Федеральное агентство по науке и образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по науке и образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Томский государственный
архитектурно-строительный университет
Институт заочного и дистанционного обучения
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников инженерно-строительных
специальностей высших учебных заведений
Составители:
А.П. Малиновский, М.О. Моисеенко,
В.И. Савченко, Б.А. Тухфатуллин
Томск - 2009
Сопротивление материалов: методические указания и
контрольные задания для студентов-заочников инженерностроительных специальностей высших учебных заведений/
А.П. Малиновский, В.И. Савченко, М.О. Моисеенко, Б.А.
Тухфатуллин. – Томск: Изд-во Томского государственного
архитектурно-строительного университета, 2009 г. - с. 40
Рецензент
к.т.н., доцент И.Ю. Смолина
Редактор
Т.С. Володина
Методические указания и контрольные задания по
сопротивлению материалов предназначены для студентов
заочной и дистанционной форм обучения инженерностроительных специальностей высших учебных заведений.
Печатается по решению методического семинара кафедры
строительной механики №
от
Утверждены и введены в действие проректором по учебной
работе В.В.Дзюбо.
с 01.09.2009
по 01.09.2014
Изд. лиц. 021253 от 31.10.97 Подписано в печать
Формат 60х90/16. Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет.
Уч.-изд. л. Тираж
экз. Заказ №
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ
634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15
2
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Успешное изучение курса «Сопротивление материалов»
невозможно
без
самостоятельного
решения
студентами
практических задач.
Задачи контрольных работ подобраны таким образом, чтобы
студент,
самостоятельно
изучив
теоретические
вопросы
соответствующих разделов сопротивления материалов, смог
закрепить их и приобрести навыки практического расчета
элементов конструкций. Предусмотрено выполнение четырёх
контрольных работ, содержащих задачи по различным разделам
сопротивления материалов, изучение которых предусмотрено в
государственном образовательном стандарте ВПО.
Данные для решения задач выбираются из таблиц в
соответствии с личным шифром и первыми шестью буквами
русского алфавита, которые следует расположить под шифром
(личный шифр студента соответствует номеру, указанному в
зачетной книжке), например:
шифр
буквы
1 8 1 - 0 3 8;
а б в г д е;
шифр
буквы
1 1 8 1- 0 3 8;
а б в г д е.
Из каждого вертикального столбца таблицы данных,
обозначенного внизу определенной буквой, следует взять число в
той горизонтальной строке, номер которой совпадает с номером
буквы в личном шифре студента. Например, вертикальные столбцы
таблицы 1 обозначены буквами а, д, е, тогда при указанном выше
шифре 181-038 студент должен взять из столбцов «е» восьмую
строку (схема № 3; Р1н = 270 кН), из столбцов «д» − третью строку
(а = 2,2 м; b = 2,8м; с = 1,7 м; d = 3,8 м; P2н = − 280 кН ), из
столбца «а» − первую строку ( Р3н = 350 кН).
На титульном листе контрольной работы должны быть
четко написаны номер контрольной работы, название дисциплины,
3
фамилия, имя и отчество студента, название факультета и
специальности, учебный шифр.
Если данные, выбранные из таблицы, не соответствуют
шифру студента, то работа возвращается без проверки.
При выполнении контрольной работы должны быть
полностью записаны условия и числовые данные каждой задачи,
приведены чертежи с указанными на них размерами и значениями
действующих нагрузок. Для замечаний рецензента должны быть
оставлены поля 5 см (с одной стороны страницы).
Решение
должно
сопровождаться
последовательными
пояснениями и чертежами. Необходимо указывать размерность
всех величин в системе (СИ).
Получив после проверки контрольную работу, студент должен
исправить в ней все отмеченные ошибки и выполнить все
сделанные указания.
Предлагаемые задачи объединены в четыре контрольные
работы: контрольная работа № 1 − задачи 1, 2; контрольная работа
№ 2 – задачи 3, 4, 5; контрольная работа № 3 – задачи 6, 7, 8;
контрольная работа № 4 – задачи 9, 10.
Количество контрольных работ, выполняемых в семестре,
определяется согласно графику учебного процесса.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Задача № 1. Ступенчатая колонна квадратного поперечного
сечения (рис. 1) выполнена из бетона, с модулем упругости
Е=2,0104 МПа, и загружена сосредоточенными силами:
F1н , F2н , F3н .
Требуется:
1. Найти значения расчетных нагрузок, приняв коэффициент
надежности по нагрузке для сосредоточенных сил  f  1,2 .
2. Построить эпюру продольных сил.
3. Определить размеры поперечного сечения колонны, учитывая,
что материал, из которого она изготовлена, не одинаково работает
на растяжение и сжатие (Rсж = 10 МПа; Rр = 1,2 МПа). При
4
выполнении расчётов необходимо сохранить заданное соотношение
между площадями поперечных сечений отдельных участков.
4. Построить эпюры напряжений и перемещений.
Данные взять из таблицы 1. (Знак «-» перед силой указывает,
что она имеет направление, противоположное указанному на
схеме).
Таблица 1
F3н
F1н
F2н
№
а,
b,
с,
d,
Схема
строки
м
м
м
м
кН
кН
кН
1
10
2,0
3,0
1,5
4,0
200
-300
350
2
9
2,1
2,9
1,6
3,9
210
290
-360
3
8
2,2
2,8
1,7
3,8
220
-280
370
4
7
2,3
2,7
1,8
3,7
230
270
-380
5
6
2,4
2,6
1,9
3,6
240
-260
390
6
5
2,5
2,5
2,0
3,5
250
250
-400
7
4
2,6
2,4
2,1
3,4
260
-240
390
8
3
2,7
2,3
2,2
3,3
270
230
-380
9
2
2,8
2,2
2,3
3,2
280
-220
370
0
1
2,9
2,1
2,4
3,1
290
210
-360
е
д
д
д
д
е
д
а
Методические указания к решению задачи № 1
Расчёты на прочность и жесткость выполняются по методу
предельных состояний. Расчётные значения нагрузок определяются
по формулам
Р  РН   f ;
q  qH   q ;
где P H , q H − нормативные значения нагрузок (принимаются
согласно таблицам исходных данных);
5
 ,  q − коэффициенты надежности по нагрузке.
f
Для построения эпюр внутренних усилий, необходимо:
− определить опорные реакции;
− разбить конструкцию на отдельные участки, границами
которых являются точки приложения сосредоточенных
нагрузок (сил, моментов), границы начала и окончания
действия распределенных нагрузок, а также места изменения
интенсивности нагрузок;
− на каждом из участков следует провести сечение,
рассмотреть равновесие любой из отсеченных частей
конструкции и определить значения внутренних усилий.
Продольная сила считается положительной, если она
вызывает растяжение стержня;
− по полученным данным построить эпюры внутренних
усилий.
Для определения размеров поперечного сечения колонны,
материал которой работает не одинаково на растяжение и на
сжатие, необходимо использовать условия прочности
P
 max

N
N
сж

 Rсж .
 RP ,  max
A
A
Эпюра нормальных напряжений строится по эпюре
продольных сил. Значения нормальных напряжений определяются
по формуле  
N
. При этом границами участков, кроме указанных
A
выше, являются и места изменения размеров поперечного сечения
бруса. Знаки на обеих эпюрах одинаковы.
Чтобы построить эпюру перемещений, необходимо найти
перемещения в наиболее характерных сечениях колонны,
например, на границах участков. Поэтому сначала вычисляют
абсолютные деформации (удлинения или укорочения) колонны на
каждом из участков по формуле   (ENAl ) . Знаки деформаций на
каждом отдельно взятом участке совпадают со знаками продольных
сил и напряжений. По полученным значениям строят эпюру
перемещений, каждая ордината которой равна численному
значению перемещения соответствующего сечения конструкции.
Методика расчета статически определимых систем,
работающих на растяжение – сжатие, приведена в [5].
6
10
3A
a
d
F3H
c
c
b
a
d
c
d
F2H
А
3A
F3H
b
c
F2H
F1H
d
A
c
3A
3A
c
F3 H
2А
d
F2 H
2A
F3H
9
F1 H
a
b
А
A
d
c
8
F1H
b
c
b
d
F3
b
7
F2H
H
2A
3A
2А
H
А
F3H
F1H
a
F2
F2H
2A
3A
a
А
6
F1 H
H
2A
a
F1
А
a
A
5
4
F3H
d
b
a
A
2A F3H
F2H
2А
2А
F3H
F1H
b
F2H
c
А
2A
A
d
F2H
3
F1 H
2A
a
2
F1H
b
1
F2H
b
2А
c
F1H
2A
a
F3H
d
A
Рис. 1
7
Задача № 2. Абсолютно жесткий брус опирается на
шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стальным
стержням (рис. 2).
Требуется:
1. Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через
силу F.
2. Найти расчетную допускаемую нагрузку Fдоп, приравняв
большее из напряжений в двух стержнях расчетному
сопротивлению R = 210 МПа.
3. Найти предельную нагрузку Fпред, если предел текучести
материала стержней  Т = 240 МПа.
Данные взять из таблицы 2.
Таблица 2
№
Схема
строки
А,
а,
b,
с,
см2
м
м
м
1
10
11
2,1
3,0
1,1
2
9
12
2,2
2,9
1,2
3
8
13
2,3
2,8
1,3
4
7
14
2,4
2,7
1,4
5
6
15
2,5
2,6
1,5
6
5
16
2,6
2,5
1,6
7
4
17
2,7
2,4
1,7
8
3
18
2,8
2,3
1,8
9
2
19
2,9
2,2
1,9
0
1
20
3,0
2,1
2,0
е
а
б
д
в
8
2
2A
c
A
b
F
F
c
a
b
a
b
2A
b
A
3
a
1
c
4
c
a
b
b
b
F
2A
2A
b
A
A
a
F
a
b
c
6
5
2a
c
7
A
c
a
a
F
F
b
b
2A
2A
a
A
b
8
F
b
a
F
b
b
a
A
a
b
A
2A
b
2A
c
10
A
F
F
a
2A
b
a
c
a
A
b
2A
b
9
b
c
Рис. 2
9
Методические указания к решению задачи № 2
Во всех вариантах задачи № 2 стержневые системы являются
статически неопределимыми. Их отличие от статически
определимых систем (задача № 1) заключается в том, что
количество неизвестных, которые следует определить, больше, чем
количество уравнений равновесия, которые можно записать для
этих систем. Поэтому для расчета статически неопределимых
систем необходимо составлять дополнительные уравнения,
называемые
уравнениями
совместности
деформаций
(перемещений). Количество этих уравнений равно степени
статической неопределимости системы.
Для записи уравнений совместности необходимо рассмотреть
систему в деформированном состоянии. Деформации элементов
конструкций, отвечающих условной прочности и жесткости, малы
по сравнению с их основными размерами. Поэтому вводится
допущения о том, что точки конструкции перемещаются не по
круговым траекториям, а по касательным к ним (то есть
перпендикулярно радиусу), а также допущение о том, что
изменениями величин углов между отдельными элементами
системы в процессе их деформации можно пренебречь.
Схема конструкции в деформированном состоянии получается
более простой, если на ней сначала показать удлинения
(укорочения) стержней и только потом произвести их поворот.
При составлении схемы конструкции в деформированном
состоянии необходимо учитывать, чтобы знаки усилий (а
следовательно и их направления при составлении уравнений
равновесия) и деформаций стержней соответствовали друг другу.
Например, если стержень на схеме деформаций удлиняется, то
усилие в нем должно быть растягивающим, то есть направленным
от сечения.
Для того чтобы найти расчетную допускаемую нагрузку Fдоп.,
необходимо
наибольшее
из
напряжений
в
стержнях
рассматриваемой системы приравнять расчетному сопротивлению
 max  R и из этого условия определить Fдоп.. Сила «F», которая
входит в выражение для определения продольной силы N, и будет
искомой расчетной допускаемой нагрузкой.
10
Для определения предельной нагрузки, необходимо усилия в
стержнях определить из условия, что напряжения в них равны
пределу текучести
пред
пред
 Т  А ,
N
   А1 , N 2
2
Т
1
и составить уравнения равновесия для отсеченной части
конструкции. Найденное из уравнения значение силы F будет
равно предельной нагрузке Fпред. То есть предельной будет такая
нагрузка, при которой пластические деформации будут
одновременно происходить в двух стержнях.
Методика расчета статически неопределимых систем,
работающих на растяжение-сжатие, изложена в [5].
Задача № 3. К стальному валу с круглым поперечным
сечением приложены внешние скручивающие моменты М1, М2, М3,
М4 (рис. 3).
Требуется:
1. Построить эпюру крутящих моментов.
2. Определить диаметр вала из расчета на прочность при
заданном значении расчетного сопротивления материала на срез
Rср.
3. Построить эпюру углов закручивания поперечных сечений
вала.
4. Найти наибольший относительный угол закручивания и
проверить жесткость вала, если задано допускаемое значение
относительного угла закручивания [].
Модуль сдвига принять G = 0,8105 МПа.
Исходные
таблице 3.
данные
для
расчёта
принимаются
согласно
11
Схема
№
строки
Таблица 3
а,
м
b,
м
с,
м
d, М1, М2,
м кНм кНм
М3, М4, Rср,
кНм кНм МПа
[ ]
град
м
1
10 1,1 1,1 1,1 1,1
10
28
6
15
80
1,0
2
9
1,2 1,2 1,2 1,2
12
26
7
14
90
1,1
3
8
1,3 1,3 1,3 1,3
14
24
8
13
100
1,2
4
7
1,4 1,4 1,4 1,4
16
22
9
12
110
1,3
5
6
1,5 1,5 1,5 1,5
18
20
19
11
120
1,4
6
5
1,6 1,6 1,6 1,6
20
18
11
10
130
1,5
7
4
1,7 1,7 1,7 1,7
22
16
12
9
140
1,6
8
3
1,8 1,8 1,8 1,8
24
14
13
8
150
1,7
9
2
1,9 1,9 1,9 1,9
26
12
14
7
160
1,8
0
1
2,0 2,0 2,0 2,0
28
10
15
6
170
1,9
д
а
д
в
е
е
е
в
д
а
e
12
M1
M3
M2
M4
1
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
2
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
3
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
4
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
5
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
6
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
7
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
8
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
9
a
b
M1
c
d
M3
M2
M4
10
a
b
c
d
Рис. 3
13
Методические указания к решению задачи № 3
Для построения эпюры крутящих моментов используется
метод сечений. Рекомендуется принять следующее правило знаков:
крутящий
момент
в
поперечном
сечении
считается
положительным, если при взгляде на отсеченную часть со стороны
внешней нормали он направлен по ходу часовой стрелки. Эпюры
крутящих моментов и эпюру углов закручивания следует строить,
учитывая их знак.
Размеры поперечного сечения вала определяют из условия
прочности  max 
M кр
W
 Rср .
Определив полярный момент сопротивления W , треб 
М кр
Rср
,
находят диаметр вала.
Для построения эпюры углов закручивания необходимо
сначала определить углы закручивания (углы поворота крайних
сечений участка балки относительно друг друга) на каждом из
участков балки по формуле  
М кр  
GJp
,  − длина участка.
Далее, считая, что поперечное сечение балки на опоре не
поворачивается   0 , последовательно путем алгебраического
суммирования углов закручивания отдельных участков строят
эпюру углов поворота поперечных сечений вала.
Определив на каждом из участков значение относительного
угла
закручивания
по
формуле
 max 
M кр
GJp
 [ ] ,
выбирают
максимальное значение  max
и осуществляют проверку
выполнения условий жесткости  max  [ ] .
В приведенных выше формулах углы измеряются в радианах.
Если углы измеряются градусах, то формулах появляется
коэффициент
180

, то есть
M кр
М кр   180
180

;
.


GJp 
GJp 
14
Задача № 4. Поперечное сечение состоит из двух прокатных
профилей (рис. 4).
Требуется:
1. Определить положение центра тяжести сечения.
2.Найти осевые и центробежный моменты инерции
относительно осей ус и zс , проходящих через центр тяжести.
3. Определить направление главных центральных осей и и q.
4. Найти значения главных центральных моментов инерции.
5. Вычертить поперечное сечение в масштабе и указать все
размеры и все оси координат, в том числе и главные центральные
оси.
6. Определить моменты сопротивления сечения относительно
главных центральных осей.
Данные взять из таблицы 4.
Таблица 4
№
Тип
№
Равнобокий
№
строки
сечения
швеллера
уголок
двутавра
1
10
14
80х80х6
12
2
9
16
80х80х8
14
3
8
18
90х90х6
16
4
7
20
90х90х7
18
5
6
22
90х90х8
20а
6
5
24
100х100х8
20
7
4
27
100х100х10
22а
8
3
30
100х100х12
22
9
2
33
125х125х10
24а
0
1
36
125х125х12
24
е
в
д
а
15
2
3
4
b
b
1
6
7
8
b
b
5
h /3
10
2h /3
9
Рис. 4
16
Методические указания к решению задачи № 4
Для определения положения центра тяжести заданного
сечения необходимо разбить его на отдельные простейшие
элементы и выбрать произвольную систему координат (ZOY). Затем
необходимо вычертить сечение в масштабе и показать все оси, в
том числе и собственные центральные для каждого из отдельных
элементов (z1 и y1, z2 и y2). При определении координат центра
тяжести всего сечения следует помнить, что статический момент
площади может иметь разные знаки. Поэтому, вычисляя
координаты центра тяжести отдельных элементов относительно
общей системы координат, необходимо обратить внимание на их
знаки.
После того как найден центр тяжести всего сечения
относительно выбранной системы осей координат, необходимо
провести через центр тяжести всего сечения центральные оси
zс , yс , параллельные первоначально выбранным. В дальнейшем все
координаты точек поперечного сечения будут определяться
относительно центральных осей zс , y с .
Необходимо знать, что центр тяжести всего сечения должен
находиться на прямой, соединяющей центры тяжести двух
составляющих его элементов (или внутри многоугольника,
образованного последовательным соединением центров тяжести
отдельных элементов, если сечение состоит более чем из двух
элементов).
Определяя значения осевых и центробежного моментов
инерции, необходимо помнить, что знак центробежных моментов
инерции для прокатных уголков в таблицах сортамента не
указывается и его необходимо определить в зависимости от
ориентации поперечного сечения элемента относительно
собственных центральных осей координат.
Величины центробежных моментов инерции и их знак, для
прокатных уголков, указаны не во всех сортаментах. Их величину
можно определить по формулам: J zy  ( J max  J min ) / 2 − для
равнобокого
уголка,
и
J zy  ( J z  J min )( J y  J min )
−
для
неравнобокого уголка.
17
Знак центробежного момента инерции определяется в
зависимости от ориентации прокатного профиля относительно осей
координат.
J zy <0
J zy >0
J zy >0
J zy <0
Определив угол поворота центральных осей координат из
формулы tg 2 
 2 J z 0 J y0
J z c  J yc
и повернув оси на этот угол, определим
положение главных центральных осей инерции u, q (если угол
больше нуля, то оси координат поворачиваются против часовой
стрелки, если меньше − по часовой стрелке).
Экстремальные значения моментов инерции определяются по
формуле
max 1
2
2
J min  [( J zc  J yc )  ( J zc  J yc )  4 J zcyc ] .
2
В качестве проверки можно использовать следующее правило:
при повороте осей координат сумма осевых моментов инерции не
изменяется
J zc  J yc  J max  J min
Значения моментов сопротивления сечения относительно
главных центральных осей инерции определяются по формулам
J y
J
,
Wz  z и Wy 
z max
ymax
где где уmax, zmax – расстояния от наиболее удаленных точек плоской
фигуры до соответствующей главной центральной оси.
Задача № 5. Две балки, консольная и шарнирно-опертая,
загружены внешней нагрузкой (рис. 5).
18
Требуется:
1. Определить опорные реакции.
2. Записать в общем виде выражения для внутренних усилий
Q и М на каждом из участков балок.
3. Построить эпюры внутренних усилий Q и М. Определить
расчетные сечения в балках.
4. Подобрать размеры поперечных сечений балок при
условии: что балка по схеме «а» деревянная (R = 8 МПа) имеет
круглое поперечное сечение, а балка по схеме «б» стальная (R = 210
МПа, Е = 2105 МПа) и выполнена из двутавра.
5. Определить прогиб поперечного сечения, расположенного
на краю консольного участка шарнирно-опертой балки (схема «б»).
Данные взять из таблицы 5.
№
строки
Схема
Таблица 5
l,
м
1
10
4,2
0,3
0,8
0,1
1
14
10
2
9
4,6
0,35
0,75
0,15
2
13
11
3
8
4,8
0,2
0,7
0,2
3
12
12
4
7
5,2
0,3
0,6
0,25
4
11
13
5
6
5,4
0,45
0,5
0,3
5
10
14
6
5
5,2
0,5
0,6
0,35
6
9
15
7
4
5,0
0,45
0,7
0,3
7
8
16
8
3
6,0
0,4
0,75
0,25
8
7
17
9
2
6,2
0,35
0,8
0,2
9
6
18
0
1
6,4
0,3
0,9
0,15
10
5
19
е
д
г
е
д
д
е
а
a,
м
b,
м
c,
м
F,
кН
q
кН/м
М
кНм
19
б)
а)
q
q
M
F
F
1
a
a
l
a
c
b
б)
а)
q
q
M
F
2
a
c
a
a
b
c
l
б)
а)
q
q
M
q
F
3
a
b
a
a
c
b
l
б)
а)
q
q
M
4
c
M
F
2c
a
b
c
l
б)
а)
q
F
q
5
a
M
2a
a
2b
a
l
Рис. 5
20
б)
а)
F
q
q
6
F
M
c
3a
a
b
c
a
l
б)
а)
F
q
q
7
M
c
b
c
c
b
a
l
б)
а)
q
q
F
a
c
c
q
M
8
c
a
b
l
б)
а)
q
F
q
M
9
b
2a
a
b
l
l
б)
а)
q
10
F
q
M
F
2c
c
a
l
c
c
l
Продолжение рис. 5
21
Задача № 6. Заданная рама загружена внешней нагрузкой
(рис. 6).
Требуется:
1. Найти опорные реакции.
2. Записать выражения для внутренних усилий M, Q и N на
каждом участке рамы.
3. Построить эпюры внутренних усилий M, Q и N.
4. Произвести проверку равновесия узлов рамы.
Данные взять из таблицы 6.
№
строки
Схема
Таблица 6
l,
м
1
10
4,2
6,4
0,8
1
14
10
2
9
4,6
6,2
0,75
2
13
11
3
8
4,8
4,8
0,7
3
12
12
4
7
5,2
5,2
0,6
4
11
13
5
6
5,4
5,4
0,5
5
10
14
6
5
5,2
5,2
0,6
6
9
15
7
4
5,0
5,0
0,7
7
8
16
8
3
6,0
6,0
0,75
8
7
17
9
2
6,2
4,6
0,8
9
6
18
0
1
6,4
4,2
0,9
10
5
19
е
д
д
г
е
в
а
h,
м
а
F,
кН
q,
кН/м
М,
кНм
22
2
1
q
q
0.5l
0,5l
0,2l
0,3l
F
a
a
M
h
M
h
F
0,5l
0,2l
0,3l
0,5l
4
3
0,2l
0,3l
0,2l
0,5l
0,3l
0,5l
F
M
M
0,3l
a
a
0,3l
h
h
F
q
q
Рис. 6
23
6
5
al
q
0,5l
2
h
M
M
q
0,2h 0,3h
F
0,2l
0,5h
0,5h
ah
F
0,5l
0,3l
l
8
a ·l
F
M
l
l
9
0,6l
10
0,6l
F
a
M
M
l
a
0,5h
0,5h
q
0,2h 0,3h
F
0,25h 0,25h
q
0,5h
0,2h 0,3h
M
0,5h
q
0,5h
F
0,2h 0,3h
a ·l
0,5h
7
q
l
Продолжение рис. 6
24
Методические указания к задачам № 5 и № 6
Построение эпюр внутренних усилий осуществляется c
использованием метода сечений. При определении опорных
реакций желательно использовать уравнение статики, содержащее
не более одной неизвестной опорной реакции. Одно из уравнений
равновесия должно быть использовано для проверки правильности
определения опорных реакций. При определении внутренних
усилий принято следующее правило знаков. Изгибающий момент
считается положительным, если он вызывает растяжение нижних
волокон. На эпюре моментов знак не ставится, и она строится со
стороны растянутых волокон. Поперечная сила считается
положительной, если она стремится повернуть отсеченную часть
конструкции по ходу часовой стрелки. Правило знаков для
продольной силы приведено в методических указаниях к задаче
№1.
Подбор размеров поперечного сечения в балке производится
из условия прочности
 max  M max / Wz  R .
Для определения прогиба в балке рекомендуется использовать
метод Мора. Чтобы определить прогиб в балке, необходимо
построить эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки
(грузовую эпюру) М Р . Затем необходимо загрузить балку
(свободную от заданной внешней нагрузки), только одной
единичной силой Р  1 , приложенной в заданной точке по
направлению предполагаемого перемещения и построить
единичную эпюру изгибающих моментов М1 . После этого
необходимо перемножить эпюры М1 и М Р по способу Верещагина
[1]. В результате, мы определим интересующий нас прогиб в
заданной точке балки.
При перемножении эпюр по участкам по способу Верещагина
необходимо умножить площадь одной эпюры на ординату, взятую
с другой под центром тяжести первой. При этом ордината берется
только с прямолинейной эпюры и под центром тяжести той эпюры,
с которой взята площадь. Если обе эпюры располагаются по одну
сторону от осевой линии, то при перемножении ставится знак “+”,
если по разные стороны, то − знак “-”.
25
Последовательность построения эпюр в рамах (задача №6)
аналогична, что и для балок. При разбиении конструкции на
участки границами участков являются и места излома продольной
оси рамы (узлы). Для рам строятся три эпюры M, Q, N.
Чтобы убедиться в правильности построенных эпюр,
проверяют равновесие всех узлов рамы. Для этого необходимо
вырезать каждый узел рамы и приложить к ним все внешние
сосредоточенные нагрузки, действующие в узлах, а также
внутренние усилия, взятые с соответствующих эпюр (с учетом их
знака). После этого необходимо проверить равновесие узлов рамы
 Х  0 , Y  0 ,  M  0 .
Подробные методические указания по определению
внутренних усилий при поперечном изгибе даны в [6].
26
Задача № 7. Короткий стержень, поперечное сечение
которого показано на рис. 7, сжат продольной силой F,
приложенной в точке «А».
Требуется:
1. Определить положение нулевой линии.
2. Определить в обще виде наибольшее растягивающее и
наибольшее сжимающее напряжения, возникающие в поперечном
сечении, выразив эти напряжения через силу F .
3. Найти допускаемую нагрузку Fдоп. при заданных размерах
поперечного
сечения
и
заданных
значений расчетных
сопротивлений материала на сжатие Rсж и растяжение Rp .
4. Построить ядро сечения.
Данные взять из таблицы 7.
Таблица 7
Схема
a,
см
b,
см
Rсж,
Rр,
МПа
МПа
1
10
6
4
60
21
2
9
5
3
70
22
3
8
4
5
80
23
4
7
7
4
90
24
5
6
8
5
100
25
6
5
9
6
110
26
7
4
10
8
120
27
8
3
8
4
130
28
9
2
9
5
140
29
0
1
10
6
150
30
е
д
д
а
в
№
строки
27
2
1
A
a
a
b
2b
b
b
2b
b
A
a
a
3
a
a
4
A
b
b
2b
2b
b
A
a
a
a
a
a
6
b
5
2b
2a
A
b
A
a
b
a
7
a
a
8
2b
2b
b
A
b
2
a
b
A
b
2
a
a
a
10
2a
b
9
2b
A
A
a
a
a
a
b
a
Рис. 7
28
Методические указания к решению задачи № 7
Для расчета заданного внецентренно-сжатого стержня
необходимо определить положение центра тяжести его
поперечного сечения и найти моменты инерции относительно
главных центральных осей (расчеты аналогичны расчетам,
выполняемым в задаче № 4). Заданные поперечные сечения имеют
как минимум одну ось симметрии, которая является одновременно
главной центральной осью. Определить положение второй главной
центральной оси не составляет большого труда. Необходимо только
провести эту ось через центр тяжести сечения перпендикулярно к
оси симметрии. Для определения положение нулевой линии
определяем значения
i 2y
i z2
ау  
аz  
yp ,
zp ,
где a y , az − расстояния, которые отсекает нулевая линия на
осях координат;
Jy
J
i z2  z , i 2y 
− квадраты радиусов инерции сечения.
A
A
Если нулевая линия пересекает поперечное сечение, то тем
самым она его делит на две части: сжатую и растянутую. Та часть
сечения, которая включает в себя точку приложения сжимающей
силы, будет испытывать сжатие, а другая часть – растяжение. Чем
дальше точка располагается от нейтральной линии, тем больше в
ней напряжения. В наиболее удаленной точке сжатой зоны
max
напряжения равны  сж , в наиболее удаленной точке растянутой
зоны −  рmax .
Приравняв наибольшие напряжения соответствующим
max
 сж
 Rсж , можно
расчетным сопротивлениям  рmax  RP ,
определить величины допустимых нагрузок Fдоп. Из двух
полученных значений выбирается наименьшее.
В тех случаях, когда необходимо, чтобы при загружении
конструкции напряжения в ней были одного знака, строят ядро
сечения. Ядром сечения называют область вокруг центра тяжести,
обладающую следующим свойством: если сила, приложена в
29
пределах ядра сечения или на его границе, то напряжения во всех
точках сечения одного знака.
Для построения ядра сечения, необходимо задать различные
положения нулевой линии. Необходимо, чтобы нулевая линия не
пересекала поперечное сечение, а только его касалась. Каждому
положению нулевой линии будет соответствовать точка в
поперечном сечении. Обходя, таким образом, поперечное сечение
по контуру получим ряд точек, соединяя которые получим границы
контура ядра сечения. Если переход из одного положения нулевой
линии к другому осуществляется путем поворота вокруг некоторой
точки, лежащей на контуре сечения, то соответствующие точки
ядра сечения необходимо соединить прямой линией. Если же
переход из одного положения нулевой линии в другое
осуществляется путем «окатывания» контура поперечного сечения,
то соответствующие точки ядра сечения необходимо соединить
выпуклой кривой линией. Правильно построенное ядро сечения не
должно быть выпуклым, а его размеры составляют примерно одну
треть соответствующих размеров поперечного сечения.
Методика расчета элементов конструкций, работающих на
внецентренное сжатие, приведена в [7].
Задача № 8. На рис. 8 изображена расчетная схема ломаного
стержня круглого поперечного сечения, расположенного в
горизонтальной плоскости, с прямыми углами в узлах А и В. На
стержень действует равномерно распределенная нагрузка q и
сосредоточенная сила F=q·l. Вся нагрузка расположена в
вертикальной плоскости.
Требуется:
1. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов.
2. Установить расчетное сечение и найти для него
эквивалентный момент по четвертой теории прочности.
3. Определить диаметр стержня из условия прочности.
Данные взять из таблицы 8.
30
Таблица 8
№
строки
Схема

q,
кН/м
l,
м
R,
МПа
1
10
0,6
14
0,5
100
2
9
0,7
13
0,6
110
3
8
0,8
12
0,7
120
4
7
0,9
11
0,8
130
5
6
1,0
10
0,9
140
6
5
1,1
9
1,0
150
7
4
1,2
8
1,1
160
8
3
1,3
7
1,2
170
9
2
1,4
6
1,3
180
0
1
1,5
5
1,4
190
е
а
д
в
д
Методические указания к решению задачи № 8
В пространственных конструкциях в общем виде возникают
все виды внутренних усилий, которые определяются методом
сечений в том же порядке, как и для плоских конструкций.
Для
каждого
элемента
конструкции
выбирается
пространственная прямоугольная система координат (x, y, z).
Условимся ось х всегда направлять по оси, совпадающей с внешней
нормалью, проведенной к плоскости поперечного сечения, т.е.
совпадает с продольной осью стержня, тогда оси y и z будут лежать
в плоскости поперечного сечения.
Для приведенных расчетных схем необходимо построить
эпюры изгибающих и крутящих моментов. Крутящий момент Мх
или Мкр, плоскость действия которого лежит в плоскости
31
поперечного сечения, считается положительным, если при взгляде с
внешней нормали он вращает ту часть, к которой приложен, по
часовой стрелке. Плоскость эпюры Мх можно совмещать или с
плоскость осей х, у или с плоскость осей х, z.
Для эпюр изгибающих моментов правило знаков специально
не устанавливается, а их эпюры строим со стороны растянутых
волокон. Так как, в данной задаче вся нагрузка вертикальная,
поэтому будет возникать только один изгибающий момент Mz ,
эпюра которого строится в плоскости осей х, у .
Для удобства составления уравнений равновесия отсеченной
части пространственного стержня, можно мысленно представить,
что стержень защемлен в том месте, где проведено сечение.
Для расчета стержня по построенным эпюрам Мх и Mz находят
опасное сечение. В предложенных схемах стержень работает на
изгиб с кручением, то есть имеет место плоское напряженное
состояние. Эквивалентный момент в опасном сечении в общем
виде по четвертой (энергетической) теории прочности находится по
следующей формуле:
IV
2
M экв
 M z2  M y2  0,75M кр
.
Определив указанный момент, можно найти
сопротивления и диаметр стержня из условия прочности:
момент
IV
М экв
IV
 экв 
 R.
Wz
32
1
C
l
l
l
B
l
C
2
q
l
A
l
q
F
3
4
q
C
l
B
l
l
B
l
F
A
l
l
A
q
C
B
l
l
l
A
l
F
F
5
6
C
l
F
q
C
l
l
l
B
l
A
A
l
l
l
q
B
F
7
8
l
l
F
B
l
C
q
C
l
A
l
l
A
q
9
A
l
F
B
F
l
10
C
l
l
C
l
q
q
B
l
l
l
A
B
l
F
Рис. 8
33
Задача № 9. Стальной стержень (R = 210 МПа, Е = 2105 МПа)
длиной l загружен силой F (рис. 9, а). Форма поперечного сечения
показана на рисунке 9, б.
Требуется:
1. Методом последовательных приближений определить
размеры поперечного сечения.
2. Найти величину критической силы и коэффициент запаса по
устойчивости.
Данные взять из таблицы 9.
Таблица 9
№
строк
и
F,
кН
l,
м
Схема
колонны
(рис. 9, а)
Форма поперечного
сечения (рис. 9, б)
1
200
3,2
1
3
2
250
3,4
2
4
3
300
3,6
3
5
4
350
3,8
4
6
5
400
4,0
5
7
6
450
4,2
1
8
7
500
4,4
2
9
8
550
4,6
3
10
9
600
4,8
4
1
0
650
5,0
5
2
а
д
д
е
34
1
а)
2
F
l
l
F
4
5
F
F
l
l
F
l
3
б)
a
2
a
1
1,5 a
a
a
a
a
3
4
2a
0,2 a
a
0,2 a
a
6
a
5
0,2 a
a
a
8
2a
a
7 0,2 a
2a
10
a
9
0,2 a
0,2 a
a
0,2 a
1,5 a
2a
Рис. 9
35
Методические указания к задаче № 9
Расчет
стального
стержня
производится
методом
последовательных приближений. В условии прочности  
N
R
A
неизвестно значение коэффициента продольного изгиба φ, который
находится в интервале 0    1. Расчет производится в несколько
этапов (приближений), после каждого из которых мы приближается
к более точному значению коэффициента φ.
Схема расчета имеет следующий вид:
I приближение.
Задаемся значением коэффициента φ1 = 0,4 ÷ 0,6. Из условия
прочности находим требуемую площадь поперечного сечения
Aтр 
N
 
и его размеры. Затем, определив гибкость бруса  
,
imin
R
находим по таблицам коэффициент продольного изгиба φ2.
Сравниваем эти два коэффициента φ1 и φ2. Если разница менее
5%, то расчет закончен. Если же больше, то выполняем второе
приближение.
II приближение.
Принимаем φ3 = (φ1+ φ2)/ 2. Находим Атр , λ и коэффициент φ4.
Сравниваем φ3 и φ4. Если разница менее 5%, то проверяем условие
прочности. Если же больше, то выполняем третье приближение и
т.д.
Чтобы убедиться, что прочность стержня обеспечена,
необходимо последнее значение коэффициента φ поставить в
условие прочности и убедиться в его выполнении   N  R .
A
Критическая сила определяется в зависимости от гибкости и
материала конструкции по одной из трех формул.
Если λ ≥ λпред , то критическая сила определяется по формуле
Эйлера Fкр   2 EJ min /(   ) 2 ; если λ1 ≤ λ ≤ λпред − то по формуле
Ясинского Fкр   кр  А  (а  в   )  А ; (а=310 МПа, в=1,14 МПа).
Если λ ≤ λ1 − то по формуле Fкр   Т  А .
Коэффициент запаса по устойчивости определяется по
формуле n у  Fкр / F . Значения гибкостей λ1 и λпред приводятся в
справочниках.
Методика расчета стержней на устойчивость приведена в [8].
36
Задача № 10. На стальную двутавровую балку (рис. 10) с
высоты h падает груз весом Q.
Требуется:
1. Найти наибольшие нормальные напряжения в балке в
момент удара.
2. Решить аналогичную задачу при условии, что правая опора
заменена упругой опорой с коэффициентом податливости .
3. Сравнить полученные результаты.
Данные взять из таблицы 10.
Таблица 10
,
№
строки
Схема
№
двутавра
l,
м
Q,
кН
h,
м
м/кН
1
10
20
3,0
0,8
5
0,30
2
9
20а
3,5
0,9
6
0,35
3
8
24
4,0
1,0
7
0,40
4
7
24а
4,5
1,1
8
0,45
5
6
27
5,0
1,2
9
0,50
6
5
27а
5,5
1,3
10
0,55
7
4
30
6,0
1,4
11
0,60
8
3
30а
6,5
1,5
12
0,65
9
2
33
7,0
1,6
13
0,70
0
1
36
7,5
1,7
14
0,75
е
д
в
а
б
д
37
1
2
Q
h
h
Q
l
4l
5
l
5
3
3l
4
4
4
Q
h
h
Q
2l
l
3
l
3
l
2
2
6
5
Q
l
h
h
Q
l
l
4
7
l
3
Q
8
h
h
Q
l
2
9
l
l
l
10
Q
h
h
Q
4
l
l
l
3
l
2
Рис. 10
38
Методические указания к решению задачи № 10
В приведенной задаче балка работает на поперечный
(изгибающий) удар. Нормальные напряжения определяются по
формуле:
σд = Кд∙σст.
Где Kд  1  1  2h / ст − динамический коэффициент.
Δст − это перемещение от статического действия нагрузки в
точке соударения, которые определяются как и в задаче № 5, по
методу Мора. При этом перемножение эпюр производится по
способу Верещагина. Наибольшие динамические напряжения будут
в том же сечении, где возникают наибольшие статические
max
напряжения  ст

М max
. При замене одной жесткой опоры на
Wz
податливую в виде пружины в приведенной выше формуле
изменится перемещение Δст , а значит и динамический коэффициент
Кд. Интересующее нас в этом случае перемещение в точке
соударения можно получить как алгебраическую сумму
перемещений от деформации пружины Δпр и деформации самой
балки Δ (определяемого в п. 1 на стадии вычисления коэффициента
Кд) Δст=Δпр+Δ. Зная опорную реакцию и коэффициент податливости
опоры, можно найти, насколько станет короче или длиннее
установленная пружина Δпр = VВ ∙ α.
После этого необходимо начертить схему перемещения балки
как абсолютно жесткого неизгибаемого бруса только от
деформации пружины. Учитывая подобие треугольников найдем
величину перемещения Δпр в точке соударения, а затем Δд , К и σ.
Методика расчета элементов конструкций, подверженных
поперечному удару, изложена в [10].
39
Список рекомендуемой литературы
1. Сопротивление материалов. Курсовые и расчетнопроектировочные работы: учебное пособие В.В. Семенов −
М.: Изд-во Ассоциации строительных ВУЗов, 2004. − 128 с.
2. Расчетные и тестовые задания по сопротивлению
материалов / Л.С. Минин [и др.] – М.: Высшая школа, 2003,
224 с.
3. Миролюбов, Н.Н. Сопротивление материалов: Пособие по
решению задач. 6-е изд. перераб. и дополн. − СПб: Изд-во
«Лань», 2004. – 512 с.
4. Руководство к решению задач по сопротивлению
материалов: уч. пособие для ВУЗов. / Г.М. Нцкович [и др].−
М.: Высшая школа, 1999. – 512 c.
5. Липкин, В.И. Механика твердого деформируемого тела.
Расчет на прочность и жесткость при растяжении-сжатии:
учебное пособие / В.И. Липкин, А.П. Малиновский. −
Томск: Изд-во Томск. гос.архит.-строит. ун-та, 2005. − 75 с.
6. Липкин, В.И. Механика твердого деформируемого тела.
Внутренние усилия, построение эпюр внутренних усилий:
учебно-методическое
пособие
/
В.И.
Липкин,
О.М. Лоскутов. − Томск: Изд-во Томск. гос. архит.-строит.
ун-та, 2004. − 61 с.
7. Расчет бруса на внецентренное сжатие: методические
указания / В.И. Савченко, О.Ф. Коваленко. − Томск: Изд-во
Томского государственного архитектурно-строительного
университета, 2003. – 16 с.
8. Расчет колонны составного сечения на продольный изгиб:
методические указания / И.Ю. Смолина, Л.Е. Путеева. −
Томск: Изд-во Томского государственного архитектурностроительного университета, 2005. – 22 с.
9. Расчет вала на изгиб с кручением: методические указания /
Р.П.Моисеенко.−Томск: Изд-во Томского государственного
архитектурно-строительного университета, 2003. – 11 с.
10. Сопротивление материалов. Расчет балки на поперечный
удар и вынужденные колебания: методические указания /
И.Ю. Смолина, Н.А. Фурсова − Томск: Изд-во Томского
государственного архитектурно-строительного университета,
2007. − 20 с.
40