Кислов- Методичка по высшей математике - MSTUCA

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ»
Кафедра высшей математики
К.К. Кислов
ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕТАТИКЕ
для студентов  и II курса
всех специальностей
дневного обучения
Москва - 2008
2
ББК 517
К 93
Рецензент канд. физ.-мат. наук Ю.И. Дементьев
Кислов К.К.
К 93
Тестовые вопросы по высшей математике. - М.: МГТУ ГА, 2008. – 84с.
Данное пособие издается в соответствии с рабочей программой
учебной дисциплины «Высшая математика» по Учебному плану для
студентов  и II курса всех специальностей дневного обучения,
утвержденному в 2001 г.
Данное пособие содержит 354 тестовых теоретических вопроса по
всем разделам высшей математики.
С помощью тестов студенты могут определять уровень своих знаний
и степень подготовки к блокам или экзаменам.
Тестовые вопросы могут быть использованы преподавателями при
составлении билетов для блоков и экзаменов.
Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры 20.10.07г. и
методического совета 20.11.07г.
Редактор И.В. Вилкова
Подписано в печать 30.01.08 г.
Печать офсетная
Формат 60х84/16
4,88 усл.печ.л.
Заказ № 461/
Московский государственный технический университет ГА
125993 Москва, Кронштадтский бульвар, д. 20
Редакционно-издательский отдел
125493 Москва, ул. Пулковская, д.6а
3,65 уч.-изд. л.
Тираж 300 экз.
© Московский государственный
технический университет ГА, 2008
3
Содержание
Введение………………………………………………….……………….4
1.1. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии……………………………………….……………………4
1.2. Дифференциальное исчисление функции одной
переменной…………………………….............................................11
2.1. Неопределенный интеграл…………….………………………......21
2.2. Определенный интеграл…………………………………….……..24
2.3. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных……………………………………………….………...27
2.4. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы…………..30
3.1. Дифференциальные уравнения и их системы……………………36
3.2. Ряды……………………………………………………..………......43
4.1. Теория вероятностей………………………….…………………....49
4.2. Математическая статистика………………….………………........78
Приложение. Тестовый экзаменационный билет……………..………83
4
Введение
Предлагаемые тесты составлены в соответствии с рабочей
программой учебной дисциплины Е.Н.Ф.01.02. «Высшая математика»
и соответствуют Учебным планам всех специальностей для студентов
I и II курсов дневного обучения.
Общее число тестов по всем разделам математики равно 354.
Тесты позволяют определить уровень знаний студентов и степень их
подготовленности к экзаменам. Ответы на предлагаемые тесты в
методическом пособии не приводятся, так как предполагается, что
для лучшего усвоения учебного материала студент должен найти
ответы на них в лекциях и в математической литературе.
Нумерации тестовых вопросов состоят из трех цифр, первая из
которых – номер семестра, вторая – номер раздела рабочей
программы, третья – номер теста данного раздела.
Тестовые вопросы могут использовать и преподаватели для
составления экзаменационных билетов. Пример одного из таких
билетов приведен в приложении.
1.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
M
N
P
M
N
1.1.1. Матрица – это:
прямоугольная таблица чисел, заключенная в вертикальные
скобки – | a i j |, содержащая m строк и n столбцов;
прямоугольная таблица чисел, заключенная в скобки вида, || a i j || ,
либо [ai j ] , содержащая некоторое число m строки и n столбцов;
прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк и n столбцов,
заключенных в вертикальные скобки | a i j | и равная некоторому
числу после вычисления.
1.1.2. Определитель – это:
прямоугольная таблица чисел, заключенная в вертикальные
скобки – | a i j |, содержащая m строк и n столбцов;
прямоугольная таблица чисел, заключенная в скобки вида || a i j || ,
( a i j ) , либо [ai j ] , содержащая некоторое число m строк и n
столбцов;
5
P
прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк и n столбцов,
заключенных в вертикальные скобки | a i j | и равная некоторому
числу после вычисления.
1.1.3. Определитель
M
N
P
K
a11 a12
a 21 a22
вычисляется:
a11 a12  a21 a22 ;
a11 a21  a12 a22 ;
a11 a22  a21 a12 ;
a11 a22  a21 a12 .
1.1.4. Минором M i j любого элемента ai j матрицы n-го порядка
называется:
M матрица (n-1)-го порядка, получаемая из элементов исходной
матрицы путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении
которых находится элемент ai j ;
N определитель (n-1)-го порядка, получаемый из элементов
исходной матрицы путем вычеркивания строки и столбца, на
пересечении которых находится элемент ai j ;
K определитель исходной матрицы, умноженный на элемент ai j .
1.1.5. При замене всех строк определителя соответствующими
по номеру строками, определитель:
M меняет знак;
N принимает новое числовое значение;
K не изменяет своего числового значения.
1.1.6. Если элементы двух столбцов (строк) определителя
пропорциональны либо равны друг другу, то определитель равен:
M
удвоенному значению определителя, получаемому при
вычеркивании соответствующих столбцов (строк);
N нулю;
K
сумме произведений элементов этих столбцов (строк) на их
алгебраические дополнения.
M
N
K
1.1.7. Матрица называется квадратной, если:
все элементы строк (столбцов) не равны нулю;
число строк не равно числу столбцов;
число строк равно числу столбцов.
6
M
N
1.1.8. При умножении матрицы на число:
все элементы матрицы умножаются на это число;
элементы одного из любых столбцов (строк) умножаются на это
число.
1.1.9. При умножении двух матриц должно соблюдаться
условие:
M число строк первой матрицы равно числу столбцов второй
матрицы;
N
число столбцов первой матрицы равно числу столбцов второй
матрицы;
K
число столбцов первой матрицы равно числу строк второй
матрицы.
1.1.10. Матрица A 1 называется обратной по отношению к
квадратной матрице А, если она удовлетворяет условию:
M
A  A 1  1 ;
N
A  A1  E , где Е – единичная матрица;
P
A 1  A  A .
M
N
K
M
N
M
N
M
1.1.11. Решение матричного уравнения
X  A 1  B ;
X  B  A 1 ;
X  A 1  B 1 .
AX  B
имеет вид:
1.1.12. Рангом матрицы называется:
произведение числа строк m на число столбцов n;
число, равное наибольшему из порядков миноров данной
матрицы.
1.1.13. Вектором называется:
направленный
отрезок
любой
кривой,
у
которого
ограничивающие его точки берутся в определенном порядке:
первая точка – начало вектора, вторая – конец вектора;
направленный отрезок прямой, у которого ограничивающие его
точки берутся в определенном порядке: первая точка – начало
вектора , вторая – конец вектора.
1.1.14. Векторы называются коллинеарными, если они лежат:
только на одной прямой;
7
N
K
только на параллельных прямых;
либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
M
N
K
1.1.15. Векторы называются компланарными, если они лежат:
только в одной плоскости;
только в параллельных плоскостях;
либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
1.1.16. Суммой векторов a и b , ( a +
идущий:
M из конца вектора b в начало вектора a ;
N из начала вектора a в конец вектора b .
M
N
K
называется вектор,
1.1.17. Ортонормированным базисом называется:
совокупность трех взаимно перпендикулярных векторов
совокупность трех взаимно перпендикулярных векторов
с произвольной длиной;
совокупность трех взаимно перпендикулярных векторов
длиной, равной единице.
1.1.18. Если
М
N
K
b)
A( xa , y a , z a )
и
B ( xb , y b , z b ) ,
то
AB
i, j , k ;
i, j , k
i, j , k
имеет координаты:
x a  xb , y a  y b , z a  z b ;
x a  xb , y a  y b , z a  z b ;
xb  x a , y b  y a , z b  z a
М
N
K
1.1.19. Скалярным произведением векторов a и b называется:
число, обозначаемое ( a , b ) либо a b , равное a  b  sin( ab) ;
вектор ортогональный к векторам a и b , длиной a  b  cos(ab) ;.

число a  b  cos(a , b ) , обозначаемое ( a , b ) либо a b .
M
N
1.1.20. Если
нулю;
a b .
1.1.21. Если
M
N
a
ортогонален b , то
ab
равно:
a  a x i  a y j  a z k , b  bx i  b y j  bz k ,
a x bx i  a y b y j  a z bz k ;
a x bx  a y b y  a z bz .
то
ab
равно:
с
8
1.1.22. Расстояние между точками
определяется по формуле:
M 1 M 2  x 2  x1  y 2  y1  z 2  z1 ;
M
x2  x1 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
N
M1M 2 
K
| M 1 M 2 | x1 x2  y1 y2  z1 z 2
1.1.23. Угол  между векторами
определяется из формулы:
M cos   2 x1 x2 2  2y1 y 2 2 z1 z 2 2 2 ;
M 1 ( x1 , y1 , z z )
и
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
;
a  x1 i  y1 j  z1 k
и
b  x2 i  y 2 j  z 2 k
x1  y1  z1  x 2  y 2  z 2
N
cos   x1 x2  y1 y2  z1 z 2 ;
K
sin  
M
N
K
F
M
N
K
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
x  y12  z12  x 22  y 22  z 22
2
1
;
1.1.24. Векторное произведение двух векторов a и b есть:
вектор, обозначаемый [ a b ] , компланарный с векторами a и
длина его равна
| a | | b | sin a b ;
вектор, обозначаемый [ a b ] , ортогональный к векторам a и
длина его равна
| a | | b | cos  ;
вектор, обозначаемый [ a b ] , ортогональный к векторам a и
длина его равна
| a | | b | sin a b ;
скаляр, длина которого равна | a | | b | cos a b и обозначаемый
либо ( a , b ).
1.1.25. Для векторного произведения
[ a b ] = [ b a] , [ a a] = 0;
[ a b ] = - [ b a] , [ a a] = 0;
[ a b ] = - [ b a] , [ a a] = | a | 2 .
1.1.26. Если a  a x i  a y j  a z k ,
произведение [ a b ] равно:
M a x bx  a y b y  a z bz ;
a x bx i  a y b y j  a z bz k ;
N
[a b]
b
и
b,
b,
ab
справедливы свойства:
b  bx i  b y j  bz k ,
то
векторное
9
K
i j k
ax a y az
.
bx b y bz
1.1.27. Смешанное произведение векторов a , b , с есть:
M вектор, получаемый при умножении a на b векторно , и
получившийся результат умножают скалярно на с ;
N скаляр, получаемый при умножении a на b векторно , и
получившийся вектор умножают
векторно на с ;
K скаляр, получаемый при умножении a на b векторно, и
получившийся вектор умножают скалярно на с .
M
N
K
1.1.28. Общее уравнение прямой L на плоскости имеет вид
Ax  By  C  0 , где n  Ai  B j ортогонален прямой L;
Ax  By  C  0 , где n  Ai  B j направляющий вектор прямой L;



y  Ax  B , где n  Ai  Bj направляющий вектор прямой L.
1.1. 29. Уравнения прямых
x  x1 y  y1
;

l
m
 x  x1  l  t

 y  y1  m  t
;
(1)
(2)
y  kx  b
(3)
называются соответственно:
M (1) – параметрическим , (2) - каноническим, (3) - с угловым
коэффициентом;
N
(1) - каноническим, (2) – параметрическим, (3) – с угловым
коэффициентом;
K
(1) – с угловым коэффициентом, (2) – каноническим, (3) –
параметрическим.
x  x0 y  y 0 z  z 0


l
m
n
 x  x0  l  t

;
 y  y0  m  t
z  z  n  t
0

1.1.30. Уравнения
и вектор
S  l i  m j  nk
называются соответственно:
;
(1)
(2)
(3)
10
M
N
K
(1) – параметрическое уравнение прямой в пространстве,
(2) – каноническое уравнение прямой в пространстве,
(3)- направляющий вектор прямой;
(1) – каноническое уравнение прямой в пространстве,
(2) – параметрическое уравнение прямой в пространстве,
(3) – нормальный вектор прямой – вектор ортогональный к
прямой;
(1) – каноническое уравнение прямой в пространстве,
(2) – параметрическое уравнение прямой в пространстве,
(3) – направляющий вектор прямой – вектор коллинеарный
прямой.
1.1.31.
Угол
между
прямыми
x  x1
l1
= y  y1 = z  z1
m1
n1
и
x  x2 y  y 2 z  z 2
определяется из выражения:


l2
m2
n2
;
M cos   2 l12l 2  m21m2 2 n1n2 2
2
l1  m1  n1  l 2  m2  n2
N
K
cos   l1l2  m1m2  n1n2 ;
l1l 2  m1 m2  n1 n2
sin  
2
2
2
2
2
2
l1  m1  n1  l 2  m2  n2
.
1.1.32. Уравнение Ax  By  Cz  D  0
(1)




и вектор n  Ai  Bj  Ck
(2)
называются соответственно:
M (1) –уравнение прямой в пространстве, (2) – направляющий
вектор прямой;
N
(1) – уравнение плоскости в пространстве, (2) – направляющий
вектор плоскости;
K
(1) – уравнение плоскости в пространстве, (2) – нормальный
вектор плоскости.
1.1.33.Угол
между
плоскостями
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
определяется из выражения:
A2 x  B2 y  c2 z  D2  0
;
M sin   2 A12A2  B2 1 B2  2C1C2 2
2
A1  B1  C1  A2  B2  C 2
N
cos   A1 A2  B1 B2  C1C2 ;
и
11
K
cos  
A1 A2  B1 B2  C1C 2
A1  B1  C1  A2  B2  C 2
2
2
2
2
2
2
.
1.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
M
N
K
M
N
K
1.2.1. Символ x / P( x) означает:
множество элементов x, из которого исключено множество
множество элементов x, к которому присоедено множество
множество элементов x, обладающих свойством
(характеристическим свойствам).
;
P (x ) ;
P (x )
P (x )
1.2.2. Символ А  В означает:
множество А является подмножеством множества В;
множество В содержится (включено) в множество А;
элемент А принадлежит множеству В.
1.2.3. Объединение и пересечение двух множеств А и В
соответственно изображается геометрически:
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
M
F
рис.2 и рис.3;
рис.1 и рис.2 ;
M
N
K
1.2.4. Символы а)  б)  с)  означают соответственно:
а - эквивалентны, б - следует, с - принадлежит;
а - следует, б - принадлежит, с - эквивалентны;
а - следует, б - эквивалентны, с - принадлежит.
M
N
K
1.2.5. Символы а)  , б)  , с)  означают:
а - всякий, любой, б - существует по крайней мере, с - не  ;
а - существует по крайней мере, б - всякий, любой, с - не  ;
а - всякий, любой, б - эквивалентны, с - не  .
N
D
рис.1 и рис. 3;
рис.2 и рис. 1;
Рис. 4
K
P
рис.2 и рис. 3;
рис.3 и рис. 2.
12
1.2.6. Множество вещественных чисел x, удовлетворяющих
неравенствам а) a  x  b , б) a  x  b
с) a  x  b ,
обозначается
соответственно:
M а) ( a ; b ); б) [a; b) ; с) [a; b] ;
N а) [a; b] ; б) (a; b] ; с) (a; b) ;
K а) [a; b] б) (a; b) ; с) (a; b] .
M
N
K
1.2.7. Числовой последовательностью называется множество:
занумерованных действительных чисел, расположенных в
порядке возрастания их по абсолютной величине;
занумерованных вещественных чисел, подчиняющихся заданной
функциональной зависимости xn  f (x) ;
занумерованных вещественных чисел, полученных по
некоторому закону, зависящему
от n  N .
1.2.8. Последовательность x n  называется ограниченной, если
существуют такие числа m и М , что для  n  N выполняется:
M m  x   M ;
N
m  xn   M ;
K
m  xn  M .
1.2.9. Число а называется пределом последовательности { x n },
если для всякого:
M числа n 0 найдется   0 такое, что выполняется неравенство
xn  a   ;
N
числа n 0 найдется   0 такое, что выполняется неравенство
xn  a   ;
K
найдется число n0  n0 ( ) такое, что выполняется
 0
неравенство xn  a   ;
P
найдется число n0  n0 ( ) такое, что выполняется
 0
неравенство xn  a   ;
1.2.10. Переменная x n называется бесконечно малой величиной
(БМВ), если:
M для любой   0 , найдется n0 ( ) , что для всех n  n0 выполняется
  xn  0 ;
13
N
K
для любой   0 , найдется
xn   ;
для любой   0 , найдется
xn   .
1.2.11. Если
M
N
K
 n  xn  a
 n  xn  a
 n  xn  a
lim x n  a ,
n 
n0 ( ) ,
что для всех
n  n0
выполняется
n0 ( ) ,
что для всех
n  n0
выполняется
то величина:
- величина, равная нулю;
- бесконечно большая величина;
- бесконечно малая величина.
1.2.12. Переменная x n называется бесконечно большой
величиной, если для любого числа А>0 найдется n0 ( A) такое, что для
всех n  n0 выполняется:
M
xn  A   ;
N
xn  A ;
K
| xn | A ;
F
xn  A   .
1.2.13. Если
lim x n  a , lim y n  b ,
n 
n 
M
lim ( x n y n )  ay n  bx n ;
N
lim ( x n y n )  a  b;
K
lim ( x n y n )  a lim y n  b lim x n .
то:
n 
n 
n 
n 
n 
1.2.14. Отношение
xn
yn
представляет неопределенность вида
0
0
,
если при n   :
M значения xn и y n принимают величины, равные нулю;
lim x n   n , lim y n   n , где  nn  n - бесконечно малые величины;
N
n 
K
lim xn  0, lim y n  0 .
1.2.15. Отношение
xn
yn

,

представляет неопределенность вида
если при n   :
M для любого наперед заданного числа
yn  A ;
A0
выполняется
xn  A
и
14
N
lim x n   ; lim y n   ;
K
lim x n  An ; lim y n  Bn ,
n 
n 
n 
n
где
An
и
Bn
– бесконечно большие величины.
1.2.16. Число b по Гейне называется пределом (предельным
значением) функции y  f (x) в точке x  a (при x  a ), если для любой
последовательности значений аргумента x1 , x2 , ..., xn ,... ,
M сходящейся
к
и
при
соответствующая
xn  a ,
a
последовательность f ( x1 ), f ( x2 ), ..., f ( xn ), ... сходится к числу f (a) ;
N сходящейся
к
и
при
соответствующая
xn  a ,
a
последовательность f ( x1 ), f ( x2 ), ..., f ( xn ), ... сходится к числу b ;
xn  a ,
K сходящейся
к
и
при
соответствующая
b
последовательность f ( x1 ), f ( x2 ), ..., f ( xn ), ... сходится к числу a .
1.2.17. Число b называется пределом функции y  f (x) в точке
x  a (или при x  a ) по Коши, если для любого положительного   0
найдется отвечающее ему    ( )  0 такое, что для всех x,
удовлетворяющих:
M 0  x  a   , справедливо неравенство f ( x)  b   ;
N
0  x  a   , справедливо неравенство f ( x)  b   ;
K
0  x  a   , справедливо неравенство f ( x)  b   .
1.2.18.
Символ
lim f ( x)  b
x a  0
или
f (a  0)  b
правосторонним пределом функции f(x) в точке
f ( x)  b ;
M lim
x a
xa
называется
и означает, что :
 xa

N
K
lim f ( x)  b
 x a
 xa

;
lim f ( x)  b .
 x a
 xa

1.2.19.
Символ
lim f ( x)  b
x a 0
или
левосторонним пределом функции f(x) в точке
f ( x)  b ;
M lim
x a
 xa

N
K
lim f ( x)  b ;
 x a
 xa

lim f ( x)  b .
 x a
 xa

f (a  0)  b
xa
называется
и означает, что:
15
1.2.20. Функция y   (x) называется бесконечно малой в точке
x  a , если предел lim  ( x ) равен:
xa
M
N
P
 (a ) ;
нулю;
близко к нулю.
1.2.21. Функция y   (x) называется бесконечно малой функцией
в точке a ( x  a) , если для любого   0 найдется  ( )  0 , для которых
справедливы неравенства:
M |  ( x) |  ( ) , если 0  | x  a |   ;
|  ( x) |   ( ) , если 0  | x  a |   ;
N
|  ( x) |  , если 0  | x  a |   ;
K
|  ( x) |  , если 0  | x  a |   .
P
1.2.22. Доказать теорему: если функция y  f (x) имеет предел,
равный b при x  a , то функция  ( x)  f ( x)  b является бесконечно
малой в точке a .
1.2.23.  (x) является в точке x  a бесконечно малой функцией
более высокого порядка малости чем  (x) , если:
M
N
K
 ( x)
 0;
 ( x)
 ( x)
lim
 0;
xa  ( x)
 ( x)
lim
 1.
x a  ( x)
lim
xa
1.2.24. Функция
 (x ) , если введение:
M
f ( x)
 C;
 ( x)
N
f ( x)
C;
 ( x)
K
lim
x a
f ( x)
 0.
 ( x)
f (x )
на множестве {x} имеет порядок функции
16
1.2.25. Пределы
1
 1
a ) lim (1  x) x , b ) lim 1  
x 
x 0
x

x
,
sin x
x 0
x
c ) lim
называют
соответственно:
M a - второй замечательный предел; b - второй замечательный
предел; c - первый замечательный предел;
N
a - первый замечательный предел; b - первый замечательный
предел; c - второй замечательный предел;
K
a - второй замечательный предел; b - первый замечательный
предел; c - первый замечательный предел.
1.2.26. Функция
если:
f ( x)  b , где
M lim
xa
N
lim f ( x)  b ,
K
lim f ( x)  b ,
xa
где
xa
точке
где
называется непрерывной в точке
y  f (x)
| f ( x)  b | 
x  a,
;
b  f (a) ;
b
определяется из определения предела
f (x )
в
x  a.
1.2.27. Функция f (x) называется непрерывной в точке
для любого   0 найдется  ( )  0 такое, что для
M | x  a |  справедливо неравенство | f ( x)  f (a) |  ( ) ;
| x  a |  ( ) справедливо неравенство | f ( x)  f (a ) |  ;
N
| x  a |  ( ) справедливо неравенство | f ( x)  f (a ) |  .
K
x  a,
если
1.2.28. Функция f (x) называется непрерывной в точке x  a , если
приращение функции y  f ( x)  f (a) при x  x  a  0 стремится:
M к постоянной величине, не равной нулю;
N к нулю.
1.2.29. Если предел функции y  f (x) в точке x  a существует, но
f ( x) , то точка x  a
в этой точке f (x) либо не определена, либо f (a)  lim
x a
называется:
M точкой разрыва первого рода;
N точкой разрыва второго рода;
K устранимой точкой разрыва.
1.2.30. Если в точке
M
N
x  a lim f ( x)  lim f ( x) ,
x a  0
устранимой точкой разрыва;
точкой разрыва второго рода;
x a 0
то эта точка называется:
17
K
точкой разрыва первого рода.
1.2.31. Если в точке x  a функция y  f (x) не имеет, по крайней
мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из
односторонних пределов бесконечен, то точка x  a называется:
M устранимой точкой разрыва;
N точкой разрыва первого рода;
K точкой разрыва второго рода.
M
1.2.32. Если функция y  f (x) непрерывна на [ a ; b] , то эта функция:
ограничена и достигает наименьшего и наибольшего значения;
N имеет точку разрыва первого рода и достигает
наименьшего и наибольшего значения;
1.2.33. Приращением функции y  f (x)
приращении аргумента x называется число:
M y  f (x)  f ( x0 ) ;
y  f ( x0 )  f ( x0  x) ;
N
y  f ( x0  x)  f ( x0 ) .
K
1.2.34. Производной функции
M
x
;
x 0 y
N
lim
K
y  f (x)
в точке
в
x0
точке
x0
при
называется:
lim
x  x 0
y
;
x
y
.
x  0  x
lim
1.2.35. Функция y  f (x) , определенная в точке x 0 и в ее
окрестности, называется дифференцируемой при x  x0 , если:
M y  A( x0 )  x   (x)  x , где  (x) - бесконечно малая функция;
y  A( x0 )  x   (x)  y ;
N
y  A( x0 )  f ( x0 )   (x)  x .
K
1.2.36. Если приращение функции y  f (x) в точке x 0 равно
y  A( x0 )  x   (x)  x , то дифференциалом функции называется:
A( x0 )x и обозначается y ( x0 ) ;
М
 ( x)x и обозначается d f ( x0 ) ;
N
A( x0 )x и обозначается d f ( x0 ) .
K
18
1.2.37. Если приращение функции
y  A( x0 )  x   (x)  x , то:
M
A( x0 )  dy ;
N
A( x0 )  y  ;
K
A( x0 )x  y  .
y  f (x)
в точке
x0
равно
1.2.38. Если в точке x 0 к графику функции y  f (x) проведена
касательная, то производная и дифференциал функции геометрически
истолковывается соответственно как:
M приращение ординаты касательной на [ x0 ; x0  x] и тангенс угла
наклона касательной к оси Ox в точке x 0 ;
N тангенс угла наклона касательной к оси Ox и приращение
функции на [ x0 ; x0  x] ;
K тангенс угла наклона касательной к оси Ox в точке x 0 и
приращение ординаты касательной на [ x0 ; x0  x] .
U 
 
V 

1.2.39. Если функции
U (x)
и
V (x )
дифференцируемы, то
(U V )
и
вычисляются соответственно по формулам:
M
U  V  V  U
и
N
U  V  V  U
и
K
U  V  V  U
и
U  V  V  U
V2
V  U  U  V
V2
U  V  V  U
V2
;
;
.
1.2.40. Доказать теорему: пусть функция y  f (x) непрерывна и
строго монотонна в некоторой окрестности точки x 0 и при x  x0
существует производная f ( x0 )  0 , тогда обратная функция x  f 1 ( y)
имеет производную вычисляемую по формуле
df 1 ( y 0 )
1

.
dy
f ( x0 )
1.2.41. Если функция y  f (x) задана параметрически, т.е.
y   (t ) , где t – параметр, то y (x) вычисляется по формуле:
M
N
d (t )
;
dt
d (t )
;
d (t )
x   (t )
и
19
d (t )
.
d (t )
K
1.2.42. Доказать теорему Ролля: Если функция f (x) определена и
непрерывна на [ a ; b] , дифференцируема на ( a ; b) , f (a)  f (b) , то между
точками a и b найдется, по крайней мере, хотя бы одна точка С, что
f (C )  0 .
1.2.43. Доказать теорему Лагранжа. Пусть f (x) определена и
непрерывна на [a; b] , существует производная f (x) , по крайней мере,
на (a; b) , тогда между a и b найдется такая точка C , что
f (c) 
f (b)  f (a )
.
ba
1.2.44. Правило Лопиталя: если f (x) и g (x) непрерывны и
дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки x  C ,
g ( x)  0 и lim f ( x)  0 , lim g ( x)  0 , то:
x C
x C
M
lim
x C
f ( x)
f ( x) lim
 x С
;
g ( x) lim g ( x)
x С
N
K
(a; b)
M
N
K
T
 f ( x) 
f ( x)

lim
 lim 
x C g ( x )
x C g ( x ) 


f ( x)
f ( x)
.
lim
 lim
x C g ( x )
x C g ( x )

;
1.2.45. Достаточным условием возрастания функции
является:
f ( x)  0 в любой точке x  ( a; b) ;
f ( x)  0 в любой точке x  ( a; b) ;
f ( x)  0 в любой точке x  ( a; b) ;
f ( x)  0 в любой точке x  ( a; b) .
y  f (x)
на
1.2.46. Критическими (1) и стационарными (2) точками функции
y  f (x) называются точки, в которых:
M (1) y   0 и (2) y   0 либо y  не существует;
N (1) y   0 либо (2) y  не существует и y   0 ;
K (1) y  0 либо (2) y не существует и y   0 .
20
1.2.47. Если функция y  f (x) непрерывна в окрестности
критической точки x  C и дифференцируема в ее проколотой
окрестности, тогда максимум и минимум функции соответственно
будут:
M если f ( x)  0 при x  C и f ( x)  0 при x  C ;
N если f ( x)  0 при x  C и f ( x)  0 при x  C ;
K если f ( x)  0 при x  C и f ( x)  0 при x  C ;
T
если f ( x)  0 при x  C и f ( x)  0 при x  C .
1.2.48. Если x  C - критическая точка функции
f (C )  0 , то в точке x  C будет минимум, если:
f (C )  0 ;
M
f (C )  0 ;
N
f (C )  0 ;
K
f (C )  0 при x  C и f (C )  0 при x  C .
T
1.2.49. Если функция
x  ( a; b) f (C )  0 , то функция
M убывает;
N возрастает;
K выпукла;
T
вогнута.
M
N
K
определена на
на (a; b) :
y  f (x)
y  f (x)
y  f (x) ,
(a; b)
в которой
и для всех
1.2.50. Достаточным условием точки перегиба С является:
f (C )  0 и f (x) слева и справа от точки C имеет разные знаки;
f (C )  0 и f (x) слева и справа от точки C имеет разные знаки;
f (C )  0 и f (x) слева и справа от точки C имеет одинаковые
знаки.
1.2.51. Прямая y  kx  b является наклонной асимптотой для
функции y  f (x) , если:
M
N
K
T
f ( x)
x
f ( x)
lim
xa
x
f ( x)
lim
x 
x
f ( x)
lim
x 
x
lim
xa
k
и
lim ( f ( x)  kx)  b ;
b
и
lim ( f ( x)  kx)  k ;
k
и
lim ( f ( x)  kx)  b ;
b
и
lim ( f ( x)  kx)  k .
xa
xa
x 
x 
21
2.1. Неопределенный интеграл
2.1.1. Функция F (x) , называется первообразной для функции
f (x ) , если выполняется:
f ( x)  F ( x) ;
N
F ( x)  f ( x)  C ;
P
f ( x)  F ( x)  C ;
R
F ( x)  f ( x) .
S
2.1.2. Неопределенным интегралом от функции
f ( x)  C ;
F (x ) ;
f (x )
называется:
L
N
F ( x)  C
P
и обозначается символом
R
 F ( x)dx ;
M  f ( x)dx ;
S
 ( f ( x)  C )dx .
2.1.3. Укажите, какой ответ правильно отражает свойства
неопределенного интеграла:

d  f ( x)da  f ( x)  C ;
M  f ( x)dx   f ( x) ;
 df ( x)  f ( x)dx ;
N
P
 f ( x)dx   f ( x) ;
 f ( x)dx   f ( x) ;
d  f ( x)dx  f ( x)dx ;
 df ( x)  F ( x)  C ;
d  f ( x)dx  f ( x)dx ;
 df ( x) 
f ( x)  C .
2.1.4. Укажите, какой ответ правильно отражает свойства
неопределенного интеграла:
M
S
N
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;
 af ( x)dx  a  f ( x)dx  f ( x  b)dx   f ( x)dx   f (b)dx ;
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ; a  f ( x)dx   af ( x)dx ;
 f ( x  b)dx  F ( x  b)  C ;
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;  af ( x)dx  F ( x  a)  C ;
 f ( x  b)dx  F ( x  b)  C .
22
2.1.5. Первообразными для функций
будут соответственно:
1. a x  C ;
2. arcsin x  C ;
5.
tg x  C ;
P
R
S
F
N
6.
ln x  C ;
1 xa
ln 
C ;
2a  x  a 
1
x
arctg .
a
a
3.
a
7.
1
; 21 2
2
cos x
a x
4.
1
;
a x
2
2
;
1
x
ctg x  C ;
1; 3; 2; 6;
5; 3; 2; 6;
5; 2; 3; 6;
5; 7; 2; 6;
5; 2; 7; 6.
2.1.6. Замена переменной в неопределенном интеграле  f ( x)dx
при x   (t ) осуществляется по формуле:
K
 f ( (t ))dt ;
M  f ( (t ))  t dt ;
R
 f ( (t ))  f (t )dt ;
N
 f ( (t ))   (t )dt .
2.1.7. Метод интегрирования по частям состоит в том, что  U dV
будет равен:
UV   VdU ;
R
UV   VdU ;
K
M U V  V U ;
UV   VdU .
N
2.1.8. Назовите первообразные для функций
b, n, B
Интеграл
R(sin x,  cos x)   R(sin x, cos x)
N
и
B
( x  b) n
, где
- постоянные.
2.1.9.
P
R
S
B
xb
t  sin x ;
t  cos x ;
t  tg x ;
x
t  tg .
2
вида
в
 R(sin x, cos x)dx
вычисляется путем подстановки:
случае
23
Интеграл
вида
в
 R(sin x, cos x)dx
R( sin x, cos x)   R(sin x, cos x) вычисляется путем подстановки:
N
t  sin x ;
P
t  cos x ;
M t  tg x ;
2.1.10.
случае
2
K
t  tg x .
Интеграл
вида
в
 R(sin x, cos x)dx
R( sin x,  cos x)  R(sin x, cos x) вычисляется путем подстановки:
S
t  sin x ;
K
t  cos x ;
x
t  tg ;
N
2.1.11.
P
случае
2
t  tg x .
2.1.12. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx вычисляется с помощь
«универсальной» подстановки:
P
t  sin x ;
t  cos x ;
S
x
t  tg ;
N
K
2
t  tg x .
2.1.13. Задано комплексное число z  x  iy . Выберите правильные
ответы для Re z , Im z , z , если:
1. Re z  y ;
2. Re z  iy ;
3. Re z  x ; 4. Im z  x ;
5. Im z  iy ;
6. Im z  y ;
7. z  x 2  y 2 ;
8. z  x  y ;
9. z  x 2  y 2 .
P
1; 4; 9;
R
3; 5; 8;
N 2; 4; 9;
M 3; 6; 9;
S
3; 5; 7.
2.1.14. Умножение комплексных чисел
формуле:
P
z1 z 2  cos1   2   i sin 1   2  ;
N
z1 z 2  cos 1 2  i sin 1 2  ;
z1
и
z2
осуществляется по
24
K
z1 z 2  sin 1   2   i cos1   2  .
2.1.15. Деление комплексных чисел
формуле:
N
S
R
K
z1
и
z2
осуществляется по
z1 

 
 cos 1  i sin 1  ;
z2 
2
2 
z1
z2
z1
z2
cos1   2   i sin 1   2  ;
sin 1   2   i cos1   2  ;
z1  1
 
 sin
 i cos 1  .
z2  2
2 
Возведение в степень n
z  z cos   i sin   осуществляется по формуле:
n
z cos n   i sin n   ;
S
n
z cos  n  i sin  n  ;
R
2.1.16.
K
  2k
  2k 
n
z  cos
 i sin
;
n
n 

F
z
n
n
M
n
P
n
числа
cosn     i sin n    .
2.1.17. Извлечение корня
формуле:
  2k
  2k 

n z cos
 i sin
K

;
N
комплексного
n -й
степени осуществляется по
n
n 

  2k 
   2k
z  sin
 i cos
;
n
n 




z  cos  i sin  ;
n
n


z cos n   i sin n 
.
2.2. Определенный интеграл
2.2.1. Интегральной суммой функции
называется:
n
P
 f (U i ) ;
i 1
M
n
  f (U ) ;
i 1
i
f (x )
на сегменте
[ a; b ]
25
K
n
 f (U )y ;
i 1
N
i
i
n
 f (U )x .
i 1
i
i
Дайте определение определенного интеграла.
2.2.2. Если отрезок
[ a; b ]
разбит точкой
С
на
[ a; с ]
и
[ с; b ] ,
b
то  f ( x)dx
a
будет равен:
c
P
N

c
f ( x)dx   f ( x)dx ;
a
b
c
b
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx ;
c
K
M

b
f ( x)dx 
 f ( x)dx ;
a
c
c
b
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx .
b
2.2.3. Определенный интеграл  f ( x)dx будет равен:
a
a
M
 f ( x)dx ;
b
b
N
  f ( x)dx ;
a
b
P

 f ( x)dx ;
a
b
L

 f ( x)dx ;
a
a
K
  f ( x)dx .
b
b
2.2.4. В теореме о среднем чему равен  f ( x)dx .
a
2.2.5. Интегралом с переменным верхним пределом называется:
x
P
F ( x)   f (t )dt ;
c
t
N
F ( x)   f ( x)dx ;
c
26
x
K
F ( x)   F (t )dt ;
c
t
M
F ( x)   F ( x)dx .
c
2.2.6. Формула Ньютона-Лейбница, если
для f (x) , имеет вид:
F (x )
- первообразная
b
K
 f ( x)dx  F (a)  F (b) ;
a
b
F
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ;
a
b
P
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ;
a
b
S
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
2.2.7. Формула интегрирования по частям для определенного
интеграла имеет вид:
b
K
b
 UdV  UV a   VdU ;
b
a
b
R
a
U
 UdV  V
a
b
a
b
  VdU ;
a
b
S
b
b
a
b
P
dU
V
a
 UdV  UV a  
 UdV  UV
a
;
b
b
a
  VdU
.
a
2.2.8. Если x  g (t ) и если
переменной имеет вид:
b
R
S

b
f ( x)dx   f ( g (t )) g (t )dt ;
a
a
b

 f ( x)dx   f ( g (t )) g (t )dt ;
a
b
M
K


f ( x)dx   f ( g (t )) dt ;
a

b
b
a
a
 f ( x)dx   f ( g (t )) dt ;
g ( )  a, g (  )  b ,
то формула замены
27
b
P


f ( x)dx   f (t ) g (t )dt .

a
2.2.9. Несобственный интеграл I-го рода обозначается:
b
R
 f ( x)dx ;
a

N
 f ( x)dx ;
a
0
S
 f ( x)dx ;
a
b
P
 df ( x) .
a
2.2.10. Несобственный интеграл I-ого рода называется:
b
S
lim
x 
 f ( x)dx ;
a
R
F
lim
R 
 f ( x)dx ;
a
x
R
lim
t 
 f (t )dt ;
a
1
R
P
lim
R 
 f ( x)dx .
a
2.3 Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных
2.3.1. Координатной плоскостью (пространством) называется :
M множество точек на осях координат;
N множество точек М (x,y) (M(x,y,z));
P
плоскость (пространство), для которых определено расстояние
между двумя точками M’ и М’’ по формулам:
 ( Ì , M )  ( x   x ) 2  ( y   y ) 2 ,
(  ( M , M )  ( x  x) 2  ( y   y ) 2  ( z   z ) 2 ).
2.3.2. Если каждой точке М плоскости (пространства) ставится в
соответствие по известному закону некоторое число U, то это
означает:
М область задания (определения) функции U=f(M);
28
N
P
множество значений функции U=f(M);
задание функции U=f(M).
2.3.3. Число b называется предельным значением функции
U=f(M) в точке А по Коши, если для любого положительного  >0
найдется соответствующее  >0 такое, что для всех точек М,
удовлетворяющих условию:
М  ( À, Ì )  ( xa  xm ) 2  ( ya  ym ) 2  ( z a  z m ) 2   , справедливо 0< f (M )  b <  ;
N  ( À, Ì )  ( xa  xm ) 2  ( ya  ym ) 2  ( z a  z m ) 2   , справедливо 0< f (M  b) >  ;
P  ( À, Ì )  ( xa  xm ) 2  ( ya  ym ) 2  ( z a  z m ) 2   , справедливо 0< f (M )  b >  .
2.3.4. Функция U=f(M) называется непрерывной в точке А, если
 >0
для
любого
можно
указать
такое
при
 >0
 ( A, M )  ( x A  x M ) 2  ( y A  y M ) 2  ( z M  z A ) 2 , что для всех точек М,
удовлетворяющих условию:
М  ( À, Ì )   , справедливо f (M )  b <  ;
 ( À, Ì )   , справедливо f (M )  b >  ;
N
 ( À, Ì )   , справедливо f (M )  b <  .
P
2.3.5. Полное приращение  и частное приращение
двух переменных U=f(x,y) в точке М(x,y) имеют вид:
M   f ( x  x; y)  f ( x; y); x  f ( x  x; y)  f ( x, y);
  f ( x  x; y  y )  f ( x; y ); x  f ( x; y  y )  f ( x, y );
N
  f ( x  x; y  y )  f ( x; y ); x  f ( x  x; y )  f ( x, y ) .
P
2.3.6. Частные производные
по определению:
M U = lim f ( x  x; y  y)  f ( x, y) ;
x
N
P
U
=
x
U
=
x
x  0
lim
x  0
lim
x  0
x
x
;
f ( x  x; y)  f ( x, y)
f ( x  x; y )  f ( x, y )
;
x
U
x
и
U
y
U
y
= lim
y 0
x
функции
функции U=f(x,y) равны,
f ( x; y  y )  f ( x  x, y )
;
y
U
y
= lim
;
y
y 0 f ( x; y  y )  f ( x, y )
U
= lim f ( x, y  y)  f ( x, y) .
y
y
y 0
2.3.7. Функция U=f(x,y) называется дифференцируемой в данной
точке М(x,y), если ее полное приращение в этой точке представлено в
виде :
M U ( x  x; y  y)  U ( x, y)  A( x, y)x  B( x, y)y  O( ), где   (x) 2  (y ) 2 ;
29
N
P
U ( x  x; y  y)  U ( x, y)  U y  U x  O( ) ;
x
y
U ( x  x; y  y)  U ( x, y)  U y  U x  O( ) .
x x y y
2.3.8. Если функция U=f(x,y) имеет непрерывные частные
производные по всем аргументам в окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) , то
U  dU ( x0 , y0 )  O( ) , где :
M
N
P
U ( x0 , y 0 ) U ( x0 , y 0 )

;
x
y
U ( x0 , y 0 )
U ( x0 , y 0 )
dU ( x0 , y 0 ) 
dx 
dy;
x
y
U dx U dy
.
dU ( x0 , y 0 ) 

x dy y dx
dU ( x0 , y 0 ) 
2.3.9. Если функция U=U(x,y) дифференцируема в точке
M 0 ( x0 , y0 ) , а функции x=  (t ) и y   (t ) дифференцируемы в точке t 0 ,
тогда функция U(x,y) дифференцируема в точке t 0 и частная
производная вычисляется по формуле:
M U  U dx  U dy ;
N
P
t
x dt y
U U dx U


t
t dt
t
U U dy U


t
x dt y
dt
dy
;
dt
dx
.
dt
2.3.10. Если функция U=f(x,y,z) задана в некоторой окрестности
точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и через эту точку проведено произвольное
направление l , то производная
U ( M 0 )
l
по направлению l , вычисляется
по формуле:
M U  l cos   l cos   l cos  ,
l
x
y


где S0  cos  i  cos 
N
P
z


j  cos  k
- направляющий вектор l;
U
= cos dx  cos dy  cos dz ;
l
U U
U
U

cos  
cos  
cos  .
l
x
y
z
30
2.3.11.
Градиентом функции U=f(x,y,z) в точке
называется:
M gradU  U dx  U dy  U dz;
N
P
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
x
y
z


U
U
U 
gradU 
i
j
k;
x
y
z
U
U
U
gradU 
cos  
cos  
cos  .
x
y
z
2.3.12. Градиент функции U=f(x,y,z)
в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 )
характеризует:
М направление и величину максимального роста этой функции в
точке М0;
N направление и величину минимального роста этой функции в
точке М0;
Р направление и величину постоянного значения f(x,y,z)=c.
2.4 Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
2.4.1. Если в области (Р) определена функция f(x,y) и область (Р)
разбить сетью кривых произвольно на n областей (Р1), (Р2) … (Рn),
площадь которых Р1, Р2, …, Рn, в каждой из областей (Рi) выбрать по
произволу
точку M i (U i ,Vi ) ,
в
которой
значение
функции
равно f (M i )  f (U i ,Vi ) , то интегральной суммой и двойным интегралом
 f ( x, y)dxdy называются соответствующие выражения:
n
M
 f (U ,V )P ,
i
i 1
N
i
lim f (U i Pi )  Pi ;
i
Pi 0
n
 f (U ,V )P ;
n
lim
Pi  0
 f (U ,V )P ,
i
i 1
i
i
n
P
 f (U ,V )P ,
i 1
i
i
i
 f (U ,V )P ,
i 1
i
i
i
i
i
n
lim
Pi  0
n
K
i
i 1
lim
Pi 0
 f (U ,V )P ;
i
i 1
i
i
 f (U ,V )P .
i
i
i
P
2.4.2. Двойной интеграл  f ( x, y)dxdy , где
P
a  x  b

c  y  d
, вычисляется:
(P )
- прямоугольник
31
M

b
d
a
c
f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y )dx ;
P
b
N
 f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dx dy ;
P
K
d
a
c
b
d
a
c
 f ( x, y)dxdy   dx f ( x, y)dy .
P
2.4.3. Двойной интеграл  f ( x, y)dxdy , где
(P )
– произвольная
P
область ограниченная сверху графиком
y  1 ( ) , с боков x=a и x=b, вычисляется:
M

b
d
a
c
2 ( x )
b
 f ( x, y)dxdy   dx  f ( x, y)dy ;
P
K
, снизу – графиком
f ( x, y )dxdy   dx  f ( x, y)dy ;
P
N
y   2 ( )
a
1 ( x)
b
2 ( x )
a
1 ( x)
 f ( x, y)dxdy   dy   f ( x, y)dx .
P
2.4.4. Если замена переменных производится по формулам
x  x(U , V ) и y  y (U , V ) , то якобиан I (ответы T,R,S) и двойной интеграл
 f ( x, y)dxdy (ответы M, N, K) вычисляются:
P
T
R
S
M
x
I  U
y
V
x
I  U
x
V
x
I  U
y
U
;
;
P
 f ( x, y)dxdy   f ( x(U ,V ), y(U ,V )) I dxdy ;
P
K
;
 f ( x, y)dxdy   f ( x(U ,V ), y(U ,V ))dUdV ;
P
N
y
U
x
V
y
U
y
V
y
V
x
V
P
 f ( x, y)dxdy   f ( x(U ,V ), y(U ,V )) I dUdV .
P
P
Ответы:
А(Т;N) , B(R;K) , C(S;M) , D(R;M) .
32
2.4.5. Двойной интеграл
координат
M
вычисляется по формуле:
 f ( x, y)dxdy   f (  cos ,  sin ) dd ;
P
 f ( x, y)dxdy   f ( cos ,  sin )dd ;
P
P
K
P
 x   cos 

 y   sin 
P
N
 f ( x, y)dxdy в полярной системе
 f ( x, y)dxdy   f (  cos ,  sin ) 
2
dd .
P
P
2.4.6. Если в пространственной области (V) задана функция
f(x,y,z) и область (V) разбить с помощью сети поверхностей на
конечное число областей ( V1 ), ( V2 ), …, ( V n ), имеющих соответственно
объемы V1 , V2 ,… Vn , и в каждой из областей (Vi) выбирается
произвольно точка M i (U i ,Vi ,Wi ) , в которой вычисляются значения
f ( M i )  f (U i ,Vi ,Wi ) , то тройным интегралом  f ( x, y, z )dV называется:
V
M
N
K
lim
max Vi 0
 f (U ,V ,W )dV ;
i
i
i
i
V
n
lim
max Vi 0
 f (U ,V ,W )V ;
n
lim
max Vi 0
i
i 1
n
i
i
i
n
 f (U ,V ,W )V .
i
i 1 j 1 k 1
j
k
i
2.4.7. Для области (V), представленной на рисунке, тройной
интеграл вычисляется по формуле:
M
b
d
2 ( x, y )
a
c
1 ( x, y )
 f ( x, y, z)dV   dx  dy   f ( x, y, z)dz ;
V
b
N
 f ( x, y, z)dV   dx f ( x, y, z)dydz ;
V
a
D
2 ( x, y )
K
 f ( x, y, z)dV   dxdy  f ( x, y, z)dz .
V
D
1 ( x, y )
33
2.4.8. Если области (V) и (  ) преобразуются однозначно друг в
друга с помощью формул
 x  x(U ,V ,W );

 y  y (U ,V ,W ); и
 z  z (U ,V ,W );

якобиан
x
U
y
I (U , V , W ) 
U
z
U
x
V
y
V
z
V
x
W
y
W
z
W
, то формула замены
переменных в тройных интегралах имеет вид:
M  f ( x, y, z )dxdydz   f ( x(U ,V ,W ), y(U ,V ,W ), z(U ,V ,W ))dUdVDdW ;

V
N
 f ( x, y, z)dxdydz   f ( x(U ,V ,W ), y(U ,V ,W ), z(U ,V ,W )) I dxdyDdz ;

V
K
 f ( x, y, z)dxdydz   f ( x(U ,V ,W ), y(U ,V ,W ), z(U ,V ,W )) I dUdVDdW .

V
2.4.9. Если функция f(x,y) определена на плоской кривой
( L)  AB , где А – начало кривой, В – конец кривой, то разбив кривую
(L) на n элементарных участков Ai1 Ai и выбрав на них произвольно по
точке M i (U i ,Vi ) ,в каждой из которой вычисляется f (M i )  f (U i ,Vi ) ,
можно вычислить интегральную сумму  :
n
M    f (U i ,Vi )li , li - длина кривой Ai 1 , Ai ;

i 1
N
n
   f (U i ,Vi )U i  Vi ;
i 1
34
K
n
   f (U i ,Vi )( U i  Vi ) .
i 1
2.4.10. Криволинейным интегралом первого рода
 f ( x, y)dl
L
называется:
n
M Lim
 f (U i ,Vi )U i  Vi , где
 0
i 1
  max li ;
n
N
K
Lim  f (U i ,Vi )li ;
 0
i 1
n
Lim  f (U i , Vi )( U i  Vi ) .
 0
i 1
2.4.11. Если кривая (L) задана параметрически, т.е. x   (t ) ,
y   (t ) , t  [a, b] , то криволинейный интеграл первого рода  f ( x, y)dl
L
вычисляется по формуле:
b
M
 f ( x, y)dl   f ( (t ), (t ))dt ;
L
a
b
N
 f ( x, y)dl   f ( (t ), (t ))
L
a
b
K
1  ( ) 2 dt ;
 f ( x, y)dl   f ( (t ), (t ))
L
( ) 2  ( ) 2 dt.
a
2.4.12. Если непрерывная функция f ( x, y ) задана на кривой (L),
уравнение которой x   (t ) , y   (t ) , a  t  b , то криволинейный интеграл
второго рода  f ( x, y)dx вычисляется по формуле:
L
b
M
 f ( x, y)dx   f ( (t ), (t ))dt ;
L
N

a
b
f ( x, y)dx   f ( (t ), (t )) ( ) 2  ( ) 2 dt ;
L
a
b
K
 f ( x, y)dl   f ( (t ), (t )) (t )dt .
L
a
2.4.13. Если функции P( x, y ) и Q ( x, y ) непрерывны в области (D),
ограниченной контуром (L), то справедлива формула Грина:
M
 Q
P 
  x  y dxdy   Pdx  Qdy ;
D
L
35
N
 P
Q 
  x  y dxdy   Pdx  Qdy ;
D
K
L
 Q
P 
  y  x dxdy   Pdx  Qdy .
D
L
2.4.14. Если в пространственной поверхности (S), ограниченной
контуром (L), определена непрерывная функция f ( x, y, z ) , то разбив
поверхность (S) с помощью сети кривых на n частей (S1 ), (S 2 ),..., (S n ) ,
выбрав в каждой ( S i ) произвольную точку M i и вычислив
f ( M i )  f ( xi , yi , z i ) , составим интегральную сумму  поверхностного
интеграла первого рода:
n
M lim  f ( xi , yi , z i )S i , где S i - площадь ( S i ) ;
i 1
N
n
lim
 f ( x , y , z )x y ;
i 1
K
i
i
i
i
i
n
lim
 f ( x , y , z )x y z .
i
i 1
i
i
i
i
i
2.4.15. Поверхностный интеграл первого рода  f ( x, y, z)dS это:
S
M
lim
 f ( x , y , z )S , где
N
lim
 f ( x , y , z )x y ;
K
lim
 f ( x , y , z )x y z .
 0
 0
 0
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
  max S i
i
i
i
2.4.16. Если поверхность (S ) задана явным уравнением z  z ( x, y ) ,
(D ) - проекция на плоскость xOy ,  - угол между нормалью к
поверхности и осью Oz , то интеграл первого рода вычисляется через
двойной интеграл по формуле:
M  f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z ( x, y)) cos  dxdy ;
S
N
dxdy
 f ( x, y, z)dS   f ( x, y, z( x, y)) cos  ;
S
K
D
 f ( x, y, z)dS   f ( x, y, z( x, y)) sin  dxdy ;
S
P
D
D
dxdy
 f ( x, y, z)dS   f ( x, y, z( x, y)) sin  .
S
D
36
3.1. Дифференциальные уравнения и их системы
3.1.1.
Дифференциальное
уравнение
F ( x, y, y , y ,..., y ( n ) )  0
называется:
А уравнением с частными производными;
В
обыкновенным дифференциальным уравнением I-го порядка;
С
обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка;
Д
уравнением с частными производными n-го порядка.
А
В
С
3.1.2. Порядком дифференциального уравнения называется:
наивысшая степень одной из производных уравнения;
наивысший порядок производных уравнения;
сумма всех порядков производных, входящих в уравнение.
3.1.3. Какое геометрическое
следующему рисунку:
А
В
С
Д
толкование
можно
интегральные кривые дифференциального уравнения;
поле направлений дифференциального уравнения;
частное решение дифференциального уравнения;
частный интеграл дифференциального уравнения.
дать
37
3.1.4. Какое геометрическое толкование можно
следующему рисунку:
А интегральные кривые дифференциального уравнения;
В
поле направлений дифференциального уравнения;
С
частное решение дифференциального уравнения;
Д
частные интеграл дифференциального уравнения.
дать
3.1.5. Каждому из вопросов 5.1, 5.2 подберите соответствующий
ответ. Ответ запишите, например, в виде: 5.1-А, 5.2-В.
5.1. Общим решением дифференциального уравнения F ( x, y, y )  0
называется?
5.2. Общим интегралом дифференциального уравнения
F ( x, y, y )  0 называется?
y   (x)
 ( x, y , c )  0
А
В
y   ( x, c )
y   f ( x, y )
С
Д
3.1.6. Какое из дифференциальных уравнений
уравнением с разделяющимися переменными:
6.1. y  f1 ( x)  f 2 ( y) ;
6.2. f1 ( x)  f 2 ( y)dx  f 3 ( x)  f 4 ( x)dy  0 .
Ответы: А уравнение 6.1 является, 6.2 не является;
В уравнение 6.1 не является, 6.2 является;
С 6.1 и 6.2 не являются;
Д 6.1 и 6.2 являются.
является
38
3.1.7. Функция f ( x, y ) называется однородной функцией n-го
измерения, если справедливо тождество:
А f (tx, ty)  t n f ( x, y) ;
В f (tx, y)  t n f ( x, y) ;
С f ( x, ty)  t n f ( x, y) ;
Д f (tx, ty)  f (t n , x, y) .
3.1.8. Дифференциальное уравнение y   f ( x, y) называется
однородным относительно x и y , если функция f ( x, y ) является:
А линейной функцией;
В однородной функцией любого измерения;
С однородной функцией I-го измерения;
Д функцией нулевого измерения.
3.1.9. Однородное дифференциальное уравнение I-го порядка
решается путем подстановки:
А y  U V ;
В y U  x;
С
Д
U
V
x
y
U
y
;
.
3.1.10. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется
линейным, если оно имеет вид:
dy
 f ( x, y ) , где f ( x, y ) - функция нулевого измерения;
А
В
dx
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 ,
где
M ( x, y )
и
N ( x, y )
- функция одного
измерения;
С
А
В
С
dy
 P( x)  y  Q( x) .
dx
3.1.11. Уравнение Бернулли имеет вид:
dy
 P( x)  y  Q( x)  y n ;
dx
dy
 P( x)  Q( x)  y n ;
dx
dy
 P( x)  x  Q( x) .
dx
3.1.12. Линейное уравнение первого порядка решается путем
подстановки:
U
y  x U ;
y ;
А
В
V
39
С
А
С
y
x
U
Д
;
y  U V .
3.1.13. Уравнение Бернулли решается путем подстановки:
y  x U ;
В yU ;
Д
y  U V ;
V
x
y
U
.
3.1.14. Чтобы дифференциальное уравнение M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
представляло собой уравнение в полных дифференциалах, нужно,
чтобы было выполнено условие:
M N
M N
А
;
В
;


С
x
y
M N

x
x
y
Д
;
x
2M 2 N

x 2
y 2
.
3.1.15. Дифференциальные уравнения 15.1 F ( x | , y | , y || )  0 и 15.2
F ( y, y | , y || )  0 допускают понижение порядка путем подстановки:
А
y  x U ;
Д
y   P(x) ; y   P
dP
.
dx
В
y  U V ;
Е
y   P ; y   P  .
С
y   P( y ), y   P 
dP
;
dy
Oтвет запишите в виде, например, 15.1-А, 15.2-В.
Дифференциальное
 a1 y
 a2 y
 ...  a n y  f ( x) называется:
линейным неоднородным;
однородным n-го порядка;
нелинейным неоднородным n-го порядка;
линейным однородным n-го порядка.
3.1.16.
y
(n)
А
В
С
Д
( n 1)
уравнение
( n2)
3.1.17. Дифференциальное уравнение y ( n)  a1 y ( n1)  ...  a n1 y   an y  0
называется:
А
линейным неоднородным;
В
неоднородным n-го порядка;
С
нелинейным неоднородным n-го порядка;
Д
линейным однородным n-го порядка.
3.1.18. Если дифференциальное уравнение
два частных решения y1 и y 2 , то:
y  a1 y  a2 y  0
имеет
40
А
В
С
Д
будет, C1 y1  C2 y2 не будет решением;
y1  y2 и C1 y1  C2 y2 будут решениями;
C1 y1  C2 y2 будет, а y1  y2 не будет решениями;
y1  y2 и C1 y1  C2 y2 могут быть, а могут и не быть решениями.
y1  y2
3.1.19. Если y1 и y 2 - два линейно независимых решения
дифференциального уравнения
y  a1 y  a2 y  0 , то общее решение
этого уравнения будет:
А
В
C1 y1  C2 y2 ;
y1  y2 ;
С1 y1
С
;
Д
C1e y x  C2 e y x .
C y
1
2
2
2
3.1.20. Если Вронскиан системы функций y1 , y 2 ,..., y n : а) равен
нулю; б) не равен нулю, то функции будут соответственно:
А линейно независимы и линейно зависимы;
В линейно зависимы и линейно независимы;
С тождественно равными нулю и линейно независимы.
3.1.21. Если дифференциальное уравнение y  a1 y  a2 y  f ( x)
имеет какое-либо частное решение yч.н. , а соответствующее
однородное уравнение имеет общее решение y о.о , то общее решение
неоднородного уравнения будет:
А C1 yч.н.  С2 yо.о. ;
В y ч . н .  C 2 y о .о . ;
С yч.н.  yо.о.
;
Д y ч . н .  y о .о . .
3.1.22. Однородное линейное уравнение с постоянными
коэффициентами y  a1 y  a2 y  0 имеет характеристическое уравнение
вида:
А
В k   a1k   a2 k  0 ;
k 2  a1k  a2 y  0 ;
С y 2  a1k  a2  0 ;
Д k 2  a1k  a2  0 .
3.1.23. Решение линейного однородного уравнения с
постоянными коэффициентами y ( n)  a1 y ( n1)  ...  a n y  0 ищется в виде:
y  e kx ;
А y  ex ;
В
С y  k  ex ;
Д y  C1 cos kx  C2 sin kx .
3.1.24. Характеристическое уравнение дифференциального
уравнения y  a1 y  a2 y  0 имеет два различных действительных корня
k1 и k 2 . Тогда общее решение этого уравнения будет:
41
А
С
В
Д
C1e k1x  C 2 e k2 x ;
e k1 x  e k 2 x ;
C1 cos k1 x  C2 sin k 2 x ;
C1e k1x  C 2 e k2 x .
3.1.25. Характеристическое уравнение дифференциального
уравнения y  a1 y  a2 y  0 имеет комплексные корни k1    i и
k 2    i . Тогда общее решение дифференциального уравнения будет:
А
В
e x (C1 cos x  C 2 sin x) ;
C1 cos x  C2 sin x ;
С
Д
ex (C1 cos x  C2 sin x) ;
C1ex  C 2 e x .
3.1.26. Характеристическое уравнение дифференциального
уравнения y  a1 y  a2 y  0 имеет два одинаковых k1  k 2 . Тогда общее
решение дифференциального уравнения будет:
А C1e k x  C2 e k x ;
В C1 cos k1 x  C2 sin k1 x ;
kx
С
Д C1e k x  C2  x  e k x .
e (C1 cos k 2 x  C2 sin k 2 x) ;
1
2
1
1
1
3.1.27. Характеристическое уравнение неоднородного линейного
уравнения y   a1 y   a 2 y  Pm ( x)  e ax имеет корни k1 и k 2 не равные a .
Укажите, какое это решение (ответы А, В) и вид его (ответы С, Д, Е,
F). Ответы запишите в виде: 27-А-Е.
А общее;
В частное;
ax
Q m ( x )e ;
С
Д Qm ( x)(C1e k x  C 2 e k x ) ;
Qm ( x)  x r  e ax , r  0 ;
Е
F Qm ( x)e ax (C1e k x  C 2 e k x ) .
1
2
1
2
3.1.28. Характеристическое уравнение неоднородного линейного
уравнения y   a1 y   a 2 y  Pm ( x)  e ax имеет корни k1 и k 2 . Число a равно
хотя бы одному корню характеристического уравнения. Укажите,
какое это решение (ответы А, В) и вид его (ответы С, Д, Е, F). Ответы
запишите в виде: 28-В-С.
А частное;
В общее;
ax
С Q m ( x )e ;
Д Qm ( x)(C1e k x  C 2 e k x ) ;
Е Qm ( x)  x r  e ax ;
F Qm ( x)e ax (C1e k x  C 2 e k x ) .
1
2
1
2
3.1.29. Характеристическое уравнение неоднородного линейного
уравнения y  a1 y  a2 y  e ax (Pm(1) ( x) cos bx  Pm(2) ( x) sin bx ) имеет корни k1 и k 2 .
Если число a  ib равно одному из корней k1 или k 2 , то частное
решение имеет вид:
А xeax Qm ( x)(C1 cos bx  C 2 sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
В xeax (Qm(1) ( x) cos bx  Qm( 2) ( x) sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
1
2
42
С
Д
e ax (Qm(1) ( x) cos bx  Qm( 2) ( x) sin bx) ,
где m  max{ m1 , m2 } ;
e ax Qm ( x)(C1 cos bx  C 2 sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } .
3.1.30. Характеристическое уравнение неоднородного линейного
уравнения y  a1 y  a2 y  e ax (Pm(1) ( x) cos bx  Pm(2) ( x) sin bx имеет корни k1 и k 2 .
Если число a  ib не равно ни одному из корней k1 или k 2 , то частное
решение имеет вид:
А xeax Qm ( x)(C1 cos bx  C 2 sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
В e ax Qm ( x)(C1 cos bx  C 2 sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
С xeax (Qm(1) ( x) cos bx  Qm( 2) ( x) sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
Д e ax (Qm(1) ( x) cos bx  Qm( 2) ( x) sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } .
1
3.1.31. Система
А
В
С
Д
2
 dy1
 dx  f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n );

.......
 dy
 n  f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n ),
 dx
называется^
канонической I-го порядка;
нормальной I-го порядка;
нормальной n -го порядка;
канонической n -го порядка.
3.1.32. Каноническая система дифференциальных уравнений
порядка n может быть сведена:
А к нормальной системе I-го порядка;
В к нормальной системе n -го порядка;
С к нормальной системе любого порядка.
А
В
С
3.1.33. Нормальная система n уравнений может быть сведена:
к дифференциальному уравнению любого порядка;
к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами;
к дифференциальному уравнению n -го порядка.
3.1.34. Какая из систем линейных уравнений в матричном виде
будет: 34.1 - однородной; 34.2 -неоднородной?

 
 
dy
dy
 A  y  f (x) ;
 Ax  f (x) ;
А
В
С
dx


dy
 Ax ;
dx
Д
dx


dy
 Ay .
dx
Ответ запишите, например, в виде: 34.1-С, 34.2-Д.
43
3.1.35.
Решение
однородной
линейной
дифференциальных уравнений ищется в виде:
e  x
e  x
системы
1
 1 e x
А.
В.
;
.
.
e
3.2.1. Если

U ,
k 1
M
N
P
S
k
1
2
.
 n e x
U 1 ,U 2 ,....,U n ,....
 1e  x
 2e x
2
С.
;
.
.
.
 n e n x
n1 x
3.2. Ряды
n
- числовая последовательность, то  U k ,
k 1
n
lim
n
 U называется соответственно:
k
k 1
рядом, суммой ряда, частичной суммой;
суммой ряда, частичной суммой, рядом;
частичной суммой ряда, суммой ряда, рядом;
частичной суммой ряда, рядом, суммой ряда.

3.2.2. Необходимым признаком сходимости ряда  U k является:
k 1
M
n
lim
n 
U
k 1
k
 0;
N
lim U n  0 ;
P
lim U n  C  const ;
S
lim
n 
n 
n 
1
0.
Un


k 1
k 1
3.2.3. Если для рядов с положительными членами  Pk и  Pk 
выполняется
M
Pk  Pk

, то :


из сходимости ряда  Pk следует сходимость  Pk  ;
k 1
N
k 1


из расходимости ряда  Pk следует сходимость ряда  Pk  ;
k 1
P
k 1


k 1
k 1
из сходимости ряда  Pk  следует сходимость  Pk .
44

3.2.4. Признак Даламбера сходимости числового ряда  Pk с
k 1
положительными членами
Pk
заключается в том, что:
Pk 1
 q, q 1
k  P
k
- ряд расходится,
q 1
- ряд сходится;
Pk  q , q  1
- ряд расходится,
q 1
- ряд сходится;
Pk 1
 q, q 1
k  P
k
- ряд расходится,
q 1
- ряд сходится;
M
lim
N
lim
P
lim
S
lim
k
k 
k
k 
,
Pk
q 1
- ряд расходится,
q 1
- ряд сходится.

3.2.5. Признак Коши сходимости числового ряда  Pk
с
k 1
положительными членами
Pk
заключается в том, что если:
Pk 1
 q, q 1
k  P
k
- ряд сходится,
q 1
- ряд расходится;
Pk  q , q  1
- ряд сходится,
q 1
- ряд расходится;
Pk 1
 q, q 1
k  P
k
- ряд сходится,
q 1
- ряд расходится;
Pk  q , q  1
- ряд сходится,
q 1
- ряд расходится.
M
lim
N
lim
P
lim
S
lim
k
k 
k
k 
P
3.2.6. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда
с невозрастающими членами заключается в том, что
M
если  P ( x)dx сходится, то ряд сходится;

k m
k



N
если  P( x)dx расходится, то ряд сходится;
m

P
если  P( x)dx сходится, то ряд сходится;
m

S
если  Pk 1 ( x) dx сходится, то ряд сходится.
P( x)
m
3.2.7. Ряд U k называется абсолютно сходящимся, если ряд:
M

U сходится;
k 1
N


k 1
k
U k 1
Uk
сходится;
45


P
k
k 1
сходится;
Uk

 U сходится.
S
k 1
k
3.2.8. Знакочередующийся ряд P1  P2  P3  P4  ...  (1) n1 Pn  ... ( Pi
сходится (признак Лейбница), если
lim Pn  0 ;
M P1  P2  P3  ...  Pn  ... и
n 
N
P1  P2  P3  ...  Pn  ...
и
lim Pn  0 ;
P
P1  P2  P3  ...  Pn  ...
и
lim
S
P1  P2  P3  ...  Pn  ...
и
lim
3.2.9. Если

n
k 1
n 
Pn1
0;
n P
n
k 1
n
lim
n 
U
k 1
k
n
n 
U 1 ( x), U 2 ( x),..., U n ( x),...
то  U k ( x) ,  U k ( x) ,
( x)
Pn  0 .
функциональная последовательность,
называются соответственно:
M
N
P
S
рядом, суммой ряда, частичной суммой;
суммой ряда, частичной суммой, рядом;
частичной суммой, суммой ряда, рядом;
рядом, частичной суммой, суммой ряда.
M
3.2.10. Степенным рядом называется ряд вида:
a
a a
a0  1  22  ...  nn  ... ;
N
P
a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... ;
S
 0)
x x
x
x
x
a 0  a1  2  a 2  3  a3  4 x  ...  a n (n  1) x  ... ;
a0 
an
a1
a2

 ... 
 ... .
2
x  x0 ( x  x0 )
( x  x0 ) n
a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ...
3.2.11. Степенной ряд
абсолютно, если R - радиус сходимости и выполняется:
n a
M
где R  lim
x  R,
n ;
n 
N
x  R,
где
R  lim
P
x  R,
где
R  lim
S
x  R,
где
R  lim
n 
a n 1
an
1
n  n
n 
an
an
a n 1
;
;
.
сходится
46
3.2.12. Степенной ряд a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ... в области
сходимости можно:
M только почленно дифференцировать;
N только почленно интегрировать;
P
не допускается почленное дифференцирование и интегрирование;
S
можно почленно дифференцировать и интегрировать.
3.2.13. Для того чтобы функция f (x) могла быть разложена в
степенной ряд на интервале ( R; R) необходимо, чтобы эта функция
имела непрерывные производные любого порядка в окрестности
точки x  a , и этот ряд, называемый рядом Тейлора, имеет вид:
M
f (a)
f (a) 2
f ( n ) (a) n
f ( x)  f (a) 
x
x  ... 
x  ... ;
1!
2!
n!
N
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
2
f ( x)  f ( a ) 
( x  a) 
( x  a)  ... 
( x  a) n  ... ;
1!
2!
n!
P
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
x  ... ;
1!
2!
n!
S
f (0)
f (0)
f ( n ) (0)
2
f ( x)  f (0) 
( x  a) 
( x  a)  ... 
( x  a) n  ... .
1!
2!
n!
3.2.14. Функция
2
4
1
x
x
x


 ...
2! 4! 6!
;
N
x3 x5 x7
x


 ...
3! 5! 7 !
;
P
x x2 x3
1 

 ...
1! 2! 3!
S
x2 x3 x4
x


 ...
2
3
4
;
.
3.2.15. Функция
4
разлагается в ряд Тейлора вида:
6
M
2
ex
6
M
1
x
x
x


 ...
2! 4! 6!
;
N
x3 x5 x7
x


 ...
3! 5! 7 !
;
P
x x2 x3
1 

 ...
1! 2! 3!
S
x2 x3 x4
x


 ...
2
3
4
;
.
sin x
разлагается в ряд Тейлора вида:
47
3.2.16. Функция
2
4
M
1
x
x
x


 ...
2! 4! 6!
;
N
x3 x5 x7
x


 ...
3! 5! 7 !
;
P
x x2 x3
1 

 ...
1! 2! 3!
S
x2 x3 x4
x


 ...
2
3
4
M
N
P
S
cos x
;
.
3.2.17. Ряд Фурье – это ряд вида:

a0
  a k (cos x) k  bk (sin x) k ;
2 k 1

a0
a
b
 k  k ;
2 k 1 cos kx sin kx
a0 
  a k cos kx  bk sin kx ;
2 k 1
a0 
  a k cos x k  bk sin x k .
2 k 1
3.2.18. Коэффициент
M
N
P
S
1

1

1

1

N
P
S
1

1

1

1

a0
ряда Фурье определяется по формуле:
an
ряда Фурье определяется по формуле:

 f ( x)dx ;


 f ( x)dx ;


 f ( x) cos x dx ;


 f ( x) sin x dx .

3.2.19. Коэффициент
M
разлагается в ряд Тейлора вида:
6

 f ( x)dx ;


 f ( x)dx ;


 f ( x) cos nx dx ;


 f ( x) sin nx dx .

48
3.2.20. Коэффициент
M
N
P
S
1

1

1

1

ряда Фурье определяется по формуле:
bn

 f ( x)dx ;


 f ( x)dx ;


 f ( x) cos nx dx ;


 f ( x) sin nx dx .

3.2.21. Если f (x) нечетная функция разлагается в ряд Фурье, то
коэффициенты a n и bn вычисляются по формулам:
M
N
P
S
an 
2

an  0
an 
2

an  0

 f ( x) cos nx dx и
bn  0 ;
0
и
bn 
2


 f ( x) sin nx dx ;
0

 f ( x) cos nx dx и
bn 
0
и
bn 
2

2


 f ( x) sin nx dx ;
0
f ( x)
dx .
  sin nx
0
3.2.22. Если f (x) четная функция разлагается в ряд Фурье, то
коэффициенты a n и bn вычисляются по формулам:
M
N
P
S
an 
2

an  0
an 
2

an  0

 f ( x) cos nx dx и
bn  0 ;
0
и
bn 
2


 f ( x) sin nx dx ;
0


f ( x) cos nx dx
и
bn 
0
и
bn 
2

2


 f ( x) sin nx dx ;
0
f ( x)
dx .
  sin nx
0
3.2.23. Функция
M
N
f (x ) с периодом 2l
a0
kl
kl
  a k cos x  bk sin x ;
2 k 1



a0
k
k
  a k cos
x  bk sin
x;
2 k 1
l
l

разлагается в ряд Фурье вида:
49
P
S
a0 
  a k cos( k lx )  bk sin( k lx ) ;
2 k 1
a0 
l
l
  a k cos x  bk sin
x.
2 k 1
k
k
3.2.24. Коэффициенты a n и bn ряда Фурье функции с периодом
определяются соответственно по формулам:
1
kx
f ( x) sin
dx

l l
l
l
M
an 
N
1
an   f ( x) sin klx dx
l l
P
an 
S
1
a n   f ( x) cos klx dx
l l
l
1
kx
f ( x) cos
dx

l l
l
l
l
1
kx
f ( x) cos
dx ;

l l
l
l
и
bn 
и
1
bn   f ( x) cos klx dx ;
l l
и
и
2l
l
1
kx
f ( x) sin
dx ;

l l
l
l
bn 
l
1
bn   f ( x) sin klx dx .
l l
4.1. Теория вероятностей
А
В
С
Д
А
В
С
А
В
С
Д
4.1.1. Случайное событие, это такое событие:
причины которого неизвестны;
если условия в которых оно происходит, различны;
закономерности которого не поддаются наблюдению;
которое при совокупности одних и тех же условий может
произойти, а может не произойти.
4.1.2. Случайные события обозначаются:
числами от 0 до I;
большими буквами;
малыми буквами.
4.1.3. Событие называется достоверным:
если вероятность его близка к единице;
если при заданном комплексе факторов оно может произойти;
если при заданном комплексе факторов оно обязательно
произойдет;
если вероятность события не зависит от причин, условий,
испытаний.
50
4.1.4. Событие, которое при заданном комплексе факторов не
может осуществиться называется:
А несовместным;
В
независимым;
С
невозможным;
Д
противоположным.
А
В
С
Д
4.1.5. События называются несовместными, если:
в данном опыте они могут появиться все вместе;
сумма вероятностей их равна единице;
хотя бы одно из них не может появиться одновременно с
другим;
в одном и том же опыте появление одного из них исключает
появление других событий.
4.1.6. Несколько событий в данном опыте называются
равновозможными:
А если при заданном комплексе факторов они произойдут;
В
если есть основание считать, что ни одно из этих событий не
является более возможным, чем другое и появление одного из
них исключает появление другого;
С
если есть основание считать, что ни одно из этих событий не
является более возможным, чем другое.
А
В
С
Д
4.1.7. Два события называются противоположными:
если они равновозможные и в сумме составляют достоверное
событие;
если они несовместны и в сумме составляют достоверное
событие;
если сумма вероятностей их равна единице;
если они взаимно исключают друг друга.
4.1.8. Суммой (объединением) нескольких случайных событий
называется:
А событие, состоящее в появлении любого из этих событий;
В
событие, состоящее в появлении всех указанных событий;
С
событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих
событий;
Д
событие, состоящее в появлении одного из этих событий.
51
4.1.9.
Геометрически
изображаются:
суммы
(объединение)
событий
4.1.10. Произведением, совмещением, нескольких событий
называется:
А событие, состоящее в осуществлении любого из этих событий;
В
событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих
событий;
С
событие, состоящее в последовательном появлении всех этих
событий;
Д
событие, состоящее в осуществлении одновременно всех этих
событий.
4.1.11. Геометрически произведение (совмещение) нескольких
событий изображается:
А
В
С
Д
4.1.12. Несколько событий образуют полную группу, если они:
попарно независимы и в сумме составляют достоверное
событие;
попарно несовместны и в сумме составляют достоверное
событие;
попарно противоположными и в сумме составляют достоверное
событие;
попарно несовместны и в сумме составляют невозможное
событие.
52
4.1.13. Если случайные события образуют полную группу, то
сумма их вероятностей:
А лежит между 0 и I;
В
близка к I;
С
равна I;
Д
равна 0.
4.1.14. Будет ли сумма противоположных событий составлять
полную группу:
А да;
В
нет;
С
зависит от природы случайных событий.
А
В
С
4.1.15. Схема случаев (схема урн) предполагает:
любое сложное событие можно представить через сумму
элементарных
событий.
Эти
элементарные
события
несовместны и имеют одну и ту же вероятность;
любое сложное событие можно представить через сумму
элементарных событий. Эти элементарные события образуют
полную группу и имеют одну и ту же вероятность;
любое сложное событие можно представить как сумму
элементарных событий, которые имеют одну и ту же
вероятность.
4.1.16. Классическое определение вероятности события А
состоит в том, что вероятность события А есть:
А отношение общего числа исходов к числу исходов,
благоприятствующих событию А;
В
отношение числа благоприятствующих этому событию исходов,
которые могут быть совместны и равновозможны, к общему
числу всех возможных исходов;
С
отношение числа благоприятствующих этому событию исходов
к общему числу всех равновозможных элементарных исходов,
образующих полную группу событий.
А
В
4.1.17. Событие А называется независимым от события В, если:
вероятность события В не зависит от того, произошло событие
А или нет;
вероятность события А не зависит от того, произошло событие
В или нет;
53
С
вероятность события В не зависит от того, произошло событие
А  В или нет.
4.1.18. Условие независимости события В от события А
записывается в виде:
А
P( A )  P( A) ;
B
В
С
Д
Е
А
В
С
Д
А
В
С
Д
P( B )  P( B) ;
A
B
P( )  P( A) ;
A
B
P( )  P( B) ;
A
B
P( )  P( A ) .
A
B
4.1.19. Условной вероятностью события А называется:
вероятность события А, вычисленная при условии, что
вероятность события В приняла определенное значение;
вероятность события А, вычисленная при условии, что имело
место другое событие В;
вероятность события А, вычисленная при условии совместного
появления события А и В;
вероятность события А, вычисленная при условии, что событие
В не зависит от события А.
4.1.20. Вероятность произведения двух событий равна:
произведению вероятностей первого из них на вероятность
второго;
произведению вероятностей одного из них на вероятность
другого, вычисленную при условии, что события независимы;
произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого, вычисленную при условии, что первое
имело место;
произведению вероятности одного из них на условную
вероятность этого события, вычисленную при условии, что
второе имело место.
4.1.21. Можно ли теорему умножения вероятностей записать в
виде: P( AB)  P( A)  P( B A)  P( B)  P( A B) ?
А да;
В
нет;
С
можно только в случае независимости события А от события В.
54
4.1.22. Вероятность произведения двух независимых событий
равна:
А произведению вероятности одного из событий на условную
вероятность второго;
В
произведению вероятности одного из событий на вероятность
второго события;
С
произведению вероятности одного из событий на условную
вероятность этого же события, при условии, что второе имело
место.
А
В
С
Д
Е
4.1.23. Вероятность суммы двух событий А и В равна:
P( A)  P( B)  P( AB) ;
P( A)  P( B)  P( А ) ;
B
P( A)  P( A ) ;
B
P( A)  P( B) ;
P( A)  P( B)  P( A)  P( B) .
4.1.24. Какая из формул верна?
А
В
С
Д
P( ABCD )  P( A)  P( B )  P(C )  P( D ) ;
A
B
C
P( ABCD)  P( A)  P( B )  P(C
)  P( D
);
A
AB
ABC
P( ABCD)  P( A)  P( B)  P(C )  P( D
);
ABC
P( ABCD)  P( A)  P( AB )  P( ABC )  P( ABCD ) .
A
A
D
4.1.25. По какой формуле вычисляется вероятность
противоположного события A , если известна вероятность P(A)
события А?
А
P( A )  1  P( A) ;
В
P( A )  P( A)  P( A  A) ;
P( A )  P( A)  P( A ) ;
С
A
Д
P( A )  1  P( A) .
4.1.26. Вероятность появления хотя бы одного из событий
A1 , A2 ,..., A , независимых друг от друга, равна:
1  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )...P( An ) ;
А
1  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )...P( An ) ;
В
С
1  P( A1 ) P( A2
A1
) P(
A3
A1 A2
)...P(
An
A1 A2 ... An1
);
55
Д
1  [ P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  ...  P( An )] .
А
В
С
Д
Е
4.1.27. Гипотезами называют события, которые:
являются независимыми и образуют группу;
являются несовместными;
являются независимыми;
являются несовместными и образуют полную группу;
образуют полную группу.
4.1.28. Если некоторое событие А может произойти с одним из
событий H1 , H 2 , H 3 ,...H n , образующих полную группу несовместных
событий, то вероятность события А вычисляется по формуле,
называемой формулой полной вероятности:
n
H
P( A)   P( H i ) P( i ) ;
А
A
i 1
В
n
P( A)   P( H i ) P( A
i 1
С
n
P ( A)   P( Ai ) P (
Ai
i 1
Д
Е
n
P ( A)   P( Ai ) P (
i 1
n
Hi
Hi
Hi
P( A)   P( H i ) P(
Ai
Hi
i 1
);
);
);
Ai
).
4.1.29. Формула Бейеса, которая вычисляет вероятность любой
гипотезы H i при условии, что некоторое событие А, связанное с
этими гипотезами, произошло, имеет вид:
n
H
P( i )   P( H i ) P( A ) ;
А
A
H
i
i 1
В
P(
Hi
A
)
P( A)  P(
Hi
A
n
 P( H i ) P( A
Hi )
P( H i )  P( A
)
i 1
С
P(
Hi
A
)
Hi
 P( H i ) P( A
Д
P(
A
)
P( H i )  P(
Hi
Hi )
A
)
n
 P( H i ) P( A
i 1
;
;
n
i 1
Hi
)
Hi )
.
56
Д
4.1.30. При выводе формулы Бернулли предполагается:
что в n независимых опытах событие А появится m раз;
что в n несовместимых опытах события А появится m раз;
что в n опытах, образующих полную группу, событие А
появится m раз;
что в n независимых опытах событие А появится не более m раз.
А
С
Е
4.1.31. Какая из формул является формулой Бернулли?
В
Pm,n  Cmn P m q nm ;
Pm,n  Cnm P n q nm ;
Д
Pm,n  Cmn P n q nm ;
Pm,n  Cnm P m q mn ;
Pm,n  Cnm P m q nm .
А
В
С
А
В
С
Д
А
В
С
Д
А
В
С
4.1.32. Случайной величиной называется величина:
принимающая в результате испытания числовое значение,
которое можно предсказать при большом числе испытаний;
принимающая в результате испытания числовые значения,
которые принципиально нельзя предсказать, исходя из условий
испытания;
принимающая в результате испытания дискретное числовое
значение, которое принципиально можно предсказать при
большом числе испытаний;
принимающая в результате испытания непрерывное числовое
значение, которое принципиально нельзя предсказать.
4.1.33. Случайные величины могут быть:
только дискретными;
только непрерывными;
либо дискретными, либо непрерывными;
дискретными и непрерывными одновременно.
4.1.34. Законом распределения случайной величины называется:
всякое
соотношение,
устанавливающее
связь
между
возможными значениями случайной величины и вероятностями,
которые им соответствуют;
всякое
соотношение,
устанавливающее
связь
между
возможными значениями случайной величины и функцией
распределения;
всякое соотношение, устанавливающее связь между случайной
величиной и ее вероятностью.
57
А
С
Е
4.1.35. Какая из формул является функцией распределения?
F ( x)  P( X  x) ;
f ( x)  F ( x) ;
В
F ( x)  P( X  x) ;
F ( x)  P( X  x) ;
Д
F ( x)  f ( x) .
4.1.36. В каком ответе правильно записаны свойства функции
распределения?
А
F ( x2 )  F ( x1 ) , для x2  x1 ; F ()  1 ; F ()  0 ;
В
F ( x2 )  F ( x1 ) , для x2  x1 ; F ()  0 ; F ()  1 ;
С
F ( x2 )  F ( x1 ) , для x2  x1 ; F ()  0 ; F ()  1 ;
Д
F ( x2 )  F ( x1 ) , для x2  x1 ; F ()  1 ; F ()  1 ;
Е
F ( x2 )  F ( x1 ) , для x2  x1 ; F ()  0 ; F ()  0 .
4.1.37. Вероятность попадания случайной величины на заданный
участок ( ,  ) равна:
P(  x   )  F ( )  F (  ) ;
P(  x   )  F (  )  F ( ) ;
А
В
С

P(  x   )   F ( x)dx ;
Д
P(  x   )  f (  )  f ( ) ;

Е
P(  x   )  f ( )  f (  ) .
4.1.38. Вероятность любого отдельного значения непрерывной
случайной величины равна:
А 0;
В
1;
С
от 0 до 1;
Д
близка к 0.
А
В
С
Д
4.1.39. Плотность вероятности есть:
предел отношения длины участка ( x, x  x ) к вероятности
попадания случайной величины на этот участок;
предел разности функции распределения в точках ( x, x  x ) и x ;
предел отношения вероятности попадания случайной величины
на участок ( x, x  x ) к длине участка;
производная от вероятности попадания случайной величины на
участок ( x, x  x ).
4.1.40. Какая из формул устанавливает связь между плотностью
распределения f(x) и функцией распределения F(x):
F ( x)  f ( x) ;
А
58
В
С
f ( x)  F ( x) ;
Д
f ( x) 
f ( x)  F ( x  x)  F ( x) ;
x
 F ( x)dx .

4.1.41. Вероятность попадания случайной величины на интервал
( ;  ) будет определяться по формуле:
А

P(  x   )   F ( x)dx ;

В
С
Д
P(  x   )  f (  )  f ( ) ;
P(  x   )  F ( )  F (  ) ;

P(  x   )   f ( x)dx .

4.1.42. Какая из формул верно устанавливает связь между
функцией распределения и плотностью распределения?
А

F ( x) 
 f ( x)dx ;

В

F ( x)   f (t )dt ;
x
С
x
F ( x) 
 f (t )dt ;

Д
F ( x)  f ( x) .
4.1.43. В каком ответе правильно записаны свойства плотности
распределения?
А
В
x
 f ( x)dx  1 ,
f ( x)  0 ;
 f ( x)dx  1 ,
f ( x)  0 ;



С

 f ( x)dx  0 ,
f ( x)  0 ;

Д
Е

 f ( x)dx  1 ,
f ( x)  0 ;
 f ( x)dx  1,
f ( x)  0 .


0
А
4.1.44. Математическое ожидание есть:
«среднее взвешенное» значение случайной величины;
59
В
С
среднее арифметическое всех возможных значений случайной
величины;
среднее геометрическое всех возможных значений случайной
величины.
4.1.45. Математическое ожидание M [x] непрерывной случайной
величины есть число, определяемое по формуле:
А
n
M [ x]   xi Pi
В
;

M [ x] 
i 1
С

M [ x] 
 (x  m
x
) f ( x)dx ;

Е
Д
 xP ( x)dx ;
i


M [ x] 
 (x  m
x
) 2 f ( x)dx ;


M [ x] 
 xf ( x)dx .

4.1.46. В каком ответе правильно перечислены свойства
математического ожидания независимых случайных величин X и Y ?
M [C[ 0; M [Cx]  CM [ x]; M [ x  y ]  M [ x]  M [ y ]; M [ x  y ]  M [ x]  M [ y ];
А
M [C[ C; M [Cx]  CM [ x]; M [ x  y ]  M [ x]  M [ y ]; M [ x  y ]  M [ x]  M [ y ];
В
С
M [C[ C; M [Cx]  C 2 M [ x]; M [ x  y]  M [ x]  M [ y]; M [ x  y]  M [ x]  M [ y];
Д
M [C[ 0; M [Cx]  C 2 M [ x]; M [ x  y]  M [ x]  M [ y]; M [ x  y]  M [ x]  M [ y] .
4.1.47. Начальным моментом S -го порядка дискретной
случайной величины X называется:
А математическое ожидание случайной величины, которая
возведена в S -ю степень, т.е. M [ x s ] ;
В
математическое
ожидание
централизованной
случайной
величины, которая возведена S -ю степень, т.е. M [( x  m x ) s ] ;
С
математическое ожидание, возведенное в S -ю степень,
случайной величины X , т.е. M s [x] ;
Д
математическое ожидание, возведенное в S -ю степень
централизованной величины, т.е. M s [ x  m x ] .
4.1.48. Начальный момент S -го порядка дискретной случайной
величины вычисляется по формуле:
n
 s [ x]   xi Pi s ;
А
i
В
n
 s [ x]   xis Pi s
i
;
60
С
n
 s [ x]   xis Pi
;
i
Д
n
 s [ x]   ( xi  m x ) s Pi
;
i
Е
n
 s [ x]   ( xi  m x ) Pi s
.
i
4.1.49. Начальный момент S -го порядка непрерывной случайной
величины вычисляется по формуле:
А
В
 s [ x] 
 s [ x] 

 xf
s
( x)dx ;


x
s
f ( x)dx ;

С

 s [ x]   ( x  m x ) s f ( x)dx ;

Д
Е
 s [ x] 

x
s
f s ( x)dx ;


 s [ x]   ( x  m x ) f s ( x)dx .

X
А
В
С
Д
4.1.50. Центральным моментом порядка S случайной величины
называется математическое ожидание:
возведенное в S -ю степень центрированной случайной
величины, т.е. M s [ x  m x ] ;
случайной величины, которая возведена в степень S , т.е. M [ x S ] ;
центрированной случайной величины, которая возведена в
степень S , т.е. M [( x  m x ) S ] ;
возведенной в S -ю степень случайной величины X , т.е. M S [x] .
4.1.51. Центральный момент S -го порядка
случайной величины вычисляется по формуле:
n
M S [ x]   ( xi  m x ) piS ;
А
1
В
n
M S [ x]   ( xi  m x ) S piS
1
С
n
M S [ x]   xi piS
S
1
Д
n
M S [ x]   xi p iS
1
;
;
;
дискретной
61
Е
n
M S [ x ]   ( xi  m x ) S p i
.
1
4.1.52. Центральный момент S -го порядка
случайной величины вычисляется по формуле:
А
непрерывной

M S [ x] 
 (x  m
x
) f S ( x)dx ;
x
) S f ( x)dx ;

В

M S [ x] 
 (x  m

С
Д

M S [ x] 
x
S
f ( x)dx ;
S
f S ( x)dx ;


M S [ x] 
x

Е

M S [ x] 
 (x  m
x
) S f S ( x)dx .

А
В
С
Д
4.1.53. Дисперсией случайной величины называется:
математическое ожидание квадрата отклонения случайной
величины от ее математического ожидания, т.е. M [( x  m x ) 2 ] ;
квадрат математического ожидания отклонения случайной
величины от ее математического ожидания, т.е. M 2 [ x  m x ] ;
математическое ожидание квадрата случайной величины, т.е.
M [x2 ];
квадрат математического ожидания квадрата отклонения
случайной величины от ее математического ожидания, т.е.
M 2 [( x  m x ) 2 ] .
4.1.54. Можно ли вычислять дисперсию случайной величины по
формуле: D( x)  M [ x 2 ]  M 2 [ x] ?
А да;
В
нет;
С
можно только в случае непрерывной случайной величины;
Д
можно только в случае дискретной случайной величины.
4.1.55. Дисперсия D(x) дискретной случайной величины есть
число, определяемое по формуле:
n
D[ x]   xi pi ;
А
i 1
62
В
n
D[ x ]   xi2 p i
;
i 1
С
n
D[ x]   xi pi2  m x2
;
i 1
Д
Е
n
n
i 1
i 1
D[ x]   xi2 pi  ( xi pi ) 2 ;
n
D[ x]   xi pi  m x2 .
i 1
4.1.56. Дисперсия D(x) непрерывной случайной величины есть
число, определяемое по формуле:
2
А


D[ x]   x f ( x)dx    xf ( x)dx 

 

В


D[ x]   xf ( x)dx    xf ( x)dx 

 

2
С


D[ x]   x f ( x)dx    xf ( x)dx 

 

2
Д


D[ x]   x f ( x)dx    xf 2 ( x)dx 

 


;
2

2
2
;

2
;
2

2
.
4.1.57. В каком ответе правильно перечислены свойства
дисперсии?
D[c]  c; D[cx]  c 2 D[ x]; D[ x  y]  D[ x]  D[ y] ; где x и y независимые
А
случайные величины;
D[c]  0; D[cx]  cD[ x]; D[ x  y ]  D[ x]  D[ y ] ; где x и y независимые
В
случайные величины;
С
D[c]  0; D[cx]  c 2 D[ x]; D[ x  y]  D[ x]  D[ y] ; где x и y независимые
случайные величины;
Д
D[c]  0; D[cx]  c 2 D[ x]; D[ x  y]  D[ x]  D[ y] ; где x и y независимые
случайные величины.
4.1.58.
Для
характеристики
симметричности
закона
распределения служит коэффициент асимметрии, который равен:
M
А
S K  22 ;

В
SK 
M3
С
SK 
M4
3
4
;
3;
63
Д
SK 
M3
3
 3.
4.1.59. Свойство островершинности или плосковершинности
закона распределения описывается с помощью эксцесса, который
вычисляется по формуле:
M
А
E X  33 ;

В
EX 
M2
С
EX 
M4
Д
EX 
M3
2
4
3
;
 3;
 3.
4.1.60. Непрерывная случайная величина, возможные значения
которой лежат в некоторых конечных пределах, распределена по
закону равномерной плотности, если
А плотность вероятности постоянна;
В
все значения случайной величины имеют одинаковую
вероятность;
С
плотность вероятности будет неотрицательной величиной и
интеграл от плотности по отрезку, в котором заключены все
значения случайной величины, равен единице.
4.1.61. Плотность равномерного распределения на сегменте
имеет вид:
А
В
 1

f ( x)     
0

1
f ( x) 
 
(  x ) m e  x
m!
С
f ( x) 
Д
e  x
f ( x)  
0
А
при   x  
[ ;  ]
;
при x  0, x  
при    x   ;
;
при x  0
при x  0
.
4.1.62. Биноминальное распределение предполагает:
что дискретная случайная величина – число появления события
А, примет значение m в n несовместных одинаковых опытах;
64
В
С
А
С
что дискретная случайная величина – число появления события
А, примет значение m в n независимых одинаковых опытах;
что дискретная случайная величина – число появления события
А, примет значение не более m в n независимых одинаковых
опытах.
4.1.63. Биноминальное распределение имеет вид:
В Pm,n  Cmn P m q nm ;
Pm,n  Cnm P n q nm ;
Д Pm,n  Cnm P n q mn .
Pm,n  Cnm P m q nm ;
4.1.64.
Математическое
ожидание
распределения вычисляется по формуле:
M [ x]  nq ;
А
M [ x]  np ;
В
С
M [ x]  np 2 q ;
M [ x]  npq ;
Д
Е
M [ x]  npq .
биноминального
4.1.65. Математическое ожидание равномерного распределения
вычисляется по формуле:
M [ x]  np ;
А
В
С
Д
 
,
x  [ ;  ] ;
2
 
M [ x] 
,
x  [ ;  ] ;
2
(   ) 2
M [ x] 
,
x  [ ;  ] .
12
M [ x] 
4.1.66. Дисперсия биноминального распределения вычисляется
по формуле:
D ( x)  npq ;
А
В D( x)  nq ;
D ( x)  np ;
С
Д D( x)  C nm p m q nm .
А
В
4.1.67. Распределение Пуассона предполагает:
что дискретная случайная величина - число событий
простейшего (пуассоновского) потока – примет определенное
значение m за фиксированный промежуток времени t ;
что дискретная случайная величина - число событий
простейшего (пуассоновского) потока – примет определенное
значение m в n независимых испытаниях;
65
С
А
В
С
Д
что дискретная случайная величина
простейшего (пуассоновского) потока
плотность распределения.
- число событий
имеет постоянную
4.1.68. Потоком событий называется:
вероятность событий, наступающих одно за другим в случайные
моменты времени;
такая последовательность событий, вероятность появления
которых зависит от их числа m и от длительности t промежутка
времени;
такая последовательность событий, вероятность появления
которых на элементарном участке t двух и более событий
пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления
одного события;
последовательность событий, наступающих одно за другим в
случайные моменты времени.
4.1.69. Распределение Пуассона имеет вид:
А
Pm 
m t e  t
m!
В
Pm 
( t ) m e  t
m!
С
Pm  C nm p m (1  p) n  m ;
Д
Pm 
А
В
С
;
(t ) m e  m
m!
;
.
4.1.70. Показательное распределение предполагает:
что дискретная случайная величина - число событий
простейшего потока – примет определенное значение m за
фиксированный момент времени t ;
что дискретная случайная величина - число появления события
А – примет значение m в n независимых испытаниях;
что поток событий является пуассоновским, а в качестве
непрерывной случайной величины выступает время между
двумя последовательными событиями.
4.1.71. Показательное распределение имеет вид:
А
f (t ) 
(  t ) m e  t
m!
;
В
e  t ,
f (t )  
,
0
t0
t0
;
66
С
Д
f (t )  1  e t ;
te  t ,
f (t )  
,
0
t0
t0
.
4.1.72. Какие два параметра входят в закон нормального
распределения?
4.1.73. Какое выражение пропущено в формуле для плотности
вероятности нормального закона распределения
А
В
С
Г
f ( x) 
1
2 

e
...
2 2
?
4.1.74. Нормальное распределение имеет вид:
1
f ( x) 
при   x   ;
 
f ( x)  e x
f ( x) 
f ( x) 
1
2 
при

2 2
e
1
2 m x
x  0;
( x  mx ) 2

e
;
( x  ) 2
2 m x2
.
4.1.75. Какая из
характеризует график
распределения?
приведенных кривых наиболее точно
плотности вероятности нормального
67
4.1.76. С возрастанием среднего квадратического отклонения
кривая нормального распределения:
А
становится более плоской;
В
вытягивается вверх, сжимаясь с боков.
4.1.77. Изменения параметра m x в законе нормального
распределения:
А
не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее
сдвигу вдоль оси OX ;
В
изменяет форму кривой: при уменьшении m x кривая
распределения вытягивается вверх, при увеличении  кривая
становится более плоской.
4.1.78. Какое выражение пропущено в функции Лапласа
( x) 
1
2
x
e

....
2
dt ?
0
4.1.79. Функция Лапласа имеет следующий вид:
А
В
( x) 
 ( x) 
1
2
1
2
x
e

t2
2
Б
dt ;
0
x
e
 ( x  mx ) 2
2
dx ;
Г
0
 ( x) 
1
 2
x
e
 ( x  mx ) 2
2 2
dx ;
0
x
( x)   f ( x)dx .
0
4.1.80.
Вероятность
попадания
случайной
величины,
подчиненной нормальному закону, на заданный участок ( ,  )
определяется по формуле:
P(  x   )  (  )  ( ) ;
А
Б
В
Г
   mx 
   mx
P(  x   )  
  
  
 
   mx 
   mx
P(  x   )  
  
  
 

;


;

P(  x   )  ( )  (  ) .
4.1.81. Дополните выражение, известное под названием
«правило трех сигм»: P( .....  3 )  2(3)  0,9973 .
4.1.82. Будет ли называться законом распределения дискретной
двумерной
случайной
величины
всякое
соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями случайной
68
величины (т.е. парами чисел ( xi , yi ) ) и соответствующими им
вероятностями?
А
да;
В
нет.
4.1.83. Какая из формул является по определению функцией
распределения двумерной случайной величины?
F ( x, y )  P ( X  x, Y  y ) ;
А
F ( x, y )  P ( X  x , Y  y ) ;
Б
F ( x, y )  P(  X  ,    Y  ) ;
В
F ( x, y )  P( X  x)  P(Y  y ) .
Г
4.1.84. Функция распределения F ( x, y ) двумерной случайной
величины принимает значения:
А
от   до   ;
Б
неотрицательные значения, т.е.  0 ;
В
от нуля до единицы;
Г
ноль или единица.
4.1.85. Функцией распределения двумерной
величины является:
А
неубывающая функция обоих своих аргументов;
Б
невозрастающая функция обоих своих аргументов.
случайной
4.1.86. Чему равны предельные соотношения для функции
распределения двумерной случайной величины?
F (, y )  .... ?
F ( x,)  .... ?
F (,)  .... ?
F (,)  .... ?
4.1.87. Если F ( x, y ) - функция распределения системы двух
случайных величин, то функция распределения отдельных величин
F1 ( x) и F2 ( x) выражается через функцию распределения F ( x, y ) .
Укажите, какие символы пропущены в этих выражениях:
F1 ( x)  F (....) ;
F2 ( x)  F (....) .
4.1.88. Если задана функция распределения F ( x, y ) двумерной
случайной величины, то как вычисляется вероятность попадания
случайной точки ( x, y ) в полуполосу, изображенную на рисунке?
69
4.1.89. Если задана функция распределения F ( x, y ) двумерной
случайной величины, то как вычисляется вероятность попадания
случайной точки ( x, y ) в полуполосу, изображенную на рисунке?
4.1.90. Если задана функция распределения F ( x, y ) двумерной
случайной величины, то как вычисляется вероятность попадания
случайной точки ( x, y ) в прямоугольник, изображенный на рисунке?
70
4.1.91. Плотность распределения системы двух случайных
величин есть:
А
предел отношения площади прямоугольника к вероятности
попадания случайной точки в этот прямоугольник при x  0 и
y  0 , где x и  y - длины сторон прямоугольника;
Б
предел отношения попадания случайной точки в прямоугольник
к площади прямоугольника, если x  0 и y  0 , где x и y длины сторон прямоугольника;
В
вторая смешанная производная от вероятности попадания
случайной точки в прямоугольник с длинами сторон x и y .
4.1.92. Какая формула верно устанавливает связь между
плотностью и функцией распределения двумерной случайной
величины:
А
f ( x, y ) 
F ( x, y )
;
x
Б
В
f ( x, y ) 
 2 F ( x, y )
;
x 2
Г
 2 F ( x, y)
;
xy
 2 F ( x, y )
.
f ( x, y ) 
y 2
f ( x, y) 
4.1.93. Вероятность попадания двумерной случайной величины
в произвольную область вычисляется по формуле:
А
Б
P[( XY )  D]   f1 ( x)  f 2 ( x)dxdy ;
P[( XY )  D]   f1 ( x)dxdy ;
D
В
P[( XY )  D]   f ( x, y)dxdy ;
D
Г
P[( XY )  D]   F ( x, y)dxdy .
D
D
4.1.94. Функция распределения F ( x, y ) , если известна плотность
распределения f ( x, y ) , определяется по формуле:
А
x y
F ( x, y ) 
  f ( x, y)dxdy ;
Б
 
F ( x, y ) 
  
В
F ( x, y)   f ( x, y)dxdy ;
D
Г
F ( x, y ) 
  f ( x, y)dxdy ;
  
x2 y 2
  f ( x, y)dxdy .
x1 y1
4.1.95. Плотность распределения двумерной
величины принимает значения:
А
неположительные;
Б
неотрицательные;
В
как положительные, так и отрицательные.
случайной
71
 
4.1.96. Интеграл   f ( x, y)dxdy может принимать значения, равные:
  
А
Б
В
Г
только единице;
только положительные;
от 0 до I;
от   до   .
4.1.97. Плотность распределения случайной величины X ,
входящей в систему ( X , Y ) , выражается через плотность
распределения системы:
А

 f ( x, y)dy ;
f1 ( x) 

x
Б
 f ( x, y)dy ;
f1 ( x) 

В
Г
f1 ( x)  

 f ( x, y)dydx ;


f1 ( x) 
 f ( x, y)dx .

4.1.98. Плотность распределения случайной величины Y ,
входящей в систему ( X , Y ) , выражается через плотность
распределения системы:
А
Б
В
Г

f1 ( y ) 
 f ( x, y)dy ;

y
f1 ( y ) 
 f ( x, y)dx ;


f1 ( y )  
 f ( x, y)dy ;


f1 ( y ) 
 f ( x, y)dx .

4.1.99. Условным законом распределения величины Х, входящей
в систему (Х,Y), называется:
А
закон распределения X , вычисленный при условии, что
значения случайной величины Y равны значениям случайной
величины X ;
Б
закон распределения X , вычисленный при условии, что другая
случайная величина Y приняла определенное значение;
72
В
закон распределения X , вычисленный при условии, что другая
случайная величина Y приняла все значения, т.е. от   до   .
4.1.100. Условным законом распределения величины X ,
входящей в систему ( X , Y ) , называется:
А
закон распределения Y, вычисленный при условии, что значения
случайной величины Y равны значениям случайной величины Y;
Б
закон распределения Y, вычисленный при условии, что другая
случайная величина Y приняла все значения, т.е. от   до   ;
В
закон распределения Y, вычисленный при условии, что другая
случайная величина Y приняла определенное значение.
4.1.101. Плотность распределения системы двух случайных
величин выражается через плотности отдельных величин следующим
образом:
А
f ( x, y)  f1 ( x)  f 2 ( y) ;
Б
f ( x, y)  f1 ( x)  f 2 ( y ) ;
x
В
Г
f ( x, y )  f ( x )  f ( y ) ;
y
x
f ( x, y)  f1 ( x)  f ( x ) .
y
4.1.102. Условная плотность распределения выражается через
безусловные плотности распределения следующим образом:
f ( x)
f (y )  1
А
;
x
Б
В
Г
f ( x, y )
f ( x, y )
f (y ) 
;
x
f 2 ( y)
f ( x, y )
f (y ) 
;
x
f1 ( x)
f ( y)
.
f (y )  2
x
f 1 ( x)
4.1.103. Условная плотность распределения выражается через
безусловные плотности распределения следующим образом:
f ( x)
f ( x, y )
f(x ) 1
f(x )
А
;
Б
;
y
y
f 2 ( y)
f ( x, y )
В
f ( x, y )
f(x )
;
y
f1 ( x)
Г
f ( x)
.
f(x ) 1
y
f 2 ( y)
73
4.1.104. Если случайные величины X и Y независимы, то для
них выполняется следующее соотношение:
А
Б f ( y x )  f 1 ( x) ;
f ( y )  f 2 ( y) ;
x
В
Г
f ( y )  f ( x, y) ;
x
f ( y )  f 2 ( y) .
x
4.1.105. Если случайные величины X и Y независимы, то для
них выполняется следующее соотношение:
А
Б f ( x y )  f 1 ( x) ;
f ( x )  f 2 ( y) ;
y
В
Г
f ( x )  f 1 ( x) ;
y
f ( x )  f ( x, y) .
y
4.1.106. Для независимых случайных величин
распределения f ( x, y ) выражается в виде:
А
f ( x, y)  f1 ( x)  f 2 ( y) ;
Б
f ( x, y)  f1 ( x)  f ( x ) ;
y
В
Г
X
и
Y
плотность
f ( x, y)  f 2 ( y)  f ( y ) ;
x
y
f ( x, y )  f ( x )  f ( ) .
y
x
4.1.107. Запишите, как выражается плотность распределения
f ( x, y ) для независимых случайных величин.
4.1.108. Запишите, как выражается плотность распределения
f ( x, y ) для зависимых случайных величин.
А
В
4.1.109. Начальный момент
M [( x  y ) K  S ] ;
M [ X K ]  M [Y S ] ;
А
Б
В
Г
4.1.110. Центральный момент
M [{( X  M ( x)(Y  M ( y)}K  S ] ;
M [( X  M [ x]) K (Y  M [ y]) S ] ;
M [( X  M [ x]) K ]  M [(Y  M [ y]) S ] ;
M K  S [( X  M [ x])(Y  M [ y])] .
 KS
порядка K  S системы
Б
M [ X K  Y S ];
Г
M K S [ X  Y ] .
M KS
порядка
K S
( X ,Y )
системы
это:
( X ,Y )
это:
4.1.111. Для непрерывных случайных величин начальный
момент  K ,S порядка K  S вычисляется по формуле:
А

 K , S    ( x  y ) K  S f ( x, y )dxdy ;

74
Б

 K , S    x K  y S f ( x, y )dxdy ;

В
Г

 K , S    ( x  m x ) K  ( y  m y ) S f ( x, y )dxdy ;


 K , S    x  y ( f ( x, y )) K  S dxdy .

4.1.112. Для непрерывных случайных величин центральный
момент M K ,S порядка K  S вычисляется по формуле:
А

M K , S    [( X  M [ x])(Y  M [ y ])] K  S f ( x, y )dxdy ;

Б

M K , S    ( X  M [ x]) K (Y  M [ y ]) S f ( x, y )dxdy ;

В

M K , S    X K  Y S f ( x, y )dxdy ;

Г

M K , S    ( X  M [ x])(Y  M [ y ]) f ( x, y ) K  S dxdy .

 K ,S
А
4.1.113. Для дискретных случайных величин начальный момент
порядка K  S вычисляется по формуле:
n
m
 K ,S   ( xi yi ) K  S Pij ;
i 1 j 1
Б
n
m
 K ,S   xi K yi S Pij
;
i 1 j 1
В
n
m
 K ,S   ( xi  mx ) K ( yi  m y ) S Pij ;
i 1 j 1
Г
n
m
 K ,S   xi yi Pij K  S
.
i 1 j 1
4.1.114. Для дискретных случайных величин центральный
момент M K ,S порядка K  S вычисляется по формуле:
А
n
m
M K ,S  [( xi  mx )( yi  m y )] K  S Pij
i 1 j 1
Б
n
m
M K ,S   ( xi  m x ) K ( yi  m y ) S Pij
;
i 1 j 1
В
n
m
M K ,S   xi yi Pij
K
S
;
i 1 j 1
Г
n
m
M K ,S   ( xi  m x )( yi  m y ) Pij
i 1 j 1
K S
.
;
75
4.1.115. Корреляционный момент
будет:
А
K XY  M [XY ] ;
Б
K XY  M [( x  mx ) 2 ( y  m y )] ;
В
K XY  M [( y  m y ) 2 ( x  mx )] ;
K XY  M [( x  m x )( y  m y )] .
Г
K XY
это , по определению,
4.1.116. Для дискретных случайных величин корреляционный
момент выражается формулой:
n m
А
K XY   xi yi Pij ;
i 1 j 1
Б
n
m
K XY   xi yi f ( xi , y j ) ;
i 1 j 1
В
n
m
K XY   ( xi  mx )( y j  m y ) Pij
;
i 1 j 1
Г
n
m
K XY   ( xi  mx )( y j  my ) f ( xi , y j ) .
i 1 j 1
4.1.117. Для непрерывных случайных величин корреляционный
момент выражается формулой:
А

K XY    xyf ( x, y )dxdy ;

Б

K XY    ( x  m x )( y  m y ) P( xi , y i )dxdy ;

В

K XY    ( x  m x )( y  m y ) f ( x, y )dxdy ;

Г

K XY    ( x  m x ) 2 ( y  m y ) 2 f ( x, y )dxdy .

4.1.118. Для характеристики связи между случайными
величинами X и Y принимается коэффициент корреляции rXY ,
который, по определению, имеет вид:
K XY
А
rXY 
Б
rXY 
K XY
Dx D y
В
rXY 
x
K XY ;
y
Г
rXY  K XY   x   y ;
 x y
;
;
76
4.1.119. Если случайные величины
корреляционный момент K XY равен:
А
единице;
Б
от 0 до I;
В
нулю;
Г
от -1 до +1.
А
Б
В
Г
4.1.120. Коэффициент корреляции
от 0 до 1;
от   до   ;
от 0 до   ;
от -1 до +1.
rXY
X
и
независимы, то
Y
принимает значение:
4.1.121. Если между случайными величинами X и Y существует
линейная функциональная зависимость, то коэффициент корреляции
rXY равен:
А
от -1 до +1;
Б
не менее нуля;
В
либо -1. либо +1;
Г
от   до   .
4.1.122. Условное математическое ожидание
M[ x ]
y
дискретной
M[ x ]
y
дискретной
случайной величины X вычисляется по формуле:
n
x
M [ x ]   yi P( i ) ;
А
y
y
i
i 1
m
Б
M [ x ]   xi P (
y
i 1
В
n
x
x
M [ x ]   i P( i ) ;
y
yi
i 1 y
xi
y
);
i
Г
n
x
M [ x ]   i P ( xi ) .
y
i 1 y i
4.1.123. Условное математическое ожидание
случайной величины X вычисляется по формуле:
n
n
x
yi
y
y
M
[
]

y
P
(
)
А
Б
M[ ]   i
 i x ;
x
x
i 1
В
i 1
n
x
M [ y ]   i P( y i ) ;
x
i 1 y
i
Г
m
yi
P(
M [ y ]   xi P (
x
i 1
xi
xi
yi
y
);
).
77
4.1.124. Условное математическое ожидание
случайной величины
А
В

Б
y
 yf ( x )dy ;
M[ x ] 
y


M[ x ] 
y
В
M[y ] 
x
M[ x ] 
y

M[y ] 
x

y
 xf ( x )dy ;
Б
y )dy ;
x
Г


 yf (

 xf ( x y)dx ;


Г
y
 xf ( x )dx ;
4.1.125. Условное математическое ожидание
случайной величины Y вычисляется по формуле:
А
непрерывной
вычисляется по формуле:
X

M[ x ] 
y
M[ x ]
y
 xf ( x y)dy .

M[ y ]
x
M[y ] 
x
M[y ] 
x
непрерывной

 yf ( x y)dy ;


 yf ( y)dy .

4.1.126. Для независимых случайных величин
нормальный закон распределения будет иметь вид:
А
Б
В
Г
f ( x, y ) 
f ( x, y) 
f ( x, y ) 

1
2 x y
e
1
e
2 x y
1
2  x

e

2
( x  mx ) 2 ( y  m y )

2 x2
2 y2
X
и
Y
;
( x  mx ) 2 ( y  m y ) 2
2 x2 y2
;
( x  mx ) 2
2 x2

1
2  y
x  mx y  m y

2 y

1
2
f ( x, y ) 
e x
2 x y

e
( y my )2
2 y2
;
.
4.1.127. Для любого   0 , если известны M [x] и D[x ] , для
отклонения случайной величины X от M [x] выполняется неравенство
Чебышева:
D[ x]
P( x  m x   )  1  2 ;
А
Б P( x  m x   )  D[2x] ;
В

2
;
P( x  m x   )  1 
D[ x]
Г

2
.
P( x  m x   ) 
D[ x]
78
4.1.128. Сущность теоремы Чебышева заключатся в следующем
соотношении:
А
В


P




P




i 1
 m x     1 
n


n


xi

i 1
 m x     1 
n


n
 xi
D[ x]
;
Б
D[ x]
;
n 2
Г
2


P




P




2
i 1
 m x     1 
;
n
D[ x]


n


xi

D[ x]
i 1
 m x    
.
n
n 2


n
x
i
4.1.129. Сущность теоремы Бернулли заключается в следующем
соотношении:
pq
P W  P     1 
А
;
Б PW  P     1  pq
;
2
2 2
В
P W  P     1 
W
npq
2
;
Г
n 
pq
P W  P     1  2
n
.
4.2. Математическая статистика
А
Б
В
Г
А
Б
В
4.2.1. Как называется численное значение признака:
объемом выборки;
генеральной совокупностью;
вариантой;
средним значением.
4.2.2. Выборка – это:
ограниченное число выбранных случайным образом элементов;
ограниченное число элементов, выбранных неслучайно;
большая совокупность элементов, для которой оцениваются
характеристики.
4.2.3. В какой зависимости находятся выборка и генеральная
совокупность?
4.2.4. Что такое объем выборки?
А
Б
4.2.5. Статистическим распределением называется:
перечень вариант;
перечень вариант или интервалов и соответствующих частот;
79
В
Г
перечень вариант или интервалов и соответствующих
вероятностей;
перечень значений случайной величины или ее интервалов и
соответствующих вероятностей.
4.2.6. Дать понятие полигона частот.
4.2.7. Дать понятие гистограммы частот.
А
Б
В
А
Б
В
А
Б
В
А
Б
В
4.2.8. Оценкой параметра называется:
приближенное случайное значение параметра генеральной
совокупности, которое определяется по всем данным
генеральной совокупности;
приближенное случайное значение параметра генеральной
совокупности, которое определяется по данным выборки;
приближенное неслучайное значение параметра генеральной
совокупности, которое определяется по данным выборки.
4.2.9. Оценка называется несмещенной, если:
она сходится по вероятности при n   к истинному значению
параметра;
она обладает по сравнению с другими наименьшей дисперсией;
ее математическое ожидание равно истинному значению
параметра.
4.2.10. Оценка называется состоятельной, если:
она обладает по сравнению с другими наименьшей дисперсией;
ее математическое ожидание равно истинному значению
параметра;
она сходится по вероятности при n   к истинному значению
параметра.
4.2.11. Оценка называется эффективной, если:
она обладает по сравнению с другими оценками наименьшей
дисперсией;
ее математическое ожидание равно истинному значению
параметра;
она сходится по вероятности при n   к истинному значению
параметра.
80
А
Б
В
Г
4.2.12. Среднее значение выборки является:
несмещенной оценкой математического ожидания;
смещенной оценкой математического ожидания;
смещенной оценкой дисперсии;
несмещенной оценкой дисперсии.
4.2.13. Выборочная дисперсия, определяемая по формуле
n
Dв 
А
Б
В
 (x
i
 x)2
1
n
, является:
несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности;
смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности;
либо смещенной, либо несмещенной оценкой (в зависимости от
условий
проведения
опыта)
дисперсии
генеральной
совокупности.
4.2.14. Чтобы оценка дисперсии генеральной совокупности была
несмещенной, необходимо выборочную дисперсию:
А
умножить на n ;
Б
умножить на
В
разделить на
n 1
n 1
;
n
n 1 .
4.2.15. Практически невозможным
событие, вероятность которого:
А
равна нулю;
Б
близка к нулю;
В
лежит между 0 и 0,5.
событием
называется
4.2.16. Практически достоверным событием называется событие,
вероятность которого:
А
равна единице;
Б
близка к единице;
В
лежит между 0,5 и 1.
4.2.17. Доверительный интервал (Vв   ,Vв   ) для параметра V
определяется:
А
по заданному значению  и значению Vв , которое находится из
соотношения P(| Vв  V |  )   ;
81
Б
В
по определенному из выборки Vв и значению  , которое
находится из соотношения P(| Vв  V |  )   ;
по заданной доверительной вероятности  и по ее выборочным
данным  и Vв .
4.2.18. Доверительный интервал для математического ожидания
при известной дисперсии  2 нормально распределенной генеральной
совокупности будет:
А
Б
В
x  t
n
n
 mx  x  t
, где
 (t  ) 

;


2


,где (t )   ;
x  t
 mx  x  t
2
n
n


,где (t )   .
x  t
 mx  x  t
2
n 1
n 1
4.2.19. Доверительный интервал для математического ожидания
при неизвестной дисперсии D нормально распределенной
генеральной совокупности будет:


А
;
x  t
 mx  x  t
n 1
Б
x  t
В
x  t

n
 mx  x  t

n 1

n
n 1
;

 mx  x  t
n 1
.
4.2.20. Доверительный интервал для среднеквадратического
отклонения нормально распределенной совокупности будет:
А
В
n в
xв2
 â  t
 
â
n
n в
xн2
Б
;
    d  t
d
n
x  t

n
   x  t

n
;
.
4.2.21. При проверке нулевой гипотезы при заданном уровне
значимости исходят из соотношения:
P( K  {K кр })  1   ; где { K êð } – критическая область;
А
P( K  {K кр })   ;
P( K  {K кр })   .
Б
В
4.2.22. Критической областью называют совокупность значений
критерия, при которых нулевую гипотезу:
А
принимают;
Б отвергают.
82
А
Б
В
4.2.23. Уровень значимости – это:
достаточно большая величина вероятности, при которой
событие можно считать практически достоверным;
достаточно малая величина вероятности, при которой событие
можно считать практически невозможным;
значение вероятности от 0 до 1.
4.2.24. В качестве критерия для проверки гипотезы о законе
распределения применяется:
А
(n  niT ) 2
K  i
ni
i 1
В
K 
l
l
i 1
ni  niT
niT
;
Б
 n  nT
K    i T i
ni
l 
l



2
;
,
где l - количество интервалов,
- абсолютная частота i -го интервала,
ni
niT - теоретическая абсолютная частота i -го интервала.
4.2.25. При проверке статистической гипотезы, если
выборочный критерий K в принадлежит критической области {K } , т.е.
K в  K , то гипотеза:
А
принимается;
Б
отвергается;
В
может быть принята либо отвергнута в зависимости от уровня
значимости и объема выборки.
4.2.26. При проверке статистической гипотезы, если
выборочный критерий K в не принадлежит критической области {K } ,
т.е. K в  K , то гипотеза:
А
принимается;
Б
отвергается;
В
может быть принята либо отвергнута в зависимости от уровня
значимости и объема выборки.
4.2.27. При проверке гипотезы о нормальном законе
распределения по критерию Пирсона вероятность попадания
случайной величины в i -й интервал ( xi , xi1 ) определяется по формуле:
А
x x
x x
   i 1
 ;
Pi   i


в
 в 


Б
x x
x x
   i
 ;
Pi   i 1


в


 в 
В
Pi  ( xi 1 )  ( xi ) ;
Г
Pi  ( xi 1  x )  ( xi  x ) .
83
Приложение
Тестовый Экзаменационный билет
В качестве примера применения тестовых вопросов для
проверки знаний студентов приведен билет, состоящий из десяти
тестовых вопросов и одного вопроса на доказательство теоремы.
На первые десять тестовых вопросов отводится 35 минут
подготовки и оформления ответов в виде таблицы. Ответ на
одиннадцатый вопрос является добровольным выбором студента и
служит стимулом для повышения экзаменационной оценки. Оценка
считается положительной, если число правильных ответов на 10
тестовых вопросов будет не менее шести.
Образец Экзаменационного билета.
1. Число b называется пределом функции y = f(x) в точке a (или
при х→а), по Коши, если для любого положительного   0 найдется
отвечающий ему    ( ) такое, что для всех х, удовлетворяющих:
0 | x  a |  , справедливо неравенство | f ( x)  b |  ;
M
0 | x  a |  , справедливо неравенство | f ( x)  b |  ;
N
0 | x  a |  , справедливо неравенство | f ( x)  b |  ;
K
0 | x  a |  , справедливо неравенство | f ( x)  b |  .
N
2. Если Lim xa f ( x)  b , то бесконечно малой функцией будет
функция:
 ( x)  f ( x)  b ;
 ( x)  f ( x)  a ;
K
M
 ( x)  x  b ;
 ( x)  x  a .
T
N
3. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если для
любого   0 найдется  ( )  0 такое, что для:
| x  a |  , справедливо неравенство | f ( x)  f (a) |  ( ) ;
T
| x  a |  ( ) , справедливо неравенство | f ( x)  f (a ) |  ;
N
| x  a | () , справедливо неравенство | f ( x)  f (a ) |  ;
M
| x  a |  , справедливо неравенство | f ( x)  f (a) |  ( ) .
K
4. Функция y=f(x), определенная в точке X 0 и в ее окрестности,
называется дифференцируемой при X  X 0 , если:
y  A( x0 )x   (x)x , где  (x) - Б.М. функция;
N
y  A( x0 ) x0   (x)x , где  (x) - Б.М. функция;
M
84
K
T
y  A( x0 )y   (x)x ,
где  (x) - Б.М. функция;
y  A( x0 )x   (y)y , где  (y ) - Б.М. функция.
5. Правило Лопиталя: если f(x) и g(x) определены и непрерывны
на [a, b], g ( x)  0 для x  (a, b) и Lim xc f ( x)  Lim xc g ( x)  0 , то:
M
Lim xc
f ( x) Lim xc f ( x)
;

g ( x) Lim xc g ( x)
P
Lim xc
f ( x)
f | ( x)
.
 Lim xc |
g ( x)
g ( x)
N
Lim x c
f (x)
f (x) |
 Lim (
);
g( x )
g( x )
6. Если функция y=f(x) определена на интервале (а,в) и для всех
x  ( a, b) f || ( x)  0 , то функция y=f(x) на (а,в):
M
убывает;
К выпукла;
N вогнута; Т возрастает.
7. Если система линейных алгебраических уравнений задана в
матричной форме,
АХ=В,
то решение будет иметь вид:
1
1
K
X  BA , где A обратная матрица матрицы А;
T
M X  B 1 A ;
N
X  AB 1 .
X  A1 B ;
8.
Скалярное произведение векторов




b  bx i  b y j  bz k вычисляется по формуле:

N ab  a x bx  a y by  a z bz  a x a y a z  bx by bz ;
M

a b  a x bx  a y b y  a z b z ;
9.
Угол
T
P
M
N
между плоскостями
определяется по формуле:
cos   A1 A2  B1 B2  C1C2 ;
cos  
A1 A2  B1 B2  C1C 2
A12  B12  C12 A22  B22  C 22
;
K

[aa ]
и
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
M
10. Векторное произведение
нулю;

| a |2 ;
ax a y  ax az  a y az .
и


ab  (a x bx  a y b y  a z bz ) cos (ab ) .

A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
N
K




a  axi  a y j  az k
cos  
cos  
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
A12  B12  C12
A22  B22  C 22
;
.
равно:
11. Доказать Теорему Ролля: если f(x) определена и непрерывна
на [a,b] , дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b), то найдется хотя бы
одна точка c  (a, b) , в которой f | (c)  0 .