Задача определения критической нагрузки балки

Задача определения критической нагрузки балки. Балка AB длины l ,
имеющая цилиндрическую форму, расположена вертикально. Ее нижний конец A
жестко закреплен, а верхний под действием нагрузки P может перемещаться по
вертикальной прямой таким образом, что касательная, проведенная к осевой
линии балки в точке B , все время проходит через отрезок AB . Требуется
определить критическую нагрузку P  , при которой вертикальное положение
балки является положением устойчивого равновесия.
Обозначим через s длину дуги осевой линии балки, отсчитываемую от
точки A , а через    (s) меньший из углов, образованных отрезком AB и
касательной к осевой линии, проведенной в точке, которая расположена на
расстоянии s от A . Потенциальная энергия изогнутой балки равна
l
 1  d  2

WП ( )     
  P cos  ds (9.40)
 2  ds 
0

где   0 константа, зависящая от коэффициента упругости и момента
инерции поперечного сечения. Состояние устойчивого равновесия
характеризуется минимумом потенциальной энергии, поэтому задача сводится к
определению таких значений P , при которых функция  ( s)  0 реализует
наименьшее возможное значение функционала (9.40) на множестве функций вида
  C1[0, l ],  (0)   (l )  0 . Для решения этой задачи воспользуемся теоремой 9.3
(если функция удовлетворяет сильному условию Якоби, то она реализует слабый
локальный минимум функционала на множестве)
Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа:
 P sin  
d  d 

0
ds  ds 
Очевидно, функция  ( s)  0 удовлетворяет этому уравнению, а значит,
является экстремалью. Кроме того, выполняется сильное условие Лежандра
f   
 0
 0
Находим (относительно функции  ( s)  0 ) p( s)   P, q( s)  0, r ( s)   и
записываем уравнение Якоби:
h   Ph  0
Общее решение этого уравнения имеет вид
(s)  C1 sin P / s  C2 cos P / s
а его решением при начальных условиях (0)  0,  (0)  1 является функция
(s)   / P sin P / s
Согласно теореме 9.3, решение  ( s)  0 является оптимальным, если
 ( s )  0 для всех s  (0, l ) ; это равносильно условию sin P / l  0 . Наименьшее
положительное P , при котором последнее неравенство нарушается, определяет
критическую нагрузку. Следовательно, P  / l , откуда находим P    2  / l .