Скотч, Линейки, Ватман

Скотч
Ввод переменной
1. Фигура на рисунке составлена из правильных треугольников и
шестиугольников. Найдите сторону большого треугольника, если
сторона маленького треугольника равна 1.
2. В коробке шоколадные конфеты выложены в один слой в виде
квадрата. Сладкоежка Костя съел все конфеты по периметру — всего
20 конфет. Сколько конфет осталось в коробке?
Принцип Дирихле
3. Докажите, что в любом классе существуют два ученика, имеющие одинаковое число
друзей среди своих одноклассников.
4. Во время диктанта ученики класса сделали 211 ошибок. Матвей допустил в своей
работе 20 ошибок, а остальные ученики — меньше. Докажите, что хотя бы два ученика
сделали одинаковое количество ошибок.
Графы
5. В стране Циферной есть девять городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Путешественник выяснил, что два города соединены авиалинией в том и только в том
случае, если двухциферное число, ставленое из цифр-названий этих городов, делится на 3.
Можно ли попасть из 1 в город 9?
6. Сколько диагоналей у правильного 100 угольника?
Переправы
7. Четыре рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки,
намереваясь переправиться на другую сторону. Им удалось найти одну трехместную
лодку лодку, и переправа произошла бы легко, ведь лошади могли перебраться вплавь. Но
одно затруднение чуть было не помешало этому предприятию. Все оруженосцы, словно
сговорившись, наотрез отказались оставаться в обществе незнакомых рыцарей без своих
хозяев. Не помогли ни уговоры, ни угрозы. Трусливые оруженосцы упорно стояли на
своем. И все же переправа состоялась, все шесть человек благополучно перебрались на
другой берег с помощью одной трехместной лодки. При этом соблюдалось условие, на
котором настаивали оруженосцы. Как это было сделано?
8. Три человека со стиральной машиной хотят переправиться через реку. У них есть катер,
который вмещает либо двух человек и стиральную машину, либо трёх человек. Беда в том,
что стиральная машина тяжёлая, поэтому погрузить её в катер или вытащить из него
можно только втроём. Смогут ли они переправиться?
Магические квадраты
Линейки
Взвешивания и переливания
1. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью
двух пустых бидонов: трехлитрового и пятилитрового.
2. Имеются чашечные весы со стрелками и десять мешков с монетами. Все монеты во всех
мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и
каждая весит по 2 грамма, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая
весит по 1 грамму. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке
фальшивые монеты?
Разрезания
3. Прямоугольник 3х4 содержит 12 клеток. Найдите пять способов разрезания
прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток
(способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе
разрезания, не равны частям полученным при другом способе).
Логика
4. Миссис Хадсон дала Шерлоку и Ватсону карточку так, чтобы другой ее не видел, и
сказала: «У каждого из Вас на карточке написано натуральное число, причем числа
отличаются на единицу». Миссис Хадсон спросила у Ватсона: «Какое у Шерлока число?»
– «Не знаю», – ответил тот. Она спросила Шерлока: «А ты не знаешь какое число у
Ватсона?» – «И я не знаю», – ответил Шерлок. И снова она спросила Ватсона, и снова тот
ответил, что не знает. После этого она спросила Шерлока, и тот сказал, какое число у
Ватсона. Какие числа были на карточках и как рассуждал Шерлок?
Доказательство от противного
5. Имеется 101 пуговица, каждая пуговица — одного из 11 цветов. Докажите, что либо
среди этих пуговиц найдутся 11 пуговиц одного цвета, либо 11 пуговиц разных цветов.
Инвариант
6. На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё два
плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет ещё один ананас, а если
сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод.
Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?
Игры на симметрию
7. Есть две кучки камушков в одной 7 штук во второй 9штук. За ход разрешается взять
любое количество камней, но только из одной кучки. Проиграет тот, кому нечего брать.
8. У ромашки 12 лепестков. За ход разрешается оторвать или один лепесток, или два,
которые растут рядом. Проиграет тот кому не останется лепестков для отрывания.
А что будет если им попадется ромашка у которой в начале было 11 лепестков?
Магические квадраты
Задачи со спичками
9. Переложите пять спичек так, чтобы получить три квадрата.
10. В лампе переложите три спички так, чтобы получить пять равных
треугольников.
Остров сновидений