ГОТОВИМСЯ К ...

ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
Тема: Тригонометрические функции и тригонометрические выражения.
Цель
урока:
Актуализировать
знания
о
тригонометрических
тригонометрических выражениях и способах их упрощения.
функциях,
Урок проводится фронтально: сначала задание предлагается для самостоятельного
выполнения, затем, после сверки ответов, разбирается на доске. Для сильных
самостоятельных обучающихся могут быть изготовлены карточки с заданиями этого
урока и ответами. Для обеспечения индивидуализации нагрузки этим школьникам в конце
текста данного урока приводится материал для дополнительных заданий.
В начале урока на доске восстанавливается рисунок единичной окружности с
основными обозначениями, который сохраняется на доске в течение всего урока в
качестве опорного материала.

2
sin 
tg  =
cos 
x(-) 
2
ctg  
3
2
cos 
sin 
tg   ctg  1
Проводится блиц—опрос по значениям функций в разных точках единичной
 3
окружности (для углов 0; ; ;2 ) без обращения к таблице, а только с ориентацией на
4 2
положение точки на единичной окружности; затем предложить школьникам восстановить
  
значения функции в других часто употребляемых точках окружности (для углов ; ; )
4 6 3
также без обращения к таблице, только с опорой на положение точки на окружности.
Повторить знаки функций в разных четвертях (не по таблице, а с показом на рисунке
соответствующих расположений отрезков на осях, моделирующих синус и косинус угла).
После восстановления и краткого повторения структуры рисунка на основе
единичной окружности, предлагается вычислить значение выражения, не обращаясь к
таблице, а используя данные рисунка.
Задание:
Вычислить: sin2 45o +cos60o +ctg2 30°
2
 2
1
  
Разбор задания: sin 45  cos 60  ctg 30  

2
 2 
2
o
o
2
o
Задание:
 3
2

1 1
 3 4
2 2
ГОТОВИМСЯ
Вычислить самостоятельно: cos
К
ЕГЭ

 1

 2 sin  tg 2  ctg
6 2
3
4
3
 
2
1
1 1
 2 
3 1  2
2
2 2
После выполнения этого обучающиеся возвращаются
к анализу рисунка
единичной окружности: записывается теорема Пифагора в тригонометрической форме
sin2α +cos2α=1 (основное тригонометрическое тождество), а затем формулы для
вычисления синуса и косинуса, получаемые из нее:
Разбор задания:
sin    1  cos 2  ;
cos    1  sin 2 
Задание:
4

 
и
5
2
Разбор задания: используем формулу
Вычислить cos  , если sin  
cos    1  sin 2    1 
т.к.

2
16
9
3


25
25
5
     угол α находится в 3 четверти, значит, знак косинуса отрицательный.
Ответ: cos α = 
3
5
Задание:
5
3
  
и
12
2
Разбор задания: Среди повторенных формул нет такой, которая связывает синус и
тангенс угла. Обратимся к формуле sin2α +cos2α = 1
разделим обе части уравнения почленно сначала на sin2α, а затем на соs2α, получим две
новые формулы, одна из которых связывает косинус и тангенс, а вторая — синус и
котангенс:
sin 2   cos 2   1: sin 2   0
Вычислить sin α, если tg α =
1
*
sin 2 
sin 2   cos 2   1: cos 2   0
1  ctg 2 
1  tg 2 
1
* *
cos 2 
Если tg 
sin α:
5
12
, то ctg 
. Тогда, используя формулу (*), можем вычислить
12
5
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
144
1
169
1
25
5



 sin 2  
 sin   
2
2
25 sin 
25 sin 
169
13
3
Поскольку    
, угол α находится в 3 четверти, где его синус отрицателен.
2
5
Ответ: sin α = 
13
1
Задание:
Вычислить tgα, если cos α =
1
5
и


2
   0 (ЕГЭ 2005, А4, демонстрационный
вариант)
Разбор задания: Используя формулу(**):1+ tg α =
1  tg 2 
1
2
1
cos 2 
 1  tg 2  5  tg 2  4  tg  2
 1 


 5

Поскольку     0 , угол α расположен в 4 четверти, значит его тангенс
2
отрицателен.
Ответ: tg α = -2.
Задания:
2
2
1) 1  sin  tg   1
sin 2


 sin     (ЕГЭ 2001, А6)
2)
sin 
2

6
4
3) sin   3 sin   cos 2   3 sin 2   cos 4   cos 6  (ЕГЭ 2003, А6)
cos     sin   sin 
4)
(ЕГЭ 2003, А7)
cos 
5) 2 sin 2   3  2 cos 2  (ЕГЭ 2004, А2)



1) 1  sin 2  tg 2  1  cos 2  
Разбор задания:
1
 1 (формулы * и **)
cos 2 
sin 2


 sin     - для упрощения этого выражения понадобится формула двойного
sin 
2

аргумента:
sin 2  2 sin   cos  (* * *) ;
cos 2  cos 2   sin 2  (* * **)
2)
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
2 sin   cos 




 sin      2 cos   sin     .
sin 
2

2

Далее понадобится применение формул приведения.
по формуле (***)

3
или
,
2
2
то ее название изменится на название ко функции (sin на cos и т.п.), а знак новой функции
следует ставить по приводимой функции 9по первоначальной). Если же аргумент
изменится на π или 2π, то название не изменится. Знак ставится таким же образом (по
первоначальной функции).


Например: sin      cos  (аргумент первоначальной функции находился во 2
2

четверти, где sin положителен);
cos      cos  (аргумент первоначальной функции находился в 3 четверти,
где cos отрицателен).
Применяя эти правила к заданию, получаем:


2 cos   sin      2 cos   cos   cos 
2

6
4
2
3) sin   3 sin   cos   3 sin 2   cos 4   cos 6  - задание содержит формулу куба
суммы в применении к тригонометрическим составляющим. После применения к этому
выражению, оно «сворачивается» в выражение: (sin2α + cos2α)3 = 1/
cos     sin   sin 
4)
- задание требует применение формул сложения: косинус
cos 
суммы. Поскольку в 2005 году эти формулы даны как справочный аппарат к экзамену,
используем их в готовом виде:
cos     cos   cos   sin   sin 
sin      sin   cos   cos   sin 
Если необходимо изменить аргумент тригонометрической функции на
cos     sin   sin  cos   cos   sin   sin   sin   sin  cos   cos 


 cos 
cos 
cos 
cos 
5) 2 sin 2   3  2 cos 2  = 2 sin 2   cos 2   3  2  3  5


Дополнительное задание:
1) Вычислить: tg(-1035o)
3 



2) Упростить выражение: sin2(π-α)+sin2  2     tg  tg    2 




3) Найти sin x . cos x, если sin x + cos x =
Ответы: 1) 1;
2) 0;
3)
4
3
7
.
18
Разбор заданий:
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
1) tg(-1035o) – исключим из данного значения аргумента сколько возможно периодов,
при этом функция не изменится. Период тангенса равен 180о.
2) tg(-1035o) = tg(-1035o + 180o . 6) = tg(-1035o + 180o) = tg 45o = 1
3 



sin 2      sin 2      tg  
 - по формуле приведения:
2 
2


sin 2   cos 2   tg   ctg   1  1  0
4
4) 3) Найти sin x . cos x, если sin x + cos x =
3
4
Задание требует неожиданного хода: (sin x cos x)2 =  
3
16
16
sin 2 x  2 sin x  cos cos 2 x 
 1  2 sin x  cos 
9
9
16
7
7
2 sin x  cos 
 1   sin x cos x 
9
9
18
2
Тема: Тригонометрические выражения, тригонометрические уравнения и неравенства.
Цель: Актуализировать знания о тригонометрических функциях, тригонометрических
выражениях и способах решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Материал распределяется на 2 урока. Часть заданий может быть предложена для
домашней работы.
Задания:
1) Вычислить sin 15о (уровень А)
sin 2 27   sin 2 63
2) Вычислить:
(уровень В)
sin 18  cos 18 
2 sin 31 cos 31
3) Вычислить:
(уровень В)
sin 38 sin 66  cos 38 sin 24
Дополнительное задание:
3
5
 
, а cos     
и    0;  . Найти cos β.
5
13
 2
Разбор задания:
1) Используем формулу синуса разности, для чего представим 15о в виде разности
(45о – 30о), для которых значения синуса и косинуса известны:
sin 15o = sin(45o – 30o) = sin 45o cos 30o – sin 30o cos 45o =
2 3
2 1
6 2


 
2 2
2 2
4
Известно, что cos  
ГОТОВИМСЯ

К

ЕГЭ

sin 2 27   sin 2 63
sin 27   sin 63 sin 27   sin 63
- на первом шаге была

sin 18 cos18
sin 18 cos18
применена формула разности квадратов, далее применим формулу разности синусов и
суммы синусов:
2
2
 2
2



 2 sin 18 cos 45  2 sin 45 cos  18
2
2  2



1
sin 18 cos18
поскольку синус – функция нечетная (минус выводится вперед), а косинус – функция
четная (минус опускается).
2 sin 31cos 31
sin 62 

3)Найти:
1
sin 38 sin 66  cos 38 sin 24 1
cos 28  cos104   sin 62   sin 14 
2
2
На первом шаге применялась формула двойного аргумента для синуса и мало
известные формулы:
sin   cos   0,5(sin(    )  sin(    ))
sin   sin   0,5(cos(   )  cos(   ))
Эти формулы можно вывести на доске, поскольку они легко получаются из суммы
и разности формул синуса суммы и синуса разности, а также косинуса суммы и косинуса
разности. Вывод формул очевиден, поэтому здесь приводиться не будет. Конечно,
запомнить эти формулы трудно, но возможно, сильный школьник предпочтет вывести их
в трудный момент, помня, каким образом это делается.
В этом задании можно было пойти и другим путем: дадим замену sin 38
 sin 66

2)






 
 
2



2
1
sin   cos  
2






 66
    132
2

 2  208    104    28 .

    76

 38
2
Таким образом, выражение sin 38 sin 66 можно заменить на выражение
1
сos 28  cos104.
2
Далее повторим этот прием cos 38

 sin 24
 
 
2
2




1
sin sin  
2
  
 2  38     76

 2  124    62    14 .

    24     48
 2
Таким образом, выражение sin24 cos38 можно заменить на выражение
1
sin 62  sin 14.
2
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
Внесем результаты замен в исходное выражение, выполнив замены
sin 62 
преобразуем числитель и знаменатель, чтобы
1
1




cos 28  cos 104  sin 62  sin 14
2
2
убрать из знаменателя дробные коэффициенты, раскроем скобки и представим
полученные значения аргументов в виде сумм и разностей, удобных для дальнейшего
2 sin 62 
применения формул приведения:
.
cos 90   62   cos 90   14   sin 62   sin 14 
Далее применяем формулы приведения:
2 sin 62 
2 sin 62 

1
sin 62   sin 14   sin 62   sin 14  2 sin 62 








Разбор дополнительного задания:
3
5
 
, а cos     
и    0;  . Найти cos β.
5
13
 2
Используем формулу: cos(   )  cos  cos   sin  sin  (*)
Известно, что cos  
По известному косинусу найдем синус: sin   1 
формулу (*): 
9
4
 и подставим эти значения в
25 5
5 3
4
 cos   sin 
13 5
5
25 12
 .
169 13
Подставим все найденные значения в формулу sin(    )  sin  cos   cos  sin  (**) ,
12 4
3
 cos   sin  .
получим:
13 5
5
Составим систему:
4
4
12
 5 3
 5 3
 15 9
 13  5 cos   5 sin 
 13  5 cos   5 sin 
 13  5 cos   5 sin 



12  4 cos   3 sin 
12  4 cos   3 sin 
 48  16 cos   12 sin 
13 5
13 5
 13 5
5
5
5
33
33
 5 cos   cos  
.
13
65
Далее на уроке рассматриваются уравнения и способы их решения. Формулы для
записи ответов триповых уравнений полезно выписывать на доску. В гуманитарном
классе уравнения 7 и 8, а также неравенство 10 можно предложить для индивидуальной
дополнительной работы сильным школьникам, не рассматривая их со всем классом. Все
остальные задания этой карточки являются типовыми (уровень А).
По известному косинусу суммы найдем синус суммы: sin(    )  1 
Задания: Во всех случаях требуется решить уравнение.
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ


1) Найти корни уравнения cos 2 x    1 на интервале 0;  
3

2
2) cos x  sin x  1  0
3) sin x  cos x
4) 3 sin 2 x  4 sin x cos x  cos 2 x  0
5) 3 sin x  cos x  1
6) Решить уравнение cos 2x  sin x на интервале (0;180о)
7) Найти корни уравнения cos 2x  cos 8x  cos 6x  1 на интервале (0;90о)
8) sin 2 3x  cos 2 2 x  1
1
 
9) Решить неравенство sin x  на интервале  ;   .
2
2 
1
10) Решить неравенство tgx  1 
cos 2 x
Разбор заданий:


1) cos 2 x    1
3

Используем типовую формулу: 2ч 
т.к. arccos 1  0,2 x 
Тогда 2 x  


3

3
  arccos 1  2 ,   Z
 0 , поскольку для нахождения корней задан промежуток [0;π].
x

, поскольку это значение корня не входит в заданный в условии
3
6
промежуток, возьмем симметричное ему значение (поскольку функция косинус
5
симметрична относительно оси ординат) – это х 
, это
6
значение входит в заданный промежуток и является
решением уравнения.
2) Приведем уравнение cos 2 x  sin x  1  0 к
однородному виду, заменив cos 2 x на (1  sin 2 x) :
1  sin 2 x  sin x  1  0
sin 2 x  sin x  2  0 дадим замену a  sin x
a 2  a  2  0 - его корни по теореме Виета: 2 и -1.
Вернемся к замене sin x  2 - нет решений.

sin x  1  x    2,   Z
2
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
3) Для решения уравнения sin x  cos x применим прием деления обеих частей на
cos x  0 , получим однородное уравнение:

tgx  1  x   ,   Z .
4
4) Для решения уравнения 3 sin 2 x  4 sin x cos x  cos 2 x  0 применим тот же прием,
разделим обе части на cos 2 x  0 , получив однородное уравнение:
3tg 2 x  4tgx  1  0 дадим замену: a  tgx
3a 2  4a  1  0 - его корни: a1, 2 
Вернемся к замене: tgx  1  x 

4
2  4  3 2 1
1

; a1  1; a 2  .
3
3
3
 ,   Z
1
1
 x  arcctg  ,   Z .
3
3
3 sin x  cos x  1 применим прием «подгонка под
5) Для решения уравнения
формулу». Будем «подгонять» уравнение под формулу косинуса разности. Для
3
1
1
sin x  cos x 
этого разделим обе части уравнения на 2. Получим:
2
2
2
tgx 
sin

3
cos

3

 1
Применяя формулу косинуса разности, получим: cos  x  
3
 2
Это значение косинуса табличное:


 
 
 x    2,   Z  x     2,   Z  x     2,   Z
3
3
3 3
3 3
6) Для решения уравнения cos 2x  sin x применим формулу двойного аргумента для
косинуса: cos 2 x  sin 2 x  sin x  0 .
Чтобы привести уравнение к однородному виду, заменим соs2x на
1  sin 2 x : 1  sin 2 x  sin 2 x  sin x  0
1  2 sin 2 x  sin x  0  2 sin 2 x  sin x  1  0 дадим замену: sin x  a
2a 2  a  1  0
1 1 8 1 3
1
a1, 2 

; a1  1; a 2 
4
4
2
Вернемся к замене: sin x = -1 – это значение синуса не входит в заданный в условии
интервал (0; 180о)
1

5
sin x   табличное значение, x  и x 
, поскольку на интервале (0; 180о)
2
6
6
оба эти угла соответствуют одному и тому же значению синуса.

Используем типовую формулу: 2 x    arccos 1  2,   Z
3


ГОТОВИМСЯ
т.к. arccos 1  0, 2 x 
Тогда 2 x  


3
К
ЕГЭ
 0 , поскольку для нахождения корней задан промежуток [0;π].
x

, поскольку это значение корня не входит в заданный в условии
6
промежуток, возьмем симметричное ему значение (поскольку функция косинус
5
симметрична относительно оси ординат) – это x 
, это значение входит в заданный
6
промежуток и является решением уравнения.
3
7) Для решения уравнения cos 2x  cos 8x  cos 6x  1 примени формулу разности
косинусов: 2 sin 5x sin 3x  cos 6x  1
Заменим cos 6x по формуле двойного аргумента:
2 sin 5 x sin 3x  cos 2 3x  1  0
Заменим 1 = cos23x +sin23x по основному тригонометрическому тождеству (в этом
равенстве можно ставит любой удобный аргумент).
2 sin 5 x sin 3x  cos 2 3x  sin 2 3x  cos 2 3x  sin 2 3x  0
2 sin 5 x sin 3x  2 sin 2 3x  0
2 sin 3x(sin 5 x  sin 3x)  0 - произведение равно нулю, если один из множителей
равен нулю: 2 sin 3x  0 или sin 5x  sin 3x  0

а) 2 sin 3x  0  sin 3x  0  3 x  0  ,   Z  x 
т.к. для решения
3

уравнения задан промежуток (0;90о), то берем только входящее в него значение x  .
3
б) sin 5x  sin 3x  0  2 sin x cos 4x  0 (по формуле разности синусов)
sin x  0  x  0 или x   - оба ответа находятся вне пределов заданного
промежутка (0;90о)



  3
cos 4 x  0  4 x  ; 4 x    ;  x  ; x   
- ответы также
2
2
8
8 4
8
входят в данный в условии промежуток.


3
Ответ: x  ; x  ; x 
3
8
8
2
8) Для решения уравнения sin 3x  cos 2 2 x  1 преобразуем его и применим основное
тригонометрическое тождество:
2
sin 3x  cos 2 2 x  1  sin 2 3x  1  cos 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 2 x
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
sin 2 3x  sin 2 2 x  0  (sin 3x  sin 2 x)(sin 3x  sin 2 x)  0
Применим формулы разности синусов и суммы синусов:
sin x
2 sin 0,5 x  cos 2,5 x  2 sin 2,5 x  cos 0,5 x  0  sin x  sin 5 x  0  sin x  0  x  ,   Z
sin5x

, Z
5
Поскольку множество ответов первого уравнения входит в множество ответов второго
sin 5 x  0  x 

, Z .
5
Решение тригонометрических неравенств часто входит как составная часть в
задания раздела В. Далее будут рассмотрены эти виды заданий в том виде, как они
входили в текс ЕГЭ. Рассмотренные ниже неравенства являются подготовкой к
правильному восприятию смысла решений более сложных неравенств раздела В.
1
 
9) Неравенство sin x 
на интервале  ;   является простейшим типовым
2
2 
неравенством. Для его решения наиболее наглядно использование рисунка:
уравнения, оставим только этот ответ в качестве окончательного: x 
Ответ:
5
 х
6
10) Неравенство tgx  1 
tgx  1 
1
нужно преобразовать к однородному виду:
cos 2 x
1
0
cos 2 x
 tg 2 x
tgx  tg 2 x  0
tgx(1  tgx)  0 
tgx  0  0  tgx  1
tgx  0




1  tgx  0 tgx  1 0    x   ,   Z
4

ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
tgx  0
tgx  0
или  

 система решений не имеет
1  tgx  0 tgx  1

Ответ: 0    x   ,   Z .
4
Дополнительные задания:
1) Найти сумму корней уравнения sin x  cos x  1 на интервале 0;  
x
1  tg
2  2 sin x найти разность корней на интервале (180о; 540о).
2) Для уравнения
x
2
1  ctg
2
Разбор заданий:
1) sin x  cos x  1  sin x  1  cos x
x
Заменим: 1  cos x  2 sin 2 , а sin x представим как синус двойного угла:
2
x
x
sin x  2 sin cos
2
2
x
x
x
x
x
x
Тогда уравнение имеет вид: 2 sin cos  2 sin 2  2 sin  cos  sin   0
2
2
2
2
2
2
Рассмотрим множители отдельно:
x
x
2 sin  0  sin  0
2
2
x
 0; 
а) на промежутке 0;  
2
Тогда х = 0 и х = 2π – это значение не входит в 0;  
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
x
x
x
 sin  0 разделим это уравнение почленно на cos  0, получим:
2
2
2
x
x
1  tg  0  tg  1
2
2
x 

  n, n  Z  x   2n, n  Z
2 4
2
б) cos
На промежутке 0;   находится только значение x 
уравнения на 0;   равна

2
0

2

. Таким образом, сумма корней
2
.
x
x
x 

2  2 sin x
2)
ОДЗ: ctg  1;   n; x   2n
x
2
2 4
2
2
1  ctg
2
Используем свойство пропорции:
x
cos
x
x
x
x
x
x
2
1  tg  2 sin 1  ctg   1  tg  2 sin  2 sin 
x
2
2
2
2
2
2
sin
2
x
sin
2  2 sin x  2 cos x  cos x  sin x  2 sin x cos x  2 cos 2 x
1
x
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos  sin  2 cos  sin  cos   cos  sin  2 cos  sin  cos   0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x 
x


  sin  cos   2 cos  sin  cos   0   sin  cos   1  2 cos   0
2
2
2
2
2
2
2 
2


x
x
x
x 
а) sin  cos  0  tg  1    n, n  Z - не входит в ОДЗ
2
2
2
2 4
x
x
x
1
б)  1  2 cos  0  2 cos  1  cos  
2
2
2
2
1  tg
2
3
180о
4
3
ГОТОВИМСЯ
Первое значение корня: x 
(180о;540о) 180о.
К
ЕГЭ
2
, но оно не входит в заданный промежуток
x
4
, оно входит в заданный промежуток. Следующее
3
2
8
 2 
значение корня вычислим с учетом периода косинуса:
- это значение
3
3
входит в границы заданного промежутка (180о;540о), а следующее значение уже выйдет за
границы этого промежутка. Следовательно, в заданный промежуток входят только два
8 4 4


корня, их разница:
(240о)
3
3
3
Второе значение корня: x 
Дополнительное задание:


2
cos 5   sin 5 
1) Найти значение выражения: 2
2 sin 25  cos 25 
2) Преобразовать в произведение: А=1+ sin   cos
Разбор задания:

1)

2
2
2
cos 5  sin 5
cos 5  
sin 5
sin 45  cos 5  cos 45  sin 5  sin 50 
2
2
2



1
2 sin 25  cos 25 
2 sin 25  cos 25 
2 sin 25  cos 25 
sin 50 
2)А=1+ sin   cos
А= 1  sin    cos   2 cos 2
 2 cos

2

2
 2 sin

2
cos

2
 2 cos



 cos  sin  
2
2
2
 1
 1






 2 
cos 
sin   2 2 cos  cos cos  sin sin  
2
2
2
4
2
4
2

2
 2

 2 2сos

  
cos  
2
4 2
***
В прежние годы в ЕГЭ использовались задания с arc-функциями, в 2004 и 2005 гг.
таких заданий нет, но нет гарантии, что их не будет и далее, поэтому имеет смысл
рассмотреть со школьниками хотя бы самые простые задания этого вида (уровень А).
Задания лучше рассматривать фронтально на доске, поскольку даже сильные
обучающиеся обычно затрудняются с этими заданиями на первых порах (главным
образом, по причине их редкости в учебниках и отсутствия практики работы с ними).
Задания:
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
1

1) Найти значение cos 2 arcsin 
3

1
1

2) Найти значение sin  arcsin  arcsin 
3
5

Разбор заданий:
1) Прежде всего отметим, что
sin arcsin x   x
cosarccos x   x
1
1
1
8
   sin   ; cos   1  
3
3
9
3
Применим формулу двойного аргумента:
1
1
1 7



cos 2 arcsin   cos 2  arcsin   sin 2  arcsin  
3
3
3 9



Пусть arcsin
2
2
2 2
1
8
1 1
1

2
2


т.к. cos  arcsin   cos   
 ; sin  arcsin     

3
9
3  3
9


 3 
1 8 1 7

cos 2 arcsin    
3 9 9 9

2) Используем аналогичный прием, введем замены и применим формулу синуса
суммы:



1
1
1 
1
1 
1


sin  arcsin  arcsin   sin  arcsin cos arcsin   cos arcsin  sin  arcsin   (*)
3 
5
3  
5  
3 
5



 








 

cos 
cos 
2
1
1
1
8 2 2
   sin    cos   1  

3
3
9
3
3
1
1
1
24 2 6
arcsin    sin    cos   1 


5
5
25
5
5
1 2 6 2 2 1 2 6  2 2 2 2 3 1

 

(*)= 
3 5
3 5
15
15
Дополнительное задание:
3

1) Вычислить: 3tg  arccos  (В6, ЕГЭ 2003)
5



2
 arctg 2 
2) Вычислить: tg  arcsin
2


arcsin


Разбор задания:
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
3
3
9
4
   cos   . Найдем sin  : sin   1 

5
5
25 5
4 3 4
3

tg  :   3tg arccos   4
5 5 5
5

tg  tg
2) Будем использовать формулу тангенса суммы: tg     
1  tg  tg
1) Введем замену: arccos

2
2
tg arcsin

2


2
tg (arctg 2)

tg arcsin
 arctg 2  
 
(*)
2




 1  tg arcsin 2   tg arctg 2 1  2tg arcsin 2 


2 
2 



2

sin  arcsin

2


2
sin 

 (**)
  tg , т.к. tg 

Введем замену: tg arcsin

2 
cos 

2


cos arcsin

2


2
2
2
arcsin
   sin  
, тогда cos  
.
2
2
2

2

sin  arcsin

2

  2 : 2  1  tg  1
Используем эти данные в (**) =
2
2

2

cos arcsin
2 


2
2
tg arcsin
2 
1 2
3



3
Подставим полученные значения в (*) =

2  1 2 1

1  2tg arcsin

2


***
Далее обратимся к заданиям на нахождение производных тригонометрических
функций. Задания этого вида обычно содержаться в разделе А, но в 2003 г были также
и в разделе С (С-4)
Задания на нахождение производной тригонометрических функций имеет смысл
включить в этот урок, поскольку в таких заданиях не требуется производить какие-то
преобразования (как при нахождении касательной или скорости), а нужно всего лишь
вспомнить соответствующие формулы. Эти задания можно предложить школьникам
для самостоятельной работы на карточках с последующей проверкой через кодоскоп
или листы самопроверки. Опыт показывает, что затруднений с этой
темой
практически не бывает, если школьники знают формулы.
Задания: (уровень А)
Найти производную для функций:
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
f ( x)  3x 4  sin x  5
f ( x)  x  3 sin x  5
f ( x)  2e x  cos x  
f ( x)  sin 3x
f ( x)  cos 3 x
f ( x)  sin
x
f ( x)  e sin x
f ( x)  e 2 cos 5 x
Разбор заданий:
f ( x)  3 x 4  sin x  5
f ( x)  x  3 sin x  5
f ( x)  2e x  cos x  
f / ( x)  12 x 3  cos x
1
f / ( x) 
 3 cos x
2 x
f / ( x)  2e x  sin x 
f ( x)  sin 3x
f / ( x)  3 cos 3 x
f ( x)  cos 3 x
f / ( x)  3 cos 2 x( sin x)
f ( x)  sin
f / ( x)  cos x
f ( x)  e
x
sin x
f ( x)  e 2 cos 5 x
f ( x)  e
/
sin x
1
2 x
cos x
f / ( x)  e 2 cos 5 x  2( sin 5 x)  5
Дополнительное задание: (уровень С)
Для функции y 
2ctg3x


 cos
найти производную в точке x 0 
.
2
16
12
x
Разбор задания:
3
3
x 2  ctg 3x  2 x
x  ctg 3x  2
/ 2
2 /
2
2
(
ctg
3
x
)
x

ctg
3
x
(
x
)
/
sin
3
x
sin
3
x
y 2
2
2
(x2 )2
x4
x3

 1 2
3 

2
  ctg  2
 2
 12


4
sin 2
 2  4
1738
1738(  4)


4
y / (x )  2
2
   4 

0
3
3
12 3
1738
***
3
3
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
Рассмотрим несколько заданий, требующих решения тригонометрических
неравенств более сложных, нежели рассмотренные ранее. Эти задания усложнены тем,
что часто содержат модули, корни и т.п.
Задания:
1) Решить неравенство:  x  2  3sin x     0
2) Найти число целых решений неравенства:
x2 3
cos x  2
3) Найти число целых решений неравенства: sin x  5

0
x  32
 4   0

Разбор заданий:
1) Решить неравенство:  x  2  3sin x     0
x2 3 0
x2 3 0
б) 
а) 
sin x    0
sin x    0
x2 3 0
а) 
sin x    0
x2 3
x23
 x  1 и x  5
x  2  3
sin x    3,14... решений нет, значит и вся система а решений не имеет;
б) x  2  3  0
x2 3
3  x  2  3
 5  x  1 - в данном промежутке содержаться целые числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1. Всего 7
чисел.
sin x   - любое значение х подходит
Ответ: 7 чисел.
ГОТОВИМСЯ
К
2) Найти число целых решений неравенства:
ЕГЭ
x2 3
cos x  2
0
x2 3 0
а) 
cos x  2  0
x2 3
нет решений

cos x  2  6,28...
x2 3 0
0
б) 
cos x  2
x2 3
3 x 2  3
1  x  5
cos x  2  6,28... - любое число подходит.
Значит, в область решений входят целые числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Их всего 7.
Ответ: 7 чисел.
2
3) Найти число целых решений неравенства: sin x  5 x  3  4   0


sin x  5  0
а) 
2
 x  3  4  0
sinx > -5 любое число подходит
Извлекая квадратный корень вида
x  32
, имеем: x  3  4
4  x 3 4
1  x  7
В этот промежуток входят целые числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Всего 9.
sin x  5  0
б) 
2
 x  3  4  0
Поскольку для неравенства sin x  5 нет решений, то и вся система б) решений не имеет.
Ответ: 9 целых решений.
***
Наиболее трудными для обучающихся являются задания на нахождение области
значений функций, поскольку в обычной практике им чаще всего приходится находить
область допустимых значений неизвестного, а не область значений функции. В данном
уроке обратимся только к подобным заданиям, связанным с нахождением области
допустимых значений функции для тригонометрических функций. Такие задания
ГОТОВИМСЯ
К
ЕГЭ
аналитического характера (требующие рассуждений, а не обращения к рисунку графика,
как в других случаях) содержатся обычно в разделе А (а более трудные – в разделе С).
Например:
Найдите множество значений функции у = -2 sin x (А12, ЕГЭ 2003)
1)  2;0
2)  1;1
3)  2;2
4) 0;2
Рассуждения: y  2 sin x , но мы знаем, что функция sin x ограничена, поэтому
 1  sin x  1  2  2 sin x  2  2  2 sin x  2  2  2 sin x  2
Таким образом, верный ответ под номером 3.
Задания:
1) Найти область значения функции y  3  5 cos x
2) Найти множество значений функции y  sin x  cos x
Разбор заданий:
1) Используем тот же прием, что в разобранном выше примере – поскольку косинус
ограничен, пойдем от известных его границ:
 1  cos x  1
 1  cos x  1  5
 5  5 cos x  5   1
5  5 cos x  5  3
5  3  3  5 cos x  5  3  3
8  3  5 cos x  2
y   2;8 - область значений функции
2) Сначала преобразуем данную в условии сумму к виду, в отношении которого
можно будет применить те же рассуждения, что и выше (умножим и одновременно
разделим выражение на 2 ):
1

 1

 



y  2
sin x 
cos x   2  sin sin x  cos cos x   2 cos   x 
4
4
2


4

 2



 1  cos  x   1 - т.к. функция косинус ограничена
4



 2  2 cos  x   2
4

y   2 ; 2 - область значений функции.

