лабораторная работа м-1 исследование прямолинейного

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-1
ИССЛЕДОВАНИЕ
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
ТЕЛ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
НА МАШИНЕ АТВУДА
ОБОРУДОВАНИЕ: машина Атвуда, электрический или обыкновенный секундомер, набор грузов и перегрузков.
Машина Атвуда предназначена для исследования закона движения
тел в поле земного притяжения. Естественнее всего изучить этот закон,
исследуя свободное падение тел, но этому мешает большая величина
ускорения свободного падения. Такой опыт возможен либо при очень
большой высоте прибора (намного большей, чем высота комнаты), либо
при помощи специальных методов для точного измерения небольших
промежутков времени (доли секунды). Машина Атвуда позволяет избежать этих трудностей и замедлить движение до приемлемых скоростей.
Устройство машины Атвуда изображено на рис. 1. Легкий алюминиевый блок свободно вращается вокруг оси, укрепленной в верхней части
стойки. Через блок перекинута тонкая нить, на концах которой висят грузы А и Б, имеющие равные массы М. На груз А могут надеваться один
или несколько перегрузков. Система в этом случае выходит из равновеÁëî ê
Ò2
Ò1
Ýëåêòðî ì àãí èò
Ï åðåãðóçî ê
Ãðóç À
Í èòü
Ãðóç Á
Ñòî ëèê
Рис. 1
Машина Атвуда
1
сия и начинает двигаться ускоренно.
В начале опыта груз Б удерживается неподвижно с помощью электромагнита. Выключение тока, текущего через электромагнит, освобождает груз Б и приводит нить с грузами в движение.
Найдем закон движения груза А. При расчете будем пользоваться
неподвижной системой координат, центр которой совмещен с осью блока. Ось Х направлена вниз. Пусть масса перегрузка, лежащего на грузе А,
равна m.
На груз А действуют две силы: сила веса g(M + m) и сила натяжения
левой части нити T1. По второму закону Ньютона:
M  mg  T  M  ma ,
(1)
1
где a – ускорение груза А.
Применим второй закон Ньютона к движению груза Б. В силу нерастяжимости нити, ускорение груза Б равно ускорению груза А по абсолютной величине и направлено в противоположную сторону. Оно равно a. Натяжение правого конца нити обозначим T2. Тогда
Mg  T2  Ma .
(2)
При невесомом блоке натяжение T1 и T2 равны друг другу:
T1 = T2.
(3)
Из (1), (2) и (3) получим:
a
mg
.
2M  m
(4)
Движение груза А, таким образом, происходит, равноускоренно и
подчиняется уравнению (4). Ускорение a при небольших перегрузках
существенно меньше g: поэтому его легче измерить.
Формула (4) может служить для определения ускорения g. Но эксперимент осложняется тем обстоятельством, что не существует простых
способов прямого измерения ускорения a. Воспользуемся равноускоренным характером движения и будем измерять путь S и время движения t.
Они связаны, как известно, соотношением:
S
1 2
at .
2
(5)
Цель работы заключается в том, чтобы на опыте установить равноускоренный характер движения, определить входящее в (5) ускорение и
вычислить с его помощью по формуле (4) ускорение свободного падения.
Эксперимент выполняется в следующем порядке. Один из имеющих2
ся перегрузков кладут на груз А. Груз Б опускается до соприкосновения с
электромагнитом и "прилипает" к нему (ток в катушке электромагнита
должен быть включен заранее). Секундомер ставится на "нуль". Столик
поднимается до соприкосновения с грузом А, и по шкале отсчитывается
начальная высота груза. Затем столик опускается на некоторое расстояние S. Теперь следует разорвать цепь электромагнита и одновременно
включить секундомер. При соприкосновении груза А со столиком секундомер нужно выключить. Зная S и t, нетрудно подсчитать a по формуле
(5). Опыт следует повторить 5–10 раз и усреднить измеренные значения
времени полета t.
Прежде чем приступать к систематическим измерениям, полезно
проделать несколько опытов при разных S и m для того, чтобы убедиться
в правильности работы установки. Вычисленное из экспериментальных
данных по формуле (4) значение g следует сопоставить с табличным.
Первые опыты покажут, что найденные таким образом значения g
плохо согласуются друг с другом и с табличными данными. Это вызывается следующими причинами:
При выводе формулы (4) не учитывалась сила трения в подшипниках
оси блока. Сила трения обычно составляет заметную долю веса перегрузка.
При измерении времени t, кроме случайных, возникают и систематические ошибки. Эти ошибки связаны с тем, что наблюдатель включает
секундомер не в момент разрыва цепи электромагнита и выключает его
не тогда, когда груз коснется столика, а с некоторым опозданием, величина которого зависит от скорости реакции наблюдателя и, как показывает опыт, никогда не равна нулю.
Для устранения этих ошибок следует выбрать целесообразную методику измерений и внимательно отнестись к способу обработки результатов.
Начнем с ошибок, возникающих при измерении времени полета t.
Прежде всего необходимо сделать как можно меньший вклад случайных
ошибок. Это достигается путем многократного повторения опыта в одинаковых условиях.
Обратимся теперь к систематической ошибке в измерении времени,
которую обозначим t. Неизвестное нам истинное время пролета tист связано с измеренным временем пролета tизм очевидным соотношением:
t èñò  t èçì  t .
(6)
Формула (5) связывает между собой ускорение тела, путь его во время падения и истинное время падения tист. Подстановка (6) в (5) показы3
вает, что измеренное время tизм входит в формулу более сложным образом:
S
1
2
atèçì  Δt 
2
(7)
и содержит неизвестную ошибку t.
Поскольку истинное время tиcт нам пока неизвестно, задача состоит в
том, чтобы найти с помощью (7) ускорение a по измеренным значениям
S и tизм. Это лучше всего делать, изображая S и tизм на графике в координатах S и tизм.
Извлекая корень квадратный из обеих частей равенства (7), найдем:
S 
1
a tèçì  Δt  .
2
(8)
Как видно из (8), S и tизм связаны между собой линейной зависимостью. График должен представлять собой прямую линию. Наличие
ошибок t приводит к тому, что эта прямая перестает проходить через
начало координат, но не нарушает прямолинейного графика. Ошибка t
не cказывается также на наклоне прямой, который зависит только от a:
a  2tg2  .
(9)
Определение наклона полученной прямой позволяет поэтому вычислить ускорение a вне зависимости от ошибки наблюдателя t. (График
позволяет также при желании найти ошибку t. Подумайте, каким образом это сделать).
Ошибки измерений приводят к тому, что экспериментальные точки в
координатах S и tизм не лежат на прямой. Через точки следует провести "наилучшую прямую", т.е. прямую, проходящую на наименьшем
расстоянии от большинства точек.
Заметим, что график, построенный в координатах S и t, является
не единственным графиком, в котором зависимость (5) приобретает вид
прямой линии. Тем же свойством обладают графики, построенные в координатах S и t2 или lnS и lnt. Но графики, построенные в этих координатах, теряют свой прямолинейный вид при учете различия между tизм
и tист и потому непригодны для анализа.
Описанный выше метод обработки наблюдений позволяет (при данной величине перегрузка) правильно измерить ускорение a. Это найденное из эксперимента значение a не может быть, однако, непосредственно
использовано для определения g, так как ускорение свободного падения
4
зависит не только от a, но и от трения в оси блока.
Величину силы трения можно оценить, замечая наибольшую величину перегрузка m, еще не вызывающего движения системы. Этот способ
нельзя применить для измерения силы трения, так как мешающее опыту
трение скольжения отнюдь не равно трению покоя.
Ясно, что получить хорошие результаты опыта можно только при
том условии, если вес перегрузка (силы, вызывающей движение) во много раз больше силы трения. Сила трения определяется весом груза М,
а не весом перегрузка. Увеличивая вес перегрузка, мы улучшаем условия
опыта (следует также иметь в виду вес нити, ненамного меньший веса
перегрузка). Вес нити влияет на движение сложным образом, так как
длина ее с каждой стороны блока зависит от времени. Но это влияние так
же как и влияние силы трения, уменьшается с ростом m.
Вес перегрузка следует всячески увеличивать: m не может быть выбрано очень большим, так как движение при этом становится слишком
быстрым, и точность измерения времени оказывается недостаточной.
Поэтому лучше всего производить измерения с не очень тяжелым перегрузком m и найти предел, к которому стремится вычисленное значение
g при увеличении m до больших значений, которые не могут применяться непосредственно на опыте. Проще всего находить предел графически.
Для этого следует построить график, в котором по оси абсцисс откладывается величина 1/m, а по оси ординат - найденное при данном m значение g. Проведенную через экспериментальные точки кривую нужно экстраполировать (продолжить) к большим значениям m, т. е. к малым значениям 1/m, практически к 1/m = О (откладывать по оси абсцисс не обратную величину массы, а саму массу перегрузка m нельзя, так как в
этом случае пришлось бы экстраполировать кривую к большим - в пределе к бесконечно большим значениям m, чего нельзя сделать графически).
Найденное экстраполированное значение g и следует сравнивать с
табличными. При этом студенту предлагается самому подумать над тем,
как оценить точность полученного результата.
ЗАДАНИЕ И ОТЧЕТНОСТЬ
1. Измерьте время t, в течение которого груз пройдет различные пути
S (5–8 значений, приблизительно равномерно распределенных 30–40–
60–70 см) с перегрузками m1 = 2 г.
5
2. Полученные результаты изобразите графически в координатах
S и t. По графику найдите tg .
S
Äëÿ m = 2 ã
t
3. Повторите п.п. 1, 2 для перегрузка 4 г. Постройте график.
S
Äëÿ m = 4 ã
6
t
4. Повторите п.п. 1, 2 для перегрузка 6 г. Постройте график.
S
Äëÿ m = 6 ã
t
5. Повторите п.п. 1, 2 для перегрузка 7 г. Постройте график.
S
Äëÿ m = 7 ã
t
6. Найдите ускорение a для каждой величины перегрузка по формуле
(9).
7
7. Вычислите для каждого перегрузка ускорение свободного падения
g с помощью формулы (4). Найдите среднее значение g для каждого перегрузка и g. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.
Таблица
№№
m, г
S, см
S
t
30
1
2
40
60
70
30
2
4
40
60
70
30
3
6
40
60
70
30
4
7
40
60
70
8
tg
a
g
gср
8. Постройте график, в котором по оси абсцисс откладывается величина 1/m, а по оси ординат найденное для данного перегрузка значение g.
g
1/m
9. Путем экстраполяции кривой (продолжения) к 1/m = 0 определите
g для m.
10. Сравните полученные значения с табличными.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Изменяется ли натяжение нити (при движении грузов), если один
перегрузок заменить другим?
2. Как изменится ускорение системы, если увеличить массу постоянных грузов М (не меняя массы перегрузка и сил трения)?
3. Сформулируйте и запишите второй закон Ньютона.
4. Сформулируйте условия свободного падения.
РАСЧЕТЫ И ВЫВОДЫ
9