Электротехника (ТОЭ) РГР № 3

9.7. Задания на выполнение расчетно-графических работ 3
Расчет периодических несинусоидальных токов в электрических цепях
Содержание задания: найти показание одного из приборов (значения
эффективные) и записать выражение для мгновенного значения
измеряемой им величины в функции времени, построить
соответствующий график за период Т в виде трех гармоник и их суммы,
построить также график вход- ного напряжения, определить активную
мощность в ветви 2. Номер задания состоит из пяти цифр: первая номер
ветви 1 из таблицы, приведенной ниже, вторая номер ветви 2, третья
номер ветви 3, четвертая вид измерительного прибора (1А2, 2А3, 3V),
пятая форма входно- го сигнала.
Таблица
Первая
цифра
Вид ветви 1
Вторая
цифра
1
1
2
2
Вид ветви 2
3
4
Третья
Цифра
Вид ветви 3
1
2
3
Рис. 9.7.1. Схема электрической цепи
Форма входного напряжения u(t) и его представление гармоническим рядом
1. Прямоугольные импульсы c амплитудой Um = 150 В:
1
T  0.02 с, t  0 0.00005  T ,   2  T ,
.
f31 ( t)  150 if 0  t  0.5 T
( 150) if 0.5 T  t  T
200
100
f31 ( t )
0
 100
 200
510
0
3
0.01
0.015
0.02
t
Рис. 9.7.2. Прямоугольные импульсы
4 Um 
1
1

u1 ( t) 
 sin (  t)  sin ( 3 t)  sin ( 5 t)  ... , Um  150.

3
5


Представление входного сигнала суммой трех гармоник:
4 Um
4 Um
f2 ( t) 
sin (  t), f3 ( t) 
sin ( 3 t),

 3
4 Um
f4 ( t) 
sin ( 5 t), f5 ( t)  f2 ( t)  f3 ( t)  f4 ( t).
 5
200
150
f2 ( t ) 100
f3 ( t )
50
f4 ( t )
0
f5 ( t )  50
 100
 150
 200
0
2.510
3
510
3
7.510
3
0.01
0.0125
0.015
t
Рис. 9.7.3. Спектр прямоугольного импульса
0.0175
0.02
2. Трапецевидные симметричные импульсы с амплитудой Um = 150 B
и временем нарастания ta = 3T/16.
Входной сигнал представим суммой линейных функций,
имеющих скорость нарастания k = Um/ta и включаемых в нужные
моменты времени при помощи функции Хевисайда Ф(t):
T
150
3
, k 
, k  4  104 ,
ta  3  , ta  3.75  10
16
ta
f6 ( t)  k t  ( t)  k ( t  ta)  ( t  ta),
f7 ( t)  k [ t  ( 0.5T  ta) ]  [ t  ( 0.5T  ta) ],
f8 ( t)  k [ t  ( 0.5T  ta) ]  [ t  ( 0.5T  ta) ],
f9 ( t)  k [ t  ( T  ta) ]  [ t  ( T  ta) ],
f10 ( t)  f6 ( t)  f7 ( t)  f8 ( t)  f9 ( t),


3 
.
8
200
100
f10 ( t )
0
 100
 200
3
510
0
u2 ( t) 
4 Um
 
0.01
0.015
0.02
t
Рис. 9.7.4. Трапецевидный импульс

 sin (  ) sin (  t) 
1

sin ( 3 ) sin ( 3 t)   .
9
 1
  sin ( 5  ) sin ( 5  t) ...
 25



Представление входного сигнала суммой трех гармоник:
4 Um
4 Um sin ( 3  ) sin ( 3  t)
,
f11 ( t) 
sin (  ) sin (  t), f12 ( t) 

 
 
9
4 Um sin ( 5  ) sin ( 5  t)
, f14 ( t)  f11 ( t)  f12 ( t)  f13 ( t).
f13 ( t) 

 
25
200
150
100
f11 ( t )
f12 ( t )
f13 ( t )
50
0
f14 ( t )  50
 100
 150
 200
0
2.510
3
510
3
7.510
3
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
t
Рис. 9.7.5. Спектр трапецевидного импульса
3. Треугольные симметричные импульсы с амплитудой Um = 150 B.
Построим входную функцию путем задания ее значений в нескольких
точках, применив линейную аппроксимацию для нахождения
промежуточных значений:
Yi  ( 0 150 0 150 0 ) строка-вектор исходных значений функции,
T
Y  Yi - столбец, N  length ( Y ) - число элементов строки,
T
- шаг по t, i  0  N  1 - число шагов,
T  0.02 - период, dt 
N 1
tsi  i dt - текущее время, Y ( t)  linterp ( ts Y t) - линейная интерполяция.
100
Y (t)
0
 100
0
3
510
0.01
0.015
t
Рис. 9.7.6. Треугольный импульс
0.02
u3 ( t) 
8 Um
2



 sin (  t) 
1
1

sin ( 3  t) 
sin ( 5  t)  .... .
9
25

Представление входного сигнала суммой трех гармоник:
f15 ( t) 
8 Um

f17 ( t) 
2
8 Um
25
2
sin (  t), f16 ( t) 
8 Um
9
2
sin ( 3 t),
sin ( 5 t), f18 ( t)  f15 ( t)  f16 ( t)  f17 ( t) .
150
f15 ( t )
f16 ( t )
f17 ( t )
100
50
0
f18 ( t )  50
 100
 150
0
510
3
0.01
0.015
0.02
t
Рис. 9.7.7. Спектр треугольного импульса
4. Косинусоида (по модулю) амплитудой Um = 100 B
100
75
f19 ( t ) 50
25
0
0
510
3
0.01
0.015
t
Рис.9.7.8. Косинусоида (по модулю)
0.02
u4 ( t) 
4 Um  1
1
1
1

  cos ( 2  t)  cos ( 4  t)  cos ( 6  t) ... 
15
35
2 3


Представление входного сигнала суммой трех гармоник и постоянной
составляющей:
4 Um
4 Um cos ( 2  t)
4 Um cos ( 4  t)
, f21 ( t) 
, f22 ( t) 
,
f20 ( t) 


 2

3

15
4 Um cos ( 6  t)
, f24 ( t)  f20 ( t)  f21 ( t)  f22 ( t)  f23 ( t).
f23 ( t) 


35
100
f21 ( t )
50
f22 ( t )
0
f23 ( t )
f24 ( t )
 50
 100
0
510
3
0.01
0.015
0.02
t
Рис. 9.7.9. Спектр косинусоиды (по модулю)
5. Пилообразные импульсы амплитудой Um=100 B :
f25 ( t)  ( 5000 t) if 0  t  T
f25 ( t  T ) if t  T
100
f25 ( t ) 50
0
0
510
3
0.01
0.015
t
Рис. 9.7.10. Пилообразный импульс
1
1
1 1 

u5 ( t)  Um    sin (  t)  sin ( 2  t)  sin ( 3  t)  ... 
2
3
2  

0.02
Представление входного сигнала суммой трех гармоник и постоянной
составляющей:
Um
Um
Um
, f27 ( t) 
f26 ( t) 
sin (  t), f28 ( t) 
sin ( 2 t),
2

 2
Um
f29 ( t) 
sin ( 3 t), f30 ( t)  f26 ( t)  f27 ( t)  f28 ( t)  f29 ( t).
 3
Рис. 9.7.11. Спектр пилообразного импульса
100
f27 ( t )
f28 ( t )
50
f29 ( t )
f30 ( t )
0
 50
0
510
3
0.01
0.015
0.02
t
Расчетно-графическая работа 3. Пример выполнения
Рис. 9.7.12. Схема электрической цепи.
(Приборы измеряют эффективные значения, а с индексом dc измеряют постоянные
токи и напряжения.)
Рис. 9.7.13. Схема на постоянном токе
Рис. 9.7.14. Схема на переменном токе
Входная функция f ( t) пилообразные импульсы с амплитудой Е = 100 В и
периодом T = 0.02 с:

3 x
T  0.02, x  0 0.001  2  ,   2  , f ( x )  5 10  ,
T

n  1  5 .
Вычисление коэффициентов Фурье прямым интегрированием:
2 
1 
a0 

2  0
bn 
2 
1 
f ( x ) dx, bn  
 
0
f ( x ) sin ( n x ) dx,
-31.831
-15.915
-10.61
2 
1 
an  
 
0
-7.958
f ( x ) cos ( n x ) dx, an
0, a0  50
-6.366
Значения первых трех гармоник и их сумма:
f1 ( t)  31.83 sin (  t), f2 ( t)  15.91 sin ( 2 t),
f3 ( t)  10.61 sin ( 3 t), f4 ( t)  f1 ( t)  f2 ( t)  f3 ( t), V0  50
Вычисление коэффициентов Фурье при помощи быстрого преобразования:
T
3
, A  FFT ( f ),
h  0  511, f h  5 10 h 
511
Vn 
V n 
A n if n  1
-31.893
A n 2 if n  0
-15.947
-10.632
-7.974
-6.38
40
f1 ( t ) 20
f2 ( t )
f3 ( t )
f4 ( t )
0
 20
 40
0
510
3
0.01
0.015
0.02
t
Рис.9.7.15. Спектр входного сигнала
k  1  3, V1  20 В, V2  40 В, R1  1 Ом, R2  2 Ом, R3  3, Ом,
Xl2  4 Ом, Xc1  5 Ом, Xl1  2 Ом, U k  100 (  k )
1
.
Вектор амплитуд гармоник согласно справочникам:
Uk 
-31.831
-15.915
-10.61
Расчет сопротивлений:
z1 k  R1  j k Xl1, z2 k  R2  j k Xl2, z3 k  R3  j 
Xc1
,
k
1
z23 k  z2 k z3 k  z2 k  z3 k  , z k  z1 k  z23 k.
V0  V1  V2
Расчет токов: i0 
, i1k  U k  z k   1, U23k  i1k z23 k,
R1  R2
i2k  U23k  z2 k 
, i3k  U23k  z3 k   1, u0  i0 R2  V2.
1
Показания приборов
I1 
3
2
i0  0.5 



 , V 
i1k
 , I2 
2
3
2
i0  0.5 
k1
3
I3 
0.5 

i3k

i2k
U23k
2.

2,
k1
2
k1
2
u0  0.5 
3


k1
Активная мощность в ветви с резистором R2
2
P  I2 R2.
Результат расчета:
i0  3.333 А, u0  33.333 В, I1  5.155 А , I2  5.137 А,
I3  3.725 А, V  38.407 В, P  52.777 Вт,
3 k  arg  i3k , f5 ( t)  i31 sin   t  3 1,
f6 ( t)  i32 sin  2  t  3 2,
f7 ( t)  i33 sin  3  t  3 3,
f8 ( t)  f5 ( t)  f6 ( t)  f7 ( t).
10
f5 ( t )
5
f6 ( t )
f7 ( t )
0
f8 ( t )
5
 10
0
510
3
0.01
0.015
0.02
t
Рис. 9.7.16. Форма тока i3 по результатам расчета
Рис. 9.7.17. Форма тока i3 и входного напряжения
по результатам моделирования
Здесь V3 V4 V5 это эффективные значения гармоник,
соответствующие амплитудам U k и V n. Имеем из показаний приборов:
I1 = 3.935 A, i0 = 3.378A, V = 19.12 B, Vdc = 33.05 B. Отсюда:
2
2
3.935  3.378  5.186 А,
2
2
19.12  33.05  38.182 В.