курса теории и методики обучения математике

Раздел III
Теория и методика обучения математике
Раздел III. Теория и методика обучения математике
А.А. Дорибидонтова
МЕТОД ПРОЕКТОВ КАК СРЕДСТВО РЕАЛИЗАЦИИ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ
МЕЖДУ МАТЕМАТИКОЙ И ПРЕДМЕТАМИ СПЕЦЦИКЛА
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ УЧИЛИЩ
(НА ПРИМЕРЕ ПРОФЕССИИ «СВАРЩИК»)
«… очевидна нехватка специалистов, выпускников начального
и среднего профессионального образования».
Д.А. Медведев
Математика, являясь предметом общеобразовательного цикла, считается необходимым инструментом овладения будущей профессией учащимися профессиональных училищ. Эта необходимость обусловлена и требованиями к качеству образования современного профессионала (они
довольно высоки), и профессиональной значимостью оптимальности и рациональности построения методик обучения спецпредметам.
Нерациональность методик обучения предметам спеццикла, прежде всего, обусловлена неполнотой (нарушающей целостность восприятия спецпредмета) реализации межпредметных связей, от которых напрямую зависит качество изготавливаемого продукта.
Одним из средств раскрытия взаимосвязей между геометрией и профессиональной дисциплиной следует считать профессионально-ориентированные проекты, способствующие осмыслению и применению учащимися геометрических знаний в реальных или профессиональных ситуациях. Под профессионально-ориентированным проектом понимаем специально организованный
учителем и самостоятельно выполняемый учащимися комплекс действий по решению (профессионально-ориентированной) значимой для учащегося проблемы или задачи, завершающихся созданием продукта, который представляет собой теоретическую и/или практическую модель в виде сварной конструкции с математическими расчетами и технологическими выкладками.
Основные требования к учебному проекту.
1. Работа над проектом всегда направлена на разрешение конкретной социально-значимой исследовательской, практической и реально разрешимой в рамках учебного процесса проблемы.
Для того чтобы учащийся воспринимал знания как действительно нужные ему, рассматривается реальная проблема, знакомая и значимая для учащегося. Решение этой проблемы требует
применения известных знаний и умений учащегося, а также и новых, которые еще предстоит приобрести.
2. Работа над проектом начинается с планирования действий по разрешению проблемы.
Преподаватель оказывает учащимся помощь организационного характера в работе над проектом, например: советует источник получения информации по интересующему вопросу, направляет и корректирует идею поиска. Главное – в результате учащиеся должны самостоятельно найти
пути разрешения проблемы, которые в дальнейшем заменяются детализированной программой
действий.
3. Каждый проект обязательно требует исследовательской работы учащихся. Отличительная черта
проектной деятельности – поиск информации, которая будет обработана, осмыслена и представлена участниками проектной группы.
4. Результатом работы над проектом является продукт, презентация продукта и защита самого
проекта (по Л.В. Кузнецовой).
Применим указанные требования к проекту на изучение стереометрии. Работу по выполнению проекта условно разделим на следующие этапы:
1. Создание проблемной ситуации (информация должна подаваться в контексте будущего труда, с
прицелом будущего профессионального использования).
67
Вестник ТГПИ
Естественные науки
2. Создание мотивации профессиональной значимостью проблемы.
3. Нахождение способов разрешения проблемы. Обоснованность правильности решения.
4. Возврат к целевой установке. Обобщение результатов проекта.
Приведем пример проекта. Рассчитать и выполнить заказ на строительство детского городка. Данную задачу рассмотрим с точки зрения профессии сварщика при изучении темы по математике: «Тела вращения и площади их поверхностей». Рассмотрим выполнение проекта согласно
вышеназванным этапам.
1. Создание проблемной ситуации. Сегодня нам предстоит выполнить заказ на строительство детского городка (на экране появляются слайды детских городков). Преподаватель, зная, что
изучается тема «Тела вращения», акцентирует внимание учащихся на элементах городка, где присутствуют модели конуса, цилиндра и шара (рис. 1).
Рис. 1
Уче н и кам пр е д ла гае тс я со зда ть о д и н его э л ем ен т – р а ке т у. Проблема заключается в необходимости выполнения ряда профессионально-ориентированных задач: расчетной, технологической (чертежи), финансовой (бухгалтерский учет и коммерческие расчеты), профессиональной (количество металла, швов и т.д.).
2. Создание мотивации профессиональной значимостью проблемы. Рабочая группа этого
проекта должна рассчитать, сколько металла потребуется сварщику для изготовления этой модели.
Что нужно для этого знать? (учащиеся говорят о площади). Таким образом происходит вовлечение
учащихся в учебный процесс, мотивация наглядно продемонстрирована: нужно рассчитать количество металла, которое необходимо сварщику для изготовления модели.
3. Нахождение способов разрешения проблемы. Чтобы рассчитать количество металла,
нужно знать площадь поверхности элементов ракеты (боковой поверхности конуса и цилиндра).
Преподаватель (или заказчик) задает размеры ракеты.
Чтобы ракета вписалась в систему городка, нужно ее дополнить элементами декора, например, добавить два иллюминатора в виде круговых отверстий и с боку расположить два крыла в
виде прямоугольных трапеций, входное отверстие в виде прямоугольника (преподаватель на доске
или экране показывает этапы построения модели) (рис. 2).
Рис. 2
68
Раздел III
Теория и методика обучения математике
Чтобы увеличить темп деятельности рабочей группы целесообразно разделить её на микрогруппы: каждая микрогруппа будет рассчитывать конкретный элемент модели (преподаватель
разбивает на группы, дает задание, проверяет правильность выбора формулы и расчет).
Нам нужна площадь ракеты.
S
ракеты
S
S
 2 S
 2 S
S
бок.цил. бок.кон.
трапеции
круга
прям.
А теперь осталось подставить найденные результаты в эту формулу.
4. Возврат к целевой установке. Обобщение результатов проекта. Перенос полученных
данных на разрешение проблемной ситуации. На этом этапе проходит формулировка правильного
ответа с точки зрения профессиональной деятельности сварщика. Посмотрим на эту конструкцию
еще раз, только глазами сварщика, для которого, помимо указанного результата, нужно добавить
a2
 l   , где а – дли2
Qn
на катета таврового шва, l-длина электрода,  - плотность) количество электродов ( n 
, где
mэ
металл на отходы и швы, важно знать массу наплавленного металла ( Qn
т- масса одного электрода), и основное время сварки ( t
тока,
 п  коэффициент


Qn
, где I св  сила сварочного
I св   н
наплавки). Все это можно узнать на уроках по предмету «Технология
сварных конструкций».
При рассмотрении этого примера возникает вопрос, а возможно ли выполнение проекта, когда «заказа» нет. Или как быть с темами, которые нужно закреплять на примере не одной задачи.
В этом случае составляется таблица взаимосвязи стереометрических объектов и реальных сварных
конструкций (то есть осуществляется визуализация геометрических понятий). Эта таблица составляется, с одной стороны, преподавателем математики, который знает всю область геометрических
понятий, которые учащиеся должны изучить, а с другой стороны, учащимися, субъектный опыт
которых в знаниях сварных конструкций намного больше, чем у преподавателя. Целенаправленное
использование визуализации к отдельным фактам по стереометрии приводит к возможности установления межпредметных связей. Например, в таблице 1 проиллюстрированы некоторые из них.
Таблица 1
Межпредметные связи между предметами «Геометрия» и «Технология сварных конструкций»
Основные
математические
понятия
Перпендикуляр
и
наклонные
Модели
Примеры сварных
конструкций
Математический чертеж
А
Н
α
М
69
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Угол между
прямой и
плоскостью
M

A
Теорема о
трех
перпендикулярах
H
M

A
H
а
Пирамида
Вершина
Р
Боковое
ребро
Боковая
грань
Высота
А5
А4
Н
А1
А2
Конус
А3
Основание
2r
l
Развертка
поверхности конуса
С
А
Н
В
Остановимся на последней строчке таблицы, в которой говорится о геометрическом теле –
конус. На первом этапе вместе с учащимися оговаривается, где встречается конус в сварных конструкциях. Определили аналогию – пожарное ведро – емкость для песка. И вот теперь работа преподавателя заключается в том, чтобы подвести к той проблеме, которая бы опиралась на необходимые для изучения знания. Приведем примеры проектов с одним объектом – ведром конической
формы.
Проект 1.
Найти количество материала, необходимое для изготовления ведра конической формы,
длину шва и объем полученной емкости, если известны диаметр ведра и глубина. Сварить конструкцию по заданным условиям (рис. 3).
70
Раздел III
Теория и методика обучения математике
С
А
Н
В
Рис. 3
Дано: конус, АВ=d, СН=h.
Найти: l, Sбок.к., V?
В данной задаче необходимо установить, что в ведре такой формы будет только один шов –
по образующей, значит длина шва – это длина образующей. Количество материала - площадь боковой поверхности конуса.
Решение:
1. r  HB 
AB d
 .
2
2
2
2.
l  CB и из ∆НВС по т. Пифагора CB 2  CH 2  HB 2  h 2 
3. S бокк
d
.
4
2
d  2 d 

.
   r l    h 
2 
4 
1
1 d2
 d2 h
2
h 
4. V    r  h   
.
3
3
4
12
Проект 2.
Расчитать количество материала, необходимое для изготовления ведра конической формы и
объем полученной емкости, если известны радиус кругового сектора и его центральный угол, выраженный в радианах. Сварить конструкцию по заданным условиям.
l
α
Развертка боковой
поверхности конуса
Sбок    r  l
С одной стороны r можно найти из формулы длины окружности основания конуса
C  2  r , где С – длина окружности.
С другой стороны эта же длина окружности является длиной дуги кругового сектора, которую можно посчитать по формуле
C  l a.
Приравняв эти формулы, получаем
Таким
S бокк   
образом,
площадь
l 
l 
l 
2
2
2  r  l  a  r 
боковой
поверхности
l a
,
2
определяется
по
формуле
2
.
71
Вестник ТГПИ
Естественные науки
1
V    r 2  h , где h можно найти из теоремы Пифагора:
3
l
 l  
h  l r  l 
 
2
 2 
2
2
2
2
4 2   2
.
Подставим r и h в формулу объема. Получим
1  l  
l
V   
 
3  2  2
2
l 3  2
4   
 4 2   2
24
2
2
.
Проект 3.
Из квадратного листа металла со стороной а сварить ведро конической формы с наименьшими потерями материала. Найти его радиус основания r, высоту, площадь боковой поверхности
и объем.
a
a
l
Развертка боковой
поверхности конуса
r
Длина дуги кругового сектора рассчитывается по формуле
c  a   рад  a  90 
С другой стороны

180 
a 
2

.
c  2  r  l  2  r 
h  a2  r 2 , h  a2 
S бок    r  a , S бок
a
a
r  .
2
4
a2 a

15 ,
16 4
a
a2 
  a 
4
4
.
1
1
a a
a 3    15
2
.
V   r h, V   
 15 
3 16 4
192
3
2
Проект 4.
Сварить ведро конической формы при заданном объеме V и высоте h, найти r и Sбок.
l
h
1
3 V
3 V
V   r2 h  r2 
r
3
 h
 h
l  h2  r 2 , l  h2 
72
3 V
 h
Раздел III
Теория и методика обучения математике
S бок    r  l ,
S бок
3  h 3  3V 
3 V
3 V
3  V h 3  3V 
2
 
 h 
 


 h
 h
 h
 h
h
Проект 5.
Сварить ведро конической формы при заданных: образующей l и угле α при вершине осевого сечения конуса. Найти его высоту и радиус, S бок, V.
Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:
r  l  sin
α
l
r

2
h  l  cos

2
S бок    r  l , S бок    l  sin

2
 l    l 2  sin

2
1
1

  l3


V    r 2  h , V    l 2  sin 2  l  cos 
 sin 2  cos
3
3
2
2
3
2
2
Каждый из вышеназванных проектов отражает определенный раздел геометрического материала. При решении задач необходимо владеть следующими знаниями:
 формула длины дуги кругового сектора (раздел «Тригонометрия»);
 формула площади кругового сектора (раздел «Тела вращения»);
 формула площади боковой поверхности конуса (раздел «Тела вращения»);
 формула длины окружности (раздел «Повторение основного планиметрического материала»);
 теорема Пифагора (раздел «Повторение основного планиметрического материала»);
 перевод градусной меры в радианную меру (раздел «Тригонометрия»);
 соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (раздел «Повторение
основного планиметрического материала»);
 формула объема конуса (раздел «Объемы тел»).
Рассмотрим пример еще одного проекта, когда на решении одной задачи можно сварить
огромное количество конструкций одного класса.
Постановка проблемы.
Рассчитать технологически навес в форме части цилиндра, опираясь на рисунок и фотографию. Найти длину дуги навеса, если известна ширина навеса (хорда АС) и высота купола (отрезок ВН).
Рис. 4
73
Вестник ТГПИ
Естественные науки
В
С
А
Н
О
Известно, что длина дуги рассчитывается по формуле (1)
l  R  ,
(1)
где R – радиус, α – радианная мера центрального угла.
Радиус R можно найти из формулы (2)
R
abc
,
4S
(2)
где a=АС, b=АВ, c=ВС – стороны ΔАВС. С другой стороны, площадь ΔАВС можно вычислить по
формуле
S
1
ah,
2
(3)
где а=АС, h=ВН.
ΔАВС – равнобедренный, поэтому АВ=ВС и по теореме Пифагора:
AB 2  AH 2  HB 2
AB 2 
(4)
AC 2
 HB 2
4
Перепишем формулу (2), подставив в нее формулы (3) и (4)
AC 2
 BH 2
AC  BC  AB
AC 2  4 BH 2
4
R


1
2 BH
8BH
4   AC  BH
2
(5)
Угол α можно найти, используя теорему косинусов в ΔАОС:
AC 2  R 2  R 2  2 R 2  cos 
cos   1 
AC 2
2R2
  arccos(1 
AC 2
).
2R 2
(6)
Переведем α в радианную меру и подставим найденные R и α в формулу (1).
74
Раздел III
Теория и методика обучения математике
AC 2  4 BH 2
AC 2

 arccos(1 
)
2
8BH
 AC 2  4 BH 2  180

2
8BH


2
2
2
2
AC  4 BH
32 BH  AC

l
 arccos(1 
)
2
2 2
8BH
( AC  4 BH ) 180
l
Подставим ВН=1,2м и АС=5м.
25  4  1,44
32  1,44  25

 arccos(1 
)
2
8  1,2
(25  4  1,44) 180
l  5,73 м
l
Для выполнения этого проекта необходимо знать: формулу длины дуги, формулы площадей
треугольников, теорему Пифагора, теорему косинусов, определение арккосинуса числа, как осуществляется перевод градусной меры угла в радианную. В качестве других объектов, рассчитанных по этой формуле можно выбрать (рис.5):
Рис. 5
Ис по льзо ва н и е м е то д а пр о е к то в в о бр азо ва те ль но м пр о це ссе о б уч ен и я м а тем а т и ке с по со бс т в уе т:
– развитию познавательного интереса к математике за счет реализации межпредметных связей;
– созданию устойчивых мотивов изучения стереометрических понятий на уровне представлений
и обобщенных представлений;
– повышению уровня осознанности учащимися профессиональных училищ теоретических знаний по геометрии с точки зрения профессиональной направленности;
– интеграции профессиональных и математических знаний, которые могут положительно влиять на формирование профессиональной компетентности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вербицкий А.А. Компетентностный подход и теория контекстного обучения. М.: ИЦ ПКПС.-2004.-84с.
2. Дорибидонтова А.А., Макарченко М.Г. Визуализация теоретических фактов как средство взаимосвязи геометрии с профессиональными дисциплинами // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные
науки. 2009.
С.И. Дяченко
КУРС ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
КАК СРЕДСТВО ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА
Обратимся к проблеме соотношения истории математики как науки и как учебного предмета. История математики как самостоятельная наука начала формироваться в XVIII веке. Но это не
означает, что до этого ученые не ощущали потребность в исторических исследованиях науки.
Можно выделить следующие предпосылки для возникновения истории математики как науки:
75
Вестник ТГПИ

Естественные науки
античные историки науки, ученые средневековья, знакомясь с методами и результатами
предшественников, сохраняли научные традиции, что важно с точки зрения оказания влияния
математики на последующие эпохи;
 возникновение научных сообществ: госучреждения (академии, университеты); общества любителей науки, важны для становления истории математики, т.к. с них началась практика составления обзоров, исторических исследований математических тематик того или иного периода;
 классические научные произведения содержат исторические главы или экскурсы;
 обзорные доклады ученых-математиков о достижениях в той или иной области математики.
Причем значение истории математики для развития математики со временем все больше возрастает. В настоящее время невозможно представить работу математика без изучения истории
развития той области, которой он занимается.
В современных условиях история математики как наука исторического ряда относится к гуманитарным наукам, поэтому использует не сравнительные, а абсолютные категории (временной
ряд «было – есть – будет», пространственные характеристики «здесь – там»), тяготеет к чистым
описаниям, обсуждает прошлое с точки зрения настоящего. Исторические науки заняты конкретными, специфическими событиями и их объяснением [2]. Поскольку исторические науки описывают изучаемые объекты в системе абсолютных категорий, истолковывают мир как становление,
постоянно порождающее новое, то они не формулируют научных законов, все это относится к
истории математики как исторической науке. Но, с другой стороны, ряд современных математиков, подтверждая тезис о том, что история математики – историческая наука, дополняют его тем,
что она одновременно является и дисциплиной математической. «В наше время основной ее задачей должно считаться выяснение закономерностей возникновения и развития математических
идей. Естественно, что в таком плане историей математики более успешно могут заниматься лица,
обладающие, помимо специальной математической подготовки, опытом самостоятельной работы
в науке. До некоторой степени это уже подтверждено ходом дела, и вот примеры: Ф. Клейн, с его
интересным, хотя и несколько субъективным обзором математики XIX столетия, Нейгебауер, с его
превосходными исследованиями математики древнего мира, Стройк, с небольшим, но увлекательным и в идейном отношении превосходным кратким курсом истории математики, А.Н. Колмогоров, с его большим и глубоким обзором истории математики, Ван дер Варден, с книгой «Пробуждающаяся наука» [1, 76].
В различные эпохи при изучении закономерностей развития математики исторический и
математический контексты находились в различных отношениях. В современных условиях усиливаются математические элементы, но, несмотря на это, по-прежнему эта наука не устанавливает
научных законов. Представления историков о прошлом постоянно изменяются в силу изменения
истолкования настоящего. Поэтому современное развитие математики как науки оказывает влияние на изменение отношения к истории математики. На первых этапах развития истории математики преобладал описательный характер, основное содержание историко-математических сочинений – биографии ученых, пересказ и сравнительная оценка математических результатов. Но значение, роль и предмет исследования истории математики как науки о становлении постепенно
изменяется и усиливается.
В настоящее время значение и роль истории математики как науки определяются следующими направлениями:
 описание и осмысление исторического пути математики (биографии ученых; пересказ и оценка математических результатов);
 выяснение закономерностей возникновения и развития математических идей;
 ослабление вредного воздействия узкой специализации математики в настоящее время; история математики дает представление об основных направлениях исследований, о тенденциях
развития и проблемах математики;
 содействие рациональному использованию математического материала для применения в
науке и в практике;
 «локальные» знания – каждый математик изучает историю того вопроса, которой он занимается, т.е. каждый новый шаг в математике требует исторического подхода;
76
Раздел III
Теория и методика обучения математике


связь с историей мышления; анализ процесса математического творчества;
совершенствование математического образования в школе и вузе.
Помимо традиционного взгляда на значение истории математики для самой математики, история математики дает возможности и для изучения развития общества, для философии науки и
общего образования. Например, возникает возможность рассмотреть вопросы, связанные как с
генезисом мышления человека, так и со стилем научного мышления определенного исторического
периода, со сравнительным анализом западного мышления и восточного мышления в определенные эпохи. Например, считается, что метод западного мышления анатомичен, т.е. явление расщепляется на элементы и изучается их связь между собой, а мир воспринимается как неживой
объект для препарирования. Для восточного мышления характерно следующее: путем самосовершенствования можно достичь такого состояния сознания, когда подключаешься к информационно-энергетическому полю Земли и получаешь готовую информацию без всяких устройств, а мир –
живой, человек как часть мира через ощущение осуществляет познание. Эту сравнительную характеристику возможно рассмотреть при изучении особенностей математики Древней Индии.
Кроме того, при изучении математики Древнего Египта и Древней Индии появляется возможность
знакомства с мнением историков по поводу деления всех знаний древности на экзотерические и
эзотерические.
Рассмотрение математики исламского Востока после упадка Древней Греции позволяет даже сравнить особенности женского и мужского мышления путем сравнения математических идей,
заложенных в алгебре и геометрии. Исходя из четырех стихий: огонь, вода, воздух, земля; по мнению мудрецов древности на Западе господствует стихия огня, в странах Арабского Востока – стихия воды. Стихия воды, соответствующая женскому началу, женскому типу восприятия и мышления, находит отражение в основной идее алгебры: составление уравнения и произведение определенных действий над уравнением, в результате, чего удается определить неизвестное. Так же действует женщина, сталкиваясь с экстремальной ситуацией: она сначала действует по интуиции, а
затем выясняет, что получилось. В геометрии заложен мужской пифагорейский принцип огня –
мужчина сначала осмысливает ситуацию, а затем действует. Это не означает, что женский тип
мышления присущ женщинам. Так одни философы, обладающие мужским стилем мышления, искали метод достижения достоверного знания (например, Аристотель), а итальянские мыслители
XVI века, считается, обладали женским стилем мышления; Бертран Рассел, развивший математическую логику, считал: «Философия учит нас, как жить без уверенности и в то же время не быть
парализованным неопределенностью».
Итак, история математики дает возможности для изучения истории мышления, в которой
выделяются пять основных периодов развития, соответствующих главным этапам развития общества. Стили мышления, последовательно сменявшие друг друга, вполне соответствуют периодизации развития математики: первобытный стиль мышления, древний (или античный) стиль мышления, средневековый стиль мышления, стиль мышления Нового времени и современный стиль
мышления.
Курс истории математики как научная дисциплина должен включать исследование следующих элементов:
- связь развития математики с общим развитием цивилизации (краткая характеристика соответствующего исторического периода);
- влияние организационных мероприятий внутри отдельных государств на уровень математических знаний, реорганизация системы образования конкретной страны приводили к росту ее математических достижений;
- вклад математиков в мировую культуру;
- развитие математических понятий, идей и методов;
- изменение представлений о математике и изучение факторов влияющих на эти представления.
Изучение истории математики позволяет выделить общие принципы развития наук, определить внешние и внутренние факторы развития научных теорий. Любая наука находится в процессе
постоянного развития. В науке существует преемственность идей, новые научные теории возникают
в результате критики прежних теорий. С другой стороны, наука существует в определенном социальном контексте и испытывает постоянное влияние со стороны культуры того общества, в рамках
77
Вестник ТГПИ
Естественные науки
которого она развивается, но не каждое научное достижение есть ответ на назревшую социальную
потребность. «История науки при описании развития науки должна соединять влияние культуры
на науку с филиацией научных идей, последовательным продолжением того, что говорилось в
конкретных областях знаний на предшествующих стадиях их развития» [2, 149].
Одна из самых сложных проблем философии науки – это революционный переход от старой
теории к новой. Примером научной революции можно считать появление неевклидовой геометрии. Как заметил М. Планк: новая научная истина прокладывает дорогу к триумфу не посредством
убеждения оппонентов и принуждения их видеть мир в новом свете, а скорее потому, что ее оппоненты рано или поздно умирают и вырастает новое поколение, которое привыкло к ней. Иногда
эту идею понимания процесса принятия новой научной теории называют «принципом Планка».
«Стиль мышления почти не осознается той эпохой, в которой он господствует, и подвергается
определенному осмыслению и критике только в последующие эпохи. Переход от стиля мышления одной эпохи к стилю мышления другой, и значит, от одного общего типа объективности к другому, является стихийно-историческим процессом, занимающим довольно длительный период» [2, 157].
Выделяют следующие подходы ([3]) к изложению истории математики как научной дисциплины:
 по «горизонтали», в хронологическом порядке - через биографии математиков;
 по «вертикали» – история развития понятий, идей, методов, разделов.
Использование элементов истории математики в школьном курсе не вызывает сомнения.
Начиная с 60-х годов XX века, сторонники исторического подхода к изучению математики обосновывают возможность, целесообразность и необходимость введения историко-математического
материала в школьный курс математики. В связи с этим возрастают требования к уровню профессиональной подготовке в данной области к будущему учителю математики. Поэтому постановка
курса истории математики в педвузе является важной с профессиональной точки зрения. Преподавание истории математики в высшей школе имело разные особенности, и исторически эта проблема решалась по-разному. Первыми систематическими курсами по истории математики были:
 в Западной Европе – курсы профессоров Кантора, Манзиона, Фаваро;
 курсы университетов Европы в конце 70-х – начале 80-х г.г. XIX века (обязательные и факультативные). Не было учебников по истории математики, мало специалистов, поэтому программы были подробными, представляли собой набор лекций;
 в России – курс по истории физико-математических наук – П.Л. Лавров;
 в России – курс по истории математики – В.В. Бобынин.
Начиная с XIX века, предлагались следующие варианты построения курса истории математики в вузе:
- линейное построение курса - развитие всей математики в хронологической последовательности
(программа Г.Энестрема, послереволюционные программы университетов);
- тематическое построение – последовательное изложение истории развития отдельных понятий
или теорий (программы В.В. Бобынина; К.А. Рыбникова);
- комбинированный подход – общий обзор основных периодов развития математики, затем рассматривается история формирования и развития основных понятий, теорий и методов (программа Д. Смита, факультативные курсы для пединститутов);
- курсы, посвященные деятельности отдельных математических школ или ученых;
- линейное или тематическое построение с выделением методологических проблем математики
(программа Белградского университета, программа К.А. Рыбникова).
В настоящее время проблемам методологического характера при изложении истории математики в вузе уделяется первостепенное значение. Выделены критерии отбора содержания курса
истории математики в педвузе [4]:
 методологическая направленность;
 общекультурная направленность;
 профессионально-педагогическая направленность;
 согласованность тематики с программами математических дисциплин педвуза;
 минимизация.
78
Раздел III
Теория и методика обучения математике
Методологическая направленность курса истории математики позволяет решить вопросы,
связанные с проблемой предмета и места математики в системе наук, с основными тенденциями и
закономерностями развития математики, с проблемой периодизации математики и философскими
проблемами, касающихся оснований математики. У студентов должно сложиться понимание исторической обусловленности структуры и содержания современной математики.
Общекультурная направленность истории математики предполагает, что в содержании образования должен войти материал, показывающий связь прогресса математики с развитием культуры и человеческой цивилизации.
Профессионально-педагогическая направленность курса истории математики определяет
включение в содержание такого материала, чтобы студенты увидели роль и место историкоматематических сведений в школе и возможностей использования этого материала в будущей
профессиональной деятельности. Кроме того, возникает возможность знакомства с педагогическими взглядами выдающихся математиков прошлого и современных математиков.
В содержание курса истории математики должны быть включены вопросы, связанные с историей развития основных разделов классической высшей математики и элементарной математики, которые входят в предметную подготовку студентов педвуза. Каждый математический курс
открывает перед будущим школьным учителем целый мир понятий и результатов, которые необходимо пропустить через призму их появления и развития.
Критерий минимизации требует тщательного отбора содержания курса истории математики
необходимого минимума информации в силу ограничения во времени при большой смысловой
нагрузке.
Выделенные критерии позволяют отобрать содержание курса истории математики, направленное на формирование профессиональной компетентности будущего учителя математики:
- свободное оперирование историко-математическими фактами, расширение историко-математического
кругозора;
- овладение методологическими знаниями по истории науки;
- способность использовать историко-математические знания в новых ситуациях (педагогических,
методических, учебных ситуациях);
- способность проектировать учебное содержание для обучения учащихся.
Средствами учебного предмета – история математики – формируются следующие методологические знания:
- изменение предмета математики в историческом процессе и факторы, влияющие на эти изменения;
- место математики в системе наук;
- основные тенденции и закономерности развития математики;
- периодизация развития математики;
- внутреннее строение математики;
- характер взаимосвязей различных математических дисциплин;
- философские проблемы основания математики;
- математизация научного знания и практической деятельности;
- основные современные направления развития математики.
Сочетание в истории математике как науке исторического и математического контекстов накладывает отпечаток на особенности истории математики как учебного предмета. В педагогических вузах
история математики занимает двойственное положение: с одной стороны, это общеобразовательная
дисциплина, расширяющая кругозор специалиста в общекультурной области; с другой стороны, это
интегрирующая, систематизирующая дисциплина после изучения специальных и предметных дисциплин. Поэтому данную дисциплину целесообразно изучать на старших курсах. Студенты, изучившие
курс математического анализа, способны провести сравнительный анализ теории «флюксий» Ньютона
и теории «анализ бесконечно малых» Лейбница. Студенты, изучившие аналитическую геометрию,
векторную алгебру, дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, теорию вероятностей и математическую статистику, способны осознанно проследить историю математических понятий и идей, их происхождение и развитие; способны оценить значимость Международных
конгрессов математиков, особенно, уникальное значение доклада Гильберта «Математические проблемы» для математики и истории математики.
79
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Следует отметить еще одну особенность современного курса истории математики. В методологии истории математики важное значение имеет периодизация развития математики, предложенная А.Н. Колмогоровым:
I период – зарождение математики (предыстория математики и эпоха накопления первых математических знаний);
II период – математика постоянных величин;
III период – математика переменных величин;
IV период – современная математика.
Каждый из периодов развития математики имеет приоритет при изучении математики в
школе и вузе: начальная школа – I период; средняя школа – II период и частично III период; бакалавр – III период; магистр – IY период. Конечно, это деление условно, но оно позволяет выделить
приоритет в изучении истории математики в педвузе. Критерий минимизации (ограничение во
времени при большой смысловой нагрузке) при отборе содержания курса истории математики
предполагает выделение необходимого минимума информации и приоритет тех или иных историко-математических сведений для тех или иных студентов: для специалистов - будущих учителей
математики – приоритет имеют первые два периода; для бакалавров – третий период; для магистров – четвертый.
Итак, целесообразность изучения истории математики в педагогическом вузе и необходимость сообщения соответствующих исторических сведений при обучении математике в школе не
вызывает сомнения. Свободное оперирование историко-математическими фактами и широкий
историко-математический кругозор характеризуют базовый уровень профессиональной компетентности учителя математики, основу которого составляют фактологические знания. Включение
в содержание курса истории математики методологического материала как средства усиления
фундаментальности образования способствует созданию условий для применения полученных
знаний в различных ситуациях, создает предпосылки для использования историко-математических
знаний при проектировании учебного содержания для школьников. Формируются все виды знаний
в области истории математики: фактологические, методологические и технологические, с учетом
сочетания образовательной и профессиональной ориентации студентов при изучении этого курса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гнеденко Б.В., Гнеденко Д.Б. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. М.: КомКнига, 2006. 160 с.
2. Ивин А.А. Философия науки: учеб. пособие для аспирантов и соискателей. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 264 с.
3. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 648 с.
4. Томилова А.Е. Методика отбора содержания курса истории математики и его реализация в педагогическом
вузе: автореф. дис. … канд. пед. наук. СПб., 1998.
Е.А. Корнилова, М.Г. Макарченко
ИЗУЧЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ТЕРМИНА «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ»
С ПОМОЩЬЮ МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ
В курсе «теория и методика обучения математике» изучается один из важнейших разделов
«Определение математических понятий и методика их изучения». Его изучение начинается с введения терминов «понятие», «содержание понятия» и «объем понятия». Логически грамотное изучение содержаний этих основополагающих понятий создает необходимый уровень мотивации
изучения не только указанных понятий, но и всему разделу.
В данной статье приведен вариант методико-математических заданий, направленных на мотивацию и смысловое изучение указанных понятий. К каждому заданию указано его целевое
предназначение, приведен текст задания и примерный ответ к нему.
Целью задания 1 является мотивация читающего на необходимость изучения термина
«понятие».
80
Раздел III
Теория и методика обучения математике
Задание 1. Прочитайте отрывок статьи А.В. Жукова «Ускользающие определения» [5].
«…В V – IV веках до новой эры в Греции особую популярность получили так называемые
софисты – постоянно гастролирующие учителя красноречия и мудрости, которую и Платон, и
его ученик Аристотель не без оснований считали кажущейся, мнимой. Вот небольшой отрывок
из диалога Платона «Евтидем», содержащего целый каскад искрометных софизмов:
Начал же Евтидем…
- Скажи мне, Клиний, те из людей, кто идет в обучение, - они мудрецы или невежды?..
В это мгновение Дионисодор, наклонившись чуть-чуть к моему уху и улыбаясь во весь рот,
молвил:
- Предсказываю тебе, Сократ, что бы ни ответил мальчик, он будет, все равно опровергнут.
А пока он это говорил, Клиний уже отвечал, так что мне не удалось предупредить мальчика, чтобы он был осторожен, и он сказал, что учатся люди мудрые…
Клиний согласился.
- А разве не обстояло дело таким образом, что, когда вы учились, вы не знали того, чему
обучались?
- Именно так, - сказал Клиний…
- Значит, вы были не мудрыми, но невеждами?
- Разумеется…
- Вот и получается, что учатся невежды, а не мудрецы, как ты это думаешь.
Когда он это сказал, все спутники Дионисодора и Евтидема, подобно хору, послушного команде своего наставника, зашумели и засмеялись, и раньше, чем мальчик как следует, успел перевести дух, Дионисодор вмешался и сказал:
- Послушай, Клиний, когда учитель грамматики читает вам что-нибудь, кто из мальчиков
запоминает прочитанное – тот, кто мудр, или же тот, кто невежественен?
- Тот, кто мудр, - отвечал Клиний.
- Следовательно, учатся мудрые, а вовсе не невежды, и ты только что неверно ответил
Евтидему…
Евтидем снова принялся спрашивать:
- А учащиеся обучаются тому, что они знают, или же тому, чего не знают?..
- Тому, чего они не знают, – отвечал Клиний.
- Как же так? Разве ты не знаком с буквами?
- Знаком, - ответил Клиний…
- А когда кто-нибудь что-то произносит, разве он произносит не буквы?
Клиний согласился…
- Значит, сказал Евтидем, - ты учишься тому, что знаешь, коль скоро ты знаешь все буквы…
И не успел Евтидем это промолвить, как Дионисодор, перехватив слово, как мяч, перебросил его обратно мальчику, говоря:
- Евтидем тебя обманывает, Клиний. Скажи мне: разве учиться не значит получать знание о том, чему ты учишься?
Клиний ответил утвердительно…
- А получающие что-либо уже имеют что-то или не имеют?
- Нет, не имеют…
- Следовательно, обучаются незнающие, Клиний, а вовсе не те, кто знает…
Платон. Евтидем.275-277/пер.С.Я.Шейман-Топштейн.
«Блеск речей головоногих» (так охарактеризовал словесные эксперименты софистов знаменитый древнегреческий поэт и драматург Аристофан) понуждал заядлых спорщиков то и дело
обращаться к согласованным определениям…».
Ответьте на вопросы.
1. Сколько человек участвовало в диалоге? 2. Какие понятия они обсуждали? 3. Все ли участники определяли эти понятия? 4. Кто первый обратил внимание на то или иное понятие? 5. О каком по81
Вестник ТГПИ
Естественные науки
нятии сначала шла речь? 6. Как спорщики договорились определить это понятие? 7. Почему
спорщики вынуждены были договориться?
Ответ к заданию 1.
1. В диалоге участвовали три человека, Евтидем, Дионисодор, Клиний. 2. Они обращались к
понятиям «мудрецы и невежды», «знающий и незнающий человек», «получать знания», «обучение». 3. Не все участники определяли понятия, Клиний только отвечал на поставленные ему вопросы. 4. Первым обратил внимание Евтидем на понятия «мудрецы и невежды», «обучение». Дионисодор – «знающий и незнающий человек», «получать знания». 5. Сначала шла речь о понятии
«мудрецы и невежды». 6. Спорщики договорились дать следующее определение понятию: мудрые
– это те, кто учатся, а вовсе не невежды (Дионисодор). 7. Спорщики вынуждены были договориться для того, чтобы между ними возникло понимание.
Договор спорщиков привел их к пониманию «понятий» в рамках одного смысла. Какого
субъективного или объективного? Ответить на этот вопрос Вам помогут следующие задания.
Задание 2 направлено на показ существования различного субъектного опыта, а вследствие этого и различного субъективного смысла, придаваемого словам.
Задание 2. В жизни между людьми возникает понимание или не понимание. Как Вы можете
истолковать эти термины, основываясь на личном опыте?
Ответ к заданию 2.
Вариантами ответа могут быть:
1. Эти термины противоположны, понимание – это когда люди «находят общий язык», а непонимание – не находят «общий язык».
2. Понимание возникает, когда выражения, использующиеся в диалоге, истолковываются однозначно на доступном, известном всем участникам диалога языке, непонимание – выражения
можно истолковать неоднозначно или на неизвестном (малоизвестном) для участников диалога языке.
У разных людей термин «понимание» может иметь разный смысл и даже разное значение,
в зависимости от субъектного опыта обучаемого, а он у каждого свой – неповторимый. Кроме
этого субъектный опыт человека содержит большое разнообразие житейских и научных понятий, содержание которых, как правило, наполнено субъективными смыслами. Для приведения в
соответствие субъективных смыслов к объективным, отвечающим содержанию общественноисторического опыта, целесообразно сначала понять, как устроено «понятие», каковы могут
быть его трактовки.
Задание 3 направлено на осмысление трактовок термина «понятие» в различных дисциплинах, в том числе и в методике обучения математике.
Задание 3. Существуют общепринятые, научные определения термина «понятие». Перед
Вами некоторые из них.
1) Прочитайте трактовки (определения) этого термина.
А. «Чтобы понять, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В
этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие – это
целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта
совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте» [11].
Б. «Понятие - форма мысли, обобщенно отражающая предметы и явления посредством
фиксации их существенных свойств» [6].
В. «Понятие – мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений,
позволяющие отличать эти предметы и явления от смежных с ними» [2].
Г. «Процесс формирования понятий включает следующие этапы: перцепт (образ восприятия); представление (вторичный образ – создается в отсутствие наглядной основы); предпонятие (образный концепт, обобщенное представление, концепт, образ – понятие, «система» представлений); понятие; систему понятий (теория). Каждый из этих этапов подчиняется определенным психологическим закономерностям, которые являются основой выделения условий организации деятельности при изучении математики» [4].
82
Раздел III
Теория и методика обучения математике
Д. «Математическое понятие – это мыслительная структура – носитель всей информации о некотором математическом объекте, главную часть которой составляет сложная система взаимосвязанных, логически упорядоченных суждений о нем. Каждое суждение в этой системе представляет собою свойство или признак понятия. Ядром такой системы является класс
равносильных между собою суждений, высказанных об объекте, называемых критериями понятия» [8].
Е. «…под «знаком» или «именем» я понимаю любое обозначение, выступающее в роли имени собственного, значением которого является определенный предмет (в самом широком смысле
этого слова), но не понятие и не отношение…. Обозначение одного предмета может состоять
также из нескольких слов или иных знаков. Для краткости каждое такое обозначение может
быть названо именем собственным.
Смысл имени собственного будет понятен каждому, кто в достаточной степени владеет
языком или совокупностью обозначений, к которым оно принадлежит; однако значение имен,
если таковое имеется, освещается при этом лишь с одной стороны. Всестороннее знание значения предполагало бы, что о каждом данном смысле мы могли бы сразу решить, относится ли оно
к этому значению или нет. Но этого мы никогда не достигнем.
Правильная связь между знаком, его смыслом и значением должна быть такой, чтобы
знаку соответствовал определенный смысл, а смыслу, в свою очередь, – определенное значение, в
то время как одному значению (одному предмету) соответствует не только один знак. Один и
тот же смысл выражается по-разному не только в разных языках, но и в одном и том же языке» (см. рис. 1) [10].
значение
смысл
термин
Рис. 1
2) Установите, к каким дисциплинам (а. философия, б. логика, в. психология, г. методика
обучения математике) относятся эти определения. 3) Руководствуясь каким принципом, вы отнесли то или иное определение к выбранной дисциплине? Какие отличительные признаки лежали в
основе отбора? 4) Какие ещё определения термина «понятие» вы можете назвать? Дополните список определений и соответствующих дисциплин. 5) В трактовках термина «понятие» с точки зрения методики обучения математики говорится о целостной совокупности суждений, объясните,
чем это вызвано.
Ответ к заданию 3.
2. а – В, б-Б, в - Г, г - А, Б, В, Г, Д, Е. 3. В основе лежали признаки принадлежности используемых терминов к дисциплине, например, с логикой связана «форма мысли», мышления; с философией – мысль; с психологией – процесс формирования, обобщенное представление, предпонятие, восприятие; с методикой обучения математики – целостная совокупность суждений, вся информация. 4. Например. Понятие – мысль об общих и существенных свойствах и отношениях
действительности; знание о сущности и происхождении предметов и явлений окружающего мира
[7]. Понятие – мысль, отражающая общие и существенные признаки объекта (объект понимается
здесь в широком смысле как любая целостность, включая и вещи, и процессы не только внешнего
мира, но и внутреннего вплоть до галлюцинации и вымыслов) [12]. 5. В методике обучения математике в разные моменты приходится обращаться к разным дисциплинам, методика обучения математике, опираясь на другие указанные дисциплины, объединяет их знания.
Таким образом, в методике обучения математике приходится в разные моменты обращаться к разным дисциплинам. Возникают вопросы, «какой трактовкой, с какой точки зрения
пользоваться и в какой последовательности?». Чтобы с этим разобраться, нужно обратиться к
содержанию признаков принадлежности используемых терминов к дисциплине.
83
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Задание 4 направлено на выявление последовательности, с точек зрения разных дисциплин,
изучения термина «понятия».
Задание 4. 1. Установите соответствие между ячейками таблицы 1, понимая их содержание
с позиций указанных определений термина «понятие».
Таблица 1
1. Логика
А. Форма мышления
2. Психология
Б. Процесс
формирования
В. Понимание
3. Философия
а. Образ восприятия, представление,
предпонятие, понятие
б. Содержание и объем
в. Значение, знак, смысл
2. Проиллюстрируйте на кругах Эйлера следующие соотношения между представленными
понятиями. А) Содержание и объем понятия, Б) Образ восприятия, представление, предпонятие,
понятие, В) Значение, знак, смысл понятия.
3. Из анализа первых двух подзаданий задания 4 сделайте еще один важный вывод, в какой последовательности дисциплин нужно изучать «понятие» в методике обучения математике.
Ответ к заданию 4.
1. 1-А-б, 2-Б-а, 3-В-в.
2.
Значение, знак, смысл понятия
Образ восприятия, представление,
предпонятие, понятие
Содержание и объем
понятия
Рис. 2
3. Из анализа первых двух подзаданий задания 4 можно сделать вывод: «понятие» в методике обучения математике нужно изучать в следующей последовательности дисциплин – философия, психология, логика.
А не обладает ли «понятие» какими-то общими для всех этих дисциплин характеристиками? Есть ли какая-то связь между этими характеристиками и субъектным опытом человека?
Целью задания 5 является выявление общих характеристик «понятия» вне зависимости от
опыта человека и придаваемого им смысла понятия.
Задание 5. Проанализировав трактовки термина «понятие» с точки зрения субъектного
опыта и различных дисциплин (философии, логики, психологии, педагогики, методики обучения
математике), назовите его характеристики вне зависимости от точек зрения или укажите, что таких характеристик нет. Ответ обоснуйте.
Ответ к заданию 5.
«Анализ результатов нашего исследования показал, что интегрирование жизненного понятия влияет на процесс усвоения научного понятия: часто содержание научного понятия, не совпадающее со смыслом понятия у человека, не усваивается. Это связано с формированием смысла
понятия. Любое понятие (научное) представляет собой, согласно Г. Фреге, логический треугольник, вершинами которого являются термин понятие, смысл понятия и значение понятия. Следуя
Г. Фреге, под термином понятия будем понимать его языковое выражение, обозначающее понятие; под
значением – определение понятия, обозначенного этим именем (в математике, в основном, это будут
идеи); под смыслом – совокупность способов, которыми термин может обозначать понятие» [9].
Схематически это можно представить рисунком 3.
84
Раздел III
Теория и методика обучения математике
Значение
Значение из субъектного опыта
Термин
Объективный смысл
Субъективный смысл
Рис. 3
В каждой из рассмотренных трактовок термина «понятие» указано, что понятие имеет две
характеристики: 1). «Каждое понятие характеризует какие-то объекты, предметы или явления
(в указанных трактовках используются следующие термины: «явления», «процессы», «предметы»). 2). В каждом таком понятии перечислены существенные признаки предметов, явлений, объектов, характеризуемых данным понятием (в указанных трактовках используются термины – «существенные свойства», «признаки»).
Эти характеристики имеют специальные названия. Первую принято называть – объемом
понятия, а вторую – содержание понятия» [3].
Итак, всякое понятие имеет объем и содержание. Так как эти характеристики имеют
отношение к одному и тому же объекту – «понятию», то они взаимосвязаны (в противном случае они не могут относиться к одному и тому же объекту). Связь между объемом и содержанием понятия выражается в следующем.
1. Чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше
объем, тем больше содержание понятия.
2. Объем понятия определяет значимость его содержания: если объем какого-то «понятия» пустое множество, то содержание бессмысленно, а, следовательно, оно не требует
изучения.
3. Объем и содержание понятия определяют взаимозначимость, а значит, и взаимосвязь
друг с другом. Изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в объеме понятия,
и наоборот.
Задание 6 направлено на то, чтобы закрепить полученные знания об объеме и содержании
понятия, а также связи между ними.
Задание 6. Проиллюстрируйте на понятиях «треугольник», «равнобедренный треугольник»,
«49-ти градусный треугольник» связь между объемом и содержанием понятия.
Ответ к заданию 6.
1. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия
«треугольник», так как «равнобедренных треугольников» меньше, чем «произвольных треугольников». К объектам первой группы выдвигается «больше» требований, чем к объектам второй
группы. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго – «требований» – свойств больше: равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.
2. Если рассматривать трактовку понятия «49-ти градусный треугольник» следующим образом
«49-ти градусный треугольник - это треугольник, у которого все углы равны 49°», то можно считать, что содержание понятия, вроде бы, задано, но нетрудно видеть, что объем данного понятия
– пустое множество. Возникает вопрос: значим ли (необходим ли, целесообразен ли) данный
термин, а значит и понятие? Отвечая на этот вопрос, напрашивается вывод, что поскольку нет ни
одного объекта с указанным содержанием, то, наверное, содержание не имеет смысла. 3. Если
рассматривать трактовку понятия «49-ти градусный треугольник» следующим образом – «49-ти
85
Вестник ТГПИ
Естественные науки
градусный треугольник – это треугольник, содержащий один угол в 49°», то, очевидно, что объем данного понятия непустое множество, так как существуют треугольники содержащие угол
490. И, казалось бы, в этом случае, что содержание является значимым. Но возникает вопрос:
«Почему данного понятия нет ни в одном учебном пособии по математике?». Отвечая на этот
вопрос, приходим к выводу, что никаких других особых интересных свойств, кроме указанных в
определении, у данного понятия нет. У понятия «49-ти градусный треугольник» основное содержание совпадает со всем содержанием понятия. В этом случае содержание понятия «не дает
право» во множестве всех треугольников выделить объем данного понятия. Другими словами,
«узость» содержания понятия не дает право выделить объем данного понятия с целью его целенаправленного изучения. Вывод из этого рассуждения устанавливает связь между содержанием
понятия и его объемом.
Как видно из вышесказанного, вопрос о взаимосвязи между объемом и содержанием понятия целиком зависит от содержания понятия. В содержание же понятия входит много различных существенных признаков объектов. Существенными признаками называется такая
группа признаков объекта, каждый из которых, отдельно взятый, необходим, а все вместе
взятые, достаточны, чтобы отличить данный объект от всех остальных, чтобы опознать
его. Выделение существенных признаков и обозначение их словами, приводит к определению понятия.
Итак, представленные в данной статье материалы позволяют сделать ряд выводов. В организацию изучения методических понятий с помощью методико-математических заданий целесообразно включение этапа мотивации. Мотивация студента на изучение методических понятий не
может проходить вне опоры на субъектный опыт студента, а, следовательно, в группе заданий
должны присутствовать задания, активизирующие профессиональные компоненты субъектного
опыта студента. В ходе методической подготовки субъектный опыт студента должен пополняться
не столько новым «знаком-термином», а новым смыслом. В связи с этим мотивация изучения нового понятия заключается в необходимости выбора смысловой трактовки термина из набора определений и описаний, имеющихся в общественно-историческом опыте.
Представленный набор методико-математических заданий задает необходимый уровень мотивации, способствует изучению выбранной трактовки термина «понятие» и его конкретизации –
«математическое понятие».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Геометрия: учебник для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. 4-е изд. М.:
Просвещение, 2002. С. 32.
2. Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике / под ред. Д.П. Горского. М.: Просвещение, 1991.С. 150.
3. Макарченко М.Г. Задачи, определения и теоремы как понятия методики обучения математике: учеб. пособие / в авт. редакции Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2004. С. 72.
4. Методика и технология обучения математике: курс лекций / под науч. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. М.: Дрофа, 2005. С. 117.
5. Научно-практический журнал для учащихся старшего и среднего возраста. Математика для школьников.
2010. № 3. С. 56.
6. Новейший философский словарь / сост. А.А. Грицанов. Мн.: Изд-во В.М. Скакун, 1998. С. 533.
7. Педагогика: Большая современная энциклопедия / сост. Е.С. Рапацевич. Мн.: Современ. слово, 2005. С. 447.
8. Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки учителя математики в
педвузах и университетах в современных условиях: мат-лы 29-го Всерос. науч. семинара преподавателей
математики вузов (23-24 сентября 2010 г.) / отв. ред. В.И. Глизбург. М.: Изд-во МГПУ, 2010. С. 23.
9. Фреге Г. Логика и логическая семантика: учеб. пособие для студ. вузов: пер. с нем. Б.В. Бирюкова / под
ред. З.А. Кузичевой. М.: Аспект Пресс, 2000.
10. Фреге Г. Смысл и денотат // Семиотика и информатика. М., 1977. Вып. 8. С. 181-210.
11. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп.
М.: Едиториал УРСС, 2005. С. 27.
12. Энциклопедия профессионального образования: в 3 т. / под ред. С.Я. Батышева. М.: АПО. 1999. Т. 2.
С. 291.
86
Раздел III
Теория и методика обучения математике
М.Г. Макарченко
КОНТЕКСТНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ЧАСТНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ЛИНИЙ
КУРСА ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
(НА ПРИМЕРЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ)
Данная статья посвящена описанию основных положений контекстного обучения частнометодическим линиям: предпосылки изменения подхода к обучению частным методикам, сущность подхода; содержание знаниево-умениевой составляющей обучения частным методикам на
примере линии функций; краткое описание состояния субъектного опыта студентов на момент
изучения линии функций; описание и обоснование основных положений построения системы обучающих заданий.
1. Развитие содержания линии функций как предпосылка изменения методического
подхода к обучению студентов частным методикам.
Описание частных методик по-разному раскрывается в содержании частно-методических
линий в хорошо известных учебно-методических пособиях [2; 6; 7; 10 и др.].
Одной из основных частно-методических линий является линия функций. Ее содержание,
как и любого другого методического объекта, не могло и не может оставаться одинаковым в разные исторические периоды: оно развивалось. Рассмотрим условия, повлиявшие на это изменение.
Одним из первых, приближенных к современным, описаний частных методик является
учебное пособие под общей редакцией С.Е. Ляпина [8], появившееся в печати в середине 70-х годов XX века. В этот период развитие содержания линий функций, представленное в учебниках по
методике математики [8, 377-423], осуществлялось с учетом учебно-математического материала в
действующем в тот период школьном учебнике математики, например: учебник алгебры А.Н. Барсукова [1]. В пособии [8] вопросы функциональной линии рассматривались в тесной связи с последовательностью изучения материала в учебнике [1]. Причем, описание функциональной линии
переплеталось с другими частными методиками – линией уравнений и неравенств. Единственный
действующий учебник алгебры накладывал отпечаток на описание частных методик: они были
просты, представлены авторами на уровне детализированных практических рекомендаций, соответствовали последовательности описания школьного математического материала. Наличие одного учебника алгебры позволило авторам частных методик тщательно разработать их содержание в
направлении повышения уровня строгости изложения математического содержания и служило
одним из условий, повлиявших на развитие линии функций.
Другим условием, влияющим на развитие линии функций, следует считать введение в конце 70-х годов в школьную практику обучения математике теоретико-множественного подхода.
Новизна подхода требовала в описании частных методик больше внимания уделять разъяснению
не только его сути, но и разъяснению основных математических понятий данной линии. Возникла
проблема разработки методики введения понятия функции и других «функциональных» понятий.
Методические рекомендации [7; 9], направленные на введение понятия функции, «отрывались»
авторами частных методик от описания соответствующего математического материала в тексте
действующего школьного учебника математики [4 и др.]. В содержание линии функций, кроме
методических рекомендаций, проникли разного рода обобщения: историко-методологические сведения, этапы и схемы изучения функций в школе, методики изучения трансцендентных функций.
Именно эти нововведения в 80-90-х годах ХХ века позволили выделить из совокупности методических рекомендаций их идеологическую часть – собственно «содержание линий функций».
Следующим параметром, внесшим новое в развитие содержание линии функций, является
отказ в 90-х годах от использования в школе единственного учебника алгебры. С одной стороны,
множественность учебников математики привела к необходимости углубленной теоретической
разработки самого понятия «содержание линии функций», с другой стороны – к еще большему
отрыву описания содержания данной линии от последовательности изучения данного понятия в
действующих школьных учебниках [4 и др.]. В большинстве методических пособий предлагаются
«абстрактные» методические рекомендации, которые можно использовать в учебном процессе,
87
Вестник ТГПИ
Естественные науки
искусственно их внедрив, но предварительно творчески обработав. Тем самым описанные в этих
пособиях методики находятся как бы «над методикой» школьного учебника математики.
Период конца ХХ века начала ХХI века ознаменовался изменениями в системе общего и
профессионального образования России, возникли и стали развиваться разные направления модернизации системы образования. Процесс модернизации привел к разнообразию образовательных парадигм и усиления влияния их на развитие частно-методических линий.
Развитие содержания линии функций также подвержено влиянию действующих образовательных парадигм. В школьных учебниках алгебры развитие линии функций выражено естественно и представлено программно рассредоточенным и локально концентрированными описаниями в
текстах учебников. В современных школьных учебниках математики [3; 11 и др.], соответствующих разным образовательным концепциям, одновременно и наиболее ярко проявляются и образовательная концепция, и авторская концепция построения самого учебника. Естественно, осмысление рассредоточенного, а, значит, и контекстно скрытого, методического материала линии функций требует соответствующих разъяснений в учебных пособиях по теории и методике обучения
математике (ТМОМ). Однако очень трудно осветить содержание линии функций в свете различных взглядов и образовательных подходов в очень небольшом объеме учебных пособий по курсу
ТМОМ. Еще более проблематично раскрыть взаимосвязи внутри функционального содержания
между авторской и образовательной концепциями. В этих условиях само содержание линии функций излагается концентрированно концептуально, причем теоретическая составляющая линии
функций поглощает и подчиняет ее практико-методическую составляющую. Рекомендации и советы в учебных пособиях по ТМОМ современного периода [6, 256-267; 7, 113-136] направлены,
прежде всего, на понимание текстового материала, в них содержащегося, и в значительной меньшей мере, на их реальное применение в условиях образовательного процесса по математике в
школе. Сказанное позволяет утверждать зависимость развития линии функций и от такого условия, как разнообразие действующих образовательных парадигм.
Итак, изменение методологических подходов к изложению школьного курса математики,
множественность школьных учебников математики и разнообразие образовательных парадигм эти факторы активно влияют на развитие содержания линии функций и приводят к целесообразности внесения концептуальных обобщений в соответствующих методологических и методических исследованиях. В учебных пособиях по ТМОМ содержание линии функций перестало носить
практико-рекомендательный характер, а стало теоретико-демонстрационным.
Проведенный анализ указанных методических пособий позволяет сделать следующие выводы.
1. В разных пособиях по курсу ТМОМ описание линии функций имеет разные структуры и
частично разное содержание. Нет единого общепринятого взгляда на учебное содержание линии
функций.
2. В содержании линии функций авторами частных методик выделяются две ее составляющие: историко-методологическая и содержательно-методическая. Первая составляющая представлена, например, историческими сведениями, описанием различных подходов к определению
понятия функция, целями изучения функций в школьном курсе математики [6, 256-267]. Вторая
составляющая в том же пособии содержит описание уровней формирования понятия «функция»,
описание некоторых приемов изучения функций с учетом когнитивных стилей учащихся, примеры реализации межпредметных связей и связи с жизнью при изучении функций. В современных
учебных пособиях по ТМОМ в описании частных методик лишь затрагиваются некоторые вопросы, связанные с авторскими концепциями построения школьных учебников, практическая взаимосвязь частных методик с их реализацией в школьных учебниках не представлена на уровне действий. Естественно, что в рамках традиционного подхода изучение частных методик предполагается осуществлять от абстрактного для студентов содержания линии функций к конкретному эпизодическому изучению соответствующих текстов школьных учебников математики. Такое
направление в изучении частной методики, во-первых, затрудняет осмысление студентами его
содержания и путей его реализации в школьном учебнике математики. Во-вторых, раскрытие взаимосвязи между описанием частной методики и текстами учебников математики требует осмыс88
Раздел III
Теория и методика обучения математике
ления другой взаимосвязи – между авторской концепцией построения учебника и ее воплощением
в текстах самого учебника. В связи с этим, мы говорим о необходимости введения в содержание
линии функций третьей составляющей, назовем ее концептуально-практической, которая призвана раскрыть взаимосвязи между образовательной парадигмой, соответствующей ей технологией,
авторской концепцией построения учебника и практической реализацией этой концепции в описании теоретического материала школьного курса математики и конструировании соответствующего
задачного материала. Предлагаем следующую структуру содержания частно-методической линии.
Таблица 1
Структура частно-методической линии
Составляющие частно-методической линии
Историко-методологическая
Содержательнометодическая
Конценптуальнопрактическая
Исторические сведения
Общие понятия для данной
линии
Проявление концепции учебника математики
Цели обучения
Внутренние для линии действия и преобразования
Развитие понятий в текстах в
соответствии с психологическим этапами формирования
понятия
Научные подходы
Внешние для линии действия и
преобразования
Выявление контекстов (учебно-матем., методико-матем. и
др.) текстов в темах и разделах
учебника математики
Трактовки основного понятия
Хронологические этапы и
уровни формирования основного понятия линии
Выделение целостных методических объектов в текстах
учебника математики
Сферы применения
Методики и приемы работы с
теоретическим материалом
линии
Соотнесение частных и общей
методик с описанием их реализации в учебнике
Проявление и учет индивидуальных особенностей учащихся
Раскрытие возможностей реализации межпредметных и
внутрипредметных связей
3. Описание содержания линии функций имеет для студентов высокую степень методической абстракции. В указанных пособиях направление обучения студентов задается от общего (в
данном случае от описания частной методики) к частному (к выполнению конкретных заданий
или изучению их смысла по отношению к текстам школьных учебников). Обращение авторов
частных методик к текстам конкретных школьных учебников математики остается, как правило, за
рамками описания содержания линии функций.
Оторванность теоретического материала частных методик от изучения соответствующего
материала школьных учебников математики нейтрализует активность включения субъектного
опыта студентов в понимание смыслов самих частных методик. Этот аргумент приводит к необходимости обеспечения локальной целостности содержания линии функций с описанием компонентов школьного математического образования (КШМО) этой линии в конкретном школьном
учебнике.
2. Содержание знаниево-умениевой составляющей методики контекстного обучения
частным методикам и состояние субъектного опыта студентов.
89
Вестник ТГПИ
Естественные науки
В связи со сказанным изучение линии функций должно строиться не от абстрактного к конкретному, а в обратном направлении: от изучения линии функций по конкретному школьному
учебнику математики к теоретическому изучению содержания линии функций по учебнику
ТМОМ. Идея, цель изучения и построения частной методики заключается в реализации взаимосвязей между: 1) формированием умений контекстуального анализа, 2) изучением содержания линии,
3) вооружением будущих учителей математики действенным методическим аппаратом по изучению данной частной методики и других частных методик с опорой на их субъектный опыт.
Субъектный опыт будущих учителей математики, приступающих к изучению частных методик, является далеко не пустым образованием, поскольку ими изучены основные вопросы общей методики обучения математике на действенном уровне. А вот в направлении поиска скрытой
методической информации почти никто из студентов не может: 1) установить направленность
учебного материала параграфа школьного учебника математики; 2) определить в полном объеме
содержание необходимых актуализируемых знаний и умений; 3) спрогнозировать ближайшее математическое содержание по предоставленному учебному материалу. Эти данные говорят о том,
что субъектный опыт студентов нуждается в пополнении смыслами взаимосвязей между скрытой методической информацией школьного учебника математики и содержанием частной методики, описанной в соответствующем учебнике по методике обучения математике.
Содержание знаниево-умениевой составляющей методики обучения частным методикам в
курсе ТМОМ.
1. Содержание знаниевой составляющей контекстуального анализа: учебный материал
параграфа, виды внешних структур учебного материала; взаимосвязи между внешними и внутренними структурами; типология контекстов; взаимосвязи между контекстами; содержание контекстуального анализа, возможности его применения.
Умения проводить контекстуальный анализ [5] учебного материала текста параграфа:
1) выделять учебный материал; 2) определять что «настраивается», и что «наращивается» в этом
учебном материале; 3) выявлять различные контексты учебного материала; 4) устанавливать качества их представимости (соподчинение, вложенность, переносимость) в текстах школьных учебников математики.
2. Знания, связанные с изучением содержания линии функций: содержание линии функций в конкретном школьном учебнике математики; содержание линии функций, описанное в
учебном пособии по ТМОМ; концепция построения школьного учебника математики; сущность
образовательной парадигмы, в условиях которой используется данный школьный учебник математики.
Умения устанавливать взаимосвязи между описаниями КШМО в текстах школьных учебников математики и описанием в учебных пособиях по ТМОМ: 1) взаимосвязи между авторской
концепцией построения учебника и практической реализацией этой концепции в описании теоретического материала школьного курса математики, в задачном материале; 2) взаимосвязи между
описанием теоретического материала в текстах школьного учебника математики, его задачного
материала и описанием в учебном пособии по ТМОМ; 3) взаимосвязи между описанием соответствующих методических разъяснений в учебном пособии по ТМОМ и авторской концепцией построения учебника; 4) взаимосвязи между авторской концепцией построения учебника и образовательными парадигмами.
3. Умение реализовывать методический аппарат частной методики в условиях квазипрофессиональной или реальной учебной деятельностях. Проведение такой работы со студентами
является важным обучающим элементом, направленным на интеграцию знаний и умений общей и
частной методик в целостное действенное методическое образование – в профессиональный контекст будущего учителя математики.
Из трех приведенных выше умений ключевым является умение проводить контекстуальный анализ учебных материалов параграфов школьных учебников математики. Формируя это
умение, студентов знакомят с элементами содержания линии функций по текстам школьных учебников: обучение контекстуальному анализу осуществляется преимущественно на текстах функционального содержания по учебнику А.Г. Мордковича. Остальные умения – умения вскрывать раз90
Раздел III
Теория и методика обучения математике
личные взаимосвязи формируются различными традиционными и нетрадиционными приемами и
методами.
Учитывая необходимость осуществления действенной методической подготовки будущих
учителей математики, формирование указанных умений осуществляется через систему заданий.
Основные принципы построения данной системы представлены ниже.
3. Основные принципы построения системы обучающих заданий, направленные на обучение студентов контекстуальному анализу.
Принцип единой сквозной смысловой основы заданий предполагает: а) изучение конкретной
частно-методической линии осуществляется с помощью 1) контекстуального анализа текстов
школьных учебников математики, 2) изучения авторской и образовательной концепций, 3) изучение текстов, описывающих частные методики; б) в систему заданий включены теоретические сведения; в) теория актуализируется, усваивается и развивается через систему заданий.
Принцип функциональной полноты системы заданий предполагает: а) освоение студентами
в процессе выполнения заданий всех основных видов и типов контекстов и возможность их использования в реальном учебном процессе; б) основательность изучения особенностей текстов
одного школьного учебника; в) получения максимума новых представлений о контекстах, их взаимосвязях при использовании минимума заданий; г) речь идет не о фактологической полноте изучения всех особенностей контекстов, а о полноте смыслового понимания изученных особенностей
контекстов; д) освоение системы заданий должно вызывать ощущение знакомства с малой частью
науки «ТМОМ»; е) расширение и сравнительное изучение контекстуального анализа на примерах
текстов школьных учебников математики разных авторских коллективов.
Принцип опоры на субъектный опыт студента предполагает: а) «включение» профессиональной составляющей субъектного опыта студента в изучение текстов школьных учебников математики; б) целесообразную актуализацию субъектного опыта студента (обращение к субъектному опыту должно быть не только диагностическим, но и мотивационным и рефлексивнооценочным средством); в) наращивание личностных смыслов образов (моделей) методических
объектов, скрытых за текстами школьных учебников математики посредством неоднократного
обращения к различным взаимосвязям контекстов текстов, наполненных разным математическим
содержанием; г) обеспечение «наложения смыслов»: обучение должно вестись таким образом,
чтобы контекстуальные смыслы текстов школьных учебников, текстов частных методик непосредственно влияли на совершенствование собственных умений студента, т.е. накладывались на
личностный смысл студента; д) «приоритетность действия»: обучение контекстуальному анализу
направлено на формирование действенных методических средств; е) обеспечение необходимой, но
не избыточной помощи преподавателя
Принцип соблюдения закономерностей смыслового восприятия текста означает: а) целесообразность создания психолого-дидактических условий, позволяющих студентам воспринимать
содержание текста, двигаясь в любом направлении; б) формирование умений контекстуального
анализа осуществляется в направлении от понимания смысла методических деталей, входящих в
контекст, к пониманию смысла самого контекстуального анализа; в) стратегическую значимость
распознавания информации сразу в крупном блоке для ее последующего избирательного осмысления; г) создание методического образа «отдельной языковой единицы» должно предшествовать
приданию ей значения и укрупнению; д) контекстуальный анализ направлен, во-первых, на выявление особенностей частных методик и концептуального авторского методического замысла в
текстах школьных учебников математики, и во-вторых, – на формирование действенного уровня
применения выявленного.
Принцип конструирования последовательности заданий предполагает: а) соблюдение преемственности заданий и построения их последовательности от простого к сложному; б) отражение
в заданиях приемов контекстуального анализа, соответствующих различным структурам учебных
текстов; в) мера доступности заданий предполагает приложение некоторых усилий со стороны
студентов для их выполнения; г) баланс развернутости и свернутости операций, необходимых для
овладения указанными умениями, регулируется субъектным опытом студента; д) минимально необходимое количество заданий; е) наличие структуры и типизации видов заданий: мотивационные
91
Вестник ТГПИ
Естественные науки
задания, проблемно-рассуждающие задания, теоретические сведения, ознакомительные задания, демонстрационные задания, рефлексивно-обобщающие задания и тексты, коммуникативные тексты.
Заметим, что, по мнению П.И. Пидкасистого [12, 90], основными методическими принципами, детерминирующими технологию разработки профессионально-ориентированных заданий-задач для самостоятельной работы студентов являются принципы: профессиональной результативности, продуктивности, конструктивности, когнитивности, самостоятельности.
Содержание этих общих принципов согласуется с указанными выше.
Подведем итоги.
Необходимость изменения системы школьного образования вызвало закономерное развитие
всех ее компонентов, особенно в предметной сфере, в частности, в области обучения математике.
Совершенствование другой сферы – сферы «обслуживания» школьного образовательного процесса (профессиональной подготовки будущих учителей математики) – следует в своем развитии за
«первой». Совершенствование частных методик «запаздывает» в своем развитии от прогрессивных нововведений, связанных с современными школьными учебниками математики, регулярно
дополняемыми и перерабатываемыми. Целесообразность изменения обучения студентов частным
методикам обусловлена необходимостью, регулярно возникающей перед авторами учебников,
развивать содержание школьных учебников математики в лице КШМО.
Традиционно в содержании линии функций выделяются две составляющие: историкометодологическая и содержательно-методическая. Контекстный подход к методической подготовке будущих учителей математики требует включения профессиональной составляющей субъектного опыта студента в изучение частных методик на уровне дееспособных знаний и умений. В
связи с этим мы выделяем третью составляющую в содержании частных методик – концептуально-практическую.
Традиционное обучение частным методикам осуществляется через раскрытие содержания
историко-методологической и содержательно-методической составляющих. Его отличительные
черты: 1) в большей мере такое обучение связано с изучением теории, чем с практическим профессиональным действием; 2) направленность изучения частных методик представляет собой
«движение» от абстрактного к конкретному; 3) результат обучения – поверхностное знакомство с
понятием «содержание частно-методической линии». Контекстное обучение частным методикам
предполагает: 1) перенесение основного акцента обучения с теоретической на практическую составляющую субъектного опыта студента; 2) подчинение изучения теории частных методик требованиям и возможностям студента в практическом освоении частных методик; 3) направленность
обучения от конкретного к абстрактному, к общему: от изучения линии функций по конкретному
школьному учебнику математики к теоретическому изучению содержания линии функций по
учебнику ТМОМ; 4) в качестве основной идеи контекстного обучения линии функций является
обучение студентов контекстуальному анализу текстов школьных учебников одной авторской
группы или одного автора, приводящее к осмыслению содержания линии функций и вооружающая студентов действенным методическим аппаратом.
Обучение контекстуальному анализу направлено на приобретение студентами навыков грамотного чтения текста школьного учебника математики с целью извлечения методической информации, связанной с описанием частно-методических аспектов математического содержания.
Обучение этому анализу и обучение частной методике осуществляется одновременно в условиях
смены приоритета цели обучения (цель - «линия» или цель – контекстуальный анализ). Изменение
приоритета обусловлено необходимостью пополнения профессиональной составляющей субъектного опыта студента.
Содержание знаниево-умениевой составляющей методики обучения частным методикам в
курсе ТМОМ включает: содержание знаниевой составляющей контекстуального анализа; знания,
связанные с изучением содержания линии функций; умение реализовывать методический аппарат
частной методики в условиях квазипрофессиональной или реальной учебной деятельностях.
Контекстное изучение частных методик, интегрируя все составляющие методической подготовки студента, максимально актуализирует ее аналитическую составляющую. Это закономерно, ведь в изучении частных методик реализуется весь субъектный опыт студента, окультуренный
в процессе изучения общей методики обучения математике.
92
Раздел III
Теория и методика обучения математике
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барсуков А.Н. Алгебра: учебник для 6-8 классов. М.: Учпедгиз, 1964.
2. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие. Ростов н/Д.: Феникс, 2005. 252 с. (Здравствуй школа!)
3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных:
учебник для 8 кл. общеобр. учреждений / под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Просвещение, 2005. 355 с.
4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начало анализа: учеб. пособие для 9 и 10 классов средней школы. М.: Просвещение, 1985.
5. Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике // Известия Российского государственного университета имени А.И. Герцена. № 11(71): Общественные и гуманитарные науки (философия, языкознание, литературоведение, культурология, экономика, право, история, социология, педагогика,
психология). СПб., 2008. С. 268-275.
6. Методика и технология обучения математике: курс лекций / под науч. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. М.: Дрофа, 2005. 416с.: ил.
7. Методика и технология обучения математике: лабораторный практикум для студ. матем. факультетов пед.
ун-тов / под науч. ред. В.В. Орлова. М.: Дрофа, 2007. 320 с.
8. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / С.А Гастева и др.; под общ. ред. С.Е. Ляпина.
М.: Просвещение, 1965. С. 377-423, 445-471.
9. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: учеб. пособие для студ. физ.-мат.
фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1977. С. 111-145.
10. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студ. пед. интов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение,
1987. 416 с.
11. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл.: в 2 ч.: учебник для общеобразоват. учреждений. 8-е изд. М.: Мнемозина,
2005. Ч. 1. 160 с.
12. Пидкасистый П.И. Организация учебно-познавательной деятельности студентов: учеб. пособие. М.:
Педагогическое общество России, 2004.
А. В. Тихоненко, С. Л. Налесная
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ «НЕРАВЕНСТВО»
В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Основная роль рассмотрения элементов алгебры в курсе математики начальной школы состоит в формировании обобщенных представлений о числе, смысле арифметических действий. В частности, знакомство младших школьников с базовыми алгебраическими понятиями позитивно влияет
на осознание учащимися соответствующих знаний и практических умений в старших классах.
Важно отметить, что включение заданий алгебраического характера в начальный курс математики является не самоцелью, а средством обучения, которое способствует:
– обсуждению найденного решения;
– поиску других способов решения;
– выявлению условий применения тех или иных приемов решения;
– закреплению в памяти ранее используемых приемов решения.
Работа с заданиями алгебраического характера создает предпосылки для формирования и
развития предметных ключевых компетенций и является базой последующего обучения в школе.
Одним из ключевых алгебраических понятий, с которым знакомятся младшие школьники,
является понятие «неравенство». Выполнение первых заданий в рамках данной темы ставит задачу формирования у младших школьников отношений «больше – меньше», что соответствует положениям теории математики о неравносильных множествах. Логика развертывания предложенного в начальной школе учебного материала заключается:
– в рассмотрении двух предметных множеств;
– в численном сравнении конкретных множеств;
– в осознании количественных характеристик каждого из предметных множеств;
93
Вестник ТГПИ
Естественные науки
– в фиксации способа выражения количественной характеристики предметного множества числом;
– в сравнении числовых характеристик каждого множества (сравнение чисел), обобщении результата сравнения.
Для этой цели сначала предлагаются задания, в основе которых лежит житейский опыт
учащихся. Рассматривая картинки, на одной из которых изображено одно яблоко, а на другой –
корзина яблок (много), учащиеся знакомятся с понятиями «один» и «много» и легко устанавливают, где яблок больше, а где меньше.
В этот же период происходит процесс сравнивания не только по количеству предметов, содержащихся в том или ином из рассматриваемых множеств, но и по другим признакам. Так, предлагая ученику взять в руку сначала книгу, а затем тетрадь, учащиеся устанавливают отношения
«тяжелее – легче». (– Тетрадь легче, чем книга, а книга тяжелее тетради».)
Выставив рядом самого высокого и самого низкого ученика класса, младшие школьники
реально видят соотношение их роста и формулируют установленное отношение словами: «Миша
выше Коли, а Коля ниже Миши», осознавая, таким образом, отношения «выше – ниже». В этих
упражнениях важно добиваться грамматически правильной замены одного суждения двойственным ему: «Каменный дом выше деревянного, значит, деревянный дом ниже каменного».
Так, постепенно на уроках математики выполняя логические задачи, преследуется цель:
– научить пользоваться противоположными понятиями (отец старше сына, сын моложе отца; книга шире тетради, тетрадь уже книги и др.);
– развивать математическую речь;
– выражать выявленные отношения с помощью соответствующих слов, перевода их в дальнейшем
на языке математических отношений соответствующими символами „<”, „>”.
На следующем этапе учащиеся самостоятельно устанавливают другие признаки, по которым можно сравнивать те или иные множества предметов. Учитель выставляет две коробки (они
разного цвета – красная и белая):
– По каким признакам можно сравнивать данные предметы? (– Их можно сравнить по массе
(показывают на весы), по высоте, по донышку (имеется в виду площадь основания коробок и др.)
– Сравните коробки по массе? (Несколько учеников берут коробки в руки и устанавливают
что, коробки не равны по массе.)
– Как точнее выразить данную мысль? Что можно сказать о массе белой коробки по отношению к массе коробки? (– Красная коробка тяжелее, чем белая; Белая коробка легче по массе, чем
красная.)
– Что значит тяжелее, легче? (– Масса красной коробки больше, чем белой, а масса белой
коробки меньше, чем красной.)
Аналогичная работа проводится и в случаях сравнения предметов по другим признакам, что
позволяет учащимся прийти к выводу о том, что слова "длиннее – короче", "тяжелее – легче",
«выше – ниже» указывают на признак, по которому сравниваются те или иные объекты.
Следующий этап формирования отношений неравенства рассматривается на конкретных
множествах объектов. Так, устанавливая, кого в классе больше – девочек или мальчиков, учитель
предлагает выполнить сравнение данных множеств разными способами. Предугадывая попытку
младших школьников ответить на вопрос путем подсчета количество тех и других, учитель просит
доказать, что девочек в классе больше, чем мальчиков. Это задание позволяет впервые познакомить учащихся со способом сравнения предметных (объектных) множеств с помощью установления взаимно однозначного соответствия между элементами рассматриваемых множеств. Способ
установления взаимно однозначного соответствия в дальнейшем будет ведущим в работе с аналогичными заданиями.
Решение последующего задания предполагает такие способы сравнения множеств:
– установление взаимно однозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств;
– непосредственное восприятие количества объектов каждого из предложенных множеств с последующим сравнением чисел, являющихся количественной характеристикой каждого из множеств.
94
Раздел III
Теория и методика обучения математике
В основе выполнения заданий лежит практическая деятельность: сравнение один к одному
реального количества учебников, находящихся в двух пачках, реального количества яблок, находящихся в двух корзинах и др.
Приведем фрагмент урока, иллюстрирующий использование рассматриваемых способов в
процессе выполнения задания на сравнение двух множеств. (На столе находятся учебники, разложенные на две стопки).
– Как вы думаете, в какой стопке учебников больше? Почему? (– В правой стопке учебников больше, чем в левой, потому что она выше.)
– Все согласны с данным мнением? (– Правая стопка учебников выше, и учебники в ней тонкие, а левая – ниже, но учебники в ней толстые. Следовательно, в правой стопке больше учебников,
чем в левой.)
– Как проверить наше предположение, используя какой–либо другой способ. (– Надо пересчитать количество учебников.)
– Как выполнить предложенное действие? (– Можно брать учебники парами до тех пор, пока в одной из стопок не закончатся учебники. Та стопка, в которой останутся учебники, будет содержать большее количество учебников.)
– Мы нашли правильный выход из создавшейся ситуации. Но в реальной жизни не всегда
можно визуально определить, где больше предметов, а где меньше. Поэтому для получения правильного ответа на поставленный вопрос следует использовать способ образования пар предметов.
(Важно, чтобы при выполнении аналогичных заданий ученики предлагали и использовали различные способы сравнения групп предметов).
Следующий этап работы предполагает переход от сравнения предметных множеств к сравнению чисел, являющихся их количественной характеристикой. Поэтому в этот период предлагаются задания, иллюстрирующие способ сравнения множеств на основе сравнения чисел, который
собственно приводит к тому, что для сравнения чисел используются предметные множества, а
предметные множества можно сравнивать с помощью чисел, являющихся количественными характеристиками рассматриваемых множеств.
Приведем фрагмент урока, показывающий деятельность учителя по формированию понятий
«равенство», «неравенство», представив анализ некоторых этапов данного урока.
Тема урока: «Равенства. Неравенства».
В ходе этапа ознакомления с новым материалом работа строится следующим образом:
На доске выставлены две группы одинаковых кругов (6 и 8). Круги расположены хаотично,
что затрудняет их пересчет.
Учитель предлагает сюжет:
– Мама попросила Медвежонка, собрать в лесу сладких ягод для пирожков. Но идти одному
в лес скучно. Что можно посоветовать Медвежонку? (– Позвать друга Лисенка.)
– Взяли друзья две корзины и стали складывать собранные каждым ягоды: одну ягодку в
корзинку Лисенка; одновременно с этим Медвежонок кладет собранную им ягоду в свою корзину.
(Учитель приглашает помощника к доске.)
В результате проверки, у Лисенка оказалось на 2 круга (ягодки) больше, чем у Медвежонка.
На данном этапе урока четко прослеживается воспитывающий эффект в освоении нравственных норм, в желании продолжить общение и совместную учебную деятельность, создается
основа для формирования положительных эмоций в отношении предстоящей деятельности.
Введение в ход урока персонажей помогает не только заинтересовать учеников в решении
поставленной учебной задачи, но и обогатить их чувственно-эмоциональный опыт путем развития мышления в плане осознания себя и своего места в мире природы и людей.
– Ну вот, – сказал Медвежонок, – ты сосчитал, сколько у тебя ягод? (– Нет, – ответил Лисенок.)
Учитель обращается к учащимся класса: « А вы посчитали?» (Поскольку установки на пересчет собранных каждым ягод не было, то, скорее всего, никто из учащихся не считал количество
собранных каждым ягод.)
– Я тоже не считал, – сказал Медвежонок, – но думаю, что у тебя больше на 2 ягоды.
– Почему так решил Медвежонок? Прав он или нет? (Выслушиваются мнения учеников.)
95
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Введение проблемного вопроса позволяет развернуть дискуссию. В процессе обсуждения
происходит столкновение различных точек зрения и важно учитывать тот факт, что параллельно с работой над непосредственным учебным заданием формируется благоприятная коммуникативная среда: выработка правил сотрудничества, уважение к мнению другого и т.д.
После дискуссии устанавливается способ сравнения: если в каждую корзину клали по одной
ягодке одновременно, значит, в них должно быть ягод поровну. Две оставшиеся в корзине ягоды
означают, что у одного из друзей ягод больше, чем у другого, так как для них не нашлось пары. Работа на данном этапе позволяет учитывать принцип доступности обучения и принцип индивидуализации обучения. Учителю важно убедиться, что каждый из учеников усвоил учебный материал.
Далее результат работы проверяется пересчетом количества ягод, собранных каждым и
сравнением полученных в результате пересчета чисел. Устанавливается: 6 меньше, чем 8.
Учитель продолжает рассказ:
– Лисенок не верит Медвежонку. Расположите круги на доске так, чтобы было видно, что у
Медвежонка ягод меньше на 2. Как вы расставите круги? (– Один под другим.)
Л
.
М
.
Рис. 1
– В каком ряду кругов больше? Меньше? На сколько больше в верхнем ряду? На сколько
меньше в нижнем ряду?
– Что надо сделать, чтобы медвежонку было не обидно? (– Из верхнего ряда добавить 1
круг в нижний ряд.)
Продолжается работа, заданная нравственной линией урока, проверяется понимание нравственно-этических норм поведения с близкими.
На этапе закрепления нового материала рассматривают все варианты уравнивания количества кругов, что позволяет развивать нестандартное мышление младших школьников:
а) два круга добавить в нижний ряд;
б) два круга убрать из верхнего ряда;
в) один круг из верхнего ряда переставить в нижний ряд.
Заключительным этапом предложенной работы является подведение учащихся к выводу:
– если сравнивать два множества по количеству предметов, то всегда можно установить: будут ли
данные множества равны или неравны (в одном из множеств предметов больше или меньше,
чем в другом);
– отношения сравнения множеств предметов можно перевести на язык математики с помощью
особых знаков "=" и "не равно";
– для удобства записи отношений «не равно» между числами люди договорились использовать
знаки "<" (меньше) и ">" (больше).
Для закрепления умения правильно использовать знаки отношений "<", ">" и записи результата сравнения предлагаются различные задания, предполагающие выбор нужного знака в
определенной ситуации. Полезно предлагать и "обратные" задания – по написанным знакам отношений (">" или "<") подбирать множества различных предметов, сравнение которых удовлетворяет указанным отношениям – круги, квадраты, треугольники, бруски и др. Предлагаем систему
примерных заданий для работы в данный период обучения:
1) Петя и Коля начали собирать марки. У одного из них было 9 марок, у другого – 5 марок. У
Коли меньше марок, чем у Пети. Сколько марок у Коли? Сколько марок у Пети? Запишите
неравенство, в котором слева поставьте число, обозначающее количество марок Пети.
2) Сравните числа:
6...4
2...2
5...9
96
Раздел III
Теория и методика обучения математике
5...5
3...6
2...1
4...2
9...4
6...6
Выберите из данных математических записей одно равенство и два неравенства и подтвердите их верность с помощью иллюстрации.
3) Сравните числа, обозначающее количество вишен на левой и средней ветках; на средней и
правой ветках. Запишите соответствующие равенства или неравенства. Какие объекты, представленные на данных рисунках, еще можно сравнить? Составьте все возможные математические записи, позволяющие отобразить отношения равенства или неравенства количества листьев на разных ветках [1, 65].
Рис. 2
4) Запишите сколько котят в каждой корзинке. Перепишите получившиеся числа в порядке их
возрастания. Перепишите получившиеся числа в порядке их убывания.
Рис. 3
Сравните числа, обозначающие количество котят в крайних корзинах. Запишите равенство
или неравенство, поставив справа число, обозначающее количество котят в левой корзине.
Сравните числа, обозначающие количество котят в корзинах, соседних со средней корзиной. Запишите равенство или неравенство, начиная с числа, обозначающего количество котят в
корзине, расположенной слева от средней корзины.
На сколько котят в одной из этих двух корзин больше, чем в другой?
Сравните общее число котят в двух крайних корзинах с общим числом котят в корзинах
между ними.
Запишите к данному рисунку другие равенства и неравенства: сравните количество котят с
разным окрасом.
Итак, впервые с понятием «неравенство» ученики знакомятся в первом классе. В течение
первых двух лет обучения младшие школьники овладевают умением читать и записывать неравенства вида:
а > в, а < в; а + в > с, а + в < с или а – в < с, а – в > с и т.п., а также подбирать натуральные решения для неравенств вида * > d , * < d.
В этот период младшим школьникам необходимо систематически выполнять задания,
направленные на:
– овладение умением работать с неравенствами;
– развитие логического мышления на материале работы с неравенствами;
– формирование умения аргументировано обосновывать свой вариант решения;
– развитие математической речи и др.
С этой целью рассматриваются задания типа:
1. Поставьте знак сравнения в выражениях, в которых а – натуральное число [2, 13].
а...10 + а
7 – а...7
а...0
87 + а...а + 87
68 – а...58 – а
35 + а...а + 15
97
Вестник ТГПИ
Естественные науки
29 + а...43 + а
а – 17...а – 7
а + а....а
2. В каждом неравенстве оба выражения должны быть или суммами или разностями. Во всех возможных случаях поставьте знаки действий так, чтобы получилось верное неравенство.
47...12 > 47...1
56...33 < 56...23
43...41 > 43...3
74...13 > 86...13
65...2 > 35...5
20...20 < 50...20
Подчеркните неравенства, в которых знак действия можно заменить другим и снова получатся верные неравенства.
3. Поставьте знаки сравнения таким образом, чтобы получились верные неравенства:
* ... **
2* ... 26
99 ... *8
*2 ... *4
В процессе выполнения задания первого столбика учащиеся рассуждают, примерно, так:
любое однозначное число меньше любого двузначного числа и в случае *...** следует поставить
знак «меньше», то есть * < ** .
Размышляя над нахождением решения для второго случая, учащиеся рассуждают так:
наибольшее двузначное число в натуральном ряду чисел это число 99. Значит, оно больше любого
другого двузначного числа и, следовательно, 99 > *8.
Осуществляя выбор нужного знака отношения для третьего случая, младшие школьники
приходят к выводу: цифра, закрытая звездочкой, в значительной степени влияет на выбор знака
сравнения. Поэтому, в случае 2*...26 нельзя поставить знака сравнения. Если в случае 2*...26 вместо звездочки стоит цифра большая, чем 6, то следует использовать знак ">", а если вместо
звездочки стоит цифра 6, то следует поставить знак равенства. Знак "<" следует поставить,
когда звездочка скрывает одну из цифр 0,1,2,3,4,5.
Аналогичное объяснение возможно для случая: *2...*4.
На основе полученных знаний в третьем классе происходит:
– знакомство с решением неравенств с переменной величиной;
– рассматривается поиск общих решений двух простых неравенств с одной и той же переменной
(система неравенств);
– происходит знакомство с двойными неравенствами.
Сначала младшие школьники сталкиваются с неравенствами, у которых одна часть представлена выражением с переменной. Выполняя такие задания, учащиеся устанавливают разницу
между решениями такого неравенства и похожего на него неравенства вида: а>30.
В процессе этой работы происходит знакомство с одним из способов решения неравенства –
на основе решения соответствующего ему уравнения. Выбор именно этого способа продиктован
тем, что он не требует смены знака отношения между частями неравенства в случаях, когда переменная является вычитаемым или делителем.
Решение неравенств через решение соответствующих уравнений состоит из двух этапов:
– определение значения переменной, при котором левая часть его равна правой (решение уравнения);
– определение множества чисел, при которых данное неравенство верно.
Второй этап может быть выполнен разными способами. Учащиеся либо используют полученные к этому времени знания об изменении значений выражений при изменении одного из компонентов арифметических действий, либо практически определяют произвольные числа – большие корня уравнения и меньшие него. Подставив выбранные числа в неравенство, устанавливают
верность выбора.
Рассмотрим оба способа на примере неравенства, решение которого приведено [1, 45]:
1. Как найти решения неравенства х – 12 > 17, не используя более простое неравенство х > 17.
2. Какие числа можно подобрать вместо переменной?
3. Выберите несколько чисел больших 29 и проверьте правильность своего выбора. Затем проверьте
несколько чисел, меньших, чем 2. Возможно, ли в этом случае получить верные равенства?
Первый способ решения.
х – 12 = 17
98
Раздел III
Теория и методика обучения математике
х = 17 + 12
х = 29
При х = 29 левая часть неравенства равна правой, а она должна быть больше нее. Так как
переменная является уменьшаемым, то значение разности увеличивается при его увеличении. Значит, переменная должна быть больше числа 29.
Второй способ решения:
Возьмем, например, числа 20 < 29 и 30 > 29 и подставим каждое из них в неравенство.
20 – 12 = 8 – получили число, меньшее 17. Значит, числа, меньшие 29, не подходят. Далее
находим, что 30 – 12 = 18 – получили число, большее числа 17. Значит, числа, большие 29, являются решениями неравенства.
Другой линией расширения знаний о неравенствах является установление общих решений
двух неравенств. То есть знакомство с системами неравенств[1,53], которое происходит в процессе
рассмотрения заданий типа:
1) Запишите подряд не меньше 5 натуральных чисел, которые будут решениями каждого неравенства:
х > 15, х < 19.
2) Проверьте, у вас получилась такая запись:
Для х > 15 х = 16,17,18,19,20….
Для х < 19 х = 18,17,16,15.14….
3) Найдите и подчеркните в рядах одинаковые числа. Можно сказать, что это общие решения данных неравенств?
4) Рассмотрите системы неравенств. Найдите натуральные числа, которые будут являться решениями данных неравенств.
а < 20
в > 26
а > 17
в < 29
Заметим, что введение в начальный курс математики алгебраического материала способствует:
– более полному раскрытию арифметических действий, что позволяет усваивать новые математические факты;
– овладению математическими методами решения алгебраических задач;
– накоплению определенного опыта в решении равенств и неравенств;
– освоению эвристических приемов рассуждений и интеллектуальных умений, связанных с выбором стратегии решения;
– расширению и уточнению представлений об окружающем мире средствами учебного предмета «
Математика»;
– формированию умения самостоятельного, творческого применения полученных знаний в повседневной жизни.
Таким образом, в результате рассмотрения алгебраического материала учащиеся должны:
– уметь различать знаки отношений;
– сравнивать числа и числовые выражения, выражения с переменной;
– читать числовые выражения и выражения с переменной;
– находить значения числовых и буквенных выражений;
– решать простейшие уравнения, как методом подбора, так и на основе зависимости между компонентами и результатом арифметических действий и др. [3, 184].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика. 3 класс. Самара, 2008.
2. Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика. Тетрадь для второго класса. Самара, 2010.
3. Теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе / под ред. А.В. Тихоненко,
М.М. Русиновой и др. Ростов н/Д., 2008.
99
Вестник ТГПИ
Естественные науки
А.В. Тихоненко, Г.А. Семенова
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
В СИСТЕМЕ НАЧАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, то есть – логические законы. Существуют определенные законы развития природы, общества, любой сложной
системы и, конечно, законы мышления. Человек может не всегда осознавать их, но в практической
деятельности всегда следует им. Следование законам мышления помогает жить в обществе, общаться с людьми, понимать их и быть понятыми.
Логика – одна из древнейших наук, ее основателем считается величайший древнегреческий
философ Аристотель (384-322 гг. до н. э.), который первым систематизировал формы и правила
мышления, обстоятельно исследовал категории «понятие» и «суждение», подробно разработал
теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления [1, 7].
В Древней Греции, Индии, в Древнем Риме законы и формы правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства. Применение логических приемов рассуждения позволяло
ораторам более убедительно доносить до аудитории свою точку зрения, склоняя тем самым слушателей на свою сторону. Однако уже тогда, чтобы добиться победы в споре, возникали попытки
использования приемов рассуждения, нарушающих логические законы мышления. В логике, со
времен Аристотеля, известны уловки и ухищрения, с помощью которых маскируется заведомо
ошибочное рассуждение. Например, «Эта собака имеет детей, значит, она отец. Но это твоя собака, значит, она твой отец. Ты ее бьешь, значит – ты бьешь своего отца»; «Эта статуя – художественное произведение. Но она твоя. Значит, она есть твое художественное произведение»; «Знаешь ли ты этого закрытого человека? Нет. Это твой отец. Следовательно, ты не знаешь своего отца». Эти рассуждения по форме основаны на внешнем сходстве явлений, на преднамеренно неправильном подборе исходящих положений, на двусмысленности слов и на подмене понятий.
Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам науки, можно увидеть, что методы логики
берут свое начало в античной логике, которую принято называть формальной. Ее суть заключается в
том, что правильность рассуждения определяется только логической формой или структурой и не зависит
от конкретного содержания входящих в него простых высказываний.
С античного периода началось развитие формальной логики, философии и математики. Так,
Рене Декарт (1596–1650) считал:
– человеческий разум может постигнуть истину, если будет исходить из достоверных положений;
– сложные идеи сводить к простым идеям, переходя от известного и доказанного к неизвестному,
избегая каких – либо пропусков в логических звеньях исследований.
Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении – логике руководствоваться общепринятыми в математике принципами.
Продолжение развития логики начинается с появления математической или символической
логики. Основоположником математической логики считают великого немецкого математика и
философа Готфрида Вильгельма Лейбница (1646–1716 гг.). Он пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические, полагая, что простые рассуждения
можно заменить действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Г.В. Лейбниц также
обосновал необходимость создания универсального логического языка. По его мнению, язык логики высказываний, в отличие от естественного, мог бы точно и однозначно выражать различные
понятия и отношения. Язык логики мог быть своего рода алгеброй человеческого мышления, позволяющей получать из известных истин новые истины путем точных вычислений. Г. Лейбниц высказал только идею создания языка логики высказывания. В середине XIX века ирландский математик и логик Джордж Буль исследовал закономерности выводного знания – знания полученного
из ранее установленных и проверенных истин, без обращения в данном конкретном случае к опыту, практике, а только в результате применения законов и правил логики к имеющимся истинным
мыслям [2, 289]. Д. Буль вывел для логических построений особую алгебру, алгебру логики,
100
Раздел III
Теория и методика обучения математике
являющуюся первой системой математической логики, в которой алгебраическая символика
применялась к логическим выводам в операциях с понятиями, которые рассматривались со
стороны их объемов. В отличие от обычной логики в ней символами обознач аются не числа,
а простые и сложные высказывания.
Алгебра логики в ее современном изложении занимается исследованием операции с высказываниями, то есть с предложениями, которые характеризуются только одним качеством – истинностным значением (истина – И, ложь – Л).
Современная математическая логика – это новая ступень в развитии формальной логики высказываний, представляющая собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики, так и вне нее.
Основными законами логики высказываний являются: закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего. Значение логической правильности мышления состоит в том,
что она является необходимым условием гарантированного получения истинных результатов в
решении задач, которые возникают в процессе познания. Изучение математической логики способствует:
– воспитанию культуры логического мышления;
– осознанию структуры математической науки, ее фундаментальных понятий: аксиом, доказательств, теорем;
– формированию ясности мысли, повышению требовательности к себе;
– обоснованности аргументации в процессе доказательства.
Поэтому, достаточно важным является включение элементов логики высказываний в
начальный курс математического образования. Изучая элементы логики высказываний, младшие
школьники учатся видеть логические связи в окружающем нас мире.
Одной из главных задач начального обучения вообще, математике в частности является развитие у младших школьников логического мышления. Такое мышление проявляется в том, что
при решении задач ученик соотносит суждение о предметах, отвлекаясь от особенностей их
наглядных образов. Рассуждая, ученик делает выводы. Например, учащиеся второго года обучения, соотнося суждения: «Все числа, которые делятся на 2, называются четными», «14 делится
на 2». Делают заключение: «14 – четное число».
Необходимым условием успешного усвоения учебного материала не только в начал ьных классах, но и в средней, старшей школах, особенно при изучении математики, физики,
химии и др. является:
– умение мыслить логически;
– выполнять сопоставление суждений по определенным пр авилам;
– делать умозаключения без наглядной опоры.
Формирование и развитие основных логических структур мышления происходит в возрасте от 5 до 11 лет, в период неформального обучения ребенка и его обучения в начальной
школе. Логические упражнения позволяют на доступном для младшего школьника математ ическом материале, причем с опорой на жизненный опыт, строить правильные суждения без
предварительного теоретического освоения учащимися основных законов и правил логики.
Правильность оперирования суждением школьниками должна обязательно анализироваться и
контролироваться учителем, который должен обладать знаниями элементов теории множеств,
математической логики для того, чтобы верно и быстро оценивать успешность протекания
умственной деятельности младших школьников. Под руководством учителя, путем решения
системы заданий, учащиеся практически знакомятся с применением законов и основных правил логики высказываний.
Анализ существующих программ обучения математике, соответствующих им учебников, показал, что только в программе «Начальная школа XXI века» в явном виде рассматриваются законы логики высказываний: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация. Вводятся логические связки,
соответствующие определения высказываний, составляются для них таблицы истинности.
Заметим, что формирование основ логики высказывания по программе начинается в первом
классе, когда решаются задания типа: «Верно, или неверно, что 9 + 0 = 9, 9 – 0 = 9, 1 – 0 = 0, 0 + 1
= 0» и систематически продолжается в течение обучения в начальной школе.
101
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Для усвоения младшими школьниками материала, связанного с развитием логики мышления, необходимо постоянно включать в каждый урок элементы логики высказывания.
Для того, чтобы понять методику преподавания математики, а именно процесс формирования основ логики высказываний, проанализируем учебники математики по программе «Начальная
школа XXI века».
Отметим, что в процессе обучения младших школьников математике большую роль играет
учитель, но немаловажное значение имеет и учебник или то учебное пособие, с которым ученик
имеет возможность самостоятельно работать, то есть тетрадь на печатной основе.
Изучение основ логики высказываний в явном виде по программе «Начальная школа
XXI века» начинается в третьем классе. На эту тему выделен раздел «Высказывание», кот орый является, по сути, основой формирования и развития логики мышления младших
школьников.
Однако подготовка к изучению элементов логики высказываний происходит в первом классе. С этой целью даются задания, типа:
а) прочитайте высказывания о числах [3, 66]:
Рис. 1
Рис. 2
В заданиях на основании графов (рис. 1), учащиеся составляют высказывания, касающиеся
отношений между числами. Например, составляют высказывание: «12 меньше, чем 18, а 18 больше, чем 12»;
б) составьте и прочитайте верные высказывания (рис. 2) [3, 85];
в) верно ли что:
– 12 больше трех на 9;
– с 8 ч утра до 15 ч того же дня прошло 6 ч;
– сумма семи и восьми равна 16;
– 16 меньше семи на 9;
г) из ящика с зелеными и желтыми грушами, не глядя, взяли 2 груши, верно ли, что эти груши будут
обязательно одного цвета? [3, 89].
Во втором классе продолжается работа по изучению основ логики высказываний.
Учащиеся выполняют задания типа:
Сравните числа попарно.
а) прочитайте каждое высказывание о парах чисел.
Рис. 3
В этих заданиях по данному графу отношений между числами (рис. 3) нужно сформулировать высказывание. Например, 90 больше, чем 35; 35 больше, чем 16. Следовательно, 90 больше,
чем 16;
б) прочитайте высказывание: «30 меньше 35», «45 больше 35», «30 меньше 45». Изобразите
эти высказывания с помощью графа так, чтобы стрелки были одного цвета [4, 15];
в) сравните попарно числа 38, 64, 70. Составьте высказывания со словом «больше» и изобразите их с помощью графа [4, 46];
102
Раздел III
Теория и методика обучения математике
г) прочитайте все высказывания, изображенные на графах (рис. 4) [4, 83].
Образец:
Пять больше трех.
Двадцать меньше семидесяти
Рис. 4
В третьем классе перед изучением темы «Высказывание» рассматриваются задачи с геометрическим содержанием, в которых необходимо определить верно или неверно предложение.
Например: «Петя говорит, что квадрат – это прямоугольник, поэтому диагональ любого прямоугольника есть его ось симметрии. Верно высказывание Пети?»
В теме «Высказывание» рассматривается понятие «высказывания» и связанные с ним понятия «верное высказывание», «неверное высказывание», дается определение высказывания, как
предложения, о котором можно точно сказать, верно оно или неверно [5, 55].
Выполняя систему заданий, учащиеся приходят к выводу, что не всякое предложение является высказыванием, поскольку невозможно сказать, верное оно или неверное. Устанавливают,
что вопросительные и восклицательные предложения, типа, «Который час?», «С Новым годом!»,
а также предложения, истинность которых нельзя точно проверить в данный момент, типа: «Сегодня будет дождь», не являются высказываниями.
Позднее, рассматривая предложение с переменной, учащиеся осознают, что о предложении,
содержащим переменную, нельзя сказать, верно, оно или неверно, пока не подставлено вместо
переменной конкретное значение. Делают вывод: предложение с переменной высказыванием не
является. Для закрепления означенных понятий рассматривают задания типа:
а) Верно или неверно каждое высказывание?
б) Прочитайте предложения. Какие из них явМосква – столица России.
ляются высказываниями?
В феврале 30 дней.
Если 3 умножить на 8, получится 32.
Сосна – хвойное дерево.
48 : 6 = 8.
1 – не самое маленькое число.
Который час?
Пять больше двух.
Кто сегодня отсутствует?
Неверно, что 9 + 6 = 15.
Я – отличник.
Стрекоза – насекомое.
18 – 6 > 3.
В году 10 месяцев.
Соблюдайте тишину!
15 в 3 раза больше 5.
в) Приведите пример: 1) высказывания; 2) верного высказывания; 3) неверного высказывания; 4) предложения, которое не является высказыванием [5, 55].
Знания данного материала используются при изучении последующих тем. Например, изучая
тему «Числовые неравенства и равенства», учащиеся знакомятся с основными понятиями темы.
Для этой цели предлагаются два столбца заданий:
3+4=7
9>7
8 · 5 = 45
6 <10
12 – 9 = 3
8 · 4 > 48
18 : 3 = 9
7 + 5 <10
Как называются высказывания каждого столбца, почему? Какие из них верные, а какие неверные? Выполняя задания, учащиеся оперируют терминами: «верное равенство», «неверное равенство», «верное числовое неравенство», «неверное неравенство».
В третьем классе также рассматривают систему заданий, типа:
1. Прочитайте равенства (неравенства), выпишите только верные;
2. Придумайте и запишите какое-нибудь верное равенство (неравенство), какое-нибудь высказывание;
103
Вестник ТГПИ
Естественные науки
3. Запишите в виде равенства каждое высказывание.
Рассматривая тему «Предложение с переменной», учащиеся читают: «о предложении „х –
животное” нельзя сказать, верно оно или неверно, пока не подставлено вместо переменной ее
значение» [5, 62].
Выполняя последующие задания, учащиеся осознают, что если в предложение „х – животное” вместо буквы х подставить значения: лягушка, паук, орел, яблоня и другие, то соответственно
получаются верные или неверные высказывания.
Задания, типа: «Какие значения может принимать переменная х в равенстве х + 5 = 9? Назовите несколько таких значений. При каком значении х получается верное равенство? Назовите
несколько значений х, при которых равенство неверно»; «Какие значения может принимать переменная х в неравенстве х + 5 < 9?
Назовите все значения х, при которых получается верное неравенство. Назовите хотя бы одно значение х, при котором неравенство неверно» [5, 63], приводят учащихся к осознанию нового понятия «уравнение», к закреплению понятий «верное равенство», «неверное равенство».
Рассматривая записи: 24 : 3 = 8, х + 4, х = 3, х + 5 = 9, 10 – 7 = 3, учащиеся приходят к выводу, что х + 5 = 9 является уравнением. Поясняют: в нем есть переменная х и только при единственном значении х = 4, оно является равенством.
Итак, для осознания понятия «уравнение» учащиеся должны понимать:
1) Уравнение – это равенство, (то есть в записи уравнения обязательно должен быть знак равенства «=»);
2) В нем должна быть переменная, записанная какой-либо буквой.
В результате двух данных посылок, учащиеся приходят к заключению:
3) Следовательно, уравнение – это равенство с переменной.
Таким образом, в первых трех классах учащиеся получили необходимую теоретическую и
практическую подготовку по изучению логико-математических понятий и отношений. Эта подготовка создала прочную базу для:
– обобщения, углубления и систематизации важнейших вопросов содержания обучения;
– перехода к завершающему этапу обучения – формализации приобретенных учащимися знаний и
умений.
В четвертом классе продолжается работа по закреплению полученных знаний. При изучении программного материала предлагаются задания, выполняя которые, учащиеся должны вспомнить материал, изученный в предыдущих классах. Например, верно ли высказывание: «если один
из множителей равен 1, то произведение равно другому множителю». Учащимся, по аналогии,
предлагается сформулировать высказывание о произведении любого числа и числа 0.
Линия развития логико-математических понятий и отношений в 4 классе существенно обогащается теоретическими знаниями и новыми практическими умениями. Вводятся общепринятые
термины логики высказываний: истина, обозначаемая на письме буквой И и ложь, обозначаемая
буквой Л. Вводятся обозначения высказываний заглавными буквами латинского алфавита. Если
некоторое высказывание А истинно, то записывают так: А = И, если А ложно, то пишут: А = Л. С
помощью союзов и, или, если…, то, а также словосочетания неверно, что, учащиеся составляют
сложные высказывания, типа:
A B
(А и В);
A B
(А или В);
A  B (Если А, то В; или из
А следует В); A , которое читается так: не А; неверно, что А.
Так, выполняя задания типа:
а) Прочитайте истинные высказывания:
1. Орел – птица;
2. В неделе – 7 дней;
3. Февраль – зимний месяц;
4. Слово нос – существительное. Каждое из этих высказываний замените другим высказыванием
так, чтобы оно начиналось словами «Неверно, что». Какие высказывания получились: истинные
или ложные?
104
Раздел III
Теория и методика обучения математике
б) Прочитайте ложные высказывания:
1. В любом четырехугольнике три вершины;
2. Тонна – единица длины;
3. Сумма 45 и 10 равна 54;
4. Параллельные прямые пересекаются. Каждое из этих высказываний замените другим высказыванием так, чтобы оно начиналось словами «Неверно, что». Какие высказывания получились:
истинные или ложные? [6, 72], учащиеся приходят к выводу: любое высказывание можно обозначить прописной буквой латинского алфавита. Например, если высказывание «В марте 30
дней» обозначить буквой А, то высказывание «Неверно, что в марте 30 дней» обозначают так:
A , которое называют отрицанием высказывания А.
Система предложенных заданий учебника и рабочей тетради разного уровня трудности,
позволяет учащимся осознать вывод: если высказывание А истинно, то его отрицание
A
ложно;
если высказывание А ложно, то его отрицание A истинно.
На основании сделанного вывода составляется таблица (см. табл. 1).
Таблица 1
А
A
И
Л
Л
И
Анализ учебника «Математика 4» показал, что в нем предложены задания двух типов. Первый тип представлен заданиями, в которых даны два высказывания: нужно определить, истинно
или ложно каждое из них, затем составить сложное высказывание, используя ту или иную логическую связку; определить истинность составленного сложного высказывания.
Например, а) Даны высказывания А и В.
1. А: «Буква Э – гласная».
В: «Буква Э – согласная».
2. А: «В сутках 12 часов».
В: «В сутках 36 часов».
3. А: « Число 6 делится на 2».
В: «Число 6 делится на 3».
Истинно или ложно высказывание А? Высказывание В? Составьте сложное высказывание
А  В. Истинно оно или ложно?
б) Из каких двух высказываний составлено сложное высказывание?
1. В одном часе 100 минут или 60 минут.
2. В 1 класс принимают детей с шести или с семи лет.
3. Март – первый месяц весны или лета.
4. Слоны обитают на северном или на южном полюсе. Истинно ли хотя бы одно из двух высказываний, составляющих сложное высказывание? Истинно или ложно каждое из сложных высказываний? [6, 74].
Результаты выполнения предложенных заданий позволяют сделать вывод: сложное высказывание А  В истинно, если истинно хотя бы одно из двух высказываний. В остальных случаях оно ложно. Сделанный вывод приводит к составлению таблицы истинности (см. табл. 2).
Таблица 2
А
В
А В
И
И
И
И
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Таблица 3
А
И
И
Л
Л
В
И
Л
И
Л
АВ
И
Л
Л
Л
105
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Выполните задания, типа: Прочитайте каждое высказывание и определите, истинное оно
или ложное.
1. Береза – лиственное дерево.
2. Береза – хвойное дерево.
Составьте из этих двух высказываний новое, сложное высказывание с помощью союза «и». Например, береза лиственное и хвойное дерево.
Истинное или ложное высказывание с союзом «и» получилось? Поясните свой ответ, учащиеся приходят к обобщению: сложное высказывание А  В истинно, если истинны оба составляющих
его высказывания. В остальных случаях оно ложно. Сделанный вывод позволяет прийти к таблице
истинности для высказывания А  В (см. табл. 3)
Второй тип представлен заданиями, в которых дано составное высказывание; нужно в нем
выделить два простых высказывания, определить их истинность; затем решить вопрос об истинности данного составного высказывания.
Например. Из каких двух высказываний состоит сложное высказывание?
1. Корнем уравнения х + 5 = 7 является число 2 и число 3.
2. Зайцы едят морковку и капусту.
3. Листья с деревьев опадают весной и осенью.
4. В четырехугольнике 3 вершины и 3 стороны. Истинно ли хотя бы одно из двух высказываний, составляющих сложное высказывание? Истинно или ложно каждое из сложных высказываний? [6, 76].
Наибольшие затруднения возникают у младших школьников в понимании математического
смысла логической связки «если…, то». Сложное высказывание, составленное с помощью связки
«если…, то» считается ложным только в случае, когда посылка (первое высказывание) истинно,
а заключение (второе высказывание) ложно. В остальных случаях это высказывание истинно.
Младшим школьникам трудно понять, что составное высказывание истинно даже тогда, когда из
ложного высказывания следует ложное. В связи с этим отметим, что разработчики программы «Начальная школа XXI века» предлагает такие практические задания высказываний, содержащих логическую
связку «если…, то», которые не вызывают у учащихся сомнений при определении их истинности или
ложности.
Например, а) Прочитайте высказывания А и В. Выясните, истинные они или ложные. Составьте сложное высказывание А  В с помощью слов «если …, то». Как вы думаете, истинное или ложное высказывание получилось?
1) А: Орел – птица.
В: Орел – летает.
2) А: Число 4720 – четырехзначное.
В: После зачеркивания нуля в числе 4720 получится двузначное число;
3) А: Петя утверждает, что сегодня на уроке математики получил 5.
В: Петя был на уроке математики.
б) Из каких простых высказываний состоит сложное высказывание? Определите, истинное или
ложное каждое из них. Пользуясь таблицей (см. табл. 4), определите, истинно или ложно высказывание
А  В.
Таблица 4
А
В
И
Л
Л
И
И
И
Л
Л
А В
И
И
И
Л
1). Если крокодил плавает, то он – рыба.
2). Если в четырехугольнике АВСК все углы прямые, то четырехугольник АВСК – прямоугольник.
106
Раздел III
Теория и методика обучения математике
3). Если 18 делится на 2 и на 3, то оно делится на 5.
4). Если 2 + 3 = 6, то 6 > 3 [6, 80].
Предложенная таблица облегчает выполнение заданий. Учащиеся устанавливают, в каких
случаях сложное высказывание истинное, а в каких ложное.
Выполненные задания и предложенная таблица позволяют сделать вывод: сложное высказывание, составленное с помощью слов «если…, то» ложно только в одном случае: когда из истины следует ложь.
В заключении следует отметить, что линия развития логико-математических понятий, в
частности, элементы логики высказываний в программе «Начальная школа XXI века» вводится
постепенно.
Схема построения каждой новой темы такова:
– предварительное рассмотрение практических заданий, способствующих осознанию новых теоретических знаний;
– включение теоретических сведений, отраженных в учебнике;
– рассмотрение практических заданий, основанных на вновь полученных теоретических сведениях;
– первичное закрепление новой темы;
– повторение и закрепление раннее пройденного материала.
Последовательность предложенных заданий, включенных в учебник и рабочие тетради,
предполагает достижение различных методических целей, направленных на:
– подготовку младших школьников к введению нового материала и облегчение его восприятия;
– формирование логико-математических понятий;
– отработку формируемых умений и навыков;
– обеспечение повторения и закрепления раннее пройденного материала на более высоком уровне
трудности;
– содействие развитию математического мышления младших школьников.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихоненко А.В., Трофименко Ю.В. Математика. Ч. 1. Ростов н/Д., 2010.
2. Кондаков Н.И. Логический словарь. М., 1971.
3. Рудницкая В.Н. Математика: учебник для учащихся 1 кл. общеобр. учреждений. М.: Вентана-Граф, 2004.
4. Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математика: учебник для учащихся 2 кл. общеобр. учреждений. М..: Вентана-Граф, 2004.
5. Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математика: учебник для учащихся 3 кл. общеобр. учреждений. М..: Вентана-Граф, 2004.
6. Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математика: учебник для учащихся 4 кл. общеобр. учреждений. М.: Вентана-Граф, 2004.
107