Цилиндр
Прямым круговым цилиндром (или просто цилиндром) называется тело,
полученное в результате вращения прямоугольника вокруг оси, проходящей
через одну из его сторон.
Круги (О; О1А) и (О; ОВ) называются основаниями цилиндра.
Основания параллельны и равны.
Образующими цилиндра (АВ) называются отрезки, расположенные
между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все
образующие параллельны друг другу и равны.
Осью цилиндра (ОО1) называется отрезок, соединяющий центры кругов,
являющихся основаниями цилиндра. Ось параллельна образующим.
Высотой цилиндра (ОО1) называется длина его образующей или
расстояние между плоскостями его оснований.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру
основания.
Цилиндр называется прямым, если образующие перпендикулярны
основанию.
В прямом цилиндре ось равна высоте и образующей.
Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью,
проходящей через его ось.
Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть
образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
Секущая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его по
кругу.
Теорема. Плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает его
боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Доказательство. Плоскость
параллельна основания.
α,
перпендикулярная
оси
цидиндра,
При параллельном переносе, совмещающем плоскость α с плоскостью
основания чечение боковой поверхности плоскостью α совмещается с
окружностью основания.
Теорема доказана.
Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической
поверхности, расположенной между секущими плоскостями, которые
перпендикулярны образующим.
Теорема. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению
длины окружности его основания на высоту (Sбок=2RH, где R – радиус
основания цилиндра, Н – высота цилиндра).
Доказательство. Рассмотрим цилиндр радиуса R и высотой Н. Боковую
поверхность его разрежем по образующей и развернем на плоскость.
Получили прямоугольник, основание C которого равно длине окружности
основания цилиндра, а высота Н – высоте цилиндра. Площадь полученного
прямоугольника выражается формулой S=CH или S=2RH.
Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра Sбок=2RH, где R
– радиус основания цилиндра, Н – высота цилиндра).
Теорема доказана.
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей
боковой поверхности и двух оснований цилиндра. Sполн.пов=2RH+2R2
Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на
высоту. V=R2H.
Доказательство. Впишем в цилиндр правильную n-угольную призму.
С возрастанием n объем этой призмы будет стремиться к объему
цилиндра.
Объем призмы находится по формуле V=SоснН, где Sосн – площадь
основания призмы.
С возрастанием n площадь основания призмы стремится к площади круга
– основания цилиндра.
Выражая площадь основания цилиндра через его радиус, получаем, что
V=R H.
2
Теорема доказана.
Примеры решения задач
Задача № 1. Высота цилиндра равна 3 см, а длина диагонали его осевого
сечения равна 5 см. Вычислите радиус основания цилиндра.
Дано: ABCD – осевое сечение цилиндра,
ВС=3 см, АС=5 см.
Найти: ОА
Решение:
Радиус основания цилиндра ОА=АВ:2. В прямоугольном треугольнике АВС
(ВС=3 см, АС= 5см, СВА=90о) длина катета АВ= АС 2  ВС 2 = 4см.
Ответ: 4 см
Задача № 2. Длина окружности основания цилиндра равна 4 см, а
площадь его осевого сечения равна 8 см2. Вычислите высоту цилиндра.
Дано: SABCD=8 cм2, L=4 см
Найти: СВ
Решение:
Высоту цилиндра CB можно найти из площади диагонального сечения.
СВ=SABCD:АВ, где АВ – диаметр основания.
Длина окружности находится по формуле L=2R=D. Отсюда D=АВ=L:=4 см.
Теперь находим CB=8:4=2 см.
Ответ: 2 см
Задача № 3. В цилиндре, высота которого 6 см, а радиус основания 5 см,
проведено сечение, параллельное его оси. Вычислите расстояние от прямой, на
которой лежит ось цилиндра, до плоскости сечения, если длина диагонали
сечения равна 10 см.
Дано: BC=6 cм, ОС=5 см, BD=10 см.
Найти: OF
Решение:
Из прямоугольного треугольника OFC: OF= ОС 2  FС 2 . ОС известно.
FC=DC:2. DC= DB 2  ВС 2 =8 см. Отсюда FC=4 см, OF=3 см.
Ответ: 3 см
Задача № 4. Высота цилиндра равна 10 см. В развертке ABCD его
боковой поверхности образующая CВ составляет с диагональю АС развертки
угол 30о. Вычислите объем цилиндра.
Дано: СВ=10 см, САВ=30о.
Найти: V
Решение:
Объем цилиндра вычисляется по формуле V=R2H, где R – радиус основания
цилиндра, Н – его высота. Так как Н=10 см, то V=10R2.
Длина отрезка АВ равна длине окружности основания цилиндра АВ=2R.
Из треугольника АВС АВ=СВtg30o=
Теперь находим V=10R2=10(
10 3
5 3
, следовательно, R=
.
3
3
5 3 2 250
)=
cм3.
3
3
Ответ:
250
см3
3
Задача № 5. В цилиндре параллельно его оси на расстоянии 3 см от нее
проведена секущая плоскость, которая отсекает от окружности основания дугу
в 60о. Вычислите объем цилиндра, если площадь сечения равна 5 см2.
Дано: OF= 3 см, SABCD=5 см2, DOC=60o.
Найти: V
Решение:
Объем цилиндра вычисляется по формуле V=R2H, где R – радиус основания
цилиндра, Н – его высота.
В прямоугольном треугольнике OFC (OFC=90о, FOC=30o, OF= 3 см) длина
гипотенузы ОС=R=OF:cos30o=2 см, а длина катета FC=ОС:2=1 см.
Следовательно, DC=2FC=2 см. SABCD=АВDС. Отсюда ВС= SABCD:DC=2,5 см.
Таким образом, V=R2H=222,5=10 см3.
Ответ: 10 см3
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Что является основанием цилиндра…
1) Два круга
2) Два овала
3) Круг
4) Многогранник
2. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его
боковую поверхность по…
1) Кругу
2) Окружности, равной окружности основания
3) По эллипсу
3. Объем цилиндра вычисляется по формуле…
1) R2H
2) R2
3) 2RH
4. Высота цилиндра 4 см, радиус основания – 3 см. Площадь боковой
поверхности цилиндра равна…
1) 12
2) 24
3) 36
5. Радиус основания цилиндра равен 2 см. Найдите высоту цилиндра, если
длина диагонали его осевого сечения равна 5 см.
6. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 см2, объем цилиндра 36 см3. Чему равен радиус основания цилиндра, если его высота 4 см?
7. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой квадрат,
площадь которого равна 76 см2. Найти площадь основания цилиндра.
8. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой
прямоугольник, в котором диагональ равна 4 3 см и составляет угол 60о с
основанием. Чему равно произведение V, если V – объем цилиндра?
9. Площадь основания цилиндра равна 20 см2. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения наклонена к
плоскости основания под углом 45о.
10. В цилиндр вписана прямая треугольная призма АВСА1В1С1, основанием
которой служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АВ=ВС).
Найдите объем призмы, если радиус основания цилиндра равен 4 см, а
плоскость треугольника АВ1С наклонена к плоскости основания под углом 45о.
Вариант 2
1. Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость…
1) Проходящая через образующую цилиндра
2) Перпендикулярная плоскости осевого сечения
3) Перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащего
образующую
4) Параллельная плоскости осевого сечения
2. Плоскость, проходящая через ось цилиндра называется…
1) Диаметральной
2) Секущей
3) Осевым сечением
3. Площадь круга вычисляется по формуле…
1) R2H
2) R2
3) 2RH
4. Высота цилиндра 4 см, радиус основания – 3 см. Площадь основания
цилиндра равна…
1) 12
2) 9
3) 24
5. Высота цилиндра равна 12 3 см. Чему равен радиус основания, если
диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 60о?
6. Объем цилиндра равен 48 см3. Найдите высоту цилиндра, если она в два
раза больше диаметра основания.
7. Высота цилиндра равна диаметру основания. Площадь развертки боковой
поверхности цилиндра равна 104 см2. Найти площадь основания цилиндра.
8. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой квадрат со
стороной длиной 3 40 . Найти объем цилиндра.
9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 28 см2. Найдите двугранный
угол между сечениями цилиндра плоскостями, проходящими через его ось,
если площади сечений 22 см2 и 26 см2.
10. Площадь основания цилиндра равна 3 см2, а площадь его осевого сечения –
2 см2. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около
цилиндра.
Вариант 3
1. Отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований,
называется…
1) Секущая
2) Касательная
3) Высота
4) Образующая
2. Осевым сечением прямого цилиндра является…
1) Параллелограмм
2) Ромб
3) Прямоугольник
3. Длина окружности вычисляется по формуле…
1) R
2) 2R
3) R2
4. Высота цилиндра 4 см, радиус основания – 3 см. Объем цилиндра равен…
1) 12
2) 24
3) 36
5. Чему равна площадь осевого сечения цилиндра, если длина окружности
основания цилиндра равна 4, а высота цилиндра 2 см?
6. Найдите диаметр основания цилиндра, если объем цилиндра равен 64 см3, а
площадь боковой поверхности 32 см2.
7. Высота цилиндра равна радиусу его основания. Площадь развертки боковой
поверхности цилиндра равна 1002 см2. Найти площадь основания цилиндра.
8. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой
прямоугольник, в котором диагональ составляет угол 60о со стороной, равной
высоте цилиндра. Чему равна диагональ прямоугольника, если объем цилиндра
равен 162/ см3?
9. Длины сторон прямоугольника равны 2 см и 4 см. Вычислите отношение
площадей полных поверхностей цилиндров, полученных при вращении
прямоугольника вокруг его сторон.
10. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, длина
одного из катетов которого равна 6 см. Диагональ боковой грани призмы,
проходящей через другой катет, наклонена к плоскости основания под углом
45о. Найдите высоту цилиндра, вписанного в призму, если объем цилиндра 32
см3.
Вариант 4
1. Полная поверхность цилиндра состоит из…
1) Оснований
2) Боковой поверхности
3) Сечения
4) Основания
2. Секущая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его…
1) По эллипсу
2) По кругу
3) По прямой
3. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле…
1) R2H
2) R2
3) 2RH
4. Объем цилиндра равен 32 см3. Высота цилиндра – 2 см. Радиус основания
цилиндра равен…
1) 16
2) 8
3) 4
5. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под
углом 45о. Вычислите радиус основания цилиндра, если его объем равен 54
см3.
6. Чему равна диагональ осевого сечения цилиндра, если объем цилиндра равен
96 см2, а площадь основания 16 см2.
7. Прямоугольник со сторонами длиной
3
см и

27

см вращается вокруг
меньшей стороны. Найти площадь полной поверхности полученной фигуры.
8. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Найдите объем цилиндра, если площадь этого прямоугольника 12 см 2, а длина
окружности, описанная точкой пересечения диагоналей прямоугольника равна
4 см.
9. Радиус основания цилиндра в три раза больше его высоты. Найдите
отношение площади его полной поверхности к боковой поверхности.
10. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и
4 см. Найдите высоту призмы, если площадь полной поверхности цилиндра,
вписанного в призмы равны 6 см2.
Вариант 5
1. Радиусом цилиндра является…
1) Диаметр основания
2) Радиус основания
3) Высота цилиндра
4) Образующая цилиндра
2. Боковой поверхностью цилиндра называется…
1) Часть цилиндрической поверхности, расположенной между
плоскостями, которые параллельны образующим
2) Часть цилиндрической поверхности, расположенной между
плоскостями, которые перпендикулярны образующим
3) Часть цилиндрической поверхности, расположенной между
плоскостями, которые параллельны оси цилиндра
3. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле…
1) R2H+2RH
2) R2+2RH
3) 2RH+2R2
4. Площадь основания цилиндра равна 144 см2. Радиус основания цилиндра
равен…
1) 24
2) 12
3) 11
5. Радиус цилиндра равен 3 см, а его высота – 10 см. Вычислите площадь
осевого сечения цилиндра.
6. Найдите отношение объема цилиндра к его боковой поверхности, если
радиус основания равен 10 см.
7. Площадь полной поверхности цилиндра равна 80 см2. Площадь боковой
поверхности равна половине полной поверхности. Вычислите радиус
окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 144 3  см2. Вычислите
площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси и удаленной от
нее на расстояние, равное половине радиуса, если данное сечение является
квадратом.
9. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Найдите объем цилиндра, если площадь прямоугольника равна 20 см 2, а длина
окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей равна 12 см.
10. Объем равностороннего цилиндра равен 2 см3. Около него описана
треугольная призма, периметр основания которой равен 84 см. Найдите
площадь полной поверхности призмы.
Вариант 6
1. Цилиндр называется прямым, если…
1) Его основания параллельны
2) Его основания перпендикулярны образующим
3) Его образующие наклонены под острым углом к плоскости основания
4) Его высота перпендикулярна плоскости основания
2. Плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает его боковую
поверхность по…
1) Прямой
2) Окружности
3) Окружности, равной окружности основания
3. Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле…
1) R2H
2) R2
3) 2RH
4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 70 см2. Радиус основания
равен 5 см. Высота цилиндра равна…
1) 7
2) 10
3) 14
5. Площадь осевого сечения цилиндра равна 60 см2, а его высота – 10 см.
Вычислите радиус основания цилиндра.
6. Объем цилиндра в два раза больше площади основания. Чему равна высота
цилиндра?
7. В цилиндре, высота которого 6 см, а радиус основания 5 см, проведено
сечение, параллельное его оси. Найдите расстояние от прямой, на которой
лежит ось цилиндра, до плоскости сечения, если длина диагонали сечения
равна 10 см.
8. Объем цилиндра равен 1200 см3. Цилиндр пересечен плоскостью,
параллельной его оси. Найдите высоту цилиндра, если расстояние от прямой,
содержащей ось цилиндра, до прямой, на которой лежит диагональ сечения,
равно 8 см и сечением является квадрат.
9. Объем цилиндра равен 875/4 см3. Через образующую цилиндра проведены
два взаимно перпендикулярных сечения, периметры которых равны 18 см и 36
см. Найдите разность площадей данных сечений.
10. Высота цилиндра на 2 см больше его радиуса, а площадь полной
поверхности равна 80 см2. Найдите объем правильной четырехугольной
призмы, вписанной в цилиндр.
Вариант 7
1. У прямого цилиндра образующие равны…
1) Высоте цилиндра
2) Диаметру основания
3) Радиусу цилиндра
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна…
1) Произведению площади основания на высоту
2) Произведению длины окружности основания на высоту
3) Произведению длины окружности основания на диаметр
3. 2RH – это формула для вычисления..
1) Объема цилиндра
2) Площади боковой поверхности
3) Площади основания
4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 90 см2. Высота цилиндра
равна 5 см. Радиус основания равен…
1) 9
2) 3
3) 12
5. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а его высота – 5 см. Вычислите
площадь диагонального сечения цилиндра.
6. Объем цилиндра равен 27 см3. Найдите радиус основания цилиндра, если он
равен высоте цилиндра.
7. Объем цилиндра равен 10 см3. Параллельно оси цилиндра на расстоянии 3
см от нее проведена секущая плоскость, которая отсекает от окружности
основания дугу в 60о. Вычислите площадь данного сечения.
8. Точка О – середина оси О1О2 цилиндра, точки А и В лежат на одной из его
образующих. На лучах ОА и ОВ выбраны соответственно точки D и С так, что
точки А и В – середины отрезков OD и ОС соответственно. Чету равна длина
отрезка DC, если расстояние между точками А и В равно 2 см?
9. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 2 см2. Через образующую
цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Найдите
площади полученных сечений, если они равны.
10. В цилиндр вписана призма, основанием которой служит прямоугольный
треугольник. Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра к ,
если площадь грани призмы, содержащей гипотенузу треугольника, равна 10
см2.
Вариант 8
1. Основания цилиндра…
1) Равны
2) Параллельны
3) Перпендикулярны
4) Не равны
2. Площадью полной поверхности цилиндра называется…
1) Сумма площадей боковой поверхности и двух оснований цилиндра
2) Сумма площадей оснований
3) Сумма площадей оснований и площади развертки цилиндра
3. R2 – это формула для вычисления…
1) Объема цилиндра
2) Площади боковой поверхности
3) Площади основания
4. Объем цилиндра равен 175 см3. Радиус основания – 5 см. Высота цилиндра
равна…
1) 10
2) 7
3) 5
5. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а его высота – 8 см. Вычислите
радиус окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.
6. Чему равна высота цилиндра, если его объем равен 80 см3, а площадь
основания 16 см2?
7. Площадь полной поверхности цилиндра равны 264 см2. Образующая
цилиндра на 4 см больше диаметра его основания. Найдите длину диагонали
осевого сечения цилиндра.
8. Высота цилиндра 6 см, а радиус основания – 5 см. Отрезок длиной 10 см
расположен так, что его концы лежат на окружностях обоих оснований.
Вычислите расстояние от прямой, содержащей данный отрезок, до прямой,
содержащей ось цилиндра.
9. От прямоугольника ABCD, у которого АВ= 4 см, ВС=2 см, отрезан
прямоугольник OFTK (TF=2 см, ЕК= 1 см, СК=1 см). Найдите отношение
объема тела, полученного при вращении данной фигуры около прямой АВ к .
10. В цилиндрический сосуд, радиус основания которого равен 6 см, помещен
шар радиусом 3 см. В сосуд налита вода так, что ее свободная поверхность
касается поверхности шара (шар при этом не всплывает). Определить толщину
слоя воды, который получится, если вынуть шар из сосуда.
Вариант 9
1. Цилиндр называется равносторонним, если…
1) Его высота равна радиусу основания
2) Его высота равна диаметру основания
3) Его высота равна образующим
4) Все его образующие равны
2. Объем цилиндра равен…
1) Одной третьей произведения площади основания на высоту
2) Произведению длины окружности основания на высоту
3) Произведению площади основания на высоту
3. R2H – это формула для вычисления..
1) Объема цилиндра
2) Площади боковой поверхности
3) Площади основания
4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 40 см2, длина окружности
основания 5. Высота цилиндра равна…
1) 8
2) 4
3) 10
5. Осевое сечение цилиндра – квадрат. Площадь боковой поверхности цилиндра
равна 50 см2. Вычислите длину диагонали сечения.
6. Вычислите высоту цилиндра, если его объем 160 см3, а диаметр основания
равен 8 см.
7. Объем цилиндра равен 2592 см3. Найдите длину диагонали осевого сечения
цилиндра, если длина окружности основания равно 24 см.
8. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 3 см2. Вычислите площадь
сечения плоскостью, параллельной его оси и проходящей от прямой,
содержащей ось, на расстоянии, равном половине радиуса основания.
9. От квадрата ABCD, дина стороны которого 2 см, отрезан квадрат OFCK, где
точка О есть центр квадрата ABCD, а точки F и К – середины сторон ВС и CD
соответственно. Полученная фигура вращается вокруг прямой, содержащей
сторону АВ. Вычислите отношение объема тела, полученного при вращении
данной фигуры, к .
10. Конус высотой 6 см касается четырех шаров радиусом 3 см, лежащих на
плоскости основания конуса так, что каждый шар касается двух других. Объем
этого конуса равен.
Вариант 10
1. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий…
1) Точки оснований
2) Центры кругов оснований
3) Две точки основания
4) Противоположные точки оснований
2. Секущая плоскость, расположенная под углом к основанию, пересекает
конус по…
1) Кругу
2) Окружности
3) Эллипсу
3. 2R – это формула для вычисления…
1) Площади боковой поверхности
2) Площади основания
3) Дины окружности
4. Объем цилиндра равен 27 см3, площадь основания - 9 см2. Высота
цилиндра равна…
1) 9
2) 4
3) 3
5. Чему равен радиус основания цилиндра, если площадь основания равна 81
см2?
6. Объем цилиндра равен 90 см3. Вычислите радиус основания цилиндра, если
его высота 10 см.
7. Радиусы оснований двух цилиндров равны 8 см и 2 см. найдите отношение
объемов этих цилиндров, если площади их боковых поверхностей равны.
8. Вычислите периметр осевого сечения цилиндра, если площадь его полной
поверхности равна 130 см2, а объем цилиндра – 200 см3.
9. Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет длину 4 см. Через ось
цилиндра проведена другая цилиндрическая поверхность, делящая окружность
основания на две дуги, длины которых относятся как 2:1. Эта цилиндрическая
поверхность делит данный цилиндр на две части. Найдите отношение боковой
поверхности большей части цилиндра к .
10. В цилиндре высотой 20 см и радиусом 15 см просверлили отверстие
радиусом 9 см. Ось отверстия проходит через ось цилиндра и перпендикулярна
ей. Найдите отношение объема полученной фигуры к .
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
1
1, 2
4
1, 2
2
2
1
1, 2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
2
1
3
3
3
1
2
2
3
3
2
2
3
1
3
4
2
2
3
3
2
1
1
2
1
3
5
3
6
8
3
60
3
40
5
10
9
6
3
8
8
10
5
2
3
5
10
3
7
19
26
501
72
5
3
5
20
30
4
8
18
10
12
48
216
12
4
3
6
36
9
80
60
2
4
240
63
10
10
5
32
10
64
9
8
2
252
192
10
5
9
2412