани призмы –
квадраты. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ:
V=Sосн*H. Площадь основания S=(AD+DC)/2*СМ. CM находим из
треугольника АСМ, СМ=12 см. По условия CD=DD1. Из треугольника CMD СD=13 см. Отсюда V=1404 см3.
ОТВЕТ: 1404 см3
Задача № 26. Две противолежащие
боковые грани четырехугольной призмы
– ромбы, а остальные грани – квадраты.
Найдите объем призмы, если площадь
ромба 2 см2, а площадь квадрата – 4 см2.
РЕШЕНИЕ:
V=Sосн*H. Если заметить, что основанием призмы является ромб, а боковыми
гранями – квадраты, то V=2* 4 =4 см3.
ОТВЕТ: 4 см3
Задача № 27. Основание прямой
призмы – ромб со стороной 4 см и
острым углом 45°. Найдите объем
призмы, если в нее можно вписать
сферу.
РЕШЕНИЕ:
V=Sосн*H. Площадь основания находится по формуле Sосн=АВ2sin45°=8 2 см2.
Высота призмы равна диаметру сферы или высоте ромба. Н=АВsin45°=2 2 см.
Отсюда V=32 см3.
ОТВЕТ: 32 см3
Задача № 28. В правильной
шестиугольной призме площадь
наибольшего диагонального сечения
равна 36 см2, а расстояние между двумя
противолежащими боковыми гранями 9
см. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Sосн=6АВ2 3 /4.
Высота BB1=Sсеч/BF, где BF=2АВ. Из треугольника А1С1В1 – А1В1=А1С1/ 3 =3
3 см. Отсюда, BB1=36:6 3 =2 3 см, Sосн=162 3 /4, V=243 см3.
ОТВЕТ:
Задача № 29. Основание
параллелепипеда - квадрат со стороной
2 2 см, а все боковые грани - ромбы.
Вычислите объем параллелепипеда,
если одна из вершин верхнего
основания одинаково удалена от вершин
нижнего основания.
РЕШЕНИЕ:
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Sосн=АВ2=8 см2.
Высота OD1 находится из прямоугольного треугольника DOD1. OD1=AB/ 2 =2
см. Отсюда V=16 см3.
ОТВЕТ: 16 см3
Задача № 30. Основание прямой
призмы – равнобедренный треугольник
с углом 90° при вершине. Диагональ
грани, противоположной данному углу
равна 4 см и составляет с плоскостью
основания угол 30°. Найдите объем
призмы.
РЕШЕНИЕ:
1
1
Объем призмы вычисляется по формуле V=Sосн*H. Sосн= AB*AC= AB2. Из
2
2
треугольника ВСВ1 - ВС=СВ1cos30°=2 3 см, ВВ1=СВ1sin30°=2 см. Из
треугольника АВС по теореме Пифагора АВ= 6 см. Отсюда V=6 см3.
ОТВЕТ:
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Объем любой призмы равен…
1) Произведению площади ее основания на высоту
2) Сумме площадей ее основания на высоту
3) Произведению боковой поверхности на основание
4) Сумме боковой поверхности и оснований
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Четырехугольная; 3) Пятиугольная; 4) Наклонная
3. Объем призмы вычисляется по формуле…
1) V=Sоснl, где Sосн – площадь основания, l – длина бокового ребра
2) V=Sоснh, где Sосн – площадь основания, h – высота призмы
3) V=Sоснh/3, где Sосн – площадь основания, h – высота призмы
4. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 16 см 2, а высота
призмы – 4 см. Чему равен объем призмы…
1) 48; 2) 64; 3) 20
5. Найти объем призмы, если ее основанием служит прямоугольный
треугольник с катетами 4 и 2 см, а высота призмы равны 6 см.
6. Основанием прямой четырехугольной призмы служит прямоугольник со
сторонами 3 см и 4 см. Объем призмы равен 72 см3. Найдите площадь ее
диагонального сечения.
7. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, катеты
которого равны 3 см. Площадь сечения, проведенного через один из катетов
основания и противолежащую вершину верхнего основания, равна 7,5 см2.
Найдите объем призмы.
8. Основанием наклонной призмы служит параллелограмм со сторонами 3 см и
6 см и острым углом 45o. Боковое ребро призмы имеет длину 4 2 см и
наклонено к плоскости основания под углом 30o. Найти объем призмы.
9. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция, основания
которой равны 8 см и 4 см. Через большее основание трапеции и середину
противолежащего бокового ребра проведена плоскость, составляющая с
плоскостью основания угол 45°. Площадь сечения равна 36 см2. Найдите объем
призмы.
10. Боковая поверхность правильной восьмиугольной призмы равна 16
2,2( 2  1) см2. Найти объем призмы, если ее высота равна 2,2 см.
Вариант 2
1. Призма, основанием которой является пятиугольник, называется…
1) Прямой
2) Неправильной
3) Пятиугольной
4) Икосаэдром
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Прямая; 2) Наклонная; 3) Четырехугольная; 4) Четырехгранная
3. Объем призмы вычисляется по формуле…
1) V=Sl, где S – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового
ребра
2) V=Sh, где S – площадь перпендикулярного сечения, h – высота призмы
3) V=Sh/3, где S – площадь основания, h – высота призмы
4. Объем призмы равен 50 см3, высота – 5 см. Чему равна площадь основания
призмы…
1) 5; 2) 10; 2) 25
5. Найти объем призмы, если ее высота 10 см, а в основании – треугольник со
сторонами 29 см, 36 см и 25 см.
6. Объем правильной треугольной призмы 18 см3. Найдите площадь ее боковой
грани, если известно, что она является квадратом.
7. Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник. Радиус
окружности, описанной около треугольника основания, равен 4 см, а угол при
его основании равен 30°. Вычислите объем призмы, если ее боковое ребро
равно боковой стороне треугольника, служащего основанием призмы.
8. Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ
образует с плоскостью боковой грани угол 30o, а длина стороны основания
равна 2 cм.
9. В правильной шестиугольной призме ABCDFEA1B1C1D1F1E1 диагонали B1F и
B1E равны соответственно 43 см и 39 см. Найдите объем призмы.
10. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция АВСD со
сторонами АВ=СD=13 см, ВС=11 см и АD=21 см. Площадь ее диагонального
сечения равна 180 см2. Определить объем призмы.
Вариант 3
1. Основания призмы….
1) Параллельны
2) Перпендикулярны
3) Равны
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Прямая; 2) Наклонная; 3) Прямоугольная; 4) Четырехугольная
3. V=Sоснh – это формула для вычисления объема…
1) пирамиды
2) призмы
3) конуса
4. Чему равен объем призмы, если ее высота 4 см, а площадь основания 8 см2…
1) 16
2) 36
3) 32
5. Найти объем призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и
8 см, а высота призмы равна 3 см.
6. АВСА1В1С1 - прямая треугольная призма, основание которой равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами АВ и СВ. Вычислите
объем призмы, если СС1=5 см, АВ=4 см, ВАС=75°.
7. Основание прямой призмы - параллелограмм, длины сторон которого равны
8 см и 6 см, а угол между ними 30°. Вычислите объем призмы, если площадь ее
полной поверхности равна 328 см2.
8. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы имеет длину 4 см
и составляет с боковым ребром призмы угол 30о. Найдите объем призмы.
9. В наклонной треугольной призме основанием служит правильный
треугольник со стороной, равной 4 3 см. Одна из его вершин проектируется в
центр нижнего основания. Боковые ребра призмы составляют с основанием
угол 60°. Найдите объем призмы.
10. Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 15 см, а расстояние
между боковыми ребрами равны соответственно 26 см, 25 см и 17 см. Найти
объем призмы.
Вариант 4
1. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то
такую призму называют…
1) Правильной
2) Прямой
3) Перпендикулярной
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Прямая; 2) Наклонная; 3) Прямоугольная; 4) Четырехугольная
3. Площадь основания правильной треугольной призмы вычисляется по
формуле…
1) S=a2 3 /4
2) S=a2 2 /4
3) S=a2 3 /2
4. Чему равен объем призмы, если площадь перпендикулярного сечения равна
12 см2, а боковое ребро призмы – 5 см…
1) 30
2) 17
3) 60
5. Вычислить объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания
2 см и высотой 2 3 см.
6. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с углом 45º и
гипотенузой 2 2 см. Вычислить высоту призмы, если ее объем 8 см3.
7. Основание прямой призмы - ромб, площади диагональных сечений призмы
равны 30 см2 и 40 см2. Вычислите объем призмы, если известно, что площадь ее
основания равна 24 см2.
8. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит
равносторонний треугольник со стороной 2 см, если боковое ребро призмы
равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 60о.
9. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 5 см. Угол
между пересекающимися диагоналями двух смежных граней 60°. Найдите
объем призмы.
10. В основании призмы лежит трапеция. Найти объем призмы, если площади
параллельных боковых граней равны 20 см2 и 40 см2, а расстояние между ними
6 см.
Вариант 5
1. У прямой призмы боковые грани являются…
1) Параллелограммами
2) Параллелепипедами
3) Прямоугольниками
4) Квадратами
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Прямоугольная; 2) Четырехугольная; 3) Прямая; 4) Наклонная
3. Площадь основания правильной четырехугольной призмы вычисляется по
формуле…
1) S=2a; 2) S=a2; 3) S=ah
4. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2 см. Чему равен
объем призмы, если ее высота 5 см…
1) 40; 2) 20; 3) 10
5. Основанием призмы служит параллелограмм со сторонами 4 см и 5 см, угол
между сторонами равен 30º. Вычислить объем призмы, если ее высота равна 4
см.
6. В основании призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 3
см. Найдите площадь большей боковой грани, если объем призмы равен 36 см3.
7. В правильной четырехугольной призме радиус окружности, описанной около
диагонального сечения, равен 2 6 см. Вычислите объем призмы, если
известно, что боковое ребро призмы в два раза больше стороны основания.
8. Найти объем правильной треугольной призмы, если длина стороны ее
основания равна 2 см, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей
оснований.
9. Основание прямой призмы – равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 14
см и диагональю 15 см. Две боковые грани призмы – квадраты. Найдите объем
призмы.
10. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и
10 см. Некоторое сечение этой призмы отсекает от боковых ребер, проходящих
через вершины большего и среднего углов основания, отрезки, равные 12 см
каждый, а от ребра, проходящего через вершину меньшего угла основания, отрезок в 18 см. Найти объем фигуры, ограниченной плоскостью основания
призмы, плоскостями боковых граней и плоскостью сечения.
Вариант 6
1. Высота прямой призмы равна…
1) Боковому ребру
2) Апофеме
3) Стороне основания
4) Диагонали призмы
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Прямая; 2) Наклонная; 3) Треугольная; 4) Равнобедренная
3. Если в основании призмы лежит равнобедренный треугольник, то площадь
основания равна…
1) S=ah, где a – основание треугольника, h – высота, проведенная к
основанию
2) S=ah/2, где a – основание треугольника, h – высота, проведенная к
основанию
3) S=a2sin
4. В основании прямой призмы лежит прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см.
Чему равен объем призмы, если ее высота 6 см…
1) 42; 2) 64; 3) 72
5. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с углом 45º и
гипотенузой 2 2 см. Вычислить объем призмы, если ее высота равна 4 см.
6. Найти объем призмы, если ее высота 5 см, а в основании – треугольник со
сторонами 29 см, 36 см и 25 см.
7. Основание призмы - треугольник, длины сторон которого равны 2 см, 3 см и
3 см. Длина бокового ребра призмы равна 12 см, и оно наклонено к плоскости
основания под углом 45°. Вычислите объем призмы.
8. Площади двух боковых граней прямой треугольной призмы равны 3 см и 4
см, угол между сторонами основания, через которые проходят эти боковые
грани, равен 30о. Длина бокового ребра равна 1 см. Найти объем призмы.
9. Две противолежащие боковые грани четырехугольной призмы – ромбы, а
остальные грани – квадраты. Найдите объем призмы, если площадь ромба 2
см2, а площадь квадрата – 4 см2.
10. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с
основаниями 4 см и 14 см и диагональю 15 см. Две боковые грани – квадраты.
Найдите объем призмы.
Вариант 7
1. Прямая призма называется правильной, если ее основания…
1) Равны
2) Правильные многоугольники
3) Прямоугольники
4) Параллельны
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Прямая; 3) Треугольная; 4) Четырехугольная
3. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то площадь основания
равна…
1) S=ab, где а и b – стороны параллелограмма
2) S=2(a+b), где а и b – стороны параллелограмма
3) S=ah, где a – сторона параллелограмма, h – высота, проведенная к этой
стороне
4. Чему равна высота прямой призмы, если ее объем 100 см3, а в основании
прямоугольник со сторонами 2 см и 5 см…
1) 10; 2) 5; 3) 25
5. АВСА1В1С1 - прямая треугольная призма, основание которой равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами АВ и СВ. Вычислите
объем призмы, если СС1=5 см, АВ=4 см, ВАС=75°.
6. Найти высоту призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см
и 8 см, если объем призмы равен 72 см3.
7. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, один из
катетов которого равен 4 см. Площадь сечения, проведенного через другой
катет и противолежащую ему вершину верхнего основания, равна 15 см2.
Найдите объем призмы, если длина ее бокового ребра равна 3 см.
8. Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник. Радиус
окружности, описанной около треугольника основания, равен 4 см, а угол при
его основании равен 30°. Вычислите объем призмы, если ее боковое ребро
равно боковой стороне треугольника, служащего основанием призмы.
9. Основание прямой призмы – ромб со стороной 4 см и острым углом 45°.
Найдите объем призмы, если в нее можно вписать сферу.
10. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция АВСD со
сторонами АВ=СD=13 см, ВС=11 см и АD=21 см. Площадь ее диагонального
сечения равна 180 см2. Определить объем призмы.
Вариант 8
1. Высотой призмы называется…
1) Отрезок, соединяющий основания
2) Расстояние между плоскостями оснований
3) Длина отрезка, соединяющего вершины оснований
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Прямая; 2) Наклонная; 3) Правильная; 4) Четырехугольная
3. Объем прямой призмы равен…
1) произведению площади основания на длину бокового ребра
2) произведению площади перпендикулярного сечения на высоту призмы
3) произведению площади диагонального сечения на длину бокового
ребра
4. Чему равна площадь основания призмы, если ее объем 144 см 3, а высота 12
см…
1) 10; 2) 12; 3) 14
5. Найти объем правильной треугольной призмы, если ее боковая грань –
квадрат площадью 12 см2.
6. Вычислить объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания
2 см и высотой 2 3 см.
7. В правильной четырехугольной призме сумма площадей оснований равна
площади ее боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр
окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через
две вершины нижнего основания и противолежащую вершину верхнего
основания, равен 3 см.
8. Основание прямой призмы - параллелограмм, длины сторон которого равны
8 см и 6 см, а угол между ними 30°. Вычислите площадь полной поверхности
призмы, если ее объем 240 см3.
9. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального
сечения равна 36 см2, а расстояние между двумя противолежащими боковыми
гранями 9 см. Найдите объем призмы.
10. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с углом
90о при вершине. Найдите объем призмы, если площадь боковой поверхности
равна 20(2+ 2 ) см2, а площадь основания 8 см2.
Вариант 9
1. Если боковое ребро призмы не перпендикулярно плоскости ее основания, то
такую призму называют…
1) Неправильной
2) Прямой
3) Наклонной
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке….
1) Прямая; 2) Правильная; 3) Шестигранная; 4) Шестиугольная
3. Объем наклонной призмы равен…
1) произведению площади перпендикулярного сечения на высоту призмы
2) произведению площади диагонального сечения на длину бокового
ребра
3) произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро
4. Все грани призмы – квадраты площадью 4 см2. Чему равен объем призмы…
1) 8; 2) 16; 3) 64
5. Основанием прямой четырехугольной призмы служит прямоугольник со
сторонами 3 см и 4 см. Вычислите объем призмы, если площадь ее
диагонального сечения равна 30 см2.
6. Основанием призмы служит параллелограмм со сторонами 4 см и 5 см, угол
между сторонами равен 30°. Вычислить высоту призмы, если ее объем равен 40
см3.
7. Длины двух сторон основания прямой треугольной призмы равны 14 см и 8
см, а угол между ними равен 30°. Вычислите объем призмы, если сумма
площадей боковых граней, содержащих данные стороны, равна 220 см2.
8. В правильной четырехугольной призме радиус окружности, описанной около
диагонального сечения, равен 2 6 см. Вычислите объем призмы, если
известно, что боковое ребро призмы в два раза больше стороны основания.
9. Основание параллелепипеда - квадрат со стороной 2 2 см, а все боковые
грани - ромбы. Вычислите объем параллелепипеда, если одна из вершин
верхнего основания одинаково удалена от вершин нижнего основания.
10. Сумма длин всех боковых ребер и сторон оснований правильной
шестиугольной призмы равна 36 см. Найдите длину стороны основания
призмы, при которой объем призмы наибольший.
Вариант 10
1. Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат…
1) Вершины, не лежащие в одной грани
2) Вершины смежных граней
3) Вершины оснований
2. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Четырехугольная; 3) Прямая; 4) Неправильная
3. Объем наклонной призмы равен…
1) произведению площади перпендикулярного сечения на высоту
2) произведению площади основания на высоту
3) произведению площади грани на высоту
4. Высота прямой призмы 5 см. В основании лежит прямоугольный
треугольник с катетами 3 см и 4 см. Чему равен объем призмы…
1) 60; 2) 30; 3) 25
5. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равен 14 3 см2.
Вычислить объем призмы, если ее высота 2 3 см.
6. Найти объем призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и
8 см, а высота призмы равна 3 см.
7. Основание призмы - равносторонний треугольник. Длина бокового ребра
призмы равна 4 см, и оно наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Вычислите объем призмы, если перпендикулярная проекция одной из вершин
верхнего основания является центром нижнего основания.
8. Основание призмы - треугольник, длины сторон которого равны 2 см, 3 см и
3 см. Объем призмы 24 см3. Найдите длину бокового ребра призмы, если оно
наклонено к плоскости основания под углом 45°.
9. Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник с углом 90° при
вершине. Диагональ грани, противоположной данному углу равна 4 см и
составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем призмы.
10. Определить объем правильной шестиугольной призмы, у которой
наибольшая диагональ равна 2 15 см, а боковые грани – квадраты.
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
1
3
1, 3
2
3
1
2
2
3
1
2
3
1, 3
2, 4
1, 4
2, 3
2, 3
2, 3
2, 4
1, 4
2, 3
3
2
1
2
1
2
2
3
1
3
2
4
2
2
3
3
2
3
1
2
1
2
5
24
3600
72
36
40
8
20
18
72
6
6
30
12
20
4
30
1800
3
36
4
72
7
18
48
240
120
128
24
36
8
280
18
8
36
4
9
3
1
3
48
328
128
12
9
216
54
144
125
1404
4
32
243
16
6
10
8
1728
3060
180
336
1404
1728
40
2
108