Методические указания к выполнению курсового проекта

Методические указания к выполнению курсового
проекта
Автор: доцент Степанов Ю.М.
Предисловие
В настоящее время
ускорители заряженных
частиц
используются не только в ядерной физике, современное состояние и
все достижения которой неразрывно связаны с созданием и
совершенствованием ускорителей, но и нашли применение в технике,
медицине, геологии и в других областях для решения широкого круга
прикладных задач.
Среди циклических ускорителей бетатрон занимает особое
место. Если все остальные ускорители по принципу действия
резонансные, то в бетатроне ускорение по круговой орбите
осуществляется вихревым электрическим полем непрерывно в течение
всего времени ускорения. Поэтому бетатрон выделяется в отдельный
класс – циклические индукционные ускорители, где он является
единственным действующим ускорителем.
Широкому применению бетатронов способствуют такие его
достоинства,
как
чрезвычайная
простата
конструкции,
неприхотливость
эксплуатации,
возможность
применения
в
передвижных радиационных лабораториях.
На основе теоретических расчётов и экспериментальных
исследований на опытных установках в Томском политехническом
университете разработан метод технического расчёта магнитной
системы бетатрона, успешно используемый при расчёте ускорителей.
В предлагаемом учебном пособии дано краткое описание этого метода.
Используются инженерные расчётные формулы, в которых
используются разные системы единиц измерения, в том числе и часто
используемые внесистемные единицы. Соотношения между единицами
измерения учтены в численных коэффициентах.
Ниже приведены используемые в пособии условные
обозначения.
R0 – радиус расчётной орбиты;
Rн – наружный радиус полюсных
наконечников;
RС – радиус центральных вставок
(галет);
bн – расстояние между полюсным наконечником и стойкой;
h – вертикальная апертура ускорительной камеры;
hп – полная высота полюса;
1
Rп – радиус полюсного сердечника;
rд – радиус центрального отверстия в
галетах;
rд расч – расчётный радиус отверстия в
галетах;
rп – радиус центрального отверстия в
полюсе;
rп расч – расчётный радиус отверстия
в полюсе;
0 – межполюсный зазор на радиусе
R0;
н – межполюсный зазор на радиусе
Rн;
В – межполюсный зазор на радиусе
Rc;
b0 – половина радиальной апертуры
межполисного зазора;
b – половина радиальной апертуры
ускорительной камеры;
bок – радиальный размер окна под катушку;
bк – радиальный размер намагничивающей катушки;
h0 – высота полюса на радиусе R0;
hпс – высота полюсного сердечника;
hок – высота окна под намагничивающую катушку;
hк – высота козырька на радиусе Rп;
hя – высота ярма магнитопровода;
hд - высота галеты;
L – длина ярма магнитопровода;
Hст – высота стойки ярма;
 – толщина стенки вакуумной камеры;
1 – зазор между ускорительной
камерой и галетами;
2 – зазор между ускорительной камерой и полюсами;
ст – толщина листов электротехнической стали;
из – толщина изолированных листов
стали.
В конце пособия приведён список литературы, содержащий все
необходимые для расчёта справочные данные.
2
1. Введение
При конструировании бетатрона расчёт электромагнита имеет
решающее значение, так как от правильного выбора размеров и
параметров
электромагнита зависят технико-экономические и
эксплуатационные показатели установки.
В правильно рассчитанном электромагните бетатрона должно
быть обеспечено выполнение следующих условий:
1) электромагнит должен иметь возможно меньший вес;
2) нагрев частей магнитопровода и обмоток электромагнита не должен
превышать допустимого при нормальном режиме работы;
3) распределение магнитного поля в зазоре между полюсами должно
обеспечить фокусировку частиц и выполнение “бетатронного
условия 2:1” в течение всего периода ускорения;
4) насыщение отдельных участков магнитопровода не должно
нарушать “бетатронного условия” в процессе ускорения;
5) необходимая топография магнитного поля в межполюсном зазоре
должна быть выдержана с большой точностью.
Выполнение первого и второго условий одновременно требует
использование компромиссного варианта, так как уменьшение
размеров магнита и, следовательно, увеличение магнитной индукции в
элементах магнитопровода приводит к увеличению в них потерь и
усилению нагрева.
Требование к допустимым ошибкам в топографии магнитного
поля, как известно, чрезвычайно жёсткое. Удовлетворение этих
требований потребовало бы применения специальной формы
магнитопровода и использования высококачественных материалов.
Поэтому при конструировании магнитопровода необходимо
предусмотреть возможность коррекции при настройке ускорителя.
3
2. Расчёт размеров межполюсного пространства
2.1. Вывод расчётного уравнения для радиуса равновесной
орбиты
При заданной энергии электронов в конце ускорения расчёт
следует начинать с определения радиуса равновесной орбиты R0.
В релятивистском случае соотношение между двумя основными
параметрами бетатрона – радиусом R0 и индукцией магнитного поля В0
на орбите с радиусом R0 даётся уравнением:
B0 R 0 
W 2  2WE 0
ec
2
E2 - E 0

,
ec
(2.1)
где: W – кинетическая энергия электрона, E=W+E0 –полная энергия,
E0=m0c2 – энергия покоя, е – заряд электрона, с – скорость света.
Решение этого уравнения относительно энергии:
E  W  E 0  (ecB0 R 0 ) 2  E 02 .
(2.2)
Если в уравнении использовать размерности [E]=МэВ, [B0]=Гс,
[R0]=см, то после подстановки соответствующих коэффициентов
перевода в эти единицы и значений постоянных е и с, получаем:
E  9 10-8 (B0 R 0 ) 2  E 02 .
(2.3)
В конце ускорения кинетическая энергия электронов W обычно
на порядок и более превышает их энергию покоя E0=0,511МэВ.
Поэтому в формуле (2.3) величиной Е0 под корнем можно пренебречь:
E  3  10 -4 B 0 R 0 .
(2.4)
Из бесконечного числа пар значений B0 и R0, удовлетворяющих
уравнению, могут быть приняты только те, которые отвечают
выполнению перечисленных выше условий. Чтобы выполнить первое
условие минимального веса следует стремиться к меньшему значению
R0, но при этом возрастает необходимое для получения заданной
энергии значение индукции магнитного поля на равновесной орбите
В0. Но при больших значениях В0 начинает сказываться насыщение
стали центральной части магнитопровода, приводящее к нарушению
бетатронного условия и, следовательно, смещению орбиты ускоряемых
электронов. Кроме того, при этом возрастают потери в стали
магнитопровода от вихревых токов и гистерезиса, что может привести
к чрезмерному нагреву магнитопровода.
4
Поэтому уравнение (2.4) не позволяет однозначно выбрать
нужное значение R0. Если пользоваться непосредственно этим
уравнением, то необходимо рассматривать несколько вариантов и
только по конечным результатам расчета этих вариантов судить о
пригодности того или иного из них.
Чтобы избежать трудоёмкой работы, связанной с расчётом
многих вариантов, нужно получить уравнение, связывающее R0 с
заданной энергией Е, в котором автоматически выполняется
«бетатронное условие», а индукция может быть выбрана так, что
отсутствие насыщения гарантированно. Для этого вместо В 0
необходимо ввести индукцию в той части магнитопровода, где она
максимальна.
На рисунке 2.1 представлены профиль полюсов
5
Рис.2.1. Профиль полюсов и распределение магнитного поля по
радиусу в межполюсном зазоре.
бетатрона и соответствующая кривая распределения индукции по
радиусу В=f(R) в средней плоскости межполюсного зазора. В рабочей
6
зоне межполюсного пространства, занятого полезным сечением
ускорительной камеры (участок аb), распределение индукции по
радиусу должно удовлетворять соотношению:
R 0n
B(R)  B0 n ,
R
(2.5)
где: В0 и В(R)–мгновенные значения индукции на радиусах R0 и R
соответственно, n–показатель спада магнитного поля по радиусу.
Обычно n=0,60,8. Кроме того, должно выполняться бетатронное
условие:
(2.6)
B k  2B 0 ,
где BK–средняя индукция в круге с радиусом, равным радиусу
равновесной орбиты R0.
Практически показатель спада n на разных радиусах в рабочей
зоне ускорительной камеры имеет не одинаковые значения, но в
кольце, ограниченном радиусами R0 и RC, магнитный поток в котором
учитывается при вычислении BK, n можно считать постоянным и
равным значению на радиусе R0. Поэтому магнитный поток dФ через
кольцо с произвольным радиусом R и толщиной dR :
dФ  2RdR B(R)  2B 0 R 0n R 1-n dR
(2.7)
Магнитный поток в кольце, ограниченном произвольными радиусами
R1 и R2:
R2
R2
R1
R1
Ф12   dФ  2B0 R 0n  R 1-n dR 
2B0 R 0n 2-n
(R 2  R 12-n ). (2.8)
2n
Действительную кривую распределения индукции по радиусу
(сплошная линия на рисунке 2.1) для упрощения расчётов можно
заменить идеализированной (на рисунке 2.1 показана пунктиром).
Возможная неточность, обусловленная таким допущением, легко
корректируется после сборки электромагнита регулированием зазора
между полюсами.
Полагая, что индукция в кольце с радиусами R0 и RC изменяется
в соответствии с уравнением (2.5), а в круге с радиусом RC она
постоянна и равна ВС, в соответствии с уравнением (2.8) находим
магнитный поток ФК в круге равновесной орбиты:
Ф к  R С2 BС 
2B0 R 0n 2-n
R 0  R C2-n
2n


Среднее значение индукции ВК в круге равновесной орбиты:
7
(2.9)
2
2B0 R 0n
Фк  R c 



Bc  2
R 02-n - R C2-n
2

R 0  R 0 
R 0 (2 - n)


(2.10)
Теперь бетатронное условие (2.6) принимает вид:
2
2 n
 R C  2B0   R C  
 
   2B0 ,
1  
Bc 
 R 0  2 - n   R 0  
(2.11)
откуда:
B0 
где:
BC
B
 С,
1

 2
2  2 
 2  n 
2n


R0

RC
1

  2 
 2  n 
2n


(2.12)
(2.13)
(2.14)
Из формулы (2.4) с учётом соотношения (2.12):
R0 
E
2E
6.7 10 3 E


BC
3 10 -4 B0 3 10 -4 BC
(2.15)
При питании обмотки электромагнита бетатрона переменным
синусоидальным током мгновенное значение индукции на орбите В 0 в
конце процесса ускорения:
B0  B0а sinα р ,
(2.16)
где: B0а–амплитуда индукции на орбите; р=(6567)0–рекомендуемая
расчётная фаза сброса электронов на мишень, если бетатрон
используется как источник тормозного излучения, либо фаза смещения
их в выводное устройство. Поскольку и в сердечнике предполагается
отсутствие насыщения:
BС  BCа sin α р .
(2.17)
Для уменьшения потерь на вихревые токи магнитопровод
бетатрона набирается из тонких листов электротехнической стали,
изолированных друг от друга. Явление насыщения определяется
величиной магнитной индукции в стали магнитопровода. Обозначим:
Вда–амплитуда индукции в стали сердечника, Кд – коэффициент
8
заполнения сердечника сталью, т.е. доля суммарного сечения стали в
полном сечении сердечника. Поскольку магнитный поток проходит по
листам стали и отсутствует в изоляции:
(2.18)
BCа  Bда К д
Окончательно с учётом (2.17) и (2.18) формула (2.15) приобретает вид:
R0 
6.7  103 E
B да К д sin α р
(2.19)
Это уравнение прямо или косвенно связывает основные
параметры и размеры с конечной энергией ускоренных электронов и
может быть использовано для расчёта R0.
В таблице 2.1 приведены результаты расчёта зависимости  ()
по формуле (2.14) для различных значений «n».
Значения параметра  при различных  и n.

Таблица 2.1.

n=1/2
n=2/3
n=3/4
1,2
1,21
1,21
1,21
1,4
1,44
1,43
1,42
1,6
1,70
1,67
1,65
1,8
1,97
1,92
1,88
2,0
2,27
2,20
2,15
2,2
2,6
2,49
2,42
2,4
2,9
2,78
2,68
2.2. Обоснование выбора исходных данных к расчёту
электромагнита
При заданной конечной энергии ускоренных электронов для
определения R0 необходимо предварительно выбрать значения Вда, Кд,
р, n, .
9
1. Особое внимание следует обратить на выбор амплитуды
магнитной индукции Вда в стали центральных дисков. Она
определяется, в первую очередь, магнитными характеристиками стали
магнитопровода и условиями охлаждения. По мере приближения
значения индукции к насыщению быстро увеличиваются потери в
стали при перемагничивании. Растёт выделение тепла, увеличивается
мощность источника питания. Чем больше энергия и, следовательно,
размеры электромагнита, тем более затруднён теплоотвод из
внутренних участков магнитопровода. Поэтому чем больше энергия, на
которую рассчитан бетатрон, тем меньше допустимое значение Вда.
Для изготовления магнитопровода бетатронов обычно используется
сталь Э–330 толщиной 0,35 мм. В этом случае, как показала практика,
при работе на переменном токе промышленной частоты с
естественным охлаждением электромагнита
Вда=(1718)кГс при
W=(520)МэВ и Вда=(1617)кГс при W=(2550)МэВ.
При увеличении частоты Вда снижается, т.к. при этом растут
потери в стали. Степень снижения определяется значением
допустимых удельных потерь в стали дисков.
Удельные потери в стали при частоте  и индукции В
определяются по формуле:

P  P f , B
n
 f   B
  
 ,
 f   B 
(2.20)
где индекс «» относится к базисной точке, приведённой в стандарте
или каталоге. Здесь n=1.91 при В<15000 Гс, n=3.05 при В>15000 Гс и
=1.56 для стали Э-330.
Предположим, что необходимо выбрать значение индукции в
дисках для бетатрона на энергию 20МэВ, работающего на частоте
100Гц. Если бы этот бетатрон работал на частоте =50Гц, то по
условиям теплового режима можно использовать значение В да=17кГс.
В таблице2.2. приведены удельные потери в стали Э-330 при частоте
=50Гц. Примем значение этих потерь в качестве реперной точки и
найдём значение Вда, при котором потери будут такими же и при
=100Гц.
α
Р В,100
n
 100   В 
 Р17,50 
 
  P17,50
 50   17000 
Нужное значение Вда находится из уравнения:
10
(2.21)
α
n
 B   50 

 
 .
 17000   100 
(2.22)
Таблица 2.2.
Кривая намагничивания и удельные потери в стали Э-330.
В, Гаусс
H, Ампер/см.
Р, ватт/кг.
3000
0,12
0,06
5000
0,15
0,21
7000
0,22
0,38
9000
0,39
0,58
10000
0,54
0,70
11000
0,80
0,85
12000
1,24
1,00
13000
1,80
1,16
14000
2,55
1,34
15000
3,80
1,54
16000
6,00
1,74
17000
10,6
2,05
18000
19,0
2,34
19000
50,0
2,65
20000
300
2,9
2. Коэффициент заполнения сердечника сталью Кд зависит от
соотношения между радиусами сердечника RC и центрального
отверстия в нём, через которое пропускается крепёжный болт. Обычно
Кд=0,830,87, причём, чем меньше машина, тем меньше Кд.
3.Рекомендуемая
фаза
окончания
процесса
ускорения
P=650-750; т.к. при больших фазах прирост энергии во времени
становится мал.
4.От показателя спада магнитного поля по радиусу n зависит
соотношение между амплитудами вертикальных АВЕРТ и радиальных
АРАД колебаний электронов:
А верт
А рад

1- n
.
n
(2.23)
Таким же будет, следовательно, соотношение между вертикальными и
радиальными размерами сечения пучка. Из соображений удобства
работы с пучком обычно принимается n=0,60,75. В бетатронах
конструкции ТПУ n=2/3.
11
5.От величины =R0/RC зависит, какая доля из общего
магнитного поля в межполюсном пространстве используется для
ускорения электронов, а какая доля формирует ведущее поле,
удерживающее электроны на орбите. От  зависит, с одной стороны,
насколько рационально используется межполюсное пространство для
ускорения электронов, а, с другой стороны, от  зависит сечение
ускорительной камеры и, следовательно, ускоряемый заряд.
На рисунке 2.2а,б для двух полюсов одинакового радиуса RН
показано сечение межполюсного пространства при разных значениях .
На рисунке 2.2в показано распределение по радиусу индукции в
медианной плоскости межполюсного зазора для этих полюсов. Видно,
что с ростом величины  уменьшается конечная энергия электронов,
т.к. при этом уменьшается как радиус орбиты R0, так и магнитное поле
на орбите В0. Но при этом увеличивается число ускоренных частиц,
т.к. увеличивается сечение ускорительной камеры и большее число
частиц захватывается в ускорение. При равных же значениях конечной
энергии электронов с ростом  увеличивается ток пучка, но при этом
растёт вес магнита и потребляемая мощность.
Бетатроны широко используются в качестве источников
жёсткого тормозного излучения. В этом случае выбор оптимального
значения  однозначен. Интенсивность тормозного излучения
пропорциональна Q, f, W3, где: f–частота циклов ускорения,
W–кинетическая
энергия
электронов,
Q–ускоренный
заряд,
пропорциональный
сечению
ускорительной
камеры.
При
фиксированных RH и BC зависимость интенсивности тормозного
излучения от  имеет максимум при =1,38. В малогабаритных
бетатронах внутренний просвет камеры получается небольшим и для
увеличения захватываемого в ускорение заряда принимается значение
 больше оптимального. В сильноточных бетатронах необходима
повышенная интенсивность. Поэтому используются значения   2.
2.3. Порядок расчёта радиальных размеров межполюсного
зазора при заданной конечной энергии
Руководствуясь указаниями по выбору исходных данных,
предварительно задаются значения Вда, Кд, , .
По формуле (2.14) или из таблицы 2.1.находится значение  и по
формуле (2.19) при заданной энергии в конце ускорения определяется
радиус расчётной орбиты R0. Радиус сердечника:
12
RC 
R0
.
γ
(2.24)
Половина радиальной апертуры межполюсного зазора (рисунок 2.3):
(2.25)
b0  R 0 - R C .
13
Рис.2.2. Профиль межполюсного зазора при разных значениях .
14
Наружный радиус полюсных наконечников:
R н  R 0  b0 .
(2.26)
Рис. 2.3. Профиль полюсов с центральным сердечником.
В данном методе расчёта автоматически выполняется
бетатронное условие «2:1». В этом не трудно убедиться, выполнив
расчёты В0 и ВК при выбранных радиальных размерах межполюсного
зазора. Амплитуда магнитного потока в круге расчётной орбиты
согласно формуле (2.9):
Фка =πR С2 BСа +
2πB0а R 0n 2-n 2-n
 R 0 -R C  ,
2-n
где согласно формулам (2.18) и (2.4)
BCа  Bда К д ,
B0a 
15
E
.
3 10 R 0 sin αр
-4
Амплитуда средней индукции в круге орбиты:
B ка 
Ф ка 2B 0a
B


1  γ n -2   Ca
.
2
R 0 2 - n
γ2
(2.27).
Если в расчётах отсутствуют арифметические ошибки, то
Bка /B 0а  2.
2.4. Выбор  при заданной интенсивности
Когда одновременно задаётся энергия и интенсивность, то
необходимо определить обеспечивающие заданную интенсивность
поперечные размеры ускорительной камеры, т.е. необходимо находить
размер b0 (Рис.2.3.) или соответствующее значение . На рис.2.4.
показан межполюсный зазор с вписанной в него ускорительной
камерой. Соотношение вертикальных и горизонтальных внутренних
b
Рис. 2.4. Ускорительная камера в межполюсном зазоре.
размеров ускорительной камеры должно быть таким же, как и
соотношение амплитуд колебаний в вертикальной и горизонтальной
плоскостях, даваемое формулой (2.23.):
h
1 n

b
n
16
(2.28)
Из рис.2.4 следует:
h  0.5 0     2 ;
(2.29)
b  b0    1 ;
(2.30)
где:  – толщина стенки камеры, 1 и 2 – зазоры между камерой и
сердечником, камерой и полюсами, необходимые для юстировки и
фиксации камеры, для размещения обмоток смещения и вывода
ускоряемого пучка. Полагая, что величина этих зазоров мала по
сравнению с h и b, можно принять:
0.5δ 0 h
1-n
 
b0
b
n
.
(2.31)
Отсюда
δ0  2b0
1 n
n
Площадь сечения ускорительной камеры,
ускоряемым пучком, S  h·b  b00, или с учётом (2.32):
1-n
n
S  b02
(2.32)
заполненная
(2.33)
Показано, что предельный заряд Q, который может быть
удержан на орбите, есть произведение используемого объёма
ускорительной камеры на предельно возможную объёмную плотность
заряда :
Q  2R 0 Sρ,
(2.34)
причём
ρ~
U инж.
,
R 02
(2.35)
где Uинж. – напряжение инжекции.
Подставляя (2.33) и (2.35) в (2.34), получаем:
Q~
b02 U инж. 1  n
.
R0
n
(2.36)
Интенсивность тормозного излучения I при сбросе пучка на
мишень пропорциональна Q,  и W3, где  – частота циклов ускорения:
17
I~K1
b02
1-n
f U инж W 3
,
R0
n
(2.37)
где K1 – экспериментальный коэффициент, зависящий от размерности
величин, формы поперечного сечения камеры, условий захвата
электронов в ускорение, типа инжектора и других факторов, не
поддающихся учёту. Если [I]=р/минм, [W]=МэВ, [Uинж.]=кВ,
[R0]=[b0]=см, то для большинства бетатронов ТПУ К1=(1.52.0)10-6.
Напряжение инжекции Uинж, показатель спада n и частота  обычно
задаются, и для определённой проектируемой машины их можно
считать постоянными. Тогда:
b02 3
IK
W , где
R0
K  K1Uинж. f
1 n
.
n
(2.38)
(2.39)
Формулу (2.19) для расчётного радиуса перепишем в виде:
R 0  EБ ,
(2.40)
где Б=6.710 /(Вда Кд sinр) называется «постоянной бетатрона», так
как она при выбранных Вда,, Кд и р остаётся неизменной для
различных по размерам бетатронов. Из таблицы 2.1 видно, что при
1.5  практически не зависит от n при n=1 =. Следовательно, если
1.5, то можно в формуле (2.40) принять =. Тогда уравнения (2.40) и
(2.25) можно записать в виде:
R 0 =EБγ,
(2.41)
3
b0 =EБ  γ-1 .
(2.42)
При заданной энергии и интенсивности можно с некоторым
приближением найти  из уравнений (2.38), (2.41) и (2.42), если решать
их относительно :
где
γ  1     2  2 ,
I

2KEW 3 Б
(2.43)
(2.44)
При найденном значении  вычисляются радиальные размеры
межполюсного пространства как указано в разделе 2.3.
18
2.5. Вывод уравнения для расчёта профиля полюсных
наконечников электромагнита
Профиль полюсных наконечников должен обеспечивать в
межполюсном зазоре распределение магнитного поля по радиусу в
соответствии с соотношением (2.5)
R 0n
B(R)  B0 n .
R
Кроме того, для равновесной
«бетатронное соотношение» (2.6)
орбиты
должно
соблюдаться
B к  2B 0 .
Этими двумя соотношениями и обуславливается профиль полюсных
наконечников.
Величина межполюсного зазора на радиусе R0 при выбранных
радиальных размерах предварительно может быть оценена исходя из
соотношения амплитуд вертикальных и радиальных колебаний
(формула 2.23):
δ0  2b0
1 n
.
n
(2.45)
Сопротивление магнитной цепи бетатрона определяется в
основном сопротивлением воздушного зазора. Поверхности полюсных
наконечников можно считать эквипотенциальными поверхностями
магнитного поля. В этом случае справедливо равенство:
F  0,8B0 0  0,8Bλ
(2.46)
где: F – магнитная напряжённость зазора – намагничивающие
ампервитки, необходимые для преодоления магнитного сопротивления
межполюсного пространства; 0 и  – длина (в см) магнитной силовой
линии в воздушном зазоре соответственно на радиусе равновесной
орбиты R0 и произвольном радиусе R (рисунок 2.5);
В0 и В – соответственно значения индукции магнитного поля на
радиусах R0 и R (единица измерения – Гс).
Отсюда с учётом соотношения (2.5) из формулы (2.46) получаем:
 Rn

.
0 R 0n
Из рисунка 2.5 следует:
19
(2.47)
  /2

.
 tg /2
Практически угол /2 не превышает 100. Поэтому в средней части
межполюсного зазора, где не сказывается «краевой эффект», длина
силовой линии  мало отличается от длины воздушного зазора  на том
же радиусе – различие не превышает 1%. В технических расчётах
можно принимать =. Тогда:
  0
Rn
R 0n
(2.48)
Рис. 2.5. К расчёту профиля полюсных наконечников.
При приближении к краю полюсных наконечников кривизна
магнитных силовых линий увеличивается, и их длина заметно
отличается от величины воздушного зазора. Для уменьшения влияния
краевого
эффекта
полюсные
наконечники
снабжаются
корректирующими козырьками К. Практика показала, что достаточно
хорошие результаты обеспечивают козырьки с размерами:
(2.49)
x к  0.26 н и yк  0.1 н
где H–межполюсный зазор на радиусе RH.
Тангенс угла наклона  профиля к медианной плоскости:
20
1 d

.
2 dR
d
R n -1
n
  0n n   .
dR
R
R0
tg 
Из формулы 2.48:
(2.50)
(2.51)
Отсюда следует, что наклон профиля на любом R определяется
уравнением:
tgα 
n
2R
.
(2.52)
Рассчитанная по формуле (2.48) кривая профиля полюсных
наконечников при 1,5 близка к прямой. В этом случае, задавая
профиль, достаточно указать угол наклона прямой pq к средней
плоскости межполюсного пространства (угол /2 на рисунке 2.5).
Этот угол должен совпадать с требуемым на радиусе R0:
  arctg
 0n
2R 0
.
(2.53)
При этом зазоры В и Н на радиусах RC и RH:
 В   0  2b 0 tg ,
 H   0  2b 0 tg .
Из рисунка 2.5 следует:

2
 R'tg  R'
(2.54)
(2.55)
n
2R
Отсюда следует очень важное соотношение с точки зрения сборки и
настройки машины: n=R/R'. Меняя зазор между полюсами уже
готового магнита, можно в небольших пределах регулировать
показатель спада магнитного поля.
На рисунке 2.7 изображены зависимости n=(R) для профилей
полюсных наконечников, рассчитанных по уравнению (2.52) для трёх
различных бетатронов. При >1.5 отклонения показателя спада от
заданного становятся велики. Поэтому в этом случае профиль
полюсных наконечников следует строить по точкам по формуле (2.48).
При этом:
В  0
21
R Cn
,
R 0n
(2.56)
H  0
R nH
,
R 0n
(2.57)
Полагая, как и ранее, поверхности полюсных наконечников
эквипотенциальными поверхностями магнитного поля, из равенства
0.8B0a0=0.8BCaC находится воздушный зазор в сердечнике C:
n
0,8
0,7
nр
3
2
0,6
1
0,5
0,4
R
Rc
R0
Rн
Рис. 2.7. Распределение по радиусу показателя спада для трёх бетатронов:
1 – Е=5МэВ, =1,74; 2 – Е=15МэВ, =1,44; 3 – Е=25МэВ, =1,25.
С  0
B 0a
B Ca
(2.58)
и высота каждого выступа hС (Рис. 2.3):
hC 
B C
2
(2.59)
Краевой эффект центральных выступов искажает магнитное
поле вблизи внутренней стенки ускорительной камеры. Этого можно
избежать, если заменить выступы цилиндрическими вставками
(галетами), разбив тем самым зазор С на несколько меньших зазоров
(рис. 2.6). Полный воздушный зазор С=1+2+3 в этом случае
находится из равенства
22
0.8 0 B0a  0.8BCa  C   В   С H д ,
(2.60)
где Hд – напряжённость магнитного поля, соответствующая индукции
в стали дисков Вда=ВСа/Кд (таблица 2.2).
С 
0.8 0 B0a  H д В
B
  0 0а так как Hд мало.
0.8BCa  H д
BСа
(2.61)
Рис. 2.6. Профиль полюсов при наличии галет.
Высота каждой галеты
hд 
в  С
mд
,
(2.62)
 С

 1 – число галет, оно должно быть чётным.
 0.6  0.8 
где m д  
Толщина прокладок между галетами –
С
mд 1
.
Найденные
размеры
межполюсного
пространства
предопределяют размеры и форму поперечного сечения вакуумной
ускорительной камеры (рис. 2.4). Используется либо стеклянная
камера с толщиной стенок Δ=(35)мм, либо фарфоровая с толщиной
стенок Δ=(58)мм. Камера должна максимально заполнять отведённое
ей пространство, но в то же время между камерой и полюсными
23
наконечниками должен быть зазор Δ2=(46)мм для размещения
обмотки смещения. Между камерой и дисками должен быть
небольшой юстировочный зазор Δ1=(25)мм. При выбранных
значениях Δ, Δ1, Δ2 соотношение между вертикальным h и радиальным
b внутренними размерами должно удовлетворять соотношению (2.28).
Если это соотношение не выполняется, необходимо откорректировать
зазор 0. Принимаем:
hb
1-n
n
(2.63)
и находим уточнённое значение воздушного зазора
 0  2h     2 .
(2.64)
Чтобы после этого не пересчитывать заново форму профиля полюсных
наконечников эту процедуру уточнения нужно выполнить сразу после
приближенной оценки 0 по формуле (2.48).
2.6. Порядок расчёта профиля полюсных наконечников
По формуле (2.48) производится предварительная оценка
межполюсного зазора 0 на радиусе R0. После выбора зазоров Δ1, Δ2 и
задания толщины стенки камеры Δ проверяется выполнение
соотношения (2.28) для внутренних размеров камеры. В случае
необходимости зазор 0 корректируется.
Если 1.5 кривую профиля можно заменить прямой линией,
задав угол наклона этой линии к средней плоскости зазора (формула
2.53.). Угол наклона определяет величины межполюсных зазоров –
внутреннего и внешнего (формулы 2.54. и 2.55.). При >1.5 профиль
строится по точкам по формуле (2.48), по ней же определяется
наружный и внутренний межполюсные зазоры.
Подсчитываются размеры корректирующих козырьков.
Найдя воздушный зазор в сердечнике (формула 2.61.) и выбрав
число галет, определяются толщины галет и прокладок между ними.
Оценивается интенсивность тормозного излучения, которая
может быть получена на бетатроне с рассчитанными параметрами
межполюсного зазора (формулы 2.38, 2.39).
24
3.Расчёт полюсов и галет
3.1. Расчёт полюсов
Амплитуда магнитного потока в средней плоскости
межполюсного пространства в круге с радиусом Rн согласно
уравнению (2.8):
2πR 0n 2-n 2-n
Ф на =
R н -R с  +πR с2 Bсa =

2-n


Rn
=2πB0a  R 02 + 0  R н2-n -R 02-n   .
2-n


Магнитный поток в полюсных сердечниках на стыке с ярмом:
Фпa   п Фнa ,
(3.1)
(3.2)
где п – коэффициент, учитывающий магнитный поток рассеяния,
замыкающийся между полюсами за пределами круга с радиусом RH.
Методика его расчёта приведена в Приложении 4.
 п  1  0,56
0
R0
(3.3)
Так как магнитный поток рассеяния сосредоточен в основном на
боковой поверхности козырьков, поток, найденный из уравнения (3.2),
с некоторым приближением можно отнести к площади поперечного
сечения полюсного сердечника на любой его высоте. Тогда амплитуда
магнитной индукции в стали полюсных сердечников с радиусом Rп=Rн
(рис. 3.1):
Bпa 
Ф пa
,
 R н2 K п
(3.4)
где Кп – коэффициент заполнения поперечного сечения полюсных
сердечников сталью. Для полюсов, шихтованных из радиально
расположенных пластин, Кп зависит от соотношения между радиусом
полюса Rп и радиусом внутреннего отверстия rп, который выбирается
из условия достаточной прочности шпильки, крепящей полюс к ярму.
Расчёт коэффициента заполнения приведён в Приложении 1:
25

r  
K п  1  п   ст ,
 R н  из
(3.5)
где: Δст – толщина листов стали, из которых набирается
магнитопровод, Δиз – толщина листов стали с изоляцией.
Радиус центрального отверстия rп можно предварительно
оценить из расчёта болта, крепящего полюс к ярму. Выход из строя
шпилек и болтов обычно происходит вследствие разрыва стержня по
резьбе или разрушения резьбы. Поэтому основной критерий
работоспособности – прочность нарезной части стержня [5]:
r1 
F
, где
π[σ ð ]
r1 – минимальный внутренний радиус резьбы болта;
F – сила, растягивающая болт;
[р] – допустимое напряжение при растяжении.
26
(3.6)
Рис. 3.1. Магнитопровод бетатрона с полюсами без козырьков.
F=pуд  πR н2 +Gп .
(3.7)
Здесь: руд=(34)кГс/см – давление сжатия элементов магнитопровада
между собой; Gп – вес полюса. На данном этапе расчёта весом полюса
можно пренебречь, т.к. он мал по сравнению с первым членом
уравнения (3.7).
В качестве материала болта применяют немагнитные сплавы,
например, нержавеющую сталь, латунь и т.п. Величина допустимого
напряжения [р] должна быть меньше предела текучести материала т:
[ р ]  k   т , где k<1 .
(3.8)
2
Рекомендации по выбору значения k для разных по размеру болтов и т
для выбранного материала можно найти в [5]. Для предотвращения
замыкания пластин, из которых набран полюс, болт должен быть
изолирован. Поэтому радиус отверстия в полюсе необходимо
увеличить на толщину изоляции:
27
rп =r1 +h рез +Δ изол
(3.9)
где: hрез – высота резьбы, Δизол – толщина изоляции болта. Выбрав
таким образом стандартный болт с внутренним радиусом резьбы не
менее r1 и учтя толщину изоляции, определяем радиус отверстия rп,
коэффициент заполнения Кп и по формуле (3.4) индукцию в полюсе.
В бетатронах по условиям охлаждения амплитуду индукции в
стали полюсных сердечников рекомендуется выбирать в пределах:
(3.10)
Bпa =(0,75  0,85)Bда
Если рассчитанное по формуле (3.4) значение индукции в полюсе
заметно меньше рекомендуемого по формуле (3.10), то для повышения
степени использования стали полюсных сердечников и, следовательно,
уменьшения размеров магнитопровода, радиус полюсных сердечников
Rп делают меньше радиуса полюсных наконечников Rн, т.е. полюса
выполняются с козырьками (рисунок 3.2).
При наличии козырьков радиус полюсного сердечника следует
выбирать по допустимой индукции в сердечнике, определяемой
формулой (3.10):
Rп =
Фпa
.
π Bпa K п
(3.11)
Но в этом случае невозможно рассчитать Кп, т.к. неизвестен радиус
полюса. Можно поступить следующим образом. Используя найденный
ранее коэффициент заполнения для случая Rп = Rн, вычислить радиус
полюса. Затем для этого значения Rп находится радиус центрального
отверстия rп и уточняется коэффициент заполнения Кп и амплитуда
индукции в полюсе.
Возможен и другой вариант. Если задать толщину изоляции Δèçî ë
и заранее ориентировочно выбрать высоту резьбы
h ðåç болта,
крепящего полюс, то радиус полюса находится решением системы
уравнений (3.5), (3.6), (3.11), (3.7). Обозначим h рез +Δ изол =ω . Тогда
rï =r1 +ω и из (3.6) с учётом (3.7) следует:
rп =R п p уд σp  +ω
28
(3.12)
Рис. 3.2. Магнитопровод бетатрона с козырьками.
Подстановка (3.5) в (3.11) с учётом полученного уравнения (3.12)
позволяет получить квадратное уравнение для R п :
R ï2 -
ω
1- p óä  σ ð 
 Rï -
Ôï à
πBï à (1- p óä σ ð  )
=0
(3.13)
ñò
èç
Далее расчёт ведётся по такой-же схеме, что и для случая
Для вычисленного по уравнению (3.13) значения
Rп
R п =R н .
находится r1 ,
подбирается нужный болт и определяется радиус необходимого
отверстия в полюсе rп . Вычислив коэффициент заполнения сечения
полюса сталью, уточняем значение
Bпа .
Высота полюса и расстояние между стойкой ярма и полюсом
зависят от площади сечения окна под намагничивающую обмотку
sок=hокbок, где hок и bок – соответственно высота и ширина окна.
29
Площадь сечения окна определяется требуемой величиной
намагничивающей силы обмотки. Так как сопротивление магнитной
цепи бетатрона определяется в основном сопротивлением воздушного
зазора, то амплитудное значение намагничивающей силы обмотки
электромагнита приблизительно будет равно:
(3.14)
Fa  1,12  0,8  B0a δ0 =0,9B0a δ0
Здесь коэффициент 1,12 учитывает магнитное сопротивление стали
магнитопровода и воздушных зазоров в стыках между звеньями
магнитопровода. Средняя плотность тока в окне:
(3.15)
Δ0к =jK м ,
где: j – плотность тока в проводе обмотки, Kм – коэффициент
заполнения окна медью. Так как каждая обмотка содержит половину
общего числа витков  намагничивающей обмотки, то при
эффективном токе в обмотке I:
Δî ê =
ω
1
×I×
2
sî ê
(3.16)
ω×I
2Δ î ê
(3.17)
Отсюда:
Soê =
Поскольку:
ω×I=
Fa
2
Sок =
=
0,9B0a δ0
(3.18)
2
0,32В0а δ0
Δ ок
(3.19)
Примерные значения Δок в зависимости от напряжения U на
зажимах обмотки при непрерывном питании обмотки переменным
током промышленной частоты приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1.
Плотность тока в окне в зависимости от напряжения на обмотке.
U, кВ
Δок, А/см2
36
4535
612
3530
30
1224
3025
При импульсном питании обмотки допускаемая плотность тока
увеличивается в соответствие со скважностью импульсов тока. В
небольших бетатронах для обмоток с проводом прямоугольного
сечения плотность тока в окне может достигать значений 100 А/см2.
При выборе значений высоты hок и ширины bок окна следует
стремиться к получению электромагнита с наименьшим весом. С
уменьшением ширины окна уменьшается вес меди намагничивающей
обмотки, но увеличивается вес стали магнитопровода. Уменьшение bок
и, следовательно, приближение стойки к полюсу (рис. 3.1)
сопровождается увеличением потока рассеяния, идущего с полюсов на
стойку. В результате этого возникает несимметрия управляющего
магнитного поля в межполюсном пространстве, приводящая к
возникновению вынужденных колебаний электронов. По этой причине
должно быть выполнено условие:
(3.20)
bок  2δ0
Как показали расчёты, оптимальное соотношение между hок и
bок, соответствующее минимальному весу электромагнита, колеблется
в пределах hок/bок=0,81,0. Следовательно:
2
Sок =h ок  b ок =(0,8  1)b ок
и
bî ê =
Sî ê
;
0,8÷1
h ок =
Sок
.
b ок
(3.21)
Отклонение отношения hок/bок от оптимального на 30% приводит к
увеличению веса электромагнита не более чем на 3%.
Из рис. 3.1 следует, что полная высота полюсов без козырьков
при выбранном hок:
h п =h ок +
δ н -δ в
 ук .
2
(3.22)
Если используются полюса с козырьками (рис. 3.2), то условие
(3.18) принимает вид:
(3.23)
bок  2δ0 +(R н -R п ),
а соотношение (3.19) может не выполняться. В этом случае (рис 3.2):
b0к  2δ0 +(R н -R п )
h пс =h ок =
Sок
.
b ок
(3.24)
Полная высота полюса зависит от высоты козырьков. Можно
приближённо считать, что амплитуда потока Фк, уходящего в козырьки
через цилиндрическую поверхность с радиусом Rп и высотой hк:
31
Фк =Фпа -Ф1 ,
(3.25)
где Ф1 – амплитуда магнитного потока, проходящего через среднюю
плоскость межполюсного пространства в круге с радиусом Rп.


Rn
Ф1 =2πВ0а  R 02 + 0  R n2-n -R 02-n 
2-n


(3.26)
Площадь сечения стали S в основании козырька, через которую входит
в козырёк поток ФК:
S=2πR п h к К.
Следовательно:
Фк =2πR п h к К  Вк ,
где: Вк – значение индукции в рассматриваемом
К – коэффициент заполнения сталью основания козырька.
Из уравнения (3.25) при Вк =Вna :
hк =
Фк
.
2πR п Bпa K
(3.27)
сечении;
(3.28)
Расчёт коэффициента заполнения К приведён в Приложении 3:

r Δ
К= 1- п  ст .
 2R п  Δиз
(3.29)
Полная высота полюса с козырьками:
h п =h пс +h к +
δп -δв
,
2
(3.30)
где п – воздушный зазор между полюсами на радиусе Rп.
δп =2(R п -R с )tgα+δв при   1,5,
δ п =δ 0
Rп
при  > 1,5.
R0
3.2. Расчёт секторов полюса и галет
Необходимо, чтобы магнитное поле в межполюсном зазоре было
симметрично относительно оси. Низшие гармоники в азимутальном
распределении поля вызывают резонансную раскачку колебаний. При
переходе магнитного потока из полюса, где он распределён
32
равномерно по сечению полюса, в зазор, где плотность потока убывает
с ростом радиуса, неизбежно перераспределение его в радиальном
направлении. Магнитное сопротивление
полюса в радиальном
направлении также должно иметь осевую симметрию. Поэтому
полюса, как и галеты, собираются из радиально расположенных
пластин, изготовленных из листов электротехнической стали
толщиной (0,20,35)мм. Пластины комплектуются в пакеты разной
длины, из которых набирается клинообразный сектор. Полюса и
галеты собираются на оправке из одинаковых секторов (рис. 3.3).
В пакете может быть одна или несколько пластин. Чем тоньше пакет и
меньше угол раствора сектора , тем симметричнее и однороднее
будет поле и тем легче собирать полюс.
Число секторов nc, образующих полюс, зависит от радиуса
отверстия rп в центре полюсного сердечника:
nc 
2 πrп 2 πrп

,
 пак z из.
(3.31)
где: Δпак – толщина пакета; Δиз – толщина изолированной пластины;
z – число пластин в пакете.
При толщине стали Δст=0,35мм обычно z=1. Число пакетов в секторе
m
Rн
1.
rп
(3.32)
Естественно, что если результат получится дробным, его следует
округлить до ближайшего меньшего целого числа.
Длина отдельных пакетов li
находятся по формуле (см.
Приложение 2):
2
li =R н

Δ 
1-  i-0,5 пак  -irп ,
RН 

(3.33)
где i – номер пакета. Вычитаемое под корнем весьма мало, но если им
пренебречь, то невозможно будет осуществить равномерную затяжку
полюсов при предельном сжатии вдоль наружной окружности
полюсов. На окружностях, близких к центру, получается свободное
пространство между секторами. В этом случае часть коротких пластин
33
rд
Рис. 3.3. Сечение центрального вкладыша (галеты).
секторов удаляется. Если иметь в виду подобную подгонку сжатия
полюсов, то можно длины пластин определять по формуле:
(3.34)
li  R н -irп .
Иногда при расчёте секторов с целью повысить коэффициент
заполнения сталью галет или полюсов принимают расчётное
фиктивное центральное отверстие rп расч меньше действительного rп в
целое число раз (рис. 3.4): rп /rп расч =р , где р – целое число, обычно 2
или 3.
В этом случае:
m
Rн
rп расч
34
1
(3.35)
Рис. 3.4. Сечение галеты при rд/rд расч=3.
nc 
2πrп расч
(3.36)
z из.
2
li  R í

 
1   i  0,5 ï àê   irï ðàñ÷ или
RÍ 

li  R í  irï ðàñ÷ ,
причём
р
первых
пластин
имеют
(3.37)
(3.38)
одинаковую
длину
l1ð  R í  ðrï ðàñ÷ .
Коэффициент заполнения полюсов сталью в этом случае (см.
Приложение 1):
 rп расч  rп расч  2

 p 2  p  ст
K п  1 
 
Rн  Rн 

  из

35

(3.39)
Если полюс выполняется с козырьками, то в пластины сектора,
длина которых меньше, чем Rн–Rп, магнитный поток из полюсного
сердечника не попадает (рис. 3.5) и их можно заменить клиньями из
изоляционного материала. Т.е. нет необходимости изготавливать
пластины короче Rн–Rп. В этом случае число пакетов в секторе
m
Rп
R
 1 или m  п  1 .
rп
rп расч
(3.40)
Ширина пакета сектора на участке от Rп до Rн будет одинакова и
высота козырька hx на произвольном радиусе Rx не должно быть
меньше
hx =
Ô ï à -Ô õ
×h ê , где
Ôê

R2
2-n 
Фх  2πB0 R 02  0  R 2-n
x  R 0 
2-n


(3.41)
(3.42)
При расчёте коэффициента заполнения сталью полюсного
сердечника в приведённых выше формулах нужно Rн заменить на Rп.
Аналогичным образом рассчитываются сектора галет заменой Rн
и Rп на RC и rп на rд.
3.3. Порядок расчёта полюсов и галет
Вначале необходимо оценить амплитуду индукции в полюсе при
Rп=Rн (формула 3.4) и сравнить с допустимым (формула 3.10)
значением. Если разница невелика и делать, следовательно, полюс с
козырьками нецелесообразно, дальше рассчитывается полюс с
радиусом Rп = Rн.
Вычисляется амплитуда намагничивающей силы обмотки
(формула 3.14) и определяется сечение окна под катушку (формула
3.19). В соответствии с соотношениями (3.21) выбирается ширина и
высота окна, проверяется выполнение условия (3.20) и определяется
полная высота полюса.
Если найденное при Rп = Rн значение индукции в полюсе
заметно отличается от допустимого, то полюс выполняется с
36
Рис. 3.5. Шихтовка полюса с козырьками.
козырьками и радиус полюсного сердечника определяется допустимой
индукцией (формулы 3.10 и 3.11). Вычисляется ширина окна под
катушку и высота полюсного сердечника (формула 3.24), высота
козырька (формула 3.30). Полезно проверить высоту козырька в
наиболее тонком месте на радиусе (Rн-Yк) по формуле (3.41).
Выбирается способ набора полюса из пакетов и в зависимости от этого
по формуле (3.31) или (3.36) находится необходимое число секторов в
37
полюсе. Если полученное значение является дробным, его необходимо
округлить до ближайшего целого в большую сторону. После этого
необходимо уточнить значение rп или rп.расч, соответствующее
выбранному целому числу секторов, и найти окончательное
уточнённое значение коэффициента заполнения полюсов сталью.
Далее находится число пакетов в секторе (формулы 3.32 или 3.35), их
длины (формулы 3.33 или3.37). В полюсе с козырьком пакеты короче,
чем (Rн–Rп) не используются, поэтому число пакетов в секторе
определяется формулами (3.40). Аналогично рассчитываются сектора
галет. Радиус центрального отверстия определяется размерами
шпильки, которая должна обеспечить усилие сжатие галетного блока
F=πR C2 ×póä . После округления числа секторов в галете до целого
числа окончательно уточняется радиусы rд и rд.расч и коэффициент
заполнения дисков сталью.
4. Особенности расчёта электромагнита бетатрона с
выводом пучка
При выводе электронов из ускорительной камеры важно
получить пучок с минимальной расходимостью в вертикальной и
радиальной плоскостях. После выхода за пределы круга с радиусом Rн
пучок попадает в область, заполненную неоднородным и по радиусу и
по азимуту магнитным полем рассеяния намагничивающих катушек,
силовые линии которого замыкаются минуя полюса. Пучок движется в
этом поле по дуге и расходимость его в радиальной плоскости
увеличивается. Транспортировка и фокусировка такого пучка
затруднительна. Поэтому в бетатронах с выводом пучка необходимо по
возможности уменьшить поле рассеяния за пределами полюсных
наконечников. Этого можно достичь, используя полюса с большими
козырьками (рис. 3.2). Намагничивающие катушки утапливаются в
полюса и экранируются козырьками. Для увеличения наружного
радиуса полюсных наконечников Rн амплитуда индукции в дисках
снижается до (1213)кГс, а для уменьшения радиуса полюсных
сердечников Rн индукция в них берётся максимально возможной по
условиям теплового режима. Теперь в отличие от формулы (3.10):
38
Bпa  (0,75  0,85)Bда доп ,
(4.1)
где Вда доп выбирается так же, как и для бетатрона без вывода пучка (см.
раздел 1.2).
Снижение индукции в дисках должно подбираться таким
образом, чтобы примерно до 70% радиального размера окна под
катушку было бы утоплено в полюс:
(4.2)
R í  R n  (0, 7÷1)b0ê
В остальном расчёт полюсов не отличается от изложенного в
разделе 3.1 для полюсов с козырьками. Вес бетатрона с выводом
электронного пучка, естественно, увеличивается по сравнению с
бетатроном без вывода.
5. Расчёт ярма
5.1. Азимутальная неоднородность магнитно поля
Используется несколько вариантов обратного магнитопровода
(ярма), по которому замыкается магнитный поток полюсов:
Ш-образный (двухстоечный) и многостоечный (четырёхстоечный,
шестистоечный, восьмистоечный) магнитопроводы.
С точки зрения технологии изготовления и сборки наиболее
простым является Ш-образное ярмо с сечением прямоугольной формы.
Но такая форма сечения в Ш-образном ярме с переменным магнитным
полем вызывает настолько большую азимутальную неоднородность
магнитного поля в окрестностях равновесной орбиты, что нормальная
работа ускорителя становится невозможной.
Статическая
неоднородность
обусловлена
неравенством
амплитуд напряжённостей магнитного поля. Она возникает в основном
за счёт несимметрии конструкции, неточности изготовления и сборки
полюсных наконечников и всего электромагнита в целом,
неравномерности зазоров, краевых эффектов при переходе магнитного
поля через конструктивные зазоры, т.е. в основном за счёт
неодинакового сопротивления отдельных трубок поля. Временная или
фазовая неоднородность обусловлена сдвигом фаз между
напряжённостями магнитного поля в различных точках орбиты. Она
возникает за счёт различной активной составляющей тока в отдельных
замкнутых трубках магнитного поля. Это различие в активном токе
вызывается неравномерным распределением потока по пакетам ярма,
переходом магнитного потока из пакета в пакет поперёк листов стали.
39
Поэтому с целью получения наибольшей однородности магнитного
поля необходимо, с одной стороны, стремится к созданию
симметричной (многостоечной) конструкции электромагнита и, с
другой стороны, применять какие либо методы выравнивания
неоднородности магнитного поля в зазоре.
Наибольшее влияние имеет фазовая неоднородность магнитного
поля. Для уменьшения потерь на вихревые токи ярмо набирается из
тонких пластин электротехнической стали, склеенных между собой. На
рис. 5.1 ярмо условно разбито на одинаковые по толщине пакеты,
каждый из которых состоит из многих пластин. Магнитный поток из
торцовой поверхности круглого полюса переходит в ярмо, двигаясь
вдоль пакетов (пластин) и не пересекая их из-за большого магнитного
сопротивления изоляции пластин. В крайние пакеты (А) магнитный
поток собирается с меньшей по площади торцовой поверхности
полюса, чем в центральные пакеты (В). Магнитный поток в крайних
пакетах меньше, чем в центральных, а т.к. сечения всех пакетов
одинаковы, индукция в крайних пакетах меньше. Магнитные потоки в
них сдвинуты относительно друг друга во времени. Магнитный поток в
крайних пакетах опережает поток в среднем пакете.
Магнитный поток в полюсе распространяется вдоль радиально
расположенных пластин не пересекая их, т.е. не имеет азимутальной
составляющей. Поэтому в межполюсном зазоре магнитное поле на
разных азимутах формируется в основном той частью общего
магнитного потока, который проходит по разным пакетам ярма.
Поэтому и в окрестностях равновесной орбиты поля на разных
азимутах будут сдвинуты во времени относительно друг друга.
В результате для фиксированного момента времени значение поля на
равновесной орбите будет зависеть от азимута.
5.2. Выбор формы поперечного сечения Ш-образного ярма
Наилучшей формой поперечного сечения ярма, обеспечивающей
минимальную
фазовую
неоднородность
при
Ш-образном
магнитопроводе, является такая форма, когда плотность магнитного
потока во всех пакетах (пластинах) ярма одинакова. Из рис.5.1. видно,
что при равномерном распределении потока в стыке между полюсом и
ярмом указанному требованию отвечает полукруг (если индукции в
полюсе и ярме одинаковы) или эллипс (если они разные) – рис. 5.2б.
40
Действительно, если сечение пакетов пропорциональны или равны
площади перекрытия ими торцовой поверхности полюса, то индукции
в них будет одинаковы, т.к. магнитные потоки в пакетах определяются
площадью перекрытия ими поверхности полюса. Однако конструкция
S1
F(x)
S2
S3
R
0
x
п
полюс
S
x
В
А
ярмо
Рис. 5.1. Разбиения ярма на условные пакеты.
электромагнита с таким ярмом сложна.
41
Более
простыми
вариантами,
но
не
устраняющими
неоднородность полностью, являются Т-образное
(рис. 5.2в) и
ступенчатое (рис. 5.2г) ярма. Сборка и крепление Т-образного и
ступенчатого ярма сложнее, чем прямоугольного (рис. 5.2а).
Можно добиться более равномерного распределения плотности
магнитного потока по сечению ярма не за счёт разной высоты
42
а
б
в
г
д
Рис. 5.2. Варианты формы поперечного сечения Ш-образного ярма:
а – прямоугольного; б – полукруглого; в – Т-образного; г – ступенчатого;
д – шихтованного.
отдельных пакетов, а за счёт изменения коэффициента заполнения их
пластинами стали. Для этого в менее нагруженных наружных пакетах
43
часть стали заменяется прокладками из немагнитного материала.
Пакеты имеют теперь одинаковую высоту, но разную ширину, и
расположены не в плотную, а через прокладки (рис.5.2д). Такой способ
впервые применён в ТПУ и назван шихтовкой ярма. Прямоугольное
ярмо с шихтовкой по эффекту выравнивания поля в известной мере
равноценно ступенчатому ярму, но имеет свои недостатки. Площадь
контакта крайнего тонкого пакета с полюсом меньше площади сечения
пакета и в этом месте происходит локальное повышение плотности
потока, что может ухудшить фазовую структуру поля. Поэтому
допустимое значение индукции в полюсе при использовании
шихтованного ярма ниже, чем при использовании ступенчатого и
Т-образного.
5.3. Алгоритм расчёта шихтованного Ш-образного ярма
Практически магнитный поток по стыку полюса и ярма
распределяется
неравномерно.
Это
обусловлено
наличием
центрального отверстия в полюсе и уменьшением коэффициента
заполнения поперечного сечения полюсов сталью по мере
приближения к центру. На рис. 5.1 показана форма действительной
кривой F(x) распределения потока по пакетам ярма с учётом указанных
факторов (x – координата поперёк ярма). При этом нет необходимости
знать абсолютные значения потоков в пакетах ярма. Поэтому будем
искать не магнитный поток в пакете, а величину, пропорциональную
ему – общую площадь пластин на торцовой поверхности полюса,
перекрываемых данным пакетом.
Для этого торцовая поверхность полюса разбивается на кольца
шириной rп расч, а ярмо – на пакеты такой же ширины. Отсчёт номера
кольца i и номер пакета j начинается от середины ярма. Число колец
R
, число пакетов – 2N. Вычисляются коэффициенты
N= п
rп.расч.
заполнения колец пластинами Кi. Определяется Sij – площадь
перекрытия пакетом j кольца i и площадь пластин в ней – SijКi, общая
площадь пластин на поверхности полюса, перекрываемая пакетом j:
N
Fj   Sij K i .
(5.1)
i1
Функция Fj задаётся в виде гистограммы, для которой
вычислены значения в узловых точках, количество которых равно N
44
(на каждую половину ярма). На рис. 5.1 она аппроксимирована гладкой
кривой F(x), где x=jrп расч.
Далее по кривой F(x) подбирается ступенчатое ярмо с нужным
числом ступеней. Число ступеней задаётся в расчёте на половину
ширины ярма. При построении ступенчатого ярма форма его
подбирается так, чтобы заштрихованные площади (рис. 5.1) были
равновеликими в каждой ступени и площади разных ступеней так же
были близки.
По полученному фиктивному ступенчатому ярму строится
прямоугольное шихтованное: ступень шириной bст заменяется пакетом
пластин такой же высоты, как и центральный, а ширина его bпак
подбирается так, чтобы сечение ступени и пакета были одинаковы.
Пакет устанавливается в центре ступени (рис. 5.3). В промежутки
между пакетами помещаются прокладка толщиной
dï 
âñò. n  âï àê. n âñò. n+1  âï àê. n+1
+
,
2
2
(5.2)
где n – номер прокладки и ступени.
Кроме показанных на рис. 5.3 пакетов по краям ярма под щёки
ставятся экранирующие пакеты толщиной (0,50,6)см, т.к. ширина
ярма должна быть больше диаметра полюсных сердечников. Иначе
поток рассеяния, выходя из полюса, попадёт в ярмо поперёк пластин,
что вызовет дополнительные потери в этом месте и ухудшит фазовую
структуру поля.
Размеры пакетов и прокладок, полученные при расчёте
шихтовки, должны выдерживаться как можно точнее.
Очевидно, что
2   впак   d   2R п  b я ,
(5.3)
где bя – расчётная ширина ярма. Действительная ширина ярма больше
на толщину экранирующих пакетов.
Коэффициент заполнения сечения ярма сталью:
 в
 c
К я    пак

.
  впак   d  из

(5.4)
Таким образом, задача построения шихтованного ярма сводится
к построению по кривой F(x) ступенчатого ярма с последующей
заменой ступеней пакетами одинаковой высоты и той же площади, как
и площади ступеней. Основным принципом правильного построения
ступенчатого ярма является равенство для различных ступеней,
во-первых, площадей под кривой, не попадающих в прямоугольник
45
построенных ступеней и, во-вторых, площади, захватываемых
ступенью за пределами кривой F(x) (на рис. 5.1 они заштрихованы).
F(L)
bпак
bст.
1
2
3
4
5
6
7
bпак1
8
9
10 11
bпак2
d1
12
L=x/r1р
bпак3
d2
d3
Рис. 5.3. Построение шихтованного ярма.
Способ вычисления коэффициентов Кi, площадей Sij и кривой F(x)
приведён в [4]. Там-же приведена программа построения
шихтованного ярма, базовым принципом построения алгоритма
которой, обеспечиваемого автоматически, и является равенство
46
указанных выше площадей как в пределах каждой ступени, так и
принадлежащих разным ступеням.
5.4. Порядок расчёта ярма
5.4.1. Шихтованное Ш-образное ярмо
Расчёт следует начинать с выбора толщины пакетов и прокладок
между ними. Для этого можно использовать программу “shict” на
языке С++, текст которой приведён в Приложении раздел), либо
программу “BETSHIH”.
После запуска программ появляется приглашение ввести
исходные данные для расчёта. Необходимо последовательно ввести:
1) Число позиций в секторе полюса, т.е. число колец, на которые
разбивается торец полюса при расчёте – N=Rп/rп расч. Если это
отношение не является целым числом, то необходимо ввести
ближайшее целое число.
2) Отношение действительного и расчётного радиусов
центрального отверстия в полюсе – rп действ/rп расч.
3) Расчётный радиус центрального отверстия rп расч в см.
4) Количество ступеней фиктивного ступенчатого ярма Nст,
которое будет преобразовано в шихтованное. Подразумевается
количество ступеней половины ярма. Реальное количество
ступеней будет (2Nст-1).
5) Максимальную разницу между краем последней ступени и
краем полюса. Алгоритм построен таким образом, что
критерием окончания расчёта будет являться совпадение
координаты края полюса и края последней ступени с заданной
точностью. Задавая точность, мы определяем, какая разность
между шириной полученного шихтованного ярма и радиусом
полюса будет являться сигналом к окончанию расчётов. Эта
разница затем будет распределена между ступенями в качестве
весовых добавок, а статическим весом будет служить её
ширина.
После введения всех исходных данных программа начинает
работать. Последовательность промежуточных результатов с
указанием расстояний между краем построенного ступенчатого ярма и
радиусом полюса при этом выводится на экран. Перебор вариантов
прекращается при совпадении края построенного ступенчатого ярма с
Rп с заданной точностью. Ступенчатое ярмо пересчитывается в
47
шихтованное и результаты выводятся на экран. Если необходимо
повторить расчёт, то нужно ввести “Y”, если нет – “N”.
Если сумма толщин пакетов и прокладок отличается от Rп, то
необходимо внести поправку, умножив толщины всех пакетов и
прокладок на отношение Rп к указанной сумме.
Площадь поперечного сечения стали ярма
Sя =
σ 0 Ф па
,
2Вяа
(5.5)
где: Вяа – амплитуда средней плотности магнитного потока в стали
ярма, 0 – коэффициент, учитывающий поток рассеяния
намагничивающей обмотки электромагнита, замыкающейся через
ярмо. Выбор значения Вяа зависит от марки стали, частоты
переменного тока, питающего электромагнит, формы поперечного
сечения ярма, системы охлаждения. Для Ш-образного шихтованного
ярма можно рекомендовать:
Âÿà =(0,7  0,8)Âäà ,
(5.6)
а для ступенчатого и Т-образного:
Âÿà =(0,75  0,85)Âäà
(5.7)
δ0 (а+bк /3)
.
R 0 (2h по +δ0 )
(5.8)
σ 0 =1+
Для полюсов без козырьков: а – зазор между полюсом и
намагничивающей обмоткой, включающий в себя толщину каркаса
катушки, ширину первичной обмотки и зазор между первичной и
вторичной обмотками, bк – ширина намагничивающей (вторичной)
обмотки (рис. 5.4). Для полюсов с козырьками: а – расстояние от края
полюсного
наконечника
до
ближайшего
витка
(слоя)
намагничивающей обмотки, а bк – ширина части вторичной обмотки за
пределами радиуса наконечников Rн (рис. 5.5).
Высота полюса на радиусе R0 (рис. 5.4):
h по =h п -0,5(δ0 -δв ).
(5.9)
Поскольку на данном этапе намагничивающая катушка ещё не
сконструирована, коэффициент рассеивания оценивается приближенно
и уточняется после расчёта катушки.
Высота ярма:
hÿ =
Sÿ
,
bÿÊ ÿ
48
(5.10)
где Кя – коэффициент заполнения ярма сталью (формула 5.4).
Длина горизонтальной части ярма Lя для бетатрона без козырьков
(рис.3.1):
(5.11)
Lÿ =2(h ÿ +b0ê +R í ),
Рис. 5.4. К расчёту коэффициента 0 для полюсов без козырьков.
для бетатрона с козырьками (рис. 3.2):
Lÿ =2(h ÿ +b0ê +R ï ),
(5.12)
а для бетатрона с выводом пучка:
Lя =2(h я +2δ0 +R н ).
(5.13)
Для предотвращения замыкания пластин в стыках полюсов с
ярмом и в стыках ярма помещаются прокладки из немагнитного
материала. В зависимости от качества изготовления и сборки
магнитопровада расчётные зазоры в стыках:
δñò =(0,4  0,8)ì ì
(5.14)
49
Высота стойки ярма (рис. 3.1 и 3.2):
Н ст =2h п +δв
(5.15)
Полная высота электромагнита
H=Hст +2h я +2δст .
(5.16)
Рис. 5.5. К расчёту коэффициента 0 для полюсов с козырьками.
1 – полюсной сердечник; 2 – стойка ярма; 3 – первичная обмотка; 4 – вторичная
обмотка; 5 – изоляция между первичной и вторичной обмоткой; 6 – каркас
катушки.
5.4.2. Многостоечное ярмо
В электромагнитах с многостоечным магнитопроводом
магнитное поле обладает большей симметрией, а более высокие
гармоники в азимутальном распределении поля представляют
меньшую опасность. Поэтому можно использовать нешихтованный
магнитопровод с прямоугольным сечением. Коэффициент заполнения
поперечного сечения ярма сталью в этом случае:
Кя =
и высота ярма:
50
Δ ст
Δ из
,
(5.17)
hя =
Sя
.
bя  K я
(5.18)
Площадь поперечного сечения стали ярма Sя и ширина ярма bя для 4-х
стоечного магнитопровода:
Sя =
Ф па
4Вяа
(5.19)
bя = 2R п ,
(5.20)
Ф па
,
6В яа
(5.21)
для 6-ти стоечного:
Sя =
b я =R п ,
(5.22)
и для 8-ми стоечного:
Ф па
,
8В яа
(5.23)
b я =R п 2(1-cos450 ) =0.766R п ,
(5.24)
Sя =
Остальные размеры рассчитываются как и для Ш-образного ярма.
6.Уточнёный расчёт магнитных характеристик
После определения геометрических размеров и коэффициентов
заполнения сталью всех элементов магнитопровода необходимо
уточнить необходимое значение намагничивающей силы обмотки с
учётом магнитного сопротивления всех участков магнитопровода. Для
этого необходимо найти уточнённые значения магнитных индукций в
магнитной цепи.
Амплитуда индукции на расчётной орбите
Âî à =
W+Eo
3 10-4 R 0sinαð
(6.1)
Амплитуда индукции в зазоре галет:
Вса =Воа  2 ,
51
(6.2)
и амплитуда индукции в стале галет:
Вда =
Вса
Кд
.
(6.3)
Далее находятся магнитные потоки в полюсе (формулы 3.1, 3.2) и
ярме, значения амплитуд индукций в стали полюсного сердечника
(формула 3.4) и ярма (формула 5.5).
Для проверки правильности расчётов находится амплитуда средней
магнитной индукции в круге расчётной орбиты (формулы 2.9 и 2.10)
и проверяется выполнение бетатронного соотношения.
Средняя магнитная индукция в стыках полюсов с ярмом:
(6.4)
Вст.п =Впа  Кп .
Магнитная индукция в стыках ярма:
Вст.я =В яа 
Δ ст
.
Δ из
(6.5)
Амплитуда магнитного напряжения воздушного зазора,
необходимая
для
преодоления
магнитного
сопротивления
межполюсного пространства:
(6.6)
Fî à =0,8Âñà δñ +Í ä (δâ -δñ ) ,
где Нд – напряжённость магнитного поля, соответствующая индукции
Вда в стали дисков. Значение Нд находится по кривой намагничивания
(табл. 2.2).
Магнитное напряжение полюсов:
(6.7)
Fпа =Нп  2h п ,
где Нп – напряженность магнитного поля, соответствующая индукции
Впа в стали полюсов.
Магнитное напряжение, необходимое для преодоления магнитного
сопротивления стали ярма:
Fяа =я  Н я ,
(6.8)
где: Ня – напряжённость магнитного поля, соответствующая индукции
Вяа, а я – средняя длина магнитной силовой линии в ярме:
λя
R


Н ст +2  bок + п +1,5h я  .
3


Магнитное напряжение двух стыков полюсов с ярмом:
Fñò.ï =1,6  δñòÂñò.ï .
Магнитное напряжение стыков ярма:
52
(6.9)
(6.10)
Fñò.ÿ =1,6  δñòÂñò.ÿ .
(6.11)
Амплитуда полной намагничивающей силы обмотки электромагнита
бетатрона:
(6.12)
Fа =Fоа +Fпа +Fяа +Fст.п +Fст.я .
Полученными в этом разделе значениями индукций в элементах
магнитопровода и значением Fа следует пользоваться во всех
дальнейших расчётах как более точными, чем принятые раньше
ориентировочные значения.
7.Силовое питание электромагнита
В бетатронах применяют три основных схемы питания обмоток
электромагнита:
схему
с
использованием
переменного
синусоидального тока промышленной или повышенной частоты, схему
с дополнительным подмагничиванием постоянным током и схему
импульсного питания.
Наиболее проста система питания от промышленной сети с
частотой 50Гц (Рис. 7.1). Наличие большого воздушного зазора между
полюсами обуславливает большое число ампер-витков и потребление
значительной реактивной мощности. При значительной индуктивности
обмотки питание её переменным током связано с низким значением
cos. Поэтому используется резонансная схема питания обмоток.
Параллельно
намагничивающей
обмотке
W2
подключается
конденсаторная батарея С, ёмкость которой подбирается так, чтобы
собственная частота полученного колебательного контура равнялась
частоте питающего тока. В этом случае из сети потребляется
мощность, идущая лишь на компенсацию потерь энергии в контуре.
Для возбуждения контура используется возбуждающая (первичная)
обмотка W1.
Увеличение частоты сопровождается ростом количества ускоренных
электронов в единицу времени. Но, с другой стороны, с ростом
частоты возрастают потери и, следовательно, потребляемая мощность,
усложняется охлаждение установки.
Используя
дополнительное
подмагничивание
магнита
постоянным током, можно уменьшить амплитуду переменной
составляющей и, следовательно, снизить потери в стали. Но при этом
усложняется система питания. Поэтому положительный техникоэкономический эффект при использовании смешанного питания
наблюдается лишь для энергии выше 25МэВ.
53
Наименьшая
потребляемая
электромагнитом
мощность
обеспечивается применением импульсной системы питания. Это
особенно важно для бетатрона на большую энергию, т.к. при
непрерывном питании потребляемая мощность растёт почти
пропорционально W3. Методика расчёта импульсной схемы силового
питания приведена в [19].
Далее приводится методика расчёта системы силового питания
переменным током.
Рис. 7.1. Схема силового питания от промышленной сети.
7.1. Расчёт намагничивающей обмотки электромагнита
Расчёт намагничивающей обмотки электромагнита бетатрона
подобен
расчёту
обмотки
трансформатора.
Поскольку
намагничивающая сила обмотки F, т.е. требуемые ампер-витки
катушки, заданы, необходимо определить наиболее целесообразное
соотношение числа витков и тока в них. При малом числе витков и,
следовательно, небольшой амплитуде напряжения на обмотке
использование для возбуждения электромагнита больших значений
тока
сопряжено
со
значительными
технологическими
и
эксплуатационными трудностями. При больших токах приходится
применять большие сечения проводов обмотки, а это затрудняет её
изготовление. Уменьшение тока в обмотке и, как следствие этого,
увеличение числа витков приводит к необходимости применять
высокое напряжение. По мере увеличения радиуса орбиты и энергии
электронов растёт магнитный поток и, следовательно, ЭДС витка
обмотки. Поэтому при данном количестве витков приходится
54
применять всё большие напряжения. Как показала практика
бетатроностроения, наиболее удобное для изготовления катушки
сечение провода получается при напряжении 2кВ для бетатронов на
энергию до 5МэВ, 3кВ для бетатронов на энергию до 15МэВ и 6кВ
для бетатронов до 30МэВ.
Предварительно выбрав напряжение на обмотке из стандартного
ряда (3,15кВ, 6,3кВ и т.д.), определяем нужное число витков катушки и
сечение провода. При нормальном режиме работы бетатрона
эффективное значение ЭДС среднего витка намагничивающей обмотки
е2 =4.44fФ па σ 0 108 (вольт) .
(7.1)
Расчётное число витков обмотки при выбранном стандартном
напряжении U '2 :
U '2
.
e2
N '2 =
(7.2)
Поскольку обмотка состоит из двух одинаковых половин на каждом
полюсе, найденное значение должно быть округлено до ближайшего
меньшего чётного числа N2. Следовательно, действительное
напряжение на вторичной обмотке:
U2 =e2  N2 .
(7.3)
Эффективное значение тока намагничивающей обмотки:
I2 =
Fa
.
2  N2
(7.4)
I2
,
j'2
(7.5)
Расчётное сечение провода:
q '2 =
где j'2 – допустимая по условиям охлаждения плотность тока в меди
намагничивающей
обмотки.
При
естественном
охлаждении
j'2  (0,9  1,3)А/мм 2 , при охлаждении обдувом j'2  (1,3  1, 6)А/мм 2 . По
действительному сечению q2 выбранного по справочнику провода
уточняется действительная плотность тока в меди
j2 =
I2
.
q2
55
(7.6)
Если в результате расчёта получено слишком большое сечение провода
можно либо наматывать обмотку двумя параллельными ветвями, либо
необходимо увеличить напряжение U '2 на обмотке.
7.2. Выбор батареи конденсаторов резонансного контура
Ёмкость
конденсаторной
батареи,
образующей
с
намагничивающей обмоткой резонансный контур с собственной
частотой f, равной частоте питающего напряжения:
C=
I 2 106
мкФ, где =2f
U 2ω
(7.7)
Реактивная мощность контура
Q=U 2  I 2 .
(7.8)
В справочниках силовых конденсаторов указывается:
– номинальная ёмкость конденсатора Сн;
– номинальные действующие значения тока и напряжения Iн, Uн;
– номинальная реактивная мощность Qн;
– масса конденсатора Gк.
При выборе типов и параметров конденсаторов батареи, а также и
схемы их соединения, необходимо, чтобы не только суммарная
реактивная мощность всех конденсаторов была не меньше мощности
контура
Q
н
 Q=U2I2 ,
(7.9)
но и действующие значения тока I и напряжения U для каждого
конденсатора не превышала бы допустимых значений: UUн, IUQн.
Полезно проверить правильность расчёта намагничивающей
обмотки, используя уравнение:
Q=
σ 0 Ф па Fa ω
.
2
(7.10)
7.3. Расчёт мощности источника питания
Мощность ускоренного пучка бетатрона чрезвычайно мала по
сравнению с потребляемой мощностью. Поэтому потребляемая
электромагнитом бетатрона активная мощность идёт на покрытие
потерь в стали магнитопровода, в меди обмоток и в конденсаторной
батарее.
56
Потери в стали магнитопровода складывается в основном из
потерь на гистерезис (перемагничивание) и вихревые токи. Потери на
гистерезис Ргист не зависят от толщины листов стали, а определяются
частотой циклов перемагничивания и амплитудным значением
индукции в соответствующих деталях магнитопровода:
Pгист =σ гист
f
f
2
 B
  G .
 Bδ 
(7.11)
Потери на вихревые токи Рвихр, индуцированные в сечении пластин,
зависят от толщины этих пластин и скорости изменения магнитного
потока:
2

f B
Pвихр =σ вихр  Δ ст     G .
f  Bδ 

(7.12)
Здесь G – масса стали,  – удельные потери (потери на единицу массы)
в базисной точке, когда f = f и В =В.
Общие потери на гистерезис и вихревые токи:
2
2


f  B
f B 
Pст = σгист   +σвихр  Δст      G= (В)  G (7.13)
f  Bδ 
f Bδ  



Удельные потери на вихревые токи и гистерезис (В) в стали Э-330
толщиной 0,35мм при частоте f = 50Гц приведены в таблице 2.2. При
переходе к другим частотам можно пользоваться формулами:
1.3
 f 
Pf  P50   ,
 50 
1.3
 f 
 .
 50 
 f   50 
(7.14)
Для вычисления полных потерь в стали весь магнитопровод
разбивается на отдельные участки с приблизительно равной
индукцией. По известной индукции в данном элементе магнитопровода
определяются удельные потери в нём. Найденные удельные потери  и
масса элемента магнитопровода G определяют потери энергии в нём.
Потери энергии в горизонтальной части ярма:
Pя =σ я  G я ,
(7.15)
где: я – удельные потери в ярме при амплитуде индукции В яа;
Gя – масса стали горизонтальной части ярма
G я =b я h я Lя K яρcт .
(7.16)
Плотность электротехнической стали ст=7,6510-3 кг/см2.
57
Потери в стойке ярма:
Pст =σ я  G ст , где
G ст =bя h я Hст K яρcт .
(7.17)
(7.18)
Потери в стали галет:
Pд =σд  G д ,
(7.19)
где д – удельные потери при индукции в дисках Bда
Gд =πR c2  δb -δc  Kдρcт .
(7.20)
Потери в одном полюсном сердечнике
Pп =σп  G п ,
(7.21)
где п – удельные потери при значении амплитуды индукции в
полюсном сердечнике Впа. Массу полюса без козырьков (Rн=Rп) при
небольших значениях  можно приближенно полагать равной
G ï =πR í2 h ï K ï ρ cò .
(7.22)
При вычислении массы полюса с козырьком нужно иметь в виду, что
толщина секторов, из которых набирается полюс, в пределах козырька
(Rп  R  Rн) остаётся постоянной и равной толщине на радиусе Rп.
Полные потери в стали электромагнита
Pст =2  Рп +Рст +Ря  +Рд .
(7.23)
Потери в меди катушек электромагнита бетатрона определяются
потерями в намагничивающей (вторичной) обмотке, так как потери в
возбуждающей обмотке малы (доли процента от потерь в
намагничивающей)
Р м =I 22 R 2 ,
(7.24)
где R2 – активное сопротивление вторичной обмотки
R 2 =ρ уд
lср W2
g2
.
(7.25)
Здесь: lср=2Rср – средняя длина одного витка катушки;
уд=2,110-6 Омсм – удельное сопротивление меди с учётом его
увеличения при переменном токе; Rср – средний радиус обмотки.
Заменяя в (7.24) I2=j2q2 и учитывая, что масса меди вторичной обмотки
G м2 =lср q 2 W2ρСu
(7.26)
получаем:
58
Pì =
ρ óä
ρCu
G ì 2 j22 =2,36G ì 2 j22 .
(7.27)
Здесь: Cu=8,910-3 кг/см3 – плотность меди, Gм2 задаётся в кг, а j2 в
А/мм2.
Потери в конденсаторной батарее зависят от конструкции
конденсатора, типа используемого диэлектрика. Обычно
(7.28)
Pê =(0,003  0,005)  U2  I2
Помимо указанных необходимо учесть дополнительные потери –
в основном механические, вибрационные. Они тяготеют к потерям в
стали и составляют (1520)% от последних.
Полные потери, определяющие мощность источника питания, с
учётом добавочных потерь:
P=1,2Pст +Рм +Рк
(7.29)
7.4. Расчёт возбуждающей обмотки
Первичная (возбуждающая) обмотка располагается внутри
намагничивающей обмотки ближе к полюсному сердечнику. ЭДС
витка возбуждающей обмотки:
е1 =4,44  f  Ф па 108 В
(7.30)
Расчётное число витков обмотки:
N1' =
U1'
e1
(7.31)
где U 1' – выбранное напряжение на зажимах обмотки. Округлив N 1' до
ближайшего целого чётного значения N1, определяем необходимое
напряжение в первичной цепи:
U1 =N1e1
(7.32)
Напряжение выбирается близким к стандартному. Расчётный ток в
первичной обмотке определяется мощностью потерь в электромагните
I1 =
P
.
U1
(7.33)
Ток первичной обмотки сильно зависит от расстройки резонанса
контура вторичной обмотки. Поэтому сечение провода первичной
обмотки выбирают с 3х – 4х - кратным запасом. Расчётное сечение
провода:
59
q1' =
(3  4)I1
j1
(7.34)
Часто для первичной обмотки используется тот же обмоточный
провод, что и для вторичной. При сечении выбранного провода q1
плотность тока в обмотке при работе в номинальном режиме без
расстройки резонанса
I1
.
q1
(7.35)
Gм1 =2π  R п +a1  N1q1ρCu ,
(7.36)
j1 =
Вес меди первичной обмотки
где а1 – расстояние от края полюсного сердечника до середины
обмотки. Общий вес активной меди:
(7.37)
G м =G м1 +G м2 .
Полный вес активной стали
Gñò =G ä +2  G ÿ +Gcò +Gï  .
(7.38)
Вес рабочих конденсаторов батареи
G бат =G к Nк ,
(7.40)
где Nк – число конденсаторов.
7.5. Конструкция катушки
Наибольшее распространение получили концентрические
многослойные цилиндрические обмотки. Витки в катушке
располагаются отдельными слоями, расстояние между которыми
образует охлаждающие каналы. Для придания механической
прочности катушка помещается в каркас, состоящий из двух щёк и
внутреннего и наружного бандажей. Обмотка электромагнита
разделяется на две отдельные катушки, надеваемые на полюсные
сердечники. В каждой катушке размещаются половина числа витков
возбуждающей и намагничивающей обмоток. Катушка выполняется
изолированным проводом, обычно шинкой с прямоугольным сечением.
Изоляция провода рассчитывается на электрическую прочность по
напряжению, приходящемуся на один виток.
Для уточнения размеров окна под катушку необходимо
оформить эскиз её поперечного сечения. С учётом сбега витка
определяется число витков в одном слое, необходимое число слоёв,
60
ширина каналов для охлаждения. При этом может потребоваться
небольшая корректировка размеров окна, что практически не
сказывается на результатах предыдущих расчётов.
Межслоевая изоляция рассчитывается на электрическую
прочность по удвоенному падению напряжения в слое. Для облегчения
изоляции первичной обмотки от вторичной середины обеих катушек
заземляются. В этом случае напряжение, которое должна выдерживать
изоляция между первичной и вторичной обмотками, равно сумме
падений напряжений на одном слое этих обмоток.
8.Тепловой расчёт электромагнита
Электрическая энергия, теряемая в электромагните, выделяется в
виде тепла в обмотках и магнитопроводе. Происходит повышение
температуры установки. Повышение температуры является основной
причиной, ограничивающей время непрерывной работы бетатрона, и
сокращает срок службы установки из-за старения изоляционных
материалов. Предельно допустимая температура установившегося
режима зависит от класса изоляции и в современных ускорителях
допускается не более 950С.
Расчёт теплового режима отдельных деталей электромагнита
проводится путём решения уравнения теплового баланса:
Pн  dt=c  dτ+Pохл  τ  dt
(8.1)
где: Рн – количество тепла, выделяемого в рассматриваемой детали в
единицу времени; Рохл – количество тепла, отводимого охлаждающими
поверхностями детали в единицу времени при разности температур
детали и окружающей среды 10С;  - превышение температуры детали
над окружающей средой; с – средняя теплоёмкость детали.
В установившемся режиме температура постоянна и её
превышение над температурой окружающей среды равно уст, причём
сd=0. Поэтому
Pн =Pохл  τ уст .
(8.2)
Подставив это уравнение в предыдущее, получаем:
τ уст  dt=Т  dτ+τ  dt ,
где T=c/Pохл – постоянная времени нагрева детали.
61
(8.3)
Решение этого уравнения с учётом начальных условий (=0 при t=0):
τ=τ0 +(τ уст -τ0 )(1-e
-t
T
).
(8.4)
При нагревании 0=0 и, следовательно:
τ(t)=τ уст (1-e
-t
T
).
(8.5)
При остывании уст=0 и
τ(t)=τ0e
-t
T.
(8.6)
Установившийся режим наступает при t3T. Учитывая, что
Рохл=Рн/уст и с=судG, где суд – удельная теплоёмкость и G – масса
детали, для постоянной нагревания получаем
T=
c уд Gτ уст
Рн
.
(8.7)
Уравнения (8.5) и (8.6) позволяют оценить допустимое время
работы бетатрона в форсированном режиме и необходимые паузы
между включениями.
Для оценки уст при стационарном (непрерывном) режиме
работы удобно пользоваться удельными тепловыми нагрузками
Руд Вт/см2, т.е.
Pí =Póä  Sî õë .
(8.8)
С другой стороны
Pн =α  Sохл  τ уст ,
где 
(8.9)
Вт
– коэффициент теплоотдачи с поверхности. Отсюда
см 2 град
следует для установившегося режима:
τ óñò =
Ðóä
α
.
(8.10)
Основные трудности теплового расчёта сводятся к правильному
выбору охлаждающей поверхности и коэффициентов теплоотдачи .
При естественном охлаждение для металлических поверхностей
=(0,51,6)10-3
Вт
. Для различных деталей электромагнита
см 2 град
коэффициенты теплоотдачи отличаются. В таблице 8.1 приведены
усреднённые значения коэффициентов теплоотдачи при естественном
62
воздушном охлаждении, полученные при экспериментальных
исследованиях тепловых режимов Ш-образных магнитопроводов.
При температуре окружающей среды tокр допустимый перегрев
доп=950С-tокр.
Таблица 8.1.
Коэффициенты теплоотдачи при естественном охлаждении.
Деталь электромагнита
, Вт/см2град
Вкладыш
Полюс
Ярмо (горизонтальная часть)
Стойка
(0,61,0)10-3
(0,81,0)10-3
(1,01,2)10-3
(0,50,9)10-3
8.1. Порядок теплового расчёта для установившегося
режима
Тепловой расчёт выполняется раздельно для галетного блока,
полюса, горизонтальной части ярма, стойки и катушки. За
охлаждающие поверхности галет следует принимать их боковые
поверхности. Между галетами, а также между полюсами и галетами
находится диски из немагнитного материала, толщина которых
достаточна для теплоизоляции вкладышей. Кроме того, боковая
поверхность галетного блока частично закрыта бандажом. Поэтому
площадь охлаждения галет с учётом уменьшения боковой поверхности
за счёт бандажа:
Sä =(1,4 1,8)πR c h ä mä .
(8.11)
Удельная тепловая нагрузка галетного блока
Ðóä.ä =
Установившееся превышение
окружающей среды:
ä =
Pä
.
Sä
температуры
Póä.ä
ä
и, соответственно, температура галетного блока
t д =t окр +τ д .
63
(8.12)
над
температурой
(8.13)
(8.14)
Аналогично выполняется расчёты для остальных частей
электромагнита.
При
определении
охлаждающей
поверхности
полюса
необходимо иметь в виду, что баковая поверхность полюса
экранируется надетой на него катушкой, а торцовая поверхность,
обращенная к ярму с примерно той же температурой, что и полюс,
экранируется от него прокладкой. Расчёты показывают, что
практически всё тепло отводится только поверхностью, обращенной к
воздушному зазору, а вертикальные поверхности отводят
незначительную часть тепла. Вакуумная ускорительная камера
несколько затрудняет теплоотдачу, что учитывается коэффициентом
0,80,9.
При расчёте удельной тепловой нагрузки ярма предполагается,
что ярмо нагревается независимо от полюса и намагничивающих
катушек, а охлаждающими поверхностями являются только
горизонтальные. Коэффициент теплоотдачи с горизонтальной
поверхности приблизительно равен 10-3 Вт/см20С, но если учесть
отдачу тепла с торцовых поверхностей, то можно принимать
=1,210-3 Вт/см20С.
Боковые поверхности не принимаются во
внимание, т.к. передача тепла поперёк пластин затруднена наличием
изоляции между ними.
Одна из охлаждающих поверхностей стойки обращена к обмотке
электромагнита, поэтому её охлаждающая способность значительно
меньше, чем для открытой поверхности. Для этой части поверхности
охлаждения необходимо использовать минимальное значение
коэффициента
теплоотдачи.
Усреднённый
же
коэффициент
теплоотдачи для поверхностей стойки, как установлено опытом,
составляет примерно 0,7 Вт/см20С.
Охлаждающими поверхностями катушки считаются только
горизонтальные поверхности. Опытом установлено, что если
Руд<0,2Вт/см2, то достаточно естественного воздушного охлаждения.
Если
температура
частей
электромагнита
превышает
допустимую, то необходимо применять искусственное охлаждение.
Простейшим методом увеличением теплосъема с поверхности
элементов
электромагнита,
не
требующим
существенных
конструктивных изменений магнитопровода, является применение
охлаждения обдувом. При обдуве поверхностей коэффициент
теплоотдачи обд увеличивается в зависимости от скорости воздуха
V м/с:
α обд =α(1+1,2V 0,8 ) .
64
(8.15)
Полагая
 обд =
Р уд
 доп
, из формулы (8.15) получаем:
1
 P
 1  0,8
V=  уд -1  .
 τ доп α  1,2 
(8.16)
Здесь доп – допустимый перегрев,  - коэффициент теплоотдачи при
естественной конвекции (V=0).
9. Механический расчёт
Известно несколько конструкций Ш-образных магнитопроводов,
применяемых для электромагнитов бетатронов. Необходимость замены
ускорительной вакуумной камеры в процессе эксплуатации бетатрона
заставляет предусматривать в конструкции магнитопровода разъём,
позволяющий расчленить электромагнит на две части так, чтобы
можно было увеличить зазор между полюсами на величину,
достаточную
для
замены
ускорительной
камеры.
В
трансформаторостроении известны два способа сочленения магнитной
цепи: стыковой и шихтованный. В стыковых Ш-образных
магнитопроводах стойки и ярмо собираются из пластин
трансформаторной стали раздельно, а затем соединяются при помощи
стяжных шпилек и болтов. В шихтованных магнитопроводах стойки и
ярмо собираются из отдельных пластин впереплёт (шихтуются). Для
бетатронов в связи с необходимостью в процессе эксплуатации
производить замену ускорительной камеры могут применяться
полушихтованные магнитопроводы, у которых стойки по длине
разделены на две равные части, сочленяющиеся с ярмом путём
шихтовки впереплёт. Такой магнитопровод представляет собой две
П-образные половины, соединённые между собой болтами,
проходящими через специальные приливы на щёках. Каждая половина
стойки
состоит
из
чередующихся
пластин
длиной
Í ñò 2 è Í ñò 2 +h ÿ . Стыковые магнитопроводы более просты в
изготовлении, чем полушихтованные. Во избежание замыкания
пластин
в
стыке
помещаются
изоляционные
прокладки.
Полушихтованные
магнитопроводы
позволяют
производить
65
частичный демонтаж и монтаж бетатрона для замены вакуумной
камеры с большей точностью, чем стыковые.
Пластины ярма и стоек сжимаются двумя щёками при помощи
стяжных шпилек. Количество шпилек и их сечение должны обеспечить
удельное давление сжатия (34) кГс/см2. Щёки рассчитываются на
изгиб
как
защемлённые
балки,
нагруженные
равномерно
2
распределённой нагрузкой руд= (34) кГс/см . При этом в качестве
балки рассматривается половина щеки, т.е. длина балки равна
половине высоты ярма. Толщина щёк hщ определяется из условия
прочности:
M
 σ ,
(9.1)
N
где: М– изгибающий момент, N– момент сопротивления сечения при
изгибе,
 – допустимое напряжение материала щеки. Для случая
защемлённой балки, нагруженной распределённой нагрузкой:
Ì = ql 2 2 ,
(9.2)
где l= h ÿ 2 – длина балки, q=p óä  b – “погонная” нагрузка, b– ширина
балки. В случае прямоугольного сечения балки высотой
hù и
шириной b момент сопротивления сечения при изгибе:
N= bh ù2 6
(9.3)
Допускаемое напряжение материала щеки:
σ =σò  k ,
где
(9.4)
σ ò – предел текучести материала, k1– коэффициент запаса
прочности. Подставляя выражения (9.2)–(9.4) в (9.1), получим:
3p óä  h 2ÿ
4h ù2
 σò  k
Отсюда определяется толщина щеки
(9.5)
h ù для выбранного материала.
Обе половины полушихтованного магнитопровода, а также ярмо и
стойки стыкового магнитопровода соединяются болтами. Для этого на
щёках предусматриваются усиленные косынками приливы (полки),
через которые пропускаются болты, обеспечивающие суммарное
усилие сжатия Р:
66
P=póä  (2h ÿ  bÿ +πR 2ä )
(9.6)
Исходя из этого рассчитывается число и сечение болтов.
Для транспортировки всего электромагнита в целом необходимо
предусмотреть транспортировочные петли, выдерживающие нагрузку,
равную полному весу электромагнита. Петли, как и болты,
рассчитываются по пределу прочности на разрыв.
Приложение 1
Расчёт коэффициентов заполнения галет и
полюсных сердечников сталью
Галеты и полюса комплектуются из одинаковых секторов. Поэтому
коэффициент заполнения можно искать не для всей галеты или
полюсного сердечника, а для одного сектора. Для галет полную
площадь сектора S полн найдём как площадь прямоугольного
треугольника с катетами
отверстия и
Rc и
Rc  n
, где rä – радиус центрального
rä
 n – толщина пакета пластин (Рис.3.3)
Rc2  n
2rä
S ï î ëí 
(П1.1)
Не заполненная пакетами площадь S пуст складывается из суммы
площадей прямоугольных треугольников с катетами
количество которых равно ( Rc
Sï óñò 
rä и  n ,
/ rä ) :
Rc 1
R
 n rä  c n
rä 2
2
(П1.2)
Площадь сектора S пл ,занятая изолированными пластинами:
S ï ë  S ï î ëí  S ï óñò
Rc2  n Rc  n


2rä
2
(П1.3)
Коэффициент заполнения галеты изолированными пластинами
67
r
Sï ë
 1 ä
Sï î ëí
Rñ
Коэффициент заполнения сталью K ä
kï ë 
K ä  kï ë
где
(П1.4)
r 
ñò
 (1  ä ) ñò ,
èç
Rc èç
(П1.5)
 ст – толщина пластины без изоляции, а
из – толщина изолированной пластины, т.е.
ст / из – коэффициент заполнения сечения пластины сталью.
Аналогично для коэффициента заполнения сталью полюсных
сердечников с радиусом Rn и радиусом центрального отверстия rn
получаем:
K n  (1 
rn  ñò
)
Rn  èç
(П1.6)
Необходимо стремиться к получению как можно больших
коэффициентов заполнения сталью, так как это приводит к
уменьшению габаритов магнитопровода. С этой целью иногда
расчетный радиус центрального отверстия rрасч , определяющий
способ набора сектора пакетами пластин разной длины, делают в целое
число раз р меньше действительного радиуса r (Рис.3.4).
В этом случае «р» первых пластин имеют одинаковую длину,
коэффициент заполнения сталью повышается. Радиус r определяется
из механического расчёта, а rрасч берётся в целое число раз меньше.
Рассчитаем коэффициент заполнения для
изображённой на рис.3.4 пунктирными линиями
Sполн
Rc2  n

2rрасч
сектора
галеты,
(П1.7)
При вычислении не заполненной пакетами площади к величине,
определяемой уравнением (П1.2), необходимо добавить суммарную
площадь сечения пакетов в промежутке между r и rрасч (на рисунке
показаны пунктиром). Эту дополнительную площадь найдём как
68
площадь сектора с радиусом r за вычетом площадей пустых
треугольников, уже учтенных при вычислении по формуле (П1.2).
Sпуст 
Sпл 
 r
Rc n
n
(
 r 2  p n расч )
2
2 rрасч
2
 n rрасч
Rc2  n Rc n  n r 2


p
2rрасч
2
2rрасч
2
(П1.8)
(П1.9)
Заменяя r  prрасч , получаем:
kпл 
2
rрасч rрасч
S пл
 1
 2 ( p 2  p)
S полн
Rc
Rc
K ä  [1 
rðàñ÷
Rc

2
rðàñ÷
2
Rc
( p 2  p )]
 ñò
 èç
(П1.10)
(П1.11)
Приложение 2
Расчёт длин пакетов в секторе галет и полюса
На рис. П2.1 показана сборка сектора из пакетов, длины которых
подсчитываются по формуле:
li  R  ir ,
(П2.1)
где i – номер пакета.
Поскольку все пакеты кроме первого
расположены не радиально, концы пакетов на радиусе R
не
совпадают. При обжатии это приводит к смятию и замыканию пластин
и деформации полюса и галет. Чтобы этого не происходило, нужно
длины пакетов подсчитывать более точно. Из прямоугольного
(od )  (oc) 2  (cd ) 2 , где (oc)  R ,
odc :
(cd )  i n  0,5 n ,  n - толщина пакета. Длина пакета
l  (od )  (ob) , где для i -ого пакета (ob)  ir .
(i  0,5) n 2 1/ 2
li  (oc) 2  (cd ) 2  ir  R[1  (
) ]  ir
(П2.2).
R
треугольника
69
d
b
5
c
4
R
3
2
1
r
о
Рис. П 2.1 К расчету длины позиций
в секторах галет и полюсов
Приложение 3
Расчёт коэффициента заполнения основания
козырьков сталью для полюсов
с козырьками
Поверхность основания козырька перпендикулярна плоскости
рисунка 3.3 и представляет собой кольцо с радиусом Rn и высотой
h k .Число пластин в секторе полюса вдоль окружности с
произвольным радиусом R , кратным радиусу отверстия в полюсе r ,
скачком меняется от R / r 1 до R / r (Рис.П3.1).
Поскольку здесь
70
K пл
1
5/6
0,8
4/5
3/4
2/3
0,6
0,5
0,4
0,2
1
2
3
4
5
6
7
R / r1
Рис. П3.1. Коэффициент заполнения пластинами основания
козырька.
Рис.
имеется
место
для
пластин,
R/r
коэффициент
заполнения
R / r 1
до 1. Среднее значение:
R/r
1
R / r 1
r
 (1 
)  1
(П3.1)
2
R/r
2R
пластинами скачком меняется от
kпл.ср
Следовательно, на радиусе
козырька сталью:
k  kï ë.ñð
Rn коэффициент заполнения основания
 cò
r cò
 (1 
)
èç
2 Rn èç
ния
71
(П3.2)
Приложение 4
Приближённое определение коэффициента
рассеяния магнитного потока полюсов
электромагнита бетатрона
При расчёте магнитной цепи электромагнита бетатрона,
синхротрона, циклотрона и т.п. для правильного определения размеров
магнитопровода
и
ампервитков
намагничивающей
обмотки
необходимо учитывать коэффициент рассеяния магнитного потока
полюсов
n 
где:
Фр
Фп Фн  Фр
,

 1
Фн
Фн
Фн
(П4.1)
Фн – магнитный поток в средней плоскости междуполюсного
пространства в круге с радиусом Rн ;
Rн – наружный радиус полюсных наконечников;
Фп – магнитный поток в полюсных сердечниках на стыке их с
ярмом;
Ф р – магнитный поток рассеяния полюсов.
Коэффициент рассеяния потока полюсов в зависимости от формы и
размеров междуполюсного пространства изменяется в довольно
широких пределах и весьма существенно влияет на результаты расчёта
магнитной цепи.
Определение коэффициента  п аналитическими и графическими
методами возможно,
полные ампервитки
расчёта магнитной
магнитопровода и
коэффициент  п
когда уже известны размеры магнитопровода и
намагничивающей обмотки, т.е. только после
цепи. Чтобы правильно рассчитать размеры
намагничивающие ампервитки, приходится
в первом варианте расчёта принимать
ориентировочно.
Геометрически подобные электромагниты разных размеров будут
иметь одинаковый коэффициент рассеяния. Поэтому можно, используя
данные измерений коэффициента  п выполненных электромагнитов,
72
найти достаточно точное уравнение для определения этого
коэффициента.
Электромагниты циклических ускорителей имеют большой
воздушный зазор между полюсными наконечниками, занимаемый
ускорительной камерой. В этом случае магнитное сопротивление стали
магнитопровода весьма мало по сравнению с магнитным
сопротивлением воздушного зазора и поверхность полюсных
наконечников можно считать эквипотенциальной поверхностью
магнитного поля междуполюсного пространства (Рис.П4.1). Для
ампервитков,
преодолевающих
магнитное
сопротивление
междуполюсного пространства, можно написать равенство:
F  0,8B0 0  0,8B p  p ,
(П4.2)
где:
B0 – магнитная индукция в междуполюсном пространстве на
радиусе равновесной орбиты
R0 ;
 0 – воздушный зазор на радиусе R0 ;
B p – средняя расчётная индукция потока рассеяния полюсов;
 p – расчётная длина средней силовой линии потока рассеяния.
Из уравнения (П4.2) имеем:
B p  B0
0
p
(П4.3)
Известно, что поток рассеяния полюсов Ф р
сосредоточен в
основном на боковой поверхности полюсов вблизи воздушного зазора.
Для упрощения полагаем, что поток рассеяния равномерно
распределён по высоте h p =  0 на боковой поверхности полюсов
(Рис.П4.1). В этом случае магнитный поток рассеяния:
Ф р  2 Rн hp B p  2 Rн 0 k p B0 , где
kp 
0
p
73
.
(П4.4)
λр
Фп
hр
Фр
Ro
Фн
bo
bo
Rc
Rн
Рис. П 4.1 Расчетная схема вычисления
коэффициента
рассеяния полюсов бетатрона
Магнитный поток в средней плоскости междуполюсного пространства
бетатрона в круге с радиусом Rн :
2 R0n B0 2n
( Rн  R02n )
2n
Фн  2 R0 Rн В0
Фн  2 R02 B0 
При
n 1
(П4.5)
Этой формулой можно воспользоваться и при обычно используемых
значениях n 2/ 3 без ущерба для точности расчёта.
74
Подставив значение Ф р и
Фн из уравнений (П4.4) и (П4.5) в
уравнение (П4.1), получим:
 n  1 kp
0
(П4.6)
R0
В синхротроне электромагнит имеет форму кольца с С-образным
или Ш-образным поперечным сечением магнитопровода (Рис.П4.2).
Здесь Ф р  Ф р1  Ф р 2  2 0 B0 ( Rн k p  Rв k p1 )
(П4.7)
Магнитный поток
Фв в кольце с радиусами Rн и Rв шириной b
согласно (2.8):
2 B0 R0n 2 n
( Rн  Rв2 n ) 
2n
2 B0 R0 ( Rн  Rв )  2 B0 R0b
Фв 
Подставляя (П4.7) и (П4.8) в (П4.1), имеем:
 n  1  ( Rн k p  Rв k р1 )
Коэффициент
0
R0b
(П4.8)
(П4.9)
k p1 , учитывающий поток рассеяния с внутренней
стороны полюса, несколько отличается от коэффициента
kp ,
учитывающего рассеяние с наружной стороны. Но если пренебречь
k p , приняв k p1  k p , и полагая
разницей между k p1 и
( Rн  Rв )  2 R0 , найдём менее точное, но более простое уравнение
для определения полного коэффициента рассеяния потока полюсов
синхротрона:
 n  1  2k p
75
0
b
(П4.10)
Ro
Rв
Фр
1
Фр2
b
RН
а)
Ro
Rв
b
Фр2
Фр 1
RН
в)
Рис.П 4.2 С-образное (а) и Ш-образное (в) сечения
магнитопровода электромагнита синхротрона
Магнитный поток в межполюсном пространстве циклотрона с
радиусом полюсов Rн и зазором между полюсами  :
Фн   Rн2 B
(П4.11)
Пользуясь уравнениями (П4.4) и (П4.11), находим для циклотрона
 n  1
Фр
Фн
 1  2k p

Rн
(П4.12)
Коэффициент k p для геометрически подобных электромагнитов
любых размеров величина постоянная. Отклонение от подобия в
76
пределах, имеющих место в обычных конструкциях одинакового типа,
практически не сказывается на величине коэффициента k p . Таким
образом, коэффициент k p можно определить экспериментально на
электромагните любых размеров, по типу близкому к проектируемому.
Для этого необходимо иметь кривую распределения магнитной
индукции B ( r ) вдоль средней линии межполюсного пространства.
Используя эту кривую, находим расчётный поток рассеяния,
приходящийся на погонный сантиметр вдоль наружной поверхности
полюса (Рис.П4.3).
RH
1 см
hp
Фp
Рис.П 4.3. К экспериментальному определению
коэффициента k p
Ôð 

 B(r )dr
(П4.3)
Rí
Поскольку поток рассеяния можно считать сосредоточенным на
высоте h p   боковой поверхности полюсов, средняя расчётная
индукция этого потока:
77
Bp 
Фр

hp
Фр
(П4.14)

Коэффициент k p определяется из уравнения (П4.3):
kp 
Bp
(П4.15)
B0
Измерения на действующих электромагнитах показали, что
значение коэффициента рассеяния близко к значению k p  0, 56 .
Таким образом, при ориентировочном определении коэффициента
рассеяния магнитного потока полюсов можно пользоваться
следующими уравнениями:
для бетатрона –
 n  1  0,56
для синхротрона –
 n  1  1,12
для циклотрона –
 n  1  1,12
0
R0
0
b
;
;

Rн
(П4.16)
(П4.17)
.
(П4.18)
Литература
1.
2.
3.
4.
Ананьев Л.М., Воробьёв А.А., Горбунов В.И. Индукционный
ускоритель электронов – бетатрон. – М.: Госатомиздат, 1961. –
350 с.
Москалёв В.А. Бетатроны. - М.: Энергоиздат, 1981. – 167 с.
Шипунов И.В. Вопросы теплового расчёта электромагнитов
бетатронов// Известия ТПИ. – Томск: Изд. ТПУ, 1957. – т.87. –
106 с.
Степанов Ю.М. Руководство по расчёту шихтованного ярма
переменного электромагнита ускорителя: Учебное пособие. –
Томск: Изд. ТПУ, 2006. –30 с.
78
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Биргер И.А. и др. Расчёт на прочность деталей машин:
Справочник. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение,
1993. – 640 с.
Берзан В.П., Геликман Б.Ю. и др. Электрические конденсаторы и
конденсаторные установки: Справочник// Под ред. Г.С.
Кучинского. – М.: Энергоиздат, 1987. – 656 с.
Кучинский Г.С., Назаров Н.И. Силовые электрические
конденсаторы. – М.: Энергоиздат, 1992.
Электротехнический справочник// Под ред. Герасимова. – М.:
Энергоиздат, 1981.
Электротехнический справочник// Гл. редактор И.Н. Орлов/ Изд.
7-е. – М.: Энергоатомиздат, 1986.
Гузенков П.Г. Краткий справочник по расчётам деталей машин. –
М.: Высшая школа, 1974.
Поливанов П.М. Крепёжные детали: Справочник. – М.:
Машиностроение, 1967.
Чернин Н.М., Кузьмин А.В., Ицкович Г.Н. Расчёты деталей
машин: Справочник. – Минск: Высшая школа, 1974.
Соренко А.Н. и др. Расчёт сварных соединений и конструкций. –
Киев: Наук.думка, 1977.
Справочник по сопротивлению материалов/ Писаренко Г.С.,
Яковлев А.П., Матвеев В.В.; Отв. ред. Писаренко Г.С. –2-е изд.,
перераб. и доп. – Киев: Наук.думка, 1988. –736 с.
Пономарёв С.Д. и др. Расчёты на прочность в машиностроении. –
М.: Машиностроение,1978.
Федоренко
В.А.,
Шошин
А.И.
Справочник
по
машиностроительному черчению. – М.: Машиностроение, 1983.
Анурьев В.Н. Справочник конструктора-машиностроителя. –М.:
Машиностроение, 1982.
Гузенков П.Г. Детали машин: Учебник для ВУЗов. – 4-е изд. – М.:
Высшая школа, 1986. – 359 с.
Степанов Ю.М. Импульсное питание электромагнита ускорителя.
Пример электрического расчёта схемы питания бетатрона:
Методические указания по выполнению курсового проекта по
дисциплине «Электрофизические установки и ускорители». –
Томск: ТПУ, 2002. – 19 с.
79