Теория множеств. Булева алгебра. Полные системы

Контрольная работа по дискретной математике
Теория множеств. Булева алгебра. Полные системы.
Вариант №0
(Данный вариант предназначен для проведения подготовки к контрольной работе, задания
можно предварительно сообщить студентам и обсудить их решение)
Руководство к выполнению контрольной работы:
Контрольная работа рассчитана на два - три академических часа. Дополнительное время может быть отведено для
аккуратного оформления работы.
Контрольная работа должна проводится в присутствии преподавателя или другого должностного лица.
Каждое задание должно быть переписано на рабочий листок.
Оформление контрольной работы и наличие исправлений влияет на итоговою оценку.
От студента ожидается подробное изложение решения каждого задания.
Ответ должен присутствовать в каждом задании.
Желаю успехов!
1. Даны множества:
A = {x / 1<x <10, x – целое число},
B = {0, 3, 4, 5, 6, 7},
C = {x / x <7, x – натуральное число};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества АВС и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
2. Найдите кардинальное число булеана множества M, где M =
I={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {0, 2, 4, 6};
B = {1, 3, 5, 7, 9}
AB
если:
3. Упростить выражение:
A  B  (B  C ) A  (C  B) ;
4.
Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={ x/ 2<x<6, xR } или В={x/ x>0, x-четное число}
5.
Пусть
6.
х-обозначает высказывание «Идет снег»
y- обозначает высказывание «На улице очень тепло»
Запишите в виде формулы следующие высказывания:
1.
Если не идет снег, то на улице очень тепло.
2.
Если на улице очень тепло, то снег не идет.
3.
Неверно, что идет снег или на улице тепло.
4.
Неверно, что на улице тепло и не идет снег.
Пусть х-«пришла осень»
y-«идет дождь»
z- «улетают птицы»
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами.
1.
2.
y  ( x  z) )
(x / y )  z
(
7. Дана функция: f(x, y, z)= y ~ ( ( z  y )  x ).
1) Постройте таблицу истинности для этой функций.
2) Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
3) Выполните разложение функции по переменной y.
4) Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
5) Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
8.
Определить является ли система булевых функций полной:
0, 1, x  y.
Вариант №1
1. Даны множества:
A = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},
B = {x / x <11, x – натуральное число},
C = {x / 7<x <14, x – натуральное число};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества АВС и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
2. Найдите B (P), где P = A  B если:
I={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {0, 2, 4, 6};
B = {3, 5, 7, 8, 9}
3. Упростить выражение:
ABBC ( C AB)CC;
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ ) ?
А={x/ -5 x 3, xR} или В={x / 20  x  25, xR }
5.
Пусть х-обозначает высказывание «Идет снег»
y- обозначает высказывание «На улице холодно»
Запишите в виде формулы следующие высказывания:
1. Если идет снег, то на улице холодно.
2. Неверно, что на улице холодно тогда и только тогда, когда нет снега.
3. Неверно, что на улице холодно или идет снег.
4. Неверно, что на улице холодно и идет снег.
6.
Пусть
х-«Идет дождь»
y-«Дует ветер»
z- «Светит солнце».
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами.
1. ( z  y )  x
2. z(х /y)
7. Дана функция: f(x, y, z)= (x/y)\/ (x z )\/ ( y /\ x) .
Постройте таблицу истинности для этой функций.
Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
Выполните разложение функции по переменной y.
Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
1)
2)
3)
4)
5)
8.
Определить является ли система булевых функций полной: 0, 1, x  y, x   y  x.
Вариант №2
1. Даны множества:
A = {5, 6, 7, 8, 9, 11},
B = {x / x <8, x – натуральное число},
C = {x / 1<x<13 , x – натуральное число};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества АВС и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
2. Найдите B (P), где P =
I={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {0, 2, 4, 6};
B = {3, 5, 7, 8, 9}
A B
если:
3. Упростить выражение:
A  B BC ( C A)BCC;
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={x/ -5 x 3, xR} или В={ x/ x<10, xN }
5. Пусть х-обозначает высказывание «Идет дождь»
y- обозначает высказывание «На улице тепло»
Запишите в виде формулы следующие высказывания:
1. Если нет дождя, то на улице тепло.
2. Если на улице тепло, то идет дождь.
3. На улице тепло тогда и только тогда, когда нет дождя.
4. Если на улице тепло, то дождя нет.
6. Пусть
х-«Светит солнце»
y-«Дует ветер»
z- «Идет дождь».
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами:
1. zy x
2.
( z  y)  x
7. Дана функция: f(x,y, z)=х  ( ( z  y )  x )
Постройте таблицу истинности для этой функций.
Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
Выполните разложение функции по переменной x.
Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
1)
2)
3)
4)
5)


8. Определить является ли система булевых функций полной: 1, x y, x  y .
Вариант №3
1. Даны множества:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
B = {x / x <8, x – целое число},
C = {x / 1<x <15, x – натуральное четное число};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества АВС и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
2. Найдите B (P), где P =
I={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {0, 2, 5, 6};
B = {3, 5, 7, 8, 9}
AB
если:
3. Упростить выражение:
( A  B  A  B  A )C B
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={x/ -5 x 3, xR} или В={ x/ x>10, xN }
5. Пусть х-обозначает высказывание «Я школьник»
y- обозначает высказывание «Я учусь в 9-ом классе»
Запишите в виде формулы следующие высказывания.
1. Если я школьник, то я учусь в 9-ом классе.
2. Неверно, что я школьник тогда и только когда, я учусь в 9-ом классе.
3. Я школьник и я учусь в 9-ом классе.
4. Неверно, что я учусь в 9-ом классе и я школьник.
6.
Пусть
х-«Светит солнце»
y-«Дует ветер»
z- «Идет дождь»
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами:
y ~ ( x  z) )
y)  x
1. (
2. ( z /
7. Дана функция: f(x, y, z)= (x/\y)/ (x z )
1) Постройте таблицу истинности для этой функций.
2) Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
3) Выполните разложение функции по переменной y.
4) Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
5) Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
8. Определить является ли система булевых функций полной:
 x  yz, x  y.
Вариант №4
1. Даны множества:
A = {x / 1<x <8, x – целое число},
B = {x / x <5, x – целое число},
C = {x / x >0, x – натуральное число};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества АВС и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
2. Найдите кардинальное число булеана множества D, где D =
I={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {0, 2, 6, 7, 8};
B = {3, 5, 7, 9}
AB
если:
3. Упростить выражение:
A  B  A  ( B  A) C B
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={ x/ x>2, xN } или В={x/ 2 x 3, xR}
5. Пусть х-обозначает высказывание «У меня есть кошка»
y- обозначает высказывание «У меня есть собака»
Запишите в виде формулы следующие высказывания.
1. Если у меня есть кошка, то у меня нет собаки.
2. Неверно, что у меня есть кошка и нет собаки.
3. У меня нет кошки и нет собаки
4. Неверно, что у меня есть собака или есть кошка.
6.
Пусть
х-«Светит солнце»
y-«поют птицы»
z- «жизнь хороша»
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами.
1. ( z / y )  x
2. z\/(х ~ y ).
7. Дана функция: f(x, y, z)= ( x \/y)/\ (x z )
.
1) Постройте таблицу истинности для этой функций.
2) Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
3) Выполните разложение функции по переменной z.
4) Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
5) Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
8. Определить является ли система булевых функций полной:
 xy, x  y, x  y x y.
Вариант №5
1. Даны множества:
A = {x / 1<x <8, x – целое число},
B = {x / 2<x <15, x – целое четное число},
C = {x / x <7, x – натуральное число};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества А(ВС) и заштриховать на диаграмме результирующее
множество.
2. Найдите кардинальное число булеана множества D, где D =
I={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {0, 2, 3, 5, 6};
B = {0, 7,8,9}
A  B если:
3. Упростить выражение:
B ( A  B ) 
A  ( B  A) C B
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={ x/ 2<x<6, xR } или В={x/ 2 x 3, xR}
5. Пусть
6.
х-обозначает высказывание «Идет снег»
y- обозначает высказывание «На улице холодно»
Запишите в виде формулы следующие высказывания:
1. Если не идет снег, то на улице не холодно.
2. Если на улице холодно, то снег не идет.
3. Неверно, что на улице холодно тогда и только тогда, когда идет снег.
4. Неверно, что на улице холодно и не идет снег.
Пусть
х-«пришла осень»
y-«падают листья»
z- «улетают птицы»
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами:
1. ( z /\ y )  x
2. / (х 
y)
7. Дана функция: f(x,y, z)=z ~ ( ( z  y )  x )
1) Постройте таблицу истинности для этой функций.
2) Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
3) Выполните разложение функции по переменной y.
4) Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
5) Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
8. Определить является ли система булевых функций полной: 0, 1, x  y.
Вариант №6
1. Даны множества:
A = {x / 1<x <10, x – целое число},
B = {0, 3, 4, 5, 6, 7},
C = {x / x <17, x – натуральное нечетное число};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества А(ВС) и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
2. Найдите кардинальное число булеана множества M, где M = A  B если:
I={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {0, 2, 5, 6};
B = {1, 3, 4, 5, 7, 9}
3. Упростить выражение:
A  B  (B  C ) A  (C  B) ;
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={ x/ 2<x<6, xR } или В={x/ x>0, x-четное число}
5. Пусть
х-обозначает высказывание «Идет снег»
y- обозначает высказывание «На улице очень тепло»
Запишите в виде формулы следующие высказывания:
1. Если на улице очень тепло, то снег не идет.
2. На улице очень тепло и идет снег.
3. Неверно, что на улице тепло тогда и только тогда, когда нет снега.
4. Неверно, что идет снег или на улице тепло.
6. Пусть х-«пришла осень»
y-«идет дождь»
z- «улетают птицы»
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами.
1. (x / y )  z
2.
( z /\ y )  x
7. Дана функция: f(x, y, z)= y ~ ( x  z /\ y ).
1) Постройте таблицу истинности для этой функций.
2) Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
3) Выполните разложение функции по переменной x.
4) Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
5) Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
8. Определить является ли система булевых функций полной: x  y, 1, x  y.
Вариант №7
1. Дано множество P={a, 5, b, 15}.
1) Постройте все подмножества данного множества.
2) Найдите кардинальное число булеана данного множества |B(P)| -?
2. Даны множества: A = {0, 1, 2, 4, 6}; В= {3, 4, 6, 7, 9}; C = {0, 5, 6, 7, 8};
I = {0, 1, 2, 3, … , 9};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества C \ ( A B) и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
3. Упростить выражение:
(CB) ( A  B )  A  ( B  A) A
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={ x/ 2<x<6000, xR } или В={x/ x>1000, x- четное число}
5. Пусть
х-обозначает высказывание «Идет снег»
y- обозначает высказывание «На улице очень тепло»
Запишите в виде формулы следующие высказывания:
1. Неверно, что если на улице тепло, то снег не идет.
2. На улице очень тепло и снег не идет.
3. Неверно, что на улице тепло и не идет снег.
4. Если не идет снег, то на улице очень тепло.
6.
Пусть
х- «улетают птицы»
y-«идет дождь»
z- «пришла осень»
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами.
1. (x ~ y ) / z
2.
( z /\ y )  x
7. Дана функция: f(x, y, z)= ((x/y)\/ (x z ))  x
1) Постройте таблицу истинности для этой функций.
2) Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
3) Выполните разложение функции по переменной y.
4) Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
5) Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
8. Определить является ли система булевых функций полной: x  y, 0, x  y.
Вариант №8
1. Дано множество М={1, 20, 43}.
1) Постройте все подмножества данного множества.
2) Найдите кардинальное число булеана данного множества |B(M)| -?
2. Даны множества: A = {0, 1, 2, 3, 5, 6}; В= {1, 4, 5, 7, 9}; C = {5, 6, 7, 8};
I = {0, 1, 2, 3, … , 9};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества АC \ ( A B) и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
3. Упростить выражение:
A  B BC ( C A)(AB).
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={ x/ 5,7<x<5,8, xR } или В={x/ 57<x<58, x- целое число}
5. Пусть
х-обозначает высказывание «Я школьник»
y- обозначает высказывание «Если я учусь в 10-ом классе»
Запишите в виде формулы следующие высказывания:
1. Если я учусь в 10-ом классе, то я школьник.
2. Я школьник тогда и только тогда, когда я учусь в 10-ом классе.
3. Если я учусь в 10-ом классе, то я не школьник.
4. Неверно, что я школьник, и неверно, что я учусь в 10-ом классе.
6.
Пусть
х- «я учусь в 10-ом классе»
y-« Я школьник»
z- «Я отличник»
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами.
1. (x ~ y )  z
2.
(z  y)  x
7. Дана функция: f(x, y, z)= y ~ ( x  z /\ y )
1) Постройте таблицу истинности для этой функций.
2) Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
3) Выполните разложение функции по переменной y.
4) Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
5) Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
8. Определить является ли система булевых функций полной: x  y, x  y, x.
Вариант №9
1. Найти кардинальное число множества M и перечислить его элементы.
M={x/ x=4(n2-1), где n – целое и |n| <3}
2. Даны множества: A = {1, 2, 4, 6}; В= {3, 4, 6, 9}; C = {0, 7, 8,9};
I = {0, 1, 2, 3, … , 9};
1) Изобразить эти множества с помощью диаграммы Венна
2) Перечислить элементы множества
C
\ ( A B) и заштриховать на диаграмме результирующее множество.
3. Упростить выражение:
A  B  (BC  C )A(AB);
4. Мощность какого множества больше (аргументируйте свой ответ)?
А={ x/ x<8, xN } или В={x/ 7<x<8, xR }
5. Пусть
х-обозначает высказывание «У меня есть компьютер»
y- обозначает высказывание «Я программист»
Запишите в виде формулы следующие высказывания:
1. Если у меня нет компьютера, то я не программист.
2. Я программист тогда и только тогда, когда у меня есть компьютер.
3. Неверно, что я программист и у меня нет компьютера.
4. Неверно, что если у меня есть компьютер, то я программист.
6.
Пусть
х- «Я школьник»
y-« Я студент»
z- «Я отличник»
Запишите словами следующие высказывания представленные формулами.
1. (x ~ y )  z
2. z  y
7. Дана функция: f(x,y, z)=z ~ ( ( z  y )  x )
1) Постройте таблицу истинности для этой функций.
2) Определите, есть ли фиктивные переменные. Если есть, то сократите таблицу истинности.
3) Выполните разложение функции по переменной z.
4) Постройте СДНФ и СКНФ данной функции.
5) Найдите функцию двойственную к данной
a) с помощью таблицы истинности;
b) по определению;
c) по принципу двойственности.
6) Постройте полином Жегалкина для данной функции.
7) Определите, каким замкнутым классам принадлежит данная функция.
8) Образует ли она полную систему?
8. Определить является ли система булевых функций полной: x  y, x  y, x.