ЕН.В2.1 Исследование операций (новое окно)

1
Аннотация
Данный
УМКД
предназначен
для
студентов,
обучающихся
по
специальности 080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)» дневной
формы обучения. Особенностью данного УМКД является то, что по
завершению изучения дисциплины студент должен знать методологию и
технологию
исследования
операций
в
экономике
с
использованием
информационных технологий.
Освоение дисциплины необходимо для изучения курсов имитационного
моделирования экономических систем и оптимального управления процессами
в экономике и для корректной постановки и решения задач принятия
управленческих решений.
Изучение дисциплины опирается на знания, полученные при изучении
курсов экономики, математического анализа, высшей алгебры, теории
вероятностей и математической статистики, дискретной математики, основ
высшей алгебры, аналитической геометрии, которые для данной специальности
изучаются в рамках дисциплины «Математика».
2
3
Аннотация курса
Данный
УМКД
предназначен
для
студентов,
обучающихся
по
специальности 080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)» дневной
формы обучения. Особенностью данного УМКД является то, что по
завершению изучения дисциплины студент должен знать методологию и
технологию
исследования
операций
в
экономике
с
использованием
информационных технологий.
Освоение дисциплины необходимо для изучения курсов имитационного
моделирования экономических систем и оптимального управления процессами
в экономике и для корректной постановки и решения задач принятия
управленческих решений.
Изучение дисциплины опирается на знания, полученные при изучении
курсов экономики, математического анализа, высшей алгебры, теории
вероятностей и математической статистики, дискретной математики, основ
высшей алгебры, аналитической геометрии, которые для данной специальности
изучаются в рамках дисциплины «Математика».
Цель и задачи курса
Целью изучения дисциплины является освоение студентами методологии
и технологии исследования операций в экономике с использованием
информационных технологий.
Задачами дисциплины являются:
 изучение основных понятий исследования операций и технологий
решения оптимизационных задач;
 изучение теоретических знаний по методам исследования операций
статических и динамических объектов в экономике;
 обучение навыкам решения задач исследования операций на основе
4
аналитических и численных методов;
 рассмотрение
практических
приложений
методов
исследования
операций в решении экономических задач;
 ознакомление
с
методикой
практической
реализации
методов
исследования операций с использованием персональных компьютеров.
Формируемые умения и компетенции.
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины, должны:
Знать основы линейного программирования, симплекс-метод, элементы
теории двойственности, методы решения транспортных задач, элементы теории
нелинейного программирования, основы динамического программирования,
элементы теории игр, элементы теории массового обслуживания.
Уметь строить математические модели задач линейного, нелинейного,
динамического
программирования,
решать
задачи
линейного
программирования (ЛП) с 2-мя и более переменными графически, решать
задачи ЛП симплекс-методом, строить модели двойственных задач ЛП и решать
их на основе теорем двойственности, решать транспортные задачи методом
потенциалов, графически решать задачи выпуклого программирования с
проверкой условий Куна-Таккера, решать задачи многошаговой оптимизации
методом динамического программирования, находить решение матричной игры
с седловой точкой и без нее.
5
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
Модуль 1
Раздел 1. Основы теории принятия решений.
Тема 1. Введение в дисциплину. Основные понятия и определения.
Общие положения. Основные понятия системного анализа. Основные
понятия исследования операций.
Тема 2. Постановка задач и методология принятия оптимальных
решений.
Постановка задач принятия оптимальных решений. Методология и
методы принятия решений.
Тема 3. Математическое моделирование экономических процессов.
Основные понятия математического моделирования. Классификация
моделей. Классификация экономических задач.
Модуль 2.
Раздел 2. Основы линейного программирования.
Тема 4. Линейное программирование.
Постановка задачи линейного программирования. Виды математических
моделей линейного программирования.
Тема 5. Двойственность задач линейного программирования.
Понятие двойственности задач линейного программирования. Теоремы
двойственности.
Тема 6. Решение задач линейного программирования геометрическим
методом.
Общие положения. Алгоритм геометрического метода решения задач
линейного
программирования.
Пример
решения
задач
линейного
программирования геометрическим методом.
6
Тема
7.
Симплексный
метод
решения
задач
линейного
программирования.
Общая постановка задачи. Алгоритм симплексного метода. Пример
решения задачи симплекс-методом.
Тема 8. Транспортная задача.
Постановка задачи. Математическая модель транспортной задачи.
Алгоритм решения транспортной задачи.
Тема 9. Целочисленное программирование.
Постановка задачи целочисленного программирования. Метод ветвей и
границ. Графический метод решения задач целочисленного программирования.
Задача коммивояжера.
Модуль 3.
Раздел 3. Основы динамического программирования.
Тема 10. Динамическое программирование.
Постановка задачи. Принцип оптимальности Беллмана. Решение задачи
динамического программирования.
Тема
11. Решение
задач управления
методом
динамического
программирования.
Постановка задачи распределения средств. Алгоритм решения. Анализ
результатов.
Тема 12. Управление производством. Задача о замене оборудования.
Постановка задачи о замене оборудования. Алгоритм решения. Анализ
решения.
Тема 13. Управление запасами. Складская задача.
Постановка складской задачи. Алгоритм решения. Анализ решения.
Модуль 4.
Раздел 4. Основы теории игр.
7
Тема 14. Теория игр.
Основные понятия. Антагонистические игры. Геометрический способ
решения антагонистических игр.
Тема 15. Игры с «природой».
Критерий Вальда. Критерий Гурвица (оптимизма-пессимизма). Критерий
Сэвиджа. Критерий Лапласа. Критерий Байеса.
Модуль 5.
Раздел
5.
Основы
систем
массового
обслуживания,
сетевого
планирования и нелинейного программирования.
Тема 16. Системы массового обслуживания.
Формулировка, задачи и характеристики систем массового обслуживания.
Системы
массового
обслуживания
с
обслуживания
с
неограниченным
отказами.
ожиданием.
Системы
массового
Системы
массового
обслуживания с ожиданием и с ограниченной длиной очередью. Пример
решения задач.
Тема 17. Сетевое планирование.
Основные понятия метода сетевого планирования. Расчет сетевых
графиков. Пример расчёта сетевого графика.
Тема 18. Нелинейное программирование.
Основные понятия. Безусловный экстремум. Условный экстремум.
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
Тема 1. Решение задач линейного программирования геометрическим
методом (2 часа).
Изучение
программирования
теоретических
геометрическим
основ
решения
методом.
Решение
задач
задач
линейного
линейного
8
программирования
геометрическим
методом.
Определение
оптимальной
структуры товарооборота, обеспечивающей фирме максимальную прибыль.
Тема
2.
Симплексный
метод
решения
задач
линейного
программирования с помощью симплекс-таблицы (2 часа).
Изучение
теоретических
основ.
Решение
задач
линейного
программирования симплексным методом. Нахождение оптимального плана
симплекс-методом. Решение двойственной задачи. Определение дефицитности
ресурсов.
Обоснование
эффективности
плана
производства.
Оценка
целесообразности приобретения ресурса. Оценка целесообразности выпуска
новой продукции
Тема
3.
Симплексный
метод
решения
задач
линейного
программирования с помощью надстройки Поиск решения MS Excel (2
часа).
Изучение теоретических основ. Ознакомление с надстройкой Поиск
решения MS Excel. Разработка математической модели решаемой задачи.
Подготовка
рабочего
листа
MS
Excel.
Решение
задачи
линейного
программирования с помощью надстройки Поиск решения MS Excel.
Тема 4. Транспортная задача. Разработка математической модели (2
часа).
Изучение теоретических основ. Алгоритм решения транспортной задачи.
Составление плана перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся
полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и
суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальные.
Тема 5. Транспортная задача. Метод наименьшего элемента(2 часа).
Изучение теоретических основ. Составление транспортной таблицы.
Сбалансированность задачи. Проверка плана на вырожденность. Нахождение
потенциалов всех базисных клеток транспортной таблицы. Проверка плана на
9
оптимальность.
Тема 6. Транспортная задача. Метод северо-западного угла (2 часа).
Изучение теоретических основ. Составление транспортной таблицы.
Проверка запасов и потребностей на сбалансированность. Заполнение клеток
транспортной таблицы. Невырожденный и вырожденный план перевозок.
Тема 7. Транспортная задача. Метод потенциалов (2 часа).
Изучение теоретических основ. Составление транспортной таблицы.
Проверка условия оптимальности. Улучшение опорного плана. Построение
контура перераспределения груза. Нахождение нового плана перевозок.
Проверка нового плана на оптимальность.
Тема
8.
Решение
задач
управления
методом
динамического
программирования (2 часа).
Решение
задач
методом
динамического
программирования.
Распределение запаса средств, который нужно между предприятиями, чтобы
получить наибольшую прибыль.
Тема 9. Управление производством. Задача о замене оборудования (2
часа).
Решение задач управления производством. Разработка оптимальной
политики в отношении имеющегося оборудования: сохранить в этом году
оборудование или продать его по остаточной стоимости, или купить новое
оборудование, чтобы ожидаемая прибыль достигла максимальной величины.
Составление матрицы максимальных прибылей. Формулировка стратегии
замены оборудования в плановом периоде.
Тема 10. Управление запасами. Складская задача (4 часа).
Решение задач управления запасами. Определение размера пополнения
запасов в каждом месяце для удовлетворения заданного расхода из условий
минимизации суммарных затрат.
10
Тема 11. Теория игр (4 часа).
Решение задач, относящихся к теории игр. Нахождение нижней и верхней
цены игры для матрицы Нахождение оптимальных стратегий первого и второго
игрока.
Тема 12. Системы массового обслуживания (4 часа).
Решение задач на расчёт систем массового обслуживания. Определение
характеристик систем массового обслуживания.
Тема 13. Сетевое планирование (4 часа).
Решение задач сетевого планирования. Составление сетевого графика и
определение времени на выполнение всех работ.
Тема 14. Зачётное занятие (2 часа).
Проведение компьютерной презентации по темам теоретических и
практических занятий.
КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЙ ЦЕЛЕЙ КУРСА
Контроль качества прохождения курса проводится после завершения
изучения каждого из разделов теоретической части в виде контрольной работы.
Тематика и перечень контрольных работ:
Контрольная работа 1. Основы теории принятия решений.
Контрольная работа 2. Основы линейного программирования.
Контрольная работа 3. Основы динамического программирования.
Контрольная работа 4. Основы теории игр.
Контрольная работа 5. Основы систем массового обслуживания, сетевого
планирования и нелинейного программирования.
11
Перечень типовых вопросов для итогового контроля:
1. Цель, задачи и методы исследования операций.
2. Исследование операций и ее место среди других наук.
3. Основные понятия и определения теории оптимизации.
4. Основные этапы решения задач оптимизации.
5. Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной
переменной.
6. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких
переменных.
7. Классификация численных методов многомерной оптимизации.
8. Симплекс-метод поиска экстремума функции нескольких переменных.
9. Постановка задачи и классификация методов статической условной
оптимизации.
10. Постановка и методы решения задач линейного программирования.
11. Каноническая форма задачи линейного программирования.
12.
Понятие
двойственной
задачи
линейного
программирования.
Постановка и экономическая интерпретация.
13. Целочисленная задача линейного программирования и методы ее
решения.
14. Транспортная задача линейного программирования. Постановка и
методы решения.
15. Теория игр. Основные понятия, классификация и описание игр.
16. Постановка и методы решения задачи динамического программирования.
17.
Геометрическая
и
экономическая
интерпретации
задачи
динамического программирования.
18. Сетевые модели планирования и управления.
19. Решение сетевых задач по различным критериям
12
20. Модели управления запасами в детерминированной постановке.
21. Модели управления запасами в стохастической постановке.
22.
Постановка
и
методы
решения
задачи
нелинейного
программирования.
Примерный перечень вопросов к экзамену:
1.Основные
принципы
применения
методов
математического
моделирования в экономике.
2. Построение математических моделей и их особенности.
3. Постановка задачи организации оптимального плана производства.
4.Общая задача линейного программирования.
5. Стандартный вид задачи линейного программирования.
6. Понятие двойственности задач линейного программирования.
7. Правила построения двойственной задачи.
8. Экономический смысл двойственных задач.
9. Теоремы двойственности.
10. Задача о плане производства при условии ограниченных ресурсов
(графический метод).
11. Понятие целевой функции задачи линейного программирования, её
экономический смысл.
12. Решение задач линейного программирования симплекс-методом.
13. Анализ решения задач линейного программирования.
14. Транспортная задача: экономическая постановка, математическая
модель прямой и двойственной задачи.
15. Транспортная задача: построение начального допустимого плана,
сбалансированность транспортной задачи.
13
16. Решение транспортной задачи методом наименьшего элемента.
17. Решение транспортной задачи методом потенциалов.
18. Целевая функция.
19. Целочисленное программирование.
20. Решение задачи целочисленного программирования методом ветвей и
границ.
21. Задача о коммивояжере.
22. Математическая постановка задачи об оптимальном размещении
капитальных вложений.
23. Сетевое планирование.
24. Основные понятия теории игр. Классификация задач теории игр.
25. Решение задачи игры с нулевой суммой в чистых стратегиях.
27. Решение задачи игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях.
28. Решение задачи игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях
геометрическим способом.
29. Критерии Байеса и Лапласа для выбора оптимальной стратегии в
«играх с природой».
30. Критерии Вальда, Севиджа и Гурвица для выбора оптимальной
стратегии в «играх с природой».
31.Методы решения задач теории игр.
32. Платежная матрица и ее построение.
33. Динамическое программирование.
34. Общие уравнения алгоритма, реализующие принцип Беллмана в
задачах динамического программирования.
35. Задача распределения ресурсов.
36. Задача о замене оборудования.
37. Нелинейное программирование.
14
38. Методы решения задач нелинейного программирования.
Тематика и перечень курсовых работ, рефератов:
Рефераты:
1. Метод Розенброка для задачи безусловной оптимизации.
2. Безусловная оптимизация методом сопряженных направлений.
3. Метод случайных направлений поиска безусловного экстремума.
4. Метод наискорейшего спуска.
5. Метод безусловной оптимизации Ньютона-Рафсона.
6. Решение задачи линейного программирования двухфазным симплексметодом.
7. Целочисленная задача линейного программирования (метод Гомори –
отсекающих плоскостей).
8. Целочисленная задача линейного программирования (метод ветвей и
границ).
9. Транспортная задача (метод северо-западного угла).
10. Задача о назначениях (венгерский метод).
11. Решение задачи нелинейного программирования методом множителей
Лагранжа.
12. Метод проекции градиента для задачи условной оптимизации.
13. Метод возможных направлений Зойтендейка для решения задачи
нелинейного программирования.
14. Случайный поиск (метод Монте-Карло) при наличии ограничений.
15. Графический метод решения задачи условной оптимизации.
16.
Задача
об
инвестировании
предприятий
(динамическое
программирование).
15
17. Расчет детерминированного сетевого графика (метод критического пути).
18. Расчет вероятностного сетевого графика.
19. Игры двух лиц с нулевой суммой.
20. Игры двух лиц с ненулевой суммой (кооперативные игры).
21. Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределенности.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины:
Основная литература
1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособ./Н.Ш. Кремер, Б.А.
Путко, И.М. Тришин и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007.407с.
2. Плис А.И., Сливина Н.А. Mahcad. Математический практикум для
инженеров и экономистов: Учеб. пособие.– 2–е изд. перераб. и доп.– М.:
Финансы и статистика, 2006.– 656 с.
3. Хачатрян С.Р., Пинегина М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения
экономических задач: Учебное пособие.– М.: Издательство «Экзамен», 2005.–
384 с.
Дополнительная литература
1. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и
финансах.– СПб.: BHV – Санкт– Петербург, 2007.
2. Карманов В. Г. Математическое программирование. –М.: Наука, 2008.
3. Красс М.С., Чупынов Б.П. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие.– СПб.: Питер, 2007.– 496 с.
4. Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mahcad и
Excel.– СПб.: БХВ– Петербург, 2008.– 464 с.
16
Электронные образовательные ресурсы
1. Калашникова Т.В. Исследование операций в экономике: учебное
пособие / Т.В. Калашникова. - Томск: Изд-во Томского политехнического
университета,
2008.-92с.
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа
[http://window.edu.ru/resource/018/75018].
2. Решение задач исследования операций: учебное пособие / Г.Л.
Окунева, А.В. Борзенков, С.В. Рябцева; Белгородский гос. технол. ун-т им. В.Г.
Шухова. - Белгород, 2008.-91с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа
[http://window.edu.ru/resource/423/77423].
3. Чернышова Г.Д., Булгакова И.Н. Элементы теории двойственности:
Учебно-методическое пособие для вузов. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2008. - 34 с.
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа
[http://window.edu.ru/resource/594/65594].
17
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Большекаменский институт экономики и технологий (филиал) ГОУ ВПО
«Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В. Куйбышева)»
КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «Исследование операций»
080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
г. Большой Камень
18
Модуль 1
Раздел 1. Основы теории принятия решений.
Тема 1. Введение в дисциплину. Основные понятия и определения.
Цель и задачи: Изучение основ исследования операций.
Учебные вопросы:
1. Общие положения.
2. Основные понятия системного анализа.
3. Основные понятия исследования операций.
Учебная информация:
1. Общие положения.
Теория принятия оптимальных решений в наиболее общем смысле
представляет собой совокупность математических и численных методов,
ориентированных
на
нахождение
наилучших
вариантов
из
множества
альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора.
Так как размерность практических задач, как правило, достаточно велика,
а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных
затрат
времени,
поэтому
методы
принятия
оптимальных
решений
ориентированы главным образом на реализацию их с помощью ЭВМ.
Практическая потребность общества в научных основах принятия
решений возникла с развитием науки и техники.
Бурный рост технического прогресса, особенно во время и после Второй
мировой войны, ставил все новые и новые задачи, для решения которых
привлекались и разрабатывались новые научные методы.
Научно–техническими предпосылками становления «Теории принятия
решений» являются:

удорожание «цены ошибки». Чем сложнее, дороже, масштабнее
планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем «волевые» решения и
19
тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить
последствия каждого решения, заранее исключить недопустимые варианты и
рекомендовать наиболее удачные;
ускорение научно–технической революции техники и технологии.

Жизненный цикл технического изделия сократился настолько, что «опыт» не
успевал
накапливаться
и
требовалось
применение
более
развитого
математического аппарата в проектировании;
развитие ЭВМ. Размерность и сложность реальных инженерных задач

не позволяли использовать аналитические методы.
Эта наука, с одной стороны, стала определенной ветвью других более
общих наук (теория систем, системный анализ, кибернетика и т.д.), а с другой,
стала
синтезом
определенных
фундаментальных
более
частных
наук
(исследование операций, оптимизация и т.д.), создав при этом и собственную
методологию.
Экономика теснейшим образом связана с совокупностями объектов,
которые принято называть сложными системами. Они характеризуются
многочисленными и разнообразными по типу связями между отдельно
существующими элементами системы и наличием у системы функции
назначения, которой нет у составляющих ее частей.
На
первый
взгляд
каждая
сложная
система
имеет
уникальную
организацию. Однако более детальное изучение способно выделить общее в
системе команд ЭВМ, в процессах проектирования машины, самолета и
космического корабля.
В научно–технической литературе существует ряд терминов, имеющих
отношение к исследованию сложных систем.
Наиболее общий термин «теория систем». Его основными частями
являются:
20

системный анализ, который понимается как исследование проблемы
принятия решения в сложной системе,

кибернетика, которая рассматривается как наука об управлении и
преобразовании информации.
Кибернетика изучает отдельные и строго формализованные процессы, а
системный анализ – совокупность процессов и процедур.
Очень близкое к термину «системный анализ» понятие – «исследование
операций», которое традиционно обозначает математическую дисциплину,
охватывающую исследование математических моделей для выбора величин,
оптимизирующих заданную математическую конструкцию (критерий).
Системный анализ может сводиться к решению ряда задач исследования
операций, но обладает свойствами, не охватываемыми этой дисциплиной.
Однако в зарубежной литературе термин «исследование операций» не
является чисто математическим и приближается к термину «системный анализ».
Системный анализ, опираясь на исследование операций, включает:

постановку задачи для принятия решения;

описание множества альтернатив;

исследование многокритериальных задач;

методы решения задач оптимизации;

обработку экспертных оценок;

работу с макромоделями системы.
2. Основные понятия системного анализа.
Системный анализ – наука, занимающаяся проблемой принятия решения
в условиях анализа большого количества информации различной природы.
Цель системного анализа – повышение степени обоснованности
принимаемого решения из множества вариантов, среди которых производится
21
выбор,
с
одновременным
указанием
способов
отбрасывания
заведомо
невыгодных.
В системном анализе выделяют:

методологию;

аппаратную реализацию;

практические приложения.
В системном анализе используются следующие основные понятия:
1. Элемент – некоторый объект (материальный, энергетический,
информационный), который обладает рядом важных для нас свойств, но
внутреннее
строение
(содержание)
которого
безотносительно
к
цели
рассмотрения.
2. Связь – важный для целей рассмотрения обмен между элементами
веществом, энергией, информацией.
3. Система – совокупность элементов, которая обладает следующими
признаками:

связями, которые позволяют посредством переходов по ним от
элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности;

свойством, отличным от свойств отдельных элементов совокупности.
Практически любой объект с определенной точки зрения может быть
рассмотрен как система. Вопрос состоит в том, насколько целесообразна такая
точка зрения.
4. Большая система – система, которая включает значительное число
однотипных элементов и однотипных связей.
В качестве примера можно привести мост с пролетами и опорами.
5. Сложная система – система, которая состоит из элементов разных
типов и обладает разнородными связями между ними. В качестве примера
можно привести ЭВМ, самолет или судно.
22
6. Автоматизированная система – сложная система с определяющей
ролью элементов двух типов:

в виде технических средств;

в виде действия человека.
Для сложной системы автоматизированный режим считается более
предпочтительным, чем автоматический.
7. Структура системы – расчленение системы на группы элементов с
указанием связей между ними, неизменное на все время рассмотрения и дающее
представление о системе в целом.
Указанное расчленение может иметь материальную, функциональную,
алгоритмическую или другую основу.
Пример материальной структуры – структурная схема сборного моста,
которая состоит из отдельных, собираемых на месте секций и указывает только
эти секции и порядок их соединения.
Пример функциональной структуры – деление двигателя внутреннего
сгорания на системы питания, смазки, охлаждения, передачи крутящего
момента
Пример алгоритмической структуры – алгоритм программного средства,
указывающего
последовательность
действий
или
инструкция,
которая
определяет действия при отыскании неисправности технического устройства.
Структура системы может быть охарактеризована по имеющимся в ней
типам связей.
Простейшими
из
них
являются
последовательное,
параллельное
соединение и обратная связь
8. Декомпозиция – деление системы на части, удобное для каких–либо
операций с этой системой.
23
Примерами будут: разделение объекта на отдельно проектируемые части,
зоны обслуживания; рассмотрение физического явления или математическое
описание отдельно для данной части системы.
9. Иерархия – структура с наличием подчиненности, т.е. неравноправных
связей между элементами, когда воздействие в одном из направлений
оказывают гораздо большее влияние на элемент, чем в другом. Виды
иерархических структур разнообразны, но важных для практики иерархических
структур всего две – древовидная и ромбовидная
Древовидная структура наиболее проста для анализа и реализации.
Кроме того, в ней всегда удобно выделять иерархические уровни – группы
элементов, находящиеся на одинаковом удалении от верхнего элемента.
Пример древовидной структуры – задача проектирования технического
объекта
от
его
основных
характеристик
(верхний
уровень)
через
проектирование основных частей, функциональных систем, групп агрегатов,
механизмов до уровня отдельных деталей.
10. Принципы системного подхода – это положения общего характера,
являющиеся обобщением опыта работы человека со сложными системами.
Их часто считают ядром методологии. Это такие принципы, как:

принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели;

принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и
как совокупности элементов;

принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее
связями с окружением;

принцип модульного построения: полезно выделение модулей в
системе и рассмотрение ее как совокупности модулей;

принцип иерархии: полезно введение иерархии элементов и(или) их
ранжирование;
24

принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и
функции с приоритетом функции над структурой;

принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к
развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации;

принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и
управлении централизации и децентрализации;

принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей
в системе.
11.
Аппаратная
реализация
включает
стандартные
приемы
моделирования принятия решения в сложной системе и общие способы работы
с этими моделями. Модель строится в виде связных множеств отдельных
процедур.
Системный анализ исследует как организацию таких множеств, так и вид
отдельных процедур, которые максимально приспосабливают для принятия
согласующихся и управленческих решений в сложной системе.
Модель принятия решения чаще всего изображается в виде схемы с
ячейками, связями между ячейками и логическими переходами. Ячейки
содержат конкретные действия – процедуры. Совместное изучение процедур и
их организации вытекает из того, что без учета содержания и особенностей
ячеек создание схем оказывается невозможным. Эти схемы определяют
стратегию принятия решения в сложной системе.
Именно с проработки связанного множества основных процедур принято
начинать решение конкретной прикладной задачи.
Отдельные же процедуры (операции) принято классифицировать на
формализуемые и неформализуемые.
В отличие от большинства научных дисциплин, стремящихся к
формализации, системный анализ допускает, что в определенных ситуациях
25
неформализуемые
решения,
принимаемые
человеком,
являются
более
предпочтительными.
Системный анализ рассматривает в совокупности формализуемые и
неформализуемые процедуры и одной из его задач является определение их
оптимального соотношения.
Формализуемые
стороны
отдельных
операций
лежат
в
области
исследуется
связное
прикладной математики и использования ЭВМ.
В
ряде
случаев
математическими
методами
множество процедур и производится само моделирование принятие решения. В
этом и состоит математическая основа системного анализа.
Практическое приложение системного анализа чрезвычайно обширно по
содержанию.
Важнейшими разделами являются научно–технические разработки и
различные задачи экономики.
3. Основные понятия исследования операций.
Операцией
называется
всякое
мероприятие
(система
действий),
объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.
Цель исследования операций – предварительное количественное
обоснование оптимальных решений.
Решение– всякий определенный выбор зависящих от нас параметров.
Оптимальным называется решение, по тем или другим признакам
предпочтительнее перед другими.
Элементы решения – параметры, совокупность которых образует решение.
Множеством допустимых решений называются заданные условия,
которые фиксированы и не могут быть нарушены.
Показатель эффективности – количественная мера, позволяющая
сравнивать по эффективности разные решения.
26
Все решения принимаются всегда на основе информации, которой
располагает человек, принимающий решение (ЧПР).
Каждая задача в своей постановке должна отражать структуру и динамику
знаний ЧПР о множестве допустимых решений и о показателе эффективности.
Задача называется статической, если принятие решения происходит в
наперед известном и не изменяющемся информационном состоянии.
Задача называется динамической – если информационные состояния в
ходе принятия решения сменяют друг.
Информационные состояния ЧПР могут по–разному характеризовать его
физическое состояние:

Если
информационное
состояние
состоит
из
единственного
физического состояния, то задача называется определенной.

Если информационное состояние содержит несколько физических
состояний и ЧПР кроме их множества знает еще и вероятности каждого из этих
физических
состояний,
то
задача
называется
стохастической
(частично
неопределенной).

Если информационное состояние содержит несколько физических
состояний, но ЧПР кроме их множества ничего не знает о вероятности каждого
из этих физических состояний, то задача называется неопределенной.
Выводы по теме:
1. Практическая потребность общества в научных основах принятия
решений возникла с развитием науки и техники. Бурный рост технического
прогресса, особенно во время и после Второй мировой войны, ставил все новые
и новые задачи, для решения которых привлекались и разрабатывались новые
научные методы.
2. Экономика теснейшим образом связана с совокупностями объектов,
которые принято называть сложными системами. Они характеризуются
27
многочисленными и разнообразными по типу связями между отдельно
существующими элементами системы и наличием у системы функции
назначения, которой нет у составляющих ее частей.
3.
Цель
исследования
операций
заключается
в
предварительном
количественном обосновании оптимальных решений.
Вопросы для самопроверки:
1. Что означает понятие «системный анализ»?
2. Какие существуют определения системного анализа?
3. В чём заключаются принципы системного подхода?
4. Что такое исследование операций?
5. Какие существуют методы принятия решений?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
28
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема 2. Постановка задач и методология принятия оптимальных
решений.
Цель и задачи: Изучение задач и методологии принятия оптимальных
решений.
Учебные вопросы:
1. Постановка задач принятия оптимальных решений.
2. Методология и методы принятия решений.
Учебная информация:
1. Постановка задач принятия оптимальных решений.
Успешное применение методов принятия решений в значительной мере
зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь
четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и
уметь корректно поставить задачу.
Искусство
реализованных
постановки
разработок
задач
и
постигается
основывается
на
на
примерах
четком
успешно
представлении
преимуществ, недостатков и специфики различных методов оптимизации.
В
первом
приближении
можно
сформулировать
следующую
последовательность действий, которые составляют содержание процесса
постановки задачи принятия оптимальных решений:
29

установление границы
подлежащей оптимизации
системы, т.е.
представление системы в виде некоторой изолированной части реального мира.
Расширение
границ
системы
повышает
размерность
и
сложность
многокомпонентной системы и, тем самым, затрудняет ее анализ.

определение показателя эффективности, на основе которого можно
оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить
«наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования
системы. Обычно выбираются показатели экономического (издержки, прибыль
и
т.д.)
или
технологического
материалоемкость
соответствует
и
т.д.)
(производительность,
характера.
экстремальное
«Наилучшему»
значение
энергоемкость,
варианту
показателя
всегда
эффективности
функционирования системы;

выбор внутрисистемных независимых переменных, которые должны
адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования
системы и способствовать тому, чтобы все важнейшие экономические решения
нашли отражение в формулировке задачи;

построение
модели,
которая
описывает
взаимосвязи
между
переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение
показателя эффективности.
Структура модели, в самом общем случае, включает основные уравнения
материальных
и
энергетических
балансов,
соотношения,
связанные
с
проектными решениями, уравнения, описывающие физические процессы,
протекающие в системе, неравенства, которые определяют область допустимых
значений независимых переменных и устанавливают лимиты имеющихся
ресурсов.
Элементы
модели
содержат
всю
информацию,
которая
обычно
используется при расчете проекта.
30
Процесс построения модели является весьма трудоемким и требует
четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы.
Все оптимизационные задачи имеют общую структуру. Их можно
классифицировать как задачи минимизации(максимизации) M–векторного
показателя эффективности Wm(x), m=1,2,...,M, N–мерного векторного аргумента
x=(x1,x2,...,xN), компоненты которого удовлетворяют системе ограничений–
равенств
hk(x)=0,
k=1,2...K,
ограничений–неравенств
gj(x)>0,
j=1,2,...J,
областным ограничениям xli<xi<xui, i=1,2...N.
Все задачи принятия оптимальных решений можно классифицировать в
соответствии с видом функций и размерностью Wm(x), hk(x), gj(x) и
размерностью и содержанием вектора x:

одноцелевое принятие решений – Wm(x) – скаляр;

многоцелевое принятие решений – Wm(x) – вектор;

принятие решений в условиях определенности – исходные данные –
детерминированные;

принятие решений в условиях неопределенности – исходные данные –
случайные.
Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат
одноцелевого принятия решений в условиях определенности, который получил
название математического программирования.
2. Методология и методы принятия решений.
Эффективность управления зависит от комплексного применения многих
факторов и не в последнюю очередь – от процедуры принимаемых решений и
их практического воплощения в жизнь. Для того, чтобы управленческое
решение было действенным и эффективным, нужно соблюсти определенные
методологические основы.
31
Все методы принятия управленческих решений можно объединить в три
группы:
 неформальные (эвристические);
 коллективные;
 количественные.
Неформальные ( основанные на аналитических способностях и опыте
руководителя)–
совокупность
логических
приемов
и
методов
выбора
оптимальных решений руководителем путем теоретического (мыслительного)
сравнения альтернатив с учетом накопительного опыта, базирующихся на
интуиции. Преимущество заключается в том, что решения, как правило,
принимаются оперативно. Недостаток заключается в том, что данный метод
базируются, как правило, на интуиции, а отсюда – довольно высокая
вероятность ошибок.
Коллективные – метод «мозговой атаки», «мозговой штурм» –
применяется, как правило, при необходимости принятия экстренного, сложного,
многопланового решения, связанного с экстремальной ситуацией. Это требует
от
руководителей
твердого
мышления,
умения
излагать
предложение
конструктивно, коммуникабельно, компетентно. В ходе «мозговой атаки»
предлагаются различные альтернативы, даже такие, которые выходят за рамки
обычных приемов и способов реализации подобных ситуаций в обычных
условиях.
Метод Делфи (по названию древнегреческого города Дельфы, известного
жившими там мудрецами – предсказателями будущего) – многоуровневое
анкетирование.
подчиненным
Руководитель
возможность
объявляет
формулирования
проблему
и
альтернатив.
предоставляет
Первый
этап
формулирования альтернатив проходит без аргументации, т.е. каждым из
32
участников предлагается набор решений. После оценки эксперты предлагают
подчиненным рассмотреть данный набор альтернатив.
На втором этапе сотрудники должны аргументировать свои предложения,
варианты решения. После стабилизации оценок опрос прекращается и
принимается предложенное экспертами или скорректированное наиболее
оптимальное решение.
Метод «кингисе» – японская кольцевая система принятия решения, суть
которой в том, что на рассмотрение готовится проект новации. Он передается
для обсуждения лицам по списку, составленному руководителем. Каждый
должен рассмотреть предлагаемый проект и дать свои замечания в письменном
виде, после чего проводится совещание, на которое приглашаются сотрудники,
чье мнение не совсем понятно, либо выходит за рамки обычного решения.
Решения принимаются руководителем на основе экспертных оценок с
помощью одного из следующих принципов:
 принципа большинства голосов;
 принципа диктатора – за основу берется мнение одного лица группы;
 принципа Курно – каждый эксперт предлагает свое решение; выбор не
должен ущемлять интересов каждого в отдельности;
 принципа Парето – эксперты образуют единое целое, одну коалицию;
 принципа Эджворта – эксперты разбились на несколько групп, каждой
из которых невыгодно отменять свое решение. Зная предпочтения коалиций,
можно принять оптимальное решение, не нанося ущерба друг другу.
Количественные – в их основе лежит научно–практический подход,
предполагающий выбор оптимальных решений путем обработки больших
массивов информации.
33
В зависимости от типа математических функций, лежащих в основе
моделей, различают:
 линейное моделирование (используются линейные зависимости);
 динамическое программирование (позволяет вводить дополнительные
переменные в процессе решения задач);
 вероятностные и статистические модели (реализуются в методах
теории массового обслуживания);
 теорию игр (моделирование таких ситуаций, принятия решения в
которых должно учитывать несовпадение интересов различных подразделений);
 имитационные
модели
(позволяют
экспериментально
проверить
реализацию решений, изменить исходные предпосылки.
Выводы по теме:
1. Успешное применение методов принятия решений в значительной мере
зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь
четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и
уметь корректно поставить задачу. Искусство постановки задач постигается на
примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком
представлении преимуществ, недостатков и специфики различных методов
оптимизации.
2. Структура модели, в самом общем случае, включает основные
уравнения материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с
проектными решениями, уравнения, описывающие физические процессы,
протекающие в системе, неравенства, которые определяют область допустимых
значений независимых переменных и устанавливают лимиты имеющихся
ресурсов.
34
3. Эффективность управления зависит от комплексного применения
многих факторов и не в последнюю очередь – от процедуры принимаемых
решений и их практического воплощения в жизнь. Для того, чтобы
управленческое решение было действенным и эффективным, нужно соблюсти
определенные методологические основы.
Вопросы для самопроверки:
1. Какая последовательность действий составляет содержание процесса
постановки задачи принятия оптимальных решений?
2. Что включает в себя структура модели?
3. Что такое математическое программирование?
4. В какие группы можно объединить методы принятия управленческих
решений?
5. Какие существуют принципы принятия решения руководителем на
основе экспертных оценок?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. –
436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
35
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. – 131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема 3. Математическое моделирование экономических процессов.
Цель и задачи: Изучение основ математического моделирования
экономических процессов.
Учебные вопросы:
1. Основные понятия математического моделирования.
2. Классификация моделей.
3. Классификация экономических задач.
Учебная информация:
1. Основные понятия математического моделирования.
Слово «модель» (от латинского слова «modulus») означает меру,
мерильный образец, норму.
Модель – образ объекта или системы объектов.
Моделирование – конструирование модели и работа с ней, состоящие
из ряда последовательных и взаимосвязанных стадий: постановка задачи,
построение модели, ее исследование, проверка и оценка полученного на основе
модели решения, реализация результатов решения.
Экономическая модель – аналог совокупности производственных
отношений,
определенной
общественно-экономической
формации,
36
свойства которых и отношения между которыми имеют математическое
описание.
Применяемые в разных областях человеческой деятельности модели
можно классифицировать по разным признакам:
 по характеру моделируемых объектов;
 по сферам приложения;
 по средствам моделирования.
Конструктивно каждая модель представляет собой совокупность
взаимосвязанных математических зависимостей (уравнений или неравенств),
отображающих определенные группы реальных экономических зависимостей.
Параметры описываемых экономических объектов выступают в модели в
качестве либо известных, либо неизвестных величин. Известные величины
рассчитываются вне модели и вводятся в нее в готовом виде, поэтому их
часто называют экзогенными. Значения неизвестных величин, называемых
эндогенными, определяются только в результате проведения эксперимента или
решения экономической задачи.
Основные определения.
Решение – определенный выбор зависящих от ЧПР параметров.
Ограничения
–
заданные
условия,
формирующие
множество
допустимых (возможных) решений.
Оптимальное решение – решение, которое по тем или иным
признаком предпочтительнее других.
Показатель эффективности (целевая функция) – количественный
критерий, позволяющий сравнивать между собой по эффективности
различные решения (максимум или минимум).
2. Классификация моделей.
37
В экономико-математическом моделировании модели разделяются на
классы по ряду признаков, относящихся к особенностям
моделируемых
объектов, целям моделирования и используемого инструментария.
Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое со
связями между агрегированными материальными и финансовыми показателями
(ВВП, потребление, инвестиции, занятость, денежная масса, государственный
долг, инфляция и др.).
Микроэкономические модели описывают взаимодействия структурных и
функциональных составляющих экономики либо их поведение в отдельности в
рыночной среде.
Теоретические модели являются аппаратом
изучения общих свойств
экономики и ее составляющих на основе дедукции выводов из формальных
предпосылок.
Прикладные модели представляют собой аппарат оценок параметров
конкретных экономических объектов, выработки рекомендаций для принятий
экономических решений и разработки стратегии поведения фирм на рынке.
Равновесные модели описывают такие состояния экономики , когда
результирующая
всей воздействий на нее равна нулю. Как правило,
равновесные модели являются описательными.
Оптимизационные модели используются в теории рыночной экономики
на микроуровне (оптимизация деятельности потребителя, производителя или
фирмы). На макроуровне результат выбора экономическими субъектами
рационального поведения может приводить к состоянию относительного
равновесия.
Статические модели описываю состояние экономических объектов в
определенный момент или усреднено за некоторый период времени. При этом
38
все параметры статических моделей полагаются фиксированными величинами,
не зависящими от времени.
Динамические модели включают в себя зависимость и взаимосвязи
переменным
модели
во
времени.
Они
используют
обычно
аппарат
дифференциальных и разностных уравнений и вариационного исчисления, где
независимой переменной является время.
Детерминированные модели предполагают в своей основе только
жесткие функциональные связи между переменными модели.
Стохастические модели допускают наличие случайных связей между
переменными модели. Эти модели используют аппарат теории вероятностей и
математической статистики.
Модели
с
элементами
неопределенности
используются
для
моделирования ситуаций, когда для определяющих факторов невозможно
собрать статистические данные, и их значения неопределенны. В этих моделях
используется аппарат теории игр и имитационного моделирования.
Экспортные модели – разрабатываются и имеют применение в ряде
исследований
экономических
процессов,
когда
в
условиях
отсутствия
количественных характеристик за основу принимаются мнения экспертов с
оценками разных аспектов по определенной шкале. Эти оценки могут быть
использованы в виде векторов некоторой размерности, которые, в свою очередь,
можно сравнивать по мере их близости.
3. Классификация экономических задач.
По уровню информации о ситуации:
1. Детерминированный уровень – наиболее простой уровень информации
о ситуации – когда условие, в которых принимаются решения , известны
полностью.
39
2. Стохастический уровень – уровень, при котором известно множество
возможных вариантов условий и их вероятностное распределение.
3. Неопределенный уровень – уровень, когда известно множество
возможных вариантов, но без какой–либо информации об их вероятностях.
По виду информации о ситуации:
1. Статический вид – информация о ситуации не меняется во времени и
известна заранее.
2. Динамический вид – информация о ситуации зависит от времени ,
прошедшего от начала операции.
По виду критерия оптимальности:
1. Однокритериальные задачи.
2. Многокритериальные задачи.
По типу критерия оптимальности:
1. Линейные задачи.
2. Нелинейные задачи.
По типу области ограничения:
1. Выпуклая область.
2. Целочисленная область.
3. Булева область.
Выводы по теме:
1. Экономическая модель – это аналог совокупности производственных
отношений,
определенной
общественно-экономической
формации,
свойства которых и отношения между которыми имеют математическое
описание.
2. Конструктивно каждая модель представляет собой совокупность
взаимосвязанных математических зависимостей (уравнений или неравенств),
отображающих определенные группы реальных экономических зависимостей.
40
Параметры описываемых экономических объектов выступают в модели в
качестве либо известных, либо неизвестных величин. Известные величины
рассчитываются вне модели и вводятся в нее в готовом виде, поэтому их
часто называют экзогенными. Значения неизвестных величин, называемых
эндогенными, определяются только в результате проведения эксперимента или
решения экономической задачи.
3. В экономико-математическом моделировании модели разделяются на
классы по ряду признаков, относящихся к особенностям
моделируемых
объектов, целям моделирования и используемого инструментария.
Вопросы для самопроверки:
1. Что означает понятие «модель»?
2. Что означает понятие «экономическая модель»?
3. В чём заключается классификация экономических моделей?
4. Какое решение является оптимальным?
5. Что такое показатель эффективности?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. –
436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
41
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. – 131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Модуль 2
Раздел 2. Основы линейного программирования.
Тема 4. Линейное программирование.
Цель и задачи: Изучение основ линейного программирования.
Учебные вопросы:
1. Постановка задачи линейного программирования.
2. Виды математических моделей линейного программирования.
Учебная информация:
1. Постановка задачи линейного программирования.
Линейное программирование – наука о методах исследования и
отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной
функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Эта
линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически
записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой
ограничений.
Определение. Математическое выражение целевой функции и ее
ограничений называется математической моделью экономической задачи.
42
В
общем
виде
математическая
модель
задачи
линейного
программирования (ЛП) записывается следующим образом:
Z(x) = C1X1+C2X2 +…+СJXJ +…+ СnXn … max(min),
при ограничениях:
где Xi – неизвестные; aij, bj, Ci – заданные постоянные величины.
Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны
в виде неравенств.
Математическая модель в более краткой записи имеет следующий вид
Z(x) = ∑Ci Xi  max(min),
при ограничениях:
43
Определение. Допустимым решением (планом) задачи линейного
программирования называется вектор X = (х1, х2, ,...хn , ), удовлетворяющий
системе ограничений.
Множество допустимых решений образует область допустимых решений
(ОДР).
Определение. Допустимое решение, при котором целевая функция
достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением
задачи линейного программирования и обозначается Хопт.
Базисное допустимое решение
является опорным решением, где r— ранг системы ограничений.
2. Виды математических моделей линейного программирования.
Математическая модель задачи ЛП может быть канонической и
неканонической.
Определение. Если все ограничения системы заданы уравнениями и
переменные
неотрицательные,
Xj
то
такая
модель
задачи
называется
канонической.
Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи
ЛП является неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к
канонической,
необходимо
в
каждое
неравенство
ввести
балансовую
переменную хn+i .
Если знак неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком
плюс, если знак неравенства >, то – минус. В целевую функцию балансовые
переменные не вводятся.
44
Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, необходимо
выполнить следующие действия:
 ввести обозначения переменных;
 исходя из цели экономических исследований, составить целевую
функцию;
 учитывая ограничения в использовании экономических показателей
задачи и их количественные закономерности, записать систему ограничений.
Выводы по теме:
1. Линейное программирование – это наука о методах исследования и
отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной
функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Эта
линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически
записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой
ограничений.
2. Математическое выражение целевой функции и ее ограничений
называется математической моделью экономической задачи.
3. Математическая модель задачи линейного программирования может
быть канонической и неканонической. Если все ограничения системы заданы
уравнениями и переменные Xj неотрицательные, то такая модель задачи
называется
канонической.
Если
хотя
бы
одно
ограничение
является
неравенством, то модель задачи линейного программирования является
неканонической.
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое линейное программирование»?
2. Что называется целевой функцией?
3. Что такое математическая модель экономической задачи?
4. Что называется допустимым решением (планом) задачи линейного
45
программирования?
5. Что такое каноническая и неканоническая математическая модель
задачи линейного программирования?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. – Минск, 2004. – 46 с.
5. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
6. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. – 131 с.
Интернет–ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
Тема 5. Двойственность задач линейного программирования.
Цель
и
задачи:
Изучение
двойственности
задач
линейного
программирования.
Учебные вопросы:
1. Понятие двойственности задач линейного программирования.
2. Теоремы двойственности.
Учебная информация:
46
1. Понятие двойственности задач линейного программирования.
Каждая задача линейного программирования, называемая прямой или
исходной, тесно связана с другой задачей, которую называют двойственной.
Математические модели этих задач имеют следующий вид, показанный в
табл. 1.
Таблица 1 – Прямая и двойственная задачи линейного программирования
Прямая задача:
n
Z max   ci  xi
i 1
m
a
j 1
ij
 xi  b j
Двойственная задача:
m
'
Z min
  bj y j
j 1
n
a
i 1
ij
 y j  Ci ,
где, ( j  1,2,..., m)
где(i  1,2,..., n).
xi  0, где(i  1,2,..., n)
y j  0( j  1,2,..., m)
Эти задачи с точки зрения экономики могут быть сформулированы
следующим образом.
Прямая задача: сколько и какой продукции хi(i = 1, 2, … , n) надо
произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции Сi, объемом
имеющихся ресурсов bj (j=1,2,…, m) и нормах расхода ресурсов аij
максимизировать выпуск продукции в стоимостном виде.
Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого
ресурса yj (j=1, 2,…, m), чтобы при заданных bj, ci и аij минимизировать общую
оценку затрат на все ресурсы.
Правила построения двойственной задачи по прямой задаче заключаются
в следующем:
47
1. Если прямая задача решается на максимум, то двойственная задача
решается на минимум; если прямая задача решается на минимум то
двойственная на максимум.
2. В задаче на максимум ограничения неравенства имеют вид – ≤, а в
задаче на минимум – .
3. Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная
двойственной задачи, в другой модели ограничению двойственной задачи
соответствует переменная прямой задачи.
4. Матрица системы ограничений двойственной задачей получается из
матрицы из матрицы систем ограничений прямой задачи транспонированием.
5. Свободные члены системы ограничений прямой задачи являются
коэффициентами
при
соответствующих
переменных
целевой
функции
наложено
условие
двойственной задачи и наоборот.
6.
Если
на
переменную
прямой
задачи
неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи
записывается как ограничение–неравенство, в противном случае – как
ограничение равенство;
7. Если какое либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то
на
соответствующую
переменную
двойственной
задачи
условие
неотрицательности не налагается.
Пример:
Прямая задача:
Двойственная задача:
48
Z max  3x/  5 x2  8 x3
'
Z min
 12 y1  18 y2  20 y3
x1  2 x2  3x3  12
y1  5 y2  2 y3  3
5 x1  x2  2 x3  18
2 y1  y2  3 y3  5
2 x1  3x2  4 x3  20
3 y1  2 y2  4 y3  8
x1 , x2 , x3  0
y1 , y2 , y3  0
В этой задаче y1 , y2 , y3 – предельные оценки стоимости единицы каждого
ресурса, целевая функция – оценка стоимости всех ресурсов, а каждое
ограничение есть условие, что оценка ресурсов, идущих на производство
продукции x1 , x2 , x3 , не менее чем цена единицы продукции.
Взаимосвязь решений прямой и двойственной задач находится из трех
теорем двойственности.
2. Теоремы двойственности.
Первая теорема двойственности. Если одна из двойственных задач
имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение,
причем экстремальные значения целевых функций совпадают Z(X)=Z'(Y). Если
одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности
целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений
другой задачи противоречива.
Экономическое содержание первой теоремы двойственности: если задача
определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции,
разрешима, то разрешима и задача определения и оценок ресурсов, при этом
полная
стоимость
продукта,
полученного
в
результате
реализации
оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадения,
значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных
задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными. Это значит,
что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными
49
только тогда, когда полная стоимость произведенной продукции и суммарная
оценка ресурсов совпадает.
Оценки выступают как инструмент сбалансирования затрат и результатов.
Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют
рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей стоимости продукции
и ресурсов обуславливает убыточность всякого другого плана отличающегося
от
оптимального.
Двойственные
оценки
позволяют
сопоставлять
и
сбалансировать затраты и результаты производства.
Вторая теорема двойственности. Для того чтобы план Х* и Y* пары
двойственных
задач
были
оптимальными,
необходимо
и
достаточно
выполнение следующих условий:
 n

xi*   aij x*j  Ci   0
 i 1

 m

y *j   aij xi*  b j   0
 j 1

Эти условия называются условиями дополняющей нежесткости. Из них
следует, что если какое–либо неравенство системы ограничений в одной из
задач не обращается в строгое равенство оптимальным планом этой задачи, то
соответствующий элемент оптимального плана двойственной задачи должен
равняться нулю. Если какой–либо элемент оптимального плана одной из задач
положителен, то соответствующее ограничение в двойственной задаче её
оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство, т.е.
если
m
a x
j 1
*
ij i
 bj, то y*j  0,  j  1,2,..., m ;
если y *j  0, то
n
a x
i 1
*
ij i
 bj .
50
Аналогично,
если
n
a
i 1
ij
y *j  С1 , i  1,2,..., n , то xi*  0
если xi* 0 то
n
a
i 1
ij
;
y *j  Ci , i  1,2,..., n 
.
Экономически это означает, что если по некоторому оптимальному плану
X*= x1* , x2* ,..., xn*  производства расход j – го ресурса меньше его запаса bj, то в
оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого
ресурса равна нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок его j–й
элемент больше нуля, то в оптимальном плане производства расход
соответствующего
двойственные
ресурса
оценки
равен
могут
его
служить
запасу.
мерой
Отсюда
следует
дефицитности
вывод:
ресурсов.
Дефицитный ресурс, т.е. полностью используемый по оптимальному плану
производства, имеет положительную оценку, а избыточный ресурс, т.е. не
используемый полностью имеет нулевую оценку.
Третья теорема двойственности. Двойственные оценки показывают
приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена
соответствующего ограничения задачи линейного программирования, т.е.
dz( x* ) / db j  y*j , ( j  1,2,..., m)
.
В последнем выражении дифференциалы заменим приращениями. Тогда
получим выражение:
Z ( x* )  y*j  b j ,
если
b j  1 ,
тогда
Z ( x* )  y*j ,
Экономическое содержание третьей
теоремы двойственности: двойственная оценка численно равна изменению
51
целевой функции при изменении соответствующего ресурса на единицу.
Двойственные
оценки
yj часто
называются
скрытыми
теневыми
или
маргинальными оценками ресурсов.
Выводы по теме:
1. Каждая задача линейного программирования, называемая прямой или
исходной, тесно связана с другой задачей, которую называют двойственной.
2. Прямая и обратная задачи линейного программирования с точки зрения
экономики могут быть сформулированы следующим образом.
Прямая задача: сколько и какой продукции хi(i = 1, 2, … , n) надо
произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции Сi, объемом
имеющихся ресурсов bj (j=1,2,…, m) и нормах расхода ресурсов аij
максимизировать выпуск продукции в стоимостном виде.
Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого
ресурса yj (j=1, 2,…, m), чтобы при заданных bj, ci и аij минимизировать общую
оценку затрат на все ресурсы.
3. Взаимосвязь решений прямой и двойственной задач находится из
теорем двойственности.
Вопросы для самопроверки:
1. Что называется прямой задачей линейного программирования?
2. Что называется двойственной задачей линейного программирования?
3. В чём заключаются правила построения двойственной задачи?
4. Какие теоремы устанавливают взаимосвязь решений прямой и
двойственной задач линейного программирования?
5. В чём заключается экономическое содержание теорем двойственности?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
52
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. –
436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. – 131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема 6. Решение задач линейного программирования геометрическим
методом.
Цель
и
задачи:
Изучение
методики
решения
задач
линейного
решения
задач
линейного
программирования геометрическим методом.
Учебные вопросы:
1. Общие положения.
2.
Алгоритм
геометрического
метода
программирования.
53
3. Пример решения задач линейного программирования геометрическим
методом.
Учебная информация:
1. Общие положения.
При решении задач линейного программирования геометрическим
способом необходимо помнить, что визуализация решения достигается только
при рассмотрении задачи с двумя переменными и небольшим количеством
ограничений. Также желательно выбрать масштаб осей так, чтобы график был
компактным, но было четко видно все точки пересечения ограничений.
С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования
находится такая угловая точка или набор точек из допустимого множества
решений, на которой достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня,
расположенная дальше (ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.
Для нахождения экстремального значения целевой функции при
графическом решении задач ЛП используют вектор gradZ на плоскости Х2ОХ2 .
Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой
функции. Координатами вектора grandZ являются коэффициенты целевой
функции Z(x).
2.
Алгоритм
геометрического
метода
решения
задач
линейного
программирования.
Решение
задач
ЛП
геометрическим
методом
осуществляется
по
следующему алгоритму:
1. Строим координатные оси
Х1ОХ2
и с учетом коэффициентов
математической модели выбираем масштаб.
2. Находим область допустимых решений (ОДР) системы ограничений
математической модели.
54
3. Строим прямую целевой функции и показываем направление
наискорейшего ее изменения (нормаль – gradL).
4. Линию целевой функции (линия уровня) перемещаем по направлению
нормали для задач на максимум целевой функции и в противоположном
направлении – для задач на минимум целевой функции.
Перемещение линии уровня через ОДР производится до тех пор, пока у
нее окажется только одна общая точка с областью допустимых решений. Эта
точка будет точкой экстремума, и будет определять единственное решение
задачи ЛП.
Если окажется, что линия уровня совпадает с одной из сторон ОДР , то
задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений.
Если ОДР представляет неограниченную область, то целевая функция –
неограниченна.
Задача ЛП может быть неразрешима ,когда определяющие ее ограничения
окажутся противоречивыми.
5.Находим координаты точки экстремума и значение целевой функции в ней.
3. Пример решения задач линейного программирования геометрическим
методом.
Рассмотрим следующую задачу. Торговая фирма для продажи товара
трех видов использует ресурсы: время и площадь торговых залов. Затраты
ресурсов на продажу одной партии товаров каждого вида даны в таблице.
Прибыль получаемая от реализации одной парии товаров 1 вида – 5 у.е. 2 вида –
8 у.е. Исходные данные представлены в табл. 2.
Таблица 2 – Исходные данные
Ресурсы
Вид товара
1
Объем ресурсов
2
55
Время
0,5
0,7
370
Площадь
0,1
0,3
90
Определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую
фирме максимальную прибыль.
Решение задачи.
1. Математическая модель прямой задачи
Max Z= 5x1+8x2;
0,5 x1+0,7x2  370;
0,1 x1+0,3x2  90;
x1,2  0.
2. Математическая модель двойственной задачи
Min Z’= 370y1+90y2;
0,5y1+0,1y2  5;
0,7у1+0,3у2  8;
y1,2  0.
Разберем экономический смысл переменных, входящих в модели и
ограничений, составленных на основе условия задачи.
x1 – количество товара первого вида, которое необходимо продавать
согласно оптимальному плану.
х2 – количество товара второго вида, которое необходимо продавать
согласно оптимальному плану.
0,5 x1+0,7x2 – это условие показывает, сколько времени всего будет
потрачено на продажу товаров первого и второго вида.
0,1 x1+0,3x2 – это условие показывает, сколько площади будет потрачено
на продажу товаров первого и второго вида.
56
5x1+8x2 – выручка, полученная при продаже оптимального количества
товаров первого и второго вида.
у1 – цена одной единицы первого ресурса (1 часа работы продавца).
у2 – цена одной единицы второго ресурса (1 м2 площади торгового зала).
0,5y1+0,1y2 – это условие показывает, сколько всего денежных единиц
будет потрачено на продажу изделий первого вида.
0,7у1+0,3у2 это условие показывает, сколько всего денежных единиц будет
потрачено на продажу изделий второго вида.
370y1+90y2 – это условие показывает, сколько всего денежных единиц
будет потрачено на продажу изделий первого и второго вида.
Непосредственное решение состоит из построения нескольких прямых на
плоскости XOY. Построение неравенств на плоскости состоит из построения
соответствующих прямых и выбора нужной полуплоскости. Для выбора
полуплоскости необходимо подставить какую-нибудь точку плоскости (чаще
всего точку (0,0)) в соответствующее неравенство и о выполнении или
невыполнении этого неравенства сделать вывод о том, какая именно
полуплоскость соответствует неравенству.
Для построения прямых достаточно взять две точки.
Целевая функция приравнивается к 0 для возможности ее построения.
Потом с помощью параллельного переноса функция цели двигается так, чтобы
из положения секущей она стала касательной. В точке, где целевая функция
становится касательной области допустимых значений и будет точка
оптимального решения.
Построение системы ограничений для данной задачи дает следующую
область ограничений, показанную на рис.1.
57
Рисунок 1 – Область ограничений
Темным цветом показана область допустимых значений. Теперь, если
построить целевую функцию на этом же графике, то видно, что при
параллельном переносе из точки (0,0) она становится касательной в точке
(600,100) (см. рис. 2).
Рисунок 2 – Целевая функция
58
Аналитически найдем координаты точки пересечения двух прямых
системы ограничений.
0,5 x1 +0,7x 2 =370

0,1 x1 +0,3x 2 =90
Решая эту систему, получаем, что для получения максимальной прибыли
необходимо продавать 600 единиц товара первого вида и 100 товара второго
вида. При этом максимальная выручка от продажи составит 600*5+100*8=3800
у.е.
Выводы по теме:
1. При решении задач линейного программирования геометрическим
способом необходимо помнить, что визуализация решения достигается только
при рассмотрении задачи с двумя переменными и небольшим количеством
ограничений. Также желательно выбрать масштаб осей так, чтобы график был
компактным, но было четко видно все точки пересечения ограничений.
2. С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования
находится такая угловая точка или набор точек из допустимого множества
решений, на которой достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня,
расположенная дальше (ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.
3. Для нахождения экстремального значения целевой функции при
графическом решении задач ЛП используют вектор gradZ на плоскости Х2ОХ2 .
Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой
функции. Координатами вектора grandZ являются коэффициенты целевой
функции Z(x).
Вопросы для самопроверки:
59
1. В чём заключается сущность геометрического способа решения задачи
линейного программирования?
2. Что используют для нахождения экстремального значения целевой
функции при графическом решении задач линейного программирования?
3. Что является координатами вектора grandZ?
4. В чём заключается алгоритм геометрического метода решения задач
линейного программирования?
5. Что находится с геометрической точки зрения в задаче линейного
программирования?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
60
http://e.lanbook.com/
Тема
7.
Симплексный
метод
решения
задач
линейного
программирования.
Цель и задачи: Изучение симплексного метода решения задач линейного
программирования.
Учебные вопросы:
1. Общая постановка задачи.
2. Алгоритм симплексного метода.
3. Пример решения задачи симплекс-методом.
Учебная информация:
1. Общая постановка задачи.
Симплексный метод – метод последовательного улучшения плана.
Метод является универсальным, так как позволяет решить практически
любую задачу линейного программирования. Математическая модель задачи
приводится к каноническому (стандартному) виду. Заполняется опорная
симплекс – таблица с использованием коэффициентов целевой функции и
системы ограничений. Решается задача по алгоритму.
Идея симплексного метода заключается в том, что начиная с некоторого
исходного опорного решения осуществляется последовательно направленное
перемещение по допустимым решениям к оптимальному. Значение целевой
функции для задач на максимум не убывает. Так как число допустимых
решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное
решение.
2. Алгоритм симплексного метода.
Алгоритм симплексного метода заключается в следующем:
61
1.
Математическую
модель
задачи
привести
к
каноническому
(стандартному) виду.
2. Построить начальную симплекс–таблицу исходя из стандартного вида.
3. Найти разрешающий столбец. В строке коэффициентов целевой
функции найти значение с самым малым отрицательным числом. Этот столбец
и будет разрешающим.
4. Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент. Для этого
необходимо почленно разделить столбец свободных членов на элементы
разрешающего столбца, за исключением строки целевой функции. Выбрать
наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей. Ведущий элемент
будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.
5. Построить новую симплекс-таблицу (второй шаг).
При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной
разрешающей строки в предыдущей таблице. Ввести в базис строку с названием
разрешающего столбца предыдущей таблицы.
Для построения ведущей строки в новой таблице почленно поделить всю
разрешающую строку на разрешающий элемент.
Для построения других строк в новой таблице почленно умножить
ведущую строку на соответствующие этим строкам элементы разрешающего
столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам в
старой таблице.
6. Проверить таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке
целевой функции нет отрицательных элементов, тогда таблица имеет
оптимальный план, записать ответ. Если в строке целевой функции есть
отрицательный элемент, тогда переходят к следующему (третьему) шагу, строят
новую симплекс-таблицу в соответствии п. 5 и затем проверяют ее на
62
оптимальность.
Построение
таблиц
заканчивается
при
нахождении
оптимального плана.
Прямая задача на минимум решается следующим образом:
 написать математическую модель двойственной задачи в стандартном виде;
 решить двойственную модель симплекс – методом;
 записать ответ.
Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая симплексным
методом одну из них, автоматически получаем решение другой. Для этого
достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной
задач в последней симплекс-таблице.
Х1
x2
…
xn
S1
S2
…
Sm
S1
S2
…
Sm
y1
y2
…
ym
3. Пример решения задачи симплекс-методом.
Задача.
На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции
(1,2,…, n). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, Р3. Размеры
прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3.
Расход i-го ресурса на единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена
единицы продукции j-того вида равна cj у. е. Сформулировать прямую и
двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных.
В задаче требуется:
1. Найти оптимальный план симплекс–методом.
2. Найти решение двойственной задачи.
3. Указать дефицитность ресурсов.
4. Обосновать эффективность плана производства.
5. Оценить целесообразность приобретения ресурса.
63
6. Оценить целесообразность выпуска новой продукции.
Данные:
b1 = 25, b2 = 30, b3 = 42
a11= 2, a12= 3, a13= 2, a14= 1
a21= 4, a22= 1, a23= 3, a24= 2
a31= 3, a32= 5, a33= 2,a34= 2
c1= 6, c2= 5, c3= 4, c4= 3
Математическая модель прямой задачи:
max (Z= 6x1+5x2+4x3+3x4)
2x1+3x2+2x3+x4< 25
4x1+x2+3x3+2x4< 30
3x1+5x2+2x3+2x4< 42
x1, x2, x3, x4 > 0
Математическая модель двойственной задачи:
min (Z*= 25y1+30y2+42y3)
2y1+4y2+3y3> 6
3y1+y2+5y3> 5
2y1+3y2+2y3> 4
y1+2y2+2y3> 3
y1, y2, y3, y4 > 0
Стандартный вид:
min (Z= –6x1–5x2–4x3–3x4)
2x1+3x2+2x3+x4+S1=25
4x1+x2+3x3+2x4+S2=30
64
3x1+5x2+2x3+2x4+S3=42
x1, x2, x3, x4, S1, S2, S3 > 0
Экономический смысл переменных:
Xi – количество произведенной продукции
Yj – цена ресурса
Si – количество оставшегося ресурса
Базис
Отнош
ение
Значение x1
x2
x3
x4
S1
S2
S3
0
–6
–5
–4
–3
0
0
0
25
2
3
2
1
1
0
0
12,5
30
4
1
3
2
0
1
0
7,5
S3
42
Таблица 2
3
5
2
2
0
0
1
14
Значение x1
x2
x3
x4
S1
S2
S3
Отнош
ение
45
0
–3,5
0,5
0
0
1,5
0
10
0
2,5
0,5
0
1
–0,5
0
4
7,5
1
0,25
0,75
0,5
0
0,25
0
30
19,5
0
4,25
–0,3
0,5
0
–0,8
1
Значение x1
x2
x3
x4
S1
S2
S3
59
0
0
1,2
0
1,4
0,8
0
4
0
1
0,2
0
0,4
–0,2
0
6,5
1
0
0,7
0,5
–0,1
0,3
0
2,5
0
0
–1,1
0,5
–1,7
0,1
1
Z
S1
S2
Базис
Z
S1
x1
S3
4,59
Таблица 3
Базис
Z
x2
x1
S3
Отноше
ние
Анализ решения.
65
Продукции 1 вида производим 6,5 ед., второго вида 4 единицы, третьего и
четвертого вообще не производим. Прибыль при этом составит 59 у. е.
Ресурс 1 типа стоит 1,4 у. е., 2 типа – 0,8 у. е. Третий тип ресурса у нас
остался в количестве 2,5 у.е., поэтому его покупать не нужно.
Ресурсы 1 и 2 типа дефицитны, 3 типа избыточен.
Эффективность производства
Z = 6*6.5+5*4+4*0+3*0=59 Z*=25*1.4+30*0.8+42*0 = 59.
Производство в целом эффективно.
2*1,4+4*0,8+3*0< 6 6=6 Производство 1 вида продукции эффективно.
3*1,4+1*0,8+5*0< 5 5=5 Производство 2 вида продукции эффективно.
2*1,4+3*0,8+2*0< 4 5,2> 4 Производство 3 вида продукции не
эффективно.
1*1,4+2*0,8+2*0< 3 3=3 Т.к. x4 не входит в базис, то оптимальный план не
единственен.
Оценить целесообразность покупки 5 ед. второго ресурса по цене 10 у. е.,
т.е. единица ресурса обойдется нам в 2 у. е. Мы же готовы покупать только по
0,8 у. е. за 1 единицу ресурса.
а1 = 2, а2 = 2, а3 = 4. Цена новой продукции равна 4.
2*1,4+2*0,8+2*0< 4 4,4> 4. Производство 5 вида продукции не
эффективно.
Выводы по теме:
1. Симплексный метод – метод последовательного улучшения плана. Этот
метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую
задачу линейного программирования.
2. Идея симплексного метода заключается в том,
что начиная с
некоторого исходного опорного решения осуществляется последовательно
направленное перемещение по допустимым решениям к оптимальному.
66
Значение целевой функции для задач на максимум не убывает. Так как число
допустимых решений конечно, то через конечное число шагов получим
оптимальное решение.
3. Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая
симплексным методом одну из них, автоматически получаем решение другой.
Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и
двойственной задач в последней симплекс-таблице.
Вопросы для самопроверки:
1.
Что
такое
симплексный
метод
решения
задач
линейного
программирования?
2. В чём заключается идея симплексного метода?
3. Какие шаги включает в себя алгоритм симплексного метода?
4. Как решается прямая задача на минимум?
5. В чём заключается связь между задачами двойственной пары при
использовании симплексного метода?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. –
436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
67
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. – 131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема 8. Транспортная задача.
Цель
и
задачи:
Изучение
транспортной
задачи
линейного
программирования.
Учебные вопросы:
1. Постановка задачи.
2. Математическая модель транспортной задачи.
3. Алгоритм решения транспортной задачи.
Учебная информация:
1. Постановка задачи.
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2, …, аm.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах, b1, b2, … ,
bn.
Известен Сij (i= 1, 2, … , m; j = 1, 2 ,…, n) – стоимости перевозки единицы
груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех
поставщиков
вывозятся
полностью,
запросы
всех
потребителей
удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов
минимальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в виде таблицы:
68
bj
аi
А1
А2
…
аm
b1
b2
…
bn
С11
С21
…
Cm1
С12
С22
…
Cm2
…
…
…
...
С1n
С2n
…
Cmn
Переменными
(неизвестным)
транспортной
задачи
являются
xij
(i=1,2,…,m; j = 1,2,…, n) – объемы перевозок от каждого i-го поставщика j-му
потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок.
 x11

x
X   21
...

x
 m1
x12
x22
...
xm 2
... x1n 

... x2 n 
 ( xij )
... ... 

... xmn 
2. Математическая модель транспортной задачи.
Математическая модель транспортной задачи в общем виде имеет вид:
m
n
Z ( X )   cij xij 
 min
i 1 j 1
n
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
 ai , i  1,2,..., m,
 b j , j  1,2,...n,
xij  0.
Целевая функция задачи Z(X) выражает требование обеспечить минимум
суммарных затрат на перевозку всех грузов. Вторая группа из уравнений
69
ограничений записанных в общем виде, выражает требование, что запасы всех
m,
поставщиков
вывозятся
полностью,
а
также
полностью
должны
удовлетворятся запросы всех n потребителей. Последнее неравенство является
условием неотрицательности всех переменных.
В
рассмотренной
математической
модели
транспортной
задачи
предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным
запросам потребителей, т.е.
m
n
 a  b .
i 1
i
j 1
j
такая задача называется сбалансированной, а её модель закрытой. Если же
это равенство не выполняется, то задача называется несбалансированной (с
неправильным балансом), а её модель – открытой.
Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела
решение, необходимо, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись
суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть сбалансированной.
Математическая модель двойственной задачи:
m
n
i 1
j 1
Z '   aiU i   b jV j 
 max
U i  V j C ij
U i ,V j  произвольного знака
Если целевая функция Z’ стремится к минимуму то в системе
ограничении меняется знак: U i  V j C ij экономический смысл перемененных
двойственной задачи:
70
Ui
– условная оценка i-го поставщика (условная плата поставщика
перевозчику);
Vj – условная оценка j-го потребителя (условная плата потребителя
перевозчику).
Ui, Vj – называются потенциалами.
Определения:
1. Если задача открыта, то необходимо добавить фиктивного поставщика
или потребителя с недостающим объемом поставки и нулевой стоимостью
перевозки. Распределение поставки фиктивному потребителю (поставщику),
идет в последнюю очередь.
2. Клетка в плане перевозок называется базисной (закрытой), если в нее
ставится перевозка.
3. Количество базисных клеток определяется соотношением r=m+n–1.
опорное решение не может иметь базисных клеток больше, чем r.
4. План называется вырожденным, если количество базисных клеток
меньше r, т.е. базисных клеток не хватает при выполненном условии, что объем
поставок поставщиков распределен полностью и спрос потребителей также
удовлетворен. В этом случае необходимо добавить нулевую перевозку.
5. Если в задаче указана не только стоимость перевозки, но и стоимость
производства товара, тогда необходимо сложить эти стоимости с учетом
перевозки товара от i-го поставщика j-му потребителю. Кроме того,
математическая модель составляется с учетом этой суммарной стоимости.
3. Алгоритм решения транспортной задачи.
Алгоритм решения транспортной задачи заключается в следующем:
1. Составить опорный план, т.е. начальное приближение.
71
2. Составить математическую модель исходной прямой и математическую
модель двойственной задач.
3. Пользуясь методом наименьшего элемента и методом потенциалов
найти улучшение исходного опорного плана до тех пор, пока он не будет
удовлетворять условию оптимальности.
Метод наименьшего элемента.
1. Сбалансировать задачу (убедиться, что задача сбалансирована).
2. Определить свободную клетку с наименьшей стоимостью перевозки.
Если таких клеток несколько, то выбрать клетку с наибольшей потенциальной
грузоперевозкой. Если и таких клеток несколько, то выбирается любая из этих
клеток.
3.
В
выбранную
клетку
поставить
максимально
возможную
грузоперевозку для потребителя от поставщика.
4. Проверить, остался ли нераспределенным груз у этого поставщика.
5. Если груз распределен не полностью, то применяем п.2 относительно
строки этого поставщика. Продолжать до тех пор, пока груз этого поставщика
будет полностью распределен.
6. Если груз поставщика распределен полностью, проверить, полностью
ли удовлетворен объем потребителя.
7. Если потребитель полностью удовлетворен, то применить пункт 2
относительно оставшихся поставщиков и потребностей в таблице.
8.
Если
объем
потребителя
полностью
не
удовлетворен,
тогда
применяется пункт 2 относительно соответствующего столбца.
9. Проверить план на вырожденность. Количество базисных клеток
должно быть равным r=m+n–1.
72
10. Если план вырожденный, то поставить фиктивное значение груза так,
чтобы иметь возможность найти потенциалы всех базисных клеток (ставить
нулевую перевозку).
11. Проверить план на оптимальность и по возможности улучшить,
перейдя к методу потенциалов.
Метод потенциалов.
1. Для всех базисных клеток создать систему уравнений вида
U i  V j  C ij
.
2. Выбрать переменную Ui или Vj, которой соответствует наибольшее
количество занятых клеток, приравнять её к нулю, решить систему уравнений
относительно Ui и Vj и найти эти значения.
3. Для всех свободных клеток составить и проверить выполнение
неравенств:
U i  V j  Cij
.
Условия оптимальности: если для всех свободных клеток выполняется это
неравенство, то тогда найден оптимальный план.
Если хотя бы для одной клетки не выполняется это неравенство, то
необходимо
улучшить
опорный
план
с
помощью
коэффициента
перераспределения W.
4. Находим клетку, где сильнее всего не выполняется неравенство. Если
таких клеток несколько, то выбирается любая. В эту клетку ставим W со знаком
«+».
5. Построить контур перераспределения груза, начиная с выбранной
клетки, исходя из следующих правил:
 в строке и столбце должно быть четное число W;
 контур меняет направление только в базисных клетках;
 коэффициент W меняет свой знак с «+» на «–» поочередно в углах
контура.
73
6. После построения контура отметить, в каких базисных клетках
коэффициент W стоит с отрицательным знаком. Из этих клеток найти клетку с
наименьшим значением перевозки, коэффициент W будет равен перевозке в
выбранной клетке.
7. Найти новый план, перераспределив найденное значение W по контуру
с учетом знаков «+» и «–», прибавляя или уменьшая стоящую в клетке
перевозку.
8. Проверить новый план в соответствии в п.2. если неравенства для
свободных клеток выполняются, значит найденный план оптимален.
9. Если в математической модели целевая функция на максимум (Zmax),
то задача решается методом максимального элемента. т.е. грузоперевозка (Xij)
распределяется при составлении опорного плана с учетом наибольшего
значения Cij аналогично метода наименьшего элемента. В методе потенциалов
проверяется выполнение неравенства
U i  V j  Cij
.
Выводы по теме:
1. При решении транспортной задачи требуется составить такой план
перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью,
запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты
на перевозку всех грузов минимальны.
2.
Целевая
функция
транспортной
задачи
выражает
требование
обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов.
3. Для того чтобы транспортная задача линейного программирования
имела решение, необходимо, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись
суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть сбалансированной.
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое транспортная задача?
74
2. В чём заключается постановка транспортной задачи?
3. Какие величины являются переменными транспортной задачи?
4. Что такое матрица перевозок?
5. Что выражает целевая функция в транспортной задаче?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
75
Тема 9 . Целочисленное программирование.
Цель и задачи: Изучение целочисленного программирования.
Учебные вопросы:
1. Постановка задачи целочисленного программирования.
2. Метод ветвей и границ.
3. Графический метод решения задач целочисленного программирования.
4. Задача коммивояжера.
Учебная информация:
1. Постановка задачи целочисленного программирования.
В ряде экономических задач, относящихся к задачам линейного
программирования, элементы решения должны выражаться в целых числах. В
этих задачах переменные означают количество единиц неделимой продукции.
Задача целочисленного программирования формулируется следующим
образом:
Найти такое решение план Х=(х1, х2,…, хn), при котором линейная
n
функция Z   ci xi принимает максимальное или минимальное значение при
i 1
ограничениях
т
a
j 1
x  b j , j  1,2,..., m
ij i
xi  0, i  1,2,..., n
xi  целые числа
Задача решается методами линейного программирования. В случае если
переменные оптимального решения оказываются нецелочисленными, то,
применяя методы отсечения или метод перебора целочисленных решений.
2. Метод ветвей и границ.
76
Метод ветвей и границ заключается в упорядоченном переборе вариантов
и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным
признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.
Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых
решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое
из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс
продолжается до тех пор. Пока не получено оптимальное целочисленное
решение исходной задачи.
Название метода ветвей и границ исходит из того, что в процессе решения
задача последовательно «ветвится», заменяясь более простыми. Процесс
решения можно продолжать в виде дерева, цифры в узлах (вершинах) которого
обозначают план решения задачи (искомые переменные).
3. Графический метод решения задач целочисленного программирования.
При наличии в задаче линейного программирования двух переменных, а в
системе ограничения – неравенств, она может быть решена графическим
методом без требований целочисленных переменных.
Если оптимальное решение этой задачи является целочисленным, то оно и
является оптимальным для исходной задачи.
Если же полученное оптимальное решение не целочисленное, то строится
дополнительное
линейное
ограничение,
которое
обладает
следующими
свойствами:
1. Является линейным.
2. Отсекает найденный оптимальный не целочисленный план.
3. Не отсекать ни одного целочисленного плана.
Алгоритм
графического
решения
задачи
целочисленного
программирования:
1. Построить систему координат x10х2 и выбрать масштаб.
77
2. Найти область допустимых решений (ОДР) системы ограничений
задачи.
3. Построить целевую функцию, являющуюся линией уровня и на ней
указать направление нормали.
4. Переместить линию целевой функции по направлению нормали через
ОДР, чтобы она из секущей стала касательной к ОДР и проходила через
наиболее удаленную от начала координат точку. Эта точка будет являться
точкой экстремума, т.е. решением задачи.
Если окажется, что линия целевой функции параллельна одной из сторон
ОДР, то в этом случае экстремум достигается во всех точках соответствующей
стороны, а задача линейного программирования будет иметь бесчисленное
множество решений.
5. Найти координаты, точки экстремума и значение целевой функции в
ней. Если полученные значения не целочисленные, то перейти к следующему
шагу.
6. Выделить у этих координат область с целочисленными значениями.
7. Определить новые координаты и построить граф.
8. Найти точки с целыми значениями искомых переменных, подставить в
уравнение целевой функции и найти её значение. Максимальное из полученных
значений целевой функции и будет решением задачи.
4. Задача коммивояжера.
Имеется необходимость посетить n городов в ходе деловой поездки.
Спланировать поездку нужно так, чтобы, переезжая из города в город, побывать
в каждом не более одного раза и вернуться в исходный город. Требуется
определить оптимальный маршрут посещения городов и его минимальное
расстояние.
Задана матрица расстояний между городами cij.
78
Сформулированная задача – задача целочисленная. Пусть хij = 1, если
путешественник переезжает из i-го города в j-ый и хij = 0, если это не так.
Формально введем (n+1) город, расположенный там же, где и первый
город, т.е. расстояния от (n+1) города до любого другого, отличного от первого,
равны расстояниям от первого города. При этом, если из первого города можно
лишь выйти, то в (n+1) город можно лишь придти.
Введем дополнительные целые переменные, равные номеру посещения
этого города на пути. u1 = 0, un+1 = n . Для того, чтобы избежать замкнутых
путей, выйти из первого города и вернуться в (n+1) введем дополнительные
ограничения, связывающие переменные xij и переменные ui. (ui целые
неотрицательные числа).
Математическая модель.
n
n
Min ( cij xij ),
i, j  1  n,  i  j
i 1 j 
n
 xij  1,
i  j,
i 1
x
j 1
u i  u j  nxij  n  1,
0  ui  n
n
xin1  xi1 ,
ij
 1,
j  2  n  1,
ji
i  1 n,
i  j,
при
i 1
j  n 1
i  2,..., n
Выводы по теме:
1. В ряде экономических задач, относящихся к задачам линейного
программирования, элементы решения должны выражаться в целых числах. В
этих задачах переменные означают количество единиц неделимой продукции.
Такие задачи называются задачами целочисленного программирования.
2. При наличии в задаче линейного программирования двух переменных,
а в системе ограничения – неравенств, она может быть решена графическим
методом без требований целочисленных переменных.
79
3. Задача коммивояжера заключается в том, что имеется необходимость
посетить n городов в ходе деловой поездки. Спланировать поездку нужно так,
чтобы, переезжая из города в город, побывать в каждом не более одного раза и
вернуться в исходный город. Требуется определить оптимальный маршрут
посещения городов и его минимальное расстояние.
Вопросы для самопроверки:
1.
В
чём
заключается
постановка
задачи
целочисленного
программирования?
2. Что такое метод ветвей и границ?
3.
В
чём
заключается
алгоритм
графического
решения
задачи
целочисленного программирования?
4. Как построить граф целочисленной области возможных решений
задачи?
5. Как определить целочисленный план и экстремальное значение целевой
функции?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
80
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Модуль 3.
Раздел 3. Основы динамического программирования.
Тема 10. Динамическое программирование.
Цель и задачи: Изучение основ динамического программирования.
Учебные вопросы:
1. Постановка задачи.
2. Принцип оптимальности Беллмана.
3. Решение задачи динамического программирования.
Учебная информация:
1. Постановка задачи.
Динамическое
программирование
–
раздел
оптимального
программирования (оптимального управления), в котором процесс принятия
решения и управления, может быть разбит на отдельные этапы (шаги).
Динамическое программирование позволяет свести одну сложную задачу
со многими переменными ко многим задачам с малым числом переменных. Это
значительно сокращает объем вычислений и ускоряет процесс принятия
управленческого решения.
81
Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход
его развития.
Основные понятия.
Управление – совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для
влияния на ход развития процесса.
Операция – управляемый процесс, т.е. можно выбирать какие-то
параметры, влияющие на ход процесса и управлять шагами операции,
обеспечивать выигрыши на каждом шаге и в целом за операцию.
Решение на каждом шаге называется «шаговым управлением».
Совокупность всех шаговых управлений представляет собой управление
операцией в целом.
При распределении средств между предприятиями шагами целесообразно
считать номер очередного предприятия; при распределении на несколько лет
ресурсов деятельности предприятия – временной период. В других задачах
разделение на шаги вводится искусственно.
Постановка задачи.
Требуется найти такое управление (х), при котором выигрыш обращался
бы в максимум:
m
F(x) =

i 1
Fi ( xi ) 
 max
,
где F – выигрыш за операцию; Fi(xi) – выигрыш на i-м шаге; х –
управление операцией в целом; хi – управление на i-м шаге (i=1,2,…,m).
В общем случае шаговые управления (х1, х2, … хm) могут стать числами,
векторами, функциями.
82
Управление (х*), при котором достигается максимум, называется
оптимальным
управлением.
Оптимальность
управления
состоит
из
совокупности оптимальных шаговых управлений х* = х*1, х*2, … х*m.
F* = max {F*(х*)} – максимальный выигрыш, который достигается при
оптимальном управлении х*.
Исходя из условий, каждой конкретной задачи длину шага выбирают
таким образом, чтобы на каждом шаге получить простую задачу оптимизации и
обеспечить требуемую точность вычислений.
2. Принцип оптимальности Беллмана.
Основным методом динамического программирования является метод
рекуррентных соотношений; который основан на использовании принципа
оптимальности, разработанного американским математиком Р. Беллманом.
Суть принципа заключается в следующем. Каковы бы ни были начальное
состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие
управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к
которому придет система в конце каждого шага.
Использование
данного
принципа
гарантирует,
что
управление,
выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса
в целом.
Условная оптимизация:
S0
x
х
x1
х
S1 2 S 2 3 S3 ... m S m
шаг шаг шаг
шаг
Безусловная оптимизация:
83
Si – состояние системы на i-м шаге. Основная рекуррентная формула
динамического программирования в случае решения задачи максимизации
имеет вид:
 


f m (i)  max f m стоимость шага  f m1 новое состояние перед шагом m  1 ,
где максимум в данной формуле берется по всем возможным решениям в
ситуации, когда система на шаге m находится в состоянии i.
Величина fm(i) – есть максимальная прибыль завершения задачи из
состояния i, если предположить, что на шаге m, система находится в состоянии
i.
Максимальная прибыль может быть получена максимизацией суммы
прибылей самого шага m и максимальной прибыли шага (m+1) и далее, чтобы
дойти до конца задачи.
Планируя многошаговую операцию надо выбирать управление на каждом
шаге с учетом всех его будущих последствий на ещё предстоящих шагах.
Управление на i-м шаге выбирается не так, чтобы выигрыш именно на
данном шаге был максимальным, а так, чтобы была максимальна сумма
выигрышей на всех оставшихся шагах плюс данный шаг.
Среди всех шагов последний шаг планируется без оглядки на будущее,
т.е. чтобы он сам, как таковой принес наибольшую выгоду.
3. Решение задачи динамического программирования.
Задача динамического программирования решается с конца, т.е. с
последнего шага. Решается задача в 2 этапа:
1 этап (от конца к началу по шагам): Проводится условная
оптимизация, в результате чего находится условные оптимальные управления и
условные оптимальные выигрыши по всем шагам процесса.
84
2 этап (от начала к концу по шагам): Выбираются (прочитываются) уже
готовые рекомендации от 1-го шага до последнего и находится безусловное
оптимальное управление х*, равный х*1, х*2, …, х*m.
Выводы по теме:
1.
Динамическое
программирование
–
раздел
оптимального
программирования (оптимального управления), в котором процесс принятия
решения и управления, может быть разбит на отдельные этапы (шаги).
2. Динамическое программирование позволяет свести одну сложную
задачу со многими переменными ко многим задачам с малым числом
переменных. Это значительно сокращает объем вычислений и ускоряет процесс
принятия управленческого решения.
3. Основным методом динамического программирования является метод
рекуррентных соотношений; который основан на использовании принципа
оптимальности, разработанного американским математиком Р. Беллманом.
Суть принципа заключается в следующем. Каковы бы ни были начальное
состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие
управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к
которому придет система в конце каждого шага.
Использование
данного
принципа
гарантирует,
что
управление,
выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса
в целом.
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое динамическое программирование?
2. В чём заключается задача динамического программирования?
3. В чём заключается принцип оптимальности Беллмана?
4. Что такое условная оптимизация?
85
5. Что такое безусловная оптимизация?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема
11.
Решение
задач управления
методом
динамического
программирования.
86
Цели и задачи: Изучение методики решения задач динамическим
программированием.
Учебные вопросы:
1. Постановка задачи распределения средств.
2. Алгоритм решения.
3. Анализ результатов.
Учебная информация:
1. Постановка задачи распределения средств.
Задача. Имеется запас средств, который нужно распределить между
предприятиями, чтобы получить наибольшую прибыль. Пусть начальный
капитал S0=100 д.ед. Функции дохода предприятий даны в матрице прибылей
по каждому предприятию (см. табл.1).
Таблица 1 – матрица прибылей по каждому предприятию.
Х
20
40
60
80
100
1 предприятие
f (х1)
3
4
9
11
12
2 предприятие
f (х2)
2
5
8
7
15
3 предприятие
f (х3)
3
4
9
5
12
4 предприятие
f (х4)
3
6
8
7
14
Схема решения показана на рис. 1.
87
Рисунок 1 – Схема решения.
При решении задачи используется принцип Беллмана:
Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление,
выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться
оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце
каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление ,
выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса
в целом.
Математическая модель прямой задачи имеет следующий вид:
4
Z   Fi ( xi ) 
 max
x
i 1
i
 100
xi  0, i  1,2,3,4.
88
Экономический смысл переменных задачи заключается в следующем:
xi – количество денег, вкладываемых в i-предприятие.
Si – количество денег, оставшихся после вложения в i-предприятие
(состояние системы на i-шаге);
F(xi) – прибыль от вложенной суммы денег;
S0 – начальный капитал.
2. Алгоритм решения.
Алгоритм решения задачи состоит из четырёх шагов.
Рассмотрим 4-й шаг:
На 4-ом предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60,
либо 100 д.ед.Тогда прибыль от вложения денег можно получить следующую (см. табл.
2).
Таблица 2 – Прибыль от вложения денег
S3
Х4
f (x4)
F4
0
0
0
0
20
20
3
3
40
40
6
6
60
60
8
8
80
80
7
7
100
100
14
14
Рассмотрим 3-й шаг:
На 3-ем и 4-ом предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40,
либо 60, либо 100 д.ед. Рассмотрим первую возможность. Если 3-му
предприятию выдано 20 д.ед., то 4-му предприятию ничего не остается, и
наоборот. Соответственно 40 д.ед.можно поделить так: (0;40), (20;20). 60 д.ед. –
(0;60), (20;40), (40;20), (60;0).
Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной
матрице прибылей, а прибыль от вложений, денег в 4-е предприятие берется из
89
таблицы предыдущего шага. Прибыль на 3–м шаге берется максимальной по
каждому вложению (см. табл. 3).
Таблица 3 – Прибыль на 3-ем шаге.
Вклад
Проект
Остаток
S2
0
Х3
0
0
20
0
20
40
0
20
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
S3
0
20
0
40
20
0
60
40
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
Прибыль
из
матрицы
f (x3)
0
0
3
0
3
4
0
3
4
9
0
3
4
9
5
0
3
4
9
5
12
Прибыль
за шаг
F4
0
3
0
6
3
0
8
6
3
0
7
8
6
3
0
14
7
8
6
3
0
Прибыль
на шаге
f+F
0
3
3
6
6
4
8
9
7
9
7
11
10
12
5
14
10
12
15
8
12
F3
0
3
6
9
12
15
Рассмотрим 2-ой шаг:
Вклад
Проект
Остаток
S1
0
20
Х2
0
0
S2
0
20
Прибыль
из матрицы
f (x2)
0
0
Прибыль за
шаг
F3
f+F
0
0
3
3
Прибыль
на шаге
F2
0
3
90
20
0
20
40
0
20
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
40
60
80
100
0
40
20
0
60
40
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
2
0
2
5
0
2
5
8
0
2
5
8
7
0
2
5
8
7
15
0
6
3
0
9
6
3
0
12
9
6
3
0
15
12
9
6
3
0
2
6
5
5
9
8
8
8
12
11
11
11
7
15
14
14
14
10
15
6
9
12
15
Рассмотрим 1-й шаг:
Вклад Проект
S1
100
Х2
0
20
40
60
80
100
Остаток
S2
100
80
60
40
20
0
Прибыль
матрицы
f (x2)
0
3
4
9
11
12
из
Прибыль за шаг
F3
15
12
9
6
3
0
f+F
15
15
13
15
14
12
Прибыль
шаге
F2
на
15
3. Анализ результатов.
Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства
между проектами можно несколькими способами:
91
1. 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40
д.ед.
2. 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0
д.ед.
3. 1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20
д.ед.
4. 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20
д.ед.
5. 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40
д.ед.
Выводы по теме:
1. При решении задач методом динамического программирования
используется принцип Беллмана.
2. В результате решения задачи о распределении средств между
предприятиями методом динамического программирования можно получить
максимальную прибыль и способы расположения средств.
Вопросы для самопроверки:
1. Какие задачи решаются методом динамического программирования?
2. Что означает понятие «шаговое управление»?
3. Как определяются шаги при решении задачи ДП?
4. В чем суть принципа оптимальности Беллмана?
5. В чём заключается алгоритм решения задачи распределения средств
между предприятиями?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
92
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема 12. Управление производством. Задача о замене оборудования.
Цели и задачи: изучение основ управления производством на примере
решения задачи о замене оборудования.
Учебные вопросы:
1. Постановка задачи о замене оборудования.
2. Алгоритм решения.
3. Анализ решения.
Учебная информация:
93
1. Постановка задачи о замене оборудования.
С течением времени любое оборудование изнашивается физически и
морально, поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее
выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования.
Поэтому
возникает
задача
наиболее
подходящего
момента
замены
оборудования.
Рассмотрим задачу о замене оборудования на следующем примере.
Задача. В начале планового периода продолжительностью N = 4 года
имеется оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно
быть старше 6 лет (примем t = 2 года).
Дано:
r(t) – стоимость продукции, произведенной в течение каждого года
планового периода с помощью этого оборудования;
U(t) – ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования (эти
характеристики зависят от возраста оборудования;
s – остаточная стоимость оборудования (принимаем
s = 4 д.ед.), не
зависящая от его возраста;
р – стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с
установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном
плановом периоде (р = 13 д.ед.).
В задаче требуется:
1. Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося
оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить,
сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости
s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла
максимальной величины.
2. Составить матрицу максимальных прибылей Fn(t) за 4 года;
94
3. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные
стратегии замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде,
продолжительностью 4 и 3 года.
Возраст t
0
1
2
3
4
5
6
Ст.продукции r(t)
27
26
26
25
24
23
21
Ст.расходов u(t)
15
15
16
16
16
17
19
Математическая модель задачи:
Z = ΣFi(xi) → max;
xi – управление (сохранить, заменить).
Экономический смысл переменных:
N – плановый период эксплуатации оборудования;
ZC – прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ – прибыль в случае замены оборудования;
S0 – первоначальное состояние системы;
SHi – предполагаемый возраст оборудования в начале i–го периода, т.е.
после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;
Si – возраст в конце i–го периода;
r(t) – прибыль от эксплуатации;
u(t) – расходы на эксплуатацию;
s – остаточная стоимость оборудования;
p – стоимость нового оборудования;
t – возраст оборудования;
fi – доход на i–ом шаге;
Fi – максимальный доход на i–ом шаге.
95
Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение»
оборудования:
Zc = r(t) – u(t)
Прибыль в случае «замены»:
ZЗ = s – p + r(0) – u(0)
Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования t = 0, 1.
Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.
В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с
учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться
сразу после принятия решения в начале данного года.
Основное функциональное уравнение на последнем N–ом шаге:
FN(SN–1, xN) = max ZN(SN–1, xN)
При произвольном шаге (i < N) основное функциональное уравнение
принимает вид
Fi(Si–1, xN) = max {Zi(SHi, xi) + Fi+1(Si)}.
Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:
 при управлении «сохранение»
Fi(SHi, xi) = r(Si, xi) – u(SHi);
 при управлении «замена»
Zi(SHi, xi) = s – p + r(0) – u(0).
2. Алгоритм решения.
96
Для данного примера расчет начинается с последнего, четвертого года
планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4).
При этом:
 в случае «сохранения» оборудования:
Z4(SH4, x4) = r(SH4) – u(SH4);
 в случае «замены»:
Z4(SH4, x4) = 4 – 13 + 27 – 15 = 3.
Составляется 1-я таблица, рассматриваемая все возможные начальные
состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 – 6 лет, начиная с конца –
последнего шага.
Шаг 4:
Таблица 1 – F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
Возраст S3 в Управление x4
конце
3–го
шага
Предполагаемый
возраст SH4 в начале Прибыль Z4
4–го шага
Max доход
на F4 шаге
Сохранение
Замена
1
0
11
3
11
1
Сохранение
Замена
2
0
10
3
10
2
Сохранение
3
9
9
97
3
Замена
0
3
4
0
8
3
8
4
Сохранение
Замена
5
5
Сохранение
Замена
5
0
6
3
6
Сохранение
Замена
6
0
2
3
3
6
Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в
том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование
нельзя использовать далее.
Анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода:
F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}.
При этом:
 в случае «сохранения оборудования»
Z3(SH3, x3) = r(SH3) – u(SH3);
 в случае «замены»
Z3(SH3, x3) = 4 – 13 + 27 – 15 = 3.
Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за
двухлетний период). Оптимальная прибыль за 4-й год берется из табл. 1.
Учтем, чтоSH2 – возраст оборудования в начале третьего года сразу после
принятия решения о его «сохранении» или «замене». S3 – возраст оборудования
к концу третьего года.
98
Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблице в соответствии
со значением параметра S3.
Шаг 3:
Таблица 2 – F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}.
S1
x3
SH2
1
Сохранение
Замена
1
0
Z3
из Возраст S3
таблицы 1
в конце 3 F4
шага
11
2
10
3
1
11
2
Сохранение
Замена
2
0
10
3
3
1
3
Сохранение
Замена
3
0
9
3
Сохранение
+4 Замена
4
0
5
Сохранение
Замена
6
Сохранение
Замена
Z3 + F4
F3
21
14
21
9
11
19
14
19
4
1
8
11
17
14
17
8
3
5
1
6
11
14
14
14
5
0
6
3
6
1
3
11
9
14
14
6
0
2
3
–
1
–
11
–
14
14
Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и
составляется таблица 3.
Шаг 2:
Таблица 3 – F2 (S1,x4) = max {Z2(SH2, x2) + F3(S2)}.
S1
x2
SH1
Z2
S2
F3
Z2 + F3
F2
1
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
1
0
2
0
11
3
10
3
2
1
3
1
19
21
17
21
30
24
27
24
30
Сохранение
Замена
3
0
9
3
4
1
14
21
23
24
24
Сохранение
4
8
5
14
22
24
2
3
27
99
4
Замена
0
3
1
21
24
Сохранение
Замена
5
0
6
3
6
1
14
21
20
24
24
5
Сохранение
Замена
6
0
2
3
–
1
–
21
–
24
24
6
Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и
составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.
Шаг 1:
Таблица 4 – F1 (S0, x4) = max {Z1(SH1, x1) + F2(S1)}.
S1
x2
SH1
Z2
S2
F3
Z2 + F3
F2
Сохранение
Замена
1
0
11
3
2
1
19
21
30
24
30
1
Сохранение
Замена
2
0
10
3
3
1
17
21
27
24
27
2
Сохранение
Замена
3
0
9
3
4
1
14
21
23
24
24
3
Сохранение
Замена
4
0
8
3
5
1
14
21
22
24
24
4
Сохранение
Замена
5
0
6
3
6
1
14
21
20
24
24
5
Сохранение
Замена
6
0
2
3
–
1
–
21
–
24
24
6
3. Анализ решения.
С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать
оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше
6 лет в течение 4–х летнего периода.
Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних
столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде сводной
100
таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделяются
элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли,
соответствующие выбору управления «замена».
Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области
«сохранения» оборудования.
Матрица максимальных прибылей
ГОДЫ
1–4
42
38
34
33
33
33
33
t
0
1
2
3
4
5
6
2–4
–
30
27
24
24
24
24
3–4
–
21
19
17
14
14
14
4
–
11
10
9
8
6
3
Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования,
возраст которого 2 года.
В матрице прибылей для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль
34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления «сохранение».
К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в
следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.
Оптимальная прибыль за второй – четвертый годы – 24 д.ед., и мы
находимся в области «замены» оборудования, следовательно, к началу 3–го
года оборудование будет иметь возраст 1 год.
Прибыль за третий – четвертый годы для такого оборудования равна
21 д.ед., за последний четвертый год – 10 д.ед. (при возрасте t = 2).
Вывод: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года
эксплуатации.
101
Выводы по теме:
1. С течением времени любое оборудование изнашивается физически и
морально, поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее
выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования.
Поэтому
возникает
задача
наиболее
подходящего
момента
замены
оборудования.
2. Максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех
возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после
принятия решения в начале данного года.
Вопросы для самоконтроля:
1. Как решается задача замены оборудования на предприятии?
2. От чего зависит оптимальная стратегия замены оборудования на
предприятии?
3. Как учитывается стоимость нового оборудования и остаточная
стоимость оборудования при решении задачи?
4. Как учитывается возраст оборудования с началом его эксплуатации в
новом плановом периоде?
5. В чём заключается экономический смысл всех переменных и
обозначений в задаче о замене оборудования?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
102
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема 13. Управление запасами. Складская задача.
Цель и задачи: изучение основ управления запасами на примере
складской задачи.
Учебные вопросы:
1. Постановка складской задачи.
2. Алгоритм решения.
3. Анализ решения.
Учебная информация:
1. Постановка складской задачи.
Складская задача относится к динамическим детерминированным задачам
управления запасами. Следовательно, для решения этой задачи можно
применить принцип Беллмана.
Задача. Планируется деятельность предприятия на три месяца.
103
Дано:
начальный уровень запасов S0 = 20;
остаток запасов S3 = 0;
затраты на пополнение φ(x) = 0.4x;
затраты на хранение ψ(y) = 0.2y + 1 в данном периоде в зависимости от y
– среднего уровня хранимых запасов.
В задаче требуется определить размеры пополнения запасов в каждом
месяце для удовлетворения заданного расхода d1 = 30, d2 = 20, d3 = 30 из
условий минимизации суммарных затрат.
2. Алгоритм решения.
Для решения задачи используются формулы Уилсона:
Средний уровень хранения: yk = dk/2 + Sk.
Уравнение состояния: Sk = Sk–1 + xk – dk.
Третий месяц:
S2
30
20
10
0
x3
0
10
20
30
y3
15
15
15
15
φ(x3)
0
4
8
12
ψ(y3)
4
4
4
4
φ+ψ
4
8
12
16
Z3
4
8
12
16
Второй месяц:
S1
50
40
30
20
x2
0
0
10
0
10
20
0
10
20
30
S2
30
20
30
10
20
30
0
10
20
30
y2
40
30
40
20
30
40
10
20
30
40
φ(x2)
0
0
4
0
4
8
0
4
8
12
ψ(y2)
8
7
9
5
7
9
3
5
7
9
Z3
4
8
4
12
8
4
16
12
8
4
φ + ψ + Z3
12
15
18
17
19
22
19
21
23
25
Z2
12
15
17
19
104
10
0
10
20
30
40
20
30
40
50
0
10
20
30
0
10
20
30
10
20
30
40
10
20
30
40
4
8
12
16
8
12
16
20
3
5
7
9
3
5
7
9
16
12
8
4
16
12
8
4
23
25
27
29
27
29
31
33
23
y1
15
25
35
45
55
65
φ(x1)
4
8
12
16
20
24
ψ(y1)
4
6
8
10
12
14
Z2
27
23
19
17
15
12
φ + ψ + Z2
35
37
39
43
47
50
Z1
35
27
Первый месяц:
S0
20
x1
10
20
30
40
50
60
S1
0
10
20
30
40
50
3. Анализ решения.
x1 = 10 S1 = 0 y1 = 15 φ(x1) = 4 ψ(y1) = 4.
x2 = 20 S2 = 0 y2 = 10 φ(x2) = 8 ψ(y2) = 3.
x3 = 30 S3 = 0 y3 = 15 φ(x3) = 12 ψ(y3) = 4.
Вывод: Выгодно каждый год докупать ровно столько запасов, чтобы их
хватило на текущий год.
Вопросы для самопроверки:
1. Как решается задача пополнения запасов?
2. Что представляют собой обозначения в формуле Уилсона?
3. В чём заключается алгоритм решения складской задачи?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
105
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Модуль 4.
Раздел 4. Основы теории игр.
Тема 14. Теория игр.
Цели и задачи: изучение основ теории игр.
Учебные вопросы:
1. Основные понятия.
2. Антагонистические игры.
3. Геометрический способ решения антагонистических игр.
Учебная информация:
1. Основные понятия.
Теория игр – это математическая теория, исследующая конфликтные
ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.
106
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой.
Стороны, участвующие в конфликте – игроки, а исход конфликта – выигрыш
(проигрыш). Выигрыш или проигрыш может быть задан количественно.
Игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой, если
выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, поэтому для полного
«задания» игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока.
Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих
выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся
ситуации.
Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать
стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков
должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается
своей стратегии. В тоже время второй игрок должен иметь минимальный
проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии
называются оптимальными.
При выборе оптимальной стратегии следует полагать, что оба игрока
ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.
Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при
всех возможных стратегиях (обозначается (αij)), называется платежной
матрицей игры.
Величина α = max min aij называется нижней ценой игры.
Величина β = min max aij называется верхней ценой игры.
В
некоторых
задачах,
приводящихся
к
игровым,
имеется
неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых
осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.п.). Эти условия
зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной
действительности. Такие игры называются играми с природой.
107
Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй
игрок (природа и т.п.) действует случайно.
2. Антагонистические игры.
При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно
классифицировать
задачу,
потому
что
методы,
применяемые
к
антагонистическим играм кардинально отличаются от методов решения игр с
природой.
Прежде всего, надо уметь находить верхнюю и нижнюю цены игры, т.к.
достаточно много игр решается в чистых стратегиях.
Пример. Найти нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы
Ai
A1
A2
A3
βJ
β = min βJ
Bj
B1
0.4
1.1
0.7
1.1
B2
0.6
0.7
0.3
0.7
B3
0.8
0.9
0.5
0.9
αi
α=max αi
0.4
0.7
0.3
Для этой матрицы видно, что α = β = 0,7 = (А2, В2).
Общее значение нижней и верхней цены игры α = β = ν называется чистой
ценой игры. Седловой точке соответствует пара минимаксных стратегий, эти
стратегии называются оптимальными, а их совокупность – решением игры.
Если седловой точки нет, то можно применить графический способ или
составить модель и решить симплекс-методом.
3. Геометрический способ решения антагонистических игр.
Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к
играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Иногда возможно
упростить игры, применяя следующие принципы:
1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет
использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы;
108
2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет
использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы.
Рассмотрим платежную матрицу
7
6
5
4
2
5
4
3
2
3
5
6
6
3
5
2
3
3
2
4
Упростим матрицу, вычеркивая заведомо невыгодные стратегии игроков.
Путем упрощения, ее можно свести к матрице (2 × 2)
ВJ АJ
В1
В2
A1
4
2
A2
3
5
Обозначим р1 – вероятность применения игроком А стратегии A1, р2 –
вероятность применения игроком А стратегии A2.
Так как р1+ р2=1, то р2=1– р1. Тогда получим:
Чистые стратегии игрока В
Ожидаемые выигрыши игрока А
В1
4 р1+3 р2= (4–3)р1+3=р1+3
В2
2 р1+5 р2=(2–5)р1+5=–3р1+5
Аналогично рассмотрим выражение –3р1+5.
Оптимальная стратегия первого игрока найдется из равенства выражений
р1+3 и –3р1+5: р1= р2=0,5. SA = (0,5; 0; 0,5; 0), при этом цена игры равна 3,5. Для
второго игрока оптимальная стратегия ищется аналогично.
109
Если же игра не сводится путем упрощения к 2 × n или m × 2, то
составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.
Выводы по теме:
1. Теория игр – это математическая теория, исследующая конфликтные
ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Стороны,
участвующие в конфликте – игроки, а исход конфликта – выигрыш (проигрыш).
Выигрыш или проигрыш может быть задан количественно.
2. Игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой, если
выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, поэтому для полного
«задания» игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока.
3. Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока
выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из
игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок
придерживается своей стратегии. В тоже время второй игрок должен иметь
минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие
стратегии называются оптимальными.
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое конфликтная ситуация?
2. Как называется математическая модель конфликтной ситуации?
3. Как называются заинтересованные стороны в теории игр?
4. Какая игра называется антагонистической?
5. Что такое «стратегия»?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
110
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема 15. Игры с «природой».
Цель и задачи: изучение основ теории игры с «природой».
Учебные вопросы:
1. Критерий Вальда.
2. Критерий Гурвица (оптимизма-пессимизма).
3. Критерий Сэвиджа.
4. Критерий Лапласа.
5. Критерий Байеса.
Учебная информация:
111
Для того чтобы можно сделать вывод о том какую именно стратегию
выбирать игроку, необходимо использовать критерии Вальда, Гурвица,
Сэвиджа, Лапласа, Байеса.
1. Критерий Вальда.
Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из
условия max min αij и совпадает с нижней ценой игры.
Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет
действовать наихудшим для человека образом, агрессивно, делать все, чтобы
помешать нам достигнуть успеха.
Рассмотрим следующую задачу.
Ежедневный спрос на товар в магазине может принимать следующие
значения
1
2
3
4
5
100
150
200
250
300
Если товар не продана днем, то он может быть реализован за 15 центов к
концу дня. Исходный товар продаётся по 49 центов за штуку. Затраты магазина
на одну единицу товара 25 центов.
Используя игровой подход, определить, какое количество товара надо
заказывать ежедневно.
Решение.
Составим платежную матрицу. Сначала вычислим прибыль (49–25=24) и
убыток (15–25= -10).
100
150
200
250
300
100
100*24
100*24
100*24
100*24
100*24
150
100*24–50*10
150*24
150*24
150*24
150*24
200
100*24–100*10
150*24–50*10
200*24
200*24
200*24
250
100*24–150*10
150*24–100*10
200*24–50*10
250*24
250*24
112
300
100*24–200*10
150*24–150*10
200*24–100*10
250*24–
300*24
50*10
Платежная матрица примет вид
100
150
200
250
300
100
2400
2400
2400
2400
2400
150
1900
3600
3600
3600
3600
200
1400
3100
4800
4800
4800
250
900
2600
4300
6000
6000
300
400
2100
3800
5500
7200
Вальда-максиминный.
Он
Вычислим
критерий
отражает
принцип
гарантированного результата, т. е. олицетворяет позицию крайнего пессимизма
(надо ориентироваться всегда на худшие условия, зная наверняка, что хуже
этого не будет). Этот перестраховочный подход для того, кто очень боится
проиграть.
Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш, в
любом случае не меньший, чем нижняя цена игры с природой:
Н = max min αij.
Таким образом, необходимо подсчитать min по строкам и выбрать ту
стратегию, при которой минимум строки максимален.
А1
2400
А2
1900
А3
1400
А4
900
113
А5
400
Вывод: Критерий Вальда рекомендует выбирать стратегию А1.
2. Критерий Гурвица (оптимизма-пессимизма).
Критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни
крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Критерий рекомендует
стратегию, определяемую по формуле
H = Max {γmin aij + (1– γ)max aij},
где γ – степень оптимизма (изменяется в диапазоне [0, 1]).
Критерий
придерживается
некоторой
промежуточной
позиции,
учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения
природы. При γ = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при γ = 0 – в
критерий максимума. На γ оказывает влияние степень ответственности лица,
принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия
ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем γ ближе к единице.
В качестве примера примем параметр Гурвица равным 0,6 и рассмотрим
следующую платежную матрицу:
min
max
γmin aij + (1– γ)max aij
А1
2400
2400
2400*0.6+0.4*2400=2400
А2
1900
3600
1900*0.6+3600*0.4=2580
А3
1400
4800
1400*0.6+4800*0.4=2760
А4
900
6000
900*0.6+6000*0.4=2940
А5
400
7200
400*0.6+7200*0.4=3120
Вывод: Критерий Гурвица рекомендует стратегию А5.
3. Критерий Сэвиджа.
114
Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить
чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица
рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма),
если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.
Элементы матрицы рисков (rij) находятся по формуле:
rij = max aij – aij,
где max aij – максимальный элемент в столбце исходной матрицы.
Оптимальная стратегия находится из выражения
H = Min {max(max aij – aij)}.
Составим матрицу риска, (max aij – aij). Для этого выберем максимальный
элемент в столбце и вычитаем из него остальные элементы столбца, получим
max(max aij – aij).
100
150
200
250
300
Мax
А1
0
1200
2400
3600
4800
4800
А2
500
0
1200
2400
3600
3600
А3
1000
500
0
1200
2400
2400
А4
1500
1000
500
0
1200
1500
А5
2000
1500
1000
500
0
2000
Из максимальных значений последнего столбца выбираем минимальную
величину, получим Min {max(max aij – aij)}.
Вывод: Критерий Сэвиджа рекомендует стратегию А4.
115
4. Критерий Лапласа.
Этот критерий основывается на принципе недостаточного обоснования.
Поскольку вероятности состояния не известны, необходимая информация для
вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. Поэтому можно
предположить, что они равны. Выбор стратегии осуществляется по формуле:
H = Max {1/n·∑aij},
где 1/n вероятность реализации одного из состояний р = 1/n.
А1
А2
А3
А4
А5
(2400+2400+2400+2400+2400)/5=2400
(1900+3600+3600+3600+3600)/5=3260
(1400+3100+4800+4800+4800)/5=3780
(900+2600+4300+6000+6000)/5=3960
(400+2100+3800+5500+7200)/5=3800
Вывод: Критерий Лапласа рекомендует стратегию А4.
Таким образом, после рассмотрения одной платежной матрицы, получено,
что критерии Лапласа и Сэвиджа рекомендует стратегию А4. То есть
необходимый заказ товара составит 250 единиц ежедневно.
5. Критерий Байеса.
Критерий Байеса используется при принятии решений в условиях риска.
Если в рассмотренных выше критериях, необходимая информация о
вероятностях какого-либо состояния отсутствовала, то критерий Байеса
действует в условиях не полной информации, т.е. в условиях риска (имеется
информация о вероятностях применения стратегий второй стороной). Эти
вероятности называются априорными вероятностями.
Выбор стратегии осуществляется по формуле
H = Max {∑pi aij}.
(1)
116
Ежедневный
спрос
на
товар
в
магазине
задается
следующим
распределением вероятностей
1
100
0,2
2
150
0,25
3
200
0,3
4
250
0,15
5
300
0,1
Поставив значение aij и pi в формулу, получим:
А1
А2
А3
А4
А5
2400*0,2+2400*0,25+2400*0,3+2400*0,15+2400*0,1=2400
1900*0,2+3600*0,25+3600*0,3+3600*0,15+3600*0,1=3260
1400*0,2+3100*0,25+4800*0,3+4800*0,15+4800*0,1=3695
900*0,2+2600*0,25+4300*0,3+6000*0,15+6000*0,1=3620
400*0,2+2100*0,25+3800*0,3+5500*0,15+7200*0,1=3290
Вывод: Критерий Байеса рекомендует стратегию А3
В условиях полной неопределенности теория не дает однозначных
принципов выбора того или иного критерия.
Оптимальные стратегии, выбранные по различным критериям, различны.
Таким образом, окончательный вывод зависит от предпочтений человека,
который принимает решение.
Выводы по теме:
1. Для того чтобы можно сделать вывод о том какую именно стратегию
выбирать игроку, используются критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа,
Байеса.
2. В условиях полной неопределенности теория игры не дает однозначных
принципов выбора того или иного критерия. Оптимальные стратегии,
выбранные по различным критериям, могут быть различными. Таким образом,
117
окончательный вывод зависит от предпочтений человека, который принимает
решение.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что в теории игр понимается под термином «природа»?
2. Чем отличается выбор оптимальных стратегий игроков в играх с
«природой» от антагонистических игр?
3. Что понимается под риском игрока в игре с «природой», и каким
образом формируется матрица рисков,
4. Что такое критерий Вальда, Севиджа, Лапласа, Байеса и как по ним
определяется выигрыш?
5. Какой принцип выбора оптимальной стратегии лежит в основе
критерия пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
118
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Модуль 5.
Раздел
5.
Основы
систем
массового
обслуживания,
сетевого
планирования и нелинейного программирования.
Тема 16. Системы массового обслуживания.
Цель и задачи: изучение основ теории систем массового обслуживания.
Учебные вопросы:
1. Формулировка, задачи и характеристики систем массового обслуживания.
2. Системы массового обслуживания с отказами.
3. Системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием.
4. Системы массового обслуживания с ожиданием и с ограниченной
длиной очередью.
5. Пример решения задач.
Учебная информация:
1. Формулировка, задачи и характеристики систем массового обслуживания.
На практике часто бывают такие ситуации как: очередь покупателей в
кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено
светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все
эти ситуации объединяет то, что системам необходимо пребывать в состоянии
ожидания.
Ожидание
возникновения
является
потребностей
в
следствием
обслуживании
вероятностного
и
разброса
характера
показателей
119
обслуживающих
систем,
которые
называют
системами
массового
обслуживания (СМО).
Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые
характеристики
системы,
установить
зависимость
между
числом
обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем
выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно
иметь лишние обслуживающие единицы.
В промышленности
СМО применяются при поступлении
сырья,
материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке
широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации
наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности
обслуживающих отделов и служб предприятий и т. д.
Основными элементами СМО являются: источники заявок; их входящий
поток; каналы обслуживания и выходящий поток.
Классификация систем массового обслуживания.
В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:
1. Системы с отказами, в которых при занятости всех каналов
обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной.
2. Системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в
очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.
3. Системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной
очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в
очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.
По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и
многоканальные.
120
В зависимости от расположения источника требований, системы могут
быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми
(источник находится в самой системе).
Элементы СМО:
Входящий поток: на практике наиболее распространенным является
простейший
поток
заявок,
обладающий
свойствами
стационарности
ординарности и отсутствия последействия.
Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления
определенного
количества
требований
(заявок)
в
течение
некоторого
промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.
Ординарность потока определяется невозможностью одновременного
появления двух или более заявок.
Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки
не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом
случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за
промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона:
Pk(t)=( (λt)k / k! ) е–λt,
где λ – интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу
времени: λ=1/τ (чел/мин, р/ч, автом/дн, кВт/ч), где τ – среднее значение
интервала времени между двумя соседними заявками;
k – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.
Для такого потока время между двумя соседними заявками распределено
экспоненциально с плотностью вероятности:
121
f(t)= λ е–λt.
Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают
распределенным экспоненциально:
f(t)=υе–υt,
где υ – интенсивность движения очереди, т.е. среднее число заявок
приходящихся на обслуживание в единицу времени: υ=1/tоч, где tоч – среднее
значение времени ожидания в очереди.
Выходящий поток заявок связан с потоками обслуживания в канале, где
длительность обслуживания tобс является случайной величиной и часто
подчиняется показательному закону распределения с плотностью
f(tобс)= μe–μt,
где μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в ед. времени: μ=1/ tобс(чел/мин, р/дн, кг/ч, докум/дн), где t –
среднее время обслуживания.
Важной
характеристикой
СМО, объединяющей
λ
и μ, является
интенсивность нагрузки
ρ=λ/μ.
Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.
2. Системы массового обслуживания с отказами.
122
Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы
занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем
качества
обслуживания
выступает
вероятность
получения
отказа.
Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам,
входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания
одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.
Формулы для расчета установившегося режима:
1. Вероятность простая каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):
P0=1/(Σ ρk / k!).
2.
Вероятность
отказа
в
обслуживании,
когда
поступившая
на
обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k=n):
Pотк= Pn =P0ρn / n.
3. Вероятность обслуживания:
Робс= 1– Pотк.
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
n3=ρ Робс.
5. Доля каналов, занятых обслуживанием:
123
k3= n3/n.
6. Абсолютная пропускная способность СМО:
A=λ Робс.
3. Системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием.
Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая
все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из
каналов.
Основной характеристикой качества обслуживания является время
ожидания (время пребывания заявки в очереди).
Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е.
Pотк=0 и Робс=1.
Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:
 обслуживание в порядке очереди по принципу «первым пришел –
первым обслужен»;
 случайное неорганизованное обслуживание по принципу «последний
пришел – первым обслужен»;
 обслуживание с приоритетами по принципу «генералы и полковники
вне очереди».
Формулы для расчета установившегося режима:
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
P0=1/Σ(ρк/к!)+ρn+1/n!(n–ρ).
124
Предполагается, что ρ/n<1, т.е. интенсивность нагрузки меньше числа
каналов.
2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок:
Pk= ρк P0/k!, 1≤ k≤ n.
3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов:
Pn =P0ρn / n!.
4. Вероятность того, что заявка ожидается в очереди:
Роч= ρn+1/n!(n–ρ)* P0.
5. Среднее число заявок в очереди:
Lоч= ρn+1/(n+λ)!(n–ρ)2* P0.
6. Среднее время ожидания заявки в очереди:
tоч= Lоч/λ.
7. Среднее время ожидания заявки в СМО:
tсмо= tоч+ tобс.
125
8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
n3=ρ.
9. Среднее число свободных каналов:
nсв= n– n3.
10. Коэффициент занятости каналов обслуживания:
k3= n3/ n.
11. Среднее число заявок в СМО:
z = Lоч+ n3.
3. Системы массового обслуживания с ожиданием и с ограниченной
длиной очередью.
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной
очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает
систему необслуженной.
Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в
обслуживании.
Ограничения на длину очереди могут быть из-за:

ограничения сверх времени пребывания заявки в
очереди;

ограничения сверх длины очереди;
126

ограничения общего времени пребывания заявки в
системе.
Формулы для установившегося режима:
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
P0=1 : {Σ ρк/к!+ρn+1/n!(n–ρ)[1–(ρ/n)m]},
где n – число каналов; m – длина накопителя; ρ – интенсивность нагрузки;
К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.
2. Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк= ρn+m/n!n m*P0.
3. Вероятность обслуживания:
Робс= 1– Pотк.
4. Абсолютная пропускная способность:
A=λ Робс.
5. Среднее число занятых каналов:
n3=A/μ= λ Робс/μ=ρ Робс, где ρ=λ/ μ.
6. Среднее число заявок в очереди:
127
Lоч= ρn+1/n*n! * 1–(ρ/n)m(m+1–mρ/n) / (1–ρ/n)2 * P0.
7. Среднее время ожидания обслуживания:
tоч= Lоч/λ.
8. Среднее число заявок в системе:
z = Lоч+ n3.
Среднее время пребывания в системе:
tсмо= z/λ.
5. Пример решения задач.
Задача. Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки
поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность
разговора составляет 2 мин.
Определить характеристики дежурного администратора как системы
массового обслуживания.
Решение:
1. Классификация СМО:

с отказами (нет накопителя);

многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).
2. Обозначения:
λ – интенсивность потока заявок (λ = 90 зв / 60 мин = 3 зв / 2 мин);
n – число каналов (n = 5);
128
μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени (μ = 1 / tобс);
tобс – среднее время обслуживания (tобс=2мин);
ρ – интенсивность нагрузки;
k – номер заявки (число заявок), k = n = 5;
Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;
Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на
обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;
Робс – вероятность обслуживания;
nз = ρ* Робс – среднее число занятых обслуживанием каналов;
кз = nз / n – для каналов, занятых обслуживанием;
А = λ Робс – абсолютная пропускная способность СМО.
3. Определяем характеристики данной СМО:
3.1 ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = 3/2 * 2 = 3;
3.2 Ро= 1/ (Σρк/к!) = 1/ (ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+(ρ3/3!)+(ρ4/4!)+(ρ5/5!) =
=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+
+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054;
3.3 Ротк= ρn/ n!* Ро= (35/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=
= (243/120)*0,054=0,12;
3.4 Робс = 1– Ротк= 1–0,12=0,88;
3.5 nз = ρ*Робс= 3*0,88=2,6;
3.6 кз = nз / n = 2,6/5=0,52;
3.7 А = λ Робс = (3/2)*0,88 = 1,31.
Выводы по теме:
1. На практике часто бывают такие ситуации как: очередь покупателей в
кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено
светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все
129
эти ситуации объединяет то, что системам необходимо пребывать в состоянии
ожидания.
Ожидание
возникновения
является
потребностей
в
следствием
вероятностного
обслуживании
и
разброса
характера
показателей
обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания
(СМО).
2. Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль
некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом
обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем
выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно
иметь лишние обслуживающие единицы.
3. В промышленности СМО применяются при поступлении сырья,
материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке
широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации
наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности
обслуживающих отделов и служб предприятий и т. д.
Вопросы для самопроверки:
1. Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для
чего они предназначены?
2. Какие блоки включает схема СМО?
3. Что понимается под характеристикой эффективности работы СМО?
4. На какие классы делятся СМО?
5. Что понимается под «потоком обслуживания заявок»?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
130
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
Тема 17. Сетевое планирование.
Цели и задачи: изучение основ теории сетевого планирования.
Учебные вопросы:
1. Основные понятия метода сетевого планирования.
2. Расчет сетевых графиков.
3. Пример расчёта сетевого графика.
Учебная информация:
1. Основные понятия метода сетевого планирования.
При сетевом планировании определяются оценки продолжительности
операций и строится сетевая модель – сетевой график.
131
Построение сетевого графика позволяет проанализировать все операции и
внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации.
Календарный сетевой график определяет начало и окончание каждой
операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Он выявляет
критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы
закончить все работы в директивный срок.
По выявленным некритическим операциям календарный сетевой график
позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать
при задержке выполнения работ или эффективном использовании трудовых и
финансовых ресурсов.
Сетевой график (сетевая модель) – графическое изображение плана
выполнения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий),
которые отражают логическую взаимосвязь всех операций.
В основе сетевого планирования лежит изображение планируемого
комплекса работ в виде графа.
Граф – схема состоящая из заданных точек (вершин), соединенных
системой линий.
Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны
направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить какая из двух его
граничных вершин является начальной, а какая конечной.
Сетевой график – это ориентированный граф без контуров (в контуре
начальная вершина совпадает с конечной).
Основными элементами сетевых графиков являются:
Работа – это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо
пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата.
132
Фиктивная работа – это связь между результатами работ (событиями),
не
требующая
затрат
времени
и
ресурсов,
т.е.
имеющая
нулевую
продолжительность.
Событие
–
это
результат
выполнения
одной
или
нескольких
предшествующих работ.
Путь – любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.
Критический путь – это путь, не имеющий резервов работы комплекса.
Работы, расположенные на критическом пути, называют критическими.
Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и
обладают резервами
времени, которые позволяют передвигать сроки их
выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего
комплекса работ.
Ожидание – процесс, требующий затрат времени, но не требующий
затрат ресурсов (отдых персонала, ожидание благоприятных условий и т.п.).
Общий вид сетевого графика показан на рис. 1:
133
a1
А14
А01
7
18
А04
а0
а4
12
А02
А34
6
8
А23
а2
а3
3
Рисунок 1 – Сетевой график.
Все работы изображаются на сетевом графике стрелками, величина
которых не зависит от продолжительности работы и расхода ресурсов. Стрелки
указывают факт и направление движения процесса. Фиктивная работа
изображается пунктирной стрелкой.
У всех стрелок проставляются индексы, соответствующие наименованию
работы, а под ними – время, затрачиваемое на данную работу.
Понятие Событие отличается от понятия Работа тем, что не является
процессом и не связано с затратами времени и ресурсов (разработка сметы
закончена, ресурс принят, сборка узла машины завершена).
Событие может иметь следующие значения:
134
1. Исходное событие, с которого начинаются все работы. В исходное
событие не входит ни одна работа (например, получено распоряжение о начале
производства продукта).
2. Завершающее событие – событие, которым заканчивается весь
комплекс работ и из него не выходит ни одной работы.
3. Промежуточные события, или просто события – все события,
находящиеся между исходным и завершающим событием.
Любая работа соединяет только 2 события.
Событие, из которого выходит работа, является для него начальным или
последующим, а куда входит – конечным или последующим.
Работы сетевого графика обозначаются большими буквами и кодируются
начальными i и конечными j событиями (А04; А01; А23;…).
События
сетевого
графика
обозначаются
строчными
буквами
и
нумеруются в порядке последовательности развития операции.
Путь в сетевом графике – любая последовательность работ, в которой
конечное событие каждой работы является началом следующей за ней работы.
Наибольший по продолжительности путь называется критическим и
обозначается L кр, а его продолжительность Т кр (на рис. 1) критическим
является путь a1–А01–а1–А14–а4=25 ед.времени.
Выделение критического пути является важнейшим элементом в сетевом
планировании.
Критический путь позволяет:
1. Определить какие работы и события лимитируют выполнение всего
комплекса работ;
2. Позволяет сосредоточить внимание руководителя не на всех работах, а
прежде всего на критическом пути;
135
3. Помогает ускорить выполнение работ за счет привлечения резервов,
скрытых в некритических работах.
2. Расчет сетевых графиков.
На рис. 2 показана одна дуга сетевого графика со всеми величинами,
необходимыми для расчета.
tpi
R4ij
tpj
i
tni
j
tij
tnj
Рисунок 2 – Дуга сетевого графика.
Обозначения:
i – код начального события работы;
j – код конечного события работы;
ij – код работы (дуги);
tij – продолжительность работы ij;
tрi – ранний срок свершения i–го события, самый ранний срок, в который
событие может произойти;
tpj – ранний срок свершения j–го события;
tni – поздний срок свершения i–го события, – самый поздний допустимый
срок свершения, при котором общая продолжительность работ по графику не
увеличится;
tnj – поздний срок свершения j–го события;
tpнij – раннее начало работы ij;
136
tpoij – раннее окончание работы ij;
tnнij – позднее начало работы ij;
tnoij– позднее окончание работы ij;
Rnij – полный резерв времени работы, время, на которое можно задержать
окончание работы, но так, чтобы при это общая продолжительность работ по
графику не увеличилась;
Rчij – частный резерв работы, – время, на которое можно задержать
окончание работы так, чтобы ранний срок свершения события j не увеличился.
Алгоритм расчета сетевого графика:
1. Для начального события 1 назначается tp1=0.
2. Достигаемая
от начального события графика к конечному.
Последовательно просматриваются события в порядке возрастания их кодов и
вычисляются ранние сроки свершения событий по формуле tpj=max(tpi+tpj).
Если в событие j входит несколько дуг, то по каждой их них вычисляется
величина tpi+tij и в качестве tpj принимается большая из рассчитанных величин.
3. Для конечного события графика (код его обозначим k) назначается
tnk=tpk – поздний срок свершения конечного события равен раннему сроку
свершения этого события.
4.
Двигаемся
от
конечного
события
графика
к
начальному.
Просматриваются события в порядке убывания их кодов и вычисляются
поздние сроки свершения событий по формуле: tni=min(tnj–tij). Если из события
i выходит несколько дуг. То по каждой их них вычисляется величина tnj–tij и в
качестве tnj принимается меньшая. Если расчет произведен без ошибок, то для
начального события графика должно оказаться tn1=0.
Формулы для вычислений по работам:
tpnij=tpi; tnoij=tnj;
137
tpoij=tpi+ tij; Rnij= tnj– tpi– tij;
tnнij= tnj– tij; Rчij= tpj– tpi– tij.
Можно ограничится расчетом на графике. Иногда результаты расчета
показывают в таблице.
i
j
tij
tpnij
tpoij
tnнij
tnoij
Rnij
Rчij
На рис. 3 показан график, с рассчитанными сроками свершения событий.
Ранние сроки пишутся над событиями, поздние сроки – под событиями.
Критический путь показан двойной линией.
138
6
28
18
25
44
20
39
69
24
5
14
0
8
15
24
48
9
69
21
10
1
2
0
0
10
14
10
18
28
48
4
7
35
8
8
20
55
15
3
20
Рисунок 3 – График, с рассчитанными сроками свершения событий.
В табл. 1 показаны результаты расчета:
139
Таблица 1 – Результаты расчёта
Работа
i
J
(1
2)
(1
3)
(2
4)
(2
5)
(2
6)
(3
4)
(4
7)
(5
6)
(5
7)
(5
8)
(6
9)
(7
9)
(8
9)
Р.Н.
tpnij
0
0
10
10
10
8
28
24
24
24
44
48
39
tij
10
8
18
14
18
15
20
20
0
15
25
14
21
Р.О.
tpoij
10
8
28
24
28
23
48
44
24
39
69
52
60
П.Н.
tnнij
0
12
17
10
26
20
35
24
55
33
44
55
48
П.О.
tnoij
10
20
35
24
44
35
55
44
55
48
69
69
69
Резерв
Rnij
0
12
7
0
16
12
7
0
31
9
0
7
9
Rчij
0
0
0
0
16
5
0
0
24
0
0
7
9
После упорядочения сетевого графика для наглядности рекомендуется
дополнить его линейной диаграммой. В ней критическое время комплекса работ
равно координате
на оси времени самого правого конца всех отрезков
диаграммы.
3. Пример расчёта сетевого графика.
Дан перечень работ и время выполнения каждой работы.
Составить
сетевой график и определить сколько всего времени понадобится на
выполнение всех работ.
Решение.
1. Составляется сетевой график (рис. 4).
3
3
0
1
1
5
3
5
4
6
2
7
2
2
3
4
6
Рисунок 4 – Сетевой график.
140
2. Составляется таблица, рассчитываются критические работы и
определяются резервы времени.
Работа
(ij)
(0,1)
(1,2)
(1,3)
(2,4)
(3,5)
(4,5)
(4,6)
(5,6)
(6,7)
tij
1
2
3
3
5
4
6
3
2
Р.Н.
tpnij
0
1
1
3
4
6
6
10
13
Р.О.
tpoij
1
3
4
6
9
10
12
13
15
П.Н.
tnнij
0
1
2
3
5
6
7
10
13
П.О.
tnoij
1
3
5
6
10
10
13
13
15
Резерв
Rnij
0
0
1
0
1
0
1
0
0
Ответ:
Критический путь – 15 ед. времени.
Резерв в работах (1–3), (3–5), (4–6) по 1 ед. времени.
Выводы по теме:
1. При сетевом планировании определяются оценки продолжительности
операций и строится сетевая модель – сетевой график. Построение сетевого
графика позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в
структуру модели до начала ее реализации.
2. Календарный сетевой график определяет начало и окончание каждой
операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Он выявляет
критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы
закончить все работы в директивный срок.
3. После упорядочения сетевого графика для наглядности рекомендуется
дополнить его линейной диаграммой. В ней критическое время комплекса работ
равно координате
на оси времени самого правого конца всех отрезков
диаграммы.
141
Вопросы для самоконтроля:
1. В чем состоит задача сетевого планирования?
2. Что является исходной информацией для анализа?
3. Что такое сетевой график.
4. Из каких основных элементов состоит сетевой график?
5. Что включает в себя алгоритм сетевого планирования?
Тема 18. Нелинейное программирование.
Цели и задачи: изучение основ нелинейного программирования.
Учебные вопросы:
1. Основные понятия.
2. Безусловный экстремум.
3. Условный экстремум.
Учебная информация:
1. Основные понятия.
Во многих оптимизационных задачах целевая функция, или функции,
задающие ограничения, не являются линейными. Такие задачи называются
задачами нелинейного программирования.
Пример простой нелинейной задачи:
Предприятие для производства какого–то продукта расходует два
средства в количестве х и y соответственно. Это факторы производства,
например, машины и труд, два различных вида сырья и т.п., а х и y – затраты
факторов производства.
Факторы производства считаются взаимозаменяемыми. Если это «труд» и
«машины», то можно применять такие методы производства, при которых
величина затрат в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше
или меньше (производство более или менее трудоемкое).
142
Объем производства, выраженный в натуральных или стоимостных
единицах, является функцией затрат производства
Производственной функцией называется следующая зависимость:
Z = f (х, y).
Совокупные издержки выражаются формулой
с1х1 + с2y2 = b.
Требуется при данных совокупных издержках определить количество
факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.
Математическая модель задачи:
Определить такие переменные х и у, удовлетворяющие условиям
с1х1+с2у=в, х≥0, у≥0,
при которых функция z=f(х, у) достигнет максимума.
Ограничения
могут
отсутствовать.
В
этом
случае
производится
безусловная оптимизация задачи. Как правило, функция z может иметь
произвольный нелинейный вид. В теории нелинейной оптимизации выделяют
понятие
локального
экстремума
(локального
минимума,
локального
максимума), глобального экстремума, условного экстремума.
Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число
переменных n не меньше 2 (n≥2).
Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие
безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того
есть ли дополнительные условия или нет.
143
2. Безусловный экстремум.
Задача безусловного экстремума заключается в выполнении следующих
действий:
Найти экстремум функции z = х² + ху + у² – 2х – 3у.
Найти частные производные:
 первая производная по х: z‫׳‬х = 2х + у – 2;
 первая производная по у: z‫׳‬у=х+2у–3.
Решить систему уравнений
Получить критическую точку (1/3; 4/3).
Найти вторые частные производные:
 вторая производная по х: z‫׳׳‬хх=2;
 вторая производная по у: z‫׳׳‬уу=2;
 смешанные производные z‫׳׳‬ху=z‫׳׳‬ух=1.
Составить определитель
Следовательно, экстремум есть, так как z = 2 > 0, то в точке (1/3; 4/3)
точка минимума.
3. Условный экстремум.
Постановка задачи на минимум.
144
Определить матрицы L и все ее главные миноры порядка больше чем m+1
должны иметь знак (–1)m, где m – число ограничений задачи.
Постановка задачи на максимум.
Определить матрицы L должен иметь знак (–1)n, где n – число переменных
в задаче. Главный минор порядка m + n – 1 должен иметь противоположный
знак. Последующие миноры должны иметь чередующие знаки.
Пример: Z = f(x) = xy, х²+у² = 2.
Критические точки: М1 = (1, 1), М2=(–1, –1), =(1, –1), =(–1, 1).
Таким образом, максимум в точках М1, М2 (λ = 0,5), минимум – в точках
М3, М4 λ = –0,5.
Выводы по теме:
1. Во многих оптимизационных задачах целевая функция, или функции,
задающие ограничения, не являются линейными. Такие задачи называются
задачами нелинейного программирования.
2. Задачи нелинейного программирования делятся на два класса:
имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в
зависимости от того есть ли дополнительные условия или нет.
3. Если при решении нелинейной задачи ограничения отсутствуют, то в
этом случае производится безусловная оптимизация задачи (и наоборот). Как
правило, функция z может иметь произвольный нелинейный вид. В теории
нелинейной
оптимизации
выделяют
понятие
локального
экстремума
145
(локального минимума, локального максимума), глобального экстремума,
условного экстремума.
Вопросы для самопроверки:
1.В чем состоит задача нелинейного программирования?
2.Что называется условным экстремумом?
3.Что называется безусловным экстремумом?
4.Какая разница между локальным и глобальным экстремумом?
5.Какие
существуют
методы
решения
задач
нелинейного
программирования?
Список литературы по теме:
1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике.
Учебное пособие. – М.:Изд. Инфра-М, 2003. – 443 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций: Учеб. для вузов /
Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
– 436 с.
4. Горлач Б. А. Исследование операций. – М. : Лань, 2013. – 448 с.
5. Есипов Б.А. Методы исследования операций. – М. : Лань, 2010. – 256 c.
6. Ковалёв М. А. Исследование операций. Курс лекций. –Минск, 2004. –
46 с.
7. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в
экономике. – СПб: Питер, 2000.–208 с.
8. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособ. для
вузов. 2-е изд. – М. : Юрайт, 2011. – 430 с.
9. Яретенко Н. И. Математика (Исследование операций). Курс лекций. –
Мурманск.: Мурманский государственный технический университет, 2010. –
131 с.
146
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org
http://e.lanbook.com/
147
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Большекаменский институт экономики и технологий (филиал) ГОУ ВПО
«Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В. Куйбышева)»
МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
по дисциплине «Исследование операций»
080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
г. Большой Камень
148
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Тема 1. Решение задач линейного программирования геометрическим
методом (2 часа).
Задание: Торговая фирма для продажи товара трех видов использует
ресурсы: время и площадь торговых залов. Затраты ресурсов на продажу одной
партии товаров каждого вида даны в табл.1. Прибыль, получаемая от
реализации одной парии товаров 1 вида – 15 у.е. 2 вида – 18 у.е.
Таблица 1 – Исходные данные
Ресурсы
Вид товара
Объем ресурсов
1
2
Время
0,5
0,8
470
Площадь
0,5
0,3
100
Определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую
фирме максимальную прибыль.
Методические указания по выполнению задания:
Решение
задач
ЛП
геометрическим
методом
осуществляется
по
следующему алгоритму:
1. Строим координатные оси
Х1ОХ2
и с учетом коэффициентов
математической модели выбираем масштаб.
2. Находим область допустимых решений (ОДР) системы ограничений
математической модели.
3. Строим прямую целевой функции и показываем направление
наискорейшего ее изменения (нормаль – gradL).
149
4. Линию целевой функции (линия уровня) перемещаем по направлению
нормали для задач на максимум целевой функции и в противоположном
направлении – для задач на минимум целевой функции.
Перемещение линии уровня через ОДР производится до тех пор, пока у
нее окажется только одна общая точка с областью допустимых решений. Эта
точка будет точкой экстремума, и будет определять единственное решение
задачи ЛП.
Если окажется, что линия уровня совпадает с одной из сторон ОДР , то
задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений.
Если ОДР представляет неограниченную область, то целевая функция –
неограниченна.
Задача ЛП может быть неразрешима ,когда определяющие ее ограничения
окажутся противоречивыми.
5.Находим координаты точки экстремума и значение целевой функции в
ней.
Тема
2.
Симплексный
метод
решения
задач
линейного
программирования с помощью симплекс-таблицы (2 часа).
Задание:
На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции
(1,2,…, n). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, Р3. Размеры
прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3.
Расход i-го ресурса на единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена
единицы продукции j-того вида равна cj у. е. Сформулировать прямую и
двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных.
В задаче требуется:
1. Найти оптимальный план симплекс–методом.
2. Найти решение двойственной задачи.
150
3. Указать дефицитность ресурсов.
4. Обосновать эффективность плана производства.
5. Оценить целесообразность приобретения ресурса.
6. Оценить целесообразность выпуска новой продукции.
Данные:
b1 = 35, b2 = 35, b3 = 45
a11= 2, a12= 3, a13= 2, a14= 1
a21= 4, a22= 1, a23= 3, a24= 5
a31= 10, a32= 5, a33= 2,a34= 2
c1= 5, c2= 5, c3= 14, c4= 3
Методические указания по выполнению задания:
Алгоритм симплексного метода заключается в следующем:
1.
Математическую
модель
задачи
привести
к
каноническому
(стандартному) виду.
2. Построить начальную симплекс–таблицу исходя из стандартного вида.
3. Найти разрешающий столбец. В строке коэффициентов целевой
функции найти значение с самым малым отрицательным числом. Этот столбец
и будет разрешающим.
4. Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент. Для этого
необходимо почленно разделить столбец свободных членов на элементы
разрешающего столбца, за исключением строки целевой функции. Выбрать
наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей. Ведущий элемент
будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.
5. Построить новую симплекс-таблицу (второй шаг).
При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной
разрешающей строки в предыдущей таблице. Ввести в базис строку с названием
разрешающего столбца предыдущей таблицы.
151
Для построения ведущей строки в новой таблице почленно поделить всю
разрешающую строку на разрешающий элемент.
Для построения других строк в новой таблице почленно умножить
ведущую строку на соответствующие этим строкам элементы разрешающего
столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам в
старой таблице.
6. Проверить таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке
целевой функции нет отрицательных элементов, тогда таблица имеет
оптимальный план, записать ответ. Если в строке целевой функции есть
отрицательный элемент, тогда переходят к следующему (третьему) шагу, строят
новую симплекс-таблицу в соответствии п. 5 и затем проверяют ее на
оптимальность.
Построение
таблиц
заканчивается
при
нахождении
оптимального плана.
Прямая задача на минимум решается следующим образом:
 написать математическую модель двойственной задачи в стандартном
виде;
 решить двойственную модель симплекс – методом;
 записать ответ.
Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая симплексным
методом одну из них, автоматически получаем решение другой. Для этого
достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной
задач в последней симплекс-таблице.
Х1
x2
…
xn
S1
S2
…
Sm
S1
S2
…
Sm
y1
y2
…
ym
152
Тема
3.
Симплексный
метод
решения
задач
линейного
программирования с помощью надстройки Поиск решения MS Excel (2
часа).
Задание:
С помощью надстройки Поиск решения в MS Excel выполнить линейную
оптимизацию планирования производства материалов для следующей задачи.
Фирма выпускает два типа строительных материалов: А и В. Продукция
обоих видов поступает в продажу. Для производства материалов используются
два исходных продукта: I и II. Максимально возможные суточные запасы этих
продуктов составляют 7
и 9 тонн соответственно. Расходы продуктов I и II
на 1 тонну соответствующих материалов приведены в таблице.
Исходный продукт
I
II
Расход исходных продуктов
на 1 т материалов, т
Материал А
Материал В
3
2
2
3
Запас продуктов на
складе, т
7
9
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на материал В
никогда не превышает спроса на материал А более чем на I т. Кроме того, спрос
на материал А никогда не превышает 3 т в сутки. Оптовые цены одной тонны
материалов равны: 4000 у. е. для В и 3000 у. е. для А.
Какое количество материала каждого вида должна производить фирма,
чтобы доход от реализации был максимальным?
Методические указания по выполнению задания:
1. Формулировка математической модели задачи:
1.1. Переменные для решения задачи:
153
X1 – суточный объем производства материала А, X2 – суточный объем
производства материала В.
1.2. Определение функции цели (критерия оптимизации).
Суммарная суточная прибыль от производства материалов А и В равна: F
= 3000 X1 + 4000 X2,
поэтому цель фирмы заключается в том, чтобы среди всех допустимых
значений X1 и X2 найти такие, которые максимизируют суммарную прибыль от
производства материалов:
F = 3000X1 + 4000X2  max.
1.3. Ограничения на переменные:
1. Расход исходного продукта для производства обоих видов материалов
не может превосходить максимально возможного запаса данного исходного
продукта на складе, т. е.:
2X2 + 3X1  7,
3X2 + 2X1  9.
2. Ограничения на величину спроса на материалы:
X1  X2  1,
X1  3.
3. Объем производства материалов не может быть отрицательным, т. е.:
X1  0, X2  0.
2. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений.
На рабочий лист вводим необходимый текст, который должен включать:
название лабораторной работы в первой строке по центру, обозначение
переменных, целевой функции и ограничений, а также формулы и данные. X1 и
X2 должны находятся соответственно в ячейках СЗ и С4. Целевая функция – в
ячейке С6 и содержать формулу: =3000*С3+4000*С4. Символьная (левая) часть
154
неравенств для ограничений должна находиться в ячейках С8:С11 в виде
формул, цифровая (правая) – в ячейках D8:D11, кроме 3 ограничения, которое
записывается при дальнейшем решении задачи в окно Поиск решения.
3. Работа с надстройкой Поиск решения.
Выполнив команду посредством пунктов меню Данные – Поиск решения,
в появившемся окне вводим необходимые данные (в поле Изменяя ячейки
вводим С3:C4) для рассматриваемой задачи и, нажав на кнопку ОК, получаем
результат.
Тема 4. Транспортная задача. Разработка математической модели (2
часа).
Задание:
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2, …, аm.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах, b1, b2, … ,
bn.
Известен Сij (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2 ,…, n) – стоимости перевозки единицы
груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех
поставщиков
вывозятся
полностью,
запросы
всех
потребителей
удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов
минимальны.
Исходные данные приведены в табл. 1.
Таблица 1 – Исходные данные.
bj
b1
b2
b3
А1
100
300
350
А2
200
350
500
аi
155
А3
150
320
200
аm
950
970
1050
Методические указания по выполнению задания:
1. Составить опорный план, т.е. начальное приближение.
2. Составить математическую модель исходной прямой и математическую
модель двойственной задач.
3. Пользуясь методом наименьшего элемента и методом потенциалов
найти улучшение исходного опорного плана до тех пор, пока он не будет
удовлетворять условию оптимальности.
Тема 5. Транспортная задача. Метод наименьшего элемента (2 часа).
Методические указания по выполнению задания:
1. Сбалансировать задачу (убедиться, что задача сбалансирована).
2. Определить свободную клетку с наименьшей стоимостью перевозки.
Если таких клеток несколько, то выбрать клетку с наибольшей потенциальной
грузоперевозкой. Если и таких клеток несколько, то выбирается любая из этих
клеток.
3.
В
выбранную
клетку
поставить
максимально
возможную
грузоперевозку для потребителя от поставщика.
4. Проверить, остался ли нераспределенным груз у этого поставщика.
5. Если груз распределен не полностью, то применяем п.2 относительно
строки этого поставщика. Продолжать до тех пор, пока груз этого поставщика
будет полностью распределен.
6. Если груз поставщика распределен полностью, проверить, полностью
ли удовлетворен объем потребителя.
7. Если потребитель полностью удовлетворен, то применить пункт 2
относительно оставшихся поставщиков и потребностей в таблице.
156
8.
Если
объем
потребителя
полностью
не
удовлетворен,
тогда
применяется пункт 2 относительно соответствующего столбца.
9. Проверить план на вырожденность. Количество базисных клеток
должно быть равным r=m+n–1.
10. Если план вырожденный, то поставить фиктивное значение груза так,
чтобы иметь возможность найти потенциалы всех базисных клеток (ставить
нулевую перевозку).
11. Проверить план на оптимальность и по возможности улучшить,
перейдя к методу потенциалов.
Тема 6. Транспортная задача. Метод северо-западного угла (2 часа).
Методические указания по выполнению задания:
Для начала решения транспортной задачи необходимо иметь какой-то
исходный опорный план, то есть оказаться в какой-то вершине допустимой
области. Приведем конструктивный прием построения такого опорного плана,
получивший название "метод северо-западного угла".
Итак, пусть имеется m складов с запасами
потребления
с
потребностями
Пусть
запасы
и n пунктов
и
потребности
сбалансированы, то есть
Представим это в виде таблицы
157
где в столбце справа указаны запасы, в строке снизу - потребности, а пустые
клетки оставлены для будущего плана перевозок.
Начнем заполнение с клетки, расположенной вверху слева, то есть с
"северо-западного угла". Вместо
впишем число
. Возможны два
варианта.
, то есть
1.
. Тогда, запланировав перевозку из первого
склада в первый пункт потребления в объеме
мы полностью опустошим
первый склад и там ничего не останется. Поэтому все остальные перевозки из
первого склада могут быть только нулевые.
Ну, а потребность в первом пункте потребления останется в объеме
.
Таблица примет вид:
0
…
0
0
0
…
2.
, то есть
. Тогда, запланировав перевозку из первого
склада в первый пункт потребления в объеме
, мы полностью удовлетворим
его потребности. Перевозить туда больше будет ничего не надо, поэтому
остальные перевозки туда будут равны нулю.
Ну, а в первом складе еще останется
запасов продукта. Таблица
примет вид:
158
0
0
0
…
0
Далее все повторяется. Заполняется оставшаяся часть таблицы перевозок
начиная с левого верхнего, "северо-западного" угла, пока не будут исчерпаны
запасы всех складов и не удовлетворены потребности всех пунктов
потребления.
В таблице m строк и n столбцов. Каждый раз исчезает, как минимум, либо
строка, либо столбец (могут исчезнуть сразу и строка, и столбец, если запасы
какого-то подмножества складов полностью удовлетворят потребности какогото подмножества пунктов потребления). Однако при последней перевозке
исчезает
сразу
и
последняя
строка,
и
последний
получающийся план перевозок содержит не более
Если получающийся план содержит ровно
столбец.
Поэтому
компонент.
компоненту, то он
называется невырожденным. Если число положительных компонент плана
перевозок меньше
, то он называется вырожденным.
Тема 7. Транспортная задача. Метод потенциалов (2 часа).
Методические указания по выполнению задания:
1. Для всех базисных клеток создать систему уравнений вида
U i  V j  C ij
.
2. Выбрать переменную Ui или Vj, которой соответствует наибольшее
количество занятых клеток, приравнять её к нулю, решить систему уравнений
относительно Ui и Vj и найти эти значения.
159
3. Для всех свободных клеток составить и проверить выполнение
неравенств:
U i  V j  Cij
.
Условия оптимальности: если для всех свободных клеток выполняется это
неравенство, то тогда найден оптимальный план.
Если хотя бы для одной клетки не выполняется это неравенство, то
необходимо
улучшить
опорный
план
с
помощью
коэффициента
перераспределения W.
4. Находим клетку, где сильнее всего не выполняется неравенство. Если
таких клеток несколько, то выбирается любая. В эту клетку ставим W со знаком
«+».
5. Построить контур перераспределения груза, начиная с выбранной
клетки, исходя из следующих правил:
 в строке и столбце должно быть четное число W;
 контур меняет направление только в базисных клетках;
 коэффициент W меняет свой знак с «+» на «–» поочередно в углах
контура.
6. После построения контура отметить, в каких базисных клетках
коэффициент W стоит с отрицательным знаком. Из этих клеток найти клетку с
наименьшим значением перевозки, коэффициент W будет равен перевозке в
выбранной клетке.
7. Найти новый план, перераспределив найденное значение W по контуру
с учетом знаков «+» и «–», прибавляя или уменьшая стоящую в клетке
перевозку.
8. Проверить новый план в соответствии в п.2. если неравенства для
свободных клеток выполняются, значит найденный план оптимален.
160
9. Если в математической модели целевая функция на максимум (Zmax),
то задача решается методом максимального элемента, т.е. грузоперевозка (Xij)
распределяется при составлении опорного плана с учетом наибольшего
значения Cij аналогично метода наименьшего элемента. В методе потенциалов
проверяется выполнение неравенства
Тема
8.
Решение
задач
U i  V j  Cij
.
управления
методом
динамического
программирования (2 часа).
Задание:
Имеется
запас
средств,
который
нужно
распределить
между
предприятиями, чтобы получить наибольшую прибыль. Пусть начальный
капитал S0=100 д.ед. Функции дохода предприятий даны в матрице прибылей по
каждому предприятию (см. табл.1).
Таблица 1 – Матрица прибылей по каждому предприятию.
1 предприятие
2 предприятие
3 предприятие
4 предприятие
f (х1)
f (х2)
f (х3)
f (х4)
25
5
2
3
3
45
4
10
4
6
60
9
8
10
8
85
11
7
5
15
100
12
15
12
14
Х
Методические указания по выполнению задания:
Схема решения показана на рис. 1.
161
Рисунок 1 – Схема решения.
При решении задачи используется принцип Беллмана:
Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление,
выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться
оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце
каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление ,
выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса
в целом.
Тема 9. Управление производством. Задача о замене оборудования (2
часа).
Задание:
В начале планового периода продолжительностью N = 4 года имеется
оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно быть старше
5 лет (примем t = 2 года).
Дано:
162
r(t) – стоимость продукции, произведенной в течение каждого года
планового периода с помощью этого оборудования;
U(t) – ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования (эти
характеристики зависят от возраста оборудования;
s – остаточная стоимость оборудования (принимаем
s = 5 д.ед.), не
зависящая от его возраста;
р – стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с
установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном
плановом периоде (р = 12 д.ед.).
В задаче требуется:
1. Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося
оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить,
сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости
s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла
максимальной величины.
2. Составить матрицу максимальных прибылей Fn(t) за 4 года;
3. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные
стратегии замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде,
продолжительностью 4 и 3 года.
Возраст t
Ст.продукции r(t)
Ст.расходов u(t)
0
25
15
1
26
15
2
26
18
3
25
16
4
30
16
5
23
17
6
21
25
Методические указания по выполнению задания:
Расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4).
163
При этом:
 в случае «сохранения» оборудования:
Z4(SH4, x4) = r(SH4) – u(SH4);
 в случае «замены»:
Z4(SH4, x4).
Составляется 1-я таблица, рассматриваемая все возможные начальные
состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 – 6 лет, начиная с конца –
последнего шага.
Шаг 4:
Таблица 1 – F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
Возраст S3 в Управление x4
конце
3–го
шага
1
Сохранение
Замена
2
Сохранение
Замена
3
Сохранение
Замена
4
Сохранение
Замена
5
5
Сохранение
Замена
6
Сохранение
Замена
Предполагаемый
возраст SH4 в начале Прибыль Z4
4–го шага
Max доход
на F4 шаге
Анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода:
164
F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}.
При этом:
 в случае «сохранения оборудования»
Z3(SH3, x3) = r(SH3) – u(SH3);
 в случае «замены»
Z3(SH3, x3).
Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за
двухлетний период). Оптимальная прибыль за 4-й год берется из табл. 1.
Учтем, чтоSH2 – возраст оборудования в начале третьего года сразу после
принятия решения о его «сохранении» или «замене». S3 – возраст оборудования
к концу третьего года.
Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблице в соответствии
со значением параметра S3.
Шаг 3:
Таблица 2 – F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}.
S1
x3
1
Сохранение
Замена
2
Сохранение
Замена
3
Сохранение
Замена
SH2
Z3
из Возраст S3
таблицы 1
в конце 3 F4
шага
Z3 + F4
F3
Сохранение
165
+4 Замена
5
Сохранение
Замена
6
Сохранение
Замена
Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и
составляется таблица 3.
Шаг 2:
Таблица 3 – F2 (S1,x4) = max {Z2(SH2, x2) + F3(S2)}.
S1
x2
1
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
2
3
SH1
Z2
S2
F3
Z2 + F3
F2
Сохранение
Замена
4
Сохранение
Замена
5
Сохранение
Замена
6
Сохранение
Замена
Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и
составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.
Шаг 1:
Таблица 4 – F1 (S0, x4) = max {Z1(SH1, x1) + F2(S1)}.
S1
x2
1
Сохранение
Замена
2
Сохранение
Замена
SH1
Z2
S2
F3
Z2 + F3
F2
166
3
Сохранение
Замена
4
Сохранение
Замена
5
Сохранение
Замена
6
Сохранение
Замена
Тема 10. Управление запасами. Складская задача (4 часа).
Задание:
Планируется деятельность предприятия на три месяца.
Дано:
начальный уровень запасов S0 = 50;
остаток запасов S3 = 0;
затраты на пополнение φ(x) = 0.4x;
затраты на хранение ψ(y) = 0.2y + 1 в данном периоде в зависимости от y –
среднего уровня хранимых запасов.
В задаче требуется определить размеры пополнения запасов в каждом
месяце для удовлетворения заданного расхода d1 = 35, d2 = 25, d3 = 35 из
условий минимизации суммарных затрат.
Методические указания по выполнению задания:
Для решения задачи используются формулы Уилсона:
Средний уровень хранения: yk = dk/2 + Sk.
Уравнение состояния: Sk = Sk–1 + xk – dk.
Задача решается в табличном виде по месяцам.
Третий месяц:
S2
x3
y3
φ(x3)
ψ(y3)
φ+ψ
Z3
167
Второй месяц:
S1
x2
S2
y2
φ(x2)
ψ(y2)
Z3
φ + ψ + Z3
Z2
y1
φ(x1)
ψ(y1)
Z2
φ + ψ + Z2
Z1
Первый месяц:
S0
x1
S1
Тема 11. Теория игр (4 часа).
Задание 1. Найти нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы
Ai
αi
Bj
B1
B2
B3
α=max αi
168
A1
0.4
0.6
0.8
0.4
A2
1.1
0.7
0.9
0.7
A3
0.7
0.3
0.5
0.3
βJ
1.1
0.7
0.9
β = min βJ
Задание 2. Дана платежная матрица
15
6
5
4
2
5
4
5
2
3
12
6
6
12
5
2
3
3
2
14
Найти оптимальные стратегии первого и второго игрока.
Методические указания по выполнению задания:
При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно
классифицировать
задачу,
потому
что
методы,
применяемые
к
антагонистическим играм кардинально отличаются от методов решения игр с
природой.
Прежде всего, надо уметь находить верхнюю и нижнюю цены игры, т.к.
достаточно много игр решается в чистых стратегиях.
Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к
играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Иногда возможно
упростить игры, применяя следующие принципы:
1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет
использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы;
2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет
использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы.
169
Если же игра не сводится путем упрощения к 2 × n или m × 2, то
составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.
Тема 12. Системы массового обслуживания (4 часа).
Задание:
Дежурный администратор города имеет 15 телефонов. Звонки поступают
с интенсивностью 100 звонков/час. Средняя продолжительность разговора
составляет 5 мин.
Определить характеристики дежурного администратора как системы
массового обслуживания.
Методические указания по выполнению задания:
1. Необходимо классифицировать СМО.
2. В задаче используются следующие обозначения:
λ – интенсивность потока заявок
n – число каналов
μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени (μ = 1 / tобс);
tобс – среднее время обслуживания (tобс=5 мин);
ρ – интенсивность нагрузки;
k – номер заявки (число заявок), k = n = 15;
Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;
Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на
обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;
Робс – вероятность обслуживания;
nз = ρ* Робс – среднее число занятых обслуживанием каналов;
кз = nз / n – для каналов, занятых обслуживанием;
А = λ Робс – абсолютная пропускная способность СМО.
170
3. Определяются характеристики данной СМО:
3.1 ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс;
3.2 Ро= 1/ (Σρк/к!);
3.3 Ротк= ρn/ n!* Ро;
3.4 Робс = 1– Ротк;
3.5 nз = ρ*Робс;
3.6 кз = nз / n;
3.7 А = λ Робс.
Тема 13. Сетевое планирование (4 часа).
Задание:
Дан перечень работ и время выполнения каждой работы.
Составить
сетевой график и определить сколько всего времени понадобится на
выполнение всех работ.
Методические указания по выполнению задания:
1. Для начального события 1 назначается tp1=0.
2. Достигаемая
от начального события графика к конечному.
Последовательно просматриваются события в порядке возрастания их кодов и
вычисляются ранние сроки свершения событий по формуле tpj=max(tpi+tpj).
Если в событие j входит несколько дуг, то по каждой их них вычисляется
величина tpi+tij и в качестве tpj принимается большая из рассчитанных величин.
3. Для конечного события графика (код его обозначим k) назначается
tnk=tpk – поздний срок свершения конечного события равен раннему сроку
свершения этого события.
4.
Двигаемся
от
конечного
события
графика
к
начальному.
Просматриваются события в порядке убывания их кодов и вычисляются
поздние сроки свершения событий по формуле: tni=min(tnj–tij). Если из события
171
i выходит несколько дуг. То по каждой их них вычисляется величина tnj–tij и в
качестве tnj принимается меньшая. Если расчет произведен без ошибок, то для
начального события графика должно оказаться tn1=0.
Формулы для вычислений по работам:
tpnij=tpi; tnoij=tnj;
tpoij=tpi+ tij; Rnij= tnj– tpi– tij;
tnнij= tnj– tij; Rчij= tpj– tpi– tij.
На графике ранние сроки пишутся над событиями, поздние сроки – под
событиями. Критический путь указывается двойной линией.
После упорядочения сетевого графика для наглядности рекомендуется
дополнить его линейной диаграммой. В ней критическое время комплекса работ
равно координате
на оси времени самого правого конца всех отрезков
диаграммы.
Тема 14. Зачётное занятие (2 часа).
Проведение компьютерной презентации по следующим темам:
1. Решение задач линейного программирования геометрическим методом.
2. Симплексный метод решения задач линейного программирования с
помощью симплекс-таблицы.
3. Симплексный метод решения задач линейного программирования с
помощью надстройки Поиск решения MS Excel.
4. Транспортная задача. Разработка математической модели.
5. Транспортная задача. Метод наименьшего элемента.
6. Транспортная задача. Метод северо-западного угла.
7. Транспортная задача. Метод потенциалов.
8. Транспортная задача. Венгерский метод.
172
9. Динамическое программирование. Принцип Белмана.
10.
Решение
задач
управления
методом
динамического
программирования.
11. Управление производством. Задача о замене оборудования.
12. Управление запасами. Складская задача.
13. Нелинейное программирование.
14. Вычислительные методы решения задач нелинейного программирования.
15. Теория игр.
16. Системы массового обслуживания.
17. Сетевое планирование.
173
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Большекаменский институт экономики и технологий (филиал) ГОУ ВПО
«Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В. Куйбышева)»
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ
по дисциплине «Исследование операций»
080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
г. Большой Камень
174
МАТЕРИАЛЫ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ
ВЫПОЛНЕНИЮ
По
курсу
операций»
«Исследование
студент
должен
выполнить
следующие контрольные задания.
Контрольные задания и методические указания по их выполнению:
Задание 1. Линейное программирование.
Предприятие планирует выпускать n видов продукции Пi (i= 1, 2, … , n).
При её изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, и Р3. прямые затраты
ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, и b3. Расход j-го
ресурса (j= 1, 2, 3) на единицу продукции i-го вида составляет aij ед. Цена
единицы продукции i-го вида равна Сi денежных единиц.
Требуется:
1. Составить математическую модель прямой и двойственной задачи.
Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;
2. Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с
учетом
имеющихся
ограничении
ресурсов,
который
обеспечивал
бы
предприятию максимальный доход;
3. Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и
двойственными
переменными,
найти
параметры
оптимального
плана
двойственной задачи;
4. Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс,
если он имеется;
5. С помощью двойственных оценок yj обосновать эффективность
оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и
175
максимальный доход Zmax от реализации готовой продукции по всему
оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;
6. Оценить целесообразность приобретения bk единиц ресурса K по цене
Ck.
Необходимые исходные числовые данные приведены в табл. 1.
Таблица 1 – Исходные данные
Параметр
а11
а12
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
b1
b2
b3
С1
С2
С3
K
bk
Сk
Номер варианта
1
2
3
5
2
7
4
2
10
7
5
4
1
7
2
9
0
5
9
3
2
2
2
3
1
4
8
5
4
3
57
53
58
58
97
95
57
97
68
13
28
17
19
11
29
20
18
21
2
2
2
5
5
10
22
39
28
4
4
5
9
7
4
5
9
2
9
63
72
86
27
20
20
3
3
19
5
10
1
9
7
3
4
5
6
3
70
96
80
18
28
21
3
1
18
6
4
1
5
3
6
6
4
5
1
58
66
57
14
21
17
3
2
17
7
10
4
1
5
3
5
2
0
4
80
89
73
23
24
27
2
4
37
8
2
6
9
8
7
5
10
6
2
86
77
56
19
16
23
1
4
13
9
7
6
5
8
1
3
3
6
10
65
97
97
19
13
24
3
5
11
0
4
10
2
9
1
2
7
8
1
71
81
90
27
25
17
2
1
23
Методические указания по выполнению задания:
1.
Математическую
модель
задачи
привести
к
каноническому
(стандартному) виду.
2. Построить начальную симплекс–таблицу исходя из стандартного вида.
3. Найти разрешающий столбец. В строке коэффициентов целевой
функции найти значение с самым малым отрицательным числом. Этот столбец
и будет разрешающим.
176
4. Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент. Для этого
необходимо почленно разделить столбец свободных членов на элементы
разрешающего столбца, за исключением строки целевой функции. Выбрать
наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей. Ведущий элемент
будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.
5. Построить новую симплекс-таблицу (второй шаг).
При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной
разрешающей строки в предыдущей таблице. Ввести в базис строку с названием
разрешающего столбца предыдущей таблицы.
Для построения ведущей строки в новой таблице почленно поделить всю
разрешающую строку на разрешающий элемент.
Для построения других строк в новой таблице почленно умножить
ведущую строку на соответствующие этим строкам элементы разрешающего
столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам в
старой таблице.
6. Проверить таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке
целевой функции нет отрицательных элементов, тогда таблица имеет
оптимальный план, записать ответ. Если в строке целевой функции есть
отрицательный элемент, тогда переходят к следующему (третьему) шагу, строят
новую симплекс-таблицу в соответствии п. 5 и затем проверяют ее на
оптимальность.
Построение
таблиц
заканчивается
при
нахождении
оптимального плана.
Прямая задача на минимум решается следующим образом:
 написать математическую модель двойственной задачи в стандартном
виде;
 решить двойственную модель симплекс – методом;
 записать ответ.
177
Задание 2. Транспортная задача.
В пунктах Аi (i=1, 2, 3)производится однородная продукция в количестве
аi единиц. Себестоимость единицы продукции в i-м пункте равна Ci. Готовая
продукция поставляется в пункты Вj (j=1, 2, 3, 4), потребности которых
составляют bj ед. стоимость перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт
Bj задана матрицей Cij.
Требуется:
1. Написать математическую модель прямой и двойственной задач с
указанием экономического смысла всех переменных;
2. Составить план перевозки продукции, при котором минимизируются
суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям для условия
что продукция произведенная в пункте Ai, где себестоимость её производства
наименьшая, распределяется полностью;
3. Вычислить суммарные минимальные затраты Zmin;
4. Узнать в какие пункты развозится продукция от поставщиков;
5. Установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция,
и указать её объем.
Необходимые исходные числовые данные приведены в табл. 2.
Таблица 2 – Исходные данные.
Параметр
b1
b2
b3
а11
а12
а13
Номер варианта
1
2
3
10
8
22
3
5
0
13
15
9
3
2
0
2
2
1
7
9
5
4
19
9
15
1
1
4
5
1
14
12
5
7
7
6
1
13
0
6
5
4
7
2
9
14
10
5
6
8
17
3
6
3
9
4
9
14
6
17
6
3
4
0
22
13
6
1
5
6
178
а21
а22
а23
а31
а32
а33
С1
С2
С3
9
4
8
3
9
8
29
28
25
5
7
6
5
14
11
20
25
13
8
9
0
7
9
0
26
27
20
0
5
2
3
8
11
18
25
15
7
6
6
7
12
10
16
15
19
5
8
8
18
11
3
23
10
22
2
10
4
1
6
20
29
30
10
4
0
7
3
9
9
26
20
26
7
0
1
2
12
2
26
16
13
3
4
10
10
0
4
11
25
24
Методические указания по выполнению задания:
1. Составить опорный план, т.е. начальное приближение.
2. Составить математическую модель исходной прямой и математическую
модель двойственной задач.
3. Пользуясь методом наименьшего элемента и методом потенциалов
найти улучшение исходного опорного плана до тех пор, пока он не будет
удовлетворять условию оптимальности.
Метод наименьшего элемента.
1. Сбалансировать задачу (убедиться, что задача сбалансирована).
2. Определить свободную клетку с наименьшей стоимостью перевозки.
Если таких клеток несколько, то выбрать клетку с наибольшей потенциальной
грузоперевозкой. Если и таких клеток несколько, то выбирается любая из этих
клеток.
3.
В
выбранную
клетку
поставить
максимально
возможную
грузоперевозку для потребителя от поставщика.
4. Проверить, остался ли нераспределенным груз у этого поставщика.
5. Если груз распределен не полностью, то применяем п.2 относительно
строки этого поставщика. Продолжать до тех пор, пока груз этого поставщика
будет полностью распределен.
179
6. Если груз поставщика распределен полностью, проверить, полностью
ли удовлетворен объем потребителя.
7. Если потребитель полностью удовлетворен, то применить пункт 2
относительно оставшихся поставщиков и потребностей в таблице.
8.
Если
объем
потребителя
полностью
не
удовлетворен,
тогда
применяется пункт 2 относительно соответствующего столбца.
9. Проверить план на вырожденность. Количество базисных клеток
должно быть равным r=m+n–1.
10. Если план вырожденный, то поставить фиктивное значение груза так,
чтобы иметь возможность найти потенциалы всех базисных клеток (ставить
нулевую перевозку).
11. Проверить план на оптимальность и по возможности улучшить,
перейдя к методу потенциалов.
Метод потенциалов.
1. Для всех базисных клеток создать систему уравнений вида
U i  V j  C ij
.
2. Выбрать переменную Ui или Vj, которой соответствует наибольшее
количество занятых клеток, приравнять её к нулю, решить систему уравнений
относительно Ui и Vj и найти эти значения.
3. Для всех свободных клеток составить и проверить выполнение
неравенств:
U i  V j  Cij
.
Условия оптимальности: если для всех свободных клеток выполняется это
неравенство, то тогда найден оптимальный план.
Если хотя бы для одной клетки не выполняется это неравенство, то
необходимо
улучшить
опорный
план
с
помощью
коэффициента
перераспределения W.
180
4. Находим клетку, где сильнее всего не выполняется неравенство. Если
таких клеток несколько, то выбирается любая. В эту клетку ставим W со знаком
«+».
5. Построить контур перераспределения груза, начиная с выбранной
клетки, исходя из следующих правил:
 в строке и столбце должно быть четное число W;
 контур меняет направление только в базисных клетках;
 коэффициент W меняет свой знак с «+» на «–» поочередно в углах
контура.
6. После построения контура отметить, в каких базисных клетках
коэффициент W стоит с отрицательным знаком. Из этих клеток найти клетку с
наименьшим значением перевозки, коэффициент W будет равен перевозке в
выбранной клетке.
7. Найти новый план, перераспределив найденное значение W по контуру
с учетом знаков «+» и «–», прибавляя или уменьшая стоящую в клетке
перевозку.
8. Проверить новый план в соответствии в п.2. если неравенства для
свободных клеток выполняются, значит найденный план оптимален.
9. Если в математической модели целевая функция на максимум (Zmax),
то задача решается методом максимального элемента. т.е. грузоперевозка (Xij)
распределяется при составлении опорного плана с учетом наибольшего
значения Cij аналогично метода наименьшего элемента. В методе потенциалов
проверяется выполнение неравенства
U i  V j  Cij
.
Задание 3. Целочисленное программирование.
181
Решить задачу методом ветвей и границ. Данные необходимые для
решения, приведены в табл. 3.1.
Вариант
Таблица 3 – Исходные данные.
Математическая модель задачи
Целевая функция
Ограничения
1
Z  4 x1  3x2 
 max
3x1  2 x2  16; 2 x1  3x2  18; x1 , x2  целые числа
Условие
неотрицательности
x1, x2 ≥ 0
2
Z  3x1  5x2 
 max
2 x1  3x2  10; 4 x1  3x2  13; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
3
Z  6 x1  7 x2 
 max
3x1  5 x2  15; 6 x1  3x2  19; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
4
Z  2 x1  3x2 
 max
2 x1  7 x2  20; 5 x1  4 x2  15; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
5
Z  4 x1  3x2 
 max
3x1  2 x2  16; 2 x1  3x2  18; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
6
Z  3x1  5x2 
 max
5 x1  2 x2  14; 2 x1  5 x2  16; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
7
Z  5 x1  4 x2 
 max
9 x1  4 x2  31; 8 x1  6 x2  39; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
8
Z  4 x1  2 x2 
 max
4 x1  7 x2  16; 9 x1  4 x2  21; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
9
Z  4 x1  3x2 
 max
4 x1  5 x2  19; 6 x1  2 x2  25; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
0
Z  2 x1  4 x2 
 max
5 x1  6 x2  24; 7 x1  5 x2  30; x1 , x2  целые числа
x1, x2 ≥ 0
Методические указания по выполнению задания:
В ряде экономических задач, относящихся к задачам линейного
программирования, элементы решения должны выражаться в целых числах. В
этих задачах переменные означают количество единиц неделимой продукции.
Задача целочисленного программирования формулируется следующим
образом:
182
Найти такое решение план Х=(х1, х2,…, хn), при котором линейная
функция
n
Z   ci xi
i 1
принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях
т
a
j 1
x  b j , j  1,2,..., m
ij i
xi  0, i  1,2,..., n
xi  целые числа
задача решается методами линейного программирования. В случае если
переменные оптимального решения оказываются нецелочисленными, то,
применяя методы отсечения или метод перебора целочисленных решений.
Метод ветвей и границ.
Метод ветвей и границ заключается в упорядоченном переборе вариантов
и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным
признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.
Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых
решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое
из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс
продолжается до тех пор. Пока не получено оптимальное целочисленное
решение исходной задачи.
Название метода ветвей и границ исходит из того, что в процессе решения
задача последовательно «ветвится», заменяясь более простыми. Процесс
решения можно продолжать в виде дерева, цифры в узлах (вершинах) которого
обозначают план решения задачи (искомые переменные).
183
Задание 4. Динамическое программирование.
Выделены
денежные
средства
S0=100
д.ед.
для
вложения
в
инвестиционные проекты для реконструкции и модернизации производства на
четырех предприятиях.
По каждому предприятию известен возможный прирост fi(х) (i=1, 2, 3, 4)
выпуска продукции в зависимости от выделенной суммы.
Требуется:
1. Распределить средства S0 между предприятиями так, чтобы суммарный
прирост продукции на всех четырех предприятиях достиг максимальной величины;
2. Используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение
между тремя предприятиями.
Данные необходимо для решения, приведены в табл. 4.
Таблица 4.1.Исходные данные.
Параметр
f1 (20)
f2 (20)
f3 (20)
f4 (20)
f1 (40)
f2 (40)
f3 (40)
f4 (40)
f1 (60)
f2 (60)
f3 (60)
f4 (60)
f1 (80)
f2 (80)
f3 (80)
f4 (80)
f1 (100)
f2 (100)
f3 (100)
Номер варианта
1
2
3
4
2
4
2
3
4
4
4
4
1
2
2
4
4
6
4
4
4
6
3
3
4
4
5
9
7
9
6
4
6
10
8
5
9
5
7
12
11
7
11
11
9
5
8
8
6
5
13
15
14
14
12
11
10
12
13
13
4
2
4
5
2
6
6
4
5
8
5
6
9
11
5
12
7
14
10
10
5
2
2
2
3
7
5
6
5
7
8
5
8
12
13
7
9
14
12
10
6
2
4
3
2
6
5
3
5
9
10
10
5
7
8
7
11
15
12
12
7
2
2
4
4
3
6
4
6
5
8
5
5
11
11
12
9
11
15
11
8
2
2
1
2
4
6
4
4
6
9
4
6
7
8
7
8
15
15
10
9
4
5
4
2
3
6
3
4
4
7
9
9
7
10
6
12
14
10
12
0
4
2
2
3
6
7
4
4
8
8
9
4
7
8
10
12
11
14
15
184
f4 (100)
13
14
12
13
14
14
13
12
14
12
Методические указания по выполнению задания:
При решении задачи используется принцип Беллмана:
Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление,
выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться
оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце
каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление ,
выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса
в целом.
Задание 5. Управление производством.
В начале планового периода продолжительностью 6 лет имеется
оборудование, возраст которого t.
Оборудование не должно быть старше 6 лет.
Дано:
 стоимость r(t) продукции, произведенной в течение года с помощью
этого оборудования;
 ежегодные
расходы
u(t),
связанные
с
эксплуатацией
этого
оборудования;
 его остаточная стоимость s;
 стоимость p нового оборудования, включающая расходы, связанные с
установкой, наладкой и запуском оборудования.
Требуется:
1) Cоставить матрицу максимальных прибылей за 6 лет.
185
2) Составить по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии
замены
оборудования
возрастов
t1
и
t2
лет
в
плановом
периоде
продолжительностью 6 и N лет.
Исходные данные:
Для всех вариантов
u(t) = 2 + 2t. Остальные данные
r(t) = 20 - 2t,
представлены в табл. 5.
Таблица 5 – Исходные данные.
Параметр
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
s
4
2
4
6
6
6
2
4
5
3
р
8
4
9
9
9
10
5
8
9
7
N
5
4
4
4
6
5
6
4
3
3
t1
4
2
2
4
5
2
4
4
2
5
t2
1
5
1
2
2
1
2
3
5
5
Методические указания по выполнению задания:
Расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4).
При этом:
 в случае «сохранения» оборудования:
Z4(SH4, x4) = r(SH4) – u(SH4);
 в случае «замены»:
186
Z4(SH4, x4).
Составляется 1-я таблица, рассматриваемая все возможные начальные
состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 – 6 лет, начиная с конца –
последнего шага.
Задание 6. Складская задача.
Торговое предприятие должно в течение 3-х месяцев отпустить со склада
некоторое количество товара di , (i = 1, 2, 3). Предприятие имеет возможность
докупать необходимое количество товара.
Дано:
 первоначальное количество товара S0;
 затраты на пополнение f(x);
 затраты на хранение ψ(y) в данном периоде в зависимости от y –
среднего уровня хранимого товара.
Требуется:
Определить размеры покупки товара в каждом месяце для пополнения и
удовлетворения заданного расхода di из условий минимизации затрат и что на
конец третьего месяца склад должен быть пуст (S3 = 0)
Исходные данные приведены в таблице 6.
Таблица 6 – Исходные данные.
Параметр
S0
d1
d2
d3
Номер варианта
1
2
3
5
4
6
5
4
4
5
7
7
6
4
7
4
6
7
7
4
5
4
5
3
6
6
5
5
4
4
7
7
4
4
4
8
7
6
6
7
9
4
6
6
4
0
5
5
5
3
187
f(x)
ψ(y)
0,4
0,2
0,5
0,4
0,4
0,2
0,2
0,4
0,2
0,2
0,4
0,2
0,8
0,2
0,7
0,6
0,4
0,7
0,4
0,6
Методические указания по выполнению задания:
Складская задача относится к динамическим детерминированным задачам
управления запасами. Следовательно, для решения этой задачи можно
применить принцип Беллмана.
Для решения задачи используются формулы Уилсона:
Средний уровень хранения: yk = dk/2 + Sk.
Уравнение состояния: Sk = Sk–1 + xk – dk.
Задача решается в табличном виде по месяцам.
Задание 7. Теория игр.
Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы
выпуска сезонной продукции А1, А2, А3. Не проданная в течении сезона
продукция позже реализуется по сниженной цене. Данные о себестоимости
продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня
спроса приведены в табл. 7:
Таблица 7 – Исходные данные.
Вид
продукции
Себестои
мость
А1
А2
А3
d1
d2
d3
Цена единицы
Продукции
В
После
течение
уценки
сезона
р1
q1
р2
q2
р3
q3
Объем реализации
При уровне спроса
Повышен среднем
ном
Пониже
нном
a1
a2
а3
c1
c2
c3
b1
b2
b3
Требуется:
188
1) Придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые
стратегии сторон, составить платежную матрицу;
2) Дать рекомендации об объемах выпуска продукции по видам,
обеспечивающих предприятию наивысшую прибыль.
Указание. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что
одновременно на все три вида продукции уровень спроса одинаков:
повышенный, средний или пониженный.
Дополнительные числовые данные приведены в табл. 8.
Таблица 8 – Числовые данные.
Параметр
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
d1
1,5
2,2
0,7
3,4
1,8
3,2
2,6
3,8
4,4
1,3
d2
2,1
1,6
2,4
1,7
2,5
1,8
3,7
2,6
2,1
1,7
d3
1,4
3,4
1,8
2,5
0,9
2,7
1,5
3,2
3,5
0,9
р1
2,3
3,7
1,8
4,5
2,7
4,7
3,4
4,7
5,2
2,6
р2
3,4
2,4
3,7
2,8
3,8
2,5
4,2
3,9
3,5
3,0
р3
2,8
4,5
2,5
3,2
1,5
3,8
2,8
4,5
4,7
1,8
q1
1,8
3,2
1,2
3,2
1,4
3,5
2,8
3,5
4,1
2,1
q2
2,2
1,6
2,3
1,4
2,6
1,2
3,2
2,8
2,6
1,8
q3
1,6
3,2
1,2
1,8
0,8
2,1
1,7
3,2
3,2
0,7
a1
22
17
28
18
24
36
14
26
38
19
a2
32
18
19
36
24
46
38
42
16
28
а3
44
29
37
26
41
18
24
28
39
32
b1
17
12
16
13
17
25
8
16
22
14
b2
18
9
20
19
14
28
22
29
9
16
b3
28
17
21
14
22
12
13
17
24
18
c1
12
6
7
5
9
10
5
8
12
8
c2
10
4
8
9
7
12
9
19
4
7
189
c3
13
8
10
6
9
5
7
11
13
9
Методические указания по выполнению задания:
При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно
классифицировать
задачу,
потому
что
методы,
применяемые
к
антагонистическим играм кардинально отличаются от методов решения игр с
природой.
Прежде всего, надо уметь находить верхнюю и нижнюю цены игры, т.к.
достаточно много игр решается в чистых стратегиях.
Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к
играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Иногда возможно
упростить игры, применяя следующие принципы:
1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет
использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы;
2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет
использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы.
Если же игра не сводится путем упрощения к 2 × n или m × 2, то
составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.
Задание 8. Системы массового обслуживания.
Вариант 1.
Дежурный по администрации города имеет 8 телефонов. Телефонные
звонки
поступают
с
интенсивностью
120
заявок
в
час.
Средняя
продолжительность разговора составляет 2мин.
Определить показатели дежурного администратора как объекта СМО.
Вариант 2.
190
В морской порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту
имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8
часов. Краны работают круглосуточно.
Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае
необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.
Вариант 3.
В мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент
заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не
ожидая обслуживания.
Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 час, равно 20.
Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента,
равно 6 мин.
Определить вероятность того, что клиент получит отказ, будет обслужен,
а также среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течении 1 часа, и
среднее число занятых мастеров.
Методические указания по выполнению задания:
1. Необходимо классифицировать СМО.
2. В задаче используются следующие обозначения:
λ – интенсивность потока заявок
n – число каналов
μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени (μ = 1 / tобс);
tобс – среднее время обслуживания (tобс=5 мин);
ρ – интенсивность нагрузки;
k – номер заявки (число заявок), k = n = 15;
Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;
191
Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на
обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;
Робс – вероятность обслуживания;
nз = ρ* Робс – среднее число занятых обслуживанием каналов;
кз = nз / n – для каналов, занятых обслуживанием;
А = λ Робс – абсолютная пропускная способность СМО.
3. Определяются характеристики данной СМО:
3.1 ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс;
3.2 Ро= 1/ (Σρк/к!);
3.3 Ротк= ρn/ n!* Ро;
3.4 Робс = 1– Ротк;
3.5 nз = ρ*Робс;
3.6 кз = nз / n;
3.7 А = λ Робс.
Задание 9. Сетевое планирование.
Построить сетевой график и указать критические работы.
Исходные данные приведены в табл. 9.
Таблица 9 – Исходные данные.
Параметр
0-1
1-2
1-3
2-4
2-6
3-5
3-6
4-5
5-6
Номер варианта
1
2
3
6
3
7
3
2
1
3
5
5
10
10
7
8
2
9
9
3
7
3
9
6
7
2
10
9
1
7
4
3
6
7
10
8
1
6
4
9
5
1
8
2
3
6
1
8
7
4
6
5
5
7
10
5
10
4
6
5
7
6
8
5
6
5
10
2
2
4
8
1
1
6
9
4
2
2
8
3
9
3
8
7
2
5
2
6
3
4
0
3
8
5
8
7
8
10
7
2
192
6-7
7-8
3
8
9
3
8
2
9
8
8
4
4
8
9
1
8
9
7
4
1
4
Методические указания по выполнению задания:
1. Для начального события 1 назначается tp1=0.
2. Достигаемая
от начального события графика к конечному.
Последовательно просматриваются события в порядке возрастания их кодов и
вычисляются ранние сроки свершения событий по формуле tpj=max(tpi+tpj).
Если в событие j входит несколько дуг, то по каждой их них вычисляется
величина tpi+tij и в качестве tpj принимается большая из рассчитанных величин.
3. Для конечного события графика (код его обозначим k) назначается
tnk=tpk – поздний срок свершения конечного события равен раннему сроку
свершения этого события.
4.
Двигаемся
от
конечного
события
графика
к
начальному.
Просматриваются события в порядке убывания их кодов и вычисляются
поздние сроки свершения событий по формуле: tni=min(tnj–tij). Если из события
i выходит несколько дуг. То по каждой их них вычисляется величина tnj–tij и в
качестве tnj принимается меньшая. Если расчет произведен без ошибок, то для
начального события графика должно оказаться tn1=0.
Формулы для вычислений по работам:
tpnij=tpi; tnoij=tnj;
tpoij=tpi+ tij; Rnij= tnj– tpi– tij;
tnнij= tnj– tij; Rчij= tpj– tpi– tij.
На графике ранние сроки пишутся над событиями, поздние сроки – под
событиями. Критический путь указывается двойной линией.
После упорядочения сетевого графика для наглядности рекомендуется
дополнить его линейной диаграммой. В ней критическое время комплекса работ
193
равно координате
на оси времени самого правого конца всех отрезков
диаграммы.
Задание. 10. Нелинейное программирование.
Определить безусловный экстремум для целевой функции, заданной в
табл. 10.
Таблица 10 – Исходные данные.
Номер варианта
Функция
1
х²+у²+ху-4х-5у
2
ху(1-х-у)
3
3х+6у-х²-ху+у²
4
2ху-4х-2у
5
у²- х²+ху-2х-6у
6
х³-у³-3ху
7
х³+8у³-6ху+1
8
2х³-ху²+5х²+у²
9
6х+12у-2х²-2ху+2у²
0
2х²+у²-4ху-2х-у+1
Методические указания по выполнению задания:
Решение задачи на нахождение безусловного экстремума заключается в
выполнении следующих действий:
1. Найти частные производные:
 первая производная по х:
 первая производная по у:
2. Решить соответствующую систему алгебраических уравнений.
3. Получить критическую точку.
4. Найти вторые частные производные:
194
 вторая производная по х;
 вторая производная по у;
 смешанные производные.
5. Составить определитель.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Большекаменский институт экономики и технологий (филиал) ГОУ ВПО
«Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В. Куйбышева)»
КОНТРОЛЬНО–ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине «Исследование операций»
080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
195
г. Большой Камень
КОНТРОЛЬНО–ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Тесты для тематической (промежуточной) аттестации:
№ Вопрос
Варианты ответов
п/п
Введение в исследование операций. Основы классической теории оптимизации
1.
Каковы основные цели
a) моделирование явлений и процессов реального мира
применения аппарата
с
системного анализа?
восприятия
точностью,
достаточной
для
их
адекватного
b) изучение явлений и процессов реального мира
c) изучение способов функционирования явлений и
процессов реального мира
d) построение алгоритмов
e) нет правильного ответа
2.
3.
Чем отличаются задачи
a) числом переменных;
безусловной и условной
b) наличием ограничений;
оптимизации
c) учетом фактора времени
В чём заключается
a) линейные ограничения
различие между
b) линейная целевая функция
задачами линейного и
c) линейные и то и другое
нелинейного
d) хотя бы что то нелинейно
программирования
4.
Расставьте в порядке
a) целевая функция
значимости условия
b) ограничения на решение целевой функции
решения задачи
c) наличие ограничений на диапазон независимых факторов
196
одномерной
d) наличие мощной вычислительной техники
оптимизации
5.
6.
Стационарная точка
a) седловой точкой
вогнутой функции
b) точкой максимума
является
c) точкой минимума
Графический анализ
a) определить характер функции
функции позволяет
b) выявить точки локального экстремума
c) определить точки глобального экстремума
7.
Вектор градиента
a) минимума функции
функции f(x) в точке x(k)
b) наискорейшего возрастания функции
направлен в сторону
c) наискорейшего убывания функции
d) максимума функции
e) седловой точки
8.
9.
Вектор градиента
a) максимальному значению
функции f(x) в точке
b) нулю
экстремума равен
c) минимальному значению
Экстремум функции это:
a) минимум функции
b) максимум
c) минимум или максимум
10. Впишите в утверждение
нужный термин
11. Впишите в утверждение
нужный термин
12. Впишите в утверждение
нужный термин
Минимальное или максимальное значение функции носит
название _____________ функции
Вектор первых частных производных функции многих
переменных называется _____________
Матрица вторых частных производных функции
нескольких переменных носит название матрицы
___________________.
13. Впишите в утверждение
нужный термин
Множество точек, в которых функция f(x) принимает
постоянное значение, называется линией
_________________.
14. Впишите в утверждение
нужный термин
Стационарные точки, в которых функция не достигает ни
минимума, ни максимума называются
197
___________________
15. Установите правильную
a) реализация задачи на ЭВМ;
последовательность
b) определение количественного критерия;
этапов решения
c) выделение объекта;
оптимизационных задач:
d) выбор способа и метода оптимизации;
e) формализация задачи оптимизации;
f) анализ результатов;
g) формулировка проблемы;
h)
построение
математической
модели
объекта
оптимизации.
16. Какое возможно
a) Одно
количество решений в
b) Два
задаче оптимизации
c) бесконечное множество
Безусловная одномерная оптимизация
17. Чему соответствует
a) Максимуму функции
нулевая производная
b) минимуму функции
функции в определенной
c) стационарной точке
точке
d) точке экстремума
18. Какова связь между
a) Равенство значений функции
задачами минимизации и
b) Равенство значения аргументов
максимизации
c) Противоположное значение функций
19. Как отличить
a) по знаку второй производной
стационарную точку
b) по величине второй производной
функции от экстремума
c) по третьей производной
20. Какое количество
a) одно
экстремумов возможно в
b) два
нелинейной целевой
c) три
функции
d) бесконечное множество
21. Минимуму функции в
a) f(x*)
точке экстремума
b) – f(x*)
соответствует
c) 0
198
22. От чего зависит скорость
a) вид целевой функции
поиска экстремума для
b) задание начальной точки
многомерных функций
c) от вида производной целевой функции
d) задание точности поиска экстремума
e) метода поиска
23. Чем обусловлено
a) низкое число вычислений
использование методов
b) возможность поиска глобальных экстремумом
случайного поиска при
c) независимость от выбора начальной точки
одномерной
оптимизации
24. От чего зависит скорость
a) вид целевой функции
поиска экстремума для
b) задание начальной точки
одномерных функций
c) задание точности поиска экстремума
Безусловная многомерная оптимизация
25. Какие точки относятся к
a) седловые
решению задач
b) точки перегиба функции
многомерной
c) точки минимума функции
оптимизации
d) точки максимума функции
26. Расставьте в порядке
a) целевая функция
значимости условия
b) ограничения на решение целевой функции
решения задачи
c)
многомерной
факторов
оптимизации
d) размерность задачи
наличие
ограничений
на
диапазон
независимых
e) наличие мощной вычислительной техники
27. Положительно
a) точке максимума функции;
определенная матрица
b) седловой точке;
Гессе соответствует
c) точке минимума функции.
28. Направленный
случайный поиск
a) целевой функции
b) производных значений
требует задания
29. Для очередной итерации
a) в трех точках;
199
при поиске безусловного
b) в двух точках;
экстремума функции n
c) в n точках;
переменных симплекс–
d) в одной точке.
методом требуется
расчет функции
30. Впишите в утверждение
нужный термин
31. Для того чтобы функция
Вектор, направленный в сторону противоположную
вектору градиенту, называется ___________
a) положительны
была выпуклой
b) равны нулю
необходимо и
c) неотрицательны
достаточно, чтобы
d) равны двум
главные миноры
e) нет правильно ответа
матрицы Гессе были…
32. От чего зависит скорость
a) вид целевой функции
поиска экстремума для
b) задание начальной точки
многомерных функций
c) от вида производной целевой функции
d) задание точности поиска экстремума
e) от размерности задачи
f) метода поиска
Условная оптимизация. Нелинейное программирование
33. Что в нелинейном
a) Любой вектор, удовлетворяющий системе ограничений
программировании
задачи
называют допустимым
b)
решением?
экстремальное значение
Любой
вектор,
доставляющий
целевой
функции
c) Любой вектор
d) Любой вектор, равный нулю
e) единичный вектор
34. Что является главным
a) выявление области определения факторов
для поиска решения
b) построение множества допустимых решений
задачи НП графическим
c) выявление узловых точек решения
методом
200
35. Для задачи нелинейного
a) нелинейная целевая функция
программирования
b) нелинейные ограничения
характерно
c) хотя бы одна нелинейная функция
36. Какую функцию в
a) Любую нелинейную функцию, экстремум которой
нелинейном
требуется найти
программировании
b) линейную функцию
называют целевой
c) Любую функцию
функцией?
d) только квадратичную функцию
e) нет правильного ответа
37. Какое количество
a) одно
экстремумов возможно в
b) два
нелинейной целевой
c) три
функции и нелинейных
d) бесконечное множество
ограничений
38. К нахождению седловых
a) любая задача оптимизации
точек функции Лагранжа
b) только классическая задача оптимизации
может быть сведена
c) зависит от начальных условий
d) линейная задача
e) транспортная задача
39. Что из ниже
a) Целочисленное программирование
перечисленного
b) Динамическое программирование
относится к разделам
c) Стохастическое программирование
нелинейного
d) Квадратичное программирование
программирования?
e) нет правильного ответ
40. Что в нелинейном
a) Любой вектор, удовлетворяющий системе ограничений
программировании
задачи
называют допустимым
b)
решением?
экстремальное значение
Любой
вектор,
доставляющий
целевой
функции
c) Любой вектор
d) значение множителей Лагранжа
e) координаты вершин многогранника
201
41. Каковы целевая функция
a) Целевая функция – квадратичная, ограничения –
и ограничения в задачах
линейны
квадратичного
b) Целевая функция – квадратичная, ограничения –
программирования?
квадратичны
c) Целевая функция – линейная, ограничения –
квадратичны
d) Целевая функция – линейная, ограничения – линейны
e) Целевая функция – равны нулю, ограничения – линейны
42. Задача квадратичного
программирования
a) линейного программирования
b) выпуклого программирования
относится к задачам
43. Условия Куна-Таккера
a) оптимальности
определяют
b) максимума
необходимые условия
c) минимума
d) равенства стратегий
e) минимума или максимума
44. Условия Куна-Таккера
определяют седловую
a) целевой функции
b) функции Лагранжа
точку
45. Если все главные
a) функция выпуклая
миноры гессианы
b) функция вогнутая
неотрицальны, то
c) функция линейная
d) функция квадратичная
e) нет правильного ответа
Модели и методы линейного программирования
46. Возможно ли решение
a) нет
задачи при
b) да
неограниченности
c) да, при задаче минимизации
сверху
47. Возможно ли решение
задачи при
a) нет
b) да
202
неограниченности снизу
48. Какие переменные
называют базисными?
c) да, при задаче максимизации
a) Переменные в системе ограничений задачи ЛП, которые
определяют искусственный базис
b) Переменные, которые вводятся в систему ограничений
задачи ЛП и преобразующие неравенства в равенства
c) Переменные, которые вводятся в целевую функцию
d) переменные, которые равны нулю
e) нет правильного ответа
49. Как определяется
a) Наименьшее число, расположенное в столбце тета
ведущая строка при
симплекс–таблицы
решении задачи ЛП
b) Наибольшее число, расположенное в строке индексов
симплекс-методом?
симплекс–таблицы
c) Наименьшее число, расположенное в строке индексов
симплекс–таблицы
d) Наибольшее число, расположенное в столбце тета
симплекс–таблицы
e) нет правильного ответа
50. Можно ли любую задачу
a) Нельзя
ЛП привести к
b) Можно, но не всегда
каноническому виду?
c) Можно
d) ЗЛП не приводится к каноническому виду
e) нет правильного ответа
51. Что из ниже
a) Составление алгоритма решения задачи
перечисленного не
b) Составление системы ограничений
входит в общую схему
c) Выбор критерия оптимальности
построения экономико-
d) Выбор переменных
математической модели
e) нет правильного ответа
в ЛП
52. Можно ли любую задачу
a) Нет
ЛП решить симплекс–
b) Да
методом?
c) иногда
203
d) если базисные переменные равны 0
e) нет правильного ответа
53. Как называют
a) N – задачей
расширенную задачу в
b) K – задачей
методе искусственного
c) P – задачей
базиса?
d) M – задачей
54. Что в ЛП называют
оптимальным планом?
a) Произвольный набор чисел
b) Набор чисел, доставляющий экстремальное значение
целевой функции
c) Набор чисел, удовлетворяющий системе ограничений
задачи
d) Набор чисел, удовлетворяющий системе ограничений и
доставляющий экстремальное значение целевой функции
e) вектор
55. Преобразование задачи к
a) требует аппроксимации
виду, допускающему
b) не требует аппроксимации
симплексный алгоритм...
c) зависит от типа задачи
d) зависит от вида целевой функции
e) нет правильного ответа
56. Прямая называется
опорной, если она
a) не имеет общей точки с многоугольником
b) пересекает многоугольник
c) не пересекает многоугольник
d) имеет хотя бы одну общую точку с многоугольником и
e) весь он лежит по одну сторону от нее
f) нет правильного ответа
57. Назовите критерий
a) Наличие положительных чисел в столбце тета симплекс–
оптимальности опорного
таблицы
плана в симплекс-методе
b) Отрицательные значения оценок в строке индексов
решения задачи ЛП?
c) Наличие отрицательных чисел в столбце тета симплекс–
таблицы
d) Положительные значения оценок в строке индексов
204
e) нет правильного ответа
58. Как можно определить
a) Отсутствие отрицательных чисел в ведущем столбце
отсутствие конечного
симплекс–таблицы
решения задачи ЛП при
b) Отсутствие отрицательных чисел в строке индексов
ее решении симплекс–
симплекс–таблицы
методом?
c) Отсутствие положительных чисел в ведущем столбце
симплекс–таблицы
d) Отсутствие положительных чисел в строке индексов
симплекс–таблицы
e) нет правильного ответа
59. Что называется планом в
задаче ЛП?
a) Набор чисел, доставляющий экстремальное значение
целевой функции
b) Набор чисел, удовлетворяющий системе ограничений
задачи
c) Произвольный набор чисел
d) двойственные оценки
e) нет правильного ответа
60. Что называют итерацией
симплекс-метода?
a) Приведение задачи ЛП к каноническому виду
b) Определение опорного плана задачи ЛП
c) Последовательное выполнение вычислений трех шагов
симплекс–метода
d) Определение оптимального плана задачи ЛП
e) нет правильного ответа
61. В каком случае можно
a) если в строке целевой функции все элементы
считать, что найдено
положительные
решение ЗЛП на
b) если в строке целевой функции все элементы
максимум симплексным
отрицательные
методом
c) если в строке целевой функции все элементы равны
нулю
d) если в строке целевой функции все элементы
положительные, либо равны нулю
205
e) нет правильного ответа
62. В каком случае можно
a) если в строке целевой функции все элементы
считать, что найдено
положительные
решение ЗЛП на
b) если в строке целевой функции все элементы
минимум симплексным
отрицательные, либо равные нулю
методом
c) если в строке целевой функции все элементы равны
нулю
d) если в строке целевой функции все элементы
положительные, либо равны нулю
e) нет правильного ответа
63. Выберите верное
утверждение
a) ЗЛП имеет единственное решение
b) не существует допустимого решения ЗЛП
c) ЗЛП имеет много альтернативных решений
d) целевая функция ЗЛП неограниченна
e) ЗЛП не имеет двойственную задачу
64. Решение задачи
a) внутри области ограничений;
линейного
b) на одном из ребер многогранника ограничений;
программирования (если
c) в одной из вершин многогранника ограничений.
оно единственно)
находится:
65. Что из ниже
a)
Экстремальные
значения
целевых
функций
сформулированного не
двойственных задач совпадают
имеет никакого
b) Если одна из двойственных задач ЛП имеет решение, то
отношения к основной
имеет решение и другая задача
теореме двойственности? c) Положительную двойственную оценку могут иметь
лишь ресурсы, полностью используемые в оптимальном
плане
d) решения двойственных задач совпадают
e) решения двойственных задач не совпадают
66. Что дает решение
двойственной задачи ЛП
a) Оптимальный план использования сырья
b) Оптимальный план выпуска продукции
206
использования сырья?
c) Оптимальную систему оценок использования сырья
d) теневую цену продукции
e) нет правильного ответа
67. В каком случае
a)
Данный
ресурс
не
полностью
используется
в
двойственная оценка в
оптимальном плане
задаче распределения
b) Данный ресурс полностью используется в оптимальном
ресурсов равна нулю?
плане
c) Когда производство данной продукции убыточно
d) Когда производство данной продукции по двойственным
оценкам оправдано
e) нет правильного ответа
68. В каком случае
a) Когда соответствующий ресурс полностью используется
двойственная оценка в
в оптимальном плане
задаче распределения
b)
ресурсов больше нуля?
используется в оптимальном плане
c)
Когда
Когда
соответствующий
по
ресурс
двойственным
не
оценкам
полностью
производство
продукции не убыточно
d) когда продукция не выпускается
e) нет правильного ответа
69. К задаче линейного
a) Оптимальное значение целевой функции прямой задачи
программирования
больше, чем оптимальное значение целевой функции
поставлена двойственная
двойственной задачи
задача. Выберите
b) Оптимальные планы прямой и двойственной задач
ситуацию, возможную
различны
при данном условии
c) Оптимальные значения целевых функций планы прямой
и двойственной задач достигаются в одной и той же точке
Специальные задачи линейного программирования
70. Задача о назначениях
a)
к
параметрическим
задачам
относится
линейного
программирования
b) к целочисленным задачам линейного программирования
c) к нелинейным задачам
207
71. К каким видам игр
a) К непрерывным
относятся
b) К дискретным
стратегические игры?
c) К комбинаторным
d) биматричным
e) с нулевой суммой
72. Оптимальной стратегией
называется
a) стратегия, которая определяет максимум ожидаемого
среднего выигрыша при многократном повторении игры
b) стратегия, которая определяет минимум ожидаемого
среднего выигрыша при многократном повторении игры
c) стратегия, которая определяет средний выигрыш при
многократном повторении игры
d) стратегия, которая равна нулю
e) нет правильного ответа
73. Математическое
a) игрой
описание конфликтной
b) задачей линейного программирования
ситуации называется
c) конфликтом
d) стратегией
e) Седловой точкой
74. Игра, в которой игроки
a) игрой с нулевой суммой
не могут координировать b) кооперативной игрой
свои действия,
c) бескоалиционной игрой
называется
d) биматричной игрой
e) все выше перечисленное верно
75. Если верхняя цена игры
a) максминую стратегию
равна нижней, то эта
b) минимаксную стратегию
игра имеет
c) седловую точку
d) не имеет решения
e) нет правильного ответа
76. Как связаны между
a) транспортной матрицей
собой задача о
b) целевой функцией
назначениях и
c) набором переменных
208
классическая
d) дополнительными ограничениями
транспортная задача
77. Какие задачи можно
a) Многошаговые
решать с помощью
b) Одношаговые
метода динамического
c) Линейные
программирования?
d) Нелинейные
e) нет правильного ответа
78. Какому условию должна
a) Условие аддитивности целевой функции
удовлетворять задача
b) Условие отсутствия последействия
динамического
c) Условие Куна–Таккера
программирования?
d) условия Седловой точки
e) условие равенства двойственных оценок
Тесты для итоговой аттестации:
1.
Что такое «исследование
a) Поиск наилучших планов
операций»?
b) Планирование производства
c) Применение математических методов для обоснования
решений
d) решение систем уравнений
e) нет правильного ответа
2.
3.
4.
Какие задачи относятся к a) линейное программирование
теория исследования
b) имитационное моделирование
операций
c) статистический анализ данных
Стационарная точка
a) седловой точкой
выпуклой функции
b) точкой локального максимума
является
c) точкой локального минимума
Как вектор градиента
a) параллельно
функции f(x) в точке x(k)
b) перпендикулярно
209
направлен относительно
c) перпендикулярно в обратную сторону
линии уровня
5.
Задача
a) безусловной оптимизации
f ( x )  x1  x2  max(min)
b) нелинейного программирования
4 x1  x2  6

9 x1  8 x2  157
 3 x  11x  16
1
2

c) линейного программирования
является задачей
6.
Впишите в утверждение
Зависимость
нужный термин
влияющих на его значение, представленная в виде
некоторой
критерия
оптимизации
математической
от
функции
параметров,
называется
___________
7.
Минимуму функции –
f(x) в точке x*
соответствует условие:
8.
a)
f ( x* )  f ( x* )
b)
f ( x* )   f ( x* )
c)
f ( x * )  0
Симплексом в
a) n+1 вершину;
пространстве n
b) n вершин;
переменных называется
c) n+2 вершины.
выпуклый многогранник,
имеющий
9.
H  1 0
0 1
1. Матрица
Установите соответствие между высказываниями, впишите
H  1 1
1 1
2. Матрица
А. Отрицательно определена
H    1 2
 2 1
3. Матрица
В. Не относится ни к одной из упомянутых категорий
букву рядом с цифрой
Б. Положительно определена
10. Если нечетные главные
a) функция выпуклая;
миноры гессианы
b) функция вогнутая
отрицательны, а четные
c) функция линейная
– положительные, то
d) функция квадратичная
210
функция
11. Для методов
e) нет правильного ответа
a) методы исключения переменных
нелинейного
b) прямые численные методы
программирования
c) метод множителей Лагранжа
характерны методы
d) методы оптимального управления
12. Что из ниже
a) Графические условия оптимальности
перечисленного не
b) Необходимые и достаточные условия оптимальности
относится к условиям
c) Геометрические условия оптимальности
оптимальности в
d) Условия Куна–Таккера
математическом
e) нет правильного ответа
программировании?
13. Что определяет теорема
Куна-Таккера
a) решение задачи
b) седловую точку функции Лагранжа
c) Экстремум функции Лагранжа
14. Возможно ли решение
a) да
задачи при
b) нет
несовместности решений
c) да, при задаче минимизации
15. Любая ли задача ЛП
имеет конечное решение
a) любая
b) если нет зацикливания
c) если нет вырожденности
d) если базис решения равен 0
e) нет правильного ответа
16. Как называется решение
линейной задачи?
a) Базисным решением
b) Полным базисным решением
c) Оптимальным решением
d) Точкой Куна-Таккера
e) нет правильного ответа
17. Каким свойством
a) Показывает направление убывания целевой функции
обладает линия уровня в
b) Целевая функция принимает постоянное значение для
графическом методе
любой точки линии уровня
решения задачи ЛП?
c) Показывает направление возрастания целевой функции
211
d) Целевая функция принимает нулевое значение
e) Целевая функция принимает только значение, большее
нуля
18. При выполнении каких
a) Требуется найти максимум целевой функции; б) система
трех условий задача ЛП
ограничений не содержит равенства; в) правые части
считается приведенной к
системы ограничений неотрицательны
каноническому виду?
b) Требуется найти минимум целевой функции; б) система
ограничений содержит только неравенства; в) правые части
системы ограничений неотрицательны
c) Требуется найти максимум целевой функции; б) система
ограничений содержит только равенства; в) правые части
системы ограничений неотрицательны
d) Требуется найти максимум целевой функции; б) система
ограничений содержит только равенства; в) левые части
системы ограничений раны нулю
e) Требуется найти максимум целевой функции; б) система
ограничений содержит только неравенства; в) правые части
системы ограничений равны нулю
19. Задача линейного
a) Приведением к каноническому виду можно добиться
программирования не
непустоты допустимого множества
имеет допустимых
b) Применяя метод искусственного базиса можно найти
решений. Выберите
оптимальный опорный план
ситуацию, возможную
c) В базисе опорного плана, отвечающего критерию
при данном условии
оптимальности, присутствуют искусственные переменные
20. Если одна из
a) Не имеет решение и другая
симметричных
b) имеет решение и другая
взаимодвойственных
c) решение другой –пустое множество
задач имеет решение, то
d) решение другой не зависит от решения исходной задачи
e) нет правильного ответа
21. Какие встречаются типы
игр?
a) кооперативные, некооперативные
b) биматричные
212
c) с нулевой и ненулевой суммой
d) матричные
e) все выше перечисленные
22. Транспортная задача
a) Существует оптимальное решение задачи
является замкнутой.
b) Оптимального решения задачи не существует
Выберите ситуацию,
c) Задача не имеет допустимого решения
возможную при данном
условии
23. Какое из утверждений
a) а<=b
верно? а (нижняя цена
b) a>=b
игры) и b (верхняя цена
c) это зависит от матрицы
игры)
d) вообще неверно
e) нет верного утверждения
24. Найдите неверное
утверждение
a)
решение
называется
допустимым,
если
оно
удовлетворяет набору определенных условий
b)
признак
предпочтения
называется
критерием
оптимальности
c) Нэш доказал, что любая бескоалиционная игра имеет
хотя бы два равновесия
d) целевая функция – это количественный показатель
предпочтительности
e) решение называется оптимальным, если оно допустимо
25. Что из ниже
a) Допускает применение компьютеров для решения задач
перечисленного
b) Позволяет упростить поиск оптимальных решений
относится к недостаткам
c) Отсутствие универсального алгоритма
метода динамического
d) трудоемкость решения
программирования?
e) нет правильного ответа
26. Что лежит в основе
a) Принцип максимума Понтрягина
концепции метода
b) Принцип оптимизации Беллмана
динамического
c) Метод Лагранжа
программирования?
d) Теорема Куна–Таккера
213
e) нет правильного ответа
27. В чем состоит принцип
a)
Решение
на
каждом
следующем
шаге
должно
оптимальности Беллмана
приниматься без учета результатов предыдущих шагов
для задач динамического
b)
программирования?
приниматься с учетом результата, полученного на всех
Решение
на
каждом
следующем
шаге
должно
предыдущих шагах
c)
Решение
на
каждом
следующем
шаге
должно
приниматься с учетом результата, полученного только на
предыдущем шаге
d) решение принимается в зависимости от вида целевой
функции
e) решение принимается, если равно нулю предыдущее
28. Впишите в утверждение
нужный термин
Если общая потребность в грузе в пунктах назначения
равна запасу груза в пунктах отправления, то модель такой
транспортной задачи называется_____________ типа
29. В каком случае
a) При наличии ограничений
транспортную задачу
b) Сбалансированную задачу
называют классической?
c) Несбалансированную задачу
30. Если выигрыш одного
a) игрой с нулевой суммой
игрока равен проигрышу
b) кооперативной игрой
другого, то эта игра
c) бескоалиционной игрой
называется
d) биматричной игрой
e) все выше перечисленное верно
Перечень типовых вопросов для итогового контроля:
1. Цель, задачи и методы исследования операций.
2. Исследование операций и ее место среди других наук.
3. Основные понятия и определения теории оптимизации.
4. Основные этапы решения задач оптимизации.
5. Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной
214
переменной.
6. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких
переменных.
7. Классификация численных методов многомерной оптимизации.
8. Симплекс-метод поиска экстремума функции нескольких переменных.
9. Постановка задачи и классификация методов статической условной
оптимизации.
10. Постановка и методы решения задач линейного программирования.
11. Каноническая форма задачи линейного программирования.
12.
Понятие
двойственной
задачи
линейного
программирования.
Постановка и экономическая интерпретация.
13. Целочисленная задача линейного программирования и методы ее
решения.
14. Транспортная задача линейного программирования. Постановка и
методы решения.
15. Теория игр. Основные понятия, классификация и описание игр.
16.
Постановка
и
методы
решения
задачи
динамического
программирования.
17.
Геометрическая
и
экономическая
интерпретации
задачи
динамического программирования.
18. Сетевые модели планирования и управления.
19. Решение сетевых задач по различным критериям
20. Модели управления запасами в детерминированной постановке.
21. Модели управления запасами в стохастической постановке.
22.
Постановка
и
методы
решения
задачи
нелинейного
программирования.
215
Примерный перечень вопросов к экзамену:
1.Основные
принципы
применения
методов
математического
моделирования в экономике.
2. Построение математических моделей и их особенности.
3. Постановка задачи организации оптимального плана производства.
4.Общая задача линейного программирования.
5. Стандартный вид задачи линейного программирования.
6. Понятие двойственности задач линейного программирования.
7. Правила построения двойственной задачи.
8. Экономический смысл двойственных задач.
9. Теоремы двойственности.
10. Задача о плане производства при условии ограниченных ресурсов
(графический метод).
11. Понятие целевой функции задачи линейного программирования, её
экономический смысл.
12. Решение задач линейного программирования симплекс-методом.
13. Анализ решения задач линейного программирования.
14. Транспортная задача: экономическая постановка, математическая
модель прямой и двойственной задачи.
15. Транспортная задача: построение начального допустимого плана,
сбалансированность транспортной задачи.
16. Решение транспортной задачи методом наименьшего элемента.
17. Решение транспортной задачи методом потенциалов.
18. Целевая функция.
19. Целочисленное программирование.
20. Решение задачи целочисленного программирования методом ветвей и
границ.
216
21. Задача о коммивояжере.
22. Математическая постановка задачи об оптимальном размещении
капитальных вложений.
23. Сетевое планирование.
24. Основные понятия теории игр. Классификация задач теории игр.
25. Решение задачи игры с нулевой суммой в чистых стратегиях.
27. Решение задачи игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях.
28. Решение задачи игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях
геометрическим способом.
29. Критерии Байеса и Лапласа для выбора оптимальной стратегии в
«играх с природой».
30. Критерии Вальда, Севиджа и Гурвица для выбора оптимальной
стратегии в «играх с природой».
31.Методы решения задач теории игр.
32. Платежная матрица и ее построение.
33. Динамическое программирование.
34. Общие уравнения алгоритма, реализующие принцип Беллмана в
задачах динамического программирования.
35. Задача распределения ресурсов.
36. Задача о замене оборудования.
37. Нелинейное программирование.
38. Методы решения задач нелинейного программирования.
Тематика и перечень докладов и рефератов
Рефераты:
1. Метод Розенброка для задачи безусловной оптимизации.
2. Безусловная оптимизация методом сопряженных направлений.
217
3. Метод случайных направлений поиска безусловного экстремума.
4. Метод наискорейшего спуска.
5. Метод безусловной оптимизации Ньютона-Рафсона.
6. Решение задачи линейного программирования двухфазным симплексметодом.
7. Целочисленная задача линейного программирования (метод Гомори –
отсекающих плоскостей).
8. Целочисленная задача линейного программирования (метод ветвей и
границ).
9. Транспортная задача (метод северо-западного угла).
10. Задача о назначениях (венгерский метод).
11. Решение задачи нелинейного программирования методом множителей
Лагранжа.
12. Метод проекции градиента для задачи условной оптимизации.
13. Метод возможных направлений Зойтендейка для решения задачи
нелинейного программирования.
14. Случайный поиск (метод Монте-Карло) при наличии ограничений.
15. Графический метод решения задачи условной оптимизации.
16.
Задача
об
инвестировании
предприятий
(динамическое
программирование).
17. Расчет детерминированного сетевого графика (метод критического пути).
18. Расчет вероятностного сетевого графика.
19. Игры двух лиц с нулевой суммой.
20. Игры двух лиц с ненулевой суммой (кооперативные игры).
21. Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределенности.
218
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Большекаменский институт экономики и технологий (филиал) ГОУ ВПО
«Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В. Куйбышева)»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
по дисциплине «Исследование операций»
080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
г. Большой Камень
219
Основная литература
1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособ./Н.Ш. Кремер, Б.А.
Путко, И.М. Тришин и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007.407с.
2. Плис А.И., Сливина Н.А. Mahcad. Математический практикум для
инженеров и экономистов: Учеб. пособие.– 2–е изд. перераб. и доп.– М.:
Финансы и статистика, 2006.– 656 с.
3. Хачатрян С.Р., Пинегина М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения
экономических задач: Учебное пособие.– М.: Издательство «Экзамен», 2005.–
384 с.
Дополнительная литература
1. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и
финансах.– СПб.: BHV – Санкт– Петербург, 2007.
2. Карманов В. Г. Математическое программирование. –М.: Наука, 2008.
3. Красс М.С., Чупынов Б.П. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие.– СПб.: Питер, 2007.– 496 с.
4. Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mahcad и
Excel.– СПб.: БХВ– Петербург, 2008.– 464 с.
Электронные образовательные ресурсы
1. Калашникова Т.В. Исследование операций в экономике: учебное
пособие / Т.В. Калашникова. - Томск: Изд-во Томского политехнического
университета,
2008.-92с.
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа
[http://window.edu.ru/resource/018/75018].
220
2. Решение задач исследования операций: учебное пособие / Г.Л.
Окунева, А.В. Борзенков, С.В. Рябцева; Белгородский гос. технол. ун-т им. В.Г.
Шухова. - Белгород, 2008.-91с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа
[http://window.edu.ru/resource/423/77423].
3. Чернышова Г.Д., Булгакова И.Н. Элементы теории двойственности:
Учебно-методическое пособие для вузов. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2008. - 34 с.
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа
[http://window.edu.ru/resource/594/65594].
221
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Большекаменский институт экономики и технологий (филиал) ГОУ ВПО
«Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В. Куйбышева)»
ГЛОССАРИЙ
по дисциплине «Исследование операций»
080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
г. Большой Камень
222
Антиградиент – (в линейном программировании) вектор, равный
градиенту с обратным знаком и показывающий направление убывания целевой
функции.
Градиент – (в линейном программировании) вектор, составленный из
коэффициентов целевой функции и показывающий направление ее возрастания.
Графический
метод
–
метод
решения
задачи
линейного
программирования, заданной на плоскости, т.е. содержащей только две
переменные.
Двухфазный симплекс-метод – одна из модификаций симплекс-метода,
применяющая искусственные переменные.
Доминирование – (в матричных играх) процесс исключения из
рассмотрения заведомо «слабых» стратегий.
Задача линейного программирования – экстремальная задача, в
которой целевая функция и ограничения задаются линейными соотношениями.
Задача принятия оптимального решения – проблема, в которой
требуется найти наилучший (в том или ином смысле) способ достижения
поставленной цели.
Значение (цена) игры – (в матричных играх) числовое значение
выигрыша первого игрока, соответствующее седловой точке.
Игра – (здесь) математическая модель проблемы конфликтного принятия
решения.
Искусственные
переменные
–
(в
линейном
программировании)
вспомогательные переменные, применяемые для построения начального
допустимого базисного решения в задаче линейного программирования.
Исследование операций (ИО) – раздел прикладной математики,
занимающийся математическими моделями задач принятия оптимальных
решений и их применениями.
223
Каноническая форма – (в линейном программировании) задача
линейного программирования, в которой все ограничения имеют вид строгих
равенств, а их правая часть (свободные члены) неотрицательна.
Конфликтная задача принятия решения – проблема, в которой
требуется найти наилучшие решения для сторон (лиц) с учетом пересечения их
интересов.
Линия уровня (целевой функции) – (в линейном программировании)
прямая линия, в каждой точке которой целевая функция принимает одно и то же
числовое значение.
Математическая модель – формальная схема реального объекта
(процесса, проблемы), составленная с помощью математических обозначений,
символов и соотношений.
Математическое
оптимизации,
программирование
занимающийся
исследованием
(МП)
–
раздел
оптимизационных
методов
задач
с
ограничениями в виде неравенств и уравнений.
Матричная игра – антагонистическая игра, в которой каждый игрок
(лицо, принимающее решение) имеет лишь конечное число стратегий
(решений).
Метод потенциалов – метод решения транспортной задачи.
Метод северо–западного угла – метод вычисления начального опорного
плана в транспортной задаче (имеются также «метод минимальной стоимости»,
«метод двойного предпочтения» и др.).
Методы оптимизации – раздел прикладной математики, занимающийся
исследованием экстремальных задач.
Неопределенность – ситуация, когда приходится принимать решение в
условиях отсутствия информации.
224
Ограничения – математические соотношения (элемент экстремальной
задачи), отражающие условия, накладываемые на аргументы целевой функции.
Опорный план – (в транспортной задаче) план перевозок, у которого
число ненулевых перевозок равно сумме числа производителей и потребителей
без единицы.
Потенциалы – вспомогательные переменные в транспортной задаче,
вводимые для проверки оптимальности плана перевозок.
Прикладная математика – раздел математической науки, занимающийся
вопросами применения математических подходов и методов в разных сферах
человеческой деятельности.
Седловая точка – (в матричных играх) пара, составленная из
оптимальных стратегий игроков.
Симплекс–метод – общий и универсальный метод решения задачи
линейного программирования.
Слабые переменные – (в линейном программировании) вспомогательные
переменные, применяемые для получения канонической формы задачи
линейного программирования.
Смешанная
стратегия
–
(в
матричных
играх)
вероятностное
распределение на множестве чистых стратегий, т.е. вектор, компонентами
которого являются вероятности выбора чистых стратегий.
Теория
игр
–
раздел
исследования
операций,
занимающийся
математическими моделями задач принятия оптимальных решений в условиях
конфликта и неопределенности.
Точка максимума (минимума) – (в математическом программировании)
конкретное числовое значение вектора, составленного из аргументов целевой
функции, которому соответствует наибольшее (наименьшее) значение целевой
функции.
225
Транспортная задача – математическая модель проблемы составления
наилучшего (в том или ином смысле) плана перевозок товара от производителей
к потребителям.
Формализация
–
составление
математической
модели
реальной
проблемы.
Целевая функция – математическая функция (элемент экстремальной
задачи), отражающая цель принятия решения.
Экстремальная (оптимизационная) задача – математическая задача, в
которой требуется найти максимальное или минимальное значение заданной
функции с учетом существующих на ее аргументы ограничений.
226