Лекция №11. Потери напора на гидравлические сопротивления. Гладкие и шероховатые стенки.

Лекция №11.
Потери напора на гидравлические сопротивления.
Гладкие и шероховатые стенки.
При турбулентном режиме движения в зависимости от соотношения
толщины ламинарного слоя и высоты выступов шероховатости различают
гладкие и шероховатые стенки.
Гладкая стенка характеризуется тем, что толщина ламинарного слоя
𝛿 сл больше высоты выступов шероховатости k. Шероховатая стенка
характеризуется тем, что толщина ламинарного слоя 𝛿 сл меньше высоты
выступов шероховатости k.
В случае гладкой стенки ламинарный слой покрывает все выступы
шероховатости, и в результате этого потери напора по длине не зависят от
степени шероховатости стенок. В случае шероховатой стенки ламинарный
слой разрывается, и в результате этого потери напора по длине существенно
зависят от степени шероховатости стенок.
Понятия гладкая и шероховатая стенки являются относительными.
Это объясняется тем, что толщина ламинарного слоя не является величиной
постоянной, а зависит от числа Рейнольдса т. е. в конечном итоге от скорости
движения жидкости.
Таким образом, одна и та же стенка может работать и как гладкая и
как шероховатая в зависимости от величины Red, т. е. в зависимости от
скорости движения жидкости. Поэтом эти понятия и являются
относительными.
При ламинарном режиме движения жидкости потери напора на
сопротивления по длине определяются по формуле Дарси. Эта же формула
применяется и при турбулентном режиме движения, так как турбулентное
движение может быть сведено к движению фиктивно-параллельному путем
учета осредненных местных скоростей.
Но при турбулентном режиме движения коэффициент 𝜆, входящий в
формулу Дарси определяется по специальным формулам.
Гидродинамическое подобие
Подобное преобразование уравнений Навье—Стокса. Основные
критерии гидродинамического подобия. Выше уже отмечалось, что
дифференциальные уравнения Навье—Стокса невозможно решить для
большинства практически важных случаев.
Теория подобия позволяет преобразовать уравнения Навье—Стокса и
получить из них некоторую общую функциональную зависимость между
критериями подобия, характеризующими силы, действующие при движении
вязкой жидкости.
Перепишем уравнение Навье—Стокса для капельной жидкости в
развернутом виде для одной из осей — вертикальной оси z:
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝜔𝑧
𝜌(
+ 𝜔𝑥
+ 𝜔𝑦
+ 𝜔𝑧
)
𝜕𝜏
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝜌
𝜕 2 𝜔𝑧 𝜕 2 𝜔𝑧 𝜕 2 𝜔𝑧
= −𝜌𝑔 −
+𝜇( 2 +
+
)
𝜕𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2
𝑑𝑧 2
Для подобного преобразования этого уравнения воспользуемся ранее
сформулированным правилом: критерии подобия можно получить путем
деления одной части дифференциального уравнения на другую и
последующего отбрасывания знаков математических операторов.
Если движение жидкости установившееся, то ее скорость не зависит
от времени, т. е. член
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝜏
= 0. При этом, заменяя в левой части уравнения,
характеризующей силу инерции, дифференциалы конечными величинами,
находим
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝜔𝑧
𝜔 𝜌𝜔2
𝜌 (𝜔𝑥
+ 𝜔𝑦
+ 𝜔𝑧
) ~𝜌𝜔 =
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑙
𝑙
где l — определяющий линейный размер.
В правой части уравнения член, отражающий действие силы тяжести,
равен 𝜌𝑔 . Член
𝜕𝜌
𝜕𝑧
, характеризующий действие силы давления, можно
𝜌
заменить отношением ,
𝑙
т. е.
𝜕𝜌
𝑑𝑧
𝜌
~ . Наконец, последнее слагаемое правой
𝑙
части, отражающее действие силы трения
𝜕 2 𝜔𝑧 𝜕 2 𝜔𝑧 𝜕 2 𝜔𝑧
𝜇𝜔
𝜇( 2 +
+
~
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2
𝑑𝑧 2
𝑙2
Разделим члены одной части уравнения на члены другой его части и
найдем таким образом выражения, характеризующие соотношения между
соответствующими силами и силой инерции, или, иначе говоря, выразим эти
силы в относительных единицах, приняв за масштаб силу инерции. В
результате получим безразмерные соотношения величин — критерии
подобия.
Выражение, характеризующее отношение силы тяжести к силе
инерции, имеет вид
𝜌𝑔
𝑔𝑙
=
𝜌𝜔 2 /𝑙
𝜔2
Безразмерный комплекс gl/𝜔2 представляет собой критерий Фруда и
обозначается через Fr. Чтобы избежать чисел, меньших единицы,
предпочитают пользоваться обратным выражением, и, таким образом,
критерием Фруда обычно называют величину
Fr =
𝜔2
(1)
𝑔𝑙
Критерий Фруда отражает влияние сил тяжести, или собственного
веса, на движение жидкости. В виде выражения (1) он является мерой
отношения силы инерции к силе тяжести в подобных потоках.
Соотношение между силами давления и инерции может быть
охарактеризовано выражением
𝑝/𝑙
𝑝
=
𝜌𝜔 2 /𝑙
𝜌𝜔 2
𝑝
Полученный комплекс
называют
критерием
Эйлера и
2
𝜌𝜔
обозначают через Eu. Обычно ему придают несколько иной вид, вводя в него
вместо абсолютного давления p разность давлений ∆𝑝 между какими-либо
двумя точками жидкости:
Eu =
∆𝑝
(2)
𝜌𝜔2
Критерий Эйлера отражает влияние перепада гидростатического
давления на движение жидкости. Он характеризует отношение изменения
силы гидростатического давления к силе инерции в подобных потоках.
Найдем выражение, являющееся мерой отношения силы трения к силе
инерции, приняв за критерий подобия (для того чтобы избежать чисел,
меньших единицы) обратное отношение:
𝜌𝜔2 /𝑙
𝜇𝜔/𝑙 2
=
𝜔𝑙𝜌
𝜇
= 𝑅𝑒
Полученный безразмерный комплекс величин
(3)
𝜔𝑙𝜌
𝜇
называется, как
известно, критерием Рейнольдса.
Таким образом, критерий Рейнольдса отражает влияние силы
трения на движение жидкости. Он характеризует отношение инерционных
сил к силам трения в подобных потоках.
Величина l в критерии Re, как и в других критериях подобия,
представляет собой определяющий линейный размер. При движении
жидкости через трубопроводы или аппараты за такой размер принимается их
диаметр d, а в случае некруглого сечения потока — эквивалентный диаметр
dэ.
При
Навье-Стокса
движения, (𝜌
неустановившемся
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝜏
𝜕𝜔𝑧
𝜕𝜏
движении
жидкости
в
уравнении
≠0. Заменив член, отражающий влияние нестационарности
~
𝜌𝜔
𝜏
) , охарактеризуем
соотношение
между
силой
инерции, и этой величиной:
𝜌𝜔2 /𝑙
𝜌𝜔/𝜏
Безразмерный комплекс
𝜔𝜏
𝑙
=
𝜔𝜏
𝑙
называется критерием гомохронности и
обозначается через Но. Следовательно
𝜔𝜏
Ho =
(4)
𝑙
Критерий гомохронности учитывает неустановившийся характер
движения в подобных потоках.
Во всех сходственных точках движущихся подобно жидкостей
Fr' = Fr"
Eu' = Eu"
Re' = Re"
Но' = Но"
Согласно второй теореме подобия, решение уравнений Навье—Стокса
можно теперь представить в виде функциональной зависимости между
полученными критериями подобия, т. е.
𝜑 = (𝐻𝑜, 𝐹𝑟, 𝐸𝑢, 𝑅𝑒) = 0
(5)
В ряде случаев зависимость (5) должна быть дополнена симплексами
геометрического подобия. При движении жидкости через трубы или каналы
таким симплексом является отношение длины l трубы к ее диаметру d или
эквивалентному диаметру 𝑑э .
Тогда критериальное уравнение принимает вид
𝑙
𝜑 = (𝐻𝑜, 𝐹𝑟, 𝐸𝑢, 𝑅𝑒, ) = 0
𝑑
э
(5a)
При наиболее важной для практики формулировке задачи все
входящие в уравнение критерии, кроме критерия Эйлера, служат
определяющими, так как они составлены исключительно из величин,
выражающих условия однозначности. В критерий же Эйлера входит
величина ∆𝑝, значение которой при движении жидкости по трубе полностью
обусловливается формой трубы (отношением l/dэ), физическими свойствами
жидкости (𝜇, 𝜌) и распределением скоростей у входа в трубу и у ее стенок
(начальные и граничные условия). Поэтому, согласно третьей теореме
подобия, для подобия необходимо и достаточно соблюдение равенства
значений Но, Рr, Rе и l/dэ. Следствием выполнения этих условий будет также
равенство значений определяемого критерия Eu в сходственных точках
подобных потоков. Поэтому уравнение (5a) представляют как
𝑙
Eu = f (𝐻𝑜, 𝐹𝑟, 𝑅𝑒, )
𝑑
(5б)
э
Зависимости (5), (5а) или (5б) называют обобщенным, или
критериальным, уравнением гидродинамики.
Функцию (56) наиболее часто аппроксимируют степенной
зависимостью, т. е. придают этой функции вид
𝑙
Eu = A RemFrnHop ( )𝑞
(6)
𝑑э
или после подстановки соответствующих безразмерных комплексов
величин
∆𝑝
𝜌𝜔
𝜔𝑑э 𝜌 𝑚
=A(
2
𝜇
𝑛
𝜔2
𝜔𝜏 𝑝
𝑙
𝑞
) (𝑔𝑑 ) ( 𝑑 ) (𝑑 )
э
э
э
(6a)
Путем обработки опытных данных, полученных на моделях, находят
числовые значения коэффициента А и показателей степеней т, п, р, q при
соответствующих критериях 1.
Из полученного уравнения обычно определяют величину ∆ р,
входящую в критерий Eu. В частности, при движении жидкости через
трубопроводы и аппараты так находится потеря давления (напора).
Если движение жидкости является установившимся, то критерий
гомохронности может быть исключен из уравнений (5) и (6). Следовательно,
для установившегося движения обобщенное уравнение гидродинамики имеет
вид
𝑙
Eu = f (Fr, Re, )
𝑑э
или в более общей форме
Eu = f’ (Fr, Re,Г1 , Г2 , Г3 …)
(5в)
(5г)
где Г1 , Г2 , Г3 , . . . — симплексы геометрического подобия.
Лекция №12.
Формулы для коэффициента гидравлического трения 𝛌.
А) Гладкие стенки
𝜆=
0,3164
4
√𝑅𝑒𝑑
. (1)
При обработке и обобщении опытных данных с помощью степенных зависимостей типа уравнения (6)
результаты экспериментов обычно представляют графически в логарифмических координатах. Это
позволяет получать прямые, тангенсы угла наклона которых численно равны значениям показателей
степеней, а отрезки, отсекаемые на оси ординат, — логарифмам коэффициентов А
1
Эта формула была предложена Г. Блазиусом в 1913 году. Из нее
видно, что в случае гладких стенок, так же как и при ламинарном режиме
движения, коэффициент 𝜆 не зависит от шероховатости стенок трубопровода,
а зависит только от Red, но в значительно меньшей степени, чем при
ламинарном режиме движения.
Более точной является формула П. К. Конакова (1946 г):
𝜆=
1
(1,8𝑙𝑔𝑅𝑒𝑑 −1,5)2
. (2)
Эта формула дает достаточно удовлетворительные результаты при
Red≈100000.
Б) Шероховатые стенки
𝜆=
1
𝑟 2
(1,74+2𝑙𝑔 0 )
, (3)
𝑘
где r0 – радиус трубопровода;
k – высота выступов шероховатости;
𝑟0
- относительная гладкость;
𝑘
𝑘
𝑟0
- относительная шероховатость.
Формула (3) была предложена Л. Прандтлем и И. И. Никурадзе в 1933
г. Из этой формулы видно, что в случае шероховатых стенок коэффициент 𝜆
совершенно не зависит Red , а зависит только от шероховатости стенок
трубопровода.
Зоны гидравлического сопротивления. График Никурадзе.
Экспериментальное изучение коэффициента 𝜆 проводилось рядом
исследователей. Наибольший интерес представляют работы И.И. Никурадзе
(1933 г.) и А.П. Зегжда (1938 г.).
Никурадзе проводил опыты в трубах, а Зегжда – в прямоугольных
лотках с искусственно созданной зернистой шероховатостью.
Все опытные данные Никурадзе наносил на график (рис. 1), который
позволяет установить пять зон гидравлического сопротивления.
Рис. 1
I зона – зона вязкого сопротивления, соответствующая ламинарному
режиму движения. Эта зона характеризуется прямой линией и описывается
уравнением:
𝜆=
64
𝑅𝑒𝑑
.
Данная зона имеет место при Red < 2320.
II зона является переходной от ламинарного режима к турбулентному.
Коэффициент 𝜆 в этой зоне быстро растет с увеличением Red, причем имеет
одинаковое значение для стенок различной шероховатости. Следовательно,
здесь, как и в I зоне, коэффициент 𝜆 не зависит от шероховатости стенок, а
зависит только от числа Рейнольдса: 𝜆 = 𝑓(Red). II зона соответствует числам
Рейнольдса 2320< Red<4000.
Эта зона не имеет практического значения.
III зона – зона гладкостенного сопротивления. Она характеризуется
прямой линией и описывается уравнением Блазиуса 𝜆 =
0,3164
4
√𝑅𝑒𝑑
.
𝑑
Ориентировочно эта зона имеет место при 4000< Red<10 ,
𝑘
где d – диаметр трубопровода;
k – высота выступов шероховатости.
Потери напора по длине hf = KTV1,75, где KT – коэффициент
пропорциональности.
IV зона – зона доквадратичного сопротивления.
Ориентировочно эта зона имеет место при
10
𝑑
𝑘
𝑑
< Red<500 .
𝑘
В этой зоне толщина ламинарного слоя 𝛿 сл одного порядка с высотой
выступов шероховатости, т.е. 𝛿 сл≈k.
В IV зоне в отличие от III зоны коэффициент 𝜆 зависит не только от
числа Рейнольдса, но и от шероховатости стенок.
Коэффициент 𝜆 в IV зоне определяется по формулам, содержащим Red
и
𝑟0
𝑘
или
𝑑
𝑘
. К таким формулам, в частности, относится формула А.Д.
Альтшуля:
𝜆 = 0,1 (1,46
𝑘
𝑑
+
100 0,25
𝑅𝑒𝑑
)
. (4)
В IV зоне потери напора по длине hf = KT𝑉 1,75÷2 .
V зона – зона квадратичного сопротивления.
𝑑
Ориентировочно эта зона имеет место при Red>500 .
𝑘
В этой зоне 𝛿 сл <k, то есть ламинарный слой разрывается, поэтому
коэффициент 𝜆 зависит от шероховатости стенок, но не зависит от числа
𝑟
Рейнольдса: 𝜆 = 𝑓 ( 0). Это хорошо видно из графика, на котором в V зоне
𝑘
линии идут почти параллельно оси абсцисс.
Коэффициент 𝜆 в этой зоне определяется по уравнению Прандтля.
Потери напора по длине hf = KTV2.
Местные сопротивления.
Местные сопротивления вызываются кранами, задвижками,
вентилями на трубах, внезапным расширением или сужением потока и т.д.
Местные потери напора при турбулентном режиме движения
определяются по формуле:
ℎi = 𝜁
𝑉2
2𝑔
,
где 𝜁 -коэффициент местного сопротивления, зависящий от типа
(конструкции) местного сопротивления;
V – средняя скорость движения жидкости за рассматриваемым
местным сопротивлением.
Таким образом, местные потери напора, так же как и потери напора по
длине, выражаются через скоростной напор
𝑉2
2𝑔
.
Для каждого типа местного сопротивления коэффициент 𝜁 может
быть определен экспериментальным путем.
Лекция № 13.
Истечение жидкости через отверстия, насадки и водосливы
Истечение жидкости через отверстия
И с т е ч е н и е ч е р е з м а л ы е н е з а т о п л е н н ы е о т в е р с т и я в тонкой
с т е н к е при п о с т о я н н о м н а п о р е
Обычно отверстие считается малым, если его размер по высоте не
превышает 0,1 H (рис. 1). В этом случае можно пренебречь различием в
величине напора, действующего в разных точках плоскости отверстия, и
считать, что напоры во всех точках указанного сечения практически
одинаковы. Гидравлический термин «тонкая стенка» применяется к отверстиям, края которых представляют собой острую кромку (рис. 2), вследствие
чего толщина стенки не влияет на характер истечения.
Рис. 1
При истечении через отверстие линии тока на начальном участке струи
оказываются криволинейными (это объясняется инерцией движения), а сама
струя претерпевает сильное сжатие. При этом на некотором достаточно
близком расстоянии от плоскости отверстия (для круглых отверстий на расстоянии примерно равном 0,5 d, где d — диаметр отверстия) течение
становится почти параллельно-струйным. Далее струя падает под действием
силы тяжести. Ближайшее к отверстию сечение с-с, в котором течение
приобретает почти параллельно-струйный характер, называется «сжатым
сечением».
Если истечение происходит в атмосферу, то отверстие называется
незатопленным.
Рис. 2
Выведем основные расчетные зависимости для определения скорости и
расхода при истечении жидкости через малые незатопленные отверстия в
тонкой стенке при постоянном напоре H. С этой целью составим уравнение
Бернулли для сечения 0-0, совпадающего со свободной поверхностью воды в
сосуде и сжатого сечения с-с, приняв за плоскость сравнения
горизонтальную плоскость 0-0, проходящую через центр отверстия. Полагая
коэффициенты кинетической энергии 𝛼 в указанных сечениях равными
единице, получим:
𝑃0 𝑉02
𝑃𝑐 𝑉𝑐2
𝑧0 +
+
= 𝑧𝑐 +
+
+ ℎ𝜔
𝜌𝑔 2𝑔
𝜌𝑔 2𝑔
(1)
В этом уравнении 𝑧0 =H, 𝑧𝑐 =0; если давление на свободной поверхности в
сосуде равно атмосферному, то 𝑃0 = 𝑃𝑐 = 𝑃𝛼 , 𝑉0 и 𝑉𝑐 - средние скорости в
соответствующих сечениях, 𝑉0 =0; ℎ𝜔 потери напора между
рассматриваемыми её сечениями. В данном случае потери напора
обуславливаются только местными сопротивлениями в самом отверстии, т. е.
ℎ𝜔 =ℎ𝑖 . Величина потери напора может быть определена по формуле:
𝑉𝑐2
ℎ𝜔 = ℎ𝑖 = 𝜗отв
,
2𝑔
где 𝜗отв - коэффициент сопротивления отверстия.
С учетом сделанных замечаний уравнение (1) может быть представлено в
следующем виде:
𝑉𝑐2
𝑉𝑐2 𝑉𝑐2
(1 + 𝜗отв )
𝐻=
+ 𝜗отв
=
2𝑔
2𝑔 2𝑔
Тогда получим:
𝐻=
𝑉𝑐2
(1 + 𝜗отв )
2𝑔
Отсюда получим выражение для средней скорости в сжатом сечении с-с:
1
𝑉𝑐 = √
∙ √2𝑔𝐻 = 𝜑√2𝑔𝐻 ,
1 + 𝜗отв
где
1
𝜑 = √1+𝜗
(2)
- коэффицент скорости.
отв
Определим теперь расход Q, проходящий через отверстие:
𝑄 = 𝜔𝑐 ∙ 𝑉𝑐 = 𝜔𝑐 𝜑√2𝑔𝐻 ,
где 𝜔 - площадь струи в сжатом сечении.
Обозначим
𝜔с
=𝜀
𝜔
(3)
где 𝜔 – площадь отверстия; 𝜀 - коэффицент сжатия струи при истечении из
отверстия.
Тогда
𝜔с = 𝜀 ∙ 𝜔 ;
𝑄 = 𝜀 ∙ 𝜔 ∙ 𝜑√2𝑔𝐻 .
Произведение 𝜀 ∙ 𝜑 называется коэффицентом расхода. Обозначив 𝜀 ∙
𝜑 = 𝜇 , получим окончательную формулу для определения расхода при
истечении через малое незатопленное отверстие в тонкой стенке:
𝑄 = 𝜇 ∙ 𝜔√2𝑔𝐻
(4)
Опытами установлено, что для воды и других маловязких жидкостей
при их истечении через малые отверстия в тонкой стенке можно принять
𝜀 = 0,64; 𝜑 = 0,97 и 𝜇 = 0,62 ( при 𝜗отв = 0,06 ).
Сжатие называется совершенным, если стенки и дно сосуда удалены от
отверстия настолько, что они не влияют на характер истечения и условия
сжатия. Это имеет место в том случае, когда отверстие находится от боковых
стенок на рас стоянии 𝑙1 > 3𝑎, (a - ширина отверстия) и от дна на расстоянии 𝑙2 > 3𝑏 (b - высота отверстия).
Если же отверстие расположено к боковым стенкам или дну сосуда на
более близком расстоянии, т. е. если 𝑙1 < 3а и 𝑙2 < 3b (рис. 3), то в этом
случае сжатие называется несовершенным.
Если часть контура отверстия совпадает с дном или боковой
поверхностью сосуда, то на этой части его периметра сжатие струи не
происходит. В этом случае сжатие называется неполным.
Для отверстия в тонкой стенке с полным сжатием коэффициент сжатия
можно принимать равным 𝜀 = 0,64 и, следовательно, коэффициент расхода в
этом случае будет равен 𝜇 = 𝜑 ∙ 𝜀 = 0,97 ∙ 0,64 = 0,62.
При несовершенном и неполном сжатии величина коэффициента
увеличивается по сравнению с совершенным сжатием. Для определения
коэффициента расхода 𝜇 в этих случаях пользуются эмпирическими
формулами, которые приводятся в гидравлических справочниках.
В том случае, когда давление на свободной поверхности в сосуде не
равно атмосферному, т. е. когда 𝑃0 ≠ 𝑃𝛼 , формулы (2) и (4) для скорости
истечения и расхода принимают следующий вид:
𝑉𝑐 = 𝜑√2𝑔 [𝐻 +
𝑃0 − 𝑃𝛼
]
𝜌𝑔
(5)
𝑄 = 𝜇𝜔√2𝑔 [𝐻 +
𝑃0− 𝑃𝛼
]
𝜌𝑔
(6)
Очертание вытекающей струи в вертикальной плоскости определяется
уравнениями: 𝑥 = 𝑉𝑡 и 𝑦 =
𝑔𝑡 2
2
, где 𝑉 = 𝜑√2𝑔𝐻 , а t – время. Исключая t ,
получим уравнение траектории 𝑥 2 = 4𝜑 2 𝐻 ∙ 𝑦 , представляющее уравнение
параболы.
Рис. 3
Истечение через затопленные о твер сти я в тонкой
стенке при постоянном н а п о р е
Если истечение происходит под уровень жидкости, то отверстие называется
затопленным (рис. 4). Составляя уравнение Бернулли для сечений I-I и C-C
относительно плоскости сравнения 0-0, нетрудно убедиться в том, что выведенные выше формулы для скорости и расхода при истечении через
незатопленные отверстия остаются справедливыми и для затопленных
отверстий.
Однако, в этом случае под расчетным напором Н следует
понимать разность напоров, действующих с верховой и низовой сторон
отверстий, т. е. 𝐻 = 𝐻1 − 𝐻2 . Очевидно, что при истечении через
затопленные отверстия исчезает принципиальная разница между малыми и
большими отверстиями, так как в этом случае расчетный напор, равный
разности напоров, действующих с верховой и низовой сторон отверстия
будет одинаков для всех точек живого сечения вытекающей струи как при
малом, так и при большом отверстии.
Рис. 4
Опытами установлено, что коэффициенты
скорости, сжатия и
расхода у затопленных отверстий практически те же самые, что и у
незатопленных, вследствие
чего при расчете затопленных отверстий
следует пользоваться приведенными выше коэффициентами для
незатопленных отверстий.
2. Истечение через насадки при постоянном напоре
Насадком называется короткий патрубок ( 3 ÷ 4𝑑 ), присоединенный к
отверстию в тонкой
стенке. С помощью насадок можно увеличить
пропускную способность отверстия, а также увеличить или уменьшить
кинетическую энергию вытекающей струи. По конфигурации насадки
делятся на три основных типа:
цилиндрические,
конические и
коноидальные. Цилиндрические насадки могут быть внешними, если они
присоединяются к отверстию извне (рис. 5, а), и внутренними (рис. 5, б), если
они
присоединяются с внутренней стороны отверстия.
Конические
насадки могут быть расходящимися (рис. 5, в) и сходящимися (рис. 5, г).
Коноидальными называются насадки, внутренняя поверхность которых
очерчена по форме вытекающей струи (рис. 5, д). Расход через насадки и
средняя скорость в выходном сечении насадок определяется по тем же
формулам, что и для отверстий в тонкой стенке, но при этом коэффициенты
𝜀, 𝜑, 𝜗отв и 𝜇 имеют для каждого насадка свои числовые значения.
Рассмотрим работу внешнего цилиндрического насадка, изображенного
на рис. 5, а. Физическая сущность явлений, происходящих при истечении
жидкости через насадок, аналогична описанному выше случаю внезапного
сужения потока. Вследствие сжатия потока в сечении С-С возникает вакуум.
Величина вакуума в сжатом сечении составляет:
ℎвак = 0,75𝐻0
Рис. 5
Поток успевает расшириться в пределах насадка и полностью заполняет
его выходное сечение.
В соответствии с этим, приняв выходное сечение насадка за расчетное, мы
получим: коэффициент сжатия в этом сечении 𝜀 = 1, а коэффициент расхода
𝜇 в (4) будет равен 𝜇 = 𝜀 ∙ 𝜑 = √
1
1+𝜗нас
, где 𝜗нас - коэффициент сопротивления
насадка. Согласно опытным данным коэффициент сопротивления внешнего
цилиндрического насадка составляет 𝜗нас = 0,5 , а соответствующая этому
величина коэффициента расхода насадка 𝜇 = 0,82 .
Из приведенных данных видно, что, несмотря на значительное увеличение
коэффициента сопротивления насадка (𝜗нас = 0,5 ) по сравнению с
коэффициентом сопротивления малого отверстия в тонкой стенке
(𝜗нас = 0,06), мы имеем существенное возрастание коэффициента расхода
насадка. При этом соотношение коэффициентов расхода внешнего
цилиндрического насадка и малого отверстия в тонкой стенке составляет:
𝜇нас 0,82
=
= 1,32
𝜇отв 0,62
Увеличение коэффициента расхода насадка объясняется наличием
вакуума, образующегося в сжатом сечении потока. Применение конически
расходящихся насадок, угол расхождения которых ограничен условием
безотрывности потока (𝜃 < 7 − 13°) , приводит к увеличению пропускной
способности отверстия и уменьшению кинетической энергии вытекающей
струи.
Сходящиеся насадки применяются для увеличения кинетической энергии
истечения в соплах турбин, гидромониторах, пожарных брандспойтах и т.п.
Коэффициент расхода конического сходящегося насадка ( по данным
опытов) достигает наибольшего значения при угле конусности 𝜃 = 13°.
Коноидальные насадки, очерченные по форме вытекающей из отверстия
струи, характеризуются наиболее высоким коэффициентом расхода.
Истечение через отверстия и насадки при переменном
напоре
В инженерной практике нередко приходится встречаться с истечением
жидкости через отверстия и насадки при переменном напоре, т. е. в условиях
неустановившегося движения.
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 6 и определим время
опорожнения резервуара от начального уровня 𝐻1 до уровня 𝐻2 .
Рис. 6
Так как в рассматриваемом случае напор 𝐻 не остается постоянным, а
изменяется от 𝐻1 до 𝐻2 , то применить эту формулу можно лишь к
бесконечно малому промежутку времени dt, в течение которого уровень
понижается на величину dH,то есть напор можно считать постоянным.
Элементарный объем воды dW, вытекающий из резервуара за время dt,
будет равен:
𝑑𝑊 = 𝜇𝜔√2𝑔𝐻 ∙ 𝑑𝑡
С другой стороны, этот же объем равен:
(7)
𝑑𝑊 = −𝛺𝑑𝐻
(8)
Знак минус в выражении (8) указывает на то, что жидкость вытекает из
резервуара, а не прибывает в него. Приравнивая правые части этих
уравнений, после интегрирования получим:
𝑡=
2𝛺(√𝐻1 − √𝐻2 )
𝜇𝜔√2𝑔
(9)
При полном опорожнении резервуара 𝐻2 = 0 , тогда :
𝑡=
2𝛺√𝐻1
𝜇𝜔√2𝑔
=
2𝛺𝐻1
𝜇𝜔√2𝑔𝐻1
(10)
В формуле (10) 𝛺𝐻1 = 𝑊, где 𝑊 – начальный объем жидкости в сосуде;
𝑄1 = 𝜇𝜔√2𝑔𝐻1 - расход жидкости, вытекающий из сосуда в начале
истечения при начальном напоре 𝐻 = 𝐻1 .
В соответствии с этим формулу (10) можно представить так:
𝑡=
2𝑊
𝑄1
(11)
Из формулы (11) видно, что время полного опорожнения
призматического резервуара при переменном напоре в два раза больше того
времени, которое потребовалось бы для вытекания из резервуара такого же
объема жидкости при постоянном начальном напоре.
Гидравлические характеристики трубопроводов.
При гидравлическом расчете трубопроводов можно использовать
графические методы расчета, в основе которых лежит построение
гидравлических характеристик трубопроводов.
Для трубопроводов заданной длины l и диаметра d формулу h = A lQ2
можно записать в виде h = sQ2, положив при этом s = Al = const, где s сопротивление трубопровода длиной l (характеристический коэффициент
трубопровода).
Функциональная зависимость потерь напора от расхода h =f(Q) может
быть изображена графически в виде кривой, носящей название
характеристической кривой или гидравлической характеристики данного
трубопровода (рис. 2).
Рис. 2
Для построения характеристики трубопровода достаточно, задаваясь
различными величинами расхода, вычислять по одной из водопроводных
формул или по таблицам соответствующие им величины потерь напора h.
При последовательном соединении трубопроводов, как известно,
потери напора суммируются. Поэтому, построив на графике гидравлические
характеристики отдельных участков трубопровода, складывают при
одинаковых расходах Q1, Q2, Q3 их ординаты, т. е. потери напора на
отдельных участках.
Построение суммарной гидравлической характеристики трубопровода
с последовательным соединением приведено на рис.3
Рис. 3
При параллельном соединении трубопроводов общий расход
определяется как сумма расходов в параллельных участках, потери же
напора на отдельных участках равны.
Предварительно на графике строят гидравлические характеристики
отдельных участков. Для построения суммарной гидравлической
характеристики всего водопровода складывают абсциссы точек пересечения
горизонтальных прямых с характеристиками отдельных участков.
Построение суммарной гидравлической
параллельном соединении приведено на рис.4.
характеристики
при
Рис. 4
Элементы экономического расчета трубопроводов.
Из формулы для подсчета потерь напора по длине трубопровода hf =
𝜆
𝑙
𝑉2
𝑑 2𝑔
cледует, что при заданном расходе Q потери напора hf зависят от
диаметра трубопровода. Увеличение диаметра трубопровода уменьшает
потери напора, а следовательно, снижает расход энергии при работе
насосной установки. Однако при этом увеличивается стоимость
трубопровода.
Учитывая, что устройство длинных напорных трубопроводов связано
со значительными капитальными затратами, вопрос о выборе диаметра
трубопровода имеет большое экономическое значение и должен решаться с
учетом основных факторов, влияющих на стоимость всего сооружения в
целом (стоимость водопровода, насосных установок и других сооружений), а
также всех эксплуатационных расходов, связанных с работой насосных
станций и самого трубопровода. Экономически наивыгоднейшим диаметром
трубопровода будет такой, при котором сумма ежегодных расходов
(амортизационные, эксплуатационные расходы) по данному комплексу
сооружений будет наименьшей. Таким образом, задача сводится к
определению минимального значения полной стоимости S водопроводной
𝐶
системы, определяемой уравнением S = + Э,
𝑡
где С - полная строительная стоимость водопровода;
t - время «морального износа» (амортизации) сооружений;
Э - ежегодные эксплуатационные расходы.
Определение экономически наивыгоднейшего диаметра можно
произвести графоаналитически. Для этого надо построить совмещенный
график (рис. 5) зависимости всех капитальных затрат от его диаметра, т. е. С
= f (d), и стоимости эксплуатации со всеми начислениями, также в функции
от диаметра Э = 𝜑(d).
Рис. 5
Тогда путем сложения ординат кривых С = f (d) и Э = 𝜑(d) можно
построить кривую полной стоимости S=f’ (С, Э) системы. Значение
экономически наивыгоднейшего диаметра dэк будет соответствовать точке S
минимума суммарной кривой.
Лекция №14.
Определение и классификация гидравлических машин.
В
химической
промышленности
важное
значение
имеет
транспортирование жидких или газообразных продуктов по трубопроводам
как внутри предприятия между отдельными аппаратами и установками, так
и вне его.
Движение жидкостей по трубопроводам и через аппараты связано с
затратами энергии. При перемещении жидкости по горизонтальным
трубопроводам и с низшего уровня на высший применяют насосы.
Насосы — гидравлические машины, которые преобразуют механическую энергию двигателя в энергию перемещаемой жидкости, повышая ее
давление. Разность давлений жидкости в насосе и трубопроводе
обусловливает ее перемещение.
Различают насосы двух основных типов: динамические и объемные.
В динамических насосах жидкость перемещается при воздействии сил
на незамкнутый объем жидкости, который непрерывно сообщается со
входом в насос и выходом из него.
В объемных насосах жидкость перемещается (вытесняется) при
периодическом изменении замкнутого объема жидкости, который
периодически сообщается со входом в насос и выходом из него.
Динамические насосы по виду сил, действующих на жидкость,
подразделяются на лопастные и насосы трения.
К лопастным относятся динамические насосы, в которых энергия
передается жидкости при обтеканий лопастей вращающегося рабочего
колеса (или нескольких колес) насоса.
Лопастные насосы, в свою очередь, делятся на центробежные и
осевые, причем в центробежных насосах жидкость движется через рабочее
колесо от его центра к периферии, а в осевых — в направлении оси колеса.
Насосы трения представляют собой динамические насосы, в, которых
жидкость перемещается преимущественно под воздействием сил трения. К
насосам трения относятся, в частности, вихревые и струйные насосы.
Группа объемных насосов включает насосы, в которых жидкость вытесняется из замкнутого пространства телом, движущимся возвратнопоступательно (поршневые, плунжерные, диафрагмовые насосы) или
имеющим вращательное движение (шестеренные, пластинчатые, винтовые
насосы).
Насосы каждой из указанных выше групп различаются по конструктивным признакам. Основные конструкции насосов, применяемые в химической промышленности, будут рассмотрены ниже.
Основные параметры насосов
Основными параметрами насоса любого типа являются производительность, напор и мощность.
Производительность, или подачa, Q (м3/сек) определяется объемом
жидкости, подаваемой насосом в нагнетательный трубопровод в единицу
времени.
Напор Н (м) характеризует удельную энергию, которая сообщается
насосом единице веса перекачиваемой жидкости. Этот параметр
показывает, насколько возрастает удельная энергия жидкости при прохождении ее через насос, и определяется с помощью уравнения Бернулли.
Напор можно представить как высоту, на которую может быть поднят 1 кг
перекачиваемой жидкости за счет энергии, сообщаемой ей насосом.
Поэтому напор не зависит от удельного веса γ (кгс/м3) или плотности ρ
(кг/м3) перёкачиваемой жидкости.
Полезная мощность NП, затрачиваемая насосом на сообщение
жидкости энергии, равна произведению удельной энергии Н на весовой
расход γQ жидкости:
NП =γQH=ρgQH
(1)
Мощность на валу Nе больше полезной мощности в связи с потерями
энергии в насосе, которые учитываются коэффициентом полезного действия
(к. п. д.) ηн:
𝑁𝑒 =
𝑁П
𝜂н
=
𝜌𝑔𝑄𝐻
𝜂н
(2)
Коэффициент полезного действия ηн характеризует совершенство
конструкции и экономичность эксплуатации насоса. Величина ηн отражает
относительные потери мощности в самом насосе и выражается
произведением
ηн = η𝑉 ηГ ηМЕХ
(3)
В выражение (3) входят следующие величины: 𝜂𝑉 = 𝑄/𝑄𝑇 - коэффициент подачи, или объемный к. п. д., представляющий собой отношение
действительной производительности насоса Q к теоретической QT
(учитывает потери производительности при утечках жидкости через зазоры
и сальники насоса, а также вследствие неодновременного перекрытия
клапанов и выделения воздуха из перекачиваемой жидкости при давлении
ниже атмосферного – во время всасывания); 𝜂Г - гидравлический к. п. д. —
отношение действительного напора насоса к теоретическому (учитывает
потери напора при движении жидкости через насос); 𝜂МЕХ - механический к.
п. д., характеризующий потери мощности на механическое трение в насосе
(в подшипниках, сальниках и др.).
Значение 𝜂н зависит от конструкций и степени износа насоса и в среднем составляет: для центробежных насосов 0,6—0,7; для поршневых насосов 0,8—0,9; для наиболее совершенных центробежных насосов большой
производительности 0,93—0,95.
Мощность, потребляемая двигателем, или номинальная мощность
двигателя NДВ, больше мощности на валу вследствие механических потерь в
передаче от электродвигателя к насосу и в самом электродвигателе. Эти
потери учитываются введением в уравнение (3) к. п. д. передачи ηпер и к. п.
д. двигателя ηдв :
Ne
𝑁П
𝑁ДВ =
=
ηпер ηдв ηн ηпер ηдв
Произведение 𝜂н 𝜂пер 𝜂дв представляет собой полный к. п. д.
насосной установки 𝜂 который определяется как отношение полезной
мощности NП к номинальной мощности двигателя NДВ и характеризует
полные потери мощности насосной установкой:
𝜂=
𝑁П
𝑁ДВ
= 𝛈н 𝛈пер 𝛈дв
(5)
Из уравнений (3) и (5) следует, что полный к. п. д. насосной установки
может быть выражен произведением пяти величин:
𝜂 = 𝛈𝑽 𝛈Г 𝛈мех 𝛈пер 𝛈дв
(6)
Установочная мощность двигателя 𝑁уст рассчитывается по величине
𝑁ДВ с учетом возможных перегрузок в момент пуска насоса, возникающих в
связи с необходимостью преодоления инерции покоящейся массы
жидкости:
𝑁уст = 𝛽𝑁ДВ
(7)
Здесь 𝛽 — коэффициент запаса мощности; его значения определяют в
зависимости от номинальной мощности двигателя 𝑁ДВ :
𝑁ДВ , кВт ……… Менее 1 1-1,5
5-50
Более 50
𝛽 ………………
2-1,5
1,5-1,2 1,2-1,15
1,1
Напор насоса. Высота всасывания
Напор. Рассмотрим схему насосной установки, представленной на
рис.1. Введем обозначения: 𝒑𝟎 — давление в емкости 1, из которой насосом
2 засасывается жидкость (назовем ее условно приемной емкостью); 𝒑𝟐 —
давление в напорной емкости 3; 𝒑вс - давление во всасывающем патрубке
насоса; 𝒑н — давление в напорном патрубке насоса; Нвс — высота
всасывания; Нн — высота нагнетания; НТ - геометрическая высота подачи
жидкости; h - расстояние по вертикали между уровнями установки
манометра М и вакуумметра В.
Для определения напора насоса применим уравнение Бернулли.
Примем за плоскость сравнения уровень жидкости в приемной
емкости (сечение 0-0).
Уравнение Бернулли для сечений 0-0 и I-I:
𝑝0
𝜌
+
𝜔02
2𝑔
= 𝐻вс +
𝑝вс
𝜌𝑔
+
2
𝜔вс
2𝑔
+ ℎп.вс.
(8)
Рис.1. Схема насосной установки:
1 .приемная емкость; 2 — насос; 3 — напорная емкость; М — манометр;
В — вакуумметр.
Уравнение Бернулли для сечений I’-I’ и II’-II’:
𝑯вс + 𝒉 +
𝒑н
𝝆𝒈
+
𝝎𝟐н
𝟐𝒈
= 𝑯вс + 𝒉 + Нн +
𝒑𝟐
𝝆𝒈
+
𝝎𝟐𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒉п.н
(9)
В этих уравнениях:
ω0 и ω2 - скорости жидкости в приемной и напорной емкостях (в
сечениях 0-0 и II-II соответственно);
ωвс и ωн - скорости жидкости во всасывающем и нагнетательном
патрубках насоса;
hп.вс и hп.н. - потери напора во всасывающем и нагнетательном
трубопроводах.
Скорость жидкости 𝝎𝟎 пренебрежимо мала по сравнению со
скоростью во всасывающем трубопроводе, т. е. сравнительно с 𝝎вс , и
поэтому может быть исключена из уравнения (8). Тогда из этого уравнения
удельная энергия Евх жидкости на входе в насос:
𝑬вх = 𝐇вс +
𝐩вс
𝛒𝐠
+
𝛚𝟐вс
𝟐𝐠
=
𝐩𝟎
𝛒𝐠
− 𝐡п.вс
(8a)
Аналогично 𝝎𝟐 ≪ 𝝎н ; пренебрегая величиной 𝝎𝟐 и учитывая, что
𝑯вс + 𝒉 + Нн = 𝑯г - геометрической высоте подъема жидкости, определим
по уравнению (9) удельную энергию жидкости на выходе из насоса:
𝐸вых = 𝐻вс + ℎ +
𝑝н
𝜌𝑔
+
𝜔н2
2𝑔
= 𝐻г +
𝑝2
𝜌𝑔
+ ℎп.н
(9а)
Вычитая из левой части уравнения (9а) левую часть уравнения (8а),
находим напор насоса:
𝐻 = 𝐸вых − 𝐸вх = ℎ +
𝑝н −𝑝вс
𝜌𝑔
+
2
𝜔н2 −𝜔вс
2𝑔
(10)
Уравнение (10) показывает, что напор насоса равен сумме трех
слагаемых:
высоты
подъема
жидкости
в
насосе,
разности
пьезометрических напоров и разности динамических напоров в
нагнетательном и всасывающем патрубках насоса.
Обычно нагнетательный и всасывающий патрубки насоса имеют одинаковый диаметр; соответственно 𝜔вс = 𝜔н и уравнение (10) упрощается:
𝐻=ℎ+
𝑝н −𝑝вс
𝜌𝑔
(11)
Уравнения (10) и (11) применяют для расчета напора при
проектировании насосов.
Для определения напора действующего насоса пользуются показаниями установленных на нем манометра (𝑝м ) и вакуумметра(𝑝в ). Выразим
абсолютные давления 𝑝н и 𝑝вс через показания манометра и вакуумметра:
𝑝н = 𝑝м + 𝑝а
𝑝вс = 𝑝а − 𝑝в
причем 𝑝а — атмосферное давление.
Делая подстановку этих выражений в уравнение (11), получим
𝐻=ℎ+
𝑝м +𝑝в
𝜌𝑔
(12)
Таким образом, напор действующего насоса может быть определен
как сумма показаний манометра и вакуумметра (выраженных в м столба
перекачиваемой жидкости) и расстояния по вертикали между точками
расположения этих приборов.
Если манометр приподнят на значительное расстояние 𝒉𝟏 по
вертикали от точки присоединения манометрической трубки к линии
нагнетения, то надо учитывать, что 𝑝н = 𝒑м + 𝒑а + 𝒉𝟏 𝝆𝒈 , так как
манометрическая трубка в отличие от трубки вакуумметра заполнена
перекачиваемой жидкостью.
Иное выражение для напора насоса может быть выведено, если из
правой части уравнения (9а) вычесть правую часть уравнения (8а). При этом
получим уравнение
𝑯 = 𝑯г +
𝒑𝟐 +𝒑𝟎
𝝆𝒈
+ 𝒉п
(13)
где 𝒉п = 𝒉п.н + 𝒉п.вс - суммарное гидравлическое сопротивление
всасывающего и нагнетательного трубопроводов.
Согласно уравнению (13), в насосной установке напор насоса затрачивается на перемещение жидкости на геометрическую высоту ее подъема
(𝐻г ), преодоление разности давлений в напорной и приемной емкостях
𝑝2 −𝑝1
(
𝜌𝑔
) и суммарного гидравлического сопротивления ℎп во всасывающем
и нагнетательном трубопроводах.
Уравнение (13) используют при подборе насосов для технологически
х установок.
Если давления в приемной и напорной емкостях одинаковы 𝑝0 =
𝑝2 , то уравнение напора принимает вид
H = Hг + hп
(14)
При перекачивании Жидкости по горизонтальному трубопроводу
(Hг = 0):
H=
p2 -p0
ρg
+ hп
(14а)
В случае равенства давлений в приемной и напорной емкостях для
(горизонтального трубопровода (p2 = p0 и Hг = 0) напор насоса
Hг = hп
(14б)
Высота всасывания. Всасывание жидкости насосом происходит под
действием разности давлений в приемной емкости p0 и на входе в насос pвс
или под действием разности напоров
p0 pвс
- .
ρg ρg
Высота всасывания может быть
определена из уравнения (8):
𝐻вс =
𝑝0
𝜌𝑔
𝑝вс
−(
𝜌𝑔
+
2 −𝜔2
𝜔вс
0
2𝑔
+ ℎп.вс )
(15)
Принимая во внимание, что практически скорость𝜔0 ≈ 0, получим
𝐻вс =
𝑝0
𝜌𝑔
𝑝вс
−(
𝜌𝑔
+
2
𝜔вс
2𝑔
+ ℎп.вс )
(16)
высота всасывания насоса увеличивается с возрастанием
давления 𝑝0 в приемной емкости и уменьшается с увеличением давления
𝑝вс , скорости жидкости 𝜔вс и потерь напора ℎп.вс во всасывающем
трубопроводе.
Если жидкость перекачивается из открытой емкости, то давление 𝑝0
равно атмосферному 𝑝𝑎 . Давление на входе в насос 𝑝вс должно быть
больше давления 𝑝𝑡 насыщенного пара перекачиваемой жидкости при
температуре всасывания 𝑝вс > 𝑝𝑡 ,так как в противном случае жидкость в
насосе начнет кипеть. При этом в результате интенсивного выделения из
жидкости паров и растворенных в ней газов возможен разрыв потока и
уменьшение высоты всасывания до нуля, Следовательно
Таким образом,
𝐻вс ≤
𝑝а
𝜌𝑔
−(
𝑝𝑡
𝜌𝑔
+
2
𝜔вс
2𝑔
+ ℎп.вс )
(17)
Из уравнения (17) следует, что высота всасывания зависит от
атмосферного давления, скорости движения и плотности перекачиваемой
жидкости, температуры (и соответственно — давления ее паров) и
гидравлического сопротивления всасывающего трубопровода.
Лекция №15.
Центробежные насосы
Принцип действия и типы насосов. В центробежных насосах
всасывание и нагнетание жидкости происходит равномерно и непрерывно
под действием центробежной силы возникающей при вращении рабочего
колеса с лопатками, заключенного в спиралеобразном корпусе.
В одноступенчатом центробежном насосе (рис. 2) жидкость из
всасывающего трубопровода поступает вдоль оси рабочего колеса 2 в
корпус 3 насоса и, попадая на лопатки 4, приобретает вращательное
движение. Центробежная сила отбрасывает жидкость в канал переменного
сечения между корпусом и рабочим колесом, в котором скорость жидкости
уменьшается до значения, равного скорости в нагнетательном трубопроводе 5. При этом, как следует из уравнения Бернулли, происходит
преобразование кинетической энергии потока жидкости в статический
напор, что обеспечивает повышение давления жидкости. На входе в колесо
создается пониженное давление, и жидкость из приемной емкости
непрерывно поступает в насос.
Рис. 2. Схема центробежного насоса.
1 всасывающий трубопровод; 2 — рабочее колесо; 3 — корпус; 4 —
лопатки; 5 - нагнетательный трубопровод.
Давление, развиваемое центробежным насосом, зависит от скорости
вращения рабочего колеса. Вследствие значительных зазоров между
колесом и корпусом насоса разрежение, возникающее при вращении
колеса, недостаточно для подъема жидкости по всасывающему
трубопроводу, если он и корпус насоса не залиты жидкостью. Поэтому
перед пуском центробежный насос заливают перекачиваемой жидкостью.
Чтобы жидкость не выливалась из насоса и всасывающего трубопровода
при заливке насоса или при кратковременных остановках его, на конце
всасывающей трубы, погруженном в жидкость, устанавливают обратный
клапан, снабженный сеткой (на рисунке не показан).
Основное уравнение центробежных машин Эйлера. В каналах
между лопатками рабочего колеса жидкость, двигаясь вдоль лопаток,
одновременно совершает вращательное движение вместе с колесом.
Определим полный напор, развиваемый рабочим колесом при перекачивании идеальной жидкости. Допустим, что колесо неподвижно, а жидкость
движется по каналам между лопатками с той же относительной скоростью,
что и во вращающемся колесе. Абсолютные скорости движения жидкости на
входе в колесо с1 и на выходе из колеса с2 являются каждая геометрической
суммой относительной и окружной скоростей, поэтому их можно разложить
(рис. 3) на относительные составляющие 𝜔1 и 𝜔2 (направленные вдоль
лопаток) и окружные составляющие 𝑢1 и 𝑢2 соответственно (направленные
по касательной к окружности вращения).
Рис. 3. К выводу основного уравнения центробежных машин.
Принимая за плоскость сравнения плоскость рабочего колеса,
составим баланс энергии жидкости при прохождении ее через колесо по
уравнению Бернулли (𝑧1 = 𝑧2 ):
𝑝1 𝜔12 𝑝2 𝜔22
+
=
+
𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 2𝑔
При вращении колеса жидкость на выходе приобретает дополнительную энергию А, равную работе центробежной силы на пути длиной 𝑟2 − 𝑟1 .
Тогда
𝑝1
𝜌𝑔
+
𝜔12
=
2𝑔
𝑝2
𝜌𝑔
+
𝜔22
2𝑔
−𝐴
(18)
Если рабочее колесо вращается с угловой скоростью 𝜔, то центробежная сила С, действующая на частицу жидкости массой 𝑚, равна
𝑮
𝑪 = 𝒎𝝎𝟐 𝒓 = 𝝎𝟐 𝒓
𝒈
где G — вес частицы; 𝑟 — текущий радиус вращения частицы.
Работа 𝐴𝐺 , совершаемая центробежной силой при перемещении этой
же частицы на пути 𝑟2 − 𝑟1 , составляет
𝑟2
𝐺 𝟐
𝐺𝜔2 2
𝐴𝐺 = ∫ 𝝎 𝒓𝑑𝑟 =
(𝑟 − 𝑟12 )
𝑔
2𝑔 2
𝑟1
Произведение угловой скорости 𝜔 на радиус вращения 𝑟 равно окружной скорости 𝑢, поэтому
𝜔2 𝑟22 = 𝑢22 и 𝜔2 𝑟12 = 𝑢12
Работа 𝐴𝐺 выразится уравнением
𝐺 𝑢22 − 𝑢12
𝐴𝐺 = (
)
𝑔
2
Удельная работа, отнесенная к единице веса жидкости, равна удельной энергии, приобретаемой жидкостью в насосе. Поэтому
𝑢22 − 𝑢12
𝐴=
2
Подставляя это выражение в уравнение (18), получим
𝑝1 𝜔12 𝑝2 𝜔22 𝑢22 − 𝑢12
+
=
+
−
𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 2𝑔
2
откуда
𝑝2 −𝑝1
𝜌𝑔
=
𝜔12 −𝜔22
2𝑔
+
𝑢22 −𝑢12
(19)
2𝑔
В соответствии с уравнением Бернулли напоры жидкости на входе во
вращающееся колесо 𝑯𝟏 и выходе из него 𝑯𝟐 составят:
𝑯𝟏 =
𝒑𝟏
𝝆𝒈
+
𝒄𝟐𝟏
𝟐𝒈
𝑯𝟐 =
𝒑𝟐
𝝆𝒈
+
𝒄𝟐𝟐
𝟐𝒈
Теоретический напор 𝑯𝑻 насоса равен разности напоров на входе в
колесо и выходе из него:
𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 𝒄𝟐𝟐 − 𝒄𝟐𝟏
𝑯𝑻 = 𝑯𝟐 − 𝑯𝟏 =
+
𝝆𝒈
𝟐𝒈
𝒑𝟐 −𝒑𝟏
Подставив выражение для
из уравнения (19), получим
𝝆𝒈
𝑯𝑻 =
𝝎𝟐𝟏 −𝝎𝟐𝟐
𝟐𝒈
+
𝒖𝟐𝟐 −𝒖𝟐𝟏
𝟐𝒈
+
𝒄𝟐𝟐 −𝒄𝟐𝟏
𝟐𝒈
(20)
Из параллелограммов скоростей на входе в колесо и выходе из него
(см. рис, III-4)
𝝎𝟐𝟏 = 𝒖𝟐𝟏 + 𝒄𝟐𝟏 − 𝟐𝒖𝟏 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟏
𝝎𝟐𝟐 = 𝒖𝟐𝟐 + 𝒄𝟐𝟐 − 𝟐𝒖𝟐 𝒄𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐
Тогда уравнение (20) запишется в виде
𝑯𝑻 =
𝒖𝟐 𝒄𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 −𝒖𝟏 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟏
𝒈
(21)
Уравнение (21) называется основным уравнением центробежных
машин и может быть применено к расчету всех центробежных машин, в том
числе турбогазодувок, турбокомпрессоров и вентиляторов. Оно верно в том
случае, когда все частицы жидкости движутся в насосе по подобным
траекториям. Это возможно лишь при условии, что рабочее колесо имеет
бесконечно большое число лопаток и сечение канала для прохода жидкости
невелико.
Обычно жидкость, поступая из всасывающего трубопровода, движется
по колесу в радиальном направлении. В этом случае угол между абсолютным значением скорости жидкости на входе в рабочее колесо и окружной
скоростью 𝜶𝟏 = 𝟗𝟎° (что соответствует условию безударного ввода жидкости в колесо). Тогда уравнение (21) упрощается:
𝑯𝑻 =
𝒖𝟐 𝒄𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐
𝒈
(22)
Действительный напор насоса меньше теоретического, так как часть
энергии жидкости расходуется на преодоление гидравлических
сопротивлений внутри насоса и жидкость в нем при конечном числе
лопаток не движется по подобным траекториям. Действительный напор
составляет
𝑯 = 𝑯𝑻 𝜼г 𝜺
где 𝜼г - гидравлический к. п. д. насоса, равный 0,8—0,95; 𝜺 —
коэффициент, учитывающий конечное число лопаток в насосе, равный
0,6—0,8.
Законы пропорциональности. Производительность и напор
центробежного насоса зависят от числа оборотов рабочего колеса. Из
уравнения
(23)
следует,
что
производительность
насоса
прямопропорциональна радиальной составляющей абсолютной скорости
на выходе из колеса, т. е. 𝑄 ~𝑐2𝑟 . Если изменить число оборотов насоса от
𝑛1 до 𝑛2 , что вызовет изменение производительности от 𝑄1 до 𝑄2 то, при
условии сохранения подобия траекторий движения частиц жидкости,
параллелограммы скоростей в любых сходственных точках потоков будут
геометрически подобны. Соответственно
𝑄1
𝑄2
=
′
𝑐2𝑟
′′
𝑐2𝑟
=
𝑢2′
𝑢2′′
𝜋𝐷2 𝑛1
=
𝜋𝐷2 𝑛2
=
𝑛1
𝑛2
(24)
Согласно уравнению (22), напор центробежного насоса пропорционален квадрату окружной скорости, т.е.
𝐻1
𝐻2
2
𝑢2′
2
𝑛
= ( ′′) = ( 1 )
𝑢
𝑛
2
2
(25)
Мощность, потребляемая насосом, пропорциональна произведению
производительности 𝑄 насоса на его напор 𝐻 [см. уравнение (2)].
С учетом зависимостей (24), и (25) получим
𝑁1
𝑁2
3
𝑛
= ( 1)
𝑛
2
(26)
Уравнения (24)-(26) носят название законов пропорциональности. В
соответствии с этими уравнениями изменение числа оборотов рабочего
колеса от 𝑛1 до 𝑛2 приводит к изменению производительности насоса
пропорционально числу оборотов, высоты напора — пропорционально числу
оборотов во второй степени, а мощности — пропорциоиально числу
оборотов в третьей степени.