"Механические колебания. Опыт Фуко." Исследовательская работа по

Исследовательская работа по
физике на тему:
"Механические колебания.
Опыт Фуко."
Автор: Сушков Александр
Ученик 10 класса
Гимназии №1522
Москва, 2002 год.
Содержание работы:
№
Название главы
Стр.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Маятники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Колебательные движения.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Динамика колебаний математического маятника . . . . . . .
Вывод формулы периода математического маятника. . . .
Явление резонанса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Опыт Фуко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сила Кориолиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Часы и маятники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Экспериментаторам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Программистам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3
4
5
6
7
1
10
12
13
19
I. Введение.
Эта исследовательская работа посвящена колебательным
движениям, и, в частности, маятникам. В работе рассмотрены
физический и математический маятники. Выбранная мной тема
исследования интересна тем что вся теоретическая часть темы
полностью подкреплена опытами. Самый известный из которых
опыт Фуко, наглядно доказывает неинерциальность "земной"
системы отсчета. Этот опыт демонстрируется в Исакиевском соборе
в Санкт-Петербурге. Описанию и объяснению движения маятника
Фуко посвящена часть работы.
С помощью математического маятника можно также
определить ускорение свободного падения в любой точке земного
шара. В этой работе мы выведем формулу периода колебаний
математического маятника. С помощью этой формулы можно
вычислить ускорение свободного падения в любой точке земного
шара. Советы по проведению этого и других экспериментов можно
найти в главе "Экспериментаторам".
Маятники имеют применение и в повседневной жизни. Часы с
маятниковым механизмом используются до сих пор. Это были
первые часы, которые отсчитывали время с большой точностью.
Работа проиллюстрирована компьютерной программой,
написанной на языке Turbo-Pascal 7.0. Программа моделирует
колебания математического маятника. Заметки по составлению и
отладке программы находятся в главе "Программистам".
Автор.
2
II.Маятники.
Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его
центр тяжести находится ниже точки подвеса. Строго говоря,
существуют только физические маятники. Но если маятник
представляет собой груз, подвешенный на нити, масса которой
пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, т.е. он может
рассматриваться как материальная точка, то такой маятник может
быть рассмотрен как математический.
III. Колебательное движение.
Колебательные явления могут иметь совершенно разную
физическую природу, однако, несмотря на это, они часто обладают
общими
чертами
и
даже
подчиняются
одинаковым
закономерностям. Общий подход к изучению колебаний в разных
физических системах позволяет вследствие универсальности
законов колебательных процессов с единой точки зрения
рассматривать механические, электромагнитные и другие
колебания.
Кроме классификации по физической природе процессов,
колебания можно классифицировать и по другим признакам,
например, по способу их возбуждения или по их кинематике, т.е. по
характеру зависимости изменяющейся величины от времени. При
классификации колебаний по способу возбуждения различают
собственные, вынужденные, параметрические и автоколебания.
Собственные колебания возникают в том случае, когда физическая
система выводится из состояния устойчивого равновесия и затем
предоставляется самой себе. Вынужденные колебания возникают в
системе при наличии периодического внешнего воздействия.
Автоколебания могут происходить в нелинейных системах с
обратной связью, содержащих источник энергии. В этом случае за
счет источника энергии компенсируются все потери энергии,
связанные с действием силы трения и сил которые вызывают
затухание колебаний.
Параметрические колебания возникают, когда в системе какой-либо
из характеризующих ее параметров периодически изменяется со
временем.
3
Примером параметрического возбуждения колебаний могут служить
качели: раскачивая их, человек поджимает и выпрямляет ноги,
периодически изменяя положение центра масс качелей относительно
оси подвеса.
При классификации с точки зрения кинематики различают
периодические и непериодические колебания. Среди периодических
колебаний особенно важную роль играют гармонические колебания,
при которых описывающая величина меняется со временем по
закону
x(t) = A cos(wt + ƒ)
(1)
Величина А носит название амплитуды колебаний, а wt + ƒ их фазы. Значение фазы колебаний при t = 0, т.е.величину ƒ,
называют начальной фазой. Круговая, или циклическая частота w
связана с периодом колебаний Т соотношением
T = 2п/w
IV. Динамика колебаний математического
маятника.
Итак, почему же маятник совершает свободные колебания?
Для ответа на этот вопрос надо рассмотреть все силы действующие
на маятник:
В отклоненном положении сила тяжести
P действует под углом к силе натяжения F,
направленной вдоль нити. Разложим силу
тяжести на 2 составляющие: по направлению
нити (P2) и перпендикулярно к нему (P1). При
колебаниях маятника сила натяжения нити
несколько превышает составляющую P2 на
величину
силы,
которая
является
равнодействующей сил F и P. Эта сила
заставляет
груз
двигаться
по
дуге.
Составляющая P1 всегда направлена в сторону равновесия; она как
бы стремиться восстановить это положение. Поэтому ее называют
возвращающей силой. По модулю P1 тем больше, чем больше
отклонен маятник.
4
Два раза в течение периода - при наибольших отклонениях
влево и вправо - маятник останавливается, т.е. в эти моменты
скорость равна нулю, следовательно, кинетическая энергия
маятника равна нулю, но в эти моменты центр тяжести груза поднят
на наибольшую высоту, поэтому в этих точках потенциальная
энергия приобретает максимальное значение. Наоборот, в момент
прохождения груза через положение равновесия кинетическая
энергия имеет наибольшее значение, а потенциальная энергия равна
нулю. Пренебрегая трением в точке подвеса и сопротивлением
воздуха, можно сделать вывод, что при колебаниях маятника
происходит периодический переход Ек в Еп и обратно, причем
период этого процесса вдвое короче (имеет большую частоту)
самого периода движения маятника. Однако, Еполн. (Еполн. = Ек +
Еп) равна энергии сообщенной маятнику при пуске независимо от
вида сообщенной энергии. Так происходит при всяких колебаниях в
отсутствие трения или каких-либо других процессов отнимающих
энергию.
V. Вывод формулы периода математического
маятника.
Для вывода формулы периода
математического маятника заставим его
описывать конус. Теперь, если мы будем
наблюдать за маятником сбоку, то
увидим, что маятник будет колебаться
влево вправо. Но, так как все-таки он
движется по окружности, то период
будет равен: T = 2пr/v (1). При малых
углах,
возвращающая
сила
(P1)
направлена по радиусу, т.е. равна силе
P1=mv2/r (2). Из подобия треугольников
OBC и DBE следует что BE/BD =
CB/OB т.к. OB = l и BD = P = mg, то
отсюда P1 = mgr/l (3) приравняв части
получившихся формул 2 и 3: mv2/r =
mgr/l, получим что v = r√g/l (4) теперь подставим значение скорости
из формулы 4 в формулу 1 получим
5
T = 2п√l/g
Т.е. период математического маятника зависит только от длины
подвеса (на одной географической широте).
Значит, зная период колебаний маятника и длину подвеса мы можем
определить значение ускорения свободного падения. Но следует
заметить, что такой способ измерения ускорения свободного
падения не является достаточно точным.
VI. Явление резонанса.
Если сила действует на какую-то систему, и заставляет ее
колебаться, то период этих вынужденных колебаний равен периоду
действия силы.
Теперь рассмотрим действие силы на колеблющуюся систему.
У колебательной системы есть свой собственный период колебаний,
а сила может меняться с каким либо другим периодом. Каков же
будет период такого движения?
Рассмотрим простой пример. Если толкнуть качели, то они
будут совершать свободные колебания. Теперь если вы будете
прикладывать силу руки в такт качаниям качелей, то они будут
раскачиваться с большей амплитудой. Если вы будете направлять
силу против движения качелей, то они остановятся.
Значит, резонанс - это явление резкого возрастания
амплитуды вынужденных колебаний при равенстве частот
вынуждающей силы и собственной частоты колебательной
системы.
Явление резонанса наглядно демонстрирует следующий опыт.
На рейке подвешивают маятники разных длин, т. е. разных
периодов. Потом заставляют один из маятников качаться в
плоскости перпендикулярной рейке. На остальные маятники через
точки их подвесов будет действовать сила с периодом качающегося
маятника. Можно заметить, что те маятники, чьи периоды наиболее
близки качающемуся маятнику, начнут совершать колебания с
достаточно большой амплитудой.
6
Но явление резонанса будет наступать не только когда величина
внешней силы изменяется по гармоническому закону, но и тогда,
когда период силы в целое число раз больше, чем период свободных
колебаний системы.
Можно прийти к такому выводу: негармоническое
периодическое
воздействие
с
периодом
Т
равносильно
одновременному действию гармонических сил с разными
частотами, а именно, с частотами, кратными наиболее низкой
частоте v=1/Т.
Это заключение, касающееся периодической силы, является
частным случаем общей математической теоремы, которую доказал
в 1822 году французский математик Жан Батист Фурье. Теорема
Фурье гласит: всякое периодическое колебание периода Т может
быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с
периодами равными Т, Т/2, Т/3, Т/4 и т. д., т. е. с частотами v=1/T,
2v, 3v, 4v и т. д.
Наиболее низкая частота v называется основной частотой.
Колебания с основной частотой называются первой гармоникой или
основным тоном, а колебания с частотами 2v, 3v, 4v и т. д.
Называются высшими гармониками (второй, третьей, четвертой) или
обертонами (первым - 2v, вторым - 3v и т. д.).
Теорема Фурье - это математическая теорема совершенно
общего характера, позволяющая любую периодическую величину
представить в виде суммы величин, меняющихся по
синусоидальному закону.
Итак,
периодическая
негармоническая
сила
сильно
раскачивает колебательную систему тогда, когда в резонанс с
собственной частотой системы попадает какое-либо из
гармонических колебаний, входящих в состав силы.
VII. Опыт Фуко.
Маятником Фуко называется устройство, наглядно
демонстрирующее вращение Земли. Его изобретение
приписывают Ж.Фуко (1819–1868). Вначале опыт
был выполнен в узком кругу, но так заинтересовал
Л.Бонапарта (позднее ставшего Наполеоном III,
французским императором),
7
что он предложил Фуко повторить его публично в грандиозном
масштабе под куполом Пантеона в Париже. Эту публичную
демонстрацию, устроенную в 1851, и принято называть опытом
Фуко.
Под куполом здания Фуко подвесил металлический шар
массой 28 кг на стальной проволоке длиной 67 м. В отличие от
часового маятника, который может качаться только в одной
плоскости, у маятника Фуко верхний конец проволоки был
закреплен таким образом, чтобы он мог качаться одинаково
свободно во всех направлениях. Под маятником было сделано
круговое ограждение радиусом 6 м с центром прямо под точкой
подвеса. На ограждение был насыпан песок, чтобы при каждом
качании прикрепленное под шаром маятника металлическое острие
могло сметать его на своем пути. Чтобы обеспечить пуск маятника
без бокового толчка, его отвели в сторону и привязали веревкой.
После того как маятник пришел в состояние полного покоя, веревку
пережгли
и
маятник
пришел
в
движение.
Маятник такой длины
совершает одно полное
колебание за 16,4 с, и
вскоре стало видно, что
плоскость
качания
маятника поворачивается
по
часовой
стрелке
относительно пола. При
каждом
следующем
качании
металлическое
острие
сметало
песок
примерно в 3 мм от предыдущего места. За час плоскость качания
повернулась более чем на 11°, а примерно за 32 ч совершила полный
оборот и вернулась в прежнее положение. Эта впечатляющая
демонстрация приводила зрителей прямо-таки в истерику; им
казалось, что они чувствуют вращение Земли под ногами.
8
а)
б)
Рис.1
Пусть маятник Фуко подвешен на северном полюсе Земли и
колеблется в какой-то момент в плоскости определенного меридиана
l (рис. 1,а). Через некоторое время наблюдателю, связанному с
земной поверхностью и не замечающему своего вращения, будет
казаться, что плоскость колебаний маятника непрерывно смещается
в направлении с востока на запад, “за Солнцем”, т.е. по ходу
часовой стрелки (рис. 1,б). Но так как плоскость качания маятника
не может произвольно менять своего направления, то приходится
признать, что в действительности поворачивается под ним Земля в
направлении с запада к востоку. За одни звездные сутки плоскость
колебаний маятника совершит полный оборот относительно
поверхности Земли с угловой скоростью w = 15° в звездный час.
На южном полюсе маятник совершит за 24 звездных часа
также один оборот, но против часовой стрелки.
Если маятник подвесить на земном экваторе и ориентировать
плоскость его качания в плоскости экватора, т. е. под прямым углом
к меридиану l (рис. 1,б), то наблюдатель не заметит смещения
плоскости его колебаний относительно земных предметов, т.е. она
будет казаться неподвижной и оставаться перпендикулярной к
меридиану.
Результат не изменится, если маятник на экваторе будет колебаться
в какой-либо другой плоскости. Обычно говорят, что на экваторе
период вращения плоскости колебаний маятника Фуко бесконечно
велик.
9
Если маятник Фуко подвесить на широте j , то его колебания будут
происходить в плоскости, вертикальной для данного места Земли.
Вследствие вращения Земли наблюдателю
Рис 2.
будет казаться, что плоскость колебаний маятника поворачивается
вокруг вертикали данного места. Угловая скорость этого поворота wj
равна проекции вектора угловой скорости вращения Земли w на
вертикаль в данном месте О (рис. 2), т.е.
wj = w sin j = 15° sin j
Таким образом, угол видимого поворота плоскости колебаний
маятника относительно поверхности Земли пропорционален синусу
географической широты. В Санкт - Петербурге плоскость колебаний
маятника поворачивается в час приблизительно на 13°, в Москве —
на 12°,5.
VIII. Сила Кориолиса.
В предыдущей главе мы достаточно подробно и строго
рассматривали опыт Фуко, но совсем не говорили о причинах такого
поведения маятника. Как не трудно догадаться из названия главы,
такой характер движения маятника обусловлен действием силы
Кориолиса. И так, начнем ученый разговор о силе Кориолиса.
Поставим перед собой такой вопрос: как выглядит
прямолинейное движение с точки зрения вращающейся
системы отсчета? Понятно, что это будет какая-то
кривая. Эта кривая выглядит в виде раскручивающийся
спирали (см. рисунок). Теперь рассмотрим силы,
которые действуют на эту точку. Если бы точка покоилась на нее
действовала бы центробежная сила (скомпенсированные силы
(например, силу тяжести и силу реакции опоры) я не беру во
внимание). А на нашу точку, движущуюся относительно
вращающейся системы,
10
кроме центробежной силы действует еще и сила Кориолиса. От
каких же величин зависит значение силы Кориолиса?
В отличие от центробежной силы, значение которой зависит от
расстояния до оси вращения, сила Кориолиса не зависит от
положения тела. Она определяется скоростью движения, и при этом
не только значением скорости, но и ее направлением по отношению
к оси вращения. Если тело движется вдоль оси вращения, то сила
Кориолиса равна нулю. Чем больше угол между вектором скорости
и осью вращения, тем больше сила Кориолиса; максимальное
значение сила примет при движении тела под прямым углом к оси.
Как мы знаем, вектор скорости всегда можно разложить на какиелибо составляющие и рассмотреть раздельно два возникающих
движения, в которых одновременно участвует тело.
Если разложить скорость тела на составляющие Vпар и Vпер параллельную и перпендикулярную к оси вращения, то первое
движение не будет подвержено действию силы Кориолиса. Значение
силы Кориолиса Fк определится составляющей скорости Vпер.
Расчеты приводят к формуле
Fк = 4пnVпарm
Здесь m - масса тела, а n- частота вращения системы. Как видно из
формулы, сила Кориолиса тем больше, чем быстрее вращается
система и чем больше скорость тела. Расчеты устанавливают и
направление силы Кориолиса. Эта сила всегда перпендикулярна к
оси вращения и к направлению движения. При этом, как уже
говорилось выше, сила направлена вправо по ходу движения в
системе, вращающейся против часовой стрелки.
Действием силы Кориолиса объясняются многие интересные
явления, происходящие на Земле. Земля - шар, а не диск. Поэтому
проявление силы Кориолиса сложнее. Эта сила сказывается как на
движении вдоль земной поверхности, так и при падении тел на
Землю.
Падает ли тело строго по вертикали? Не совсем. Только на полюсе
тело падает строго по вертикали. Направление движения и ось
вращения Земли совпадают, поэтому сила Кориолиса отсутствует.
Иначе дело обстоит на экваторе; здесь направление движения
составляет прямой угол с осью вращения.
11
Если смотреть со стороны северного полюса, то вращение Земли
представится нам против часовой стрелки. Значит, свободно
падающее тело отклонится вправо по ходу движения, т. е. на восток.
Величина восточного отклонения, наибольшего на экваторе,
уменьшается до нуля при приближении к полюсам.
Величина силы Кориолиса и обуславливает поведение маятника
Фуко, движение которого описано в предыдущей главе. Кроме того
силу Кориолиса должны учитывать артиллеристы (снаряд во время
полета может отклонится на достаточно большой угол и не поразит
цель), также учитывать силу Кориолиса должны и авиаторы (в
принципе по той же причине, что и артиллеристы, только роль
снаряда в этом случае выполняет самолет). Кроме того следы
действия силы Кориолиса можно обнаружить не только в воздухе.
Так, например, на железной дороге расположенной в северном
полушарии сильнее истирается изнутри правый рельс (по ходу
движения). Также по причине действия силы Кориолиса в северном
полушарии реки подмывают именно правый берег.
VIII. Часы и маятники.
Часы имеют древнейшую историю. Сначала это были
солнечные часы, потом водяные, песочные и огневые. Настоящей
революций в технике было появление механических часов. Первое
упоминание о них относится к концу VI века. Стрелки этих часов
приводились в действие гирями. К этим гирям были прикреплены
веревки и с помощью системы блоков и зубчатых колес достигалась
нужная скорость вращения стрелок.
В 1510 году немецкий механик П. Генлайн приспособил к
часовому механизму пружину в виде стальной спирали и сделал
первые карманные часы. Но поскольку туго закрученная пружина
действует на механизм с большей силой, чем раскрутившаяся,
возникла потребность в устройстве, подающем энергию равномерно.
И тогда изобрели колебательную систему - маятник в стенных
и напольных часах и балансир (крутильный маятник) в настольных и
карманных. Маятник обладает важным свойством: период его
колебаний (или вращений) не изменяется. Если энергия пружины
или гири будет поддерживать незатухающие колебания маятника, а
механизм - считать их,
12
то часы должны показывать время весьма точно. Маятник
оснастили спусковым механизмом.Самый старый спусковой
механизм - шпиндельный. Появился он в XIV веке и существовал до
конца XIX века. Устройство, игравшее роль маятника, имело форму
коромысла с подвижными регулировачными грузами. Оно было
насажено на вал (шпиндель) с двумя пластинами (палетами) на
концах. Палеты поочередно входили между зубцами спускового
колеса, которое раскручивала опускающаяся гиря. Вращаясь, колесо
зубом надавливало на верхнюю палету и поворачивало на полоборота шпиндель. В этот момент нижняя палета застревала между
двумя зубцами и притормаживала колесо. Затем цикл повторялся.
Шагом вперед стал анкерный механизм, основная часть
которого - анкер (от нем. Anker - "якорь") - действительно
напоминает корабельный якорь. Анкер служит связующим звеном
между маятником или балансиром и спусковым колесом. В 1675
году нидерландский ученый Х. Гюйгенс предложил использовать в
качестве регулятора колебаний крутильный маятник - балансир со
спиралью. Система Гюйгенса до сих пор применяется в наручных и
настольных механических часах. Балансиром служит массивное
колечко, к которому крепится тонкая спиральная пружинка
(волосок). Поворачиваясь, балансир качает анкер. Палеты анкера из
синтетического рубина поочередно входят между зубьями спуского
колеса. За один период качения балансира колесо поворачивается на
несколько градусов - ширину одного зуба. При этом оно
подталкивает скобу анкера, и тот, поворачиваясь, подкручивает
балансир.
Минутной и секундной стрелками часы оснастили лишь в
середине XVII века. И тут стали заметны значительные
погрешности: часы то немного спешили, то отставали. Оказалось,
что причина тому - материал, из которого изготовлен маятник
(спираль). Расширяясь или сокращаясь при нагревании или
охлаждении, маятник колебался с разной частотой, из-за чего
возникали ошибки в отсчете времени.
Пришлось изобретать особый материал, устойчивый к
температурным перепадам, - инвар. В итоге погрешность хода
механических наручных часов даже при резкой смене температуры
не превышает за сутки и минуты.
13
XI. Экспериментаторам.
Пользуясь ранее полученной формулой периода колебаний
математического маятника, мы можем (хотя и не очень точно)
посчитать значение ускорения свободного падения в какой-либо
точке земного шара.
Для определения ускорения свободного падения воспользуемся
полученной формулой для периода математического маятника.
T = 2п√l/g
Отсюда выражаем g:
g = 4п2l/T2. Теперь необходимо
сконструировать что-либо похожее на математический маятник,
подвесить, запустить и записывать показания, прежде измерив
длину подвеса. Чтобы измерения были более-менее точными, нужно
чтобы время одного периода было измерено достаточно аккуратно
(погрешность не должна превышать 0,5 секунды). Чтобы получить
еще более точное значение периода, нужно время реакции человека
разложить на как можно больший отрезок времени. В свою очередь,
чтобы маятник смог совершить достаточное количество колебаний,
он должен обладать достаточным запасом энергии, т.е. его масса
должна быть не маленькой. Суммируя вышесказанное, можно
сделать вывод, что длина подвеса и масса груза должны быть как
можно больше. (Но надо следить за тем чтобы маятник был похож
на математический, т.е. масса подвеса должна быть пренебрежимо
мала по сравнению с грузом. Но, конечно, не стоит на тоненькой
нитке подвешивать пудовую гирю. Упадет.)
Иногда не имея возможности провести опыт Фуко, так
сказать, в оригинале, вы все-таки можете доказать его
справедливость. Итак
Эксперименты подтверждающие справедливость опыта
Фуко.
Опыт №1.
Проткните яблоко тонкой лучинкой так, чтобы оба её конца торчали
снаружи. К одному концу привяжите нитку. Это будет маятник.
Свободный конец нитки привяжите к булавке, воткнутой в пробку;
установите эту пробку на трех вилках, воткнутых наискось.
14
Поставьте свой треножник на тарелку и отрегулируйте длину нити
так, чтобы нижний конец лучинки доходил почти до дна тарелки. У
краев тарелки насыпьте два валика из сахарной пудры или мелкой
соли (они заменят нам песок, который Фуко насыпал по кругу
своего маятника).
Качните теперь маятник: лучинка прочертит свой след в
кучках сахарной пудры, и при каждом касании маятника конец
лучинки будет проходить точно по своему же следу. Но тарелка
наша изображает Землю. Подражая вращению Земли, потихоньку,
без толчков, будем поворачивать тарелку.
Направление колебаний маятника осталось прежним, он
продолжает раскачиваться в той же плоскости, оставляя новые
следы рядом с теми, что начертил в начале нашего опыта.
Изменилось положение тарелки, одновременно изменилось
положение треножника; между тем маятник продолжает
раскачиваться в той же плоскости, что и прежде.
Опыт №2.
Существует еще один способ проведения опыта Фуко. Для
этого вам потребуется старая граммофонная пластинка и
проигрыватель. Прикрепите к пластинке прямоугольную рамку (ее
можно сделать из проволоки), к ее центру привяжите нить с грузом это будет маятник. Установите пластинку в проигрыватель, качните
маятник, а затем включите проигрыватель (главное чтобы он
вращался медленно, а то опыт не получится).
Теперь вы видите, что маятник не меняет плоскости своего
движения, хотя пластинка вместе с рамкой вращаются вокруг своей
оси.
X. Программистам.
Как вы уже читали во Введении, исследовательская работа
проиллюстрирована компьютерной программой. Программа
моделирует колебания математического маятника. В зависимости от
длины подвеса и амплитуды колебаний (эти данные вводит
пользователь) программа рассчитывает период колебаний,
максимальную скорость материальной точки и модуль
тангенциального ускорения. После этого на экране появляется
изображение движущегося маятника (в масштабе).
15
Положение груза отмечается точкой через каждую секунду, и
после остановки маятника на экране видна траектория его движения.
Главной трудностью создания этой программы был вывод
системы уравнений, описывающей движение маятника в двух
измерениях. На мой взгляд, это достаточно интересная задача:
Будем считать, что маятник совершает колебания в одной
плоскости. (Хотя на самом деле это не так, и материальная точка
математического маятника описывает овал. Это явление связано с
неинерциальностью "земной" системы отсчета, и в этом случае
появляется Кориолисова сила, которая выталкивает маятник из
вертикальной плоскости колебаний.)
Уравнение движения математического маятника по оси Ох:
Представим себе произвольную точку D,
равномерно вращающуюся по окружности
радиуса А против часовой стрелки с
постоянной угловой скоростью w рад/с.
Уравнение движения точки D примет вид
φ = φ0 + wt,
где φ - угол поворота подвижного радиуса OD
относительно неподвижного OK, φ0 начальное значение угла φ в момент времени
t=0.
В то время как точка D вращается по окружности от К к L и
снова к К, проекция точки D на диаметр MN - точка D' - движется
вдоль отрезка MN от одного из концов к другому и обратно,
совершая колебательное движение.
Обозначим расстояние OD' через х. Тогда уравнение движения
точки D можно записать в виде
x = A∙sinφ = A∙sin(wt +φ0)
Если в момент времени t = 0 начальное значение угла φ0 = 0, то
уравнение движения точки D' примет вид
x = A∙sinφ = A∙sin wt
Аргумент wt, стоящий под знаком синуса, называется фазой
колебания. Величена w, характеризующая угловую скорость
вращения
точки
D,
называется
циклической
частотой
гармонического колебания точки D'.
16
Циклическая частота w связана с периодом Т таким соотношением
w= 2п/T
Тогда уравнение принимает такой вид:
x = A∙sin2пt/T.
Уравнение движения математического маятника по оси Oy:
Для вывода формулы нам потребуется
выразить у через длину подвеса L и смещение x.
Как видно из рисунка АВ = L, а у = ОВ.
Из треугольника АОС по теореме Пифагора
выразим отрезок АО (k). k = √L2 - x2. Так как
АВ = k + y, то у = АВ(L) - k или у = L - √L2 - x2.
Считая, что точка В имеет координату 0, точка С
и точка D имеют координату 1, т.е. значение у
всегда будет больше нуля, и учитывая, что вертикальные колебания
описываются той же тригонометрической функцией что и
горизонтальные можем записать получившееся уравнение
y = (L -√L2 - x2)∙ sin 2пt/T.
В итоге получаем систему уравнений:
 x = A∙sin2пt/T,

 y = (L -√L2 - x2)∙ sin 2пt/T.
Именно эта система уравнений служит основой для создания
математической модели движения математического маятника.
Листинг демонстрационной программы:
Program majatnik;
uses graph,crt;
{$I GrInit.pas}
var l,f,a,v,p: real; t,x,y:integer;  описание переменных
begin  непосредственное начало программы
17
write('Введите значение длины подвеса маятника - L');
write('и Xmax - амплитуду колебаний маятника ');
write(l,f);
readln(l,f);
p:=2*3.14*sqrt(l/9.81);  Формулы для расчета периода
a:= 12.57*f/p;
 ускорения
v:= 6.28*f/p;

скорости
write('Amax=',a );
write('Vmax=',v);
write( 'T=',p);
readln;
grinit  инициализация графики
t:=0;x:=160; y:=170;  начальное положение объекта
while t<=2*p do begin  начало цикла
{ putpixel(round(x),round(y),black);}
setcolor(black);
circle(x,y, 5);
t:=t+1;
x:=160+2*round((f*cos(6.28/p*t)));
 наша система
y:=170-2*round((l-sqrt(l*l-f*f))*Abs(cos(6.28/p*t) уравнений
putpixel(x,y,white);
setcolor(white);
circle(x,y, 5);
delay(100);
end;
readln;
closegraph;
end.
 конец
18
XI. Заключение.
Волновое движение очень тесно связано с механическими
колебаниями. Поэтому в заключение хочу привести один
интересный факт, которому не нашлось места в основной части
работы.
Одно из самых волнующих действ футбольных шоу,
объединяющее всех зрителей стадиона независимо от того за какую
команду они болеют, - это, конечно же футбольная "волна". Впервые
она была зарегистрирована в 1986 году в Мексике. С тех пор это
явление наблюдалось на матчах десятки раз.
Физиками из Государственного университета Будапешта после
тщательного анализа видеозаписей футбольных волн удалось облечь
это удивительное явление в строгую математическую форму. За
основу ученые взяли известную модель распространения
возбуждения в активной среде, которая хорошо зарекомендовала
себя при описании различных явлений - от сокращения сердечных
мышц до распространения лесных пожаров. В этой модели каждая
ячейка среды может принимать несколько состояний и с некоторой
вероятностью самовозбуждаться или передавать возбуждение
своему ближайшему окружению. Профессор Тамаш Вичек (Tamas
Vicsek) и его коллеги определили, что волна может возникнуть
только в том случае, если наберется критическая масса
"волнующихся" болельщиков. Для старта необходимо не менее 2530 фанов. С запуском волны ее состояние стабилизируется, а
распространение становиться линейным. В большинстве случаев
волна движется почасовой стрелке со скоростью около 12 м/с.
(по материалам журнала "Компьютерра")
Как видите, гармонические колебания и волновые процессы очень
тесно связаны с нашей повседневной жизнью. Например, биение
сердца это тоже периодические колебания. Все приборы
исследующие работу сердца основаны именно на этом явлении.
19