Урок №2

Урок №2
Алгебра высказываний. Логические операции.
(урок комбинированный, включающий повторение предыдущей темы,
введение нового материала и закрепление)
Цель урока: Сформировать у учащихся понятия: логическое высказывание, логические
операции.
Задачи урока:
- повторить основные материалы 1 урока (формы человеческого мышления: понятие,
суждение, умозаключение);
- познакомить с определением алгебры высказываний;
- познакомить с основными логическими операциями.
Требования к знаниям и умениям:
Учащиеся должны знать:
- что изучает алгебра высказываний и что является объектом изучения алгебры
высказываний;
- значения понятий: логическое высказывание, логические операции;
- таблицы истинности логических операций.
Учащиеся должны уметь:
- приводить примеры логических высказываний;
- определять значения логических высказываний;
- называть логические операции и строить для них таблицы истинности.
Этапы урока
Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин.
Повторение. 7мин.
Проверка домашнего задания. 5 мин.
Введение нового материала. 20 мин.
Закрепление. 7 мин.
Подведение итогов урока. 3 мин.
Постановка домашнего задания. 1 мин.
Ход урока
II. Повторение.
1) Повторение основных определений и понятий 1 урока:
 Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные признаки объектов.
o Содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в
этом понятии.
o Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат
признаки, составляющие содержание понятия.
Привести примеры.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.


Суждение (высказывание, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо
утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.
o Содержание суждения – это то, о чем в нем идет речь, его смысл.
o Форма суждения – это его строение, способ связи его составных частей.
Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких
суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получаем
суждение-заключение (вывод умозаключения)
- Определите, какие из перечисленных фраз являются высказываниями и почему?
1. Как хорошо быть генералом!
1
2. Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
3. Познай самого себя.
4. Все медведи живут на севере.
5. Революция не может быть мирной и бескровной.
6. Талант всегда пробьёт себе дорогу.
7. Сумма углов треугольника равна 1800.
(Примеры 1 и 3 не являются высказываниями, т.к. являются восклицательным и
побудительным предложениями соответственно).
- Теперь определите, простые или составные суждения даны.
(В 5 примере можно разбить на два простых утверждения, значит, оно составное.)
- Определите значения высказываний (истина или ложь).
На 6 примере убеждаемся, что содержание высказывания часто субъективная
характеристика. Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне
науки логики. Например, опираясь на свой жизненный опыт, мы присваиваем определённое
значение суждению 6.
Русские пословицы как в примере 4 будут всегда истинны, т.к. опираются на жизненный
опыт целых поколений людей.
В примере 7 значение высказывания решается в курсе геометрии, а в 5 утверждении в
курсе истории.
Результаты оформляются в виде следующей таблицы:
Фразы
Высказыв
ания
Истина
или ложь
Простые
высказывания
1. Как хорошо быть генералом!
2. Без труда не выловишь и
рыбку из пруда.
3. Познай самого себя.
Нет
Да
Истина
Да
4. Все медведи живут на севере.
5. Революция не может быть
мирной и бескровной.
6. Талант всегда пробьёт себе
дорогу.
7. Сумма углов треугольника
равна 1800.
Да
Да
Ложь
Истина
Да
Нет
Да
Ложь
Да
Да
Истина
Да
Нет
На прошлом уроке мы говорили, что каждое высказывание состоит из трех элементов:
субъекта, предиката и связки. Субъект (S) - понятие о предмете. Предикат (P) - понятие о
свойствах и отношениях предмета. Связка - отношение между субъектом и предикатом.
Определите, что в простых высказываниях является субъектом, предикатом и связкой.
Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
P
S
Все медведи живут на севере.
S
P
Талант всегда пробьёт себе дорогу.
S
P
Сумма углов треугольника равна 1800.
2
S
P
3
III. Проверка домашнего задания:
Карточка для домашней работы
1.Из приведенных простых высказываний составьте и запишите не менее 3-ёх
составных высказываний:
1) Поедем на дачу.
2) Хорошая погода.
3) Плохая погода.
4) Мы поедем на пляж.
5) Антон приглашает нас в театр.
2. Выведите, если это возможно, заключение из каждой пары посылок:
А) Все птицы – животные.
Все воробьи – птицы.
Б) Некоторые уроки трудны.
Всё, что трудно, требует внимания.
В) Ни один добрый поступок не является незаконным.
Всё, что законно, можно делать без страха.
3.Оцените правильность следующих рассуждений:
А) Тем, кто лыс, расчёска не нужна.
Ни одна ящерица не имеет волос.
Следовательно, ящерицам расчёска не нужна.
Б) Всем, кто отлично закончит 3 четверть, подарят компьютер.
Ты закончил 3 четверть без троек.
Значит, готовься получить в подарок компьютер.
VI. Объяснение нового материала
Алгебра высказываний
Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке Г.В.Лейбниц.
Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и
высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила
оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное
высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать
посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не
найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому
исчислению.
Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде
всего благодаря трудам Дж.Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику
законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ
записи высказываний в символической форме.
В развитии математической логики приняли участие многие выдающиеся математики и
логики конца XIX и XX веков, в том числе К.Гедель (австр.), Д.Гильберт (нем.), С.Клини
(амер.), Э.Пост (амер.), А.Тьюринг (анг.), А.Чёрч (амер.), А.Н.Колмогоров, П.С.Новиков,
А.А.Марков и многие другие.
4
Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную
научную область, которая находит широкое применение как внутри математики
(исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических
устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).
Алгебра логики (алгебра высказываний) - раздел математической логики, изучающий
строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их
истинности с помощью алгебраических методов.
Таким образом, объектами изучения алгебры логики являются высказывания.
Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение,
относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Обозначать высказывания будем большими латинскими буквами. Если высказывание А
истинное, то будем писать "А = 1" и говорить: "А - истинно". Если высказывание Х ложно,
то будем писать "Х = 0" и говорить "Х ложно".
ПРИМЕРЫ
Обозначение
Высказывание
Значение
А=
«Аристотель – основоположник логики»
=1(истинно)
В=
{Все ученики любят информатику}
=0(ложно)
С=
Некоторые ученики любят информатику
=1
D=
На яблонях растут бананы
=0
Е=
Посмотри в окно
Не
является
высказыванием
G=
Число Х не превосходит единицы
Не
является
высказыванием
Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры
логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника
равно 180о» устанавливается геометрией, причём в геометрии Евклида это высказывание
является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.
Алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний. Её интересует
только один факт – истинно или ложно данное высказывание. Такое суждение интересов
даёт возможность изучать высказывания алгебраическими методами.
5
Логические операции
В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (как и в
алгебре действительных чисел определены операции сложения, деления, возведения в
степень над числами). Мы рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них:
 Инверсия (логическое отрицание)
 Конъюнкция (логическое умножение)
 Дизъюнкция (логическое сложение)
 Импликация (логическое следование)
 Эквивалентность (логическое равенство)
1) Инверсия (логическое отрицание)
Инверсия (логическое отрицание) – это логическая операция, которая каждому данному
высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, которое истинно, если данное
высказывание – ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.
Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически
проиллюстрированы с помощью кругов Эйлера, названных в честь великого математика,
физика и астронома Леонарда Эйлера (1707-1781)
Обозначение инверсии: А ; неА; ¬А; NOT А
Таблица истинности:
Диаграмма Эйлера:
А
А
0
1
1
0
Образуется из простого высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или
использованием оборота речи "НЕВЕРНО, ЧТО ...".
Пример: А= "На улице дождь"
А = "Неверно, что на улице дождь"
Задание 1. Приведите пример высказывания и его отрицания.
Определите истинность каждого.
Итак, инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно.
2) Конъюнкция (логическое умножение)– это логическая операция, ставящая в
соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Обозначение конъюнкции: А&В, АandВ, АВ, А•В.
Таблица истинности:
Таблица истинности:
Диаграмма Эйлера:
А&В
А
В
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И»
Пример: А= "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А&В = "На улице дождь и небо голубое"
6
Задание 2. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание
используя логическую связку "И".
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний
Итак, конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных
высказывания истинны.
3) Дизъюнкция (логическое сложение) – это логическая операция, ставящая в соответствие
каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний
истинно.
Обозначение дизъюнкции: А V В, А OR В, А+В.
Таблица истинности:
А
В
АVВ
0
0
0
0
1
1
1
0
1
Диаграмма Эйлера:
1
1
1
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ»
Пример: А= "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А V В = "На улице дождь или небо голубое"
Задание 3. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание
используя связку "ИЛИ".
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.
Итак, дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно
из двух исходных высказываний истинно.
4) Импликация (логическое следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие
каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе
высказывание (следствие) ложно.
Обозначение дизъюнкции: А  В.
Таблица истинности:
АВ
А
В
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
Диаграмма Эйлера:
1
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ …, ТО …»
Если клятва дана, то она должна выполняться.
Если число делится на 9, то оно делится и на 3.
Пример: А= " На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А  В = "Если на улице дождь, то небо голубое"
7
Задание 4. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание,
используя связку "ЕСЛИ, ТО...".
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний
Итак, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое
высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.
5) Эквивалентность (логическое равенство) – это логическая операция, ставящая в
соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны
или одновременно ложны.
Обозначение дизъюнкции: А  В, А = В, А≡В.
Таблица истинности:
А
В
0
0
0
1
1
0
1
1
Диаграмма Эйлера:
АВ
1
0
0
1
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…ТОГДА И
ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»
Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900
Все законы математики, физики, все определения – эквивалентность высказываний
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.
Пример: А= "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А  В = "На улице дождь тогда и только тогда, когда небо голубое"
Задание 5. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание
используя связку речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.
Итак, эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба
исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
1.
2.
3.
4.
VI. Закрепление изученного.
Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями:
 Какого цвета этот дом?
 Число Х не превосходит единицы.
 4х+3.
 Посмотрите в окно.
 Пейте томатный сок!
 Эта тема скучна.
 Вы были в театре?
Объясните, почему формулировка любой теоремы является высказыванием.
Приведите по 2 примера истинных и ложных высказываний из математики, биологии,
истории, информатики, литературы.
Из следующих предложений выбрать те, которые являются высказываниями:
 Коля спросил: «Как пройти к Большому театру?»
 Как пройти в библиотеку?
 Картины Пикассо слишком абстрактны.
8
 Решение задачи – информационный процесс.
 Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.
5. Выбрать истинные высказывания:
 “Число 28 является совершенным числом”
 “Без труда не выловишь и рыбку из пруда”
 “Талант всегда пробьёт себе дорогу”
 “Некоторые животные мыслят”
 “Информатика - наука об алгоритмах”
 “2+3*5=30”
 “Все ученики любят информатику”
6. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
7. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
8. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
9. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
10. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
Итог урока:
 Вы познакомились с основными понятиями алгебры логики.
 Рассмотрели логические операции.
 Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности и проиллюстрировали
ЛО с помощью кругов Эйлера.
Домашнее задание
9
1.
2.
3.
Прочитать параграф учебника §3.2.
Выучить все определения в тетради из конспекта урока.
Подобрать высказывания для каждой логической операции (1 -2 примера)
10